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辽宁省沈阳市第一七〇中学2019-2020学年高一联合体期末考试数学试卷

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2019-2020学年辽宁省多校联盟高一下学期数学期末试题(解析版)

2019-2020学年辽宁省多校联盟高一下学期数学期末试题(解析版)

2019-2020学年辽宁省多校联盟高一下学期数学期末试题一、单选题1．若复数z 满足32z i i ⋅=-，其中i 为虚数单位，则z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．3 B ．-3C ．3iD ．3i -【答案】A【解析】求出复数z ，即得z 的共轭复数z ，即得答案. 【详解】 ∵32z i i ⋅=-，∴()()()2232323223i i i i i z i i i i i -⋅---+====--⋅--， ∴23z i =-+，∴z 的共轭复数的虚部为3. 故选：A . 【点睛】本题考查复数的除法和共轭复数，属于基础题. 2．已知1sin 4α=，sin 20α<，则tan α=（ ）A ．BC ．D ．【答案】D【解析】利用二倍角公式和平方关系，可求cos α的值，进而求解tan α的值. 【详解】 解：∵1sin 04α=>，sin 22sin cos 0ααα=<，∴cos 0α<，可得cos 4α===-，∴sin tan cos 15ααα==-. 故选：D . 【点睛】本题考查二倍角公式和同角三角函数的关系，属于容易题.3．已知向量3a =，()3,4b =-，且,4a b π<>=，则a 在b 上的投影的数量为（ ）A ．2B ．2C ．2D ．【答案】C【解析】第一个向量在第二个向量上的投影，等于两向量的数量积除以第二个向量的模，由题意代入数据即可计算得解. 【详解】解：∵向量3a =，()3,4b =-，且,4a b π<>=，∴5b =，可得cos ,3522a b a b a b ⋅=<>=⨯⨯=，∴a 在b 上的投影的数量为152252a b b⋅==故选：C . 【点睛】本题考查向量的投影，掌握数量积的定义是解题关键． 4．下列函数中，周期为2π的偶函数是（ ） A ．tan y x = B ．2cos 2y x = C ．2tan 1tan xy x=- D ．sin 2cos 2y x x =-【答案】B【解析】由题意利用三角函数的周期性和奇偶性，从而得出结论. 【详解】解：∵函数tan y x =的周期，即tan y x =的周期，为π，故排除A ；函数21cos 4cos 22x y x +==的周期为242ππ=，且函数为偶函数，故B 满足条件； 函数2tan 1tan 21tan 2x y x x ==⋅-，它的周期为2π，但该函数为奇函数，故C 不满足条件；函数sin 2y x =的周期为22ππ=，故D 不满足条件， 故选：B . 【点睛】本题考查三角函数的奇偶性与周期性，求周期一般要把三角函数化为一个角的三角函数形式且为一次的． 5．函数()1sin cos 653f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最小值为（ ） A ．45-B ．65-C ．15-D ．-1【答案】A【解析】寻找两个角的关系，利用三角函数的诱导公式进行转化，结合三角函数的有界性进行求解即可. 【详解】 解：∵362x x πππ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，∴362x x πππ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭， 则()11sin cos sin cos sin 65365626f x x x x x x ππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=-+-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦14sin sin 5656x x ππ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当sin 16x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭时，()f x 有最小值45- 故选：A . 【点睛】本题考查求三角函数的最值，解题方法是利用诱导公式化简函数为一个角的一个三角函数，然后结合正弦函数性质得最小值．6．若虚数12i -是关于x 的方程20x ax b +=-(a ，R b ∈)的一个根，则a bi +=（ ）A ．29BCD ．3【答案】B【解析】先把12i -代入方程，然后根据复数相等的条件可求a ，b ，再根据模长公式即可求解. 【详解】解：由题意可得，()()212120i a i b --+=-， 所以()3240b a a i --+-=， 故2a =，5b =，则25a bi i +=+=. 故选：B .本题考查实系数方程的复数根，考查复数的模，解决实系数方程的复数根的方法是复数根代入方程利用复数相等的定义求解．7．m ，n 为不重合的直线，α，β，γ为互不相同的平面，下列说法错误的是（ ） A ．若//m n ，则经过m ，n 的平面存在且唯一 B ．若//αβ，m αγ=，n βγ=，则//m nC ．若αγ⊥，βγ⊥，m αβ=，则m γ⊥D ．若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，则//αβ 【答案】D【解析】对于A ，由公理三及其推论得经过m ，n 的平面存在且唯一；对于B ，由面面平行的性质定理得//m n ；对于C ，由线面垂直的判定定理得m γ⊥；对于D ，α与β相交或平行. 【详解】解：由m ，n 为不重合的直线，α，β，γ为互不相同的平面，知：对于A ，若//m n ，则由公理三及其推论得经过m ，n 的平面存在且唯一，故A 正确； 对于B ，若//αβ，m αγ=，n βγ=，则由面面平行的性质定理得//m n ，故B 正确；对于C ，若αγ⊥，βγ⊥，m αβ=，则由线面垂直的判定定理得m γ⊥，故C 正确；对于D ，若m α⊂，n ⊂α，//m β，βn//，则α与β相交或平行，故D 错误. 故选：D . 【点睛】本题考查空间直线、平面间的位置关系贩判断，考查平面的基本性质，旨在考查学生空间想象能力，逻辑推理能力．8．ABC 中，1CA =，2CB =，120ACB ∠=︒，以边AC 所在直线为轴将ABC 旋转一周后，形成的几何体的表面积为（ ）A ．πB ．π C ．)32πD ．)3π【解析】以边AC 所在直线为轴将ABC 旋转一周后，形成的几何体是圆锥ABOD 挖去圆锥CBOD 后剩余的几何体，推导出7AB =，23BD =，由此能求出形成的几何体的表面积. 【详解】解：如图，以边AC 所在直线为轴将ABC 旋转一周后， 形成的几何体是圆锥ABOD 挖去圆锥CBOD 后剩余的几何体， ∵ABC 中，1CA =，2CB =，120ACB ∠=︒， ∴14212cos1207AB =+-⨯⨯⨯︒=，44222cos12023BD =+-⨯⨯⨯︒=，∴以边AC 所在直线为轴将ABC 旋转一周后，形成的几何体的表面积为：()37322123S πππ=⨯⨯+⨯⨯=+故选：B .【点睛】本题考查求旋转体表面积，解题关键是掌握圆锥，圆柱等旋转体的结构．得出组合体是由怎样的基本几何体组合而成．9．已知向量()1,cos2a x =，(sin 23b x =，将函数()f x a b =⋅的图象沿x 轴向左平移ϕ()0ϕ>个单位后，得到的图象关于原点对称，则ϕ的最小值为（ ）A ．12πB ．6πC ．512π D ．3π 【答案】D【解析】根据平面向量数量积的运算和辅助角公式可得()2sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，向左平移ϕ个单位，得到2sin 223y x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，从而有23k πϕπ+=，k Z ∈，再结合0ϕ>，即可得解.【详解】()sin 222sin 23f x a b x x x π=⋅⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图象向左平移ϕ个单位，得到()2sin 22sin 2233y x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，该函数的图象关于原点对称，∴该函数是奇函数，23k πϕπ∴+=，k Z ∈，62k ππϕ∴=-+，k Z ∈， 又0ϕ>，min 3πϕ∴=.故选：D . 【点睛】本题考查数量积的坐标运算、辅助角公式和三角函数的图象变换，属于中档题. 10．在ABC 中，D 为边BC 的中点，AD ＝3，BC ＝4，G 为ABC 的重心，则GB GC ⋅的值为（ ） A ．﹣12 B ．﹣15 C ．﹣3D ．154-【答案】C【解析】利用向量加法、减法和数量积运算，求得GB GC ⋅ 【详解】如图，连接AD ，由于D 是线段BC 的中点，所以重心G 在AD 上，且2AGGD=，所以1GD =，122BD CD BC ===.所以GB GC ⋅()()()()22GD DB GD DC GD DB GD DB GD DB =+⋅+=+⋅-=-22123=-=-.故选：C【点睛】本小题主要考查向量加法、减法和数量积运算，属于基础题.二、多选题11．正四棱锥P ABCD-中，底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°，下列结论正确的是（）A．直线PA与BC、PA与CD所成的角相等B6C．该四凌锥的体积为43D．该四凌锥的外接球的表面为25 3π【答案】AD【解析】对于A，根据异面成角的概念，直线PA与BC、PA与CD所成的角分别为PAD∠，PAB∠，再根据正四棱锥的特点，即可判断选项A是否正确；对于B，由题意可证PO⊥平面ABCD，则PAO∠是侧棱与底面所成角，在Rt PAO即可求出侧棱与底面所成角的正切值，即可判断选项B是否正确；对于C，利用体积公式即可求出该四棱锥的体积，进而判断选项C是否正确；对于D，利用球心和顶点连线，构造直角三角形，利用勾股定理求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积，即可判断选项D是否正确.【详解】连结AC，BD，交于点O，连结PO，取AD中点E，连结OE、PE，如下图所示：对于A ，因为//BC AD ，所以直线PA 与BC 所成角为PAD ∠， 因为//CD AB ，所以PA 与CD 所成的角为PAB ∠， ∵PA PB PD ==，AB AD =，∴PAD PAB ∠=∠， ∴直线PA 与BC 、PA 与CD 所成的角相等，故A 正确； 对于B ，∵PO ⊥平面ABCD ，∴PAO ∠是侧棱与底面所成角，∵A 正四棱锥P ABCD -中，底面边长为2，侧面与底面所成二面角的大小为60°， ∴221122222AO AC ==+=，60PEO ∠=︒，1OE =，2PE =，22213PO =-=，∴侧棱与底面所成角的正切值为36tan 22PAO ∠==，故B 错误； 对于C ，该四棱锥的体积为1143223=333ABCD V S PO =⨯⨯=⨯⨯⨯正方形，故C 错误； 对于D ，由题意可知正四凌锥P ABCD -中外接球的球心在PO 上， 设外接球的球心为M ，连接MC ，设该四棱锥的外接球半径为R ， 在Rt MOC 中，,3,2MC R OM R OC ===,由勾股定理，可得)222R R=+，解得R =，∴该四棱锥的外接球的表面积为22543S R ππ==，故D 正确. 故选：AD. 【点睛】本题主要考查了考查空间中异面直线成角、线面角、锥体的体积以及锥体的外接球等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题．12．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +>B ．若a b >，则cos2cos2A B <C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 【答案】ABD【解析】对于A ，利用A B π+<及余弦函数单调性，即可判断；对于B ，由a b >，可得sin sin A B >，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C ，利用in 12s S ab C =和正弦定理化简，即可判断；对于D ，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断. 【详解】对于A ，∵A B π+<，∴0A B ππ<<-<，根据余弦函数单调性，可得()cos cos cos A B B π>-=-，∴cos cos 0A B +>，故A 正确；对于B ，若sin sin a b A B >⇔>，则22sin sin A B >，则2212sin 12sin A B -<-，即cos2cos2A B <，故B 正确； 对于C ，211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅⋅=，故C 错误；对于D ，在ABC 为非直角三角形，()tan tan tan tan 1tan tan B CA B C B C+=-+=--⋅，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故D 正确.故选：ABD. 【点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．三、填空题13．已知点()1,2P 为角α的终边上一点，则tan2α=______. 【答案】43-【解析】根据点()1,2P 为角α的终边上一点，可得tan α，再根据二倍角的正切公式，即可求出结果. 【详解】因为点()1,2P 为角α的终边上一点，则2tan 21α==， ∴22tan 4tan 21tan 3ααα==--.故答案为：43-.【点睛】本题主要考查了任意角三角函数值的求法和二倍角的正切公式的应用，属于基础题. 14．边长为2的正方形ABCD 中，P 为对角线上一动点，则AP AC ⋅=______.【答案】4【解析】根据平面向量基本定理可知，由于B ､P ､D 三点共线，则存在λ，使得()1AP AB AD λλ=+-，故()1AP AC AB AC AD AC λλ⋅=⋅+-⋅，再结合平面向量数量积的运算即可得解. 【详解】解：∵B ､P ､D 三点共线，∴存在λ，使得()1AP AB AD λλ=+-，∴()()11AP AC AB AD AC AB AC AD AC λλλλ⎡⎤⋅=+-⋅=⋅+-⋅⎣⎦()222cos451222cos454λλ=⋅⨯︒+-⋅⨯︒=.故答案为：4. 【点睛】此题考查平面向量基本定理的应用，考查平面向量数量积的计算，属于基础题15．复数1z ，2z 满足13=z ，22z =，127z z -=，则12z z +=______. 【答案】19【解析】将127z z -=平方可求得12z z ，即可求出212z z +，开方即可. 【详解】因为13=z ，22z =，127z z -=，所以22112227z z z z -+=，即1226z z =，则221212221964192z z z z z z =+++=++=，则2119z z -=. 故答案为：19. 【点睛】本题考查复数模的计算，属于基础题.四、双空题16．已知正四面体ABCD 的棱长为12，其外接球半径R =______；若其内切球的球心为O ，则内切球O 与三棱锥O BCD -的公共部分的体积为______. 【答案】36 26π【解析】由题意画出图形，求解三角形可得正四面体外接球的半径；由对称性可知正四面体外接球与内切球球心相同，求出内切球的半径，得到内切球的体积，由内切球O 与三棱锥O BCD -的公共部分的体积等于内切球体积的四分之一求解. 【详解】 解：如图，设底面三角形外心为F ，连接CF 并延长，交BD 于E ， ∵12BC CD BD ===，∴2212663CE =-=∴23CF =⨯=AF ==设正四面体ABCD 的外接球的半径为R ，则(()222R R =+，解得R =由正四面体的对称性，可得正四面体外接球的球心与内切球的球心重合.则内切球的半径r ==正四面体的体积为11121232⨯⨯⨯=343π⨯=.则正四面体内，内切球外的几何体的体积为， ∴内切球O 与三棱锥O BCD -的公共部分的体积为()14V ⎡⎤=⎣⎦=.故答案为：. 【点睛】此题考查正四面体内切球和外接球问题，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题五、解答题17．已知函数()2sin cos f x x x x ωωω=⋅()0ω>的周期为π.（1）求ω的值；（2）求()f x 的单调增区间.【答案】（1）1ω=；（2）单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈.【解析】（1）先化简解析式为()sin 232f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，再由周期公式求ω的值，（2）由（1）可得函数解析式为()sin 232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解之即可得出函数的单调增区间.【详解】解：（1）∵()2sin cos f x x x x ωωω=⋅)1sin 21cos 222x x ωω=++sin 23x πω⎛⎫=++⎪⎝⎭ ∵周期为π，∴22ππω=，又0>ω，解得1ω=； （2）由（1）可得：()sin 232f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， 令222232k x k πππππ-≤+≤+，k Z ∈，解得：51212k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈， 即函数的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k Z ∈. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换解决三角函数性质问题，属于基础题.18．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，()3cos cos b c A a C -=. （1）求cos A ； （2）若a =ABC 的面积S 的最大值.【答案】（1）13；（2【解析】（1）利用余弦定理将条件转化为变得关系即可求出A 的余弦值. （2）由余弦定理得到22233b c bc =++，结合基本不等式得到bc 的范围，进而可得面积的最大值. 【详解】解：（1）由余弦定理可得()222222322b c a a b c b c a bc ab+-+--⋅=⋅， 整理得22223b c a bc +-=， 则222213cos 223bcb c a A bc bc +-===； （2）由余弦定理2222231cos 223b c a b c A bc bc +-+-===，即22233b c bc =++，因为222323bc b c bc +=+≥，所以94bc ≤，当且仅当b c =时取“=” 因为1cos 3A =，则22sin A =则119223sin 22244S bc A =≤⨯⨯=. 【点睛】本题考查余弦定理，考查三角形面积，考查用基本不等式求最值，掌握余弦定理是解题关键．19．如图，AB 为半圆的直径，C 为半圆上一点(不与A ，B 重合)，PA ⊥平面ABC ，//QB PA ，且2PA QB =.（1）求证：平面PAC ⊥平面QBC ；（2）试问线段AC 上是否存在一点D ，使得//BD 平面CPQ ，若存在，指出D 的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，D 为AC 的中点，证明见解析.【解析】（1）由直径所对的圆周角为直角，以及线面垂直的性质和判定，推得BC ⊥平面PAC ，再由面面垂直的判定定理，即可得证；（2）线段AC 上存在一点D ，且D 为AC 的中点，使得//BD 平面CPQ ，运用三角形的中位线定理和线面平行的判定定理，即可得证. 【详解】（1）证明：由AB 为半圆的直径，C 为半圆上一点(不与A ，B 重合)， 可得AC BC ⊥，由PA ⊥平面ABC ，可得PA BC ⊥，而PA ，AC 为相交直线，可得BC ⊥平面PAC ， 而BC ⊂平面QBC ，可得平面PAC ⊥平面QBC ；（2）线段AC 上存在一点D ，且D 为AC 的中点，使得//BD 平面CPQ . 证明：延长PQ ，与延长AB 交于H ，连接CH ， 由//QB PA ，且2PA QB =，可得B 为AH 的中点， 而D 为AC 的中点，可得//DB CH ，又H 为直线PQ 上的点，可得H 在平面CPQ 内，由BD ⊄平面CPQ ，CH ⊂平面CPQ ，可得//BD 平面CPQ .【点睛】本题考查面面垂直的判定定理、线面平行的判定定理，考查基本分析论证能力，属基础题.20．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90BAD ∠=︒，2AA CD ==1，1AB AD ==，E ，F 分别为棱1BB ，1CC 的中点.（1）在图中作出平面1A FF 与该棱柱的截面图形，并用阴影部分表示(不必写出作图过程)；（2）H 为棱CD 的中点，求异面直线1D H 与EF 所成角的余弦值.【答案】（1）答案见解析；（2）1010. 【解析】（1）取11C D 中点G ，连结1A G ､EG ，四边形1A EFG 是平面1A EF 与该棱柱的截面图形.（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1D H 与EF 所成角的余弦值. 【详解】（1）取11C D 中点G ，连结1A G ､EG ，则四边形1A EFG 是平面1A EF 与该棱柱的截面图形.（2）∵直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 为直角梯形，//AB CD ，90BAD ∠=︒，12AA CD ==，1AB AD ==，E ，F 分别为棱1BB ，1CC 的中点，∴以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()10,0,2D ，()0,1,0H ，()1,1,1E ，()0,2,1F ，()10,1,2H D =-，()1,1,0EF =-， 设异面直线1D H 与EF 所成角为θ，则11cos 105D H EF D H EFθ⋅===⋅. ∴异面直线1D H 与EF 所成角的余弦值为10. 【点睛】本题考查平面的性质，考查异面直线所成角的求法，属于基础题. 21．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知()sin cos2cos sin 22A A C C =-. （1）若3cos 5A =，试判断ABC 的形状； （2）求证：2b c a +=.【答案】（1）直角三角形；（2）证明见解析.【解析】（1）由已知利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得25sin 8sin 30C C -+=，解得sin 1C =，或35，分类讨论，可求三角形为直角三角形； （2）将已知等式两边同时乘以22cos2A，利用三角函数恒等变换的应用可得sin sin 2sin C B A +=，进而根据正弦定理即可证明2b c a +=.【详解】（1）∵23cos 2cos 152A A ==-，可得24cos 25A =， 则21sin25A =，∴4sin 5A =，∴cos2A =，sin 2A =，∵()sin cos2cos sin 22A AC C =-， ∴)2cos 55C C =-，可得2sin 2cos C C =-， ∴()()222sin 2cos C C =-，整理可得：25sin 8sin 30C C -+=，解得sin 1C =，或35， ∴当sin 1C =时，C 为直角，三角形为直角三角形；当3sin cos 5C A ==时，可得2A C π+=，可得B 为直角，三角形为直角三角形； 综上，三角形为直角三角形. （2）∵()sin cos 2cos sin 22A AC C =-. ∴()22sin cos22cos sin cos 222A A A C C =-， ∴()()sin 1cos 2cos sin C A C A +=-，即sin sin cos 2sin sin cos C C A A A C +=-， ∴()()sin sin cos sin cos sin sin sin sin 2sin C C A A C C A C CB A ++=++=+=， ∴由正弦定理得2b c a +=，得证. 【点睛】本题考查三角形内的三角恒等变换，考查正弦定理，属于基础题.22．如图甲，矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为AB 中点，将ADE 沿直线DE 折起成PDE △(如图乙)，连接PC ，PB .在图乙中解答：（1）当平面PDE ⊥平面BCDE 时，求三棱锥B PCE -的体积； （2）F 为PC 中点，连接BF .求证：//BF 平面PDE ，并求线段BF 的长. 【答案】（12；（2）证明见解析，5BF =【解析】（1）取DE 中点O ，连结PO ，推导出PO ⊥平面BCDE ，由此能求出三棱锥B PCE -的体积.（2）取CD 中点G ，连结BG ､FG ，推导出//FG PD ，//BG DE ，从而平面//PDE 平面BFG ，由此能求出//BF 平面PDE .由//FG PD ，//BG DE ，得45BGF EDP ∠=∠=︒，利用余弦定理能求出BF .【详解】（1）取DE 中点O ，连结PO ，∵矩形ABCD 中，2AB =，1AD =，E 为AB 中点， 将ADE 沿直线DE 折起成PDE △，连接PC ，PB ，∴1PD PE ==，90DPA ∠=︒，∴PO DE ⊥，22112DE =+=∴2222122PO ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∵平面PDE ⊥平面BCDE ，平面PDE 平面BCDE DE =，∴PO ⊥平面BCDE ， ∴三棱锥B PCE -的体积：1112211332212P BCE BCE V S PO -=⨯=⨯⨯⨯⨯=△. （2）证明：取CD 中点G ，连结BG ､FG ，∵F 是PC 中点，E 是AB 中点，四边形ABCD 是矩形， ∴//FG PD ，//BG DE ， ∵PDDE D =，FG GB G ⋂=，∴平面//PDE 平面BFG ，∵BF ⊂平面BFG ，∴//BF 平面PDE . ∵//FG PD ，//BG DE ， ∴45BGF EDP ∠=∠=︒，1122FG PD ==，2BG DE ==， ∴221152cos 45222cos 45422BF BG CF BG FG =+-⨯⨯⨯︒=+-⨯⨯⨯︒. 【点睛】本题考查面面垂直的性质，考查三棱锥的体积，考查线面平行的证明，属于中档题.。

辽宁省沈阳市第一七O中学2019-2020学年高一数学上学期阶段性测试试题[含答案]

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辽宁省沈阳市第一七O 中学2019-2020学年高一数学上学期阶段性测试试题（2）命题范围：人教B 版必修3及必修4 总分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题中，只有一项是符合题目要求的．） 1. ),3(y P 为α终边上一点，53cos =α，则=αtan （ ） )(A 43- )(B 34)(C 34± )(D 43±2. 书架上有两本不同的数学书、一本语文书、一本英语书.从中选取2本，两本书中只有一本数学书的概率为（ ） A ．61 B ．32 C ．21 D ． 313.某小组有２名男生和２名女生,从中任选２名同学去参加演讲比赛，在下列选项中,互斥而不对立的两个事件是 ( )A.“至少有1名女生”与“都是女生”B. “恰有1名女生”与“恰有2名女生”C. “至少有1名女生”与“至多有1名女生”D.“至少有1名男生”与“都是女生” 4.已知角βα,均为锐角,且10103sin ,552cos ==βα,则βα-的值为 ( ) A. 4π-B.4πC. 3πD.44ππ-或 5.已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为 ( )A.523.1ˆ+=x yB.423.1ˆ+=x yC. 08.023.1ˆ+=x yD. 23.108.0ˆ+=x y 6.化简的1sin 20-︒结果是（A ）cos10°（B ）sin10°－cos10°（C ）cos10°－sin10°（D ）±(cos10°－sin10°)7．为了得到函数y ＝2sin2x 的图象，可将函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的图象( )A ．向右平移π3个单位B ．向左平移π3个单位C ．向左平移π6个单位D ． 向右平移π6个单位8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ） A ． 6 B ．5 C ．4 D ．79．有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖。

辽宁省沈阳市第一七O中学2019_2020学年高一数学上学期阶段性测试试题

辽宁省沈阳市第一七O中学2019_2020学年高一数学上学期阶段性测试试题

辽宁省沈阳市第一七O 中学2019-2020学年高一数学上学期阶段性测试试题总分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请把所选项前的字母填在答题卷的表格内）1．已知a ＝(1，－2)，b ＝(x ，2)，且a ∥b ，则|b |＝( ) A.2 5B. 5C.10D.52．圆的半径是6 cm ，则圆心角为15°的扇形面积是( )A.π2cm 2B.3π2cm 2 C ．πcm 2D ．3πcm 23．已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为（ ）A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡30π， B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π， C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡40π， D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡60π，4．如图，AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A.a －12bB.12a －bC.a ＋12b D.12a ＋b 5. 已知sin 、cos α是方程3x 2－2x ＋a ＝0的两根，则实数a 的值为( )A.65 B ．－56 C.34D.436.对任意平面向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A.|a ·b |≤|a ||b |B.|a －b |≤||a |－|b ||C.(a ＋b )2＝|a ＋b |2D.(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 27. (1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A.－1B.0C.1D.28. 将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( )A.y ＝sin 2xB.y ＝sin 2x ＋2C.y ＝cos 2xD.y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4 9. 把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p ＝(m ，n )，q ＝(2，1)，则向量p ∥q 的概率为( ) A.118B.112C.19D.1610.设a ＝12cos 2°－32sin 2°，b ＝2tan 14°1－tan 214°，c ＝1－cos 50°2，则有( ) A.a ＜c ＜bB.a ＜b ＜cC.b ＜c ＜aD.c ＜a ＜b11．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4等于( )A.－255B.－3510C.－31010D.25512. 已知O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA →|＝|OB →|＝|OC →|，NA →＋NB →＋NC →＝0，且PA →·PB →＝PB →·PC →＝PC →·PA →，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( ) A ．重心 外心 垂心 B ．重心 外心 内心 C ．外心 重心 垂心 D ．外心 重心 内心二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)．13. 已知向量a ＝(1，2)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ⊥v ，则实数x 的值为____. 14. 在区间[－2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x |≤m 的概率为56，则m ＝________.15. 已知0)cos(2)sin(=+--απαπ，则)(cos )2cos()2sin(22απαπαπ+--+=_____. 16. 已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数解析式f (x )＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17.（10分） 已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， (1)求a 与b 的夹角θ； (2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积.18.（12分）已知0<β<π2<α<π,且cos(2-βα)＝－19,sin ）（βα-2＝23,求cos ）（βα+的值.19. (12分)已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4cos x.(1)求f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值．20. （12分）已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()·f x =a b .(1) 求f (x)的最小正周期.(2) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.21. （12分）某市为增强市民的环保意识，面向全市征召宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示.(1)若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组中各抽取多少名志愿者？(2)在(1)的条件下，决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.22. (12分)已知向量a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝sin(ωx,0)，且ω>0，设函数f (x )＝(a ＋b )·b ＋k ，(1)若f (x )的图象中相邻两条对称轴间距离不小于π2，求ω的取值范围；(2)若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡6,6-ππ，，时，f (x )的最大值为2，求k 的值．高一数学试题答案一．BBCDB BDABD AC 二．13.2-217或 14. 3 15. －1 16. )62sin(ππ+x 三、17.解 (1)∵(2a －3b )·(2a ＋b )＝61， ∴4|a |2－4a ·b －3|b |2＝61.又|a |＝4，|b |＝3，∴64－4a ·b －27＝61，∴a ·b ＝－6.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，∴θ＝2π3.------------------------------------3分(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13，∴|a ＋b |＝13.----------------------6分 (3)∵与的夹角θ＝2π3，∴∠ABC ＝π－2π3＝π3.又||＝|a|＝4，||＝|b |＝3，BC 边上的高为23 ∴S △ABC ＝＝12×3×23＝3 3.------------------10分18.解 ∵0<β<π2<α<π,∴π4<α－β2<π,－π4<α2－β<π2，-----2分∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝1－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝459，------4分cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝1－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝53，---------6分∴cos α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β--------8分＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－19×53＋459×23＝7527-------------10分∴cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729.-------12分 19.解 (1)由cos x ≠0得x ≠k π＋π2(k ∈Z )，---------2分故f (x )的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z.--------4分 (2)因为tan α＝－43，且α是第四象限的角，所以sin α＝－45，cos α＝35，------------6分故f (α)＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π4cos α＝1－2⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2α－22cos2αcos α---------8分＝1－sin2α＋cos2αcos α＝2cos 2α－2sin αcos αcos α-------10分＝2(cos α－sin α)＝145.---------12分20.：解 (Ⅰ) ()·f x =a b =)62sin(2cos 212sin 232cos 21sin 3cos π-=-=-⋅x x x x x x -- 2分最小正周期ππ==22T .所以),62sin()(π-=x x f 最小正周期为π. -----4分 (Ⅱ)上的图像知，在，由标准函数时，当]65,6-[sin ]65,6-[)62(]2,0[ππππππx y x x =∈-∈----------------6分]1,21[)]2(),6-([)62sin()(-=∈-=πππf f x x f . ---------10分所以,f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值分别为21,1-.------- 12分 21. 解 (1)第3组的人数为0.06×5×100＝30， 第4组的人数为0.04×5×100＝20，第5组的人数为0.02×5×100＝10，---------3分 ∵第3，4，5组共有60名志愿者，∴利用分层抽样方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为： 第3组：3060×6＝3；第4组：2060×6＝2；第5组：1060×6＝1；即应从第3，4，5组中分别抽取3名，2名，1名志愿者.-------6分(2)记第3组的3名志愿者为A 1，A 2，A 3，第4组的2名志愿者为B 1，B 2，第5组的1名志愿者为C 1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者有： (A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，C 1)， (A 2，A 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，C 1)， (A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，C 1)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共有15种.---------------10分其中第4组的2名志愿者B 1，B 2至少有一名志愿者被抽中的有：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)，(B 1，C 1)，(B 2，C 1)，共有9种，∴第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为915＝35.-------12分22. [解析] ∵a ＝(3cos ωx ，sin ωx )，b ＝(sin ωx,0)， ∴a ＋b ＝(3cos ωx ＋sin ωx ，sin ωx )．∴f (x )＝(a ＋b )·b ＋k ＝3sin ωx cos ωx ＋sin 2ωx ＋k ＝32sin2ωx －12cos2ωx ＋12＋k＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋12＋k .-------------4分 (1)由题意可得：T 2＝2π2×2ω≥π2.∴ω≤1，又ω>0，∴ω的取值范围是0<ω≤1.--------6分 (2)∵T ＝π，∴ω＝1. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12＋k ∵－π6≤x ≤π6，∴－π2≤2x －π6≤π6.--------8分∴当2x －π6＝π6，即x ＝π6时，f (x )取得最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2.--------10分 ∴sin π6＋12＋k ＝2.∴k ＝1.------12分。

2019-2020学年辽宁省沈阳市郊联体高一下学期期末考试 数学

2019-2020学年辽宁省沈阳市郊联体高一下学期期末考试 数学

绝密★启用前数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a 的值是A.4B.－43C.43D.－43 2.已知向量a ＝(x －5，3)，b ＝(2，x)，且a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是A.{2，3}B.{－1，6}C.{2}D.{6} 3.如图，正方形O'A'C'B'的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形面积2B.24C.2(134.已知0<α<π，2sin2α＝sinα，则sin(α－2π)＝ A.－154 B.－14C.154 D.145.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cosA ＝12，a ＝3，则a b c sinA sinB sinC++++＝ A.12B.3236.在200米高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为 A.2003 B.100mC.4003 D.90m7.在直角三角形ABC 中，角C 为直角，且AC ＝BC ＝2，点P 是斜边上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=A.0B.4C.94D.－948.若将函数f(x)＝2sin(x ＋6π)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向下平移一个单位得到的函数g(x)的图象，函数g(x)A.图象关于点(－12π，0)对称B.最小正周期是2π C.在(0，6π)上递增D.在(0，6π)上最大值是1 9.已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出m ⊥l 的所有序号是①m ⊥α，l ⊥β，α⊥β；②m ⊥α，l //β，α//β；③m ⊂α，l ⊥β，α//β；④m ⊂α，l //β，α⊥βA.①②③B.①②C.②③④D.③④10.△ABC 中，若sin(A ＋B －C)＝sin(A －B ＋C)，则△ABC 必是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形11.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋3π)(ω>0)，若f(x)在[0，23π]上恰有两个零点，则ω的取值范围是A.(1，52)B.[1，52)C.(52，4)D.[52，4) 12.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1＝2，点P 是线段BC 1上的动点，则CP ＋PA 1的最小值为26237＋1D.62第II 卷(非选择题90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年辽宁省沈阳市郊联体高一下学期期末考试数学试题(解析版)

2019-2020学年辽宁省沈阳市郊联体高一下学期期末考试数学试题(解析版)

2019-2020学年辽宁省沈阳市郊联体高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．若角600︒的终边上有一点()4,a -，则a 的值是（ ） A ．43B ．433-C ．4D ．43-【答案】D【解析】利用三角函数定义直接计算得到答案. 【详解】根据题意得到：tan 600tan 6034a︒=︒==-，故43a =-. 故选：D . 【点睛】本题考查了三角函数定义，意在考查学生的计算能力.2．已知向量(5,3),(2,)a x b x =-=，且a b ⊥，则由x 的值构成的集合是（ ） A ．{2,3} B ．{1,6}-C ．{2}D ．{6}【答案】C【解析】由a b ⊥，得=0a b ⋅，列方程即可求得。

【详解】因为向量(5,3),(2,)a x b x =-=，且a b ⊥，所以2(5)35100a b x x x ⋅=-+=-=，解得2x =，故选C. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标表示，是基础题。

3．如图，正方形O A C B ''''的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形面积（ ）A ．B ．4C ．2(1+D ．6【答案】A【解析】由题意求出直观图中O B ''的长度，根据斜二测画法，求出原图形平行四边形的底和高，求出面积即可. 【详解】由正方形O A C B ''''的边长为1cm ，所以O B ''=O A C B ''''是水平放置的一个平面图形的直观图，所以它对应的原图为平行四边形高为2''=O B 底边长为1，所以原图形的面积为1⨯=故选：A 【点睛】本题主要考查斜二测画法，属于基础题.4．已知0πα<<，2sin 2sin αα=，则πsin 2α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．B ．14-C D ．14【答案】B【解析】利用二倍角公式计算余弦值，再利用诱导公式计算即可. 【详解】2sin 2sin αα=，4sin cos sin ααα∴=，而0πα<<，sin 0α≠1cos 4α∴=，ππ1sin sin cos 224ααα⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题考查了二倍角公式和诱导公式，属于基础题.5．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1cos 2A =，a =则sin sin sin a b cA B C（ ）A ．12B C D ．2【答案】D【解析】1cos 2A =得，3sin 2A =， 所以由正弦定理可知，2sin sin sin sin a b c aA B C A++==++，故选D ．6．在200米高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30,60，则塔高为 ( ) A ．2003m B ．100m C ．4003m D ．90m【答案】C 【解析】由tan30°=200DE x BE BE -= 得到BE 与塔高x 间的关系，由tan60°=200BE求出BE 值，从而得到塔高x 的值． 【详解】 如图所示：设山高为AB ，塔高为CD 为 x ，且ABEC 为矩形，由题意得 tan30°=200DE x BE BE-=，∴3200﹣x ）． tan60°=200BE33，33200﹣x ），x=4003（m ），故选：A ． 【点睛】这个题目考查的是解三角形在几何中的应用，应用到了直角三角形的性质，解三角形问题的技巧：①作为三角形问题，它必须要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及其有关三角形的性质，及时进行边角转化，有利于发现解题的思路；②它毕竟是三角变换，只是角的范围受到了限制，因此常见的三角变换方法和原则都是适用的，注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是使问题获得解决的突破口．7．在直角三角形ABC 中，角C 为直角，且2AC BC ==，点P 是斜边上的一个三等分点，则··CP CB CP CA +=（ ） A ．0 B ．4C ．94D ．94-【答案】B【解析】由题意可建立如图所示的坐标系：可得A (2,0)B (0,2),24,33P ⎛⎫⎪⎝⎭或42,33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故可得24,33CP ⎛⎫= ⎪⎝⎭或42,33⎛⎫⎪⎝⎭，()()2,0,0,2CA CB ==，所以()()()2,00,22,2CA CB +=+=，故()()24,2,2433CP CB CP CA CP CB CA ⎛⎫⋅+⋅=⋅+=⋅= ⎪⎝⎭或()()42,2,2433CP CB CP CA CP CB CA ⎛⎫⋅+⋅=⋅+=⋅= ⎪⎝⎭，本题选择B 选项.点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．8．若将函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向下平移一个单位得到的函数()g x 的图象，函数()g x （ ） A ．图象关于点,012π⎛⎫-⎪⎝⎭对称 B ．最小正周期是2πC ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上递增D ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是1【答案】C【解析】根据三角函数的图象变换关系求出函数()y g x =的解析式，结合三角函数的性质分别进行判断即可. 【详解】若将函数()2sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象， 向下平移一个单位得到的函数()y g x =的图象，则()2sin 216g x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， A.20126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，则函数()g x 关于,112π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故A 错误，B.函数的周期22T ππ==，故B 错误， C.当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数()y g x =为增函数，故C 正确， D.由C 知当0,6x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，2,662x πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，此时函数()y g x =无最大值，故D 错误， 故选：C. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的图象变换法则求出函数的解析式，以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，难度不大.9．已知,m l 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出m l ⊥的所有序号是( )①,,αβαβ⊥⊥⊥m l ；②,//,//m l αβαβ⊥；③,,//m l αβαβ⊂⊥；④,//,m l αβαβ⊂⊥ A ．①②③ B ．①②C ．②③④D ．③④【答案】A【解析】根据直线与平面、平面与平面位置关系相关定理依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】m α⊥，αβ⊥ //m β∴或m β⊂，又l β⊥ m l ∴⊥，①正确； m α⊥，//αβ m β∴⊥，又//l β m l ∴⊥，②正确；l β⊥，//αβ l α∴⊥，又m α⊂ m l ∴⊥，③正确；在如图所示的正方体中：11//A D 平面ABCD ，平面11ADD A ⊥平面ABCD ，1AD ⊂平面11ADD A ，此时1AD 与11A D 不垂直，④错误.故选：A 【点睛】本题考查空间中线面关系、面面关系相关命题的辨析，关键是熟练掌握空间中直线与平面、平面与平面位置关系的相关定理.10．ABC ∆中，若sin()sin()A B C A B C +-=-+，则ABC ∆必是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形 【答案】C【解析】结合三角形的内角和公式可得A B C π+=-，A C B π+=-，代入已知化简可得，sin2sin2C B =，结合,B C 的范围从而可得22B C =或22B C π+=，从而可求得结果. 【详解】∵πA B C +=-，πA C B +=-，∴()sin A B C +- ()sin π2C =- sin2sin()C A B C =-+， sin(π2)B =-sin2B =，则sin2sin2B C =，B C =或2π2B C =-， 即：π2B C +=，所以ABC 为等腰或直角三角形，故选C ． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和公式，三角函数的诱导公式，由三角函数值寻求角的关系，属于基础题.11．已知函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，则ω的取值范围是（ ）A ．51,2⎛⎫⎪⎝⎭B ．51,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】由题2[0,]3x π∈，所以2[,]3333w x ππππω+∈+，根据()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点，得到2233w πππ+≥且2333w πππ+<，即可求解，得到答案． 【详解】由题意，函数()()sin()03f x x πωω=+>，因为2[0,]3x π∈，所以2[,]3333w x ππππω+∈+， 又由()f x 在20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恰有两个零点， 所以2233w πππ+≥且2333w πππ+<，解得542w ≤<， 所以ω的取值范围是5,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的综合应用，其中解答中熟记函数零点的概念，合理应用三角函数的图象与性质是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面为直角三角形，90ACB ∠=︒，6AC =，1BC CC ==P 是线段1BC 上一动点，则1CP PA +的最小值是（ ）A ．26B ．52C ．371+D ．62+【答案】B【解析】连A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开与△A 1BC 1在同一个平面内，不难看出CP +P A 1的最小值是A 1C 的连线．（在BC 1上取一点与A 1C 构成三角形，因为三角形两边和大于第三边）由余弦定理即可求解． 【详解】连A 1B ，沿BC 1将△CBC 1展开与△A 1BC 1在同一个平面内， 连接A 1C ，长度即是所求．∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面为直角三角形，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 12=∴矩形BCC 1B 12BC 1＝2； 另外A 1C 1＝AC ＝6；在矩形ABB 1A 1中，A 1B 1＝AB 38BB 12=A 1B 40易发现62+22＝40，即A 1C 12+BC 12＝A 1B 2， ∴∠A 1C 1B ＝90°，则∠A 1C 1C ＝135° 故A 1C 2211111122135362262522AC C C AC C C cos =+-⋅⋅︒=++⨯⋅⋅= 故答案为B. 【点睛】本题考查的知识是棱柱的结构特征及两点之间的距离，其中利用旋转的思想，将△CBC 1沿BC 1展开，将一个空间问题转化为平面内求两点之间距离问题是解答本题的关键．二、填空题13．已知单位向量a 与b 的夹角为120，则3a b -=______.【解析】结合1a b ==，a 与b 的夹角为120，先求23a b -，再开方即可得3a b -的值. 【详解】因为a 与b 是单位向量，所以1a b ==，()222222339696cos120a b a ba b a b a b a b -=-=+-⋅=+-119611132⎛⎫=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以313a b -=.【点睛】本题主要考查了向量的模的求法，属于基础题.14．在钝角ABC 中，已知2a =，4b =，则最大边c 的取值范围是__________．【答案】【解析】利用三角形三边大小关系、余弦定理即可得出． 【详解】因为三角形两边之和大于第三边，故6c a b <+=．22224cos 0224c C +-=<⨯⨯，解得c >c ∴∈．故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形三边大小关系、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 15．已知,022ππαπβ<<<<，3tan 4α=-，()5cos 13βα-=，则sin β的值为 .【答案】6365【解析】【详解】0πβα-<-<，又因为()5cos 013βα-=>，所以02πβα-<-<，12sin()13βα-==-， 因为3tan 4α=-，得3sin cos 4αα=-代入22sin co 2s 1,παπαα+=<<，所以sin 0,cos 0αα><，解得34sin ,cos 55αα==-， sin sin[()]sin cos()cos sin()354126351351365⎛⎫⎛⎫=⨯+-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故答案为：6365. 16．已知ABC 是等腰直角三角形，斜边2AB =，P 是平面ABC 外的一点，且满足PA PB PC ==，120APB ∠=︒，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为________．【答案】163π【解析】P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，设球半径为R ，则()22211R CO R PO =+-，解得答案.【详解】PA PB PC ==，故P 在平面ABC 的投影为ABC 的外心，即AB 中点1O ，故球心O 在直线1PO 上，1112CO AB ==，1133PO BO ==，设球半径为R ，则()22211R CO R PO =+-，解得3R =，故21643S R ππ==. 故答案为：163π.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题17．已知角θ的终边与单位圆221x y +=在第一象限交于点P ，且点P 的坐标为(3,5)y . （1）求tan θ的值；（2）求22sin (2)cos (4)sin cos πθπθθθ+-+的值. 【答案】(1)43;(2)712. 【解析】（1）利用三角函数的定义,建立关于y 的方程,即可求得y .（2）先利用诱导公式化简,再将已知条件代入即可.【详解】（1）由题得2235)1(=y +,点P 在第一象限所以45y =,所以4tan =3θ. （2）22222241sin (2)cos (4)sin cos tan 173==4sin cos sin cos tan 123πθπθθθθθθθθθ⎛⎫- ⎪+-+--⎝⎭==. 【点睛】本题主要考查三角函数的坐标定义,考查同角的商数关系和诱导公式,意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力,难度较易.18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，30B =︒，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+.（1）求()sin A C -的大小；（2）若ABC ∆的面积为ABC ∆的周长.【答案】（1）1；（2）6【解析】（1）由正弦定理化简已知可求222b c a bc +-=-，由余弦定理可得cos A ，结合B ，可得所求．（2）利用ABC ∆的面积可求b=c=a=b ，从而求得周长．【详解】（1）因为()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C -+=+，由正弦定理可得：()()2222a b b c c c b -+=+，整理得222b c a bc +-=-， ∴2221cos 22b c a A bc +-==-，解得120A =︒. 又30B =︒，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，即30C B ==︒，∴()()sin sin 120301A C -=︒-︒=.（2）由（1）知b c =，120A =︒，∴21sin1202b ︒=bc ==由余弦定理，得22212cos 1212212362a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭，即6a =.∴ABC 的周长为6.【点睛】 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．19．如图，在三棱锥A BCD -中，BCD ，ABD △均为边长为2的正三角形.（1）若6AC =，求证：平面ABD ⊥平面BCD ；（2）若22AC =，求三棱锥A BCD -的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）223. 【解析】(1)利用线面垂直判定面面垂直即可；(2)求三棱锥的高，利用体积公式计算即可.【详解】取BD 边中点O ，连接AO ，CO ，∵BCD ，ABD △为边长为2的正三角形，∴BD OA ⊥，3OC OA ==∵2226OC OA AC +==，∴OA OC ⊥，OCBD O =，BD ⊂面BCD ， ∴OA ⊥平面BCD ，∵OA ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥BCD .（2）∵BD OC ⊥，BD OA ⊥，且OAOC O =，OC ，OA ⊂面AOC ， ∴BD ⊥平面AOC .在AOC △中，3OA OC ==22AC = ∴()()221223222AOC S =⨯-=△11222233A BCD AOC V S BD -=⨯⨯==△.【点睛】本题考查了面面垂直的判定和三棱锥的体积，属于中档题.20．已知函数()ππcos 2cos cos 44f x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （1）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程；（2）求函数()f x 在区间ππ,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域.【答案】（1）最小正周期πT =，对称轴方程为ππ32k x =+，k ∈Z ；（2）2⎡⎤⎣⎦. 【解析】（1）先将()f x 化简，再利用周期公式以及()sin y A ωx φ=+的性质求对称轴即可.（2）由（1）得()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由ππ,122x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，求出π26x -的范围，进一步求出πsin 26x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而可得()f x 的值域. 【详解】()222222f x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()222cos sin x x x --2cos 2x x =-π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. （1）函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==， 由ππ2π62x k -=+，得对称轴方程为ππ32k x =+，k ∈Z . （2）∵ππ122x -≤≤，∴ππ5π2366x -≤-≤，由正弦函数的图象πsin 216x ⎛⎫≤-≤ ⎪⎝⎭，∴()f x 的值域是2⎡⎤⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了三角函数的周期，对称轴和值域，涉及两角和差的余弦公式，二倍角公式，辅助角公式，属于中档题.21．在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边()()3a b c a b c ab +++-=.（1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求2a b -的范围.【答案】（1）3π；（2）( 【解析】（1）由题结合余弦定理得角C 的值；（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A B π===得2a b A B -=-，利用三角恒等变换得A 的函数即可求范围【详解】（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=， 由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==， 又∵(0,)C π∈，∴3C π=. （2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A B π===，即,a A b B ==，∴2a b A B -=2sin()3A A π=-2cos A A A =--12cos cos )4sin()26A A A A A π=-=-=-， 又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，则62A ππ<<即0A 63ππ<-<，所以，0sin()6A π<-<即04sin(-)6A π<<， 综上2a b -的取值范围为(0,.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，注意锐角三角形的应用，准确计算是关键，是中档题。

辽宁省沈阳市郊联体2019-2020学年高一下学期期末考试+数学含答案

辽宁省沈阳市郊联体2019-2020学年高一下学期期末考试+数学含答案

2019－2020学年度下学期沈阳市郊联体期末考试高一试题数学考试时间：120分钟试卷总分：150分注意事项：本试卷由第I 卷和第II 卷组成。

第I 卷为选择题部分，一律用2B 铅笔按题号依次填涂在答题卡上：第II 卷为非选择题，按要求答在答题卡相应位置上。

第I 卷(选择题60分)一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a 的值是A.4B.－3C.433D.－4332.已知向量a ＝(x －5，3)，b ＝(2，x)，且a ⊥b，则由x 的值构成的集合是A.{2，3}B.{－1，6}C.{2}D.{6}3.如图，正方形O'A'C'B'的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则它的原图形面积2B.24C.2(1＋3)D.64.已知0<α<π，2sin2α＝sinα，则sin(α－2π)＝A.－154B.－14C.154 D.145.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cosA ＝12，a 3，则a b c sinA sinB sinC++++＝A.12B.323D.26.在200米高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯角分别是30°，60°，则塔高为A.2003B.100mC.4003D.90m7.在直角三角形ABC 中，角C 为直角，且AC ＝BC ＝2，点P 是斜边上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅=A.0B.4C.94D.－948.若将函数f(x)＝2sin(x ＋6π)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向下平移一个单位得到的函数g(x)的图象，函数g(x)A.图象关于点(－12π，0)对称 B.最小正周期是2πC.在(0，6π)上递增 D.在(0，6π)上最大值是19.已知m ，l 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列各组条件中能推出m ⊥l 的所有序号是①m ⊥α，l ⊥β，α⊥β；②m ⊥α，l //β，α//β；③m ⊂α，l ⊥β，α//β；④m ⊂α，l //β，α⊥βA.①②③B.①②C.②③④D.③④10.△ABC 中，若sin(A ＋B －C)＝sin(A －B ＋C)，则△ABC 必是A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形11.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋3π)(ω>0)，若f(x)在[0，23π]上恰有两个零点，则ω的取值范围是A.(1，52) B.[1，52) C.(52，4) D.[52，4)12.在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝CC 1，点P 是线段BC 1上的动点，则CP ＋PA 1的最小值为＋1 D.6第II 卷(非选择题90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分。

2019-2020学年辽宁省沈阳市重点联合体高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年辽宁省沈阳市重点联合体高一下学期期末数学试卷 (解析版)

2019-2020学年辽宁省沈阳市重点联合体高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1．设i为虚数单位，复数z满足zi＝2﹣i，则＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．1+2i2．若cos（α+β）＝，sin（）＝，α，β∈（0，），则cos（）＝（）A．B．C．D．3．一个圆锥的母线长为l，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为（）A．B．C．D．π4．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象如图所示，为了得到f（x）图象，则只需将g（x）＝sin2x的图象（）A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位5．正四面体的棱长为4，则它的外接球的表面积为（）A．12πB．24πC．48πD．96π6．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝4，．将等腰梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．4π7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝60°，b＝2，为使此三角形有两个，则a满足的条件是（）A．0＜a＜2B．0＜a＜3C．3＜a＜2D．a≥2或a＝3 8．已知sin（α﹣）＝，则sin（2α﹣）＝（）A．B．﹣C．D．﹣二、多项选择题：（本大题共4小题：每小题5分，共20分，漏选得3分，错选0分）9．下面关于f（x）＝2sin（2x﹣）叙述中正确的是（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x＝对称C．在区间[0，]上单调D．函数f（x）的零点为+kπ（k∈Z）10．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，考查下列命题其中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，m⊥n，则α∥βB．若m⊥β，α⊥β，则m∥αC．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nD．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β11．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（）A．正三棱锥高为3．B．正三棱锥的斜高为C．正三棱锥的体积为D．正三棱锥侧面积为12．已知函数f（x）＝sin x|cos x|，，有以下结论（）A．f（x）的图象关于直线y轴对称B．f（x）在区间上单调递减C．f（x）的图象关于直线轴对称D．f（x）的最大值为三、填空题：（本大题共4小题：每小题5分，共20分）13．函数y＝tan（2x﹣）的最小正周期为，对称中心为．14．已知复数z满足等式|z﹣i|＝1，则|z﹣1|的最大值为．15．使不等式﹣2sin x≥0成立的x的取值集合是．16．设函数f（x）为定义域为R的奇函数，且f（x）＝f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝sin x，则函数|﹣f（x）在区间[﹣5，8]上的所有零点的和为．四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知||＝2，＝（cosθ，sinθ）．（1）若（2）•（2）＝9，求向量在向量方向的投影的数量．（2）若，且，求向量的坐标．18．已知角α终边上一点坐标（1，﹣3），f（α）＝．（1）求f（α）的值．（2）求f（）的值．（3）求sin（）cos（）的值．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，E为CD的中点，F为PD上一点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面FAE．20．如图，已知四棱锥A﹣BCC1B1底面为矩形，侧面ABC为等边三角形，且矩形BCC1B1与三角形ABC所在的平面互相垂直，BC＝4，BB1＝2，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：AB1∥平面DBC1；（Ⅱ）求点D到平面ABC1的距离．21．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．22．已知向量＝（sin x cos x，1），＝（2sin x，4cos2x），函数f（x）＝．（1）若x∈[﹣，π]，求函数f（x）的减区间；（2）若x∈[0，]，方程f（x）＝a有唯一解，求a的取值范围．参考答案一、单项选择题：（本大题共8小题：每小题5分，共40分）1．设i为虚数单位，复数z满足zi＝2﹣i，则＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．1﹣2i D．1+2i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．解：由zi＝2﹣i，得z＝，∴．故选：A．2．若cos（α+β）＝，sin（）＝，α，β∈（0，），则cos（）＝（）A．B．C．D．【分析】根据同角三角函数关系进行求解，结合两角和差的余弦公式进行转化求解即可．解：∵α+＝α+β﹣（β﹣），∴cos（α+）＝cos[α+β﹣（β﹣）]＝cos（α+β）cos（β﹣）+sin（α+β）sin（β﹣），∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），则sin（α+β）＝，α﹣∈（﹣，），∵sin（）＝，∴cos（）＝，则cos（α+）＝+＝，故选：C．3．一个圆锥的母线长为l，母线与轴的夹角为30°，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为（）A．B．C．D．π【分析】求出底面圆的半径，可得底面圆的周长，再利用弧长公式求出圆锥侧面展开图的圆心角．解：圆锥轴截面的母线与轴的夹角为30°，母线长为l，所以底面圆的半径为r＝l sin30°＝l，所以底面圆的周长为c＝2πr＝πl，所以圆锥侧面展开图的圆心角为α＝＝＝π．故选：D．4．函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象如图所示，为了得到f（x）图象，则只需将g（x）＝sin2x的图象（）A．向右平移个长度单位B．向左平移个长度单位C．向右平移个长度单位D．向左平移个长度单位【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数f（x）的解析式；再利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：根据函数f（x）＝A sin（ωx+φ）的图象，可得A＝1，＝＝﹣＝，∴ω＝2，故f（x）＝sin（2x+φ）．再根据五点法作图可得2×+φ＝π，求得φ＝，∴f（x）＝sin（2x+）．故将g（x）＝sin2x的图象向左平移个单位，可得f（x）＝sin2（x+）＝sin（2x+）的图象，故选：B．5．正四面体的棱长为4，则它的外接球的表面积为（）A．12πB．24πC．48πD．96π【分析】将其补为正方体，正四面体的外接球即为此正方体的外接球，进而得出．解：将其补为正方体，正四面体的外接球即为此正方体的外接球，设此正方体的棱长为a，则2a2＝42，可得：a2＝8．设它的外接球的半径为R，则4R2＝3a2＝24．∴它的外接球的表面积＝4πR2＝24π．故选：B．6．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝4，．将等腰梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（）A．B．C．D．4π【分析】将等腰梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为：以1为底面半径，4为高的圆柱的体积减去两个以1为半径，1为高的两个圆锥的体积，由此能求出结果．解：在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD＝4，．将等腰梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为：以1为底面半径，4为高的圆柱的体积减去两个以1为半径，1为高的两个圆锥的体积，∴将等腰梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为：V＝π×12×4﹣2××1＝．故选：C．7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A＝60°，b＝2，为使此三角形有两个，则a满足的条件是（）A．0＜a＜2B．0＜a＜3C．3＜a＜2D．a≥2或a＝3【分析】计算三角形AB边上的高即可得出结论．解：C到AB的距离d＝b sin A＝3，∴当3＜a＜2时，符合条件的三角形有两个，故选：C．8．已知sin（α﹣）＝，则sin（2α﹣）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】利用诱导公式化简已知可得cos（﹣α）＝，进而利用诱导公式，二倍角的余弦函数公式化简所求即可计算得解．解：∵sin（α﹣）＝cos[﹣（α﹣）]＝cos（﹣α）＝，∴sin（2α﹣）＝cos[﹣（2α﹣）]＝cos（﹣2α）＝2cos2（﹣α）﹣1＝2×（）2﹣1＝﹣．故选：D．二、多项选择题：（本大题共4小题：每小题5分，共20分，漏选得3分，错选0分）9．下面关于f（x）＝2sin（2x﹣）叙述中正确的是（）A．关于点（，0）对称B．关于直线x＝对称C．在区间[0，]上单调D．函数f（x）的零点为+kπ（k∈Z）【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，得出结论．解：对于函数f（x）＝2sin（2x﹣），令x＝，求得f（x）＝0，可得它的图象关于点（，0）对称，故A正确、B不正确．区间[0，]上，2x﹣∈[﹣，]，f（x）单调递增，故C正确．由于f（x）的周期为π，故函数f（x）的零点为+k•（k∈Z），故D不正确，故选：AC．10．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，考查下列命题其中真命题是（）A．若m∥α，n∥α，m∥β，n∥β，m⊥n，则α∥βB．若m⊥β，α⊥β，则m∥αC．若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m⊥nD．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β【分析】根据线线关系、线面关系和面面关系判断每个选项命题的真假即可．解：A．可过m上一点O，作n′∥n，则m∩n′＝O，并且m∥α，n′∥α，设m与n′确定的平面为γ，则α∥γ，同样，β∥γ，从而得出α∥β，即该命题为真命题；B．若m⊥β，α⊥β，则m⊂α，或m∥α，即该命题为假命题；C．根据α⊥β，m⊥α可得出m⊆β或m∥β，又n∥β，∴m与n的关系不确定，从而得出该命题是假命题；D．∵m∥n，n⊥β，∴m⊥β，又m⊂α，∴α⊥β，即该命题为真命题．故选：AD．11．正三棱锥底面边长为3，侧棱长为，则下列叙述正确的是（）A．正三棱锥高为3．B．正三棱锥的斜高为C．正三棱锥的体积为D．正三棱锥侧面积为【分析】正三棱锥S﹣ABCk，底面△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱长为SA＝SB ＝SC＝，取BC中点D，连结SD，AD，过S作SO⊥平面ABC，交AD于O，由此能求出正三棱锥高、斜高、体积和侧面积．解：正三棱锥S﹣ABCk，底面△ABC是边长为3的等边三角形，侧棱长为SA＝SB＝SC＝，取BC中点D，连结SD，AD，过S作SO⊥平面ABC，交AD于O，AD＝＝，AO＝＝＝，∴正三棱锥高为：SO＝＝＝3，故A正确；正三棱锥的斜高为：SD＝＝＝，故B正确；正三棱锥的体积为：V＝＝＝，故C错误；正三棱锥侧面积为：S＝＝，故D正确．故选：ABD．12．已知函数f（x）＝sin x|cos x|，，有以下结论（）A．f（x）的图象关于直线y轴对称B．f（x）在区间上单调递减C．f（x）的图象关于直线轴对称D．f（x）的最大值为【分析】根据条件结合绝对值以及三角函数的倍角公式进行化简，作出函数的图象，利用数形结合分别进行判断即可．解：当x∈[﹣，]时，f（x）＝sin x|cos x|＝sin x cos x＝sin2x，当x∈（，]时，f（x）＝sin x|cos x|＝﹣sin x cos x＝﹣sin2x，作出函数f（x）的图象如图：则函数关于y轴不对称，故A错误，区间[，π]的中点坐标为，区间[π，]的中点坐标为，则f（x）在区间[，]上单调递减，故B正确，由图象知f（x）关于x＝对称；故C正确，当x∈[﹣，]时，2x∈[﹣π，π]，当2x＝时，f（x）取得最大值，故D正确，故正确的是BCD，故选：BCD．三、填空题：（本大题共4小题：每小题5分，共20分）13．函数y＝tan（2x﹣）的最小正周期为，对称中心为（+，0），k∈Z．【分析】由题意利用正切函数的周期性以及图象的对称性，得出结论．解：函数的最小正周期为，令2x﹣＝kπ，求得x＝+，可得函数的图象的对称中心为（+，0），k∈Z，故答案为：；（+，0），k∈Z．14．已知复数z满足等式|z﹣i|＝1，则|z﹣1|的最大值为．【分析】满足|z﹣i|＝1的复数z在复平面内对应的点在以（0，1）为圆心，以1为半径的圆上，画出图形，数形结合求|z﹣1|的最大值．解：满足|z﹣i|＝1的复数z在复平面内对应的点在以（0，1）为圆心，以1为半径的圆上，如图：则|z﹣1|的最大值为两点（1，0）与（0，1）的距离加1．等于．故答案为：．15．使不等式﹣2sin x≥0成立的x的取值集合是[2kπ+，2kπ+]，k∈Z．【分析】根据正弦函数的图象和性质进行求解即可．解：由﹣2sin x≥0得sin x≤，得2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z，即x的取值集合为[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，故答案为：[2kπ+，2kπ+]，k∈Z，16．设函数f（x）为定义域为R的奇函数，且f（x）＝f（2﹣x），当x∈[0，1]时，f（x）＝sin x，则函数|﹣f（x）在区间[﹣5，8]上的所有零点的和为6．【分析】函数|﹣f（x）在区间[﹣5，8]上的所有零点，⇔函数y＝|cos|与f（x）在区间[﹣5，8]上的交点横坐标，分别分析f（x）与y＝y＝|cos|性质及图象，画出图象，结合图象分析结论．解：因为f（x）为定义域为R的奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x），又因为f（x）＝f（2﹣x），所以﹣f（﹣x）＝f（2﹣x），所以f（2+x）＝﹣f（x），所以f（4+x）＝﹣f（2+x）＝﹣[﹣f（x）]＝f（x），所以函数f（x）的周期T＝4，由f（x）＝f（2﹣x）还可得，f（x）关于直线x＝1对称，设y＝|cos|，其周期为•＝2，其图象关于x＝2对称，函数|﹣f（x）在区间[﹣5，8]上的所有零点，即函数y＝|cos|与f（x）在区间[﹣5，8]上的交点横坐标，在（﹣5，8）内有两个函数图象有六个交点，所以[﹣5，8]上的所有零点的和为2（﹣3+1+5）＝6．故答案为：6．四、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知||＝2，＝（cosθ，sinθ）．（1）若（2）•（2）＝9，求向量在向量方向的投影的数量．（2）若，且，求向量的坐标．【分析】（1）先将等式（2）•（2）＝9的左边展开化简运算可得＝1，再根据平面向量数量积的定义求解即可；（2）把代入的坐标中可得向量，设＝（x，y），根据平面向量的模长和数量积的运算法则可列出关于x和y的方程组，解之即可．解：（1）（2）•（2）＝＝4×4﹣4﹣3＝9，∴＝1，∴向量在向量方向的投影的数量为＝＝＝1．（2）∵，∴＝（cosθ，sinθ）＝（，），设＝（x，y），则x2+y2＝4①，∵，∴x y＝0②，由①②解得，或．故向量的坐标为或．18．已知角α终边上一点坐标（1，﹣3），f（α）＝．（1）求f（α）的值．（2）求f（）的值．（3）求sin（）cos（）的值．【分析】（1）由已知利用三角函数的定义可得tanα＝﹣3，进而根据诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解f（α）的值．（2）利用两角和的正切函数公式即可求解．（3）利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．解：（1）∵角α终边上一点坐标（1，﹣3），可得tanα＝﹣3，∴f（α）＝＝＝tanα＝﹣3．（2）f（）＝tan（）＝＝＝﹣．（3）sin（）cos（）＝sin（2α+）＝cos2α＝•＝＝＝﹣．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，E为CD的中点，F为PD上一点．（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面FAE．【分析】（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理可知PA⊥BD，再由菱形的性质可知AC⊥BD，最后根据线面垂直的判定定理即可得证；（Ⅱ）在菱形ABCD中，通过角度的推导计算易得∠BAC＝∠CAD＝60°，∠CAE＝30°，从而∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝90°，即AB⊥AE；再由线面垂直的性质定理可推出PA ⊥AE，最后结合线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）∵PA⊥面ABCD，BD⊂面ABCD，∴PA⊥BD，∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又PA、AC⊂平面PAC，PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC．（Ⅱ）在菱形ABCD中，∠BAD＝180°﹣∠ABC＝120°，∴∠BAC＝∠CAD＝∠BAD ＝60°，∵E为CD的中点，∴∠CAE＝∠CAD＝30°，∴∠BAE＝∠BAC+∠CAE＝60°+30°＝90°，即AB⊥AE，∵PA⊥面ABCD，AE⊂面ABCD，∴PA⊥AE，又PA、AB⊂平面PAB，PA∩AB＝A，∴AE⊥平面PAB，∵AE⊂平面FAE，∴平面PAB⊥平面FAE．20．如图，已知四棱锥A﹣BCC1B1底面为矩形，侧面ABC为等边三角形，且矩形BCC1B1与三角形ABC所在的平面互相垂直，BC＝4，BB1＝2，D为AC的中点．（Ⅰ）求证：AB1∥平面DBC1；（Ⅱ）求点D到平面ABC1的距离．【分析】（Ⅰ）连结B1C，BC1，交于点E，连结DE，推导出DE∥AB1，由此能证明AB1∥平面DBC1．（Ⅱ）以B为原点，在平面ABC中过B作BC的垂线为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面ABC1的距离．解：（Ⅰ）证明：连结B1C，BC1，交于点E，连结DE，∵四棱锥A﹣BCC1B1底面为矩形，∴E是B1C中点，∵D为AC的中点，∴DE∥AB1，∵DE⊂平面DBC1，AB1⊄平面DBC1，∴AB1∥平面DBC1．（Ⅱ）以B为原点，在平面ABC中过B作BC的垂线为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，2，0），C1（0，4，2），D（1，，2），B（0，0，0），＝（1，，2），＝（2，2，0），＝（0，4，2），设平面ABC1的法向量＝（x，y，z），则，取x＝，得＝（，﹣1，2），∴点D到平面ABC1的距离d＝＝＝．21．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．【分析】（1）根据三角形面积公式和正弦定理可得答案，（2）根据两角余弦公式可得cos A＝，即可求出A＝，再根据正弦定理可得bc＝8，根据余弦定理即可求出b+c，问题得以解决．解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝ac sin B＝，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C＝；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C＝，∴cos B cos C﹣sin B sin C＝﹣＝﹣，∴cos（B+C）＝﹣，∴cos A＝，∵0＜A＜π，∴A＝，∵＝＝＝2R＝＝2，∴sin B sin C＝•＝＝＝，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c＝∴周长a+b+c＝3+．22．已知向量＝（sin x cos x，1），＝（2sin x，4cos2x），函数f（x）＝．（1）若x∈[﹣，π]，求函数f（x）的减区间；（2）若x∈[0，]，方程f（x）＝a有唯一解，求a的取值范围．【分析】结合平面向量数量积的坐标运算、二倍角公式和辅助角公式将函数f（x）化简为f（x）＝﹣2sin（2x﹣）+3．（1）令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，解得+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，再结合x∈[﹣，π]的限定，即可得到函数f（x）的减区间；（2）由x∈[0，]，可知2x﹣∈[，]，由于方程f（x）＝a有唯一解，结合正弦型函数的图象可推出sin（2x﹣）∈[，），从而得a的取值范围．解：f（x）＝＝2sin2x﹣sin x cos x+4cos2x＝2（sin2x+cos2x）﹣sin2x+cos2x+1＝﹣2sin（2x﹣）+3．（1）令+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，k∈Z，则+kπ≤x≤+kπ，k∈Z，∵x∈[﹣，π]，∴≤x≤或≤x≤π，故函数f（x）的减区间为和．（2）∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[，]，sin（2x﹣）∈[，1]，∵方程f（x）＝a有唯一解，∴sin（2x﹣）∈[，），∴2＜a≤4．故a的取值范围为（2，4]．。

2019-2020学年辽宁省沈阳市郊联体高一下学期期末考试数学试题

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辽宁省沈阳市郊联体2019-2020学年高一下学期期末考试试题参考『答案』一、选择题： BCABD CBCAC DB二、填空题：13.14. 15. 6365 16. 163π 三、解答题： 17. 解：（1）由题得2235)1(=y +,点P 在第一象限所以45y = ……2分 所以4tan =3θ ……4分（2）22sin (2)cos (4)sin cos πθπθθθ+-+ 22sin cos =sin cos θθθθ- ……6分 2tan 1=tan θθ- ……8分 712= …… 10分 18.解：（1）因为()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C-+=+，由正弦定理可得： ()()2222a b b c c c b -+=+，整理得222b c a bc +-=-， …… 2分 ∴2221cos 22b c a A bc +-==- 解得120A =︒ ……4分 又30B =︒，所以1801203030C =︒-︒-︒=︒，即30C B ==︒，∴()()sin sin 120301A C -=︒-︒=. ……6分（2）由（1）知b c =，120A =︒，∴21sin1202b ︒=解得b c == …… 8分 由余弦定理，得22212cos 1212212362a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯-= ⎪⎝⎭即6a =. ……10分∴ABC ∆的周长为6. ……12分19.解：（1）取BD 边中点O ，连接,AO CO∵BCD ∆，ABD ∆为边长为2的正三角形，∴BD OA ⊥, OC OA ==∵2226OC OA AC +== ……2分 ∴ ,,OA OC OC BD O OC BD BCD ，面⊥=⊂∴OA ⊥平面BCD ， ……4分 ∵OA ⊂平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BCD . ……6分（2）∵,BD OC BD OA ⊥⊥，且,OA OC O =,OA OC AOC 面⊂∴BD ⊥平面AOC ， ……8分 在AOC ∆中，3,22OA OC AC ===，∴12AOC S ∆=⨯= ……10分112333A BCD AOC V S BD -∆⨯⨯=== ……12分20.解：：22()22(cos )()22f x x x x ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦222(cos sin )x x x =-- ……2分2cos 2x x =-2sin(2)6x =- ……4分 ⑴函数()f x 的最小正周期22T ππ== ……5分 由262x k πππ-=+，得对称轴方程为,32k x k Z ππ=+∈ ……7分 ⑵∵122x ππ-≤≤， ∴52366x πππ-≤-≤由正弦函数的图象知sin(2)16x π≤-≤ ……10分 ∴()f x的值域是⎡⎤⎣⎦ ……12分 21.解：（1）由题意()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=， ……1分 由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==， ……3分 又∵(0,)C π∈，∴3C π=. ……5分（2）由正弦定理可知，2sin sin sin 3a b A B π===，即,a A b B ==，∴2a b A B -=2sin()3A A π=-2cos A A =-，4sin()6A =- ……8分 又∵ABC ∆为锐角三角形， ∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，则62A ππ<< ……10分04sin(-)6A π<<综上2a b -的取值范围为(0,. ……12分22.解：（1）证明：由直四棱柱，得BB 1∥DD 1且BB 1=DD 1，所以BB 1D 1D 是平行四边形，所以B 1D 1∥BD ．BD ⊂平面A 1BD ，B 1D 1⊄平面A 1BD ，所以B 1D 1∥平面A 1BD ． ……3分（2）证明：BB 1⊥面ABCD ，AC ⊂面ABCD ，∴BB 1⊥AC ， 又BD ⊥AC ，且BD ∩BB 1=B ，BD ，BB 1⊂面BB 1D∴AC ⊥面BB 1D 而MD ⊂面BB 1D ，∴MD ⊥AC ． ……6分（3）当点M 为棱BB 1的中点时，平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D ……7分 取DC 的中点N ，D 1C 1的中点N 1，连接NN 1交DC 1于O ，连接OM ． N 是DC 中点，BD =BC ，∴BN ⊥DC ； 又面ABCD 面DCC 1D 1 =DC ，而面ABCD ⊥面DCC 1D 1，BN ⊂面ABCD ∴ BN ⊥面DCC 1D 1． ……9分 又可证得，O 是NN 1的中点，∴BM ∥ON 且BM =ON ，即BMON 是平行四边形，∴BN ∥OM ， ……10分∴OM⊥平面CCD1D，……11分1OM⊂面DMC 1，∴平面DMC⊥平面CC1D1D．……12分1。

辽宁省沈阳市第一七O中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题

辽宁省沈阳市第一七O中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题

辽宁省沈阳市第一七O 中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题命题范围:人教B 版必修3，必修4的1.2.4 考试时间：120分钟 分数：150分 第一卷为选择题；第二卷为非选择题一、选择题（共12道题，每题5分共60分） 1.用等值法求247,152的最大公约数是（ ）A . 17 B. 19 C . 29 D. 372.已知角α的终边上有一点P )32cos ,32(sin ππ，则最小正角α的值为A.5π6B.2π3C.5π3D.11π63.如右图，此程序框图输出结果是（ ）A. 20B. 35C. 56D. 614.一所中学有高一、高二、高三共三个年级的学生900名，其中高一 学生400名，高一学生300名，高三学生200名.如果通过分层抽样的 方法从全体高中学生中抽取一个容量为45人的样本，那么应当从三 年级的学生中抽取的人数是（ ）A ．30 10 5B ．25 15 15C ．20 15 10D ．15 15 15 5.在长为12的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正三角形。

此正三角形的面积介于39与316之间的概率（ ）是否A.61 B.81 C.41D.31 6.某赛季甲乙两名运动员上场比赛得分茎叶图如下，则他们的中位数分别是（ ）A.36，33B.37，33C.38，36D.37,367.一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则取到两个异色球的概率是( )0 1 2 3 4 5 8 346 368 389 52 54 978611 94 甲乙A.15B.310C.53 D 52 8.在右图的算法语句中，如果输出的结果是9，则输入的X 值是 A.-4，2 B.-2，2 C.-4，4 D.-2，49.A 为三角形ABC 的一个内角,若12sin cos 25A A +=,则这个 三角形的形状为 （ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰直角三角形D.10.已知sin(α－π4)＝13，则cos(π4＋α)的值为( )A.223 B ．－223 C.13D ．－1311.某种产品的支出广告额x 与利润额y （单位：万元）之间有如下对应数据： A.(5，30 ) B.(4，30) C.(5，35) D.(5，36)12．给出下列各函数值：①)1000sin(0-；②)2200cos(0-；③)10tan(-；④917tancos 107sinπππ.其中符号为负的有（ ） A ．① B ．② C ．③ D ．④二、填空题（共4道题，每题5分共20分）13．已知sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，α是第三象限角，则sin(－α－3π2)sin(3π2－α)tan 3αcos(π2－α)cos(π2＋α)＝_______.14.用秦九韶算法求多项式f （x ）=3x 5-8x 4+5x 3－16x 2+3x －5在 x=3时的值___________.15.对于回归方程25775.4ˆ+=x y,变量x 增加一个单位时, y 平均增加_____个单位.16.高一四班有学生56人，编号1-56.数学老师采用系统抽样的方法抽取8人参加竞赛。

辽宁省沈阳市第一七〇中学2019_2020学年高一数学下学期期末考试试题含解析

辽宁省沈阳市第一七〇中学2019_2020学年高一数学下学期期末考试试题含解析

辽宁省沈阳市第一七〇中学2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知a 是第一象限角，那么2a是（） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第一或第二象限角 D. 第一或第三象限角【答案】D 【解析】 【分析】 根据象限角写出2a 的取值范围，讨论即可知2a在第一或第三象限角 【详解】依题意得22()2k a k k Z πππ<<+∈，则()24a k k k Z πππ<<+∈， 当2k n n Z =∈， 时，2a是第一象限角 当2+1k n n Z =∈， 时，2a是第三象限角 【点睛】本题主要考查象限角，属于基础题． 2.复数212i i-=+（ ） A. i B. i -C. 4355i -- D. 4355i -+ 【答案】A 【解析】2(2)(12)512(12)(12)5i i i ii i i i ---===++-，故选A 3.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ）A. 2B.2sin1C. 2sin1D. sin 2【答案】B 【解析】 【分析】先由已知条件求出扇形的半径为1sin1，再结合弧长公式求解即可. 【详解】解：设扇形的半径为R ，由弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，可得1sin1R =， 由弧长公式可得：这个圆心角所对的弧长是22sin1R =，故选：B.【点睛】本题考查了扇形的弧长公式，重点考查了运算能力，属基础题. 4.若在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形【答案】C 【解析】 【分析】根据2cos B sin A ＝sin C ()sin A B =+，由两角和与差的三角函数化简求解. 【详解】∵在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ， ∴2cos B sin A ＝sin C ＝sin （A +B ）， ∴2cos B sin A ＝sin A cos B +cos A sin B ， ∴sin A cos B ﹣cos A sin B ＝0， ∴sin（A ﹣B ）＝0，A B ππ-<-<，∴A ﹣B ＝0，即A ＝B ， ∴△ABC 为等腰三角形， 故选：C ．【点睛】本题主要考查两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.5.如果42ππα<<，那么下列不等式成立的是（ ）A. sin cos tan ααα<<B. tan sin cos ααα<<C. cos sin tan ααα<<D. cos tan sin ααα<<【答案】C 【解析】 【分析】分别作出角α的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解.【详解】如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ， 很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<. 故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.6.已知向量a ，b ，其中1a =，24a b -=，22a b +=，则a 在b 方向上的投影为( ) A. 2- B. 1 C. 1- D. 2【答案】C 【解析】 【分析】由向量的模的公式，化简得214416b a b +-⋅=，21444b a b ++⋅=，求得32b =，32a b ⋅=-，再结合向量的投影的计算公式，即可求解.【详解】由题意，向量a ，b ，其中1a =，24a b -=，22a b +=， 可得()222224414416a ba b a b b a b -=+-⋅=+-⋅= (1)()2222244144=4a b a b a b b a b +=++⋅=++⋅ (2)联立(1)(2)解得32b =，32a b ⋅=-， 所以a 在b 方向上的投影为1a b b⋅=-.故选：C .【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及向量的投影的计算，其中解答中熟记向量的投影的概念，以及熟练应用向量的数量积的运算公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（2π，32π）内的图象是( )A. B. C.D.【答案】D 【解析】解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {2sin ,tan sin x x xx x x<≥分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．8.对一切R θ∈，213sin cos 2m m θθ->恒成立，则实数m 的取值范围是（）A. 11,32⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 121,,3⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C. 11,23⎛⎫-⎪⎝⎭ D. 11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】先求得sin cos θθ的取值范围，根据恒成立问题的求解策略，将原不等式转化为211322m m ->，再解一元二次不等式求得m 的取值范围.【详解】解：对一切θ∈R ，213sin cos 2m m θθ->恒成立，转化为：213sin cos 2m mθθ->的最大值，又θ∈R 知111sin cos sin 2,222θθθ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，sin cos θθ的最大值为12；所以211322m m ->，解得13m <-或12m >.故选B.【点睛】本小题主要考查恒成立问题的求解策略，考查三角函数求最值的方法，考查一元二次不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.已知复数z a =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）．A. 38z =B. zC. z 的共轭复数为1D. 24z =【答案】AB 【解析】 【分析】利用复数2z =的模长运算及z a =在复平面内对应的点位于第二象限求出a ，再验算每个选项得解.【详解】解：z a =+，且2z=224a +∴=，=1a ±复数z a =在复平面内对应的点位于第二象限1a ∴=- 选项A: 3323(1)(1)+3(1)+3(1))8-=---+= 选项B: 1z =-选项C: 1z =-的共轭复数为1z =-选项D: 222(1)(1)+2()2-=--=-- 故选：AB ．【点睛】本题考查复数的四则运算及共轭复数，考查运算求解能力. 求解与复数概念相关问题的技巧:复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即()a bi a b R ∈+，的形式，再根据题意求解．10.设向量(),2a k =，()1,1b =-，则下列叙述错误的是( ) A. 若2k <-时，则a 与b 的夹角为钝角 B. a 的最小值为2C. 与b 共线的单位向量只有一个为22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D. 若2a b =，则k =- 【答案】CD 【解析】 【分析】根据a 与b 的夹角为钝角，得出0a b ⋅<且a 与b 不共线，求出k 的取值范围，可判断A 选项的正误；根据平面向量的模长公式结合二次函数的基本可判断出B 选项的正误；根据与b 共线的单位向量为b b±可判断C 选项的正误；利用平面向量的模长公式可判断出D 选项的正误.【详解】对于A 选项，若a 与b 的夹角为钝角，则0a b ⋅<且a 与b 不共线，则202a b k k ⎧⋅=-<⎨-≠⎩， 解得2k <且2k ≠-，A 选项中的命题正确； 对于B选项，242a k =+≥=，当且仅当0k =时，等号成立，B 选项中的命题正确；对于C 选项，2b =，与b 共线的单位向量为b b±，即与b共线的单位向量为⎝⎭或⎛ ⎝⎭，C 选项中的命题错误； 对于D 选项，222a b ==，即=2k =±，D 选项中的命题错误.故选：CD.【点睛】本题考查向量有关命题真假的判断，涉及向量的夹角、模长以及单位向量等相关知识，考查推理能力，属于中等题.11.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()()()::9:10:11a b a c b c +++=，则下列结论正确的是（ ）A. sin :sin :sin 4:5:6A B C =B. ABC ∆是钝角三角形C. ABC ∆的最大内角是最小内角的2倍D. 若6c =，则ABC ∆外接圆半径为【答案】ACD 【解析】 分析】由已知可设91011a b x a c x b c x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩，求得4,5,6a x b x c x ===，利用正弦定理可得A 正确；利用余弦定理可得cos 0C >，三角形中的最大C 角为锐角，可得B 错误；利用余弦定理可得3cos 4A =，利用二倍角的余弦公式可得：cos2cos A C =，即可判断C 正确，利用正弦定理即可判断D 正确；问题得解.【详解】因为()()()::9:10:11a b a c b c +++=所以可设：91011a b x a c x b c x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩（其中0x >），解得：4,5,6a x b x c x ===所以sin :sin :sin ::4:5:6A B C a b c ==，所以A 正确； 由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，又()()()2222224561cos 022458x x x a b c C ab x x +-+-===>⨯⨯，所以C 角为锐角，所以B 错误； 由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，又()()()2222226543cos 22654x x x c b a A cb x x +-+-===⨯⨯， 所以21cos22cos 18A A =-=,所以cos2cos A C = 由三角形中C 角最大且C 角为锐角可得：()20,A π∈，0,2C π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以2A C =，所以C 正确； 由正弦定理得：2sin c R C =，又sin C ==所以2R =R =D 正确； 故选ACD【点睛】本题主要考查了正弦定理及余弦定理的应用，还考查了二倍角的余弦公式及计算能力，考查方程思想及转化能力，属于中档题． 12.已知函数()π1sin sin 34f x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则n m -的值不可能是( )A.5π12B.7π12C.34π D.11π12【答案】CD【解析】 【分析】先化简()f x 的解析式，作出()f x 的图象，容易得出n m -的取值范围，则可得答案. 【详解】()π1sin sin 34f x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭ 131=sin sin cos 224x x x ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭ 2131=sin sin cos 224x x x +- ()131=1cos 2sin 2444x x -+- 131sin 2cos 2222x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭1π=sin 226x ⎛⎫- ⎪⎝⎭.作出函数()f x 的图象如图所示,在一个周期内考虑问题，易得π,25π7π66m n ⎧=⎪⎪⎨⎪≤≤⎪⎩或π5π,267π6m n ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪=⎪⎩满足题意，所以n m -的值可能为区间π2π33⎡⎤⎢⎥⎣⎦，内的任意实数.所以A,B 可能，C,D 不可能. 故选CD.【点睛】本题考查三角恒等变换和三角函数的图象与性质.解题的一般思路是先把解析式化成sin()y A x ωϕ=+的形式，再结合图象研究性质.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分.共20分. 13.求值：sin28cos73sin62cos17︒︒︒︒-=_________．【答案】2- 【解析】 【分析】利用诱导公式和两角差的正弦公式进行化简求值.【详解】依题意原式()()sin 28cos 73sin 9028cos 9073=---()()2sin 28cos73cos 28sin 73sin 2873sin 452=-=-=-=-.故答案为：-【点睛】本小题主要考查诱导公式、两角差的正弦公式，属于基础题.14.在AOB 中，已知1OA =，OB =2AOB π∠=.若点C ，D 满足971616OC OA OB =-+，()12CD CO CB =⋅+，则CD CO ⋅的值为_______________. 【答案】1564【解析】 【分析】以,OA OB 为基底向量表示CD CO ，，再由数量积的运算律、定义计算即可． 【详解】∵1()2CD CO CB =+，∴D 为OB 的中点，从而12OD OB =，∴97191161621616CD CO OD OA OB OB OA OB =+=-+=+∵1OA =，OB =2AOB π∠=，∴0OA OB ⋅=∴9197()()16161616CD CO OA OB OA OB ⋅=+⋅- 221(817)256OA OB =-1(8173)256=-⨯1564=. 故答案为：1564．【点睛】本题考查平面向量的数量积，需要根据题意确定基底向量，再根据平面向量基本定理表示所求的向量数量积，进而根据数量积公式求解．属于中档题.15.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .ABC ∆的面积()2214S a c =+，若2sin sin B A C =，则角B 的值为______. 【答案】512π【解析】 【分析】根据面积公式得到和余弦定理得到22sin 2cos ac B b ac B =+，结合2sin B A =sin C 得到1sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，化简得到答案.【详解】因为1sin 2S ac B =，又()2214S a c =+，所以()2211sin 42a c ac B += 所以222sin a c ac B +=，由余弦定理得2222cos a cb ac B +=+ 所以22sin 2cos ac B b ac B =+由2sin sin B A C =结合正弦定理，得2b =所以2sin 2cos ac B ac B =+)sin cos 1B B -=，所以1sin 42B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， 因为()0,B π∈，所以得46B ππ-=，或546B ππ-=（舍去），所以512B π∠=.故答案：512π【点睛】本题考查了面积公式，正弦定理，余弦定理，意在考查学生对于三角公式的综合应用能力.16.函数()3sin 2f x x x =-[]()0,2x π∈的最大值为_________，所有零点之和为_________.【答案】 (1). 232- (2). 143π【解析】 【分析】（1）化简函数得()23sin 26f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，可得()max 232f x =-； （2）令6t x π=-，将函数()f x 的零点问题转化为sin y t =与33y =的交点求解，作出两个函数的图象，根据图象可求解. 【详解】（1）()3sin 3cos 2f x x x =--，()23sin 26f x x π⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭，又[]0,2x π∈，11,666x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，()max 232f x ∴=-； （2）令6t x π=-，则()0f x =即可转化为311sin ,,366t t ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，作出sin y t =与33y =，由图知：交点关于直线322，x x ππ==对称，设函数()f x 的零点为1x ，2x ，3x ，4x 则有 1266x x πππ-+-=，34366x x πππ-+-=1234143x x x x π∴+++=.故答案为：(1). 2- (2).143π【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，函数零点问题的求解，考查了数形结合的数学思想，转化与化归的思想.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()()()()()3sin 3cos 2sin 2cos sin f ππαπαααπαπα⎛⎫--- ⎪⎝⎭=---（1）化简()fα（2）若α是第二象限角,且1cos 23απ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,求()fα的值.【答案】（1）cos α（2）3- 【解析】 试题分析：（1）根据诱导公式对()fα进行化简即可．（2）先由1cos 23πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭求得1sin 3α=，再根据（1）的结论及同角三角函数关系式求解． 试题解析：（1）()()()()()()()3sin 3cos 2sin sin cos cos 2cos cos sin cos sin f ππαπαααααααπαπααα⎛⎫--- ⎪-⎝⎭===----．（2）1cos sin 23παα⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭，1sin 3α∴=， ∵ α是第二象限角， ∴cosα==， ()cos 3f αα∴==-． 18.求下列各式的值.（1）cos20cos40cos80︒︒︒； （24cos80︒︒+. 【答案】（1）18（2）1 【解析】 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化简即可；（2）先切化弦，再利用两角差的正弦公式化简即可.【详解】解：（1）原式1sin160sin 20cos20cos40cos8018sin 20sin 208︒︒===；4sin10cos104sin10cos10cos10︒︒︒︒︒︒︒++= （2）原式()2sin 30102sin20cos10cos10︒︒︒︒︒︒︒+-+== cos10cos10︒︒=1=【点睛】本题主要考查了三角函数的化简求值，涉及了二倍角的正弦公式以及两角差的正弦公式，属于常考题.19.已知向量()1,1a =，()3,4b =-. （1）求a b -的值 ；（2）求向量a 与a b -夹角余弦值. 【答案】（1）5；（2）10【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求模长即可； （2）根据平面向量的坐标运算求夹角的余弦值．【详解】（1）向量a =（1，1），b =（﹣3，4）， 则a b -=（4，﹣3）， ∴|a b -|==5；（2）由（1）向量a 与a b -夹角的余弦值为 cos a ＜，()125a a ba b a a b⋅--===⨯⨯-＞【点睛】本题考查了向量的坐标运算与模长和夹角的计算问题，是基础题． 20.已知函数()()cos sin f x x x x =. （1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若角(0,)απ∈，3()25=αf 2sin(+)3πα的值. 【答案】（1）T π=；单调递增区间为51212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，，；（2）2sin(+)3πα=【解析】 【分析】（1）利用降幂公式结合辅助角公式进行三角恒等变换得到()sin(2)3f x x π=+，由222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得单调增区间；（2）根据3()25=αf 3sin()35πα+=，由2sin(+)sin()333πππαα=++结合两角和正弦公式即可得解.【详解】（1）2()sin cos f x x x x =1sin 222x x =+sin(2)32x π=++T π∴=令222232k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得51212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ， 所以函数()f x 的单调递增区间为51212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，，（2）因为3()25=αf 3sin()35πα++= 故3sin()35πα+=(0)απ∈，，4()333πππα+∈， 又3sin()35πα+=，4cos()35πα∴+=-2sin(+)sin()333πππαα∴=++sin(+)cos cos()sin 3333ππππαα=++314525=⨯-=即23sin(+)310πα-=. 【点睛】此题考查三角函数综合应用，涉及三角恒等变换，求三角函数的最小正周期和单调区间，利用和差公式解决给值求值的问题，属于中档题.21.西北某省会城市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形ABCDE ，其中三角形区域ABE 为球类活动场所；四边形BCDE 为文艺活动场所，,,,,AB BC CD DE EA ，为运动小道（不考虑宽度）0120BCD CDE ∠=∠=，060BAE ∠=，226DE BC CD ===千米.（1）求小道BE 的长度；（2）求球类活动场所ABE ∆的面积最大值. 【答案】（1）37（2）6334【解析】 【分析】（1）连接BD ，在△BCD 中由余弦定理得BD 的值，在Rt△BDE 中，求解BE 即可； （2）设∠ABE ＝α，在△ABE 中，由正弦定理求解AB ，AE ，表示S △ABE ，然后求解最大值． 【详解】如解图所示，连接BD ， （1）在三角形BCD 中，32DEBC CD ===千米，0120BCD ∠=， 由余弦定理得：2222?·cos 27BD BC CD BC CD BCD =+-∠=， 所以33BD =∵BC CD =，0120BCD ∠=，∴030CDB CBD ∠=∠=∵0120CDE ∠=，∴0001203090BDE CDE CDB ∠=∠-∠=-= 在Rt BDE ∆中，()222233637BE BD DE =+=+=（千米）∴小道BE 的长度为37千米；（2）如图所示，设ABE α∠=，∵060BAE ∠=， ∴000018018060120AEB BAE ααα∠=-∠-=--=-在三角形ABE中，由正弦定理可得：sin sin sin AB AE BE AEB ABE BAE ====∠∠∠，∴()120AB α=-，AE α=，∴01sin602ABE S AB AE ∆=⨯()01120sin 2αα=⨯-，()()001cos 120cos 1202αααα⎫⎡⎤=--+---⎬⎣⎦⎭，()01202α=-， ∵000120α<<，∴0001202120120α-<-<， 故当060α=时，ADE S ∆取得最大值，最大值为==∴球类活动场所ABE ∆平方千米. 【点睛】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．22.已知向量(1,cos ),(sin ,3),(0)m x n x ωωω==> ，函数()=⋅f x m n ，且()f x 图象上一个最高点为π(,2)12P 与P 最近的一个最低点的坐标为7π(,2)12- . (Ⅰ)求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)设a 为常数，判断方程()f x a =在区间π[0,]2上的解的个数； （Ⅲ）在锐角ABC ∆中，若πcos()13B -=，求(A)f 的取值范围. 【答案】（1）()2sin(2)3f x xπ=+ （2）见解析（3）(【解析】试题分析：（1）先根据向量数量积得()sin 3cos f x m n x x ωω=⋅=+，再根据配角公式得()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.（2）根据自变量范围画出函数图像，根据正弦函数图像确定交点个数（3）先根据条件求出锐角B ，再根据锐角三角形确定角A 范围为62A ππ<<，最后根据正弦函数性质确定()f A 的取值范围.试题解析：(Ⅰ)()sin 3cos f x m n x x ωω=⋅=+ 132sin cos 22x x ωω⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭2sin 3x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.图象上一个最高点为P，与P 最近的一个最低点的坐标为,7212122T πππ∴=-=，T π∴=，于是22T πω==. 所以()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(Ⅱ)当x ∈ 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，42333x πππ≤+≤，由()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象可知：当)3,2a ⎡∈⎣时，()f x a =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有二解； 当)3,3a ⎡∈-⎣或2a =时，()f x a =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有一解； 当3a <-或2a >时，()f x a =在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上无解. （Ⅲ）在锐角中，，.又，故，. 在锐角中,,,2262AA BA ππππ+∴<<.242333A πππ<+<,33sin 2,322A π⎛⎫⎛⎫∴+∈- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ()2sin 23f A A π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭ ()3,3.∈- 即的取值范围是(3,3.-点睛：三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合，通过变换把函数化为sin()y A x B ωϕ=++的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特征．。

2019-2020学年辽宁省沈阳市重点联合体高一下学期期末数学试卷(解析版)

2019-2020学年辽宁省沈阳市重点联合体高一下学期期末数学试卷(解析版)

2019-2020学年辽宁省沈阳市重点联合体高一第二学期期末数学试卷一、选择题（共8小题）.1 .设i 为虚数单位，复数Z 满足Zi=2-i,则之=( )A. -1+2/B. -l-2zC. 1-2/D. 1+2/2 .若 cos (a+p)=菅，sin ( 5 =县,a, pG (0,；),则 cos ( C £ 4^)=()5&24：A33 R 33 r56 n16A •方 B.前C.次—3 . 一个圆锥的母线长为L 母线与轴的夹角为30。

，则该圆锥侧面展开图的圆心角大小为7T~27 .在ZUBC 中，角A, B, C 所对的边分别为%b 9 c 9已知4=60° ,》=2启，为使此三角形有两个，则。

满足的条件是( )A. 0<A <2A /3B. 0V“V3C. 3V°V2点D.畲或。

=38 .已知 sin (a--)=—,则 sin (2a -)=()4.函数 f (x) =Asin (a)x+<p)(A>0,TTI 。

|＜二丁）的困象如图所示，为了得到/（x ）乙图象，则只需将g （X ）=sin2x 的图象（）B.向左平移七个长度单位6兀D.向左平移一丁个长度单位5.正四面体的枝长为4,则它的外接球的表面积为（）D. 96K在等腰梯形 A3CD 中，AD//BC, 5c=240=4, CD=V2. 将等腰梯形ABCD 绕4。

所 在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（B. 8JT10兀)D. 4n()人向右平々•个长度单位 C.向右平移二个长度单位o 3 b二、多项选择题：（本大题共4小题：每小题5分，共20分，漏选得3分，错选。

分）A.关于点（三，0）对称B.关于直线犬=三对称6兀C.在区间［0,亏］上单调 兀D.函数/的零点为T+垢（k ⑦10.设〃】、〃是两条不同的直战，a 、B 是两个不同的平面，考查下列命题其中真命题是（ ）..兀 RJT12.已知函数/ （x ） =shirlcosxl, ［一寸，有以下结论（ ）乙 乙的图象关于直线」轴对称已知复数Z 满足等式IZ-il=l,则IZ-II 的最大值为 使不等式a- 2siiix^0成立的x 的取值集合是 A 越 A ， g B •-等c -i D - 4 9.下面关于/ (x) =2sin (2x-7T）叙述中正确的是（ ）A.若加〃a.〃〃a,/〃〃配〃〃3加则a 〃R B.若加1＞仇 aJLR, 则 m//a C.若ni±a 9 〃〃氏则〃 lJL 〃D.若加〃〃, 〃邛, mua,则 a±pII.正三棱锥底面边长为3,侧横长为2JWA.正三棱锥高为3. c.正三棱锥的体积为苧则下列叙述正确的是（）B.正三棱锥的斜高为Y 等D.正三棱锥侧面积为三辔 B. f (x) 在区间［・ ,］上单调递减C. / (x) 兀的图象关于直线轴对称乙 D. / (x) 的最大值为之乙 13. 填空如（本大题共4小题：每小题5分，共20分）兀函数」=tan （2r--）的最.小正周期为,对称中心为14. 15.16.设函数/（1）为定义域为R的奇函数，且/（*） =/（2-x）,当xc［0, 1］时，/（x）=sinr,则函数式必二|eos-争H--Cr)在区间［-5, 8］上的所有零点的和为四、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知l/=2, n= (cosQ, sin0).(1)若(2n-3n) •+n) =%求向量口在向量n方向的投影的数量.人兀一一•一(2)若8二一1，且求向量ir的坐标. u27r3sl 7 -a)sin［-兀-a)18. 已知角a终边上一点坐标(1, -3) , / (a)= --------- - ------------- - ----- .儿、/几xcos(—^+ci )sin(—+ <1)乙乙(1)求/(01)的值.(2)求了(04)的值.(3)求sin (Q4^~) COS的值.19.如图，在四枝锥尸-A3CD中，PA上面A3CD,底面A3CD为菱形，且NA5C=60。

辽宁省沈阳市第一七零中学2019_2020学年高一数学上学期阶段性测试试题(含解析)

辽宁省沈阳市第一七零中学2019_2020学年高一数学上学期阶段性测试试题(含解析)

辽宁省沈阳市第一七零中学2019-2020学年高一数学上学期阶段性测试试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把所选项前的字母填在答题卷的表格内）1.已知(1,2)(2)a b x -＝，＝，，且//a b ，则b ＝（ ）A. C. 10D. 5【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标关系可求得x ,即可求得b . 【详解】因为()2)1,(2a b x ==-，，,且//a b 所以()1220x ⨯--⋅=,解得1x =-所以()12b =-，则()21b =-=故选:B【点睛】本题考查了向量平行的坐标关系,向量模的求法,属于基础题. 2. 圆的半径是6 cm ，则圆心角为15°的扇形面积是( ) A.2πcm 2B.32πcm 2C. πcm 2D. 3πcm 2【答案】B 【解析】 【分析】 ∵15°＝12π，∴l ＝12π×6＝2π(cm)，∴S ＝12lr ＝12×2π×6＝32π(cm 2)．【详解】∵15°＝12π，∴l ＝12π×6＝2π(cm)， ∴S ＝12lr ＝12×2π×6＝32π(cm 2)．3.已知()2sin ,[0,]4f x x x ππ⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，则()f x 的单调递增区间为（ ）A. 0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦B. 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦πD. 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义条件及定义域[0,]x π∈,结合正弦函数单调递增区间即可求解. 【详解】函数()f x 定义域为[0,]π,根据二次根式有意义条件可得2sin 040x x ππ⎧⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪≤≤⎩,解得304x π≤≤ 而()f x 的单调递增区间为22,22k x k k Z ππππ-≤≤+∈则22,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈解得322,44k x k k Z ππππ-≤≤+∈ 即304322,44x k x k k Zπππππ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪-≤≤+∈⎪⎩,即0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦故选:C【点睛】本题考查了正弦函数的单调性求法,注意二次根式有意义的条件,属于基础题.4.如图所示，已知AB 是圆O 直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，＝a ，＝b ，则＝( )A. a －12bB.12a －b C. a ＋12bD. 12a ＋b【答案】D 【解析】连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且＝12＝12a ，所以＝＋＝b ＋12a . 5.已知sin α，cos α是方程2320x x a -+=的两根，则实数a 的值为( ) A.65B. 56-C.34D.43【答案】B 【解析】 【分析】2sin cos ,(1)3{sin cos ,(2)3a a aa a +=⋅=解出实数a 即可【详解】由Δ≥0知，a ≤13. 又2sin cos ,(1)3{sin cos ,(2)3a a aa a +=⋅=由(1)2得：sin αcos α＝－518，∴3a ＝－518，∴a ＝－56. 6.对任意向量,ab ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A. a b a b ⋅≤B. a b a b -≤-C. ()22a ba b -=+D. ()()22a ba b a b +-=-【答案】B 【解析】【详解】（A ）cos ,,a b a b a b a b ⋅=≤恒成立，（C ）、（D ）恒成立，（B ）当 ,a b 方向相反时a b a b -≤-不成立 ,所以选B. 7.(1＋tan 17°)(1＋tan 28°)的值是( ) A. －1 B. 0C. 1D. 2【答案】D 【解析】()()1tan171tan28++00000000001tan17tan 28tan17tan 281tan(1728)(1tan17tan 28)tan17tan 28=+++=++-+000001tan 45(1tan17tan 28)tan17tan 282=+-+=，选D.点睛：应用三角公式解决问题的三个变换角度(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等.(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等.8.将函数cos 21y x =+的图象向右平移4π个单位，再向下平移1个单位后得到的函数图象对应的表达式为( ) A. sin 2y x = B. sin 22y x =+ C. cos 2y x = D. cos(2)4y x π=-【答案】A 【解析】【分析】将函数cos 21y x =+的图象向右平移4π个单位，再向下平移一个单位得函数的解析式 【详解】试题分析：解：将函数cos 21y x =+的图象向右平移4π个单位，得到函数cos 21sin 212y x x π⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭再向下平移一个单位得函数的解析式为sin 2y x = 故选A.考点：1、三角函数的图象;2、诱导公式.9.把一颗骰子投掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量(,)(21)p m n q ==，，，则向量//p q 的概率为（ ） A.118B.112C.19D.16【答案】B 【解析】 【分析】根据投掷两次的结果作为(,)p m n =,可得p .由q 及//p q ,可得m 与n 的关系,进而求得符合//p q 的概率.【详解】因为投掷两次的结果作为(,)p m n = 所以(,)p m n =共有36种情况,如下所示:()1,1,()1,2,()1,3,()1,4,()1,5,()1,6;()2,1,()2,2,()2,3,()2,4,()2,5,()2,6; ()3,1,()3,2,()3,3,()3,4,()3,5,()3,6; ()4,1,()4,2,()4,3,()4,4,()4,5,()4,6;()5,1,()5,2,()5,3,()5,4,()5,5,()5,6;()6,1,()6,2,()6,3,()6,4,()6,5,()6,6;因为(,)p m n =,()2,1q =且//p q , 则满足012m n ⨯-=,即2m n =在上述36种情况中,满足2m n =的有()2,1,()4,2,()6,3.共3种. 所以满足//p q 的概率为313612P 故选:B【点睛】本题考查了古典概型概率的求法,将符合要求的事件通过列举法全部列举出来是常用方法,属于基础题. 10.设a ＝12b ＝22tan141tan 14-，c( ) A. a ＜c ＜b B. a ＜b ＜cC. b ＜c ＜aD. c ＜a ＜b【答案】D 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简a 的表达式，利用正切的二倍角公式化简b 的表达式，利用降次公式化简c 的表达式，最后利用正弦函数的单调性以及πsin tan 0,2ααα⎛⎫⎛⎫<∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭这个性质，比较大小，得出正确选项.【详解】由题意可知，a ＝sin 28°，b ＝tan 28°，c ＝sin 25°，∴c ＜a ＜b . 答案D. 【点睛】本小题主要考查利用辅助角公式、二倍角公式以及降次公式化简三角函数的表达式，属于基础题.11.已知1tan()42πα+=，且02πα-<<，则22sin sin 2cos()4ααπα+=-( )A.B.C.【答案】A 【解析】【分析】由条件利用两角和的正切公式求得tan α的值，再利用同角三角函数的基本关系与二倍角公式，求得2224sin sin cos ααπα+⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【详解】解：∵tan （α4π+）1112tan tan αα+==-，则tan α13=-， ∵tan αsin cos αα=，sin 2α+cos 2α＝1，α∈（2π-，0），可得 sinα=-∴()2222cos cos 44sin sin cos sin sin αααααππαα++==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4sin sin cos ααα+=sin α＝（10-）5=-．故选A ．【点睛】本题主要考查两角和的正切公式的应用，同角三角函数的基本关系，二倍角公式，考查计算能力，属于基础题．12.已知O ，N ，P 在ABC ∆所在平面内，且,0OA OB OC NA NB NC ==++=，且•••PA PB PB PC PC PA ==，则点O ，N ，P 依次是ABC ∆的( )（注：三角形的三条高线交于一点，此点为三角型的垂心） A. 重心外心垂心 B. 重心外心内心 C. 外心重心垂心 D. 外心重心内心【答案】C 【解析】【详解】试题分析：因为OA OB OC ==，所以O 到定点,,A B C 的距离相等，所以O 为ABC ∆的外心，由0NA NB NC ++=，则NA NB NC +=-，取AB 的中点E ，则2NA NB NE CN +=-=，所以2NE CN =，所以N 是ABC ∆的重心；由•••PA PB PB PC PC PA ==，得()0PA PC PB -⋅=，即0AC PB ⋅=，所以AC PB ⊥，同理AB PC ⊥，所以点P 为ABC ∆的垂心，故选C.考点：向量在几何中的应用.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上).13.已知向量(12)(1)+22a b x u a b v a b ====-，，，，，，且u v ⊥，则实数x 的值为____. 【答案】72或2- 【解析】 【分析】根据向量的加法和减法运算,可先分别求得u 和v .再由向量垂直的坐标关系即可求得x 的值. 【详解】因为()()1,2,,1a b x == 则()()()21,22,221,4a b x x u =+=+=+()()()2,4,122,3a b x x ν-=-==-因为u ν⊥则满足0u ν⋅=即()()21,42,30x x +⋅-=则()()212120x x +-+=,化简可得223140x x --= 解方程可得127,22x x ==- 故答案为:72或2- 【点睛】本题考查了向量坐标的加法减法运算,向量垂直的坐标关系,属于基础题.14.在区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，则m= _________ ． 【答案】3【解析】【详解】如图区间长度是6，区间[﹣2，4]上随机地取一个数x ，若x 满足|x|≤m 的概率为，若m 对于3概率大于，若m 小于3，概率小于，所以m=3． 故答案为3．15.已知sin()2cos()0παπα--+=，则22sin()cos()cos ()22ππααπα+--+=_____. 【答案】-1 【解析】 【分析】根据诱导公式化简sin()2cos()0παπα--+=可求得tan α的值.由诱导公式化简22sin()cos()cos ()22ππααπα+--+,结合同角三角函数关系式及齐次式的化简,再代入tan α的值即可求解.【详解】由诱导公式化简可知sin()2cos()παπα--+sin 2cos 0αα=+=则sin tan 2cos ααα==- 因为22sin()cos()cos ()22ππααπα+--+ 22cos sin cos ααα=- 2222cos sin cos s cos in ααααα-=+ 分子分母同时除以2cos α可得()222tan 12211tan 121αα--⨯-==-+-+故答案为:1-【点睛】本题考查了三角函数诱导公式的简单应用,同角三角函数关系式的应用,齐次式化简三角函数并求值,属于基础题.16.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)0,22ππωϕ⎛⎫>-≤≤ ⎪⎝⎭的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为，且过点12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数f(x)的解析式为___． 【答案】sin()26x ππ+ 【解析】2πω=∴=,函数()2f x sin x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 再把点12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入函数的解析式可得sin(π+φ)=−sinφ=−12， ∴sinφ=12. 再由,22ππϕ-≤≤,可得(),sin 626f x x πππϕ⎛⎫=∴=+ ⎪⎝⎭. 点睛：已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝2Tπ即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17.已知向量a 与b 满足： 4323(·61())2a b a a b b +＝，＝，－＝， (1)求向量a 与b 的夹角θ； (2)求||a b ＋；(3)若,AB a BC b ==，求△ABC 的面积. 【答案】（1）23π；（2）13；（3）33. 【解析】【详解】试题分析：（1）由数量积的定义求得a b 及a b ，，利用||||a bcos a b θ⋅＝即可求得；（2）利用22222||·()a b a a b a b b ++++＝＝即可求得； （3）利用面积公式即可求得. 试题解析：(1)2223?2614436(()1)a a b a b a b b -+∴⋅＝，－－＝.又436442761a a b b ∴⋅＝，＝，－－＝， 116.cos 432||||a b a b a b θ⋅∴⋅=-∴⋅===-⨯.又20,3πθπθ∴=.(2)2222|()2|a a a b b b a b +⋅+++＝＝2242(6)313,||13a b =+⨯-+=∴+=.(3)AB 与BC 的夹角22,333ABC πππθπ=∴∠=-=. 又||||4,||||3AB a BC b ====，113||||sin 433322ABC S AB BC ABC ∆∴=∠=⨯⨯⨯=. 点睛：平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度. 18.已知0＜β＜2π＜α＜π，且1cos()=29βα--，2sin()23αβ-=，求cos （α＋β）的值． 【答案】．【解析】试题分析：（1）三角函数的给值求值的问题一般是正用公式将“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角三角函数值，代入展开即可，注意角的范围;（2）利用两角和正弦公式和降幂公式化简，要熟练掌握公式，不要把符号搞错，很多同学化简不正确;（3）求解较复杂三角函数的最值时，首先化成形式，在求最大值或最小值,寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；正确灵活运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值，注意题中角的范围． 试题解析：解：，，∴()2αβ-＝21sin ()2αβ--＝53，sin ()2βα-＝21cos ()2βα--＝459，∴2αβ+＝()()22βααβ⎡⎤---⎢⎥⎣⎦＝()2βα-()2αβ-＋sin ()2βα-sin ()2αβ-＝1()9-×5＋45×23＝75，∴（α＋β）＝22αβ+－1＝2×495729⨯－1＝－239729． 考点：根据三角函数值求值．19.已知函数f(x)＝12(2)4 sin x cos xπ－－.(1)求函数f(x)的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f(α)的值． 【答案】（1）|2x x k k Z ππ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭＋，（2）145 【解析】 分析】(1)函数f(x)要有意义需满足cos x≠0，解得x≠2π＋kπ(k∈Z)； （2）由tan α＝－43得cos α＝35，sin α＝－45，代入函数f(x)即可 【详解】(1)函数f(x)要有意义需满足cos x≠0，解得x≠2π＋kπ(k∈Z)，即f(x)的定义域为|2x x k k Z ππ⎧⎫≠∈⎨⎬⎩⎭＋， (2)f(x)＝1(2)4 x cos x π－＝1?22)1?2?222 x x cos x sin x cos x cos x＋－＝＝ 222? cos x sin xcos xcos x－＝2(cos x －sin x)，由tan α＝－43，得sin α＝－43cos α，又∵sin 2α＋cos 2α＝1， ∴cos 2α＝925. ∵α是第四象限的角，∴cos α＝35，sin α＝－45， ∴f(α)＝2(cos α－sin α)＝14520.已知向量1(cos ,),,cos2),2x x x x =-=∈a b R , 设函数()?f x =a b . (Ⅰ) 求f (x)的最小正周期. (Ⅱ) 求f (x) 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】(Ⅰ)22T ππ==(Ⅱ)max ()1f x =min 1()2f x =- 【解析】 【分析】先求出f (x)，然后根据三角函数的性质求解即可. 【详解】()f x a b =⋅1cos cos 22x x x -12cos 222x x =- πsin(2)6x =-（Ⅰ）()f x 的最小正周期为22T ππ==. （Ⅱ）[0,]2x π∈，52[,]666x πππ∴-∈-，1sin(2)[,1]62x π∴-∈-故当2=62x ππ-即3x π=时，max ()1f x =当2=66x ππ--即0x =时，min 1()2f x =-本题主要考察的是向量的数量积运算和三角函数的周期，最值问题.正确运用公式11221212(,),(,),,x y x y x b x x y y ==∈⋅=+a b R a 若则()2sin T y A x πωφω==+以及函数图像性质的熟练运用是解答关键.本题属于高考的常考类型，需要多加练习，关注三角函数和定积分的结合也是热点之一.【考点定位】本题考查三角恒等变形、三角函数的性质等基础知识．简单题．21.衡阳市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中随机抽取100名后按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率. 【答案】（1）3人，2人，1人；（2）710. 【解析】 【分析】（1）根据分层抽样方法按比例抽取即可；（2）列举出从5名志愿者中抽取2名志愿者有10种情况，其中第4组的2名志愿者12,B B 至少有一名志愿者被抽中的有7种，进而根据古典概型概率公式可得结果.【详解】（1）第3组的人数为0.310030⨯=；第4组的人数为0.210020⨯=；第5组的人数为0.110010⨯=因为第3,4,5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名 每组抽取的人数分别为： 第3组：306360⨯=；第4组：206260⨯=；第5组：106160⨯= 所以应从第3,4,5组中分别抽取3人，2人，1人（2）记第3组的3名志愿者为123,,A A A ，第4组的2名志愿者为12,B B 则从5名志愿者中抽取2名志愿者有：()()()()()()()()()()12131112232122313212,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A B A B A A A B A B A B A B B B ，共10种 其中第4组的2名志愿者12,B B 至少有一名志愿者被抽中的有：()()()()()()()11122122313212,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B B B ，共7种所以第4组至少有一名志愿都被抽中的概率为：710【点睛】本题考查根据分层抽样原理计算抽样比、每层的样本数量、古典概型的概率问题的求解.对于基本事件个数较少的古典概型问题，通常采用列举法来进行求解. 22.已知向量()()3cos ,sin ,sin ,0a x x b x ωωω==，且0>ω，设函数()()?f x a b b k =++，（1）若()f x 的图象中相邻两条对称轴间距离不小于2π，求ω的取值范围； （2）若()f x 的最小正周期为π，且当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最大值为2，求k 的值. 【答案】(1) 01ω<≤ (2)1 【解析】 【分析】（1）根据向量坐标的加法运算和乘法运算,代入可求得()f x 的解析式,结合辅助角公式化简.由周期公式T2ω=及相邻两条对称轴间距离不小于2π,即可求得ω的取值范围.（2）根据最小正周期,代入可求得解析式.根据定义域,可求得最大值时x 的值.代入即可求得k 的值.【详解】()()3cos sin ,sin ,0a x x b x ωωω==，()3cos sin ,sin a b x x x ωωω∴+=+2()()3cos sin f x a bb k x x x k ωωω∴=+⋅+=++112cos 222x x k ωω=-++ 1sin 262x k πω⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭（1）由题意可得：T 22222ππω=⨯1ω∴≤,又0>ωω∴的取值范围是01ω<≤（2）T π=1ω∴=1()sin 262f x x k π⎛⎫∴=-++ ⎪⎝⎭,266266xx πππππ-∴--≤∴当266x ππ-=当6x π=时,()f x 取得最大值26f π⎛⎫=⎪⎝⎭1sin262k π∴++= 1k ∴=【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算,三角函数恒等变形及其应用,正弦函数的图像与性质的应用,属于基础题.。

2019-2020学年辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷

2019-2020学年辽宁省沈阳市高一(上)期末数学试卷

2019-2020学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若全集{1U =，2，3，4，5，6}，{1M =，3，4}，{2N =，3，4}，则集合()UM N 等于( ) A ．{1，2，3}B ．{2，6}C ．{1，6}D ．{5，6}2．（5分）已知向量(2,1)a =，(4,2)b =--．则(a b += ) A ．(2,1)--B ．(2,1)C ．(3,1)-D ．(3,1)-3．（5分）函数()(2)x f x =在区间[1，2]上的最大值是( ) A ．22B ．2C ．2D ．224．（5分）在考察某中学的学生身高时，采用分层抽样的方法，得到了男生身高的平均数为170，女生身高的平均数为165，现知道抽取的样本中，男生有20人，女生有15人，则可估计该校学生的身高平均数为( )（结果精确到0.1) A ．170.0B ．165.0C ．167.5D ．167.95．（5分）计算2(2)205lg lg lg +⨯的结果是( ) A ．1B ．2C ．2lgD ．5lg6．（5分）下列图象中，x 为自变量，y 为函数的选项是( )A ．B ．C ．D ．7．（5分）对于任意实数x 、y ，则“0x y +=”是“220x y +=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（5分）已知函数3()2f x ax bx =++，a ，b R ∈，且(1)0f -=，则f （1）(= ) A ．2-B ．2C ．4D ．4-9．（5分）若21()2a -=，12log 2b =，122c -=，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>10．（5分）设函数3log y x =与3y x =-的图象的交点为0(x ，0)y ，则0x 所在的区间是()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)11．（5分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为( ) A ．827B ．6481C ．49 D ．8912．（5分）点M 是ABC ∆的边BC 的中点，N 在线段AM 上，且(,)AN xAB y AC x y R =+∈，若12x y +=，则NBC ∆的面积与ABC ∆面积的比值是( ) A ．14B ．13C ．12D ．23二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上， 13．（5分）已知||3a =，||4b =，求||a b -的取值范围 ．14．（5分）设:p x R ∀∈，20x x a ++，若p 是真命题，则实数a 的取值范围是 ． 15．（5分）函数1()221f x x =++的单调递减区间是 ． 16．（5分）某校为了普及“一带一路“知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为 ，80%分位数是 ．三、解答题：共70分．解答应按求写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～22题为必考题，每个试题考生都必须作答，17．已知集合{|(1)(5)0}A x x x =--<，集合2{|2B x a x a =<<-，}a R ∈．（1）求R A ； （2）若AB ，求a 的取值范围．18．已知(1,2)a =，(3,2)b =-． （1）求证：a ，b 不共线；（2）若34(1)(2)a b m a n b +=-+-，求实数m ，n 的值： （3）若ka b +与2a b -平行，求实数k 的值．19．设函数()log (3)log (3)a a f x x x =++-，(0,1)a a >≠，f （1）3=． （1）求a 的值及()f x 的定义城； （2）判断()f x 的奇偶性，并给出证明； （3）求函数()f x 在[1，2]上的值域．20．为了选派学生参加高校的“创新科学营”，某校对本校1000名学生进行选拔性测试，分为笔试和面试两个环节，笔试环节得到成绩的频率分布直方图（如图），规定：成绩由高到低排序，位于前15%的学生获得参加面试的资格，其他学生则被淘汰． （1）若小艾同学笔试得了112分，问小艾是否有资格参加面试；（2）根据频率分布直方图，估算这1000名学生笔试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若面试方案为：每人从5道面试题中任意抽出3道题回答，若答对其中2道或2道以上，则可参加“创新科学营“，否则被淘汰．已知李飞同学笔试已经通过，且面试中只会5道面试题中的3道，求李飞能参加“创新科学营“的概率．21．已知二次函数2()(f x x mx m =+为整数）且关于x 的方程()10f x -=在区间1(2-，3)内有两个不同的实根． （1）求m 的值；（2）若()10f x a -+在[0x ∈，3]上恒成立，求实数a 的取值范围．22．某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输．若该公司预计从第1年到第n 年(*)n N ∈花在该台运输车上的维护费用总计为2(5)n n +万元，该车每年运输收入为25万元．（1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值） （2）若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出． 哪一种方案较为合算？请说明理由．2019-2020学年辽宁省沈阳市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若全集{1U =，2，3，4，5，6}，{1M =，3，4}，{2N =，3，4}，则集合()UM N 等于( ) A ．{1，2，3}B ．{2，6}C ．{1，6}D ．{5，6}【解答】解：{1U =，2，3，4，5，6}，{1M =，3，4}，{2N =，3，4}， {1M N ∴=，2，3，4}， (){5UMN ∴=，6}．故选：D ．2．（5分）已知向量(2,1)a =，(4,2)b =--．则(a b += ) A ．(2,1)--B ．(2,1)C ．(3,1)-D ．(3,1)-【解答】解：向量(2,1)a =，(4,2)b =--； 则(2,1)a b +=--． 故选：A ．3．（5分）函数()x f x =在区间[1，2]上的最大值是( )A B C ．2 D ．【解答】解：函数()x f x =在区间[1，2]上单调递增，∴函数()x f x =在区间[1，2]上的最大值是f （2）2=，故选：C ．4．（5分）在考察某中学的学生身高时，采用分层抽样的方法，得到了男生身高的平均数为170，女生身高的平均数为165，现知道抽取的样本中，男生有20人，女生有15人，则可估计该校学生的身高平均数为( )（结果精确到0.1) A ．170.0B ．165.0C ．167.5D ．167.9【解答】解：2017016515167.92015⨯+⨯≈+，于是可估计该校学生的身高平均数为167.9， 故选：D ．5．（5分）计算2(2)205lg lg lg +⨯的结果是( ) A ．1B ．2C ．2lgD ．5lg【解答】解：因为22(2)205(2)(12)(12)1lg lg lg lg lg lg +⨯=++-=， 故选：A ．6．（5分）下列图象中，x 为自变量，y 为函数的选项是( )A ．B ．C ．D ．【解答】解：由一个自变量的值只能对应一个函数值，可知只有选项B 符合题意， 故选：B ．7．（5分）对于任意实数x 、y ，则“0x y +=”是“220x y +=”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：2200x y x y +=⇔==，0x y x y +=⇔=-． ∴ “0x y +=”是“220x y +=”的不要不充分条件．故选：B ．8．（5分）已知函数3()2f x ax bx =++，a ，b R ∈，且(1)0f -=，则f （1）(= ) A ．2-B ．2C ．4D ．4-【解答】解：因为33()()224f x f x ax bx ax bx -+=--++++= 所以(1)f f -+（1）0f =+（1）4=， 所以f （1）4=． 故选：C ．9．（5分）若21()2a -=，12log 2b =，122c -=，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>【解答】解：21()42a -==，12log 21b ==-，12222c -==，a cb ∴>>，故选：B ．10．（5分）设函数3log y x =与3y x =-的图象的交点为0(x ，0)y ，则0x 所在的区间是()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)【解答】解：方程3log 3x x =-+的解，根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在(1,3)， 因3()log 3m x x x =+-在(1,2)上不满足m （1）m （2）0<， 方程3log 30x x +-= 的解所在的区间是(2,3)， 即则0x 所在的区间是(2,3)， 故选：C ．11．（5分）甲乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为23，则甲以3:1的比分获胜的概率为( ) A ．827B ．6481C ．49 D ．89【解答】解：甲以3:1的比分获胜，甲只能在1、2、3次中失败1次，第4次胜， 因此所求概率为：133218()3327P C ==． 故选：A ．12．（5分）点M 是ABC ∆的边BC 的中点，N 在线段AM 上，且(,)AN xAB y AC x y R =+∈，若12x y +=，则NBC ∆的面积与ABC ∆面积的比值是( ) A ．14B ．13C ．12D ．23【解答】解：如图， 设AN k AM =， ∴k AM xAB y AC =+， ∴x y AM AB AC k k =+，且1122AM AB AC =+， ∴121212x y x k y k ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得12k =，N ∴为AM 的中点， ∴12NBC ABC S S ∆∆=， NBC ∴∆的面积与ABC ∆面积的比值是12． 故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上， 13．（5分）已知||3a =，||4b =，求||a b -的取值范围 [1，7] ． 【解答】解：由向量的模的不等式可得，||||||||||||a b a b a b --+，即有1||7a b -，当a ，b 反向共线时，取得最大值7， 当a ，b 同向共线时，取得最小值1． 即有所求取值范围是[1，7]． 故答案为：[1，7]．14．（5分）设:p x R ∀∈，20x x a ++，若p 是真命题，则实数a 的取值范围是 1[4，)+∞ ．【解答】解：若:p x R ∀∈，20x x a ++，是真命题，则△140a =-，解得14a ； 故a 的取值范围是：14a； 故答案为：1[4，)+∞．15．（5分）函数1()221f x x =++的单调递减区间是 1(,)2-∞-，1(,)2-+∞ ．【解答】解：112()221212f x x x =+=+++可由12y x =的图象向左平移12个单位，向上平移2个单位，结合反比例函数的性质可得，()f x 的单调递减区间1(,)2-∞-，1(,)2-+∞．故答案为：1(,)2-∞-，1(,)2-+∞16．（5分）某校为了普及“一带一路“知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这10名同学成绩的极差为 7 ，80%分位数是 ．【解答】解：由题意知，数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的极差是1037-=；所以数据3，6，6，6，6，6，7，8，9，10的80%分位数是898.52+=． 故答案为：7，8.5．三、解答题：共70分．解答应按求写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～22题为必考题，每个试题考生都必须作答，17．已知集合{|(1)(5)0}A x x x =--<，集合2{|2B x a x a =<<-，}a R ∈． （1）求R A ； （2）若AB ，求a 的取值范围．【解答】解：（1）{|15}A x x =<<，{|1R A x x ∴=或5}x ；（2）A B ，∴2125a a ⎧⎨-⎩，解得7a -，a ∴的取值范围为(,-∞．18．已知(1,2)a =，(3,2)b =-． （1）求证：a ，b 不共线；（2）若34(1)(2)a b m a n b +=-+-，求实数m ，n 的值： （3）若ka b +与2a b -平行，求实数k 的值．【解答】解：（1）证明：根据题意，(1,2)a =，(3,2)b =-， 有122(3)⨯≠⨯-，故a ，b 不共线；（2）根据题意，若34(1)(2)a b m a n b +=-+-，且a ，b 不共线； 则有1324m n -=⎧⎨-=⎩，解可得42m n =⎧⎨=-⎩；（3）根据题意，若ka b +与2a b -平行，设()(2)ka b t a b +=-， 即2ka b ta tb +=-，则有12k t t=⎧⎨=-⎩，则12k =-；故12k =-． 19．设函数()log (3)log (3)a a f x x x =++-，(0,1)a a >≠，f （1）3=．（1）求a 的值及()f x 的定义城；（2）判断()f x 的奇偶性，并给出证明；（3）求函数()f x 在[1，2]上的值域．【解答】解：（1）因为2()log (3)log (3)(9)a a a f x x x log x =++-=-，由题意f （1）log 83a ==，故2a =，由3030x x +>⎧⎨->⎩可得33x -<<， 故函数的定义域(3,3)-；（2）因为2()log (9)()a f x x f x -=-=，即函数()f x 为偶函数，（3）12x ，所以2598x -，当1a >时，函数的值域[log 5a ，log 8]a ，当01a <<时，函数的值域[log 8a ，log 5]a ．20．为了选派学生参加高校的“创新科学营”，某校对本校1000名学生进行选拔性测试，分为笔试和面试两个环节，笔试环节得到成绩的频率分布直方图（如图），规定：成绩由高到低排序，位于前15%的学生获得参加面试的资格，其他学生则被淘汰．（1）若小艾同学笔试得了112分，问小艾是否有资格参加面试；（2）根据频率分布直方图，估算这1000名学生笔试的平均成绩（同组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（3）若面试方案为：每人从5道面试题中任意抽出3道题回答，若答对其中2道或2道以上，则可参加“创新科学营“，否则被淘汰．已知李飞同学笔试已经通过，且面试中只会5道面试题中的3道，求李飞能参加“创新科学营“的概率．【解答】解：（1）由图可知，位于区间[130，150]的人数为10000.00302060⨯⨯=， 位于区间[110，130)的人数为10000.00452075⨯⨯=，∴成绩大于110分的人数为135100015%150<⨯=，∴小艾有资格参加面试；（2）由图可知，这1000名学生笔试的平均成绩约为(400.0065600.0140800.01701000.00501200.00451400.0030)2078.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=；（3）由题意可得所求概率为32133235710C C C P C +==． 21．已知二次函数2()(f x x mx m =+为整数）且关于x 的方程()10f x -=在区间1(2-，3)内有两个不同的实根．（1）求m 的值；（2）若()10f x a -+在[0x ∈，3]上恒成立，求实数a 的取值范围．【解答】解：（1）根据题意，2()f x x mx =+，则()10f x -=即210x mx +-=，设2()1g x x mx =+-，若方程()10f x -=在区间1(2-，3)内有两个不同的实根，则()g x 在区间1(2-，3)上有两个零点， 必有21()02(3)0132240g g m m ⎧->⎪⎪>⎪⎨⎪-<-<⎪⎪+>⎩，解可得：8332m -<<-， 又由m 为整数，故2m =-；（2）若()10f x a -+在[0x ∈，3]上恒成立，即()1f x a +在[0x ∈，3]上恒成立， 又由2()2f x x x =-，则有2221(1)x x x a -+=-在[0x ∈，3]上恒成立，又由2(1)y x =-在[0，3]上的最小值为0，则有0a ，故a 的取值范围为(-∞，0]．22．某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输．若该公司预计从第1年到第n 年(*)n N ∈花在该台运输车上的维护费用总计为2(5)n n +万元，该车每年运输收入为25万元．（1）该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值）（2）若该车运输若干年后，处理方案有两种：①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出；②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．哪一种方案较为合算？请说明理由．【解答】解：（1）22549(5)0n n n --+，即220490n n -+， 解得10511051n +3n ∴．∴该车运输3年开始盈利．（2）该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出，22549(5)4920()6n n n n n n --+=-+． 当且仅当7n =时，取等号，∴方案①最后的利润为：25719(4935)1789⨯--++=（万)．②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．2222549(5)2049(10)51y n n n n n n =--+=-+-=--+，10n ∴=时，利润最大，∴方案②的利润为51859+=（万)，∴方案①较为合算．。

辽宁省沈阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

辽宁省沈阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)

辽宁省沈阳市2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U=M∪N={1,2，3，4，5}，M∩∁U N={2,4}，则N=()A. {1,2，3}B. {1,3，5 }C. {1,4，5}D. {2,3，4}2.已知向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(3,1)，则a⃗+b⃗ =()A. (−2,1)B. (4,3)C. (2,0)D. (3,2)3.若函数f(x)=a x在区间[0,1]上的最大值是最小值的2倍，则a的值为()A. 2B. √22C. 2或12D. √22或√24.某校对高三年级1200名学生进行健康检查，按性别用分层抽样的方法抽取一个容量为120人的样本．已知女生抽到了55人，则该校男生的人数是()A. 65B. 550C. 600D. 6505.计算lg4+lg25=()A. 2B. 3C. 4D. 106.设A={x|−2≤x≤2}，B={x|0≤x≤2}，函数y=f(x)的定义域为A，值域为B，下列四个图象，不可以作为函数y=f(x)的图象的是()A. B. C. D.7.若命题甲：x≠2或y≠3；命题乙：x+y≠5，则()A. 甲是乙的充分非必要条件B. 甲是乙的必要非充分条件C. 甲是乙的充要条件D. 甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件8.已知函数f(x)=x5−ax3+bx+2，f(−5)=17，则f(5)的值是()A. 19B. 13C. −19D. −139.设，b=315，c=(15)0.4，则有()A. a<b<cB. a<c<bC. c<a<bD. c<b<a10.函数与y=1x的图象交点的横坐标所在的区间是()A. (0,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,4)11. 有一批种子，每一粒发芽的概率为0.9，播下15粒种子，恰有14粒发芽的概率为A. 0.914B. 1−0.914C. C 1514×0.914×(1−0.9)D. C 1514×0.9×(1−0.9)14 12. 在△ABC 中，AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，若EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. y =3x B. x =3y C. y =−3x D. x =−3y二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅ CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= ___________．14. ，x 2−a ≥0是真命题，则实数a 的最大值为______ ．15. 函数f(x)=x 2−3|x |+2的单调减区间是_________16. 某高三学生在高三一轮复习生物学科的22次考试中，所得分数如茎叶图所示，则此同学生物考试分数的极差与中位数之和为______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 已知集合A ={x|1<x <6}，B ={x|2<x <10}，C ={x|x <a}．(1)求(∁R A)∩B ；(2)若A ⊆C ，求a 的取值范围．18.向量a⃗=(3,2)，b⃗ =(−1,2)，c⃗=(4,1)：(1)求满足a⃗=m b⃗ +n c⃗的实数m，n；(2)若(a⃗+k c⃗ )//(2b⃗ −a⃗ )，求实数k．19.已知函数f(x)=x+1，x(1)求f(x)的定义域；(2)求f(−1)，f(2)的值；(3)当a≠−1时，求f(a+1)的值．20.襄阳市某优质高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛(NEPCS)”，先在本校进行初赛(满分150分)，若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；(2)该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取2人，求选取的两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率．21.已知函数f(x)=x2+2ax−a+2．(1)若对于任意x∈R，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(2)若对于任意x∈[−1,1]，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；(3)若对于任意a∈[−1,1]，x2+2ax−a+2>0恒成立，求实数x的取值范围．22.祖国大陆开放台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务．某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年增加4万美元，每年销售蔬菜收入50万美元．设f(n)表示前n年的纯收入(f(n)=前n 年的总收入−前n年的总支出−投资额)(1)从第几年开始获取纯利润？(2)若干年后，该台商为开发新项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以48万元美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂，问哪种方案最合算？-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：全集U=M∪N={1,2，3，4，5}，M∩∁U N={2,4}，则N={1,3，5}．故选：B．根据全集、并集、交集和补集的定义，写出运算结果．本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题．2.答案：B解析：解：向量a⃗=(1,2)，b⃗ =(3,1)，则a⃗+b⃗ =(4,3)．故选：B．直接利用向量的坐标运算求解即可．本题考查平面向量的坐标运算，基本知识的考查．3.答案：C解析：本题考查指数函数的单调性的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．利用指数函数的单调性对a分类讨论，由单调性列出方程求解即可．解：当a>1时，f(x)=a x在[0,1]上单调递增，则f(1)=2f(0)，即a=2；当0<a<1时，f(x)=a x在[0,1]上单调递减，．则f(0)=2f(1)，即1=2a，解得a=12综上可得，a=2或a=1．2故选：C．4.答案：D解析：先求得分层抽样的抽取比例，根据样本中女生抽到的人数，求总体中女生数，可得总体中男生数．本题考查了分层抽样方法，熟练掌握分层抽样的特征是解答本题的关键．解：分层抽样的抽取比例为1201200=110，又女生抽到了55人，∴女生数为550，∴男生数为1200−550=650．故选D．5.答案：A解析：本题考查了对数运算性质、lg2+lg5=1的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用lg2+lg5=1即可得出．解：lg4+lg25=lg22+lg52=2lg2+2lg5=2(lg2+lg5)=2.故选A.6.答案：C解析：本题考查了函数的定义及函数的图象，属于基础题．根据函数的定义，逐一分析判断即可．解：根据图象，选项C中，当x=−2时，对应有y=0和y=2，出现一对多，不满足函数关系，A，B，D均满足题中函数条件，故选：C．7.答案：B解析：本题考查将判断一个命题是另一个命题的什么条件转化为判断命题的真假、考查互为逆否命题的真假一致．写出命题“若甲则乙”和“若乙则甲”的逆否命题，判断出逆否命题的真假；据互为逆否命题的真假一致，判断出甲是否推出乙；乙是否推出甲，判断出甲是乙的什么条件．解：∵“x =2且y =3则x +y =5”是真命题所以其逆否命题“x +y ≠5则x ≠2或y ≠3”为真命题即命题乙成立能推出命题甲成立又“x +y =5则x =2且y =3”假命题，例如x =1，y =4满足x +y =5所以其逆否命题“x ≠2或y ≠3则x +y ≠5“是假命题即甲成立推不出乙成立故甲是乙的必要不充分条件故选B8.答案：D解析：本题主要考查了函数奇偶性的应用，以及函数值的求解等有关知识，属于基础题．设g(x)=x 5−ax 3+bx ，利用函数g(x)为奇函数得g(5)=−15，进而求出f(5)的值．解：∵g(x)=x 5−ax 3+bx 是奇函数，∴g(−x)=−g(x)，∵f(−5)=17=g(−5)+2，∴g(−5)=15，∴g(5)=−15，∴f(5)=g(5)+2=−15+2=−13，故选D ．9.答案：B解析：解：，b =315>30=1，0<c =(15)0.4<(15)0=1，∴a<c<b．故选：B．利用指数函数和对数函数的性质求解．本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意指数函数和对数函数的性质的合理运用．10.答案：B解析：本题考查了函数的零点与方程根的关系和函数零点存在性定理，属于基础题．利用函数的零点与方程根的关系把问题转化为函数f(x)的零点，再利用函数零点存在性定理计算得结论．，解：令函数f(x)=ln(x+1)−1x>0，因为，f(2)=ln3−12所以函数f(x)的零点所在区间是(1,2)．故选B．11.答案：C解析：本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，所求的事件的概率等于用1减去它的对立事件概率．利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，求得15粒种子中，恰有14粒发芽的概率．解：每一粒种子发芽的概率都为0.9，那么播下15粒种子，恰有14粒发芽的概率为C1514×0.914×(1−0.9)，故选C．12.答案：D解析：本题考查向量的运算，属于基础题．根据平面向量基本定理计算即可．解：因为AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以D 是BC 的中点． 因为AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以E 为AD 的中点，所以EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =14(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −14AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以x =34，y =−14，所以x =−3y ．故选：D13.答案：√2解析： 解析：本题考察平面向量的夹角与模，以及平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，利用向量数量积的定义求解即可．解：所以|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2.故答案为√2． 14.答案：1解析：根据全称命题的含义：，x 2−a ≥0是真命题⇔x ∈[1,2]时，x 2−a ≥0恒成立⇔a ≤(x 2)min.本题考查了全称命题的本质含义，利用转化思想是关键，属于基础题．解：，x 2−a ≥0是真命题⇔x ∈[1,2]时，x 2−a ≥0恒成立⇔a ≤(x 2)min ，又∵x ∈[1,2]时(x 2)min =1，∴a ≤1，则实数a 的最大值为1．故答案为1．15.答案：(−∞,−32)和(0,32)解析：本题以二次函数为载体，考查了函数图象的变化和函数单调性等知识点，属于中档题．根据函数奇偶性的定义，可以得出函数为偶函数．再结合图象，研究函数在y 轴右侧图象，得到单调区间，而在y 轴左侧的就关于原点对称的区间上的单调性与右侧的单调性相反的，由此不难得出正确结论． 解：化简函数为：f(x)={ x 2−3x +2 x ≥0x 2+3x +2 x <0 当x >0时，函数在区间(0,32)为减函数，在区间(32,+∞)上为增函数 再根据函数为偶函数，由y 轴右边的图象，作出y 图象位于轴左侧的部分 由图象不难得出，函数的单调减区间为(−∞,−32)和(0,32)故答案为(−∞,−32)和(0,32). 16.答案：118解析：本题考查茎叶图，属于基础题．从茎叶图中读出数据，求极差，并找到中位数．解：极差为98−56=42，中位数为76，则极差与中位数之和为42+76=118．故答案为118．17.答案：解：(1)∵A ={x|1<x <6}，B ={x|2<x <10}，∴∁R A ={x|x ≤1或x ≥6}，∴(∁R A)∩B ={x|6≤x <10}；(2)∵A ={x|1<x <6}，C ={x|x <a}，且A ⊆C ，∴a ≥6．解析：(1)由全集R 及A ，求出A 的补集，找出A 补集与B 的交集即可；(2)由A 为C 的子集，确定出a 的范围即可．此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18.答案：解：(1)由题意得，m b ⃗ +n c ⃗ =m(−1,2)+n(4,1)=(−m +4n,2m +n)，∵a ⃗ =m b ⃗ +n c ⃗ ，∴(3,2)=(−m +4n,2m +n)，即{3=−m +4n 2=2m +n，解得m =59，n =89， (2)由题意得，a ⃗ +k c ⃗ =(3,2)+k(4,1)=(3+4k,2+k)，2b ⃗ −a ⃗ =2(−1,2)−(3,2)=(−5,2)，∵(a ⃗ +k c ⃗ )//(2b ⃗ −a ⃗ )，∴2(3+4k)+5(2+k)=0，解得k =−1613．解析：(1)由题意和向量的坐标运算求出m b ⃗ +n c ⃗ 的坐标，再由向量相等的条件列出方程组，求出m 和n 的值；(2)由题意和向量的坐标运算求出a ⃗ +k c ⃗ 和2b ⃗ −a ⃗ 的坐标，再由向量共线的条件列出方程．求出k 的值．本题考查了向量的坐标运算，向量相等的条件，以及向量共线的条件，属于基础题．19.答案：解：(1)要使函数f(x)有意义，必须使x ≠0，∴f(x)的定义域是(−∞,0)∪(0,+∞)．(2)f(−1)=−1+1−1=−2，f(2)=2+12=52．(3)当a≠−1时，a+1≠0，∴f(a+1)=a+1+1a+1．解析：本题考查函数的定义域，求函数值，属基础题目．(1)根据函数解析式可求得函数的定义域，分式的分母不为0；(2)把x=−1，2分别代入函数解析式，求得结果；(3)由a≠−1得a+1≠0，代入函数解析式求得结果．20.答案：(1)设初赛成绩的中位数为x，则：(0.001+0.004+0.009)×20+0.02×(x−70)= 0.5…(4分)解得x=81，所以初赛成绩的中位数为81；…(6分)(2)该校学生的初赛分数在[110,130)有4人，分别记为A，B，C，D，分数在[130,150)有2人，分别记为a，b，在则6人中随机选取2人，总的事件有(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,a)，(A,b)，(B,C)，(B,D)，(B,a)，(B,b)，(C,D)，(C,a)，(C,b)，(D,a)，(D,b)，(a,b)共15个基本事件，其中符合题设条件的基本事件有8个…(10分)故选取的这两人的初赛成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为P=815…(12分)解析：(1)根据频率分布直方图，求出每个矩形的面积，即每组的概率，每组的中值乘以每组的频率之和即这100名学生参加选拔测试的平均成绩；(2)利用频率分布直方图计算分数在[110,130)和[130,150)的人数分别予以编号，列举出随机抽出2人的所有可能，找出符合题意得情况，利用古典概型计算即可．本题考查频率分布直方图的应用，古典概概率的计算，属于基础题．21.答案：解：(1)若对于任意x∈R，f(x)=x2+2ax−a+2≥0恒成立，则有△=4a2−4(−a+2)≤0，解得−2≤a≤1．(2)由于对于任意x ∈[−1,1]，f(x)≥0恒成立，故f(x)min ≥0．又函数f(x)的图象的对称轴方程为x =−a ，当−a <−1时，f min (x)=f(−1)=3−3a ≥0，求得a 无解；当−a >1时，f min (x)=f(1)=3+a ⩾0，求得−3≤a <−1；当−a ∈[−1,1]时，f min (x)=f(−a)=−a 2−a +2⩾0，求得−1≤a ≤1．综上可得，a 的范围为[−3,1]．(3)若对于任意a ∈[−1,1]，x 2+2ax −a +2>0恒成立，等价于g(a)=(2x −1)a +x 2+2>0，∴{g(−1)=x 2−2x +3>0g(1)=x 2+2x +1>0, 求得x ≠−1，即x 的范围为{x|x ≠−1}．解析：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，函数的恒成立问题，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础题．(1)由题意利用二次函数的性质可得△=4a 2−4(−a +2)≤0，由此求得求得a 的范围．(2)由于对于任意x ∈[−1,1]，f(x)≥0恒成立，故f(x)min ≥0.利用二次函数的性质，分类讨论求得a 的范围．(3)问题等价于g(a)=(2x −1)a +x 2+2>0，再由g(−1)、g(1)都大于零，求得x 的范围．22.答案：解：由题意知，每年的经费是以12为首项，4为公差的等差数列，设纯利润与年数的关系为f(n)，则f(n)=50n −[12n +n(n−1)2×4]−72=−2n 2+40n −72,(1)纯利润就是要求f(n)>0，∴−2n 2+40n −72>0，解得2<n <18.由n ∈N 知从第三年开始获利．(2)①年平均利润=f(n)n =40−2(n +36n )≤16.当且仅当n =6时取等号．故此方案先获利6×16+48=144(万美元)，此时n =6，②f(n)=−2(n −10)2+128.当n =10时，f(n)max =128．故第②种方案共获利128+16=144(万美元)，故比较两种方案，获利都是144万美元．但第①种方案只需6年，而第②种方案需10年，故选择第①方案．解析：(1)弄清纯利润就是纯收入大于零的关系，将纯收入表示为年份n的表达式，注意等差数列知识的运用，通过求解不等式得出开始获得纯利润的年份；(2)通过比较法得出哪种方案最合算，关键要得出每种方案获得的利润和年份的关系，用到求函数最值的思想和方法．本题考查函数模型的建立问题，关键要理解题意，通过相应的数学知识建立数学模型，通过不等式工具、函数最值的思想和方法达到求解的目的．考查转化与化归的思想．。

辽宁省沈阳市第一七零中学2019_2020学年高一数学上学期阶段性测试试题(2)(含解析)

辽宁省沈阳市第一七零中学2019_2020学年高一数学上学期阶段性测试试题(2)(含解析)

辽宁省沈阳市第一七零中学2019-2020学年高一数学上学期阶段性测试试题（2）（含解析）一、选择题1.()3,P y 为α终边上一点，3cos 5α=，则tan α=（ ） A. 34-B.43 C. 43±D. 34±【答案】C 【解析】 【分析】由3cos 5α==，求出y 的值，代入4tan 3y x α==±即可.【详解】r ==因为3cos 5α==，解得：5=，216y =，即：4y =±.4tan 3y x α==±. 故选：C【点睛】本题主要考查三角函数的定义，属于简单题.2.书架上有两本不同的数学书、一本语文书、一本英语书.从中选取2本，两本书中只有一本数学书的概率为（ ） A.16B.23C.12D.13【答案】B 【解析】 【分析】首先求出从4本书中选2本的全部基本事件，再求出只有一本数学书的基本事件，利用古典概型公式即可求解.【详解】从4本书中选2本共有244362C ⨯==种选法，两本书中只有一本数学书共有1122224C C=⨯=种选法，设事件A：两本书中只有一本数学书，由古典概型公式可得：42 ()63P A==.故选：B【点睛】本题主要考查古典概型及求解，属于简单题.3.某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是（）A. “至少有1名女生”与“都是女生”B. “恰有1名女生”与“恰有2名女生”C. “至少有1名女生”与“至多有1名女生”D. “至少有1名男生”与“都是女生”【答案】B【解析】【分析】利用互斥事件的性质依次判断选项即可得出答案.【详解】“至少有1名女生”包含“都是女生”，所以A错误.“恰有1名女生”与“恰有2名女生”互斥不对立，所以B正确.“至少有1名女生”包含“男，女”这种情况与“至多有1名女生”不互斥，所以B错误. “至少有1名男生”与“都是女生”互斥又对立，所以D错误.故选：B【点睛】本题主要考查互斥事件和对立事件的判断，属于简单题.4.已知角,αβ均为锐角，且cosαβ==，则αβ-的值为（）A.3πB.4πC.4π- D.4π或4π-【答案】C【解析】∵角α,β均为锐角,且cosαβ∴sin α=5,cos β=10， 则sin(α−β)=sin αcos β−cos αsin β=510⨯−510⨯=2- 再根据α−β∈(−2π, 2π),可得α−β=−4π， 故选C.5.已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（ ）A. 1.2308ˆ.0yx =+ B. 0.0813ˆ.2yx =+ C. 1.234ˆyx =+ D. 1.235ˆyx =+ 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得在线性回归方程ˆy bx a =+中 1.23b =，然后根据回归方程过样本点的中心得到a 的值，进而可得所求方程．【详解】设线性回归方程ˆy bx a =+中，由题意得 1.23b =， ∴ 1.23ˆy x a =+．又回归直线过样本点的中心()4,5， ∴5 1.234a =⨯+， ∴0.08a =，∴回归直线方程为 1.2308ˆ.0yx =+． 故选A ．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利用这一性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题． 6.） A. cos10︒B. sin10cos10︒-︒C. cos10sin10︒-︒D.()cos10sin10±︒-︒【答案】C 【解析】 【分析】.sin10cos10===︒-︒，因为sin10cos10︒<︒cos10sin10=︒-︒. 故选：C【点睛】本题主要考查了正弦二倍角公式，熟练掌握公式变形是解决此类问题的关键，属于简单题.7.为了得到函数y ＝2sin2x 的图象，可将函数y ＝4sin 6x π⎛⎫+⎪⎝⎭·cos 6x π⎛⎫+⎪⎝⎭的图象( ) A. 向右平移3π个单位 B. 向左平移3π个单位 C. 向右平移6π个单位D. 向左平移6π个单位【答案】C 【解析】试题分析：因为，y ＝4sin 6x π⎛⎫+⎪⎝⎭·cos 6x π⎛⎫+⎪⎝⎭=2sin 22sin(2)63x x ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，所以，为了得到函数y ＝2sin2x 的图象， 只需将y ＝4sin 6x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭·cos 6x π⎛⎫+⎪⎝⎭=2sin 22sin(2)63x x ππ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭向右平移6π个单位，故选C ．考点：二倍角的正弦，三角函数图象的变换．点评：小综合题，为研究三角函数的图象和性质，往往利用三角公式首先化简．函数图象的平移遵循“左加右减，上加下减”．8. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】【详解】试题分析：n＝1，a＝8，n＝2，a＜40是，a＝16，n＝3，a＜40是，a＝24，n＝4，a＜40是，a＝32，n＝5，a＜40是，a＝40，n＝6，a＜40否，输出n＝6，故选：C．考点：算法流程图的识读和理解．9.有四个游戏盘，如下图所示，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖．小明希望中奖机会大，他应当选择的游戏盘为（）A. B. C. D.【答案】A 【解析】 试题分析：,,,,概率最大的是考点：几何概型10.如图是函数()sin (0,0)f x A x A ωω=>>一个周期的图象，则(1)(2)(3)(4)(5)f f f f f ++++(6)f +的值等于2 B.22C. 22+D. 22【答案】A 【解析】 【分析】利用图象得到振幅2A =，周期8T =，所以4πω=，再由图象关于()4,0成中心对称，把原式等价于求(1)f 的值.【详解】由图象得：振幅2A =，周期8T =，所以4πω=，所以()2sin4xf x π=，因为图象关于()4,0成中心对称，所以(3)(5)(2)(6)0f f f f +=+=，(4)0f =， 所以原式(1)f =2sin24π==，故选A.【点睛】本题考查三角函数的周期性、对称性等性质，如果算出每个值再相加，会浪费较多时间，且容易出错，采用对称性求解，能使问题的求解过程变得更简洁.11.如图所示，点P 在AOB ∠的对角区域MON 内，且满足OP xOA yOB =+，则实数对(),x y 可以是（ ）A. 11,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 32,45⎛⎫- ⎪⎝⎭D.21,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】观察图形可知0x <，0y <，逐项分析即可得到答案.【详解】OP 用基底OA ，OB 表示具有唯一性，结合图形可得：0x <，0y <，分析选项只有D 符合条件. 故选：D【点睛】本题主要考查平面向量的基底问题，属于简单题.12.5y A sin x x R 66ππωϕ⎡⎤=+∈-⎢⎥⎣⎦如图是函数（）（）在区间，上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y sin x x R =∈（）的图象上所有的点A. 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B. 向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C. 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 D. 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 【答案】A 【解析】【详解】试题分析：由图象知，A=1,T=π，所以ω=2，y=sin （2x+ϕ），将（6π-，0）代入得：sin(ϕ3π-)=0，所以ϕ3π-=kπ，k z ∈，取ϕ=3π，得y=sin （2x+3π），故只要将y=sinx（x∈R）的图象上所有点向左平移3π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变,故选A.考点：本题主要考查三角函数图象变换，三角函数解析式.点评：基础题，根据图象求函数解析式及三角函数图象的变换均是高考常见题目，本题将二者结合在一起，解得思路明确，应先观察图象，确定“振幅”“周期”，再通过计算求ϕ.二、填空题13.某单位由老年教师27人，中年教师54人，青年教师81人，为了调查他们的身体状况，需从他们中间抽取一个容量为36的样本，则青年教师被抽取的人数是 . 【答案】18 【解析】 试题分析：因，故应填答案.考点：分层抽样．14.若4sin 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________.【答案】45- 【解析】【分析】 因为()=()623πππαα++-，代入cos 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭即可解.【详解】因为()=()623πππαα++-，所以4cos cos[()]sin()62335ππππααα⎛⎫+=+-=--=- ⎪⎝⎭ 故答案为：45-【点睛】本题主要考查诱导公式中的角変换问题，核心思想是把结果角用已知角表示再求解，属于中档题.15.化简()()()sin 602sin 60120x x x +︒+-︒︒-的结果是________. 【答案】0 【解析】 【分析】利用诱导公式和辅助角公式化简即可求值.【详解】()()()sin 602sin 60120x x x +︒+-︒︒-()()sin 602sin 60(60)]x x x =+︒+-︒-+ ()()sin 6060)2sin 60x x x =+︒++-︒()()2sin 1202sin 60x x =+︒+-︒ ()2sin[180(60)]2sin 60x x =+-+-︒ ()2sin(60)2sin 600x x =--+-︒=故答案为：0【点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式和辅助角公式，属于中档题.16.将一副直角三角板拼成如图所示四边形ABCD （其中45DAC DCA ∠=∠=︒，260ABC CAB ∠=∠=︒），若BC =AC BD ⋅=________.【答案】-3 【解析】 【分析】通过已知条件可得到：6AC =3CD =AC BC ⊥，将BD 转换为BC CD +利用数量积公式即可求解.【详解】在直角ABC 中，2BC =260ABC CAB ∠=∠=︒，解得：22AB =. 在直角ADC 中，6AC =45DAC DCA ∠=∠=︒，解得：3AD CD ==()AC BD AC BC CD AC BC AC CD ⋅=⋅+=⋅+⋅因为AC BC ⊥，所以063cos1353AC BD AC CD ⋅=+⋅=⨯=-故答案为：-3【点睛】本题主要考查平面向量的加法以及数量积的运算，属于中档题. 三、解答题17.已知向量()2,a k =，()1,1b =，满足()3b a b ⊥-. （1）求k 的值；（2）求向量a 与向量b 夹角的余弦值. 【答案】（1）4 （2310【解析】 【分析】（1）运用向量的加减运算和向量垂直的条件，得到()30b a b ⋅-=，解方程可得k 的值. （2）求出向量a 与向量b 的模长，由向量夹角公式，计算即可得到所求值. 【详解】解：（1）()()()32,3,31,3a b k k -=-=--， ∵b 与3a b -互相垂直，∴()()()311130b a b k ⋅-=⨯-+⨯-=， ∴4k =.（2）∵()2,4a =，()1,1b =，∴224a =+=，211b =+=∴cos ,25a b a b a b⋅<>===.【点睛】第一问主要考查平面向量的加减运算和向量垂直的公式，相对简单.第二问主要考查向量的夹角公式，属于简单题.18.今年的NBA 西部决赛勇士和火箭共进行了七场比赛，经历了残酷的“抢七”比赛，两队的当家球星库里和杜兰特七场比赛的每场比赛的得分如下表：（1）绘制两人得分的茎叶图；（2）分析并比较两位球星的七场比赛的平均得分及得分的稳定程度. 【答案】（1）茎叶图见解析（2）这七场比赛库里的平均得分低于杜兰特，但库里的得分更稳定一些 【解析】 【分析】（1）根据得分绘制茎叶图即可.（2）计算两人的平均分和方差，比较即可得出结论.【详解】（1）如图（2）库里的平均得分()1126282422312936287x =++++++=分， 方差()()()2222222211130204631877s ⎡⎤=-++-+-+++=⎣⎦.杜兰特的平均得分()2126293326402927307x =++++++=分，方差()()()()()2222222221413410137s ⎡⎤=-+-++-++-+-⎣⎦1527=.∴12x x <，2212s s <，则这七场比赛库里的平均得分低于杜兰特，但库里的得分更稳定一些.【点睛】本题第一问考查了茎叶图，第二问考查了平均数和方差，考查的核心素养是数据分析和数学计算的能力，属于简单题. 19. .口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲、乙两人玩一种游戏：甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢． （Ⅰ）求甲赢且编号的和为6的事件发生的概率； （Ⅱ）这种游戏规则公平吗?试说明理由．【答案】（1）15（2）这种游戏规则不公平 【解析】试题分析：（1）相当于两人掷含有个面的色子,共种情况,然后输入和为偶数,且和为的情况种数,然后用古典概型求概率；（2）偶数,就是甲胜,其他情况乙胜,分别算出甲胜的概率和乙胜的概率,比较是否相等,相等就公平,不相等就不公平． 试题解析：解：（1）设“甲胜且编号的和为6”为事件．甲编号为，乙编号为，表示一个基本事件，则两人摸球结果包括（1,2），（1,3），…，（1,5），（2,1），（2,2），…，（5,4），（5,5）共25个基本事件；包括的基本事件有（1,5），（2,4），（3,3），（4,2），（5,1）共5个． ∴．答：甲胜且编号的和为6的事件发生的概率为．（2）这种游戏不公平． 设“甲胜”为事件，“乙胜”为事件．甲胜即两个编号的和为偶数所包含基本事件数为以下13个：（1,1），（1,3），（1,5），（2,2），（2,4），（3,1），（3,3），（3,5），（4,2），（4,4），（5,1），（5,3），（5,5）． 所以甲胜的概率为，乙胜的概率为，∵，∴这种游戏规则不公平．考点：古典概型．20.已知向量()cos 2sin ,2a θθ=-，()sin ,1b θ=． （1）若//a b ，求tan 2θ的值；（2）若()()f a b b θ=+⋅，0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，求()fθ的值域．【答案】（1）815（2）52⎡+⎢⎣⎦【解析】 【分析】（1）根据//a b 的坐标关系，得到1tan 4θ=，再代入22tan tan 21tan θθθ=-即可求值.（2）用正弦、余弦，二倍角公式和辅助角公式化简()fθ，得到25()2242f πθθ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，根据0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，求出()fθ的值域.【详解】（1）若a b ，则cos 2sin 2sin 0θθθ--=，∴1tan 4θ=.∴2122tan 84tan 211tan 15116θθθ⨯===--. （2）()()2f a b b a b b θ=+⋅=⋅+22cos sin 2sin 2sin 1θθθθ=-+++2sin cos sin 3θθθ=-+11cos 2sin 2322θθ-=-+1155sin 2cos 22222242πθθθ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ∵0,2π⎡⎤θ∈⎢⎥⎣⎦，∴52444πππθ≤+≤，∴sin 2124πθ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， ∴()522f θ≤≤∴()fθ的值域为⎡⎢⎣⎦． 【点睛】本题第一问主要考查向量平行的坐标表示和正切二倍角公式，考查计算能力.第二问主要考查正弦，余弦的二倍角公式和辅助角公式以及三角函数的值域问题，属于中档题. 21.已知()sin ,cos a x x =，()sin ,sin b x x =，函数()f x a b =⋅. （1）求()f x 的对称轴方程；（2）求使()1f x ≥成立的x 的取值集合；（3）若对任意实数,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不等式()2f x m -<恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）328k x ππ=+，k Z ∈ （2）|,42x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭（3）3,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）利用向量的数量积运算，二倍角和辅助角公式化简()f x ，由正弦函数的对称轴和整体思想求出()f x 的对称轴方程.（2）先化简()1f x ≥，再利用正弦函数的图像和性质列出不等式，解不等式即可. （3）由x 的范围求出24x π-的范围，利用正弦函数的图像求出()f x 的最大值，根据条件和恒成立问题列出不等式，即可求出m 的范围. 【详解】（1）()21cos 21sin sin cos sin 222x f x a b x x x x -=⋅=+⋅=+111sin 2cos 222122242x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭=-+. 令242x k πππ-=+，k Z ∈，解得328k x ππ=+，k Z ∈. ∴()f x 的对称轴方程为328k x ππ=+，k Z ∈.（2）由()1f x ≥得121242x π⎛⎫-+≥ ⎪⎝⎭，即sin 242x π⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭， ∴3222444k x k πππππ+≤-≤+，k Z ∈. 解得：42k x k ππππ+≤≤+. 故x 的取值集合为|,42x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭. （3）,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，321244x πππ≤-≤， 当242x ππ-=时，max [sin 2]14x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭.∴()f x 在,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时的最大值是212+， ∵()2f x m -<恒成立，∴()max 2m f x +>，即2122m ++>⇒232m ->∴实数m 的取值范围是23(,)2-+∞. 【点睛】本题第一问主要考查利用数量积公式和二倍角以及辅助角公式化简解析式，同时考查了正弦函数的对称轴问题.第二问考查根据三角函数的图像来解三角不等式，第三问考查了三角函数的最值问题以及恒成立思想，属于中档题.22.某房地产开发商为吸引更多消费者购房，决定在一块闲置的扇形空地中修建一个花园．如图，已知扇形AOB 的圆心角4AOB π∠=，半径为200米，现欲修建的花园为平行四边形OMNH ，其中M ，H 分别在OA ，OB 上，N 在AB 上．设MON θ∠=，平行四边形OMNH 的面积为S .（1）将S 表示为关于θ的函数； （2）求S 的最大值及相应的θ值．【答案】（1）()40000cos sin sin S θθθ=-，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭（2）当8θπ=时，S 取得最大值)2000021平方【解析】 【分析】（1）分别过N 作NP OA ⊥于P ，过H 作HE OA ⊥于E ，利用三角函数，求出HN 和NP 长度，即可求出S 关于θ的函数.（2）利用二倍角和辅助角公式化简函数解析式，通过θ的范围求出S 的最大值及相应的θ值. 【详解】（1）如图，过N 作NP OA ⊥于P ，过H 作HE OA ⊥于E ， ∵4AOB π∠=，∴200sin OE EH NP θ===，200cos OP θ=， ∴()200cos sin HN EP OP OE θθ==-=-， ∴()40000cos sin sin S HN NP θθθ=⋅=-，0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭. （2）()211cos 240000cos sin sin 40000sin 222S θθθθθ-⎛⎫=-=-⎪⎝⎭()20000sin 2cos 21200002214πθθθ⎡⎤⎛⎫=+-=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎦，∵0,4πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴32,444θπππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴当242θππ+=，即8θπ=时，S 取得最大值，且最大值为)2000021平方米.【点睛】本题第一问考查三角函数在解决实际问题的应用.第二问考查三角函数的化简，最值问题，考查学生的计算能力和转化思想的应用，属于中档题.。

辽宁省沈阳市郊联体2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题扫描版

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2019-2020沈阳市郊联体上学期末考试高一数学答案一、选择题1.C 2.B 3.C 4.A 5.D 6.C 7.D 8.A 9.B 10.C 11.B 12.D二、 填空题 13. 16 14. 4 15. 2 16. [)51+3⎛⎤-∞∞ ⎥⎝⎦，-，三、 解答题 22AE=AD+DE=AD+DC=b+a 332 =a+b (43)17.解：（1）. a=b=a 2b (,2)(6,4)(6,24) (5)2a 4b (2,4)(12,8)(14,4).......................................................k k k k k +=+-=-+-=--=-（2）因为 （1,2）， （-3,2）所以. (6)a 2b 2a 4b 6241 (10)k k k k +--+=-由于()∥（）则-4()=14()所以说明：没写向量符号（箭头）扣2分 18、解：（1） (4)10+11=10.5 (2)（2）甲种麦苗株高的中位数 122222221.................591010111220==12 (66)+++++41S ==..76312+13=12.5 (2)x +++++甲种麦苗株高的平均数 甲种麦苗株高的方差（9-12）（10-12）（10-12）（11-12）（12-12）（20-12）乙种麦苗株高的中位数 2.....................................................881012131421==13......................................96x +++++乙种麦苗株高的平均值 D b a22222222+++++50S = (1063)41350................................................................................3=乙种麦苗株高的方差（8-13）（10-13）（12-13）（13-13）（14-13）（21-13）由此估计甲种麦苗株高的平均数为12，方差为，乙种麦苗株高的平均数为13，方差为.......................12 [][][]22219()1,1(0)=0=0=111=0(1)==222=1,=0()=1,1 (1)()11()=()=11f x f n m m n n f x m n f x x f x f x f x mx n mx n x x -⎧⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨+⎩⎪⎪⎩⎩-+----+--++、解：（1）法一：是定义在上的奇函数则 得 解得经检验时，是定义在上的奇函数4法二：是定义在，上的奇函数则即，2=0......................................................................................21()=(1)==1. (412)=1=0(2)n mx f x f m x m n +则所以，又因为，得所以，由（1[][]2222()=,()1,1 (61)()1,1(1)(1)0(1)(121........................................)1..........1.,x f x f x x f x f a f a f a f a a a a -+--+-<-<--<--<<）知在上是增函数又因为是定义在上的奇①函数由得所以即22..............................02.....................................................111,111.................................902.............................................,..a a a a ≤≤≤-≤-≤-≤-≤≤③又②即8即[)2.......................................21020 1.0,1. (12)02a a a a a ⎧-<<⎪≤≤≤<⎨⎪≤≤⎩10由①②③得解得故的取值范围是121220==120200.0050.112048243636...................................................................236=0.0150.015 (12020)z x z x ⨯==⨯--==-、解：（1）由表格可知样本的频数为所以12，即由=，即.....................................448+243=(0.0220+0.0120=0.6)12053...................................65⨯⨯（2）或由此估计该市高中生测试成绩等级为“合格”的概率是 {123121************=12024172=3241=2 (874)=()()()()(a a a b b a a a a a b a b a a a ⨯⨯Ω（3）合格的有72人、不合格的有48人抽样比故从评定等级为“合格”的答卷中抽取的份数为，记为、、从评定等级为“不合格”的答卷中抽取的份数为48，记为、则从5份答卷中抽取2份 ，基本事件（,），,，,，,，,，,}{}122313212111221223132)()()()()10.........A A=()()()()()()6....................................................63()==1055b a b a b a b b b a b a b a b a b a b a b P A ，,，,，,，,共个基本事件9记事件：恰有1份评定等级为“不合格”,，,，,，,，,，,共个基本事件10则从这份答卷3, (125)中抽取2份恰有1份评定等级为“不合格”的概率为[]2221()2110()2,3(3)496141(2)144110()2 1....................................................................................f x ax ax b x a f x f a a b a f a a b b f x x x =-+-=>=-+-==⎧⎧⎧⎨⎨⎨=-+-==⎩⎩⎩=-+解：（1）的对称轴为当时，在上为增函数则即解得故[]...................................30()2,3(2)444141(3)1961131..............................................................................a f x f a a b a f a a b b b <=-+-==-⎧⎧⎧⎨⎨⎨=-+-==-⎩⎩⎩>-当时在上为减函数则即解得由于所以这组解舍去[]22............................()2 1...................................................................................................................()211(2)()21,1f x x x f x x x g x x x x xx =-+-+===+-∃∈-5综上6若，不等式[]2max221(2)202220211()211,1...........................................................................................2211,,2,21(1)222x x x x x x x x g m m m x t t y t t t t -⋅≥+--⋅≥⎡⎤≤-⋅+∈-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=∈=-+=-⎢⎥⎣⎦=成立，即成立即8令则当时，(]max 1 1.......................................................................................................1........................................................................y m m =≤-∞，故10即的取值范围为， (12)1022.1110()...........................................................................................................x x x f x ->⎧-<<⎨+>⎩解:（1）由得故的定义域为（-1,1）2221()=0,log (1)2log (1)0log (1)log (1)(1)(1)0 3 (4)a a a af x x x x x x x x x -++=+=-+=-==-由即得.得，解得或由于[][)[)21,1() (5)(1)()00,1,0,1...........................................1mx f x x m f x a x x∈-+-==∈-，故的零点为0（2）法一：在区间内有解，即有解(](]2..644441,0,1440,1441 1.............................................................................................................8010..............m t t t x t y t y t t t tt a ta m -+=-∈==+-=+-+-≥≥<<≤令，，在为减函数则，即当时，.....................................................................................................1010.........................................................................................a m >≥时，[)[)(](](]22...................................12()00,1()0,1.. (6)(1)444()log .1,0,1log log (4)14440,10,14 1.....a a a m f x y f x y m x x t t f x x t t y t x t ty t t t t t-===∈+-+=-=∈==+--=+-∈+-≥法二：由方程在区间内有解，即与在有交点令，在为减函数，，(][)........................................................8401log (4)0(),00.................................................1041log (4)0()0,,0..................a a a t f x m ta t f x m t<<+-≤∈-∞≤>+-≥∈+∞≥当时，，即，∴当时，，即∴[)[)1........................................12()=log (1)2log (1)=2log (1)log (1)1()0,1()00 (8)01()0,1()a a a af x x x x x a f x f x m a f x f x -+++-->≥≥<<≤法三：当时,在上为增函数，此时，故此时当时,在上为减函数，此时[)(]00 (11).10,,01,0....................................................................12m a m a m ≤>∈+∞<<∈-∞，故此时综上时，时附：什么样的考试心态最好大部分学生都不敢掉以轻心，因此会出现很多过度焦虑。

辽宁省沈阳市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷(I)卷

辽宁省沈阳市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷(I)卷

辽宁省沈阳市2019-2020学年高一上学期数学期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、一.选择题 (共8题；共16分)1. （2分）集合P=，若则那么运算可能是（）A . 加法B . 减法C . 乘法D . 除法2. （2分） (2019高一上·石河子月考) 对于给定的函数，给出五个命题其中真命题是（）①函数的图象关于原点对称；②函数在上具有单调性；③函数的图象关于轴对称；④函数的最大值是0.A . ①②③B . ①③④C . ②③④D . ①②④3. （2分）(2018·辽宁模拟) 已知向量，，若，则（）A . 0B .C .D .4. （2分） (2017高三上·济宁开学考) 偶函数y=f（x）在区间（﹣∞，﹣1]上是增函数，则下列不等式成立的是（）A . f（﹣1）＞f（）B . f（）＞f（﹣）C . f（4）＞f（3）D . f（﹣）＞f（）5. （2分）如果|x|≤ ，那么函数y=cos2x﹣3cosx+2的最小值是（）A . 2B .C . 0D .6. （2分） (2016高一下·兰陵期中) 已知| |=2，| |=3，| + |= ，则| ﹣ |等于（）A .B .C .D .7. （2分） (2016高一下·周口期末) 已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f（x）的图象（）A . 关于直线x= 对称B . 关于直线x= 对称C . 关于点（，0）对称D . 关于点（，0）对称8. （2分）对任意的实数a、b ，记．若F(x)=max{f(x),g(x)}（），其中奇函数y=f(x)在x=1时有极小值-2，y=g(x)是正比例函数，函数与函数y=g(x)的图象如图所示．则下列关于函数y=F(x)的说法中，正确的是（）A . y=F(x)为奇函数B . y=F(x)的最小值为-2且最大值为2C . y=F(x)在(-3,0)上为增函数D . y=F(x)有极大值F(-1)且有极小值F(0)二、二.填空题 (共6题；共15分)9. （1分） (2016高一上·济南期中) 已知函数f（x）的定义域是（1，2），则函数f（2x）的定义域是________．10. （1分）将a=,b=,c=按由大到小的顺序排列为________11. （1分） (2016高一下·枣阳期中) 如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为，则cosα=________．12. （1分）已知平面直角坐标系内的两个向量， =（1，2）， =（m，3m﹣2），且平面内的任一向量都可以唯一的表示成=λ + （λ，μ为实数），则m的取值范围是________．13. （1分） (2019高一上·吐鲁番月考) 已知函数，求的最大值________.14. （10分） (2016高二上·临川期中) 命题p：函数f（x）= （a＞0，且a≠1）在R上为单调递减函数，命题q：∀x∈[0， ]，x2﹣a≤0恒成立．（1）求命题q真时a的取值范围；（2）若命题p∧q为假，p∨q为真，求a的取值范围．三、三.解答题 (共5题；共50分)15. （15分） (2019高一上·工农月考) 已知函数，若在区间[2，3]上有最大值1.（1）求的值；（2）求函数在区间上的值域；（3）若在[2,4]上单调，求实数的取值范围.16. （10分）已知函数f（x）=sin（ωx﹣）（ω＞0，x∈R）的最小正周期为x．（1）求f（）；（2）在给定的坐标系中，用列表描点的方法画出函数y=f（x）在区间[﹣， ]上的图象，并根据图象写出其在[﹣， ]上的单调递减区间．17. （5分）已知f（α）= ．（I）化简f（α）；（II）若角α为第三象限角，且f（α）=m，求tanα．18. （10分） (2017高一上·高邮期中) 已知函数，其中a为常数，（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；（2）若函数f（x）在（2，5）上有意义，求实数a的取值范围．19. （10分）计算题（1）已知 =（1，0）， =（1，1），λ为何值时，+λ 与垂直；（2）已知| |=4，| |=2，与的夹角为1200，求（ +2 ）•（﹣3 ）．参考答案一、一.选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、二.填空题 (共6题；共15分)9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、14-2、三、三.解答题 (共5题；共50分)15-1、15-2、15-3、16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、。

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数学
第I 卷（选择题)
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知a 是第一象限角，那么2
a
是（ ） A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第二象限角 D ．第一或第三象限角
2．复数2
12i i
-=+（ ） A ．i
B ．i -
C ．4355
i -
- D ．4355
i -
+ 3．已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（ ） A ．2
B ．
2sin1
C ．2sin1
D ．sin 2
4．若在△ABC 中，2cos B sin A ＝sin C ，则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形
5．如果
4
2
π
π
α<<
，那么下列不等式成立的是（ ）
A ．sin cos tan ααα<<
B ．tan sin cos ααα<<
C ．cos sin tan ααα<<
D ．cos tan sin ααα<<
6．已知向量a ，b ，其中1a =，24a b -=，22a b +=，则a 在b 方向上的投影为( ) A ．2- B ．1
C ．1-
D ．2
7．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（
2
π，32π）内的图象是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
8．对一切R θ∈，2
1
3sin cos 2
m m θθ-
>恒成立，则实数m 的取值范围是（） A ．11,
32⎛⎫
- ⎪⎝⎭
B ．121,,3⎛
⎫⎛⎫
-∞-+∞ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
C ．11,23⎛⎫
- ⎪⎝
⎭ D ．11,,23⎛⎫⎛⎫-∞-
+∞ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知复数3z a i =+在复平面内对应的点位于第二象限，且2z = 则下列结论正确的是（ ）． A ．38z =
B ．z 3
C ．z 的共轭复数为13i
D ．24z =
10．设向量(),2a k =，()1,1b =-，则下列叙述错误的是( ) A ．若2k <-时，则a 与b 的夹角为钝角 B ．a 的最小值为2
C ．与b 共线的单位向量只有一个为2222⎛⎫
- ⎪
⎪⎝⎭
D ．若2a b =，则22k =或22- 11．在
中，角
，
，
所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ）
A ．sin :sin :sin 4:5:6A
B
C =
B ．AB
C 是钝角三角形
C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍
D ．若6c =，则ABC 87
12．已知函数()π1sin sin 34f x x x ⎛⎫=⋅+- ⎪⎝
⎭的定义域为[](),m n m n <，值域为11,24⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，则n m -的值不可能是( ) A ．5π
12
B ．
7π12
C ．
34
π D ．
11π
12
第II 卷（非选择题)
三、填空题：本题共4小题，每小题5分。

共20分 13．求值：sin28cos73sin62cos17︒︒︒︒-=_________． 14．在AOB 中，已知1OA =，3OB =2
AOB π
∠=
.若点C ，D 满足
971616OC OA OB =-
+，()
1
2
CD CO CB =⋅+，则CD CO ⋅的值为_______________. 15．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .ABC ∆的面积()22
14
S a c =+，若2sin 2sin B A C =
，则角B 的值为______.
16．函数()3sin 32f x x x =-[]()
0,2x π∈的最大值为_________，所有零点之和为_________.
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）
已知()()()()()
3sin 3cos 2sin 2cos sin f ππαπαααπαπα⎛⎫
--- ⎪
⎝⎭=
---
（1）化简()f
α
（2）若α是第二象限角,且1cos 23απ⎛⎫
+=- ⎪⎝⎭
,求()f
α的值.
18．（12分） 求下列各式的值.
（1）cos 20cos 40cos80︒︒︒； （2）3tan104cos80︒︒+. 19．（12分）
已知向量()1,1a =，()3,4b =-. （1）求a b -的值 ；
（2）求向量a 与a b -夹角的余弦值. 20．（12分）
已知函数()
()cos sin 3cos f x x x x =+.
（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间； （2）若角(0,)απ∈，33
()+
2
5=α
f ，求2sin(+)3πα的值.
21．（12分）
西北某省会城市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形
ABCDE ，其中三角形区域ABE 为球类活动场所；四边形BCDE 为文艺活动场所，
,,,,AB BC CD DE EA ，为运动小道（不考虑宽度）0120BCD CDE ∠=∠=，
060BAE ∠=，226DE BC CD ===千米.
（1）求小道BE 的长度；
（2）求球类活动场所ABE ∆的面积最大值.
22．（12分）
已知向量(1,cos ),(sin ,3),(0)m x n x ωωω==> ，函数()f x m n =⋅ ，且()f x 图象上一个最高点为π(
,2)12P 与P 最近的一个最低点的坐标为7π
(,2)12
- . (Ⅰ)求函数()f x 的解析式；
(Ⅱ)设a 为常数，判断方程()f x a =在区间π
[0,]2
上的解的个数； （Ⅲ）在锐角ABC ∆中，若π
cos()13
B -=，求(A)f 的取值范围.
数学答案
一、单选题
1.【答案】D
2.【答案】A
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
二、多选题
9.【答案】AB
10.【答案】CD
11.【答案】ACD
12.【答案】
三、填空题
13.【答案】
2
14.
【答案】
15 64
15.【答案】5 12π
16.【答案】3214
3
π
；第一空2分；第二空3分
四、解答题
17.（1）5分；（2）5分
18.（1）6分；（2）6分.
19.（1）6分; （3）6分
20.（1）6分；（2）6分
21.（1）6分；（2）6分
22.（1）4分；（2）4分；（3）4分。

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