小学数学 第21讲“不变量”解题

2 1
就等于 ”可知，分母比分子的 3 倍少 1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷（3-2）=3，分
3 3
母是 3×2+2=8。所以，这个分数是 。
8
练习 5：
1
1
1、一个分数，如果分子加 3，这个分数等于 ，如果分母加上 1，这个分数等于 ，这个
2
3
分数是多少？
1
1
2、一个分数，如果分子加 5，这个分数等于 ，如果分母减 3，这个分数等于 ，这个分
8
1
同一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。
2
6
2、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去
7 1
同一个数，这个分数就等于 ，求这个分数。
3
7
3
【例题 4】将一个分数的分母加 3 得 ，分母加 5 得 。原分数是多少？
9
4
7 21 3
解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即 ＝ ， ＝
14
14 14
再乘以 2。所以
5 10 20 1 7 14
＝ ＝ ，＝ ＝
7 14 28 2 14 28
17
故原来的最简分数是 。
28
解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的 2 倍。所以
51
17
（ + ）÷2＝
72
28
17
答：原来的最简分数是 。
28
练习 3：
5
1、一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去
7
4
49
分子的 ，因此，原分数的分子是（5－3）÷（ － ）＝42。原分数的分母是 42÷7×9-
3
37
42
3=51，原分数是 。
51
练习 4：
5
4
1、一个分数，将它的分母加 5 得 ，加 8 得 ，原来的分数是多少？（用两种方法）
6
5
6
7
2、将一个分数的分母减去 3，约分后得 ；若将它的分母减去 5，则得 。原来的分数是多少？
7
3
1、将一个分数的分母加上 2 得 ，分母加上 3 得 。原来的分数是多少？
9
4
3
4
2、将一个分数的分母加上 3 得 ，分母加上 2 得 。原来的分数是多少？
4
5
3
4
3、将一个分数的分母加上 5 得 ，分母加上 4 得 。原来的分数是多少？
7
9
5
7
4、将一个分数的分母减去 9 得 ，分母减去 6 得 。原来的分数是多少？
2
【例题 2】将一个分数的分母减去 2 得 ，如果将它的分母加上 1，则得 ，求这个分数。
5
3
4
解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去 2 得 ”
5
5
2
3
可知，分母比分子的 倍还多 2。由“分母加 1 得 ”可知，分母比分子的 倍少 1，从
4
3
2
而将原题转化成一个盈亏问题。
答：所加的数是 20。
练习 1：
97
2
1、分数 的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是 ，那么减去的数是多少？
181
5
1
3
2、分数 的分子、分母同加上一个数后得 ，那么同加的这个数是多少？
13
5
58
2
3、将 这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是 ，那么减去的数是
79
3
多少？
4
7
8
（用两种方法做）
3
5
3、把一个分数的分母减去 2，约分后等于 。如果给原分数的分母加上 9，约分后等于 。求
4
7
原分数。
1
【例题 5】有一个分数，如果分子加 1，这个分数等于 ；如果分母加 1，这个分数就等于
2 1
，这个分数是多少？
3 1
根据“分子加 1，这个分数等于 ”可知，分母比分子的 2 倍多 2；根据“分母加 1 这个分数
解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是 18，
所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少 18，切分子
7
是分母的 ，由此可求出新分数的分子和分母。”
9
7
分母：（61-43）÷（1－ ）＝81
9
7
分子：81× ＝63
9
81-61＝20 或 63-43＝20
43
7
7
解法二： 的分母比分子多 18， 的分母比分子多 2，因为分数的与分母的差不变，所以将
61
9
9
的分子、分母同时扩大（18÷2=）9 倍。
7
的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）
9
7
7 7 × 9 63
约分后所得的 在约分前是： ＝ ＝
9
9 9 × 9 81
所加的数是 81-61＝20
第 21 讲“不变量”解题
一、知识要点 一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有
变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转 化并解答。
二、精讲精练
【例题 1】将 43 的分子与分母同时加上某数后得 7 ，求所加的这个数。
61
9
35
分子：（2+1）÷（ － ）=12
24
3
分母：12× -1＝17
2
解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
2 4 12 4 12
①将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差 3。 ＝ ＝ ， ＝
3 6 18 5 15
②原分数的分母是：
18-1＝17 或 15+2＝17
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答：这个分数为 。
17
练习 2：
9 27 4
21
21 21
。根据题意，两个新分数的分母应相差 2，而现在只相差 1，所以分别将 和 的
28
27 28
7 21 42 3 21 42
分子和分母再同乘以 2。则 ＝ ＝ ， ＝ ＝ 。所以，原分数的分母是（54－3＝）
9 27 54 4 28 56
42
51。原分数是 。
51
9
解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加 3 后是分子的 ，分母加 5 后是
5
1
1
4、一个分数，如果分子减 1，这个分数等于 ；如果分母加 11，这个分数等于 ，这个分
2
3
数是多少？
2
3
数是多少？
三、课后练习
3
5
1、 的分子、分母加上同一个数并约分后得 ，那么加上的数是多少？
19
7
3
4
2、将一个分数的分母加上 2 得 ，分母加上 2 得 。原来的分数是多少？
4
5
7
3、一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减去同一
9 3
个数，这个分数就等于 ，求这个分数。
8
4
5
【例题 3】在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于 。如果在它的分子上减
7
1
去同一个数，这个分数就等于 ，求原来的最简分数是多少。
2
5 10 1
解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即 = ， =
7 14 2
7
10 7
。根据题意，两个新分数分子的差应为 2 的倍数，所以分别想 和 的分子和分母