导数复习经典例题分类(含答案)
导数专题(含答案
说明:导数的几何意义
可以简记为"k= ",
强化这一句话"斜率导数,导数斜率"
导数的物理意义：s=s<t>是物体运动的位移函数,物体在t= 时刻的瞬时速度是 .可以简记为 =
例1、已知函数 的图象在点 处的切线方程是 ,则 .
2、若函数 的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数 在区间[a,b]上的图像可能是〔〕
〔2〕设函数 则 〔〕
A．有最大值B．有最小值C．是增函数D．是减函数
3〕设 分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当 时,
的解集为▲.
3>已知函数的单调性求参数范围
方法:常利用导数与函数单调性关系：即
"若函数单调递增,则 ；若函数单调递减,则 "来求解,注意此时公式中的等号不能省略,否则漏解．从而转化为不等式恒成立问题或利用数形结合来求参数〔 是二次型〕
[例]1函数y = f < x > = x3＋ax2＋bx＋a2,在x = 1时,有极值10,则a = ,b =.
15.已知函数f<x>=－x3＋3x2＋9x＋a.
〔I〕求f<x>的单调递减区间；
〔II〕若f<x>在区间[－2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值．
解：〔I〕f’<x>＝－3x2＋6x＋9．令f‘<x><0,解得x<－1或x>3,
综上,
4某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房.经测算,如果将楼房建为x〔x 10〕层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x〔单位：元〕.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层？
高中数学导数经典20题附解析
导数经典20题目录导数经典20题 (1)一、【不等式恒成立-单变量】5道 (3)二、【不等式恒成立-双变量】5道 (13)三、【不等式证明】5道 (23)四、【零点问题】5道 (32)一、【不等式恒成立-单变量】【第01题】（2017•广东模拟）已知()ln a f x x x=+．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若对任意0x >，均有()2ln ln x a x a −≤恒成立，求正数a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（2）问题转化为2ln ln 1a a ≤+，求出a 的范围即可．【解答】解：（1）（0x >）， ()221a x a f x x x x−′=−=（0x >）， 当0a ≤时，()0f x ′>，在()0,+∞上递增，无极值；当0a >时，0x a <<时，()0f x ′<，在()0,a 上递减，x a >时，()0f x ′>，()f x 在(),a +∞上递增，()()ln 1f x f a a ==+极小值，无极大值．（2）若对任意0x >，均有恒成立，即对任意0x >，均有2ln ln a a x x≤+恒成立， 由（1）得：0a >时，()f x 的最小值是ln 1a +，故问题转化为：2ln ln 1a a ≤+，即ln 1a ≤，故0e a <≤．【点评】本题考查了函数的单调性、极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，考查()ln a f x x x =+()f x ()f x ()2ln ln x a x a −≤转化思想，是一道中档题．一、【不等式恒成立-单变量】【第02题】（2019•西安一模）已知函数()()21e x f x x ax =−−（其中e 为自然对数的底数）． （1）判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由；（2）若对任意的0x >，()3e x f x x x +≥+，求a 的取值范围．【分析】（1）首先求得导函数，然后分类讨论确定函数的极值点的个数即可；（2）将原问题转化为恒成立的问题，然后分类讨论确定实数a 的取值范围即可．【解答】解：（1）()()e 2e 2x xf x x ax x a ′=−=− ，当0a ≤时，()f x 在(),0−∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x 有1个极值点； 当102a <<时，()f x 在(),ln 2a −∞上单调递增，在()ln 2,0a 上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f a 有2个极值点； 当12a =时，()f x 在R 上单调递增，此时函数没有极值点； 当12a >时，()f x 在(),0−∞上单调递增，在()0,ln 2a 上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增，()f a 有2个极值点． 综上，当12a =时，()f x 没有极值点；当0a ≤时，()f x 有1个极值点；当0a >且12a ≠时，()f x 有2个极值点．（2）由得32e 0x x x ax x −−−≥．当0x >时，2e 10x x ax −−−≥， 即2e 1x x a x−−≤对0x ∀>恒成立． 设()2e 1x x g x x−−=（0x >）， ()3e x f x x x +≥+则()()()21e 1x x x g x x −−−′=，设()e 1x h x x =−−，则()e 1x h x ′=−，由0x >可知()0h x ′>，()h x 在()0,+∞上单调递增，()()00h x h >=，即e 1x x >+，()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，()()1e 2g x g ∴≥=−，e 2a ∴≤−，故a 的取值范围是(],e 2−∞−．【点评】本题主要考查导数研究函数的极值点，导数研究不等式恒成立的方法，分类讨论的数学思想等知识，属于中等题．【第03题】（2017春•太仆寺旗校级期末）已知函数()ln f x x a x =−，()1a g x x+=−（a ∈R ）． （1）若1a =，求函数()f x 的极小值；（2）设函数()()()h x f x g x =−，求函数()h x 的单调区间；（3）若在区间[]1,e 上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，求a 的取值范围．【分析】（1）先求出其导函数，让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间进而求出函数()f x 的极值；（2）先求出函数()h x 的导函数，分情况讨论让其大于0求出增区间，小于0求出减区间即可得到函数的单调区间；（3）先把()()00f x g x <成立转化为()00h x <，即函数()1ln a h x x a x x +=+−在[]1,e 上的最小值小于零；再结合（2）的结论分情况讨论求出其最小值即可求出a 的取值范围．【解答】解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，当1a =时，()ln f x x x =−，()111x f x x x −′=−=， x ()0,11 ()1,+∞ ()'f x− 0 + ()f x减 极小 增 所以()f x 在1x =处取得极小值1．（2）()1ln a h x x a x x +=+−， ()()()221111x x a a a h x x x x+−+ + ′=−−=， ①当10a +>时，即1a >−时，在()0,1a +上()0h x ′<，在()1,a ++∞上()0h x ′>， 所以()h x 在()0,1a +上单调递减，在()1,a ++∞上单调递增；②当10a +≤，即1a ≤−时，在()0,+∞上()0h x ′>，所以，函数()h x 在()0,+∞上单调递增．（3）在区间[]1,e 上存在一点0x ，使得()()00f x g x <成立，即在[]1,e 上存在一点0x ，使得()00h x <，即函数在[]1,e 上的最小值小于零． 由（2）可知，①当1e a +≥，即e 1a ≥−时，()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()h x 的最小值为()e h ，由()1e e 0ea h a +=+−<可得2e 1e 1a +>−， 因为2e 1e 1+−e 1>−， 所以2e 1e 1a +>−； ②当11a +≤，即0a ≤时，()h x 在上单调递增，所以()h x 最小值为()1h ，由()1110h a =++<可得2a <−；③当11e a <+<，即0e 1a <<−时，可得()h x 最小值为()1h a +，因为()0ln 11a <+<，所以，()0ln 1a a a <+<，故()()12ln 12h a a a a +=+−+>，此时，()10h a +<不成立．综上可得，所求a 的范围是：或2a <−． 【点评】本题第一问考查利用导函数来研究函数的极值．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．()1ln a h x x a x x+=+−[]1,e 2e 1e 1a +>−【第04题】（2019•蚌埠一模）已知函数()()2ln f x a x x x =−−．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）若()0f x ≥恒成立，求a 的值．【分析】（1）代入a 的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）通过讨论x 的范围，问题转化为01x <<时，2ln x a x x ≤−，1x >时，2ln x a x x ≥−，令()g x =2ln x x x−，根据函数的最值求出a 的范围，取交集即可． 【解答】解：（1）1a =时，()2ln f x x x x −−，（0x >） 故()()()211121x x f x x x x+−′=−−=， 令()0f x ′>，解得：1x >，令()0f x ′<，解得：01x <<，故()f x 在()0,1递减，在()1,+∞递增．（2）若()0f x ≥恒成立，即()2ln a x x x −≥，①()0,1x ∈时，20x x −<，问题转化为2ln x a x x ≤−（()0,1x ∈），1x >时，20x x −>，问题转化为2ln x a x x ≥−（1x >）， 令()g x =2ln x x x −， 则()()()22121ln x x x g x x x −−−′=−， 令()()121ln h x x x x =−−−，则()112ln h x x x ′=−+−，()2120x x xh ′=−−<′， 故()h x ′在()0,1和()1,+∞内都递减，()0,1x ∈时，()()10h x h ′′>=，故()h x 在()0,1递增，()()10h x h <=，故()0,1x ∈时，()0g x ′<，()g x 在()0,1递减，而1x →时，()1g x →，故()0,1x ∈时，()1g x >，故1a ≤，()1,x ∈+∞时，()()10h x h ′′<=，故()h x 在()0,1递减，()()10h x h <=， 故()1,x ∈+∞时，()0g x ′<，()g x 在()1,+∞递减，而1x →时，()1g x →，故()1,x ∈+∞时，()1g x >，故1a ≥，②1x =时，显然成立．综上：1a =．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是一道综合题．【第05题】（2019•南昌一模）已知函数()()e ln x f x x x a =−++（e 为自然对数的底数，a 为常数，且1a ≤）． （1）判断函数()f x 在区间()1,e 内是否存在极值点，并说明理由； （2）若当ln 2a =时，()f x k <（k ∈Z ）恒成立，求整数k 的最小值． 【分析】（1）由题意结合导函数的符号考查函数是否存在极值点即可； （2）由题意结合导函数研究函数的单调性，据此讨论实数k 的最小值即可． 【解答】解：（1）()1e ln 1x f x x x a x ′=−++−，令()1ln 1g x x x a x=−++−，()1,e x ∈，则()()'e x f x g x =， ()2210x x g x x −+′=−<恒成立，所以()g x 在()1,e 上单调递减，所以()()110g x g a <=−≤，所以()'0f x =在()1,e 内无解． 所以函数()f x 在区间()1,e 内无极值点．（2）当ln 2a =时，()()e ln ln 2x f x x x =−++，定义域为()0,+∞，()1e ln ln 21x f x x x x ′=−++−，令()1ln ln 21h x x x x =−++−， 由（1）知，()h x 在()0,+∞上单调递减，又11022h => ，()1ln 210h =−<，所以存在11,12x∈，使得()10h x =，且当()10,x x ∈时，()0h x >，即()'0f x >，当()1,x x ∈+∞时，()0h x <，即()'0f x <．所以()f x 在()10,x 上单调递增，在()1,x +∞上单调递减， 所以()()()1111max e ln ln 2x f x f x x x ==−++． 由()10h x =得1111ln ln 210x x x −++−=，即1111ln ln 21x x x −+=−， 所以()1111e 1x f x x =−，11,12x∈ ，令()1e 1x r x x =− ，1,12x ∈ ，则()211e 10x r x x x′=−+> 恒成立， 所以()r x 在1,12上单调递增，所以()()1102r r x r <<= ，所以()max 0f x <，又因为1211e ln 2ln 2122f=−−+=>−，所以()max 10f x −<<，所以若()f x k <（k ∈Z ）恒成立，则k 的最小值为0．【点评】本题主要考查导数研究函数的极值，导数研究函数的单调性，导数的综合运用等知识，属于中等题．二、【不等式恒成立-双变量】【第06题】（2019•广元模拟）已知函数()()ln 11xf x a x x=−++（a ∈R ），()2e mx g x x =（m ∈R ）． （1）当1a =时，求函数()f x 的最大值；（2）若0a <，且对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()121f x g x +≥恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值即可； （2）令()()1x f x ϕ=+，根据函数的单调性分别求出()x ϕ的最小值和()g x 的最大值，得到关于m 的不等式，解出即可．【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为()1,−+∞， 当1a =时，()()()2211111xf x xx x −′=−=+++，∴当()1,0x ∈−时，()'0f x >，函数()f x 在()1,0−上单调递增， ∴当()0,x ∈+∞时，()'0f x <，函数()f x 在()0,+∞上单调递减， ()()max 00f x f ∴==．（2）令()()1x f x ϕ=+，因为“对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()121f x g x +≥恒成立”， 所以对任意的1x ，[]20,2x ∈，()()min max x g x ϕ≥成立， 由于()()211ax a x x ϕ−−+′=+，当0a <时，对[]0,2x ∀∈有()'0x ϕ>，从而函数()x ϕ在[]0,2上单调递增， 所以()()min 01x ϕϕ==， ()()222e e 2e mx mx mx g x x x mmxx ′=+⋅=+，当0m =时，()2g x x =，x ∈[]0,2时，()()max 24g x g ==，显然不满足()max 1g x ≤，当0m ≠时，令()'0g x =得10x =，22x m=−， ①当22m−≥，即10m −≤≤时，在[]0,2上()0g x ′≥，所以()g x 在[]0,2上单调递增， 所以()()2max 24e m g x g ==，只需24e 1m ≤，得ln 2m ≤−，所以1ln 2m −≤≤−． ②当202m <−<，即1m <−时，在20,m − 上()0g x ′≥，()g x 单调递增，在2,2m−−上()0g x ′<，()g x 单调递减，所以()22max 24eg x g m m== ， 只需2241e m ≤，得2e m ≤−，所以1m <−． ③当20m−<，即0m >时，显然在[]0,2上()0g x ′≥，()g x 单调递增， 所以()()2max 24e m g x g ==，24e 1m ≤不成立． 综上所述，m 的取值范围是(],ln 2−∞−．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于难题．【第07题】（2019•濮阳一模）已知函数()ln b f x a x x =+（0a ≠）． （1）当2b =时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0a b +=，0b >时，对任意1x ，21,e e x ∈，都有()()12e 2f x f x −≤−成立，求实数b 的取值范围．【分析】（1）通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间即可；（2）原问题等价于()()max min e 2f x f x −≤−成立，可得()()min 11f x f ==，可得()()max e e b f x f b ==−+，即e e 10b b −−+≤，设()e e 1b b b ϕ=−−+（0b >），可得()b ϕ在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，即可得不等式e e 10b b −−+≤的解集．【解答】解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞． 当2b =时，()2ln f x a x x =+，所以()22x a f x x+′=． ①当0a >时，()0f x ′>，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增．②当0a <时，令()0f x ′=，解得：x =当0x <<()0f x ′<，所以函数()f x 在 上单调递减；当x >()0f x ′>，所以函数()f x 在+∞上单调递增． 综上所述，当2b =，0a >时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增；当2b =，0a <时，函数()f x 在 上单调递减，在 +∞上单调递增． （2） 对任意1x ，21,e e x∈，有()()12e 2f x f x −≤−成立，()()max min e 2f x f x ≤∴−−成立，0a b += ，0b >时，()ln b f x b x x =−+．()()11bb b x b f x bx x x−−′=−+=． 当01x <<时，()0f x ′<，当1x >时，()0f x ′>，()f x ∴在1,1e单调递减，在[]1,e 单调递增，()()min 11f x f ==，1e e bf b − =+ ，()e e b f b =−+， 设()()1e e e 2e b b g b f f b −=−=−−（0b >），()e e 20b b g b −′=+−>． ()g b ∴在()0,+∞递增，()()00g b g ∴>=，()1e e f f ∴>．可得()max f x =()e e b f b =−+，e 1e 2b b ∴−+−≤−，即e e 10b b −−+≤，设()e e 1b b b ϕ=−−+（0b >），()e 10b b ϕ′−>在()0,b ∈+∞恒成立．()b ϕ∴在()0,+∞单调递增，且()10ϕ=，∴不等式e e 10b b −−+≤的解集为(]0,1． ∴实数b 的取值范围为(]0,1．【点评】本题考查了导数的应用，考查了转化思想、运算能力，属于压轴题．【第08题】（2019•衡阳一模）已知()32342f x x ax x −=+（x ∈R ），且()f x 在区间[]1,1−上是增函数．（1）求实数a 的值组成的集合A ；（2）设函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式21213m tm x x ++≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立？若存在，求m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由()f x 在区间[]1,1−上是增函数．可得()24220f x ax x ′=+−≥在区间[]1,1−上恒成立．可得()10f ′−≥，()10f ′≥，即可得出． （2）函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ，可得12x x a +=，122x x =−．()()1212121212322x x x x x x x x x x −−++≤−++==a A ∈，设()h a =[]1,1a ∈−，则()h a 是偶函数，且在[]0,1上单调递增，进而得出其最大值为7．()21213g t m tm x x ++≥−=对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立，可得()()1717g g −≥ ≥，解得m 范围即可得出．【解答】解：（1） ()f x 在区间[]1,1−上是增函数， ∴()24220f x ax x ′=+−≥在区间[]1,1−上恒成立．()14220f a ∴′−=−−≥，()14220f a ′=+−≥，解得11a −≤≤． []1,1A ∴=−．（2）函数()f x 的两个极值点为1x 、2x ， ∴12x x a +=，122x x =−．∴()()1212121212322x x x x x x x x x x −−++≤−++==a A ∈ ，设()h a =[]1,1a ∈−，则()h a 是偶函数，且在[]0,1上单调递增．123x x ∴−的最大值为()17h =．设()2211g t m tm mt m ++=++=，[]1,1t ∈−，()123g t x x ≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立，则()()1717g g −≥≥ ，解得3m ≤−或3m ≥． ∴存在实数3m ≤−或3m ≥，使得不等式21213m tm x x ++≥−对任意a A ∈及[]1,1t ∈−恒成立．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解法、转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【第09题】（2018•呼和浩特一模）已知函数()ln f x x =，()212g x x bx =−（b 为常数）． （1）当4b =时，讨论函数()()()h x f x g x =+的单调性；（2）2b ≥时，如果对于1x ∀，(]21,2x ∈，且12x x ≠，都有()()()()1212f x f x g x g x −<−成立，求实数b 的取值范围．【分析】（1）先求导，再根据导数和函数的单调性关系即可求出，（2）令()()()x f x g x ϕ=+，则问题等价于函数()x ϕ在区间(]1,2（1，2]上单调递减，即等价于()10x x b xϕ′=+−≤在区间(]1,2上恒成立，所以得1b x x ≥+，求出即可．【解答】解：（1）()21ln 2h x x x bx =+−的定义域为()0,+∞，当4b =时，()21ln 42h x x x x =+−，()2141'4x x h x x x x−+=+−=， 令()'0h x =，解得12x =−，22x =+(2x ∈时，()0h x ′<， 当(0,2x ∈或()2+∞时，()0h x ′>，所以，()h x 在(0,2和()2+∞单调递增；在(2单调递减． （2）因为()ln f x x =在区间(]1,2上单调递增， 当2b ≥时，()212g x x bx =−在区间(]1,2上单调递减， 不妨设12x x >，则()()()()1212f x f x g x g x −<−等价于()()()()1122f x g x f x g x +<+， 令()()()x f x g x ϕ=+，则问题等价于函数()x ϕ在区间(]1,2上单调递减， 即等价于()10x x b xϕ′=+−≤在区间(]1,2上恒成立， 所以得1b x x≥+在区间(]1,2上恒成立， 因为1y x x=+在(]1,2上单调递增， 所以max 15222y =+=，所以得5b≥．2【点评】本题考查了导数研究函数的单调性以及根据函数的增减性得到函数的最值，理解等价转化思想的运用，属于中档题．【第10题】（2018•邕宁区校级模拟）设函数()e xa f x x x=−，a ∈R 且0a ≠，e 为自然对数的底数． （1）求函数()f x y x=的单调区间； （2）若1ea =，当120x x <<时，不等式()()()211212m x x f x f x x x −−>恒成立，求实数m 的取值范围．【分析】（1）求出函数y 的导数y ′，利用导数判断函数y 的单调性与单调区间； （2）120x x <<时，()()()211212m x x f x f x x x −−>等价于()()1212m mf x f x x x −>−；构造函数()()mg x f x x=−，由()g x 在()0,+∞上为减函数，得出()0g x ′≤， 再利用构造函数求最值法求出m 的取值范围． 【解答】解：（1）函数()2e 1xf x a y x x==−， ()243e 2e 2e xx x a x a x x a y x x −⋅−⋅∴′==， ①当0a >时，由0y ′>得02x <<，由0y ′<得0x <或2x >； ②当0a <时，由0y ′>得0x <或2x >，由0y ′<得02x <<． 综上：①当0a >时，函数()f x y x=的增区间为()0,2，减区间为(),0−∞，()2,+∞； ②当0a <时，函数()f x y x=的增区间为(),0−∞，()2,+∞，减区间为()0,2． （2）当120x x <<时，()()()211212m x x f x f x x x −−>等价于()()1212m mf x f x x x −>−，即函数())e (e x m mg x f x x x x x=−=−−在()0,+∞上为减函数，则()()()1212221e 1e 10x x x x x m m g x x x x−−−−−+′=−+=≤， ()121e x m x x −∴≤−−；令()()121e x h x x x −=−−， 则()()11 e 2e 2x x h x x xx −−′=−=−，由()0h x ′=得ln 2e x =；当()0,ln 2e x ∈时，()0h x ′<，()h x 为减函数； 当()ln 2e,+x ∈∞时，()0h x ′>，()h x 为增函数．()h x ∴的最小值为()()()()22ln 2e 12ln 2e ln 2e 1e ln 2e 2ln 2ln 21ln 21h −=−−=−+=−−； 2ln 21m ∴≤−−，m ∴的取值范围是(22,ln 1 −−∞− ．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题，也考查了不等式恒成立问题，是综合题．三、【不等式证明】【第11题】（2018新课标Ｉ）已知函数()e ln 1x f x a x =−−．（1）设2x =是()f x 的极值点，求a ，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当1ea ≥时，()0f x ≥． 【分析】（1）推导出0x >，()1e x f x a x ′=−，由2x =是()f x 的极值点，解得212ea =，从而()21e ln 12exf x x =−−，进而()211e 2e x f x x ′=−，由此能求出()f x 的单调区间． （2）当1e a ≥时，()e ln 1e xf x x ≥−−，设()e ln 1e xg x x =−−，则()e 1e x g x x ′=−，由此利用导数性质能证明当1ea ≥时，()0f x ≥． 【解答】解：（1）∵函数()e ln 1x f x a x =−−． ∴0x >，()1e xf x a x′=−， ∵2x =是()f x 的极值点，∴()212e 02f a ′=−=，解得212ea =，∴()21e ln 12exf x x =−−，∴()211e 2e x f x x ′=−， 当02x <<时，()0f x ′<，当2x >时，()0f x ′>， ∴()f x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增．（2）证明：当1e a ≥时，()e ln 1e xf x x ≥−−，设()e ln 1e x g x x =−−，则()e 1e x g x x ′=−， 由()e 10e x g x x ′=−=，得1x =，当01x <<时，()0g x ′<， 当1x >时，()0g x ′>， ∴1x =是()g x 的最小值点，故当0x >时，()()10g x g ≥=， ∴当1ea ≥时，()0f x ≥． 【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．【第12题】（2018新课标Ⅲ）已知函数()21e xax x f x +−=． （1）求曲线()y f x =在点()0,1−处的切线方程； （2）证明：当1a ≥时，()e 0f x +≥． 【分析】（1）()()()()2221e 1e e x xx ax ax x f x +−+−′=由()02f ′=，可得切线斜率2k =，即可得到切线方程． （2）可得()()()()()()2221e 1e 12ee x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．可得()f x 在1,a−∞−，()2,+∞递减，在1,2a−递增，注意到1a ≥时，函数()21g x ax x =+−在()2,+∞单调递增，且()2410g a =+>．只需()min e f x ≥−，即可． 【解答】解：（1）()()()()()()2221e 1e 12e e x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．∴()02f ′=，即曲线()y f x =在点()01−，处的切线斜率2k =， ∴曲线()y f x =在点()01−，处的切线方程方程为()12y x −−=． 即210x y −−=为所求．（2）证明：函数()f x 的定义域为：R ， 可得()()()()()()2221e 1e 12e e x xxx ax ax x ax x f x +−+−+−′==−．令()0f x ′=，可得12x =，210x a=−<， 当1,x a∈−∞−时，()0f x ′<，当1,2x a ∈− 时，()0f x ′>，当()2,x ∈+∞时，()0f x ′<．∴()f x 在1,a−∞−，()2,+∞递减，在1,2a − 递增，注意到1a ≥时，函数()21g x ax x =+−在()2,+∞单调递增，且()2410g a =+>．函数()f x 的图象如下：∵1a ≥，∴(]10,1a∈，则11e e a f a−=−≥−， ∴()1min e e af x =−≥−， ∴当1a ≥时，()e 0f x +≥．【点评】本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形结合思想，属于中档题．【第13题】（2016新课标Ⅲ）设函数()ln 1f x x x =−+． （1）讨论()f x 的单调性； （2）证明当()1,x ∈+∞时，11ln x x x−<<； （3）设1c >，证明当()0,1x ∈时，()11x c x c +−>．【分析】（1）求出导数，由导数大于0，可得增区间；导数小于0，可得减区间，注意函数的定义域；（2）由题意可得即证ln 1ln x x x x <−<．运用（1）的单调性可得ln 1x x <−，设()ln 1F x x x x =−+，1x >，求出单调性，即可得到1ln x x x −<成立；（3）设()()11x G x c x c =+−−，求()G x 的二次导数，判断()G x ′的单调性，进而证明原不等式．【解答】解：（1）函数()ln 1f x x x =−+的导数为()11f x x′=−， 由()0f x ′>，可得01x <<；由()0f x ′<，可得1x >． 即有()f x 的增区间为()0,1；减区间为()1,+∞； （2）证明：当()1,x ∈+∞时，11ln x x x−<<，即为ln 1ln x x x x <−<． 由（1）可得()ln 1f x x x =−+在()1,+∞递减， 可得()()10f x f <=，即有ln 1x x <−；设()ln 1F x x x x =−+，1x >，()1ln 1ln F x x x ′=+−=， 当1x >时，()0F x ′>，可得()F x 递增，即有()()10F x F >=， 即有ln 1x x x >−，则原不等式成立； （3）证明：设()()11x G x c x c =+−−，则需要证明：当()0,1x ∈时，()0G x >（1c >）；()1ln x G x c c c ′=−−，()()2ln 0x G x c c ′′=−<，∴()G x ′在()0,1单调递减，而()01ln G c c ′=−−，()11ln G c c c ′=−−， 由（1）中()f x 的单调性，可得()01ln 0G c c ′=−−>，由（2）可得()()11ln 1ln 10G c c c c c ′=−−=−−<，∴()0,1t ∃∈，使得0G t ′=（），即()0,x t ∈时，()0G x ′>，(),1x t ∈时，()0G x ′<； 即()G x 在()0,t 递增，在(),1t 递减； 又因为：()()010G G ==，∴()0,1x ∈时()0G x >成立，不等式得证； 即1c >，当()0,1x ∈时，()11x c x c +−>．【点评】本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查不等式的证明，注意运用构造函数法，求出导数判断单调性，考查推理和运算能力，属于中档题．【第14题】（2015新课标Ｉ）设函数()2e ln x f x a x =−． （1）讨论()f x 的导函数()f x ′零点的个数； （2）证明：当0a >时，()22lnf x a a a≥+． 【分析】（1）先求导，在分类讨论，当0a ≤时，当0a >时，根据零点存在定理，即可求出；（2）设导函数()f x ′在()0,+∞上的唯一零点为0x ，根据函数()f x 的单调性得到函数的最小值()0f x ，只要最小值大于22ln a a a+，问题得以证明．【解答】解：（1）()2e ln x f x a x =−的定义域为()0,+∞， ∴()22e x xx af =′−． 当0a ≤时，()0f x ′>恒成立，故()f x ′没有零点， 当0a >时，∵2e x y =为单调递增，ay x=−单调递增， ∴()f x ′在()0,+∞单调递增， 又()0f a ′>，假设存在b 满足0ln2a b <<时，且14b <，()0f b ′<， 故当0a >时，导函数()f x ′存在唯一的零点；（2）由（1）知，可设导函数()f x ′在()0,+∞上的唯一零点为0x ， 当()00,x x ∈时，()0f x ′<， 当()0,x x ∈+∞时，()0f x ′>，故f(x)在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增， 所欲当0x x =时，()f x 取得最小值，最小值为()0f x ， 由于0202e 0x ax −=，所以()002a f x x =+02ax +2ln a a ≥2a +2ln a a． 故当0a >时，()22lnf x a a a≥+． 【点评】本题考查了导数和函数单调性的关系和最值的关系，以及函数的零点存在定理，属于中档题．【第15题】（2015安徽）设n ∗∈N ，n x 是曲线221n y x +=+在点()1,2处的切线与x 轴交点的横坐标． （1）求数列{}n x 的通项公式； （2）记2221321n n T x x x −= ，证明：14n T n≥． 【分析】（1）利用导数求切线方程求得切线直线并求得横坐标； （2）利用放缩法缩小式子的值从而达到所需要的式子成立．【解答】解：（1）2221'1'22n n y x n x ++=+=+（）（），曲线221n y x +=+在点()1,2处的切线斜率为22n +，从而切线方程为()()2221y n x −=+−．令0y =，解得切线与x 轴的交点的横坐标为1111n n x n n =−=++；（2）证明：由题设和（1）中的计算结果可知：22213222211321242n n n n T x x x−− = =， 当1n =时，114T =， 当2n ≥时，因为()()()()2222212221211212212222n n n n n n n n n n n x −−−−−−−=>=== ， 所以2112112234n T n n n − >××××= ；综上所述，可得对任意的n ∗∈N ，均有14n T n≥． 【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型．四、【零点问题】【第16题】（2018秋•龙岩期末）已知函数()()2ln 12f x x ax a x a =−−−+（a ∈R ）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）令函数()()()()22e 1ln 1x g x f x x a x −=+−+−−，若函数()g x 有且只有一个零点0x ，试判断0x 与3的大小，并说明理由．【分析】（1）由()222211a x x a f x x a x x +− ′−−−−（1x >），分212a +≤和212a +>两类分析函数的单调性；（2）函数()()()()()222e 1ln 1e ln 12x x g x f x x a x ax x a −−=+−+−−=−−−+，求其导函数，可得()21e 1x g x a x −′=−−−，令()()h x g x ′=，对()h x 求导，分析可得()g x ′在()1,+∞上有唯一零点1x ，结合已知可得01x x =，则()()0000g x g x ′ = = ，由此可得()()0200013e ln 1101x x x x −−−−+−=−， 令()()()213e ln 111x t x x x x −−−−+−−（1x >）． 再利用导数判断其单调性，结合函数零点的判定可得03x <． 【解答】解：（1）()222211a x x a f x x a x x +− ′−−−−（1x >）， 当212a +≤，即0a ≤时，()0f x ′>在()1,+∞上恒成立，()f x 在()1,+∞上单调递增； 当212a +>，即0a >时，若21,2a x + ∈ ，则()0f x ′<，若2,2a x + ∈+∞，则()0f x ′>， ∴()f x 在21,2a + 上单调递减，在2,2a ++∞上单调递增； （2）函数()()()()()222e 1ln 1e ln 12x x g x f x x a x ax x a −−=+−+−−=−−−+． 则()21e 1x g x a x −′=−−−，易知()g x ′在()1,+∞上单调递增，当1x >且1x →时，()g x ′→−∞，x →+∞，()g x ′→+∞， ∴()g x ′在()1,+∞上有唯一零点1x ，当()11,x x ∈时，()0g x ′<，当()1,x x ∈+∞时，()0g x ′>． ∴()()1min g x g x =，由已知函数()g x 有且只有一个零点0x ，则01x x =． ∴()()0000g x g x ′ = = ，即()0022001e 01e ln 120x x a x ax x a −− −−= − −−−+=， 消a 得，()000222000011e ln 1e 2e 011x x x x x x x −−−−−−−+−= −−， ()()0200013e ln 1101x x x x −−−−+−=−， 令()()()213e ln 111x t x x x x −−−−+−−（1x >）． 则()()()2212e 1x t x x x −′=−+−． ∴()1,2x ∈时，()0t x ′>，()2,x ∈+∞时，()0t x ′<． ∴()t x 在()2,+∞上单调递减． ∵()210t =>，()13ln 202t =−+<， ∴()t x 在()2,3上有一个零点，在()3,+∞上无零点． 若()t x 在()1,2上有一个零点，则该零点必小于3． 综上，03x <．【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查了推理能力与计算能力，属于难题．【第17题】（2019•大庆二模）已知函数()22ln f x x a x =−（a ∈R ）． （1）当12a =时，点M 在函数()y f x =的图象上运动，直线2y x =−与函数()y f x =的图象不相交，求点M 到直线2y x =−距离的最小值； （2）讨论函数()f x 零点的个数，并说明理由．【分析】（1）首先写出函数的定义域，对函数求导，分析在什么情况下满足距离最小，构造等量关系式，求解，得到对应的点的坐标，之后应用点到直线的距离公式进行求解即可；（2）对函数求导，分情况讨论函数的单调性，依次得出函数零点的个数． 【解答】解：（1）()f x 的定义域为()0,+∞， 12a =时，()2ln f x x x =−，()12f x x x ′=−，令()1f x ′=，解得：1x =或12x =−，又()11f =，故图像上的点到直线20x y −−=的距离的最小值即为点()1,1M 到直线20x y −−=的距离，其距离d（2）由()0f x =，得22ln x a x =（0x >且1x ≠），设()2ln x g x x=（0x >且1x ≠），2y a =， 问题转化为讨论()y g x =的图象和2y a =的图象的交点个数问题， ()()22ln 1ln x x g x x−′=，（0x >且1x ≠），令()0g x ′=，解得x ，当01x <<或1x <<时，()0g x ′<，当x 时，()0g x ′>，故()g x 在()0,1，(递减，在)+∞递增，故()2e g x g =极小值，又01x <<时，()0g x <，当1x >时，()0g x >，故当20a <或22e a =即0a <或e a =时，直线2y a =与函数()y g x =的图象有1个交点， 当22e a >即e a >时，有2个交点， 当0e a ≤<时没有交点，故函数()f x 当0a <或e a =时1个零点，当0a <或e a =时2个零点，0e a ≤<时没有零点．【点评】该题考查的是有关应用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有图象上的点到直线的距离的最小值的求解，导数的几何意义，应用导数研究函数的零点的问题，注意对分类讨论思想的应用，要做到不重不漏，属于较难题目．【第18题】（2018秋•周口期末）已知函数()22ln f x ax x =−（a ∈R ）． （1）讨论函数()f x 的单调性； （2）当21e a =时，若函数()y f x =的两个零点分别为1x ，2x （12x x <），证明：()12ln ln 21x x +>+．【分析】（1）求函数的定义域和函数的导数，分0a ≤和0a >分类讨论函数的单调性即可；（2）欲证()12ln ln 21x x +>+，只需证122e x x +>，即证122e x x >−，只需证()()212e 0f x f x −>=，将()22e f x −表示出来化简整理并构造函数()()442ln 2ln 2e 1etg t t =−+−−，由函数()g t 的单调性即可证明． 【解答】解：（1）易知()f x 的定义域是()0,+∞，()()22122ax f x ax x x−′=−=， 当0a ≤时，()0f x ′<，()f x 在()0,+∞递减，当0a >时，令()0f x ′>，解得x >，故()f x 在 递减，在 +∞递增； （2）证明：当21ea =时，()222ln e x f x x =−，由（1）知()()min e 1f x f ==−，且()10,e x ∈，()2e,x ∈+∞，又由()2e 22ln 20f =−>知22e x <，即()2e,2e x ∈，故()22e 0,e x −∈，由()222222ln 0e x f x x =−=，得22222e ln x x =，故()()()()222222222e 42e 2ln 2e 42ln 2ln 2e eex x f x x x x −−=−−=−+−−，()2e,2e x ∈，令()()442ln 2ln 2e etg t t t =−+−−，()e,2e t ∈， 则()()()24e 0e 2e t g t t t −′=>−， 故()g t 在()e,2e 递增，故()()e 0g t g >=，即()()212e 0f x f x −>=， 又()f x 在()0,e 上单调递减，故212e x x −<，即()12ln ln 21x x +>+．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想考查不等式的证明，是一道综合题．（2018秋•咸阳期末）已知函数()221ln 2f x x a x =−（0a >）． （1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 在[]1,e 上没有零点，求a 的取值范围．【分析】（1）求出()f x ′，解不等式()0f x ′>，()0f x ′<，即可求出()f x 的单调区间； （2）用导数求出函数()f x 在区间[]1,e 上没有零点，只需在[]1,e 上()min 0f x >或()max 0f x <，分类讨论，根据导数和函数的最值得关系即可求出．【解答】解：（1）()222a x a f x x x x −′=−=（0x >）， 令()0f x ′>，解得x a >；令()0f x ′<，解得0x a <<， ∴函数()f x 的单调增区间为(),a +∞，单调减区间为()0,a ．（2）要使()f x 在[]1,e 上没有零点，只需在[]1,e 上()min 0f x >或()max 0f x <， 又()1102f =>，只需在区间[]1,e 上，()min 0f x >． ①当e a ≥时，()f x 在区间[]1,e 上单调递减，则()()22min 1e e 02f x f a ==−>，解得0a <<与e a ≥矛盾． ②当1e a <<时，()f x 在区间[)1,a 上单调递减，在区间(],e a 上单调递增， ()()()2min 112ln 02f x f a a a ==−>，解得0a <1a <③当01a <≤时，()f x 在区间[]1,e 上单调递增，()()min 10f x f =>，满足题意， 综上所述，实数a 的取值范围是：0a <<【点评】本题是导数在函数中的综合运用，考查运用导数求单调区间，求极值，求最值，考查分类讨论的思想方法，同时应注意在闭区间内只有一个极值，则一定为最值的结论的运用．（2018秋•芜湖期末）已知函数()2ln 1f x x a x =−−（a ∈R ）． （1）求()f x 的极值点；（2）若函数()f x 在区间()0,1内无零点，求a 的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，从而确定是否存在零点，进而判断a 的范围．【解答】解：（1）()222a x a f x x x x −′=−=（0x >），当0a ≤时，()0f x ′>，()f x 在()0,+∞递增，当0a >时，令()0f x ′>，解得x >，故()f x 在 递减，在 +∞ 递增，故x =是极小值点，无极大值点； （2）()22x af x x −′=（01x <<）， ∵01x <<，∴2022x <<，当0a ≤时，()0f x ′>，()f x 在()0,1递增， 故()()10f x f <=，函数无零点，符合题意； 当2a ≥时，()0f x ′<，()f x 在()0,1递减， 故()()10f x f >=，函数无零点，符合题意；当02a <<时，存在()00,1x =，使得()00f x ′=，故()f x 在 递减，在递增，又10e1a−<<，1e 0a f −> ，()10f f <=， 故()f x 在()0,1有零点，不合题意；综上，若函数()f x 在区间()0,1内无零点，则2a ≥或0a ≤．【点评】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及函数零点问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
导函数复习题及答案
导函数复习题及答案1. 定义：若函数f(x)在点x=a处可导，则称f(x)在x=a处的导数为导函数，记作f'(a)。
请给出导数的定义式。
2. 基本导数公式：列出几个常见的导数公式。
3. 导数的几何意义：解释导数在几何上的直观含义。
4. 导数的运算法则：给出求导的四则运算法则。
5. 高阶导数：解释什么是高阶导数，并给出一个例子。
6. 复合函数的导数：使用链式法则求复合函数的导数。
7. 隐函数的导数：给出隐函数求导的一般步骤。
8. 应用题：给定一个函数f(x)=x^3-2x^2+x+5，求其在x=2处的导数。
9. 应用题：若某物体的速度函数v(t)=t^2-3t+2，求其在t=1时的加速度。
10. 应用题：给定一个函数f(x)=sin(x)+cos(x)，求其导数f'(x)。
答案1. 定义：若极限\( \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \)存在，则称f(x)在x=a处可导，该极限值即为f(x)在x=a处的导数，记作\( f'(a) \)。
2. 基本导数公式：- \( \frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1} \)（幂函数）- \( \frac{d}{dx}e^x = e^x \)（指数函数）- \( \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x} \)（自然对数函数）- \( \frac{d}{dx}\sin(x) = \cos(x) \)- \( \frac{d}{dx}\cos(x) = -\sin(x) \)3. 导数的几何意义：导数在几何上表示函数在某点的切线斜率。
4. 导数的运算法则：- \( \frac{d}{dx}(kf(x)) = k\frac{d}{dx}f(x) \)（常数倍） - \( \frac{d}{dx}(f(x) \pm g(x)) = \frac{d}{dx}f(x) \pm\frac{d}{dx}g(x) \)（和差）- \( \frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f(x)\frac{d}{dx}g(x) +g(x)\frac{d}{dx}f(x) \)（乘积）- \( \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) =\frac{\frac{d}{dx}f(x)g(x) - f(x)\frac{d}{dx}g(x)}{g(x)^2} \)（商）5. 高阶导数：例如，若f'(x)存在，则f''(x)表示f'(x)的导数，称为二阶导数。
导数数学试题及答案
导数数学试题及答案一、选择题1. 函数 \( f(x) = 3x^2 + 2x - 5 \) 的导数是：A. \( 6x + 4 \)B. \( 6x^2 + 2 \)C. \( 3x + 2 \)D. \( 6x - 1 \)2. 如果 \( f(x) \) 的导数为 \( f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 8x - 10 \)，那么 \( f'(1) \) 的值是：A. -2B. 0C. 2D. 4二、填空题3. 求函数 \( g(x) = x^3 - 4x + 1 \) 的导数，并计算 \( g'(2) \) 。
\( g'(x) = \) ________ ， \( g'(2) = \) ________ 。
4. 若 \( h(t) = t^4 + 3t^2 + 2 \)，求 \( h'(t) \) 。
\( h'(t) = \) ________ 。
三、解答题5. 已知 \( f(x) = \ln(x) + 2x \)，求 \( f'(x) \) 并找出\( f'(x) \) 的零点。
6. 给定函数 \( y = \frac{1}{x} \)，求其导数，并讨论其在 \( x= 1 \) 处的切线斜率。
四、应用题7. 一个物体从静止开始，其速度随时间变化的函数为 \( v(t) =3t^2 - 2t \)，求其加速度函数 \( a(t) \) 并计算 \( t = 2 \) 秒时的加速度。
8. 一个物体在 \( x \) 轴上的位移函数为 \( s(x) = x^3 - 6x^2 + 11x + 10 \)，求其速度函数 \( v(x) \) 并找出 \( x = 2 \) 时的速度。
答案：一、选择题1. A. \( 6x + 4 \)2. C. 2二、填空题3. \( g'(x) = 3x^2 - 4 \) ， \( g'(2) = 8 \)4. \( h'(t) = 12t^3 + 6t \)三、解答题5. \( f'(x) = \frac{1}{x} + 2 \)，令 \( f'(x) = 0 \) 解得\( x = 1 \)。
求导练习题带答案
求导练习题带答案求导是微积分中的一项基本技能，它可以帮助我们理解函数的变化率以及找到函数的极值点。
以下是一些求导的练习题及其答案，适合初学者练习。
练习题1：求函数 f(x) = x^3 的导数。
解：根据幂函数的求导法则，对于函数 f(x) = x^n，其导数为 f'(x) = n * x^(n-1)。
因此，对于 f(x) = x^3，我们有 f'(x) = 3 *x^(3-1) = 3x^2。
练习题2：求函数 g(x) = sin(x) 的导数。
解：根据三角函数的求导法则，sin(x) 的导数是 cos(x)。
所以，g'(x) = cos(x)。
练习题3：求函数 h(x) = 2x^2 + 3x - 1 的导数。
解：根据多项式的求导法则，我们可以分别对每一项求导，然后将结果相加。
对于 h(x) = 2x^2 + 3x - 1，我们有 h'(x) = 2 * 2x^(2-1) + 3 * 1x^(1-1) - 0 = 4x + 3。
练习题4：求函数 k(x) = (x^2 - 1)^3 的导数。
解：这里我们使用链式法则和幂函数的求导法则。
首先，设 u = x^2- 1，那么 k(x) = u^3。
u 的导数是 u' = 2x，而 u^3 的导数是3u^2。
应用链式法则，我们得到 k'(x) = 3u^2 * u' = 3(x^2 - 1)^2 * 2x = 6x(x^2 - 1)。
练习题5：求函数 m(x) = e^x 的导数。
解：根据指数函数的求导法则，e^x 的导数是它自身。
所以，m'(x) = e^x。
练习题6：求函数 n(x) = ln(x) 的导数。
解：自然对数函数 ln(x) 的导数是 1/x。
因此，n'(x) = 1/x。
练习题7：求函数 p(x) = (3x - 2)^5 的导数。
解：使用链式法则和幂函数的求导法则。
导数大题经典练习及答案
导数大题专题训练1．已知f(x)＝xlnx－ax，g(x)＝－x2－2，(Ⅰ)对一切x∈(0，＋∞)，f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围；(Ⅱ)当a＝－1时，求函数f(x)在[m，m＋3](m＞0)上的最值；(Ⅲ)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有lnx＋1＞成立．2、已知函数.（Ⅰ）若曲线y=f (x)在点P（1，f (1)）处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f (x)的单调区间；（Ⅱ）若对于都有f (x)＞2(a―1)成立，试求a的取值范围；（Ⅲ）记g (x)=f (x)+x―b（b∈R）.当a=1时，函数g (x)在区间[e―1，e]上有两个零点，求实数b的取值范围.3．设函数f (x)=lnx+(x－a)2，a∈R.（Ⅰ）若a=0，求函数f (x)在[1，e]上的最小值；（Ⅱ）若函数f (x)在上存在单调递增区间，试求实数a的取值范围；（Ⅲ）求函数f (x)的极值点.4、已知函数.(Ⅰ)若曲线在和处的切线互相平行，求的值；(Ⅱ)求的单调区间；(Ⅲ)设，若对任意，均存在，使得，求的取值范围.5、已知函数(Ⅰ)若曲线y＝f(x)在点P(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋2垂直，求函数y＝f(x)的单调区间；(Ⅱ)若对于任意成立，试求a的取值范围；(Ⅲ)记g(x)＝f(x)＋x－b(b∈R).当a＝1时，函数g(x)在区间上有两个零点，求实数b的取值范围．6、已知函数．(1)若函数在区间(其中)上存在极值，求实数a的取值范围；(2)如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围．1.解：(Ⅰ)对一切恒成立，即恒成立.也就是在恒成立；令，则，在上，在上，因此，在处取极小值，也是最小值，即，所以.(Ⅱ)当，，由得.①当时，在上，在上因此，在处取得极小值，也是最小值. .由于因此，②当，，因此上单调递增，所以，……9分(Ⅲ)证明：问题等价于证明由(Ⅱ)知时，的最小值是，当且仅当时取得，设，则，易知，当且仅当时取到，但从而可知对一切，都有成立.2、解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1.函数f (x)的定义域为（0，+∞），因为，所以，所以a=1.所以. .由解得x＞0；由解得0＜x＜2. 所以f (x)的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）（Ⅱ），由解得；由解得.所以f (x)在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以当时，函数f (x)取得最小值，. 因为对于都有成立，所以即可. 则.由解得.所以a的取值范围是.（Ⅲ）依题得，则.由解得x＞1；由解得0＜x＜1.所以函数在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数.又因为函数在区间[e－1，e]上有两个零点，所以.解得.所以b的取值范围是.3．解：（Ⅰ）f (x)的定义域为（0，+∞）. 因为，所以f (x)在[1，e]上是增函数，当x=1时，f (x)取得最小值f (1)=1.所以f (x)在[1，e]上的最小值为1.（Ⅱ）解法一：设g (x)=2x2―2ax+1，依题意，在区间上存在子区间使得不等式g (x)＞0成立. 注意到抛物线g (x)=2x2―2ax+1开口向上，所以只要g (2)＞0，或即可由g (2)＞0，即8―4a+1＞0，得，由，即，得，所以，所以实数a的取值范围是.解法二：，依题意得，在区间上存在子区间使不等式2x2―2ax+1＞0成立.又因为x＞0，所以.设，所以2a小于函数g (x)在区间的最大值.又因为，由解得；由解得.所以函数g (x)在区间上递增，在区间上递减.所以函数g (x)在，或x=2处取得最大值.又，，所以，所以实数a的取值范围是.（Ⅲ）因为，令h (x)=2x2―2ax+1①显然，当a≤0时，在（0，+∞）上h (x)＞0恒成立，f (x)＞0，此时函数f (x)没有极值点；②当a＞0时，（i）当Δ≤0，即时，在（0，+∞）上h (x)≥0恒成立，这时f (x)≥0，此时，函数f (x)没有极值点；（ii）当Δ＞0时，即时，易知，当时，h (x)＜0，这时f (x)＜0；当或时，h (x)＞0，这时f (x)＞0；所以，当时，是函数f (x)的极大值点；是函数f (x)的极小值点.综上，当时，函数f (x)没有极值点；当时，是函数f (x)的极大值点；是函数f (x)的极小值点.4．解：. (Ⅰ)，解得.(Ⅱ).①当时，，，在区间上，；在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是.②当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.③当时，，故的单调递增区间是.④当时，，在区间和上，；在区间上，故的单调递增区间是和，单调递减区间是.(Ⅲ)由已知，在上有.由已知，，由(Ⅱ)可知，①当时，在上单调递增，故，所以，，解得，故.②当时，在上单调递增，在上单调递减，故.由可知，，，所以，，，综上所述，.5、解：(Ⅰ)直线y＝x＋2的斜率为1，函数f(x)的定义域为因为，所以，所以a＝1，所以由解得x＞2 ；由解得0＜x＜2所以f(x)得单调增区间是，单调减区间是(Ⅱ)，由解得由解得所以f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减所以当时，函数f(x)取得最小值因为对于任意成立，所以即可则，由解得；所以a得取值范围是(Ⅲ)依题意得，则由解得x＞1，由解得0＜x＜1所以函数g(x)在区间上有两个零点，所以解得所以b得取值范围是6、解：(1)因为，，则，当时，；当时，．∴在上单调递增；在上单调递减，∴函数在处取得极大值．………3分∵函数在区间(其中)上存在极值，∴解得．(2)不等式，即为，记∴，…9分令，则，∵，∴，∴在上递增，∴，从而，故在上也单调递增，∴，∴．。
导数高中试题及解析答案
导数高中试题及解析答案1. 计算函数 \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) 在 \( x = 1 \) 处的导数。
解析：首先，我们需要找到函数 \( f(x) \) 的导数。
根据导数的定义，我们有：\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x) \]对每一项分别求导，我们得到：\[ f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \]现在，将 \( x = 1 \) 代入 \( f'(x) \) 得到：\[ f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 2 = 3 - 6 + 2 = -1 \]答案：函数 \( f(x) \) 在 \( x = 1 \) 处的导数为 \( -1 \)。
2. 已知函数 \( g(x) = \sin(x) \)，求 \( g'(x) \)。
解析：根据三角函数的导数规则，我们知道 \( \sin(x) \) 的导数是\( \cos(x) \)。
因此，我们可以直接写出 \( g(x) \) 的导数：\[ g'(x) = \cos(x) \]答案：函数 \( g(x) \) 的导数是 \( \cos(x) \)。
3. 计算复合函数 \( h(x) = (x^2 - 1)^4 \) 的导数。
解析：这是一个复合函数，我们可以使用链式法则来求导。
首先，设\( u = x^2 - 1 \)，那么 \( h(x) = u^4 \)。
对 \( u \) 求导得到：\[ u' = \frac{d}{dx}(x^2 - 1) = 2x \]然后，对 \( h(x) \) 求导：\[ h'(x) = \frac{d}{dx}(u^4) = 4u^3 \cdot u' = 4(x^2 - 1)^3\cdot 2x \]答案：复合函数 \( h(x) \) 的导数是 \( 8x(x^2 - 1)^3 \)。
导数考试题型及答案详解
导数考试题型及答案详解一、选择题1. 函数f(x) = x^2 + 3x + 2的导数是：A. 2x + 3B. x^2 + 2C. 2x + 6D. 3x + 2答案：A2. 若f(x) = sin(x)，则f'(π/4)的值是：A. 1B. √2/2C. -1D. -√2/2答案：B二、填空题1. 求函数g(x) = x^3 - 2x^2 + x的导数，g'(x) = __________。
答案：3x^2 - 4x + 12. 若h(x) = cos(x)，求h'(x) = __________。
答案：-sin(x)三、解答题1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的导数，并求f'(2)的值。
解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
然后将x = 2代入得到f'(2) = 3 * 2^2 - 12 * 2 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3。
2. 已知函数y = ln(x)，求y'。
解：根据对数函数的导数公式，y' = 1/x。
四、证明题1. 证明：若函数f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
证明：根据幂函数的导数公式，对于任意实数n，有f'(x) = n * x^(n-1)。
五、应用题1. 某物体的位移函数为s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 5，求该物体在t = 3时的瞬时速度。
解：首先求位移函数的导数s'(t) = 3t^2 - 12t + 9。
然后将t = 3代入得到s'(3) = 3 * 3^2 - 12 * 3 + 9 = 27 - 36 + 9 = 0。
因此，该物体在t = 3时的瞬时速度为0。
六、综合题1. 已知函数f(x) = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 5，求f'(x)，并求曲线y = f(x)在点(1, f(1))处的切线斜率。
导数应用精选50题(含有答案)
C.2
D. 3
2
13.对于三次函数 f (x) ax3 bx2 cx d （ a 0 ），定义：设 f (x) 是函数 y f (x) 的
导数，若方程 f (x) 0 有实数解 x0，则称点（x0，（f x0））为函数 y f (x) 的“拐点”．有
同学发现:“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’
)
99
A. a b c
B. c > b > a
C. c > a > b
D. a > c > b
10. f (x)是函数f (x)的导函数, 将y f (x)和y f (x) 的图象画在同一直角坐标系中，不
可能正确的是
()
11.已知函数 y xf (x) 的图象如图 3 所示（其中 f (x) 是函数 f (x) 的导函数）．下面四个图 象中， y f (x) 的图象大致是（ ）
常数 为方程 f (x) = x 的实数根。 (1) 求证：当 x > 时，总有 x > f (x) 成立； (2) 对任意 x1、x2 若满足| x1－ | < 1,| x2－ | < 1,求证：| f (x1)－f (x2)| < 2.
25.（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) ax3 bx2 ，当 x 1 时，有极大值 3 ；
f
( ) ， f 3
(x ) 为 f(x)的导函数，令 a＝
12，b＝log32，则下列关系
正确的是( )
A．f(a)>f(b) B．f(a)<f(b)
C．f(a)＝f(b)
D．f(|a|)<f(b)
16.设在函数 y x sin x cos x 的图象上的点 x0, y0 处的切线斜率为 k，若 k g x0 ，则
高中数学导数精选题目(附答案)
高中数学导数精选题目（附答案）(1)函数的单调性与其导数正负的关系一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常数函数(2)函数图象的变化趋势与导数值大小的关系一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：导数的绝对值函数值变化函数的图象越大快比较“陡峭”(向上或向下)越小慢比较“平缓”(向上或向下)(3)极值点与极值①极小值点与极小值如图，函数f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则称点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．②极大值点与极大值函数f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则称点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．③极值点与极值极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．(4)求可导函数y＝f(x)的极值的方法解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时：①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值．②如果在x0附近的左侧f′(x)<0时，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．(5)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(6)函数最值的求法求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤如下：①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．(7)如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则f(x)有什么特性？答：f(x)为常数函数，不具有单调性．(8)在区间(a，b)内，若f′(x)>0，则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立吗？答：不一定成立．比如y＝x3在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个区间上单调递增的充分不必要条件．(9)下图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调区间是什么？答：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2,1]，[3，＋∞)；单调递减区间：[－3，－2]，[1,3]．(10):若函数f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，则f′(x)满足什么条件？答：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．(11):若函数f(x)在(a，b)上满足f′(x)>0(或f′(x)<0)，则f(x)在(a，b)上具备什么样的单调性？答：若f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上为增函数；若f′(x)<0，则f(x)在(a，b)上为减函数．(12):f′(x)>0或f′(x)<0的解集与函数f(x)的单调区间有什么关系？答：f′(x)>0的解集对应函数f(x)的单调递增区间；f′(x)<0的解集对应函数f(x)的单调递减区间．(13):函数的极大值一定大于极小值吗？答：不一定，课本P27图1.3－11中c处的极小值大于f处的极大值．(14):函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？答：一个．x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点. x1、x3是极大值点．(15)：已知x0是函数f(x)定义域内的一点，当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极大值？当满足什么条件时，f(x0)是f(x)的极小值？答：当f′(x0)＝0，且在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0时，f(x0)是极大值；当f′(x0)＝0，且在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0时，f(x0)是极小值．(16):导数为0的点都是极值点吗？答：不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点．所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反．(17):函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？答：不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点．(18):若a≥f(x)恒成立，则a的取值范围是什么？若a≤f(x)恒成立，则a的取值范围是什么？答：(1)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)ma x.(2)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)mi n.1．(1)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的图象只可能是()2．(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象大致是()(2)函数y＝f(x)在定义域R上有导数，其导函数的图象如图所示，则函数y ＝f(x)的递增区间为____________；递减区间为________________．3．求证：函数f(x)＝e x－x－1在(0，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)内是减函数．利用导数判断函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤(1)求f′(x)；(2)确定f′(x)在(a，b)内的符号；(3)得出结论．4．试证明：函数f(x)＝ln xx在区间(0,2)上是单调递增函数．5．求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x3－2x2＋x；(2)f(x)＝3x2－2l n x.利用导数求函数单调区间的步骤(1)求函数的定义域；(2)求f′(x)，解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)；(3)利用不等式的解集与定义域求交集得单调区间．注意事项：①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行．②如果函数的单调区间有多个时，单调区间不能用“∪”符号连接，只能用“，”或“和”隔开．③导数法求得的单调区间一般用开区间表示．6．求函数f(x)＝e xx－2的单调区间．7．已知函数f(x)＝x3－a x－1.讨论f(x)的单调区间．提示：由题意，可先求f′(x)，然后根据a的取值情况，讨论f′(x)>0或f′(x)<0的解集即可．8．(1)本例中f(x)不变，若f(x)为单调递增函数，求实数a的取值范围；(2)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围；(3)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围；(4)本例中f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的取值范围；(5)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．9．求下列函数的极值：(1)f(x)＝x2e－x; (2)y＝ln x x.10．求下列函数的极值：(1)f(x)＝13x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝2xx2＋1－2.11．已知f(x)＝x3＋3a x2＋b x＋a2在x＝－1时有极值0，求常数a，b的值．12．已知f(x)＝a x3＋b x2＋c x(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．13．求函数f(x)＝x3－3a x＋b(a≠0)的极值．提示：分类讨论a取不同值时，函数的单调性，进而求极值．14．设函数f(x)＝－13x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；(2)求函数f(x)的单调区间与极值15．求下列各函数的最值．(1)f(x)＝－x3＋3x，x∈[－3，3]；(2)f(x)＝x2－54x(x<0)．16．求下列各函数的最值．(1)f(x)＝x3－3x2＋6x－2，x∈[－1,1]；(2)f(x)＝12x＋S i n x，x∈[0,2π]．17．已知函数f(x)＝(4x2＋4a x＋a2)x，其中a<0.(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．18．已知函数f(x)＝a x3－6a x2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．19．已知f(x)＝x l n x，g(x)＝－x2＋a x－3.(1)求函数f(x)的最小值；(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．提示：2f(x)≥g(x)恒成立，可转化为2f(x)－g(x)≥0恒成立，然后利用分离参数法求a的取值范围．(1)a≥f(x)(或≤f(x))恒成立⇔a≥f(x)ma x(或≤f(x)mi n);(2)a≥f(x)(或≤f(x))恒有解⇔a≥f(x)mi n(或≤f(x)ma x)；(3)f(x)≥g(x)恒成立⇔F(x)mi n≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x));(4)f (x )≥g (x )恒有解⇔F (x )ma x ≥0(其中F (x )＝f (x )－g (x ))． 20．设函数f (x )＝x e x－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋1＋2.(1)若a ＝1，求f (x )的单调区间；(2)当x ≥0时，f (x )≥x 2－x ＋2恒成立，求a 的取值范围．参考答案：1.解： (1)由函数的图象可知：当x <0时，函数单调递增，导数始终为正； 当x >0时，函数先增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选D.(2)从f ′(x )的图象可以看出，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内， 导数单调递增； 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，b 内，导数单调递减．即函数f (x )的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ＋b 2内越来越陡，在a ＋b 2，b 内越来越平缓，由此可知，只有选项D 符合．2.解析：选D 因为函数f (x )在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是单调递减的，即f ′(x )<0.解析：由f ′(x )的图象可知，当x ∈(－2，－1)∪(1,3)∪(4，＋∞)时，f ′(x )>0； 当x ∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(3,4)时，f ′(x )<0.故函数f (x )的增区间为(－2，－1)，(1,3)，(4，＋∞)；减区间为(－∞，－2)，(－1,1)，(3,4)．3.解： 由于f (x )＝e x －x －1， 所以f ′(x )＝e x －1，当x ∈(0，＋∞)时，e x ＞1，即f ′(x )＝e x －1>0. 故函数f (x )在(0，＋∞)内为增函数，当x ∈(－∞，0)时，e x <1，即f ′(x )＝e x －1<0. 故函数f (x )在(－∞，0)内为减函数．4.证明：由于f (x )＝ln xx ，所以f ′(x )＝1x ·x －ln x x 2＝1－ln x x 2. 由于0<x <2，所以l n x <l n 2<1， 故f ′(x )＝1－ln xx 2>0，即函数f (x )＝ln xx 在区间(0,2)上是单调递增函数. 5.解： (1)函数的定义域为R ，∵f (x )＝x 3－2x 2＋x ，∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋1. 令f ′(x )>0，解得x >1或x <13.因此f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13，(1，＋∞)．令f ′(x )<0，解得13<x <1.因此f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.(2)函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝6x －2x ＝2·3x 2－1x .令f ′(x )>0，即2·3x 2－1x >0，解得－33<x <0或x >33，又x >0，∴x >33； 令f ′(x )<0，即2·3x 2－1x <0，解得x <－33或0<x <33，又x >0，∴0<x <33. ∴f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞；单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫0，33.6.解：函数f (x )的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)． f ′(x )＝e x (x －2)－e x (x －2)2＝e x (x －3)(x －2)2.因为x ∈(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以e x >0，(x －2)2>0. 由f ′(x )>0得x >3，所以函数f (x )的单调递增区间为(3，＋∞)；由f ′(x )<0得x <3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3). 7.解： f ′(x )＝3x 2－a . (1)当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． (2)当a >0时，令3x 2－a ＝0，得x ＝±3a3.当x >3a 3或x <－3a3时，f ′(x )>0; 当－3a 3<x <3a 3时，f ′(x )<0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数．综上可知， 当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数．当a >0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数．8.解：(1)由已知得f ′(x )＝3x 2－a ， 因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数， 所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立， 即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立． 因为3x 2≥0， 所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0， f (x )＝x 3－1在R 上是增函数， 所以a ≤0.即实数a 的取值范围为(－∞，0]．(2)因为f ′(x )＝3x 2－a ，且f (x )在区间(1，＋∞)上为增函数， 所以f ′(x )≥0在(1，＋∞)恒成立， 即3x 2－a ≥0在(1，＋∞)恒成立， 所以a ≤3x 2在(1，＋∞)恒成立，即a的取值范围为(－∞，3]．(3)由f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x2在x∈(－1,1)恒成立．因为－1<x<1，所以3x2<3，所以a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞)．(4)由例题可知，f(x)的单调递减区间为－3a3，3a3，∴3a3＝1，即a＝3.(5)∵f(x)＝x3－a x－1，∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)，∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0<3a3<1，即0<a<3.故a的取值范围为(0,3)．9.解：(1)函数的定义域为R.f′(x)＝2x e－x－x2e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0.当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝4 e2.(2)函数y＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，y′＝1－ln xx2.令y′＝0，即1－ln xx2＝0，得x＝e.当x变化时，y′，y的变化情况如下表：由表可知，当x＝e时，函数有极大值1 e.10.解：(1)函数的定义域为R，f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点．∴f(x)极大值＝143，f(x)极小值＝－6.(2)函数的定义域为R，f′(x)＝2(x2＋1)－4x2 (x2＋1)2＝－2(x－1)(x＋1)(x2＋1)2.令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可以看出：当x ＝－1时，函数f (x )有极小值，且f (－1)＝－22－2＝－3； 当x ＝1时，函数f (x )有极大值，且f (1)＝22－2＝－1. 11.解： ∵y ＝f (x )在x ＝－1时有极值为0， 且f ′(x )＝3x 2＋6a x ＋b ，∴⎩⎨⎧ f ′(－1)＝0，f (－1)＝0，即⎩⎨⎧3－6a ＋b ＝0，－1＋3a －b ＋a 2＝0. 解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝3或⎩⎨⎧a ＝2，b ＝9.①当a ＝1，b ＝3时，f ′(x )＝3x 2＋6x ＋3＝3(x ＋1)2≥0， y ＝f (x )在R 上为增函数，无极值，故舍去． ②当a ＝2，b ＝9时，f ′(x )＝3x 2＋12x ＋9＝3(x ＋1)(x ＋3)． 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，f (x )在x ＝－1处取极小值且f (－1)＝0. ∴a ＝2，b ＝9.12.解：f ′(x )＝3a x 2＋2b x ＋c ， (1)法一：∵x ＝±1是函数的极值点，∴x ＝±1是方程3a x 2＋2b x ＋c ＝0的两根．由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2b 3a ＝0， ①c 3a ＝－1， ②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1，③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.法二：由f ′(1)＝f ′(－1)＝0，得3a ＋2b ＋c ＝0，① 3a －2b ＋c ＝0，②又f (1)＝－1，∴a ＋b ＋c ＝－1，③ 由①②③解得a ＝12，b ＝0，c ＝－32.(2)f (x )＝12x 3－32x ，∴f ′(x )＝32x 2－32＝32(x －1)(x ＋1)．当x <－1或x >1时f ′(x )>0，当－1<x <1时，f ′(x )<0.∴函数f (x )在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在(－1,1)上是减函数．∴当x ＝－1时，函数取得极大值，x ＝－1为极大值点；当x ＝1时，函数取得极小值，x ＝1为极小值点.13.解： f ′(x )＝3(x 2－a )(a ≠0)，当a <0时，f ′(x )>0恒成立，即函数在(－∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值；当a >0时，令f ′(x )＝0，得x ＝－a 或x ＝a .当x 变化时，f ′(x )与f (x )的变化情况如下表：∴f (x )的极大值为f (－a )＝2a a ＋b ， 极小值为f (a )＝－2a a ＋b .14.解：(1)当m ＝1时，f (x )＝－13x 3＋x 2，f ′(x )＝－x 2＋2x ，故f ′(1)＝1.所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率为1.(2)f ′(x )＝－x 2＋2x ＋m 2－1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1－m 或x ＝1＋m .因为m >0，所以1＋m>1－m.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)，递增区间为(1－m,1＋m)．函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－23m3＋m2－13.函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝23m3＋m2－13.15.解：(1)f′(x)＝3－3x2＝3(1－x)(1＋x)．令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以x＝1和x＝－1是函数在[－3，3]上的两个极点，且f(1)＝2，f(－1)＝－2.又因为f(x)在区间端点处的取值为f(－3)＝0，f(3)＝－18.所以f(x)ma x＝2，f(x)mi n＝－18.(2)f′(x)＝2x＋54x2.令f′(x)＝0得x＝－3.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：所以x ＝－3时，f (x )取得极小值，也就是最小值， 故f (x )的最小值为f (－3)＝27，无最大值．16.解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋6＝3(x 2－2x ＋2)＝3(x －1)2＋3， 因为f ′(x )在[－1,1]内恒大于0， 所以f (x )在[－1,1]上为增函数． 故x ＝－1时，f (x )取最小值为－12， x ＝1时，f (x )取最大值为2. (2)f ′(x )＝12＋co S x ，令f ′(x )＝0， 又x ∈[0,2π]，解得x ＝2π3或x ＝4π3.计算得f (0)＝0，f (2π)＝π，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝π3＋32，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3＝2π3－32.所以当x ＝0时，f (x )有最小值f (0)＝0； 当x ＝2π时，f (x )有最大值f (2π)＝π 17.解： (1)当a ＝－4时，f ′(x )＝2(5x －2)(x －2)x，令f ′(x )>0，得x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25或x ∈(2，＋∞)，故函数f (x )的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25和(2，＋∞)． (2)f ′(x )＝(10x ＋a )(2x ＋a )2x ，a <0，由f ′(x )＝0得x ＝－a 10或x ＝－a2.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 10时，f (x )单调递增；当x ∈－a 10，－a 2时，f (x )单调递减；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，＋∞时，f (x )单调递增． 易知f (x )＝(2x ＋a )2x ≥0，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0.①当－a2≤1，即－2≤a <0时，f (x )在[1,4]上的最小值为f (1)，由f (1)＝4＋4a＋a 2＝8，得a ＝±22－2，均不符合题意．②当1<－a 2≤4，即－8≤a <－2时，此时15<－a 10≤45，f (x )在[1,4]上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝0，不符合题意．③当－a2>4，即a <－8时，f (x )在[1,4]上的最小值可能在x ＝1或x ＝4处取得，而f (1)＝8时没有符合题意的a 值，由f (4)＝2(64＋16a ＋a 2)＝8得a ＝－10或a ＝－6(舍去)，当a ＝－10时，f (x )在(1,4)上单调递减，f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)＝8，符合题意．综上知，a ＝－10.18.解：由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾．f ′(x )＝3a x 2－12a x ＝3a x (x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)．(1)当a >0，且x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f (0)＝3，即b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f (0)＝－29，即b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29.19.解： (1)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝l n x ＋1， 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．所以f (x )mi n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e . (2)2x l n x ≥－x 2＋a x －3，则a ≤2l n x ＋x ＋3x ， 设h (x )＝2l n x ＋x ＋3x (x >0)， 则h ′(x )＝(x ＋3)(x －1)x 2， ①x ∈(0,1)，h ′(x )<0，h (x )单调递减； ②x ∈(1，＋∞)，h ′(x )>0，h (x )单调递增； 所以h (x )mi n ＝h (1)＝4，对一切x ∈(0，＋∞)，2f (x )≥g (x )恒成立， 所以a ≤h (x )mi n ＝4，即a 的取值范围是(－∞，4]． 20.解：(1)∵a ＝1， ∴f (x )＝x e x －x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋1＋2＝x e x －12x 2－x ＋2， ∴f ′(x )＝(e x －1)(x ＋1)， ∴当－1<x <0时，f ′(x )<0; 当x <－1或x >0时，f ′(x )>0，∴f (x )在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增． (2)由f (x )≥x 2－x ＋2，得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －a ＋22x ≥0， 当x ＝0时，显然成立； 当x >0时，即e x x ≥a ＋22恒成立． 记g (x )＝e xx ，则g ′(x )＝e x (x －1)x 2， 当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )是减函数， 当x >1时，g ′(x )>0，g (x )是增函数．∴g(x)的最小值为g(1)＝e，∴a＋22≤e，得a≤2e－2.即a的取值范围是(－∞，2e－2]．。
高中数学导数练习题(分类练习)讲义
导数专题经典例题剖析考点一：求导公式。
1 3例1. f (x)是f(x) x 2x 1的导函数，贝y f(-1)的值是 _______________________________3解析：f' x =x22，所以f' -1 =1^3答案：3考点二：导数的几何意义。
1例2.已知函数y = f(x)的图象在点M (1, f (1)处的切线方程是y x 2，则2f(1) f (1> _______________ 。
1 」1解析：因为k ，所以f' 1 ，由切线过点M(1, f (1))，可得点M的纵坐标为2 25 5-，所以f 1；=—，所以f 1 • f' 1 A32 2答案：33 2例3.曲线y二x -2x -4x 2在点(1,-3)处的切线方程是___________________ 。
解析：y' = 3x2-4x-4，•点(1,-3)处切线的斜率为k=3-4-4 =「5，所以设切线方程为y二_5x b，将点(1, -3)带入切线方程可得 b = 2，所以，过曲线上点(1, - 3) 处的切线方程为：5x，y-2=0答案：5x y -2 =0点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。
考点三：导数的几何意义的应用。
例4•已知曲线C : y =x3 -3x2 2x ,直线l : y =kx，且直线l与曲线C相切于点x0, y0 x0 = 0，求直线l的方程及切点坐标。
解析：；直线过原点，则k 0 X Q = 0 。
由点x 0,y 0在曲线C 上，则 Xy 0 = X Q 3 _ 3X Q 2 2X Q , 西=X Q 2 -3X Q 2。
又 y' = 3x 2 _ 6x 2 , 在X Q-。
所以，直线l 的方程为yx ，切点坐标是 44、 、 1直线I 的方程为y - - — x ， 4本小题考查导数几何意义的应用。
解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在 切线上”这个条件的应用。
导数的概念经典例题
0.03005g 0.01 同理v 23.005g (m / s)。
经典例题透析类型一：求函数的平均变化率21例仁求y 2x 1在X 0到X 0X 之间的平均变化率，并求 X 0 1 , X时平均变化率的值思路点拨：求函数的平均变化率，要紧扣定义式 一丫f （X0一x ）一进行操作.x解析：当变量从X 。
变到X 。
x 时，函数的平均变化率为Xf （X 。
X) 2 2f(X °) [2(X 0X) 1] [2X 0 1]4X 0 2 xXX当X 0 11x —时，平均变化率的值为： 4 12 2 125. 总结升华：解答本题的关键是熟练掌握平均变化率的概念，只要求出平均变化率的表达式， 其他就迎刃而解•举一反三：2 、 ,【变式1】求函数y=5x +6在区间［2，2+ x ］内的平均变化率。
【答案】y 5（2x ）2 6 （5 22 6） 20 x 5 x 2，所以平均变化率为丄 20 5 x 。
x【变式2】已知函数f （x ） x 2，分别计算f （x ）在下列区间上的平均变化率： （1） ［1，3］； （2） ［1，2］； （3） ［1，］； （4） ［1，］•【答案】（1）4；（ 2）3；（ 3）；（4）.一 一 1 2【变式3】自由落体运动的运动方程为 s gt ，计算t 从3s 到，，各段内的平均速度（位移 s 的单位为m ）。
【答案】要求平均速度，就是求 —的值，为此需求出s 、 t 。
t设在［3，］内的平均速度为 V 1，贝Ut 1 3.1 3 0.1（s ）,1 2 12 S s （3.1） s （3） -g 3.12 -g 320.305g （m ）。
所以 v 1 —s10.305g 3.05g （m / s ）。
0.03005g 0.01同理v 23.005g (m / s)。
t 10.1 t 2x(1) f'(4)x线的斜率•【答案】 当x 0.1时类型二：利用定义求导数x(1 .1)一 —x举一反三:【变式1】已知函数y 1 Gxx=4处的导数.-x 上一点P(4, 7)处的切线方程。
高中导数试题题型及答案
高中导数试题题型及答案一、选择题1. 函数 \( y = 3x^2 - 2x + 1 \) 在 \( x = 1 \) 处的导数是：A. 6B. 4C. 5D. 72. 已知 \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \)，其中 \( a = 1 \)，\( b = -1 \)，\( c = 1 \)，求 \( f'(x) \)：A. \( 3x^2 + 2x - 1 \)B. \( 3x^2 + 2x + 1 \)C. \( 3x^2 + 2x \)D. \( 3x^2 + 1 \)二、填空题3. 函数 \( y = x^3 \) 的导数是 ______ 。
答案：\( 3x^2 \)4. 如果 \( f(x) = \sin(x) \)，那么 \( f'(x) \) 是 ______ 。
答案：\( \cos(x) \)三、计算题5. 求函数 \( y = x^4 - 5x^3 + 6x^2 \) 的导数。
答案：\( y' = 4x^3 - 15x^2 + 12x \)6. 已知 \( f(x) = \ln(x) + 2x^2 - 3x \)，求 \( f'(x) \)。
答案：\( f'(x) = \frac{1}{x} + 4x - 3 \)四、应用题7. 某物体的位移函数是 \( s(t) = 2t^3 - 3t^2 + 4t \)，求物体在\( t = 2 \) 秒时的瞬时速度。
答案：首先求导数 \( s'(t) = 6t^2 - 6t + 4 \)，然后将 \( t= 2 \) 代入，得到 \( s'(2) = 6 \times 2^2 - 6 \times 2 + 4 =24 - 12 + 4 = 16 \) 米/秒。
8. 某工厂的产量函数是 \( P(x) = 100x - x^2 \)，求工厂在 \( x= 10 \) 时的边际产量。
初中数学导数题型汇编(含答案)--
重难点突破 | 导数题型汇编角度一：导数的概念及运算【例题1】知函数f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，则曲线y =f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为【解析】由f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，知f (x )＝2x －1x ＝2－1x∴f ′(x )＝1x 2，∴f ′(1)＝1，由导数的几何意义知，所求切线的斜率k ＝1【变式1】已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝ .【解析】由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13.∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0. 【变式2】函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )图象可能是( )【解析】设导函数y ＝f ′(x )与x 轴交点的横坐标从左往右依次为x 1，x 2，x 3， 由导函数y ＝f ′(x )的图象易得当x ∈(－∞，x 1)∪(x 2，x 3)时，f ′(x )<0； 当x ∈(x 1，x 2)∪(x 3，＋∞)时，f ′(x )>0(其中x 1<0<x 2<x 3)，函数f (x )在(－∞，x 1)，(x 2，x 3)上递减，在(x 1，x 2)，(x 3，＋∞)上递增，选D角度二：求不含参数函数的单调性【例题2】定义在区间(－π，π)上的函数f (x )＝x sin x ＋cos x ，则f (x )单调递增区间是____【分析】确定函数单调区间的步骤：(1)确定函数f (x )的定义域．(2)求f ′(x )．(3)解不等式 f ′(x )>0，得到单调递增区间．(4)解不等式f ′(x )<0，得到单调递减区间． 【解析】f ′(x )＝sin x ＋x cos x －sin x ＝x cos x .令f ′(x )＝x cos x >0，则其在区间(－π，π)上的解集为⎝⎛⎭⎫－π，－π2∪⎝⎛⎭⎫0，π2， 即f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π，－π2和⎝⎛⎭⎫0，π2.【变式3】已知函数f (x )＝(－x 2＋2x )e x (x ∈R ，e 为自然对数的底数)，则函数f (x )的单调递增区间为________.【解析】因为f (x )＝(－x 2＋2x )e x ，所以f ′(x )＝(－2x ＋2)e x ＋(－x 2＋2x )e x ＝(－x 2＋2)e x . 令f ′(x )>0，即(－x 2＋2)e x >0，因为e x >0，所以－x 2＋2>0，解得－2<x <2， 所以函数f (x )的单调递增区间为(－2，2). 【变式4】已知函数f (x )＝x 4＋a x －ln x －32，其中a ∈R ，且曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x .(1)求a 的值；(2)求函数f (x )的单调区间. 【解析】(1)对f (x )求导得f ′(x )＝14－a x 2－1x，由f (x )在点(1，f (1))处的切线垂直于直线y ＝12x 知f ′(1)＝－34－a ＝－2，得a ＝54.(2)由(1)知f (x )＝x 4＋54x －ln x －32(x >0).则f ′(x )＝x 2－4x －54x 2.令f ′(x )＝0，且x >0，∴x ＝5(x ＝－1舍去).当x ∈(0，5)时，f ′(x )<0；当x >5时，f ′(x )>0. 所以函数f (x )的增区间为(5，＋∞)，减区间为(0，5).角度三：讨论含参数函数的单调性【例题3】已知函数f (x )＝x 2e－ax－1(a 是常数)，求函数y ＝f (x )的单调区间【分析】(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 【解析】当a ＝0时，f (x )＝x 2－1，函数在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减． 当a ≠0时，f ′(x )＝2x e－ax＋x 2(－a )e－ax＝e－ax(－ax 2＋2x )．因为e－ax>0，所以令g (x )＝－ax 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝2a.①当a >0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在(－∞，0)和⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞上有g (x )<0，即f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤0，2a 上有g (x )≥0， 即f ′(x )≥0，函数y ＝f (x )单调递增．②当a <0时，函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎝⎛⎭⎫－∞，2a 和(0，＋∞)上有g (x )>0，即f ′(x )>0，函数y ＝f (x )递增；函数g (x )＝－ax 2＋2x 在⎣⎡⎦⎤2a ，0上有g (x )≤0，即f ′(x )≤0，函数y ＝f (x )递减． 综上所述，当a ＝0时，函数y ＝f (x )单调递增区间为(0，＋∞)，单调递减区间为(－∞，0)； 当a >0时，函数y ＝f (x )的单调递减区间为(－∞，0)，⎝⎛⎭⎫2a ，＋∞，单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，2a ； 当a <0时，函数y ＝f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－∞，2a ，(0，＋∞)，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤2a ，0.【变式5】若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值 范围是________.【解析】对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a . 当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )的最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a .令29＋2a >0，解得a >－19. 所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞.【变式6】函数f (x )＝bex －1(b ∈R )在点(0，f (0))处切线经过点(2，－2)．讨论函数F (x )＝f (x )＋ax (a ∈R )的单调性．【解析】f (0)＝b －1，过点(0，b －1)，(2，－2)直线斜率k ＝b －1－(－2)0－2＝－b ＋12，而f ′(x )＝－b e x ，，f ′(0)＝－b ＝－b ＋12，所以b ＝1，f (x )＝1e x －1.则F (x )＝ax ＋1e x －1，F ′(x )＝a －1ex ，当a ≤0时，F ′(x )<0恒成立；当a >0时，由F ′(x )<0，得x <－ln a ，由F ′(x )>0，得x >－ln a .故当a ≤0时，函数F (x )在R 上单调递减；当a >0时，函数F (x )在(－∞，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增． 【变式7】已知函数f (x )＝12ax 2－(a ＋1)x ＋ln x (a >0)，讨论函数f (x )的单调性．【解析】f ′(x )＝ax －(a ＋1)＋1x ＝(ax －1)(x －1)x(x >0)，①当0<a <1时，1a >1，由f ′(x )>0，解得x >1a 或0<x <1，由f ′(x )<0，解得1<x <1a .②当a ＝1时，f ′(x )≥0在(0，＋∞)上恒成立．③当a >1时，0<1a <1，由f ′(x )>0，解得x >1或0<x <1a ，由f ′(x )<0，解得1a<x <1.综上，当0<a <1时，f (x )在⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞和(0,1)上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1，1a 上单调递减； 当a ＝1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增，当a >1时，f (x )在(1，＋∞)和⎝⎛⎭⎫0，1a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫1a ，1上单调递减．角度四：利用单调性求参数的取值范围【例题4】已知函数f (x )＝ln x ，g (x )＝12ax 2＋2x (a ≠0)．(1)若函数h (x )＝f (x )－g (x )存在单调递减区间，求a 的取值范围； (2)若函数h (x )＝f (x )－g (x )在[1,4]上单调递减，求a 的取值范围． 【解析】(1)h (x )＝ln x －12ax 2－2x ，x ∈(0，＋∞)，所以h ′(x )＝1x －ax －2，由于h (x )在(0，＋∞)上存在单调递减区间，所以当x ∈(0，＋∞)时，1x －ax －2<0有解，即a >1x 2－2x有解．设G (x )＝1x 2－2x ，所以只要a >G (x )min 即可．而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1，所以G (x )min ＝－1. 所以a >－1.又因为a ≠0，所以a 的取值范围为(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)因为h (x )在[1,4]上单调递减，所以当x ∈[1,4]时，h ′(x )＝1x－ax －2≤0恒成立，即a ≥1x 2－2x 恒成立．由(1)知G (x )＝1x 2－2x ，所以a ≥G (x )max ，而G (x )＝⎝⎛⎭⎫1x －12－1， 因为x ∈[1,4]，所以1x ∈⎣⎡⎦⎤14，1，所以G (x )max ＝－716(此时x ＝4)， 所以a ≥－716，又因为a ≠0，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－716，0∪(0，＋∞)． 【变式8】函数f (x )＝x ln x －ax 2在(0，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________【解析】f ′(x )＝ln x －2ax ＋1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递减，则ln x －2ax ＋1≤0在(0，＋∞)上恒成立，即a ≥ln x ＋12x 在(0，＋∞)上恒成立．令g (x )＝ln x ＋12x ，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x )＝－ln x2x 2，令g ′(x )>0，解得0<x <1，令g ′(x )<0，解得x >1， 故g (x )在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 故g (x )max ＝g (1)＝12，故a ≥12.【变式9】若函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2ax 在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上存在单调递增区间，则a 的取值 范围是________．【解析】对f (x )求导，得f ′(x )＝－x 2＋x ＋2a ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14＋2a . 由题意知，f ′(x )>0在⎣⎡⎭⎫23，＋∞上有解，当x ∈⎣⎡⎭⎫23，＋∞时，f ′(x )最大值为f ′⎝⎛⎭⎫23＝29＋2a . 令29＋2a >0，解得a >－19，所以a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－19，＋∞.【变式10】 若函数f (x )＝x －13sin 2x ＋a sin x 在(－∞，＋∞)单调递增，则a 的取值范围是________.【解析】f ′(x )＝1－23cos 2x ＋a cos x ＝＝－43cos 2 x ＋a cos x ＋53，f (x )在R 上单调递增，则f ′(x )≥0在R 上恒成立.令cos x ＝t ，t ∈[－1，1]，则－43t 2＋at ＋53≥0在[－1，1]上恒成立，即4t 2－3at －5≤0在t ∈[－1，1]上恒成立.令g (t )＝4t 2－3at －5，则⎩⎪⎨⎪⎧g （1）＝4－3a －5≤0，g （－1）＝4＋3a －5≤0，解得－13≤a ≤13.【变式11】 若函数f (x )＝ax 3＋3x 2－x 恰好有三个单调区间，则实数a 范围是____ 【解析】易知f ′(x )＝3ax 2＋6x －1，由函数f (x )恰好有三个单调区间，得f ′(x )＝0有2个不同的实根. 需满足a ≠0，且Δ＝36＋12a >0，解得a >－3， 所以实数a 的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞).角度五：根据图象定性判定极值问题【例题5】设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2) 【解析】由题图可知，当x <－2时，f ′(x )>0；当－2<x <1时，f ′(x )<0；当1<x <2时，f ′(x )<0；当x >2时，f ′(x )>0. 由此可以得到函数f (x )在x ＝－2处取得极大值，在x ＝2处取得极小值．【变式12】 函数f (x )的定义域为R ，导函数f ′(x )的图象如图所示，则函数f (x )( )A ．无极大值点、有四个极小值点B ．有三个极大值点、一个极小值点C ．有两个极大值点、两个极小值点D ．有四个极大值点、无极小值点【解析】设f ′(x )的图象与x 轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x 1，x 2，x 3，x 4. 当x <x 1时，f ′(x )>0，f (x )为增函数，当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0，f (x )为减函数， 则x ＝x 1为极大值点，同理，x ＝x 3为极大值点，x ＝x 2，x ＝x 4为极小值点，故选C.角度六：处理含参（不含参）函数的极值（最值）【例题6】函数f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，若函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切.(1)求实数a ，b 的值；(2)求函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最大值. 【解析】(1)由f (x )＝a ln x －bx 2(x >0)，得f ′(x )＝ax－2bx ，∵函数f (x )在x ＝1处与直线y ＝－12相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′（1）＝a －2b ＝0，f （1）＝－b ＝－12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝12. (2)由(1)知，f (x )＝ln x －12x 2，则f ′(x )＝1x －x ＝1－x 2x ，当1e ≤x ≤e 时，令f ′(x )>0，得1e≤x <1， 令f ′(x )<0，得1<x ≤e ，∴f (x )在⎣⎡⎭⎫1e ，1上单调递增；在(1，e]上单调递减， ∴f (x )max ＝f (1)＝－12.【变式13】 函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R ).讨论函数f (x )在定义域内极值点的个数.【分析】运用导数求可导函数y ＝f (x )的极值的一般步骤：(1)先求函数y ＝f (x )的定义域，再求其导数f ′(x )；(2)求方程f ′(x )＝0的根；(3)检查导数f ′(x )在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值.特别注意：导数为零的点不一定是极值点.【解析】函数的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －a ＝1－ax x (x >0).当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，即函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点；当a >0时，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1a 时，f ′(x )>0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞时，f ′(x )<0， 故函数在x ＝1a 处有极大值.综上可知，当a ≤0时，函数f (x )无极值点，当a >0时，函数y ＝f (x )有一个极大值点，且为x ＝1a .【变式14】 已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a >0时，求函数f (x )在[1,2]上的最小值．【分析】求最值一般步骤：第一步：(求导数)求函数f (x )的导数f ′(x )；第二步：(求极值)求 f (x )在给定区间上的单调性和极值；第三步：(求端点值)求f (x )在给定区间上的端点值； 第四步：(求最值)将f (x )的各极值与f (x )的端点值进比较，确定f (x )的最大值与最小值； 【解析】(1)f ′(x )＝1x－a (x >0)，①当a ≤0时，f ′(x )＝1x －a >0，即函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)②当a >0时，令f ′(x )＝1x －a ＝0，可得x ＝1a，当0<x <1a 时，f ′(x )＝1－ax x >0；当x >1a 时，f ′(x )＝1－ax x <0，故函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ 综上可知，当a ≤0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)；当a >0时，函数f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，1a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫1a ，＋∞ (2)①当1a ≤1，即a ≥1时，函数f (x )在[1,2]上是减函数，所以f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a .②当1a ≥2，即0<a ≤12时，函数f (x )在[1,2]上是增函数，所以f (x )的最小值是f (1)＝－a③当1<1a <2，即12<a <1时，函数f (x )在⎣⎡⎦⎤1，1a 上是增函数，在⎣⎡⎦⎤1a ，2上是减函数． 又f (2)－f (1)＝ln 2－a ，所以当12<a <ln 2时，最小值是f (1)＝－a当ln 2≤a <1时，最小值为f (2)＝ln 2－2a .[11分]综上可知，当0<a <ln 2时，函数f (x )的最小值是f (1)＝－a当a ≥ln 2时，函数f (x )的最小值是f (2)＝ln 2－2a角度七：利用极值或最值求参数的取值或范围【例题7】函数f (x )＝ax ＋ln x ，a 为常数，若f (x )在区间(0，e]上最大值为－3，求a 值.【分析】求函数在无穷区间(或开区间)上最值，不仅要研究极值情况，还要研究单调性，通过单调性和极值情况，画出函数的大致图象，借助图象得到最值. 【解析】f ′(x )＝a ＋1x ，x ∈(0，e]，1x ∈⎣⎡⎭⎫1e，＋∞. ①若a ≥－1e ，则f ′(x )≥0，从而f (x )在(0，e]上是增函数，∴f (x )max ＝f (e)＝a e ＋1≥0，舍去.②若a <－1e ，令f ′(x )>0得a ＋1x >0，结合x ∈(0，e]，解得0<x <－1a ；令f ′(x )<0得a ＋1x <0，结合x ∈(0，e]，解得－1a<x ≤e.从而f (x )在⎝⎛⎭⎫0，－1a 上为增函数，在⎝⎛⎦⎤－1a ，e 上为减函数，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a . 令－1＋ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－3，得ln ⎝⎛⎭⎫－1a ＝－2，即a ＝－e 2.∵－e 2<－1e ，∴a ＝－e 2为所求.【变式15】 若函数f (x )＝x 33－a 2x 2＋x ＋1在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点，则实数a 的 取值范围是________.【解析】函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫12，3上有极值点等价于f ′(x )＝0有2个不相等的实根且在⎝⎛⎭⎫12，3内有根， 由f ′(x )＝0有2个不相等的实根，得a <－2或a >2. 由f ′(x )＝0在⎝⎛⎭⎫12，3内有根，得a ＝x ＋1x 在⎝⎛⎭⎫12，3内有解， 又x ＋1x ∈⎣⎡⎭⎫2，103，所以2≤a <103.综上，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫2，103.【变式16】 已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2－4在x ＝2处取得极值，若m ∈[－1，1]，则f (m )的 最小值是________.【解析】f ′(x )＝－3x 2＋2ax ，由f (x )在x ＝2处取得极值知f ′(2)＝0，即－3×4＋2a ×2＝0，故a ＝3.由此可得f (x )＝－x 3＋3x 2－4. f ′(x )＝－3x 2＋6x ，由此可得f (x )在(－1，0)上单调递减，在(0，1)上单调递增， ∴当m ∈[－1，1]时，f (m )min ＝f (0)＝－4.【变式17】 设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x (常数a >0). (1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围.【解析】(1)由f ′(x )＝ln x －2ax ＋2a ，可得g (x )＝ln x －2ax ＋2a ，x ∈(0，＋∞). 所以g ′(x )＝1x －2a ＝1－2ax x.又a >0，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12a 时，g ′(x )>0，函数g (x )递增，当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞时，g ′(x )<0，函数g (x )递减. ∴函数y ＝g (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫0，12a ，单调递减区间为⎝⎛⎭⎫12a ，＋∞. (2)由(1)知，f ′(1)＝0.①当0<a <12时，12a >1，由(1)知f ′(x )在⎝⎛⎭⎫0，12a 内单调递增，可得当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，当x ∈⎝⎛⎭⎫1，12a 时，f ′(x )>0.所以f (x )在(0，1)内单调递减，在⎝⎛⎭⎫1，12a 内单调递增. 所以f (x )在x ＝1处取得极小值，不合题意.②当a ＝12时，12a ＝1，f ′(x )在(0，1)内单调递增，在(1，＋∞)内单调递减，所以当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )≤0，f (x )单调递减，不合题意.③当a >12时，0<12a <1，当x ∈⎝⎛⎭⎫12a ，1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.所以f (x )在x ＝1处取极大值，符合题意.综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫12，＋∞.角度八：证明或判定不等式大小【例题8】已知函数f (x )＝x sin x ，x ∈R ，则f ⎝⎛⎭⎫π5，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫－π3的大小关系为( ) A ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5 B ．f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5 C ．f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫－π3 D ．f ⎝⎛⎭⎫－π3>f ⎝⎛⎭⎫π5>f (1) 【解析】因为f (x )＝x sin x ，所以f (－x )＝(－x )·sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3.又当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，f ′(x )＝sin x ＋x cos x >0，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数，所以f ⎝⎛⎭⎫π5<f (1)<f ⎝⎛⎭⎫π3，即f ⎝⎛⎭⎫－π3>f (1)>f ⎝⎛⎭⎫π5，故选A.【变式18】 已知定义在(0，＋∞)上的函数f (x )满足xf ′(x )－f (x )<0，其中f ′(x )是函数f (x )的导函数．若2f (m －2 019)>(m －2 019)f (2)，则实数m 的取值范围为 【解析】令h (x )＝f (x )x ，x ∈(0，＋∞)，则h ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2.∵xf ′(x )－f (x )<0，∴h ′(x )<0，∴函数h (x )在(0，＋∞)上单调递减， ∵2f (m －2 019)>(m －2 019)f (2)，m －2 019>0， ∴f (m －2 019)m －2 019>f (2)2，即h (m －2 019)>h (2)．∴m －2 019<2且m －2 019>0，得2 019<m <2 021.∴实数m 的取值范围为(2 019,2 021)．【变式19】 设f (x )是定义在R 上的奇函数，f (2)＝0，当x >0时，有xf ′(x )－f (x )x 2<0恒成立，则不等式x 2f (x )>0的解集是__________________． 【解析】∵当x >0时，⎣⎡⎦⎤f (x )x ′＝x ·f ′(x )－f (x )x 2<0，∴φ(x )＝f (x )x 在(0，＋∞)减函数，φ(2)＝0，∴在(0，＋∞)上，当且仅当0<x <2时，φ(x )>0，此时x 2f (x )>0.又f (x )为奇函数，∴h (x )＝x 2f (x )也为奇函数．故x 2f (x )>0的解集为(－∞，－2)∪(0,2)．角度九：不等式恒成立求参数的取值范围【例题9】已知函数f (x )＝x ln x (x >0).(1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的最大值.【解析】(1)由f (x )＝x ln x (x >0)，得f ′(x )＝1＋ln x ， 令f ′(x )>0，得x >1e ；令f ′(x )<0，得0<x <1e.∴f (x )的单调增区间是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，单调减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e . 故f (x )在x ＝1e 处有极小值f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e，无极大值. (2)由f (x )≥－x 2＋mx －32及f (x )＝x ln x ，得m ≤2x ln x ＋x 2＋3x恒成立，问题转化为m ≤⎝⎛⎭⎫2x ln x ＋x 2＋3x min .令g (x )＝2x ln x ＋x 2＋3x (x >0)，则g ′(x )＝2x ＋x 2－3x 2，由g ′(x )>0⇒x >1，由g ′(x )<0⇒0<x <1.所以g (x )在(0，1)上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，所以g (x )min ＝g (1)＝4，因此m ≤4，所以m 的最大值是4.【变式20】 已知函数f (x )＝e x －1－x －ax 2.(1)当a ＝0时，求证：f (x )≥0；(2)当x ≥0时，若不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 范围． 【证明】(1) 当a ＝0时，f (x )＝e x －1－x ，f ′(x )＝e x －1. 当x ∈(－∞，0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0.故f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f (x )min ＝f (0)＝0，∴f (x )≥0. 【解析】(2) f ′(x )＝e x －1－2ax ，令h (x )＝e x －1－2ax ，则h ′(x )＝e x －2a .①当2a ≤1，a ≤12时，在[0，＋∞)上，h ′(x )≥0，h (x )递增，h (x )≥h (0)，f ′(x )≥f ′(0)＝0，∴f (x )在[0，＋∞)上为增函数，∴f (x )≥f (0)＝0，∴当a ≤12时满足条件．②当2a >1，即a >12时，令h ′(x )＝0，解得x ＝ln(2a )，在[0，ln(2a ))上，h ′(x )<0，h (x )递减，∴当x ∈(0，ln(2a ))时，有h (x )<h (0)＝0，即f ′(x )<f ′(0)＝0，∴f (x )在(0，ln(2a ))上为减函数， ∴f (x )<f (0)＝0，不合题意．综上，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，12. 【变式21】 已知函数f (x )＝sin xx (x ≠0).(1)判断函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上的单调性； (2)若f (x )<a 在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒成立，求实数a 的最小值.【分析】利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如 a ≥f (x )(或a ≤f (x ))的形式，通过求函数y ＝f (x )的最值求得参数范围. 【解析】(1)f ′(x )＝x cos x －sin xx 2，令g (x )＝x cos x －sin x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则g ′(x )＝－x sin x ， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，g ′(x )＝－x sin x <0，即函数g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，且g (0)＝0. g (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2恒小于零，f ′(x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上恒小于零，函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上递减. (2)不等式f (x )<a ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2恒成立，即sin x －ax <0恒成立. 令φ(x )＝sin x －ax ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则φ′(x )＝cos x －a ，且φ(0)＝0. 当a ≥1时，在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上φ′(x )<0，即函数φ(x )单调递减， 所以φ(x )<φ(0)＝0，故sin x －ax <0恒成立.当0<a <1时，φ′(x )＝cos x －a ＝0在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上存在唯一解x 0， 当x ∈(0，x 0)时，φ′(x )>0，故φ(x )在区间(0，x 0)上单调递增，且φ(0)＝0， 从而φ(x )在区间(0，x 0)上大于零，这与sin x －ax <0恒成立相矛盾.当a ≤0时，在区间⎝⎛⎭⎫0，π2上φ′(x )>0，即函数φ(x )单调递增，且φ(0)＝0，得sin x －ax >0恒成立，这与sin x －ax <0恒成立相矛盾.故实数a 的最小值为1.角度十：不等式能成立求参数的取值范围【例题10】 函数f (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －1x －2ln x (m ∈R )，g (x )＝－mx ，若至少存在一个x 0∈[1，e]，使得f (x 0)<g (x 0)成立，求实数m 的取值范围.【解析】依题意，不等式f (x )<g (x )在[1，e]上有解， ∴mx <2ln x 在区间[1，e]上有解，即m 2<ln xx能成立.令h (x )＝ln xx ，x ∈[1，e]，则h ′(x )＝1－ln x x 2.当x ∈[1，e]时，h ′(x )≥0，h (x )在[1，e]上是增函数，∴h (x )的最大值为h (e)＝1e .由题意m 2<1e ，即m <2e 时，f (x )<g (x )在[1，e]上有解.∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，2e .【变式22】 已知函数f (x )＝ln x －ax ＋1－a x －1(a ∈R )．设g (x )＝x 2－2bx ＋4，当a ＝14时，若∀x 1∈(0,2)，总存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)≥g (x 2)，求实数b 的取值范围．【解析】依题意知f (x )在(0,2)上的最小值不小于g (x )在[1,2]上的最小值，即f (x )min ≥g (x )min . 当a ＝14时，f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝－(x －1)(x －3)4x 2，则当0<x <1时，f ′(x )<0，当1<x <2时，f ′(x )>0，所以当x ∈(0,2)时，f (x )min ＝f (1)＝－12.又g (x )＝x 2－2bx ＋4，①当b <1时，可求得g (x )min ＝g (1)＝5－2b ，则5－2b ≤－12，解得b ≥114，这与b <1矛盾；②当1≤b ≤2时，可求得g (x )min ＝g (b )＝4－b 2，则4－b 2≤－12，得b 2≥92，与1≤b ≤2矛盾；③当b >2时，可求得g (x )min ＝g (2)＝8－4b ，由8－4b ≤－12，得b ≥178.综合①②③得实数b 的取值范围是⎣⎡⎭⎫178，＋∞.【变式23】 已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋10.(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程；(2)在区间[1，2]内至少存在一个实数x ，使得f (x )<0成立，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)当a ＝1时，f (x )＝x 3－x 2＋10，所以f ′(x )＝3x 2－2x ，所以k ＝f ′(2)＝8.又f (2)＝14，所以切线方程为y ＝8x －2. (2)由已知得：a >x 3＋10x 2＝x ＋10x 2至少有一个实数x 使之成立，即a >⎝⎛⎭⎫x ＋10x 2min . 设g (x )＝x ＋10x 2(1≤x ≤2)，则g ′(x )＝1－20x3，因为1≤x ≤2，所以g ′(x )<0.所以g (x )在[1，2]上是减函数，所以g (x )min ＝g (2)＝92，a >92，即a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫92，＋∞.角度十一：判定零点个数问题【例题11】 已知函数f (x )＝a ＋x ·ln x (a ∈R )，试求f (x )的零点个数． 【解析】f ′(x )＝(x )′ln x ＋x ·1x ＝x (ln x ＋2)2x ，令f ′(x )>0，解得x >e －2，令f ′(x )<0，解得0<x <e －2，所以f (x )在(0，e －2)上单调递减，在(e －2，＋∞)上单调递增．f (x )min ＝f (e －2)＝a －2e ，显然当a >2e 时，f (x )min >0，f (x )无零点，当a ＝2e 时，f (x )min ＝0，f (x )有1个零点，当a <2e 时，f (x )min <0，f (x )有2个零点．【变式24】 设函数f (x )＝ln x ＋mx，m ∈R .(1)当m ＝e(e 为自然对数的底数)时，求f (x )的极小值； (2)讨论函数g (x )＝f ′(x )－x3的零点的个数．【解析】(1)由题设，当m ＝e 时，f (x )＝ln x ＋ex ，则f ′(x )＝x －ex2(x >0)，由f ′(x )＝0，得x ＝e.∴当x ∈(0，e)时，f ′(x )<0，f (x )在(0，e)上单调递减， 当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )在(e ，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝e 时，f (x )取得极小值f (e)＝ln e ＋ee＝2，∴f (x )的极小值为2.(2)由题设g (x )＝f ′(x )－x 3＝1x －m x 2－x 3(x >0)，令g (x )＝0，得m ＝－13x 3＋x (x >0)．设φ(x )＝－13x 3＋x (x ≥0)，则φ′(x )＝－x 2＋1＝－(x －1)(x ＋1)，当x ∈(0,1)时，φ′(x )>0，φ(x )在(0,1)上单调递增；当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，φ(x )在(1，＋∞)上单调递减．∴x ＝1是φ(x )的唯一极值点，且是极大值点，因此x ＝1也是φ(x )的最大值点， ∴φ(x )的最大值为φ(1)＝23.又φ(0)＝0，结合y ＝φ(x )的图象(如图)，可知①当m >23时，函数g (x )无零点；②当m ＝23时，函数g (x )有且只有一个零点；③当0<m <23时，函数g (x )有两个零点；④当m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点．综上所述，当m >23时，函数g (x )无零点；当m ＝23或m ≤0时，函数g (x )有且只有一个零点；当0<m <23时，函数g (x )有两个零点．角度十二：根据零点个数求参数的取值范围【例题12】 已知函数f (x )＝ax 2(a ∈R )，g (x )＝2ln x ，且方程f (x )＝g (x )在区间[2，e]上有两个不相等的解，求a 的取值范围．【解析】由已知可得方程a ＝2ln xx2在区间[2，e]上有两个不等解，令φ(x )＝2ln xx 2，由φ′(x )＝2(1－2ln x )x 3易知φ(x )在(2，e)为增函数，在(e ，e)为减函数，则φ(x )max ＝φ(e)＝1e ，由于φ(e)＝2e 2，φ(2)＝ln 22，φ(e)－φ(2)＝2e 2－ln 22＝4－e 2ln 22e 2＝ln e 4－ln 22e 2e 2<ln 81－ln 272e 2<0，所以φ(e)<φ(2)．所以φ(x )min ＝φ(e)，如图可知φ(x )＝a 有两个不相等的解时，需ln 22≤a <1e.即f (x )＝g (x )在[2，e]上有两个不相等的解时，a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫ln 22，1e .【变式25】 已知函数f (x )＝a 6x 3－a4x 2－ax －2的图象过点A ⎝⎛⎭⎫4，103. (1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)若函数g (x )＝f (x )－2m ＋3有3个零点，求m 的取值范围. 【解析】(1)因为函数f (x )＝a 6x 3－a4x 2－ax －2的图象过点A ⎝⎛⎭⎫4，103， 所以32a 3－4a －4a －2＝103，解得a ＝2，即f (x )＝13x 3－12x 2－2x －2，所以f ′(x )＝x 2－x －2.由f ′(x )>0，得x <－1或x >2.所以函数f (x )的单调递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞). (2)由(1)知f (x )极大值＝f (－1)＝－13－12＋2－2＝－56，f (x )极小值＝f (2)＝83－2－4－2＝－163，由数形结合，可知要使函数g (x )＝f (x )－2m ＋3有三个零点，则－163<2m －3<－56，解得－76<m <1312.所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－76，1312.【变式26】 已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝－x 2＋ax －3(a 为实数)，若方程g (x )＝ 2f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个不等实根，求实数a 的取值范围． 【解析】由g (x )＝2f (x )，可得2x ln x ＝－x 2＋ax －3，a ＝x ＋2ln x ＋3x ，设h (x )＝x ＋2ln x ＋3x (x >0)，所以h ′(x )＝1＋2x －3x 2＝(x ＋3)(x －1)x 2.所以x 在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下：又h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋3e －2，h (1)＝4，h (e)＝3e ＋e ＋2.且h (e)－h ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－2e ＋2e<0. 所以h (x )min ＝h (1)＝4，h (x )max ＝h ⎝⎛⎭⎫1e ＝1e ＋3e －2，所以实数a 的取值范围为4<a ≤e ＋2＋3e ， 即a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤4，e ＋2＋3e . 、【变式27】 函数f (x )＝(3－a )x －2ln x ＋a －3在⎝⎛⎭⎫0，14上无零点，求实数a 的取值范围． 【解析】当x 从0的右侧趋近于0时，f (x )→＋∞，所以f (x )<0在⎝⎛⎭⎫0，14上恒成立不可能．故要使f (x )在⎝⎛⎭⎫0，14上无零点，只需对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，14，f (x )>0恒成立，需x ∈⎝⎛⎭⎫0，14时，a >3－2ln x x －1恒成立．令h (x )＝3－2ln x x －1，x ∈⎝⎛⎭⎫0，14， 则h ′(x )＝2ln x ＋2x －2(x －1)2，再令m (x )＝2ln x ＋2x －2，x ∈⎝⎛⎭⎫0，14，则m ′(x )＝－2(1－x )x 2<0， 于是在⎝⎛⎭⎫0，14上m (x )为减函数，故m (x )>m ⎝⎛⎭⎫14＝6－4ln 2>0，所以h ′(x )>0在⎝⎛⎭⎫0，14恒成立， 所以h (x )在⎝⎛⎭⎫0，14上为增函数，所以h (x )<h ⎝⎛⎭⎫14在⎝⎛⎭⎫0，14上恒成立． 又h ⎝⎛⎭⎫14＝3－163ln 2，所以a ≥3－163ln 2，故实数a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫3－163ln 2，＋∞.角度十三：零点综合问题【例题13】 若函数f (x )＝2x 3－ax 2＋1(a ∈R )在区间(0，＋∞)内有且只有一个零点，求f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和.【解析】f ′(x )＝6x 2－2ax ＝2x (3x －a )(a ∈R )，当a ≤0时，f ′(x )>0在(0，＋∞)上恒成立，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝1， 所以此时f (x )在(0，＋∞)内无零点，不满足题意. 当a >0时，由f ′(x )>0得x >a 3，由f ′(x )<0得0<x <a3，则f (x )在⎝⎛⎭⎫0，a 3上递减，在⎝⎛⎭⎫a3，＋∞上递增，又f (x )在(0，＋∞)内有且只有一个零点， 所以f ⎝⎛⎭⎫a 3＝－a 327＋1＝0，得a ＝3，所以f (x )＝2x 3－3x 2＋1，则f ′(x )＝6x (x －1)， 当x ∈(－1，0)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减.则f (x )max ＝f (0)＝1，f (－1)＝－4，f (1)＝0，则f (x )min ＝－4，所以f (x )在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3.【变式28】 已知函数f (x )＝ax ＋ln x ，其中a 为常数. (1)当a ＝－1时，求f (x )的单调递增区间；(2)当0<－1a <e 时，若f (x )在区间(0，e)上的最大值为－3，求a 的值；(3)当a ＝－1时，试推断方程|f (x )|＝ln x x ＋12是否有实数根. 【解析】(1)由已知可知函数f (x )的定义域为{x |x >0}， 当a ＝－1时，f (x )＝－x ＋ln x (x >0)，f ′(x )＝1－xx(x >0)； 当0<x <1时，f ′(x )>0；当x >1时，f ′(x )<0。
导数专题(经典23题)
23个函数与导函数类型专题ln()x1f xx1x=++，若x0>，且x1≠，ln()x kf xx1x>+-，求k的取值范围.解析：⑴将不等式化成()(*)k>=<模式由ln()x kf xx1x>+-得：ln lnx1x kx1x x1x+>++-，化简得：ln22x xk1x1<--①⑵构建含变量的新函数()g x构建函数：ln()22x xg xx1=-（x0>，且x1≠）其导函数由'''2u u v uvv v-⎛⎫=⎪⎝⎭求得：'()(ln ln)()22222g x x x x x1x1=----即：'()[()()ln]()22222g x x1x1xx1=--+-()ln()222222x1x1xx1x1⎛⎫+-=-⎪⎪-+⎝⎭②⑶确定()g x的增减性先求()g x的极值点，由'()0g x0=得：ln22x1x0x1--=+即：ln22x1xx1-=+③由基本不等式ln x x1≤-代入上式得：22x1x1x1-≤-+故：202x1x10x1---≥+即：()()021x110x1--≥+由于211x1≤+，即2110x1-≥+，故：0x10-≥，即0x1≥在0x x1≥≥时，由于22x11x1-<+有界，而ln x0>无界故：ln 22x 1x 0x 1--<+即：在0x x 1≥≥时，'()g x 0≤，()g x 单调递减； 那么，在00x x <<时，()g x 单调递增. 满足③式得0x 恰好是0x 1= ⑷ 在(,)x 1∈+∞由增减性化成不等式在(,)x 1∈+∞区间，由于()h x 为单调递减函数，故：()lim ()x 1g x g x →+≤ln lim 2x 12x x x 1→+⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 应用不等式：ln x x 1<-得：ln ()lim lim lim 22x 1x 1x 12x x 2x x 12x 1x 1x 1x 1→+→+→+-⎛⎫⎛⎫⎛⎫<== ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭--⎝⎭⎝⎭ 即：()()g x g 11<=，即：()g x 的最大值是()g 1代入①式得：()k 1g x <-，即：()k 1g 1≤-，即：k 0≤ ④ ⑸ 在(,)x 01∈由增减性化成不等式在(,)x 01∈区间，由于()g x 为单调递增函数，故：()lim ()x 0g x g x →+≥ln lim 2x 02x x x 1→+⎛⎫= ⎪-⎝⎭ 由于极限()lim ln x 0x x 0→+=，故：()g x 0≥，代入①式得：k 1≤ ⑤⑹ 总结结论综合④和⑤式得：k 0≤. 故：k 的取值范围是(,]k 0∈-∞由①式ln 22x x k 1x 1<--，设函数ln ()22x x K x 1x 1=--当x 1→时，用洛必达法则得：ln (ln )'(ln )limlimlim()22x 1x 1x 12x x 2x x 2x 112x x 1x 1→→→+===--，则()K 10= 用数值解如下：其中，()K x 的最小值是()K 10=，即()()K x K 1>，所以本题结果是k 0≤.()ln 2f x x ax =-，a 0>，x 0>，()f x 连续，若存在均属于区间[,]13的,αβ，且1βα-≥，使()()f f αβ=，证明：ln ln ln 322a 53-≤≤ 解析：⑴ 求出函数()f x 的导函数函数：()ln 2f x x ax =- ①其导函数：'()2112ax f x 2ax x x -=-== ②⑵ 给出函数()f x 的单调区间由于x 0>，由②式知：'()f x 的符号由()1-的符号决定.当10->，即：x<'()f x 0>，函数()f x 单调递增；当10-<，即：x>'()f x 0<，函数()f x 单调递减；当10-=，即：x=时，'()f x 0=，函数()f x 达到极大值.⑶ 由区间的增减性给出不等式由,αβ均属于区间[,]13，且1βα-≥，得到：[,]12α∈，[,]23β∈若()()f f αβ=，则,αβ分属于峰值点x=的两侧即：α<，β>.所以：α所在的区间为单调递增区间，β所在的区间为单调递减区间. 故，依据函数单调性，在单调递增区间有：()()()f 1f f 2α≤≤ ③ 在单调递减区间有：()()()f 2f f 3β≥≥ ④ ⑷ 将数据代入不等式由①式得：()f 1a =-；()ln f 224a =-；()ln f 339a =- 代入③得：()ln a f 24a α-≤≤-，即：ln a 24a -≤-，即：ln 2a 3≤⑤ 代入④式得：ln ()ln 24a f 39a β-≥≥-，即：ln ln 24a 39a -≥-， 即：ln ln 32a 5-≥⑥ ⑸ 总结结论证毕.由⑶已得：[,]12α∈，[,]23β∈，且：()ln 2f a ααα=-⋅，()ln 2f a βββ=-⋅ 若：()()f f αβ=，则：ln ln 22a a ααββ-⋅=-⋅ 即：()ln ln 22a βαβα-=-，故：ln ln 22a βαβα-=-当：2β=，1α=时，ln 2a 3=当：3β=，2α=时，ln ln 32a 5-=故：a()ln ()2f x x ax 2a x =-+-.若函数()y f x =的图像与x 轴交于,A B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，试证明：01x a>. 解析：⑴ 求出函数()f x 导函数函数()f x 的定义域由ln x 可得：x 0>. 导函数为：'()()1f x 2ax 2a x =-+-()()112x a x=+- ① ⑵ 确定函数的单调区间当1a 0x ->，即(,)1x 0a ∈时，'()f x 0>，函数()f x 单调递增； 当1a 0x -<，即(,)1x a ∈+∞时，'()f x 0<，函数()f x 单调递减； 当1a 0x -=，即1x a=时，'()f x 0=，函数()f x 达到极大值()1f a . ()ln ()()21111f a 2a a a a a =-⋅+-⋅ln 111a a=+- ② ⑶ 分析图像与x 轴的交点，求出a 区间由于lim ()x f x 0→+∞<，lim ()x 0f x 0→+<若()f x 与x 轴交于,A B 两点，则其极值点必须()1f 0a >.即：ln 1110a a +->，即：ln 111a a>- ③考虑到基本不等式ln111a a ≤-及③式得：ln 11111a a a-<≤- 即：1111a a -<-，即：22a>，即：a 1<结合ln1a，即：a 0>得：(,)a 01∈ ④ ⑷ 求出,A B 点以及A 关于极值点的对称点C,A B 两点分居于极值点两侧，即：A 1x a <，B 1x a> 设：A 11x x a =-，B 21x x a =+，则,12x x 0>，且11x a <（因x 0>） 设：C 11x x a =+于是：()()A B f x f x 0==，即：()11f x 0a -=故：()ln()()()()2A 111111f x x a x 2a x a a a=---+--ln()()()2111121112a x a 2x x 2a x a a a a-=---⋅⋅++--ln()ln 211111ax a 1ax ax 0a=--+-+-= ⑤ 将1x 替换成1x -代入()A f x 就得到()C f x ：()()ln()ln 2C 111111f x f x 1ax a 1ax ax a a=+=+-+--- ⑥⑸ 比较,,A B C 点的函数值，以增减性确定其位置构造函数：()()()()()1C A 1111g x f x f x f x f x a a=-=+--将⑤⑥式代入上式得：()ln()ln()1111g x 1ax 1ax 2ax =+--- ⑦ 其对1x 的导函数为：'()111a a g x 2a 1ax 1ax -=--+-2212a2a 1a x =--221221a x 2a 1a x =⋅- ⑧ 由于④式(,)a 01∈及11x a<，所以'()1g x 0>.即：()1g x 是随1x 的增函数，其最小值是在1x 0=时，即：()()1g x g 0≥ 由⑦式得：()g 00=，故：()()1g x g 00≥=.当1x 0≠时，()()()1C A g x f x f x 0=->，即：()()()C A B f x f x f x >= 由于C x 和B x 同在单调递减区间，所以由()()C B f x f x >得：C B x x < 即：C 1B 211x x x x a a=+<=+，即：12x x <或21x x 0-> ⑨ ⑹ 得出结论那么，由⑨式得：()0A B 1x x x 2=+()12111x x 2a a =-++()21111x x a 2a=+->. 证毕.()'()()x 121f x f 1e f 0x x 2-=-+.若()21f x x ax b 2≥++，求()a 1b +的最大值.解析：⑴ 求出函数()f x 的解析式由于'()f 1和()f 0都是常数，所以设'()f 1A =，()f 0B =，利用待定系数法求出函数()f x 的解析式. 设：()x 121f x Ae Bx x 2-=-+，则：()Af 0B e== 其导函数为：'()x 1f x Ae B x -=-+，则：'()f 1A B 1A =-+= 所以：B 1=，A e =，函数()f x 的解析式为：()x 21f x e x x 2=-+①⑵ 化简不等式()21f x x ax b 2≥++ 即：()x 2211f x e x x x ax b 22=-+≥++，故：()x e a 1x b 0-+-≥ ② ⑶ 构建新函数()g x ，并求其极值点构建函数()()x g x e a 1x b =-+- ③ 其导函数：'()()x g x e a 1=-+ ④要使②式得到满足，必须()g x 0≥故当()g x 取得极值时有：'()M g x 0=，由④式得极值点：ln()M x a 1=+ 此时的()g x 由③得：()()()ln()M g x a 1a 1a 1b 0=+-++-≥ ⑤ ⑷ 求()a 1b +的最大值由⑤式得：()[ln()]b a 11a 1≤+-+，则：()()[ln()]2a 1b a 11a 1+≤+-+ ⑥ 令：y a 1=+，则⑥式右边为：()(ln )2h y y 1y =- （y 0>）其导函数为：'()(ln )()(ln )21h y 2y 1y y y 12y y=-+-=- ⑦当ln 12y 0->，即：(y 0∈时，'()h y 0>，()h y 单调递增；当ln 12y 0-<，即：)y ∈+∞时，'()h y 0<，()h y 单调递减；当ln 12y 0-=，即：y ='()h y 0=，()h y 达到极大值.此时，()h y 的极大值为：(2eh 12=-= ⑧ ⑸ 得出结论将⑧代入⑥式得：()()e a 1b h y 2+≤≤知函数()ln()f x x x a =-+的最小值为0，其中a 0>.若对任意的[,)x 0∈+∞，有()2f x kx ≤成立，求实数k 的最小值.解析：⑴ 利用基本不等式求出a利用基本不等式x e 1x ≥+或ln y y 1≤-，得：ln()()x a 1x a -+≥-+ 即：ln()()x x a x 1x a 1a -+≥+-+=-，即：()ln()f x x x a 1a =-+≥- 已知()f x 的最小值为0，故1a 0-=，即：a 1=或者，将[,)x 0∈+∞的端点值代入()f x ，利用最小值为0，求得a 1= ⑵ 用导数法求出a函数()f x 的导函数为：'()1f x 1x a=-+ ① 当x a 1+<，即x 1a <-时，'()f x 0<，函数()f x 单调递减； 当x a 1+>，即x 1a >-时，'()f x 0>，函数()f x 单调递增； 当x a 1+=，即x 1a =-时，'()f x 0=，函数()f x 达到极小值. 依题意，()f x 的最小值为0，故当x 1a =-时，()f 1a 0-= 即：()ln()f 1a 1a 1a a 1a 0-=---+=-=，故：a 1= 函数的解析式为：()ln()f x x x 1=-+ ② ⑶ 构建新函数()g x当[,)x 0∈+∞时，有()2f x kx ≤，即：()ln()2f x x x 1kx =-+≤ 构建函数：()()ln()22g x f x kx x x 1kx =-=-+- ③⑷ 确定()g x 的单调区间和极值于是由③式得导函数为：'()()11g x 12kx x 2k x 1x 1=--=-++ ④ 当x 0=时，由③式得函数()g x 0=；则x 0=是极值点，同时x 0=也是区间的端点. 当x 0≠时，即：(,)x 0∈+∞ 当12k x 1>+，即1x 12k <-时，'()g x 0>，函数()g x 单调递增； 当12k x 1<+，即1x 12k>-时，'()g x 0<，函数()g x 单调递减； 当12k x 1=+，即m 1x x 12k==-时，'()m g x 0=，函数()g x 达到极大值()m g x . 故：()g x 从x 0=开始单调递增，直到m x x =达到()g x 的极大值，再单调递减， 所以()g 0是个极小值. ()m g x 是个极大值，也是最大值. ⑸ 求出最大值点m x将最值点m x x =代入③式得：（m 1x x 12k==-） ()ln()()2m 111g x 1k 12k 2k 2k =----()[()]ln()1111k 12k 2k 2k =---+ ()()ln()1111k 2k 2k 2=--++()()ln()12k 12k2k 2k 2-+=+ ()()ln()12k 12k 2k 4k+-=+由()g x 的最大值为0得：()()()ln()m 12k 12k g x 2k 04k+-=+=即：2k 1=，即：1k 2=， 此时m 1x 12k =-，即：m12k 1x 1==+，即：m x 0=⑹ 给出结论由于m x 0=，也是端点，结合⑷的结论，所以：()g x 在[,)x 0∈+∞区间单调递减，()()m g x g 0=是个极大值，也是最大值.由m 1x 102k =-=得出实数k 的最小值为：1k 2=由③式()()ln()22g x f x kx x x 1kx =-=-+-，要求函数()g x 0≤. 由③式可看出x 0=时，()g x 0= 由()g x 0=得：ln()2x x 1k x-+=，令ln()()2x x 1K x x-+=我们只要求出ln()()2x x 1K x x-+=在极值点的值就好.用洛必达法则：ln()lim ()limlim2x 0x 0x 011x x 1x 1K x 2xx→+→+→+--++== lim lim ()x 0x 0x11x 12x 2x 12→+→++===+ 对应于()g x 0=的1k 2=，即：实数k 的最小值1k 2=.()x 2f x e ax ex =+-，（a R ∈），当a 在一定范围时，曲线()y f x =上存在唯一的点P ，曲线在P 点的切线与曲线只有一个公共点，就是P 点，求P 点的坐标.解析：⑴ 确定曲线的切线方程曲线：()x 2f x e ax ex =+- ① 其导函数：'()x f x e 2ax e =+- ②设P 点的坐标为：(,())P P x f x ，则切线方程为：()()'()()P P P y x f x f x x x =+- ③⑵ 构建新函数()g x ，并求导构建函数()()()g x f x y x =-则：()()()'()()P P P g x f x f x f x x x =--- ④ 其导函数：'()'()'()P g x f x f x =- ⑤由②得：'()x f x e 2ax e =+-，'()P x P P f x e 2ax e =+-，代入⑤式得：'()()()()()P P x x x x P P g x e 2ax e 2ax e e 2a x x =+-+=-+- ⑥ ⑶ 分析a 0≥时函数()g x 的单调性和极值当a 0≥时：若P x x >，则P x x e e >，P 2ax 2ax ≥，故：'()g x 0>，()g x 单调递增； 若P x x <，则P x x e e <，P 2ax 2ax ≤，故：'()g x 0<，()g x 单调递减； 若P x x =，则P x x e e =，P 2ax 2ax =，故：'()g x 0=，()g x 达到极小值. 由④式得：()g x 的极小值()P g x 0=.此时，()g x 的零点与P 点的取值有关，因此P 点的取值不唯一， 所以()g x 的零点就不唯一.故当a 0≥⑷ 分析a 0<时函数()g x 的切线当a 0<时：由⑥式，'()g x 0=的情况分两种：a> ()P x x P e e 02a x x 0⎧-=⎪⎨-=⎪⎩即：P x x =，此时与⑵的情形相同，P 点的取值不唯一.b> ()P x x P e e 2a x x 0-=--≠，即：P x x ≠，'()g x 0=此时，()()P P x x x P e e 12a x x --=--，即：()P P x x x P e 12ae x x --=-- ⑦曲线P x x y e -=恒过点(,)P x 1，直线()P x P y 12ae x x -=--也恒过点(,)P x 1， 当曲线P x x y e -=过点(,)P x 1的切线斜率等于P x 2ae --时，其这个切线就是曲线的切线.故：曲线P x x y e -=过点(,)P x 1的切线斜率为：()'P Px x x x k e 1-===于是：P x 2ae 1--=，即：P x e 2a =-，即：ln()P x 2a =- ⑸ 得到切点P 的坐标当a 0<时，ln()P x 2a =-就存在.由于P x x y e -=在其定义域内是凸函数，所以与其切线的交点是唯一的. 将ln()P x 2a =-代入①式得：()()ln ()ln()P x 22P P P f x e ax ex 2a a 2a e 2a =+-=-+---得到ln()P x 2a =-和()P f x ，这就是P 点的唯一坐标. ⑹ 结论切点P 的坐标：ln()P x 2a =-，()()ln ()ln()2P f x 2a a 2a e 2a =-+---()ax f x e x =-，其中a 0≠. 在函数()y f x =的图象上取定两点(,())11A x f x ，(,())22B x f x ，且12x x <，而直线AB 的斜率为k .存在(,)012x x x ∈，使'()0f x k ≥成立，求0x 的取值范围.解析：⑴ AB 的斜率与()f x 的导函数由A 、B 两点的坐标得到直线AB 的斜率k ：()()()()21ax ax 21212121f x f x e x e x k x x x x ----==-- ()()()2121ax ax ax ax 212121e e x x e e 1x x x x ----==--- ①函数()ax f x e x =-的导函数为：'()ax f x ae 1=- ② ⑵ 构建新函数()g x ，并求导判断'()0f x k ≥是否成立，即判断'()0f x k -是否不小于0.所以，构建函数：()'()g x f x k =-，若()g x 0≥，则'()0f x k ≥成立. 则：()()21ax ax ax21e e g x aex x -=-- ③ 导函数：'()2ax g x a e = ④ ⑶ 求()g x 在区间端点的函数值由③式得：()()211ax ax ax 121e e g x aex x -=--()[()]121ax a x x 2121e a x x e 1x x -=--+-()[()]121ax a x x 2121e e a x x 1x x -=----- ⑤()()212ax ax ax 221e e g x aex x -=--()[()]212ax a x x 2121e a x x 1e x x -=--+-()[()]212ax a x x 1221e e a x x 1x x -=---- ⑥ ⑷ 确定()g x 的零点存在利用基本不等式：x e 1x ≥+，当且仅当x 0=时取等号. 即：x e x 10--≥ ⑦将⑦式应用于⑤式得：()1g x 0< （21x x 0-≠） 将⑦式应用于⑥式得：()2g x 0> （21x x 0-≠）函数()g x 在(,)12x x 区间是连续的，其导函数也存在. 由④式得：'()2ax g x ae 0=>，即函数()g x 为单调递增函数.由()1g x 0<和()2g x 0>以及函数零点存在定理得，函数()g x 必过零点，且是唯一零点.⑸ 求()g x 在(,)12x x 区间的零点位置设函数()g x 在(,)12x x 区间的零点位置在3x ，则有()3g x 0= 由③式得：()()213ax ax ax 321e e g x ae0x x -=-=- （a 0≠）即：ln ()21ax ax 3211e e x a a x x -=- ⑦ 且：(,)312x x x ∈⑹ 求()g x 在(,)12x x 区间的0x由④式'()2ax g x a e 0=>得：函数()g x 为单调递增函数，故： 在(,)013x x x ∈区间，()()03g x g x 0<=； 在(,)032x x x ∈区间，()()03g x g x 0>=； 在03x x =时，()()03g x g x 0==.故，()0g x 0≥的区间为[,)032x x x ∈，即：[ln ,)()21ax ax 02211e e x x a a xx -∈-()ln()f xx 11=++.证明：当0x 2<<时，()9xf x x 6<+ 证明：⑴ 构建新函数()g x ，并求导构建函数()ln()9xg x x 11x 6=++-+ ①导函数'()()2154g x x 1x 6=+-++ ②即：'()()()2254g x 2x 1x 6+=-++ ③ 函数()g x 满足()g 00=，'()g 00=，现在只要证明，当0x 2<<时，()g x 0<，则()9xf x x 6<+. ⑵ 化掉②式中的根号项.要保持不等号的方向不变，只有(*)≤即：(*)≥或(*). （(*)代表某个不含根号的式子）由于有(*)和(*)≤的两种选项，所以采用化掉.由均值不等式：22211x 2⋅≤+=+得：x12+ 代入③式得：'()()()()()22x 2154x 6542g x 2x 14x 1x 6x 6+++≤-=-++++ 即：()()'()()()32x 6454x 1g x 4x 1x 6+-⋅⋅+≤++()()()()332x 66x 14x 1x 6+-⋅+=++ ④⑶ 求函数()g x 的极值点当()g x 取极值时，'()g x 0=.故由④式得：()()33x 66x 10+-⋅+=，即：x 6+= ⑤令t =（1t <<则⑤式为：3t 56t +=，即：3t 6t 50-+= ⑥ 分解因式法：()()33t 6t 5t 16t 1-+=---()()2t 1t t 16=-++-()()2t 1t t 50=-+-=故有：1t 1=，及()2t t 50+-=，即：,23t =由于1t <<2t =所以有：1t 1=，2t =，即：1x 0=，321x 12⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭由于))(=3311122288⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭)(11136444-⨯>=>所以2x 3>⑷ 由单调性证明不等式由①式()ln()9xg x x 11x 6=++-+得：()g 00=，()ln ln 93g 34142036⨯=+-=-<+ 即：()()g 0g 3>，由于在(,)12x x x ∈区间，()g x 是单调的，故：()()12g x g x > 于是，函数在1x x 0==时达到极大值，然后递减，直到2x x 2=>时达到极小值.就是说在0x 2<<区间，'()g x 0<，函数()g x 单调递减. 即：()()g x g 00<=，故：()9xf x x 6<+. 证毕. 本题要点：构建函数()g x ，由两个相邻极值点之间的区间(,)12x x 是单调的，以及两个相邻极值点之间的函数值的大小关系()()g 0g 3>，得出：函数()g x 在这个区间(,)12x x 为单调递减，由此来证明本题.a 0>，n 为正整数，抛物线n2a yx 2=-+与x 轴正半轴相交于点A .设抛物线在点A 处的切线在y 轴上的截距为()f n ，求证：当a ≥对所有n 都有：()()33f n 1n f n 1n 1-≥++. 证明：⑴ 先求A点的坐标(,)A x 0将A x x =，A y y 0==代入抛物线n2a y x 2=-+得：A x =⑵ 求过A 点的切线方程抛物线的导数为：'y 2x =- ①故A 点的切线方程为：'()()A A A y y y x x x =+-即：()2A A A A y 02x x x 2x x 2x =+--=-+ ②⑶ 求切线在y 轴上的截距为()f n由②式，当x 0=时，()y f n =.故：()22n A f n 2x 2a === ③ ⑷ 分析待证不等式()()33f n 1n f n 1n 1-≥++，即：()()33f n 12n 11f n 1n 1+-+-≥++， 即：()32111f n 1n 1-≥-++，即：()321f n 1n 1≤++，即：()3f n 12n 2+≥+，即：()3f n 2n 1≥+将③式代入上式得：n 3a 2n 1≥+，即：a ≥④⑸ 数值分析由④式当n 1=时，a 3≥；当n 2=时，2a 17≥，即a ≥当n 3=时，3a 55≥，即a ≥<2553025=，3174913=） 因为a 1>，对④式两边求对数得：ln ln()31a 2n 1n≥+ ⑤⑹ 构建新函数()g n 构建函数：()ln()31g n 2n 1n=+，求()g n 的最大值. 求导得：ln()'()23326n n 2n 12n 1g n n⋅-++=当'()g n 0=时，即：ln()3336n 2n 12n 1=++，即：ln()33332n 12n 1-=++ ⑥令3t 2n 1=+，则t 1>. 代入⑥式得：ln 33t t-= ⑦ ⑺ 求3t 2n 1=+的最大值虽然解方程⑦比较困难，但得到其取值范围还是可以的. 由⑦式得：ln 3t 33t=-<，即：33t e 327<<= 即：3t 2n 127=+<，即：3n 13<代入④式a≥a≥=⑧⑻证明结论满足⑧式，就满足④式，由⑷得证.证毕.ln()xx1f xe+=，'()f x为()f x的导数.设()()'()2g x x x f x=+，证明：对任意x0>，()2g x1e-<+解析：⑴求函数()g x的解析式函数ln()xx1f xe+=的导函数为：'()(ln)(ln)x x2x x1111f x e e x1x1x xe e=-+=--[]①函数()()'()2g x x x f x=+得：()()(ln)(ln)x xx1x1x1g x x11x x xxe e++=--=--②⑵构造新函数()h x由基本不等式x e1x≥+（仅当x0=时取等号）得:x1x1e+≤代入②式得：()lng x1x x x<--（x0>）令：()lnh x1x x x=--③则上式为：()()g x h x<④⑶分析()h x的单调性，并求其极值由③式得()h x导函数为：'()(ln)h x2x=-+⑤当2x e->，即ln2x0+>时，'()h x0<，()h x单调递减；当2x e-<，即ln2x0+<时，'()h x0>，()h x单调递增；当2x e -=，即ln 2x 0+=时，'()h x 0=，()h x 达到最大值.()h x 的最大值是在2m x x e -==，由③式得：()(ln )222m h x 1e e e ---=--()2221e 2e 1e ---=---=+ ⑥⑷ 证明结论故由④式和⑥式：()()()2m g x h x h x 1e -<≤=+证毕.,a b 是实数，函数()3f x x ax =+，()2g x x bx =+，'()f x 和'()g x 是()f x 、()g x 的导函数. 设a 0<，且a b ≠，若在以,a b 为端点的开区间I 上'()'()f x g x 0≥恒成立，求a b -的最大值M .解析：⑴ 构建新函数()h x函数()f x 的导数为：'()2f x 3x a =+ ①函数()g x 的导数为：'()g x 2x b =+ ②构建函数：()'()'()()()2h x f x g x 3x a 2x b ==++ ③则已知条件化为：在开区间I 上'()'()f x g x 0≥恒成立，等价于()h x 0≥ ④⑵ 确定b 的取值范围已知a 0<，若b 0>，则区间(,)I a b =；故：此时区间I 包括x 0=点.由①②式得：'()f 0a =，'()g 0b =，所以()'()'()h 0f 0g 0ab 0==<不满足④式，即：b 0>不成立.⑶ 确定x 的取值范围由于a 0<，b 0≤，x 0≤，即：2x b 0+≤要满足④式，在2x b 0+≠时，则必须有：'()f x 0≤，即：23x a 0+≤，即：2a x 3≤-，即：[x ∈，结合(,)x 0∈-∞得：[)x 0∈ ⑤ ⑷ 确定a b -的最大值M .由于区间I 是以,a b 为端点，a 0<，b 0≤，而[)x 0∈所以若b 0=，则a =a 0-=， 即：2a a 3=-，故：1a 3=- ，代入⑤式得：[,)1x 03∈- 故：(,)(,)1I a b 03==- ⑥故：a b -的最大值M知函数(sin )()ln()x 1x f x 1x 1xθ+=+-+ （[,]0θπ∈），若x 0≥时()f x 0≤，求θ的最小值. 解析：⑴ 求出函数的导函数由函数(sin )()ln()x 1x f x 1x 1xθ+=+-+得： 导函数为：[(sin )()(sin )]'()()2112x 1x x 1x f x 1x 1x θθ++-+=-++ [()sin ]()2x12x 1x θ=-++ ①依题意，若x 0≥时，()f x 0≤所以，只要求出区间的最大值，使之为0，就解决问题.⑵ 由函数极值点得出相应的结果由极值点的导数为0得：'()f x 0=所以当在x 0≥区间'()f x 0≤时，函数()f x 在x 0≥区间单调递减故满足()f x 0≤的条件.于是：'()[()sin ]()2xf x 12x 01x θ=-+≤+由于x 0≥，()21x 0+>，所以()sin 12x 0θ-+≤，即：sin 12x θ≥+ 故：sin 11202x θ≥≥++，即：sin 12θ≥ 求三角函数定义域得：sin 1θ≤，故：sin [,]112θ∈.()ln()x f x e x λ=-+.当()f x 0≥时，求λ的取值范围.解析：⑴ 分析题意设()x g x e =，()ln()h x x λ=+，则()()()f x g x h x =-()f x 0≥的意思，就是()y g x =的图象在()y h x =的图象之上 设在0x x =处，()y g x =与()y h x =的图象相切，此时，设λ值为0λ只要0λλ≤，()y g x =的图象永在()y h x =的图象之上.⑵ 由0x x =点的关系来建模由于0x 点在曲线()y g x =上，故：0x 0y e = ①同时0x 点在曲线()y h x =上，故：ln()00y x λ=+ ②它们在0x x =图象相切，故：'()'()00g x h x =即：ln()001x x λλ+=+ ③ 由①②式得：ln()0x 0e x λ=+ ④⑶ 解超越方程③式方程③是一个超越方程，令01t x λ=+（t 0>），即：01x tλ+= 代入③得：ln t t -=或ln t t =- ⑤由ln t t =-得：t 0>（因ln t 定义域），则：ln t t 0=-<，即：t 1<故：(,)t 01∈ ⑥由基本不等式x e 1x ≥+（仅当x 0=时取等号）或ln x 1x -≥（仅当x 1=时取等号）代入⑤式可得：ln t t t 1-=≤-，即：2t 1≥，即：[,)1t 2∈+∞ ⑦ 由⑥⑦得：(,)1t 12∈ ⑧ .056714329⑷ 解出极值点的λ 由④式得：ln()ln 0x 0e x t t λ=+=-=，即：ln 0x t t ==-即：001xt x λ=-=-+ ⑨ 故：()2001x 22x λ=-+=+≥，所以：当0x x =时，02λ≥ 由⑴的分析，本题答案是：0λλ≤，即2λ≤（严格来说，解超越方程得=.0x t 056714329=--，.0233λ，本题答案是.233λ<）()()22f x 1a x ax =+-，其中a 0>，求()f x 0>时x 的取值范围. 解析：()y f x =的图象是开口向下的抛物线，于是()()()222f x 1a x ax x 1a ax =+-=+-当()f x 0=时，1x 0=，221a x 2a +=≥，即：(,)21a x 0a+∈，即：(,)x 02∈ 故：x 的取值范围是(,)x 02∈a 0>，函数()x a f x x a-=+.若函数()y f x =在x 0>区间的图像上存在两点,A B ，在A 点和B 点处的切线相互垂直，求a 的取值范围. 解析：去绝对值号⑴ 对x a >，()x a f x x a -=+，其导数：'()()22a f x 0x a =>+ 即：在x a >区间，函数()f x 单调递增；⑵ 对(,)x 0a ∈，()x a f x x a -=-+，其导数：'()()22a f x 0x a =-<+ 即：在(,)x 0a ∈区间，函数()f x 单调递减；⑶ 对x a =，()()f x f a 0==，函数()f x 达到极小值0.若A 点和B 点处的切线相互垂直，即：'()'()A B f x f x 1=- ① 则A 点和B 点分居于两个不同的单调区域.设(,)A x 0a ∈，则(,)B x a ∈+∞，于是①式就是：()()22A B 2a2a1x a x a ⋅=++，即：()()A B 2a 1x a x a =++ 即：()()A B x a x a 2a ++= ②⑷ 解析②式得⑤式由②式得：A B 2a x a x a+=+ ③ 因为(,)A x 0a ∈，所以(,)A x a a 2a +∈，代入③式得： B 2a a 2a x a <<+，即：B 1112x a<<+，即：()B 1x a 2<+< ④ 因为B x a >，所以B x a 2a +>，结合④式得：B 2a x a 2<+< 即：2a 2<，故：a 1< ⑤⑸ 解析③式得⑦式因为B x a >，所以B x a 2a +>，即：B 2a 1x a<+， 代入③式得：A B 2a x a 1x a+=<+，即：A x a 1+< ⑥ 因为(,)A x 0a ∈，所以(,)A x a a 2a +∈代入⑥式得：2a 1<，即：1a 2< ⑦()()1f x a 12x 2=--，a 为常数且a 0>. 若条件1：0x 满足(())00f f x x =；条件2：()00f x x ≠. 则满足这2个条件，称0x 为函数()f x 的二阶周期点，如果()f x 有两个二阶周期点,12x x ，试确定a 的取值范围. 解析：⑴ 函数去绝对值号得出()1f x 和()2f x当1x 2<时，11x x 22-=-，()()1f x a 12x 2ax 2=--= 记：()1f x 2ax = ①当1x 2≥时，11x x 22-=-，()()=()1f x a 12x 2a 1x 2=--- 记：()=()2f x 2a 1x - ②条件1：(())00f f x x = ③条件2：()00f x x ≠ ④⑵ 在1x 2<及12ax 2<时解析①式 对二阶周期点0x x =当01x 2<，函数用①式：()100f x 2ax = 当012ax 2<时，复合函数仍用①式：(())()11010f f x 2af x = 故：()100f x 2ax =，(())21100f f x 4a x =条件1：2004a x x =，即：24a 1=，即：1a 2=； 条件2：002ax x ≠，即：2a 1≠，即：1a 2≠.⑶ 在1x 2<及12ax 2≥时解析①式 对二阶周期点0x x =当01x 2<，函数用①式：()100f x 2ax = 当012ax 2≥时，函数用②式：(())[()]21010f f x 2a 1f x =- 故：()100f x 2ax =，(())()2100f f x 2a 12ax =-条件1：()002a 12ax x -=，即：022ax 14a =+；条件2：002ax x ≠，即：2a 1≠，即：1a 2≠. 则：022a 1x 214a =≠+ ⑤ ⑷ 在1x 2<及12ax 2≥时解析⑤式 将条件1：022a x 14a =+代入012ax 2≥得：224a 1214a≥+即：228a 14a ≥+，即：24a 1≥，即：1a 2≥⑥ 将022a x 14a =+代入01x 2<得：22a 1214a<+ 即：24a 14a <+，即：24a 4a 10-+>，即：()22a 10-> 故：1a 2≠⑦结合⑥式和⑦式及a 0>所以，⑤式022a x 14a=+为一个二阶周期点，记为：122a x 14a=+⑸ 在1x 2≥及()12a 1x 2-<时解析②式对1x 2≥，函数用②式：()()200f x 2a 1x =- 对()012a 1x 2-<时，应用①式得：(())()12020f f x 2af x = 故：()()200f x 2a 1x =-，(())()()2120200f f x 2af x 4a 1x ==- 条件1：()2004a 1x x -=，即：2024a x 14a=+；条件2：()002a 1x x -≠，即：02ax 12a≠+. 则：222a 4a 12a 14a ≠++，即：22a 4a ≠，即： a 0≠且1a 2≠ i>将2024a x 14a=+代入()012a 1x 2-<得：()224a 12a 1214a -<+ 即：()214a 114a<+，即：24a 4a 10-+>，即：()22a 10->即：1a 2≠ii> 将2024a x 14a =+代入01x 2≥得：224a 1214a>+ 即：228a 14a >+，即：24a 1>，即：1a 2>结合i>和ii>及a 0>所以，2024a x 14a=+为另一个二阶周期点，记为：2224a x 14a=+⑹ 在1x 2≥及()12a 1x 2-≥时解析②式对1x 2≥，函数用②式：()()200f x 2a 1x =- 对()012a 1x 2-≥时，应用②式得：(())[()]22020f f x 2a 1f x =- 即：(())[()]2222000f f x 2a 12a 1x 2a 4a 4a x =--=-+ ⑧ 条件1：22002a 4a 4a x x -+=，即：()022a 12a x 14a-=-当12a 0-≠时，上式即：02ax 12a=+ 条件2：()002a 1x x -≠，即： 02ax 12a≠+()()2xf x 1x e-=+，()cos 3x g x ax 12x x 2=+++，当[,]x 01∈时，若()()f x g x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 解析：⑴ 解读题意由于[,]x 01∈，所以有n x x ≤（n N +∈）. 故可以考虑将函数化为幂函数来解决.由于()()2x f x 1x e -=+，()f 01=，'()[()]()2x 2x f x 121x e 12x e --=-+=-+()cos 3x g x ax 12x x 2=+++，()g 01=，'()cos sin 23x g x a 2x 2x x 2=++-构建函数：()()()h x f x g x =-⑵ 将函数()f x 化为幂函数形式构建函数：()1f x 1Ax =+，满足条件1：()()1f x f x ≤ ① 构建函数：()()()21f x f x f x =-，条件1成为：()2f x 0≤ ② 则：()()()21f 0f 0f 00=-=导函数：'()'()'()()2x 21f x f x f x A 12x e -=-=++ ③ 要满足[,]x 01∈时()2f x 0≤，必须是：'()2f x 0≤ 故由③式：()2x A 12x e -≤-+ ④ ⑶ 解析④式因为④式，记()()2x 0h x 12x e -=-+，则：'()[()]2x 2x 0h x 2212x e 2xe --=--+= 当x 0≥时，()0h x 是x 的单调递增函数. 故：()()00h x h 01≥=-，则由④式：A 1≤-； 且：()()200h x h 13e -≤=-，则由④式：2A 3e -≤-. 由于213e --<-，所以满足[,]x 01∈区间时，A 1≤-取A 的最大值，A 1=-⑷ 构建函数()1g x 化解cos x由于cos x 是偶函数，且cos sin ()()222x x x x 12121222=-≤-⋅=-函数()g x 在()h x 中的不等号方向是：()h x 0≥，即：()g x 0-≥，即：()g x 0≤ 应构建函数()cos 1g x x ≥，且()1g x 也是偶函数.构建函数：()21g x 1Bx =-，满足条件2：()cos 1g x x ≥ ⑸ 构建函数()()cos 31g x g x x =-构建函数：()()cos 31g x g x x =-，条件2成为：()3g x 0≥ 则：()()cos 31g 0g 000=-=，导函数：'()'()sin 31g x g x x =+ ⑤ 要满足[,]x 01∈时()3g x 0≥，必须是：'()3g x 0≥ 故由⑤式：'()sin sin 1g x x 2Bx x 0+=-+≥，则：sin xB 2x≤⑥ 当x 0→时，sin limx 0x 1B 2x2→≤= 当x 1=时，由⑥式得：sin .1B 0422≤取满足⑥式得B 的最大值，sin (.)1B 0422== ⑹ 构建函数：()2g x构建函数：()()321x g x ax 12xg x 2=+++ 即： ()()()()3232x 1g x ax 12x 1Bx 1a 2x 2B x 22=+++-=+++- 因为()cos 1g x x ≥，则：()()2g x g x ≥ ⑺ 构建函数()1h x ，求a 的范围构建函数：()()()112h x f x g x =-若()1h x 0≥，因为()()()()()()121h x f x g x f x g x h x =-≥-=，所以()h x 0≥于是：()()[()()]311h x 1x 1a 2x 2B x 2=--+++-()()31a 3x 2B x 2=-++-要使12B 02-≥，则1B 4≥，故：sin [,]11B 42∈ 此时，()()()()311h x a 3x 2B x a 3x 2=-++-≥-+若要()1h x 0≥，即：()a 3x 0-+≥，则：a 30+≤，即(,]a 3∈-∞-所以，当[,]x 01∈时，若()()f x g x ≥恒成立，实数a 的取值范围(,]a 3∈-∞-.()()ln ()2x 2x a x 0f x xx 0⎧++<⎪=⎨⎪>⎩，其中a 是实数. 设(,())11A x f x ，(,())22B x f x 为该函数图像上的两点，且12x x <.若函数()f x 的图像在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围.解析：函数的导函数为：()'()()2x 2x 0f x 1x 0x⎧+<⎪=⎨>⎪⎩如果图像在点,A B 处的切线重合，则点,A B 分处于两个不同区间. 因12x x <，故A 点在1x 0<区间，B 点在2x 0>区间. ⑴ 设过A 点的切线方程为：'()()111y y f x x x =+- ①则：2111y x 2x a =++ ②'()11f x 2x 2=+ ③将②③式代入①式得：()()21111y x 2x a 2x 2x x =++++-即：()211y 2x 1x x a =+-+ ④⑵ 设过B 点的切线方程为：'()()222y y f x x x =+- ⑤ 则：ln 22y x = ⑥， '()221f x x = ⑦ 将⑥⑦式代入⑤式得：ln ()2221y x x x x =+⋅-，即：ln 221y x x 1x =+- ⑧ ⑶即：()ln 1221212x 1x x a x 1⎧+=⎪⎨⎪-+=-⎩ 由1x 0<,2x 0>得：()1212x 10x +=>，即：1x 1>-，故：(,)1x 10∈- 由()1212x 1x +=得：()211x 2x 1=+，即：21x 2>，故：(,)21x 2∈+∞ 由ln 212x a x 1-+=-得：ln 221a x 1x =-+ ⑨ ⑷ 求a 的取值范围由⑨式可知，a 随1x ，2x 单调递增 则a 有最小值，当1x 0→，21x 2→时，a →最小值. 故：(,)ln ln 1211a a x 0x 102122>===-+=--，即：ln a 21>--()ln f x x ax =-，()x g x e ax =-，其中a 为实数．若()f x 在(,)1+∞上是单调减函数，且()g x 在(,)1+∞上有最小值，求a 的取值范围. 解析：函数()f x 的导函数为：'()1f x a x=- ① 函数()g x 的导函数为：'()x g x e a =- ②⑴ 由()f x 在(,)1+∞上是单调减函数得：'()f x 0≤ (,)x 1∈+∞ 代入①式得：1a 0x -≤，即：1a x≥考虑到(,)x 1∈+∞，故：a 1>，即：(,)a 1∈+∞ ⑵ 由()g x 在(,)1+∞上有最小值，是最值点为0x x = 则：'()0g x 0=，(,)0x 1∈+∞代入②式得：0x e a 0-=，即：0x a e =，即：ln 0x a =考虑到(,)0x 1∈+∞，故：a e >，即：(,)a e ∈+∞()()x 2f x x 1e kx =-- (其中k R ∈).当(,]1k 12∈时,求函数()f x 在[,]0k 上的最大值M .解析：函数()f x 的最大值出现在两个地方：一个是区间的端点，另一个是导数'()f x 0=的地方.⑴ 在区间端点x 0=处函数值为：()()02f 001e k 01=--=- ① ⑵ 在区间端点x k =处函数值为：()()k 3f k k 1e k =-- ②因为：k e k 1≥+，所以：()()()323f k k 1k 1k k 1k ≥-+-=-- 即：()()232f k k k 1k 1k 1≥--=--因为：(,]1k 12∈，所以：()()2f k k 1k 11≥--≥-即：()()f k f 01≥=- ③ ⑶ 在极值点0x x =处当()f x 取极值0x x =时，其导数'()0f x 0= 即：'()()00x x 0000f x x e 2kx x e 2k =-=- 则：0x 0=和0x e 2k 0-=，即：ln()0x 2k = 故：0x 0=时，或ln()0x 2k =，函数的极值点.⑷ 当0x 0=时，()()0f x f 01==- 函数值与①式相同. ⑸ 当ln()0x 2k =时()()0x 2000f x x 1e kx =--[ln()ln ()]2k 22k 22k =--[ln()]()ln ()200002k 12k k 2k =-⋅-⋅[ln()ln ()]2000k 22k 22k =-- 令：()[ln()ln ()]2g k k 22k 22k =--则其导函数为：ln()'()[ln()ln ()][]2222k g k 22k 22k k k k=--+-即：'()ln ()2g k 2k 0=-≤故：()g k 是随k 单调递减函数，其最大值为()()11g 2122=-=-即：()0f x 的最大值是 ()0f x 1=- ④⑹ 通过这所有情况的对比，③式表明②式()()k 3f k k 1e k =--为最大值.当1k 2→时，()).1f k 0949728→-+-()()3211f x x ax a 1x 132=-+-+在区间(,)14内为减函数，在区间(,)6+∞上为增函数，试求实数a 的取值范围.解析：由导函数的正负来判定函数的增减.函数()f x 的导函数为：'()()2f x x ax a 1=-+- ①⑴ 若导函数'()f x 在区间(,)14内为负值，则()f x 在该区间为减函数. 故：当(,)x 14∈时，'()()2f x x ax a 10=-+-<则：'()f x 为开口向上的二次函数，其两个零点分别是1x 1≤和2x 4≥于是化为解二次方程：()2x ax a 10-+-= 由韦达定理得：12x x a +=，12x x a 1=- 即：12a x x 5=+≥ ②故当：12a x x 5=+≥时，()f x 在(,)x 14∈区间为减函数. ⑵ 若导函数'()f x 在区间(,)6+∞内为正值，则()f x 在该区间为增函数. 故：当(,)x 6∈+∞时，'()()2f x x ax a 10=-+->则：当x 6=时， '()f x 0≥，即：'()()2f 666a a 10=-+-≥ 故：()266a a 10-+-≥，即：355a 0-≥，即：a 7≤ ③()22x a f x x 2-=+在区间[,]11-上是增函数，实数a 的值组成的集合A . 设关于x 的方程()1f x x=的两个非零实根为,12x x . 若存在实数m ，使得不等式212m tm 1x x ++≥-对任意a A ∈及[,]t 11∈-恒成立，求m 的取值范围. 解析：⑴ 函数与其导函数函数：()22x a f x x 2-=+ ①其导函数：'()[()()]()2221f x 2x 22x 2x a x 2=+--+ ()()2222x ax 2x 2=-+++ ② ⑵ 分析()f x 增减性得出A()f x 在区间[,]11-上是增函数，即：'()f x 0≥，[,]x 11∈-A> 当x 0=时，'()()()2222f 00a 021002=-+⋅+=>+ ③ B> 当x 0<时，即[,)x 10∈-，欲使'()f x 0≥即：()2x ax 20-++≥，即：2ax x 2≥-，即：2a x x≤- ④ 记：()12g x x x =-，则：'()122g x 10x=+> 即：2x x-是随x 单调递增的，即：()()()112g x g 1111≥-=--=- 故由④式得：a 1≤ ⑤C> 当x 0>时，即(,]x 01∈，欲使'()f x 0≥即：()2x ax 20-++≥，即：2ax x 2≥-，即：2a x x≥- ⑥ 记：()22g x x x =-，则：'()222g x 10x=+> 即：2x x-是随x 单调递增的，即：()()222g x g 1111≥=-=-故由⑥式得：a 1≥- ⑦ 综合⑤⑦式得：[,]a 11∈- ⑧ ⑶ 解关于x 的方程()1f x x= 关于x 的方程()1f x x =，即：22x a 1xx 2-=+ （x 0≠） 即：222x ax x 2-=+，即：2x ax 20-+= ⑨设两个非零实根为,12x x ，则由韦达定理得：12x x a +=，12x x 2⋅=-于是：12x x -== ⑩ ⑷ 解析不等式212m tm 1x x ++≥-将⑩代入不等式得：2m tm 1++≥2m tm 10++≥构建函数：()2h m m tm 1=++则()h m 是开口向上的抛物线，其解为,12m m ，于是不等式的解为1m m ≤和1m m ≥。
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导数解答题题型分类之拓展篇（一）编 制:王 平 审 阅：朱 成 2014-05-31题型一：最常见的关于函数的单调区间；极值；最值；不等式恒成立；经验1：此类问题提倡按以下三个步骤进行解决：第一步：令0)('=x f 得到几个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 经验2：不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种：第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）；题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）； 第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）； 第三种：关于二次函数的不等式恒成立； 第四种：构造函数求最值；题型特征（)()(x g x f >恒成立0)()()(>-=⇔x g x f x h 恒成立）；参考例4；例1.已知函数321()23f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点．（Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，22()3f x a ->恒成立，求a 的取值范围．例2.设22(),1x f x x =+()52(0)g x ax a a =+->。
（1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域；（2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。
例3.已知函数32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-，326()(1)3(0)2t g x x x t x t -=+-++>（Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域；（Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。
例4.已知定义在R 上的函数32()2f x ax ax b =-+）（0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围.例 5.已知函数23)(ax x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为5102，函数33)()(22+-=abx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式；（2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围．题型二：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x 轴即方程根的个数问题；经验1：已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种： 第一种：转化为恒成立问题即0)(0)(''≤≥x f x f 或在给定区间上恒成立，然后转为不等式恒成立问题；用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（看是否在0的同侧），如果是同侧则不必分类讨论；若在0的两侧，则必须分类讨论，要注意两边同处以一个负数时不等号的方向要改变！有时分离变量解不出来，则必须用另外的方法； 第二种：利用子区间（即子集思想）；首先求出函数的单调增或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子集；参考08年高考题；第三种方法：利用二次方程根的分布，着重考虑端点函数值与0的关系和对称轴相对区间的位置；可参考第二次市统考试卷；特别说明：做题时一定要看清楚“在（a,b ）上是减函数”与“函数的单调减区间是（a,b ）”，要弄清楚两句话的区别；经验2：函数与x 轴即方程根的个数问题解题步骤第一步：画出两个图像即“穿线图”（即解导数不等式）和“趋势图”即三次函数的大致趋势“是先增后减再增”还是“先减后增再减”；第二步：由趋势图结合交点个数或根的个数写不等式（组）；主要看极大值和极小值与0的关系；第三步：解不等式（组）即可；例6．已知函数232)1(31)(x k x x f +-=，kx x g -=31)(，且)(x f 在区间),2(+∞上为增函数． （1）求实数k 的取值范围；（2）若函数)(x f 与)(x g 的图象有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．例7.已知函数.313)(23ax ax x f -+-=（I ）讨论函数)(x f 的单调性。
（II ）若函数)(x f y =在A 、B 两点处取得极值，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围。
例8．已知函数f(x)＝x 3－ax 2－4x ＋4a ，其中a 为实数．(Ⅰ)求导数f '(x)；(Ⅱ)若f '(－1)＝0，求f(x)在[－2，2]上的最大值和最小值；(Ⅲ)若f(x)在(－∞，－2]和[2，＋∞)上都是递增的，求a 的取值范围例9.已知：函数c bx ax x x f ++-=23)(（I ）若函数)(x f 的图像上存在点P ，使点P 处的切线与x 轴平行，求实数b a , 的关系式；（II ）若函数)(x f 在1-=x 和3=x 时取得极值且图像与x 轴有且只有3个交点，求实数c 的取值范围.例10．设()y f x =为三次函数，且图像关于原点对称，当12x =时，()f x 的极小值为1-． （Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）证明：当),1(∞+∈x 时，函数()f x 图像上任意两点的连线的斜率恒大于0．例11．在函数)0()(3≠+=a bx ax x f 图像在点（1，f （1））处的切线与直线.076=++y x 平行，导函数)('x f 的最小值为－12。
（1）求a 、b 的值；（2）讨论方程m x f =)(解的情况（相同根算一根）。
导数解答题题型分类之拓展篇（二）编 制:王 平 审 阅：朱 成 2014-06-01例12．已知定义在R 上的函数),,()(3R c b a c bx ax x f ∈++=，当1-=x 时，)(x f 取得极大值3，1)0(=f .（Ⅰ）求)(x f 的解析式；（Ⅱ）已知实数t 能使函数f (x)(t,t 3)+在区间上既能取到极大值，又能取到极小值，记所有的实数t 组成的集合为M.请判断函数()()()f x g x x M x=∈的零点个数.例13.已知函数)(,42)1(3)(223x f k x k kx x f 若+-+-=的单调减区间为（0，4） （I ）求k 的值；（II ）若对任意的)(52],1,1[2t f a x x x t =++-∈的方程关于总有实数解，求实数a 的取例14.已知函数b a R x x bx ax x f ,,()(23∈-+=是常数)，且当1=x 和2=x 时，函数)(x f 取得极值.（Ⅰ）求函数)(x f 的解析式；（Ⅱ）若曲线)(x f y =与)02(3)(≤≤---=x m x x g 有两个不同的交点，求实数m 的取值范围.例15.已知f (x)＝x 3＋bx 2＋cx ＋2．⑴若f(x)在x ＝1时有极值－1，求b 、c 的值；⑵若函数y ＝x 2＋x －5的图象与函数y ＝xk 2-的图象恰有三个不同的交点，求实数k 的取值范围．例16. 设函数ax x x x f +-=2331)(，b x x g +=2)(，当21+=x 时，)(x f 取得极值.（1）求a 的值，并判断)21(+f 是函数)(x f 的极大值还是极小值；（2）当]4,3[-∈x 时，函数)(x f 与)(x g 的图象有两个公共点，求b 的取值范围.题型三：函数的切线问题；经验1：在点处的切线，易求；经验2：过点作曲线的切线需四个步骤；第一步：设切点，求斜率；第二步：写切线（一般用点斜式）；第三步：根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程；第四步：判断三次方程根的个数；例17.已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极小值－4，使其导数'()0f x >的x 的取值范围为(1,3)，求：（1）()f x 的解析式；（2）若过点(1,)P m -可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．例18. 已知32()4f x x ax x =--（a 为常数）在2x =时取得一个极值，（1）确定实数t 的取值范围，使函数()f x 在区间[,2]t 上是单调函数；（2）若经过点A （2，c ）（8c ≠-）可作曲线()y f x =的三条切线，求c 的取值范围．题型四：函数导数不等式线性规划结合；例19.设函数3211()(,)32g x x ax bx a b R =+-∈，在其图象上一点(,)F x y 处的切线的斜率记为()f x ．(1)若方程()f x 有两个实根分别为-2和4，求()f x 的表达式；(2)若()g x 在区间[]1,3-上是单调递减函数，求22a b +的最小值。
例20.已知函数),(31)(23R b a bx ax x x f ∈-+=（1）若)(x f y =图象上的是)311,1(-处的切线的斜率为)(,4x f y =-求的极大值。
（2）)(x f y =在区间]2,1[-上是单调递减函数，求b a +的最小值。
例21. 已知函数23)(nx mx x f +=（m ，R n ∈，n m >且0≠m ）的图象在))2(,2(f 处的切线与x 轴平行.(I) 试确定m 、n 的符号；(II) 若函数)(x f y =在区间[,]n m 上有最大值为2n m -，试求m 的值.题型五：函数导数不等式的结合例22.已知函数()()0≠++=x b xa x x f ，其中Rb a ∈,. （Ⅰ）若曲线()x f y =在点()()2,2f P 处的切线方程为13+=x y ，求函数()x f 的解析式； （Ⅱ）讨论函数()x f 的单调性； （Ⅲ）若对于任意的⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,21a ，不等式()10≤x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,41上恒成立，求b 的取值范围.例23.已知函数321()1(,3R f x x ax bx x a =+-+∈，b 为实数）有极值，且在1=x 处的切线与直线01=+-y x 平行.（1）求实数a 的取值范围；（2）是否存在实数a ，使得函数)(x f 的极小值为1，若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由；例24.已知函数d cx x ax x f ++-=234131)(（a 、c 、d ∈R ）满足0)1(',0)0(==f f 且0)('≥x f 在R 上恒成立。
（1）求a 、c 、d 的值；（2）若41243)(2-+-=b bx x x h ，解不等式0)()('<+x h x f ；例25.设函数2()()f x x x a =--（x R ∈），其中a R ∈（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点（2，(2)f ）处的切线方程； （2）当0a ≠时，求函数()f x 的极大值和极小值；（3）当3a >时，证明存在[1,0]k ∈-，使得不等式22(cos )(cos )f k x f k x -≥-对任意的x R ∈恒成立。