2.4 补充例题——概率统计课件PPT
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概率统计ppt
2021/8/2
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1.1.1 随机事件及其运算
事件的运算规律 1、交换律：AB＝BA，AB＝BA 2、结合律：(AB)C＝A(BC)，(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(AB)C＝(AC)(BC)， (AB)C＝(AC)(BC) 4、对偶(De Morgan)律：
A B A B, AB A B
第一部分 概率统计基础知识
随机事件及其概率 随机变量及其分布 随机变量的数字特征 数理统计的基本概念 参数估计 假设检验 方差分析
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1.1 随机事件及其概率
随机事件及其运算 概率的定义及其运算 条件概率 全概率公式与贝叶斯公式 事件的独立性
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2
1
3 33
2 9
2 3
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1.1.2 概率的定义及其运算
一般地，把n个球随机地分配到m个盒子中去(nm) ，则每盒至多有一球的概率是：
p
Pmn mn
某班级有n 个人(n365)， 问至少有两个人的生日在同一天 的概率有多大？
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1.1.2 概率的定义及其运算
概率的统计定义
＝{x:1000<x<∞ (小时）}
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1.1.1 随机事件及其运算
事件之间的关系
1.包含关系 “ A发生必导致B发生”记为AB
A＝B AB且BA.
2.和事件： “事件A与B至少有一个发生”，记作
n
AB
Ai
n个事件A1, A2,…, An至少有一个发生，记作 i1
3.积事件:A与B同时发生，记作 AB＝AB
A3 :“恰有两人命中目标”:
《概率》统计与概率PPT(事件之间的关系与运算)(完美版)
பைடு நூலகம்
课前篇自主预习
一
二
2.做一做:掷一枚硬币三次,得到如下三个事件:事件A为3次正面
向上,事件B为只有1次正面向上,事件C为至少有1次正面向上.试判
断A,B,C之间的包含关系.
解:当事件A发生时,事件C一定发生,当事件B发生时,事件C一定
发生,因此A⊆C,B⊆C;当事件A发生时,事件B一定不发生,当事件B发
事件的概率可知,P=1-P(A)=1-0.1=0.9.
《概率》统计与概率PPT(事件之间的 关系与 运算)
《概率》统计与概率PPT(事件之间的 关系与 运算)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
互斥事件与对立事件的判定
例1某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,
以它们不是对立事件.
(2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全
《概率》统计与概率PPT(事件之间的 关系与 运算)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解:从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生,2名
女生,1男1女.
(1)“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们
是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,该两事件都不发生,所
判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对
立事件:
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;
(4)“至少有一名男生”与“至少有一名女生”.
课前篇自主预习
一
二
2.做一做:掷一枚硬币三次,得到如下三个事件:事件A为3次正面
向上,事件B为只有1次正面向上,事件C为至少有1次正面向上.试判
断A,B,C之间的包含关系.
解:当事件A发生时,事件C一定发生,当事件B发生时,事件C一定
发生,因此A⊆C,B⊆C;当事件A发生时,事件B一定不发生,当事件B发
事件的概率可知,P=1-P(A)=1-0.1=0.9.
《概率》统计与概率PPT(事件之间的 关系与 运算)
《概率》统计与概率PPT(事件之间的 关系与 运算)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
互斥事件与对立事件的判定
例1某小组有3名男生和2名女生,从中任选2名同学参加演讲比赛,
以它们不是对立事件.
(2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果,与事件“全
《概率》统计与概率PPT(事件之间的 关系与 运算)
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
思维辨析
当堂检测
解:从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果:2名男生,2名
女生,1男1女.
(1)“恰有1名男生”指1男1女,与“恰有2名男生”不能同时发生,它们
是互斥事件;但是当选取的结果是2名女生时,该两事件都不发生,所
判断下列每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对
立事件:
(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”;
(2)“至少有1名男生”与“全是男生”;
(3)“至少有1名男生”与“全是女生”;
(4)“至少有一名男生”与“至少有一名女生”.
《概率论与数理统计》全套课件PPT(完整版)
m?????若对于一随机试验每个样本点出现是等可能的样本空间所含的样本点个数为无穷多个且具有非零的有限的几何度量即则称这一随机试验是一几何概型的20义定义当随机试验的样本空间是某个区域并且任量意一点落在度量长度面积体积相同的子区域是等可能的则事件a的概率可定义为?mamap??说明当古典概型的试验结果为连续无穷多个时就归结为几何概率
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
32
(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
P(B| A) P(AB) P(A)
为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率2.9
2. 性质: 条件概率符合概率定义中的三个条件, 即
10 对于每一个事件B, 有 1 P(B | A) 0.
20 P(S | A) 1.
30 设B1 , B2 ,两两互不相容, 则
P( Bi | A) P(B i | A).
i1
i1
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
(2) 设B1 ,B2 ,, Bn两两互不相容,则
n
n
P( Bi | A) P(B i | A).
30
i1
i1
(3) P(B | A) 1 P(B | A).
(4) P(B C | A) P(B | A) P(C | A) - P(BC | A).
在其中计算B发生的概率, 从而得到P(B|A). 例2. 在1, 2, 3, 4, 5这5个数码中, 每次取一个数码, 取后不放回, 连取两次, 求在第1次取到偶数的条 件下, 第2次取到奇数的概率.
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(二) 乘法公式: 由条件概率定义, 立即可得P(A) 0, 则有 P(AB) P(A)P(B | A).
注 当A＝S时, P(B｜S)=P(B), 条件概率化为无 条件概率, 因此无条件概率可看成条件概率.
《概率统计》PPT课件
后抽比先抽的确实吃亏吗？
“大家不必争先恐后，你们一个一个 按次序来，谁抽到‘入场券’的机会都 一样大.”
到底谁说的对呢？让我们用概率 论的知识来计算一下,每个人抽到“ 入场券”的概率到底有多大?
“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”
我们用Ai表示“第i个人抽到入场券” i＝1,2,3,4,5. 则 A 表示“第 i个人未抽到入场券” i 显然，P(A1)=1/5，P( A1)＝4/5
P(A2)=0.4×0.5×(1－0.7)+0.5×0.7×(1－0.4)+ 0.4×0.7×(1－0.5)=0.41, P(A3)=0.4×0.5×0.7=0.14 P(B|A0)=0, P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1, 根据全概率公式有
P( B) P( B | Ai )P( Ai ) 0.458
P(Ai|B)，表示症状B由Ai引起的概率 若P(Ai|B), i=1,2,…,n中,最大的一个是P(A1|B),
我们便认为A1是生病的主要原因,下面的关键是:
计算 P(Ai|B), i=1,2,…,n
P( Ai B) P( B | Ai ) P( Ai ) P( Ai | B) n Bayes公式 P( B) P( B | Ai ) P( Ai )
也就是说，
第1个人抽到入场券的概率是1/5.
由于 由乘法公式
A2 A1 A2
因为若第2个人抽到 了入场券，第1个人 肯定没抽到.
P ( A2 ) P ( A1 ) P ( A2 | A1 )
也就是要想第2个人抽到入场券，必须第1个人未 抽到， 计算得：
P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5
概率统计基础PPT课件
A .r=0
B．r=1
C．r<0
D．r>0
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8、10个产品中有3个不合格品，每次从中随机抽取一
个（取出后不放回）直到把3个不合格品都取出，至少
抽（A ）次才确保抽出所有不合格品。
A 13
B9
C8
D7
29
9、15个产品中有5个不合格品，每次从中随机抽取一
个（取出后不放回），直到把5个不合格品都取出，
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（五）样本数据的整理
从总体X中获得的样本是总体的一个缩影，需要对样本数据进
行加工，将有用信息提取出来，以便对总体有所了解。
对数据加工有两种方法：一是计算统计量；二是利用图形与
表格。
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三、正态概率纸 1、用来检验一组数据是否来自正态分布 2、在确认样本来自正态分布后，可在正态概率纸上作出正态 均值与正态标准差的估计 3、在确认样本来自非正态分布后，可对数据作变换后再在正 态概率纸上描点，若诸点近似在一条直线附近，则可认为变 换后的数据来自某正态总体，常用的变换有如下两个：
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（二）二项分布 1、重复进行 n 次试验； 2、 n 次试验间相互独立； 3、每次试验仅有两个可能结果； 4、成功的概率为p，失败的概率为1-p
在上述四个条件下，设x表示n次独立重复试验中成功出 现的次数，则有
P( X x) n p x (1 p)nx x 0,1,, n x
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（三）正态分布
1、正态分布的概率密度函数
p(x)
1
概率统计第四章的幻灯
三、正态总体下的常用统计量的分布
定理1 若 X1,X 2,, X n 是取自正态总体 N (, 2 ) 的 样本，则有：
(1)
X
1 n
n i 1
X
i~
N (, 2 )
n
(5) X ~ t(n 1)
S/ n
(2) U X ~ N (0,1)
(3)
/ n
1
n
nS
2 n
(n
1)S 2
(Xi X)2
i 1
三、正态总体下的常用统计量的分布
统计量是随机变量，在研究数理统计问 题时，往往需要讨论所研究的统计量的分 布，它对统计方法的应用起着举足轻重的 作用，通常称统计量的分布为抽样分布。 在实际问题中用正态随机变量来刻划的随 机现象比较普遍，因此，在下面的讨论中 ，总是假定总体服从正态分布。
《概率统计》
第四章 参数估计与假设检验
主要内容
第四章 参数估计与假设检验
第一节 数理统计基础与抽样分布 第二节 点估计 第三节 区间估计 第四节 假设检验
第一节 数理统计基础与抽样分布
一、总体、个体与样本 二、统计量与样本矩 三、正态总体下的常用统计量的分布
一 总体、个体与样本
我们知道，虽然从理论上讲，对随机变量 进行大量的观测，被研究的随机变量的概率特 征一定能显现出来，可是实际进行的观测次数 只能是有限的，有的甚至是少量的。
1 n
n i 1
xi
(2)
S 2 1 n n 1 i1
Xi X
2
1 n 1
n i 1
X
2 i
2
nX
概率与概率统计PPT优秀课件
①
P(A)
5 A5 5
7
5
120 16807
②P ( B ) ③ P (C )
5 C7 51
7 7
5 A7
7
5
360 2401
2 3 C 5 6 5
2160 16807
说明：计算事件的概率时，乘法计数 原理，排列数公式及组合数公式有时 要交替使用。
例3、已知一个射击手每次击中目标 的概率为P= 53 ，求他在四次射击中下列事 件的概率。 （1）命中一次；（2）第三次击中目标； （3）命中两次；（4）第二，三两次击中 目标。 1 3 3 3 1 5) 解：（1）恰命中一次，概率为 C 4( 5)(
说明：①先判断所求概率的事件是 属于哪种事件。 ②求概率的方法一般有直接法和间 接法。 （2）的法一是间接法，即先求对立 事件的概率。 （2）的法二是直接法。
Байду номын сангаас
例2、有5个人分配到7个车厢里，分别求出 下列各种情况的概率：①某指定的5节车厢 中各有一个人。②恰有5个车厢各有1人。 ③某指定的车厢中，恰有2个人。 解：分析：每个人分配到7节车厢有7种方 法，5个人分配到7个车厢共有75种方法，为 方便计，将①②③中所述事件分别设为A、 B、C
8、会用样本频率分布去估计总体分 布。 9、了解正态分布的意义及主要性质。
10、了解线性回归的方法和简单应用。
[学习指导] 概率与概率统计是新教材中提高要求的部 分内容，这部内容约占总分的10%，解答 题中这两年都出了以概率为主的大题，概 率统计主要以小题为主。
1、本讲重点：等可能事件、互斥事件，相 互独立事件，独立重复试验的概率。离散 型随机变量的分布列，期望与方差，抽样 方法，总体分布的估计。 2、本讲难点：排列，组合的基础是否扎实 是解决概率问题的前提，因此思维能力的 提高是这部分内的难点。概率统计中的正 态分布与线性回归也是难点之一。
2.4概率的简单应用课件(24张ppt)
1.如果有人买了彩票，一定希望知道中奖的概率有多 大．那么怎么样来估计中奖的概率呢？ 2.出门旅行的人希望知道乘坐哪一种交通工具 发生事故的可能性较小？
概率与人们生活密切相关，在生活，生产和科研等各个领 域都有着广泛的应用．
某商场举办有奖销售活动，每张奖券获奖的可能性 相同，以每10000张奖券为一个开奖单位，设特等奖 １个，一等奖10个，二等奖100个，问１张奖券中一 等奖的概率是多少？中奖的概率是多少？
（都2为）13由（1）可知，一局游戏每人胜、负、和的机会均等， 任选其中一人的情形可画树状图得：
∵总共有9种情况，每一种出现的机 会均等，当出现（胜，胜）或（负， 负）这两种情形时，赢家产生，∴两 局游戏能确定赢家的概率为：P 2
9
1.连掷两枚骰子,它们的点数相同的
概率是______. 2 .转动如图所示的转盘两 次,两次所得的颜色相同的
意抽出一张卡片,两张卡片上的数的和不
大于3的概率是( C )
A. 1
B.2
C1.
D2 .
9
9
3
5
假设每天某一时段开往温州有三辆专车（票价相同），有两人 相约来温州游玩，但是他们不知道这些车的舒适程度，也不知 道专车开过来的顺序，两人采用了不同的乘车方案： 甲：无论如何总是上开来的第一辆车， 乙：先观察后上车，当第一辆车开来时，他不上车，而是仔细 观察车的舒适状况，如果第二辆车的舒适程度比第一辆好，他 就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车。
(1)某人今年61岁,他当年死亡的概率.
(2)某人今年31岁,他活到62岁的概率. 年龄x
解(1)由表知,61岁的生存人
0死亡
30
人数=d6110853,所以所求
《概率统计2章》课件
应用场景
非线性回归在许多领域都有应用，例如化学、物理学和生物学等，用于探索非线性关系和预测。
详细描述
非线性回归分析通过建立非线性方程来描述因变量与自变量之间的关系。这种关系不是线性的，而是以其他形式存在，例如二次方、指数、对数等。
贝叶斯统计
贝叶斯定理
贝叶斯定理是概率论中的一个基本定理，它提供了在给定一些新的信息下，更新我们对某个事件发生的概率的估计的方法。
单侧检验与双侧检验
假设检验的步骤
根据假设方向的不同，分为单侧检验和双侧检验。
显著性水平是判断假设是否成立的依据，临界值是判断数据是否显著的依据。
通过提出假设并检验假设是否成立来判断总体参数是否显著。
提出假设、构造检验统计量、确定临界值、做出决策。
回归分析
总结词
详细描述
公式解释
应用场景
一元线性回归是回归分析中最基础的形式，它探Leabharlann 一个因变量与一个自变量之间的关系。
总结词
条件概率是指在某个已知条件下，随机事件发生的概率。独立性是指两个随机事件的发生互不影响。
详细描述
条件概率表示为P(A|B)，即在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。独立性则是指两个随机事件A和B，如果P(A|B) = P(A)，则称A与B独立。条件概率与独立性是概率论中的重要概念，它们在概率模型建立和推断中有着广泛的应用。
在统计学中的应用
在金融领域的应用
在社会学中的应用
THANK YOU
感谢聆听
随机变量是用来描述随机实验结果的变量，其取值具有随机性。随机变量的分布描述了随机变量取值的概率规律。
总结词
随机变量是定义在样本空间上的函数，其取值具有随机性。常见的随机变量有离散型和连续型两种类型。离散型随机变量可以取有限或可数无穷多个值，而连续型随机变量则可以取实数域上的任意值。随机变量的分布描述了随机变量取值的概率规律，常见的分布有二项分布、泊松分布、正态分布等。理解随机变量的分布对于进行统计推断和决策具有重要的意义。
非线性回归在许多领域都有应用，例如化学、物理学和生物学等，用于探索非线性关系和预测。
详细描述
非线性回归分析通过建立非线性方程来描述因变量与自变量之间的关系。这种关系不是线性的，而是以其他形式存在，例如二次方、指数、对数等。
贝叶斯统计
贝叶斯定理
贝叶斯定理是概率论中的一个基本定理，它提供了在给定一些新的信息下，更新我们对某个事件发生的概率的估计的方法。
单侧检验与双侧检验
假设检验的步骤
根据假设方向的不同，分为单侧检验和双侧检验。
显著性水平是判断假设是否成立的依据，临界值是判断数据是否显著的依据。
通过提出假设并检验假设是否成立来判断总体参数是否显著。
提出假设、构造检验统计量、确定临界值、做出决策。
回归分析
总结词
详细描述
公式解释
应用场景
一元线性回归是回归分析中最基础的形式，它探Leabharlann 一个因变量与一个自变量之间的关系。
总结词
条件概率是指在某个已知条件下，随机事件发生的概率。独立性是指两个随机事件的发生互不影响。
详细描述
条件概率表示为P(A|B)，即在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。独立性则是指两个随机事件A和B，如果P(A|B) = P(A)，则称A与B独立。条件概率与独立性是概率论中的重要概念，它们在概率模型建立和推断中有着广泛的应用。
在统计学中的应用
在金融领域的应用
在社会学中的应用
THANK YOU
感谢聆听
随机变量是用来描述随机实验结果的变量，其取值具有随机性。随机变量的分布描述了随机变量取值的概率规律。
总结词
随机变量是定义在样本空间上的函数，其取值具有随机性。常见的随机变量有离散型和连续型两种类型。离散型随机变量可以取有限或可数无穷多个值，而连续型随机变量则可以取实数域上的任意值。随机变量的分布描述了随机变量取值的概率规律，常见的分布有二项分布、泊松分布、正态分布等。理解随机变量的分布对于进行统计推断和决策具有重要的意义。
概率统计培训课件(ppt 29页)
|
x
|
1
e|x|dx
1
2
E(| X |2)
|
x |2
1 e|x |dx
x
2
1
exdx
2
2
2 1 x2exdx 2
20
D(| X |) 1
27
(2) E( X | X |)
x
|
x
|
1
e|x|dx
2
1 0 x2exdx 1 x2exdx 0
1, XY 0,
A, B同时发生 A, B不同时发生
E(XY) P(AB)
P(AB) P(A)P(B) 事件A ,B相互独立
？ X ,Y 相互独立.
23
错误原因
P(AB) P(A)P(B) P(X 1, Y 1) P(X 1)P(Y 1)
而这并不表明 X ,Y 相互独立. 本题要证明离散随机变量 X ,Y 相互
记 E(X ) C . 若结论不成立, 则
P(X C) 1 或等价地 P(X C) 0
于是
D(X ) (x C)2 P(X C) (x C)2 P(X x)
x: xC
4
右端第二项和式中至少有一项 P(X a) 0, a C
从而对应的(a C)2 0,因此 D(X ) (a C)2 P(X a) 0
i 1
i 1
12
4 - 10 设 X 表示试开次数 , 则其分布律为
X1 2
3 n
p 1 n 1 1 n 1 n 2 1 1
《概率统计》课件
常用概率分布
正态分布
探索正态分布的特点和应用，在数据分析中发挥重要作用。
泊松分布
介绍泊松分布的概念和用途，用于计数型随机事件的建模。
二项分布
了解二项分布的性质和应用，用于描述二元随机实验的结果。
常用统计推断方法
假设检验
学习如何根据样本数据对总体参 数进行推断并做出决策。
置信区间
了解如何构建置信区间，对总体 参数进行估计。
探索数据可视化的重要性，并学 习如何使用图表和图形来传达统 计信息。
统计推断
了解统计推断的基本原理和方法， 从样本中得出总体的结论。
概率与统计的关系
1
概率理论的基础
说明概率理论是统计学建率现象中的重要性。
3
共同目标
强调概率与统计的共同目标是推断和预测未来事件。
回归分析
探索回归分析的基本概念和方法， 研究变量之间的关系。
结论及总结
通过本课程，我们希望您能够充分理解概率与统计的基本概念和应用。祝您在概率与统计的世界中取得巨大成 功！
了解事件的定义和样本空 间的概念，以及它们在概 率计算中的重要性。
2 概率的性质
探索概率的基本性质，如 加法规则、乘法规则和条 件概率。
3 随机变量
介绍随机变量的概念，了 解离散和连续随机变量以 及它们的应用。
统计的基本概念
数据收集与整理
数据可视化
学习如何有效地收集和整理数据， 并了解常见的数据类型。
《概率统计》PPT课件
PPT课件的目的 课程概述 概率的基本概念 统计的基本概念 概率与统计的关系 常用概率分布 常用统计推断方法 结论及总结
引言
欢迎来到《概率统计》的世界！在这个课程中，我们将探讨概率与统计的基 础知识，了解它们的关系以及如何应用它们来解决实际问题。
概率统计4章-PPT精选
因此，甲的射击水平要比乙的好。
一、数学期望的概念
为了刻画随机变量的均值，我们引入数学期望.
定义1:设离散型随机变量 X 的分布律为
P { X x k}p k,(k 1 ,2 ,3 , )
若级数 x k p k 绝对收敛，则称此级数为 X 的数学期望。 k 1
简称期望或均值，记为 E(X). 即 E(X) xk pk k1
13 0.0013
P{Y100}0P{100T11}50.4987
已求出:
P{Y500}00.0013 P{Y100}00.4987 P{Y100}00P{0T10}0
(0)(2)00.500.5
从而 Y 的分布律为
Y -5000 1000 10000 p k 0.0013 0.4987 0.5 E(Y) 5 0 0 .0 0 0 1 0 1 0 0 .4 3 0 9 1 0 8 0 0 .5 7 0
随机变量 Y 的分布律为
E Y ( 1 ) 0 . 3 0 0 . 4 1 0 . 3 0 ;
E ( X Y ) 0 . 2 0 . 2 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 2 . 另解令 Z = XY，可能取值为 3,2,1,0,1,2,3.
X -3 -2 -1 0 1 2 3 p k 0 0.1 0.2 0.4 0.1 0.1 0.1
E ( X Y ) 0 . 2 0 . 2 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 2 .
例5：设随机变量（X,Y）的概率密度为
12y2, 0yx1,
f(x,y)
例1：已知 X 的分布律为 X -1 0 1 2 p k 1/4 1/8 1/4 3/8
一、数学期望的概念
为了刻画随机变量的均值，我们引入数学期望.
定义1:设离散型随机变量 X 的分布律为
P { X x k}p k,(k 1 ,2 ,3 , )
若级数 x k p k 绝对收敛，则称此级数为 X 的数学期望。 k 1
简称期望或均值，记为 E(X). 即 E(X) xk pk k1
13 0.0013
P{Y100}0P{100T11}50.4987
已求出:
P{Y500}00.0013 P{Y100}00.4987 P{Y100}00P{0T10}0
(0)(2)00.500.5
从而 Y 的分布律为
Y -5000 1000 10000 p k 0.0013 0.4987 0.5 E(Y) 5 0 0 .0 0 0 1 0 1 0 0 .4 3 0 9 1 0 8 0 0 .5 7 0
随机变量 Y 的分布律为
E Y ( 1 ) 0 . 3 0 0 . 4 1 0 . 3 0 ;
E ( X Y ) 0 . 2 0 . 2 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 2 . 另解令 Z = XY，可能取值为 3,2,1,0,1,2,3.
X -3 -2 -1 0 1 2 3 p k 0 0.1 0.2 0.4 0.1 0.1 0.1
E ( X Y ) 0 . 2 0 . 2 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 2 .
例5：设随机变量（X,Y）的概率密度为
12y2, 0yx1,
f(x,y)
例1：已知 X 的分布律为 X -1 0 1 2 p k 1/4 1/8 1/4 3/8
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解 X 的分布函数为
F(x)
1
1x
e 2000
,
0 ,
x0, x0.
(1) P{X 1000} 1 P{X 1000} 1 F (1000)
1
e 2 0.607 .
(2) P{ X 2000 X 1000}
P{ X 2000, X 1000} P{ X 1000}
P{ X 2000} P{ X 1000}
解 X 的分布密度函数为
f
(
x
)
1 3
,
2 x5,
0 , 其他.
设 A 表示“对 X 的观测值大于 3 的次数”,
即 A={ X >3 }.
由于 P( A) P{ X 3}
51
2
dx ,
33
3
设Y 表示3次独立观测中观测值大于3的次数,
则 因而有
Y
~
b
3,
2 3
.
P{Y
2}
3 2
故有 F (a) lim F( x) , F (a) lim F( x) ,
xa
xa
即
A
B
arcsin
a a
A πB 0 , 2
A
B
arcsin
a a
A
πB 1, 2
解得 A 1 , 2
B 1 . π
所以
0,
x a ,
F(x)
1
1 arcsin
x
,
a xa,
2 1
,
π
a xa.
(2) P{a X a} F(a) F(a)
补充5 已知 X ~ N ( μ,σ2 ) , 求 P{c X d } .
解
d
P{c X d}
1
e
(
x μ 2σ2
)2
d
x，
c 2πσ
令 xμu,则 σ
d
P{c X d}
1
e
(
x μ 2σ2
)2
d
x
c 2πσ
dμ
σ c μ
σ
1
u2
e 2 σdu
2πσ
dμ
σ c μ
σ
dμ
σ
1
2 3
2
1
2 3
33
2 3
3
1
2 3
0
20 27
.
补充3 某类日光灯管的使用寿命 X 服从参数为
θ=2000的指数分布(单位:小时).
(1)任取一只这种灯管, 求能正常使用1000小
时以上的概率.
(2) 有一只这种灯管已经正常使用了1000 小
时以上, 求还能使用1000小时以上的概率.
2
2
1 1 arcsin( a ) 0
2π
2a
11π 2. 2π6 3
(3) 随机变量 X 的概率密度为
f
(x)
F( x)
1其他 .
补充2 设随机变量 X 在 [ 2, 5 ]上服从均匀分布, 现 对 X 进行三次独立观测 ,试求至少有两次观测值大 于3 的概率.
1 P{ X 2000} 1 P{ X 1000}
1 F (2000) 1 F (1000)
1
e 2 0.607 .
补充4 已知 X ~ N (0,1) ,求 P{1.25 X 2} . 解 P{1.25 X 2}
Φ(2) Φ(1.25) 0.9772 0.8944 0.0828 .
u2
e 2 du
2π
1
u2
e 2 du
c μ σ
2π
1
u2
e 2 du
2π
Φ
d
σ
μ
Φ
c
σ
μ
.
因而 P{c X d} F (d ) F (c)
结论得证.
Φ
d
σ
μ
Φ
c
σ
μ
.
补充例题
补充1 设连续型随机变量 X 的分布函数为
0 ,
x a ,
F(
x)
A
B arcsin
x a
,
a xa,
1 ,
xa.
求 : (1)系数 A, B 的值 ; (2) P{a X a} ; 2 (3) 随机变量 X 的概率密度 .
解 (1) 因为 X 是连续型随机变量, 所以F ( x)连续,