3-1第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数练习题(2015年高考总复习)
2015高考数学(理)一轮复习考点突破课件：3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数
解析：角 α 与 β 的终边关于 y 轴对称，则 α＋β＝2kπ＋π，所以 α ＝2kπ＋π－β，k∈Z，答案为 C. 答案：C
2．弧度与角度的互化 (1)1 弧度的角 长度等于 半径 长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角， 用符号 rad 表示． (2)角 α 的弧度数 如果半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l，那么角 α 的弧 l 度数的绝对值是|α|＝r. (3)角度与弧度的换算
1．角的有关概念 π (1)锐角的集合是 {α|0＜α＜ } ． 2 π (2)第一象限角的集合是 {α|2kπ＜α＜2kπ＋ ，k∈Z} ． 2 (3)终边在 x 轴上的角的集合是 {α|α＝kπ，k∈Z} ． π (4)终边在 y 轴上的角的集合是 {α|α＝kπ＋2，k∈Z} ．
• •
2．三角函数的符号 在第一象限三种三角函数的值全为 ，在第二象限只有 正数 的值为正数，在第三象限只有 的值为正数，在第四象限只有 的值为正数．
• 【归纳提升】 所有与α角终边相同的角(连同角α在内)，可以表示 为β＝k·360°＋α，k∈Z；在确定α角所在象限时，有时需要对整数 k的奇、偶情况进行讨论．
针对训练 3 7 1．设 α1＝－570° ，α2＝750° ，β1＝ π，β2＝－ π. 5 3 (1)将 α1，α2 用弧度制表示出来，并指出它们各自所在象限； (2)将 β1，β2 用角度制表示出来，并在－720° ～0° 之间找出与它 们终边相同的角．
答案：D
题型三
扇形的弧长、面积公式的应用 已知扇形的圆心角是 α，半径为 R，弧长为 l.
(1)若 α＝60° ，R＝10 cm，求扇形的弧长 l； (2)若扇形的周长为 L cm，当扇形的圆心角 α 为多少弧度时，这个 扇形的面积最大？ π (3)若 α＝ ，R＝2 cm，求扇形的弧所在的弓形的面积． 3
2015届高考数学总复习 第三章 第一节角的概念与弧度制及任意角的三角函数课时精练 理
第三章 三角函数与解三角形第一节 角的概念与弧度制及任意角的三角函数1.(2013²河南调研)与－525°的终边相同的角可表示为 ( ) A ．525°－k ²360°(k ∈Z ) B ．165°＋k ²360°(k ∈Z ) C ．195°＋k ²360°(k ∈Z ) D ．－195°＋k ²360°(k ∈Z )解析：在α＝195°＋k ²360°(k ∈Z )中，令k ＝－2得α＝－525°，故选C. 答案：C2．若α是第二象限角，则π－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角解析：π－α＝－α＋π，若α是第二象限角，则－α是第三象限角，再逆时针旋转180°，得π－α是第一象限角．故选A.答案：A3．(2013²福州模拟)下列三角函数值的符号判断错误的是( ) A ．sin 165°>0 B ．cos 280°>0 C ．tan 170°>0 D ．tan 310°<0解析：∵170°为第二象限角，∴tan 170°<0，选C. 答案：C4．若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x,2)，则P 点的横坐标x 是( )A ．2 3B ．±2 3C ．－2 2D ．－2 3解析：由cos α＝x x 2＋4＝－32，解得x ＝－2 3.答案：D5．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( ) A.2π3 B.11π6 C.5π6 D.3π4解析：∵sin α＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴α＝116π.答案：B6．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或4解析：设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝6，12rl ＝2.解得r ＝1，l ＝4或r ＝2，l ＝2.从而α＝l r ＝41＝4或α＝l r ＝22＝1.答案：C7．若角α和β的终边关于直线x ＋y ＝0对称，且α＝－π3，则角β的取值集合是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪β＝2k π＋π6，k ∈ZB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪ β＝2k π－π6，k ∈Z C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪ β＝k π＋π6，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪β＝k π－π6，k ∈Z解析：由对称性知，角β的终边与－π6的终边相同，故角β的取值集合是β⎪⎪⎪β＝2k π－π6，k ∈Z .故选B.答案：B8．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1按逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12解析：由弧长公式得，P 点逆时针转过的角度α＝2π3，所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32. 答案：A9．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos2π3，则角α的最小正值为__________．解析：该点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，则α是第四象限角．所以角α的最小正值为11π6. 答案：11π610．若cos α＝－35，且 α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，则tan α＝______.解析：∵sin 2α＝1－cos 2α，cos α＝－35且α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＝－45.∴tan α＝43.答案：43答案：第一行：144°，－171.9°，－2 025°；第二行：－19π6，25π12；第三行：二，一，二，三，二；第四行：第一空：－7π6，5π6；第二空：－47π12，－23π12，π12；第三空：－16π5，－6π5；第四空：－()2π＋3；第五空：－13π4，－5π4，3π4.12.已知点P (3r ，－ 4r )(r ≠0)在角α的终边上，求sin α，cos α，tan α的值．解析：因为x ＝3r ，y ＝－4r ，所以|OP |＝x 2＋y 2＝5|r |. (1)当r >0时，则|OP |＝5r ，sin α＝－45，cos α＝35，tan α＝－43；(2)当r <0时，则|OP |＝－5r ，sin α＝45，cos α＝－35，tan α＝－43.综上所述，sin α＝±45，cos α＝±35，tan α＝－43.13．(2013²包头月考)已知角θ的终边上有一点M (3，m )，且sin θ＋cos θ＝－15，求m 的值．解析：r ＝32＋m 2＝m 2＋9，依题意sin θ＝m m 2＋9，cos θ＝3m 2＋9，∴m m 2＋9＋3m 2＋9＝－15.即m ＋3m 2＋9＝－15，解得m ＝－4或m ＝－94，经检验知m ＝－94不合题意，舍去．故m ＝－4.14．已知π<α＋β<4π3，－π<α－β<－π3，求2α－β的取值范围．解析：设α＋β＝m ，α－β＝n ，则2α－β＝12m ＋32n ，∵π<α＋β<4π3，－π<α－β<－π3，∴π<m <4π3，－π<n <－π3.∴π2<12m <2π3，－3π2<32n <－π2. ∴－π<12m ＋32n <π6，即－π<2α－β<π6.。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.若角的终边经过点P，则的值是．【答案】．【解析】由角的终边经过点P，知，由三角函数的定义可知：，故答案为：．【考点】三角函数的定义.2.点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．【答案】【解析】由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足x＝cos＝－，y＝sin＝.3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________.【答案】－＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标【解析】因为A点纵坐标yAx＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.A4.设角α是第三象限角，且＝－sin，则角是第________象限角．【答案】四【解析】由α是第三象限角，知2kπ＋π<α<2kπ＋ (k∈Z)，kπ＋<<kπ＋ (k∈Z)，知是第二或第四象限角，再由＝－sin知sin<0，所以只能是第四象限角．5.满足cos α≤－的角α的集合为________．【答案】【解析】作直线x＝－交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为.6.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.7.是第二象限角，则是第象限角．【答案】一或三【解析】是第二象限角，则有，于是，因此是第一、三象限角．【考点】象限角的概念．8.如果弧度的圆心角所对的弦长为，那么这个圆心角所对的弧长为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】连接圆心与弦的中点，则由弦心距，弦长的一半，半径构成一个直角三角形，半弦长为1，其所对的圆心角也为1故半径为，这个圆心角所对的弧长为，故选A．【考点】弧长公式．9.已知扇形的面积为2cm2,扇形圆心角θ的弧度数是4,则扇形的周长为()A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm【答案】C【解析】设扇形的半径为R,则R2θ=2,∴R2=1R=1,∴扇形的周长为2R+θ·R=2+4=6(cm).10.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为() A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知,圆内接正三角形边长a与圆的半径之间关系为a=r,∴α===.11.已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵sin>0,cos>0,∴角α的终边在第一象限,∴tanα====,∴角α的最小正值为.12.若角θ的终边在射线y=-2x(x<0)上,则cosθ=.【答案】-【解析】由已知得角的终边落在第二象限,故可设角终边上一点P(-1,2),则r2=(-1)2+22=5,∴r=,此时cosθ==-.13.已知，求下列各式的值：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）先由已知式，解出的值，再把欲求式的分子分母都除以（需说明），变形为，代入的值，即可求得的值；（Ⅱ）先利用诱导公式将欲求式化为：，将这个式子变形为，分子分母都除以，变形为，代入的值，即可求得的值．试题解析：由已知得tanα＝. 3分(1)原式＝＝＝－. 8分(2)原式=sin2α＋sinαcosα＋2＝sin2α＋sinαcosα＋2(cos2α＋sin2α)＝＝＝＝. 13分．【考点】三角函数給值求值．14.求值：= ．【答案】【解析】由题意得:【考点】三角求值15.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值16.已知角的终边经过点,且,则的值为（）A．B．C．D．【答案】Ａ【解析】因为,故为二三象限，故，且，解得．【考点】三角函数定义．17.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值18.运用物理中矢量运算及向量坐标表示与运算，我们知道：两点等分单位圆时，有相应正确关系为，三等分单位圆时，有相应正确关系为，由此推出：四等分单位圆时的相应正确关系为 .【答案】【解析】用两点等分单位圆时，关系为，两个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差为：，用三点等分单位圆时，关系为，此时三个角的正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角与第一个角的差与第三个角与第二个角的差相等，均为有，依此类推，可得当四点等分单位圆时，为四个角正弦值之和为0，且第一个角为，第二个角为，第三个角，第四个角为，即其关系为.【考点】三角函数的定义与三角恒等式.19.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.20.已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，，角的终边与单位圆交点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，，因为所以，，所以.【考点】三角函数的定义，和差角公式.21.若角的终边上有一点P(a，－2)，则实数a的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】三角函数的定义.22.如上页图，一条螺旋线是用以下方法画成：是边长为1的正三角形，曲线分别以为圆心，为半径画的弧，曲线称为螺旋线旋转一圈．然后又以为圆心为半径画弧…，这样画到第圈，则所得整条螺旋线的长度______．(用表示即可)【答案】n (3n+1)π【解析】设第n段弧的弧长为，由弧长公式，可得…数列是以为首项、为公差的等差数列.画到第n圈，有3n段弧，故所得整条螺旋线的长度【考点】本题主要考查倒靫收莲的概念，求和公式。
高中数学-任意角与弧度制及任意角的三角函数
考点07任意角与弧度制及任意角的三角函数1．（2015·福建高考真题（文））若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于A ．125B ．125-C ．512D ．512-【答案】D 【详解】∵sin a =513-,且a 为第四象限角,∴1213cosa ==，则512sina tana cosa ==-，故选D.2．（2020·浙江高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：2cm ）为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：cm ）是_______．【答案】1【分析】利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径.【详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则21222r l r l ππππ⨯⨯=⎧⎪⎨⨯⨯=⨯⨯⨯⎪⎩，解得1,2r l ==.故答案为：1【点睛】本小题主要考查圆锥侧面展开图有关计算，属于基础题.1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)..(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式3.任意角的三角函数(x≠0)．(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线．1．（2021·河北衡水中学高三月考）密位制是度量角的一种方法．把一周角等分为6000份，每一份叫做1密位的角．以密位作为角的度量单位，这种度量角的单位制，叫做角的密位制．在角的密位制中，采用四个数码表示角的大小，单位名称密位二字可以省去不写．密位的写法是在百位数与十位数字之间画一条短线，如密位7写成“007-”，478密位写成“478-”，1周角等于6000密位，记作1周角6000=-，1直角1500=-．如果一个半径为2的扇形，它的面积为76π，则其圆心角用密位制表示为（）A ．1250-B ．1750-C ．2100-D ．3500-2．（2021·全国高三专题练习（文））斐波那契螺线又叫黄金螺线，广泛应用于绘画、建筑等，这种螺线可以按下列方法画出：如图，在黄金矩形51()2AB ABCD BC -=中作正方形ABFE ，以F 为圆心，AB 长为半径作圆弧BE ；然后在矩形CDEF 中作正方形DEHG ，以H 为圆心，DE 长为半径作圆弧EG ，……，如此继续下去，这些圆弧就连成了斐波那契螺线.记圆弧BE ，EG ，GI 的长度分别为,,l m n ，对于以下四个命题：①l m n =+；②2m l n =⋅；③2m l n =+；④211m l n=+.其中正确的是（）A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④3．（2021·四川高三月考（文））已知角α的终边绕原点O 逆时针旋转2π后，得到角β的终边，角β的终边过点()8,P m -，且24cos 5mβ=，则tan α的值为（）A ．34±B ．34-C ．43-D ．434．（2021·安徽蚌埠市·高三其他模拟（文））已知1tan 2α=-，则21sin 2cos αα=-（）A ．54-B ．58-C ．58D ．545．（2021·河南高三其他模拟（文））若93tan 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos2α=（）A ．1517-B ．217-C ．217D ．15176．（2020·海伦市第一中学高三期中（文））已知点()cos sin ,sin cos P αααα+-在第三象限，则α的取值范围是（）．A ．()ππ2π,2π42k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z B ．()3π2π,2ππ4k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z C ．()3π5π2π,2π44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z D ．()5π7π2π,2π44k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭Z 7．（2020·广东广州市·华南师大附中（文））已知1sin cos 5αα+=，其中,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan α=（）A ．247B ．43-或34-C ．34-D ．43-8．（2020·四川省南充市白塔中学高三期中（文））已知tan 32α=，则sin 1cos αα=-（）A ．3B ．13C ．3-D ．13-9．（2020·全国高三专题练习）2291sin cos αα+的最小值为（）A ．18B ．16C ．8D ．610．（2020·全国高三专题练习）已知扇形面积为252cm ，当扇形的周长取得最小值时，扇形的圆心角为（）A ．2B ．3C ．4D ．511．（2020·甘肃省武威第一中学高三月考（文））中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴．一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为512-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为（）A ．(35)π-B ．51)π-C ．(51)πD ．52)π12．（2020·陕西榆林市·高三一模（文））已知3y ax =+与函数()2ln 5f x x =+相切，则不等式组()010x ay x a y -≥⎧⎪⎨++≥⎪⎩确定的平面区域在2224x y +=内的面积为（）A ．12πB ．6πC ．3πD ．2π13．（2020·青铜峡市高级中学高三期中（文））《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（）23 1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米14．（2019·新乡市第一中学高三月考（文））《九章算木》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面釈所用的经验公式为：弧田面积=12(弦×矢+矢²).弧田，由圆弧和其所对弦所围成.公式中“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．现有圆心角为3π，弦长等于2米的弧田.按照《九章算木》中弧田面积的经验公式竍算所得弧田面积(单位，平方米)为A ．3πB ．33π-C ．95322-D ．11332-15．（2020·全国高考真题（理））已知 π()0,α∈，且3cos28cos 5αα-=，则sin α=（）A ．53B ．23C ．13D ．5916．（2008·全国高考真题（文））若sin 0α<，且tan 0α>，则α是（）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角17．（2018·北京高考真题（文））在平面直角坐标系中， ,,,AB CDEF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是A ． AB B ． CDC ． EFD ． GH18．（2014·全国高考真题（文））已知角α的终边经过点(4,3)-，则cos α=A ．45B ．35C ．35-D ．45-19．（2017·北京高考真题（文））在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=,则sin β=_____.20．（2015·浙江高考真题（文））在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c .已知tan()24A π+=.（1）求2sin 2sin 2cos AA A+的值；（2）若,34B a π==，求ABC ∆的面积1．B 【分析】计算出扇形所对圆心角的弧度数，可计算出扇形圆心角的密位数，结合密位制可得结果.【详解】设扇形所对的圆心角为α，α所对的密位为n ，则217226απ⨯=，解得7π12α=，由题意可得71260002n ππ=，解得76000175024n =⨯=，因此，该扇形圆心角用密位制表示为1750-.故选：B.2．A 【分析】不妨设1AB =-，则2BC =，根据弧长公式求出,,l m n ，再对①②③④逐个验证可得答案.【详解】不妨设1AB =-，则2BC =，所以 )12l BEπ==⨯-，)213ED =-=-，所以»(32m EG π==⨯，(134CG =--=，所以º())422n GI ππ==⨯-=-，所以(())341222m n l πππ⨯-+⨯=⨯==+，故①正确；(22227342m π-⨯-==，))271222l n ππ-⨯⨯=⋅=，所以2m l n =⋅，故②正确；))51222l n πππ⨯-+-+==，((22332m ππ=⨯⨯=，所以2m l n ≠+，故③不正确；11l n l n l n ++==⋅，(1135232m ππ+==⨯-，所以211m l n ≠+，故④不正确；所以①②正确，故选：A 3．D 【分析】根据三角函数的定义求得m ，继而求得tan α得选项.【详解】由24cos 5mβ==，得0m >，化简可得()()225964m m =+，解得6m =，63tan 84β-==-，1tan tan 2tan πβαα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，所以4tan 3α=．故选：D ．4．B 【分析】把目标转化为二次齐次式，弦化切即可得到结果.【详解】∵1tan 2α=-，∴222221sin +cos tan 15sin 2cos 2sin cos cos 2tan 18ααααααααα+===----，故选：B5．A 【分析】由诱导公式求得3tan 45πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，进而得到tan 4α=，然后由三角恒等变换可得结果.【详解】因为93tan tan 2tan 4445πππαπαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-=-=-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1tan 3tan 41tan 5πααα-⎛⎫-==-⎪+⎝⎭，解得tan 4α=，则22222222cos sin 1tan 11615cos2cos sin cos sin 1tan 11617ααααααααα---=-====-+++故选：A.【点睛】方法点睛：关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子.比如2222sin cos 2tan sin 22sin cos cos sin 1tan ααααααααα===++，22222222cos sin 1tan cos 2cos sin cos sin 1tan ααααααααα--=-==++.6．D 【分析】利用已知条件得到cos sin 0sin cos 0αααα+<⎧⎨-<⎩，利用同角三角函数的基本关系得到21sin 2sin 0αα⎧>⎪⎨⎪<⎩，求出2sin 2α<-，即可得出答案.【详解】()cos sin ,sin cos P αααα+- 在第三象限，cos sin 0sin cos 0αααα+<⎧∴⎨-<⎩，2222sin cos sin 1sin sin 0sin 0αααααα⎧⎧>>-∴⇒⎨⎨<<⎩⎩，21sin 2sin 0αα⎧>⎪∴⎨⎪<⎩，sin 2α∴<-，()5π7π2π,2π44k k k α⎛⎫∴∈++∈ ⎪⎝⎭Z ．故选：D.【点睛】关键点睛：利用同角三角函数的基本关系得到2sin 2α<-解决本题的关键.7．D 【分析】由1sin cos 5αα+=，平方求得242sin cos 25αα=-，进而求得7sin cos 5αα-=，联立方程组求得sin ,cos αα的值，再结合sin tan cos ααα=，即可求解.【详解】由1sin cos 5αα+=，平方可得112sin cos 25αα+=，解得242sin cos 25αα=-，又由2249(sin cos )sin cos 2sin cos 25αααααα-=+-=，因为,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，可得sin cos 0αα->，所以7sin cos 5αα-=，联立方程组1sin cos 57sin cos 5αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得43sin ,cos 55αα==-，所以sin tan s 43co ααα==-.本题主要考查了三角函数的基本关系式的化简求值，其中解答中熟记三角函数的基本关系式，求得sin ,cos αα的值是解答的关键，着重考查运算与求解能力.8．B【分析】利用二倍角的正弦和余弦公式以及同角三角函数的基本关系式，将所求的表达式化简为正切函数的形式，代入求解即可．【详解】解：已知tan 32α=，而222sin cos 2sin cos sin 1122221cos 32sin tan 112sin 222ααααααααα====-⎛⎫-- ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查二倍角的正弦和余弦公式，以及同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．9．B【分析】直接利用三角函数关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．【详解】()2222229191sin cos sin cos sin cos αααααα⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭9116≥++，故选B ．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．设扇形的半径是r ，弧长是l ，扇形的周长为y ，相应列出关系式，利用函数单调性得出结果.【详解】解：设扇形的半径是r ，弧长是l ，扇形的周长为y ，则2y l r =+，由题意得1252lr =，则50l r =，故502y r r =+()0r >，利用函数单调性的定义，可以证明当05r <≤，函数502y r r =+是减函数，当5r >时，函数502y r r =+是增函数，∴当=5r 时，y 取最小值20，此时10l =，2l r α==，即当扇形的圆心角为2时，扇形的周长取最小值.故选：A.【点睛】本题考查扇形的面积公式，圆心角的求法，属于中档题.11．A【分析】根据扇形与圆面积公式，可知面积比即为圆心角之比，再根据圆心角和的关系，求解出扇形的圆心角．【详解】1S 与2S 所在扇形圆心角的比即为它们的面积比，设1S 与2S 所在扇形圆心角分别为,αβ，则512αβ=，又2αβπ+=，解得(3απ=-故选:A【点睛】本题考查圆与扇形的面积计算，难度较易．扇形的面积公式：21122S r lr α==，其中α是扇形圆心角的弧度数，l 是扇形的弧长．12．C【分析】设切点为()00,x y ，可得()0000002325f x ax y ax y lnx ⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪=+⎩'⎪⎪，解方程可得2a =，然后作出不等式组在2224x y +=内的区域，再利用扇形的面积公式即可求解.【详解】由3y ax =+与函数()2ln 5f x x =+相切，设切点为()00,x y ，则()0000002325f x a x y ax y lnx ⎧==⎪⎪⎪=+⎨⎪=+⎩'⎪⎪，解得2a =，所以不等式组为2030x y x y -≥⎧⎨+≥⎩，则不等式组确定的平面区域在2224x y +=内的面积为阴影部分，由题意可得1tan 2α=，11tan 33β⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，所以()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-，所以4παβ+=，所以阴影部分的面积为：2112432424S R πππ=⨯⨯=⨯⨯=.故选：C【点睛】本题考查了导数的几何意义、不等式表示的平面区域、两角和的正切公式以及扇形的面积公式，综合性比较强，属于中档题.13．B【分析】由题分析出“弓”所在弧长，结合弧长公式得出这段弧所对圆心角，双手之间距离即是这段弧所对弦长.【详解】由题：“弓”所在弧长54488l ππππ=++=，其所对圆心角58524ππα==，两手之间距离 1.25 1.768d =≈.故选：B【点睛】此题考查扇形的圆心角和半径与弧长关系的基本计算，关键在于读懂题目，提取有效信息.14．D【分析】新型定义题，本题中要用弧田面积的经验公式竍算所得弧田面积，则需要利用经验中的公式进行计算，即需要求出本题中的弦长及矢长即可.【详解】在圆心角为3π，弦长等于2米的弧田中，半径为2，圆心到弦的距离为面积=12(弦×矢+矢²)=((211122222⎡⎤⨯+=-⎢⎥⎣⎦，故选D.【点睛】新型定义题型，已知一个公式计算公式，则需要把公式中所涉及的量一一计算出来，代入到公式中，即能完成本题.15．A【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于cos α的一元二次方程，求解得出cos α，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.【详解】3cos 28cos 5αα-=，得26cos 8cos 80αα--=，即23cos 4cos 40αα--=，解得2cos 3α=-或cos 2α=（舍去），又5(0,),sin 3απα∈∴==.故选：A.【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.16．C【解析】sin 0α<，则α的终边在三、四象限；tan 0α>则α的终边在三、一象限，sin 0α<，tan 0α>，同时满足，则α的终边在三象限．17．C【解析】分析：逐个分析A 、B 、C 、D 四个选项，利用三角函数的三角函数线可得正确结论.详解：由下图可得：有向线段OM 为余弦线，有向线段MP 为正弦线，有向线段AT 为正切线.A 选项：当点P 在 AB 上时，cos ,sin x y αα==，cos sin αα∴>，故A 选项错误；B 选项：当点P 在 CD上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=，tan sin cos ααα∴>>，故B 选项错误；C 选项：当点P 在 EF 上时，cos ,sin x y αα==，tan y xα=，sin cos tan ααα∴>>，故C 选项正确；D 选项：点P 在 GH上且 GH 在第三象限，tan 0,sin 0,cos 0ααα><<，故D 选项错误.综上，故选C.点睛：此题考查三角函数的定义，解题的关键是能够利用数形结合思想，作出图形，找到sin ,cos ,tan ααα所对应的三角函数线进行比较.18．D【详解】试题分析：由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以4cos 5x r α==-.故选D.考点：三角函数的概念.19．13【详解】试题分析：因为角α与角β的终边关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，所以()1sin sin π2πsin 3k βαα=+-==.【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则π2π,k k αβ-=+∈Z .20．（1）25；（2）9【解析】（1）利用两角和与差的正切公式，得到1tan 3A =，利用同角三角函数基本函数关系式得到结论；（2）利用正弦定理得到边b 的值，根据三角形，两边一夹角的面积公式计算得到三角形的面积.试题解析：（1）由tan()24A π+=，得1tan 3A =，所以22sin 22sin cos 2tan 2sin 2cos 2sin cos cos 2tan 15A A A A A A A A A A ===+++.（2）由1tan 3A =可得，sin ,cos 1010A A ==.3,4a B π==，由正弦定理知：b =又sin sin()sin cos cos sin 5C A B A B A B =+=+=，所以11sin 39225ABC S ab C ∆==⨯⨯=.考点：1.同角三角函数基本关系式；2.正弦定理；3.三角形面积公式.。
任意角和弧度制、任意角的三角函数专题及答案
任意角和弧度制、任意角的三角函数专题一、基础小题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－342．sin2cos3tan4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( )A ．23B ．32C ．23πD ．32π4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) 5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．±3 C ．－2 D ．－ 36．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．129．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关；④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．410．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．11．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．12．已知角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠b )，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝________. 二、高考小题13．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )14．若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin2α>0D ．cos2α>0 15．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b 16．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12三、模拟小题17．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )18．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．3219．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 20．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A ．5π6 B ．5π3 C ．11π6 D ．2π321．已知A (x A ，y A )是单位圆上(圆心在坐标原点O )任意一点，且射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A ． 2B ．32C ．1D ．1222．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )A ．2B ．1C ．12D ．323．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )24．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin θ＋cos θ＝________.模拟大题1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值．2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．3．设函数f (x )＝－x 2＋2x ＋a (0≤x ≤3)的最大值为m ，最小值为n ，其中a ≠0，a ∈R.(1)求m ，n 的值(用a 表示)；(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点A (m －1，n ＋3)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6的值．4.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝35，求x 2；(2)过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．任意角和弧度制、任意角的三角函数专题及答案一、基础小题1．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( )A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34答案 D解析 根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34，故选D. 2．sin2cos3tan4的值( )A ．小于0B ．大于0C ．等于0D ．不存在 答案 A解析 ∵sin2>0，cos3<0，tan4>0，∴sin2cos3tan4<0.3．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( )A ．23B ．32C ．23πD ．32π答案 B解析 由题意知l ＝|α|r ，∴|α|＝l r ＝1812＝32.4.如图所示，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是()A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ) 答案 A解析 由三角函数的定义知，选A.5．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A ． 3 B ．±3 C ．－2 D ．－ 3答案 D解析 依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x <0，由此解得x ＝－3，故选D. 6．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3 答案 B解析 由α＝2k π－π5(k ∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0，所以y ＝－1＋1－1＝－1.7．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 C解析 设扇形的半径为R ，则12R 2|α|＝2，∴R 2＝1，∴R ＝1，∴扇形的周长为2R ＋|α|·R ＝2＋4＝6，故选C.8．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32 B ．32 C ．－12 D ．12答案 D解析 因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z)，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z)，即得sin α＝12.9．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关； ④若sin α＝sin β，则α与β的终边相同； ⑤若cos θ<0，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 由于第一象限角370°不小于第二象限角100°，故①错；当三角形的内角为90°时，其既不是第一象限角，也不是第二象限角，故②错；③正确；由于sin π6＝sin 5π6，但π6与5π6的终边不相同，故④错；当cos θ＝－1，θ＝π时既不是第二象限角，又不是第三象限角，故⑤错．综上可知只有③正确．10．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32解析 根据题意得Q (cos π3，sin π3)，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.11．已知角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，若α∈(－2π，2π)，则所有的α组成的集合为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3解析 因为角α的终边上有一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，所以角α为第四象限角，且tan α＝－3，即α＝－π3＋2k π，k ∈Z ，因此落在(－2π，2π)内的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，5π3.12．已知角α的终边上的点P 和点A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠b )，角β的终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝________. 答案 0解析 由题意得P (a ，－b )，Q (b ，a )，∴tan α＝－b a ，tan β＝a b (a ，b ≠0)，∴sin αcos β＋tan αtan β＋1cos α·sin β＝－b a 2＋b 2b a 2＋b 2＋－ba ab ＋1a a 2＋b 2·a a 2＋b 2＝－1－b 2a 2＋a 2＋b2a 2＝0.二、高考小题13．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )答案 C解析 由题意|OM |＝|cos x |，f (x )＝|OM ||sin x |＝|sin x cos x |＝ 12|sin2x |，由此可知C 正确． 14．若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin2α>0D ．cos2α>0 答案 C解析 由tan α>0，可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sin α与cos α同号， 故sin2α＝2sin αcos α>0，故选C.15．设a ＝sin33°，b ＝cos55°，c ＝tan35°，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．c >a >b 答案 C解析 ∵a ＝sin33°，b ＝cos55°＝sin35°，c ＝tan35°＝sin35°cos35°，∴sin35°cos35°>sin35°>sin33°.∴c >b >a ，选C.16．设函数f (x )(x ∈R)满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x .当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝( )A ．12B ．32C ．0D ．－12答案 A解析 由题意得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6＋sin 11π6＋sin 17π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋sin 5π6＋sin11π6＋sin 17π6＝0＋12－12＋12＝12.三、模拟小题17．集合⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是( )答案 C解析 当k ＝2n 时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α的终边和π4≤α≤π2的终边一样．当k ＝2n ＋1时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α的终边和π＋π4≤α≤π＋π2的终边一样．18．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．32答案 B解析 r ＝64m 2＋9，∴cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，∴m >0，∴4m 264m 2＋9＝125，∴m ＝±12，∴m ＝12.19．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2,3)C ．[－2,3)D ．[－2,3] 答案 A解析 由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎨⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3. 20．已知角x 的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，则角x 的最小正值为( )A ．5π6 B ．5π3 C ．11π6 D ．2π3答案 B解析 ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，tan x ＝－3，∴x ＝2k π＋53π，k ∈Z ，∴角x 的最小正值为5π3.(也可用同角基本关系式tan x ＝sin xcos x得出．) 21．已知A (x A ，y A )是单位圆上(圆心在坐标原点O )任意一点，且射线OA 绕O 点逆时针旋转30°到OB 交单位圆于B (x B ，y B )，则x A －y B 的最大值为( )A ． 2B ．32C ．1D ．12答案 C解析 如图，由三角函数的定义，设x A ＝cos α，则y B ＝sin(α＋30°)，∴x A －y B ＝cos α－sin(α＋30°)＝12cos α－32sin α＝cos(α＋60°)≤1.22．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的圆心角的弧度数是( )A ．2B ．1C ．12 D ．3答案 A解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，故当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2.从而α＝l r ＝21＝2.23．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )答案 C解析 如图，取AP 的中点为D ，设∠DOA ＝θ，则d ＝2r sin θ＝2sin θ，l ＝2θr ＝2θ， ∴d ＝2sin l2，故选C.24．已知角θ的终边经过点P (－4cos α，3cos α)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin θ＋cos θ＝________.答案 15解析 因为π<α<3π2时，cos α<0，所以r ＝－5cos α，故sin θ＝－35，cos θ＝45，则sin θ＋cos θ＝15.模拟大题1．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x .求sin α＋1tan α的值． 解 ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴点P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x . ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3.当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sin α＝－66，1tan α＝－5，∴sin α＋1tan α＝－66－5＝－65＋66； 当x ＝－10时，同样可求得sin α＋1tan α＝65－66.2．如图所示，动点P ，Q 从点A (4,0)出发沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求点P ，点Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及P ，Q 点各自走过的弧长．解 设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ， 则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－π6＝2π. 所以t ＝4(秒)，即第一次相遇的时间为4秒．设第一次相遇点为C ，第一次相遇时P 点已运动到终边在π3·4＝4π3的位置，则x C ＝－cos π3·4＝－2，y C ＝－sin π3·4＝－2 3.所以C 点的坐标为(－2，－23)． P 点走过的弧长为43π·4＝163π，Q 点走过的弧长为23π·4＝83π.3．设函数f (x )＝－x 2＋2x ＋a (0≤x ≤3)的最大值为m ，最小值为n ，其中a ≠0，a ∈R.(1)求m ，n 的值(用a 表示)；(2)已知角β的顶点与平面直角坐标系xOy 中的原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点A (m －1，n ＋3)，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6的值．解 (1)由题意可得f (x )＝－(x －1)2＋1＋a ，而0≤x ≤3，所以m ＝f (1)＝1＋a ，n ＝f (3)＝a －3.(2)由题意知，角β终边经过点A (a ，a )， 当a >0时，r ＝a 2＋a 2＝2a ， 则sin β＝a 2a ＝22，cos β＝a 2a ＝22. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝2＋64.当a <0时，r ＝a 2＋a 2＝－2a ， 则sin β＝a －2a＝－22，cos β＝a －2a＝－22. 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝sin β·cos π6＋cos β·sin π6＝－2＋64.综上所述，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π6＝－2＋64或2＋64.4.在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边与单位圆O 交于点A (x 1，y 1)，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.将角α终边绕原点按逆时针方向旋转π4，交单位圆于点B (x 2，y 2)．(1)若x 1＝35，求x 2；(2)过A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，记△AOC 及△BOD 的面积分别为S 1，S 2，且S 1＝43S 2，求tan α的值．解 (1)因为x 1＝35，y 1>0，所以y 1＝1－x 21＝45，所以sin α＝45，cos α＝35，所以x 2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝cos αcos π4－sin αsin π4＝－210.(2)S 1＝12sin αcos α＝14sin2α.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4，所以S 2＝－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－14sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝－14cos2α.因为S 1＝43S 2，所以sin2α＝－43cos2α，即tan2α＝－43，所以2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝2或tan α＝－12.因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，所以tan α＝2.。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题1.化为弧度是( )A．B．C．D．【答案】B【解析】本题角度化为弧度，变换规则是度数乘以,,故选B.【考点】弧度与角度的互化．2.是第( )象限角.A．一B．二C．三D．四【答案】C【解析】本题主要考查三角函数终边相同的角.由得出终边在第三象限，故选C.【考点】终边相同的角的表示.3.已知角的终边过点(－5,12),则=________.【答案】【解析】.【考点】任意角的三角函数的定义.4.与终边相同的最小正角是．【答案】【解析】因为与终边相同的角是所以当时，与终边相同的最小正角是【考点】与终边相同的角5.与60°角终边相同的角的集合可以表示为( )A．{|=k·360°+，k Z}B．{|=2k+60°，k Z}C．{|=k·180°+60°，k Z}D．{|=2k+，k Z}【答案】D【解析】A,B把弧度制与角度制混在了一起，不规范，而C，应为=k·360°+60°，D正确．【考点】终边相同的角的集合．6.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．7.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．8.计算：= ；【答案】1【解析】原式=【考点】三角函数值的计算9.一个扇形的周长是6，该扇形的中心角是1弧度，该扇形的面积是_______.【答案】【解析】设该扇形的半径、弧长分别为，则依题意有，从中解得，从而.【考点】1.扇形的弧长公式；2.扇形的面积公式.10.已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的正半轴，终边经过点,则【答案】-.【解析】由题意可得 x=-1，y=，r2=x2+y2=4,r=2,故cosa==-.【考点】任意角的三角函数的定义．11.已知圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，那么这段弧所对的圆心角的弧度数为 ( )A．B．C．D．2【答案】D【解析】根据题意，由于设圆的半径为r，则可知，圆中一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，可知圆心到三角形不边长的距离为r，利用30得三角函数知可知，正三角形得边长得的长度为2r,那么利用弧长公式可知，弧度数等于弧长除以半径即为2，故选D.【考点】弧度数的问题点评：解决的关键是根据弧长公式，利用圆的半径来得到弧度数，属于基础题。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题1.已知角的终边经过点，则．【答案】【解析】由题意可得：,所以.【考点】任意角三角函数的定义.2.半径为1m的圆中，60°的圆心角所对的弧的长度为（）m．A．B．C．60D．1【答案】B【解析】因为60°=又根据弧长计算公式L=故选B.【考点】扇形的弧长计算公式.3.下列命题正确的是 ( )A．小于的角一定是锐角B．终边相同的角一定相等C．终边落在直线上的角可以表示为，D．若,则角的正切值等于角的正切值【答案】D【解析】小于的角可以是锐角、零角及负角，故错；终边相同的角相差的整数倍，故错；终边落在直线上的角可以表示为，故错；正确.故选D.【考点】三角函数的概念的应用.4.一个半径大于2的扇形，其周长，面积，求这个扇形的半径和圆心角的弧度数.【答案】，【解析】由题设条件给出周长，面积，因为扇形周长由两半径和弧长组成，故可列出方程，再结合扇形面积公式：，可解得半径，从而求得圆心角试题解析：由得：将上式代入得（舍去）【考点】扇形的面积公式和弧长公式.5. sin480°等于（）.A．B．C．D．【答案】D.【解析】因为，所以选D.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.6.一扇形的中心角为2，对应的弧长为4，则此扇形的面积为（）.A．1B．2C．4D．8【答案】C【解析】，，则扇形的面积.【考点】扇形的弧长与面积公式.7.半径为3，中心角为120o的扇形面积为（）.A．B．C．D．【答案】B【解析】，.【考点】扇形面积公式.8.如图，在直角坐标系中，射线OP交单位圆O于点P，若∠XOP ＝θ，则点P的坐标是().A．(cosθ，sinθ)B．(－cosθ，sinθ)C．(sinθ，cosθ)D．(－sinθ，cosθ)【答案】A【解析】设，则，由任意角的三角函数定义得：，即.【考点】任意角的三角函数定义.9.如果有意义，那么的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】∵，∴，即，∴．【考点】三角函数的取值范围．10. 2400化成弧度制是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查度与弧度的互化，利用公式弧度，可得.【考点】度与弧度的互化.11.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．12.已知点是角终边上一点，且，则的值为（）A．5B．C．4D．【答案】D【解析】由两点间距离公式知点P到原点的距离=，有三角函数定义知==＜0，故＜0，平方解得=4（舍）或=4.由题知=,∴==＜0，∴＜0，解得=-4，故选D.【考点】任意角的三角函数定义13.设角的终边上有一点，则的值是( )A．B．C．或D．1【答案】A【解析】由三角函数的定义可知，所以，选A.【考点】任意角的三角函数.14.已知角是第二象限角，角的终边经过点,且,则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由角的终边经过点与，可得，解得或，而是第二象限角，所以，故，所以，故选答案D.【考点】任意角的三角函数.15.是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【答案】C【解析】因为第一象限角的范围为;第二象限角的范围为;第三象限角的范围为;第四象限角的范围为；是第三象限角，故选C.【考点】象限角的概念.16.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．17.已知角的终边过，则= ．【答案】【解析】根据题意，由于角的终边过，那么可知，该点的，则可知该点的正切值为，结合角的范围可知，的值为，故答案为。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.若为第三象限，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为为第三象限，所以．因此，故选择B．【考点】同角三角函数基本关系及三角函数符号．2.下列各式中，值为的是A．B．C．D．【答案】D【解析】;;;.【考点】二倍角的正弦、余弦、正切公式.3.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.4.是第( )象限角.A．一B．二C．三D．四【答案】C【解析】本题主要考查三角函数终边相同的角.由得出终边在第三象限，故选C.【考点】终边相同的角的表示.5.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.6.已知点P（）在第三象限，则角在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】由已知得，即，则角在第二象限。
【考点】（1）三角函数值符号的判断；（2）象限角的判断。
7. 2400化成弧度制是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题考查度与弧度的互化，利用公式弧度，可得.【考点】度与弧度的互化.8.的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】.任意角的三角函数值可利用诱导公将角化为锐角的三角函数值求得.【考点】诱导公式，特殊角的三角函数值.9.若，且，则角的终边所在的象限是()．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，又因为，所以，所以角的终边所在象限是第四象限，故选D．【考点】1、三角函数值的符号；2、二倍角的正弦．10.设为第四象限角，其终边上的一个点是，且，求和．【答案】；．【解析】利用余弦函数的定义求得，再利用正弦函数的定义即可求得的值与的值．∵为第四象限角，∴，∴，∴，∴，∴＝，∴，．【考点】任意角的三角函数的定义．11.将120o化为弧度为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，故.【考点】弧度制与角度的相互转化.12.下列角中终边与330°相同的角是（）A．30°B．-30°C．630°D．-630°【答案】B【解析】与330°终边相同的角可写为，当时，可得-30°.【考点】终边相同的角之间的关系.13.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.14.圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为 .【答案】【解析】扇形面积公式，即（必须为弧度制）.【考点】扇形面积公式.15.比较大小：(用“”,“”或“”连接).【答案】＞.【解析】在单位圆中，做出锐角1的正切线、正弦线、余弦线，观察他们的长度，发现正切线最长，余弦线最短，故有 tan1＞sin1＞cos1＞0.【考点】三角函数线．16.已知【答案】【解析】由已知得，又因为，所以，而，故答案为．【考点】1．诱导函数；2．特殊角的三角函数值．17.一钟表的分针长5 cm，经过40分钟后，分针外端点转过的弧长是________cm【答案】【解析】分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是，分针经40分钟，分针的端点所转过的角的弧度数为2π×=，代入弧长公式l=αr，得出分针的端点所转过的长为×5=（cm）．故答案为：。
3-1第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数(2015年高考总复习)
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5．三角函数线 设角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边 与单位圆相交于点 P，过 P 作 PM 垂直 x 轴于点 M.由三角函数的 定义知，点 P 的坐标为(cosα，sinα)，即 P(cosα，sinα)，其中 cosα ＝ OM ，sinα＝ MP ，单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A，单位圆 在 A 点的切线与 α 的终边或其反向延长线相交于点 T，则 tanα ＝ AT .我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做 α 的 余弦线、正弦线 、 正切线 .
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(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边 相同的角的同一三角函数值相等．
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2．对三角函数的理解要透彻 三角函数也是一种函数， 它可以看成是从一个角(弧度制)的集 合到一个比值的集合的函数．也可以看成是以实数为自变量的函 数，定义域为使比值有意义的角的范围． y 如 tanα＝x有意义的条件是角 α 终边上任一点 P(x，y)的横坐 标不等于零，也就是角 α 的终边不能与 y 轴重合，故正切函数的 π 定义域为{α|α≠kπ＋ ，k∈Z}． 2
答案 A
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3．若 sinα＜0 且 tanα＞0，则 α 是( A．第一象限角 C．第三象限角 B．第二象限角 D．第四象限角
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.已知角为第二象限角，且，则的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得：又因为：所以，解得：又因为角为第二象限角，所以，所以，故选B．【考点】同角三角函数基本关系及诱导公式．2.设α是第二象限角，P(x,4)为其终边上的一点，且cosα＝x，则tanα＝() A．B．C．－D．－【答案】D【解析】∵α是第二象限角，∴cosα＝x<0，即x<0.又cosα＝x＝，解得x＝－3，∴tanα＝＝－.3.已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是()A．(，)B．(π，)C．(，)D．(，)∪(π，)【答案】D【解析】由已知得，解得α∈(，)∪(π，)．4.已知角α终边上一点P(－，y)，且sinα＝y，求cosα和tanα的值．【答案】cosα＝－1，tanα＝0.【解析】r2＝x2＋y2＝y2＋3，由sinα＝＝＝y，∴y＝±或y＝0.当y＝即α是第二象限角时，cosα＝＝－，tanα＝－；当y＝－即α是第三象限角时，cosα＝＝－，tanα＝；当y＝0时，P(－，0)，cosα＝－1，tanα＝0.5.设集合M＝，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________．【答案】【解析】由－π＜＜π，得－＜k＜.∵k∈Z，∴k＝－1，0，1，2，故M∩N＝6.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为()A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知,圆内接正三角形边长a与圆的半径之间关系为a=r,∴α===.7. tan(－1 410°)的值为()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】tan(－1 410°)＝tan(－4×360°＋30°)＝tan 30°＝8.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=（弦´矢+矢2）.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照《九章算术》中弧田面积的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田实际面积相差多少平方米？（结果保留两位小数）【答案】(1) ()；(2)少．【解析】(1)本题比较简单，就是利用扇形面积公式来计算弧田面积，弧田面积等于扇形面积对应三角形面积．(2)由弧田面积的经验计算公式计算面积与实际面积相减即得．试题解析：(1) 扇形半径， 2分扇形面积等于 5分弧田面积=（m2） 7分（2）圆心到弦的距离等于，所以矢长为.按照上述弧田面积经验公式计算得（弦´矢+矢2）=. 10分平方米 12分按照弧田面积经验公式计算结果比实际少1.52平米.【考点】(1)扇形面积公式；(2)弧田面积的经验计算公式．9.在平面直角坐标系中,若角的顶点在坐标原点,始边在轴的非负半轴上,终边经过点(其中)则的值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】，根据任意角的三角函数的定义得，，所以.【考点】任意角三角函数的定义.10.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值11.在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则 .【答案】【解析】由任意角的三角函数的定义得：.【考点】任意角的三角函数的定义.12.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.13.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.14.已知，则满足的角所在的象限为．【答案】二或四【解析】根据指数函数的单调性和，得，即和异号，所以角是第二象限或第四象限的角.【考点】指数函数的单调性、各象限三角函数的符号.15.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=．【答案】．【解析】由题意及图所示，易知A点的横坐标为，所以．【考点】三角函数的定义．16.已知函数的定义域为[a,b]，值域为[-2，1]，则的值不可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因的值域[-2,1]含最小值不含最大值,根据图象可知定义域小于一个周期,故选D.【考点】三角函数的定义域和值域.17.若角的终边上有一点P(a，－2)，则实数a的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.【考点】三角函数的定义.18.若，则角是（）A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第二或第四象限角【答案】D【解析】因为，则角是第二或第四象限角，选D19.点位于直角坐标面的A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】因为，位于直角坐标面的第四象限,选D20.已知圆与轴的正半轴相交于点,两点在圆上,在第一象限,在第二象限,的横坐标分别为，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】设与轴正半轴的夹角分别为则，21.已知动点在圆x2+y2=1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t=0时，点A（，则0≤t≤12时，动点A的横坐标x关于t（单位：秒）的函数单调递减区间是（）A．[0, 4]B．[4,10]C．[10,12]D．[0,4]和[10,12]【答案】D【解析】解：设动点A与x轴正方向夹角为α，则t=0时α=π/ 3 ，每秒钟旋转π /6 ，在t∈[0，1]上α∈[π/ 3 ，π/ 2 ]，在[7，12]上α∈[3π/ 2 ，7π /3 ]，动点A的纵坐标y关于t都是单调递增的．故选D．22.曲线与坐标轴所围的面积是【答案】３【解析】据余弦函数的图象，23.已知，且在第二象限，那么在 ( )A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【解析】解：∵sinθ="3" /4 ，且θ在第二象限，∴cosθ=-/4,所以sin2θ=2sinθcosθ=-3/16Cos2θ=1-2sin2θ=-1/8故2θ在第三象限。
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题
高三数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题1.若角的终边经过点P，则的值是．【答案】．【解析】由角的终边经过点P，知，由三角函数的定义可知：，故答案为：．【考点】三角函数的定义.2.已知角的终边经过点（-4,3），则cos=( )A．B．C．－D．－【答案】D【解析】由题意可知x=-4，y=3，r=5，所以.故选D.【考点】三角函数的概念.3.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cos α＝________.【答案】－＝，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标【解析】因为A点纵坐标yAx＝－，由三角函数的定义可得cos α＝－.A4.下列三角函数值的符号判断错误的是()A．sin165°>0B．cos280°>0C．tan170°>0D．tan310°<0【答案】C【解析】165°是第二象限角，因此sin165°>0正确；280°是第四象限角，因此cos280°>0正确；170°是第二象限角，因此tan170°<0，故C错误；310°是第四象限角，因此tan310°<0正确．5.如图，正三角形ABC的边长为2，D，E，F分别在三边AB，BC和CA上，且D为AB的中点，，，.（1）当时，求的大小；（2）求的面积S的最小值及使得S取最小值时的值.【答案】（1）θ＝60°；（2）当θ＝45°时，S取最小值.【解析】本题主要考查正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问，在中，，①，而在中，利用正弦定理，用表示DE，在中，利用正弦定理，用表示DF，代入到①式中，再利用两角和的正弦公式展开，解出，利用特殊角的三角函数值求角；第二问，将第一问得到的DF和DE代入到三角形面积公式中，利用两角和的正弦公式和倍角公式化简表达式，利用正弦函数的有界性确定S的最小值.在△BDE中，由正弦定理得，在△ADF中，由正弦定理得． 4分由tan∠DEF＝，得，整理得，所以θ＝60°． 6分（2）S＝DE·DF＝． 10分当θ＝45°时，S取最小值． 12分【考点】正弦定理、直角三角形中正切的定义、两角和的正弦公式、倍角公式、三角形面积公式.6.是第二象限角，则是第象限角．【答案】一或三【解析】是第二象限角，则有，于是，因此是第一、三象限角．【考点】象限角的概念．7.已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？【答案】（1）50cm2（2）【解析】(1)设弧长为l，弓形面积为S弓．∵α＝60°＝，R＝10，∴l＝π(cm)．S弓＝S扇－S△＝×π×10－×102·sin60°＝50cm2.(2)∵扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝，∴S扇＝α·R2＝α＝，当且仅当α＝，即α＝2(α＝－2舍去)时，扇形面积有最大值.8.已知α＝，回答下列问题．(1)写出所有与α终边相同的角；(2)写出在(－4π，2π)内与α终边相同的角；(3)若角β与α终边相同，则是第几象限的角？【答案】（1）（2）－、－、（3）第一、三象限的角【解析】(1)所有与α终边相同的角可表示为.(2)由(1)令－4π＜2kπ＋＜2π(k∈Z)，则有－2－＜k＜1－.∵k∈Z，∴取k＝－2、－1、0.故在(－4π，2π)内与α终边相同的角是－、－、.(3)由(1)有β＝2kπ＋ (k∈Z)，则＝kπ＋(k∈Z)．∴是第一、三象限的角．9.已知角α的终边上一点的坐标为(sin,cos),则角α的最小正值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】∵sin>0,cos>0,∴角α的终边在第一象限,∴tanα====,∴角α的最小正值为.10.已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为()A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角α的终边上一点的坐标为，所以角α在第四象限，tan α＝＝-，故α的最小正值为.11.已知则= .【答案】【解析】.【考点】三角函数求值.12.已知则等于（）A．7B．C．D．【答案】B【解析】因为所以，，，选B.【考点】任意角的三角函数，两角和与差的三角函数.13.已知角x的终边上一点坐标为，则角x的最小正值为( ) A．B．C．D．【答案】C【解析】因为角终边上一点的坐标为，在第四象限，所以角是第四象限角，又，所以角的最小正值为.【考点】特殊角的三角函数值14.角的终边经过点，则的可能取值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】1.任意角的三角函数；2.同角三角函数的基本关系15.( )A．B．C．D．【答案】A【解析】.【考点】特殊角的三角函数值16.角的终边经过点，则的可能取值为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】.【考点】1.任意角的三角函数；2.同角三角函数的基本关系17.已知角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，若是角终边上的一点，且，则的值为( )A．B．C．或D．或【答案】A【解析】因为，角的顶点为坐标原点，始边为轴的非负半轴，且是角终边上的一点，所以，，又由三角函数的定义，得，解得，的值为故选A.【考点】任意角的三角函数18.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A．2B．C．D．【答案】B【解析】已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，所以，即，所以.【考点】弧度制.19.在中，若，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，在中，若，所以，，，故选B.【考点】任意角的三角函数20.如图，在平面直角坐标系中，以x轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A、B两点．已知点A的横坐标为；B点的纵坐标为．则 .【答案】【解析】单位圆的半径是1，根据勾股定理以及点A的横坐标为，B点的纵坐标为，可知点A的纵坐标为，点B的横坐标为，所以，，，，因为，是锐角，所以，所以.【考点】1.任意角的三角函数；2.三角函数的和角公式21.已知为钝角，且，则与角终边相同的角的集合为．【答案】【解析】由为钝角，且，得，所以与角终边相同的角的集合为，当然也可写成，但注意制度要统一，不要丢掉.【考点】特殊角的三角函数、终边相同角的集合.22.在平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则sin5α＝．【答案】【解析】根据题意，由于平面直角坐标系xOy中，若角α的始边与x轴的正半轴重合，终边在射线y＝－x（x＞0）上，则可知，那么可知sin5α=sin,故答案为【考点】三角函数定义点评：解决的关键是利用三角函数的定义来求解三角函数值，属于基础题。
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析
高一数学任意角和弧度制和任意角的三角函数试题答案及解析1.如果角的终边经过点，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直接利用三角函数的定义，求出.因为角θ的终边经过点,由三角函数的定义可知，，故选A.【考点】任意角的三角函数的定义．2.已知扇形半径为8, 弧长为12, 则中心角为弧度, 扇形面积是【答案】.【解析】圆心角；由扇形的面积公式得.【考点】扇形的面积公式及圆心角的计算.3.若点P位于第三象限，则角是第象限的角.【答案】二【解析】点P位于第三象限，则即,所以角是第二象限的角,答案为二.【考点】三角函数的符号4.半径为，中心角为所对的弧长是（）.A．B．C．D．【答案】D.【解析】弧长cm,故选D.【考点】弧长公式：（其中的单位是弧度）.5.已知cosθ•tanθ＜0，那么角θ是（）.A．第一或第二象限角B．第二或第三象限角C．第三或第四象限角D．第一或第四象限角【答案】B【解析】，，是第二象限角或第三象限角.【考点】象限角的符号.6.已知，则的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由知，在第一或第三象限，因为，所以．【考点】简单三角方程7.与角-终边相同的角是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】与−终边相同的角为2kπ−，k∈z，当 k=-1时，此角等于，故选：C．【考点】终边相同的角的定义和表示方法.8.如图，长为4米的直竹竿AB两端分别在水平地面和墙上（地面与墙面垂直），T为AB中点，，当竹竿滑动到A1B1位置时，，竹竿在滑动时中点T也沿着某种轨迹运动到T1点，则T运动的路程是_________米.【答案】.【解析】如图可知，点运动的轨迹为一段圆弧，由题意已知：，，∴，∴点运动的路程为.【考点】弧度制有关公式的运用.9.已知角的终边上有一点（1，2），则的值为（ ).A．B．C．D．–2【答案】A【解析】角的终边过，，.【考点】任意角三角函数的定义.10.若角的终边上有一点，则的值是（）A．B．C．D．【答案】B.【解析】先利用诱导公式化简，根据三角函数的定义知，即，故选B.【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．11. 60°=_________．（化成弧度）【答案】【解析】根据,可得．【考点】角度与弧度的互化．12.与终边相同的最小正角是．【答案】【解析】因为与终边相同的角是所以当时，与终边相同的最小正角是【考点】与终边相同的角13.比较的大小 .【答案】【解析】,在上为增函数，可知，，可得.【考点】正弦函数的性质，特殊角的三角函数.14.已知扇形的周长为30，当它的半径R和圆心角各取何值时，扇形的面积S最大？并求出扇形面积的最大值．【答案】当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．【解析】根据条件扇形的周长为30可以得到l+2R=30,从而扇形的面积S=lR=（30－2R）R=，即把S表示为R的二次函数，根据二次函数求最值的方法，可以进一步变形为S=－（R－）2+，从而得到当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．∵扇形的周长为30，∴l+2R=30，l=30-2R，∴S=lR=（30－2R）R==－（R－）2+．．．．．5分∴当R=时，扇形有最大面积，此时l=30－2R=15，==2．．．．．．．．8分答：当扇形半径为，圆心角为2时，扇形有最大面积．．．．．10分．【考点】1、弧度制下扇形相关公式；2、二次函数求最值．15.若点P(Cos,Sin)在直线y=-2x上，则=( )A．B．C．D．【答案】B【解析】因为点在直线上，所以，则.【考点】任意角的三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系．16.已知是第一象限的角，那么是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第二象限角D．第一或第三象限角【答案】D【解析】∵α的取值范围（k∈Z）∴的取值范围是（k∈Z），分类讨论①当k="2n+1" （其中n∈Z）时的取值范围是即属于第三象限角．②当k=2n（其中n∈Z）时的取值范围是即属于第一象限角．故答案为：D．【考点】象限角、轴线角．17.设，，，则( )A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以＜；因为，所以＞，＜，，所以b＜a＜c．故答案为：D．【考点】三角函数值．18.扇形的半径是,圆心角是60°,则该扇形的面积为 .【答案】π【解析】扇形的面积公式为.【考点】扇形的弧度制面积公式.19.的值（）A．小于B．大于C．等于D．不存在【答案】A【解析】因为，所以，从而，选A.【考点】任意角的三角函数.20.计算：= ；【答案】1【解析】原式=【考点】三角函数值的计算21.已知扇形的圆心角为2rad，扇形的周长为8cm，则扇形的面积为___________cm2。
2015届高考数学(文)达标小测3-1任意角和弧度制及任意角的三角函数Word版含答案
[A 组 基础演练·能力提升]一、选择题1．点A (sin 2 013°，cos 2 013°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：由2 013°＝360°×5＋(180°＋33°)可知，2 013°角的终边在第三象限，所以sin 2 013°<0，cos 2 013°<0，即点A 位于第三象限．答案：C2．已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18 cm ，则扇形圆心角的弧度数是( ) A.23 B.32 C.23π D.32π 解析：由题意知l ＝|α|r ，∴|α|＝l r ＝1812＝32.答案：B3．已知角2α的顶点在原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，2α∈[0,2π)，则tan α＝( )A ．－ 3 B. 3 C.33D ．±33解析：由角2α的终边在第二象限，知tan α>0，依题设知tan 2α＝－3，所以2α＝120°，得α＝60°，tan α＝ 3.答案：B4．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－2,3]B ．(－2, 3)C ．[－2,3)D ．[－2,3]解析：由cos α≤0，sin α>0可知，角α的终边落在第二象限内或y 轴的正半轴上，所以有⎩⎪⎨⎪⎧3a －9≤0，a ＋2>0，即－2<a ≤3. 答案：A5．在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP →绕点O 按逆时针方向旋转3π4后得向量OQ →，则点Q 的坐标是( )A ．(－72，－2)B ．(－72，2)C ．(－46，－2)D ．(－46，2)解析：设x 轴正方向逆时针到向量OP →的角为α，则从x 轴的正方向逆时针到向量OQ →的夹角为α＋34π，这里cos α＝35，sin α＝45.设Q 坐标为(x ，y )，根据三角函数的定义x ＝10cos⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋34π＝10×⎝ ⎛⎭⎪⎫35＋45×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝－72，y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋34π＝－2，即Q (－72，－2)． 答案：A6．(2014年郑州模拟)若cos θ2＝35，sin θ2＝－45，则角θ的终边所在的直线为( )A ．7x ＋24y ＝0B ．7x －24y ＝0C ．24x ＋7y ＝0D ．24x －7y ＝0解析：依题意得，tan θ2＝－43，则tan θ＝2tan θ21－tan 2 θ2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－431－⎝ ⎛⎭⎪⎫－432＝247，因此角θ的终边所在的直线方程为y ＝247x ，即24x －7y ＝0，选D.答案：D 二、填空题7．若sin α·tan α>0，则α是第________象限角．解析：因为sin α·tan α>0，所以当sin α>0，tan α>0时，α是第一象限角；当sin α<0，tan α<0时，α是第四象限角，所以α是第一或第四象限角．答案：一或四8．已知α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α等于________．解析：由条件可求得r ＝5m ，所以sin α＝35，cos α＝－45，所以2sin α＋cos α＝25.答案：259．(2014年南昌模拟)已知点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3的值为________．解析：依题意，tan θ＝cos3π4sin3π4＝－1，tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝－1＋31－－3＝2－ 3.答案：2－ 3 三、解答题10．一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB . 解析：设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ， 则⎩⎪⎨⎪⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1，故AH ＝1·sin 1＝sin 1(cm)，故AB ＝2sin 1(cm)．11．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a >0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·ta n β的值．解析：由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )， 点Q 的坐标为(2a ，a )． 所以，sin α＝－2aa 2＋－2a 2＝－25， cos α＝aa 2＋－2a 2＝15，tan α＝－2aa＝－2， sin β＝a a 2＋a 2＝15，cos β＝2aa2＋a2＝25，tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝－25×15＋15×25＋(－2)×12＝－1.12．(能力提升)(2014年厦门质检)如图，角θ的始边OA 落在Ox 轴上，其始边、终边分别与单位圆交于点A 、C ，θ∈(0，π2)，△AOB 为正三角形．(1)若点C 的坐标为(35，45)，求cos ∠BOC ；(2)记f (θ)＝|BC |2，求函数f (θ)的解析式和值域．解析：(1)∵点C 的坐标为(35，45)，根据三角函数定义知sin ∠COA ＝45，cos ∠COA ＝35.又△AOB 为正三角形，∴∠AOB ＝60°，∴cos ∠BOC ＝cos(∠COA ＋60°)＝cos ∠COA cos 60°－sin ∠COA sin 60°＝35·12－45·32＝3－4310. (2)∵∠AOC ＝θ(0<θ<π2)，∴∠BOC ＝π3＋θ，在△BOC 中，|OB |＝|OC |＝1，由余弦定理可得f (θ)＝|BC |2＝|OC |2＋|OB |2－2|OC |·|OB |·cos∠COB ＝12＋12－2×1×1×cos(θ＋π3)＝2－2cos(θ＋π3)．∵0<θ<π2，∴π3<θ＋π3<5π6，∴－32<cos(θ＋π3)<12，∴1<2－2cos(θ＋π3)<2＋3，∴函数f (θ)的值域为(1,2＋3)．。
高三一轮复习 三角函数全章 练习(7套)+易错题+答案
第五章三角函数第1节任意角、弧度制、任意角的三角函数一、选择题1.给出下列四个命题:①-是第二象限角;②是第三象限角;③-400°是第四象限角;④-315°是第一象限角.其中正确的命题有( C )(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个解析:-是第三象限角,故①错误.=π+,从而是第三象限角,②正确.-400°=-360°-40°,从而③正确.-315°=-360°+45°,从而④正确.选C.2.已知点P(tan α,cos α)在第三象限,则角α的终边所在象限是( B )(A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限解析:由题意知tan α<0,cos α<0,所以α是第二象限角.选B.3.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α∈(0,π)的弧度数为( C )(A)(B)(C) (D)2解析:设圆半径为r,则其内接正三角形的边长为r,所以α==,选C.4.设集合M={x|x=²180°+45°,k∈Z},N={x|x=²180°+45°,k∈Z},那么( B )(A)M=N (B)M⊆N(C)N⊆M (D)M∩N=∅解析:由于M={x|x=²180°+45°,k∈Z}={…,-45°,45°,135°, 225°,…},N={x|x=²180°+45°,k∈Z}={…,-45°,0°,45°,90°,135°, 180°,225°,…},显然有M⊆N,故选B.5.给出下列命题:①第二象限角大于第一象限角;②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形半径的大小无关;④若sin α=sin β,则α与β的终边相同;⑤若cos θ<0,则θ是第二或第三象限的角.其中正确命题的个数是( A )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:举反例:第一象限角370°不小于第二象限角100°,故①错;当三角形的内角为90°时,既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由于sin =sin ,但与的终边不相同,故④错;当θ=π,cos θ=-1时既不是第二象限角,也不是第三象限角,故⑤错.综上可知只有③正确.选A.6.设θ是第三象限角,且|cos |=-cos ,则是( B )(A)第一象限角(B)第二象限角(C)第三象限角(D)第四象限角解析:由θ是第三象限角,知为第二或第四象限角,因为|cos |=-cos ,所以cos ≤0,综上知为第二象限角.选B.二、填空题7.已知扇形的面积为2,扇形圆心角的弧度数是4,则扇形的周长为.解析:设扇形的半径为R,则αR2=2,所以R2=1,所以R=1,所以扇形的周长为2R+α²R=2+4=6.答案:68.若α角与角终边相同,则在[0,2π]内终边与角终边相同的角是.解析:由题意,得α=+2kπ(k∈Z),=+(k∈Z).又∈[0,2π],所以k=0,1,2,3,=,,,.答案:,,,9.已知集合E={θ|cos θ<sin θ,0≤θ≤2π},F={θ|tan θ<sin θ},那么E∩F= .解析:由单位圆的正、余弦线,容易得E={θ|<θ<π},又由F可知θ应在第二、四象限,所以E∩F={θ|<θ<π}.答案:{θ|<θ<π}10.已知角α=2kπ-(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=++的值为.解析:由已知,角α的终边在第四象限,又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角,所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.所以y=-1+1-1=-1.答案:-111.满足cos α≤-的角α的集合为.解析:作直线x=-交单位圆于C,D两点,连接OC,OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围,故满足条件的角α的集合为{α|2kπ+π≤α≤2kπ+π,k∈Z}.答案:{α|2kπ+π≤α≤2kπ+π,k∈Z}三、解答题12.已知角α的终边经过点P(-,y),且sin α=y(y≠0),判断角α所在的象限,并求cos α,tan α的值.解:因为r=|OP|==,所以sin α==y.因为y≠0,所以9+3y2=16,解得y=±,所以角α在第二或第三象限.当角α在第二象限时,y=,cos α==-,tan α=-;当角α在第三象限时,y=-,cos α=-,tan α=.13.一个扇形OAB的面积是1 cm2,它的周长是4 cm,求圆心角的弧度数和弦长AB.解:设扇形的半径为r cm,弧长为l cm,则解得所以圆心角α==2(rad).如图,过O作OH⊥弦AB于H,则∠AOH=1 rad.所以AH=1²sin 1=sin 1(cm),所以AB=2sin 1(cm).所以圆心角的弧度数为2 rad,弦长AB为2sin 1 cm.14.求函数y=lg(2sin x-1)+的定义域.解:要使原函数有意义,必须有即如图,在单位圆中作出相应的三角函数线,由图可知,原函数的定义域为[2kπ+,2kπ+)(k∈Z).第2节同角三角函数的基本关系及诱导公式一、选择题1.已知A=+(k∈Z),则A的值构成的集合是( C )(A){1,-1,2,-2} (B){-1,1}(C){2,-2} (D){1,-1,0,2,-2}解析:当k为偶数时,A=+=2;k为奇数时,A=-=-2.故选C.2.已知sin α=,则sin4α-cos4α的值为( B )(A)- (B)- (C)(D)解析:sin4α-cos4α=sin2α-cos2α=2sin2α-1=-.3.等于( A )(A)sin 2-cos 2(B)sin 2+cos 2(C)±(sin 2-cos 2)(D)cos 2-sin 2解析:===|sin 2-cos2|=sin 2-cos 2.4.若函数f(x)=则f(-)的值为( A )(A)(B)- (C)(D)-解析:由已知得f(-)=f(-)+1=f()+2=-cos +2=.5.已知=1,则sin2θ+3sin θcos θ+2cos2θ的值是( C )(A)1 (B)2 (C)3 (D)6解析:由已知得=1,即tan θ=1,于是sin2θ+3sin θcos θ+2cos2θ===3.6.若sin θ,cos θ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则m的值为( B )(A)1+ (B)1-(C)1± (D)-1-解析:由题意知sin θ+cos θ=-,sin θ²cos θ=.又(sin θ+cos θ)2=1+2sin θcos θ,所以=1+,解得m=1±.又Δ=4m2-16m≥0,所以m≤0或m≥4,所以m=1-.二、填空题7.若=2,则sin(θ-5π)sin(-θ)= .解析:由=2,得sin θ+cos θ=2(sin θ-cos θ),两边平方得1+2sin θcos θ=4(1-2sin θcos θ),故sin θcos θ=, 所以sin(θ-5π)sin(-θ)=sin θcos θ=.答案:8.已知cos(-α)=,则sin(α-)= .解析:sin(α-)=-sin[+(-α)]=-cos(-α)=-.答案:-9.已知cos 31°=a,则sin 239°²tan 149°= .解析:sin 239°²tan149°=sin(180°+59°)²tan(180°-31°)=-sin 59°²(-tan 31°)=cos 31°²=sin 31°==.答案:10.若x∈(0,),则2tan x+tan(-x)的最小值为 .解析:因为x∈(0,),所以tan x>0.所以2tan x+tan(-x)=2tan x+≥2,所以2tan x+tan(-x)的最小值为2.答案:211.已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ-)= .解析:由题意,得cos(θ+)=,所以tan(θ+)=.所以tan(θ-)=tan(θ+-)=-=-.答案:-12.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(4)=3,则 f (2 017)的值为.解析:因为f(4)=asin(4π+α)+bcos(4π+β)=asin α+bcos β=3,所以f(2 017)=asin(2 017π+α)+bcos(2 017π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asin α-bcos β=-3.答案:-3三、解答题13.已知sin(3π+θ)=,求+的值.解:因为sin(3π+θ)=-sin θ=,所以sin θ=-.所以原式=+=+=+====18.14.已知0<α<,若cos α-sin α=-,试求的值. 解:因为cos α-sin α=-,所以1-2sin α²cos α=.所以2sin α²cos α=,所以(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+=.因为0<α<,所以sin α+cos α=.由cos α-sin α=-,sin α+cos α=得sin α=,cos α=,所以tan α=2,所以==-.15.是否存在α∈(-,),β∈(0,π),使等式sin(3π-α)=cos(-β),cos(-α)=-cos(π+β)同时成立?若存在,求出α,β的值;若不存在,请说明理由.解:假设存在α,β使得等式成立,即有由诱导公式可得③2+④2得sin2α+3cos2α=2,所以cos2α=.又因为α∈(-,),所以α=或α=-.将α=代入④得cos β=.又β∈(0,π),所以β=,代入③可知符合.将α=-代入④得cos β=.又β∈(0,π),所以β=,代入③可知不符合.综上可知,存在α=,β=满足条件.第3节两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、选择题1.化简的结果是( C )(A)tan (B)tan 2x (C)-tan x (D)解析:原式===-tan x,故选C.2.在△ABC中,2cos Bsin A=sin C,则△ABC的形状一定是( D )(A)锐角三角形(B)直角三角形(C)钝角三角形(D)等腰三角形解析:由条件得2cos Bsin A=sin(A+B),即2cos Bsin A=sin Acos B+cos Asin B,得sin Acos B-cos Asin B=0,即sin(A-B)=0.因为角A,B是三角形的内角,所以A-B=0,△ABC是等腰三角形,故选D.3.函数f(x)=sin x-cos(x+)的值域为( B )(A)[-2,2] (B)[-,](C)[-1,1] (D)[-,]解析:因为f(x)=sin x-cos(x+)=sin x-(cos xcos -sin xsin)=sin x-cos x=sin(x-),所以值域为[-,],故选B.4.已知tan α,tan β是方程x2+3x+4=0的两根,若α,β∈(-,),则α+β等于( D )(A) (B)或-(C)-或 (D)-解析:由韦达定理得tan α+tan β=-3<0,tan α²tan β=4>0,故tan α<0,tan β<0,所以α,β∈(-,0),故α+β∈(-π,0).又tan(α+β)==,所以α+β=-.故选D.5.已知sin(α+)+cos α=-,则cos(-α)等于( C )(A)-(B)(C)- (D)解析:由sin(α+)+cos α=-,展开化简可得sin(α+)=-,所以cos(-α)=cos[-(+α)]=sin(+α)=-.6.在三角函数中,如果角α与角β可能相等,我们称这两个角是“亲情角”.已知tan(β-)=2,下列选项中,哪个角α与已知的角β互为亲情角( C )(A)tan α=3 (B)tan α=(C)tan2(α+)=(D)cos α=解析:由条件得=2,解得tan β=-3,由于A,B,D三个选项的tan α≠-3,所以均不符合.对于选项C,由tan2(α+)=()2=,解得tan α=-3或tan α=-,故选C.二、填空题7.计算cos(α-35°)cos(25°+α)+sin(α-35°)sin(25°+α) = .解析:原式=cos [(α-35°)-(25°+α)]=cos 60°=.答案:8.已知tan(+θ)=3,则sin 2θ-2cos2θ= .解析:由tan(+θ)=3,求得tan θ=,而sin 2θ-2cos2θ===-.答案:-9.已知sin(x+)=,则sin(x-)+sin2(-x)的值是.解析:因为sin(x-)=-sin(x+)=-,sin2(-x)=cos2(+x)=1-sin2(+x)=,所以原式=-+=.答案:10.在△ABC中,若cos A=,sin B=,则cos C= .解析:因为cos A=,则sin A=,且45°<A<60°.又因为sin B=,sin B<,则0°<B<30°或150°<B<180°(舍去),所以cos B=,从而有cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=-.答案:-11.已知cos(α-β)=,则(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2的值为.解析:(sin α+sin β)2+(cos α+cos β)2=2+2(cos αcos β+sin αsin β)=2+2cos(α-β)=.答案:12.设a,b,∈R,c∈[0,2π),若对任意实数x都有2sin(3x-)=asin(bx+c),则满足条件的有序实数组(a,b,c)的组数为.解析:因为2sin(3x-)=asin(bx+c),所以a=±2,b=±3.当a,b确定时,c唯一.若a=2,b=3,则c=;若a=2,b=-3,则c=;若a=-2,b=-3,则c=;若a=-2,b=3,则c=,故共有四组.答案:4三、解答题13.已知cos(α-β)=-,cos β=,α∈(,π),β∈(0,),求cos(α-2β)的值.解:由条件得α-β∈(0,π),sin(α-β)=,sin β=,所以cos(α-2β)=cos [(α-β)-β]=.14.设函数f(x)=sin(ωx-)+sin(ωx-),其中0<ω<3,已知f()=0,(1)求ω的值;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移个单位,得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在[-,]上的最小值.解:(1)因为f(x)=sin(ωx-)+sin(ωx-)=sin ωxcos -cos ωxsin -cos ωx=sin ωx-cos ωx=sin(ωx-),由题设f()=0,得-=kπ,k∈Z,故ω=6k+2,考虑到0<ω<3,故有ω=2.(2)由上可知f(x)=sin(2x-),所以g(x)=sin(x+-)=sin(x-).因为x∈[-,],所以x-∈[-,],当x-=-,即x=-时,g(x)取最小值是-.15.已知函数f(x)=2sin(x-).(1)求f(x)的单调区间;(2)设α,β∈[0,],f((3α-)=-,f(3β+π)=,求cos(α+β)的值.解:(1)由-+2kπ≤x-≤+2kπ,k∈Z,解得-+6kπ≤x≤+6kπ,k∈Z,即得单调递增区间是[-+6kπ,+6kπ],k∈Z.同理可求单调递减区间是[+6kπ,+6kπ],k∈Z.(2)因为得即因为α,β∈[0,],解得从而有cos(α+β)=-.第4节二倍角公式一、选择题1.化简²的结果为( B )(A)tan α (B)tan 2α(C)1 (D)解析:原式=²==tan 2α,故选B.2.若设a=cos 6°-sin 6°,b=,c=,则有( C )(A)c<b<a (B)a<b<c(C)a<c<b (D)b<c<a解析:经计算得a=sin 24°,b=tan 26°,c=sin 25°,所以a<c<b,故选C.3.已知sin α+cos α=,则sin2(-α)等于( B )(A) (B) (C)(D)解析:由sin α+cos α=,两边平方得1+sin 2α=,解得sin 2α=-,所以sin2(-α)===,故选B.4.函数f(x)=cos 2x+6cos(-x)的最大值为( B )(A)4 (B)5 (C)6 (D)7解析:因为f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2(sin x-)2+,当sin x=1时,f(x)取最大值为5,故选B.5.设α为锐角,且cos(α+)=,则sin(2α+)的值为( A )(A)(B)(C)(D)解析:因为α为锐角,且cos(α+)=,得sin(α+)=,所以sin[2(α+)]=,cos[2(α+)]=,从而有sin(2α+)=sin [2(α+)-]=³-³=,故选A.6.已知不等式f(x)=3sin cos +cos2-+m≤0对于任意的-≤x≤恒成立,则实数m的取值范围是( C )(A)[,+∞) (B)(-∞,)(C)(-∞,-] (D)[-,]解析:因为f(x)=sin +cos +m=(sin +cos )+m=sin(+)+m.因为-≤x≤,则-≤+≤,所以-≤sin(+)≤,即f(x)的最大值是²+m=+m≤0,解得m≤-,故选C.二、填空题7.已知角α终边过点P(3,4),则cos 2α= .解析:因为角α终边过点P(3,4),所以cos α=,sin α=,cos 2α=-.答案:-8.某会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的,弦图是四个全等的直角三角形与一个小正方形(如图).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么cos 2θ的值等于.解析:设直角三角形的两直角边长分别为a,b,则4³(ab)+1=25,得ab=12.又因为a2+b2=25,联立方程组可解得或所以cos θ=,从而有cos 2θ=2cos2θ-1=.答案:9.若=2 018,则+tan 2α= .解析:+tan 2α=+=+====2 018.答案:2 01810.已知4cos Acos B=,4sin Asin B=,则(1-cos 4A)(1-cos 4B) = .解析:由条件得4cos Acos B²4sin Asin B=²,即sin 2Asin 2B=,所以原式=2sin22A²2sin22B=4(sin 2Asin 2B)2=4()2=3.答案:311.设△ABC的三个内角分别为A,B,C,则cos A+2cos 的最大值是.解析:因为cos A+2cos =cos A+2sin=-2sin2+2sin +1=-2+,所以当sin =,即A=时,cos A+2cos 的最大值是.答案:三、解答题12.已知f(x)=sin x+2sin(+)cos(+).(1)若f(α)=,α∈(-,0),求α的值;(2)若sin =,x0∈(,π),求f(x0)的值.解:(1)由条件可得f(x)=sin x+cos x=sin(x+).因为f(α)=,α∈(-,0),所以sin(α+)=.则α+=,解得α=-.(2)因为sin =,x0∈(,π),得sin x0=,cos x0=-,所以f(x0)=.13.已知函数f(x)=2cos x(sin x+cos x)-1.(1)求f()的值;(2)若f(x0)=,x0∈[0,],求sin 2x0的值.解:(1)因为f(x)=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),所以f()=2.(2)由上可知,f(x0)=2sin(2x0+)=,所以sin(2x0+)=.由x0∈[0,],得2x0+∈[,].由0<sin(2x0+)=<,知2x0+∈(,π),从而有cos(2x0+)=-, 所以sin 2x0=sin[(2x0+)-]=²-(-)²=.14.已知函数f(x)=sin 2xsin ϕ+cos2xcos ϕ-sin(+ϕ)(0<ϕ<π),其图象过点(,).(1)求ϕ的值;(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.解:(1)由条件得f(x)=sin 2xsin ϕ+cos ϕ-cos ϕ=sin 2xsin ϕ+cos 2xcos ϕ=cos(2x-ϕ).又函数图象过点(,),得=cos(2²-ϕ),-ϕ=2kπ,ϕ=-2kπ,k∈Z.又因为0<ϕ<π,解得ϕ=.(2)由上可知f(x)=cos(2x-),将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,即g(x)=f(2x)=cos(4x-).因为x∈[0,],所以4x-∈[-,],有cos(4x-)∈[-,1],所以函数g(x)在区间[0,]上的最大值和最小值分别为和-.第5节三角函数的化简与求值一、选择题1.计算等于( D )(A)-(B)- (C) (D)解析:原式====,故选D.2.式子tan 11°+tan 19°+tan 11°tan 19°的值是( D )(A) (B) (C)0 (D)1解析:因为tan(11°+19°)==,所以tan 11°+tan 19°=(1-tan 11°tan 19°),即tan 11°+tan 19°=1-tan 11°tan 19°,从而有tan 11°+tan 19°+tan 11°tan 19°=1,故选D.3.若sin(-α)=,则cos(+2α)等于( A )(A)- (B)- (C)(D)解析:观察发现+2α=2(+α),而(+α)+(-α)=,则有cos(+α)=sin(-α)=,所以cos(+2α)=2cos2(+α)-1=2³-1=-,故选A.4.设M=sin 100°-cos 100°,N=(cos 46°cos 78°+cos 44°²cos 12°),P=,Q=,则M,N,P,Q的大小关系是( C )(A)M>N>P>Q (B)P>M>N>Q(C)N>M>Q>P (D)Q>P>M>N解析:因为M=sin(100°-45°)=sin 55°,N=(cos 46°sin 12°+sin 46°cos 12°)=sin 58°,P==tan(45°-10°)=tan 35°,Q==tan 45°=1,所以N=sin 58°>sin 55°=M>sin 45°=1=Q.=tan 45°>tan 35°=P,即有N>M>Q>P,故选C.5.设△ABC的三内角为A,B,C,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B, cos A),若m²n=1+cos(A+B),则角C等于( C )(A) (B) (C) (D)解析:因为m²n=1+cos(A+B),所以sin Acos B+cos Asin B=1+cos(A+B),即sin(A+B)=1+cos(A+B).又因为A+B+C=π,得sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C,因此有sin C=1-cos C,即sin C+cos C=1,从而有sin(C+)=.考虑到0<C<π,得C+=,所以C=,故选C.6.若0≤A,B≤,且A+B=,则cos2A+cos2B的最小值和最大值分别为( C )(A), (B),(C), (D),解析:因为A+B=,所以cos2A+cos2B=+=1+(cos 2A+cos 2B)=1+[cos 2A+cos(-2A)]=1+(cos 2A+coscos 2A+sin sin 2A)=1+(cos 2A-sin 2A)=1+cos(2A+).又因为0≤A,B≤,且A+B=,得≤A≤,≤2A+≤,则-1≤cos(2A+)≤-,从而有≤cos2A+cos2B≤,故有最大值为,最小值为,故选C.二、填空题7.定义运算a⊕b=ab2+a2b,则sin 15°⊕cos 15°= .解析:依题意得sin 15°⊕cos 15°=sin15°cos215°+sin215°²cos 15°=sin 15°cos 15°(sin 15°+cos 15°)=sin30°²sin(15°+45°)=.答案:8.已知<β<α<,cos(α-β)=,sin(α+β)=-,则sin 2α的值是.解析:由已知<β<α<,可知π<α+β<,0<α-β<.又因为cos(α-β)=,sin(α+β)=-,得sin(α-β)=,cos(α+β)=-,所以sin 2α=sin [(α+β)+(α-β)]=sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=-³+(-)³=-.答案:-9.已知sin(x+20°)=cos(x+10°)+cos(x-10°),则tan x的值是.解析:由条件可化为sin xcos 20°+cos xsin 20°=2cos xcos 10°,两边同除以cos x,得tan x=====.答案:10.已知α=,则+++的值是.解析:法一因为===tan 4α-tan 3α,同理可得=tan 3α-tan 2α,=tan 2α-tan α,所以原式=tan 4α=tan =.法二原式=sin α²+sinα²=+=sin 2α²=sin 2α²=tan 4α=tan =.答案:11.如果cos5θ-sin5θ<7(sin3θ-cos3θ),θ∈[0,2π),那么θ的取值范围是.解析:原不等式等价于sin3θ+sin5θ>cos3θ+cos5θ.又因为f(x)=x3+x5是(-∞,+∞)上的增函数,所以sin θ>cos θ.又因为θ∈[0,2π),所以θ的取值范围是(,).答案:(,)12.函数f(x)=4cos2cos(-x)-2sin x-|ln(x+1)|的零点个数为.解析:因为f(x)=2(1+cos x)sin x-2sin x-|ln(x+1)|=sin2x-|ln(x+1)|,所以函数f(x)的零点个数转化为函数y=sin 2x与y=|ln(x+1)|图象的交点的个数.由图象可得交点有2个,故f(x)的零点也有2个.答案:2三、解答题13.已知函数f(x)=sin xsin(x+).(1)求f(x)的最小正周期;(2)当x∈[0,]时,求f(x)的取值范围.解:(1)由题意得f(x)=sin2x+sin xcos x=²+sin 2x=sin 2x-cos 2x+=sin(2x-)+,所以最小正周期为T=π.(2)由0≤x≤,得-≤sin(2x-)≤1,所以f(x)的取值范围是[0,].14.已知tan(π+α)=-,tan(α+β)=.(1)求tan(α+β)的值;(2)求tan β的值.解:(1)因为tan(π+α)=-,所以tan α=-,从而有tan(α+β)====.(2)tan β=tan [(α+β)-α]===.15.如图,A,B,C,D为平面四边形ABCD的四个内角.(1)证明:tan =;(2)若A+C=180°,AB=6,BC=3,CD=4,AD=5,求tan +tan +tan +tan的值.(1)证明:tan ===.(2)解:由A+C=180°,得C=180°-A,D=180°-B.由(1),有tan +tan +tan +tan=+++=+.连接BD(图略),在△ABD中,有BD2=AB2+AD2-2AB²ADcos A,在△BCD中,有BD2=BC2+CD2-2BC²CDcos C,所以AB2+AD2-2AB²ADcos A=BC2+CD2+2BC²CDcos A. 则cos A===.于是sin A===.连接AC,同理可得cos B===,于是sin B===.所以tan +tan +tan +tan=+=+=.第6节三角函数的图象与性质一、选择题1.函数y=tan(-x)的定义域为( A )(A){x|x≠kπ-,k∈Z} (B){x|x≠2kπ-,k∈Z}(C){x|x≠kπ+,k∈Z} (D){x|x≠2kπ+,k∈Z}解析:令-x≠kπ+,k∈Z,所以x≠--kπ,即x≠kπ-,k∈Z.2.(2016²山东卷)函数f(x)=(sin x+cos x)(cos x-sin x)的最小正周期是( B )(A)(B)π (C) (D)2π解析:f(x)=3sin xcos x-sin2x+cos2x-sin xcos x=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+).最小正周期T==π,故选B.3.(2017²全国Ⅲ卷)设函数f(x)=cos(x+),则下列结论错误的是( D )(A)f(x)的一个周期为-2π(B)y=f(x)的图象关于直线x=对称(C)f(x+π)的一个零点为x=(D)f(x)在(,π)单调递减解析:f(x)=cos(x+)中,x∈(,π),x+∈(,),则f(x)=cos(x+)不是单调函数.故选D.4.如果函数y=3cos(2x+ϕ)的图象关于点(,0)对称,那么|ϕ|的最小值为( A )(A) (B) (C) (D)解析:由题意得3cos(2³+ϕ)=3cos(+ϕ+2π)=3cos(+ϕ)=0,所以+ϕ=kπ+,k∈Z,所以ϕ=kπ-,k∈Z,取k=0,得|ϕ|的最小值为.5.(2016²浙江卷)设函数f(x)=sin 2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期( B )(A)与b有关,且与c有关(B)与b有关,但与c无关(C)与b无关,且与c无关(D)与b无关,但与c有关解析:f(x)=sin2x+bsin x+c=+bsin x+c=-+bsin x+c+,其中当b=0时,f(x)=-+c+,此时周期是π;当b≠0时,周期为2π,而c不影响周期.故选B.6.(2016²全国Ⅰ卷)若函数f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)单调递增,则a的取值范围是( C )(A)[-1,1] (B)[-1,](C)[-,] (D)[-1,-]解析:f′(x)=1-cos 2x+acos x=1-²(2cos2x-1)+acos x=-cos2x+acos x+,f(x)在R上单调递增,则f′(x)≥0在R上恒成立.令cos x=t,t∈[-1,1],则-t2+at+≥0在[-1,1]上恒成立,即4t2-3at-5≤0在[-1,1]上恒成立,令g(t)=4t2-3at-5,则解得-≤a≤,故选C.二、填空题7.已知a>0,函数f(x)=-2asin(2x+)+2a+b,当x∈[0,]时,-5≤f(x)≤1,则常数a= ;设g(x)=f(x+),则g(x)的单调增区间为 .解析:因为x∈[0,],所以2x+∈[,],所以sin(2x+)∈[-,1],所以-2asin(2x+)∈[-2a,a].所以f(x)∈[b,3a+b].又因为—5≤f(x)≤1,所以b=-5,3a+b=1,解得a=2,b=-5.所以f(x)=-4sin(2x+)-1,g(x)=f(x+)=-4sin(2x+)-1=4sin(2x+)-1,当-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z时,g(x)单调递增,即-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z.所以g(x)的单调增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z.答案:2 [-+kπ,+kπ](k∈Z)8.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0),x∈R.若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为.解析:f(x)=sin ωx+cos ωx=sin(ωx+),因为f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x=ω对称,所以f(ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω²ω+=2kπ+,k ∈Z,所以ω2=2kπ+,k∈Z.又2[ω-(-ω)]≤,即ω2≤,所以ω2=,所以ω=.答案:9.已知函数f(x)=3sin(ωx-)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+ )+1的图象的对称轴完全相同,若x∈[0,],则f(x)的取值范围是. 解析:因为f(x)与g(x)的图象的对称轴完全相同,所以f(x)与g(x)的最小正周期相等,因为ω>0,所以ω=2,所以f(x)=3sin(2x-),因为0≤x≤,所以-≤2x-≤,所以-≤sin(2x-)≤1,所以-≤3sin(2x-)≤3,即f(x)的取值范围是[-,3].答案:[-,3]10.(2017²嘉兴模拟)已知函数f(x)=3sin(3x+ϕ),x∈[0,π],则y=f(x)的图象与直线y=2的交点个数最多有个.解析:令f(x)=3sin(3x+ϕ)=2,得sin(3x+ϕ)=∈[-1,1],又x∈[0,π],所以3x+ϕ∈[ϕ,3π+ϕ];根据正弦函数的图象与性质,可得该方程在正弦函数一个半周期上最多有4个解,即函数y=f(x)的图象与直线y=2的交点最多有4个.答案:411.下列四个函数:①y=sin |x|,②y=cos |x|,③y=|tan x|,④y=-ln|sin x|,以π为周期,在(0,)上单调递减且为偶函数的是___ .(只填序号)解析:①y=sin |x|在(0,)上单调递增,故①错误;②y=cos |x|=cos x 周期为T=2π,故②错误;③y=|tan x|在(0,)上单调递增,故③错误;④ln|sin(x+π)|=ln|sin x|,周期为π,当x∈(0,)时,y=-ln|sin x|=-ln(sin x)在(0,)上单调递减,y=-ln|sin x|为偶函数,故④正确.答案:④12.已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是.解析:T=≥2(π-)=π,所以0<ω≤2,由<x<π得ω+<ωx+<πω+,由题意知(ω+,πω+)⊆[+2kπ,+2kπ],k∈Z,所以即所以≤ω≤.答案:[,]三、解答题13.(2017²北京卷)已知函数f(x)=cos(2x-)-2sin xcos x.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求证:当x∈[-,]时,f(x)≥-.(1)解:f(x)=cos 2x+sin 2x-sin 2x=sin 2x+cos 2x=sin(2x+),所以f(x)的最小正周期T==π.(2)证明:因为-≤x≤,所以-≤2x+≤,所以sin(2x+)≥sin(-)=-,所以当x∈[-,]时,f(x)≥-.14.求函数y=cos2x+sin x(|x|≤)的最大值与最小值.解:令t=sin x,因为|x|≤,所以t∈[-,].所以y=-t2+t+1=-(t-)2+,所以当t=时,y max=,当t=-时,y min=.所以函数y=cos2x+sin x(|x|≤)的最大值为,最小值为. 15.(2017²浙江协作体)已知0≤ϕ<π,函数f(x)=cos(2x+ϕ)+sin2x.(1)若ϕ=,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)的最大值是,求ϕ的值.解:(1)由题意f(x)=cos 2x-sin 2x+=cos(2x+)+,由2kπ-π≤2x+≤2kπ,得kπ-≤x≤kπ-.所以f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ-],k∈Z.(2)由题意f(x)=(cos ϕ-)cos 2x-sin ϕsin 2x+,由于函数f(x)的最大值为,即+=1,从而cos ϕ=0,又0≤ϕ<π,故ϕ=.第7节函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象与性质一、选择题1.为了得到函数y=sin(x+1)的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点( A )(A)向左平行移动1个单位长度(B)向右平行移动1个单位长度(C)向左平行移动π个单位长度(D)向右平行移动π个单位长度2.(2016²全国Ⅰ卷)将函数y=2sin(2x+)的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( D )(A)y=2sin(2x+) (B)y=2sin(2x+)(C)y=2sin(2x-) (D)y=2sin(2x-)解析:因为T==π,=,所以y=2sin(2x+)y=2sin[2(x-)+],所以y=2sin(2x-).故选D.3.函数y=sin 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位,得到的图象恰好关于x=对称,则φ的最小值为( A )(A)π(B)π(C)π(D)以上都不对解析:y=sin 2x的图象向右平移φ个单位得到y=sin 2(x-φ)的图象,又关于x=对称,则2(-φ)=kπ+(k∈Z),2φ=-kπ-(k∈Z),即φ=--,取k=-1,得φ=π.4.设a∈R,b∈[0,2π],若对任意实数x都有sin(3x-)=sin(ax+b),则满足条件的有序实数对(a,b)的对数为( B )(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析:由已知,3x-=ax+b+2kπ或3x-+ax+b=π+2kπ,k∈Z,所以或k∈Z,所以或满足条件的有序实数对(a,b)的对数为2.5.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(0<φ<)个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有=.则φ等于( D )(A) (B)(C)(D)解析:由已知得g(x)=sin(2x-2φ),满足|f(x1)-g(x2)|=2,不妨设此时y=f(x)和y=g(x)分别取得最大值与最小值,又|x1-x2|min=,令2x1=,2x2-2φ=-,此时|x1-x2|=-φ=,又0<φ<,故φ=.故选D.6.已知函数f(x)=Asin(x-),g(x)=k(x-3).已知当A=1时,函数h(x)=f(x)-g(x)所有零点和为9.则当A=2时,函数h(x)=f(x)-g(x)所有零点和为( A )(A)15 (B)12(C)9 (D)与k的取值有关解析:如图,函数y=f(x)与y=g(x)图象均过的点(3,0),且均关于点(3,0)对称.所以h(x)零点关于x=3“对称”,因为当A=1时,h(x)所有零点和为9,所以此时,函数y=f(x)与y=g(x)图象有三个公共点,此时,f(6)<g(6),得k>.当A=2时,f(6)>g(6)且g(9)=6k>2=f max(x),所以h(x)有5个零点x1,x2,x3,x4,x5,且x1+x5=x2+x4=6,x3=3.所以x1+x2+x3+x4+x5=15.故选A.7.(2016²全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤),x=-为f(x)的零点,x=为y=f(x)图象的对称轴,且f(x)在(,)上单调,则ω的最大值为( B )(A)11 (B)9 (C)7 (D)5解析:因为f(x)=sin(ωx+φ)的一个零点为x=-,x=为y=f(x)图象的对称轴,所以²k=(k为奇数).又T=,所以ω=k(k为奇数).又函数f(x)在(,)上单调,所以≤³,即ω≤12.若ω=11,又|φ|≤,则φ=-,此时,f(x)=sin(11-x-),f(x)在(,)上单调递增,在(,)上单调递减,不满足条件.若ω=9,又|φ|≤,则φ=,此时f(x)=sin(9x+),满足f(x)在(,)上单调的条件.故选B.二、填空题8.(2017²温州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,将f(x)的图象向左平移个单位,得到g(x)的图象,则函数g(x)的解析式为 .解析:由题意得=-=,所以T=π,所以ω=2,又因为2³+φ=π,所以φ=,所以f(x)=sin(2x+).因为g(x)的图象是由f(x)的图象向左平移个单位得到,所以g(x)=sin [2(x+)+]=sin(2x+).答案:g(x)=sin(2x+)9.(2016²全国Ⅲ卷)函数y=sin x-cos x的图象可由函数y=sin x+cos x的图象至少向右平移个单位长度得到.解析:y=sin x-cos x=2sin(x-),y=sin x+cos x=2sin(x+),y=2sin(x+)的图象至少向右平移个单位长度得到y=2sin(x+-)=2sin(x-)的图象.答案:10.若将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,则平移后图象的对称轴为.解析:将函数y=2sin 2x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=2sin [2(x+)]=2sin(2x+)的图象.由2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),即平移后图象的对称轴为x=+(k∈Z).答案:x=+(k∈Z)11.(2016²浙江卷)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A= ,b= .解析:2cos2x+sin 2x=sin(2x+)+1,所以A=,b=1.答案: 112.(2016²江苏卷)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin 2x的图象与y=cos x的图象的交点个数是.解析:联立两曲线方程,得两曲线交点个数即为方程组解的个数,也就是方程sin 2x=cos x解的个数.方程可化为2sin xcos x=cos x,即cos x(2sin x-1)=0,所以cos x=0或sin x=.①当cos x=0时,x=kπ+,k∈Z,因为x∈[0,3π],所以x=,π,π,共3个;②当sin x=时,因为x∈[0,3π],所以x=,π,π,π,共4个.综上,方程组在[0,3π]上有7个解,故两曲线在[0,3π]上有7个交点.答案:7三、解答题13.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示,M 为最高点,该图象与y轴交于点F(0,),与x轴交于点B,C,且△MBC 的面积为π.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若f(α-)=,求cos 2α的值.解:(1)因为S△MBC=³2³BC=BC=π,所以周期T=2π=,ω=1,由f(0)=2sin φ=,得sin φ=,因为0<φ<,所以φ=,所以f(x)=2sin(x+).(2)由f(α-)=2sin α=,得sin α=,所以cos 2α=1-2sin2α=.14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)的最小正周期为π,且x=为f(x)图象的一条对称轴.(1)求ω和φ的值;(2)设函数g(x)=f(x)+f(x-),求g(x)的单调递减区间.解:(1)函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤)的最小正周期为π, 所以T==π,ω=2,又x=为f(x)图象的一条对称轴,所以2³+φ=kπ+,k∈Z,解得φ=kπ+,k∈Z,又|φ|≤,所以φ=.(2)由(1)知,f(x)=sin(2x+),所以g(x)=f(x)+f(x-)=sin(2x+)+sin 2x=sin 2x+cos 2x+sin 2x =sin(2x+),令+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以g(x)的单调递减区间是[+kπ,+kπ],k∈Z.15.函数f(x)=cos(πx+φ)(0<φ<)的部分图象如图所示.(1)求φ及图中x0的值;(2)设g(x)=f(x)+f(x+),求函数g(x)在区间[-,]上的最大值和最小值.解:(1)由题图得f(0)=,所以cos φ=,因为0<φ<,故φ=.法一由于f(x)的最小正周期T==2,由题图可知1<x0<2,故<πx0+<,由f(x0)=得cos(πx0+)=,所以πx0+=,x0=.法二求离原点最近的正的最小值点,令πx+=π+2kπ,得x=+2k,k∈Z,令k=0得x=,所以=,x0=.(2)因为f(x+)=cos [π(x+)+]=cos(πx+)=-sin πx,所以g(x)=f(x)+f(x+)=cos(πx+)-sin πx=cos πxcos -sin πxsin -sin πx=cos πx-sin πx=sin(-πx)=-sin(πx-).当x∈[-,]时,πx∈[-,],(πx-)∈[-,], 所以sin(πx-)∈[-1,],-sin (πx-)∈[-,],当πx-=-,即x=-时,g(x)取得最大值;当πx-=,即x=时,g(x)取得最小值-.易错点训练:忽视函数值造成范围扩大一、选择题1.的值是( A )(A)sin 40° (B)cos 40° (C)cos 130°(D)±cos 50°解析:因为==-cos 130°=sin 40°,故选A.2.已知sin α=2sin β,tan α=3tan β,则cos α的值是( D )(A) (B)-(C)± (D)±或±1解析:由条件tan α=3tan β,得=.又因为sin α=2sin β,所以=.当sin β=0时,sin α=0,显然成立,故有cos α=±1;当sin β≠0时,3cos α=2cos β,从而有(sin α)2+(3cos α)2=4,解得cos2α=,所以cos α=±,故选D.3.在△ABC中,若sin A=,cos B=,则cos C的值是( B )(A) (B)(C)或 (D)以上都不对解析:因为cos B=,所以sin B=.又因为sin A=<=sin B,若A 为钝角,则sin(π-A)<sin B,得π-A<B,π<A+B矛盾.因此A肯定是锐角,所以cos A=,从而有cos C=-cos(A+B)=sin Asin B-cos Acos B=,故选B.4.已知3sin2x+2sin2y=2sin x,则sin2x+sin2y的最值情况是( D )(A)最大值为,最小值为-(B)最大值为,最小值为0(C)最大值为,最小值为-(D)最大值为,最小值为0解析:由0≤sin2y=(2sin x-3sin2x)≤1,可解得0≤sin x≤,则sin2x+sin2y=sin2x+(2sin x-3sin2x)=-sin2x+sin x=-(sin x-1)2+,所以sin2x+sin2y的最大值为,最小值为0.5.已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的两根为tan α,tan β,且α,β∈（-,）,则tan 的值是( A )(A)-2 (B)(C)-2或(D)2或-解析:由韦达定理可知tan α,tan β同为负值,可得α,β∈(-,0),所以∈(-,0).又因为所以tan(α+β)===.又因为tan(α+β)==,解得tan =-2或,取tan =-2.二、填空题6.已知sin θ+cos θ=,其中θ∈(0,π),则tan θ的值是.。
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数-高考状元之路
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数复习备考资讯考纲点击（一）基本初等函数Ⅱ（三角函数）1．任意角的概念、弧度制(1)了解任意角的概念和弧制度的概念．(2)能进行弧度与角度的互化．2．三角函数(1)理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．(2)能利用单位圆中的三角函数线推导出απαπ±±,2的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出===y x y x y ,co s ,sin x tan 的图像，了解三角函数的周期性．(3)理解正弦函数、余弦函数在[O ，2羽上的性质（如单调性、最大值和最小值、图像与z 轴交点等），理解正切函数在)2.2(ππ-内的单调性． (4)理解同角三角函数的基本关系式： .tan cos sin ,1cos sin 22x x x x x ==+ (5)了解函数)sin(ϕω+=x A y 的物理意义；能画出函数y )sin(ϕω+=x A 的图像；了解参数ϕω,,A 对函数图像变化的影响．(6)会用三角函数解决一些简单实际问题，了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．（二）三角恒等变换1．和与差的三角函数公式(1)会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．(2)会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．(3)会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．2．简单的三角恒等变换能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆）．（三）解三角形1．正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度盘问题2．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题，◎考情分析………-1．三角函数的定义及应用、运用同角三角函数关系式对三角式进行化简与求值是高考热点，主要以选择题、填空题的形式考查．2．三角函数的值域、最大（小）值、单调性、奇偶性、周期性以及三角函数图像的对称性是高考热点，主要以选择题、填空题的形式考查．3．结合三角恒等变换，考查)4sin(+=x A y ω的性质及简单应用是解答题中三角函数考查的热点．而其图像时平移和伸缩变换常在客观题中考查．4．利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角函数式的化简求值是高考常考的内容．公式逆用、变形用（尤其是余弦二倍角的变形用）是高考热点．在选择题、填空题、解答题中都可以考查．5．利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其面积是高考考查的热点．常与三角恒等变换相结合，综合考查边角互化，三角形形状的判断等．在平面解析几何、立体几何中常作为工具求角和两点间距离．6．应用正弦定理、斜弦定理时解决实际问题的能力及测量问题的考查是高考的热点，在选择、填空、解 答题中即可能考查，属中档题，预习设计 基础备考知识梳理1．角的概念的推广(1)按旋转方向不同分为(2)按终边位置不同分为 和终边落在坐标轴上的角．2．终边相同的角终边与角α相同的角可写成3．弧度制(1)1弧度的角：把长度等于 长的弧所对的圆心角叫做l 弧度的角．(2)规定：正角的弧度数为 ，负角的弧度数为 ，零角的弧度数为 ︱α︱=L 是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为半径．(3)用“弧度”做单位米度量角的制度叫做弧度制，比值rl 与所取的r 的大小 ，仅与 有关．(4)弧度与角度的换算：= 360 弧度；= 180 弧度．(5)弧长公式：=l ，扇形面积公式：=扇形S 4．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x ，y)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是=αsin =αcos . =αtan , 它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．(2)三角函数在各象限内的符号口诀是：“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．5．三角函数线设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直x 轴于点M ．由三角函数的定义知，点P 的坐标为),sin ,(cos αα即,(cos αP ),sin α其中=αcos=αsin , 单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则=αtan 我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的典题热身1．若),(45180z k k ∈+⋅= α则α在 ( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限2．已知角α的终边经过点（3，-1），则角α的最小正值是 ( )32.πA 611.πB 65.πc 43.πD3．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为 ( 12.A 2sin .B 1sin 2.c 1sin 2.D4．若,2tan =α则ααααcos sin cos 3sin +-的值是 （ ） 31.-A 35.-B 31.c 35.D 5．点P 从点(O ，1)沿单位圆122=+y x 顺时针第一次运动到点)22,22(-时，转过的角是 弧度．课堂设计 方法备考题型一 象限角、终边相同角的表示【例1】(1)已知角α是第一象限角，确定2,2αa 的终边所在的位置．(2)写出终边在直线x y 3=上的角的集合题型二 弧长与扇形面积【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ．(1)若,10,60cm R o ==α求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c(c>0)，当a 为多少弧度时，该扇形有最大面积，题型三 三角函数的定义【例3】已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α，COS α，tan α的值．题型四 三角函数线及其应用【例4】在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合，;23sin )1(≥α ⋅-≤21cos )2(α技法巧点………．1．常见的终边相同的角的表示2．三角函数定义的拓展已知角α终边上一点P(x ，y)，求α的三角函数值时，可先求出该点到原点的距离r ，再利用下式求解：==ααcos ,sin r y ,n ta ,xy r x =α 这也是可看作三角函数的定义 失误防范 1．注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于900的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用rad π=180进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．注意熟记00～3600间特殊角的弧度表示．随堂反馈1．已知α为第三象限的角，则2α所在的象限是 ( ) A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限2．(2011．泰安模拟)已知扇形的半径为12 cm ，弧长为18cm ，则扇形圆心角的弧度数是 ( )3．（2011．山东实验中学诊断）已知点P( tana ，COSa)在第三象限，则角α的终边在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限32.A 23.B π32.c π23.D4．(2011．淄博模拟)与6100角终边相同的角可表示为( )z k k A ∈+⋅,230360. z k k B ∈+⋅,250360.z k k C ∈+⋅,70360. z k k D o ∈+⋅,270360.5．满足23sin 21<≤-θ的θ的取值范围是 高效作业 技能备考知识方法加技能·高考路上任我行 对应学生书P64一、选择题1．若点P 在角π32的终边上，且,2||=OP 则点P 的坐标为（ ） )3,1.(A )1,3.(-B )3,1.(--c )3,1.(-D2．若角α的终边与角β的终边关于原点对称，则 ( )βα=.A βα+= 180.B z k k a C ∈+⋅=⋅,360β z k k D ∈++⋅=,180360.βα3．(2011．秦皇岛模拟)已知α为第一象限角，则2α所在的象限是 ( ) A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限4．若α为第三象限角，则2cos |2cos |2sin |2sin|ααα+=a y 的值为( ) 0.A 2.B 2.-c 2.D 或2-5．(2011．大连模拟)点P 从(1，O)出发，沿单位圆122=+y x 顺时针方向运动32π弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( ) )23,21.(-A )21,23.(--B )23,21.(--C )21,23(.-⋅D6．(2011．海口模拟)已知点)tan ,(sin αααs p ∞-在第一象限，则在[O ，2兀]内α的取值范围是( ))2,4(ππ⋅A )45,(ππ⋅B )45,43(ππ⋅c )45,()2,4(ππππ ⋅D二、填空题7．（2011．南昌模拟）已知点P( tan α，COS α)在第三象限，则角α的终边在第 象限．8．（2011．江西高考）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若P(4，y)是角θ终边上一点，且,552sin -=θ则=y9．若角α的终边落在直线x y -=上，则+-ααsin 1sin ααcos cos 1-的值等于三、解答题10．设α为第四象限角，其终边上的一个点是)5,(-x P 且,42cos x =α求αsin 和.tan α11．已知扇形OAB 的圆心角α为,120 半径长为6， (1)求B A 的弧长；(2)求弓形OAB 的面积．12.已知A 、B 是单位圆O 的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记⋅=∠αAOC(1)若A 点的坐标为),54,53(求αααα2cos cos 2sin sin 22++的值； (2)求2||BC 的取值范围．。
届高考数学一轮总复习3.1任意角和弧度制及任意角的三角函数练习【含答案】
第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数时间：45分钟 分值：100分基 础 必 做一、选择题1．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )A .π3B .π6C ．－π3D ．－π6解析 将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确，又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的16.即为－16×2π＝－π3.答案 C2．已知角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，且β＝－π3，则sin α＝( )A ．－32B .32C ．－12D .12解析 因为角α和角β的终边关于直线y ＝x 对称，所以α＋β＝2k π＋π2(k ∈Z )，又β＝－π3，所以α＝2k π＋5π6(k ∈Z )，即得sin α＝12.答案 D3．(2015·浙江温州测试)已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( ) A ．－43B ．－45C ．－35D ．－34解析 根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34.答案 D4．已知角α的终边上有一点P (t ，t 2＋1)(t >0)，则tan α的最小值为( ) A ．1B ．2C.12D. 2解析 根据已知条件得tan α＝t 2＋1t ＝t ＋1t≥2，当且仅当t ＝1时，tan α取得最小值2.答案 B5．(2014·新课标全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( ) A ．sin α>0 B ．cos α>0 C ．sin2α>0D ．cos2α>0解析 由tan α>0知角α是第一或第三象限角，当α是第一象限角时，sin2α＝2sin αcos α>0；当α是第三象限角时，sin α<0，cos α<0，仍有sin2α＝2sin αcos α>0，故选C.答案 C6．给出下列各函数值：①sin(－1 000°)；②cos(－2 200°)；③tan(－10)；④sin 7π10cos πtan17π9.其中符号为负的是( ) A ．① B ．② C ．③D ．④解析 sin(－1 000°)＝sin80°>0；cos(－2 200°)＝cos(－40°)＝c os40°>0；tan(－10)＝tan(3π－10)<0；sin 7π10cos πtan 17π9＝－sin7π10tan17π9，sin 7π10>0，tan 17π9<0，∴原式>0.答案 C 二、填空题7．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．解析 根据题意得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3，sin π3，即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，328．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．解析 由题意知，tan α＜0，cos α＜0，所以α是第二象限角． 答案 二9．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3,4)，则cos2α＝________.解析 根据三角函数的定义知：sin α＝yr＝432＋42＝45，所以cos2α＝1－2sin 2α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝1－3225＝－725.答案 －725三、解答题10．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝36x ，求sin α、tan α的值．解 ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴P 到原点的距离r ＝x 2＋2. 又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝36x ， ∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3. 当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数定义，有sin α＝－66，tan α＝－55； 当x ＝－10时，P 点坐标为(－10，－2)， ∴sin α＝－66，tan α＝55. 11．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6， (1)求AB ︵的弧长； (2)求弓形OAB 的面积．解 (1)∵α＝120°＝2π3，r ＝6，∴AB ︵的弧长为l ＝2π3×6＝4π.(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，S △ABO ＝12r 2·sin2π3＝12×62×32＝93， ∴S 弓形OAB ＝S 扇形OAB －S △ABO ＝12π－9 3.培 优 演 练1．已知角α的终边上一点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( )A.5π6 B.2π3 C.5π3D.11π6解析 由题意知点P 在第四象限，根据三角函数的定义得 cos α＝sin 2π3＝32，故α＝2k π－π6(k ∈Z )，所以α的最小正值为11π6.答案 D2．如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向转一周，点P 所旋转过的弧AP ︵的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致为( )解析 如图取AP 的中点为D ，连接OD . 设∠DOA ＝θ，则d ＝2sin θ，l ＝2θ， 故d ＝2sin l2.答案 C3．函数y ＝sin x ＋12－cos x 的定义域是________． 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，12－cos x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，cos x ≤12.∴x 的取值范围为π3＋2k π≤x ≤π＋2k π，k ∈Z .答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋2k π，π＋2k π(k ∈Z )4．(1)确定－cos8·tan5的符号；(2)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝m (0<m <1)，试判断式子sin α－cos α的符号． 解 (1)∵－3,5,8分别是第三、第四、第二象限角，∴tan(－3)>0，tan5<0，cos8<0.(2)若0<α<π2，则如图所示，在单位圆中，OM ＝cos α，MP ＝sin α，∴sin α＋cos α＝MP ＋OM >OP ＝1. 若α＝π2，则sin α＋cos α＝1.由已知0<m <1，故α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 于是有sin α－cos α>0.。
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数(经典练习及答案详解)
第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数知识梳理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. (2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. (2)公式3.任意角的三角函数 (1)定义(2)定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝yr；cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0).1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.3.象限角4.轴线角诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角.2.已知角θ的终边过点P (－12，m )，cos θ＝－1213，则m 的值为( ) A.－5 B.5C.±5D.±8答案 C解析 由三角函数的定义可知cos θ＝－12（－12）2＋m2＝－1213，解得m ＝±5. 3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________. 答案 {－675°，－315°}解析 所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z ). 解得k ＝－2或k ＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.4.(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则( ) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0D.sin 2α<0答案 D解析 ∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝2sin αcos α<0，故选D. 5.(多选题)(2021·武汉调研)下列说法正确的是( ) A.时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B.钝角大于锐角C.三角形的内角必是第一或第二象限角D.若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角 答案 BD解析 对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误； 对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90°，则是终边在y 轴正半轴上的角，故错误； 对于D ，∵角α的终边在第二象限， ∴2k π＋π2＜α＜2k π＋π，k ∈Z ， ∴k π＋π4＜α2＜k π＋π2，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π＋π4＜α2＜2n π＋π2，n ∈Z ，得α2是第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，(2n ＋1)π＋π4＜α2＜(2n ＋1)π＋π2，n ∈Z ，得α2是第三象限角，故正确.6.(2021·菏泽质检)密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周分成6 000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于________rad. 答案 π50解析 ∵周角为2π rad ， ∴1密位＝2π6 000＝π3 000(rad)， ∴60密位＝π3 000·60＝π50(rad).考点一 角的概念及其表示1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析 与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A 、B ，易知D 错误，C 正确.2.(多选题)(2021·海南调研)已知α为第三象限角，则α2的终边所在的象限可能是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案 BD解析 ∵α为第三象限角， ∴π＋2k π<α<3π2＋2k π，k ∈Z ， ∴π2＋k π<α2<3π4＋k π，k ∈Z ，当k ＝2m ，m ∈Z 时，π2＋2m π<α2<3π4＋2m π，m ∈Z ，此时α2在第二象限， 当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，3π2＋2m π<α2<7π4＋2m π，m ∈Z ， 此时α2在第四象限.综上，α2的终边在第二或第四象限.3.终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3解析 终边在直线y ＝3x 上的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π3＋k π，又由α∈[－2π，2π)，即－2π≤π3＋k π<2π，k ∈Z ， 解得k ＝－2，－1，0，1，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.感悟升华 1.确定nα，αn (n ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出nα或αn 的范围，然后根据n 的可能取值讨论确定nα或αn 的终边所在位置(也可采用等分象限角的方法). 2.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角. 考点二 弧度制及其应用【例1】已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l ，若α＝π3，R ＝10 cm ，求：(1)扇形的面积；(2)扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 (1)由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2). (2)l ＝α·R ＝π3·10＝10π3(cm)，S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3 ＝12×10π3·10－12×102×32＝50π－7533(cm 2).感悟升华 应用弧度制解决问题时应注意：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【训练1】 (1)(多选题)(2020·青岛质检)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有( ) A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2(2)已知扇形的周长为8 cm ，则该扇形面积的最大值为________cm 2. 答案 (1)ABC (2)4解析 (1)设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，则由题意得⎩⎨⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1，可得圆心角的弧度数是4或1. (2)设扇形半径为r cm ，弧长为l cm ， 则2r ＋l ＝8，S ＝12rl ＝12r ×(8－2r ) ＝－r 2＋4r ＝－(r －2)2＋4， 所以S max ＝4(cm 2).考点三 三角函数的定义及应用角度1 求三角函数值【例2】已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α等于( )A.－33 B.±33C.－32D.±32答案 C解析 由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3， 此时sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3， 此时，sin α·tan α＝－32. 综上sin α·tan α＝－32. 角度2 由三角函数值求参数【例3】已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12 B.－32 C.12D.32答案 C解析 由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，所以m >0，解得m ＝12.角度3 三角函数值的符号【例4】 (多选题)(2021·重庆调研)已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则角θ2的终边可能在( ) A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.y 轴上D.x 轴上答案 AD解析∵|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，∴cos θ≥0，tan θ≤0，∴角θ的终边在第四象限或x轴正半轴上，∴角θ2的终边在第二、四象限或x轴上.故选AD.感悟升华 1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.【训练2】(1)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－31010，则y＝________.答案(1)D(2)－3解析(1)由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.故选D.(2)因为sin θ＝－31010<0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，由三角函数的定义，得yy2＋1＝－31010.解得y ＝－3.A 级 基础巩固一、选择题1.小明出国旅游，当地时间比北京时间晚一个小时，他需要调整手表的时间，则时针转过的角的弧度数为( ) A.π3 B.π6C.－π3D.－π6答案 B解析 因为当地时间比北京时间晚一个小时，所以时针应该是逆时针方向旋转，故时针转过的角的弧度数为π6.故选B.2.(多选题)(2021·淄博调研)下列四个命题正确的是( ) A.－3π4是第二象限角B.4π3是第三象限角C.－400°是第四象限角D.－315°是第一象限角答案 BCD解析 －3π4是第三象限角，故A 错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，B 正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，从而C 正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，从而D 正确.3.(2020·天津期末)在平面直角坐标系中，若角α以x 轴的非负半轴为始边，且终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，则sin α＝( )A.－32B.－12C.32D.12答案 D解析 由任意角三角函数的定义得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.故选D.4.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A.2B.4C.6D.8答案 C解析 设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.5.若角α的终边在直线y ＝－x 上，则角α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·2π－π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·2π＋3π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·π－3π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·π－π4，k ∈Z 答案 D解析 由图知，角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π＋3π4，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝（2n ＋1）π－π4，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π－π4，k ∈Z . 6.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案 B解析 由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角， 又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，所以cos θ2<0， 综上可知，θ2为第二象限角.7.(2020·长沙模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A.12B.－12C.32D.－32答案 A解析 由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去).故选A.8.(多选题)(2021·山东新高考模拟)如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA ＝60°，质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则( )A.经过1 s 后，∠BOA 的弧度数为π3＋3B.经过π12 s 后，扇形AOB 的弧长为7π12C.经过π6 s 后，扇形AOB 的面积为π3D.经过5π9 s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇答案 ABD解析 经过1 s 后，质点A 运动1 rad ，质点B 运动2 rad ，此时∠BOA 的弧度数为π3＋3，故A 正确；经过π12 s 后，∠AOB ＝π12＋π3＋2×π12＝7π12，故扇形AOB 的弧长为7π12×1＝7π12，故B 正确；经过π6 s 后，∠AOB ＝π6＋π3＋2×π6＝5π6，故扇形AOB 的面积为S ＝12×5π6×12＝5π12，故C 不正确；设经过t s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t (1＋2)＋π3＝2π，解得t ＝5π9(s)，故D 正确.二、填空题9.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 答案 π3解析 设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎨⎧l ＝π3，r ＝2. 10.在平面直角坐标系xOy 中，点P 在角2π3的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标为________.答案 (－1，3)解析设点P 的坐标为(x ，y )，由三角函数定义得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|OP |cos 2π3，y ＝|OP |sin 2π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，所以点P 的坐标为(－1，3).11.(2021·河北九校联考)已知点P (sin 35°，cos 35°)为角α终边上一点，若0°≤α<360°，则α＝________.答案 55°解析 由题意知cos α＝sin 35°＝cos 55°，sin α＝cos 35°＝sin 55°，P 在第一象限，所以α＝55°.12.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝________.答案 55解析 由O ，A ，B 三点共线，从而得到b ＝2a ，因为cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋12－1＝23，解得a 2＝15， 即|a |＝55，所以|a －b |＝|a －2a |＝|a |＝55.B 级 能力提升13.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A.M ＝NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅ 答案 B解析 由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .14.(2019·北京卷)如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β＋4cos βB.4β＋4sin βC.2β＋2cos βD.2β＋2sin β 答案 B解析 如图，设点O 为圆心，连接PO ，OA ，OB ，AB ，在劣弧上取一点C ，则阴影部分面积为△ABP 和弓形ACB 的面积和.因为A ，B 是圆周上的定点，所以弓形ACB 的面积为定值，故当△ABP 的面积最大时，阴影部分的面积最大.又AB 的长为定值，故当点P 为优弧的中点时，点P 到弦AB 的距离最大，此时△ABP 面积最大，即当P 为优弧的中点时，阴影部分面积最大.下面计算当P 为优弧的中点时阴影部分的面积.因为∠APB 为锐角，且∠APB ＝β，所以∠AOB ＝2β，∠AOP ＝∠BOP ＝180°－β，则阴影部分的面积S ＝S △AOP ＋S △BOP ＋S 扇形OAB ＝2×12×2×2sin(180°－β)＋12×22×2β＝4β＋4sin β.故选B.15.一扇形的圆心角为2π3，则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为________.答案 7＋439解析 设扇形半径为R ，内切圆半径为r .则(R －r )sin π3＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋233r . 又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，所以S 扇πr 2＝7＋439.16.在平面直角坐标系中，劣弧，，，是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是________.答案解析 因为tan α<cos α，所以P 所在的圆弧不是，因为tan α<sin α，所以P 所在的圆弧不是，又cos α<sin α，所以P 所在的圆弧不是，所以P 所在的圆弧是.。
2015届高考数学总复习第三章 第一节角的概念与弧度制及任意角的三角函数课件 理
常考题型之一，一般解法有直接法和几何法．
若α是第k(k取1,2,3,4之一)象限的角，利用单位圆判断 (n∈N*)
是第几象限角的方法：把单位圆上每
个象限的圆弧n等分，并从x轴正半轴 开始，沿逆时针方向依次在每个区域 标上1,2,3,4，再循环，直到填满为止，
则有标号k的区域就是角
(n∈N*)终边所在的范围．
解析：因为点P(tan α，cos α)在第三象限，
tan α<0， 因此有 cos α<0，
∴α是第二象限角，故选B. 答案：B
扇形弧长、面积的计算
【例3】 已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓 形的面积；
(2)若扇形的周长是一定值C(C＞0)，当α为多少弧度时，该
大值为
.
点评：(1)弧长公式l＝|α|R，面积公式S＝ lR＝
|α|R2，其
中α必须是弧度制单位，而S＝
lR类似于三角形的面积公式，
弧长相当于三角形的底、半径相当于三角形的高； (2)扇形的圆心角θ、半径R、弧长l、面积S之间有下列比例 关系： .
变式探究
3．已知一扇形的面积为定值S，当圆心角α为多少弧度时，
式，找出相应的整数k，代回求出所有角； (2)可对整数k的奇、偶数情况展开讨论． 自主解答： 解 析 ： (1) 所 有 与 角 α 终 边 相 同 的 角 可 表 示 为 45° ＋ k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°≤0°， 解得－ ≤k≤－ ，
由于k∈Z，从而k＝－2或k＝－1，
②因为 2k×360°＋ 180°<2α<2k×360°＋ 360°，可知角 2α 的终边应在第三象限或第四象限或y 轴的负半轴上．
高考数学 专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数热点题型和提分秘籍 理-人教版高三全册数学试题
专题12 任意角和弧度制及任意角的三角函数1．了解任意角的概念2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化 3．理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义热点题型一 象限角与终边相同的角例1、 (1)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________。
(2)如果α是第三象限的角，试确定－α，2α的终边所在位置。
【答案】（1）⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π（2）见解析解析：(1)如图，在坐标系中画出直线y ＝3x ，可以发现它与x 轴的夹角是π3，在[0，2π)内，终边在直线y ＝3x 上的角有两个：π3，43π；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－23π，－53π，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－53π，－23π，π3，43π。
(2)由α是第三象限的角得π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，所以－3π2－2k π＜－α＜－π－2k π(k ∈Z )，即π2＋2k π＜－α＜π＋2k π (k ∈Z )， 所以角－α的终边在第二象限。
由π＋2k π＜α＜3π2＋2k π(k ∈Z )，得2π＋4k π＜2α＜3π＋4k π(k ∈Z )。
所以角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴。
【提分秘籍】1．终边在某直线上角的求法步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线。
(2)按逆时针方向写出[0，2π)内的角。
(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合。
(4)求并集化简集合。
2．确定kα，αk(k ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的X 围，再写出kα或αk的X 围，然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置。
【举一反三】设角α是第二象限的角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2，则角α2属于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限热点题型二 扇形的弧长及面积公式例2、 (1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角。
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第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数
时间：45分钟 分值：75分
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
1．(2014·昆明检测)已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π
6，cos π6，则角α的最小正值为( )
A .11π
6 B .5π
6 C .π3
D .π6
解析 由tan α＝cos π6
sin π6＝
3212
＝3，故角α的最小正值为π
3，选C . 答案 C
2．(2014·福州质检)下列三角函数值的符号判断错误的是( ) A ．sin 165°＞0 B ．cos 280°＞0 C ．tan 170°＞0
D ．tan 310°＜0 解析 165°是第二象限角，因此sin 165°＞0正确；280°是第四象限角，因此cos 280°＞0正确；170°是第二象限角，因此tan 170°＜0，故C 错误；310°是第四象限角，因此tan 310°＜0正确．
答案 C
3．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ
2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角
D ．第四象限角
解析 由于θ是第三象限角，所以2k π＋π＜θ＜2k π＋3π
2(k ∈Z )，
k π＋π2＜θ2＜k π＋3π4(k ∈Z )；又|cos θ2|＝－cos θ2，所以cos θ
2≤0，从而2k π＋π2≤θ2≤2k π＋3π2，(k ∈Z )，综上可知2k π＋π2＜θ2＜2k π＋3π
4，(k ∈Z )，即θ
2是第二象限角．
答案 B
4．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( )
A ．2
B ．1 C.12
D ．3
解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，则面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，∴当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2，从而α＝l r ＝21＝2.
答案 A
5．若一个α角的终边上有一点P (－4，a )且sin α·cos α＝3
4，则a 的值为( )
A ．4 3
B ．±4 3
C ．－43或－4
3 3
D. 3
解析 依题意可知α角的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34，易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－4
3 3.
答案 C
6．(2014·海口调研)已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则
在[0,2π]内α的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2
B.⎝ ⎛
⎭
⎪⎫π，54π C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫3π4，54π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛
⎭
⎪⎫π，54π 解析 由已知得⎩
⎨⎧
sin α－cos α>0，
tan α>0.
解得α∈⎝
⎛⎭
⎪⎫π4，π2∪⎝
⎛
⎭
⎪⎫π，54π.
答案 D 二、填空题
7．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．
解析 由题意知，tan α＜0，cos α＜0，所以α是第二象限角． 答案 二
8．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．
解析 根据题意得Q ⎝
⎛⎭⎪⎫cos π3，sin π3， 即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，32.
答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫
12
，32
9．已知角α的终边在直线y ＝－3
4x 上，则2sin α＋cos α＝__________.
解析 由题意知tan α＝－3
4，∴α在第二象限或第四象限，故sin α
＝35，cos α＝－45或sin α＝－35，cos α＝45，
∴2sin α＋cos α＝25或－2
5. 答案 25或－25 三、解答题
10．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝3
6x ，求sin α、tan α的值．
解 ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴P 到原点的距离r ＝x 2＋2.
又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝3
6x ，
∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3. 当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数定义，有sin α＝－66，tan α＝－5
5； 当x ＝－10时，P 点坐标为(－10，－2)， ∴sin α＝－66，tan α＝5
5.
11．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6， (1)求AB ︵
的弧长； (2)求弓形OAB 的面积． 解 (1)∵α＝120°＝2π3，r ＝6， ∴AB ︵
的弧长为l ＝2π
3×6＝4π.
(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝1
2×4π×6＝12π，
S △ABO ＝12r 2·sin 2π3＝12×62×3
2＝93， ∴S 弓形OAB ＝S 扇形OAB －S △ABO ＝12π－9 3.
12．已知A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记∠AOC ＝α.
(1)若A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
35，45，求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值；
(2)求|BC |2的取值范围．
解 (1)∵A 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
35，45，
∴tan α＝4
3.
∴sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝ sin 2αcos 2α＋2×sin αcos α2－sin 2αcos 2α
＝tan 2α＋2tan α
2－tan 2α
＝169＋83
2－169
＝20. (2)设A 点的坐标为(x ，y )， ∵△AOB 为正三角形，
∴B 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3，sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α＋π3，
且C (1,0)．
∴|BC |2
＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－12＋sin 2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫α＋π3
＝2－2cos ⎝ ⎛
⎭
⎪⎫α＋π3.
而A 、B 分别在第一、二象限，
∴α∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
π6，π2.
∴α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，5π6.
∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－32，0.
∴|BC |2的取值范围是(2,2＋3)．。