八年级数学下册第十五章分式知识点总结

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人教版初中八年级数学第15章分式知识点梳理(第二部分)答案及解析

31．若关于x的方程＝＋1无解，则a的值是____________．
※32．分式方程有增根，则m的值为()
A．0和3；B．1；C．1和－2；D．3；
※33．关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是( )
A．m＞－1；B．m＞－1且m≠0；
C．m≥－1；D．m≥－1且m≠0；
※34．关于x的分式方程会产生增根，则m的值为()
9．1；
10．B．；解析：
11．D．；解：+=-＝＝＝x，
12．C．；。
13．1；
14n)2＝7mn，∴原式＝＝＝＝5．
知识点10分式的混合运算
17．A．；解：原式＝ • ＝．
18．B．；解：＝＝＝．
19．考点：分式的混合运算．
A．1；B．；C．－1；D．无解；
28．解分式方程＋＝3时，去分母后变形为()
A．2＋(x＋2)＝3(x－1)；
B．2－x＋2＝3(x－1)；
C．2－(x＋2)＝3(1－x)；
D．2－(x＋2)＝3(x－1)；
29．分式方程的解为()
A． B． C．x＝5D．无解
30．分式方程的解是()
A．x＝0；B．x＝－1；C．x＝±1；D．无解；
40．学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成，现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务．
(1)王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟？
(2)学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？
A．
B．
C．
D．
39．某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，服装商又用17600元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了8元．商家销售这种衬衫时每件定价都是100元，最后剩下10件按8折销售，很快售完．在这两笔生意中，商家共盈利多少元？

八年级带十五章分式知识点

八年级带十五章分式知识点在八年级数学课程中，分式是一个重要的知识点。

分式在数学中被广泛应用，例如在代数学、几何学和物理学中。

在本文中，我们将探讨八年级数学课程中的十五个分式知识点。

1. 基本概念分式是由分子和分母组成的表达式。

在分式中，分子表示被除数，分母表示除数。

分子和分母都可以是整数、小数或代数式。

例如：$\frac{1}{2}$、$\frac{x+1}{x-1}$。

2. 分式的化简化简分式是将分式的分子和分母约分至最简形式。

化简分式的方法包括约分和提取公因式等。

例如：$\frac{6}{12}$可以化简为$\frac{1}{2}$。

3. 分式的乘法分式的乘法需要将两个分式的分子和分母分别相乘，然后将结果约分至最简形式。

例如：$\frac{2}{3} \times \frac{3}{4}=\frac{2 \times 3}{3 \times 4}=\frac{1}{2}$。

4. 分式的除法分式的除法需要将两个分式的分子和分母分别上下翻转，然后将结果约分至最简形式。

例如：$\frac{2}{3} \div\frac{3}{4}=\frac{2}{3} \times \frac{4}{3}=\frac{8}{9}$。

5. 分式的加法分式的加法需要将两个分式的分母通分，然后将分子相加，最后将结果约分至最简形式。

例如：$\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=\frac{3}{6}+\frac{4}{6}=\frac{7}{6}$。

6. 分式的减法分式的减法需要将两个分式的分母通分，然后将分子相减，最后将结果约分至最简形式。

例如：$\frac{2}{3}-\frac{1}{4}=\frac{8}{12}-\frac{3}{12}=\frac{5}{12}$。

7. 类比方法简化分式如果两个分式的分子和分母成比例，且比例系数相等，那么这两个分式可以类比简化。

例如：$\frac{3a}{4b}=\frac{9a}{12b}$。

新人教版八年级数学知识点总结归纳上下册

新人教版八年级上册数学知识点总结归纳1 第十一章三角形第十二章全等三角形第十三章轴对称第十四章整式乘法和因式分解第十五章分式第十一章三角形1、三角形的概念由不在同意直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。

组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的高）。

3、三角形的稳定性三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

三角形的这个性质在生产生活中应用很广，需要稳定的东西一般都制成三角形的形状。

4、三角形的特性与表示三角形有下面三个特性：（1）三角形有三条线段（2）三条线段不在同一直线上三角形是封闭图形（3）首尾顺次相接三角形用符号“∆”表示，顶点是A、B、C的三角形记作“∆ABC”，读作“三角形ABC”。

5、三角形的分类三角形按边的关系分类如下：不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形三角形按角的关系分类如下：直角三角形（有一个角为直角的三角形）三角形锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）斜三角形钝角三角形（有一个角为钝角的三角形）把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。

它是两条直角边相等的直角三角形。

6、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用：①判断三条已知线段能否组成三角形②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

分式方程(第一课时)教案-初二数学第十五章15.3人教版

第十五章分式的方程15.3分式的方程第一课时 15.3.1分式的方程（认识、解法）1教学目标1.1知识与技能：[1]理解分式方程的意义。

[2]使学生掌握可化为一元一次方程的分式方程的一般解法。

[3]理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握分式方程的验根方法。

1.2过程与方法：经历“实际问题---分式方程---整式方程”的过程,发展学生分析问题、解决问题的能力，渗透数学的转化思想,培养学生的应用意识。

1.3 情感态度与价值观：[1]在活动中培养学生乐于探究﹑合作学习的习惯,培养学生努力寻找解决问题的进取心,体会数学的应用价值.[2]结合已有的数学经验,解决新问题,获得成就感以及克服困难的方法和勇气。

2教学重点/难点/易考点2.1 教学重点[1]可化为一元一次方程的分式方程的解法。

[2]分式方程转化为整式方程的方法及其中的转化思想。

2.2 教学难点[1]理解解分式方程时可能无解的原因。

[2]解分式方程的基本思想是将分式方程转化为整式方程(转化思想)，基本方法是去分母(方程左右两边同乘最简公分母)，而正是这一步有可能使方程产生增根。

3 专家建议本节课内容难度不大，但是难点在于灵活运用。

在讲授分式方程解法时，老师应该尽量说清楚以下知识点：（1）类比整式方程与分式方程的区别。

（2）在进行解分式方程时，注意出现曾根的情况。

从下一节起将开始分式方程的应用。

因此，可以在课下带领同学进行分式的乘除、加减、幂运算以及混合运算进行专题练习，锻炼同学综合运用分式运算知识进行解题的技能。

4 教学方法[1]分组讨论。

[2]类比推理。

[2]启发引导探索的教学方法。

5 教学用具多媒体，黑板6教学过程6.1复习提问【师】同学们好。

同学们看一下大屏幕上的这个题，我们一起回亿一下之前我们学过哪些方程？我们该如何求解它呢？【生】答：（1）前面已经学过了一元一次方程．（2）一元一次方程是整式方程．（3）一元一次方程解法步骤是：①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化一。

初二数学十五章积累知识点

初二数学十五章积累知识点第一节：分式的乘法与除法1.分式的乘法：两个分式相乘时，只需将两个分式的分子相乘，分母相乘即可。

如：12×34=1×32×4=38。

2.分式的除法：两个分式相除时，只需将第一个分式乘以第二个分式的倒数（即分子与分母互换位置）即可。

如：12÷34=12×43=1×42×3=46=23。

第二节：一元一次方程1.一元一次方程的定义：一元一次方程是指含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的方程。

如：2x+3=7。

2.解一元一次方程的步骤：–将方程中的常数项移到等号右边；–整理方程，使得未知数的系数为1；–两边同时乘以倒数得到方程的解。

第三节：平方根与立方根1.平方根的定义：一个数的平方根是指乘以自己后等于该数的数。

如：√9=3。

2.求平方根的方法：可以通过试探法或使用计算器等工具来求平方根。

3.立方根的定义：一个数的立方根是指乘以自己三次后等于该数的数。

如：√83=2。

4.求立方根的方法：可以通过试探法或使用计算器等工具来求立方根。

第四节：多项式的加法与减法1.多项式的加法：多项式的加法是指将同类项相加。

如：(2x2+3x+1)+(4x2+2x+5)=6x2+5x+6。

2.多项式的减法：多项式的减法是指将同类项相减。

如：(6x2+5x+ 6)−(2x2+3x+1)=4x2+2x+5。

第五节：二次根式与分式的乘法与除法1.二次根式的定义：二次根式是指含有平方根的表达式。

如：2√3。

2.二次根式的乘法：二次根式的乘法可以类比分式的乘法，将系数相乘，并将根号内的数相乘。

如：2√3×3√2=6√6。

3.二次根式的除法：二次根式的除法可以类比分式的除法，将系数相除，并将根号内的数相除。

如：√63√2=2√3。

第六节：一元一次不等式1.一元一次不等式的定义：一元一次不等式是指含有一个未知数，并且该未知数的最高次数为1的不等式。

新人教版八年级数学全册知识点总结

新人教版八年级数学上册知识点总结第十一章三角形1.三角形：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.2.三边关系：三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边.3.高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.4.中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.5.角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.6.三角形的稳定性：三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性.7.多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.8.多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角.9.多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角. 10.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.11.正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫正多边形. 12.平面镶嵌：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做用多边形覆盖平面， 13.公式与性质：⑴三角形的内角和：三角形的内角和为180° ⑵三角形外角的性质：性质1：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 性质2：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角. ⑶多边形内角和公式：n 边形的内角和等于(2)n -·180° ⑷多边形的外角和：多边形的外角和为360°.⑸多边形对角线的条数：①从n 边形的一个顶点出发可以引(3)n -条对角线，把多边形分成(2)n -个三角形.②n 边形共有(3)2n n -条对角线. 第十二章全等三角形1.基本定义：⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形.⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 2.基本性质：⑴三角形的稳定性：三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状、大小就全确定，这个性质叫做三角形的稳定性.⑵全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等. 3.全等三角形的判定定理：⑴边边边（SSS ）：三边对应相等的两个三角形全等.⑵边角边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA ）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS ）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL ）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. 4.角平分线： ⑴画法：⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等.⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 5.证明的基本方法：⑴明确命题中的已知和求证.（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系） ⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证.⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.第十三章轴对称1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形. 2.基本性质： ⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. ②对称的图形都全等. ⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. ②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. ⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点P (,)x y 关于x 轴对称的点的坐标为'P (,)x y -. ②点P (,)x y 关于y 轴对称的点的坐标为"P (,)x y -.⑷等腰三角形的性质： ①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合. ④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）. ⑸等边三角形的性质： ①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60° ③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）. 3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形. ②三个角都相等的三角形是等边三角形. ③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 4.基本方法：⑴做已知直线的垂线： ⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线. ⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短.第十四章整式的乘除与分解因式1.基本运算：⑴同底数幂的乘法：mnm na a a+⨯=⑵幂的乘方：()nm mn aa =⑶积的乘方：()nn nab a b = 2.整式的乘法：⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每个项后相加.⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每个项乘以另一个多项式每个项后相加. 3.计算公式：⑴平方差公式：()()22a b a b a b -⨯+=-⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2222a b a ab b -=-+4.整式的除法：⑴同底数幂的除法：mnm na a a-÷=⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每个项除以单项式后相加. ⑷多项式÷多项式：用竖式.5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解.6.因式分解方法：⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法：①平方差公式：()()22a b a b a b -=+-②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=±③立方和：3322()()a b a b a ab b +=+-+ ④立方差：3322()()a b a b a ab b -=-++⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++⑷拆项法 ⑸添项法第十五章分式1.分式：形如AB，A B 、是整式，B 中含有字母且B 不等于0的整式叫做分式.其中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.2.分式有意义的条件：分母不等于0.3.分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4.约分：把一个分式的分子和分母的公因式(不为1的数）约去，这种变形称为约分.5.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分.6.最简分式:一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化为最简分式. 7.分式的四则运算：⑴同分母分式加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：a b a bc c c±±=⑵异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：a c ad cbb d bd±±=⑶分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：a c acb d bd⨯=⑷分式的除法法则：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.用字母表示为：a c a d adb d bc bc÷=⨯= ⑸分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：nn n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭8.整数指数幂： ⑴mnm na a a +⨯=（m n 、是正整数）⑵()nm mn aa =（m n 、是正整数）⑶()nn n ab a b =（n 是正整数） ⑷mnm na a a-÷=（0a ≠，m n 、是正整数，m n >）⑸n n n a a b b⎛⎫= ⎪⎝⎭（n 是正整数） ⑹1nn aa-=（0a ≠，n 是正整数） 9.分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程.10.分式方程的解法:①去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程);②按解整式方程的步骤求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).新人教版八年级数学下册知识点总结第16章二次根式1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。

八年级下册数学知识点分式

八年级下册数学知识点分式八年级下册数学知识点——分式一、定义分式是指由分子和分母以及分割符号（如：横线或斜线等）组成的算式，通常表示为a/b的形式，其中a、b均为整数，b不为0。

二、基本概念1. 真分数：分子小于分母的分式称为真分数，如1/2、2/3等。

2. 假分数：分子大于或等于分母的分式称为假分数，如5/3、9/4等。

3. 通分：对于分母不同的分式，将它们的分母约分至相同，即将它们化为相同分母的分式，这个过程称为通分。

4. 约分：对于分子分母有公共因数的分式，可以将它们约分成最简分式，即分子分母同时除以它们的公共因数，得到的分式称为最简分式。

三、分式的四则运算1. 加减法分式的加减法其实就是先通分，再将分子按照加减法的规则相加减，然后将结果约分为最简分式。

例如：7/10 + 5/6 = 21/30 + 25/30 = 46/30 = 23/152. 乘法分式的乘法就是将两个分式的分子和分母分别相乘，然后将结果约分为最简分数。

例如：2/3 × 3/4 = 6/12 = 1/23. 除法分式的除法相当于将分式的乘数乘上被除数的倒数，即将分子与被除数的分母相乘，分母与被除数的分子相乘，得到的结果再约分为最简分数。

例如：3/4 ÷ 2/3 = 3/4 × 3/2 = 9/8四、分式的应用1. 分式在比例问题中的应用分式在比例问题中的应用非常广泛，例如在解题时需要求出比例中某一部分的值，在这种情况下，就可以通过分式的运算来求解。

例如：若三个数的比例为a : b : c，且a = 3/4，b = 1/2，求c的值。

根据比例的定义，可得a : b = 3/4 : 1/2 = 3/2，那么c : a = 3/2 : 1，即c = (3/2) ÷ 1 × a = (3/2) × (3/4) = 9/8。

因此c = 9/8。

2. 分式在解方程中的应用在解方程中，有时需要将方程变形成分式的形式，然后进行分式的运算，最后再将分式恢复为方程，从而得到方程的解。

八年级上下册数学知识点归纳

八年级上下册数学知识点归纳八年级上册。

第十一章三角形。

1. 三角形的边：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。

2. 三角形的高、中线与角平分线：- 三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

- 三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线。

- 三角形的角平分线：三角形一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

3. 三角形的内角和：三角形内角和为 180°。

4. 三角形的外角：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。

三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。

第十二章全等三角形。

1. 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等。

2. 全等三角形的判定：- SSS（边边边）：三边对应相等的两个三角形全等。

- SAS（边角边）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

- ASA（角边角）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

- AAS（角角边）：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。

- RHS（斜边、直角边）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

第十三章轴对称。

1. 轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

2. 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

3. 等腰三角形的性质：- 等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）。

- 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（三线合一）。

4. 等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

第十四章整式的乘法与因式分解。

1. 同底数幂的乘法：底数不变，指数相加，即a^m×a^n = a^m+n2. 幂的乘方：底数不变，指数相乘，即(a^m)^n = a^mn3. 积的乘方：先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘，即(ab)^n = a^n b^n4. 整式的乘法：- 单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

分式八年级下册数学知识点归纳总结

分式八年级下册数学知识点归纳总结
分式八年级下册数学知识点归纳总结
1.分式的有关概念
设A、B表示两个整式.如果B中含有字母，式子就叫做分式.注意分母B的值不能为零，否则分式没有意义
分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简
2、分式的基本性质
(M为不等于零的.整式)
3.分式的运算(分式的运算法则与分数的运算法则类似).
(异分母相加，先通分);
4.零指数
5.负整数指数
注意正整数幂的运算性质
可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m、n可以是O或负整数.
6、解分式方程的一般步骤：
在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程.解这个整式方程..验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根;若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去.
7、列分式方程解应用题的一般步骤：
(1)审清题意;(2)设未知数(要有单位);(3)根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程;(4)解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意;(5)写出答案(要有单位)。

八年级数学下册分式知识点总结,推荐文档

第十八早分式1.分式的定义：如果AA、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。

分式有意义的条件是分母不为零，分式值为零的条件分子为零且分母不为零。

2•分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。

A A?CB B?C A A C (CO) BBC3•分式的通分和约分：关键先是分解因式4. 分式的运算：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。

分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方。

a” aca c a, ad a n a n b d bdbd b c bc v b b分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减-- 心，？ -bc ad bcc c c bd bd bd bd混合运算：运算顺序和以前一样。

能用运算率简算的可用运算率简算。

(a 0)6. 正整数指数幕运算性质也可以推广到整数指数幕.（m,n是整数）（1）同底数的幕的乘法：a m ?a n a m n；（2）幕的乘方：（a m）n a mn；（3）积的乘方：（ab）n a n b n；（4）同底数的幕的除法：a m a n a m n（ a工0）；n（5）商的乘方：（旦）n；（b丰0）b b7. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程一一分式方程。

解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为0, 这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

解分式方程的步骤：（1）能化简的先化简（2）方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；（3）解整式方程；（4）验根.增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0, 二是其值应是去分母后所的整式方程的根。

八年级数学《分式》知识点

八年级数学《分式》知识点一、分式的概念形如 A/B（A、B 是整式，B 中含有字母且 B 不等于 0）的式子叫做分式。

其中 A 叫做分子，B 叫做分母。

理解分式的概念时，需要注意以下几点：1、分式的分母中必须含有字母。

例如：5/x 是分式，而 5/3 就不是分式，因为它的分母 3 是常数。

2、分母的值不能为 0。

如果分母 B 的值为 0，那么分式就没有意义。

3、分式是两个整式相除的商，其中分子是被除式，分母是除式。

4、整式和分式统称为有理式。

二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不等于 0。

即：对于分式 A/B，当B≠0 时，分式有意义。

例如：对于分式 2/（x 1)，要使其有意义，则x 1≠0，即x≠1。

三、分式的值为 0 的条件分式的值为 0 时，需要同时满足两个条件：1、分子等于 0，即 A ＝ 0。

2、分母不等于 0，即B≠0。

例如：对于分式（x 2)／（x ＋ 1)，当 x 2 ＝ 0 且 x ＋1≠0 时，分式的值为 0。

由 x 2 ＝ 0 得 x ＝ 2，又因为 x ＋1≠0，即x≠ 1，所以当 x ＝ 2 时，该分式的值为 0。

四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。

即：A/B ＝ A×M/B×M，A/B ＝ A÷M/B÷M（M 为不等于 0 的整式）例如：将分式 2x/（3y)的分子分母同时乘以 2，得到 4x/（6y)，分式的值不变。

利用分式的基本性质，可以进行分式的约分和通分。

五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。

约分的关键是确定分子和分母的公因式。

确定公因式的方法：1、系数：取分子和分母系数的最大公约数。

例如：在分式 8x/12 中，8 和 12 的最大公约数是 4，所以分子分母同时除以 4 进行约分。

2、字母：取分子和分母相同字母的最低次幂。

例如：在分式 x²y/xy²中，相同字母是 x 和 y，x 的最低次幂是 1，y 的最低次幂是 1，所以公因式是 xy，约分后为 x/y。

八年级上册第十五章-分式知识梳理

八年级数学第十五章--分式知识梳理知识点一、分式1、一般地，如果A,B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子叫做分式。

分式中，A 叫做分子，B 叫做分母。

2、分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义。

3、分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

即：其中A,B,C 是整式。

4、根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约分，叫做分式的约分。

经过约分后的分式，分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

5、根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

6、通分时，要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母知识点二、分式的运算7、分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母即 8、分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

即 9、分式乘方要把分子、分母分别乘方。

即 10、同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

即 cb ac b c a ±=± 11、异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

即 12、一般地，当n 是正整数时，B A B A B A CB C A B A ⋅⋅=)0(≠÷÷=C C B C A B A db c a d c b a ⋅⋅=⋅cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⨯=÷n n n b a b a =⎪⎭⎫ ⎝⎛bdbc ad bd bc bd ad d c b a +=±=±)0(1≠=-a a a n n nn b a a b )(=-）（知识点三、分式方程13、分母中含有未知数的方程叫做分式方程14、解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边乘最简公分母。

八年级数学《分式方程》知识点

一、基本概念
1.分式：分子和分母都是多项式的数叫做分式。

2.分式方程：含有一个或多个未知数的分式等式叫做分式方程。

二、分式方程的解
1.分式方程的解：使得方程两边分式等价的数叫做分式方程的解。

2.适合分式方程的解：使得分式方程的任意代入都可以使分式方程成立的解叫做适合分式方程的解。

三、分式方程的解的判定
1.分式方程的解的判定方法：将找到的解代入方程，若等式两边可以变成同一个数，则该解为分式方程的解。

2.分式方程的解的验证方法：将方程两边合并，并对两边进行化简，最后验证等式是否成立。

四、分式方程的解的性质
1.分式方程的根的性质：若一个数是分式方程的根，则这个数的相反数也是该方程的根。

2.分式方程的根的性质的应用：利用分式方程的根的性质，可以通过已知根推出其他根。

五、分式方程的解的求解
1.解分式方程的一般步骤：先合并同类项，再化简，最后通过代数运算求解未知数。

2.解分式方程的具体方法：可以通过交叉相乘、通分和消分的方法来解决不同类型的分式方程。

六、分式方程的应用
1.代入法解分式方程：利用推导和分项代入法，将问题转化为分式方程，然后再用分式方程的解来解决问题。

2.混合运算解分式方程：先利用等式性质将分子展开，再通过合并同类项化简，最后求解分式方程得到解。

总结：。

北师大版八年级数学下册5.1 认识分式(第1课时)

想一想：式子 100 , 100 , 100 , 200 , V
7
a
a + 1 33
S
它们有什么相同点和不同点？
相同点
f
从形式上都具有分数 g 形式
（分子f、分母 g 都是整式）
不同点分母中是否含有字母（观察分母）
探究新知
结论分式的定义
式，一且般B地中，含用有A字，母B，表那示么两称个整BA 式为，分A式÷.其B可中以A称表为示分成式BA的的分形子， B称为分式的分母.对于任意一个分式，分母不能为零.
探究新知
(2)既然分式是不同于整式的另一类式子，那么它们统
称为什么呢？
数、式通性
有整数理数分数
数的扩充
整式有理
分式式式的扩充
探究新知
想一想：代数式
单项式整式
多项式有理式
分式
实数
类比思想
整数有理数
分数
无理式
无理数
探究新知
判一判：下面的式子哪些是分式？
2 bs
4 5b c
外，分式都有意义. 由分母2a-1=0，得 a
1 2
.
所以，当
a
1 2
时，分式
a 1 2a 1
有意义.
巩固练习
变式训练
已知分式
(
x
x 1 1)( x
2)
有意义，则x应满足的
条件是 ( C )
A.x≠1 C.x≠1且x≠2
B.x≠2 D.以上结果都不对
方法总结:分式有意义的条件是分母不为零.如果分母是几个因式乘积的形式，则每个因式都不为零.
1. 了解分式的概念.
探究新知

数学八年级下册分式知识点总结

数学八年级下册分式知识点总结
数学八年级下册分式的知识点总结包括：
1. 分式的定义：分式是由分子和分母组成的有理数表达式，分子和分母都是整数。

2. 分数的运算：加减乘除四则运算的规则同整数的运算规则。

3. 分式化简：将分子和分母的公因式约去，将分数化简为最简形式。

4. 分数的乘除法：乘法时，分子乘以分子，分母乘以分母。

除法时，乘以倒数，即分
子乘以分母的倒数。

5. 分式的加减法：分式加减法也要找到分母的最小公倍数，然后分子相加减，分母不变。

6. 分式的混合运算：先进行分数的乘除法运算，再进行分数的加减法运算。

7. 分式方程的解：分式方程的解与分式的定义域有关，需要注意排除分母为零的情况。

8. 分式不等式的解：将分数不等式转化为分母为正数的不等式，根据分母正负的不同
确定解的范围。

9. 分式的应用：分式在实际问题中的应用包括比例、速度、利润等方面。

人教版初中数学第十五章分式知识点(K12教育文档)

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第十五章分式15.1 分式15。

1.1 从分式到分式1、一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式，A 为分子,B 为分母。

2、与分式有关的条件（1）分式有意义：分母不为0（0B ≠）（2）分式无意义：分母为0（0B =）（3）分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=00B A ）（4)分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<0B A ）（5）分式值为负或小于0：分子分母异号(⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><00B A ）（6）分式值为1：分子分母值相等（A=B ）(7）分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）例1．若24x -有意义,则x 的取值范围是（）A ．x ＞4B ．x≠4 C．x≥4 D．x ＜4 【答案】B ．【解析】试题解析:由题意得，x —4≠0，解得,x≠4，故选B ．考点：分式有意义的条件．考点：分式的基本性质．例2．要使分式1(1)(2)x x x ++-有意义，则x 应满足（ ) A ．x≠-1 B ．x≠2 C．x≠±1 D．x≠—1且x≠2【答案】D ．【解析】试题分析：∵（x+1)(x ﹣2）≠0，∴x+1≠0且x ﹣2≠0，∴x≠﹣1且x≠2．故选D ．考点：分式有意义的条件．例3．下列各式:2b a -，x x 3+，πy +5，b a b a -+，)(1y x m-中，是分式的共有（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】C ．【解析】试题分析：x x 3+，b a b a -+,)(1y x m -中分母中含有字母，因此是分式．故分式有3个．故选C ．考点：分式的定义．例4．当x= 时，分式211x x -+的值为0．【答案】1【解析】试题分析：由题意得：210x -=，且x+1≠0,解得：x=1，故答案为：1．考点：分式的值为零的条件． 15。

人教版初中数学第十五章知识点总结

第十五章分式15.1分式15.1.1从分数到分式1.分式：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式.分式AB中，A叫做分子，B叫做分母.分母中含有字母的式子叫做分式.2.分式有意义的条件：分式的分母不为0.即当B≠0时，分式AB才有意义.3.分式无意义的条件：分式的分母等于0,即当B=0时,分式AB无意义.4.分式的值为0的条件：分式的分子为0，且分母不为0.即当A=0,且B≠0时,分式AB的值为0.15.1.2分式的基本性质1.分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。

A B =ACBC,AB=A÷CB÷C(C≠0)2．约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

3．最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式4．分式的符号的变换规律分式的分子、分母、分式本身的符号，同时改变其中2个，分式的值不变5.通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分6．最简公分母：各分母所有因式的最高次幂的积，叫做这几个分式的最简公分母。

7．最简公分母的确定方法：（1）系数取各分母的最小公倍数；（2）因式取各分母所有的因式；（3）相同因式取次数最高的。

15.2分式的运算15.2.1分式的乘除1.乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

db c a d c b a ⋅⋅=⋅2.除法法则：分式除以分式，把除式的分子，分母颠倒位置后，与被除式相乘。

cb d acd b a d c b a ⋅⋅=⋅=÷3.分式乘方：分式乘方要把分子，分母分别乘方。

n nn ba b a =)(（n 为正整数）15.2.2分式的加减法1.分式加减法法则：（1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；c a ±c b =cb a ±（2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。