三角形中线和角平分线在解题中的应用(整理八种方法)

解三角形题目的思考

文科：在△ABC 中，D 是BC 的中点，若AB=4，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______； 理科：在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；

常规解法及题根：

（15年新课标2理科）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。

(Ⅰ)求C

B ∠∠sin sin ; (Ⅱ) 若AD =1，D

C =

22求BD 和AC 的长.

（15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .

（I ）求sin sin B C

∠∠ ； （II ）若60BAC ∠=,求B ∠.

重点结论：角平分线性质：

（1）平分角

（2）到角两边距离相等

（3）线段成比率

中点性质与结论：

（1）平分线段；

（2）向量结论；

（3）两个小三角形面积相等。

题目解法搜集：

解法1（方程思想）：两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解；

在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；

解：在△ABC 中，222BC =AB +AC -2AB AC cos BAC=7∠，则7

因为AD 平分∠BAC ，则AB BD AC DC =

，所以BD=37，DC=7；

在△ABD 中，设AD=x ，利用cos ∠BAD=cos30°=222

2AB AD BD AB AD +- 即2

22373323x x +-⎝⎭=⨯，解得x=

933344。 若在△ADC 中，设AC=m ，则273=1216x x +-,解得x=333。

解法评价：好想，但计算较多，且最终无法取舍两根，需要依靠图片的准确性舍弃一个解。

解法2（余弦定理灵活使用）：两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解；

在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；

解：在△ABC 中，222BC =AB +AC -2AB AC cos BAC=7∠，则7

因为AD 平分∠BAC ，则AB BD AC DC =

，所以BD=374，DC=74；

（三边求角）

在△ABC 中，cosB=222AB +BC -AC

2AB BC 2223+7-1237⨯⨯27 在△ABD 中

，222AD =AB +BD -2AB BD cosB =2223737AD =3+-234427⎛⨯⨯ ⎝⎭=2716；

所以AD=33

。

解法评价：突出余弦定理两大运用，两边及夹角，利用余弦定理求第三边和三边求角，训练同一个角在不同三角形中求解。

解法3（坐标法）：在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；

解：把△ABC 放到坐标系，A 放到坐标原点，AC 在X 轴上，则

C （1,0），B （32，332），其中

14DF CD EG CB ==； 所以ＤＥ＝ＤＦ＝33，所以ＡＤ＝２ＤＥ＝33

解法评价：在听课好几次听到老师讲坐标法，当然这题坐标作用不大，不多想到把图形摆正之后，解题思路和角平分线到角两边距离就可以使用。

解法４（面积法） 在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；

解：ABC ACD ABD S S S ∆∆∆=+，由正弦定理的面积公式可得：111sin sin sin 222AB AC A AD AC DAC AD AB BAD =∠+∠ 得11131sin 603ADsin 301sin 30222AD ︒︒︒

⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，秒解ＡＤ＝334

解法5 （向量法）在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；

解：由AB BD AC DC =得BD ：DC=3:1，所以1344AD AB AC =+，则

22213916816AD AB AB AC AC =++，

227=16AD 则ＡＤ＝33

4。

解法评价：此法属于通法，中线和角平分线有类似结论，可以解决一类题型，而且计算中直接使用公式，无需求解复杂方程，实属考试必备方法。

方法六（构造法）：在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；

解：过B 做AC 的平行线交AD 的延长线于点E ，则△ABD 为等腰三角形，

在等腰△ABD 中，AB=EB=3，∠E=∠BAD=30°，解得

ＡＥ＝33，ACD EBD ∆∆,13AD CD AC DE BD AB ===

所以AD １＝

ＡＥ４，得ＡＤ＝334。

解法评价：此法特别巧妙，偏向于喜欢几何证明的学生，特别是喜欢三角形相似，角平分线定理证明的基本思路就和此做法比较相似，此法对于角平分线的题目另辟新径。

解法7（正三角形法）在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，

若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；

解：构造正三角形ABE ，过A 作BE 平行线交BC 延长线于Ｈ。

为了使用ＡＣ：ＣＥ＝1：2，AC CB E ∆∆Ｈ；

所以AH=BG=BE 2１,所以AD=2１ＡＧ=334。

解法8（构造等腰三角形）在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；

解：过C 做AD 平行线交BA 延长线于点E 。

在等腰△ACE 中（角平分线加平行线必出等腰），

AE=AC=1,∠EAC=120°，所以CE=3。

AD AB 3=CE BE 4=，AD=334。

解法9（极坐标法）在△ABC 中，D 在BC 上，AD

平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则

AD=_______；

解：以点A 为极点，AB 为极轴，则C 点极坐标为

（3，3π

），点B （1,0），BC 的直角坐标为B （1,0）

C （

33322，）,33BC k =,BC 直角坐标系方程为y=33（x-1),所以极坐标方程为33cos sin 1ρθρθ-=，当6πθ=时，D 点极坐标为（ρ，

6π），所以AD=ρ=

1133cos sin 33cos sin 66ππθθ=--=33

4。

解法评价：此法对极坐标要求较高，不过避开角平分线几何性质，只不过计算量不小。