高考真题：三角函数及解三角形综合

三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换

6.（2019浙江18）设函数()sin ,f x x x =∈R .

（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124

y f x f x ππ

=+

++ 的值域. 解析（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有

sin()sin()x x θθ+=-+，

即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈，因此π2θ=

或3π2

． （2）2

2

22ππππsin sin 124124y f

x f x x x ⎡

⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝

⎭⎣⎦⎣⎦

ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛

⎫-+-+ ⎪ ⎪

⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭

π123x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭．

因此，函数的值域是[1-

+．

27．（2018江苏）已知,αβ为锐角，4

tan 3

α=

，cos()5αβ+=-．

(1)求cos2α的值； (2)求tan()αβ-的值． 【解析】(1)因为4tan 3α=

，sin tan cos ααα=，所以4

sin cos 3

αα=． 因为22sin cos 1αα+=，所以29

cos 25

α=

，

因此，27cos22cos 125

αα=-=-

． (2)因为,αβ为锐角，所以(0,π)αβ+∈．

又因为cos()αβ+=，所以sin()αβ+=， 因此tan()2αβ+=-．

因为4tan 3α=，所以22tan 24

tan 21tan 7

ααα==--， 因此，tan 2tan()2

tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+．

28．（2018浙江）已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过

点3

4(,)55

P --． (1)求sin()απ+的值；

(2)若角β满足5

sin()13

αβ+=

，求cos β的值． 【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4

sin 5α=-，

所以4

sin()sin 5απα+=-=．

(2)由角α的终边过点34(,)55P --得3

cos 5

α=-，

由5sin()13αβ+=得12

cos()13

αβ+=±．

由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++， 所以56cos 65β=-或16

cos 65

β=-．

29．（2017浙江）已知函数22

()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R ．

（Ⅰ）求2(

)3

f π

的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期及单调递增区间．

【解析】（Ⅰ）由2sin

32π=，21

cos 32

π=-，

2

(

)3

f π

2211()()()2222=---- 得2(

)23

f π

=． （Ⅱ）由2

2

cos 2cos sin x x x =-与sin 22sin cos x x x =得

()cos 222sin(2)6

f x x x x π

=-=-+

所以()f x 的最小正周期是π 由正弦函数的性质得

32222

6

2

k x k π

π

π

ππ++

+≤≤

，k ∈Z 解得

26

3

k x k π

π

ππ++≤≤

,k ∈Z 所以()f x 的单调递增区间是2[,

]6

3

k k π

π

ππ++(k ∈Z )．

三角函数的图象与性质

50．（2018上海）设常数a R ∈，函数2

()sin 22cos f x a x x =+．

(1)若()f x 为偶函数，求a 的值；

(2)若()14

f π

=，求方程()1f x =ππ-［，］

上的解． 【解析】(1)若()f x 为偶函数，则对任意∈R x ，均有()()=-f x f x ；

即2

2

sin 22cos sin 2()2cos ()+=-+-a x x a x x ， 化简得方程sin 20=a x 对任意∈R x 成立，故0=a ；

(2)2()sin(2)2cos ()114

44

ππ

π

=⨯

+=+=f a a ，所以=a

故2()22cos =+f x x x ．

则方程()1=-f x 2

22cos 1+=x x

2

22cos 1+-=x x ，化简即为2sin(2)6

π

+

=x

即sin(2)6

2π

+

=-

x ，解得1124ππ=-+x k 或524

ππ'=-+x k ，,'∈Z k k 若求该方程在[,]ππ-上有解，则1335[,]2424∈-k ，1929

[,]2424

'∈-k ， 即0=k 或1；0'=k 或1， 对应的x 的值分别为：1124π-、1324π、524π-、19

24

π．

51．（2017江苏）已知向量(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，[0,]x π∈．

（1）若∥a b ，求x 的值；

（2）记()f x =⋅a b ，求()f x 的最大值和最小值以及对应的x 的值．

【解析】（1）因为(cos ,sin )x x =a ，(3,=b ，∥a b ，

所以3sin x x =．

若cos 0x =，则sin 0x =，与2

2

sin cos 1x x +=矛盾，故cos 0x ≠．

于是tan 3

x =-

． 又[0,]x π∈，所以56

x π=

．

（2）π(cos ,sin )(3,3cos ())6

f x x x x x x =⋅=⋅==+a b . 因为[0,]x π∈，所以ππ7π[,]666

x +

∈，

从而π1cos()6x -≤+≤

. 于是，当ππ

66

x +

=，即0x =时，()f x 取到最大值3；