非线性系统理论.ppt

元件，也称增益）。
三 常见非线性因素对系统的影响
不灵敏区（死区特性）
饱和特性
间隙特性
继电特性
摩擦特性
6.2 描述函数法
描述函数法又称谐波线性化法，是分析系统的一种工程近似方法。
描述函数的定义
N(X)
G(jω )
x ( t ) X s i n t , y ( t ) A ( A c o s n t B s i n n t ) 0 n n
式中
=R1C1
R K2= R
2
T1=（R1+R2）C1；
。
系统开环传递函数
K s 1 ) 1K 2( G(S)= s(sT 1 )( Ts1 ) 1
可作出其对数频率特性入图6-25曲线1。
它使系统具有两种跟随 速度，快速性也教好， 比较满意的解决了稳态 精度及系统超调之见的 矛盾。
3.非线性相位补偿
一.实际系统中的非线性因素
图7-1 一些常见的非线性特性
二 饱和
饱和特性也是系统中最常见的一种非线性特性。
部件的饱和现象 理想化后的饱和特性典型数学表达式为：
Ka x1 a x2 Kx1 | x1 | a Ka x a 1
式中： a 是线性范围， K为线性范围内的传递系数（对于放大
2、非线性串联校正 图6-24a为非线性串 联校正方块图，图624b为校正环节电路。
K1,K2为两级放大器，如果将第二级放大器的限幅调的低一些， 利用其饱和非线性特性加上R1C1F反馈网络，作为非线性串联 校正环节，则在线性范围内时，其传递函数为
k 2 ( s 1) G2（S）= T s 1 1
2
这是一种非线性超前校正线路，有利用改善系统性能。
a ) 原来线路
b )线路的描述函数曲线
本章主要知识点与主要线索
结构归化 非线性系统 典型结构 计算 查表
N(X )
乃氏曲线 线性部分
1 N(X )
稳定性 , 自 振 , 求自 振 参数
分段线性的 开关线 分段相迹方程 非线性系统 奇点类型
积分 求解
图6-26是一个非线性积分器，它的特点是幅频特性具有积分性 质，而相频特性只滞后-38o而不是90o，因而具有相位超前的补 偿作用，有利于改善动态性能。 将y(x)展开为傅氏级数，取其 基波
4 A A sin t cos t Y(t)= RC RC
其描述函数为
o 1 4 j38 1 e N(a)= RC
6.2 描 述 函 数 法
6.3 改善非线性系统性能的措施及非
线性特性的利用
本章作业
End
6.1 非线性系统问题概述
何谓非线性系统：只要系统中包含一个或一个以上具有非线性
静特性的元件，即称为非线性系统。 非线性系统的主要特征： 系统的稳定性除与结构参数有 关外，还与起始偏差的大小有关 。 统的响应形式与输入信号的大 小和初始条件有关。 在没有外界周期变化信号输入 时，非线性系统完全可能产生具有 固定周期和幅值的稳定振荡过程。
Y 1 A B
2 1
2 1
则描述函数为
Y Y Y 1 j 1 1 e cos j 1sin N（A）= A 1 1 A A
B A 1 j 1 b ( A )ja ( A ) A A
例6-1 求理想继电特性的描述函数
解（1）作正弦输入时非线性的输出波形 图6-9a表示了理想继电特性在正弦信号作用下的输出波形。 （2）写出y(t)的数学表达式 （3）用傅氏级数展开，计算其基波分量
y ( t ) A ( A cos n t B sin n t ) A Y sin n t ( ) 0 n n 0 n n
n 1 n 1




其中
12 A ( t ) cos n td t n y
12 B ( t ) sin n td t n y
相迹方程
作图
相迹 求时间
等倾线法 时间响应
本 本章 章作 作业 业
P321 6-1 6-3 6-4 6-6 6-7
End

4M

Baidu Nhomakorabea


＝

sint1
代入整理得： A1＝
4M A 2 1 4 M 4 M a 2 y ( t ) sin td t cos t 1 ( ) 1 0 A
B1＝



（３）描述函数
1 A a a 2 2 arcsin A a j N ( A ) 4 M A 4 M 4 M

三 用描述函数研究非线性系统的稳定性和自振
１、稳定性分析
图6-11 用描述函数法表示的非线性系统结构图 在以上条件下，由于高次谐波的冲分衰减，可以将N（A）看成一个 复放大系数，故系数闭环频率特性
j N ( A ) G (j ) 1 N ( A ) G ( J ）
自振分析
因本特性为单值对称，A0=0，A1=0
4 4 M 4 M 4 M 2 2 2 M sin td t d (cos t ) cos t B1= 0 0 0
B1 4 M （4）计算描述函数N（A )= A A 4 4 4 M 4 M M 2 2 2 M sin td t d (cos t ) cos t
n 0


y ( t ) y ( t ) A c o s t B s i n t Y s i n ( t ) 1 1 1 1 1
A B Y A A 1 1 1 1 B 1 1 N ( X ) a r c t g j 1 X X B 1 X X
2 2
第15次课
教学学时：2学时 目的要求：通过本次课程了解非线性系统的概念和改善非线性 系统性能的措施及非线性特性的利用，掌握描述函数法的计算 和应用 知识要点： 1.非线性系统概述 a.常见非线性特征 b.非线性系统的特点 2.函数描述法 a.描述函数的概念和计算 b.改善非线性系统性能的措施及非线性特性的利用 教学步骤：先介绍非线性系统的概述，在围绕概述讲述描述函数 法的计算和应用并举例说明



应用限制条件
• 输入输出特性奇对称，即 y(x)=-y(-x), A0=0。 • 系统的线性部分具有较好的低通滤波性能。 • 结构图可简化为一个非线性环节和一个线性部分的串联。
典型环节描述函数
死区特性、饱和特性、继电特性、间隙特性
(一) 描述函数的计算
A sin t 设非线性环节的特性为 y f (x) ,在正弦输入信号 x 作用下输出为 y (x) 展开为傅氏级数有:
若曲线G(jω )和曲线-1/N(X)相交，则系统存在周期运动；
若当振幅X增大时， -1/N(X)曲线由G(jω )包围的区域（不 稳定区）穿出，该交点处存在着稳定的周期运动，该交点是自 振点。
例6-3 判定图6-14所示特性的自振点。
解 图a为一高阶线性函数与无回差理想继电特性的串联，M1、M3 点为自振点，M2为不能持续工作的振荡点。
图b系统原不能稳定工作，和继电特性串联后在M2点自振，M1 点为不能持续工作的振荡点。
图c为三阶线性函数与不灵敏区特性的串联，M2点为自振点，M1 点为不能持续工作的振荡点。 例6-4 判定图6-15a所示自振点并求自振参数
若线性部分为三阶系统，现讨论系统的稳定情况：
第三节 改善非线性系统性能的措施及非线性特性的利用




0

0

0
图6-9 理想继电特性的输入输出波形及

1 N ( A ) 曲线
例6-2 求带滞环继电特性的描述函数
（２）本特性y(t)既非奇函数，亦非偶函数，但A0=0，故
y ( t)cos td t A1＝ 0 1
2
t t 2 1 1 1 M cos td t M cos td t M cos td t ＝ 0 t t 1 1
0
0
Y A B n
2 n
2 n
n arctg
An Bn
由于典型非线性特性均属奇对称函数；A0=0，又谐波线性化后略 去高次谐波，只取基波，故有
y ( t ) A cos t B sin t Y sin( t ) 1 1 1 1

B1 1 arcg A1
一 改善非线性特性之措施
用振荡线性化消除死区间隙以及继电特性等非线性因素的不利 影响。
图6-22 死区与饱和特性并联
二 非线性特性的应用 1．非线性微分反馈
二阶系统加入微分反馈后，可以提高阻尼比，减小系统的超 调量，但同时上升时间变慢，调节时间增长，快速性变差了。
图6-23 非线性阻尼控 制 a ) 结构图 b ) 阶跃响 应
教具及教学手段：多媒体、实物模型、背景历史等等
板书或旁注意： 1.图6-8既非线性系统典型结构的讲解（15分钟） 2.例题6-1、6-2的讲解既描述函数法的计算 （30分钟）
3.图6-22的讲解 （15分钟）
4.图6-25既控制函数的对数频率的讲解 （30分钟）
教学内容：
第六章 非线性系统理论
6.1 非线性系统概述