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初二数学最短路径问题知识归纳+练习

初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作直线AB ，与直线l 的交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ．PB PA -的最大值＝AB ．【问题11】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．【问题12】“费马点” 作法图形原理△ABC 中每一内角都小于120°，在△ABC 内求一点P ，使P A +PB +PC 值最小．所求点为“费马点”，即满足∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝120°．以AB 、AC 为边向外作等边△ABD 、△ACE ，连CD 、BE 相交于P ，点P 即为所求．两点之间线段最短． P A +PB +PC 最小值＝CD ．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）A ．3B ．26C ．3D 62．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（） A ．2B ．32C ．32+D ．4lBAlPABl ABlBPAB'ABCPEDCBAADEPB C3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则有222AB BC AC =+）7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______． DEABCD MABMN8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，此时 C 、D 两点的坐标分别为．9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．图①12．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从A处到达B处，需经过两座桥DD＇、EE＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使A到B点路径最短？。

【初二】最短路径问题归纳

最短路径问题专题学习【基本问题】一定点，在2l 上求点M ，在1l 上求点N ，使AM +MN +NB 的值最小．【问题9】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最小．连AB ，作AB 的中垂线与直线l 的交点即为P ．垂直平分上的点到线段两端点的距离相等．PB PA -＝0．【问题10】作法图形原理在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇． PB PA -最大值＝AB ＇．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）A ．3．6 C ．3 D 62．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（）A ．2B ．32C ．32+D ．4lBAl ABDEABC ADEPB CDAMABMN3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)．OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______．8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，此时 C 、D 两点的坐标分别为．9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；yxBOAyxBAO第2题第3题第4题第5题第6题第7题（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；10．点C 为∠AOB 内一点．（1）在OA 求作点D ，OB 上求作点E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．。

(完整版)八年级最短路径问题归纳小结.doc

八年级数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题．②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径．【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址” ，“费马点”．【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短” ，“三角形三边关系”，“轴对称” ，“平移”．【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等．【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．【十二个基本问题】【问题1】作法图形原理A Al连 AB，与 l 交点即为 P．Pl两点之间线段最短．B PA+PB 最小值为 AB．B在直线 l 上求一点P，使PA+PB 值最小．【问题 2】“将军饮马”作法图形原理A AB 作 B 关于 l 的对称点 B＇ B 两点之间线段最短．l连 A B ＇，与 l 交点即为 P．l PA+PB 最小值为 A B＇．P在直线 l 上求一点P，使B'PA+PB 值最小．【问题3】作法图形原理l 1 P' l1P分别作点 P 关于两直线的M两点之间线段最短．对称点 P＇和 P＇，连 P＇P＇，PM +MN +PN 的最小值为l2 P在直线 l1、 l 2上分别求点与两直线交点即为 M， N．N l2线段 P＇P＇＇的长．M 、 N，使△ PMN 的周长P''最小．【问题4】作法图形原理l 1lQ' 1Q分别作点 Q 、P 关于直线P MQ 两点之间线段最短．l 1、 l 2的对称点Q＇和P＇l2 P 四边形 PQMN 周长的最小连 Q＇P＇，与两直线交点即l 2 值为线段 P＇P＇＇的长．在直线 l1、 l 2上分别求点为 M ， N．NM 、 N ，使四边形PQMN P'的周长最小．【问题 5】“造桥选址”作法图形原理- 1 -AM Nmn将点 A 向下平移MN 的长度单位得A＇，连 A＇B，交 nAA' M 两点之间线段最短．mB直线 m ∥ n ，在 m 、 n ，上分别求点 M 、N，使 MN ⊥m ，且 AM+ MN+ BN 的值最小．【问题 6】ABlM a N在直线 l 上求两点M、N（M 在左），使 MN a ，并使AM + MN+ NB 的值最小．【问题 7】l1Pl 2在l 1上求点A，在 l 2上求点 B，使 PA+ AB 值最小．于点 N，过 N 作 NM ⊥ m 于M．作法将点 A 向右平移 a 个长度单位得 A＇，作 A＇关于l的对称点 A＇，连 A＇B，交直线l 于点N，将N点向左平移a 个单位得 M．作法作点 P 关于l1的对称点P ＇，作 P＇B⊥l2于 B，交l2于A．AM +MN +BN 的最小值为NnA＇B+MN ．B图形原理A A'B两点之间线段最短．lM N AM +MN +BN 的最小值为A＇B+ MN．A''图形原理l1P'P 点到直线，垂线段最短．APA+ AB 的最小值为线段P＇l 2 B的长．B【问题 8】作法l 1NAMl2 作点 A 关于l2的对称点BA ＇，作点B 关于l1的对称A 为l1上一定点，B 为l2上点 B＇，连 A＇B＇交l2于 M，一定点，在 l 2上求点M，交 l 1 于 N．在 l 1 上求点N ，使AM + MN+ NB 的值最小．【问题 9】作法图形原理B'l 1N两点之间线段最短．AAM +MN +NB 的最小值为M B l 2线段 A＇B＇的长．A'图形原理ABl在直线l 上求一点 P，使 PA PB 的值最小．连AB ，作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为 P．A垂直平分上的点到线段两B端点的距离相等．lP PA PB ＝ 0．【问题 10】作法图形原理- 2 -A三角形任意两边之差小于A Bl作直线 AB ，与直线 l 的交第三边． PA PB ≤AB ．B点即为 P ．l在直线 l 上求一点 P ，使PPA PB 的最大值＝ AB ．PA PB 的值最大．【问题 11】作法图形原理AAl 作 B 关于 l 的对称点 B ＇ B'B作直线 A B ＇，与 l 交点即lP为 P ．B在直线 l 上求一点 P ，使PA PB 的值最大．三角形任意两边之差小于第三边． PA PB ≤ AB ＇．PA PB 最大值＝ AB ＇．【问题 12】“费马点”作法图形原理ABC所求点为“费马点” ，即满足∠ APB ＝∠ BPC ＝∠APC ＝ 120 °．以 AB 、 ACDAE两点之间线段最短．为边向外作等边△ ABD 、PPA+ PB+ PC 最小值＝ CD ．△ ABC 中每一内角都小于120°，在△ ABC 内求一点P ，使 PA+PB+PC 值最小．△ ACE ，连 CD 、 BE 相交于 P ，点 P 即为所求．BC【精品练习】 1．如图所示，正方形ABCD 的面积为 12，△ ABE 是等边三角形，点一点 P ，使 PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）A ． 23 B ． 2 6C ． 3D ． 62．如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠ ABC ＝ 60 °，若将 △ ACD交于点 E 、 F ，则 △ CEF 的周长的最小值为（）E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有ADPEB C绕点 A 旋转，当 AC ′、 AD ′分别与 BC 、 CDA ． 2B ． 2 3C ． 2 3D ． 4- 3 -3．四边形 ABCD 中，∠ B＝∠ D ＝ 90 °，∠ C＝ 70 °，在 BC 、 CD 上分别找一点M、 N，使△ AMN 的周长最小时，∠ AMN + ∠ ANM 的度数为（）A DA ． 120°B． 130°C．110 °D． 140 °NBMC 4．如图，在锐角△ ABC 中， AB ＝ 4 2 ，∠ BAC ＝ 45 °，∠ BAC 的平分线交 BC 于点D ， M、 N 分别是 AD 和 AB上的动点，则 BM +MN 的最小值是C．DMAN B5．如图， Rt△ ABC 中，∠ C＝ 90 °，∠ B＝ 30 °，AB＝ 6，点 E 在 AB 边上，点 D 在 BC 边上（不与点B、C 重合），且 ED ＝ AE，则线段AE 的取值范围是．AEC D B 6．如图，∠AOB ＝ 30 °，点 M、 N 分别在边OA、 OB 上，且OM ＝ 1， ON＝ 3，点 P 、 Q 分别在边OB、 OA 上，则 MP ＋ PQ＋ QN 的最小值是_________．（注“勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即 Rt△ABC 中，∠ C＝ 90°，则有AC 2BC 2AB2）7．如图，三角形△ ABC中，∠OAB＝∠AOB＝15°，点B在x轴的正半轴，坐标为B( 6 3 ， 0)．OC 平分∠ AOB ，点 M 在 OC 的延长线上，点N 为边 OA 上的点，则MA ＋ MN 的最小值是 ______．- 4 -8．已知 A（ 2， 4）、 B （4， 2）． C 在y轴上， D 在 x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，此时 C、 D 两点的坐标分别为．yABO x 9．已知A（ 1， 1）、 B （4， 2）．y（ 1） P 为 x 轴上一动点，求PA+PB 的最小值和此时P 点的坐标；BAO x（ 2） P 为 x 轴上一动点，求PA PB 的值最大时P 点的坐标；yBAO x（ 3） CD 为 x 轴上一条动线段， D 在 C 点右边且CD ＝ 1，求当AC+ CD+ DB 的最小值和此时 C 点的坐标；yBAO C D x10 ．点 C 为∠ AOB 内一点．（ 1）在 OA 求作点 D ， OB 上求作点 E ，使△ CDE 的周长最小，请画出图形；（ 2）在（ 1）的条件下，若∠AOB ＝ 30°， OC＝ 10，求△ CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．ACO B- 5 -11．（ 1）如图①，△ ABD 和△ ACE 均为等边三角形，BE、 CE 交于 F，连 AF，求证： AF +BF +CF ＝ CD ；（ 2）在△ ABC 中，∠ ABC ＝ 30°， AB＝ 6， BC＝ 8，∠ A ，∠ C 均小于 120°，求作一点 P，使 PA+PB+PC 的值最小，试求出最小值并说明理由．DAAEFB C图①B C图②12 ．荆州护城河在CC＇处直角转弯，河宽相等，从 A 处到达 B 处，需经过两座桥DD ＇、 EE ＇，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直．如何确定两座桥的位置，可使 A 到 B 点路径最短？- 6 -。

初中八年级数学最短路径问题

八年级数学最短路径问题一、两点在一条直线异侧例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

练习、如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何处才能使从A 到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）二、两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．练习：如图，A、B是两个蓄水池，都在河流a的同侧，为了方便灌溉作物，•要在河边建一个抽水站，将河水送到A、B两地，问该站建在河边什么地方，•可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。

三、一点在两相交直线内部例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形ABC，使三角形周长最小.练习1：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形ABC周长最小值为OA.求∠MON的度数。

练习2：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？提高训练一、题中出现一个动点。

1.当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值.例：如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一定点，且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。

二、题中出现两个动点。

当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值。

例：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时,求C、D的坐标。

练习1如图，∠AOB=30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM=1，ON=3，点P、Q 分别在边OB、OA上，则MP+PQ+QN的最小值是．三、题中出现三个动点时。

(完整版)八年级最短路径问题归纳小结(2),推荐文档

原理
垂直平分上的点到线段两端点的距离相等． PA PB ＝0．
【问题 10】
作法
A B l
在直线 l 上求一点 P，使 PA PB 的值最大．
【问题 11】
作直线 AB，与直线 l 的交点即为 P．
作法
图形
A B l P
图形
原理三角形任意两边之差小于
第三边． PA PB ≤AB．
PA PB 的最大值
原理
A B l
在直线 l 上求一点 P，使 PA+PB 值最小．
【问题 3】
作 B 关于 l 的对称点 B＇连 A B＇，与 l 交点即为
P．
作法
l1
P l2
在直线 l1 、 l2 上分别求点
分别作点 P 关于两直线的对称点 P＇和 P＇＇，连 P＇P＇＇，与两直线交点即为 M，N．
M、N，使△PMN 的周长最小．
八年级数学最短路径问题
【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结
点之间的最短路径．算法具体的形式包括：
①确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题．
②确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．
图形
l1
P'
P
A
B
原理
点到直线，垂线段最短． l2 PA+AB 的最小值为线段
P＇B的长．
【问题 8】
N A
M
l1
l2 B
作法作点 A 关于 l2 的对称点
A 为 l1 上一定点，B 为 l2 上一定点，在 l2 上求点 M，在 l1 上求点 N，使

八年级最短路径问题30题

八年级最短路径问题30题一．选择题（共10小题）1．如图，等腰ABC ∆的底边BC 长为4cm ，面积为216cm ，腰AC 的垂直平分线EF 交AC 于点E ，交AB 于点F ，D 为BC 的中点，M 为直线EF 上的动点．则CDM ∆周长的最小值为( )A ．6cmB ．8cmC ．9cmD ．10cm2．如图，在ABC ∆中，AB 的垂直平分线EF 分别交AB 、AC 边于点E 、F ，点K 为EF 上一动点，则BK CK +的最小值是以下哪条线段的长度( )A ．EFB ．ABC ．ACD ．BC第1题第2题第3题3．如图，20AOB ∠=︒，点M 、N 分别是边OA 、OB 上的定点，点P 、Q 分别是OB 、OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++最小时，则βα-的值为( )A ．10oB ．20oC ．40oD ．50o4．如图，在ABC ∆中，8AC BC ==，120ACB ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 、F 分别是线段BD ，BC 上的动点，则CE EF +的最小值是( )A ．2B ．4C ．5D ．65．如图，正ABC ∆的边长为1，过点B 的直线l AB ⊥，且ABC ∆与△A BC ''关于直线l 对称，D 为线段BC '上的一个动点，则AD CD +的最小值为( )A ．2B ．22C ．3D ．13+第4题第5题第6题6．如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，30A ∠=︒，点D 为AB 的中点，点E 为AC 边上一动点，则BDE ∆的周长的最小值为( )A ．37+B ．235+C ．333+D ．432+7．如图，在平面直角坐标系中，点(2,5)A ，(5,1)B ，(,)C m m -，(3,4)D m m --+，当四边形ABCD 的周长最小时，则m 的值为( )A ．3B ．2C ．2D ．32第7题第8题第9题8．如图，在五边形ABCDE 中，152BAE ∠=︒，90B E ∠=∠=︒，AB BC =，AE DE =．在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得AMN ∆的周长最小时，则AMN ANM ∠+∠的度数为( )A ．55︒B ．56︒C ．57︒D ．58︒9．如图，在等腰Rt ABC ∆中，4AB BC ==，点D 在边BC 上且1CD =，点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，连接DE ，EF ，DF 得到DEF ∆，则DEF ∆周长的最小值为( )A ．52B ．213C ．37D ．622+10．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，若D ，E 是边AB 上的两个动点，F 是边AC 上的一个动点，3DE =，则CD EF +的最小值为( )A ．3312-B ．33-C ．13+D ．3二．填空题（共10小题）11．如图，在ABC ∆中，10AB AC ==，8AD =，AD 、BE 分别是ABC ∆边BC 、AC 上的高，P 是AD 上的动点，则CPE ∆周长的最小值是．第10题第11题第12题12．如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，已知1BD =，2AD CD ==，BC 上方有一动点P ，且点P 到A ，D 两点的距离相等，则BCP ∆周长的最小值为． 13．如图，在ABC ∆中，6AB =，7BC =，4AC =，直线m 是ABC ∆中BC 边的垂直平分线，P 是直线m 上的一动点，则APC ∆的周长的最小值为．第13题第14题第15题第16题14．如图，等腰三角形ABC 中，3AB AC ==，30B ∠=︒，点M ，N 为BC 上两个动点，且2MN =，连接AM ，AN ，则AMN ∆周长的最小值为．15．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，10AB =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为．16．如图，在平面直角坐标系中，点(0,2)A ，(4,1)B ，P 是x 轴上任意一点，当PA PB +取得最小值时，点P 的坐标为．17．如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆的边OA 在x 轴上，且6OA =，点B 的坐标为(2,4)点D 为OA 的中点，AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，交AB 于点E ，点P 为线段CE 上的一动点，当APD ∆的周长最小时，点P 的坐标为．第17题第18题第19题第20题18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,6)，点B 为x 轴上一动点，以AB 为边在直线AB 的右侧作等边三角形ABC ．若点P 为OA 的中点，连接PC ，则PC 的长的最小值为．19．如图，在ABC ∆中，60A ∠=︒，45ABC ∠=︒，2AB =BD AC ⊥，E 为BD 上一动点，则12CE BE +的最小值为．20．如图，CD 是直线1x =上长度固定为1的一条动线段．已知(1,0)A -，(0,4)B ，则四边形ABCD 周长的最小值为．三．解答题（共10小题）21．如图，已知ABC ∆是等边三角形，CD AB ⊥于点D ，点E 是AC 的中点．（1）在直线CD 上作一点P ，使PA PE +最小；（2）在（1）的条件下，若12CD =，求线段DP 的长．22．如图，ABC ∆中，26AC AB ==，33BC =．AC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ，E ．（1）求BE 的长；（2）延长DE 交AB 的延长线于点F ，连接CF ．若M 是DF 上一动点，N 是CF 上一动点，请直接写出CM MN +的最小值为．23．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AE 平分BAC ∠，BD AC ⊥于D ，E 为BC 边上一点，AE 、BD 交于点F ，//EG BD ．（1）求证：AB AG =；（2）当30BAE ∠=︒，2BE =时，在EG 上有一动点P ，求AP BP +的最小值．24．如图，在Rt AOC ∆中，30A ∠=︒，点(0,0)O ，(1,0)C ，点A 在y 轴正半轴上，以AC 为一边作等腰直角ACP ∆，使得点P 在第一象限．（1）求出所有符合题意的点P 的坐标；（2）在AOC ∆内部存在一点Q ，使得AQ 、OQ 、CQ 之和最小，请求出这个和的最小值．25．如图，在直角坐标系xOy 中，90OAB ∠=︒，30OBA ∠=︒，43OB =，OC 平分AOB ∠．（1）求点A ，C 的坐标；（2）若点P 是y 轴上一动点，连接PA ，PB ，求PA PB +的最小值．26．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30BAC ∠=︒，E 为AB 边的中点，以BE 为边作等边BDE ∆，连接AD ，CD ．（1）求证：ADE CDB ∆≅∆；（2）若3BC =，在AC 边上找一点H ，使得BH EH +最小，并求出这个最小值．27．如图①所示，在ABC ∆中，30CAB ∠=︒，45B ∠=︒，AD 是CAB ∠的角平分线，AD 的垂直平分线分别交AC ，AD ，AB 于点E ，F ，G ，连接ED ．（1）求证：ED AG =；（2）已知图②与图①相同，请在图②的线段AD 上找一点P ，使得PG PB +取得最小值，并说明理由；如果10ED =，则PG PB +的最小值是多少？28．已知点P 在MON ∠内．（1）如图1，点P 关于射线OM 的对称点是G ，点P 关于射线ON 的对称点是H ，连接OG 、OH 、OP ． ①若50MON ∠=︒，则GOH ∠= ；②若5PO =，连接GH ，请说明当MON ∠为多少度时，10GH =；（2）如图2，若60MON ∠=︒，A 、B 分别是射线OM 、ON 上的任意一点，当PAB ∆的周长最小时，求APB ∠的度数．29．如图，C 为线段BD 上的一个动点，分别过点B ，D 作AB BD ⊥，ED BD ⊥，连接AC ，EC ．已知5AB =，1DE =，8BD =，设CD x =．（1）用含x 的代数式表示AC CE +的长；（2）请问：点C 满足什么条件时，AC CE +的值最小？求出这个最小值．（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式224(12)9x x ++-+的最小值．30．如图，已知：在坐标平面内，等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 的坐标为(0,4)，点A 的坐标为(5,1)-，AB 交x 轴于点D ．（1）求点B 的坐标；（2）求点D 的坐标；（3）如图，点P 在x 轴上，当ACP ∆的周长最小时，求出点P 的坐标；（4）在直线AC 上有点M ，在x 轴上有点N ，求出BM MN +的最小值．八年级最短路径问题30题一．选择题（共10小题）1．如图，等腰ABC∆的底边BC长为4cm，面积为216cm，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则CDM∆周长的最小值为()A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm【解答】解：连接AM，AC的垂直平分线EF交AC于点E，AM CM∴=，CM DM DM AM∴+=+，即A、M、D三点共线时，CM DM+最小值为AD的长，AB AC=，点D为BC的中点，AD BC ∴⊥，122CD BC cm==，等腰ABC∆的底边BC长为4cm，面积为216cm，8AD cm∴=，CDM∴∆周长的最小值为10AD CD cm+=，故选：D．2．如图，在ABC∆中，AB的垂直平分线EF分别交AB、AC边于点E、F，点K为EF上一动点，则BK CK+的最小值是以下哪条线段的长度()A ．EFB ．ABC ．ACD ．BC【解答】解：连接AK ， EF 是线段AB 的垂直平分线，AK BK ∴=，BK CK AK CK ∴+=+，AK CK ∴+的最小值BK CK =+的最小值，AK CK AC +，∴当AK CK AC +=时，AK CK +的值最小，即BK CK +的值最小，BK CK ∴+的最小值是线段AC 的长度，故选：C ．3．如图，20AOB ∠=︒，点M 、N 分别是边OA 、OB 上的定点，点P 、Q 分别是OB 、OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++最小时，则βα-的值为( )A ．10oB ．20oC ．40oD ．50o【解答】解：如图，作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''交OA 于Q ，交OB 于P ，则MP PQ QN ++最小，OPM OPM NPQ ∴∠=∠'=∠，OQP AQN AQN ∠=∠'=∠， 11(180)20(180)22QPN AOB MQP αβ∴∠=︒-=∠+∠=︒+︒-， 18040(180)αβ∴︒-=︒+︒-，40βα∴-=︒，故选：C ．4．如图，在ABC ∆中，8AC BC ==，120ACB ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，点E 、F 分别是线段BD ，BC 上的动点，则CE EF +的最小值是( )A ．2B ．4C ．5D ．6【解答】解：作C 点关于BD 的对称点C '，过C '作C F BC '⊥交BD 于点E ，交BC 于点F ， CE EF C E EF C F ''∴+=+，CE EF ∴+的最小值C F '的长，CC BD '∴⊥，BD 平分ABC ∠，C BG GBC '∴∠=∠，在△C BG '和CBG ∆中，C BG GBC BG BGBGC BGC '∠=∠⎧⎪=⎨⎪'∠=∠⎩， ∴△()C BG CBG ASA '≅∆，BC BC '∴=，8AC BC ==，120ACB ∠=︒，30ABC ∴∠=︒，8BC '=，在Rt BFC '∆中，1sin30842C F BC ''=⋅︒=⨯=， CE EF ∴+的最小值为4，故选：B ．5．如图，正ABC ∆的边长为1，过点B 的直线l AB ⊥，且ABC ∆与△A BC ''关于直线l 对称，D 为线段BC '上的一个动点，则AD CD +的最小值为( )A ．2B ．22C ．3D ．13+【解答】解：连接A D '．由图分析可知A D CD '=CD AD AD A D '+=+则当点D 在A A '线段上时，AD A D '+有最小值，最小值2AA ='=．故选：A ．6．如图，在ABC ∆中，6AB BC ==，30A ∠=︒，点D 为AB 的中点，点E 为AC 边上一动点，则BDE ∆的周长的最小值为( )A ．37+B ．235+C ．333+D ．432+【解答】解：如图，作点B 关于直线AC 的对称点B '，连接DB '交AC 于点E '，连接BE '，此时DE BE '+'的值最小．过点D 作DH BB ⊥'于H ，设BB '交AC 于点O ．6BA BC ==，BO AC ⊥， AO OC ∴=，30A BCA ∠=∠=︒，132OB AB ∴==，333AO OC OB ==， AD DB =，//DH AO ，BH OH ∴=，1332DH OA ∴==， 39322HB OH OB '=+'=+=， 2222339()()3322DB DH HB ∴'=+'=+= DE BE ∴+的最小值为33BDE ∴∆的周长的最小值为333+故选：C ．7．如图，在平面直角坐标系中，点(2,5)A ，(5,1)B ，(,)C m m -，(3,4)D m m --+，当四边形ABCD 的周长最小时，则m 的值为( )A ．3B ．2C ．2D ．32 【解答】解：(2,5)A ，(5,1)B ，(,)C m m -，(3,4)D m m --+，2222(52)(15)345AB ∴=-+-=+=，2222(3)(4)345CD m m m m =--+-++=+=， 5AB CD ∴==，点B 向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到A ，点C 向左平移3个单位，再向上平移4个单位得到D ，由平移的性质得：//BC AD ，BC AD =，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴当BC CD ⊥时，BC 的值最小，(,)C m m -∴点C 在直线y x =-上运动，BC ⊥直线y x =-，∴直线BC 平行直线y x =,∴直线BC 的解析式为y x b =+，把(5,1)B 代入y x b =+得：15b =+，解得：4b =-，4y x ∴=-,联立方程组得：4y x y x =-⎧⎨=-⎩, 解得2:2x y =⎧⎨=-⎩ (2,2)C ∴-，2m ∴=，故选：C ．8．如图，在五边形ABCDE 中，152BAE ∠=︒，90B E ∠=∠=︒，AB BC =，AE DE =．在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得AMN ∆的周长最小时，则AMN ANM ∠+∠的度数为( )A ．55︒B ．56︒C ．57︒D ．58︒【解答】解：如图，延长AB 至A '，使A B AB '=，延长AE 至A ''，使A E AE ''=，则BC 垂直平分AA '，DE 垂直平分AA ''，AM A M ∴='，AN A N =''，根据两点之间，线段最短，当A '，M ，N ，A ''四点在一条直线时，A M MN NA '++''最小，则AM MN AN ++的值最小，即AMN ∆的周长最小，AM A M ='，AN A N =''，∴可设MAA MA A x ∠'=∠'=，NAA NA A y ∠''=∠''=，在△AA A '''中，180********x y BAE +=︒-∠=︒-︒=︒，2AMN MAA MA A x ∠=∠'+∠'=，2ANM y ∠=，2256AMN ANM x y ∴∠+∠=+=︒，故选：B ．9．如图，在等腰Rt ABC ∆中，4AB BC ==，点D 在边BC 上且1CD =，点E ，F 分别为边AB ，AC 上的动点，连接DE ，EF ，DF 得到DEF ∆，则DEF ∆周长的最小值为( )A ．52B ．213C ．37D ．622+【解答】解：如图，作D 关于AB 的对称点G ，作D 关于AC 的对称点H ，连接BG ，CH ，FH ，GH ，90ABC ∠=︒，90GBE ABC ∴∠=∠=︒，G ∴，B ，D ，C 在同一条直线上，由对称性可知，3GB DB ==，1CH CD ==，45FCH FCD ∠=∠=︒，FH FD =，EG ED =，90HCG ∴∠=︒，3317GC GB BD DC =++=++=，22227152GH GC CH ∴+=+=，52DE EF FD GE EF FH GH ∴++=++=DEF ∴∆的周长的最小值52．故选：A ．10．如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，2BC =，若D ，E 是边AB 上的两个动点，F 是边AC 上的一个动点，3DE =，则CD EF +的最小值为( )A ．3312-B ．33-C ．13+D ．3【解答】解：如图，过C 作AB 的对称点1C ，连接1CC ，交AB 于N ；过1C 作12//C C AB ，且123C C =，过2C 作2C F AC ⊥于F ，交AB 于E ，2C F 的长度即为所求最小值，12//C C DE ，12C C DE =，∴四边形12C DEC 是平行四边形，12C D C E ∴=，又C 、1C 关于AB 对称，1CD C D ∴=，2CD EF C F ∴+=，30A ∠=︒，90ACB ∠=︒，323AC BC ∴==，3CN ∴=，3AN =，过2C 作2C M AB ⊥，则213C M C N CN ===，21//C M C N ∴，12//C C MN ，123MN C C ∴==， 2MEC AEF ∠=∠，290AFE C ME ∠=∠=︒，230MC E A ∴∠=∠=︒，在Rt △2C ME 中，1ME =，23C M =，22C E =，33123AE AN MN ME ∴=--=--=-，31EF ∴=-， 233213C F ∴=+-=-．故选：B ．二．填空题（共10小题）11．如图，在ABC ∆中，10AB AC ==，8AD =，AD 、BE 分别是ABC ∆边BC 、AC 上的高，P 是AD 上的动点，则CPE ∆周长的最小值是 16.8 ．【解答】解：过点B 作BE AC ⊥于点E ，BE 交AD 于点P ，则此时PC PE +取最小值，最小值为BE 的长，如图所示．AB AC =，AD 、BE 分别是ABC ∆边BC 、AC 上的高，BP CP ∴=，90ADB ∠=︒，10AB AC ==，8AD =，6BD ∴=，212BC BD ∴==，1122ABC S BC AD AC BE ∆=⋅=⋅， 1289.610BC AD BE AC ⋅⨯∴===． PC PE ∴+的最小值是9.6，90BEC ∠=︒，22365CE BC BE ∴=-=， CPE ∴∆周长的最小值是16.8，故答案为：16.8．12．如图，在ABC ∆中，AD 是BC 边上的高，已知1BD =，2AD CD ==，BC 上方有一动点P ，且点P 到A ，D 两点的距离相等，则BCP ∆周长的最小值为 133+ ．【解答】解：点P 到A ，D 两点的距离相等，P ∴点在AD 的垂线平分线l 上，作B 点关于l 的对称点B '，连结B C '交l 于点P ，BP B P '∴=，BP CP B P CP B C ''∴+=+=，此时BCP ∆的周长最小，AD BC ⊥，1BD =，2AD CD ==，2BB '∴=，3BC =，在Rt BCB '∆中，229413B C BC B B ''++，BCP ∴∆133，133．13．如图，在ABCAC=，直线m是ABC∆中BC边的垂直平分线，P是直线mBC=，4∆中，6AB=，7上的一动点，则APC∆的周长的最小值为10．【解答】解：直线m是ABC∆中BC边的垂直平分线，∴=，BP CP=++=+++，∴∆的周长AP PC AC BP AP AC AB ACACP∆的周长最小，∴当A、B、P三点共线时，ACPAC=，BC=，46AB=，7∴∆的周长6410+=，ACP∴∆的周长最小值为10，ACP故答案为10．14．如图，等腰三角形ABC中，3MN=，连接AB AC∠=︒，点M，N为BC上两个动点，且2==，30BAM，AN，则AMN+．∆周长的最小值为213【解答】解：过点A 作//AD BC ，且AD MN =，连接MD ，则四边形ADMN 是平行四边形，MD AN ∴=，作点A 关于BC 的对称点A '，连接AA '交BC 于点O ，连接A M '，则AM A M '=，AM AN A M DM '∴+=+，∴三点D 、M 、A '共线时，A M DM '+最小为A D '的长，//AD BC ，AO BC ⊥，90DAA '∴∠=︒，30B ∠=︒，3AB =，1322AO AB ∴==， 3AA '∴=，在Rt ADA '∆中，由勾股定理得：22222313A D AD AA ''=++，AMN ∴∆周长的最小值132A D MN '=+． 132．15．如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，6AC =，8BC =，10AB =，AD 平分CAB ∠交BC 于D 点，E ，F 分别是AD ，AC 上的动点，则CE EF +的最小值为 245．【解答】解：如图所示：在AB 上取点F '，使AF AF '=，过点C 作CH AB ⊥，垂足为H ． AD 平分CAB ∠，∴根据对称知，EF EF ='，1122ABC S AB CH AC BC ∆==， ∴245AC BC CH AB ==， EF CE EF EC +='+，∴当C 、E 、F '共线，且点F '与H 重合时，FE EC +的值最小，最小值为245，故答案为245． 16．如图，在平面直角坐标系中，点(0,2)A ，(4,1)B ，P 是x 轴上任意一点，当PA PB +取得最小值时，点P 的坐标为 8(,0)3．【解答】解：在y 轴负半轴上取点A '，使2OA OA ='=，OP ∴垂直平分AA '，(0,2)A '-，PA PA ∴='两点之间，线段最短，∴当A '，P ，B 三点在一条直线上时，PA PB '+的值最小，此时PA PB +取得最小值，设直线A B '的解析式为2y kx =-，代入点B 的坐标(4,1)得，421k -=， 34k ∴=， ∴直线A B '的解析式为324y x =-，令0y =，则83x =， ∴点P 的坐标为8(3，0)，故答案为：8(3，0)．17．如图，在平面直角坐标系中，AOB ∆的边OA 在x 轴上，且6OA =，点B 的坐标为(2,4)点D 为OA 的中点，AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，交AB 于点E ，点P 为线段CE 上的一动点，当APD ∆的周长最小时，点P 的坐标为 14(5，4)5．【解答】解：如图，连接BC ，PB ，BD ．6OA =，(2,4)B ，45BAO ∴∠=︒， CE 垂直平分线段AB ，CB CA ∴=，PA PB =，45CBA CAB ∴∠=∠=︒，90BCA ∴∠=︒，2OC ∴=，4AC BC ==，3OD DA ==，1CD OD CD ∴=-=，PAD ∆的周长3PD PA AD PB PA =++=++，又BP PD BD +，B ∴，P ，D 共线时BP PD +的值最小，直线CE 的解析式为2y x =-，直线BD 的解析式为412y x =-+，由2412y x y x =-⎧⎨=-+⎩，解得14545x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴满足条件的点14(5P ，4)5．故答案为：14(5，4)5． 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0,6)，点B 为x 轴上一动点，以AB 为边在直线AB 的右侧作等边三角形ABC ．若点P 为OA 的中点，连接PC ，则PC 的长的最小值为 92．【解答】解：如图，以AP 为边作等边三角形APE ，连接BE ，过点E 作EF AP ⊥于F ，点A 的坐标为(0,6)，6OA ∴=，点P 为OA 的中点，3AP ∴=，AEP ∆是等边三角形，EF AP ⊥，32AF PF ∴==，AE AP =，60EAP BAC ∠=∠=︒， BAE CAP ∴∠=∠，在ABE ∆和ACP ∆中，AE AP BAE CAP AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABE ACP SAS ∴∆≅∆，BE PC ∴=，∴当BE 有最小值时，PC 有最小值，即BE x ⊥轴时，BE 有最小值，BE ∴的最小值为39322OF OP PF =+=+=， PC ∴的最小值为92，故答案为92． 19．如图，在ABC ∆中，60A ∠=︒，45ABC ∠=︒，2AB =，BD AC ⊥，E 为BD 上一动点，则12CE BE +的最小值为 3262- ．【解答】解：作CF AB ⊥于F ，交BD 于E ，此时12CE BE CE EF CF +=+=最小， 60A ∠=︒，45ABC ∠=︒，BD AC ⊥，30ABD ∴∠=︒，12EF BE ∴=，CF BF =，3AF CF =， 2AB BF AF =+=，32CF CF ∴+=， 326CF -∴=， 12CE BE ∴+的最小值为：326-．20．如图，CD 是直线1x =上长度固定为1的一条动线段．已知(1,0)A -，(0,4)B ，则四边形ABCD 周长的最小值为 17132+ ．【解答】解：如图，在y 轴上取点E ，使1BE CD ==，则四边形BCDE 为平行四边形，(0,4)B ，(1,0)A -，4OB ∴=，1OA =，3OE ∴=，221417AB +作点A 关于直线1x =的对称点A '，(3,0)A '∴，AD A D '=，AD DE A D DE '∴+=+，即A '、E 、D 三点共线时，AD DE +最小值为A E '的长，在Rt △A OE '中，由勾股定理得223332A E '=+，ABCD C ∴四边形最小值17132AB CD BC AD AB CD A E '=+++=+++ 17132+三．解答题（共10小题）21．如图，已知ABC ∆是等边三角形，CD AB ⊥于点D ，点E 是AC 的中点．（1）在直线CD 上作一点P ，使PA PE +最小；（2）在（1）的条件下，若12CD =，求线段DP 的长．【解答】解：（1）如图，ABC ∆是等边三角形，CD AB ⊥，∴点E 关于直线CD 的对称点F 在线段CB 上，连接AF 交CD 于点P ，连接PE ，此时PA PE +的值最小．即点P 即为所求作．（2）12CD =，90CDA ∠=︒，60CAD ∠=︒，30ACD ∴∠=︒，2AC AD ∴=，222412AD AD ∴=+ 43AD ∴=，AE EC =，E ，F 关于CD 对称，CF BF ∴=，AC AB =，30BAF CAF ACD ∴∠=∠=∠=︒，2PA PC PD ∴==143PD CD ∴==．22．如图，ABC ∆中，26AC AB ==，33BC =AC 的垂直平分线分别交AC ，BC 于点D ，E ．（1）求BE 的长；（2）延长DE 交AB 的延长线于点F ，连接CF ．若M 是DF 上一动点，N 是CF 上一动点，请直接写出CM MN +的最小值为 33 ．【解答】解：（1）3AB =，6AC =，33BC =222AB BC AC ∴+=，90ABC ∴∠=︒，1sin 2AB ACB AC ∠==，30ACB ∴∠=︒，ED 垂直平分线段AC ，3AD CD ∴==， 23cos30CDCE ∴==︒，3BE BC CE ∴=-=（2）连接AE ，延长AE 交CF 于H ，CB ，FD 是ACF ∆的高，AH ∴也是高，FD 垂直平分线段AC ，CM AM ∴=， CM MN AM MN ∴+=+，AM MN AH +，sin 6033AH AC =⋅︒=，33CM MN ∴+，CM MN ∴+的最小值为33故答案为：3323．如图，在ABC ∆中，90ABC ∠=︒，AE 平分BAC ∠，BD AC ⊥于D ，E 为BC 边上一点，AE 、BD 交于点F ，//EG BD ．（1）求证：AB AG =；（2）当30BAE ∠=︒，2BE =时，在EG 上有一动点P ，求AP BP +的最小值．【解答】解：（1）BD AC ⊥于D ，//EG BD ，EG AC ∴⊥， AE 平分BAC ∠，90ABC ∠=︒，BE EG ∴=，在Rt ABE ∆和Rt AGE ∆中，BE GE AE AE =⎧⎨=⎩， Rt ABE Rt AGE(HL)∴∆≅∆，AB AG ∴=；（2）30BAE ∠=︒，AE 平分BAC ∠，60BAC ∴∠=︒，30CAE ∠=︒，90ABC ∠=︒，30C ∴∠=︒，AE EC ∴=，EG AC ⊥，AG CG ∴=，A ∴与C 关于EG 对称，连接BC 与EG 的交点即为P 点，此时P 点与E 重合，PA PB BC +=，值最小， 2BE =，30BAE ∠=︒， 323AB BE ∴==，在Rt ABC ∆中，30C ∠=︒，33236BC AB ∴==⨯=，AP BP ∴+的最小值为6．24．如图，在Rt AOC ∆中，30A ∠=︒，点(0,0)O ，(1,0)C ，点A 在y 轴正半轴上，以AC 为一边作等腰直角ACP ∆，使得点P 在第一象限．（1）求出所有符合题意的点P 的坐标；（2）在AOC ∆内部存在一点Q ，使得AQ 、OQ 、CQ 之和最小，请求出这个和的最小值．【解答】解：（1）(1,0)C ，1OC ∴=，在Rt AOC ∆中，30A ∠=︒，2AC ∴=，3OA如图1，①当AC AP =，90CAP ∠=︒，过1P 作1PB y ⊥轴于B ，则1ABP COA ∆≅∆，1AB OC ∴==，13BP AO ==13OB ∴=，1(3P ∴13)；②当AC CP =，90ACP ∠=︒，过2P 作2P D x ⊥轴于D ，同理可得：CD OA ==，21P D =，2(1P ∴1)；③当CP AP =，90APC ∠=︒，过3P 作3P E x ⊥轴于E ，则3P 是2AP 的中点，12OE OD ∴==321()2P E OA P D =+，3P ∴；综上所述，P ，1，(1+1)，；（2）如图2，任取AOC ∆内一点Q ，连接AQ 、OQ 、CQ ，将ACQ ∆绕点C 顺时针旋转60︒得到△A CQ '’，2AC AC ∴'==，CQ CQ ='，AQ A Q =''，60ACA QCQ ∠'=∠'=︒，QCQ ∴∆'是等边三角形，CQ QQ ∴='，AQ OQ CQ A Q OQ QQ ∴++=''++’， ∴当A Q ''，OQ ，QQ '这三条线段在同一直线时最短，即AQ OQ CQ ++的最小值OA ='， 60ACO ACA ∠=∠'=︒，60ACB ∴∠'=︒，过A '作A B x '⊥轴于B ，12BC A ∴=’ 1C =，A B ' 2OB ∴=，A O ∴'AQ ∴、OQ 、CQ25．如图，在直角坐标系xOy 中，90OAB ∠=︒，30OBA ∠=︒，43OB =，OC 平分AOB ∠．（1）求点A ，C 的坐标；（2）若点P 是y 轴上一动点，连接PA ，PB ，求PA PB +的最小值．【解答】解：（1）如图1，作AH OB ⊥于H ，CE OB ⊥于E ．在Rt OAB ∆中，90OAB ∠=︒，30ABO ∠=︒，43OB =60AOB ∴∠=︒，1232OA OB == 30OAH ∴∠=︒，132OH OA ∴==， 2222(23)(3)3AH OA OH ∴--=，(3A ∴，3)， OC 平分AOB ∠，30COB CBO ∴∠=∠=︒，CO CB ∴=，CE OB ⊥，23OE EB ∴==2OC CE =，222OC CE OE -=，222(2)(23)CE CE ∴-=，2EC ∴=，(23C ∴2)；（2）如图2中，作点A 关于y 轴的对称点A '，连接BA '交y 轴于P ，连接PA ，此时PA PB +的值最小．A，3)，A，A'关于y轴对称，(3∴'-，3)，(3AB，0)，(4322∴+='+='=+=，PA PB PA PB BA(53)3221∴+的最小值为221．PA PB26．如图，在Rt ABC∆，连BAC∠=︒，E为AB边的中点，以BE为边作等边BDE ∆中，90ACB∠=︒，30接AD，CD．（1）求证：ADE CDB∆≅∆；（2）若3+最小，并求出这个最小值．BC=，在AC边上找一点H，使得BH EH【解答】（1）证明：在Rt ABC∠=︒，E为AB边的中点，BAC∆中，30∠=︒．ABCBC EA∴=，60∆为等边三角形，DEB∴=，60DB DE∠=∠=︒，DEB DBE∠=︒，∴∠=︒，120DBC120DEA∴∠=∠DEA DBC∴∆≅∆．ADE CDB（2）解：如图，作点E关于直线AC对称点E'，连接BE'交AC于点H．则点H 即为符合条件的点．由作图可知：EH HE '=，AE AE '=，30E AC BAC '∠=∠=︒．60EAE '∴∠=︒，EAE '∴∆为等边三角形， ∴12EE EA AB '==， 90AE B '∴∠=︒，在Rt ABC ∆中，30BAC ∠=︒，3BC =，∴23AB =，3AE AE '==，∴2222(23)(3)3BE AB AE ''=-=-=，BH EH ∴+的最小值为3．27．如图①所示，在ABC ∆中，30CAB ∠=︒，45B ∠=︒，AD 是CAB ∠的角平分线，AD 的垂直平分线分别交AC ，AD ，AB 于点E ，F ，G ，连接ED ．（1）求证：ED AG =；（2）已知图②与图①相同，请在图②的线段AD 上找一点P ，使得PG PB +取得最小值，并说明理由；如果10ED =，则PG PB +的最小值是多少？【解答】（1）证明：如图1，连接DG ，EG 垂直平分AD ，AF DF ∴=，EG AD ⊥， AD 平分CAB ∠，EAF GAF ∴∠=∠，90AFE AFG ∠=∠=︒，AEF AGE ∴∠=∠，AE AG ∴=，EF FG ∴=，AF DF =，AD EG ⊥，∴四边形DEAG 是菱形，DE AG ∴=；（2）解：如图2，连接EB 交AD 于P ，连接PG ，此时PG PB +最小，理由如下：在AD 上任取一点P '（不与P 重合），连接EP '、BP '、GP '，由（1）知：AD 是EG 的垂直平分线，EP PG ∴=，EP GP ''=，EB EP PB PG PB ∴=+=+，△EP B '中，EP BP P G BP EB ''''+=+>，即P G P B PG PB ''+>+，此时PG PB +的值最小，如图3，过E 作EH AB ⊥于H ，过D 作DM AB ⊥于M ，则EH DM =，Rt AEH ∆中，10AE ED ==，30CAB ∠=︒，5EH ∴=，5DM ∴=，Rt DMB ∆中，45ABC ∠=︒，5DM BM ∴==，10ED HM ==，10515BH HM BM ∴=+=+=，Rt EHB ∆中，2222515250510BE EH HB =+=+==，即PG PB +的最小值是510．28．已知点P 在MON ∠内．（1）如图1，点P 关于射线OM 的对称点是G ，点P 关于射线ON 的对称点是H ，连接OG 、OH 、OP ． ①若50MON ∠=︒，则GOH ∠= 100︒ ；②若5PO =，连接GH ，请说明当MON ∠为多少度时，10GH =；（2）如图2，若60MON ∠=︒，A 、B 分别是射线OM 、ON 上的任意一点，当PAB ∆的周长最小时，求APB ∠的度数．【解答】解：（1）①点P 关于射线OM 的对称点是G ，点P 关于射线ON 的对称点是H ， OG OP ∴=，OM GP ⊥，OM ∴平分POG ∠，同理可得ON 平分POH ∠，2250100GOH MON ∴∠=∠=⨯︒=︒，故答案为：100︒；②5PO =，5GO HO ∴==，当90MON ∠=︒时，180GOH ∠=︒，∴点G ，O ，H 在同一直线上，10GH GO HO ∴=+=；（2）如图所示：分别作点P 关于OM 、ON 的对称点P '、P ''，连接OP '、OP ''、P P '''，P P '''交OM 、ON 于点A 、B ，连接PA 、PB ，则AP AP '=，BP BP = “，此时PAB ∆周长的最小值等于P P '''的长．由轴对称性质可得，OP OP OP '=''=，P OA POA ∠'=∠，P OB POB ∠''=∠，2260120P OP MON ∴∠'''=∠=⨯︒=︒，(180120)230OP P OP P ∴∠'''=∠'''=︒-︒÷=︒，30OPA OP A '∴∠=∠=︒，同理可得30BPO OP B ∠=∠''=︒，303060APB ∴∠=︒+︒=︒．29．如图，C 为线段BD 上的一个动点，分别过点B ，D 作AB BD ⊥，ED BD ⊥，连接AC ，EC ．已知5AB =，1DE =，8BD =，设CD x =．（1）用含x 的代数式表示AC CE +的长；（2）请问：点C 满足什么条件时，AC CE +的值最小？求出这个最小值．（3）根据（2224(12)9x x +-+【解答】解：（1）22225(8)AC AB BC x =+=+-， 2221CE CD DE x =+=+，22125(8)AC CE x x ∴+=+++-；（2）当A 、C 、E 三点共线时，AC CE +的值最小，过A 作AF DE ⊥交ED 的延长线于F ，5DF AB ∴==，226810AE ∴=+=，AC CE ∴+的最小值是10；（3）如图2所示，作12BD =，过点B 作AB BD ⊥，过点D 作ED BD ⊥，使2AB =，3ED =，连接AE 交BD 于点C ，设BC x =，则AE 的长即为代数式224(12)9x x ++-+的最小值．过点A 作//AF BD 交ED 的延长线于点F ，得矩形ABDF ，则2AB DF ==，12AF BD ==，325EF ED DF =+=+=，所以2213AE AF EF =+=，即224(12)9x x ++-+的最小值为13．30．如图，已知：在坐标平面内，等腰直角ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，点C 的坐标为(0,4)，点A 的坐标为(5,1)-，AB 交x 轴于点D ．（1）求点B 的坐标；（2）求点D 的坐标；（3）如图，点P 在x 轴上，当ACP ∆的周长最小时，求出点P 的坐标；（4）在直线AC 上有点M ，在x 轴上有点N ，求出BM MN +的最小值．【解答】解：（1）如图，过A 点作AM y ⊥轴于M ，过B 点作BN y ⊥轴于N ，点C 的坐标为(0,4)，点A 的坐标为(5,1)-，C 的坐标为(0,4)， 5AM ∴=，3CM =，90ACB ∠=︒，90ACM CAM ACM BCN ∴∠+∠=︒=∠+∠， CAM BCN ∴∠=∠，在ACM ∆和CBN ∆中，CAM BCN AMC CNB AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACM CBN AAS ∴∆≅∆，5CN AM ∴==，3BN CM ==， 541ON CN OC ∴=-=-=，（2）设直线AB的解析式为y kx b=+，把(5,1)A-，(3,1)B-代入得5131k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得1414kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴直线AB的解析式为1144y x=--，令0y=，则1144x=--，解得1x=-，(1,0)D∴-；（3）如图，作C点关于x轴的对称点C'，连接AC'交x轴于点P，此时PA PC+最小，即ACP∆的周长最小，C的坐标为(0,4)，C∴'的坐标为(0,4)-，设直线AC'的解析式为y mx n=+，∴514m nn-+=⎧⎨=-⎩，解得14mn=-⎧⎨=-⎩，∴直线AC'的解析式为4y x=--，令0y=，则4x=-，(4,0)P∴-；（4）如图，延长BC至B'，使B C BC'=，过B'作B N x'⊥轴，交AC于M，根据垂线段最短可知BM MN+的最小值为B N'，(3,1)B-，(0,4)C，9∴'=，BN∴+的最小值为9．BM MN。

(完整版)初二数学最短路径问题知识归纳+练习

八年级数学(上)培优专题七：最短路径问题

专题七最短路径问题1．最短路径问题（1）求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点,与直线的交点即为所求．如图所示，点A，B分别是直线l异侧的两个点，在l上找一个点C，使CA ＋CB最短,这时点C是直线l与AB的交点．（2）求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求．如图所示,点A,B分别是直线l同侧的两个点，在l上找一个点C，使CA＋CB最短，这时先作点B关于直线l的对称点B′，则点C是直线l与AB′的交点．为了证明点C的位置即为所求,我们不妨在直线上另外任取一点C′，连接AC′，BC′，B′C′，证明AC＋CB＜AC′＋C′B。

如下:证明：由作图可知，点B和B′关于直线l对称，所以直线l是线段BB′的垂直平分线．因为点C与C′在直线l上，所以BC＝B′C，BC′＝B′C′.在△AB′C′中,AB′＜AC′＋B′C′，所以AC＋B′C＜AC′＋B′C′，所以AC＋BC＜AC′＋C′B.【例1】在图中直线l上找到一点M,使它到A，B两点的距离和最小．分析：先确定其中一个点关于直线l的对称点，然后连接对称点和另一个点,与直线l的交点M即为所求的点．解：如图所示：（1)作点B关于直线l的对称点B′；(2)连接AB′交直线l于点M。

（3）则点M即为所求的点．点拨：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题。

2。

运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点,这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．警误区利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．3．利用平移确定最短路径选址选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大,如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明,通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．在解决最短路径问题时,我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上,从而作出最短路径的方法来解决问题．【例2】如图,小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B 村供水．（1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？（2）若要使厂部到A,B两村的水管最短，应建在什么地方？分析：（1）到A，B两点距离相等，可联想到“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”，又要在河边,所以作AB的垂直平分线，与EF的交点即为符合条件的点．(2）要使厂部到A村、B村的距离之和最短，可联想到“两点之间线段最短”，作A（或B)点关于EF的对称点,连接对称点与B点,与EF的交点即为所求．解：(1)如图1，取线段AB的中点G，过中点G画AB的垂线，交EF于P，则P到A,B的距离相等．也可分别以A、B为圆心，以大于错误!AB为半径画弧,两弧交于两点，过这两点作直线，与EF的交点P即为所求．（2）如图2,画出点A关于河岸EF的对称点A′，连接A′B交EF于P，则P到A，B的距离和最短．【例3】如图,从A地到B地经过一条小河（河岸平行）,今欲在河上建一座与两岸垂直的桥,应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？思路导引:从A到B要走的路线是A→M→N→B，如图所示,而MN是定值，于是要使路程最短，只要AM＋BN最短即可．此时两线段应在同一平行方向上，平移MN到AC，从C到B应是余下的路程,连接BC的线段即为最短的，此时不难说明点N即为建桥位置，MN即为所建的桥．解:（1）如图2，过点A作AC垂直于河岸，且使AC等于河宽．（2）连接BC与河岸的一边交于点N。

初中数学八年级上册最短路径基本问题整理汇总(共12个-考试必考)

八年级数学上册最短路径基本问题汇总
经典例子解析
例一、在解决最短路径问题时, 我们通常利用_____、_____等变换把已知问题转化为容易解决的问题,从而作出最短路径的选择。

例二、已知，如图,在直线l的同侧有两点A、 B
例三图例四图
(1)在图1的直线上找一点P使PA+PB最短；(2)在图2的直线上找一点P,使PA-PB最长
例三、如上图所示,P为∠AOB内一点,P1，P2分别是P关于OA，OB 的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=8 cm,则△PMN的周长是( )
A.7 cm
B.5 cm
C.8 cm
D.10 cm
例四、如图,在等腰Rt△ABC中,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,要使EC+ED最小,请找点E的位置例五、如图,村庄A，B位于一条小河的两侧,若河岸a，b彼此平行,现在要建设一座与河岸垂直的桥CD,问桥址应如何选择,才能使A村到B村的路程最近？
参考答案
例一：轴对称平移
例二：(1)作点B关于直线l的对称点C,连接AC交直线l于点P,连接BP；点P即为所求(2)连接AB并延长,交直线l于点P
例三：C
例四：作点C关于AB的对称点C′,连接C′D与AB的交点为E点
例五：①过点A作AP⊥a,并在AP上向下截取AA′,使AA′=河的宽度；②连接A′B交b于点D；③过点D 作DE∥AA′交a于点C；④连接AC.则CD即为桥的位置。

初二数学专题：最短路径问题

初二数学专题：最短路径问题问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图中两结点之间的最短路径。

算法包括确定起点的最短路径问题、确定终点的最短路径问题、确定起点和终点的最短路径问题以及全局最短路径问题。

问题原型】最短路径问题有“将军饮马”、“造桥选址”、“费马点”等原型。

涉及知识】解决最短路径问题需要掌握“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、“三角形三边关系”、“轴对称”、“平移”等知识。

此外，角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等也可能涉及到该问题。

解题思路】解决最短路径问题的思路包括找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题。

十二个基本问题】问题1】已知点A、B和直线l，求在直线l上距离点A和点B之和最小的点P。

作法：在直线l上找到与AB连线垂直的交点P。

问题2】“将军饮马”已知点A、B和直线l，求在直线l上距离点A和点B之和最小的点P。

作法：将点B关于直线l对称得到点B'，连接AB'，在直线l上找到与AB'连线垂直的交点P。

问题3】已知两条直线l1、l2和点P，求在直线l1、l2上距离点P之和最小的两个点M、N。

作法：在直线l1、l2上找到与点P对称的点P'、P''，连接P'P''，在直线l1、l2上找到与P'、P''连线垂直的交点M、N。

问题4】已知两条直线l1、l2和点Q、P，求在直线l1、l2上距离点Q、P之和最小的两个点M、N。

作法：将点Q、P分别关于直线l1、l2对称得到点Q'、P'，连接Q'P'，在直线l1、l2上找到与Q'、P'连线垂直的交点M、N。

问题5】“造桥选址”已知点A、B和线段MN，求在点A向下平移MN长度单位后，在直线m上距离点A和点B之和最小的点N，以及在直线n上与N连线垂直的交点M。

初二最短路径的经典例题

初二最短路径的经典例题问题描述：给定一个$n\times m$的网格图，其中每个格子要么为空地要么是障碍物，每次可以从一个格子走到它上下左右相邻的空地格子，但不能走到障碍物格子上，求从左上角到右下角的最短路径长度。

解决方法：这就是一个典型的最短路径问题，可以使用经典的Dijkstra算法或者BFS算法求解。

我们以BFS算法为例：-将起点入队，并标记为已访问。

-进入循环，每次取出队首元素，枚举其四个相邻格子，若未访问且为合法空地格子，则将其入队并标记为已访问，同时更新到达该格子的最短路径长度。

-终点首次被访问时，当前最短路径长度即为答案。

-如果队列为空还未找到终点，则说明不存在通路。

Python代码实现：```python。

from collections import deque。

n, m = map(int, input().split())。

grid = [input() for _ in range(n)]。

visited = [[False] * m for _ in range(n)]。

dist = [[-1] * m for _ in range(n)]。

q = deque([(0, 0)])。

visited[0][0] = True。

dist[0][0] = 0。

def is_valid(x, y):。

return 0 <= x < n and 0 <= y < m and not visited[x][y] and grid[x][y] == '.'。

while q:。

x, y = q.popleft()。

for dx, dy in [(-1, 0), (1, 0), (0, -1), (0, 1)]:。

nx, ny = x + dx, y + dy。

if is_valid(nx, ny):。

visited[nx][ny] = True。

dist[nx][ny] = dist[x][y] + 1。

初二数学最短路径问题知识归纳+练习

初二数学最短路径问题【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径.算法具体的形式包括：①确定起点的最短路径问题-即已知起始结点，求最短路径的问题.②确定终点的最短路径问题-与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题.③确定起点终点的最短路径问题-即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径.④全局最短路径问题-求图中所有的最短路径.【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”.【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”.【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等.【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查.【十二个基本问题】A・*B l在直线l上求一点P,使|PA—PB|的值最大. 作直线AB，与直线l的交点即为P.--^^lP三角形任意两边之差小于第三边.pA^i - PB W AB.|PA- PB|的最大值一AB .【问题11]作法图形原理Al■B在直线l上求一点P,使|PA—PB|的值最大. 作B关于l的对称点B' 作直线A B"与l交点即为P.—r^lB三角形任意两边之差小于第三边.pA^i - PB\ W AB ;|PA—PB| 最大值一AB【问题12]“费马点”作法图形原理A zAB C△ ABC中每一内角都小于120°,在4ABC内求一点P,使PA+PB+PC值最小. 所求点为“费马点”，即满足N APB =N BPC =NAPC =120° .以AB、AC 为边向外作等边^ ABD、△ACE，连CD、BE相交于P,点P即为所求.D"一B C两点之间线段最短.PA+PB+PC最小值一CD.【精品练习】1.如图所示，正方形ABCD的面积为12,八ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点尸，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）A. 2V3B.2V16C. 3D. v162.如图，在边长为2的菱形ABCD中，N ABC=60°, 交于点E、F，则△ CEF的周长的最小值为（）A. 2B. 2t3C. 2 + J3D. 4若将^ACD绕点A旋转，当AC、AD，分别与BC、CD3.四边形ABCD 中，N B =/D = 90°,N C =70°,在BC 、CD 上分别找一点M 、乂使^ AMN 的周长最小时，上的动点，则BM +MN 的最小值是5 .如图，Rt △ ABC 中，N C =90°,N B = 30°, AB = 6,点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重合），且ED =AE ，则线段AE 的取值范围是6 .如图，N AOB = 30°,点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM =1, ON =3,点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP +PQ + QN 的最小值是.（注”勾股定理”：直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，即 Rt △ ABC 中，N C =90°,则有 AC 2 + BC 2 = AB 2 )7 .如图，三角形"BC 中，N OAB =N AOB = 15°,点B 在％轴的正半轴，坐标为B （6<3 , 0）.OC 平分N AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA +MN 的最小值是/AMN +N ANM 的度数为( A . 120°B . 130°)C . 110°D . 140°4.如图，在锐角^ABC 中，AB = 4v2 ,N BAC =45°,N BAC 的平分线交BC 于点D , M 、N 分别是AD 和AB8.已知A (2, 4)、B (4, 2). C在y轴上，D在％轴上，则四边形ABCD的周长最小值为此时C、D两点的坐标分别为9.已知A (1, 1)、B (4, 2).(1)P为％轴上一动点，求PA+PB的最小值和此时P点的坐标;(2)P为％轴上一动点，求|PA PB|的值最大时P点的坐标;(3)CD为％轴上一条动线段，D在C点右边且CD =1,求当AC + CD+DB的最小值和此时C点的坐标;10.点C为N AOB内一点.(1)在OA求作点D, OB上求作点E，使△ CDE的周长最小，请画出图形；(2)在(1)的条件下，若N AOB = 30°, OC =10,求4CDE周长的最小值和此时N DCE的度数.如图①，△ ABD 和^ACE 均为等边三角形，BE 、CE 交于凡连AF ，求证：AF +BF + CF = CD ；在^ABC 中，N ABC =30°, AB = 6, BC =8,N A ,N C 均小于 120°,求作一点尸，使 PA+PB+PC 的12.荆州护城河在CC '处直角转弯，河宽相等，从A 处到达B 处，需经过两座桥DD '、EE '，护城河及两桥都是东西、南北方向，桥与河岸垂直.如何确定两座桥的位置，11. (1) (2) 值最小，试求出最小值并说明理由.图①。

【初二】最短路径问题归纳

最短路径问题专题学习(【问题10】作法图形原理】在直线l 上求一点P ，使PB PA -的值最大．作B 关于l 的对称点B ＇作直线A B ＇，与l 交点即为P ．三角形任意两边之差小于第三边．PB PA -≤AB ＇．PB PA -最大值＝AB ＇．【精品练习】1．如图所示，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD +PE 的和最小，则这个最小值为（）A ．23B ．6C ．3D 62．如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，若将△ACD 绕点A 旋转，当AC ′、AD ′分别与BC 、CD 交于点E 、F ，则△CEF 的周长的最小值为（）A ．2B ．32C ．32+D ．4。

3．四边形ABCD 中，∠B ＝∠D ＝90°，∠C ＝70°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 的周长最小时，∠AMN +∠ANM 的度数为（）A ．120°B ．130°C ．110°D ．140°4．如图，在锐角△ABC 中，AB ＝42，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N 分别是AD和AB 上的动点，则BM +MN 的最小值是．5．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝6，点E 在AB 边上，点D 在BC 边上（不与点B 、C 重l ABDEABC AD ~E PB CDAMABMN第2题第3题第4题第5题合），且ED ＝AE ，则线段AE 的取值范围是．6．如图，∠AOB ＝30°，点M 、N 分别在边OA 、OB 上，且OM ＝1，ON ＝3，点P 、Q 分别在边OB 、OA 上，则MP ＋PQ ＋QN 的最小值是_________．~7．如图，三角形△ABC 中，∠OAB ＝∠AOB ＝15°，点B 在x 轴的正半轴，坐标为B (36，0)． OC 平分∠AOB ，点M 在OC 的延长线上，点N 为边OA 上的点，则MA ＋MN 的最小值是______．#8．已知A （2，4）、B （4，2）．C 在y 轴上，D 在x 轴上，则四边形ABCD 的周长最小值为，此时 C 、D 两点的坐标分别为．9．已知A （1，1）、B （4，2）．（1）P 为x 轴上一动点，求PA +PB 的最小值和此时P 点的坐标；,（2）P 为x 轴上一动点，求PB PA 的值最大时P 点的坐标；（3）CD 为x 轴上一条动线段，D 在C 点右边且CD ＝1，求当AC +CD +DB 的最小值和此时C 点的坐标；yx BO A C DyxBOA yx B OA yxBAO第6题第7题10．点C为∠AOB内一点．（1）在OA求作点D，OB上求作点E，使△CDE的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB＝30°，OC＝10，求△CDE周长的最小值和此时∠DCE的度数．。

人教版八年级数学13.4最短路径问题（包含答案）

人教版八年级数学13.4最短路径问题（包含答案）13.4最短路径问题知识要点：1．求直线异侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要连接这两点，所得线段与直线的交点即为所求的位置．2．求直线同侧的两点到直线上一点距离的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，所得线段与该直线的交点即为所求的位置．一、单选题1．A，B，C三个车站在东西方向笔直的一条公路上，现要建一个加油站使其到三个车站的距离和最小，则加油站应建在()A．在A的左侧B．在AB之间C．在BC之间D．B处【答案】D2．A、B是直线l上的两点，P是直线l上的任意一点，要使PA+PB的值最小，那么点P 的位置应在（）A．线段AB上B．线段AB的延长线上C．线段AB的反向延长线上D．直线l上【答案】A3．如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄.欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（）A．B．C．D．【答案】D4．已知：如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，△A＜△B，CM是斜边AB上的中线，将△ACM 沿直线CM折叠，点A落在点A1处，CA1与AB交于点N，且AN=AC，则△A的度数是（）A．30° B．36° C．50° D．60°【答案】A5．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q 分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．2.4B．4 C．4.8D．5【答案】C6．如图所示,△ABC中,AB=AC,△EBD=20°,AD=DE=EB,则△C的度数为()A．70°B．60°C．80°D．65°【答案】A7．如图所示,在Rt△ABC中,△ACB=90°,△B=15°,AB边的垂直平分线交AB于点E,交BC于点D,且BD=13 cm,则AC的长是()A．13 cm B．6.5 cmC．30 cm D．cm【答案】B8．如图所示，从点A到点F的最短路线是()A．A→D→E→F B．A→C→E→FC．A→B→E→F D．无法确定【答案】C9．如图，在Rt△ABC中，△ACB=90°，AC=6，BC=8，AD是△BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是（）A．125B．4 C．245D．510．如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）【答案】D11．如图，直线l是一条河，A、B两地相距10km，A、B两地到l的距离分别为8km、14km，欲在l上的某点M处修建一个水泵站，向A、B两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则铺设的管道最短．．的是（）二、填空题12在平面直角坐标系中，已知点A（0，2）、B（4，1），点P 在轴上，则PA+PB的最小值是______________。