高中数学必修二教案-空间中直线与直线之间的位置关系示范
高中数学必修二《空间中直线与直线的位置关系》优秀教学设计
课题空间中直线与直线的位置关系（第一课时）教学目标知识与技能:(1)掌握直线与平面之间的三种位置关系;(2)会判断两直线的异面关系,初步理解异面直线的衬托画法;(3)初步理解与运用公理4 解决问题。
过程与方法:(1)让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识;(2)通过学习经历异面直线的概念的形成过程,借助平面的衬托,体会异面直线的直观画法;(3)借助长方体的模型,发现与感知平行线的传递性。
情感、态度与价值观:(1)让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣;(2)增强动态意识,培养学生观察、对比、分析的思维,通过平移转化渗透数学中的化归与辩证唯物主义思想;(3)把问题交给学生解决,让学生自主发现问题与解决问题,养成独立思考的习惯。
学情分析学生通过前面知识的学习,已经具备了一定的空间意识和空间想象能力,对空间数学的学习有一定的好奇与兴趣,能够积极参与研究,但在分析推理能力、空间想象能力方面有所欠缺,合作交流的意识也不够强,要均衡发展,各个方面的学习都有待加强,即使是在简单的计算问题上也不容马虎。
教学重难点重点:异面直线概念的理解,掌握并会应用平行线的传递性;难点:对异面直线的理解与求法。
教学方法策略采用问题驱动、实例分析、合作探究等方式组织教学活动。
问题——自主、合作——探究教学活动过程活动一【导入】温故知新师:同学们,上节课我们学习了平面的有关知识,那现在大家来齐背一下公理1至3.生:(背诵)【设计意图：检查学生对旧知的掌握情况，为新课作铺垫。
】师:其实除了上节课,早在初中的时候我们已经接触过平面了。
那大家是否还记得,同一平面内的两条直线有几种位置关系?它们分别有几个公共点?生:相交和平行。
相交的两条直线有一个公共点,平行的没有公共点。
【设计意图：唤起学生的记忆，让学生体会到知识的连续性。
】师:既然在平面里两条直线的位置关系只有这两种,那也就是说,平面内不平行的两条直线就一定会?生:相交。
高中数学 2.1.2空间直线与直线之间的位置关系精品教案 新人教A版必修2
第二课时空间中直线与直线之间的位置关系〔一〕教学目标1．知识与技能〔1〕了解空间中两条直线的位置关系；〔2〕理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；〔3〕理解并掌握公理4；〔4〕理解并掌握等角公理；〔5〕异面直线所成角的定义、X围及应用。
2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.〔二〕教学重点、难点重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理.难点：异面直线所成角的计算.〔三〕教学方法师生的共同讨论与讲授法相结合；教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题：在同一平面内，两条直线有几种位置关系？空间的两条直线还有没有其他位置关系？师投影问题，学生讨论回答生1：在同一平面内，两条直线的位置关系有：平行与相交.生2：空间的两条直线除平行与相交外还有其他位置关系，如教室里的电灯线与墙角线……师〔肯定〕：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.以旧导新培养学生知识的系统性和学生学习的积极性.探索新知1．空间的两条直线位置关系：共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：①相交直线—有且仅有一个公共点②平行直线—在同一平面内，没有公共点.③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.随堂练习：现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点如下图P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG. 线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.师〔肯定〕所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交〞那么“不同在任何一个平面内〞是否可改为“不在一个平面内呢〞学生讨论发现不能去掉“任何〞师：“不同在任何一个平面内〞可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内〞线位置关系的理解〔1〕公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行〔2〕定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补例2 如下图，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且12EH BD=.同理FG∥BD，且12FG BD=.因为EH∥FG，且EH = FG，所以四边形EFGH为平行四边形.师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.它可以用来证明两条直线平行.师〔肯定〕下面我们来看一个例子观察图，在长方体ABCD–A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：从图中可以看出，∠ADC = ∠A′D′C′，∠ADC + ∠A′B′C′=180°师：一般地，有以下定理：……培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.通过分析和引导，培养学生解题能力.这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.探索新知3．异面直线所成的角〔1〕异面直线所成角的概念.两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).〔2〕异面直线互相垂直a、b，记作a⊥b.例 3 如图，正方体ABCD–A′B′C′D′.〔1〕哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？〔2〕直线BA′和CC′的夹角是多少？〔3〕哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？解：〔1〕由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.〔2〕由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角，∠B′BA′= 45°.〔3〕直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；②两条异面直线所成的角(0,]2πθ∈；③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动〔作平行线〕，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角；⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a和b互相垂直，也记作a⊥b；⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.然后师生共同分析例题加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.随堂练习1．填空题：学生独立完成答案：.2．〔1〕因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线〔1〕如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有条.〔2〕如果OA∥O′A′，OB ∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′.答案：〔1〕3条. 分别是BB′，CC′，DD′；〔2〕相等或互补.2．如图，长方体ABCD–A′B′C′D′中，AB =23，AD =23，AA′ =2.〔1〕BC和A′C′所成的角是多少度？〔2〕AA′和BC′所成的角是多少度？A′C′与BC所成的角. 在Rt△A′B′C′中，A′B′=23，B′C′=23，所以∠B′C′A′ = 45°.〔2〕因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BB′ 所成的角.在Rt△BB′C′中，B′C′= AD =23，BB′= AA′=2，所以BC′= 4，∠B′BC′= 60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.归纳总结1．空间中两条直线的位置关系.2．平行公理及等角定理.3．异面直线所成的角.学生归纳，教师点评并完善培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.作业 2.1 第二课时习案学生独立完成固化知识提升能力附加例题例1 “a、b为异面直线〞是指：①a∩b =∅，且a∥b；②a⊂面α，b⊂面β，且a∩b =∅；③a⊂面α，b⊂面β，且α∩β=∅；④a⊂面α，b⊄面α；⑤不存在面α，使a⊂面α，b⊂面α成立. 上述结论中，正确的选项是〔〕A ．①④⑤正确B ．①③④正确C ．仅②④正确D ．仅①⑤正确[解析] ①等价于a 和b 既不相交，又不平行，故a 、b 是异面直线；②等价于a 、b 不同在同一平面内，故a 、b例2 如果异面直线a 与b 所成角为50°，P 为空间一定点，那么过点P 与a 、b 所成的角都是30°的直线有且仅有条.[解析]如下图，过定点P 作a 、b 的平行线a ′、b ′，因a 、b 成50°角，∴a ′与b ′也成50°P 作∠A ′PB ′的平分线，取较小的角有∠A ′PO =∠B ′PO = 25°. ∵∠APA ′＞A ′PO ，∴过P 作直线l 与a ′、b ′成30°角的直线有2条.例3 空间四边形ABCD ，AD =1，BD =3，且AD ⊥BC ，对角线BD =132，AC =32，求AC 和BD 所成的角。
人教A版高中数学必修二第二章空间中直线与直线之间的位置关系教案新
§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教学目标：1、知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板四、教学思想（一）创设情景、导入课题1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中，共面直线BB'∥AA'，DD'∥AA'，BB'与DD'平行吗？生：平行再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
人教版必修二：2.1.3空间中直线与直线之间的位置关系教案设计
《空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计一、教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书《数学必修二》，第二章第一节。
空间中直线与直线的位置关系，是初中平面中直线与直线的位置关系的拓展延伸，是后续学习直线与平面、平面与平面位置关系以及空间几何体的基础，具有承上启下的作用。
其中，等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下角的大小不变，它是两条异面直线所成角的依据，它提供了一个研究角之间关系的重要方法。
教材在编写时注意从平面到空间的变化，通过观察实物，直观感知，抽象概括出定义及定理培养学生的观察能力和分析问题的能力，通过联系和比较，理解定义、定理，以利于正确的进行运用。
因此，做好本节课的教学对学生建立空间观念尤为重要。
二、学情分析1.空间直线的三种位置关系在现实中大量存在，学生对他们已有一定的感性认识,其中，相交直线和平行直线都是共面直线，学生对它们已经很熟悉，异面直线的概念学生比较生疏；2.学生在初中已经学过平面中直线与直线的位置关系，具有一定的学习几何的经验，但长时间的平面几何学习的影响，学生的思维往往受平面的局限，不利于学生构建空间观念；3.学生善于形象思维，思维活跃，能积极参与讨论。
三、教学目标1.知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系，并能正确判断空间中直线与直线之间的位置关系；（2）理解异面直线的概念，画法，培养学生的语言转化能力和空间想象能力；（3）能运用公理4证明简单的几何问题；（4）会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角；（5）通过等角定理及异面直线夹角的求法的学习，逐步提高将立体图形转为平面图形的能力。
2.过程与方法（1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。
3.情感态度与价值观（1）通过联系生活实例让学生直观感知空间两条直线关系，提高学生的学习兴趣；（2）通过探究增强学生的合作意识、动脑和动手能力，初步培养学生空间思维能力。
人教课标版高中数学必修2《空间中直线与直线之间的位置关系(第1课时)》教学设计
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2.1.2 空间直线与直线之间的位置关系（一）一、教学目标（一）核心素养增强动态意识，培养观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想.（二）学习目标1.正确理解异面直线的定义；2.会判断空间两条直线的位置关系；3.掌握平行公理及空间等角定理的内容和应用；4.会求异面直线所成角的大小.（三）学习重点1．异面直线的判定．2．求异面直线所成角的大小．（四）学习难点1．异面直线的判定．2．求异面直线所成角的大小．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（预习教材第44至47页，找出疑惑之处）2．预习自测问题1：下列说法正确的个数是()(1)某平面内的一条直线和与这个平面平行的直线是异面直线.(2)空间中没有公共点的两条直线是异面直线.(3)若两条直线和第三条直线所成的角相等则这两条直线必平行.(4)若一条直线垂直于两条平行直线中的一条,则它一定与另一条直线垂直.A．1个B．2个C．3个D．4个解析:(1)中两直线可能平行,也可能异面,故(1)不正确;(2)中两直线可能平行,故(2)不正确;(3)中两直线可能相交,也可能异面,故(3)不正确;由异面直线所成角定义知(4)正确.【答案】A问题2：如图所示,已知正方体1111D C B A ABCD 中，F E ,分别是1,AA AD 的中点.(1)直线1AB 和1CC 所成的角为 ;(2)直线1AB 和EF 所成的角为 .解析:(1)因为BB 1∥CC 1,所以∠AB 1B 即为异面直线AB 1与CC 1所成的角, ∠AB 1B=45°.(2)连接B 1C,易得EF ∥B 1C,所以∠AB 1C 即为直线AB 1和EF 所成的角. 连接AC,则△AB 1C 为正三角形,所以∠AB 1C=60°．【答案】(1) 45(2) 60(二)课堂设计1．知识回顾复习1：平面的特点是______、_______、_______.【答案】平的；平面是可以无限延展的；平面没有厚薄之分.复习2：平面性质(三公理)公理1___________________________________；公理2___________________________________；公理3___________________________________.【答案】公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2．问题探究探究1：异面直线及直线间的位置关系问题：平面内两条直线要么平行要么相交（重合不考虑）,空间两条直线呢?观察：如图在长方体中，直线A B'与CC'的位置关系如何？结论：直线A B'与CC'既不相交，也不平行.新知1：像直线A B'与CC'这样不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(skew lines).试试：请在上图的长方体中，再找出3对异面直线.问题：作图时，怎样才能表示两条直线是异面的？新知2：异面直线的画法有如下几种(,a b异面)：试试：请你归纳出空间直线的位置关系.探究2：平行公理及空间等角定理问题：平面内若两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行，空间是否有类似规律?观察：如图2-1,在长方体中，直线C D ''∥A B ''，AB ∥A B ''，那么直线AB 与C D ''平行吗?图2-1新知3:公理4 (平行公理)平行于同一条直线的两条直线互相平行.问题：平面上,如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等或者互补，空间是否有类似结论?观察：在图2-1中,ADC ∠与A D C '''∠,ADC ∠与A B C '''∠的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何?新知4:定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 探究3：异面直线所成的角已知异面直线b a ,，经过空间中任一点O 作直线a ' ∥a ,b ' ∥b ，把a ' 与b ' 所成的锐角（或直角）叫异面直线a 与b 所成的角（夹角）. 范围：]2,0(πθ∈.思考：两条异面直线所成角的大小是否随空间任意点O 位置的不同而改变？ 点O 可任选，一般取特殊位置，如线段的中点或端点.●活动② 互动交流，初步实践若c b a 、、是空间3条直线，a ∥b ，a 与c 相交，则b 与c 的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．异面或相交【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合与分类讨论的思想.【解题过程】若b 与c 平行，因为a ∥b ，所以a 与c 平行与已知条件矛盾，容易画出异面或相交的情形．【思路点拨】通过直观的模型解决问题．【答案】D●活动③ 巩固基础，检查反馈【设计意图】巩固检查对异面直线的理解与认识．例1 如下图所示正方体1111D C B A ABCD -中，N M ,分别是1111,C B B A 的中点．问：(1)AM 和CN 是否是异面直线？说明理由．(2)B D 1和1CC 是否是异面直线？说明理由．【知识点】异面直线的判定．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)不是异面直线．理由：N M 、 分别是1111C B B A 、的中点． ∴11C A MN ∥又∵11ACC A 为平行四边形．∴AC ∥11C A ，得到MN ∥AC ，∴AM 和CN 不是异面直线．(2)是异面直线．证明如下：假设B D 1和1CC 在同一个平面1DCC 内，则1DCC B ∈，1DCC C ∈D CC BC 1⊂∴，D D CC B 11∈∴，这与1111D C B A ABCD -是正方体相矛盾．∴假设不成立，故B D 1和1CC 是异面直线．【思路点拨】利用定义与反证法．【答案】已证．同类训练 如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么GH EF CD AB ,,,这四条线段所在的直线是异面直线的有 对．【知识点】异面直线的判定．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】如图：AB 与CD ，AB 与GH ，EF 与GH【思路点拨】平面与空间的相互转化．【答案】3对●活动④ 强化提升，灵活应用例 2 如图,在三棱锥BCD A -中，G F E 、、分别是AD BC AB 、、的中点， 120=∠GEF ，则BD 和AC 所成角的度数为 .【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】依题意知,EG ∥BD,EF ∥AC,所以∠GEF 所成的角或其补角即为异面直线AC 与BD 所成的角,又∠GEF=120°,所以异面直线BD 与AC 所成的角为60°．【思路点拨】通过平行线找到成的角．【答案】 60小结：求异面直线所成的角一般要有四个步骤：（1）作图：作出所求的角及题中涉及的有关图形等；（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的；（3）计算：一般是利用解三角形计算得出结果.（4）结论.简记为“作（或找）——证——算——答”.同类训练 在正方体1111ABCD A B C D 中，H G F E ,,,分别为1111,,,C B BB AB AA 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于________．【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】连接1A B 、1BC 、11A C ，由于EF ∥A 1B ，GH ∥BC 1，所以A 1B 与BC 1所成的角即为EF 与GH 所成的角，由于△A 1BC 1为正三角形，所以A 1B 与BC 1所成的角为 60，即异面直线EF 与GH 所成的角为 60.【思路点拨】通过平行线找到成的角．【答案】 60例3.空间四边形ABCD 中，H G F E 、、、分别是DA CD BC AB 、、、的中点， 求证：四边形EFGH 是平行四边形.【知识点】平行公理的应用．【数学思想】数形结合的思想.【解题过程】连接BD ，因为EH 是三角形ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且BD EH 21=；同理FG ∥BD ，且BD FG 21=；所以EH ∥FG ，且EH FG =，所以四边形EFGH 为平行四边形.【思路点拨】通过平行公理产生边与边的关系．【答案】已证．探究：如果再加上条件BD AC =，那么四边形EFGH 是什么图形？（菱形） 拓展：若BD AC ⊥，则四边形EFGH 又是什么图形？（矩形）3.课堂总结知识梳理（1）异面直线的定义、夹角的定义及求法．（2）空间直线的位置关系．（3）平行公理及空间等角定理．重难点归纳（1）空间直线的位置关系判定．（2）平行公理及空间等角定理．（3）求异面直线所成角的大小．（三）课后作业基础型 自主突破1．下列四个命题中错误的是（ ）A ．若直线a 、b 互相平行，则直线a 、b 可以确定一个平面B ．若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C ．若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D ．两条异面直线不可能垂直于同一个平面【知识点】平行、共线、异面直线等相关命题判断．【数学思想】分类讨论的思想.【解题过程】若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线或是平行直线．显然答案C 中的命题错误．故选C ．【思路点拨】根据直线的基本位置关系进行判断．【答案】C2．在正方体1111D C B A ABCD -中，B A 1与C B 1所在直线所成角的大小是（ ）A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．90︒【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】连接1D C ，则11A B D C ，连接11B D ，易证11B CD ∠就是B A 1与C B 1所在直线所成角，由于11B CD 是等边三角形，因此1160B CD ∠=︒，故选C.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】C3. c,是空间中的三条直线,下面给出四个命题:a,b①若a∥b,b∥c,则a∥c；②若a与b相交,b与c相交,则a与c相交；③若a⊂平面α,b⊂平面β,则a、b一定是异面直线；④若a、b与c成等角,则a∥b.上述命题中正确的命题是(只填序号).【知识点】点线面的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】①中,由公理4知,正确；②中,a与c可相交、可平行、可异面,错误；③中,a、b可能平行、相交、异面,故错；④中,a、b可能平行、相交、异面,故错. 【思路点拨】找模型，数形结合．【答案】①4．如图是正方体的平面展开图,在这个正方体中,①BM与ED平行;②CN与BE是异面直线;60角;③CN与BM成④DM与BN是异面直线.以上四个命题中,正确命题的序号是（）A．①②③B．②④C．③④D．②③④【知识点】异面直线的判定与所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由题意画出正方体的图形如图:显然①②不正确;③CN 与BM 成60°角,即∠ANC=60°,正确;④正确, 故选C.【思路点拨】平面图形还原为空间图形.【答案】C5．如图,已知正方体D C B A ABCD ''''-.(1)哪些棱所在直线与直线A B '是异面直线?(2)直线A B '和C C '的夹角是多少?(3)哪些棱所在直线与直线A A '垂直?【知识点】异面直线的基本知识．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)由异面直线的定义可知,棱AD 、DC 、CC'、DD'、D'C 、'B'C'所在直线分别与BA'是异面直线.(2)由BB'∥CC'可知,∠B'BA'是异面直线BA'和CC'的夹角,∠B'BA'=45°,所以直线BA'和CC'的夹角为45°.(3)直线A D D C C B B A DA CD BC AB ''''''''、、、、、、、分别与直线AA'垂直.【思路点拨】根据异面直线所成的基本知识与方法．【答案】(1)C B C D D D C C DC AD ''''''、、、、、；(2) 45；(3)A D D C C B B A DA CD BC AB ''''''''、、、、、、、．能力型 师生共研6．已知三棱锥BCD A -中，CD AB =，且直线AB 与CD 成60角，点N M ,分别是AD BC ,的中点，求直线AB 和MN 所成的角．【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】如图，取AC 的中点P ，连接PM ，PN ，因为点M ，N 分别是BC ，AD 的中点，所以PM ∥AB ，且PM ＝12AB ；PN ∥CD ，且PN ＝12CD ，所以∠MPN (或其补角)为AB 与CD 所成的角．所以∠PMN (或其补角)为AB 与MN 所成的角．因为直线AB 与CD 成60°角，所以∠MPN ＝60°或∠MPN ＝120°.又因为AB ＝CD ，所以PM ＝PN.①若∠MPN ＝60°，则△PMN 是等边三角形，所以∠PMN ＝60°，即AB 与MN 所成的角为60°.②若∠MPN ＝120°，则易知△PMN 是等腰三角形．所以∠PMN ＝30°，即AB 与MN 所成的角为30°.综上可知：AB 与MN 所成角为60°或30°.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】60或 30． 探究型 多维突破7．如下图所示，点S R Q P 、、、分别在正方体的4条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是________．【知识点】平行、共线、异面直线等相关命题判断．【数学思想】分类讨论与数形结合的思想.【解题过程】显然①②平行，④相交，③异面．【思路点拨】根据直线的基本位置关系进行判断．【答案】③自助餐1．如下图所示是一个正方体的平面展开图，则在正方体中，AB与CD的位置关系为( )A．相交B．平行C．异面而且垂直D．异面但不垂直【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】平面图形还原为空间图形，容易观察得出选D．【思路点拨】平面图形还原为空间图形．【答案】D2．下列命题：①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【知识点】等角定理，公理4的理解与应用．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】由等角定理知道①错误，②③正确；由公理4知道④正确，选C .【思路点拨】找点线面的关系．【答案】C3．已知正方体1111D C B A ABCD -中，E 为11D C 的中点，则异面直线AE 与11B A 所成的角的余弦值为________．【知识点】异面直线成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】显然1AED ∠为异面直线AE 与11B A 所成的角（或补角），容易求得余弦值为31． 【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】31 4．在正方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是11,BC AB 的中点，则以下结论：①EF 与1CC 垂直；②EF 与BD 垂直；③EF 与11C A 异面；④EF 与1AD 异面，其中不成立的序号是________.【知识点】直线的位置关系．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】连结A 1B ，在△A 1BC 1中，EF ∥A 1C 1，所以①，②，④正确，③错．【思路点拨】找点线面的关系．【答案】③5．在三棱锥A BCD -中，2==BC AD ，F E 、分别是CD AB 、的中点，2=EF ，则异面直线AD 与BC 所成的角为________．【知识点】异面直线所成角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】取AC 中点P ，连接PF PE 、．则ABC ∆中，PE ∥BC 且121==BC PE ，ACD ∆中，PF ∥AD 且121==AD PF ，所以EPF ∠为所求．EPF ∆中，2,1===EF PF PE ，所以︒=∠90EPF ．【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】︒906．正方体1111D C B A ABCD -中．(1)求AC 与D A 1所成角的大小；(2)若F E 、分别为AD AB 、的中点，求11C A 与EF 所成角的大小．【知识点】异面直线所成角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】(1)如图所示，连接B 1C ，由ABCD －A 1B 1C 1D 1是正方体，易知A 1D ∥B 1C ，从而B 1C 与AC 所成的角就是AC 与A 1D 所成的角． ∵AB 1＝AC ＝B 1C ，∴∠B 1CA ＝60°.即A 1D 与AC 所成的角为60°.(2)如图所示，连接AC 、BD ，在正方体1111D C B A ABCD -中，AC ⊥BD ，AC ∥A 1C 1，∵E 、F 分别为AB 、AD 的中点，∴EF ∥BD ，∴EF ⊥AC . ∴EF ⊥A 1C 1. 即A 1C 1与EF 所成的角为90°.【思路点拨】先找，后证，最后算．【答案】(1)︒60；(2) 907．长方体1111D C B A ABCD -中，21==AB AA ，1=AD ，求异面直线11C A 与1BD 所成角的余弦值.【知识点】异面直线所成的角．【数学思想】数形结合的思想．【解题过程】设11C A 与11D B 交于O ，取1BB 中点E ，连接OE ，因为OE //B D 1，所以OE C 1∠或其补角就是异面直线11C A 与1BD 所成的角或其补角.在OE C 1∆中，1111522OC A C ==，221113221222OE BD ==++=， 22221111112C E B C B E =+=+=， 所以222222111153()()(2)522cos 2553222OC OE C E C OE OC OE +-+-∠===⋅⨯⨯，所以异面直线11C A 与1BD 所成的角的余弦值为55.【思路点拨】根据异面直线所成的角定义找到这个平面角．【答案】55。
人教A版高中数学必修二空间中直线与直线之间的位置关系教案
§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教学目标：1、知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板四、教学思想（一）复习（见投影）（二）创设情景、导入课题问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线A1B异面的有哪些？2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？生：平行。
高中数学必修2《空间中直线与直线之间的位置关系》教案共5页
广东省中学青年数学教师优秀课评比参赛课例——教案课题：《2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系》授课老师：潮州市湘桥区南春中学郑珠珠教材：普通高中课程标准实验教科书人教A版数学必修21、教学目标（1）知识目标：掌握空间中两条直线的位置关系，理解异面直线的概念；以公理4和等角定理为基础，理解异面直线所成的角的概念及其初步应用。
（2）能力目标：通过研究空间中两直线的位置关系以及异面直线所成的角，培养学生的空间想象力、观察能力和分析问题的能力。
（3）情感目标：让学生体验从具体到抽象的学习规律，在探究活动中增强学生的合作意识和动手能力，激发学生的学习兴趣。
2、教学重点、难点重点：（1）空间中两条直线之间的位置关系；（2）异面直线及其所成角的概念。
难点：理解异面直线所成的角的概念及其初步应用。
3、教学方法与手段本节课应该始终贯彻“以学生为主体，以教师为主导，以观察、探究为主线”的教学理念，坚持具体与抽象相结合的原则，采用“启发式”、“讨论式”等教学方法，并充分利用多媒体和实物模型辅助教学，化静为动，进一步培养学生的空间想象力和观察能力，并在动手、讨论的过程中培养学生合作、探究的能力。
4、教学过程（一）创设情境，提出问题1、思考：同一平面内两直线有几种位置关系？学生：相交、平行。
老师：那么空间中的两条直线呢？引出本节课的课题：2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系2、让学生观察两个生活实例，直观感知异面直线不平行、不相交的特征：（1）天安门广场上旗杆所在直线与长安街所在直线，既不平行，也不相交；（2）立交桥上下两层桥面所在直线，既不平行，也不相交。
（二）启发引导，构建概念1、让学生观察长方体模型（如图），发现：直线'A B与直线'C C既不平行也不相交。
学生在几何模型中进一步体会异面直线不平行、不相交的特征，从而构建：【异面直线的概念】不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
注1：对“任何”这个词的理解。
《空间中直线与直线之间的位置关系》优质课获奖教案设计
课题： 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系设计思路：以长方体为载体贯穿整节课的学习（用长方体观察理解异面直线，用长方体理解公理4和等角定理，在长方体中平移异面直线来求异面直线所成的角），让学生学会化抽象为具体以及转化与化归的思想。
教材分析：《空间中直线与直线之间的位置关系》是新课标人教A版数学必修2第二章第一节的内容。
主要学习异面直线的定义、画法、成角定义，平行公理和等角定理。
本课既是公理化思想的延伸，又是后面学习空间线面平行、垂直；面面平行、垂直的基础。
对学生后续的学习具有深远的影响。
所以有着承上启下的决定性作用。
学情分析：对新鲜事物充满好奇，对立体几何有较浅了解，但空间想象能力差，且对概念方法等容易遗忘教学目标：1、知识与技能（1）掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。
（2）会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角。
2、过程与方法（1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识。
3、情感态度与价值观（1）在教学中，通过欣赏各具特色的空间直线和空间模型的应用，感悟数学的空间美（2）通过小组讨论，培养团队意识，认识到团队的力量大于个人力量教学重点和难点：（1）重点：异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。
（2）难点：两异面直线的判定；两异面直线所成角的求法。
教学方法：启发与引导、合作与探究、讲解与深化教具准备:学生学案一份、多媒体、教学模型（长方体）教学过程：一、观看微视，导入新课观看“生活中直线”的小视频，导入新课，激发学生的学习兴趣。
二、合作探究，学习新知1.异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
活动一：小组合作，在教室里或身边的模型中找异面直线目的：突破异面直线定义这个难点（学生就教室中的灯管、黑板、墙棱、暖气管、课桌和模型等等找出许多异面直线） 老师点拨：注意“任何”并给出异面直线的等价判定（既不想交又不平行）2．空间两直线位置关系按平面基本性质分 （1）同在一个平面内：相交直线、平行直线（2）不同在任何一个平面内：异面直线按公共点个数分 （1）有一个公共点:相交直线（2）无公共点：平行直线、异面直线3．异面直线的画法（平面衬托）说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。
高一年级数学必修二2.1《空间中直线与直线之间的位置关系》优质教学设计
《空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计《空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计【教材分析】本节课必修二第二章第一节第一课时的内容，是在初中学习了平面内直线与直线之间的位置关系的基础上，进一步探究空间中直线与直线之间的位置关系之间的关系，需要注意到异面直线，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系.【学情分析】学生在学习平面内直线与直线之间的位置关系的基础上进行的，难点在于异面直线的引入，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系.这就需要提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力..【教学目标】知识技能目标（1）掌握异面直线的定义，会用异面直线的定义判断两直线的位置关系。
（2）会用平面衬托来画异面直线。
（3）掌握并会应用平行公理和等角定理。
（4）会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简 单异面直线所成的角。
◆ 过程方法目标（1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断探究归纳整理所学知识◆ 情感态度目标(1)让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
(2)增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。
(3)通过探究增强学生的合作意识、动脑意识和动手能力【重点】异面直线的定义；异面直线所成的角的定义。
【难点】异面直线所成角的推证与求解【教学方法】互动探究，合作交流.【教学流程】创设情境平面内两条直线的位置关系有？相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）平面内不平行的两直线必相交，在空间中还成立么？通过实例展示,十字路口----立交桥在正方体中, 两条线既不平行，又不相交（非平面问题）归纳新知异面直线的概念(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
在教室里找出几对异面直线的例子 （学生就教室中的灯管、黑板、墙棱、暖气管、课桌等等找出许多异面直线）(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图(1)(2)所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．(3)判断两直线为异面直线的方法①定义法；②两直线既不平行也不相交．(4)空间两条直线的三种位置关系①从是否有公共点的角度来分：⎩⎪⎨⎪⎧ 没有公共点⎩⎨⎧ 平行异面有且仅有一个公共点——相交②从是否共面的角度来分：⎩⎪⎨⎪⎧ 在同一平面内⎩⎨⎧ 平行相交不同在任何一个平面内——异面知识点二 平行公理(公理4)思考 在平面内，直线a ，b ，c ，若a ∥b ，b ∥c 则a ∥c .该结论在空间中是否成立？答案 成立．梳理 平行公理的内容(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．(2)符号表示：⎭⎬⎫a ∥b b ∥c ⇒a ∥c . 知识点三 等角定理思考 观察图，在长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，∠ADC 与∠A ′D ′C ′，∠ADC 与∠D ′A ′B ′的两边分别对应平行， 这两组角的大小关系如何？答案 从图中可以看出，∠ADC ＝∠A ′D ′C ′，∠ADC ＋∠D ′A ′B ′＝180°. 梳理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补． 知识点四 异面直线所成的角思考 在长方体A 1B 1C 1D 1—ABCD 中，BC 1∥AD 1，则“直线BC 1与直线BC 所成的角”与“直线AD 1与直线BC 所成的角”是否相等？答案 相等．类型一 空间两直线位置关系的判定例1 如图所示，点P ，Q ，R ，S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是()考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案C解析不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故选C.反思与感悟(1)判断空间中两条直线位置关系的关键点①建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线．②重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．(2)判定两条直线是异面直线的方法①证明两条直线既不平行又不相交．②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，B∉l，l⊂α，则AB与l是异面直线(如图)．跟踪训练1(1)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A．平行B．异面C．相交D．平行、相交或异面考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案D解析可借助长方体来判断．如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面．(2)如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为()A．1 B．2 C．3 D．4考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案C解析还原的正方体如图所示．是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.类型二平行公理和等角定理的应用例2在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.考点平行公理题点判断、证明线线平行证明因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.所以四边形EBB′E′是平行四边形，所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.所以EE′∥FF′.引申探究1．在本例中，若M，N分别是A′D′，C′D′的中点，求证：四边形ACNM 是梯形．证明在正方体中，MN∥A′C′，且MN＝12A′C′，因为A′C′∥AC，且A′C′＝AC，所以MN∥AC，且MN＝12AC.又AM与CN不平行，故四边形ACNM是梯形．2．若将本例变为已知E，E′分别是正方体ABCD－A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中点．求证：∠BEC＝∠B′E′C′.证明如图所示，连接EE′.因为E，E′分别是AD，A′D′的中点，所以AE∥A′E′，且AE＝A′E′.所以四边形AEE′A′是平行四边形．所以AA′∥EE′，且AA′＝EE′.又因为AA′∥BB′，且AA′＝BB′，所以EE′∥BB′，且EE′＝BB′，所以四边形BEE′B′是平行四边形，所以BE∥B′E′.同理可证CE∥C′E′.又∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同，所以∠BEC＝∠B′E′C′.反思与感悟(1)空间两直线平行的证明方法证明空间两条直线平行的方法有两个：一是利用平面几何知识(三角形、梯形的中位线，平行四边形性质，平行线分线段成比例定理等)证明；二是利用公理4，就是需要找到第三条直线c，使a∥c，b∥c，由公理4得到a∥b.(2)空间角相等的证明方法①等角定理是较常用的方法．②转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明．跟踪训练2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点．求证：△EFG∽△C1DA1.考点平行公理题点判断、证明线线平行证明如图，连接B1C.因为G，F分别为BC，BB1的中点，所以GF∥B1C且GF＝12B1C.又ABCD—A1B1C1D1为正方体，所以CD∥AB且CD＝AB，A1B1∥AB且A1B1＝AB，由公理4知CD∥A1B1且CD＝A1B1，所以四边形A1B1CD为平行四边形，所以A1D∥B1C且A1D＝B1C.又B1C∥FG，由公理4知A1D∥FG.同理可证：A1C1∥EG，DC1∥EF.又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角，所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.所以△EFG∽△C1DA1.类型三求异面直线所成的角例3在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F 分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角解如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，则EG∥AB且EG＝12AB，GF∥CD且GF＝12CD，由AB＝CD知EG＝FG，从而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角．∵AB与CD所成角为30°，∴∠EGF＝30°或150°，由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，故EF与AB所成角的大小为15°或75°.反思与感悟求两条异面直线所成的角的一般步骤(1)构造角：根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角．(2)计算角：求角度，常利用三角形．(3)确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．跟踪训练3在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角解如图①，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.则OG∥B1D，EF∥A1C1.∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.课后练习1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A．共面B．平行C．异面D．平行或异面考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案D解析若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为() A．130° B．50°C．130°或50° D．不能确定考点平行公理题点利用等角定理求角答案C解析根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.3．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是() A．平行或异面B．相交或异面C．异面D．相交考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案B解析如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.4．对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是________．考点平行公理题点判断、证明线线平行答案矩形解析如图所示．∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，∴MN∥AC，且MN＝12AC，PQ∥AC且PQ＝12AC，即MN∥PQ且MN＝PQ，∴四边形MNPQ是平行四边形．又∵BD∥MQ，AC⊥BD，∴MN⊥MQ，∴平行四边形MNPQ是矩形．5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．(1)求A1C1与B1C所成角的大小；(2)若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角解(1)如图所示，连接AC，AB1.由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，可知∠B1CA＝60°，即A1C1与B1C所成的角为60°.(2)如图所示，连接BD.由(1)知AC∥A1C1，∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，即A1C1与EF所成的角为90°.1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为(0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．一、选择题1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c()A．一定平行B．一定垂直C．一定是异面直线D．一定相交考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案B解析∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是()A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定答案D解析可能相交也可能异面，但一定不平行(否则与条件矛盾)．3．两等角的一组对应边平行，则()A．另一组对应边平行B．另一组对应边不平行C．另一组对应边不可能垂直D．以上都不对考点平行公理题点利用等角定理求角答案D解析另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是() A．相交B．异面C．平行D．垂直考点平行公理题点判断、证明线线平行答案C解析如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.5．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()A．2对B．3对C．6对D．12对考点异面直线的判定题点异面直线的判定答案C解析如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对，故选C.6．已知直线a，b，c，下列三个命题：①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.其中，正确命题的个数是()A．0 B．1 C．2 D．3考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定的应用答案A解析①不正确，如图；②不正确，有可能相交，也有可能异面；③不正确，可能平行，可能相交，也可能异面．7．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD ＝6，则()A．1＜MN＜5 B．2＜MN＜10C．1≤MN≤5 D．2＜MN＜5考点平行公理题点判断、证明线线平行答案A解析取AD的中点H，连接MH，NH，则MH∥BD，且MH＝12BD，NH∥AC，且NH ＝12AC ，且M ，N ，H 三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH －NH <MN <MH ＋NH ，即1<MN <5.8．如图，点P ，Q 分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面对角线AD 1，BD 的中点，则异面直线PQ 和BC 1所成的角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°考点 异面直线所成的角题点 求异面直线所成的角答案 C解析 连接AC ，D 1C .由P ，Q 分别为AD 1，BD 的中点，得PQ ∥CD 1.又BC 1∥AD 1，∴∠AD 1C 为异面直线PQ 和BC 1所成的角．∵△ACD 1为等边三角形，∴∠AD 1C ＝60°.即异面直线PQ 和BC 1所成的角为60°.二、填空题9．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱C 1D 1，C 1C 的中点，有以下四个结论：①直线AM 与CC 1是相交直线；②直线AM 与BN 是平行直线；③直线BN 与MB 1是异面直线；④直线AM 与DD 1是异面直线．其中正确的结论为________．(填序号)考点 空间中直线与直线的位置关系题点 空间中直线与直线的位置关系判定答案 ③④解析直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误；③④正确．10．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD 的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________.考点异面直线所成的角题点异面直线所成角的应用答案5解析取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝12AC＝4，PM＝12BD＝3，∴MN＝5.11．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD.以上结论正确的为________．(填序号)考点空间中直线与直线的位置关系题点空间中直线与直线的位置关系判定的应用答案①③解析把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．三、解答题12．如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：四边形B1EDF是平行四边形．考点平行公理题点判断、证明线线平行证明设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.∵E是AA1的中点，∴EQ∥A1D1且EQ＝A1D1.又在矩形A1B1C1D1中，A1D1∥B1C1且A1D1＝B1C1，∴EQ∥B1C1且EQ＝B1C1.∴四边形EQC1B1为平行四边形，∴B1E∥C1Q且B1E＝C1Q.又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，∴QD∥C1F且QD＝C1F，∴四边形QDFC1为平行四边形．∴C1Q∥DF且C1Q＝DF，∴B1E∥DF且B1E＝DF，∴四边形B1EDF为平行四边形．13．如图，平面SAB为圆锥的轴截面，O为底面圆的圆心，M为母线SB的中点，N为底面圆周上的一点，AB＝4，SO＝6.(1)求该圆锥的侧面积；(2)若直线SO与MN所成的角为30°，求MN的长．考点异面直线所成的角题点异面直线所成角的应用解(1)由题意知SO⊥底面ABN，在Rt△SOB中，OB＝12AB＝2，SO＝6，所以SB＝22＋62＝210.所以该圆锥的侧面积S＝π·OB·SB＝410π.(2)取OB 的中点C ，连接MC ，NC ，因为M 为SB 的中点，所以MC 为△SOB 的中位线，所以MC ∥SO ，MC ＝12SO ＝3.又因为SO ⊥底面ABN ，所以MC ⊥底面ABN ，因为NC ⊂底面ABN ，所以MC ⊥NC .因为直线SO 与MN 所成的角为30°，所以∠NMC ＝30°，在Rt △MCN 中，MC MN ＝cos 30°，所以MN ＝MC cos 30°＝332＝2 3. 四、探究与拓展14．设P 是直线l 外一定点，过点P 且与l 成30°角的异面直线( )A ．有无数条B ．有两条C ．至多有两条D ．有一条考点 异面直线所成的角题点 异面直线所成角的应用答案 A解析 如图所示，过点P 作直线l ′∥l ，以l ′为轴，与l ′成30°角的圆锥面的所有母线都与l 成30°角．15．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AA 1与AC ，AB 所成的角均为60°，∠BAC ＝90°，且AB ＝AC ＝AA 1，求异面直线A1B 与AC 1所成角的余弦值．考点异面直线所成的角题点求异面直线所成的角解如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．设AB＝a，∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos 30°＝3a.又∠BAC＝90°，∴在矩形ABDC中，AD＝2a，∴A1D1＝2a，∴A1D21＋A1B2＝BD21，∴∠BA1D1＝90°，∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝A1BBD1＝a3a＝33.课堂小结◆空间三条直线的位置关系◆平行线的传递性◆异面直线所成的角六、作业布置必修二第二章第一节课后题。
空间中直线与直线之间的位置关系教案
空间中直线与直线之间的位置关系教案第一章：直线与直线之间的基本概念1.1 直线的基本概念：直线的定义，直线上的点，直线的性质。
1.2 直线之间的位置关系：平行，相交，异面，共面。
1.3 直线之间的距离：直线之间的最短距离，直线之间的垂直距离。
第二章：直线的平行性质2.1 平行直线的定义与性质：同一直线上的点，到另一条直线的距离相等。
2.2 平行直线的判定：同一直线上的两个点，到另一条直线的距离相等。
2.3 平行直线的应用：平行线的性质在几何图形中的应用，如平行四边形，梯形等。
第三章：直线的相交性质3.1 相交直线的定义与性质：在一点相交的两条直线，交点称为垂足。
3.2 相交直线的判定：两条直线在同一平面内，且交点为一个点。
3.3 相交直线的应用：相交线的性质在几何图形中的应用，如矩形，菱形等。
第四章：直线与平面的位置关系4.1 直线与平面的定义与性质：直线与平面相交，直线在平面内。
4.2 直线与平面的判定：直线上的任意一点都在平面内，或者直线与平面相交。
4.3 直线与平面的应用：直线与平面的位置关系在立体几何中的应用，如直线与平面垂直，直线与平面平行等。
第五章：直线与直线，直线与平面的综合应用5.1 直线与直线，直线与平面的交点：求解直线与直线，直线与平面的交点。
5.2 直线与直线，直线与平面的距离：求解直线与直线，直线与平面的距离。
5.3 直线与直线，直线与平面的应用：解决实际问题，如计算几何图形的大小，求解物体的位置等。
第六章：异面直线与异面直线的位置关系6.1 异面直线的定义与性质：不在同一平面内的两条直线。
6.2 异面直线的判定：两条直线不在同一平面内。
6.3 异面直线的位置关系应用：异面直线在立体几何中的特点和应用。
第七章：直线与平面的交点求解7.1 直线与平面交点的求解方法：利用方程组求解直线与平面的交点。
7.2 直线与平面交点的性质：交点的坐标与直线的方程之间的关系。
7.3 直线与平面交点的应用：解决实际问题，如求解几何图形上的点等。
人教版必修二：2.1.3空间中直线与直线之间的位置关系教案
《空间中直线与直线之间的位置关系》教学设计一、教材分析本节课选自普通高中课程标准实验教科书《数学必修二》，第二章第一节。
空间中直线与直线的位置关系，是初中平面中直线与直线的位置关系的拓展延伸，是后续学习直线与平面、平面与平面位置关系以及空间几何体的基础，具有承上启下的作用。
其中，等角定理解决了角在空间中的平移问题，在平移变换下角的大小不变，它是两条异面直线所成角的依据，它提供了一个研究角之间关系的重要方法。
教材在编写时注意从平面到空间的变化，通过观察实物，直观感知，抽象概括出定义及定理培养学生的观察能力和分析问题的能力，通过联系和比较，理解定义、定理，以利于正确的进行运用。
因此，做好本节课的教学对学生建立空间观念尤为重要。
二、学情分析1.空间直线的三种位置关系在现实中大量存在，学生对他们已有一定的感性认识,其中，相交直线和平行直线都是共面直线，学生对它们已经很熟悉，异面直线的概念学生比较生疏；2.学生在初中已经学过平面中直线与直线的位置关系，具有一定的学习几何的经验，但长时间的平面几何学习的影响，学生的思维往往受平面的局限，不利于学生构建空间观念；3.学生善于形象思维，思维活跃，能积极参与讨论。
三、教学目标1.知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系，并能正确判断空间中直线与直线之间的位置关系；（2）理解异面直线的概念，画法，培养学生的语言转化能力和空间想象能力；（3）能运用公理4证明简单的几何问题；（4）会用异面直线所成的角的定义找出或作出异面直线所成的角，会在直角三角形中求简单异面直线所成的角；（5）通过等角定理及异面直线夹角的求法的学习，逐步提高将立体图形转为平面图形的能力。
2.过程与方法（1）自主合作探究、师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）增强动态意识，培养学生观察、对比、分析的思维，通过平移转化渗透数学中的化归及辩证唯物主义思想。
3.情感态度与价值观（1）通过联系生活实例让学生直观感知空间两条直线关系，提高学生的学习兴趣；（2）通过探究增强学生的合作意识、动脑和动手能力，初步培养学生空间思维能力。
空间直线与直线的位置关系(教案)
空间直线与直线的位置关系教学目标：1. 理解空间直线的概念及其表示方法。
2. 掌握空间直线与直线之间的平行、相交、异面等位置关系。
3. 能够运用空间直线与直线的位置关系解决实际问题。
教学重点：空间直线与直线的位置关系的判定与运用。
教学难点：理解并掌握空间直线与直线之间的位置关系的概念。
教学准备：教材、黑板、多媒体设备。
教学过程：第一章：空间直线的基本概念1.1 空间直线的定义与表示方法1. 直线是无限延伸的、无宽度的几何图形。
2. 空间直线可以用一个小写字母表示，如直线l。
1.2 空间直线的性质1. 直线上的点可以表示为直线上任一点加上一个向量。
2. 直线上的向量可以表示为直线上两个点的坐标差。
第二章：空间直线与直线的平行关系2.1 空间直线与直线的平行定义1. 空间两条直线l1与l2，如果它们在任意一点处的方向向量都相同（或相反），则称l1与l2平行。
2. 记作l1 // l2 或l1 ⊄l2。
2.2 空间直线与直线的平行判定1. 如果两条直线方向向量相同，则它们平行。
2. 如果两条直线方向向量互为相反向量，则它们平行。
第三章：空间直线与直线的相交关系3.1 空间直线与直线的相交定义1. 空间两条直线l1与l2，如果它们在某一平面上有且只有一个交点，则称l1与l2相交。
2. 记作l1 ∩l2 = A，其中A为交点。
3.2 空间直线与直线的相交判定1. 如果两条直线不平行，则它们相交。
2. 如果两条直线平行，则它们不相交。
第四章：空间直线与直线的异面关系4.1 空间直线与直线的异面定义1. 空间两条直线l1与l2，如果它们不在任何平面上有交点，则称l1与l2异面。
2. 记作l1 ⊄l2。
4.2 空间直线与直线的异面判定1. 如果两条直线不在任何平面上有交点，则它们异面。
2. 如果两条直线在某个平面上有交点，则它们不异面。
第五章：空间直线与直线的位置关系的运用5.1 运用空间直线与直线的位置关系解决实际问题1. 判断空间两条直线的位置关系。
人教A版高中数学必修二 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 教案1
§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教材分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.二、教学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.三、重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.四、课时安排1课时五、教学过程（一）创设情景、导入课题问题1：在平面几何中，两直线的位置关系如何？问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB异面的有哪些？2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：共面直线3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？ 生：平行。
空间直线与直线的位置关系(教案)
空间直线与直线的位置关系一、教学目标1. 让学生理解空间直线与直线之间的位置关系，包括平行、相交和异面。
2. 培养学生运用空间几何知识解决实际问题的能力。
3. 通过对空间直线与直线位置关系的探讨，提高学生的空间想象能力和思维能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点：空间直线与直线的位置关系及其判定。
2. 教学难点：异面直线的概念及其判断。
三、教学方法1. 采用讲授法，讲解空间直线与直线的位置关系及其判定方法。
2. 运用案例分析法，分析实际问题中的空间直线与直线的位置关系。
3. 利用多媒体辅助教学，展示空间直线与直线的图形，增强学生的空间想象力。
四、教学准备1. 多媒体教学设备。
2. 教案、PPT课件。
3. 相关案例资料。
五、教学过程1. 导入新课通过一个实际问题，引导学生思考空间直线与直线之间的位置关系。
2. 讲解知识点讲解空间直线与直线的位置关系，包括平行、相交和异面。
3. 案例分析分析实际问题中的空间直线与直线的位置关系，巩固所学知识。
4. 课堂练习布置一些有关空间直线与直线位置关系的练习题，让学生巩固所学知识。
5. 总结与拓展总结本节课的主要内容，提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。
6. 课后作业布置一些有关空间直线与直线位置关系的作业，巩固所学知识。
六、教学内容与活动1. 教学内容：空间直线与直线的位置关系的判定方法。
运用位置关系解决实际问题。
2. 教学活动：通过实例演示和图形展示，让学生理解并掌握空间直线与直线的位置关系的判定方法。
引导学生运用所学知识解决实际问题，如空间中的线段长度计算、角度计算等。
七、教学评估与反馈1. 教学评估：通过课堂练习和课后作业，评估学生对空间直线与直线位置关系的理解和应用能力。
观察学生在课堂讨论和问题解答中的表现，评估其思维能力和解决问题的能力。
2. 教学反馈：根据学生的练习和作业情况，及时给予反馈，指出学生的错误并提供正确的指导。
在课堂讨论中，鼓励学生提出问题和建议，及时解答学生的疑问。
人教A版高中数学必修二新课标优秀教案示范教案空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系整体设计教学分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.三维目标1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系.2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用.3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质.重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系.学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.思路2.（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？图1推进新课新知探究提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系.③两异面直线的画法.④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？⑤什么是空间等角定理？⑥什么叫做两异面直线所成的角？⑦什么叫做两条直线互相垂直？活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系：⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧.,:;,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内异面直线没有公共点同一平面内平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线 ③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图2.图2④组织学生思考：长方体ABCD —A′B′C′D′中，如图1,BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？ 通过观察得出结论：BB′与DD′平行. 再联系其他相应实例归纳出公理4.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 符号表示为：a ∥b,b ∥c ⇒a ∥c.强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用. 公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. ⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a 、b ，在空间中任取一点O ，过点O 分别引a′∥a ，b′∥b ，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.图3针对这个定义，我们来思考两个问题. 问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O 有无限制条件？ 答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a ，b″∥b ，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O 取在a 或b 上（如图3）.图4问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？答：没有矛盾.当a 、b 相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广. ⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.图5应用示例思路1例1 如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.图6求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，且FG=BD 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG .所以四边形EFGH 为平行四边形. 变式训练1.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD. 求证：四边形EFGH 是菱形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21,EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG .所以四边形EFGH 为平行四边形.因为AC=BD,所以EF=EH. 所以四边形EFGH 为菱形.2.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD ，AC ⊥BD.求证：四边形EFGH 是正方形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线， 所以EH ∥BD ，且EH=BD 21. 同理，FG ∥BD ，EF ∥AC ，且FG=BD 21，EF=AC 21. 所以EH ∥FG ，且EH=FG .所以四边形EFGH 为平行四边形.因为AC=BD ，所以EF=EH.因为FG ∥BD ，EF ∥AC ，所以∠FEH 为两异面直线AC 与BD 所成的角.又因为AC ⊥BD ，所以EF ⊥EH.所以四边形EFGH 为正方形.点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法. 例2 如图7，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？ (2)直线BA ′和CC′的夹角是多少？ (3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD 、DC 、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线.(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.（3）直线AB 、BC 、CD 、DA 、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 变式训练如图8，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图8（1）求异面直线BC′与A ′B′所成的角的度数； (2)求异面直线CD′和BC′所成的角的度数. 解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角， ∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C 是异面直线CD′和BC′所成的角，∵△AD′C是等边三角形.∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.思路2例1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.求证：EB1∥DF，ED∥B1F.活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.图9∵EG A1D1，B1C1A1D1,∴EG B1C1.四边形EB1C1G是平行四边形,∴EB1GC1.同理可证DF GC1，∴EB1DF.∴四边形EB1FD是平行四边形.∴ED∥B1F.变式训练如图10，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是AA1、AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：图10（1）AB与CC1；（2）A1B1与DC；（3）A1C与D1B；（4）DC与BD1；（5）D1E与CF.解：（1）∵C∈平面ABCD，AB⊂平面ABCD，又C∉AB，C1∉平面ABCD,∴AB与CC1异面.（2）∵A1B1∥AB，AB∥DC，∴A1B1∥DC.（3）∵A1D1∥B1C1，B1C1∥BC，∴A1D1∥BC，则A1、B、C、D1在同一平面内.∴A1C与D1B相交.（4）∵B∈平面ABCD，DC⊂平面ABCD，又B∉DC，D1∉平面ABCD,∴DC与BD1异面.（5）如图10，CF与DA的延长线交于G，连接D1G，∵AF ∥DC ，F 为AB 中点，∴A 为DG 的中点. 又AE ∥DD 1，∴GD 1过AA 1的中点E.∴直线D 1E 与CF 相交.点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB 与A 1C ），有时看上去像相交（如图中的DC 与D 1B ）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.例2 如图11，点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角.图11解：设G 是AC 中点，连接EG 、FG .因E 、F 分别是AB 、CD 中点，故EG ∥BC 且EG=BC 21，FG ∥AD ，且FG=AD 21.由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求.由BC=AD 知EG=GF=AD 21，又EF=22AD,由勾股定理可得∠EGF=90°. 点评：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系. 变式训练设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB=212，CD=24，且HG·HE·sin ∠EHG=312，求AB 和CD 所成的角. 解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG ∥AB ，HE ∥CD ，图12 ∴∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角. 由题意可知EFGH 是平行四边形，HG=2621=AB ，HE=3221=CD ，∴HG·HE·sin ∠EHG=612sin ∠EHG . ∴612sin ∠EHG=312.∴sin ∠EHG=22.故∠EHG=45°. ∴AB 和CD 所成的角为45°. 知能训练如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有对____________.图13答案：三 拓展提升图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图14①AB 与CD 所在直线垂直；②CD 与EF 所在直线平行；③AB 与MN 所在直线成60°角；④MN 与EF 所在直线异面.其中正确命题的序号是（ ）A.①③B.①④C.②③D.③④ 答案：D 课堂小结本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点.为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理. 作业课本习题2.1 A 组3、4.设计感想空间中直线与直线的位置关系是立体几何的基础，本节通过空间模型让学生直观感受两直线的位置关系，进一步培养学生的空间想象能力.两直线的异面关系是本节的重点和难点，本节选用大量典型题目训练学生求两异面直线所成的角，使学生熟练掌握直线与直线的位置关系.另外,本节加强了三种语言的相互转换，因此这是一节值得期待的精彩课例.。
高中数学 2.1.2空间直线与直线之间的位置关系精品教案 新人教A版必修2
第二课时空间中直线与直线之间的位置关系（一）教学目标1．知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角公理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2．过程与方法让学生在学习过程中不断归纳整理所学知识.3．情感、态度与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.（二）教学重点、难点重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理.难点：异面直线所成角的计算.（三）教学方法师生的共同讨论与讲授法相结合；线……师（肯定）：这种位置关系我们把它称为异面直线，这节课我们要讨论的是空间中直线与直线的位置关系.探索新知1．空间的两条直线位置关系：共面直线异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.师：根据刚才的分析，空间的两条直线的位置关系有以下三种：①相交直线—有且仅有一个公共点②平行直线—在同一平面内，没有公共点.③异面直线—不同在任何一个平面内，没有公共点.随堂练习：如图所示P50-16是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有对.答案：4对，分别是HG与EF，AB与CD，AB与EF，AB与HG.现在大家思考一下这三种位置关系可不可以进行分类生：按两条直线是否共面可以将三种位置关系分成两类：一类是平行直线和相交直线，它们是共面直线.一类是异面直线，它们不同在任何一个平面内.师（肯定）所以异面直线的特征可说成“既不平行，也不相交”那么“不同在任何一个平面内”是否可改为“不在一个平面内呢”学生讨论发现不能去掉“任何”师：“不同在任何一个平面内”可以理解为“不存在一个平面，使两异面直线在该平面内”培养学生分类的能力，加深学生对空间的一条直线位置关系的理解（1）公理4，平行于同一条直线的两条直线互相平行（2）定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补例 2 如图所示，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.求证：四边形EFGH是平行四边形.师：现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.师：我们把上述规律作为本章的第4个公理.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.师：现在请大家思考公理4是否可以推广，它有什么作用.生：推广空间平行于一条直线的所有直线都互相平行.培养学生观察能力语言表达能力和探索创新的意识.通过分析和引导，培养学生解相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点证明：连接BD，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且12EH BD=.同理FG∥BD，且12FG BD=.因为EH∥FG，且EH = FG，所以四边形EFGH为平行四边形. 它可以用来证明两条直线平行.师（肯定）下面我们来看一个例子观察图，在长方体ABCD–A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：从图中可以看出，∠ADC = ∠A′D′C′，∠ADC + ∠A′B′C′=180°师：一般地，有以下定理：……这个定理可以用公理4证明，是公理4的一个推广，我们把它称为等角定理.师打出投影片让学生尝试作图，在作图的基础上猜想平行的直线并试图证明.师：在图中EH、FG有怎样的特点？它们有直接的联系吗？引导学生找出证明思路.题能力.探索新知3．异面直线所成的角（1）异面直线所成角的概念.已知两条异面直线a、b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).（2）异面直线互相垂直如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直.两条互相垂直的异面直线a、b，记作a⊥b.例 3 如图，已知正方体ABCD–A′B′C′D′.（1）哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？师讲述异面直线所成的角的定义，然后学生共同对定义进行分析，得出如下结论.①两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关；②两条异面直线所成的角(0,]2πθ∈；③因为点O可以任意选取，这就给我们找出两条异面直线所成的角带来了方便，具体运用时，为了简便，我们可以把点O选在两条异面直线的某一条上；④找出两条异面直线所成的角，要作平行移动（作平行线），把两条异面直线所成的加深对平面直线所成角的理解，培养空间想象能图力和转化化归以能力.（2）直线BA′和CC′的夹角是多少？（3）哪此棱所在的直线与直线AA′垂直？解：（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线.（2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线B′A与CC′的夹角，∠B′BA′= 45°.（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直. 角转化为两条相交直线所成的角；⑤当两条异面直线所成的角是直线时，我们就说这两条异面直线互相垂直，异面直线a 和b互相垂直，也记作a⊥b；⑥以后我们说两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直，也有异面垂直这样两种情形.然后师生共同分析例题随堂练习1．填空题：（1）如图，AA′是长方体的一条棱，长方体中与AA′平行的棱共有条.（2）如果OA∥O′A′，OB∥O′B′，那么∠AOB和∠A′O′B′ .答案：（1）3条. 分别是BB′，CC′，DD′；（2）相等或互补.2．如图，已知长方体ABCD–A′B′C′D′中，AB=23，AD =23，AA′ =2.（1）BC和A′C′所成的角是多少度？（2）AA′和BC′所成的角是多少度？学生独立完成答案：.2．（1）因为BC∥B′C′，所以∠B′C′A′是异面直线A′C′与BC所成的角. 在Rt△A′B′C′中，A′B′=23，B′C′=23，所以∠B′C′A′ = 45°.（2）因为AA′∥BB′，所以∠B′BC′是异面直线AA′和BB′ 所成的角.在Rt△BB′C′中，B′C′= AD =23，BB′= AA′=2，所以BC′= 4，∠B′BC′=60°.因此，异面直线AA′与BC′所成的角为60°.归纳总结1．空间中两条直线的位置关系.2．平行公理及等角定理.3．异面直线所成的角.学生归纳，教师点评并完善培养学生归纳总结能力，加深学生对知识的掌握，完善学生知识结构.作业 2.1 第二课时习案学生独立完成固化知识提升能力附加例题例1 “a、b为异面直线”是指：①a∩b =∅，且a∥b；②a⊂面α，b⊂面β，且a∩b =∅；③a⊂面α，b⊂面β，且α∩β=∅；④a⊂面α，b⊄面α；⑤不存在面α，使a⊂面α，b⊂面α成立.上述结论中，正确的是（）A．①④⑤正确B．①③④正确C．仅②④正确D．仅①⑤正确【解析】①等价于a和b既不相交，又不平行，故a、b是异面直线；②等价于a、b不同在同一平面内，故a、b是异面直线.故选D例2 如果异面直线a与b所成角为50°，P为空间一定点，则过点P与a、b所成的角都是30°的直线有且仅有条.【解析】如图所示，过定点P作a、b的平行线a′、b′，因a、b成50°角，∴a′与b′也成50°角.过P作∠A′PB′的平分线，取较小的角有abA a′b′O P A′B′∠A ′PO =∠B ′PO = 25°. ∵∠APA ′＞A ′PO ，∴过P 作直线l 与a ′、b ′成30°角的直线有2条. 例3 空间四边形ABCD ，已知AD =1，BD =3，且AD ⊥BC ，对角线BD =132，AC =32，求AC 和BD 所成的角。
高中数学 2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系教案 新人教A版必修2(2)
2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系【教学目标】（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力； （3）理解并掌握公理4； （4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
【教学重难点】重点：1、异面直线的概念； 2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
【教学过程】（一）创设情景、导入课题问题1： 在平面几何中，两直线的位置关系如何？ 问题2：没有公共点的直线一定平行吗？问题3：没有公共点的两直线一定在同一平面内吗？1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出 异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题） （二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。
思考：如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线AB 异面的有哪些？ 2、教师再次强调异面直线不共面的特点，介绍异面直线的作图，如下图：3、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考： 长方体ABCD-A'B'C'D'中， BB'∥AA'，DD'∥AA'， BB'与DD'平行吗？生：平行。
再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线a ∥bc ∥b共面直线=>a ∥c强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。
例1空间四边形 ABCD 中，E.F.G.H 分别是AB.BC.CD.DA 的中点 求证：四边形EFGH 是平行四边形 证明：连接BD因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD 且EH=21BD 同理FG ∥BD 且FG=21BD 因为EH ∥FG 且EH=FG所以四边形 EFGH 是平行四边形点评：例2的讲解让学生掌握了公理4的运用变式：在例1中如果加上条件AC=BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？ 4、组织学生思考教材P46的思考题 让学生观察、思考：∠ADC 与A'D'C'、∠ADC 与∠A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？ 生：∠ADC = A'D'C'，∠ADC + ∠A'B'C' = 1800教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下定理等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
新人教A版必修二《空间中直线与直线之间的位置关系》word教案
§2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系一、教学目标：1、知识与技能（1）了解空间中两条直线的位置关系；（2）理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；（3）理解并掌握公理4；（4）理解并掌握等角定理；（5）异面直线所成角的定义、范围及应用。
2、过程与方法（1）师生的共同讨论与讲授法相结合；（2）让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。
3、情感与价值让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣。
二、教学重点、难点重点：1、异面直线的概念；2、公理4及等角定理。
难点：异面直线所成角的计算。
三、学法与教学用具1、学法：学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标。
2、教学用具：投影仪、投影片、长方体模型、三角板四、教学思想（一）创设情景、导入课题1、通过身边诸多实物，引导学生思考、举例和相互交流得出异面直线的概念：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
2、师：那么，空间两条直线有多少种位置关系？（板书课题）（二）讲授新课1、教师给出长方体模型，引导学生得出空间的两条直线有如下三种关系：相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。
教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下图：2、（1）师：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。
在空间中，是否有类似的规律？组织学生思考：长方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'∥AA'，DD'∥AA'，共面直线BB'与DD'平行吗？生：平行再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
符号表示为：设a、b、c是三条直线a∥bc∥b强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。
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2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系整体设计教学分析空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最基本的位置关系，直线的异面关系是本节的重点和难点.异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否定形式给出的，因此它的证明方法也就与众不同.公理4是空间等角定理的基础，而等角定理又是定义两异面直线所成角的基础，请注意知识之间的相互关系，准确把握两异面直线所成角的概念.三维目标1.正确理解空间中直线与直线的位置关系,特别是两直线的异面关系.2.以公理4和等角定理为基础，正确理解两异面直线所成角的概念以及它们的应用.3.进一步培养学生的空间想象能力，以及有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质. 重点难点两直线异面的判定方法，以及两异面直线所成角的求法.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入）在浩瀚的夜空，两颗流星飞逝而过（假设它们的轨迹为直线），请同学们讨论这两直线的位置关系.学生：有可能平行，有可能相交，还有一种位置关系不平行也不相交，就像教室内的日光灯管所在的直线与黑板的左右两侧所在的直线一样.教师：回答得很好，像这样的两直线的位置关系还可以举出很多，又如学校的旗杆所在的直线与其旁边公路所在的直线，它们既不相交，也不平行，即不能处在同一平面内.今天我们讨论空间中直线与直线的位置关系.思路2.（事例导入）观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与线段C′C所在直线的位置关系如何？图1推进新课新知探究提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系.③两异面直线的画法.④在同一平面内，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行.在空间这个结论成立吗？⑤什么是空间等角定理？⑥什么叫做两异面直线所成的角？⑦什么叫做两条直线互相垂直？活动：先让学生动手做题，再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线.它是以否定的形式给出的，以否定形式给出的问题一般用反证法证明.②空间两条直线的位置关系有且只有三种.结合长方体模型(图1)，引导学生得出空间的两条直线的三种位置关系： ⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧.,:;,:;,:没有公共点不同在任何一个平面内异面直线没有公共点同一平面内平行直线有且只有一个公共点同一平面内相交直线共面直线 ③教师再次强调异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如图 2.图2④组织学生思考：长方体ABCD —A′B′C′D′中，如图1,BB′∥AA′，DD′∥AA′,BB′与DD′平行吗？通过观察得出结论：BB′与DD′平行.再联系其他相应实例归纳出公理4.公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.符号表示为：a∥b,b∥c a∥c.强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用.公理4是：判断空间两条直线平行的依据，不必证明，可直接应用.⑤等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.⑥怎么定义两条异面直线所成的角呢？能否转化为用共面直线所成的角来表示呢？生：可以把异面直线所成角转化为平面内两直线所成角来表示.如图3，异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别引a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角.图3针对这个定义，我们来思考两个问题.问题1：这样定义两条异面直线所成的角，是否合理？对空间中的任一点O有无限制条件？答：在这个定义中，空间中的一点是任意取的.若在空间中，再取一点O′（图4），过点O′作a″∥a，b″∥b，根据等角定理，a″与b″所成的锐角（或直角）和a′与b′所成的锐角（或直角）相等，即过空间任意一点引两条直线分别平行于两条异面直线，它们所成的锐角（或直角）都是相等的，值是唯一的、确定的，而与所取的点位置无关，这表明这样定义两条异面直线所成角的合理性.注意：有时，为了方便，可将点O取在a或b上（如图3）.图4问题2：这个定义与平面内两相交直线所成角是否矛盾？答：没有矛盾.当a、b相交时，此定义仍适用，表明此定义与平面内两相交直线所成角的概念没有矛盾，是相交直线所成角概念的推广.⑦在定义中，两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直.例如，正方体上的任一条棱和不平行于它的八条棱都是相互垂直的，其中有的和这条棱相交，有的和这条棱异面（图5）.图5应用示例思路1例1 如图6，空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.图6求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD 21. 同理，FG∥BD，且FG=BD 21. 所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形.变式训练1.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD. 求证：四边形EFGH 是菱形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD 21. 同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD 21,EF=AC 21. 所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形.因为AC=BD,所以EF=EH.所以四边形EFGH 为菱形.2.如图6，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点且AC=BD ，AC⊥BD. 求证：四边形EFGH 是正方形.证明：连接EH ，因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD 21. 同理，FG∥BD，EF∥AC，且FG=BD 21，EF=AC 21. 所以EH∥FG，且EH=FG.所以四边形EFGH 为平行四边形.因为AC=BD ，所以EF=EH.因为FG∥BD，EF∥AC，所以∠FEH 为两异面直线AC 与BD 所成的角.又因为AC⊥BD，所以EF⊥EH.所以四边形EFGH 为正方形.点评：“见中点找中点”构造三角形的中位线是证明平行常用的方法.例2 如图7，已知正方体ABCD —A′B′C′D′.图7(1)哪些棱所在直线与直线BA′是异面直线？(2)直线BA′和CC′的夹角是多少？(3)哪些棱所在直线与直线AA′垂直？解：(1)由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与BA′是异面直线.(2)由BB′∥CC′可知，∠B′BA′是异面直线BA′和CC′的夹角，∠B′BA′=45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°.（3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直.变式训练如图8，已知正方体ABCD—A′B′C′D′.图8（1）求异面直线BC′与A′B′所成的角的度数；(2)求异面直线CD′和BC′所成的角的度数.解：（1）由A′B′∥C′D′可知，∠BC′D′是异面直线BC′与A′B′所成的角，∵BC′⊥C′D′，∴异面直线BC′与A′B′所成的角的度数为90°.（2）连接AD′,AC,由AD′∥BC′可知，∠AD′C是异面直线CD′和BC′所成的角，∵△AD′C是等边三角形.∴∠AD′C=60°，即异面直线CD′和BC′所成的角的度数为60°.点评：“平移法”是求两异面直线所成角的基本方法.思路2例1 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和棱CC1的中点.求证：EB1∥DF，ED∥B1F.活动：学生先思考或讨论，然后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.证明：如图9，设G是DD1的中点，分别连接EG，GC1.图9∵EG A1D1，B1C1A1D1,∴EG B 1C 1.四边形EB 1C 1G 是平行四边形,∴EB 1GC 1.同理可证DF GC 1，∴EB 1DF.∴四边形EB 1FD 是平行四边形.∴ED∥B 1F.变式训练如图10，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、AB 的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系：图10（1）AB 与CC 1；（2）A 1B 1与DC ；（3）A 1C 与D 1B ；（4）DC 与BD 1；（5）D 1E 与CF.解：（1）∵C∈平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，又C ∉AB ，C 1∉平面ABCD,∴AB 与CC 1异面.（2）∵A 1B 1∥AB，AB∥DC，∴A 1B 1∥DC.（3）∵A 1D 1∥B 1C 1，B 1C 1∥BC，∴A 1D 1∥BC，则A 1、B 、C 、D 1在同一平面内.∴A 1C 与D 1B 相交.（4）∵B∈平面ABCD ，DC ⊂平面ABCD ，又B ∉DC ，D 1∉平面ABCD,∴DC 与BD 1异面.（5）如图10，CF 与DA 的延长线交于G ，连接D 1G ，∵AF∥DC，F 为AB 中点，∴A 为DG 的中点.又AE∥DD 1，∴GD 1过AA 1的中点E.∴直线D 1E 与CF 相交.点评：两条直线平行，在空间中不管它们的位置如何，看上去都平行（或重合）.两条直线相交，总可以找到它们的交点.作图时用实点标出.两条直线异面，有时看上去像平行（如图中的EB 与A 1C ），有时看上去像相交（如图中的DC 与D 1B ）.所以要仔细观察，培养空间想象能力，尤其要学会两条直线异面判定的方法.例2 如图11，点A 是BCD 所在平面外一点，AD=BC ，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，且EF=22AD ，求异面直线AD 和BC 所成的角.图11解：设G 是AC 中点，连接EG 、FG.因E 、F 分别是AB 、CD 中点，故E G∥BC 且EG=BC 21，FG∥AD，且FG=AD 21.由异面直线所成角定义可知EG 与FG 所成锐角或直角为异面直线AD 、BC 所成角，即∠EGF 为所求. 由BC=AD 知EG=GF=AD 21，又EF=22AD,由勾股定理可得∠EGF=90°. 点评：本题的平移点是AC 中点G ，按定义过G 分别作出了两条异面直线的平行线，然后在△EFG 中求角.通常在出现线段中点时，常取另一线段中点，以构成中位线，既可用平行关系，又可用线段的倍半关系.变式训练设空间四边形ABCD ，E 、F 、G 、H 分别是AC 、BC 、DB 、DA 的中点，若AB=212，CD=24，且HG·HE·sin∠EHG=312，求AB 和CD 所成的角.解：如图12，由三角形中位线的性质知，HG∥AB，HE∥CD，图12∴∠EHG 就是异面直线AB 和CD 所成的角.由题意可知EFGH 是平行四边形，HG=2621=AB ，HE=3221=CD ， ∴HG·HE·sin∠EHG=612sin∠EHG.∴612sin∠EHG=312.∴sin∠EHG=22.故∠EHG=45°. ∴AB 和CD 所成的角为45°.知能训练如图13，表示一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段AB 、CD 、EF 和GH 在原正方体中相互异面的有对____________.图13答案：三拓展提升图14是一个正方体的展开图，在原正方体中，有下列命题：图14①AB与CD所在直线垂直；②CD与EF所在直线平行；③AB与MN所在直线成60°角；④MN 与EF所在直线异面.其中正确命题的序号是（）A.①③B.①④C.②③D.③④答案：D课堂小结本节学习了空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面，其中异面关系是重点和难点.为了准确理解两异面直线所成角的概念，我们学习了公理4和等角定理.作业课本习题2.1 A组3、4.设计感想空间中直线与直线的位置关系是立体几何的基础，本节通过空间模型让学生直观感受两直线的位置关系，进一步培养学生的空间想象能力.两直线的异面关系是本节的重点和难点，本节选用大量典型题目训练学生求两异面直线所成的角，使学生熟练掌握直线与直线的位置关系.另外,本节加强了三种语言的相互转换，因此这是一节值得期待的精彩课例.。