数据结构-图的基本知识.
数据结构试验报告-图的基本操作
中原工学院《数据结构》实验报告学院：计算机学院专业：计算机科学与技术班级：计科112姓名：康岩岩学号：201100814220 指导老师：高艳霞2012-11-22实验五图的基本操作一、实验目的1、使学生可以巩固所学的有关图的基本知识。
2、熟练掌握图的存储结构。
3、熟练掌握图的两种遍历算法。
二、实验内容[问题描述]对给定图，实现图的深度优先遍历和广度优先遍历。
[基本要求]以邻接表为存储结构，实现连通无向图的深度优先和广度优先遍历。
以用户指定的结点为起点，分别输出每种遍历下的结点访问序列。
【测试数据】由学生依据软件工程的测试技术自己确定。
三、实验前的准备工作1、掌握图的相关概念。
2、掌握图的逻辑结构和存储结构。
3、掌握图的两种遍历算法的实现。
四、实验报告要求1、实验报告要按照实验报告格式规范书写。
2、实验上要写出多批测试数据的运行结果。
3、结合运行结果，对程序进行分析。
【设计思路】【代码整理】#include "stdafx.h"#include <iostream>#include <malloc.h>using namespace std;typedef int Status;#define OK 1#define ERROR 0#define OVERFLOW -1#define MAX_SIZE 20typedef enum{DG,DN,UDG,UDN}Kind;typedef struct ArcNode{int adjvex; //顶点位置struct ArcNode *nextarc; //下一条弧int *info; //弧信息};typedef struct{char info[10]; //顶点信息ArcNode *fistarc; //指向第一条弧}VNode,AdjList[MAX_SIZE];typedef struct{AdjList vertices;int vexnum,arcnum; //顶点数，弧数int kind; //图的种类，此为无向图}ALGraph;//这是队列的节点，仅用于广度优先搜索typedef struct Node{int num;struct Node* next;};//队列的头和尾typedef struct{Node * front;Node *rear;}PreBit;int LocateV ex(ALGraph G,char info[]);//定位顶点的位置Status addArcNode(ALGraph &G,int adjvex); //图中加入弧Status CreatGraph(ALGraph&G);//创建图的邻接表Status DFSTraverse(ALGraph G);//深度优先搜索Status BFSTraverse(ALGraph G);//广度优先搜索Status DFS(ALGraph G,int v);//深度优先搜索中的数据读取函数，用于递归bool visited[MAX_SIZE]; // 访问标志数组//初始化队列Status init_q(PreBit&P_B){P_B.front=P_B.rear=(Node*)malloc(sizeof(Node));if(!P_B.front){exit(OVERFLOW);}P_B.front->next=NULL;}//将数据入队Status en_q(PreBit & P_B,int num){Node *p=(Node*)malloc(sizeof(Node));if(!p){exit(OVERFLOW);}p->num=num;p->next=NULL;P_B.rear->next=p;P_B.rear=p;return OK;}//出队Status de_q(PreBit & P_B){if(P_B.front==P_B.rear){return ERROR;}Node* p=P_B.front->next;P_B.front->next=p->next;if(P_B.rear==p){P_B.rear=P_B.front;}free(p);return OK;}Status CreatGraph(ALGraph&G){cout<<"请输入顶点数目和弧数目"<<endl;cin>>G.vexnum>>G.arcnum;//依次输入顶点信息for(int i=0;i<G.vexnum;i++){cout<<"请输入顶点名称"<<endl;cin>>G.vertices[i].info;G.vertices[i].fistarc=NULL;}//依次输入弧信息for(int k=1;k<=G.arcnum;k++){char v1[10],v2[10]; //用于表示顶点名称的字符数组int i,j; //表示两个顶点的位置BACK: //返回点cout<<"请输入第"<<k<<"条弧的两个顶点"<<endl;cin>>v1>>v2;i=LocateV ex(G,v1); //得到顶点v1的位置j=LocateV ex(G,v2); //得到顶点v2的位置if(i==-1||j==-1){ //头信息不存在则返回重输cout<<"不存在该节点!"<<endl;goto BACK; //跳到BACK 返回点}addArcNode(G,i); //将弧的顶点信息插入表中addArcNode(G,j);}return OK;}//倒序插入弧的顶点信息Status addArcNode(ALGraph &G,int adjvex){ArcNode *p; //弧节点指针p=(ArcNode*)malloc(sizeof(ArcNode));p->adjvex=adjvex;p->nextarc=G.vertices[adjvex].fistarc;//指向头结点的第一条弧G.vertices[adjvex].fistarc=p; //头结点的第一条弧指向p，即将p作为头结点的第一条弧return OK;}//定位顶点的位置int LocateV ex(ALGraph G,char info[]){for(int i=0;i<G.vexnum;i++){if(strcmp(G.vertices[i].info,info)==0){ //头结点名称与传入的信息相等，证明该头节点存在return i; //此时返回位置}}return -1;}//深度优先搜索Status DFSTraverse(ALGraph G){for(int v=0;v<G.vexnum;v++){visited[v]=false;}char v1[10];int i;BACK:cout<<"请输入首先访问的顶点"<<endl;cin>>v1;i=LocateV ex(G,v1);if(i==-1){cout<<"不存在该节点!"<<endl;goto BACK;}DFS(G,i);return OK;}//深度优先搜索递归访问图Status DFS(ALGraph G,int v){visited[v]=true;cout<<G.vertices[v].info<<" ";//输出信息ArcNode *p;p=G.vertices[v].fistarc; //向头节点第一条while(p) //当弧存在{if(!visited[p->adjvex]){DFS(G,p->adjvex); //递归读取}p=p->nextarc;}return OK;}//广度优先搜索Status BFSTraverse(ALGraph G){for(int v=0;v<G.vexnum;v++){visited[v]=false;}char v1[10];int v;BACK:cout<<"请输入首先访问的顶点"<<endl;cin>>v1;v=LocateV ex(G,v1);if(v==-1){cout<<"不存在该节点!"<<endl;goto BACK;}PreBit P_B;init_q(P_B);ArcNode *p;visited[v]=true;cout<<G.vertices[v].info<<" ";//输出信息en_q(P_B,v); //将头位置v入队while(P_B.front!=P_B.rear){//当队列不为空时，对其进行访问int w=P_B.front->next->num;//读出顶点位置de_q(P_B);//顶点已经访问过，将其出队列p=G.vertices[w].fistarc;//得到与顶点相关的第一条弧while(p){if(!visited[p->adjvex]){en_q(P_B,p->adjvex);//将弧入队，但不读取，只是将其放在队尾}p=p->nextarc;}}return OK;}int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[]){ALGraph G;CreatGraph(G);cout<<"深度优先搜索图:"<<endl;DFSTraverse(G);cout<<endl;cout<<"广度优先搜索图:"<<endl;BFSTraverse(G);cout<<endl;system("pause");return 0;}。
数据结构图知识点总结高中
数据结构图知识点总结高中一、线性结构1. 线性表线性表是数据结构中最基本的一种结构，它是由零个或多个数据元素构成的有限序列。
其中每个数据元素都只有一个前驱元素和一个后继元素，除了第一个和最后一个元素外，其他元素都有且仅有一个前驱和一个后继。
线性表有两种基本的存储结构，分别是顺序存储结构和链式存储结构。
顺序存储结构是利用一组地址连续的存储单元来存放线性表的数据元素，而链式存储结构是通过指针来表示数据元素之间的逻辑关系。
2. 栈栈是一种特殊的线性表，它只能在表的一端进行插入和删除操作。
栈有一个被称为栈顶的元素，只能在栈顶进行插入和删除操作。
栈有两种经典的存储结构，分别是顺序栈和链式栈。
顺序栈是利用数组来实现栈的存储和操作，而链式栈则是利用链表来实现栈的存储和操作。
3. 队列队列也是一种特殊的线性表，它只能在表的两端进行插入和删除操作。
队列有一个被称为队头和队尾的元素，只能在队头进行删除操作，只能在队尾进行插入操作。
队列也有两种经典的存储结构，分别是顺序队列和链式队列。
顺序队列是利用数组来实现队列的存储和操作，而链式队列则是利用链表来实现队列的存储和操作。
4. 串串是线性表的一种特殊形式，它是由零个或多个字符构成的有限序列。
串的存储结构有两种常见的形式，分别是顺序存储结构和链式存储结构。
顺序存储结构是利用数组来存储串的字符序列，而链式存储结构是利用链表来存储串的字符序列。
二、非线性结构1. 树树是一种非线性结构，它是由n (n ≥ 1) 个节点组成的有限集合，这些节点之间存在着明确的层次关系。
树的存储结构通常有两种形式，分别是双亲表示法和孩子表示法。
双亲表示法通过数组来存储树的节点和节点之间的关系，而孩子表示法则通过链表来存储树的节点和节点之间的关系。
树有许多种特殊形式，如二叉树、平衡二叉树、多路查找树等。
其中，二叉树是一种特殊的树，它的每个节点最多有两个子节点，这两个子节点被称为左子树和右子树。
2. 图图是一种非线性结构，它是由一组顶点和一组边组成的数据结构。
图的知识点总结归纳
图的知识点总结归纳图是计算机科学中常用的数据结构之一，它由节点和边组成。
在图论中，图被用于描述各种实际问题，如社交网络、路线规划、电子电路等。
本文将对图的基本概念、表示方法、遍历算法和常见应用进行总结和归纳。
一、基本概念1. 节点（Vertex）：图中最基本的元素，也称为顶点。
每个节点可以有零个或多个与之相连的边。
2. 边（Edge）：连接节点的线段，表示节点之间的关系。
边可以有方向，即有向边，也可以无方向，即无向边。
3. 路径（Path）：通过一系列节点和边依次连接起来的序列，用于描述节点间的连通性。
4. 路径长度（Path Length）：路径上经过的边的数量。
若路径上没有重复节点，则路径长度即为路径经过的节点数量减一。
5. 环（Cycle）：起点和终点相同的路径，也称为回路。
6. 连通图（Connected Graph）：图中任意两个节点之间都存在路径的图。
7. 强连通图（Strongly Connected Graph）：有向图中，任意两个节点之间都存在双向路径的图。
8. 网络（Network）：带有权值的图，边上的权值代表节点间的相关程度或距离。
二、表示方法1. 邻接矩阵（Adjacency Matrix）：使用二维数组来表示节点之间的关系。
矩阵中的元素表示边的存在与否，可以是布尔值或权值。
2. 邻接表（Adjacency List）：使用链表等数据结构来表示每个节点相邻节点的集合。
每个节点存储一个指向相邻节点的指针。
三、遍历算法1. 深度优先搜索（Depth First Search，DFS）：从起始节点开始，不断沿着一条路径探索直到无法继续，然后回溯到前一个节点继续探索其他路径。
2. 广度优先搜索（Breadth First Search，BFS）：从起始节点开始，逐层遍历相邻节点，保证先访问离起始节点近的节点。
四、常见应用1. 最短路径算法：用于寻找两个节点之间路径长度最短的算法，如迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）和弗洛伊德算法（Floyd's Algorithm）。
数据结构-图
出发点，访问D，标注数字序号④；
（a）无向图 G9
（b）深度优先遍历
图的遍历
3.1图的深度优先遍历
接着到G，访问G， 标注数字序号⑤；G 相邻顶点都访问过了，顺着虚线箭头方向
回退到 D，D 相邻顶点都访问过了，顺着虚线箭头方向回退到C，C 相邻顶点也都访问过
图的基本概念
1.2图的操作定义
02
PART
图的存储结构
2.1邻接矩阵
首先介绍的是数组表示法，即用两个数组分别存储顶点的信息和顶点之间的关系。
用来存放图中 n 个顶点的数组称为顶点数组。我们可将图中顶点按任意顺序保存到顶点数组中，
这样按存放次序每个顶点就对应一个位置序号（简称位序），依次为0～n-1；接着用一个 n×n 的二维
称为有向图。例如，当V={v1,v2,v3,v4,v5}，VR={<v1,v2>,
<v1,v4>,<v2,v4>,<v3,v1>,<v3,v5>,<v4,v3>,<v5,v4>}，则顶点集合
V、关系集合VR 构成有向图G1=(V,VR)，如图（a）所示。
图的基本概念
1.1图的定义与基本术语
无向图（Undirected Graph）。如果顶点间的关系是无
序号作为表结点的值，所以一条弧对应一个表结点。右图为有向图 G1
和无向图 G2的邻接表表示法存储示意图。
图的存储结构
2.2邻接表
对于有向网和无向网，由于表结点表示边或弧，因此需要对表结点扩充一个属性域，表
结点至少包含顶点序号、权值和下一表结点指针 3 个属性，由此构成网的邻接表。
数据结构图
所以：对于点多边少的稀疏图来说，采用邻接表 结构使得算法在时间效 率上大大提高。
16
3/12
广度优先搜索（Breadth First Search，简称BFS ） BFS类似于树的层序遍历； 用一个数组用于标志已访问与否，还需要一个工作队列。
【例】一个无向图的BFS
8
6
CD
4
7
HG
BA
邻接多重表(Adjacency Multilist)
9
边表
• 在某些应用中，有时主要考察图中边的权值以及所依附的 两个顶点，即图的结构主要由边来表示，称为边表存储结 构。
• 边表结构采用顺序存储，用2个一维数组构成，一个存储 顶点信息，一个存储边的信息。边数组的每个元素由三部 分组成：
– 边的起点下标 – 边的终点下标 – 边的权值
1
A [i][
j]
0
如果 (vi , v j ) 或 vi , v j G的边 其它
无权图的邻接矩阵表示示例
V1
V2
V0
3
V3
4 12/15
带权图的邻接矩阵的定义
A [i][ j] wij
如果 (vi , vj ) 或 vi , v j G的边 其它
带图权的图邻的接邻矩接阵矩表阵示表示示例示[例例6.9]
1
第一部分 图的定义和术语
2
图的定义
“图” G可以表示为两个集合：G =（V, E）。每条 边是一个顶点对（v, w） E ，并且 v, w V。
通常：用 |V| 表示顶点的数量（|V| ≥ 1）， 用 |E| 表示边的数量（|E| ≥ 0）。
(1) 无向图（完全有向图边数与顶点数之间的 关系） (2) 有向图（完全有向图弧数与顶点数之间的 关系） (3) 简单图：没有重边和自回路的图 (4) 邻接 (5) 路径，路径长度 (6) 无环（有向）图：没有任何回路的（有向）图 (7) 度，入度，出度 (8) 无向图的顶点连通、连通图、连通分量 (9) 有向图的顶点强连通，强连通图、连通分量
数据结构 知识点总结
数据结构知识点总结一、数据结构基础概念数据结构是指数据元素之间的关系，以及对数据元素进行操作的方法的总称。
数据结构是计算机科学中非常基础的概念，它为计算机程序的设计和实现提供了基础架构。
数据结构的研究内容包括数据的逻辑结构、数据的存储结构以及对数据进行操作的算法。
1.1 数据结构的分类数据结构可以根据数据的逻辑关系和数据的物理存储方式进行分类，常见的数据结构分类包括线性结构、树形结构、图结构等。
1.2 数据结构的基本概念（1）数据元素：数据结构中的基本单位，可以是原子类型或者复合类型。
（2）数据项：数据元素中的一个组成部分，通常是基本类型。
（3）数据结构的逻辑结构：指数据元素之间的逻辑关系，包括线性结构、树形结构、图结构等。
（4）数据结构的存储结构：指数据元素在计算机内存中的存储方式，包括顺序存储结构和链式存储结构等。
1.3 数据结构的特点数据结构具有以下几个特点：（1）抽象性：数据结构是对现实世界中的数据进行抽象和模型化的结果。
（2）实用性：数据结构是在解决实际问题中得出的经验总结，是具有广泛应用价值的。
（3）形式化：数据结构具有精确的数学定义和描述，可以进行分析和证明。
（4）计算性：数据结构是为了使计算机程序更加高效而存在的。
二、线性结构线性结构是数据元素之间存在一对一的关系，是一种最简单的数据结构。
常见的线性结构包括数组、链表、栈和队列等。
2.1 线性表线性表是数据元素之间存在一对一的关系的数据结构，可以采用顺序存储结构或者链式存储结构实现。
（1）顺序存储结构：线性表采用数组的方式进行存储，数据元素在内存中连续存储。
（2）链式存储结构：线性表采用链表的方式进行存储，数据元素在内存中非连续存储，通过指针将它们进行连接。
2.2 栈栈是一种特殊的线性表，只允许在一端进行插入和删除操作，这一端称为栈顶。
栈的操作遵循后进先出（LIFO）的原则。
2.3 队列队列也是一种特殊的线性表，允许在一端进行插入操作，另一端进行删除操作，这两端分别称为队尾和队首。
数据结构-图及其存储结构
for (j=0;j<G.vexnum;+ +j ) adj Info G.arcs[i][j]={∞,NULL}; //Arccell的形式为: for (k=0;k<G.arcnum;+ +i ) { //二维数组存放各边上的信息 scanf(v1,v2,w); i=locatevex(G,v1); j=locatevex(G,v2); //求顶点v1,v2在图中的位置 G.arcs[i][j].adj=w; G.arcs[j][i].adj=w; //无向网的邻接矩阵是对称的 if (IncInfo) Input (*G.arcs[i][j].info); //将弧上的信息存储在指针info
case UDN: return CreateUDN(G);
default : return ERROR; }//CreateGraph
二、存储结构
2.数组表示法前提下图的输入
*以无向网为例,即当用户输入图的类型标志为UDN时,有：
Status CreateUDN(MGraph &G){ scanf(G.vexnum,G.arcnum,IncInfo); //IncInfo 为0时表示各弧
v2 6 5
v1 5 1 5 v3 3 6 4 2 v4
一个连通无向图的生成树是该图的一个连通分量，它 包含有该图的所有n个顶点以及连接这n个顶点的（n-1） 条边。 边或弧上带权值的图称为带权图或网（分为无向网和 有向网）。 一个无向图的所有生成树中，边上的权值之和最小的 生成树称为该图的最小生成树或最小代价生成树。
《数据结构之图》相关知识点总结
第5章图●图的定义①图由顶点集V和边集E组成，记为G=（V，E），V(G)是图G中顶点的有穷非空集合，E(G)是图G中顶点之间变得关系集合，|V|表示顶点个数，也称图的阶，|E|表示边数（线性表和树都可以是空的，但图可以只有一个顶点没有边）②有向图：弧是顶点的有序对，记为<v,w>，v,w是顶点,v是弧尾，w是弧头，从顶点v到顶点w的弧。
无向图：边是顶点的无序对，记为(v,w)③简单图：一个图满足：不存在重复边；不存在顶点到自身的边。
多重图相对于简单图定义④完全图：无向图中，任意两顶点之间存在边，称为完全无向图。
N个顶点的无向完全图有n(n-1)/2条边。
在有向图中，任意两顶点之间存在方向相反的两条弧，称为有向完全图，N 个顶点的有向完全图有n(n-1)条边。
⑤连通图：在无向图中任意两顶点都是连通的。
无向图中的极大连通子图称为连通分量。
极大要求连通子图包含其所有的边和顶点，极小连通子图既要保持图连通，又要保持边数最少⑥在有向图中任意两顶点v,w，存在从顶点v到顶点w和从顶点w到顶点v两条路径，这种图称为强连通图。
有向图的极大强连通子图称为有向图的强连通分量。
⑦生成树：①包含图中所有顶点n，②生成树有n-1条边, ③任意两点连通。
对生成树而言，砍去一条边变成非连通图，加上一条边形成一个回路。
在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林。
⑧顶点的度：以该顶点为端点的边的数目。
无向图的全部顶点的度之和等于边数的两倍。
有向图的度等于出度和入度之和，入度是以该顶点为终点的有向边的数目，出度是以该顶点为起点的有向边的数目。
有向图的全部顶点的入度之和和出度之和相等且等于边数。
⑨图中每条边可以标上具有某种含义的数值，该数值称为边的权值。
带有权值的图称为网。
○10对于无向图G=(V, {E})，如果边(v，v’)∈E，则称顶点v，v’互为邻接点，即v，v’相邻接。
边(v，v’)依附于顶点v 和v’，或者说边(v, v’)与顶点v 和v’相关联。
数据结构-图的定义和术语
继续进行 ·3
·4
搜索。
·5
·6
·7
·3 ·1
·2
·4 从结点 5 出发的搜索序列：
5、6、2、3、1、4、7 适用的数据结构：栈
图的遍历
2、广度（宽度）优先搜索:
• 树：
A
B
C
D
EFG H
I JK
树的按层次进行访问的次序： A、B、C、D、E、F、G、H、 I、J、K、L
适用的数据结构：队列
L A
1
·1
2
12
11
·2
·11
·12
3
6
7
10
·3 ·6 ·7
·10
4
5
8
9
·4 ·5 ·8
·9
图的广度优先的访问次序：
1、2、11、12、3、6、7、10、4、5、8、9
适用的数据结构：队列
图的连通性问题
2、有向图的强连通分量的求法：续 •强连通分量的求法：
1、对有向图 G 进行深度为主的搜索，按照退 出该结点的次序给结点进行编号。最先退 出的结点的编号为 1，其它结点的编号按 次序逐次增大 1。
点1
3 已在U中
16 21 35
0 0 0
lowcost 表示最小距离
4∞ 0
adjvex 表示相应结点(在V －U中的)
5∞
0
lowcost adjvex
U1
6
5 1
25 35 4
3
6
4
2
566 图G
数组：closedge[ 6 ]
00 15 2 20 35 0 46 2 54 2
lowcost adjvex
数据结构(C++)--图
一、图的概念 二、图的应用 三、图的基本术语 四、图的存储结构
难点
1
一、图的概念
（Graph） Graph）
定义:图是由顶点集合(vertex)及边的集合 定义:图是由顶点集合 及边的集合 组成的一种数据结构： 组成的一种数据结构： Graph＝ Graph＝( V, R ) 其中: 某个数据对象} 其中: V = { x | x ∈ 某个数据对象} 是顶点的有穷非空集合； 是顶点的有穷非空集合； R = {(u, v) | u, v ∈ V } {(u 是顶点之间关系的有穷集合， 是顶点之间关系的有穷集合，也叫做 (edge)集合 集合。 边(edge)集合。
1, 如果 < i , j >∈ E 或者 (i , j ) ∈ E Matrix[i ][ j ] = 0, 否则
1 7 3 4 2 8 3 1 6 5 5 4 2
最小(生成 树 最小 生成)树 生成 也称为 最小(支撑 树 最小 支撑)树 支撑
5
二、图的应用举例
例2： 最短路问题（SPP-Shortest Path Problem） ： 最短路问题（ ） 一名货柜车司机奉命在最短的时间内将一车货物从 甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错， 甲地运往乙地。从甲地到乙地的公路网纵横交错， 因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？ 因此有多种行车路线，这名司机应选择哪条线路呢？ 假设货柜车的运行速度是恒定的， 假设货柜车的运行速度是恒定的，那么这一问题相 当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 当于需要找到一条从甲地到乙地的最短路。 5 A 7 C 4 B 6 4 F 5 3 E 1
5 (开始) A 开始) 7 4
图论知识点总结笔记
图论知识点总结笔记一、图的基本概念1. 图的定义图是由节点（顶点）和连接节点的边构成的一种数据结构。
图可以用来表示各种关系和网络，在计算机科学、通信网络、社交网络等领域有着广泛的应用。
在图论中，通常将图记为G=(V, E)，其中V表示图中所有的节点的集合，E表示图中所有的边的集合。
2. 节点和边节点是图中的基本单位，通常用来表示实体或者对象。
边是节点之间的连接关系，用来表示节点之间的关联性。
根据边的方向，可以将图分为有向图和无向图，有向图的边是有方向的，而无向图的边是没有方向的。
3. 度度是图中节点的一个重要度量指标，表示与该节点相连的边的数量。
对于有向图来说，可以分为入度和出度，入度表示指向该节点的边的数量，出度表示由该节点指向其他节点的边的数量。
4. 路径路径是图中连接节点的顺序序列，根据路径的性质，可以将路径分为简单路径、环路等。
在图论中，一些问题的解决可以归结为寻找合适的路径，如最短路径问题、汉密尔顿路径问题等。
5. 连通性图的连通性是描述图中节点之间是否存在路径连接的一个重要特征。
若图中每一对节点都存在路径连接，则称图是连通的，否则称图是非连通的。
基于图的连通性，可以将图分为连通图和非连通图。
6. 子图子图是由图中一部分节点和边组成的图，通常用来描述图的某个特定属性。
子图可以是原图的结构副本，也可以是原图的子集。
二、图的表示1. 邻接矩阵邻接矩阵是一种常见的图表示方法，通过矩阵来表示节点之间的连接关系。
对于无向图来说，邻接矩阵是对称的，而对于有向图来说，邻接矩阵则不一定对称。
2. 邻接表邻接表是另一种常用的图表示方法，它通过数组和链表的组合来表示图的节点和边。
对于每一个节点，都维护一个邻接点的链表，通过链表来表示节点之间的连接关系。
3. 关联矩阵关联矩阵是另一种图的表示方法，通过矩阵来表示节点和边的关联关系。
关联矩阵可以用来表示有向图和无向图，是一种比较灵活的表示方法。
三、常见的图算法1. 深度优先搜索（DFS）深度优先搜索是一种常见的图遍历算法，通过递归或者栈的方式来遍历图中所有的节点。
数据结构——图
数据结构——图图是一种重要的数据结构，它以顶点和边的方式来表示数据之间的关系。
在计算机科学和信息技术领域，图被广泛应用于解决各种问题，如网络路由、社交网络分析和数据挖掘等。
本文将介绍图的基本概念、表示方法和常见算法，以及图在实际应用中的一些案例。
一、图的基本概念图是由顶点集合和边集合组成的有序对，用G=(V,E)表示，其中V表示顶点集合，E表示边集合。
图可以分为有向图和无向图两种类型，有向图的边具有方向性，无向图的边没有方向性。
1. 顶点（Vertex）：图中的一个元素，可以用来表示某个实体。
2. 边（Edge）：顶点之间的连接关系，可以用来表示实体之间的关联。
3. 路径（Path）：在图中顶点之间经过的一系列边和顶点构成的序列。
4. 环（Cycle）：在图中由一个顶点开始经过若干边后再回到该顶点的路径。
5. 连通图（Connected Graph）：图中任意两个顶点之间存在路径。
二、图的表示方法图可以使用邻接矩阵和邻接表两种方式进行表示。
1. 邻接矩阵：邻接矩阵是一个二维数组，其中数组元素表示顶点之间的边，若两个顶点之间存在边，则对应元素为1或权重值，否则为0或无穷大。
2. 邻接表：邻接表由一个顶点数组和一个边链表组成，顶点数组存储顶点的信息，边链表存储每个顶点的邻接顶点。
三、常见图算法图的常见算法包括深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）、最短路径算法（Dijkstra算法和Floyd算法）以及最小生成树算法（Prim算法和Kruskal算法）等。
1. 深度优先搜索（DFS）：从图的一个顶点出发，沿着一条路径一直深入直到没有未访问过的邻接顶点，然后返回并查找其他路径。
DFS 可以用于查找连通图中的所有顶点以及判断图中是否存在环等。
2. 广度优先搜索（BFS）：从图的一个顶点出发，首先访问其所有邻接顶点，然后按照相同的方式访问每个邻接顶点的邻接顶点，直到所有顶点都被访问。
BFS可以用于查找最短路径、拓扑排序以及解决迷宫等问题。
数据结构知识点总结
数据结构知识点总结数据结构知识点总结：一、线性表：⒈数组：定义、初始化、访问元素、插入和删除元素、扩容和缩容、数组的应用⒉链表：定义、单链表、双链表、循环链表、链表的插入和删除操作、链表的反转、链表的应用⒊栈：定义、基本操作（入栈、出栈、获取栈顶元素、判断栈是否为空）、应用场景（递归、表达式求值、括号匹配）⒋队列：定义、基本操作（入队、出队、获取队首元素、判断队列是否为空）、队列的分类（普通队列、双端队列、优先级队列）、队列的应用二、树结构：⒈二叉树：定义、遍历方式（前序遍历、中序遍历、后序遍历）、二叉树的应用（表达式求值、二叉搜索树）⒉堆：定义、堆的插入操作、堆的删除操作、堆的应用（优先级队列、Top K 问题）⒊平衡二叉树：定义、AVL 树、红黑树、平衡二叉树的应用⒋ B 树：定义、B+ 树、B 树、B 树的应用三、图结构：⒈图的存储方式（邻接矩阵、邻接表、十字链表、邻接多重表）⒉图的遍历方式（深度优先搜索、广度优先搜索）⒊最短路径算法（Dijkstra 算法、Bellman-Ford 算法、Floyd-Warshall 算法）⒋最小树算法（Prim 算法、Kruskal 算法）四、查找算法：⒈顺序查找⒉二分查找⒊散列查找（哈希表）⒋平衡查找树（红黑树）五、排序算法：⒈冒泡排序⒉插入排序⒊选择排序⒋快速排序⒌归并排序⒍堆排序⒎希尔排序⒏计数排序⒐桶排序⒑基数排序六、高级数据结构：⒈ Trie 树⒉哈夫曼树⒊并查集⒋线段树⒌ AVL 树附件：⒈相关实例代码⒉数据结构相关的练习题法律名词及注释：⒈版权：指作品的著作权人依照一定的法定条件所享有的权利。
⒉知识产权：指人们创作、发明的智力成果所享有的财产权或相关权益。
⒊法律保护：通过法律手段对知识产权进行保护和维护的行为。
第1.5章 数据结构——非线性结构(图形结构)
邻接矩阵表示法
根据图的定义可知，一个图的逻辑结构分两部分，一 根据图的定义可知，一个图的逻辑结构分两部分， 部分是组成图的顶点的集合；另一部分是顶点之间的联系， 部分是组成图的顶点的集合；另一部分是顶点之间的联系， 即边或弧的集合。因此， 即边或弧的集合。因此，在计算机中存储图只要解决对这 两部分的存储表示即可。 两部分的存储表示即可。 可用一个一维数组存放图中所有顶点的信息； 可用一个一维数组存放图中所有顶点的信息；用一个 二维数组来存放数据元素之间的关系的信息(即边或弧的 二维数组来存放数据元素之间的关系的信息 即边或弧的 集合E)。这个二维数组称之为邻接矩阵 邻接矩阵。 集合 。这个二维数组称之为邻接矩阵。
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1
1 2 3 3
1 2 3 4
2 1 1 1 (b)
3 3 2 2
4 4 4 3
2
4 (a)
4
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5.3 图的遍历
和树的遍历类似， 和树的遍历类似，从图中某一顶点出发访问图中其余 的顶点，使每个顶点都被访问且仅被访问一次， 的顶点，使每个顶点都被访问且仅被访问一次，这个过程 就叫做图的遍历(traversing graph)。图的遍历算法 就叫做图的遍历 。 是求解图的连通性问题、 是求解图的连通性问题、拓扑排序和求关键路径等算法的 基础。 基础。 然而，图的遍历要比树的遍历复杂得多， 然而，图的遍历要比树的遍历复杂得多，因为图中任 一顶点都可能和其余的顶点相邻接， 一顶点都可能和其余的顶点相邻接，所以在访问了某个顶 点之后，可能沿着某条路径搜索之后，又回到该顶点上。 点之后，可能沿着某条路径搜索之后，又回到该顶点上。 为避免同一顶点被访问多次，在遍历图的过程中， 为避免同一顶点被访问多次，在遍历图的过程中，必须记 下每个已访问过的顶点。为此，设一个辅助数组 下每个已访问过的顶点。为此，设一个辅助数组 visited[n]，它的初值为“ 或者零， visited[n]，它的初值为“假”或者零，一旦访问了顶点 Vi，便置 便置visited[i]为“真”或者为被访问时的次序号。 或者为被访问时的次序号。 为
数据结构知识点分级
数据结构知识点分级1. 数据结构基本概念。
- 数据、数据元素、数据项的定义。
- 数据结构的定义，包括逻辑结构（线性结构如线性表、非线性结构如树和图）和存储结构（顺序存储、链式存储等）。
- 数据类型（基本数据类型和抽象数据类型）的概念。
- 算法的定义、特性（有穷性、确定性、可行性、输入、输出）以及算法复杂度（时间复杂度和空间复杂度的基本分析方法，如大O表示法）。
2. 线性表。
- 线性表的定义、逻辑结构特点（线性关系，元素之间一对一的关系）。
- 顺序表。
- 顺序表的存储结构（用数组实现）。
- 顺序表的基本操作实现，如初始化、插入、删除、查找等操作的代码实现（以C语言为例）及时间复杂度分析。
- 链表。
- 单链表的定义、节点结构（数据域和指针域）。
- 单链表的基本操作（创建、插入、删除、查找）的代码实现和时间复杂度分析。
- 循环链表和双向链表的概念及基本操作特点与单链表的区别。
3. 栈和队列。
- 栈。
- 栈的定义（后进先出，LIFO）。
- 顺序栈和链栈的存储结构及基本操作实现（入栈、出栈、判断栈空、栈满等操作）。
- 栈的应用，如表达式求值（中缀表达式转后缀表达式并求值）。
- 队列。
- 队列的定义（先进先出，FIFO）。
- 顺序队列（循环队列的概念来解决顺序队列的假溢出问题）和链队列的存储结构及基本操作实现（入队、出队、判断队空、队满等操作）。
- 队列的应用，如操作系统中的进程调度等。
二、进阶级知识点。
1. 树结构。
- 树的基本概念。
- 树的定义（节点、边、根节点、子树等概念）。
- 树的度、层次、深度等概念。
- 二叉树的定义（每个节点最多有两个子树的有序树）、性质（如二叉树的第i 层最多有2^(i - 1)个节点等性质）。
- 二叉树的存储结构。
- 顺序存储结构（完全二叉树的顺序存储特点及实现）。
- 链式存储结构（二叉链表、三叉链表的结构及节点定义）。
- 二叉树的遍历。
- 前序遍历、中序遍历、后序遍历的递归和非递归算法实现及时间复杂度分析。
计算机数据结构知识点梳理 图的基本概念
A.7
B.8
C.9
D.10
分析：8个顶点的连通无向图共有8×(8-1)/2=28条边，所有非连通的任何两个顶点之间不一定都有弧，而强连通图 的任何两个顶点之间都有路径（顶点序列）。选项B错误，无向图顶点无入度 和出度概念。选项C正确。选项D错误，如果E’中的某一条边的两个顶点不再 V’中，则不能称V’与E’构成图。
解答：C。
[题2]一个有28条边的非连通无向图至少有（ ）个顶点。
是V的子集 ，E’是E的子集，则称图G’是G的一个子图。 12、连通图、连通分量 13、强连通图、强连通分量 14、生成树 15、生成森林
[题1]以下关于图的叙述中，正确的是（ ）。
A.强连通有向图的任何顶点到其他所有顶点都有弧
B.任何图顶点的入度等于出度
C.有向完全图一定是强连通有向图
D.假设有图G=（V，{E}），顶点集V’ V，E’ E，则V’和{ E’}都成G的子图
知识点11：图的基本概念
1、图 2、无向图 3、有向图 4、无向完全图：在一个含有n个顶点的无向完全图中，有n(n-1)/2条边。 5、有向完全图：在一个含有n个顶点的有向完全图中，有n(n-1)条边。 6、稠密图、稀疏图 7、顶点的度、入度、出度 8、边的权、网图
9、路径、路径长度 10、简单路径、简单回路 11、子图：对于图G=（V，E），G’=（V’，E’），若存在V’
数据结构树与图知识点汇总
数据结构树与图知识点汇总在计算机科学中，数据结构是组织和存储数据的方式，以便能够有效地进行操作和处理。
树和图是两种重要且常用的数据结构，它们在解决各种问题时发挥着关键作用。
下面让我们来详细了解一下树与图的相关知识点。
一、树的基本概念树是一种分层的数据结构，其中每个节点最多有一个父节点，但可以有零个或多个子节点。
树的根节点没有父节点，而叶节点没有子节点。
1、二叉树二叉树是一种特殊的树，其中每个节点最多有两个子节点，分别称为左子节点和右子节点。
2、二叉搜索树二叉搜索树是一种特殊的二叉树，对于树中的每个节点，其左子树中的所有节点值都小于该节点的值，而右子树中的所有节点值都大于该节点的值。
3、平衡二叉树为了避免二叉搜索树出现极端的不平衡情况，引入了平衡二叉树。
常见的平衡二叉树有 AVL 树等，它们通过旋转操作来保持树的平衡，从而保证查找、插入和删除操作的时间复杂度在较好的范围内。
4、堆堆是一种特殊的完全二叉树，分为最大堆和最小堆。
在最大堆中，每个节点的值都大于或等于其子节点的值；在最小堆中，每个节点的值都小于或等于其子节点的值。
二、树的遍历方式遍历树是指按照一定的顺序访问树中的每个节点。
常见的遍历方式有以下几种：1、前序遍历先访问根节点，然后递归地前序遍历左子树，最后递归地前序遍历右子树。
2、中序遍历先递归地中序遍历左子树，然后访问根节点，最后递归地中序遍历右子树。
对于二叉搜索树，中序遍历可以得到有序的节点值序列。
3、后序遍历先递归地后序遍历左子树，然后递归地后序遍历右子树，最后访问根节点。
4、层序遍历从根节点开始，从上到下、从左到右依次访问每一层的节点。
三、树的应用树在计算机科学中有广泛的应用，例如：1、文件系统文件和文件夹的组织可以用树来表示，方便文件的查找、创建和删除。
2、数据库索引B 树和 B+树常用于数据库索引，提高数据的查询效率。
3、表达式解析可以用树来表示算术表达式，便于计算和优化。
4、决策树在机器学习中，决策树是一种常见的算法，用于分类和预测。
数据结构考研讲义 第五章 图
第四章图4.1图的概念1．图的定义图是由一个顶点集V和一个弧集R构成的数据结构。
2.图的重要术语；（1）无向图：在一个图中，如果任意两个顶点构成的偶对（v,w）∈E是无序的，即顶点之间的连线是没有方向的，则称该图为无向图。
（2）有向图：在一个图中，如果任意两个顶点构成的偶对（v,w）∈E是有序的，即顶点之间的连线是有方向的，则称该图为有向图。
（3）无向完全图：在一个无向图中，如果任意两顶点都有一条直接边相连接，则称该图为无向完全图。
在一个含有n个顶点的无向完全图中，有n(n-1)/2条边。
（4）有向完全图：在一个有向图中，如果任意两顶点之间都有方向互为相反的两条弧相连接，则称该图为有向完全图。
在一个含有n个顶点的有向完全图中，有n(n-1)条边。
（5）稠密图、稀疏图：若一个图接近完全图，称为稠密图；称边数很少（e<nlogn）的图为稀疏图。
（6）顶点的度、入度、出度：顶点的度（degree）是指依附于某顶点v的边数，通常记为TD(v)。
在有向图中，要区别顶点的入度与出度的概念。
顶点v的入度是指以顶点为终点的弧的数目，记为ID(v)；顶点v出度是指以顶点v为始点的弧的数目，记为OD(v)。
TD(v)=ID(v)＋OD(v)。
（7）边的权、网图：与边有关的数据信息称为权（weight）。
在实际应用中，权值可以有某种含义。
边上带权的图称为网图或网络（network）。
如果边是有方向的带权图，则就是一个有向网图。
（8）路径、路径长度：顶点vp到顶点vq之间的路径（path）是指顶点序列vp,vi1,vi2,…,vim,vq.。
其中，（vp,vi1），(vi1,vi2)，…,(vim,.vq)分别为图中的边。
路径上边的数目称为路径长度。
（9）简单路径、简单回路：序列中顶点不重复出现的路径称为简单路径。
除第一个顶点与最后一个顶点之外，其他顶点不重复出现的回路称为简单回路，或者简单环。
（10）子图：对于图G=（V，E），G’=（V’，E’），若存在V’是V的子集，E’是E的子集，则称图G’是G的一个子图。
2024版《数据结构图》ppt课件
良好的数据结构可以带来更高的运 行或存储效率，是算法设计的基础， 对程序设计的成败起到关键作用。
常见数据结构类型介绍
线性数据结构
如数组、链表、栈、队 列等，数据元素之间存
在一对一的关系。
树形数据结构
如二叉树、多叉树、森 林等，数据元素之间存
在一对多的关系。
图形数据结构
由顶点和边组成，数据 元素之间存在多对多的
队列定义、特点及应用场景
队列的特点 只能在队尾进行插入操作，队头进行删除操作。
队列是一种双端开口的线性结构。
队列定义、特点及应用场景
应用场景 操作系统的任务调度。 缓冲区的实现，如打印机缓冲区。
队列定义、特点及应用场景
广度优先搜索（BFS）。
消息队列和事件驱动模型。
串定义、基本操作及实现方法
最短路径问题 求解图中两个顶点之间的最短路径，即路径上边 的权值之和最小。
3
算法介绍 Prim算法、Kruskal算法、Dijkstra算法、Floyd 算法等。
拓扑排序和关键路径问题探讨
拓扑排序
对有向无环图（DAG）进行排序， 使得对每一条有向边(u,v)，均有
u在v之前。
关键路径问题
求解有向无环图中从源点到汇点 的最长路径，即关键路径，它决
遍历二叉树和线索二叉树
遍历二叉树
先序遍历、中序遍历和后序遍历。遍历算 法可以采用递归或非递归方式实现。
VS
线索二叉树
利用二叉链表中的空指针来存放其前驱结 点和后继结点的信息，使得在遍历二叉树 时可以利用这些线索得到前驱和后继结点， 从而方便地遍历二叉树。
树、森林与二叉树转换技巧
树转换为二叉树
加线、去线、层次调整。将树中的每个结点的所有孩子结点用线连接起来，再去掉与原结点相连的线，最后 将整棵树的层次进行调整，使得每个结点的左子树为其第一个孩子，右子树为其兄弟结点。
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这个问题在18世纪被数学家欧拉解决了。他把这个 问题转化为图1—1右边所示的图。图上用A、B、C、D4 个顶点分别表示4个地区，用两点间的线段表示连接各地 的桥。这样原来的问题就转化为：从A顶点出发经过其中 每一条线段一次，而且仅一次，再回到A点的“一笔画” 问题。 欧拉对柯尼斯堡问题作出了否定的结论。因为对于 每一个顶点，不论如何经过，必须有一条进路和一条出 路，所以对每一个顶点(除起点和终点)来说与它有关的线 段(称为边)必须是偶数条。而图1-1(右)的顶点有关的线段 都是奇数条，因此不可能一笔画出。而如图4—12中的图 形是可以一笔画出的。
哪些图是有向图？哪些图是无向图？
a a a a a a
b
b
c b
c b
d
e b
e b
e
c
e
d
d
c
d
c d
c d
(G1 )
( G2 )
( G3 )
(G4 )
( G5 )
( G6 )
无向图与有向图：边的表示方式是用该边的两 个顶点来表示的，如果边的表示无方向，那么， 对应的图就是无向图，否则称为有向图，如下 图所示：
在无向图中，边的两个顶点在边的表示中可以互换，如边 （V1,V4）与边（V4,V1）是等价的，表示的是同一条边。 （无向图中边的表示用圆括号） 在有向图中，边的走向不同就认为是不同的边。如在边 的集合E={&;,< 5,3 >,< 2,1 >,< 5,5 >}(见右上图)中，其中< 1,4 >表示该边是由顶点1出发， 到顶点4结束，即边< 1,4 >表明了该边的方向性，且两个 顶点的顺序不能颠倒。（有向图中边的表示用尖括号）
• 顶点的度：与顶点关联的边的数目，有向图顶 点的度等于该顶点的入度与出度之和。 入度——以该顶点为终点的边的数目和 出度——以该顶点为起点的边的数目和 图的阶：图中顶点的个数。例如图1—3中 分别是6和3。 度数为奇数的顶点叫做奇点，度数为偶数 的点叫做偶点。
• [定理1] 图G中所有顶点的度数之和等于 边数的2倍。因为计算顶点的度数时。每 条边均用到2次。 [定理2] 任意一个图一定有偶数个奇点。
• 连通：如果顶点u，v属于G，u，v之间有一条 从u通过若干条边到达v的通路，则认为顶点u 和v是连通的。 连通图：如果对于图G中每一对不同顶点u， v都有一条(u，v)通路，则称G是连通图。 通路指u-->边1-->顶点1-->边2-->顶点 2-->……-->v，点和边交替相接，且互不相 同。
图的基本概念
• 定义：图G定义为一个偶对(V，E)，记作G： (V，E)。其中 1)V是一个非空有限集合，它的元素称为顶 点； 2)E也是一个集合，它的元素称为边 例如 图1-4中的图有4个顶点，4条边。 或者定义：图G（Graph）是由顶点的集合 V和边的集合E所组成的二元组，记作：G = （V，E） • 其中V是顶点的集合，E是边的集合。
欧拉通过对柯尼斯堡桥问题的研究，于1736年发表了 著名的关于图论的论文，从而创立了图论的学说。图1—2一 类的问题就是图论中所指的图。
又如，有6个足球队之间进行循环赛，他们比 赛的场次可以用图1-3(1)来表示。有3个人相 互写信，可以用图1—3(2)来表示。
• 从上面两个例子可看出，我们这里所说的图(graph)， 与人们通常所熟悉的图，如圆、四边形、函数图象等 是很不相同的。是指某些具体事物和这些事物之间的 联系。如果我们用点来表示事物(如地点、队)，用线 段来表示两事物之间的联系，那么一个图就是表示事 物的点集和表示事物之间联系的线段集合所构成。其 中线段仅表示两点的关系，它的长短与曲直是无关紧 要的。例如图1-4中3个图，被认为是同一个图。
数据结构-图的基本知识
什么是图
•
什么是计算机中所说的图?请先看下面的 “柯尼斯堡桥问题”。传说在东普鲁士境内， 有一座柯尼斯堡城，希雷格尔河流经这个城市 的克奈霍福岛后，就将这个城市一分为二，形 成如图1—1（左）的A、B、C、D 4个地区。 人们建造了7座桥将这4个地区连起来。在游 览中有人提出，是否可以从A地出发，各座桥 恰好通过一次，最后又回到原来出发地呢?