圆锥曲线的实际应用共24页文档
高中常规工作电子资源圆锥曲线在现实生活中的应用
高中圆锥曲线在现实生活中的应用一、抛物线。
高中阶段定量研究的是平抛运动,斜抛内容定性了解。
但从知识结构看,平抛可以视为斜上抛运动从顶点向后的部分,斜下抛运动也可以视为斜上抛过顶点后的一部分,这样我们在分析问题时就可以用类似的方法,比如运动的分解与合成。
二、椭圆。
到两定点的距离之和为定值的点构成的曲线即椭圆。
从物理的角度,椭圆运动是质点在指向定点的有心力作用下的一种曲线运动。
1、在天体运行中的应用。
开普勒第一定律(椭圆定律)指出:每一行星沿一个椭圆轨道环绕太阳,而太阳则处在椭圆的一个焦点上。
开普勒第二定律(面积定律)说:从太阳到行星所联接的直线在相等时间内扫过同等的面积。
1618年,开普勒又发现了第三条定律(调和定律):所有的行星的轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。
1619年,他出版了《宇宙的和谐》一书,介绍了第三定律,他写道:“认识到这一真理,这是超出我的最美好的期望的。
大局已定,这本书是写出来了,可能当代有人阅读,也可能是供后人阅读的。
它很可能要等一个世纪才有信奉者一样,这一点我不管了。
”事实上,他既给后人留下了命题也启发了后人。
2、在电学中的应用。
【例1】:(04年春北京理综)如图1,O是一固定的点电荷,另一点电荷P从很远处以初速度v0射入点电荷O的电场,在电场力作用下的运动轨迹是曲线MN。
a、b、c是以O为中心,R a、R b、R c 为半径画出的三个圆,R c-R b= R b-R a。
1、2、3、4为轨迹MN与三个圆的一些交点。
以|W12|表示点电荷P由1到2的过程中电场力的功的大小,|W34|表示由3到4的过程中电场力做的功的大小则()。
圆锥曲线定义的应用
圆锥曲线定义的应用圆锥曲线是数学中一个的重要的几何概念，它是由一个平面和一个圆锥相交而得到的一类曲线。
圆锥曲线通常包含了三种不同类型的曲线：椭圆、抛物线和双曲线。
每一种曲线都有其独特的数学特性和应用场景。
椭圆椭圆是一种圆锥曲线，它由一个平面和一个圆锥相交而得到。
在平面上，椭圆通常被定义为到两个焦点之和的距离等于到两个焦点之差的距离的所有点的集合。
椭圆具有许多非常重要的数学性质和应用。
例如：椭圆的几何特性•椭圆的中心：与两个焦点重合的点。
•椭圆的长半轴和短半轴：分别为两个焦点之间的距离和椭圆中心到椭圆边缘的距离。
•椭圆的离心率：代表两个焦点之间距离与椭圆长轴长度之比。
椭圆的应用椭圆在自然界和工程领域中有广泛的应用，包括但不限于：•天体运动：椭圆是描述行星、卫星、彗星等天体运动的理想模型。
•工程设计：椭圆管道和椭圆轨道在工程中可以达到和圆形相同的效果，同时又具有更大的面积和更好的稳定性。
•电子工程：椭圆滤波器在电子信号处理上具有重要的作用，它可以实现比标准低通滤波器更陡峭的滤波特性。
抛物线抛物线是一种圆锥曲线，它由一个平面和一个横截面角为90度的圆锥相交而得到。
在平面上，抛物线通常被定义为到其焦点距离等于到其直线准线的距离的所有点的集合。
抛物线也有很多应用场景，例如：抛物线的几何特性•抛物线的焦点和直线准线：分别为抛物线上的一个点和与对称轴平行的一条直线。
•抛物线的顶点：在对称轴上，也是抛物线的最高点。
•抛物线的离心率：为1。
抛物线的应用抛物线在现实生活中也有很多应用，包括但不限于：•建筑设计：抛物线在设计拱形结构、拱桥等建筑上非常常见。
•物理学：抛物线是自由体运动的最基本模型之一。
在物体自由落下、抛体运动等方面都有广泛应用。
•导弹技术：抛物线导弹具有更大的射程、更好的稳定性和更高的准确性。
双曲线双曲线是由一个平面和一个截面角小于90度的圆锥相交而得到的一种曲线。
在平面上，双曲线通常被定义为到两个焦点之差的距离等于到直线准线的距离的所有点的集合。
圆锥曲线的应用
y
x
例二. 、 、 是我方三个炮兵阵地 是我方三个炮兵阵地， 在 正东 正东6 例二 A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东 km，C在 ， 在 B正北偏西 °，相距 km，P为敌炮阵地，某时刻 处发 正北偏西30° 相距4 为敌炮阵地， 正北偏西 ， 为敌炮阵地 某时刻A处发 现敌炮阵地的某种信号，由于B、 两地比 两地比A距 地远 地远， 现敌炮阵地的某种信号，由于 、C两地比 距P地远，因此 4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为 才同时发现这一信号， 后 、 才同时发现这一信号 此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击 地，求炮击的方位角 若炮击P地 求炮击的方位角. ， 若炮击
四、实际应用举例
例一、 例一、 有一种电影放映机的放映 灯泡的玻璃上镀铝,只留有一个透明 灯泡的玻璃上镀铝 只留有一个透明 窗用作通光孔,它的反射面是一种曲 窗用作通光孔 它的反射面是一种曲 线旋转而成的曲面的一部分,灯丝定 线旋转而成的曲面的一部分 灯丝定 在某个地方发出光线反射到卡门上, 在某个地方发出光线反射到卡门上 并且这两物体间距离为4.5cm,灯 并且这两物体间距离为 灯 丝距顶面距离为2.8cm,为使卡门处 丝距顶面距离为 为使卡门处 获得最强烈的光线,在加 获得最强烈的光线 在加 工这种灯 泡时应使用何种曲线可使郊果最佳? 泡时应使用何种曲线可使郊果最佳 试求这个曲线方程
圆锥曲线的实际应用
一、问题的引出: 问题的引出:
了解历史背景：
圆锥曲线是我们生活中常见的曲线， 圆锥曲线是我们生活中常见的曲线，她具备世间最优 美的曲线，宇宙中也存在着圆锥曲线， 美的曲线，宇宙中也存在着圆锥曲线，太阳系中九大行 星及其卫星都是椭圆，而彗星运动轨道分椭圆， 星及其卫星都是椭圆，而彗星运动轨道分椭圆，双曲线 和抛物线形，例如著名的哈雷彗星，平均每隔76年 形，和抛物线形，例如著名的哈雷彗星，平均每隔 年 我们就可以观测一次，公元十七世纪初期， 我们就可以观测一次，公元十七世纪初期，由于生产的 需求，促使了天文学、力学和光学的发展， 需求，促使了天文学、力学和光学的发展，由于生产的 需要，促使了天文学，力学和光学的发展， 需要，促使了天文学，力学和光学的发展，从而向数学 提出了许多迫切需要解决的课题， 提出了许多迫切需要解决的课题，有关圆锥曲线的计算 就是其中之一。例如公元1609年，德国天文学家开普勒 就是其中之一。例如公元 年 发现天体运动的轨迹是椭圆， 发现天体运动的轨迹是椭圆，意大利物理学家 伽利略 由抛掷石子推出弹道是抛物线。 由抛掷石子推出弹道是抛物线。法国学者迈多尔日发展 了圆锥曲线的性质，并在光学中加以运用。天体运动， 了圆锥曲线的性质，并在光学中加以运用。天体运动， 弹道轨迹，光学应用等实际需要， 弹道轨迹，光学应用等实际需要，促使人们加快地研究 和建立有关圆锥曲线的理论，并用于实际。 和建立有关圆锥曲线的理论，并用于实际。我国对圆锥 曲线的研究也有相当的历史， 曲线的研究也有相当的历史，很多史书均有这方面的记 恒星历指》一书中既有椭圆的名称， 交食历指》 载。《恒星历指》一书中既有椭圆的名称，《交食历指》 一书则记为长圆， 测量全义》 一书则记为长圆，《测量全义》中即记载了椭圆产生于 圆柱，也记载圆锥曲线源自圆锥
生活中圆锥曲线的例子
生活中圆锥曲线的例子“生活中圆锥曲线的例子”是一篇关于圆锥曲线的文章。
圆锥曲线是数学中的一种常见曲线，它具有独特的几何形状，广泛应用于工程、物理、经济等领域。
作者在文章中介绍了生活中的一些常见圆锥曲线的例子，如雨滴、水滴、香烟等。
这些例子说明了圆锥曲线在生活中的广泛应用。
此外，作者还介绍了圆锥曲线在工程、物理、经济等领域的应用，如在工程领域中，圆锥曲线可以用于设计建筑物的曲面；在物理领域中，圆锥曲线可以用于描述物体的运动轨迹；在经济领域中，圆锥曲线可以用于分析经济数据的变化趋势。
“生活中圆锥曲线的例子”是一篇关于圆锥曲线的文章，它介绍了生活中的一些常见圆锥曲线的例子，以及圆锥曲线在工程、物理、经济等领域的应用。
希望通过这篇文章，能够提高人们对圆锥曲线的认识，并增强人们对圆锥曲线的兴趣。
圆锥曲线的特殊几何形状也使其在艺术领域有着广泛的应用。
在艺术领域中，圆锥曲线可以用于创作美丽的图形，如抽象画、图案等。
圆锥曲线的特殊几何形状使其具有独特的美感，可以吸引人们的眼球，增强作品的视觉效果。
此外，圆锥曲线在科学研究领域也有着广泛的应用。
在科学研究领域中，圆锥曲线可以用于描述物理现象、化学反应等。
圆锥曲线的特殊几何形状使其在科学研究领域具有独特的价值，可以帮助科学家更好地理解物理现象和化学反应。
“生活中圆锥曲线的例子”是一篇关于圆锥曲线的文章，它介绍了生活中的一些常见圆锥曲线的例子，以及圆锥曲线在工程、物理、经济、艺术和科学研究等领域的应用。
希望通过这篇文章，能够提高人们对圆锥曲线的认识，并增强人们对圆锥曲线的兴趣。
3.1圆锥曲线在生活中的妙用
轮船航行在海上时，它就处于人的位置。岸上有两 个无线电发射台，用电波代替了喇叭里传出的音乐。轮 船：行驶在某一位置时，就可以从接收的电波的相位差， 测出轮船与电台的距离差，由此确定了一条以两个电台 为焦点的双曲线。若再和另一对电台联系，可以确定出 另一条双曲线，两条双曲线有一个交点，船就处于这一 点上。这一切都是在一瞬间完成的，因为有很多现代化 的工具来帮助我们，你明白了吗?船长们就是这样来导 航的。
物理上的原理是利用了“入射角等于反射角”，而椭圆的法线恰好具备了这 一性质。即椭圆上的任何点的法线是该点到两焦点连线的角平分线！
世界上有很多建筑都应用了 这个原理，比较著名的有我 国的天坛回音壁和英国伦敦 的“私语走廊”。同学们可 调查一下：你们的周围有这 样的地方吗？
天坛回音壁
假如你站在广场上，广场的东西两侧各装有一只喇叭， 并且放着欢快的音乐：“最初的梦想，紧握在手上，最想 要去的地方怎能在半路返航。。。” 我站在广场上，听见第一只喇叭把“最初的梦想”传 到耳朵后的半秒钟，又听到了第二声“最初的梦想”。由 于两个喇叭离耳朵的远近不同，所以产生了听觉上的时间 差。再换一个地方，是否还有这样歌声相差半秒的情形呢? 实际上，只要人站的位置与两只喇叭的距离差与第一次一 样就可以了 。因此可以找到很多这样的点。这些点就构 成了双曲线的一支。
这其中的的数学原理是椭圆的一个焦点发出的 声波被椭圆面反射后，能在另一个焦点聚焦。而 光线呢，从一个焦点发出的光线能在另一个焦点 汇聚，这是椭圆的性质所决定的。其实，不光是 声波、光线，机械运动也有类似的性质。
在椭圆焦点F1、F2处各放上一颗弹子，你不用 瞄准，把F1处的弹子往任何方向弹出去，经椭 圆壁反射后，肯定击中F2处的弹子。
根据接受声音的时间差一致描绘双曲线， 在这个过程中运用了双曲线什么性质呢？
圆锥曲线的性质在实际问题中的应用
圆锥曲线的性质在实际问题中的应用圆锥曲线是解析几何中的重要概念，由平面和圆锥交成的曲线形态多样，包括圆、椭圆、抛物线和双曲线。
这些曲线在数学和应用数学领域具有广泛的应用，尤其是在实际问题的建模与解决中。
本文将探讨圆锥曲线的性质以及它们在实际问题中的应用。
一、圆锥曲线的性质1. 圆的性质圆是其中最基本的圆锥曲线之一，它有以下重要性质：- 圆是由一个平面和一个与其垂直的圆锥面相交而形成的曲线。
- 圆上的所有点到圆心的距离相等，这个距离称为半径。
- 圆的直径是通过圆心的一条线段，它等于圆的半径的两倍。
2. 椭圆的性质椭圆是由一个平面与圆锥面的非垂直截面相交而形成的曲线，它具有以下性质：- 椭圆上的每一点到两个焦点的距离之和是一个常数，这个常数称为椭圆的长轴。
- 椭圆的长轴与短轴垂直，并通过椭圆的中心。
- 椭圆的离心率描述了椭圆形状的瘦胖程度，它是焦距与椭圆的长轴之比。
3. 抛物线的性质抛物线是由一个平面与圆锥面的平行截面相交而形成的曲线，它具有以下性质：- 抛物线上的每一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
- 抛物线是对称的，焦点和准线的垂线的交点称为抛物线的顶点。
- 抛物线的形状由焦点和准线的距离决定，距离越小，抛物线越瘦长。
4. 双曲线的性质双曲线是由一个平面与圆锥面的交线相交而形成的曲线，它具有以下性质：- 双曲线上的每一点到两个焦点的距离之差是一个常数，这个常数称为双曲线的焦距。
- 双曲线的两个分支对称，焦点和两个分支的交点称为双曲线的顶点。
- 双曲线的形状由焦距和两个分支的夹角决定。
二、圆锥曲线在实际问题中的应用1. 轨迹分析圆锥曲线可以用来描述物体在运动过程中的轨迹，如行星绕太阳的椭圆轨道、炮弹的抛物线轨迹等。
通过对圆锥曲线的研究和分析，可以帮助我们理解和预测物体的运动轨迹，进而为工程设计、空间探索等领域提供参考。
2. 光学设计在光学设计中，圆锥曲线被广泛应用于透镜的设计和制造。
椭圆曲线透镜可以使光线经过折射后汇聚到焦点上，从而实现光的聚焦。
圆锥曲线方程及其应用
圆锥曲线方程及其应用1. 圆锥曲线的定义圆锥曲线是平面上点的集合，满足一个固定的距离比率的条件。
圆锥曲线分为三种类型：圆、椭圆和双曲线。
每种类型都具有不同的数学特性和应用领域。
2. 圆的方程圆是一种特殊的圆锥曲线，它是所有到圆心距离相等的点的集合。
圆的方程可以用两种形式表示：标准方程和一般方程。
2.1 标准方程圆的标准方程为 `(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2`，其中 `(h, k)` 为圆心的坐标，`r` 为半径的长度。
2.2 一般方程圆的一般方程为 `x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0`，其中 `D`、`E`、`F` 分别为方程的系数。
3. 椭圆的方程椭圆是圆锥曲线中的一种，具有两个焦点和一个长轴和短轴的特点。
椭圆的方程可以用两种形式表示：标准方程和一般方程。
3.1 标准方程椭圆的标准方程为 `(x-h)^2/a^2 + (y-k)^2/b^2 = 1`，其中 `(h, k)` 为椭圆中心的坐标，`a` 和 `b` 分别为椭圆长轴和短轴的长度。
3.2 一般方程椭圆的一般方程为 `Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0`，其中 `A`、`B`、`C`、`D`、`E`、`F` 分别为方程的系数。
4. 双曲线的方程双曲线是圆锥曲线中的一种，具有两个焦点和两条渐近线的特点。
双曲线的方程可以用两种形式表示：标准方程和一般方程。
4.1 标准方程双曲线的标准方程为 `(x-h)^2/a^2 - (y-k)^2/b^2 = 1`，其中 `(h, k)` 为双曲线中心的坐标，`a` 和 `b` 分别为双曲线的参数。
4.2 一般方程双曲线的一般方程为 `Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0`，其中 `A`、`B`、`C`、`D`、`E`、`F` 分别为方程的系数。
5. 圆锥曲线的应用圆锥曲线在数学和工程领域中有广泛的应用。
圆锥曲线的实际应用
永吉实验高中标准化质量管理文件
文件类别过程记录文件编号记年068 控制主管年级副校长、教辅副校长文件名称教案控制部门年级、教辅所在学期2016——2017学年度第一学期执行职位任课教师
记录日期记录部门高二数学记录人
教案
总序号25授课时间10月20日课型知识应用教具
导学案、
多媒体授课
班级
二年四班
课题圆锥曲线的应用
教学目标
知识
与技能
1、会将生活中的实际问题抽象成圆锥曲线问题。
2、建立适当的坐标系，求出曲线的方程，并进行计算。
3、将计算结果转化成解决问题的答案。
过程
与方法
通过展示圆锥曲线在实际生活中的应用，对圆锥曲线的应用有初步的认识。
运用已经学习过的知识进行合作探究，小组展示，从而解决问题。
情感态
度与价
值观
通过圆锥曲线的实际应用，激发学生的学习兴趣。
重点运用圆锥曲线解决实际问题。
难点根据实际问题的特征确定解决问题的方案。
教学过程及主要教学内容
教学环节教师活动学生活动设计意图。
圆锥曲线在生活中的应用举例
圆锥曲线在生活中的应用举例
圆锥曲线是一种非常值得推荐的几何曲线，它由圆周和一波束直线组成，表面完全平滑，广泛应用在多种行业，圆锥曲线在生活中的应用范围也很广，它不仅仅可以用在装饰艺术的创作，也会用来做设计者的微妙的心理和行动的营造，例如建筑外观风格、机械手绘图案、汽车设计、衣料流行趋势等，都属于圆锥曲线的应用场景。
举例而言，在建筑外观设计方面，圆锥曲线可以塑造出建筑既科技又优雅的外观，使建筑容易产生一种张力感。
旅行携带物品如行李箱、旅行袋等装饰上也可以用圆锥曲线来装饰，不仅可以为商品添加美学价值，还可以赋予清新的生活气息。
再来看看汽车设计中圆锥曲线的应用，这种曲线能为汽车提供耐看的轮廓线，无论是豪华车还是跑车，都能拥有流畅而充满张力的外观，吸引众人眼球。
圆锥曲线对汽车设计者来讲，可以运用其拐弯性，从而让汽车外形更加优雅美观。
另外，衣料也属于圆锥曲线的用途之一，通过运用圆锥曲线，裁缝们可以设计出来极具特色的服装，使服装展现出优雅的调调。
衣衫的下摆、袖口的曲线以及一些小细节的装饰，这些都需要圆锥曲线这样柔美的营造才能体现出极具设计感的风格。
总而言之，圆锥曲线在现实生活中的应用无处不在。
它不仅成功地将科普的外观和时尚的流行趋势相结合，还能赋予一些产品一种经典而柔美的元素，它们在社会风尚上具备极强的代表性，完美诠释优雅中的神秘与性感，成为很多设计师最佳的灵感之选。
浅谈圆锥曲线在现实生活中的应用
浅谈圆锥曲线在现实生活中的应用
圆锥曲线在现实生活中是无处不在的，它们不仅仅出现在数学上，也渗透到日常生活中，有着巨大的应用价值。
首先，圆锥曲线能够被广泛应用在建筑工程中，这可以归功于它弯曲的特性，它可以用来制作室内外的圆拱形墙壁，使空间的氛围更加温馨和舒适，给人以活力和轻松的感受，充实空间的美感。
其次，圆锥曲线在造船和航空制造工程中也有不可缺少的作用，因为它能有效应对船舶受到不利气压的情况而确保船舶的安全，同时也可以沿其特有的几何形状减少飞机的气动阻力，以提高飞机的速度和效率。
此外，圆锥曲线也可以被用于滑雪道的设计之中，其存在使滑雪者在滑行中能够感受到更大的激情，经过起伏的路面能够获得更多的滑行时间，使滑行的乐趣更加丰富。
圆锥曲线在电影音乐剧中也有巨大的应用价值，以其奇迹般的几何形状引发观众的情绪，可以让观众更深刻地欣赏剧中获得更多的情感色彩。
总而言之，圆锥曲线具有真正实际的价值，它们不仅仅是数学概念，也体现在我们生活中的各个方面。
它们既能赋予空间更多的美感，又能够提升船舶和飞机的安全性，它们也为滑雪者和演艺人员带来更加美妙的感受。
高中数学圆锥曲线的应用案例
高中数学圆锥曲线的应用案例.txt 高中数学圆锥曲线的应用案例简介本文档将介绍一些高中数学中圆锥曲线的应用案例。
圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们在现实世界中有着广泛的应用。
椭圆的应用椭圆是数学中常见的一种圆锥曲线，在现实世界中有许多应用案例。
卫星轨道在航天技术中，人造卫星常常采用椭圆形轨道。
椭圆形轨道使卫星在不同的高度上运行，从而实现不同的任务，比如通信、气象预报和地球观测等。
椭圆形跑道在田径运动中，椭圆形跑道是常见的比赛场地。
椭圆形的设计可以确保不同起点的跑道长度相同，保证比赛公平性。
双曲线的应用双曲线是另一种常见的圆锥曲线，也有着一些实际应用。
抛物面天线在通信领域中，抛物面天线常用于卫星通信和无线网络传输。
抛物面天线的形状可以将入射的电磁波聚焦到一个点上，提高信号强度和传输效率。
光学透镜在光学领域中，抛物面镜是一种常用的透镜类型。
抛物面镜将入射的光线聚焦到一个焦点上，用于望远镜、摄影机以及激光聚焦等应用。
抛物线的应用抛物线是圆锥曲线中的一种，也在现实生活中得到广泛应用。
桥梁设计在桥梁设计中，抛物线形状的拱桥可以提供最佳的承载能力和结构稳定性。
许多著名的桥梁，如巴黎的埃菲尔铁塔桥和纽约的布鲁克林大桥，都采用了抛物线形状的设计。
炮弹轨迹在物理学中，抛物线经常用来描述炮弹的轨迹。
通过计算抛物线的参数，可以预测炮弹的飞行轨迹和射程，为军事作战和火箭工程提供重要参考。
总结圆锥曲线在现实生活中有着广泛的应用。
椭圆、双曲线和抛物线分别应用于航天技术、田径运动、通信领域、光学应用、桥梁设计和物理学等领域。
通过深入理解圆锥曲线的性质和应用案例，我们可以更好地理解数学在实际生活中的重要性。
注：本文所述应用案例基于一般性原则，具体应用情况可能存在差异，需参考专业资料进行进一步确认。
圆锥曲线的性质及其应用
P
它的方程为
PF1 PF2 2a, (2a FF 1 2 |)
x2 y 2 1 a 2 b2
1
定义 1.2 到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点 的距离）的动点轨迹叫做双曲线 . 即
P
它的方程为
PF1 PF2 2a, (2a< F1F2 |)
x2 y 2 1 a 2 b2
焦点
c2 a 2 b2
(c, 0)(c, 0) c a b
2 2 2
p ( , 0) 2
过曲线上点
P( x0 , y0 ) 的
切线方程
xx0 yy0 2 1 a2 b
xx0 yy0 2 1 a2 b
yy0 p( x x0 )
3
2.2 圆锥曲线光学性质
定理 2.2.1
x2 y 2 1 且 P( x0 , y0 ) C ， a 2 b2
y
则过点 P 的切线方程为：
x0 x y0 y 2 1 a2 b
F1
L
D
O
F F2 2
2
x
l ' 是通过点 P 且与切线 l 垂直的法线，则
l ':( y0 x 1 1 )x ( 0 ) x0 y0 ( 2 2 ) 2 2 b a b a
圆锥曲线的性质及其应用
摘要 本文首先从圆锥曲线的产生和发展入手，对圆锥曲线的定义和圆锥 曲线的部分性质进行了简要的概括．主要是利用平面解析几何的知识和数形结 合思想，对圆锥曲线的基本性质 、 光学性质，由圆的性质推广得到的几条性质 和与焦点弦有关的性质，进行了总结和证明，并且将它们在日常生活中的应用 和在解题中的应用进行了简要说明． 关键词 圆锥曲线；性质；应用
圆锥曲线在现实生活中的运用
圆锥曲线在现实生活中的运用
圆锥曲线的光学性质广泛应用于光照领域和能源领域等。
例如，探照灯往往设计成抛物面，将光源设在焦点处从而得到平行光，有效减少了光线的发散。
另一个例子是太阳灶，这次是反过来，接收平行光而将待加热物体放于焦点处。
类似的还有电视机天线的“大锅盖”也是利用这个圆锥曲线光学性质加强信号。
用以刻画客观世界中物质的运动宏观方面，天体运行的轨迹包含了三种圆锥曲线：微观方面，卢瑟福散射中的粒子沿双曲线运动：玻尔的“电子在核外绕核作圆周运动”的量子化轨道也被推广到椭圆轨道。
现实生活中，我们知道，斜抛射物体在仅受地球引力作用、不计空气阻力下的运动轨迹是抛物线，而简谐振动与液体流动中也都含有圆锥曲线。
高三数学-圆锥曲线的定义及应用-圆锥曲线的综合应用
高三数学圆锥曲线的定义及应用圆锥曲线的综合应用一、圆锥曲线的定义1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。
即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。
2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。
即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。
3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。
当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。
二、圆锥曲线的方程。
1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）三、圆锥曲线的性质1.椭圆：+=1（a>b>0）（1）范围：|x|≤a，|y|≤b（2）顶点：(±a,0)，(0,±b)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(0,1)（5）准线：x=±2.双曲线：-=1（a>0, b>0）（1）范围：|x|≥a, y∈R（2）顶点：(±a,0)（3）焦点：(±c,0)（4）离心率：e=∈(1,+∞) （5）准线：x=±（6）渐近线：y=±x3.抛物线：y2=2px(p>0)（1）范围：x≥0, y∈R（2）顶点：（0,0）（3）焦点：（,0）（4）离心率：e=1（5）准线：x=-四、例题选讲：例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。
圆锥曲线实际应用
2.1 椭圆（4课时）第1课时 椭圆的定义及其标准方程知识要点解析几何在日常生活中应用广泛，如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用方法.本节主要通过圆锥曲线在实际问题中的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想典型范例例1：如图所示，电影放映机中放映灯泡的反射镜是旋转椭圆的一部分，它的中心截口BAC 弧是椭圆的一部分，灯丝在椭圆的焦点1F 处.已知灯丝到反射镜顶点A 的距离为1||15F A mm =，反射镜的通径||54BC mm =，为了使电影片的片门获得最强的光线，灯泡应装在距孔片多远处？分析：本题的解答依据是椭圆的光学性质，从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆的反射后，反射光线都聚焦于椭圆的另一个焦点上.一次，将作为光源的灯丝至于焦点处1F 处，再将电影片的片门置于另一个焦点2F 处，就能使片门获得最强的光线.解：设片门孔位于2F 处，以连结12F F 、的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，则由椭圆的光学性质知，对于固定的片门孔2F ，灯泡应装在焦点1F 处，因此所求问题转化，只需求中心截口BAC 弧所在的椭圆的焦距2c ，设所求焦距为12||2F F c =，则两个焦点坐标为12(,0),(,0)F c F c -.又因为两个点(15,0),(,27)A c B c ---均在椭圆上，所以由椭圆的定义知，应有12||||2||BF BF OA +=，2(15)c =+，解之，得60,2120.c mm c mm ==答：灯泡应装在距片门孔120mm 处.点评：与上述性质类似的还有：从椭圆的一个焦点发出的声波，经过椭圆反射后，反射声波都聚焦于椭圆的另一个焦点上，在此处就能获得最强的声音，通常将此性质称为椭圆的声学性质.例2：设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距m万千米和34m 万千米时，经过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角分别为2π和3π，求该彗星与地球的最近距离.分析：本题的实际意义是求椭圆上一点到焦点的距离，一般的思路：由直线与椭圆的关系，列方程组解之；或利用定义法抓住椭圆的第二定义求解.同时，还要注意结合椭圆的几何意义进行思考.仔细分析题意，由椭圆的几何意义可知：只有当该彗星运行到椭圆的较近顶点处时，彗星与地球的距离才达到最小值即为a －c ，这样把问题就转化为求a ，c 或a －c .解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点F （－c ，0）处，椭圆的方程为22a x +22by =1，当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足∠xF A =3π（或∠xF A ′=3π）. 作AB ⊥Ox 于B ，则｜FB ｜=21｜F A ｜=32m ，故由椭圆的第二定义可得 m =ac（c a 2－c ），①34m =ac（c a 2－c +32m ）.②两式相减得31m =a c·32m ，∴a =2c . 代入①，得m =21（4c －c ）=23c ，∴c =32m .∴a －c =c =32m .答：彗星与地球的最近距离为32m 万千米.点评：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个端点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是a －c ，另一个是a +c .（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想.另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质.例3：2003年10月15日9时，“神舟”五号载人飞船发射升空，于9时9分50秒准确进入预定轨道，开始巡天飞行.该轨道是以地球的中心F 2为一个焦点的椭圆.选取坐标系如图所示，椭圆中心在原点.近地点A 距地面200 km ，远地点B 距地面350 km.已知地球半径R =6371 km.（如下图） （1）求飞船飞行的椭圆轨道的方程；（2）飞船绕地球飞行了十四圈后，于16日5时59分返回舱与推进舱分离，结束巡天飞行，飞船共巡天飞行了约6×105 km ，问飞船巡天飞行的平均速度是多少?（结果精确到1 km/s ）（注：km/s 即千米/秒）解：（1）设椭圆的方程为22a x +22by =1.由题设条件得a －c =|OA |－|OF 2|=|F 2A |=6371+200=6571，a +c =|OB |+|OF 2|=|F 2B |=6371+350=6721. 解得a =6646，c =75，所以a 2=44169316， b 2=a 2－c 2=（a +c ）（a －c ）=6721×6571=44163691.∴所求椭圆的方程为441693162x +441636912y =1.（注：由44163691≈6645.5768得椭圆的方程为226646x +226.6645y =1，也是正确的）（2）从15日9时到16日6时共21个小时，即21×3600 s.减去开始的9分50 s ，即9×60+50=590（s ），再减去最后多计的1分钟，共减去590+60= 650（s ），得飞船巡天飞行的时间是21×3600－650=74950（s ），平均速度是74950600000≈8（km/s ）.所以飞船巡天飞行的平均速度是8 km/s.点评：本题有效地训练了学生的思维，体现了问题的提出过程，知识的形成过程，规律的发现过程和思维的探索过程.分层演练学而时习之（3选择3填空）1. 一抛物线型拱桥，当水面离桥顶2 m 时，水面宽4 m ，若水面下降1 m 时，则水面宽为（ B ）A.6mB.26mC.4.5 mD.9 m2. 天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是（ B ）A.椭圆B.圆C.双曲线的一支D.抛物线3. 某抛物线形拱桥的跨度是20 m ，拱高是4 m ，在建桥时每隔4 m 需用一柱支撑，其中最长的支柱是（ B ）A.4 mB.3.84 mC.1.48 mD.2.92 m4. 在相距1400 m 的A 、B 两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相差3 s ，已知声速340 m/s.炮弹爆炸点所在曲线的方程为________________.（答案：22510x －19012102 y =1）5. 如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP =1 m ，水从喷头P 喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m ，P 距抛物线对称轴1 m ，则在水池直径的下列可选值中，最合算的是……（ C ）A. 2.5 mB. 4 mC. 5 mD. 6 m6. 探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是 60 cm ，灯深40 cm ，则光源到反射镜顶点的距离是____________ cm.（答案：845） 温故而知新（1选1填4解答）7. 1998年12月19日，太原卫星发射中心为摩托罗拉公司（美国）发射了两颗“铱星”系统通信卫星卫星运行的轨道是以地球中心为一个焦点的椭圆，近地点为m km ，远地点为 n km ，地球的半径为R km ，则通信卫星运行轨道的短轴长等于……（ A ）A. 2))((R n R m ++B.))((R n R m ++ C. 2mn D. mn8. 一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x 2=2y （0≤y ≤20）.在杯内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的范围为____________.（答案：0＜r ≤1）9. A 、B 、C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6 km ，C 在B 正北偏西30°，相距4 km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B 、C 两地比A 距P 地远，因此4 s 后，B 、C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s ，A 若炮击P 地，求炮击的方位角. 解：如下图，以直线BA 为x 轴，线段BA 的中垂线为y 轴建立坐标系，则B （－3，0）、A （3，0）、C （－5，23）.因为|PB |=|PC |，所以点P 在线段BC 的垂直平分线上. 因为k BC =－3，BC 中点D （－4，3）， 所以直线PD 的方程为y －3=31（x +4）. ①又|PB |－|P A |=4，故P 在以A 、B 为焦点的双曲线右支上.设P （x ，y ），则双曲线方程为42x －52y =1（x ≥0）. ②联立①②，得x =8，y =53， 所以P （8，53）.因此k P A =3835-=3. 故炮击的方位角为北偏东30°.10.双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到1m). 解：取最小半径的圆的圆心O 为坐标原点，一条直径所在直线为x 轴，旋转轴为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，则双曲线的标准方程为22221x y a b-=那么，原实际问题就转化为求双曲线上点0(,10)C x . 由已知得12a =，点(25,45)B -是双曲线上的一点，则22222225(45)45121,606123713b b ⨯-==≈⨯ 所以双曲线方程为221144606x y -=，因为点0(,10)C x 在双曲线上，那么 22010*******x -=，所以013x =±（负值舍去） 所以上口半径为13m .11. 某城市为了处理城市生活垃圾，要在市郊挖一个横断面为半圆的柱形的坑对垃圾作卫生填埋之用，由于条件的限制，挖出的土只能沿道路AP 、BP 运到P 处。
圆锥曲线的应用
圆锥曲线的应用一、基本知识概要：解析几何在日常生活中应用广泛，如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用常用方法。
本节主要通过圆锥曲线在实际问题中的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。
二、例题：例1、 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 34万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32ππ和，求该慧星与地球的最近距离。
解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的方程为12222=+by a x 。
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π时，由椭圆的几何意义可知，彗星A 只能满足)3(3/ππ=∠=∠xFA xFA 或。
作m FA FB Ox AB 3221B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=-=)32(34)(22m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,23)4(21.2,3231c c c m c a m a c m =-==∴⋅=代入第一式得 .32.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 32万千米。
说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a +（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。
另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。
思考讨论:椭圆上任一点到焦点的距离的最大值和最小值是多少？怎样证明？例2：A ，B ，C 是我方三个炮兵阵地，A 在B 正东6Km ，C 在B 正北偏西ο30，相距4Km ，P 为敌炮阵地，某时刻A 处发现敌炮阵地的某种信号，由于B ，C 两地比A 距P 地远，因此4s 后，B ，C 才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1s Km /，A 若炮击P 地，求炮击的方位角。
圆锥曲线的实际应用
圆锥曲线的实际应用授课人：胡亚平教学目标：1.使学生掌握圆锥曲线的定义、性质及标准方程，并能利用圆锥曲线的有关知识解决相关的实际问题；2.初步掌握利用数学模型解决实际问题的方法步骤；3.培养学生分析问题、解决问题的能力；向学生渗透分类讨论及数形结合的思想；通过理论联系实际，提高学生的应用意识和环保意识，对学生进行爱国主义教育。
教学重点：1.如何将实际问题转化为数学问题；2.利用圆锥曲线的有关知识解决实际问题。
教学难点：1.如何将实际问题转化为数学问题；2.如何建立圆锥曲线模型。
教学用具：实物投影仪、计算机教学过程：一.复习1.圆锥曲线的第一定义？椭圆: |PF1|+|PF2|=2a(>|F1F2|)双曲线: | |PF1|-|PF2| |=2a(<|F1F2|)抛物线: |PF|=d （常数）2.圆锥曲线的第二定义？二.新课[问题一]背景材料：（略）引入实际问题：为了保护和改善生态环境，某公司要在大西北荒漠上开垦出一个平行四边形区域建成一个农艺园（实验区），计划以相距6千米的A，B两地为这个平行四边形一组相对的顶点。
由于新建农艺园（实验区）的脆弱，必须有较好的防护围墙以抵御风沙。
按照规划，可提供的围墙总长为20千米。
请你担任设计师，指出这个平行四边形区域另外两个顶可选择的位置？分析实际问题：展示学生的设计方案并让学生对问题进行分析:由问题中"以A，B为对角线和围墙总长为20千米"的含义，进一步得到:A，B为定点，另外两顶点的位置是变化的，但这两个点在运动的过程中，ΔAMB的周长是常数，这与椭圆的定义吻合，从而抽象出椭圆这个数学模型。
在平行四边形形状不同的情况下，农艺园的占地面积是否一样呢？并提出问题：你能否帮助给出一个最优的设计方案？解决实际问题：[解法一]：由题意可知平行四边形另外两个顶点在以A 、B 为焦点的椭圆上。
以AB 所在的直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立直角坐标系。