三角形中线和角平分线在解题中的应用(整理八种方法)
三角形的中线和角平分线
虽然掌握了三角形中线和角平分线的基本知识点，但在实际应用中，如解决几何问题时，往往不 能灵活运用这些知识。
缺乏与其他知识点的联系
在学习三角形中线和角平分线时，容易忽视它们与其他几何知识点（如相似三角形、勾股定理等 ）的联系，导致知识体系不够完整。
对未来学习方向展望
深化概念理解
通过更多的练习和阅读相关文献， 加深对三角形中线和角平分线概 念的理解，掌握其背后的数学原
中线性质
三角形的三条中线交于一点，该点称为三角形的 重心。
3
中线与底边平行且等于底边一半
在三角形中，一条中线与它所对的底边平行，且 等于底边的一半。
中线长度与三角形面积关系
中线长度与三角形面积关系定理
三角形的中线长度与三角形的面积存在一定的比例关系。具体来说，对于任意 三角形ABC，若M是BC的中点，则AM（即中线）的长度与三角形ABC的面积 之比为2:1。
理和性质。
提高应用实践能力
通过解决更多的实际问题，提高 运用三角形中线和角平分线知识 的能力，培养自己的数学思维和
解决问题的能力。
建立知识网络
将三角形中线和角平分线的知识 与其他几何知识点联系起来，形 成一个完整的知识网络，提高自
己的数学素养和综合能力。
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感谢观看
利用中线构造平行四边形
在三角形中，一条中线可以将三角形分成两个面积相等的三角形。如果将这两个三角形沿 中线翻折，就可以得到一个平行四边形。这一性质常用于构造平行四边形或证明某些四边 形是平行四边形的问题。
03
角平分线性质与定理
角平分线定义及性质
定义
从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做 这个角的角平分线。
解三角形之三角形的角平分线和中线问题(典型例题+跟踪训练)【解答题抢分专题】备战2023年高考数学
【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题05解三角形之三角形中线和角平分线问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：一、梳理必备知识在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 5.三角形中线问题如图在ABC ∆中，D 为CB 的中点，2AD AC AB =+，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用）6.角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c ①等面积法ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A AAB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯（常用）②内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC =③边与面积的比值：ABDADCS AB AC S =【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。
初中数学之三角形中线高线角平分线知识点
初中数学之三角形中线高线角平分线知识点三角形是初中数学中一个重要的几何图形，它有很多性质与定理，其中三角形的中线、高线和角平分线是十分重要的知识点。
下面将详细介绍一下这三个概念的定义，性质和应用。
一、中线1.定义：三角形的中线是三角形的一个边上的中点与对立顶点连接而成的线段。
2.性质：（1）任意一条中线上的点到两个对立边的距离相等，即中线上各点到两个对立边的距离相等。
（2）三角形中线的三个交点互相连接，可以在三角形的内部形成三条交叉的线段，这三条线段的交点就是三角形的重心。
重心是三角形内部所有中线的交点，它离三个顶点的距离都相等，也就是说重心到三个顶点的距离相等。
（3）三角形的三条中线互相平分对立顶点的内角，即三角形的三条中线互相平分对立顶点的内角。
（4）三角形三条中线的交点离三个顶点等距离，即三角形的中线互相交于一点，且该点到三个顶点的距离相等。
（5）中线的比例定理：在三角形ABC中，如果D、E、F分别是BC、AC、AB上的中点，那么AD∶DF=1∶2，BE∶DE=1∶2，CF∶EF=1∶23.应用：中线在三角形的性质研究和解题中起到重要的作用，特别是在证明几何定理的过程中，常常会用到三角形的中线性质。
同时，中线还可以用来求三角形的面积，当一个三角形ABC的中线EF垂直于BC且EF等于BC的一半时，EF可以作为底边，AC可以作为高，求三角形ABC的面积。
二、高线1.定义：三角形的高线是从三角形的一个顶点引垂线与对立边相交而成的线段。
2.性质：（1）三角形的三条高线交于一点，该点叫做三角形的垂心。
垂心到三角形的三边的距离互不相等。
（2）垂线和对立的边垂直，即垂线和对立的边成为直角。
（3）垂线平分对立的边。
（4）如果三角形的高线重合、重合的部分等于底边长，则该三角形为等腰直角三角形。
（5）如果三角形是等腰三角形，则该三角形的高线也是中线。
3.应用：高线在三角形的研究和解题中有很多应用。
通过高线的性质，可以判断三角形是否是等腰三角形、直角三角形，还可以求解三角形的面积，等等。
三角形中的角平分线和中线性质
三角形中的角平分线和中线性质一、角平分线性质1.定义：从三角形一个顶点出发，将这个顶点的角平分成两个相等的角的线段，称为这个角的角平分线。
（1）一个角有且只有一条角平分线。
（2）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
（3）角平分线与这个角的对边相交，交点将对边分为两条线段，这两条线段的长度相等。
二、中线性质1.定义：连接三角形一个顶点与对边中点的线段，称为这个顶点的中线。
（1）一个三角形有且只有三条中线。
（2）中线的长度是该顶点与对边中点距离的一半。
（3）中线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
（4）三角形的中线将第三边平分成两条相等的线段。
三、角平分线与中线的交点性质1.定义：三角形的三条角平分线与三条中线的交点，称为三角形的心。
（1）三角形的心是三角形内部的一个点。
（2）三角形的心到三角形的三个顶点的距离相等。
（3）三角形的心到三角形的任意一边的距离相等。
四、角平分线和中线的应用1.判断三角形的形状：（1）如果一个三角形的三条角平分线相等，那么这个三角形是等边三角形。
（2）如果一个三角形的三条中线相等，那么这个三角形是等腰三角形。
2.求解三角形的问题：（1）利用角平分线求解三角形的角度。
（2）利用中线求解三角形的边长。
三角形中的角平分线和中线性质是解决三角形相关问题的重要知识点。
掌握这些性质，可以帮助我们更好地理解和解决三角形的相关问题。
习题及方法：1.习题：在三角形ABC中，角A的角平分线与中线交于点D，若AD=3，BD=4，求AB的长度。
答案：由于点D是角A的角平分线与中线的交点，根据性质可知AD=BD。
又因为AD=3，BD=4，所以AB=5。
2.习题：在等边三角形EFG中，求证：每条角平分线也是中线。
答案：由于三角形EFG是等边三角形，每个角都是60度。
根据角平分线性质，每条角平分线将角平分成两个30度的角。
又因为等边三角形的中线也是角平分线，所以每条角平分线也是中线。
3.习题：在三角形APQ中，若角APQ的角平分线与中线交于点M，且AM=4，PM=6，求AB的长度。
三角形的高、中线、角平分线的八种常见应用(解析版)
专题01三角形的高、中线、角平分线的八种常见应用【解题策略】 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三种重要的线段,它们提供了重要的线段或角的关系,对我们以后深入研究三角形的一些特征有很大帮助,因此,我们需要从不同的角度认识这三种线段.在三角形的两条边和这两条边上的高这四个量中，已知其中的三个量，可用等面积法求第四个量.题型01三角形的高在求线段长中的应用【典例分析】【例1-1】（23-24八年级上·云南文山·期末）如图，90,8,10,ACB AC AB CD ∠=°==是斜边的高，则CD =（ ）A ．3B ．4.2C ．4.8D ．5【答案】C 【分析】本题考查等积法求线段的长与勾股定理．先由勾股定理计算出BC ，再根据等面积法求解即可，掌握等积法，是解题的关键．【详解】解：∵90,8,10ACB AC AB ∠=°==，∴6BC ，∵CD 是斜边的高， ∴1122ABC S AC BC AB CD =⋅=⋅ ， ∴8610CD ×=， ∴48 4.810CD ==； 故选C【例1-2】（23-24七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，在ABC 中，90ACB ∠=°，5AB =，4AC =，3BC =，则点C 到AB 边距离为 ．【答案】125/225/2.4 【分析】本题考查与三角形有关的线段，三角形的高，根据题意可得ABC 是直角三角形，设点C 到AB 边距离为h ，由三角形面积公式计算即可求解．【详解】解：在ABC 中，90ACB ∠=°， ∴ABC 是直角三角形，设点C 到AB 边距离为h ，1122ABC S AC BC AB h ∴=⋅=⋅ ，即345h ×=，125h ∴=， 故答案为：125． 【例1-3】（22-23八年级上·河南·阶段练习）如图，在ABC 中，8AC =，4BC =，高3BD =．(1)作出BC 边上的高AE ；(2)求AE 的长．【答案】(1)见解析(2)6AE =【分析】（1）过点A 作BC 边的垂线，交BC 延长线于E 即可；（2）利用等积法求得AE 的长度即可．【详解】（1）解：如图， 过点A 作BC 边的垂线，交BC 延长线于E ，∴线段AE 即为BC 边上的高，（2）解：∵11S 22ABC BC AE AC BD =⋅=⋅ ，8AC =，4BC =，3BD =， ∴1148322AE ×=××， ∴6AE =．【点睛】本题考查了作三角形的高及求高，熟记三角形的面积公式即可解题，属于基础题【变式演练】【变式1-1】（23-24八年级上·四川成都·期末）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，6AC =，8BC =，CD 是斜边的高，则CD 的长为（ ）A ．245B ．125C ．5D ．10【答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形面积的计算，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么222+=a b c ．先根据勾股定理求出10AB =，然后根据三角形面积进行计算即可．【详解】解：∵在Rt ABC △中，90ACB ∠=°，6AC =，8BC =，∴10AB =， ∵1122ABC S AC BC AB CD =⋅=⋅ ， ∴6824105AC BC CD AB ．故选：A【变式1-2】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，ABC 中，AD BC ⊥于D ，CE AB ⊥于E ，6,5,4AB AD BC ===，则CE 的长为 ．【答案】103/133【分析】本题考查了三角形的面积计算，根据1122ABC S AB CE BC AD =×=× ，即可求解． 【详解】解：∵AD BC ⊥，CE AB ⊥， ∴1122ABC S AB CE BC AD =×=× ， ∵6,5,4AB AD BC ===， ∴1164522CE ××=××， ∴103CE =． 故答案为：103【变式1-3】（21-22七年级下·江苏无锡·期中）如图，在ABC 中，AD 为边BC 上的高，连接AE ．(1)当AE 为边BC 上的中线时，若6AD =，ABC 的面积为24，求CE 的长；(2)当AE 为BAC ∠的平分线时，若66C ∠=°，36B ∠=°，求DAE ∠的度数．【答案】(1)4CE =(2)15DAE ∠=°【分析】本题考查三角形的面积，三角形的中线与高等知识，解题的关键是熟练掌握三角形的基本知识． （1）先根据三角形面积公式计算出8BC =，然后根据AE 为边BC 上的中线得到CE 的长；（2）先根据三角形内角和定理计算出78BAC ∠=°，再利用角平分线的定义得到39CAE ∠=°，接着计算出CAD ∠，然后计算CAE CAD ∠−∠即可．【详解】（1） AD 为边BC 上的高，ABC 的面积为24，1242BC AD ∴⋅=， 22486BC ×∴==， AE 为边BC 上的中线，142CE BC ∴==； （2） 66C ∠=°，36B ∠=°，∴180180663678BAC C B °−°°°°∠=∠−∠=−−=，∴AE 为BAC ∠的平分线， ∴1392CAE BAC ∠=∠=°，90ADC ∠=°，66C ∠=°， ∴906624CAD ∠°°=°=−，∴392415DAE CAE CAD ∠=∠−∠=°−°=°题型02三角形的高在求角的度数中的应用【典例分析】【例2-1】（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，在ABC 中，AD 是BC 边上的高，BE 平分ABC∠交AC 边于E ，60BAC ∠=°，22ABE ∠=°，则DAC ∠的大小是（ ）A ．10°B ．12°C ．14°D ．16°【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，准确识图理清图中各角度之间的关系是解题的关键．根据角平分线的定义可得2ABC ABE ∠=∠，再根据直角三角形两锐角互余求出BAD ∠，然后根据DAC BAC BAD ∠=∠−∠计算即可得解．【详解】解：BE 平分ABC ∠，222244ABC ABE ∴∠=∠=×°=°，AD 是BC 边上的高，90904446BAD ABC ∴∠=°−∠=°−°=°，604614DAC BAC BAD ∴∠=∠−∠=°−°=°．故选：C【例2-2】（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）已知ABC 中，50A ∠=°，AB ，AC 边上的高所在的直线交于H ，则BHC ∠=度． 【答案】130°或50°【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，解题的关键是分ABC 是锐角三角形与钝角三角形两种情况进行讨论．分两种情况考虑：①ABC 是锐角三角形时，先根据高线的定义求出90ADB ∠=°，90BEC ∠=°，然后根据直角三角形两锐角互余求出ABD ∠的度数，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②ABC 是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出BHC A ∠=∠即可．【详解】解：①如图1，ABC 是锐角三角形时，BD 、CE 是ABC 的高线，90ADB ∴∠=°，90BEC ∠=°， 在ABD △中，50A ∠=° ，905040ABD ∴∠=°−°=°，4090130BHC ABD BEC ∴∠=∠+∠=°+°=°；②ABC 是钝角三角形时，BD 、CE 是ABC 的高线，90A ACE ∴∠+∠=°，90BHC ∠+∠=°，ACE HCD ∠=∠ ， 50BHC A ∴∠=∠=°，综上所述，BHC ∠的度数是130°或50°，故答案为：130°或50°【例2-3】（22-23七年级下·江苏常州·期中）如图，在ABC 中，50ABC ∠=°，CE 为AB 边上的高，AF 与CE 交于点G ．若80∠=°AFC ，求AGC ∠的度数．【答案】120°【分析】由高的定义可得90BEC ∠=°，由三角形内角和可得BCE ∠的度数，再根据三角形内角和可得出CGF ∠的度数，由平角的定义可得出AGC ∠的度数．本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键【详解】解：CE 是AB 边上的高，90BEC ∴∠=°，在ABC 中，50ABC ∠=°， 18040BCE ABC BEC ∴∠=°−∠−∠=°，80AFC ∠=° ，18060CGF AFC BCE ∴∠=°−∠−∠=°，180120AGC CGF ∴∠=°−∠=°【变式演练】【变式2-1】（22-23八年级上·安徽安庆·期末）如图，在ABC 中，5525B C AD ∠=°∠=°，，是BC 边的高，AE 平分BAC ∠，则DAE ∠的度数为（ ）A ．12.5°B ．15°C ．17.5°D ．20°【答案】B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．先根据三角形内角和定理求出BAC ∠的度数，再根据AE 平分BAC ∠求出BAE ∠的度数，根据AD BC ⊥求出BAD ∠的度数，由DAE BAE BAD ∠=∠−∠即可得出结论．【详解】在ABC 中，55B ∠=°，25C ∠=°，1805525100BAC ∴∠=°−°−°=°．AE 平分BAC ∠，1502BAE BAC ∴°∠=∠=． AD 是边BC 上的高，90ADB ∴∠=°，90905535BAD B ∴∠=°−∠=°−°=°，503515DAE BAE BAD ∴∠=∠−∠=°−°=°．故选：B【变式2-2】（22-23）八年级上·安徽马鞍山·期末）如图，AD 、AE 分别是ABC 的高和角平分线，且38B ∠=°，74C ∠=°，则DAE ∠= ．【答案】18°【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的性质定理，利用三角形内角和定理求出68BAC ∠=°，利用角平分线的性质得出34EAC ∠=°，再利用三角形内角和定理求出16DAC ∠=°，进一步即可求出DAE ∠．【详解】解：∵38B ∠=°，74C ∠=°∴18068BACB C ∠=°−∠−∠=°， ∵AE 是BAC ∠的平分线， ∴1342EAC BAC ∠=∠=°， ∵AD 是ABC 的高，∴90ADC ∠=°， ∴18016DAC C ADC ∠=°−∠−∠=°，∴341618DAE EAC DAC ∠=∠−∠=°−°=°，故答案为：18°【变式2-3】（23-24八年级上·海南省直辖县级单位·期中）如图所示，在ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，60BAC °∠=，70C ∠=°．(1)求EAD ∠的度数；(2)求BOA ∠的度数．【答案】(1)10°(2)125°【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和性质，直角三角形的两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先由角平分线的定义得30CAE BAE ∠=∠=°，结合直角三角形的两个锐角互余，得20CAD ∠=°，即可作答．（2）先由角平分线的定义得55OAB OBA +=°∠∠，再运用三角形的内角和性质进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵AE 是BAC ∠的平分线，60BAC ∠=° ∴30CAE BAE ∠=∠=° ∵AD 是高，70C ∠=°∴在Rt ACD △中，20CAD ∠=° ∴302010EAD CAE CAD ∠=∠−∠=°−°=°（2）解：∵AE BF 、是角平分线 ∴11 110552()2OAB OBA CAB CBA ∠+∠=∠+∠=×°=° ∴180125()BOAOAB OBA ∠=°−∠+∠=° 题型03三角形的高在求相关线段的比值中的应用【典例分析】【例3-1】（23-24八年级上·四川绵阳·期末）如图，,AE CD 是ABC 的高，5,3AE CD ==，则AB BC=（ ）A ．53B ．45C ．35D ．25【答案】A【分析】本题考查与三角形的高有关的计算，利用等积法列出比例式，进行求解即可．【详解】解：∵,AE CD 是ABC 的高， ∴1122ABC AB B S CD C AE ⋅=⋅= ，∴53AB AE BC CD ==； 故选：A【例3-2】（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，CE AB ⊥，垂足分别为D ，E ，AD 与CE 相交于点O ，连接BO 并延长交AC 于点F .若5AB =，4BC =，6AC =，则CE ：AD ：BF 的值为 .【答案】12:15:10【分析】本题主要考查三角形的高，由题意得：BF AC ⊥，再根据三角形的面积公式，可得5432ABCS AD CE BF === ，进而即可得到答案． 【详解】解： 在ABC 中，AD BC ⊥，CE AB ⊥，垂足分别为点D 和点E ，AD 与CE 交于点O ， BF AC ∴⊥，5AB = ，4BC =，6AC =，∴1122ABC S BC AD AB CE BF =⋅=⋅=⋅ ， ∴5432ABCS AD CE BF === ， CE ∴：AD ：BF =12:15:10，故答案是：12:15:10【例3-3】（23-24八年级上·广东东莞·阶段练习）如图，在ABC 中，AD 与CE 是ABC 的高．(1)若7cm,10cm,8cm AB BC CE ===，求AD ； (2)若2,3,AB BC ABC ==△的高AD 与CE 的比是多少？【答案】(1)28cm 5(2)12【分析】（1）利用三角形面积公式1122ABC S AB CE BC AD =⋅=⋅ ，即可求解； （2）利用三角形面积公式1122ABC S AB CE BC AD =⋅=⋅ 求解即可． 【详解】（1）解：∵1122ABC S AB CE BC AD =⋅=⋅ ， ∴1178=1022AD ××××， ∴285AD cm =； （2）解：∵1122ABC S AB CE BC AD =⋅=⋅ ， ∴112=422CE AD ××××， ∴12AD CE =． 【点睛】本题考查三角形的面积，利用同一个三角形的面积的两种表示列方程是解题的关键【变式演练】【变式3-1】（23-24八年级上·河北承德·期末）在ABC 中，高2,4AD CE ==．则边:AB BC 是（ ） A ．1:2 B ．2:1 C ．3:1 D ．1:3【答案】A【分析】本题考查的是三角形的高、三角形的面积公式，熟记三角形的面积公式是解题的关键．利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵1122ABC S AB CE BC AD =⋅=⋅ ，2,4AD CE ==， ∴42AB BC =， ∴:2:41:2AB BC==， 故选：A ．【变式3-2】（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在ABC 中，2AB =，4BC =，ABC 的高AD 与CE的比是 ．【答案】1:2【分析】本题考查了三角形高的定义．根据三角形的面积公式可得11=22ABC S AB CE BC AD ×=×△，即可求解．【详解】解：∵11=22ABC S AB CE BC AD ×=×△ ∴2142AD AB CE BC ===， 故答案为：1:2【变式3-3】（22-23八年级上·全国·课后作业）如图，AD 是ABC 的中线，DE AC DF AB ⊥⊥，，E ，F 分别是垂足．已知2AB AC =，求DE 与DF 的长度之比．【答案】2:1【分析】根据三角形面积法进行求解即可． 【详解】解：∵AD 是ABC 的中线， ∴ABD ACD S S ， ∵DE AC DF AB ⊥⊥，，∴1122ABD ACD S AB DF S AC DE =⋅=⋅△△，， ∴1122AB DF AC DE ⋅=⋅， ∵2AB AC =， ∴2:1DE ABDF AC==． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形面积，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键题型04三角形的高在求相关线段和的问题中的应用【典例分析】【例4-1】（2022八年级上·浙江·专题练习）如图，ABC ∆中，2ABAC ==，P 是BC 上任意一点，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，若1ABC S ∆=，则PE PF +值为（ ）A ．1B ．1.2C ．1.5D ．2【答案】A【分析】连接AP ，则ABC ACP ABP S S S ∆∆∆=+，依据Δ1=2ACP S AC PF ×，Δ1=2ABP S AB PE ×，代入计算即可得到1PE PF +=．【详解】解：如图所示，连接AP ，则ABCACP ABP S S S ∆∆∆=+，∵PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ， ∴Δ1=2ACP S AC PF ×，Δ1=2ABP S AB PE ×，又∵1ABC S ∆=，2ABAC ==， ∴111=+22AC PF AB PE ××， 即111=2+222PF PE ××××，∴1PE PF +=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解决问题的关键是作辅助线将等腰三角形分割成两个三角形，利用面积法进行计算【例4-2】（23-24八年级上·重庆北碚·期中）在等腰ABC 中，4ABAC ==，30BAC ∠=°，D 是BC 上任意一点，DE AB ⊥，DF AC ⊥，DE DF +=．【答案】2【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形30度的性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型．作BH AC ⊥于H ，利用含30度的直角三角形的性质得到122BH AB ==，根据ABCABD ACD S S S =+ ，DE AB ⊥，DF AC ⊥，列出等式，由此即可解决问题．【详解】解：过B 作BH AC ⊥于H ，30BAC ∠=° ，122BH AB ∴==， ∵DE AB ⊥，DF AC ⊥，ABCABD ACD S S S =+ ， ∴111222AC BH AB DE AC DF ⋅=⋅+⋅， 则111444222BH DE DF ×⋅=×⋅+×⋅， 则2BH DE DF =+=， 故答案为：2【例4-3】（23-24八年级上·四川自贡·阶段练习）如图，在ABC 中，2ABAC ==，P 是BC 边上的任意一点，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ．若6ABC S = ，求PE PF +的长．【答案】6PE PF +=【分析】根据1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF =+=⋅+⋅ ，结合已知条件，即可求得PE PF +的值． 【详解】解：如图，连接AP ，PE AB ⊥于点E ，PF AC ⊥于点F ，1122ABC ABP APC S S S AB PE AC PF ∴=+=⋅+⋅ ， 2AB AC == ，6ABC S = ，∴1122AB PE AC PF ⋅+⋅6PE PF =+=【变式演练】【变式4-1】（23-24八年级上·广东广州·期中）Rt ABC △中，90C ∠=°，D 是BC 上一点，连接AD ，过B 、C 两点分别作直线AD 的垂线，垂足为E 、F ，若8BC =，6AC =，9AD =，则BE CF +的值是（ ）A ．6B ．163C ．8D ．203【答案】B【分析】本题考查三角形的面积，根据两种不同三角形的面积：12ABCS AC BC =⋅ ，ABCABD ACD S S S =+ ，建立等式是解决问题的关键．【详解】解：∵90C ∠=°，8BC =，6AC =， ∴11682422ABC AC B S C ⋅=××==， 又∵BE AD ⊥，CF AD ⊥，9AD =，∴ABC ABD ACD S S S =+ 即：()111924222AD BE AD CF BE CF ⋅+⋅=××+= ∴163BE CF +=， 故选：B ．【变式4-2】（23-24八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，在ABC 中，5ABAC ==，F 是BC 边上任意一点，过F 作FD AB ⊥于D ，FE AC ⊥于E ，若10ABC S =△，则FE FD +=．【答案】4【分析】连接AF ，根据ABC ABF ACF S S S =+ ，即可求解．熟练掌握等腰三角形的性质，正确理解题意，根据等面积法列出等式是解题的关键． 【详解】解：连接AF ，如图：则10ABF A ABC CF S S S =+= △△， 12ABFS AB FD =×△，12ACF S AC FE =×△， ∴111022AC FE AB FD ×+×=，∵5ABAC ==， ∴551022FE FD +=， ∴4FE FD += 故答案为：4题型05三角形的中线在求线段长中的应用【典例分析】【例5-1】（23-24八年级上·重庆·阶段练习）如图，ABC 中，159AB BC ==，，BD 是AC 边上的中线，若ABD △的周长为35，则BCD △的周长是（ ）A ．20B ．29C ．26D ．28【答案】B【分析】本题考查了中线的意义，根据BD 是AC 边上的中线，得到AD CD =，根据ABD △的周长为AB BD AD ++；BCD △的周长为BC BD CD ++，计算周长的差，得到()()1596AB BD AD BC BD CD BC ++−++=−=−=，结合ABD △的周长为35，计算35629−=即可． 【详解】∵BD 是AC 边上的中线， ∴AD CD =，∵ABD △的周长为AB BD AD ++；BCD △的周长为BC BD CD ++，∴()()1596AB BD AD BC BD CD AB BC ++−++=−=−=， ∵ABD △的周长为35， ∴BCD △的周长为35629−=, 故选B【例5-2】（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，AD ，AE 分别是ABC 的高和中线，已知5cm AD =，6cm CE =，则ABC 的面积为 ．【答案】230cm【分析】本题主要考查了求三角形面积，熟知三角形高和中线的定义是解题的关键． 先根据中线的定义求出212BC CE cm ＝＝，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：AE 是ABC 的中线，6cm CE =，212cm BC CE ∴，AD 是ABC 的高，∴2130cm 2ABC S AD BC， 故答案为：230cm【例5-3】（23-24八年级上·陕西渭南·期中）已知ABC ，AD 是BC 边上的中线，且4AC =，若ABD △的周长比ACD 的周长大5，求AB 的长． 【答案】9AB =【分析】本题考查的是三角形的中线，掌握三角形的中线的概念是解题的关键．根据中线的性质得到BD CD =，根据三角形的周长公式计算得到答案．【详解】解：如图，∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD CD =，∵ABD △的周长比ACD 的周长大5，∴()()5AB BD AD AC AD CD ++−++=， ∴5AB AC −=， ∵4AC =， ∴9AB =【变式演练】【变式5-1】（23-24八年级上·福建福州·期末）如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是中线，若3AD =，6ABC S = ，则BE 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据高线求出4BC =，根据AE 是中线即可求解． 【详解】解：∵162ABC S BC AD =××=，3AD =， ∴4BC = ∵AE 是中线， ∴122BE BC == 故选：B【变式5-2】（23-24八年级上·重庆垫江·阶段练习）在ABC 中，AD 为BC 边的中线．若ABD △与ADC △的周长差为3,8AB =，则AC = ． 【答案】5或11AD 为BC 边上的中线，得BD CD =，根据题意，分类讨论进而即可求解，掌握中线的性质是解题的关键． 【详解】解：①当AB AC >时，∵ABD △与ADC △的周长差为3，∴()3AB BD AD AC CD AD ++−++=， ∵AD 为BC 边上的中线，∴BD CD =，∴()3AB BD AD AC CD AD AB AC ++−++=−=，∵8AB =，∴835AC =−=,②当AC AB >时，同理可得3AC AB −=，则8311AC =+= 故答案为：5或11【变式5-3】（21-22八年级上·湖北十堰·阶段练习）如图，在ABC 中()AB BC >，2AC BC =，BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成50和35两部分，求AC 和AB 的长．【答案】40AC =，25AB =【分析】本题主要考查了三角形中线的性质和三边的关系，先根据2AC BC =和三角形的中线列出方程求解，分类讨论①50AC CD +=，②35AC CD +=，注意答案是否满足条件，即是否满足题目给出的条件、是否满足三角形三边的关系．解题的关键是找到等量关系，列出方程．【详解】解：设BDCD x ==，则24AC BC x ==， BC 边上的中线AD 把ABC 的周长分成50和35两部分，AB BC >，①当50AC CD +=，35AB BD +=时， 450x x +=，解得：10x =，441040AC x ∴==×=，10BD CD ==，35351025AB BD ∴=−=−=，2520AB BC ∴=>=，满足条件；20254540BC AB AC +=+=>= ，满足三边关系，40AC ∴=，25AB =；②当35AC CD +=，50AB BD +=时， 435x x +=，解得：7x =，44728AC x ∴==×=，7BD CD ∴==，5050743AB BD =−=−=，28144243AC BC AB +=+=<= ，∴不满足三角形的三边关系，∴不合题意，舍去，综上：40AC =，25AB =题型06三角形的中线与高在证明线段相等中的应用【典例分析】【例6】如图，ABC ∆中，AD 为中线，D ，E 分别为BC ，AD 的中点，且40ABC S ∆=，CM AD ⊥于M ．（1）ABD S ∆= ；（2）若5AE =，求CM 的长；（3）若BN AD ⊥交AD 的延长线于N ，求证：CM BN =．【分析】（1）根据三角形中线的性质得出面积即可；（2）根据三角形面积公式得出CM 即可；（3）根据三角形面积公式进行证明解答．【解答】（1）解：AD 为中线，且40ABC S ∆=，11402022ABD ABC S S ∆∆∴==×=， 故答案为：20；（2）解：AD 为中线，D ，E 分别为BC ，AD 的中点，40ABC S ∆=， ∴111024AEC ACD ABC S S S ∆∆===，12AECS AE CM ∆=⋅， ∴15102CM ×⋅=， 4CM ∴=；（3）证明：AD 为中线，D ，E 分别为BC ，AD 的中点， ∴12ABD ACD ABC S S S ∆∆∆==， 12ABDS AD BN ∆=⋅，12ACD S AD CM ∆=⋅， ∴1122AD BN AD CM ⋅=⋅， CM BN ∴=．【点评】此题是三角形综合题，考查三角形中线的性质和三角形面积公式，关键是根据三角形中线的性质解答．题型07三角形的角平分线在解与平行线相关问题中的应用【典例分析】【例7-1】（22-23八年级上·湖北随州·期中）如图，在ABC 中，DE BC ∥，ABC ∠和ACB ∠的平分线分别交ED 于点G 、F ，若36FG DE ==，，则EB DC +的值为（ ）A ．6B ．7C ．9D ．10【答案】C 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键．由角平分线，平行线的性质可得EGB CBG ABG DFC BCF ACF ∠=∠=∠∠=∠=∠，，则BE EG DC DF ==，，根据EB DC EG DF EF FG DE EF +=+=++−，计算求解即可．【详解】解：∵BG CF 、是ABC ∠和ACB ∠的平分线，∴ABG CBG ACF BCF ∠=∠∠=∠，， ∵DE BC ∥，∴EGB CBG ABG DFC BCF ACF ∠=∠=∠∠=∠=∠，， ∴BE EGDC DF ==，， ∴9EB DC EG DF EF FG DE EF +=+=++−=，故选：C【例7-2】（23-24八年级上·重庆渝北·期中）如图，在ABC 中，ED BC ∥，ABC ∠和ACB ∠的角平分线分别交ED 于点G ，F ，若4BE =，6CD =，3FG =．则ED 的长为 ．【答案】7【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，根据角平分线的定义和平行线的性质可证EBG 和DFC 是等腰三角形，从而可得4EB EG ==，6DC DF ==，然后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．【详解】解：BG 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，ABG CBG ∴∠=∠，ACF BCF ∠=∠，ED BC ∥，EGB CBG ∴∠=∠，DFC BCF ∠=∠，ABG EGB ∴∠=∠，ACF DFC ∠=∠，4EB EG ∴==，6DC DF ==，3FG = ，4637DE EG DF FG ∴=+−=+−=，故答案为：7【例7-3】（23-24八年级上·江苏徐州·期中）如图，BE 是ABC 的角平分线，在AB 上取点D ，使DB DE =．(1)求证：DE BC ∥；(2)若65A ∠=°，45AED ∠=°，求EBC ∠的度数． 【答案】(1)见解析(2)35°【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质、等边对等角、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．（1）由角平分线的定义可得ABE CBE ∠=∠，由等边对等角可得DBE DEB ∠=∠，从而得出CBE DEB ∠=∠，即可得证；（2）由平行线的性质可得45ACB AED ∠=∠=°，由三角形内角和定理得出70ABC ∠=°，最后由角平分线的定义计算即可得出答案．【详解】（1）证明：BE 平分ABC ∠，ABE CBE ∴∠=∠，DB DE = ，DBE DEB ∴∠=∠，CBE DEB ∴∠=∠，DE BC ∴∥；（2）解：DE BC ∥，45ACB AED ∴∠=∠=°，18070ABC ACB A ∴∠=°−∠−∠=°，BE 平分ABC ∠，11703522EBC ABC ∴∠=∠=×°=°．【变式演练】【变式7-1】（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在ABC 中，ED BC ∥，ABC ∠和ACB ∠的平分线分别交ED 于点G 、F ，若37FG ED ==，，则EB DC +的值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．12【答案】B 【分析】本题考查了角平分线，平行线的性质，等角对等边等知识．熟练掌握角平分线，平行线的性质，等角对等边是解题的关键．由角平分线、平行线的性质可得EGB GBC ABG DFC BCF ACF ∠=∠=∠∠=∠=∠，，则EB EG DF DC ==，，根据EB CD ED FG +=+，计算求解即可．【详解】解：∵BG 平分ABC ∠，CF 平分ACB ∠，∴ABG GBC ACF BCF ∠=∠∠=∠，， ∵ED BC ∥，∴EGB GBC ABG DFC BCF ACF ∠=∠=∠∠=∠=∠，， ∴EB EGDF DC ==，， ∴10EB CD EG DF EG FG DG ED FG +=+=++=+=．故选：B【变式7-2】（23-24八年级上·河北沧州·期中）如图，在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作MN BC ∥交AB 于M ，交AC 于N ，若9BM CN +=，则线段MN 的长为 ．【答案】9【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，由角平分线的定义结合平行线的性质可得MBE MEB NEC ECN ∠=∠∠=∠，，由等角对等边得出BM ME EN CN ==，，再由MN BM CN =+，即可得解，熟练掌握角平分线的定义、平行线的性质、等角对等边，是解此题的关键．【详解】解：ABC ACB ∠∠ 、的平分线相交于点E ，MBE EBC ECN ECB ∴∠=∠∠=∠，，MN BC ，EBC MEB NEC ECB ∴∠=∠∠=∠，，MBE MEB NEC ECN ∴∠=∠∠=∠，，BM ME EN CN ∴==，，MN ME EN ∴=+，即MNBM CN =+， 9BM CN += ，9MN ∴=，故答案为：9【变式7-3】（23-24八年级上·河北保定·期末）如图，在ABC 中，46B ∠=°，54C ∠=°，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，点E 是边AC 上一点，若40ADE ∠=°，求证：DE AB ∥．【答案】见解析【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、平行线的判定，由三角形内角和定理得出80BAC ∠=°，由角平分线的定义得出1402BAD BAC ∠=∠=°，从而得出40ADE BAD ∠=∠=°，即可得证． 【详解】证明：∵在ABC 中，46B ∠=°，54C ∠=°，∴180465480BAC ∠=°−°−°=°． ∵AD 平分BAC ∠， ∴1402BAD BAC ∠=∠=°． ∵40ADE BAD ∠=∠=°． ∴DE AB ∥题型08三角形的角平分线与高再求角的度数中的应用【典例分析】【例8-1】（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）如图，ABC 中，AD BC ⊥，AE 平分BAC ∠，70B ∠=°，34C ∠=°，则DAE ∠=（ ）A ．18°B ．34°C ．20°D ．38°【答案】A 【分析】本题主要考查了与角平分线有关的三角形内角和问题．利用垂直求得9056DACC ∠=°−∠=°是正确解答本题的关键．在ABC 中，根据三角形内角和定理得到BAC ∠的度数，进而求出DAC ∠的度数，在直角ACD 中根据三角形内角和定理得到DAC ∠的度数，则DAE ∠的度数就可以求出．【详解】解：在ABC 中，70B ∠=°，34C ∠=°，∴18076BACB C ∠=°−∠−∠=°， 又∵AE 平分BAC ∠， ∴1382EAC BAC ∠=∠=°， 在直角ACD 中，9056DACC ∠=°−∠=°， ∴18DAE DAC EAC ∠=∠−∠=°．故选：A【例8-2】（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图,在ABC 中,AD 是高,AE 是角平分线,若60,16B DAE ∠=°∠=°,则C ∠= ．【答案】28?/28度【分析】本题考查了三角形的高、角平分线、三角形内角和等知识，解题的关键从已知条件入手，逐步推得待求的结论．先由AD 是高与=60B ∠°求得BAD ∠，再求得BAE ∠，再由角平分线AE 推得BAC ∠，最后由三角形的内角和求得C ∠的度数．【详解】∵AD 是高，∴90ADB ∠=°， ∵=60B ∠°，∴9030BADB °∠=−∠=°． ∵16DAE ∠=°， ∴46BAE BAD DAE =+=°∠∠∠． ∵AE 是角平分线，∴46CAEBAE ==°∠∠， ∴92BAC BAE CAE =+=°∠∠∠， 在ABC 中，180180609228CB BAC =°−−=°−°−°=°∠∠∠． 故答案为：28°【例8-3】（23-24八年级上·云南怒江·阶段练习）如图，在ABC 中，AD 是高，AE 、BF 是角平分线，它们相交于点O ，70C ∠=°，60ABC ∠=°，求DAE ∠的度数．【答案】5°【分析】本题考查了三角形的内角和定理、直角三角形的两个锐角互余、三角形的角平分线等知识，熟练掌握三角形的内角和定理是解题关键．先根据三角形的内角和定理求出50BAC ∠=°，再根据直角三角形的性质可得30BAD ∠=°，然后根据角平分线的定义可得1252BAE BAC ∠=∠=°，最后根据DAE BAD BAE ∠=∠−∠求解即可得．【详解】解：∵在ABC 中，70C ∠=°，60ABC ∠=°， ∴18050BACC ABC ∠=°−∠−∠=°， ∵在ABC 中，AD 是高，即AD BC ⊥，∴9030BADABC ∠=°−∠=°， ∵在ABC 中，AE 是角平分线，即AE 是BAC ∠的角平分线，∴1252BAE BAC ∠=∠=°， ∴5DAE BAD BAE ∠=∠−∠=°【变式演练】【变式8-1】（23-24八年级上·山东滨州·期末）如图，在ABC 中，AD 是高，AE 是角平分线．若60BAC ∠=°，70C ∠=°，则EAD ∠的大小为（ ）A ．5°B ．10°C ．15°D ．20°【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，角平分线，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的数量关系．由AD 是高，70C ∠=°，可得20CAD ∠=°，再由AE 是BAC ∠的角平分线，60BAC ∠=°，从而得30CAE ∠=°，进而可求EAD ∠的度数． 【详解】解：AD 是ABC 的高，70C ∠=°，90ADC ∴∠=°，18020CAD ADC C ∴∠=°−∠−∠=°，AE 是BAC ∠的角平分线，60BAC ∠=°， 1302CAE BAC ∴∠=∠=°， 10EAD CAE CAD ∴∠=∠−∠=°．故选：B【变式8-2】（23-24八年级上·四川自贡·期末）如图，在ABC 中，AD 是高，角平分线AE ，BF 相交于点O ，30BAE ∠=°，20DAC ∠=°，则AOB ∠ 的度数是 ．【答案】125°【分析】本题考查的是三角形的高的含义，角平分线的含义，先计算70C ∠=°，60BAC ∠=°，50ABC ∠=°，25ABO ∠=°，再利用三角形的内角和定理可得答案．【详解】解：AD 是ABC 的高，90ADC ∴∠= ，180ADC C CAD ∠+∠+∠=° ，20DAC ∠=°，180902070C ∴∠=°−°−°=°，∵AE 平分BAC ∠，30BAE ∠=°， ∴60BAC ∠=°， 180ABC C CAB ∠+∠+∠°= ，180706050ABC ∴∠=°−°−°=°，BF 分别平分ABC ∠， ∴1252ABO ABC ∠=∠=°， 180ABO BAO AOB ∠+∠+∠= ，1802530125AOB °°°°∴∠=−−=．故答案为：125°【变式8-3】（23-24八年级上·北京·期中）如图，AD 是ABC 的高，AE 是ABC 的角平分线，若38B ∠=°，70C ∠=°．求AEC ∠和DAE ∠的度数．【答案】74AEC ∠=°，16DAE ∠=° 【分析】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，由三角形内角和定理可求得BAC ∠的度数，根据角平分线定义求出EAC ∠的度数，在Rt ADC 中，可求得DAC ∠的度数，最后根据角的和差关系求解即可．【详解】∵38B ∠=°，70C ∠=°，∴18072BACB C ∠=°−∠−∠=°， ∵AE 是角平分线，∴1362EAC BAC ∠=∠=°． ∵AD 是高，70C ∠=°， ∴9020DAC C ∠=°−∠=°， ∴362016EAD EAC DAC ∠=∠−∠=°−°=°， 901674AEC ∠=°−°=°。
三角形高,中线,角平分线综合应用题讲级
三角形高,中线,角平分线综合应用题讲级摘要：1.三角形高、中线、角平分线的概念及性质2.三角形高、中线、角平分线的综合应用方法3.解题步骤与实例分析正文：在几何学中，三角形的高、中线、角平分线是常见的线段类型，它们在解决三角形问题中具有重要作用。
以下将介绍这三者之间的关系及如何综合应用。
一、三角形高、中线、角平分线的概念及性质1.三角形高：从三角形一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段称为三角形的高。
高分为顶角平分线、底边上的高和腰上的高。
2.三角形中线：三角形两个顶点之间的中点连线，称为三角形的中线。
中线把三角形分成两个等面积的三角形。
3.三角形角平分线：从一个顶点向对边作射线，射线与对边的交点称为角平分线。
角平分线把顶点与对边的角分成两个相等的角。
二、三角形高、中线、角平分线的综合应用方法1.利用三角形高、中线、角平分线解决三角形面积问题：已知三角形的一条边和该边上的高，可以求得三角形的面积。
2.利用三角形高、中线、角平分线解决三角形角度问题：已知三角形的一个角和该角的角平分线，可以求得这个角的度数。
3.利用三角形高、中线、角平分线解决三角形形状问题：判断三角形是否为等腰三角形、直角三角形等。
三、解题步骤与实例分析1.读题，了解题意，找出已知条件和所求问题。
2.根据已知条件，找出三角形高、中线、角平分线的关系。
3.运用几何知识，建立解题方程（组）。
4.解方程（组），求解未知量。
5.检验答案，判断是否符合题意。
以下举一个实例进行分析：已知三角形ABC中，AB=AC，BC=2，AD是高，求角B的大小。
解：1.读题，了解题意，找出已知条件和所求问题。
2.根据已知条件，得出三角形ABC是等腰三角形，AD是高。
3.利用等腰三角形性质，得出∠ADB=∠ADC。
4.利用三角形面积公式，得出AB×AD=BC×AD，即AB=2AD。
5.解方程，得出AD=1，AB=2。
6.利用正弦定理，求解∠B的大小。
初中数学知识归纳三角形的中线角平分线高线
初中数学知识归纳三角形的中线角平分线高线初中数学知识归纳：三角形的中线、角平分线、高线三角形是初中数学学习中最基础的几何图形之一，它具有丰富的性质和特点。
本文将归纳总结三角形的中线、角平分线和高线的相关性质，帮助读者更好地理解和掌握这些概念。
一、三角形的中线中线是连接三角形的两个顶点和中点的线段。
三角形的中线有以下特点：1. 任意三角形的三条中线交于一点，这一点称为三角形的重心。
重心所在的位置离三角形的三个顶点距离相等，且重心将中线分成2:1的比例。
2. 三角形的重心到顶点的距离是中线对应中点到顶点距离的2倍，也就是说，如果连接重心和顶点，那么重心到顶点的距离是连接中点和顶点的线段的2倍。
3. 在等边三角形中，三条中线重合，即三条中线交于一点，同时这个点也是三角形的重心。
二、三角形的角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
三角形的角平分线有以下特点：1. 三角形的三条角平分线交于一点，称为三角形的内心。
内心所在的位置距离三角形的三条边的距离相等，且内心到三边的距离之和等于三角形的周长。
2. 在等腰三角形中，三条角平分线重合，即三条角平分线交于一点，同时这个点也是三角形的内心。
3. 角平分线和对边、邻边有如下关系：角平分线等分对边和邻边上的对应角；对边和邻边上的线段与角平分线比例相等。
三、三角形的高线高线是从一个顶点出发，与对边垂直相交的线段。
三角形的高线有以下特点：1. 任意三角形都有三条高线，它们分别从三个顶点出发，并与对边垂直相交。
2. 等腰三角形的高线同时也是角平分线和中线。
3. 在直角三角形中，高线就是斜边上的中线。
总结：三角形的中线、角平分线和高线都有各自的特点和性质。
通过了解和掌握这些性质，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的问题。
在实际应用中，这些概念和性质也有着广泛的应用，例如在建筑、制图、几何证明等方面都可以看到它们的身影。
通过本文的归纳和总结，我们希望读者能够对三角形的中线、角平分线和高线有更全面的了解，并在实际问题中能够运用到这些知识，提高数学解题的能力。
专题四 三角形中的中线、角平分线、高线处理
专题5 解三角形中的中线、角平分线、高线处理解三角形类问题在考查时除了结合正弦定理，余弦定理，勾股定理设置题目外，往往还和三角形的一些常见元素：中线，角平分线，高线结合在一起考查。
在处理相关题目时，我们除了要充分运用正余弦定理处理边角关系，还要结合角平分线，中线，高线自身的一些性质进行解题。
小专题 中线【知识准备】如图，在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别为,,a b c ，D 为BC 的中点 （一）余弦定理法在ABD ∆中，ADB AD a AD a c ∠⋅-+=cos )21(222①在ACD ∆中，)cos()21(222ADB AD a AD a b ∠-⋅-+=π②①+②得)(22222AD BD c b +=+ （二）向量法由于)(21BA BC BD += 所以)cos 2(41222A bc c b AD ++=（三）倍长中线法借助平行四边形性质：平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和。
易得2222)2()(2AD BC AB AC +=+ （四）中线公式在△ABC 中，BC 边上的中线和三边有如下关系（可以用上面三种方法推导）：2)(2222a c b AD -+=一、余弦定理/倍长中线法【题目】在△ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c（1）若0cos sin =+A b B a ，求角A.（2）若D 为BC 的中点，4==AD BC ，求AC AB +的取值范围.ACDB【解析】（1）由正弦定理0cos sin sin sin =+A B B A所以1tan -=A ，又因为),0(π∈A ，43π=∴A （2）解法一利用余弦定理因为D 为BC 的中点，所以4==AD BC由余弦定理，在ABD ∆中，ADB AB ∠⨯⨯-+=cos 42242222① 在ACD ∆中，)cos(42242222ADB AC ∠-⨯⨯-+=π② ①+②得4022=+AC AB所以54)(222=+≤+AC AB AC AB又因为三角形两边之和大于第三边，所以]54,4(∈+AC AB 解法二利用倍长中线由知识准备知80)(2)2(2222=+=+AC AB BC AD 所以4022=+AC AB所以54)(222=+≤+AC AB AC AB又因为三角形两边之和大于第三边，所以]54,4(∈+AC AB 二、向量法【题目】已知ABC ∆的面积为33，且内角C B A ,,依次成等差数列.（1）若A C sin 3sin =，求边AC 的长；（2）设D 为AC 的中点，求线段BD 长的最小值.【解析】（1）依题内角C B A ,,依次成等差数列，则3π=B所以33sin 21==∆B ac S ABC ，即12=ac 又因为A C sin 3sin =，结合正弦定理得a c 3=，所以6,2==c a 在ABC ∆中，由余弦定理得28cos 2222=-+=B ac c a b 解得72=b ，故72=AC （2）因为D 为AC 的中点，所以)(21BA BC BD +=即943)(41)cos 2(4122222=≥++=∠++=ac ac c a ABC ac c a BD当且仅当c a =时等号成立 所以线段BD 长的最小值为3题后反思以上四种处理中线的方法殊途同归，亦可以相互转化，其中倍长中线法和中线公式在使用时需要证明，不可以直接代入处理大题，因此更实用于小题解答；而向量法则可以进行推广，即点D 为BC 边上的三等分点时，也可用向量处理；余弦定理的处理手段则属于通性通法，适用于我们处理与中线有关的大题。
解三角形中线和角平分线处理方法
解三角形中线和角平分线处理方法三角形是初中数学中的重要内容，而其中线和角平分线则是解三角形的重要工具。
本文将介绍三角形中线和角平分线的定义、性质以及处理方法。
一、中线的定义和性质中线是三角形中连接一个角的顶点和对边中点的线段，它把三角形分成两个面积相等的小三角形，并且中线的交点称为三角形的重心。
中线的性质有：1. 三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心。
2. 重心到三角形三个顶点的距离相等，也就是说，重心到三角形三边的距离相等。
3. 重心到三角形三边的距离的平均值等于重心到三角形内心的距离。
4. 三角形的重心是三角形内接圆的圆心。
利用中线可以解决一些三角形的问题，比如求三角形面积、周长和角度等。
二、角平分线的定义和性质角平分线是一个角的两边上的一条线段，它将该角平分成两个大小相等的角。
有时也称为角的平分线。
角平分线的性质有：1. 角平分线分割的两个角大小相等。
2. 角平分线上的点到角的两边距离相等。
3. 角平分线上的点到角的顶点的距离等于角平分线长度的一半。
4. 点在角平分线上的条件是该点到角的两边距离相等。
利用角平分线可以解决一些三角形的问题，比如求三角形面积、周长和角度等。
三、解三角形中线和角平分线处理方法1. 利用中线求三角形面积当已知三角形的三边中线时，可以利用海伦公式求出三角形的面积。
海伦公式是指：设三角形的三边长分别为a、b、c，它们的半周长为s，则三角形的面积S=sqrt[s(s-a)(s-b)(s-c)]。
2. 利用角平分线求三角形面积当已知三角形的一个角的两条角平分线和该角对应的另外两条边时，可以利用正弦定理求出三角形的面积。
正弦定理是指：在任意三角形ABC中，设a、b、c分别为三角形三边的长度，A、B、C分别为三角形三个角的大小，则有a/sinA=b/sinB=c/sinC。
3. 利用中线和角平分线求三角形周长当已知三角形的一个角的两条角平分线和该角对应的另外一条边的长度时，可以利用中线长度公式求出三角形的周长。
三角形中线和角平分线在解题中的应用(整理八种方法)
三角形中线和角平分线在解题中的应用(整理八种方法)本文介绍了一道昆明市统测解三角形的思考题目。
题目分为文科和理科两个版本，其中文科版本中D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC；理科版本中D是BC的中点，AB=4，AC=1，∠BAC=60°，求AD的长度。
文章介绍了角平分线的性质和中点的性质，并提供了两种解题方法：方程思想和余弦定理。
其中，方程思想需要进行较多的计算，而余弦定理则需要使用三边求角的方法。
在三角形ABC中，已知cosB=27/50.在三角形ABD中，其中D在BC上，求AD的长度。
解法1：利用余弦定理根据余弦定理，有AD²=AB²+BD²-2ABBDcosB。
已知AB=BD=3，cosB=27/50，代入得AD²=16/25，因此AD=4/5.解法2：利用面积法根据正弦定理的面积公式，有S(△ABC)=S(△ACD)+S(△ABD)。
已知AB=3，AC=1，∠BAC=60°，因此S(△ABC)=√3/4.又因为AD平分∠BAC，所以S(△ACD)=S(△ABD)，即S(△ACD)=√3/8.根据面积公式S=1/2×底×高，可以得到AD=4/5.解法3：利用坐标法将△ABC放到坐标系中，A放在坐标原点，AC在X轴上，则B坐标为(2,2)。
由于AD平分∠BAC，所以D的坐标为(5/3,0)。
因此AD=2/3×AD=4/5.解法4：利用向量法根据向量的定义，有AD=AB+BD/3.已知AB=3，BD/DC=3/1，因此BD=9/4，DC=3/4.代入得AD=4/5.以上四种解法都可以解决这道题目，其中余弦定理和面积法比较常用，而坐标法和向量法则更加高效。
在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，已知AB=3，AC=1，∠BAC=60°，求AD的长度。
方法六：构造法过点B作AC的平行线交AD的延长线于点E，则△ABD为等腰三角形，且AB=EB=3，∠E=∠BAD=30°。
角平分线与中线
角平分线与中线角平分线和中线是几何学中的重要概念，它们在解题和证明中有着广泛应用。
本文将介绍角平分线和中线的定义、性质以及它们在几何中的应用。
一、角平分线角平分线是指将一个角分成两个相等的角的射线或线段。
具体来说，对于一个角ABC，若有射线或线段AD使得∠CAD = ∠BAD，则AD称为角ABC的角平分线。
角平分线有以下几个重要性质：1. 角平分线的唯一性：对于任意一个角，存在唯一一条角平分线。
这是因为在平面几何中，两条不同的直线最多只能有一个交点。
2. 角平分线的性质：角平分线将原角分成的两个小角相等。
即∠CAD = ∠BAD。
3. 角平分线的外角性质：对于一个凸角ABC及其角平分线AD，有∠ACD = 2∠BAD。
这是因为∠CAD = ∠BAD，而外角等于内错角。
角平分线在解题中有着广泛的应用。
例如，利用角平分线的性质可以证明两条平行线被一组平行线所截得的两个对应角相等；利用角平分线的外角性质可以证明一个三角形的外角等于它所对的内角之和。
二、中线中线是指一个三角形的顶点和对边中点之间的线段。
对于三角形ABC，若M是BC的中点，则AM称为三角形ABC的中线。
中线有以下几个重要性质：1. 中线的唯一性：对于任意一个三角形，存在唯一一条位于三角形内部的中线。
这是因为三角形的三条边只能有一个中点。
2. 中线的性质：中线平分对边。
即BM = MC。
3. 中线的长度：对于一个三角形ABC，有AM^2 = BM^2 + MC^2/4。
这是由勾股定理和中线的性质推导得到的。
中线在解题中也有着广泛的应用。
例如，利用中线的性质可以证明一个三角形的两个内角对应的对边相等；利用中线的长度公式可以求解三角形的边长和面积。
综上所述，角平分线和中线是几何学中重要的概念，它们有着独特的定义和性质，并且在解题和证明中有着广泛的应用。
对于几何学的学习和理解，掌握角平分线和中线的概念和性质是至关重要的。
(完整版)全等三角形问题中常见的8种辅助线的作法(有答案解析)
全等三角形问题中常见的辅助线的作法(有答案)总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之间的相等【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
1.等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题2.倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形3.角平分线在三种添辅助线4.垂直平分线联结线段两端5.用“截长法”或“补短法”：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，6.图形补全法：有一个角为60度或120度的把该角添线后构成等边三角形7.角度数为30、60度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30度或60度，可以从角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。
从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
8.计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形,常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。
常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”法构造全等三角形．2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．3)遇到角平分线在三种添辅助线的方法，（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。
三角形中线与角平分线应用专题(一)
三角形中线与角平分线专题（一）1、中线与面积：例1：如图1，长方形ABCD的长为a，宽为b，E、F分别是BC和CD的中点，DE、BF交于点G，求四边形ABGD的面积.图一图二图三例2：如图2，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，CE的中点，且=16，则为.变式：如图3，=6，若==，则=______．例3：在如图3至图5中，△ABC的面积为a（1）如图3, 延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连结DA．若△ACD的面积为S1，则S1=________（用含a的代数式表示）；（2）如图4，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连结DE．若△DEC的面积为S2，则S2=__________（用含a的代数式表示），并写出理由；（3）在图4的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连结FD，FE，得到△DEF （如图6）．若阴影部分的面积为S3，则S3=__________（用含a的代数式表示）．发现：像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连结所得端点，得到△DEF（如图6），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的_______倍．2、倍长中线原则的应用：例1：(2012·通化)在△ABC中，，则BC边上的中线AD的长的取值范围是什么？练习：如图1，在ABC中，点D是BC边的中点，F，E分别是AD及其延长线上的点，CF∥BE，求证：BDE≌CDF．图一图二图三例2：如图2，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC 于F，AF=EF，求证：AC=BE．变式：如图3，在ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF，求证：AD为ABC的角平分线.例3：如图4，已知AD为ABC的中线，ADB，ADC的平分线分别交AB于E、交AC于F，求证：BE+CF>EF．图四图五变式1：如图5，在RtABC中，A=，点D为BC的中点，点E、F分别为AB、AC上的点，且EDFD．以线段BE、EF、FC为边能否构成一个三角形？若能，该三角形是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形？变式2：如图5，在ABC中，D是BC的中点，DEDF，如果，求证终极变式：(2008年四川省初中数学联赛复赛·初二组)在RtABC中，F是斜边AB的中点，D、E分别在边CA、CB上，满足DFE=．若AD=3，BE=4 ，则线段DE的长度为_________．。
初中数学知识归纳三角形的中线高线角平分线
初中数学知识归纳三角形的中线高线角平分线三角形是初中数学中的基础知识之一，而了解它的特性和性质对于解题和理解其他几何概念都至关重要。
本文将对三角形的中线、高线和角平分线进行归纳总结，帮助同学们更好地理解和运用这些概念。
一、三角形的中线中线是指连接三角形两个顶点和对边中点的线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A和边BC的中点D所得的线段AD就是三角形ABC的中线。
1.1 中线的性质：（1）中线的长度相等：对于任意三角形ABC，三条中线AD、BE、CF的长度相等，即AD = BE = CF。
（2）中线互相平分：三条中线相交于同一个点G，且点G将每条中线分成两等分，即AG = GD，BG = GE，CG = GF。
（3）中线平行于对边：在三角形ABC中，若DE为BC的中线，则DE∥AC，EF为AC的中线，则EF∥BC，FD为AB的中线，则FD∥BC。
二、三角形的高线高线是指从三角形的顶点向对边的垂线段。
对于任意三角形ABC，连接顶点A和边BC的垂线段AH就是三角形ABC的高线。
2.1 高线的性质：（1）高线相交于同一点：对于任意三角形ABC，三条高线AH、BH、CH交于同一个点O，也称为垂心。
（2）高线与对边垂直：在三角形ABC中，高线AH垂直于边BC，高线BH垂直于边AC，高线CH垂直于边AB。
（3）高线长度关系：对于任意三角形ABC，三条高线AH、BH、CH的长度满足关系：AH＝2R（这里的R表示三角形的外接圆半径），BH=2R，CH=2R。
三、三角形的角平分线角平分线是指将一个角平分为两个相等的角的线段。
对于任意三角形ABC，若角A的平分线AD，则称线段AD为三角形ABC的角A的平分线。
3.1 角平分线的性质：（1）角平分线的性质：“角的平分线上的点与角的两边垂直，而且与角的两边所夹的两个小角相等。
”（2）角平分线交于同一点：对于任意三角形ABC，三条角平分线AD、BE、CF交于同一个点I，也被称为内心。
数学三角形解题技巧
数学三角形解题技巧数学中的三角形是一个非常重要的几何形状，解题技巧对于解决三角形相关问题非常重要。
下面将介绍一些常用的数学三角形解题技巧。
1.利用三角形的性质三角形有许多基本性质，比如：内角和等于180度，外角等于与之相邻的内角的和等等。
利用这些性质可以进行简单的数学计算和推理。
2.利用三角形的相似性如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相似的。
利用相似三角形的性质，可以求解相似三角形中未知的边长和角度。
3.利用勾股定理勾股定理是解决三角形问题时非常常用的一个定理。
如果一个三角形的两个边长已知，并且需要求解第三边长，可以利用勾股定理来计算。
4.利用三角形的高、中线、角平分线三角形的高、中线和角平分线都是三角形重要的元素，可以帮助我们求解三角形的面积、边长和角度。
利用这些线段的性质，可以得到已知条件和未知条件之间的关系，进而求解未知量。
5.利用三角函数三角函数是解决三角形相关问题的重要工具。
通过利用正弦、余弦和正切等三角函数的定义和性质，可以求解三角形中的各种问题，特别是在涉及到角度的运算时非常有用。
6.利用三角形的面积公式三角形的面积公式是解决三角形面积问题的基础。
根据三角形的底和高、两个边和夹角、边和高等条件，可以利用三角形面积公式计算出三角形的面积。
7.利用综合性质求解有时候，解决一个三角形问题需要结合多个条件和性质进行综合分析。
这就需要我们将各种已知信息整合起来，利用已知的条件和性质，通过推理和计算找出未知的答案。
以上是关于数学三角形解题的一些常用技巧，希望对你有所帮助。
当然，数学解题的过程中，灵活运用各种数学工具和思维方式也是非常重要的。
只有不断练习和思考，才能提高自己的解题能力。
解三角形中角平分线处理方法高中
解三角形中角平分线处理方法高中
解三角形中角平分线是高中数学中常见的问题，学生们需要掌握正确的处理方法才能解决这类问题。
下面介绍一些处理方法：
1. 利用中线定理
中线定理指的是：三角形中线长度等于其所在的边的一半。
我们可以先将三角形的中线画出来，然后利用中线定理计算出中线的长度，再利用勾股定理求出其他边长，从而解出三角形的面积和角度。
2. 利用相似三角形
如果三角形中角平分线与某一边相交，我们可以通过相似三角形来求解。
先通过角平分线将三角形分成两个小三角形，然后利用相似三角形的性质，求出比例关系，再利用正弦、余弦、正切等三角函数计算出角度。
3. 利用角平分线定理
角平分线定理指的是：一条角的平分线将对角分成两个相等的角。
我们可以利用角平分线定理来求解三角形中角平分线所对应的角度，并进一步求解出其他角度。
以上是解三角形中角平分线的几种常见处理方法，学生们在解题时需要根据具体情况选择合适的方法。
同时，需要注意计算过程中的精度和符号，以及题目是否需要列出所有的解。
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解三角形题目的思考
文科：在△ABC 中，D 是BC 的中点，若AB=4，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______； 理科：在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；
常规解法及题根：
（15年新课标2理科）∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 是∆ADC 面积的2倍。
(Ⅰ)求C
B ∠∠sin sin ; (Ⅱ) 若AD =1，D
C =
22求BD 和AC 的长.
（15年新课标2文科）△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .
（I ）求sin sin B C
∠∠ ； （II ）若60BAC ∠=,求B ∠.
重点结论：角平分线性质：
（1）平分角
（2）到角两边距离相等
（3）线段成比率
中点性质与结论：
（1）平分线段；
（2）向量结论；
（3）两个小三角形面积相等。
题目解法搜集：
解法1（方程思想）：两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解；
在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；
解：在△ABC 中，222BC =AB +AC -2AB AC cos BAC=7∠，则7
因为AD 平分∠BAC ，则AB BD AC DC =
，所以BD=37，DC=7；
在△ABD 中，设AD=x ，利用cos ∠BAD=cos30°=222
2AB AD BD AB AD +- 即2
22373323x x +-⎝⎭=⨯，解得x=
933344。
若在△ADC 中，设AC=m ，则273=1216x x +-,解得x=333。
解法评价：好想，但计算较多，且最终无法取舍两根，需要依靠图片的准确性舍弃一个解。
解法2（余弦定理灵活使用）：两边及夹角，利用余弦定理求第三边，然后在小三角形中求解；
在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；
解：在△ABC 中，222BC =AB +AC -2AB AC cos BAC=7∠，则7
因为AD 平分∠BAC ，则AB BD AC DC =
，所以BD=374，DC=74；
（三边求角）
在△ABC 中，cosB=222AB +BC -AC
2AB BC 2223+7-1237⨯⨯27 在△ABD 中
，222AD =AB +BD -2AB BD cosB =2223737AD =3+-234427⎛⨯⨯ ⎝⎭=2716；
所以AD=33。
解法评价：突出余弦定理两大运用，两边及夹角，利用余弦定理求第三边和三边求角，训练同一个角在不同三角形中求解。
解法3（坐标法）：在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；
解：把△ABC 放到坐标系，A 放到坐标原点，AC 在X 轴上，则
C （1,0），B （32，332），其中
14DF CD EG CB ==； 所以ＤＥ＝ＤＦ＝33，所以ＡＤ＝２ＤＥ＝33
解法评价：在听课好几次听到老师讲坐标法，当然这题坐标作用不大，不多想到把图形摆正之后，解题思路和角平分线到角两边距离就可以使用。
解法４（面积法） 在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；
解：ABC ACD ABD S S S ∆∆∆=+，由正弦定理的面积公式可得：111sin sin sin 222AB AC A AD AC DAC AD AB BAD =∠+∠ 得11131sin 603ADsin 301sin 30222AD ︒︒︒
⨯⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯，秒解ＡＤ＝334
解法5 （向量法）在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；
解：由AB BD AC DC =得BD ：DC=3:1，所以1344AD AB AC =+，则
22213916816AD AB AB AC AC =++，
227=16AD 则ＡＤ＝33
4。
解法评价：此法属于通法，中线和角平分线有类似结论，可以解决一类题型，而且计算中直接使用公式，无需求解复杂方程，实属考试必备方法。
方法六（构造法）：在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；
解：过B 做AC 的平行线交AD 的延长线于点E ，则△ABD 为等腰三角形，
在等腰△ABD 中，AB=EB=3，∠E=∠BAD=30°，解得
ＡＥ＝33，ACD EBD ∆∆,13AD CD AC DE BD AB ===
所以AD １＝
ＡＥ４，得ＡＤ＝334。
解法评价：此法特别巧妙，偏向于喜欢几何证明的学生，特别是喜欢三角形相似，角平分线定理证明的基本思路就和此做法比较相似，此法对于角平分线的题目另辟新径。
解法7（正三角形法）在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，
若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；
解：构造正三角形ABE ，过A 作BE 平行线交BC 延长线于Ｈ。
为了使用ＡＣ：ＣＥ＝1：2，AC CB E ∆∆Ｈ；
所以AH=BG=BE 2１,所以AD=2１ＡＧ=334。
解法8（构造等腰三角形）在△ABC 中，D 在BC 上，AD 平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；
解：过C 做AD 平行线交BA 延长线于点E 。
在等腰△ACE 中（角平分线加平行线必出等腰），
AE=AC=1,∠EAC=120°，所以CE=3。
AD AB 3=CE BE 4=，AD=334。
解法9（极坐标法）在△ABC 中，D 在BC 上，AD
平分∠BAC ，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则
AD=_______；
解：以点A 为极点，AB 为极轴，则C 点极坐标为
（3，3π
），点B （1,0），BC 的直角坐标为B （1,0）
C （
33322，）,33BC k =,BC 直角坐标系方程为y=33（x-1),所以极坐标方程为33cos sin 1ρθρθ-=，当6πθ=时，D 点极坐标为（ρ，
6π），所以AD=ρ=
1133cos sin 33cos sin 66ππθθ=--=33
4。
解法评价：此法对极坐标要求较高，不过避开角平分线几何性质，只不过计算量不小。
解法10（参数方程）：在△ABC中，D在BC上，AD平分∠BAC，若AB=3，AC=1，∠BAC=60°，则AD=_______；
解：设AD的参数方程为
3
2
1
2
x
y t
=
⎧⎪
⎨
⎪⎩
，
BC直角坐标系方程为y=33x-1)，因为D点在BC上，
把B点极坐标带入BC方程解得t=33
，则AD=t。