小学数学 第21讲“不变量”解题
小学六年级奥数- 抓“不变量”解题
二、பைடு நூலகம்讲精练
【例题2】
二、精讲精练
练习2：
二、精讲精练
【例题3】
二、精讲精练
练习3：
二、精讲精练
【例题4】
二、精讲精练
练习4：
二、精讲精练
【例题5】
二、精讲精练
练习5：
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
小学六年级奥数- 抓“不变量”解 题
第21讲
专题简析：
一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要 分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分 子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后， 再转化并解答。
二、精讲精练 【例题1】
二、精讲精练 【例题1】
二、精讲精练 练习1：
小红讲数学不变量
小红讲数学不变量
什么叫“不变量”？小红认为在解决问题时，条件发生了各种变化后，但是某个量或者某种关系恒定不变，这个量或者关系就成为解决问题的突破口的数学思想方法。
小红：下面我通过一个题目来说明“不变量”的数学思想方法。
健健今年8岁，妈妈今年32岁，多少年后，妈妈的年龄是健健年龄的3倍？
（1）初看这个题目似乎只能通过列举法来解决问题。
尝试操作后，我们会发现需要列举很多次，比较麻烦，肯定不是一种最合理的解法。
（2）当问题很难，没有头绪时，记得用“不变量”来思考问题。
今年和多少年后有什么东西始终没有发生变化呢？对了！是妈妈与健健的年龄差始终不变。
因此我们求出今年妈妈与健健的年龄差：32-8=24（岁）
（3）多少年后，妈妈与健健的年龄差等于今年妈妈与健健的年龄差，即也相差24岁。
（4）利用“归一思想”（不知道什么是“归一思想”可以看我前天的文章）发现多少年后，妈妈与健健的年龄差刚好是2个健健的年龄：3-1=2
（5）此时健健的年龄：24÷2=12（岁）
（6）健健经过了多少年：12-8=4（年）。
不变量
两个数量之间的倍数关系，常常随着数量的增加或者减少而发生改变，这类题目容易变化，但解答时只要认真审题，能在数量变化中找到不变量，以此作为突破口，问题就能得到解决。
例1：甲仓库存粮108吨，乙仓库存粮140吨，要使甲仓库存粮数是乙仓库的3倍，必须从乙仓库运走多少吨？(甲不变)分析与解：在从乙仓库运走粮食前后，乙仓库的存粮变少了，两个仓库存粮的总量也变少了，但甲仓库的存粮不变，这是本题解题的关键。
即108吨就是乙仓库现有存粮的3倍，乙仓库现在有粮食108÷3=36吨，所以必须从乙仓库运走140-36=104吨。
验证：108÷(140-104)=108÷36=3，答案正确。
例2：甲仓库存粮108吨，乙仓库存粮140吨，要使甲仓库存粮数是乙仓库的3倍，必须运进多少吨到甲仓库？(乙不变)分析与解：在运进粮食到甲仓库前后，甲仓库的存粮变多了，两个仓库存粮的总量也变多了，但乙仓库的存粮不变，这是本题解题的关键。
甲仓库现有存粮即乙仓库存粮的3倍，也就是140×3=420吨，所以必须运进420-108=312吨到甲仓库。
验证：(108+312)÷140=420÷140=3，答案正确。
例3：甲仓库存粮108吨，乙仓库存粮140吨，要使甲仓库存粮数是乙仓库的3倍，必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库？(和不变)分析与解：在从乙仓库运粮食到甲仓库前后，甲仓库的存粮变多了，乙仓库的存粮变少了，但两个仓库存粮的总量不变，这是本题解题的关键。
即(108+140)吨就是乙仓库现有存粮的(3+1)倍，乙仓库现在有存粮(108+140)÷(3+1)=62吨，所以必须从乙仓库运出140-62=78吨放入甲仓库。
验证：(108+78)÷(140-78)=186÷62=3，答案正确。
例4：甲仓库原有存粮108吨，乙仓库原有存粮140吨，要使乙仓库存粮数是甲仓库的3倍，必须分别从两个仓库同时运走吨。
抓“不变量”解题
例6、现有浓度为20%的食盐水80克。把这些食盐水变为浓度为75％的食盐水，需要再加食盐多少克?
举一反三（易错点、方法、技巧、知识串联）
培优题
课 堂 札 记
1、育才小学六（1）班原有学生56人，其中女生人数占全班人数的3/7，现又转入若干名女生，这时，女生人数占全班的13/29。问又转入多少名女生？
例题精讲
基础题
课 堂 札 记
考点一：总量不变
题中两个变化的量中，一个量在增加，另一个量减少，但是增加的和减少的同样多，所以两个量的总和保持不变。解题时，一般把两个量的总和看作单位“1”或者把其中一个量看作是1倍的量。
例1、有一个书架,上层与下层书的数量比是7:8,现从上层拿10本给下层,这时上层与下层的数量比是8:7,求原来上、下层各有多少本?
例2、小丽有故事书108本，小芳有故事书140本，小芳借了若干本故事书给小丽后，小丽的故事书的本数是小芳的3倍。问小芳借了多少本故事书给小丽？
例3、有一个书架，上层与下层书的数量比是2：3，现从上层拿15本书给下层，这时上层与下层书的数量比是3：扫除的人数是未参加的 ,后来又有2个同学主动参加，实际参加的人数是未参加人数的 ，问某班五年级有学生多少人?
9、在阅览室里,女生占全室人数的 ，后来又进来5名女生，这时女生占全室人数的 ，阅览室原有多少人?
10、现有浓度为20%的食糖水160克,把这些食糖水变为浓度为75％的食糖水，需加食糖多少克？
11、乙队原有人数是甲队的 。现在从甲队派30人到乙队，则乙队人数是甲队的 .甲乙两队原来各有多少人？
课堂小结
4、甲、乙两个书架放图书册数的比是7︰5，从甲书架上拿78册到乙书架，甲、乙书架上的图书册数的比变为3︰4。甲书架原有图书多少册？
六年级上册数学小升初常考奥数第21讲“不变量”解题
第21周抓“不变量”解题一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。
抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。
二、精讲精练【例题1】将4361的分子与分母同时加上某数后得79，求所加的这个数。
解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79 ，由此可求出新分数的分子和分母。
” 分母：（61-43）÷（1－79）＝81 分子：81×79＝63 81-61＝20或63-43＝20解法二：4361的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以将79的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。
79 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍） 约分后所得的79在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝6381所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。
练习1： 1、分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25 ，那么减去的数是多少？ 2、分数113的分子、分母同加上一个数后得35，那么同加的这个数是多少？ 3、319的分子、分母加上同一个数并约分后得57，那么加上的数是多少？4、将5879这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23，那么减去的数是多少？【例题2】将一个分数的分母减去2得45，如果将它的分母加上1，则得23，求这个分数。
解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45”可知，分母比分子的54 倍还多2。
由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的32倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。
分子：（2+1）÷（32－54）=12 分母：12×32-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
不变量解题四种方法
不变量解题四种方法一、引言不变量是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们解决各种问题。
在解题过程中，我们可以根据不变量的特性来判断某些事物是否发生了改变，从而得出结论。
本文将介绍四种使用不变量解题的方法。
二、方法一：数学归纳法1. 定义不变量：在使用数学归纳法时，需要定义一个与题目相关的不变量。
2. 假设成立：假设当n=k时，不变量成立。
3. 证明当n=k+1时也成立：利用假设成立的条件和题目条件，证明当n=k+1时，不变量仍然成立。
4. 结论：由数学归纳法可知，在所有正整数下，该不变量均成立。
三、方法二：矛盾法1. 假设反面命题为真：在使用矛盾法时，需要先假设反面命题为真。
2. 推导出矛盾结论：通过推导和逻辑推理，得出与已知事实相矛盾的结论。
3. 得出结论：由于假设反面命题为真会导致矛盾结论出现，因此原命题为真。
四、方法三：最值法1. 寻找最值：在使用最值法时，需要寻找一个与题目相关的最值。
2. 证明不变量：通过对最值的分析，得出一个与题目相关的不变量。
3. 利用不变量解题：根据不变量的特性，可以得出结论。
五、方法四：反证法1. 假设反命题为真：在使用反证法时，需要假设反命题为真。
2. 推导出矛盾结论：通过推导和逻辑推理，得出与已知事实相矛盾的结论。
3. 得出结论：由于假设反命题为真会导致矛盾结论出现，因此原命题为真。
六、总结以上四种方法都是基于不变量的思想来解决问题。
在实际应用中，我们可以根据具体问题选择合适的方法。
同时，在使用这些方法时也需要注意分析问题、定义不变量等细节问题。
“不变量”解题
第21讲“不变量”解题一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。
抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。
二、精讲精练【例题1】将6143的分子与分母同时加上某数后得97，求所加的这个数。
解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79，由此可求出新分数的分子和分母。
” 分母：（61-43）÷（1－79）＝81 分子：81×79＝63 81-61＝20或63-43＝20解法二：4361的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以将79的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。
79 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍） 约分后所得的79在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝6381所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。
练习1： 1、分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25 ，那么减去的数是多少？ 2、分数113的分子、分母同加上一个数后得35，那么同加的这个数是多少？3、将5879这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23，那么减去的数是多少？【例题2】将一个分数的分母减去2得45，如果将它的分母加上1，则得23，求这个分数。
解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45”可知，分母比分子的54倍还多2。
由“分母加1得23”可知，分母比分子的32倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。
分子：（2+1）÷（32－54）=12 分母：12×32-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
六年级抓不变量解题
第二十一周 抓“不变量”解题专题简析：一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。
抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。
例1．将4361 的分子与分母同时加上某数后得79，求所加的这个数。
解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79 ，由此可求出新分数的分子和分母。
”分母：（61-43）÷（1－79 ）＝81分子：81×79 ＝6381-61＝20或63-43＝20解法二：4361 的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所以将79 的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。
① 79 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）② 约分后所得的79 在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝6381③ 所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。
练习1：1、 分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25 ，那么减去的数是多少？2、 分数113 的分子、分母同加上一个数后得35 ，那么同加的这个数是多少？3、319 的分子、分母加上同一个数并约分后得57，那么加上的数是多少？ 4、 将5879 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23，那么减去的数是多少？例2：将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得23 ，求这个分数。
解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45 ”可知，分母比分子的54 倍还多2。
由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的32 倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。
分子：（2+1）÷（32 －54 ）=12分母：12×32-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
小学六年级奥数第21讲“不变量”解题(含答案分析)
第21讲“不变量”解题一、知识要点一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。
抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。
二、精讲精练【例题1】将6143的分子与分母同时加上某数后得97，求所加的这个数。
解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的79，由此可求出新分数的分子和分母。
” 分母：（61-43）÷（1－79）＝81 分子：81×79＝63 81-61＝20或63-43＝20解法二：4361的分母比分子多18，79的分母比分子多2，因为分数的与分母的差不变，所以将79的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。
79 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍） 约分后所得的79在约分前是：79 ＝7×99×9 ＝6381所加的数是81-61＝20答：所加的数是20。
练习1： 1、分数97181 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是25，那么减去的数是多少？2、分数113 的分子、分母同加上一个数后得35，那么同加的这个数是多少？3、将5879 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是23，那么减去的数是多少？【例题2】将一个分数的分母减去2得45 ，如果将它的分母加上1，则得23，求这个分数。
解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得45”可知，分母比分子的54 倍还多2。
由“分母加1得23 ”可知，分母比分子的32倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。
分子：（2+1）÷（32 －54）=12 分母：12×32-1＝17解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
不变量问题公式
不变量问题公式一、题目。
1. 有一杯盐水，盐和水的比是1:10，再放入2克盐，新盐水重35克，求原来盐水中盐和水各多少克？- 解析：新盐水重35克，原来盐水重35 - 2 = 33克。
因为原来盐和水的比是1:10，设原来盐有x克，则水有10x克，x+10x = 33，11x = 33，解得x = 3克，那么水有10×3 = 30克。
2. 某工厂甲车间人数与乙车间人数比为3:2，从甲车间调10人到乙车间后，甲车间人数与乙车间人数比变为7:8。
求原来甲、乙车间各有多少人？- 解析：设原来甲车间有3x人，乙车间有2x人。
调动后甲车间有3x - 10人，乙车间有2x+10人，根据调动后比例可得(3x - 10):(2x + 10)=7:8，即8(3x -10)=7(2x + 10)，24x-80 = 14x + 70，24x-14x = 70 + 80，10x = 150，x = 15。
所以原来甲车间有3×15 = 45人，乙车间有2×15 = 30人。
3. 一个分数，分子与分母的和是45，如果分子加上3，分母不变，这个分数就等于1。
求原来的分数。
- 解析：设原来分子为x，分母为y，则x + y=45，(x + 3)/(y)=1即x+3 = y。
将y=x + 3代入x + y = 45中，得x+(x + 3)=45，2x+3 = 45，2x = 42，x = 21，则y = 21 + 3 = 24，原来的分数是(21)/(24)。
4. 甲、乙两包糖的重量比是4:1，如果从甲包取出10克放入乙包后，甲、乙两包糖的重量比变为7:5。
求两包糖的总重量。
- 解析：设乙包糖原来重x克，则甲包糖原来重4x克。
(4x - 10):(x +10)=7:5，5(4x - 10)=7(x + 10)，20x-50 = 7x + 70，20x - 7x = 70+50，13x = 120，x=\frac{120}{13}\)。
数学不变量的公式
数学不变量的公式不变量是现代数学的主旋律并不为过，现代数学的几乎每个领域都有着自己的不变量，其理论之丰富与艰深，不是一般人可以想象的。
神奇的是不同学科中所发现的不变量相互间有着不可思议的关系！我们来看一个最简单的例子（此处只是个直观的描述，叙述并不严密，例如解析函数的范围并没有加以限定，事实上，通常人们限定在某种度量下的解析函数构成的空间，如Hardy 空间、Bergman空间等）：（阅读此段感到困难者可跳过）记T为复平面C内的单位圆周，即T={z∈C||z|=1}，f（z）=z n，z∈T，n是某个整数，如果用指数形式来表示，则z=e iθ，θ是幅角。
假设n是正整数，想象一下，当θ从0变到2π时，z n绕圆周T走了几圈？它刚好沿逆时针方向走了n圈（如果n是负整数，则刚好沿顺时针方向走了-n圈，按照惯例，逆时针方向称为正向，顺时针方向称为负向）。
我们把n称为函数f（z）绕原点的绕数（winding number），记作w（f，0），这是个拓扑指标，它决定了方程f（z）=c的解的个数。
现在我们稍微走得远一点，假设g（z）是解析函数（后面再解释为什么用解析函数以及什么区域上的解析函数），用f（z）去乘g（z）意味着什么？实际上是对g（z）做了一次变换，由于函数的四则运算是逐点定义的，所以T f（z）g（z）=f（z）g（z）是一个线性变换，取定一个解析函数h（z），方程T f（z）g（z）=h（z）是否有解？相信学过复变函数的人一定知道该方程未必有解，原因是T f未必是个满射，上述方程有解当且仅当h（z）在T f的像空间中。
那么，T f的核有多大？像空间有多大？记KerT f={g|T f g=0}，R（T f）={T f g|g是解析函数}，KerT f={0}意味着方程的解是唯一的，T f是满射意味着对一切的h，方程T f g=h有解。
这里的KerT f的确等于零，但T f却不是个满射，这就是说，对某些h，方程T f（z）g（z）=h（z）是无解的，这种h有多少？能否确定它的维数？一般情况下，使得方程T f（z）g（z）=h（z）无解的h可能形成一个无限维的空间，但对这里的f，可以验证，这样的h 只形成一个有限维空间（事实上，它是n维的），我们把无解的h形成的空间称为T f的余核，记作CokerT f，KerT f的维数与CokerT f的维数之差称为T f的Fredholm指标，记作IndexT f，这是线性变换（算子）理论中的一个重要不变量，它有着许多重要性质，此处就不能讨论了，对f（z）=z n，IndexT f=-n。
小学六年级奥数抓不变量解题标准文档ppt
二、精讲精练
练习2：
二、精讲精练
【例题3】
二、精讲精练
练习3：
小学六年级奥数抓不变量解题 一小些学分 六数年的级分奥子数与抓分不母变被量施解行题了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。 小学六年级奥数抓不变量解题 小学六年级奥数抓不变量解题 小学六年级奥数抓不变量解题 小学六年级奥数抓不变量解题 一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。 小学六年级奥数抓不变量解题 小学六年级奥数抓不变量解题 小一学些六 分年数级的奥分数子抓与不分变母量被解施题行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。 小一学些六 分年数级的奥分数子抓与不分变母量被解施题行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。 一小些学分 六数年的级分奥子数与抓分不母变被量施解行题了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。 小学六年级奥数抓不变量解题
二、精讲精练
【例题5】
二、精讲精练
练习5：
感谢观看
小学六年级奥数抓不变量解题
第21讲
专题简析：
一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要 分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分 子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后， 再转化并解答。
二、精讲精练 【例题1】
二、精讲精练 【例题1】
二、精讲精练 练习1：
二、精讲精练
二、精讲练
【例题4】
二、精讲精练
练习4：
一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。 一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。 一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。 一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。 小学六年级奥数抓不变量解题 一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。 小学六年级奥数抓不变量解题 小学六年级奥数抓不变量解题 一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。 小学六年级奥数抓不变量解题 一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。 小学六年级奥数抓不变量解题 小学六年级奥数抓不变量解题 小学六年级奥数抓不变量解题 小学六年级奥数抓不变量解题 一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。
(完整版)小升初数学要抓不变量解题
小升初数学要抓不变量解题知识导航:在小学数学应用题中犹以分数应用题为学生的一大难点。
其中一类分数应用题以其特有的结构和数理关系使多数学生难以入手。
为此，经过多年的实践和摸索，我总结了一套行之有效的方法，让教者易教，学者易学。
那就是找准题目中的不变量，以不变量为突破口，根据数量间的数理关系解决问题。
抓不变量问题主要分以下三种情况。
一.抓住“和不变”在许多应用题中，看似很复杂，只要抓住某一个量是不变的，问题就好解决了。
和不变，也就是总量不变，就以不变量为单位“1”，再用“量”“率”对应解题，就很简单了。
例如：第一桶柴油的重量是第二桶的6 倍，从第一桶取出12 千克柴油加入第二桶，这时第一桶柴油的重量是第二桶的4 倍，原来第一桶有柴油多少千克？分析：两桶柴油的重量总是不变的，又未知，要看作单位“1”的量。
则“取前”第二桶占两桶总量的1÷（1 6）=1/7，“取后”第二桶占两桶总量的1÷（1 4）=1/5，第一桶取前取后差12千克，占两桶总量的1/5-1/7＝2/35，故两桶总量为：12÷2/35=210（千克）。
原来第一桶：210×6/7=180（千克）二. 抓住“差不变”有些应用题中，原来两个量的总量不同，它们用去同样多后，所剩下的总量还是不同的，但是，原来总量的差等于现在两个量的差，它们的差是不变的。
例如：新兴小学六年级有两个班，六年一班有学生48 人，六年二班有学生56 人，两个班各转出相同的人数后，六年二班人数还比六年一班人数多2/11，两个班各转出多少人？分析：两个班的人数都发生了变化。
谁不变呢？惟有转出人数相同是不变的量，所以转出前后两班人数差是不变的，又未知，必须要先求出来。
即两班人数差为：56－48＝８（人），对应转出后六年二班人数还比六年一班人数多2/11。
因此转出后一班人数为：８÷2/1144（人），转出人数是：48－44＝４（人）。
不变量六年级知识点
不变量六年级知识点六年级，是小学阶段的最后一年，也是学生进入初中前最后一个学年。
在这一年级，学生们将继续巩固之前学过的知识，并且接触一些新的学科和概念。
其中一个重要的学习目标是掌握数学中的不变量知识点。
在本文中，我们将重点介绍六年级数学中的不变量知识点。
1. 成比例和比例关系在六年级数学中，学生将学习比例和比例关系的概念。
比例指的是两个量之间的相对大小关系，可以用相等的分数表达。
而比例关系指的是两个或多个量之间的比例的稳定性。
2. 图形的不变性质在几何学中，学生会接触到不同种类的图形，例如三角形、四边形、圆等。
其中一种重要的概念是图形的不变性质。
不变性质是指在图形进行平移、旋转、翻转等变换时保持不变的性质，例如边长、面积、角度等。
3. 有理数的加减乘除在六年级数学中，学生将学习有理数的加减乘除运算。
有理数包括整数和分数，学生需要掌握有理数之间的加减乘除的规则，并能够灵活运用到解决实际问题中。
4. 分式的运算除了有理数的运算，学生还将学习分式的运算。
分式是指一个数与另一个非零数的比，包括分数和整数部分不为零的带分数。
在六年级中，学生需要学会分式之间的加减乘除运算，并能够将分式化简为最简形式。
5. 数据的图表表示与分析数据的图表表示与分析是六年级数学中的另一个重要知识点。
学生将学习如何将数据用图表形式表示，例如条形图、折线图、饼图等，以及如何从图表中获取相关信息和进行分析。
6. 速度和时间的关系在物理学中，六年级学生将学习速度和时间的关系。
速度是指单位时间内移动的距离，学生需要理解速度与时间的关系，并能够运用公式解决相关问题。
以上便是六年级数学中的一些重要的不变量知识点。
通过学习这些知识，学生将发展数学思维、逻辑推理和问题解决能力。
希望本文对你在六年级的学习中有所帮助！。
(完整版)抓不变量巧解题
抓不变量巧解题唐洋镇小学杨梅一个数量的变化，往往会引起其他数量的变化。
如“某班转走3 名女生”，女生人数变了，总人数也跟着变了，男生与女生、女生与总人数之间的倍数关系也变了……只有注意到这些变化，才能防止出错。
但在这些数量变化时，与它们相关的另外一些数量却没有改变。
在分析数量关系时，这种不变量常常会起到非常重要的作用。
抓住不变量进行思考，可以顺利解答一些经典的应用题，能达到事半功倍的效果。
根据不变量的不同，可以将“量不变”应用题分为三种类型：“总量不变”应用题、“相差量不变”应用题和“部分量不变”应用题。
一、总量不变这类应用题的特点是：题中两个变化的量中，一个量在增加，另一个量减少，但是增加的和减少的同样多，所以两个量的总和保持不变。
解题时，一般把两个量的总和看作单位“ 1”或者把其中一个量看作是 1 倍的量。
[ 问题1] ：小丽有故事书108 本，小芳有故事书140本，小芳借了若干本故事书给小丽后，小丽的故事书的本数是小芳的3 倍。
问小芳借了多少本故事书给小丽？[ 思路点拔] ：小芳借了若干本故事书给小丽前后，小芳和小丽拥有故事书的本数都发生了变化，但两人拥有故事书的总本数不变，这是本题解题的关键。
即(108+140)本就是小芳现有故事书的本数的(3+1) 倍，因此小芳现有故事书的本数是(108+140) + (3+1)=62本，所以小芳借给小丽故事书的本数是140-62=78(本)。
可以验证一下：(108+78) -(140-78)=186-62=3，答案正确。
[问题2] ：有一个书架，上层与下层书的数量比是2：3，现从上层拿15本书给下层，这时上层与下层书的数量比是3：7，求原来上、下层各有多少本书？[ 思路点拔] ：根据题意，上、下两层书的本数都发生了变化，而上下两层书的总数量是不变的，可把总数量看作单位“ 1”。
抓住总数量不变，根据上层与下层书的数量比是2:3, 知道上层书占总数的2/5 ；又根据上层与下层书的数量比是3:7,知道上层书占总数的3/10,两人故事书的总本数是：15- （2/5-3/10 ）= 150（本），所以上层原有书150X 2/5=60 （本），下层原有书150-60=90 （本）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
1
4、一个分数，如果分子减 1，这个分数等于 ；如果分母加 11，这个分数等于 ，这个分
2
3
数是多少？
35
分子：（2+1）÷（ － ）=12
24
3
分母：12× -1＝17
2
解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
2 4 12 4 12
①将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差 3。 ＝ ＝ ， ＝
3 6 18 5 15
②原分数的分母是：
18-1＝17 或 15+2＝17
12
答：这个分数为 。
17
练习 2：
解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是 18，
所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少 18，切分子
7
是分母的 ，由此可求出新分数的分子和分母。”
9
7
分母：（61-43）÷（1－ ）＝81
9
7
分子：81× ＝63
9
81-61＝20 或 63-43＝20
2
3
数是多少？
三、课后练习
3
5
1、 的分子、分母加上同一个数并约分后得 ，那么加上的数是多少？
19
7
3
4
2、将一个分数的分母加上 2 得 ，分母加上 2 得 。原来的分数是多少？
4
5
7
3、一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一
9 3
个数，这个分数就等于 ，数的分母加上 2 得 ，分母加上 3 得 。原来的分数是多少？
9
4
3
4
2、将一个分数的分母加上 3 得 ，分母加上 2 得 。原来的分数是多少？
4
5
3
4
3、将一个分数的分母加上 5 得 ，分母加上 4 得 。原来的分数是多少？
7
9
5
7
4、将一个分数的分母减去 9 得 ，分母减去 6 得 。原来的分数是多少？
7
8
（用两种方法做）
3
5
3、把一个分数的分母减去 2，约分后等于 。如果给原分数的分母加上 9，约分后等于 。求
4
7
原分数。
1
【例题 5】有一个分数，如果分子加 1，这个分数等于 ；如果分母加 1，这个分数就等于
2 1
，这个分数是多少？
3 1
根据“分子加 1，这个分数等于 ”可知，分母比分子的 2 倍多 2；根据“分母加 1 这个分数
14
14 14
再乘以 2。所以
5 10 20 1 7 14
＝ ＝ ，＝ ＝
7 14 28 2 14 28
17
故原来的最简分数是 。
28
解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的 2 倍。所以
51
17
（ + ）÷2＝
72
28
17
答：原来的最简分数是 。
28
练习 3：
5
1、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去
43
7
7
解法二： 的分母比分子多 18， 的分母比分子多 2，因为分数的与分母的差不变，所以将
61
9
9
的分子、分母同时扩大（18÷2=）9 倍。
7
的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）
9
7
7 7 × 9 63
约分后所得的 在约分前是： ＝ ＝
9
9 9 × 9 81
所加的数是 81-61＝20
8
1
同一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。
2
6
2、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去
7 1
同一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。
3
7
3
【例题 4】将一个分数的分母加 3 得 ，分母加 5 得 。原分数是多少？
9
4
7 21 3
解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即 ＝ ， ＝
2
【例题 2】将一个分数的分母减去 2 得 ，如果将它的分母加上 1，则得 ，求这个分数。
5
3
4
解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去 2 得 ”
5
5
2
3
可知，分母比分子的 倍还多 2。由“分母加 1 得 ”可知，分母比分子的 倍少 1，从
4
3
2
而将原题转化成一个盈亏问题。
2 1
就等于 ”可知，分母比分子的 3 倍少 1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷（3-2）=3，分
3 3
母是 3×2+2=8。所以，这个分数是 。
8
练习 5：
1
1
1、一个分数，如果分子加 3，这个分数等于 ，如果分母加上 1，这个分数等于 ，这个
2
3
分数是多少？
1
1
2、一个分数，如果分子加 5，这个分数等于 ，如果分母减 3，这个分数等于 ，这个分
7
4
49
分子的 ，因此，原分数的分子是（5－3）÷（ － ）＝42。原分数的分母是 42÷7×9-
3
37
42
3=51，原分数是 。
51
练习 4：
5
4
1、一个分数，将它的分母加 5 得 ，加 8 得 ，原来的分数是多少？（用两种方法）
6
5
6
7
2、将一个分数的分母减去 3，约分后得 ；若将它的分母减去 5，则得 。原来的分数是多少？
第 21 讲“不变量”解题
一、知识要点 一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有
变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转 化并解答。
二、精讲精练
【例题 1】将 43 的分子与分母同时加上某数后得 7 ，求所加的这个数。
61
9
答：所加的数是 20。
练习 1：
97
2
1、分数 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是 ，那么减去的数是多少？
181
5
1
3
2、分数 的分子、分母同加上一个数后得 ，那么同加的这个数是多少？
13
5
58
2
3、将 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是 ，那么减去的数是
79
3
多少？
4
9 27 4
21
21 21
。根据题意，两个新分数的分母应相差 2，而现在只相差 1，所以分别将 和 的
28
27 28
7 21 42 3 21 42
分子和分母再同乘以 2。则 ＝ ＝ ， ＝ ＝ 。所以，原分数的分母是（54－3＝）
9 27 54 4 28 56
42
51。原分数是 。
51
9
解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加 3 后是分子的 ，分母加 5 后是
8
4
5
【例题 3】在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减
7
1
去同一个数，这个分数就等于 ，求原来的最简分数是多少。
2
5 10 1
解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即 = ， =
7 14 2
7
10 7
。根据题意，两个新分数分子的差应为 2 的倍数，所以分别想 和 的分子和分母