第四章仿射变换在初等几何证明中的作用_作业

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第四章仿射变换在初等几何证明中的作用_作业

一、必做作业
1．用仿射几何与初等几何两种方法证明以下各题：
1）过的顶点任作一条直线，
与边及中线分别交于点及，求
证．
证明1(初等几何)：过点B作CF∥BH,
并延长AD交HB于点G.
因为CD=DB,易得四边形CFBH为平行四边形，从而得到ED=DG;
由平行线分线段成比例，则AE:EG=AF:FB,又EG=2ED,所以AE:2ED=AF:FB,即AE:ED=2AF:FB.
证明2（仿射变换）建立仿射坐标系：A(0，
0),B(b，0)，C(0，c)则D(b/2,c/2),下面设
CF:y=kx+c,分别求E和F的坐标。

因为AB:y=0，
从而得到F(-c/k,0),
2）（梅耐劳斯定理）设
分别在的边
及（或延长线）上，
求证：三点共线的充
要条件是
证明：如图，建立仿射坐标系：
3）已知
中，是边上的中点，是上的任一点，连结
并延长交于，连并延长交
于，求证//．
证明：如图，延长AD 至K 使得
AKC 中，根据平行线分线=AF AE FB EC ，所以FE ∥BC。

仿射变换理论及其在几何中的应用

例2 试证明梅内劳斯(Menelaus)定理[3]:在的三边或其延长线上分别取三点则共线的充要条件是
(1.14)
证以为原点为坐标向量建立仿射坐标系如图五
若令则根据定比分点公式,有关点的坐标为
,
共线的充要条件是 ,而
所以的充要条件是
化简得 ,(1.14)式成立.
古希腊亚历山大里亚的数学家、天文学家梅内劳斯(公元98年左右),在其幸运的保留下来的三卷≤球面几何≥( )[4]中提出了着个定理.
1平面上的仿射坐标系与仿射变换
我们引进仿射坐标系：在平面上任取一点及两个不共线的向量
(不一定是单位向量，且不一定垂直的)这样我们就建立了仿射坐标系
如图1
对于平面上任一点，则向量可唯一地表示为
数组称为关于仿射坐标系的仿射坐标.
定理1.0 在仿射坐标系下，直线方程一定是关于仿射坐标系的一次方程
故
推论1 两个平行四边形面积之比是仿射不变量.
推论2 两个封闭图形面积之比是仿射不变量.
例1 求椭圆的面积(图4).
方法一:解在直线坐标系下,
椭圆
经仿射变换 (1.13)
变为圆
如图4,椭圆内经(1.13)对应为 ,其中 , , , 从而
即
于是,椭圆的面积为
方法二[2]:解化椭圆为参数方程
求得椭圆所围面积为
,
即共线.
定义1.1在平面上点之间的一个线性变换
（1.05）
叫做仿射变换，其中分别是的仿射坐标.
从仿射变换的代数表示可知平面内不共线的三对对应点（原像不共线，像也不共线）唯一决定一个仿射变换，称为仿射几何的基本定理.
例1 有公式所确定的变换表示分别沿轴与轴两个压缩变换的乘积，显然是一个仿射变换.

仿射变换作用

仿射变换作用一、什么是仿射变换仿射变换是指在平面上对点、直线、平行线等进行变换的一种数学方法。

它是一种保持平行线仍然平行的变换，因此在计算机图形学、计算机视觉等领域中得到了广泛的应用。

二、仿射变换的作用1. 图像处理在图像处理中，仿射变换可以用来实现图像的旋转、缩放、平移等操作。

例如，我们可以通过仿射变换将一张倾斜的图片旋转成正常的图片，或者将一张图片缩小或放大。

2. 计算机视觉在计算机视觉中，仿射变换可以用来实现图像的配准、纠正畸变等操作。

例如，我们可以通过仿射变换将两张不同角度的图片进行配准，或者将一张畸变的图片进行纠正。

3. 三维重建在三维重建中，仿射变换可以用来实现相机的标定、图像的投影等操作。

例如，我们可以通过仿射变换将相机的内参和外参进行标定，或者将三维模型投影到二维平面上。

三、仿射变换的分类1. 平移变换平移变换是指将图像沿着某个方向进行移动的变换。

它可以用一个二维向量来表示，例如 (tx, ty) 表示在 x 方向上移动 tx 个像素，在 y 方向上移动 ty 个像素。

2. 旋转变换旋转变换是指将图像绕着某个点进行旋转的变换。

它可以用一个角度来表示，例如θ 表示绕着原点旋转θ 度。

3. 缩放变换缩放变换是指将图像沿着某个方向进行缩放的变换。

它可以用一个二维向量来表示，例如 (sx, sy) 表示在 x 方向上缩放 sx 倍，在 y 方向上缩放 sy 倍。

4. 剪切变换剪切变换是指将图像沿着某个方向进行剪切的变换。

它可以用一个二维向量来表示，例如 (shx, shy) 表示在 x 方向上剪切 shy 个像素，在 y 方向上剪切 shx 个像素。

四、仿射变换的实现仿射变换可以通过矩阵运算来实现。

具体来说，我们可以将仿射变换表示为一个 3x3 的矩阵，然后将图像中的每个点表示为一个 3x1 的向量，通过矩阵乘法来实现变换。

例如，对于平移变换，我们可以将其表示为如下的矩阵：```1 0 tx0 1 ty0 0 1```对于旋转变换，我们可以将其表示为如下的矩阵：```cosθ -sinθ 0sinθ cosθ 00 0 1```对于缩放变换，我们可以将其表示为如下的矩阵：```sx 0 00 sy 00 0 1```对于剪切变换，我们可以将其表示为如下的矩阵：```1 shy 0shx 1 00 0 1```通过这些矩阵，我们可以实现各种不同的仿射变换操作。

仿射变换在初等几何教学中的应用

仿射变换在初等几何教学中的应用谭建中;呙立丹【摘要】高等几何是高师院校数学教育专业的主干课程之一,通过实例从平行射影和仿射对应图形两个方面,说明属于高等几何内容之一的仿射变换在解决某些中学几何问题中所起到的作用,阐述高等几何与中学几何的联系和高等几何的思想方法对中学几何的教学的指导作用,使得数学教育专业的师范生能够更好地理解高等几何在实际教学中的应用.【期刊名称】《韶关学院学报》【年(卷),期】2017(038)002【总页数】3页(P106-108)【关键词】仿射变换;平行射影;高等几何;初等几何;教学【作者】谭建中;呙立丹【作者单位】韶关学院数学与统计学院, 广东韶关 512005;韶关学院数学与统计学院, 广东韶关 512005【正文语种】中文【中图分类】G642.1高等几何是高等师范院校数学教育专业的主干课程之一，该专业的学生毕业后，大部分的同学将从事中学数学的教育工作。

他们常常对学习高等几何的内容与他们以后从事的中学数学教育有什么关系，即高等几何的学习对他们以后的数学教学会起到什么样的作用而感到困惑。

实际上，中学数学教学中与高等几何联系最紧密的是中学几何，或称初等几何。

初等几何是高等几何的基础，而高等几何则是初等几何的延伸和拓展。

我们可用高等几何的一些原理、方法来分析初等几何的有关问题，使得高等几何能“用高于下”，以便深入理解高等几何对初等几何的指导意义。

为此，本文将通过实例说明属于高等几何内容之一的仿射变换在解决初等几何问题中的一些应用。

平行射影是最简单的仿射变换，利用两条直线之间的平行射影，将图形中不共线的点和线段投射成共线的点和线段，再利用仿射不变性证明几何题。

［1］例1 设线段AB的中点为M，从AB上另一点C向直线AB的一侧引线段CD，令CD的中点为N， BD的中点为P，MN的中点为Q。

求证：直线PQ平分线段AC。

［2］证如图（1），以DA为射影方向，将点D、N、P平行射影到直线AB上。

高中数学仿射变换

高中数学仿射变换一、引言仿射变换是高中数学中的重要概念之一，它在几何变换和线性代数中有着广泛的应用。

本文将介绍仿射变换的基本概念、性质以及应用，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

二、基本概念1. 定义：仿射变换是指保持直线平行性质的变换。

简单来说，它是由平移、旋转、缩放和投影四种基本变换组成的变换。

2. 仿射变换的代数表示：设二维平面上有一个点P(x, y)，经过仿射变换后得到点P'(x', y')，则有如下代数表示：x' = a*x + b*y + cy' = d*x + e*y + f其中a、b、c、d、e、f为常数。

三、性质1. 保直线性质：仿射变换保持直线的性质，即直线经过仿射变换后仍然是直线。

例如，一条直线上的三个点经过仿射变换后仍然共线。

2. 保平行性质：仿射变换保持平行线的性质，即平行线经过仿射变换后仍然平行。

例如，两条平行线经过仿射变换后仍然平行。

3. 保比例性质：仿射变换保持线段的比例关系。

例如，一条线段上的两个点经过仿射变换后线段上的其他点的比例关系仍然成立。

四、应用1. 几何变换：仿射变换在几何变换中有着广泛的应用，可以用来描述平面上的旋转、缩放、平移等操作。

例如，我们可以利用仿射变换来实现图片的旋转、缩放和平移。

2. 图像处理：仿射变换在图像处理中也有着重要的应用，可以用来进行图像的扭曲、校正和纠正等操作。

例如，我们可以利用仿射变换来对图像进行透视校正，使得图像中的平行线在处理后仍然保持平行关系。

3. 计算机图形学：仿射变换在计算机图形学中扮演着重要的角色，可以用来进行三维物体的平面投影、旋转和缩放等操作。

例如，我们可以利用仿射变换来实现计算机图形学中的三维模型的投影效果。

五、总结通过本文的介绍，我们了解了高中数学中的仿射变换的基本概念、性质以及应用。

仿射变换作为一种保持直线平行性质的变换，在几何变换、图像处理和计算机图形学等领域都有着广泛的应用。

仿射变换在解决初等几何问题中的应用

应用
２１５３３１）
分析：因为三角形的中线和直线的平行都是仿射性质．所以只要对正三角形证明该命题成立即可．证明：在正ＡＡＢＣ中，Ｐ为ＢＣ边中线上的一点，ＢＰ，ＣＰ交
通过以上几方面的应用此外证明共点共线问题可以看出在三角形中如果已知条件与仿射变换中的不变性量相因为任意三角形可以由正三角形通过仿射变换得到这样可以把问题化难为易收到事半功倍的效果
■匪
仿射变换在解决初等几何问题中的应用
丛芳
（昆山陆家高级中学，江苏昆山高等几何为我们提供了解决初等几何证问题中的一些方法．这些方法虽然大多不能直接进入中学课堂，但它们能够帮助我们思考问题，启发我们获得初等证法．有时其证明过程还能帮助我们找到发现新的命题．如果适当地运用仿射几何知识，在解决问题时，就会使问题简化，收到事半功倍的效果．仿射变换的性质取决于透视仿射的性质。经过一切透视仿射变换不改变的性质和数量，称为仿射不变性和仿射不变量．透视仿射（即平行摄影）将点映成点，将直线映成直线，因此透视仿射具有同素性、结合性．针对仿射变换的不变性和不变量，我们可以解决初等几何中的有关仿射性质的问题．仿射变换的主要性质应用于有关三角形及椭圆的仿射性质方面十分有效．下面从两个方面阐述它的作用．１．仿射变换在证明有关三角形的仿射性质的命题中的

仿射变换在初等几何解题中的应用

仿射变换在初等几何解题中的应用作者：黄映雪来源：《都市家教·下半月》2015年第12期【摘要】本文主要阐述了用高等几何中仿射变换的知识来解决初等几何的问题。

这种高等几何知识的应用使我们对初等几何问题的理解更加的深入，思路更加广泛，解题更加巧妙、灵活。

【关键词】仿射变换；初等几何；应用【Abstract】The paper applies projective transformation of higher geometry to solve some problems in elementary geometry. This application of higher geometry’s knowledge help us to understand more deeply， think more widely and solve more delicately and flexibly for the problems of elementary geometry.【Key words】affine transformation； elementary geometry； application在中学中所接触的几何是初等几何，它是一种直观、易于理解的几何，可以通过测量的几何，以欧氏几何为主.高等几何是一种通过观察、了解的几何，它是抽象、不易于理解的，以仿射几何和射影几何为主.仿射几何是联结欧氏几何和射影几何的纽带.将初等几何中的问题进行仿射变换，可以解决一些初等几何中问题.1 利用平行射影证明初等几何问题仿射变换中最简单的是平行射影，因为平行射影中平行线段的比不变，所以当问题涉及平行线段的比时，可以选取一投射方向与一像直线，把图形中的不共线点和线段投射成共线的点和线段，可以使问题证明简化[1].例1 设直线MN过∆ABC的重心G，分别交AB、AC于M，N，求证：.图1证明如图1，取AB为像直线，为投射方向，作平行投射，则，，，从而有：梅内劳斯定理，如图2所示，设M，N，P分别∆ABC的AB，BC，AC（或其延长线）上的点，且三点M，N，P共线.求证：.图2证明如图2，取AB为像直线，NM为投射方向，作平行投射，则，，从而有：故.2 利用图形的特殊仿射现象证明初等几何问题平面几何中的特殊图形经过仿射变换作用后，可变成一般图形，相反的，仿射变换也可以将一些一般图形变成特殊图形.这种现象称为一般图形的特殊仿射象.如：圆、矩形、等腰梯形和正三角形可以经过仿射变换成椭圆、平行四边形、梯形和三角形[2].利用特殊图形的仿射可以求图形的面积.根据两个封闭图形的面积的比是仿射不变量，我们可以由一个一般图形出发去求特殊图形的面积.例3 求椭圆所围成的图形的面积.解作仿射变换则题设椭圆的像为圆：.设椭圆和圆的面积分别为S和.由于在仿射变换T之下，面积比保持不变，故.利用圆和椭圆的特殊仿射可以求图形的面积.由于圆和椭圆是仿射对应图形，所以它们的一些性质相同.利用一般图形的性质，可以求某些特殊图形的性质.3 仿射坐标系的应用例4 设A，B分别是椭圆在坐标轴上的两个顶点，C为线段AB的中点，则过射线OC与椭圆的交点的切线平行于AB.证明如图3所示，在仿射变换c下由仿射变换φ的性质，为的中点。

仿射变换在初等几何中的应用

= 1
即
CDF 。
4. 有关点线结合命题的证明例 4. 在梯形 ABCD 中 , AD BC, M 、 N 分别为 AD、 BC 的中点, 对角线 AC 与 BD 交于 E 点 , 腰 AB 与 CD 交于 F 点, 求证: M 、 N、 E、 F 四点共线。
BC
A
F P B D
E
T2
F P D
D F G A E B
ABCD 中 , E 为 AB 的中 1 DF , EF 交 AC 于 G, 2
D C T1 F A
M H G
1 AC 5
P
N

C
E
B
图1 证明: 如图 1, 作仿射变换 T 1 , 使得 ABCD 对应正方形 A B C D , 则由仿射性质可知 : 点 E、 F、 G 分别对应 E 、 F 、 G 。且 E 是 A B 的中点, A F = 1 DF 。 2
E C A
F
F
C
B
图2 证明: 如图 2, 作仿射变换 T 2 , 使得 ABC 对应正 A B C , 由仿射性质可知 : 点 D、 P、 E、 F 相应地对应 D 、 P 、 E、 F , 且 A D 为 A B C 的中线。在正 A B C 中, A D 也是 B C 边上的高, 且 B 、 P 、 E 与C 、 P 、 F 关于 A D 对称 , E 、 F 到 B C 的距离相等, 则 E F B C 由于平行性是仿射性质 , 因此, 在 ABC 中 EF BC. 3. 有关面积相等或成定比命题的证明例 3. 在 ABCD 中, E、 F 分别为 AB 、 BC 上的点 , 且 EF AC, 求证 : S

(整理)仿射几何及其在初等几何的应用

仿射几何及其在初等几何的应用冯朝华摘要：数学概念的辨证性质，渗透贯穿在数学各个部分之中，数学概念是研究数学性质的最基本的条件，我们从仿射变换的有关概念入手，了解仿射几何所研究的几何通过仿射变换的不变性质和不变的数量关系以及经过变形后的形状和位置关系，并讨论仿射几何在初等几何中的一些应用。

关键字：平行射影简比仿射性仿射量共线点定义1 对于a 和a ′是平面不平行的两条直线，设l 为平面上一条直线，通过直线a 上的诸点A ，B ，C ，D ，……作l 的平行线，交a ′于A`，B`，C`，D`，……，这样便定义了直线a 到a ′的一个映射。

称为透射仿射(平行射影)，a 上的点为原象点，a ′上的点为象点，l 为平行射影的方向，记这个透射仿射为T ，则写A ′=T(A )。

有了以上的定义后，我们来观察一种较常见的几何变形——平面到平面的透射仿射。

如下图所示，设π与π`为空间中的两个平面，l 是跟这两个平面都不平行的方向(向量)。

平面π上的直线a ，对过直线上的点A 作平行于l 的直线交平面π`于点A`，用同样的方法可作出点B 和点C 的对应点B`，C`。

于是便建立了平面π到π`的对应关系。

称为π到π`依方向l 的透射仿射。

根据初等几何的知识，我们很容易可以验证这种平行投影具有以下的性质： ○1π与π`之间的点建立一一对应关系，即π上的点通过变换成为π`上点；π上的直线变成了π`上的直线；○2若一个点A 在l 上，则A 的对应点A`也应在l 的对应直线l`上； ○3π上平行的两直线变到π`上的两条直线也是平行的。

○4直线上的三点的“单比(简比)”保持不变，也就是如果A,B,C 是π上共线的三点，A`，B`，C`分别是它们的象点，则g ππ`l AB C A`B`C`aa`πaa`ABC A`B`C`l 图1-1 图1-2BCABC B B A````。

我们把○1称为透射仿射具有同素性，把满足○2称为透射仿射具有结合性。

用仿射变换解决初等几何中的一些问题

步阐述了仿射几何学对欧氏几何学的指导作用，从而揭示仿射几何学也有 EF∥BC。
与欧氏几何学的内在联系。
三、共点线或共线点的问题
关键词：仿射变换仿射性质初等几何应用
由于仿射变换保持同素性和结识点之一，而仿射变换则是仿射将共线点变为共线点，因此，当命
G′、H′，在等腰梯形 A′B′C′D′中易证 E′、F′、G′、H′四点共线，故由仿射性道：平行四边形经过仿射变换后仍为平行四边形，特殊的可变为正方形;
梯形经过仿射变换后仍为梯形，特殊的可变为等腰梯形。
质可知 E、F、G、H 四点共线。
在初等几何中，但凡仅涉及图形的点线结合性、平行性、简比、多边
二、两条直线平行的问题
［4］李长明，周焕山.初等数学研究［M］.高等教育出版社，1999.1.
由于仿射变换保持两条直线的平行性不变，因此，当命题要证两条
直线平行时可考虑仿射变换。
A
A′
例：设在 △ABC 中，AD 是
BC 边上的中线，DE、DF 分别是
∠ADB 和∠ADC 的平分线，DE、 E
起来，将一般问题化为特殊问题来处理，从而使解题的难度大大降低，
解：设椭圆的标准方程为xa22
+
y2 b2
=1（a＞b＞0），如
问题就能轻而易举地得到解决。利用仿射变换的仿射性质，仿射变换可
x′=x
解决以下一些初等几何问题。一、共线的两线段相等或成定比的问题
右图，将该椭圆经过仿射变换
y′=
a b
后其对 y
y B′
B
A′
O
Ax
由于仿射变换保持共线三点的简比不变，因此，当命题要证共线的应图形为圆 x′2+y′2=a2，在此仿射变换之下，点

仿射变换在解题中的应用

2972020年第6期仿射变换在解题中的应用张海燕（四川省德阳市中江县城北中学，四川德阳 618100）摘要：初等几何和高等几何在利用仿射变换关键是抓住“不变”两字，仿射不变量与仿射不变性质是绑定在一起的。

本文首先阐述了仿射变换在几何中的地位，然后，从三个方面例举运用仿射不变性的例题来验证仿射不变性在初等几何中的重要意义。

这三个方面分别是仿射变换中的三个不变性:平行性、结合性及单比、封闭图形面积比，其中也用到了仿射坐标系。

通过对比初等几何的解题方法与利用仿射变换对初等几何的重要指导意义。

关键词：仿射变换；仿射不变性；应用1 引　言初等几何与高等几何在利用仿射变换求解时关键就抓住“不变”两字，仿射变换中的不变性与不变量是绑定在一起的。

平面几何中的一些特殊图形性质定理可以利用仿射变换中的不变性和不变量得到推广，当我们对于一些复杂图形时没有解决方法，可以将其仿射变换到比较容易研究的一些特殊图形中，这样就可以做到化繁为简，进而再从一些特殊图形推广到一般图形得到类似的性质定理，仿射变换在初等几何、高等几何中的应用主要是采用仿射对应图形，即：在放射变换下相应的图形。

如：一般三角形与等边三角形、一般梯形与等腰梯形、平行四边形与正方形、圆与椭圆、菱形与正方形的相互对应。

2 仿射变换的应用仿射变换能够简洁、方便地解决初等几何的一些问题，因而，我们能利用仿射不变性与仿射不变量来解决相关问题，但仿射变换对于解决一些度量性质的问题有很大难度。

因此，要解决初等几何问题，第一要分析该图形是否具有仿射性质，如平行性、单比、面积比不变等。

第二讲图形通过仿射变换转换成对应的、特殊的、易于研究的图形。

第三通过研究图形的仿射性质推出原来一般图形的性质。

在以下例题中，将多次用到放射对应图形。

一个图形经过仿射变换变成另一个图形，就说这两个图形是仿射等价的，即经过仿射对应前后的平面上有一一对应的关系。

初等几何中最常用的对应图形就是一般三角形与正三角形的对应，正方形与平行四边形的对应，等腰梯形与一般梯形的对应，还有椭圆与圆的对应。

仿射坐标系在中学几何中的应用

仿射坐标系在中学几何中的应用1.建立仿射坐标系来解决初等几何问题对于仿射性质的几何命题，建立直角坐标系不易求解，可考虑建立直角坐标系，由于仿射坐标系两坐标轴的夹角及单位点的选取，都比直角坐标有较大的任意性，因此在仿射坐标系下常常可以非常便利，可避免一些繁琐的三角运算，起到柳暗花明的功效^ 建立仿射坐标系的一般方法如下：1、坐标轴的选取要尽量利用图中已有的直线和已知的点.2、单位点的选取可以在 x轴上取一已知点坐标设为（1,0）, y轴上取一已知点坐标设为（0,1 ）.3、x轴上及y轴上其它的已知点可设为（a,0）和（0,b）.4、直线Ax+By+c=0上的点的坐标设定要满足此直线方程.5、过两已知点A、B直线上的点的坐标也可设为A+?-B .6、x轴上的两线段（或平行x轴的线段）之比值可用端点x坐标的差之比表示，y轴上的两线段（或平行y轴的线段）之比值可用端点y坐标差之比表示.1.1线段间的比例问题例1.证明三角形中位线定理=1,既E3 (1,1).由直线E2E3与直线0A的斜率相等为y2—'=0, x2 - x1知E2E3110A.又E2E3=x 2— x1 = 1, OA = 2 —1=2,可知E2E3 =-|OA .例2.在MBC中,E在AC上，D为BC中点.E、D交AB于F,则证明：以AB为x轴，AC为y轴，A为原点，建立仿射坐标系(图5).设坐标B (1,0),E (0,1), C (0, b).则BC中点D坐标为(0.5,0.5b),得出直线ED的方程为y= (b-2)1 ...鹏和泊由联立得交点F坐标为(二,°),可推出:证明O —e)G2 ,如图4所示M0B中,使:0E^ = 0^,E I,E2,E3分别为OA,OB,AB的中点，建立仿射坐标系则A, B的坐标分别为(2,0), (0,2).因为E3坐标为二1,y =AE AF1 _0AE 1-0 1 AF 2 b 0 1 EC -b -1 "b-1' BF - 1 b -1-02 -b可见用仿射坐标系来解此题多么方便.1.2 关于图形面积问题例3,在&ABC的三边AB, BC, CA 上各取AZ, BY,CZ 各等于该边的-,求证面积3c 1 - - S XYZ =-S ABC证明：如图6,取B 为原点,BC 为x 轴，BA 为y 轴建立仿射坐标系,设A(0,3 ) .C(3,0). 从而知Y (2,0) .Z(0,1).据定比分点公式Z (1,2).1所以 S XYZ =-S ABC若已知顶点坐标 A( 1 x , 1 y)，玲(x 2 , y .) C!U x(y,1 △ABC 的面积=-2 X 1 X 2 X 3y 1 1y 2 1 y 1的绝对值1所以 saBC=30 0 1912.SX YZ= 21.3 关于点共线和直线共点的问题M 1,M 2,M 3分别是三直线Ax + B i y+G =0上的点，也可以证明SM 〔=SM 2 = SM 3.(点S 般可以是原点，也可以是其它的点)(4)如图7.设在MBC 的三边各取一点L 、M N,则L 、M N 共线的充要条件是故L 、M N 三点共线的充要条件是LN 与LM 共线.X i 要证三点 A(x i ,y i ),B(X 2, y 2),C(X 3,y 3)共线,可证 X 2 X 3y 1y 2y 3=0 ，也可证AB=^BC .要直线 Ax + B i y+G=0 ( i=1,2,3)共点A 1A 2 A 3B 1 B 2 B 3gC 20 .若 C 3也与 CMNB LC MA-1证明：建立仿射坐标系｛B;BC,BA),则B(0,0),A(0,1),C(1,0),设L 、M N 分有向线段BC CA AB 的比分别为馥、人v .则11L(k)、M(溟,二卜 N (0，G )1所以LN =(一厂，K)山=().图7( -------- )=01 11化简得，出V =-1,也就是ANX月LMCMt -1NB LC MA例4.证明对于任意梯形两底的中点、两对角线的交点及两腰的交点4点共线.图8证明：设ABCM任意梯形，其中AB//CD, P为两腰交点，M,N分别为两底的中点，如图8建立仿射坐标系，则下列各点的坐标分别为A(0,0) , B (1,0), C (c,1 ), D (0,1), M (0.5,0), N (0.5c, 1),直线 AP, BP,AC,BD的方程分别为：AR x=0 BP : x+ (1-c) y=1AC x-cy=0 BD : x+y=1于是AP, BP的交点P坐标为'0,— |';AC与BD的交点Q的坐标为'—,-I.1 -c 1 c 1 c直线MN勺方程为：2x+ (1-c) y=1 (1)而点P,Q的坐标满足方程(1),故M,N,P,Q, 4点共线例5.用坐标法证明四面体对棱中点的连线交于一点.证明：设四面体ABCD图9)的棱AB, AC, AD BC CD DB的中点分别为B',C',D',E,F,G .寸八占”由 TTT 一八”,取仿射标架{A;AB,AC,AD},则各点的坐标分别为第4页共13页图9A (0,0,0 ) ,B (1,0,0 ),C (0,1,0 ),D (0,0,1 )'1'c 1'1 B ,0,0 ,C0 0,— ,0 ,D0,0,, 2 221 1 c 1 C 1G 0 _ 2‘2' ' '2'2 ,G 2,0,2假设 B'F 与D'E 交于 P(x,y,z),设 B 'P = kPF ,D 'P = l 1 1 0k- 0 k- v 2 7 2 ,y 二 ,z 二1 k 1 k c । 1 1 0 l、/ 272 ,y=▼，…一… …一、. ，，一 ......... C 1 1、解得k=l=1 ,从而父点P 存在，且P 的坐标为.-,-,-L （4 44JP 'TJ,11所以P 与P 重合，即B 'F ,D 'E ,C G交于一点 4 4 41.4关于向量的线性关系问题一一. 一. ............................................................ ...................................................... . ........... ... T 、，一…右已知A （x 1, %,乙）和B （x 1, y 1,z 1 ）两点.而在AB 直线上的点M 分有向线段AB 为两部分1 1 1 1 E , — ,0 ,F IPE ,则P 的坐标为1—k 021 k 0 l 12设B 'F 与C 'G 交于P,同理可得AM、MB,使它们的值的比等于某数九（九#1）,即徵=九，可求出分点坐标 MBM i乂上22,32_冬芽）刍M为中点时，M的坐标为「上孥,立总,立2；I 1 +九'1十九'1 I 2 2 2 J例 10.在AABC 中，OA = a,OB = b.点 M 点 N 分别在AB OA±,且 AM MB=2:1,•ION NA=3:1, OMtf BN 交于点 P,用 3、b 表示 OP.解：建立如图10所示仿射坐标系.则A (1,0), B(0,1).图101 2 3 .....由AM MB=2:1.ON:NA=3:1,及定比分点坐标公式.可得M (一 ,—), N(—,0).则直线 OM BN的方程分别为:2x-y = 0,4x 3y-3 = 0设P(x,y).联立方程组，得3 3x .y =一10 53 3故OP - a -b10 5例7.如图11所示平行四边形ABCD中，M为DC中点.N为BC中点.设T 3T TT T .............. —一 ................ 个……AB =吹AD = d、AM = mi AN = n；( 1)以b、d为基底，表小MN ； (2) A以m> n为基底表示AB第9页共13页图11解(1)建立仿射坐标系{A;b,d}.则 A (0,0), D (0,1 ) ,B(1,0),C(1,1),1 1 1 1 _________________ 公式.得M (1,1),N(1,」).所以MN=(1,二)即得2 2 2 2 .......... --f 1 -1 1(2)由(1)得 AM =(—,1),AN =(1,—).即2 2AD, F 1F n = AB — AD 24- 2T—n — m33 2.建立仿射坐标系在数学解题中的几点注意事项建立仿射坐标系不是所有题目都能用此方法解题而是要在解题过程中对题目进行合理有效的分析。

仿射变换在初等几何中的应用

仿射变换在初等几何中的应用
仿射变换在初等几何中是一种重要的几何变换，它可以将几何图形变换成和原几何图形一样大小、形状和方向的新图形。

它是通过满足两个基本原则——线性性（Linearity）和平行性（Parallelism）来实现这一目标的，并且是对称变换中最常用的一种，广泛应用于欧几里得几何和高等几何中。

仿射变换可以完成几何图形的平移、旋转、缩放和反射等基本变换操作，而且效率很高。

在几何图形变换中，仿射变换的应用非常重要，其应用范围也非常广泛。

在实际的几何图形变换过程中，仿射变换通常可以用来实现对一般平面图形的缩放、平移、旋转、反射等操作，例如在绘制特定图形或模型时，可以采用仿射变换来实现指定图形到另一个图形的变换。

此外，仿射变换还可以用来实现三维空间中的平面或者曲面之间的变换，以此来满足几何变换的需求。

此外，仿射变换在几何图形的拓扑学上也有着重要的应用，例如它可以用来实现几何图形的精确绘制，而其他几何变换例如旋转等往往会改变几何图形的拓扑结构，因而只能通过仿射变换来实现精确的拓扑变换。

总而言之，仿射变换在初等几何中有着广泛的应用，它可以实现对几何图形的平移、旋转、缩放、反射等基本变换操作，并可以用来实现几何图形的拓扑变换，以实现精确的绘制。

空间中的几何变换与仿射变换

空间中的几何变换与仿射变换空间中的几何变换与仿射变换是几何学中重要的概念，它们描述了物体在空间中的平移、旋转、缩放和扭曲等变化。

本文将对这两种变换进行介绍，并探讨它们在计算机图形学和计算机视觉中的应用。

一、几何变换几何变换是指物体在空间中的位置和形状发生变化的操作。

常见的几何变换包括平移、旋转和缩放。

这些变换可以通过矩阵运算来表示。

1. 平移变换平移变换是物体在空间中沿着某一方向移动一定的距离。

它可以用一个平移向量来描述，即将物体的每个点坐标都加上平移向量的分量。

设物体上的一个点P坐标为 (x, y, z)，平移变换的平移向量为(dx, dy, dz)，则物体经过平移变换后的坐标为 (x+dx, y+dy, z+dz)。

2. 旋转变换旋转变换是物体围绕某一中心点旋转一定的角度。

它可以用旋转矩阵来表示，旋转矩阵的元素根据旋转轴和旋转角度的不同而有所变化。

对于二维空间，以原点为中心，逆时针旋转角度θ的旋转变换可以表示为以下矩阵形式：| cosθ -sinθ || si nθ cosθ |对于三维空间，旋转变换涉及到欧拉角和四元数等复杂的数学概念，这里不做详细讨论。

3. 缩放变换缩放变换是物体的每个点坐标根据缩放因子进行放大或缩小的操作。

它可以用一个缩放矩阵来表示。

设物体上的一个点P坐标为 (x, y, z)，缩放变换的缩放因子为(sx, sy, sz)，则物体经过缩放变换后的坐标为 (sx * x, sy * y, sz * z)。

二、仿射变换仿射变换是一种保持了直线、平行线和比例关系的变换。

它是几何变换的一种扩展，包含了平移、旋转、缩放和剪切等操作。

仿射变换可以用一个仿射矩阵来表示，仿射矩阵对应了一个线性变换和一个平移变换。

线性变换可以用矩阵乘法表示，而平移变换可以用平移向量加法表示。

1. 线性变换线性变换是指一个向量在空间中经过旋转和缩放等变换后的结果。

它可以用一个线性变换矩阵来表示。

设物体上的一个点P的坐标为 (x, y, z)，线性变换矩阵为 A，则物体经过线性变换后的坐标为 A * P。

谈仿射性质在初等几何中的应用

起来要容易得多．例１（国际数学竞赛题）明Ｇ为 △Ａ证ＢＣ重心的充要条件是Ｓ△ ＝Ｓ＾枷 △Ｇｃ＝Ｓ． △ 证明在正 △ＡＢＣ中，Ｇ是正 △ＡＣ的重心（１，Ｇ也为内心，Ｇ到三边距离ＧＤ、若Ｂ图）则即ＧＧＥ、Ｆ相等，Ｓ枷一Ｓ觚一Ｓ脱．故 △ △ △
计算两直线的交点可得
Ｄ一，Ｄ一丢ｃ，：ｃ，，
Ｅ一（１
，
＝，＝， Biblioteka ＝ｃＥ一（，）．
ｌ１１
），
Ｅ２一（，），
Ｂ３Ｘ一０Ａ２：一，一０，
进而可得各直线方程：
Ａ１２Ｘ－１Ａ：
３，一Ｏ，
Ａ２４Ｃ：
Ａ２：ｃ３
一７一０，ｘ
Ａ。屉＋３Ｂ：一一０，
Ａ３１３Ｃ：
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一０．
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詈２，，３，．，（ｏＣ吾）Ｃ÷ ）（譬
一２一
图ｌ正三角形及其重心
图２正三角形及各线段中点
图３面积相等的三角形
维普资讯
１００
高等数学研究
２０年１０８月
例２（９９年亚洲太平洋地区数学竞赛题）ＡＡＡ１８设、、。为平面上三点，为方便起见，约定Ａ＝ＡＡ，一Ａ，对于，一１２３令Ｂ为Ａ，ｚ，，．４的中点，为ＡＢ的中点，Ｃ与ＢＡ，交于Ｄ，与ＡＡＢ交于Ｅ． △ＤＤ。 △Ｅ１２３求Ｄ与的面积之比．ＥＥ解设 △Ａ为正三角形，Ａ为原点，为Ｘ轴，Ａ并垂直于Ａ的直线为ｙＡＡ。以ＡＡ。过Ａ。轴，Ａ长度作为单位长度１建立直角坐标系（２．以Ａ。，图）易知图中各点的坐标为：

仿射变换的原理和应用

仿射变换的原理和应用1. 什么是仿射变换？仿射变换是一个基本的几何变换，它保持了直线的平行性，并保持了直线上的点的比例关系。

简单来说，仿射变换是将原始图像的点映射到新的位置，同时保持了原始图像上点之间的平行性、直线性和相对位置关系。

仿射变换包括了平移、旋转、缩放、反射和错切等操作。

2. 仿射变换的原理仿射变换的原理基于线性代数和矩阵运算。

对于2D图像，仿射变换可以用一个2x3的矩阵来表示。

假设原始图像上的点为P = (x, y)，经过仿射变换后的点为P’ = (x’, y’)，那么可以通过以下公式计算P’的坐标：[x', y'] = [[a, b, tx], [c, d, ty]] * [x, y, 1]其中，a、b、c、d分别为缩放和旋转参数，tx和ty为平移参数。

对于3D图像，仿射变换可以用一个3x4的矩阵来表示。

3. 仿射变换的应用3.1 图像处理仿射变换在图像处理中有广泛的应用。

通过对图像进行平移、旋转、缩放、镜像等操作，可以实现图像的纠正、修复、变形和增强等功能。

例如，将一个倾斜的图像进行仿射变换，可以使其恢复到正常状态；通过对图像进行缩放、旋转和平移等操作，可以实现图像的放大、旋转和移动。

3.2 计算机视觉仿射变换在计算机视觉领域也有广泛的应用。

例如，通过对图像进行仿射变换，可以实现人脸识别中的人脸对齐；通过对图像进行旋转和平移等操作，可以实现目标跟踪中的目标定位和位置估计。

3.3 计算机图形学仿射变换在计算机图形学中也是一项重要的技术。

通过对图形进行仿射变换，可以实现图形的变形、平滑和动画效果等。

例如，通过对2D图形进行仿射变换，可以实现图形的旋转、缩放和平移等效果；通过对3D模型进行仿射变换，可以实现物体的变形和动画效果。

4. 仿射变换的优缺点4.1 优点仿射变换是一种简单而强大的几何变换方法。

它可以保持图像的直线性、平行性和相对位置关系，同时可以灵活地对图像进行变形、修复和增强。

仿射变换在初等几何中的应用

仿射变换在初等几何中的应用摘要：仿射变换，即平行投影变换，是几何学中的一个重要变换，是从运动变换过渡到射影变换的桥梁。

在初等几何中，仿射图形经过平面仿射变换，可以由对特殊几何图形的证明，得出对一般几何图形的证明。

而且，根据仿射变换的性质，可以把特殊图形的命题推广到一般图形，从而达到事半功倍的效果。

本文将探讨应用仿射变换中的仿射不变性质与仿射不变量来解决一些初等几何问题。

关键词：仿射变换；仿射不变性；仿射图形；初等几何问题。

2.仿射变换基本概念及有关性质2.1定义设同一平面内有n 条直线1a ，2a ，3a ，…n a ，如图2.1，1T ，2T ，3T ，…1-n T 顺次表示1a 到2a ，2a 到3a ，1-n a 到n a 的透视仿射，经过这一串平行射影，使1a 上的点与n a 上的点建立了一一对应，称为1a 到n a 的仿射或仿射变换T =1-n T 122T T T n ⋅⋅⋅⋅- ，T 称为1T ，2T ，3T ，…1-n T 按这个顺序的乘积。

T(A)= 1-n T 122T T T n ⋅⋅⋅⋅- (A)= 1-n T )(22A T T n '⋅⋅⋅- =…=A ''，T(B) =B ''等等CABDA'B'C 'D 'A''B''C ''D ''dcb a图2.1仿射变换的代数表示，即 ⎩⎨⎧++=++=232221131211''a y a x a y a y a x a x ，其中22121211a a a a ≠ 0定义2.2 图形经过任何仿射变换后都不变的性质（量），称为图形的仿射性质（仿射不变量）。

(1)仿射变换保持同素性；(2)仿射变换保持结合性；(3)仿射变换保持共线三点的简比不变；定义2.3 设A ，B ，C 为共线三点，这三点的简比()ABC 定义为下述有向线段的比： ()BCACABC =其中AC ，BC 是有向线段AC ，BC 的代数长，A ，B 叫基点，C 叫分点。

仿射变换理论及其在几何中的应用

仿射变换理论及其在几何中的应用仿射变换理论在儿何中地位非常重要，它比正交变换解决的问题范围更广.本文中我们将看到仿射坐标系，在仿射坐标系中我们了解仿射变换和仿射变换的基本性质，例如包括仿射变换将直线变为直线，将平行的两条直线变为半行的两直线。

本文中还介绍单比，利用它证明了梅内劳斯(Menelaus)定理。

后來本文介绍了仿射不变性质，例如两个三角形面积的比是仿射不变量。

最后本文介绍了利用本文的有关性质解决一些问题。

这样使得读者更好的了解这篇文章。

欧式儿何就是研究正交变换下图形的不变性质与不变量，因此在初等平面儿何中都是讨论图形的那些与距离，角度,面积，等有关的性质，如三角形全等，平行，垂直等•但是图形的各种变形中，保持任意两点之间的距离不变的变换是十分特殊.例如，图形的放大，物体在阳光照射下变成它们的影子等，都不具有这种性质，即都不是正交变换•因此，我们考虑较正交变换广泛一点的点变换，即仿射变换.本文讨论了仿射变换的槪念及其性质，同时给出了其在儿何中的应用.1平面上的仿射坐标系与仿射变换我们引进仿射坐标系：在半面上任取一点。

及两个不共线的向量5 二O 瓦,=OE2(不一定是单位向量，EG,.不一定垂直的)这样我们就建立了仿射坐标系如图1对于平面上任一点尸，则向量。

户可唯一地表示为OP = xei + yei数组&y)称为关于仿射坐标系仁由,/},的仿射坐标.定理1. 0在仿射坐标系下，直线方程一定是关于仿射坐标系的一次方程Ax+By+C = 0,(1. 00)反之也真.证明在直线上任取两点小演，乂)，2(9,%),对于直线上任一点P幺有联II鹤，即&-演K-K'或(工一占)(治一必)一(丁一九)(毛一%)二。

，这是关于X,y的一次方程.反之，在(1.00)±取£ (公弘)及《(毛用)的坐标适合方程，即Ar. + B\,+C = 0, (1. 02)A V3 + By： + C = 0. (1. 03)只要证明任一坐标适合方程的点P' 3, y') 一定与共线即可，由TAx + By + C = Q, (1. 04)因A, B,C不全为零,(1.02), (1.03), (1.04)可理解为关于A, 5, C ,的齐次线性方程组，由于A,民。

第四章 仿射变换在初等几何证明中的作用_作业