北京航空航天大学-2001-《矩阵理论》博士考试大纲
航空航天工程学院
2013年空军工程大学博士生入学考试初试业务课考试大纲空军工程大学研究生招生办公室二0一二年七月目录目录 .................................................................... I 1001 英语.. (1)001 航空航天工程学院 (1)2001 随机过程 (1)2002 矩阵论 (1)2003 概率论与数理统计 (2)3001 信息与通信工程专业基础综合 (4)3002 线性系统理论 (1)3003 混凝土学与机场可靠性设计 (2)3004 混凝土学与机场道面设计 (1)3005 机场可靠性设计与机场道面设计 (1)3006 飞行力学与飞行器结构强度 (2)3007 飞行器飞行力学及其推进系统特性 (1)3008 飞行器结构强度及其推进系统特性 (1)3009 导弹飞行动力学与线性系统理论 (3)002 防空反导学院 (5)2031 矩阵论 (5)2032 数理统计 (6)2033 军事思想 (7)3031 信号检测与估计 (8)3032 高等电磁场理论 (9)3033 最优控制 (10)3034 高级操作系统 (11)3035 联合防空作战理论 (12)3036 可靠性维修性保障性理论 (13)3037 国防项目管理 (14)003 信息与导航学院 (15)2061 矩阵论 (15)2062 随机过程 (16)2063 组合数学 (17)3061 现代电路理论 (18)3062 高等电磁场 (19)3063 无线电导航与定位理论 (20)3064 通信理论 (22)—I—3065 随机信号处理与检测估计 (24)3066 高级操作系统 (26)3067 信息化作战理论 (27)3068 军事通信理论 (29)005 装备管理与安全工程学院 (31)2076 矩阵论 (31)2077 概率论与数理统计 (32)3076 信息系统与运筹学 (34)3077 综合保障工程 (36)3078 管理学与系统工程 (37)006 理学院 (39)2081 数理统计 (39)3081 电介质物理学 (40)3082 现代电路理论 (41)007 研究中心 (42)2091 随机过程 (42)—II—1001 英语科目代码：1001科目名称：英语博士生入学英语考试的性质是一种水平考试，主要考核实际掌握和运用英语的能力。
北航研究生课程《矩阵理论》期末考试题2
姓名：学号：
1.（42分）填空
（1）设是R4的⼀一
组基,则在上述基下的坐标是___________________. ()
（2）在三次多项式空间中，由多项式组
张成的⼦子空间维数是___2___.（3）设矩阵,当参数a满⾜足_______()时,矩阵A与B相似.
（4）A=,则A的全部盖尔圆为_______________________________,且A是⼀一个________（可逆或者不不可逆）矩阵.
（5）设,则矩阵A的正奇异值有______个，_____(是或否)存在矩阵B使得BA=I n.
（6）矩阵幂级数=__________________。
（7）设，则A的Jordan标准形J=。
（8）设，则A+=________________。
（9）若=__4__,的迹=__2sin1__.
（10）设，则||A||1=_6___,||A||F=____. 2．（15分）设A=,求A的奇异值分解.
解：，则
，
对，求得
对，求得
分别单位化为;令
⽽而，补充基为
令所以
3．（10分）设并且A是正交矩阵，证明A的每个特征值的模等于1.课本P51推论2
证明：设,共轭转置得所以
即
4．（18分）已知A=，b=.（1）求A的满秩分解，并⽤用满
秩分解求.（2）判断⽅方程组Ax=b是否有解.（3）求Ax=b的极⼩小范数解或极⼩小最⼩小⼆二乘解.
解：（1）
（2）
（3）
（4）
5．（15分）设，求.
解：，因为所以最⼩小多项式为，设.有：。
博士研究生入学考试数学考试大纲
博士研究生入学考试数学考试大纲
（2014年3月修订）
试卷结构
一、考试时间为180分钟，试卷满分为100分。
二、内容比例
矩阵理论：约50%；概率论与数理统计：约50％。
（一）矩阵理论
矩阵的特征值与特征向量，对称矩阵特征值的极性，矩阵的谱分解，矩阵的QR（正交三角）分解，矩阵的奇异值分解。
向量范数与矩阵范数，矩阵的谱半径及其性质，矩阵序列，矩阵级数，矩阵函数，矩阵的微分与积分。
广义逆矩阵，线性方程组的相容性、通解，相容线性方程组的极小范数解，矛盾线性方程组的最小二乘解，矛盾线性方程组的极小范数最小二乘解。
（二）概率论与数理统计
随机事件和概率，一维随机变量及其概率分布，多维随机变量及其概率分布，随机变量的数字特征，大数定律和中心极限定理。
数理统计的基本概念，估计量与估计值，矩估计法，最大似然估计法，估计量的评选标准，边缘分布，独立性与条件独立性，特征函数，充分统计量与完备统计量，点估计与区间估计，非参数统计推断，
多个正态总体的均值差和方差比的区间估计，单个及多个正态总体的均值和方差的假设检验单个正态总体的均值和方差的区间估计，两个正态总体的均值差和方差比的区间估计，显著性检验，假设检验的两类错误，单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。
参考书目：
1、程云鹏，张凯院，徐仲：矩阵论，第3版，西北工业大学出版社，2006。
2、陈希孺：概率论与数理统计，中国科学技术大学出版社，2009。
3、吴喜之,赵博娟：非参数统计(第4版)，中国统计出版社，[全国统计教材编审委员会“十二五”规划教材]，2013。
北京航空航天大学2014年矩阵论考博真题解析
这里 CT 表示 C 的转置矩阵。( √ )
2
【解答】 正确！ C 是正交矩阵，故 CT = C−1 ，这样， B = CT AC = C−1AC ， A, B 相似，
3.已知三阶方阵 A 的特征值为 −1,1, 2 ，设矩阵 B = A2 − 2A + E ，则 B = ________ 【解答】
A 的特征值为 −1,1, 2 ，故 B = A2 − 2A + E = ( A − E)2 有特征值 (1−1)2 = 0 ，
因此， B = 0 。
Hale Waihona Puke 4.二次型 f (x1, x2 , x3 ) = x12 + 2x1x2 + 2x22 + 6x2 x3 + 9x32 的正惯性指数、负惯性指数与 符号差分别为__________ ___________ ______________ 【解答】
rank( A) ≤ 2 。另一方面，易见 A 的第一行和第三行线性无关，故 rank( A) ≥ 2 ，
1 2 −2 因此， rank( A) = 2 ，其等价于 A = 4 t 3 = 7t + 21 = 0 ，即 t = −3 。
3 −1 1
2.设 A 为 3 阶实对称矩阵，特征值为1, 2,3。已知与特征值1, 2 对应的特征向量
为 (1,1,1)T ， (0,1,1)T ，则与特征值 3 对应的特征向量为__________ 【解答】
由于 A 为实对称矩阵，故与特征值 3 对应的特征向量与特征值1, 2 对应的特
北航考博考研矩阵_谱公式,盖尔圆图
谱分解定理与投影阵公式谱分解定理 设n n A ⨯∈ 有s 个相异特征值1,,sλλ ，则A 为可对角化⇔存在s 个幂等阵1,,sG G ，使得(1) 0()i j GG i j =≠， (2)1s i n i G I ==∑， (3) 1sj j j A G λ==∑，(4) 1()()sj j j f A f G λ===∑， ()f x 为任一解析式特别 1smm i i i A G λ===∑(4) A 的投影阵（谱阵）(1)j G i s ≤≤唯一，且有公式1()1,,()j i j j G g A j s g λ== ，其中 1()()()()j j s g x x x x λλλ=--- （去掉一个因子()j λλ-）. 定理 设n n A ⨯∈ 有s 个不同的特征值1,,s λλ ，则A 为正规阵⇔存在s 个幂等Hermite 阵1,,s G G 使得(1) 0()i j GG i j =≠， (2)1si n i G I ==∑，(3) 1sj j j A G λ==∑，(4) 1()()sj j j f A f G λ==∑， ()f x 为任一解析式(5) 11ssHHiiiii i AGGλλ====∑∑.例1 设102000204A -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，求A 的谱分解，并计算()A f A e =.解 A 为对称阵，故为正规阵，极小式()(0)(5)g x x x =--利用 1()(0)(5)(5)g x x x x ==--=-， 2()(0)(5)(0)g x x x x =--=-111()(5)(0)5g A A I G g -==-， 212()(5)5g A AG g ==42551215500100G ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，1255224550000G --⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭所以 1122A G G λλ=+， 12512121A e e G e G G e G λλ=+=+.例2 设142034043A ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭，求A 的谱分解，并计算A 100.解 (1)(5)(5)I A λλλλ-=--+，极小式()(1)(5)(5)g λλλλ=--+所以1231,5,5λλλ===-，特征值互异，故A 为可对角化. 利用投影阵公式 ，计算得1()()(5)(5)(1)g x g x λλλ==-+- 2()()(1)(5)(5)g x g x λλλ==-+-，3()()(1)(5)(5)g x g x λλλ==--+ 1111()(5)(5)()24g A A I A I G g λ-+==-， 222()()(5)(5)40g A A I A I G g -+==333()()(5)(5)60g A A I A I G g --==- 1101000000G -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ 2455122552455000G ⎛⎫ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭ 2155423552155000G ---⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭所以 1122331235(5)A G G G G G G λλλ=++=++-1001001001001231235(5)5()A G G G G G G =++-=++.引理1 n nA ⨯∈的特征值为1,,n λλ ，0()mmm f z cz ∞==∑ 则 ()f A 的特征值为1(),,()n f f λλ ，特别，Ae 的特征值为1,,ne eλλ ，()||0A tr A e e=≠.引理2 （对角公式）若1200n D λλλ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则12()()()()0n f f f D f λλλ⎛⎫⎪⎪ ⎪=⎪⎪ ⎪⎝⎭. 引理3 设p 阶若当块 11100p pD λλλ⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭ p p⨯∈ 则(1)()1()()1!(1)!()()()1!()0p p pf f f p f f D f f λλλλλλ-⨯'⎛⎫⎪- ⎪⎪=⎪' ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 注 同样对转置11100T p pD λλλ⨯⎛⎫⎪ ⎪⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭ ， ()T f D 也有类似公式.例 010010B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求Bt e .（令()()!ktx tx f x e k ∞==∑，且30B =）例 3000210212B ⎛⎫⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 求 Be，Bte，sin B .定理 若n n A ⨯∈ 单纯（可对角化），1,,k λλ 为A 的相异特征值 有谱分解 1kjj j A G λ==∑，（j G 可用谱阵公式求出）若0()m m m f z c z ∞==∑（为任一解析式） 则1()()kmm i i m i f A c A f G λ∞====∑∑（因为0111()()()()k k kmmmm m i i m ii i i m m i i m i f A c A c G c G f G λλλ∞∞∞==========∑∑∑∑∑∑）例1 设1432A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求Ae . 解 由(5)(2)I A λλλ-=-+，故最小式()(5)(2)g λλλ=-+（无重根） 利用投影阵公式 1122()()()f A f G f G λλ=+ ，令()x f x e = 得52521122525234441()()()73343A e e e e f A e f G f G e e e e λλ----⎛⎫+-==+= ⎪-+⎝⎭. 引理 设p 阶若当块 11100p pD λλλ⨯⎛⎫⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎝⎭ p p⨯∈ 则(1)1()()()(1)!()()()()0p p pf f f p f f D f f λλλλλλ-⨯⎛⎫' ⎪- ⎪⎪= ⎪' ⎪⎪⎝⎭例 设11100102002DD ⎛⎫⎪⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，求Ae . 解 可用引理1()()(2)f D f D f ⎛⎫=⎪⎝⎭.广义谱分解公式（待定法）补充： 待定矩阵法求()f A （()f A 的广义谱分解公式） 1先求出A 的特征值与最小式()g x ， 2 设出()f A 的公式（广义谱分解公式）例1 200111113A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭， 计算At e解 最小多项式2()(2)g λλ=-，可设公式：12()(2)(2)f A f G f G '=+，()f x 为任意解析式分别令()1f x ≡与()(2)f x x =-代入公式可求得1G I =，2(2)G A I =-， 再令(), ()xt xt f x e f x te '==代入公式得 210011A t te e t t t t t t ⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-+⎝⎭.例2 设214020031A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求sin A .解 2(2)(1)I A λλλ-=--，(2)()0A I A I --≠，最小式为2(2)(1)λλ--）， 可设公式：123()(1)(2)(2)f A f G f G f G '=++，()f x 为任意解析式令2()(2),f x x =-可知(1)1, (2)(2)0f f f '===代入公式可得21(2)G A I =-=再令()(2)(1), ()(1)(2),(2)1f x x x f x x x f ''=--=-+-=可知 代入公式可得 3(2)()G A I A I =--=令()(1),f x x =-可知(1)0, (2)1, () 1, (2)1f f f x f ''==≡= 代入公式可得 232(), ()(3)G G A I G A I I A +=-=--=得公式：2()(1)(2)(2)()(3)(2)(2)()f A f A I f A I I A f A I A I '=-+--+-- 令()sin , ()cos f x x f x x '==代入公式得123sin ()(1)(2)(2)sin 212sin112sin 213cos 24sin14sin 20sin 2003sin132sin1A f A f G f G f G sin '==++-+-+⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-+⎝⎭. 例 设210021002A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求At e .解 极小式为 3()(2)g λλ=-. 所以有公式123()(2)(2)(2)f A f G f G f G '''=++，()f x 为任意解析式.分别令()1,f x ≡()(2),f x x =-2()(2),f x x =-代入公式可得21221,(2),(2)2G I G A I G A I ==-=- 令(),(),xt xt f x e f x te '==可得1232222212()(2)(2)(2) (2)(2)At ttt e f A f G f G f G e I te A I t eA I '''==++=+-+-.本题也可用定义或用引理3（Jordan 块公式）计算231123!()()()()()()()()f x f b f b x b f b x b f b x b ='''+-+-+-+ 令2, (2), (), (),()xtxt At b B A I f x ef x te f A e '==-===代入即可注3(2)0A I -=. （4）盖尔（Ger ）圆盘矩阵的非其异（可逆）条件定义 设n n A ⨯∈ ，称A 的n 个特征值的模的最大者为A 的谱半径，记为()A ρ. 定理 设n n A ⨯∈ ，则()A ρ不大于A 的任何一种矩阵范数，即()A A ρ≤ 定理 设n n A ⨯∈ ，A 是矩阵范数，若1A <或()1A ρ<，则I A -非奇异，且1()1I I A A--≤-证明（见参考书）令1()B I A -=-，()B I A I -=，有B I AB =+，所以B I BA I B A =+≤+，所以1I B A≤- .定义 设()n nij A a ⨯=∈.令 11, 1,2,,nni i j i j ii j j j ip a a a i n ==≠==-=∑∑ .令{}1,2,,i ii i G z z a p i n =∈-≤= .即i G 为复平面 上以ii a 为中心，ip 为半径的闭圆盘，称之为A 的一个盖尔圆. A 有n 个盖尔圆. 规定记号 1()ni i G A G == .定理1 (Ger 圆盘定理) 设()n n ij A a ⨯=∈ ，n 个盖尔圆12,,,n G G G ，则1）A 的任一特征值1()ni i G A G λ=∈=2）若A 的n 个盖尔圆盘中有k 个的并形成一个连通区域D ，且与其余的n k -个圆盘都不相交，则在此连通域D 中恰有A 的k 个特征值（含重复）.特别孤立盖尔圆内有且只有一个特征值. 例1 估计矩阵212013*********i A i i i --⎛⎫⎪-⎪= ⎪- ⎪-⎝⎭的特征值分布范围. 解 A 的四个盖尔圆为1:23G z -≤ 2:33G z -≤ 3:102G z -≤ 4:62G z i -≤如图可知A 的四个特征值在()G A 中，其中34,G G 中各有一个，12G G 中有两个.推论1 对n nA ⨯∈，n 个盖尔圆12,,,n G G G ，若原点1ni i O G =∉ ，则A 为非奇异阵.事实上，若10ni i A λ===∏，则0为A 的特征值，故10ni i G =∈ .矛盾.推论2 ()n nij A a ⨯=∈.若A 对角占优，即1(1,2,,)nii ij j j ia a i n =≠>=∑ （行对角占优）或1(1,2,,)nii ji j j ia a i n =≠>=∑ （列对角占优），则A 为非奇异阵.证明 否则0为A 的特征值，故存在某个盖尔圆k G 使1,0{|}nk kk kj j j kG z z a a =≠∈=∈-≤∑，进而1,nkk kj j j ka a =≠≤∑矛盾.又，T A 与A 有相同特征值.故A 列对角占优即为T A 行对角占优.由此证T A 非奇异，故A 非奇异.推论3 若n n A ⨯∈ 的n 个盖尔圆中有k 个孤立圆，则A 至少有k 个相异特征值，特别A 的n 个盖尔圆两两不相交，则A 有n 个相异特征值，从而A 可对角化. 推论4 若实矩阵n n A ⨯∈ 的盖尔圆中有k 个孤立圆，则A 至少有k 个实特征根，特别若n 个盖尔圆两两不相交，则A 有n 个互异实特征值.事实上，A 的n 个盖尔圆的圆心都在实轴上，故每孤立盖尔圆中只能有一个特征值，而实矩阵A 若有复特征值则必共轭对出现，故孤立盖尔圆中的特征值必为实特征值（否则其共轭也出现在该圆中.矛盾）. 例2 证明9121081110401001A -⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭至少有两个实特征值.证明：A 的盖尔圆 1:94G z -≤，2:82G z -≤，3:41G z -≤，4:11G z -≤.如图，4G 为孤立圆，有一个实特征值，123G G G 中含A 的另三个特征值，其中必有一个为实特征值（否则123G G G 将出现四个特征值.矛盾.） 注意：对T A 也可使用盖尔圆定理（因为T A 与A 有相同特征值）.设T A 的盖尔圆'''12,,,nG G G .同样有圆盘定理.i G 与i G '有同一个圆心（1i n ≤≤），故特征值11()()n nj i i i i G G λ=='∈ .************** 补充：谱半径估计定义 设n n A ⨯∈ ，称A 的n 个特征值的模的最大者为A 的谱半径，记为()p A . 谱半径在特征值估计以及数值分析，数值代数等都有重要应用.定理 设n n A ⨯∈ ，则()A ρ不大于A 的任何一种矩阵范数，即()A A ρ≤.特别 ()A A ρ∞≤(行范数)， 且1()A A ρ≤ 即()TA A ρ∞≤.**************正矩阵定义1 一个实矩阵()m nijA a ⨯=∈ ， (1)若对每一i 和j ，0≥ij a ，则称A 为非负的(nonnegative), 记为0≥A .(2)若对每一i 和j ，0>ij a ，则称A 为正的(positive)，记为0>A .正矩阵与谱半径定理 设非负阵()0 ij n nA a ⨯=≥,令h =(A 的最小行和)，l =(A 的最小列和), 则(1) ()||||h A A ρ∞≤≤(A 的最大行和)， (2)()1||||l A A ρ≤≤ (A 的最大列和) .特别若0 n n A A ⨯=>为正矩阵，且||||h A ∞<则()A A ρ∞< .证明从略.例 111333121 B=444112555⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭谱半径()B ρ范围是()(B)B B h ρ∞≤<， 即 ()4B 15ρ≤< (6)补充练习题1填空（20分） ( 矩阵理论A 2007 )（1）00010-1000A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的极小多项式为（ ）Jordan 标准型为（ ） （2）设11020, 0k k A A ∞=-⎛⎫== ⎪-⎝⎭∑ 1()I A --= ( )． （3）001, 010a A B b ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A B ⊗的全部特征值为( )． （4） 1211111, 1,1121A x ⎛⎫⎡⎤ ⎪⎢⎥== ⎪⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 则 ( ), ( )A Ax ∞∞==（5）111333121444112 B=⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭()B ρ范围是( ()4B 15ρ≤< )． 2．（5分）设ｎ维空间Ｖ中向量α在第一基下的坐标x 与第二基下的坐标y 有关系112213321,,,,n n n y x y x x y x x y x x -==-=-=- .求第一组基到第二组基的过渡矩阵P .3．（15分）(1) 设 660330363A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭， 求A 与 cos()A 的谱分解式． (2) 10 ,21A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦求()f A 的广义谱分解公式， 并计算At e 4．（18分）(1)设() 1112 b ,011011 A ,212121A T21=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=642100⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=A A A , 求 A + 与Ax=b 的极小范数解或最佳极小二乘解 (2) 设⎪⎭⎫ ⎝⎛=002001B , 求 B 的奇异值分解.5．（10分）(1)设*∙ 是n n ⨯n n C中的矩阵范数, ()1 , 0 ,,0,H n α=∈ C 验证n C 中的向量范数 ： *Hx x α= 与矩阵范数*∙是 相容的（提示：见参考书中定理的证明方法）(2) 令*,1|| ,n iji j A a ==∑是n n ⨯n n C 中矩阵范数, 求一个与其相容的向量范数. 6. (8分) 120002, , 011120A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 用拉直法解矩阵方程 .AY YB C +=7．（6分）求矩阵A 的盖尔圆（讨论特征值的分布）; 并证明行列式det(A ) > 1⋅3⋅5 (2n -1). 其中111111nn n 111n n 111n n n 24A= 62n n ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭……………………… 8．（8分）设H A A A ==2，(1)证明 两个值域正交：)A I ()A (-ℜ⊥ℜ， (2) 计算 ()A I A +-参考题1．(1) 设A 是任一矩阵，证明 B = A +A 是Hermite 半正定矩阵;(2) 证明 A 是ｎ阶酉矩阵的充分必要条件是 ，存在Hermite 矩阵B 使得iB A e = （i = ）。
北航考博考研矩阵过度阵线映射与自然基
（*）
两边用映射φ作用(由引理2的齐性公式)得
[ (1), ( x), , ( x n 1 )] [ (g1 ),, j(g n )]P 1 x1 1 x2 1 x n
2 n-1 x1 x1 2 n-1 x2 x2 [e1 ,e 2 , e n ]P P 2 n-1 xn xn
显然可知φ是线性映射
是线性映射，
φ: F[x]n R 是线性映射.对每个j=1,…,n有
n
g(x1 ) 0 (g j ) g(x j ) 1 e j R n 0 g(x n )
q( x) ( x x1 )( x xn )（无重根），由矩阵
的谱理论可知结论（2）正是谱分解公式
令 G1 g1 ( A), , Gn g n ( A) 叫做投影矩阵 利用零化式（极小式）定义可得: Gj2 Gj , Gi G j 0 (i j)
且
A x1G1 xnGn
自然基与线性映射
关键词: 1.“自然基向量”； 2.“自然基分解公式”
3. “线性映射”
空间Rn自然基；线性映射性质
要点复习：
1.线性空间W与线性映射φ: W R
2.线性映射性质
n
3.自然基公式.
1. Rn中自然基
向量空间R n , 取 ε1 (1, 0, 0, , 0)，ε2 (0, 1, 0, , 0),, εn (0, 0, 0, 1) ① ε1 , ε2 , , εn R n 线性无关 则 ② x ( x , x , , x ) R n 1 2 n x x ε x ε x ε 1 1 2 2 n n ε1, ε2 , , εn 叫做R n的自然基，且有分解公式： x x1ε1 x2ε2 xn εn
博士研究生入学《矩阵分析》考试大纲
博士研究生入学《矩阵分析》考试大纲第一章线性空间和线性映射1.1线性空间；1.2基变换与坐标变换；1.3线性子空间（概念，子空间的交，和，子空间的直和，补子空间）；1.4线性映射（概念，线性映射的矩阵表示）；1.5线性映射的值域，核；1.6线性变换的不变子空间；1.7特征值与特征向量；1.8 矩阵的相似对角形；第二章λ-矩阵与矩阵的Jordan标准形2.1λ-矩阵及标准形；2.2初等因子与相似条件；2.3矩阵的Jordan标准形；第三章函数逼近与曲线拟合3.1内积空间；3.2函数的最佳平方逼近；3.3正交多项式（用正交函数系作最佳平方逼近）；3.4曲线拟合的最小二乘法；3.5三次样条插值；第四章数值积分4.1数值求积公式的基本概念；4.2牛顿－柯斯特公式；4.3复化求积公式及其收敛性；4.4高斯型求积公式；4.5数值微分；第五章常微分方程的数值方法5.1欧拉方法及其截断误差和阶；5.2龙格－库塔方法；5.3单步法收敛性与稳定性；5.4线性多步法；5.5预测－校正技术和外推技巧；第六章线性代数方程组的解法6.1预备知识（向量与矩阵范数，范数的连续性定理，范数等价性定理范数收敛性，矩阵的算子范数矩阵特征值的上界等）；6.2高斯消去法，高斯主元素消去法；6.3矩阵分解及其在解方程组中的应用；6.4误差分析；6.5线性代数方程组的迭代解法；第七章线性代数方程组的解法7.1二分法；7.2简单迭代法；7.3迭代过程的加速；7.4Newton迭代法；7.5弦截法与抛物线法；第八章矩阵特征值与特征向量计算8.1幂法与反幂法；8.2Jacobi方法；8.3QR方法；。
(整理)北京航空航天大学研究生矩阵理论期末试题-2012.
（三）环境价值的定义
（一）安全预评价依据
2.பைடு நூலகம்期介入原则；
本章中环境影响评价制度，2010年的真题中全部集中在环境影响评价这一节。环境保护的对象，环境影响评价制度，环境影响评价文件的组成、文件的报批等是历年考试的热点。目前，获得人们的偏好、支付意愿或接受赔偿的意愿的途径主要有以下三类：①从直接受到影响的物品的相关市场信息中获得；②从其他事物中所蕴含的有关信息间接获得；③通过直接调查个人的支付意愿或接受赔偿的意愿获得。
北京航空航天大学公共管理学院考博资料真题考试大纲辅导课程-育明考博.doc
教育经济与管理
《教育经济学国际百科全书》，[美]Martin Cannoy，高等教育
3113 教育经济与 出版社；
管理专业综合考 《高等教育运行机制研究》，闵维方编著，人民教育出版社；
试
《探索教育变革：经济学和管理政策的视角》，闵维方、丁小浩、
《看不见的心》，人民出版社 2007，晓林、秀生；
3112 广义虚拟经 《广义虚拟经济——二元价值容介态的经济》，人民出版社
济理论
2010，林左鸣；
《广义虚拟经济论文集Ⅰ》，航空工业出版社 2008，晓林、秀生
《公共管理学》，中国人民大学出版社，2001 年版，张成福、党秀云；
《公共部门决策的理论与方法》，高等教育出版社 2007 年版，胡象明；
40
60
010-82338326
物理科学与核能工程学院
40
50
人文社会科学学院
60
60
60
60
010-82316974
外国语学院
60
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60
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010-82316840
交通科学与工程学院
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010-82316330
可靠性与系统工程学院
40
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60
010-82313661
宇航学院
45
45
60
80
010-82316532
仪器科学与光电工程学院
40
40
《经济思想的成长》（上下），中国社会科学出版社 1999，【美】 斯皮格尔著，晏智杰等译
育明考博开设课程：考博英语全程班（小班），英语六人行精品班，考博专业课一对一课程，申请推免课程。 上课方式面授、网络授课、视频教授相结合，有售各院校真题
北京航天航空大学研究生矩阵理论试题及其解答
矩阵论试题一．设n x x x ,,,21 是欧氏空间nV 中的一组向量，),(y x 表示x 与y 的内积，令111212122212(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)n n n n n n x x x x x x x x x x x x A x x x x x x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦试证明0)det(≠A 的充要条件为向量12,,,n x x x 线性无关。
证明：若11220n n l x l x l x +++= ，则用(1,2,,)i x i n = 依次与此式作内积有：1122(,)(,)(,)0i i n n i l x x l x x l x x +++= (1,2,,)i n = 即111221112122221122(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0(,)(,)(,)0n n n nn n n n n l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x l x x +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 此式仅有零解的充分必要条件为det()0A ≠，故12,,n x x x 线性无关的充分必要条件为det()0A ≠三．设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=442101002A ，求tA e 和)(R t e A ∈。
四．设nm C A ⨯∈，试叙述A 的奇异分解指的是什么？并试求矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=111001A 的奇异值分解式。
解 设(0)m nr A C r ⨯∈>，H A A 的特征值为1210r r n λλλλλ+≥≥≥>===我们称1,2,,)i i n σ== 为A 的奇异值，存在m 阶酉矩阵U 和n 阶酉矩阵V ，使得000HA U V ∑⎛⎫= ⎪⎝⎭（其中12(,,,)r diag σσσ∑= ），此式称为A 的奇异值分解式。
当010111A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭时，0121011011201111H A A ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，221(2)1(3)(1)012H I A A λλλλλλ---==--=--=--得123,1λλ==，对于13λ=由12(3)0Hx I A A x ⎛⎫-=⎪⎝⎭得1211011x x -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故12x x =，取111p ⎛⎫= ⎪⎝⎭；对于11λ=由12()0Hx I A A x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得1211011x x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故12x x =-，取211p ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，由于2rankA =，001⎫∑=⎪⎝⎭，故取取V ⎫⎪⎪=，此时1V V =，1110100101110U AV -⎫⎪⎫⎛⎫⎪⎪⎫ ⎪⎪=∑==⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎪⎪⎭，取2a U b c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，使得2U 与1U 的两个列量正交，从而有00++=⎪=⎪⎩， 200a b c a b ++=⎧⎨-=⎩， 从而1,1a b c ===-故取2U ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎝，因此20U ⎫⎪⎪⎪=⎪⎪，故0H A U V ∑⎛⎫= ⎪⎝⎭。
2024北航研究生考试大纲
2024北航研究生考试大纲一、考试目标和内容2024年北航研究生考试旨在选拔具有扎实专业知识和科研能力的优秀学生，进一步提高研究生教育质量。
考试内容涵盖学科基础、专业知识和科研能力三个方面。
1. 学科基础考试将综合考察考生在学科基础方面的掌握情况。
主要包括以下内容：a. 数学基础：数学分析、线性代数、离散数学、概率论与数理统计等；b. 英语基础：听力、阅读、写作和口语表达能力；c. 专业外语：重点考察学生对所学专业的外语技能，包括阅读、翻译和写作；d. 计算机基础：主要考察计算机科学与技术相关知识，如计算机组成原理、数据结构与算法等。
2. 专业知识考试将对考生在相关专业知识方面的理解与掌握进行考察。
具体考试科目根据专业要求而定。
考试科目包括但不限于以下方向：a. 电子与通信工程；b. 材料科学与工程；c. 机械工程与自动化；d. 能源与动力工程；e. 控制科学与工程；f. 土木工程；g. 航空航天科学与技术；h. 计算机科学与工程等。
3. 科研能力除了考察学科基础和专业知识，考试还将评估考生的科研能力。
主要包括以下内容：a. 科研方法：考察考生对科研方法的了解和应用能力；b. 文献综述能力：考察考生对所选研究领域的文献综述能力；c. 创新能力：考察考生的创新思维和解决实际问题的能力；d. 实验设计和数据处理能力：考察考生在实验设计和数据处理方面的能力。
二、考试形式和要求考试将采取笔试和面试相结合的方式进行，具体要求如下：1. 笔试a. 数学基础和英语基础：采取选择题的形式进行考试，题型包括单选题和多选题；b. 专业知识：采取综合性和专业方向选择题的形式进行考试，题型包括单选题、多选题和填空题；c. 专业外语：采取阅读理解和写作的形式进行考试；d. 计算机基础：采取编程题或应用题的形式进行考试。
2. 面试a. 学科基础和专业知识考试成绩合格者方可参加面试；b. 面试形式包括个人陈述和专业面试，旨在了解考生的科研兴趣、学术背景和科研能力。
2291-博士研究生《矩阵论和随机过程》科目
华中科技大学博士研究生入学考试《软件工程理论基础综合》考试大纲（科目代码：3543）第一部分考试说明一、考试性质博士生入学考试是为华中科技大学招收博士研究生而设置的。
其中，“软件工程理论基础综合”考试科目主要是针对报考软件工程学科软件服务与应用、数字媒体技术方向的考生而设置的。
该课程的评价标准是高等学校优秀硕士毕业生能达到及格或及格以上水平，以保证被录取者具有基本的专业理论素质并有利于招收单位和导师择优选拔。
考试对象为参加博士生入学考试的硕士毕业生，以及具有同等学力的在职人员。
二、评价目标1．掌握软件工程领域的基本原理、技术和方法；2．“X”部分的评价目标见各选项具体要求。
三、考试形式和试卷结构1．考试形式：闭卷、笔试；2．答题时间：180分钟；3．试卷题型：基础部分为选择题、问答题、计算题；“X”部分见各选项说明；4．各部分内容的考试比例：软件工程理论基础综合 = 软件工程理论基础（40%）+X（60%）其中：“X”有二项选择（1.现代计算机网络； 2.计算机图形学），考生报名时只需选考其一。
第二部分考察要点一、软件工程理论基础部分1．软件需求需求获取；需求分类；需求验证；需求管理。
2．软件设计体系结构；面向对象技术；实时软件的设计；用户界面设计。
3．软件开发设计模式；软件复用；组件模型；内聚和耦合。
4．软件检验和验证软件测试；测试自动化；软件检验；软件检验验证。
5．软件工程管理软件过程及改进，软件生存期模型；软件度量；软件质量6．软件工程新兴技术二、“X”部分——现代计算机网络●评价目标：掌握计算机网络的基本概念、基本原理与技术；应用计算机网络理论知识分析问题与解决问题能力。
●试卷题型：填空题、选择题、简答题、计算与分析题。
●参考书目：《计算机网络》第五版，谢希仁，电子工业出版社；《网络协议工程》，吴礼发，电子工业出版社，2011.4。
针对专业特点，本课程主要考察考生对计算机网络了解、掌握的广度和深度。
博士研究生招生考试矩阵与数值分析科目考试大纲
博士研究生招生考试矩阵与数值分析科目考试大纲一、考查目标矩阵与数值分析课程含数值分析和矩阵理论（部分）内容，是数学学科的一个分支。
它研究用计算机求解数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。
本考试为博士研究生生入学考试，考核内容是最基本、最常用的数值计算方法及其理论，包括1、了解误差和有效数字概念，理解数值运算的误差估计，掌握算法的数值稳定性概念、数值计算中的一些基本原则；2、了解二分法算法，理解迭代法的一般理论、迭代收敛的阶及加速技，掌握牛顿迭代法迭代格式及应用；3、了解高斯消元法算法思想，理解列主元消元法与三角分解算法，掌握矩阵的直接三角分解方法，掌握向量和矩阵范数范数概念和计算方法，了解方程组的条件数及计算；4、掌握雅可比迭代和高斯赛德尔迭代的计算格式，理解雅可比迭代和高斯赛德尔迭代的收敛性判断方法，了解超松驰迭代法的计算格式及收敛性判别方法；5、掌握拉格朗日插值公式，理解多项式插值的存在唯一性定理和插值误差估计公式，掌握均差与牛顿插值公式，了解分段线性插值与多元函数插值方法、埃尔米特插值方法、样条插值方法；6、了解数学拟合的概念，掌握曲线拟合的最小二乘法算法和原理，理解正交多项式和最佳平方逼近方法；7、理解插值型求积公式的概念和方法，了解插值中的代数精度概念，掌握复合求积公式及算法，理解外推原理与Romberg算法，理解高斯求积公式及其复合公式，掌握数值微分方法；8、掌握求解一阶常微分方程的简单数值方法，理解四阶龙格库塔方法，了解单步法的收敛性和稳定性，了解线性多步法，了解一阶常微分方程组和高阶方程求解方法。
9、了解向量范数与矩阵范数的概念，掌握一些常用的向量范数与矩阵范数，了解矩阵范数与向量范数的相容性。
10、了解收敛矩阵的概念，了解矩阵幂级数收敛的判定，掌握常用矩阵函数值的计算，掌握函数矩阵的导数的计算。
11、理解矩阵的奇异值分解。
12、了解广义逆矩阵，掌握利用广义逆矩阵求解线性方程组。
2023年北京航空航天大学级博士研究生招生入学考试
北京航空航天大学2023级博士研究生招生入学考试《固体物理学》科目考试范围一、晶体结构（掌握）1、晶体中原子的周期性列阵2、点阵的基本类型3、晶列和晶面指数4、简朴晶体结构二、晶体衍射（掌握）1、倒易点阵2、周期函数的付里叶分析3、劳厄衍射条件4、基元的几何结构因子及原子形状因子5、X射线衍射的实验方法三、晶体结合（掌握）1、晶体结合的基本形式2、分子晶体与离子晶体，范德瓦尔斯互作用，马德隆常数四、声子（晶体振动及热学性质）（掌握）1、一维原子链的振动单元子链双原子链声学支光学支2、格波简正坐标格波能量量子化声子3、长波近似4、固体热容爱因斯坦模型德拜模型5、非简谐效应热膨胀热传导6、中子的非弹性散射测声子能谱五、晶体缺陷（了解）1、晶体缺陷线缺陷面缺陷点缺陷2、热缺陷及其运动3、扩散及微观机理4、杂质在外力作用下的扩散5、位错的物理特性六、固体电子论基础（掌握）1、金属自由电子的物理模型2、金属自由电子的热容3、金属的电导4、电子在外加电磁场中的运动漂移速度方程霍耳效应5、金属热导率七、能带理论（掌握）1、布洛赫定理2、布里渊区3、近自由电子模型4、平面波法紧束缚近似法赝势法5、电子的准经典运动6、金属半导体和绝缘体空穴的概念7、费密面及费密面结构八、专题（了解）金属与合金半导体固体磁性固体的光学性质铁电体超导电性非晶态物质固体的表面与界面低维固体与纳米结构《现代光学》科目考试范围一、光的传播和基本性质1、光的电磁波理论（平面波和球面波）2、惠更斯原理3、费马原理4、光传播的几何光学定律，折射率与光速和波长关系5、光的电磁波基本性质及其证明6、光度学基本概念（发光强度、亮度、朗伯余弦定律和光照度）二、几何光学成像1、近轴成像2、抱负系统成像理论（1）光学系统基点基面，光焦度（2）物像关系作图法（3）运用牛顿公式和高斯公式计算物像关系3、光学成像仪器及其原理4、像差基础（像差的种类、产生原理、校正的方法）三、波动光学1、光波前函数的指数和复振幅描述2、光的干涉（1）干涉的充要条件（2）衬比度（3）分波前干涉（杨氏干涉，其它干涉装置）（4）光场的空间相干性（5）分振幅干涉（等厚和等倾干涉，迈克尔逊干涉仪及应用）（6）光的时间相干性（7）多光束干涉3、光的衍射（1）惠更斯-菲涅尔原理，基尔霍夫衍射公式（2）近场菲涅尔衍射，半波带法与菲涅尔透镜（波带片）（3）远场夫琅禾费衍射光学系统的分辨率（圆孔衍射与爱里斑、瑞利判据、光学仪器分辨本领）（4）光栅及其特性四、偏振1、光的偏振态种类及其表征、偏振片和马吕斯定律2、光在电介质表面的反射和折射（1）反射光的半波损失和偏振特性（2）斯托克斯倒逆关系（3）隐逝波、近场光学显微镜3、双折射（1）双折射现象、基本规律和双折射的电磁理论（2）光在晶体中传播的惠更斯作图法（3）晶体光学器件（线偏振器、波片）（4）圆偏振光和椭圆偏振光的获得与检查（5）偏振光的干涉五、光的吸取，色散和散射1、光的吸取规律2、光的色散（正常和反常色散，相速度和群速度）3、光的散射原理（瑞利散射、米氏散射和拉曼散射）六、傅里叶光学基础1、余弦光栅及其特性2、屏函数的傅里叶变换3、阿贝成像和空间滤波4、全息成像原理七、光的量子性和激光1、光的量子特性（光子：能量、动量、与波动的关系）2、光子的发射和吸取（玻尔频率条件，爱因斯坦受激辐射理论）3、激光原理（粒子数反转、增益和阈值、选频、激光光束特性）《原子核物理》科目考试范围一、原子核的基本性质了解原子核的基本性质；熟悉原子质量、核半径的测量原理，熟悉原子核自旋、磁矩、电四极矩及其基本测量方法；掌握原子质量、质量数、核半径计算。
北京航空航天大学考博各专业考试科目及参考书目
构
andJohn L. Hennessy；
《Advanced Computer Architecture Parallelism
Scalability Programmability》清华大学出版社，Kai Hwang；
《高等计算机系统结构：并行性 可扩展性 可编程性》，广西
科学技术出版社
无专业外语部分
2091 2092 2093
复分析 《复分析》，上海科技出版社，阿尔福斯著
实分析
《实分析与复分析》（实分析部分），人民教育出版社，W.Rudin 著
泛函分析 《泛函分析》，高等教育出版社，江泽坚著
2094
抽象代数 《近世代数》，科学出版社，熊全淹著
中国考博辅导首选学校
2095
微分方程 《微分方程定性理论》，科学出版社，张芷芬等著
2096
《偏微分方程数值解法》，科学出版社2003，汤华中、余德浩
偏微分方程数值解 著
法
（ＰＳ：The way to contact yumingkaobo TEL:si ling ling-liu liu
ba-liu jiu qi ba ;QQ:wu si qi ling liu san ba liu er）
中国考博辅导首选学校
《计算机网络》第四版 ，2004，清华大学出版社，Andrew S.
Tanenbaum，潘爱民译；
《实用软件工程(第二版)》，清华大学出版社，郑人杰等；
《可视化面向对象建模技术--标准建模语言 UML》，北航出版
社2001.07，刘超、张莉；
《软件工程--实践者的研究方法（原书第5版）》[美]，Roger
数理逻辑和软件工 《软件工程--实践者的研究方法（原书第5版）》[美]，Roger
北京航空航天大学经济管理学院考博真题考博经验考博笔记
1、关于招考方式 报考北航博士研究生有四种方式：本科直博、硕博连读、申请考核与普通招考。 （一）申请考核：北京航空航天大学生物与医学工程学院从 2015 年开始试行“申请考核制”。凡
申请报考该学院的普通招考、硕博连读、本科直博的考生均纳入“申请考核制”，不再参加北京航空 航天大学普通招考博士研究生统一入学考试；北航专项招生计划（如工程博士、学科交叉培养博士、 少数民族高层次骨干人才专项计划等）仍需按照北航相关招生办法进行。
育明 考博分校 资料来源： 北航考博资料、辅导课程 咨询育明考博刘老师
高录取率的基础。考生们也可以借鉴这一复习规划来指导自己的备考。 第一阶段：框架的构建和重点的掌握 深入解构核心参考书，建立知识理论体系框架并对重点知识章节和常见考点进行整合。理清楚学
科发展史，特别是每一个阶段的代表人物，著作，主张，提出的背景和评价。根据专业课老师讲解借 鉴前辈经验最终形成学员的专属笔记。
育明 考博分校 资料来源： 北航考博资料、辅导课程 咨询育明考博刘老师
北京航空航天大学经济管理学院考博真题考博经验考博笔记
一、专业的设置以及初试考试内容
专业名称 071400 统计学
招生方式
082303 交通运输规划与管理 120100 管理科学与工程
公考招考 硕博连读 本科直博
1201Z1 金融工程
初试考试内容
1001 英语， 2001 矩阵理论、2005 概率统计选一， 3082 运筹学、3083 管理信息系统、3085 计 量经济学选一
1001 英语， 2003 数理方程、2004 常微方程、2005 概率 统计选一， 3081 生产与运作管理、3082 运筹学、3084 微观经济学与宏观经济学选一
北航《数字信号处理》博士生入学考试大纲
北航《数字信号处理》博士生入学考试大纲一、考试的基本要求要求考生有扎实的数学基础，具备“信号和系统”的基础知识，了解并熟悉自动化和测控技术领域的专业内容，理解（包括自学过）工程数学中复变函数与积分变换的基本内容，能够综合应用所学的知识分析和解决问题的能力。
二、考试方法和时间考试采用闭卷笔试的形式，考试时间120分钟，总分100分。
三、考试参考书目主要参考书：胡广书编著数字信号处理——理论、算法与实现清华大学出版社（如果从未系统学习过信号分析和处理类型的课程，或者这方面基础需要加强的考生，建议参看：周浩敏编著信号处理技术基础北京航空航天大学出版社2001）四、考试内容1．连续时间信号分析和处理基础知识连续时间信号（包括抽样信号）的频域分析，典型信号的傅里叶变换，傅里叶变换的性质及其物理意义。
模拟系统的基本概念和特性，模拟滤波器的基本概念、设计原理和方法。
2．离散时间信号序列及其z变换（z反变换的求解不要求）。
离散时间信号与连续时间信号之间的联系与区别（例如周期性，频率的概念）3．离散时间信号（只要求一维）的频域分析序列的傅里叶变换。
离散时间傅里叶级数（DFS）。
离散时间傅里叶变换（DFT）。
快速傅里叶变换（FFT，要求搞懂基2按时间抽取的FFT原理）。
三个变换（傅里叶变换、拉氏变换和z变换三者之间的关系）。
序列的傅里叶变换、DFS和DFT之间的联系和区别。
4．快速傅里叶变换在测控系统中的典型应用连续时间信号的数字谱分析。
快速卷积。
FFT在动态测试数据处理中的应用。
相关原理和检测。
5．离散时间系统离散时间系统的基本概念。
线性非移变（时不变）系统。
离散系统的时域分析。
离散系统的变换域（频域、z域）分析。
系统因果稳定的时、频域条件。
离散时间系统与连续时间系统的模仿关系。
6．数字滤波器数字滤波器的基本概念。
无限沖激响应（IIR）数字滤波器的设计原理和方法。
有限沖激响应（FIR）数字滤波器的设计原理和方法。
北京航空航天大学招收博士研究生入学考试参
《传热与传质分析》
《燃烧学》
《航空燃气轮机燃烧室》
《粘性流体动力学基础》
《气体动力学基础》修订版
《航空燃气轮机原理》（上）
《声学基础》第二版《航空燃气轮机原理》（上）
《振动力学》
《结构模态实验分析》1-6章，或有关实验模态分析方面的基本理论的参考书
《飞机推进系统技术与设计》
《有限单元法》
4157专业综合考试
4171专业综合考试
4172专业综合考试
4181 高等混凝土结构
4182 高等土力学
《固体物理导论》
《固体物理基础》
《常微分方程定性方法和分叉》
《线性系统理论》
《Banach AlgebraTechniquesin operator Theory》
《计算机代数》
《汽车环境保护技术》
南京大学出版社
国防工业出版社
2000
国防工业出版社
2000
北航出版社
1990
北航出版社
科学出版社
西安交大出版社
1992
北航出版社
1989
上海科学技术文献出版社
航空工业出版社
北航出版社
科学出版社
北航出版社
北航出版社
北航出版社
国防工业出版社
北航出版社
西安交通大学
北航出版社
北航出版社
北航出版社
北航出版社
北航出版社
北京大学
周德润等
颜庆津著
复旦大学
王高雄等
浙江大学编
张福渊等
盛综淇著
程兰征著
黄昆著
蒋平等编
朱大年著
翟中和，王忠喜著
阿尔福斯
W.Rudin
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《矩阵理论》考试大纲科目代码：2001
基本内容与要求：
一、矩阵的基本知识：
1.矩阵的运算
2.逆矩阵、分块矩阵、矩阵的秩
3.初等变换与初等矩阵
二、线性方程组
1.向量组的线性相关性
2.线性方程组有解的判定定理及解的结构
三、矩阵的相似变换与二次型
1.方阵的特征值与特征向量
2.矩阵的相似对角化
3.矩阵的若当标准形
4.二次型的标准形、规范形及唯一性
5.正定二次型与正定矩阵
四、线性空间
1.线性空间的定义和性质
2.维数、基与坐标
3.线性子空间
4.欧氏空间
五、线性变换
1.线性变换的概念和基本性质
2.线性变换的矩阵
3.线性变换的特征值与特征向量
六、矩阵的分解
1.QR分解
2.正规矩阵及Schur分解
3.满秩分解
4.奇异值分解。