6.3 单位脉冲函数及其傅里叶变换
傅里叶变换三部曲（二）·傅里叶变换的定义
傅⾥叶变换三部曲（⼆）·傅⾥叶变换的定义Part1:傅⾥叶级数的复数形式设f(x)是周期为l的周期函数,若f(x)∼a02+∞∑n=1(a n cosnπxl+bn sinnπxl),an=1l∫l−lf(x)cosnπxl d x,(n=0,1,2,…)bn=1l∫l−lf(x)sinnπxl d x.(n=1,2,…)记ω=πl,引进复数形式:cos nωx=e i nωx+e−i nωx2,sin nωx=e i nωx−e−i nωx2i级数化为f(x)∼a02+∞∑n=1(a ne i nωx+e−i nωx2+bne i nωx−e−i nωx2i)=a02+∞∑n=1(a n−ib n2e i nωx+a n+ib n2e−i nωx)令c0=a02,cn=a n−ib n2,dn=a n+ib n2,则c0=12l∫l−lf(x)d x,c n=12l∫l−lf(x)(cos nωx−isin nωx)d x=12l∫l−lf(x)e−i nωx d x,d n=12l∫l−lf(x)(cos nωx+isin nωx)d x=12l∫l−lf(x)e i nωx d x≜c−n=¯c n,(n=1,2,…)合并为c n=12l=∫l−lf(x)e−i nωx d x,(n∈Z)级数化为+∞∑n=−∞c n e−i nωx=12l+∞∑n=−∞∫l−l f(x)e−i nωx d x e i nωx我们称c n为f(x)的离散频谱(discrete spectrum),|c n|为f(x)的离散振幅频谱(discrete amplitude spectrum),arg c n为f(x)的离散相位频谱(discrete phase spectrum).对任何⼀个⾮周期函数f(t)都可以看成是由某个由某个周期为l的函数f(x)当l→∞时得来的.Part2:傅⾥叶积分和傅⾥叶变换傅⾥叶积分公式设f T(t)是周期为T的周期函数,在[−T2,T2]上满⾜狄利克雷条件,则f T(t)=1T∞∑n=−∞∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t e j nωt,ω=2πT(上式中j是虚数单位,在傅⾥叶分析中我们不⽤i⽽通常记作j)由limT→∞f T(t)=f(t)知,f(t)=limT→∞1T∞∑n=−∞[∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t]e j nωt记Δω=2πT,则Δω→0⇔T→∞,则f(t)=limT→∞1T∞∑n=−∞[∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t]e j nωt=limΔω→012π+∞∑n=−∞∫T2T2f T(t)e−j nωt d t e j nωtΔω[][][]令F T(nω)=∫T2−T2f T(t)e−j nωt d t,则f(t)=limΔω→012π+∞∑n=−∞F T(nω)e j nωtΔω,F T(t)→∫+∞−∞f(t)e−jωt d t≜F(ω)(T→∞),由定积分定义f(t)=12π∫+∞−∞F(ω)e jωt dω,即f(t)=12π∫+∞−∞∫+∞−∞f(t)e−jωt d t e jωt dω上述公式称为傅⾥叶积分公式.傅⾥叶积分存在定理若f(t)在任何有限区间上满⾜狄利克雷条件,且在R上绝对可积,则12π∫+∞−∞∫+∞−∞f(t)e−jωt d t e jωt dω=f(t),t为连续点,f(t−)+f(t+)2,t为间断点.傅⾥叶变换设f(t)满⾜傅⾥叶积分存在定理,定义F(ω)=∫+∞−∞f(t)e−jωt d t 为f(t)的傅⾥叶变换(Fourier Transform)(实际上是⼀个实⾃变量的复值函数),记作F(ω)=F[f(t)]类似地,定义f(t)=12π∫+∞−∞F(ω)e−jωt dω为F(ω)的傅⾥叶逆变换(Inverse Fourier Transform),记作f(t)=F−1[F(ω)]在⼀定条件下,有F[f(t)]=F(ω)⇒F−1[F(ω)]=f(t);F−1[F(ω)]=f(t)⇒F[f(t)]=F(ω). f(t)与F(ω)在傅⽒变换意义下是⼀个⼀⼀对应,称f(t)与F(ω)构成⼀个傅⽒变换对,记作f(t)F↔F(ω)在不引起混淆的情况下,简记为f(t)↔F(ω).f(t)称为原象函数(original image function),F(ω)称为象函数(image function).在频谱分析中,F(ω)⼜称为f(t)的频谱(密度)函数(spectrum function),|F(ω)|称为f(t)的振幅频谱(amplitude spectrum),arg F(ω)称为f(t)的相位频谱(phase spectrum).下⾯我们来求⼏个常见信号函数的傅⽒变换.例1 求矩形脉冲函数(rectangular pulse function)R(t)=1,|t|≤1, 0,|t|>1的傅⽒变换及其频谱积分表达式.解:F(ω)=F[R(t)]=∫+∞−∞R(t)e−jωt d t=∫1−1R(t)e−jωt t=e−jωt−jω1−1=−e−jω−e jωjω=2sinωω;R(t)=12π∫∞−∞F(ω)e jωt dω=1π∫+∞F(ω)cosωt dω=1π∫+∞2sinωωcosωt dω=2π∫+∞sinωcosωtωdω=1,|t|<1, 12,|t|=1, 0,|t|>1因此可知,当t=0时,有[] []{{ []{∫+∞0sin t xd t =π2例2 求指数衰减函数(exponential decay function)E (t )=0,t <0,e −βt ,t ≥0的傅⽒变换及其频谱积分表达式,其中β>0为常数.解:F (ω)=F [E (t )]=∫+∞−∞E (t )e −j ωt d t=∫+∞0e −βt e −j ωtd t =∫+∞0e (β+j ω)t d t =1β+j ωβ−j ωβ2+ω2E (t )=12π∫+∞−∞F (ω)e j ωt ω=12π∫+∞−∞β−j ωβ2+ω2e j ωtω=1π∫+∞βcos ωt +ωsin ωtβ2+ω2d ω=0,t <0,12,t =0,e −βt ,t >0Part3:单位脉冲函数我们记电流脉冲函数q (t )=0,t ≠0,1,t =0,严格地,由于q (t )在t =0出不连续,所以q (t )在t =0点是不可导的.但是,如果我们形式地计算这个导数,有q ′(0)=limΔt →0q (0+Δt )−q (0)Δt=limΔt →0−1Δt=∞我们引进这样⼀个函数,称为单位脉冲函数(unit pulse function)或狄拉克(Dirac)函数,简记为δ−函数,即δ(t )=0,t ≠0,∞,t =0,⼀般地,给定⼀个函数序列δε(t )=0,t <0,1ε,0≤t ≤ε,0,t >ε则有δ(t )=lim ε→0δε(t )=0,t ≠0,∞,t =0于是∫+∞−∞δ(t )d t =limε→0∫+∞−∞δεd t =limε→0∫ε01εd t =1若设f (t )为连续函数,则δ−函数有以下性质:∫+∞−∞δ(t )f (t )d t =f (0);∫+∞−∞δ(t −t 0)f (t )d t =f (t 0)于是我们可得:F [δ(t )]=∫+∞−∞δ(t )e −j ωt t =e −j ωt t =0=1于是δ(t )与常数1构成了⼀对傅⾥叶变换对.例3: 证明:e j ω0t ↔2πδ(ω−ω0)其中ω0是常数.证:{{{{{{|f(t)=F−1[F(ω)]=12π∫+∞−∞2πδ(ω−ω0)e jωt dω=e jωtω=ω=e jω0t在物理学和⼯程技术中,有许多重要函数不满⾜傅⽒积分定理中的绝对可积条件,即不满⾜条件∫+∞−∞|f(t)|d t<∞例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等, 然⽽它们的⼴义傅⽒变换也是存在的,利⽤单位脉冲函数及其傅⽒变换就可以求出它们的傅⽒变换.所谓⼴义是相对于古典意义⽽⾔的,在⼴义意义下,同样可以说,原象函数f(t)和象函数F(ω)构成⼀个傅⽒变换对.例求正弦函数f(t)=sinω0t的傅⽒变换.解:F(ω)=F[f(t)]=∫+∞−∞f(t)e−jωt d t=∫+∞−∞e jω0t−e−jω0t2je−jωt d t=12j∫+∞−∞e−j(ω−ω0)t−e−j(ω+ω0)t d t=jπδ(ω+ω0)−δ(ω−ω0)同样我们易得F(cosω0t)=πδ(ω+ω0)+δ(ω−ω0)例证明:单位阶跃函数(unit step function)u(t)=0,t<0, 1,t>0的傅⽒变换为F[u(t)]=1jω+πδ(ω)证:F−11jω+πδ(ω)=12π∫+∞−∞1jω+πδ(ω)e jωt dω=12π∫+∞−∞[πδ(ω)]e jωt dω+12π∫+∞−∞1jωe jωt dω=12+12π∫+∞−∞cosωt+jsinωtjωdω=12+12π∫+∞−∞sinωtωdω=12+1π∫+∞sinωtωdω∫+∞0sinωtωdω=π2,t>0,−π2,t<0⇒F−11jω+πδ(ω)=12+1π−π2=0,t<012,t=0,12+1ππ2=1,t>0=u(t).本⽂完|()[][]{[][][][][][] { []{()()。
傅里叶变换公式的意义和理解
傅里叶变换公式的意义和理解一、傅里叶变换的基本概念和原理傅里叶变换是一种将时间域或空间域中的信号转换为频域中的信号的数学方法。
它的基本原理是通过将原始信号分解成一组不同频率的正弦波，从而实现对信号的分析和处理。
傅里叶变换的核心公式为：X(ω) = ∫x(t)e^(-jωt) dt其中，X(ω)表示频域信号，x(t)表示时域信号，ω表示角频率，j表示虚数单位。
二、傅里叶变换的重要性傅里叶变换在信号处理、图像处理、通信等领域具有重要的应用价值。
它有助于我们更好地理解信号的频谱特性，从而为后续的信号处理和分析提供有力的理论依据。
三、傅里叶变换的应用领域1.信号处理：傅里叶变换有助于分析信号的频率成分，如音频信号、图像信号等。
2.图像处理：傅里叶变换可用于图像的频谱分析，如边缘检测、滤波等。
3.通信系统：傅里叶变换在通信系统中广泛应用于信号调制、解调、多路复用等领域。
4.量子力学：傅里叶变换在量子力学中具有重要作用，如描述粒子在晶体中的能级结构等。
四、深入理解傅里叶变换公式1.离散傅里叶变换：离散傅里叶变换是将离散信号从时域转换到频域的一种方法，如快速傅里叶变换（FFT）算法。
2.小波变换：小波变换是傅里叶变换的一种推广，可以实现信号的高频局部化分析，适用于图像压缩、语音处理等领域。
3.分数傅里叶变换：分数傅里叶变换是在傅里叶变换基础上发展的一种数学方法，可以实现信号的相位和幅度分析。
五、总结与展望傅里叶变换作为一种重要的数学工具，在各个领域具有广泛的应用。
随着科技的发展，傅里叶变换及相关理论不断得到拓展和深化，为人类探索复杂信号和系统提供了强大的支持。
常用傅里叶逆变换公式
常用傅里叶逆变换公式傅里叶变换和逆变换是信号处理领域中非常基础的数学工具。
在现代数字信号处理领域中，它们被广泛应用于信号滤波、数据压缩和频谱分析等方面。
作为傅里叶变换的逆运算，傅里叶逆变换起着重要的作用。
在这篇文章中，我们将详细介绍一些常用的傅里叶逆变换公式，并说明它们在实际应用中的作用。
傅里叶逆变换的定义在深入讨论傅里叶逆变换公式之前，我们需要先了解一下傅里叶逆变换的定义。
傅里叶逆变换是指将复频域信号转换成复时域信号的过程。
与傅里叶变换不同的是，逆变换是不可逆的。
即使我们进行完傅里叶逆变换之后，再进行傅里叶变换，也不能恢复原来的复频域信号。
傅里叶逆变换的数学表达式如下：$$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(j\omega)e^{j\omega t}d\omega$$其中，$x(t)$是时域信号，$X(j\omega)$是傅里叶变换后的频域信号，$j$是虚数单位，$\omega$是频率，$t$是时间。
这个公式的意思是，我们可以通过对傅里叶变换后的复频域信号做积分，得到复时域信号$x(t)$。
傅里叶逆变换的性质在实际应用中，我们常常需要使用傅里叶逆变换公式对信号进行处理。
为了更好地利用傅里叶逆变换公式，我们需要了解一些它的性质。
下面是一些常见的性质：1. 线性性质：傅里叶逆变换具有线性性，即如果$x_1(t)$的傅里叶变换是$X_1(j\omega)$，$x_2(t)$的傅里叶变换是$X_2(j\omega)$，那么$ax_1(t)+bx_2(t)$的傅里叶逆变换就是$aX_1(j\omega)+bX_2(j\omega)$。
2. 时移性质：如果$x(t)$的傅里叶变换为$X(j\omega)$，那么$x(t-t_0)$的傅里叶逆变换就是$e^{-j\omega t_0}X(j\omega)$，其中$t_0$是一个常数。
3. 频移性质：如果$x(t)$的傅里叶变换为$X(j\omega)$，那么$x(t)e^{j\omega_0t}$的傅里叶逆变换就是$X(j(\omega-\omega_0))$，其中$\omega_0$是一个常数。
单位脉冲函数及傅里叶变换的性质
jωt0
由 1 2πδ (ω ), 得 e
jω0t
2πδ (ω ω0 )
例3 若 f (t)=cosω0t u(t), 求其傅氏变换。
1 + πδ (ω) 解：u(t) jω
f (t ) = u (t )
e
j ω0t
=
1 dt = a + i
0 2 + (a + i ) 2
0
3. 相似性： 相似性：
若F [ f (t )] = F (ω )，a ≠ 0, 则 1 ω 1 t 1 F [ f (at )] = F ( ) ; F [ F (at )] = f( ) a a a a
证明：
F [ f (at )] = ∫
函数的傅氏变换为: 二、δ-函数的傅氏变换为 函数的傅氏变换为
F[δ (t)] = F(ω) = ∫ δ (t)e
∞
+∞
iωt
dt = e
+∞
iωt t =0
=1
于是δ (t)与常数1构成了一傅氏变换对.
1 δ (t ) = F [1] = 2π
1
e dω ∫ eiωt dω = 2πδ (t ) ∫∞
sin ω0t
t
|F(ω)|
π
ω0
O
π ω0 ω
0, t < 0 , 证明： 例 5 单位阶跃函数 u (t ) = 1, t > 0
1 F [u (t )] = + πδ (ω ). jω
证：
F
1
1 1 jω + πδ (ω ) = 2π
∫
工程数学第6章
6.2 傅里叶变换的基本概念
例6.2.1 求函数f(t)=A e 的t2傅里叶变换及其积分表达式，其中A,β>0。
6.2 傅里叶变换的基本概念
积分表达式为
根据傅里叶定理可以得到积分结果：
6.2 傅里叶变换的基本概念
6.2.2 单位脉冲函数及其傅里叶变换
单位脉冲函数是对于作用时间极短而强度 极大的物理过程的理想描述，如电路中接入脉 冲电压后电路中的电流分布情况；机械系统受 冲击力作用后的运动情况等。它在信号与线性 系统分析中占有非常重要的地位。
du(t ) =δ(dtt)，
其中u(t)= 10，，tt称00为单位阶跃函数
（4）若f(t)为无穷次可微的函数，则有
6.2 傅里叶变换的基本概念
2.单位脉冲函数的傅里叶变换 由式（6-6）可以很方便地求出δ函数的傅里叶变换，
可见， δ(t)与常数1构成了一个傅里叶变换对。 同理， δ(t-t0)和e-jωt0 也构成了一个傅里叶变换对。
6.1 傅里积分
一（个Di以ricTh为le周t）期条的件函，数即fT函(t数[)，在T2如,果T2[]在T2
,T ]
上满足狄利克雷
2
上满足：
(1)连续或只有有限个第一类间断点；
(2)只有有限个极值点.
那么fT([t)在T2
,T ] 2
上就可以展成傅里叶级数。在fT(t)的连续点处，
级数的三角形式为
这里需要指出的是，上面的广义积分虽然是经典意义上的形式，却是 按照式（6.2.3）来定义的，而不是普通意义下的积分值，所以δ(t)的傅里 叶变换是一种广义的傅里叶变换。
6.2 傅里叶变换的基本概念
在物理学领域和工程技术中，有许多常用的重要函数其实并不满足傅里 叶积分定理中的绝对可积条件，如常数、单位阶跃函数、正弦函数以及余弦 函数等，然而，由于广义傅里叶变换也是存在的，利用δ函数及其傅里叶变 换就可以很容易地求出它们的傅里叶变换。
脉冲序列傅里叶变换
脉冲序列傅里叶变换全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：脉冲序列傅里叶变换是一种重要的信号处理技术，用于分析具有间断性的信号。
在实际应用中，我们经常会遇到一些周期性、离散的信号，这些信号无法使用连续傅里叶变换进行分析。
而脉冲序列傅里叶变换可以有效地处理这类信号，提取其中的频域信息，为我们更好地理解信号提供了强大的工具。
脉冲序列傅里叶变换是离散信号的频谱分析方法，它将信号分解为一系列离散的正弦和余弦波形成的频谱。
每个信号都可以表示为一系列正弦和余弦函数的组合，而这些正弦和余弦函数的频率是信号的基本频率的整数倍。
通过脉冲序列傅里叶变换，我们可以得到信号在不同频率下的振幅和相位信息，更好地理解信号的特性和结构。
脉冲序列傅里叶变换的基本原理是将信号视为由一系列脉冲函数组成的序列，然后对这些脉冲函数进行傅里叶变换。
在数学上，我们可以表示脉冲序列为一个序列x[n]，其中n是离散的时间点。
这个序列可以写为：x[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} x(kT)\delta[n-kT]T是脉冲的周期，x(kT)是信号在时间点kT处的幅度，\delta[n]是单位冲激函数。
对这个序列进行傅里叶变换，我们可以得到信号在频域上的表示：上式中，X(e^{j\omega})表示信号在频域上的频谱，\omega是归一化频率。
通过这个频谱，我们可以得知信号在不同频率下的振幅和相位信息，进一步分析信号的频域特性。
脉冲序列傅里叶变换在数字信号处理中有着广泛的应用。
在通信系统中，我们常常需要对信号进行频谱分析，以便进行信号传输和解调。
脉冲序列傅里叶变换可以帮助我们对数字信号进行频域分析，从而更好地设计和优化通信系统。
第二篇示例：脉冲序列傅里叶变换（Pulse Sequence Fourier Transform）是一种基于时间序列的信号分析方法，常用于处理数字信号中的脉冲信号。
在通信、雷达、生物医学、图像处理等领域都有广泛的应用。
单位脉冲信号的傅里叶变换
单位脉冲信号的傅里叶变换一、引言傅里叶变换是一种将时域信号转换为频域信号的数学工具，它在信号处理、通信系统、图像处理等领域有着广泛的应用。
单位脉冲信号是一种理想化的信号，它在时域上为一个脉冲，在频域上则为常数1。
本文将介绍单位脉冲信号的傅里叶变换。
二、单位脉冲信号的定义和性质1. 定义单位脉冲信号，也称为Dirac Delta函数，通常用符号$\delta(t)$表示。
它在时域上为一个瞬时的脉冲，满足以下条件：$$\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)dt=1$$对于任意$t_0$，有：$$\int_{t_0-\epsilon}^{t_0+\epsilon}\delta(t)dt=1$$其中$\epsilon$是一个无穷小量。
2. 性质（1）时间平移性质：对于任意$t_0$，有：$$\delta(t-t_0)\xrightarrow{\mathscr{F}}1 e^{-j\omega t_0}$$即在频域上，单位脉冲信号的傅里叶变换为常数1乘以$e^{-j\omega t_0}$。
（2）频率平移性质：对于任意$\omega_0$，有：$$e^{j\omega_0t}\delta(t)\xrightarrow{\mathscr{F}}1e^{j\omega_0t}$$即在频域上，单位脉冲信号的傅里叶变换为常数1乘以$e^{j\omega_0t}$。
（3）尺度变换性质：对于任意$a\neq 0$，有：$$\delta(at)\xrightarrow{\mathscr{F}}\frac{1}{|a|}\delta(\frac{\om ega}{a})$$即在频域上，单位脉冲信号的傅里叶变换为常数$\frac{1}{|a|}$乘以$\delta(\frac{\omega}{a})$。
三、单位脉冲信号的傅里叶变换根据傅里叶变换的定义，将单位脉冲信号表示为：$$\delta(t)=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}sinc(\frac{t}{T})=\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{j\omega t}d\omega$$ 其中$sinc(x)=\frac{sin(\pi x)}{\pi x}$是一个常用的函数。
傅里叶变换
t 0
I ( t )dt 1 .
定义1： 函数定义（工程中常用
）
满足以下两个条件的函数称为狄拉克函数（
0 ( t 0 ), (i) (t ) ; ( t 0 ). ( ii )
函数 ）
-
( t )dt 1 .
t t 0时刻 函数定义
e
dt
iwx
e
iaw
f ( t a )e
iw ( t a )
iaw
f ( x )e
dx
F (w)
1 2
F ( w)e
iw( t a )
d f (t a ).
同理可证第二部分
参数
练习：
1）ℱ f ( t )
解： e 1）
在实轴任何有限区间可
积的，则
且 f ( t )
ℱ
ℱ f ( t ) 存在
iwF (w ) .
iwt
证明： t 时， f ( t ) e
f ( t ) 0;
iwt
ℱ f ( t )
f (t )e
iwt
dt f (t )e
-
iw
( t 0 ), ( t 0 ).
u ( t ) ( t )
4. 分段函数的单位阶跃函
数及其导数
1 ( x 0), 1 ) sgn( x ) 2u( x ) 1. 1 ( x 0).
2 ) x x sgn x x ( 2 u ( x ) 1).
积分变换主要公式超强总结 (1)
一、傅里叶变换1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件：1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞-∞⎰收敛；则傅氏积分公式存在，且有()()()()()(),1[]11002,2iw iwt f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ+∞+∞--∞-∞⎧⎪=-⎨++-⎪⎩⎰⎰是的连续点是的第一类间断点2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞--∞==⎰ 1-2 傅里叶逆变换定义式：()11[]()()2iwt F F w f t F w e dw π+∞--∞==⎰1-33、常用函数的傅里叶变换公式()1()FFf t F ω-−−→←−− 矩形脉冲函数1,22()sin 20,2F F E t E f t t ττωτω-⎧≤⎪⎪−−→=⎨←−−⎪>⎪⎩1-4 单边指数衰减函数()()1,0110,0tFFe t e t F e t iw j t βββω--⎧≥−−→=⇒=⎡⎤⎨←−−⎣⎦++<⎩ 1-5 单位脉冲函数 ()11FFt δ-−−→←−− 1-6 单位阶跃函数 ()()11FFu t w iwπδ-−−→+←−− 1-7 ()112F Fw πδ-−−→←−− 1-8 ()12F Ft j πδω-−−→'←−− 1-9 ()0102F j t Fe ωπδωω-−−→-←−− 1-10 ()()1000cos FFt ωπδωωδωω-−−→++-⎡⎤←−−⎣⎦1-11()()1000sin F Ft j ωπδωωδωω-−−→+--⎡⎤←−−⎣⎦1-12 4、傅里叶变换的性质设()()[]F f t F w =， ()()[]i i F f t F w =（1）线性性：()()1121()()FFf t f t F F αβαωβω-−−→++←−−1-13 （2）位移性：()()010Fj t Ff t t e F ωω--−−→-←−− 1-14 ()010()F j t Fe f t F ωωω-−−→-←−− 1-15 （3）微分性：()1()FFf t j F ωω-−−→'←−− 1-16 ()()()1()F n n Ff t j F ωω-−−→←−− 1-17 ()()1()FFjt f t F ω-−−→'-←−− 1-18 ()()()()1()Fn n Fjt f t F ω-−−→-←−− 1-19 （4）积分性：()11()tFFf t dt F j ωω--∞−−→←−−⎰ 1-20 （5）相似性：11()FFf at F a a ω-⎛⎫−−→←−− ⎪⎝⎭1-21 （6）对称性：()1()2FFF t f πω-−−→-←−− 1-22 上面性质写成变换式如下面：（1）线性性：[]1212()()()()F f t f t F w F w αβαβ⋅+⋅=⋅+⋅ 1-13-1[]11212()()()()F F w F w f t f t αβαβ-⋅+⋅=⋅+⋅（,αβ是常数）1-13-2（2）位移性：[]0()F f t t -=()0iwt e F w - 1-14()000()()iw t w w w F e f t F w F w w =-⎡⎤==-⎣⎦ 1-15（3）微分性：设+∞→t 时,0→)t (f , 则有[]()()()()[]()F f t iw F f t iw F w '== 1-16()()()()()[]()n n n F f t iw F f t iw F w ⎡⎤==⎣⎦1-17[]()()dF tf t jF w dw= 1-18 ()()nnnn d F t f t j F w dw ⎡⎤=⎣⎦ 1-19（4）积分性：()()tF w F f t dt iw-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ 1-20（5）相似性：[]1()()wF f at F a a=1-21-1 翻转性:1=a 时()()w F t f F -=-][ 1-21-2（6）对称性:设 ()()w F t f −→←，则 ()()w f t F π2−→←- 或 ()()2F t f w π←−→- 1-225、卷积公式 ：)()(21t f t f *=τττd t f f )()(21-⎰+∞∞-。
常用的傅里叶变换+定理+各种变换的规律(推荐)
a + jω (a + jω ) 2 + ω 02
e − at sin ω 0tu (t ), Re{a} > 0
te − at u (t ), Re{a} > 0 t k −1e − at u (t ), Re{a} > 0 (k − 1)!
ω0 (a + jω ) 2 + ω 02
1 ( a + jω ) 2 1 ( a + jω ) k 1 ,τ > 0 (τ − jt ) 2 2πωe −τω u (ω )
重 要
名称
连续傅里叶变换对 傅里叶变换 F (ω ) 连续时间函数 f (t )
W
√
⎧ ⎪ 1, t < τ f (t ) = ⎨ ⎪ ⎩0, t > τ ⎧ ⎪1 − t τ , t < τ f (t ) = ⎨ 0, t > τ ⎪ ⎩
τSa (
ωτ
2
)
π
Sa (Wt )
⎧ ⎪ 1, ω < W F (ω ) = ⎨ ⎪ ⎩0, ω > W ⎧ ⎪1 − ω W , ω < W F (ω ) = ⎨ 0, ω > W ⎪ ⎩
㵍㬒⫇䊻㰖⳦巛㠞䄧㬒⭥䊬㰄Ⳟⳉ
㠞䄧巛㰖⳦㉚㬨ⰵ䓵⢅㑠 [ 巛 P 㡑䔘䇤᱄ 㪉
[ f ( x)] F (P ) 䋓
x0 ½ a ® f [ ( x r )]¾ a ¿ ¯ b
ax r x0 [f( )] b
x0 b b exp(r j 2S P ) F ( P ) a a a
= sinc( u)
−1 / 2
∫ exp(− j 2πux )dx
a x ≤ 2 其它
积分变换主要公式
一、傅里叶变换1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件：1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞-∞⎰收敛；则傅氏积分公式存在，且有()()()()()(),1[]11002,2iw iwt f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ+∞+∞--∞-∞⎧⎪=-⎨++-⎪⎩⎰⎰是的连续点是的第一类间断点2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞--∞==⎰ 1-2 傅里叶逆变换定义式：()11[]()()2iwt F F w f t F w e dw π+∞--∞==⎰1-33、常用函数的傅里叶变换公式()1()FFf t F ω-−−→←−− 矩形脉冲函数1,22()sin 20,2F F E t E f t t ττωτω-⎧≤⎪⎪−−→=⎨←−−⎪>⎪⎩1-4 单边指数衰减函数()()1,0110,0tFFe t e t F e t iw j t βββω--⎧≥−−→=⇒=⎡⎤⎨←−−⎣⎦++<⎩ 1-5 单位脉冲函数 ()11FF t δ-−−→←−− 1-6 单位阶跃函数 ()()11FFu t w iwπδ-−−→+←−− 1-7 ()112F Fw πδ-−−→←−− 1-8 ()12F Ft j πδω-−−→'←−− 1-9 ()0102F j t Fe ωπδωω-−−→-←−− 1-10 ()()1000cos F Ft ωπδωωδωω-−−→++-⎡⎤←−−⎣⎦1-11 ()()1000sin F Ft j ωπδωωδωω-−−→+--⎡⎤←−−⎣⎦1-12 4、傅里叶变换的性质设()()[]F f t F w =， ()()[]i i F f t F w =（1）线性性：()()1121()()FFf t f t F F αβαωβω-−−→++←−− 1-13 （2）位移性：()()010Fj t Ff t t e F ωω--−−→-←−− 1-14 ()010()F j t Fe f t F ωωω-−−→-←−− 1-15 （3）微分性：()1()FFf t j F ωω-−−→'←−− 1-16 ()()()1()Fnn Ff t j F ωω-−−→←−− 1-17 ()()1()FFjt f t F ω-−−→'-←−− 1-18 ()()()()1()Fn n Fjt f t F ω-−−→-←−− 1-19 （4）积分性：()11()tFFf t dt F j ωω--∞−−→←−−⎰ 1-20 （5）相似性：11()FFf at F a a ω-⎛⎫−−→←−− ⎪⎝⎭1-21 （6）对称性：()1()2FFF t f πω-−−→-←−− 1-22 上面性质写成变换式如下面：（1）线性性：[]1212()()()()F f t f t F w F w αβαβ⋅+⋅=⋅+⋅ 1-13-1[]11212()()()()F F w F w f t f t αβαβ-⋅+⋅=⋅+⋅（,αβ是常数）1-13-2（2）位移性：[]0()F f t t -=()0iwt e F w - 1-14()000()()iw tw w w F e f t F w F w w =-⎡⎤==-⎣⎦ 1-15（3）微分性：设+∞→t 时,0→)t (f , 则有[]()()()()[]()F f t iw F f t iw F w '== 1-16()()()()()[]()nn n F f t iw F f t iw F w ⎡⎤==⎣⎦1-17 []()()dF tf t jF w dw= 1-18 ()()nnnn d F t f t j F w dw ⎡⎤=⎣⎦ 1-19（4）积分性：()()t F w F f t dt iw-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ 1-20（5）相似性：[]1()()wF f at F a a=1-21-1 翻转性:1=a 时()()w F t f F -=-][ 1-21-2 （6）对称性:设 ()()w F t f −→←，则()()w f t F π2−→←- 或 ()()2F t f w π←−→- 1-225、卷积公式 ：)()(21t f t f *=τττd t f f )()(21-⎰+∞∞-。
单位脉冲函数及其傅氏变换
0
∫ = 1 δ
(t
−
t0
)
=
∞
称为δ函数
定义7.3δ型函数序 列
+∞
∫ =∫ = 1 δ −∞
ε
(t
−
t0
)d
t
t ≠ t0 t = t0
δε (t −
1 t0 +ε
t0 −ε 2ε
且
t0 )= dt
+∞
δ (t
−∞
0
1
20ε
− t0 ) d t
t < t0 − ε t0 − ε < t<
−iπ
⋅e 3 ]
2i
= 1 [(1 + i 3 )ei5t −(1 − i 3 )e−i5t ]
4i
ℱ[eiω0 t ]= 2π δ (ω − ω0 )
ℱ[= f ( t)]
1 {(1 + i 4i
3) ℱ[ei5t ]−(1 − i
3 ) ℱ[e−i5t ]}
= π [(1 + i 3) δ (ω − 5)−(1 − i 3 ) δ (ω + 5)]
2i
ℱ[eiω0 t ] = 2π δ (ω − ω0 )
ℱ[e−iω0 t ] = 2π δ (ω + ω0 )
ℱ[cosω0 t] = π [δ (ω − ω0 )+δ (ω + ω0 )] ℱ[sinω0 t]= −iπ [δ (ω − ω0 )−δ (ω + ω0 )]
ℱ[cos 5t] = π [δ (ω − 5) +δ (ω + 5)]
8
= π i[δ (ω − 3) −3δ (ω − 1)+3δ (ω + 1)−δ (ω + 3)]
单位脉冲函数的傅里叶变换是多少
单位脉冲函数的傅里叶变换是多少
摘要：
1.单位脉冲函数的概念及性质
2.单位脉冲函数的傅里叶变换公式
3.单位脉冲函数傅里叶变换的意义
4.结论
正文：
单位脉冲函数是一种特殊的数学函数，它在某个时间点上具有无限大的值，而在其他时间点上具有零值。
这个时间点通常称为脉冲的“中心点”，单位脉冲函数的傅里叶变换可以用来分析其频谱特性。
单位脉冲函数的傅里叶变换公式可以表示为：
F{δ(t)} = ∫δ(t)e^-jωtdt
其中，F 表示傅里叶变换，δ(t) 表示单位脉冲函数，ω表示角频率，t 表示时间。
根据傅里叶变换的定义，我们知道傅里叶变换是将一个信号从时域转换到频域的过程。
对于单位脉冲函数来说，其在时域上的取样性质使得其频谱具有特殊的性质。
具体来说，单位脉冲函数的频谱密度在-∞到+∞区间内处处相等，常称为均匀谱或白色噪声。
单位冲激序列傅里叶变换
单位冲激序列傅里叶变换单位冲激序列在信号处理中扮演着重要的角色，是我们理解和分析信号的基础。
傅里叶变换则是对信号进行频域分析的常用工具，能够将信号从时域转换到频域。
掌握这两个概念对于信号处理工程师来说至关重要。
单位冲激序列是一种在离散时间点上的脉冲序列，其中只有一个时间点具有非零值，其余时间点上都为零。
这个非零值通常为1，因此也被称为单位脉冲信号。
单位冲激序列在很多实际环境中都有应用，例如系统的脉冲响应或采样与重构过程中的插值。
傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学工具。
通过傅里叶变换，我们可以将时域中的信号分解成不同频率的正弦和余弦波的叠加。
这种频域表示使得我们能够更好地理解信号的频谱特性，包括频率成分和幅度信息。
傅里叶变换广泛应用于信号处理、通信系统、图像处理等领域。
将单位冲激序列进行傅里叶变换，可以得到频域上的脉冲响应。
脉冲响应描述了系统对单位冲激信号的响应情况，可以用于分析系统的频率特性和滤波效果。
在实际应用中，我们经常通过将一个信号与单位冲激序列卷积来实现信号的滤波和频率域处理。
随着技术的发展，单位冲激序列和傅里叶变换在各个领域都发挥着重要作用。
在数字音频和图像处理中，我们可以通过傅里叶变换将信号转换成频域，然后对频域信号进行滤波、增强等处理，再通过傅里叶逆变换将信号恢复到时域。
这种频域处理的方法极大地提高了信号处理的效率和质量。
除了基本的单位冲激序列和傅里叶变换，我们还可以利用这些概念进行更高级的信号处理。
例如，我们可以通过将多个单位冲激序列叠加来生成复杂的信号，然后通过傅里叶变换分析其频谱特性。
在数字通信系统中，我们可以对信号进行调制和解调，利用傅里叶变换分析信道特性和噪声影响。
总之，单位冲激序列和傅里叶变换是信号处理中不可或缺的概念。
了解这些概念的原理和应用对于信号处理工程师来说至关重要。
通过对单位冲激序列的傅里叶变换，我们能够更好地理解信号的频域特性，从而实现更高效、更精确的信号处理。
常用傅里叶变换对
常用傅里叶变换对在数学和工程领域中，傅里叶变换是一种非常重要的工具，它能够将一个复杂的时域信号转换为频域表示，从而帮助我们更好地理解和处理信号。
而傅里叶变换对则是指在时域和频域之间相互转换的一些常见函数对。
首先，我们来了解一下什么是傅里叶变换。
简单来说，傅里叶变换就是把一个信号分解成不同频率的正弦和余弦波的叠加。
通过这种方式，我们可以从另一个角度来观察和分析信号的特征。
那么，常用的傅里叶变换对有哪些呢？一个常见的例子是单位冲激函数（也称为狄拉克δ函数）和常数1。
单位冲激函数在时域中是一个在某一时刻瞬间出现、强度极大而持续时间极短的脉冲。
它的傅里叶变换是常数 1。
反过来，常数 1 的傅里叶逆变换就是单位冲激函数。
再来看指数函数 e^（jω₀t) 和2πδ(ω ω₀) 这一对。
在时域中，指数函数 e^（jω₀t) 是一个以角频率ω₀旋转的复指数信号。
经过傅里叶变换后，在频域中就对应为2πδ(ω ω₀)，也就是在频率ω₀处的一个冲激。
还有正弦函数sin(ω₀t) 和π δ(ω ω₀) δ(ω ＋ω₀) 。
正弦函数在时域中是我们常见的周期信号，其傅里叶变换在频域中表现为在±ω₀处的两个冲激，且冲激的强度均为π/2。
余弦函数cos(ω₀t) 和π δ(ω ω₀) ＋δ(ω ＋ω₀) 也是一对常用的傅里叶变换对。
余弦函数在时域中的特征明显，而在频域中则以在±ω₀处的冲激形式呈现，冲激的强度均为π/2。
矩形脉冲函数也是一个经常会遇到的信号。
假设一个宽度为τ、高度为 1 的矩形脉冲函数，其傅里叶变换是Sa(ωτ/2)，其中 Sa(x) 是正弦函数的积分形式。
这些常用的傅里叶变换对在信号处理、通信工程、控制系统等众多领域都有着广泛的应用。
在信号处理中，通过对信号进行傅里叶变换，我们可以分析信号的频率成分，从而实现滤波、频谱分析等操作。
比如，当我们想要去除信号中的某些特定频率成分时，就可以根据傅里叶变换的结果设计合适的滤波器。
6.3 单位脉冲函数及其傅里叶变换
0, t 0; q(t) 1, t 0.
i(t) d q(t) lim q(t t) q(t)
dt
t 0
t
当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.
如果我们形式地计算这个导数, 则得
i(0) lim q(0 t) q(0) lim 1
于是 (t)与常数1构成了傅氏变换对.
(t) F 1[1] 1 eitd ei td 2 (t)
2
在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足 傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
| f (t) | d t
例如常数函数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正、 余弦函数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用单位脉冲函数及其 傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换.
例1 证明：1和2 ()构成傅氏变换对.
证明：
F
1
1
eit
dt
u t eiudu 2 .
F [ (t)] 1
例2 求正弦函数 f (t)=sin0t 的傅氏变换.
F [sin0t]
eit
sin
0t
d
t
= 1 (ei(0)t ei(0 )t ) d t
2i
i ( 0 ) ( 0 ).
2 2
sin t
d
11
2
sint d 0
0
sin t
d
2, 2,
t t
0 0
1 2
1
2
0,
t
0
F
1
1
i
()
1
2
,
t 0 u(t)
傅里叶变换性质及常见函数傅里叶变换总结,表格打印版
▲初值：
F 0＝﹣∞∞ f tdt （条件： f t t∞ 0 ）
f
0＝
1 2π
﹣∞∞F
j dt
（条件： F j ∞ 0 ）
j
1
F
j
e
j
b a
|a| a
πF0 () 1 F j
j
F' j Fn j
1
jn 2π t
4
Ut
π 1
j
5
sgnt
2 j
1 6
t
jπsgn
7
|t |
e atU t
8 （ a 为大于零的实 数）
teatU t
9 （ a 为大于零的实 数）
10
G t
11
Sa0 t
sin 0 t 0t
12
1 F j |a| a
F j e jt0
1
F
j
e
jb a
|a| a
Fj 0
1 2
F
j
0
1 2
F
j
0
j
1 2
F j
0
j
1 2
F j
0
jF j
jn F j
▲ 't 函数的性质 · f t't f 0't f '00 · f t 't t0 f 0 't t0 f '0 t t0 ＊ 't 't ＊ 't t0 ' t t0
▲信号功率：
常用傅立叶变换表
时域信号弧频率表示的傅里叶变换注释1 线性2 时域平移3 频域平移, 变换2的频域对应4如果值较大，则会收缩到原点附近，而会扩散并变得扁平. 当 | a | 趋向无穷时，成为 Delta函数。
5傅里叶变换的二元性性质。
通过交换时域变量和频域变量得到.6 傅里叶变换的微分性质7 变换6的频域对应8表示和的卷积—这9矩形脉冲和归一化的sinc 函数10变换10的频域对应。
矩形函数是理想的低通滤波器，sinc 函数是这类滤波器对反因果冲击的响应。
11tri 是三角形函数12变换12的频域对应13高斯函数 exp( − αt 2) 的傅里叶变换是他本身. 只有当 Re(α) > 0时，这是可积的。
141516a>017变换本身就是一个公式18δ(ω) 代表狄拉克δ函数分布. 这个变换展示了狄拉克δ函数的重要性：该函数是常函数的傅立叶变换19 变换23的频域对应20 由变换3和24得到.21由变换1和25得到，应用了欧拉公式: cos(at) = (e iat + e−iat) / 2.22 由变换1和25得到23这里, n是一个自然数. δ(n)(ω)是狄拉克δ函数分布的n阶微分。
这个变换是根据变换7和24得到的。
将此变换与1结合使用，我们可以变换所有多项式。
24此处sgn(ω)为符号函数；注意此变换与变换7和24是一致的.25 变换29的推广.26 变换29的频域对应.27此处u(t)是单位阶跃函数; 此变换根据变换1和31得到.。
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sin 0t
|F()|
t
0 O
0
F [cos0t] ( 0) ( 0).
例3 证明：F [u(t)] 1 (). i
证：F
1
1
i
()
1
2
1
i
()
eit d
1
2
() eit d 1
2
1
i
eit
d
1 1
2 2
cos
t
i
i
sin
t
d
1 1
一、单位脉冲函数的定义
定义1
(t)
lim
0
(t).
其中，
0
(t
)
1
0
(t 0)
(0 t )
(t 0)
定义2 若函数满足下列两个条件：
(1) (t) 0, t 0;
(2) (t)dt 1.
则称其为单位脉冲函数，或 -函数。
可将-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段 的长度表示-函数的积分值, 称为-函数的强度.
(t)
δ(t-t0) 1
O
t0
t
如果脉冲发生在时刻t=t0，则函数为δ(t-t0)
二、单位脉冲函数的性质
（1）对任意的连续函数 f (t)
(t) f (t)dt=f 0
(t t0 ) f (t)dt
f
t0
（2）对任意的有连续导数的函数 f (t)
(t)
f
(t )dt =
f
0
第六章 傅里叶变换
第三讲 单位脉冲函数的Fourier变换
06
CHAPTER
§3 单位脉冲函数的Fourier变换
1 单位脉冲函数的定义 2 单位脉冲函数的性质 3 单位脉冲函数的Fourier变换
引例： 在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t =0) 进入 一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 以q(t)表示上述 电路中到时刻 t 为止通过导体截面的电荷函数(即累积电量), 则
（3） (t)为偶函数，即 (t) (t)
筛选性质
二、单位脉冲函数的性质(续)
（4）与单位阶跃函数
u(t)=
1 0
(t>0) 的关系： (t<0)
du(t) (t)
dt
或
t (t)dt=u t
三、单位脉冲函数的傅氏变换
F [ (t)] F()
(t
)
eit
d
t
eit
1
t 0
t0
t
t0 t
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表
示上述电路的电流强度.
为了确定这种电路上的电流强度, 引进一个新的函数，
称为狄拉克(Dirac)函数, 简单记成-函数，用于刻画集中于
一点或一瞬时的量，入点电荷、电热源、集中于一点的质
量以及脉冲技术中的非常窄的脉冲等。
t
0
t0 t 0
2 2
sin t
d
11
2
sint d 0
0
sin t
d
2, 2,
t t
0 0
1 2
1
2
0,
t
0
F
1
1
i
()
1
2
,
t 0 u(t)
1 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
2
1,
t 0
于是 (t)与常数1构成了傅氏变换对.
(t) F 1[1] 1 eitd ei td 2 (t)
2
在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足 傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
| f (t) | d t
例如常数函数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正、 余弦函数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用单位脉冲函数及其 傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换.
0, t 0; q(t) 1, t 0.
i(t) d q(t) lim q(t t) q(t)
dt
t 0
t
当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.
如果我们形式地计算这个导数, 则得
i(0) lim q(0 t) q(0) lim 1
例1 证明：1和2 ()构成傅氏变换对.
证明：
F
1
1
eit
dt
u t eiudu 2 .
F [ (t)] 1
例2 求正弦函数 f (t)=sin0t 的傅氏变换.
F [sin0t]
eit
sin
0t
d
t
= 1 (ei(0)t ei(0 )t ) d t
2i
i ( 0 ) ( 0 ).