三角函数的诱导公式课件

（3）正切tanα＝ y x
O
x
问题探究
1.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系? 相等
2.角 -α与α的终边 有何位置关系? 终边关于x轴对称
3.角 -α与α的终边 有何位置关系?
终边关于y轴对称
4.角 +α与α的终边 有何位置关系?
终边关于原点对称
终边相同的角的同一三角函数值相等
sin( 2k ) sin (k Z)
函数值之间的关系
r 1
公式三
sin y cos x tan y
x
sin( ) y
cos( ) x
tan( ) y y
xx
公式三
sin( ) sin
cos( ) cos tan( ) tan
探究3
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
例题与练习
1 求下列三角函数值
（1）sin(-12000) (1) 3
（2）cos(47/6)
2
(2) 3 2
2 求三角式sin(-12000)·cos(12900)+cos(-10200)· sin(-10500)+tan9450 2
3 计算 cos(/5)+ cos(2/5)+
cos(3/5)+ cos(4/5)
任意负角的 用公式 三角函数 三或一
锐角的三 角函数
用公式 二或四
任意正角的 三角函数
用公式一
0 ~ 2 的
三角函数
上述过程体现了由未知到已知的化归思想。
四.例题分析
例1.求下列三角函数值
(1) cos225 cos(180 45) cos45
2
2
(2) sin 11
3
sin(4 ) sin
sin() sin cos() cos tan() tan
由上面两组公式的推导方法，你能同理推导出
角 与 的三角函数值之间的关系吗？
r 1
sin y
公式四
cos x tan y
x
sin( ) y
cos( ) x
tan( ) y y
x x
公式四
sin( ) sin
探究1
形如 的三角函数值与 的三角函数值之间
的关系
r 1
sin y cos x tan y
x
sin( ) y
cos( ) x
tan( ) y y
x x
公式二
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
探究2
我们再来研究角 与 的三角
6
3
求cos( 5 - )的值.
6
探索研究
已知任意角 的终边与单位圆相交于点Px，y ，
请同学们思考回答点 P关于直线 y x 对称的
点的坐标是什么?
y 1 P′(y,x)
公 式 五:
-1
P(x,y) 1
sin(π2 α) cosα,
0 -1
x
cos(π2 α) sinα.
公 式六:
sin(π2 α cos(π2 α
22
2
22
cos 1 1 1 1 1
22
2 22
cos(180 0 ) sin( 360 0 ) 例2 化简：sin( 180 0 ) cos(180 0 )
练习反馈
(1)已知：tan 3,求 2cos( ) 3sin( ) 的值. 4cos() sin(2 )
(2)已知cos( + )= 3 ,
sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
三.发现规律：
公式一、二、三、四,都叫做诱导公式．
2k (k z)、、 的三角函数值，
等于 的同名三角函数值前面加上把 看作
锐角时原函数值的符号。
简记为“函数名不变，符号看象限”
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小结
1、通过例题，你能说说诱导公式的作用以及化任 意角的三角函数为锐角三角函数的一般思路吗？
3
3
3 2
(3)sin( 16 ) sin16 sin(5
3
3
) 3
(sin ) 3
3 2
(4)cos(2040) cos2040 cos(5360 240)
cos240 cos(180 60) cos60 1
2
练习反馈
填写下表
2 4 5 7
33 3
33
sin 3 3 3 3 3
公 式六:
公 式八 :
sin(π2 α) cosα, sin(32πα) cosα,
cos(π2 α) sinα. cos(32πα) sinα.
.
诱导公式记忆 口诀：
奇变偶不变
符号看象限
注意： 看成锐角，原函数值的符号
例题与练习
例 3、 证 明 ： （ 1）isn(32πα ) cosα ; (2)cos(32πα ) sinα .
0
例题与练习
练习1 已知sin(/4+)=1/2,则sin(3/4-)的
cos( 2k ) cos(k Z)
（公式一）
tan( 2k ) tan (k Z)
二、思考：
已知任意角 的终边与单位圆相交于点Px，y ，
请同学们思考回答点 P关于原点、x 轴、y 轴对称
的三个点的坐标是什么?
点Px，y关于原点对称点 P1 x， y ，关于
x 轴对称点 P3 x， y ，关于 y 轴对称点 P2 x，y
cos( ) cos
tan( ) tan
公式一：
sin( k 2) sin cos( k 2) cos tan( k 2) tan
(k Z)
公式三：
公式二： sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
公式四：
sin() sin cos() cos tan() tan
) )
co s
s i
α, nα
π2 α的正弦（余弦）函数 值，分别等于α的余弦（正弦） 函数值，前面加上一个把α看
.成锐角时原函数值的符号。
总结：
1.公式五，六口诀： 函数名改变，符号看象限；
11
公 式 五:
公 式七 :
sin(π2 α) cosα, sin(32πα) cosα, cos(π2 α) sinα. cos(32πα) sinα.
2020/9/28
一切立体图形中最美的是球形， 一切平面图形中最美的是圆形。
——— 毕达哥拉斯学派
圆是第一个最简单、最完美的图形。
—— 布龙克尔
一.复习回顾
任意角三角函数的定义
设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x， y)，那么：
（1）正弦sinα＝ y
y P(x,y)
（2）余弦cosα＝ x