3-1第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数练习题(2015年高考总复习)

第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数

时间：45分钟 分值：75分

一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1．(2014·昆明检测)已知角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π

6，cos π6，则角α的最小正值为( )

A .11π

6 B .5π

6 C .π3

D .π6

解析 由tan α＝cos π6

sin π6＝

3212

＝3，故角α的最小正值为π

3，选C . 答案 C

2．(2014·福州质检)下列三角函数值的符号判断错误的是( ) A ．sin 165°＞0 B ．cos 280°＞0 C ．tan 170°＞0

D ．tan 310°＜0 解析 165°是第二象限角，因此sin 165°＞0正确；280°是第四象限角，因此cos 280°＞0正确；170°是第二象限角，因此tan 170°＜0，故C 错误；310°是第四象限角，因此tan 310°＜0正确．

答案 C

3．设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ

2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角

D ．第四象限角

解析 由于θ是第三象限角，所以2k π＋π＜θ＜2k π＋3π

2(k ∈Z )，

k π＋π2＜θ2＜k π＋3π4(k ∈Z )；又|cos θ2|＝－cos θ2，所以cos θ

2≤0，从而2k π＋π2≤θ2≤2k π＋3π2，(k ∈Z )，综上可知2k π＋π2＜θ2＜2k π＋3π

4，(k ∈Z )，即θ

2是第二象限角．

答案 B

4．已知扇形的周长是4 cm ，则扇形面积最大时，扇形的中心角的弧度数是( )

A ．2

B ．1 C.12

D ．3

解析 设此扇形的半径为r ，弧长为l ，则2r ＋l ＝4，则面积S ＝12rl ＝12r (4－2r )＝－r 2＋2r ＝－(r －1)2＋1，∴当r ＝1时S 最大，这时l ＝4－2r ＝2，从而α＝l r ＝21＝2.

答案 A

5．若一个α角的终边上有一点P (－4，a )且sin α·cos α＝3

4，则a 的值为( )

A ．4 3

B ．±4 3

C ．－43或－4

3 3

D. 3

解析 依题意可知α角的终边在第三象限，点P (－4，a )在其终边上且sin α·cos α＝34，易得tan α＝3或33，则a ＝－43或－4

3 3.

答案 C

6．(2014·海口调研)已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则

在[0,2π]内α的取值范围是( )

A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2

B.⎝ ⎛

⎭

⎪⎫π，54π C.⎝ ⎛⎭

⎪⎫3π4，54π D.⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛

⎭

⎪⎫π，54π 解析 由已知得⎩

⎨⎧

sin α－cos α>0，

tan α>0.

解得α∈⎝

⎛⎭

⎪⎫π4，π2∪⎝

⎛

⎭

⎪⎫π，54π.

答案 D 二、填空题

7．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．

解析 由题意知，tan α＜0，cos α＜0，所以α是第二象限角． 答案 二

8．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为________．

解析 根据题意得Q ⎝

⎛⎭⎪⎫cos π3，sin π3， 即Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12，32.

答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12

，32

9．已知角α的终边在直线y ＝－3

4x 上，则2sin α＋cos α＝__________.

解析 由题意知tan α＝－3

4，∴α在第二象限或第四象限，故sin α

＝35，cos α＝－45或sin α＝－35，cos α＝45，

∴2sin α＋cos α＝25或－2

5. 答案 25或－25 三、解答题

10．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且cos α＝3

6x ，求sin α、tan α的值．

解 ∵P (x ，－2)(x ≠0)， ∴P 到原点的距离r ＝x 2＋2.

又cos α＝36x ，∴cos α＝x x 2＋2＝3

6x ，

∵x ≠0，∴x ＝±10，∴r ＝2 3. 当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)， 由三角函数定义，有sin α＝－66，tan α＝－5

5； 当x ＝－10时，P 点坐标为(－10，－2)， ∴sin α＝－66，tan α＝5

5.

11．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6， (1)求AB ︵

的弧长； (2)求弓形OAB 的面积． 解 (1)∵α＝120°＝2π3，r ＝6， ∴AB ︵

的弧长为l ＝2π

3×6＝4π.

(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝1

2×4π×6＝12π，

S △ABO ＝12r 2·sin 2π3＝12×62×3

2＝93， ∴S 弓形OAB ＝S 扇形OAB －S △ABO ＝12π－9 3.

12．已知A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记∠AOC ＝α.

(1)若A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫

35，45，求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值；

(2)求|BC |2的取值范围．

解 (1)∵A 点坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

35，45，

∴tan α＝4

3.

∴sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝ sin 2αcos 2α＋2×sin αcos α2－sin 2αcos 2α

＝tan 2α＋2tan α

2－tan 2α