第6章 IIR数字滤波器的设计方法
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极点： z a
a为复数
0 a 1
零点：z 1/ a*
零极点以单位圆为镜像对称
实系数二阶全通系统
z 1 a* z 1 a H ap ( z ) 1 1 az 1 a * z 1
极点： z a，a* 零点： z 1/ a*，1/a
a 1
两个零点（极点）共轭对称
j
6.3 全通系统
对所有，满足： H ap (e ) 1 称该系统为全通系统
j
一阶全通系统：
z 1 a H ap ( z ) 1 az 1
极点： z a
a为实数
0 a 1
零点： z 1/ a
z 1 a* H ap ( z ) 1 az 1
1 20lg
H (e j 0 ) H (e jc )
20lg H (e jc ) 20lg(1 1 )
阻带最小衰减： 2
2 20lg
H (e j 0 ) H (e jst )
j0
20lg H (e jst ) 20lg 2
其中： H (e ) 1
理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近 j 1 1 H (e ) 1 通带： c
st 过渡带： c st
阻带：
H (e j ) 2
c ：通带截止频率
st ：阻带截止频率
1 ：通带容限 2 ：阻带容限
通带最大衰减：1
相位延时系统 1）全部零点在单位圆内： mi M , mo 0
arg[] 0
为最小相位延时系统
2）全部零点在单位圆外： mi 0, mo M
arg[] 2 M
为最大相位延时系统
逆因果稳定系统 z r , r 1 n > 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆外：po = N，pi = 0
抽样周期 T 2 ，试用双线性变换法将它转变 为数字系统函数 H z
2．要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用双线性变换 导出一低通数字滤波器，已知3dB截止频率为 100Hz，系统抽样频率为1kHz。
数字滤波器： 输入输出均为数字信号，其功能是通过一定 运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例 或者滤除某些频率成分。
H ( z ) H min ( z ) H ap ( z ) 令：H ( z) H1 ( z)( z z0 )( z z )
* 0 1 1
其中：H1(z)为最小相位延时系统，
* 1/ z0，1/z0 ， z0 1为单位圆外的一对共轭零点
* 1 1 1 z z 1 z z * 0 0 H ( z ) H1 ( z ) z 1 z0 z 1 z0 1 z* z 1 1 z z 1 0 0 1 1 * z z z z * 1 0 0 H1 ( z ) 1 z0 z 1 z0 z 1 * 1 1 z0 z 1 z0 z 1
j Im[ H ( e )] j 相位响应： (e ) arctan j Re[ H (e )]
H * (e j ) H (e j ) e j ( e
j
)
H (e j ) 2 j ( e j ) e * j H (e )
j 1 H ( e ) 1 H ( z) j (e ) ln * j ln 1 2 j H (e ) 2 j H ( z ) z e j
先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器 计算机辅助设计法
6.2 数字滤波器的技术
选频滤波器的频率响应：
H (e ) H (e ) e
j
j
j ( j )
H (e j ) 为幅频特性： 表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况
( j ) 为相频特性：
反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况
N
频率响应：
H (e ) Ke
j
j ( N M ) m 1 N k 1
j ( e cm )
j ( e dk )
ee ) ) e| e |H H((
j j
j j arg[ H ( eH )] j arg[ ( e j )]
模：
H (e j ) K
第 6章
IIR数字滤波器的设计方法
6.1 数字滤波器的基本概念
6.2 数字滤波器的技术指标
6.3 全通系统
6.4 最小与最大相位延时系统、最小与最大相位 超前系统 6.5 模拟原型低通滤波器设计 6.6 模拟频带变换法设计各种响应的模拟滤波器
6.7 间接法的IIR数字滤波器设计方案
6.8 模拟滤波器数字化为数字滤波器的映射方法
H (e j ) arg 2 mi 2 pi 2 ( N M ) K 2 2 mi 2 ( N M ) 0
相位超前系统 1）全部零点在单位圆内： mi M , mo 0
arg[] 2 N
为最大相位超前系统
jc H ( e ) 2 / 2 0.707 时， 1 3dB 当
称 c 为3dB通带截止频率
表征滤波器频率响应的特征参量
幅度平方响应
H (e ) H (e ) H (e )
*
j
2
j
j
H (e ) H (e
j
j
) H ( z) H ( z )
1
z e j
令： 单位圆内零点数为mi 单位圆外的零点数为mo 单位圆内的极点数为pi 单位圆外的极点数为po
mi mo M pi po N
N H (e j ) M j j arg arg[ e c ] arg[ e d k ] ( N M ) m k 1 K m1 则： H ( e j ) N M M)) 22 m 2p arg 2 2 (N m i i 2 pi i K 2
构、字长的选择等
实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法
IIR数字滤波器的设计方法
k b z k M
用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：
H ( z)
1 ak z k
k 1
k 0 N
即求滤波器的各系数： ak , bk
s平面逼近：模拟滤波器 z平面逼近：数字滤波器
优点： 高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活， 不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能。
6.1 数字滤波器的基本概念
1、数字滤波器的分类
经典滤波器： 选频滤波器 现代滤波器： 维纳滤波器 卡尔曼滤波器
自适应滤波器等
按功能分：
低通LPF 高通HPF 带通BPF
带阻BSF
全通滤波器APF
按实现的网络结构或单位抽样响应分： IIR滤波器（N阶）
6.9 将样本模拟归一化低通滤波器先经模拟频带变换，
再数字化方案的设计步骤
6.10 将样本模拟低通滤波器直接数字化为各种频率
响应数字滤波器的设计方案
6.11 数字频域频带变换。将样本模拟归一化低通滤
波器先数字化，再做数字频域频带变换的设计方法
第6章学习目标
理解数字滤波器的基本概念
理解最小相位延时系统
因果稳定系统
z r , r 1 n < 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆内：po = 0，pi = N
H (e j ) arg 2 mi 2 pi 2 ( N M ) K 2 2 mi 2 M 2 mo 0
零点与极点以单位圆为镜像对称
N 阶数字全通滤波器
z 1 ak * H ( z ) 1 1 a z k 1 k
N
d N d N 1 z 1 d N 2 z 2 d1 z ( N 1) z N 1 d1 z 1 d 2 z 2 d N 1 z ( N 1) d N z N
H ( z)
k b z k
M
1 ak z k
k 1
k 0 N
FIR滤波器
H ( z ) h( n) z n
n 0
N 1
2、数字滤波器的设计过程
按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术
指标
用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)
逼近此性能指标
利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结
H ( z ) H ( z 1 ) 的极点既是共轭的，又是以单位 圆成镜像对称的（h(n)为实序列） j Im[ z ]
1/ a*
为了系统可实现，H(z)的极点 只取单位圆内的极点
a
0
a
*
Re[ z ]
a 1
相位响应
H (e ) H (e ) e
j
j
j ( e j )
j j Re H ( e ) j Im H ( e )
N H (e j ) M j j arg arg[ e c ] arg[ e d k ] ( N M ) m k 1 K m1
当 0 2 ,
j Im[ z ]
2
0
Re[ z ]
位于单位圆内的零/极矢量角度变化为 2 位于单位圆外的零/极矢量角度变化为 0
hmin (n )
n 0
m
2Baidu Nhomakorabea
m N 1
h(n )
n 0
N 1
2
hmin (n )
n 0
N 1
2
hmin (0) h(0) 3）最小相位序列的 hmin (0) 最大：
4）在 H (e ) 相同的系统中，hmin (n) 唯一
5）级联一个全通系统，可以将一最小相位延时系 统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统
2）全部零点在单位圆外： mi 0, mo M arg[] 2 ( N M ) 为最小相位超前系统
最小相位延时系统的性质
1）在 H (e j )相同的系统中，具有最小的相位滞后 2）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近， 而总能量相同
h(n )
n 0
m
2
理解全通系统的特点及应用 掌握冲激响应不变法 掌握双线性变换法 掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点 了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计
过程
本章作业练习
P336:
6.10(1) 6.13
1．设有一模拟滤波器
H a s 1 s 2 s 1
N 1 N ) 1 zz D ( z D ( z ) D( z ) D( z )
极点： D( z )的根
零点： D( z )的根
1
z p re j r 1
1 j zo e r 1 r
全通系统的应用
1）任一因果稳定系统H(z)都可以表示成全通系 统 Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联
LSI系统的系统函数：
M
H ( z) K
1 (1 c z m )
M
(1 d z
k 1 k M
m 1 N
Kz Kz
1
( N M ) m 1 N
(z c ) cm ) (z ( N M ) m 1
m
M
)
(z ( z d)d k )
k 1 k 1 k
H (e j )
群延迟响应
相位对角频率的导数的负值
j d ( e ) j (e ) d
dH ( z ) 1 Re z j dz H ( z ) z e
j ( e ) = 常数， 若滤波器通带内
则为线性相位滤波器
6.4 最小与最大相位延时系统、最小与 最大相位超前系统
j e cm j e dk k 1 m 1 N
M
各零矢量模的连乘积 各极矢量模的连乘积
相角：
N H (e j ) M j j arg arg[ e c ] arg[ e d k ] ( N M ) m k 1 K m1
a为复数
0 a 1
零点：z 1/ a*
零极点以单位圆为镜像对称
实系数二阶全通系统
z 1 a* z 1 a H ap ( z ) 1 1 az 1 a * z 1
极点： z a，a* 零点： z 1/ a*，1/a
a 1
两个零点（极点）共轭对称
j
6.3 全通系统
对所有，满足： H ap (e ) 1 称该系统为全通系统
j
一阶全通系统：
z 1 a H ap ( z ) 1 az 1
极点： z a
a为实数
0 a 1
零点： z 1/ a
z 1 a* H ap ( z ) 1 az 1
1 20lg
H (e j 0 ) H (e jc )
20lg H (e jc ) 20lg(1 1 )
阻带最小衰减： 2
2 20lg
H (e j 0 ) H (e jst )
j0
20lg H (e jst ) 20lg 2
其中： H (e ) 1
理想滤波器不可实现，只能以实际滤波器逼近 j 1 1 H (e ) 1 通带： c
st 过渡带： c st
阻带：
H (e j ) 2
c ：通带截止频率
st ：阻带截止频率
1 ：通带容限 2 ：阻带容限
通带最大衰减：1
相位延时系统 1）全部零点在单位圆内： mi M , mo 0
arg[] 0
为最小相位延时系统
2）全部零点在单位圆外： mi 0, mo M
arg[] 2 M
为最大相位延时系统
逆因果稳定系统 z r , r 1 n > 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆外：po = N，pi = 0
抽样周期 T 2 ，试用双线性变换法将它转变 为数字系统函数 H z
2．要求从二阶巴特沃思模拟滤波器用双线性变换 导出一低通数字滤波器，已知3dB截止频率为 100Hz，系统抽样频率为1kHz。
数字滤波器： 输入输出均为数字信号，其功能是通过一定 运算关系改变输入信号所含频率成分的相对比例 或者滤除某些频率成分。
H ( z ) H min ( z ) H ap ( z ) 令：H ( z) H1 ( z)( z z0 )( z z )
* 0 1 1
其中：H1(z)为最小相位延时系统，
* 1/ z0，1/z0 ， z0 1为单位圆外的一对共轭零点
* 1 1 1 z z 1 z z * 0 0 H ( z ) H1 ( z ) z 1 z0 z 1 z0 1 z* z 1 1 z z 1 0 0 1 1 * z z z z * 1 0 0 H1 ( z ) 1 z0 z 1 z0 z 1 * 1 1 z0 z 1 z0 z 1
j Im[ H ( e )] j 相位响应： (e ) arctan j Re[ H (e )]
H * (e j ) H (e j ) e j ( e
j
)
H (e j ) 2 j ( e j ) e * j H (e )
j 1 H ( e ) 1 H ( z) j (e ) ln * j ln 1 2 j H (e ) 2 j H ( z ) z e j
先设计模拟滤波器，再转换为数字滤波器 计算机辅助设计法
6.2 数字滤波器的技术
选频滤波器的频率响应：
H (e ) H (e ) e
j
j
j ( j )
H (e j ) 为幅频特性： 表示信号通过该滤波器后各频率成分的衰减情况
( j ) 为相频特性：
反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况
N
频率响应：
H (e ) Ke
j
j ( N M ) m 1 N k 1
j ( e cm )
j ( e dk )
ee ) ) e| e |H H((
j j
j j arg[ H ( eH )] j arg[ ( e j )]
模：
H (e j ) K
第 6章
IIR数字滤波器的设计方法
6.1 数字滤波器的基本概念
6.2 数字滤波器的技术指标
6.3 全通系统
6.4 最小与最大相位延时系统、最小与最大相位 超前系统 6.5 模拟原型低通滤波器设计 6.6 模拟频带变换法设计各种响应的模拟滤波器
6.7 间接法的IIR数字滤波器设计方案
6.8 模拟滤波器数字化为数字滤波器的映射方法
H (e j ) arg 2 mi 2 pi 2 ( N M ) K 2 2 mi 2 ( N M ) 0
相位超前系统 1）全部零点在单位圆内： mi M , mo 0
arg[] 2 N
为最大相位超前系统
jc H ( e ) 2 / 2 0.707 时， 1 3dB 当
称 c 为3dB通带截止频率
表征滤波器频率响应的特征参量
幅度平方响应
H (e ) H (e ) H (e )
*
j
2
j
j
H (e ) H (e
j
j
) H ( z) H ( z )
1
z e j
令： 单位圆内零点数为mi 单位圆外的零点数为mo 单位圆内的极点数为pi 单位圆外的极点数为po
mi mo M pi po N
N H (e j ) M j j arg arg[ e c ] arg[ e d k ] ( N M ) m k 1 K m1 则： H ( e j ) N M M)) 22 m 2p arg 2 2 (N m i i 2 pi i K 2
构、字长的选择等
实际技术实现：软件法、硬件法或DSP芯片法
IIR数字滤波器的设计方法
k b z k M
用一因果稳定的离散LSI系统逼近给定的性能要求：
H ( z)
1 ak z k
k 1
k 0 N
即求滤波器的各系数： ak , bk
s平面逼近：模拟滤波器 z平面逼近：数字滤波器
优点： 高精度、稳定、体积小、重量轻、灵活， 不要求阻抗匹配，可实现特殊滤波功能。
6.1 数字滤波器的基本概念
1、数字滤波器的分类
经典滤波器： 选频滤波器 现代滤波器： 维纳滤波器 卡尔曼滤波器
自适应滤波器等
按功能分：
低通LPF 高通HPF 带通BPF
带阻BSF
全通滤波器APF
按实现的网络结构或单位抽样响应分： IIR滤波器（N阶）
6.9 将样本模拟归一化低通滤波器先经模拟频带变换，
再数字化方案的设计步骤
6.10 将样本模拟低通滤波器直接数字化为各种频率
响应数字滤波器的设计方案
6.11 数字频域频带变换。将样本模拟归一化低通滤
波器先数字化，再做数字频域频带变换的设计方法
第6章学习目标
理解数字滤波器的基本概念
理解最小相位延时系统
因果稳定系统
z r , r 1 n < 0时，h(n) = 0
全部极点在单位圆内：po = 0，pi = N
H (e j ) arg 2 mi 2 pi 2 ( N M ) K 2 2 mi 2 M 2 mo 0
零点与极点以单位圆为镜像对称
N 阶数字全通滤波器
z 1 ak * H ( z ) 1 1 a z k 1 k
N
d N d N 1 z 1 d N 2 z 2 d1 z ( N 1) z N 1 d1 z 1 d 2 z 2 d N 1 z ( N 1) d N z N
H ( z)
k b z k
M
1 ak z k
k 1
k 0 N
FIR滤波器
H ( z ) h( n) z n
n 0
N 1
2、数字滤波器的设计过程
按设计任务，确定滤波器性能要求，制定技术
指标
用一个因果稳定的离散LSI系统的系统函数H(z)
逼近此性能指标
利用有限精度算法实现此系统函数：如运算结
H ( z ) H ( z 1 ) 的极点既是共轭的，又是以单位 圆成镜像对称的（h(n)为实序列） j Im[ z ]
1/ a*
为了系统可实现，H(z)的极点 只取单位圆内的极点
a
0
a
*
Re[ z ]
a 1
相位响应
H (e ) H (e ) e
j
j
j ( e j )
j j Re H ( e ) j Im H ( e )
N H (e j ) M j j arg arg[ e c ] arg[ e d k ] ( N M ) m k 1 K m1
当 0 2 ,
j Im[ z ]
2
0
Re[ z ]
位于单位圆内的零/极矢量角度变化为 2 位于单位圆外的零/极矢量角度变化为 0
hmin (n )
n 0
m
2Baidu Nhomakorabea
m N 1
h(n )
n 0
N 1
2
hmin (n )
n 0
N 1
2
hmin (0) h(0) 3）最小相位序列的 hmin (0) 最大：
4）在 H (e ) 相同的系统中，hmin (n) 唯一
5）级联一个全通系统，可以将一最小相位延时系 统转变成一相同幅度响应的非最小相位延时系统
2）全部零点在单位圆外： mi 0, mo M arg[] 2 ( N M ) 为最小相位超前系统
最小相位延时系统的性质
1）在 H (e j )相同的系统中，具有最小的相位滞后 2）最小相位延时系统的能量集中在 n = 0 附近， 而总能量相同
h(n )
n 0
m
2
理解全通系统的特点及应用 掌握冲激响应不变法 掌握双线性变换法 掌握Butterworth、Chebyshev低通滤波器的特点 了解利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的设计
过程
本章作业练习
P336:
6.10(1) 6.13
1．设有一模拟滤波器
H a s 1 s 2 s 1
N 1 N ) 1 zz D ( z D ( z ) D( z ) D( z )
极点： D( z )的根
零点： D( z )的根
1
z p re j r 1
1 j zo e r 1 r
全通系统的应用
1）任一因果稳定系统H(z)都可以表示成全通系 统 Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联
LSI系统的系统函数：
M
H ( z) K
1 (1 c z m )
M
(1 d z
k 1 k M
m 1 N
Kz Kz
1
( N M ) m 1 N
(z c ) cm ) (z ( N M ) m 1
m
M
)
(z ( z d)d k )
k 1 k 1 k
H (e j )
群延迟响应
相位对角频率的导数的负值
j d ( e ) j (e ) d
dH ( z ) 1 Re z j dz H ( z ) z e
j ( e ) = 常数， 若滤波器通带内
则为线性相位滤波器
6.4 最小与最大相位延时系统、最小与 最大相位超前系统
j e cm j e dk k 1 m 1 N
M
各零矢量模的连乘积 各极矢量模的连乘积
相角：
N H (e j ) M j j arg arg[ e c ] arg[ e d k ] ( N M ) m k 1 K m1