数学分析报告考研试题

高数考研试题2

一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）

（1）设,0,0,0,1cos )(=≠⎪⎩⎪⎨⎧=x x x

x x f 若若λ

其导函数在x=0处连续，则λ的取值围是2>λ.

【分析】 当≠x 0可直接按公式求导，当x=0时要求用定义求导.

【详解】 当1>λ时，有

,0,

0,0,1sin 1cos )(21

=≠⎪⎩⎪⎨⎧+='--x x x

x x x x f 若若λλλ

显然当2>λ时，有)

0(0)(lim 0f x f x '=='→，即其导函数在x=0处连续.

【评注】 原题见《考研数学大串讲》P.21【例5】（此考题是例5的特殊情形）.

（2）已知曲线b x a x y +-=2

33与x 轴相切，则2b 可以通过a 表示为=2b 6

4a .

【分析】 曲线在切点的斜率为0，即0='y ，由此可确定切点的坐标应满足的条件，再根据在切点处纵坐标为零，即可找到2

b 与a 的关系.

【详解】 由题设，在切点处有

0332

2=-='a x y ，有 .220a x = 又在此点y 坐标为0，于是有

030023

0=+-=b x a x ,

故 .44)3(6

422202202a a a x a x b =⋅=-=

【评注】 有关切线问题应注意斜率所满足的条件，同时切点还应满足曲线方程. 完全类似例题见《文登数学全真模拟试卷》数学四P.36第一大题第（3）小题.

（3）设a>0，

，x a x g x f 其他若,

10,0,)()(≤≤⎩⎨

⎧==而D 表示全平面，则⎰⎰-=D

dxdy

x y g x f I )()(= 2

a .

【分析】 本题积分区域为全平面，但只有当10,10≤-≤≤≤x y x 时，被积函数才不为零，因此实际上只需在满足此不等式的区域积分即可.

【详解】

⎰⎰-=D

dxdy

x y g x f I )()(=dxdy

a x y x ⎰⎰≤-≤≤≤1

0,102

=.

])1[(21

02101

2a dx x x a dy dx a x x =-+=⎰⎰⎰

+

【评注】 若被积函数只在某区域不为零，则二重积分的计算只需在积分区域与被积函数不为零的区域的公共部分上积分即可.

完全类似例题见《数学复习指南》P.191【例8.16-17】 .

（4）设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T

Λα；E 为n 阶单位矩阵，矩阵

T

E A αα-=， T

a E B αα1+=，

其中A 的逆矩阵为B ，则a= -1 .

【分析】 这里T αα为n 阶矩阵，而2

2a T =αα为数，直接通过E AB =进行计算并注意利用乘法的结合律即可.

【详解】 由题设，有

)

1

)((T T a E E AB αααα+-= =T

T T T a a E αααααααα⋅-+-1

1 =T

T T T a a E αααααααα)(1

1-+- =T

T T a a E αααααα21

-+-

=E

a a E T =+--+αα)1

21(,

于是有

0121=+

--a a ，即 0122

=-+a a ，解得 .1,21-==a a 由于A<0 ,故a=-1.

【评注】完全类似例题见《数学复习指南》P.305第2大题第（5）小题 .

（5）设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9, 若4.0-=X Z ，则Y 与Z 的相关系数为

0.9 .

【分析】 利用相关系数的计算公式即可. 【详解】 因为

)4.0()()]4.0([()4.0,cov(

),cov(---=-=X E Y E X Y E X Y Z Y =)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E XY E +--

=E(XY) – E(X)E(Y)=cov(X,Y), 且.DX DZ =

于是有 cov(Y,Z)=

DZ DY Z Y )

,cov(=.

9.0)

,cov(==XY DY DX Y X ρ

【评注】 注意以下运算公式：DX a X D =+)(，).,cov(),cov(Y X a Y X =+

完全类似例题见《数学复习指南》P.475【例3.32】的【注】 .

（6）设总体X 服从参数为2的指数分布，n X X X ,,,21Λ为来自总体X 的简单随机样

本，则当∞→n 时，∑==n i i

n X n Y 121依概率收敛于 21 .

【分析】 本题考查大数定律：一组相互独立且具有有限期望与方差的随机变量

n X X X ,,,21Λ，当方差一致有界时，其算术平均值依概率收敛于其数学期望的算术平均值：

).(1111∞→→∑∑==n EX n X n n

i i p

n i i

【详解】 这里22221,,,n X X X Λ满足大数定律的条件，且

2

2)(i i i

EX DX EX +==21

)21(412=+，因此根据大数定律有

∑==n i i n X n Y 121依概率收敛于.21112

=∑=n i i

EX n

【评注】 大数定律见《数学复习指南》P.484 .

二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号）

（1）设f(x)为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数

x x f x g )()(=

(A) 在x=0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x=0.

(C) 在x=0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x=0.

[ D ]

【分析】 由题设，可推出f(0)=0 , 再利用在点x=0处的导数定义进行讨论即可. 【详解】 显然x=0为g(x)的间断点，且由f(x)为不恒等于零的奇函数知，f(0)=0. 于是有

)0(0)

0()(lim )(lim

)(lim 00

f x f x f x x f x

g x x x '=--==→→→存在，故x=0为可去间断点.

【评注1】 本题也可用反例排除，例如f(x)=x, 则此时g(x)=

,0,

0,0,1=≠⎩⎨⎧=x x x x 可排除(A),(B),(C) 三项，故应选(D).

【评注2】 若f(x)在0x x =处连续，则

.)(,0)()

(lim

000

A x f x f A x x x f x

x ='=⇔=-→.

本题事实上相当于考查此结论，详情可参见《考研数学大串讲》P.18的重要结论与公式.

（2）设可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，则下列结论正确的是

(A) ),(0y x f 在0y y =处的导数等于零. （B ）),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C) ),(0y x f 在0y y =处的导数小于零. (D) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在. [ A ] 【分析】 可微必有偏导数存在，再根据取极值的必要条件即可得结论.

【详解】 可微函数f(x,y)在点),(00y x 取得极小值，根据取极值的必要条件知

0),(00='y x f y ，即),(0y x f 在0y y =处的导数等于零, 故应选(A).

【评注1】 本题考查了偏导数的定义，),(0y x f 在0y y =处的导数即),(00y x f y '；而

),(0y x f 在0x x =处的导数即).,(00y x f x '

【评注2】 本题也可用排除法分析，取2

2),(y x y x f +=，在(0,0)处可微且取得极小值，并且有2

),0(y y f =，可排除(B),(C),(D), 故正确选项为(A).

（3）设

2

n

n n a a p +=

，

2

n

n n a a q -=

，Λ,2,1=n ，则下列命题正确的是