专题一 集合与常用逻辑用语答案

§1.2命题及其关系、充分条件与必要条件

1．命题的概念

(1)一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以__________的陈述句叫做命题，其中__________的语句叫做真命题，____________的语句叫做假命题．

(2)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，我们称这两个命题为____________．

(3)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题称为________________．

(4)在两个命题中，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题称为________________．

(5)一般地，设“若p，则q”为原命题，那么______________就叫做原命题的逆命题；________________就叫做原命题的否命题；________________就叫做原命题的逆否命题．2．四种命题间的相互关系

(1)四种命题间的相互关系图(请你补全)

(2)真假关系

①两个命题互为逆否命题，它们具有________的真假性，即等价；

②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性________．

3．充分条件和必要条件

(1)如果p⇒q，则称p是q的________，q是p的_________．

(2)如果________，且________，那么称p是q的充分必要条件，简称p是q的__________，记作________．

(3)如果p⇒q，但q p，那么称p是q的______________条件．

(4)如果________，但________，那么称p是q的必要不充分条件．

(5)如果________，且________，那么称p是q的既不充分也不必要条件．

自查自纠：

1．(1)判断真假判断为真判断为假

(2)互逆命题(3)互否命题(4)互为逆否命题

(5)若q，则p若綈p，则綈q若綈q，则綈p

2．(1)

(2)①相同②没有关系

3．(1)充分条件必要条件

(2)p⇒q q⇒p充要条件p⇔q

(3)充分不必要

(4)p q q⇒p(5)p q q p

类型一 四种命题及其相互关系

写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并分别判断四种命题的真假： (1)末位数字是0的多位数一定是5的倍数； (2)在△ABC 中，若AB ＞AC ，则∠C ＞∠B ； (3)若x 2－2x －3＞0，则x ＜－1或x ＞3.

解：(1)原命题：若一个多位数的末位数字是0，则它是5的倍数． 逆命题：若一个多位数是5的倍数，则它的末位数字是0.

否命题：若一个多位数的末位数字不是0，则它不是5的倍数． 逆否命题：若一个多位数不是5的倍数，则它的末位数字不是0. 这里，原命题与逆否命题为真命题，逆命题与否命题是假命题． (2)逆命题：在△ABC 中，若∠C ＞∠B ，则AB ＞AC . 否命题：在△ABC 中，若AB ≤AC ，则∠C ≤∠B . 逆否命题：在△ABC 中，若∠C ≤∠B ，则AB ≤AC . 这里，四种命题都是真命题．

(3)逆命题：若x ＜－1或x ＞3，则x 2－2x －3＞0. 否命题：若x 2－2x －3≤0，则－1≤x ≤3. 逆否命题：若－1≤x ≤3，则x 2－2x －3≤0. 这里，四种命题都是真命题．

点拨：

写出一个命题的逆命题、否命题和逆否命题，关键是找出原命题的条件p 与结论q ，将原命题写成“若p ，则q ”的形式．在(2)中，原命题有大前提“在△ABC 中”，在写出它的逆命题、否命题和逆否命题时，应当保留这个大前提．(3)中“x ＜－1或x ＞3”的否定形式是“x ≥－1且x ≤3”，即“－1≤x ≤3”．

写出下列命题的否定形式和否命题：

(1)若xy ＝0，则x ，y 中至少有一个为零；

(2)若a ＋b ＝0，则a ，b 中最多有一个大于零；

(3)若四边形是平行四边形，则其相邻两个内角相等； (4)有理数都能写成分数．

解：(1)否定形式：若xy ＝0，则x ，y 都不为零． 否命题：若xy ≠0，则x ，y 都不为零．

(2)否定形式：若a ＋b ＝0，则a ，b 都大于零． 否命题：若a ＋b ≠0，则a ，b 都大于零．

(3)否定形式：若四边形是平行四边形，则它的相邻内角不都相等． 否命题：若四边形不是平行四边形，则它的相邻内角不都相等． (4)否定形式：有理数不都能写成分数． 否命题：非有理数不都能写成分数．

类型二 充要条件的判定

“sinα＝12”是“cos2α＝1

2

”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件 解法一：(定义法)

若sinα＝12，则cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝⎛⎫122＝12，充分性成立；反之，若cos2α＝12

，则有1－2sin 2α

＝12，得sin 2α＝14，sinα＝±1

2

，必要性不成立．

因此，“sinα＝12”是“cos2α＝1

2

”的充分不必要条件．

解法二：(集合法)

令A ＝{α|p (α)}，B ＝{α|q (α)}，

则可得A ＝⎩⎨⎧

⎭⎬⎫α|sinα＝12，

B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|cos2α＝12＝⎩⎨⎧⎭

⎬⎫α|1－2sin 2

α＝12

＝⎩

⎨⎧

⎭⎬⎫α|sinα＝±12. 显然，A B ，所以p 是q 的充分不必要条件．故选A.

点拨：

充要条件的三种判断方法：

(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断；

(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断；

(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy ≠1”是“x ≠1或y ≠1”的某种条件，即可转化为判断“x ＝1且y ＝1”是“xy ＝1”的某种条件．

(1)设x ，y ∈R ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2≥4”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解：设A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫（x ，y ）|⎩

⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2， B ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≥4}，通过画草图可知A B ，则“x ≥2且y ≥2”是“x 2＋y 2

≥4”的充分而不必要条件，故选A.

注：此题也可采用定义法来判断．

(2)(2013·

山东)给定两个命题p ，q ，若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件 解：∵綈p 是q 的必要而不充分条件，∴綈q 是p 的必要而不充分条件，从而得出p 是綈q 的充分而不必要条件，故选A.

类型三 充要条件的证明与探求

数列{a n }的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)是数列{a n }是等差数列的什么条件？ 解：当n ＞1时，a n ＝S n －S n －1＝2An ＋B －A ； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝A ＋B ，适合a n ＝2An ＋B －A .

所以a n ＝2An ＋B －A ，显然{a n }是等差数列，故充分性成立．

反之，若{a n }是等差数列，则有S n ＝na 1＋n （n －1）2d (d 为公差)，即S n ＝d

2

n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 设A ＝d 2，B ＝a 1－d

2，即得S n ＝An 2＋Bn ，

因此，必要性成立．

所以S n ＝An 2＋Bn (A ，B 是常数)是数列{a n }是等差数列的充要条件．

点拨：