6.3 单位脉冲函数及其傅里叶变换
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(t)
δ(t-t0) 1
O
t0
t
如果脉冲发生在时刻t=t0，则函数为δ(t-t0)
二、单位脉冲函数的性质
（1）对任意的连续函数 f (t)
(t) f (t)dt=f 0
(t t0 ) f (t)dt
f
t0
（2）对任意的有连续导数的函数 f (t)
(t)
f
Βιβλιοθήκη Baidu
(t )dt =
f
0
0, t 0; q(t) 1, t 0.
i(t) d q(t) lim q(t t) q(t)
dt
t 0
t
当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.
如果我们形式地计算这个导数, 则得
i(0) lim q(0 t) q(0) lim 1
例1 证明：1和2 ()构成傅氏变换对.
证明：
F
1
1
eit
dt
u t eiudu 2 .
F [ (t)] 1
例2 求正弦函数 f (t)=sin0t 的傅氏变换.
F [sin0t]
eit
sin
0t
d
t
= 1 (ei(0)t ei(0 )t ) d t
2i
i ( 0 ) ( 0 ).
（3） (t)为偶函数，即 (t) (t)
筛选性质
二、单位脉冲函数的性质(续)
（4）与单位阶跃函数
u(t)=
1 0
(t>0) 的关系： (t<0)
du(t) (t)
dt
或
t (t)dt=u t
三、单位脉冲函数的傅氏变换
F [ (t)] F()
(t
)
eit
d
t
eit
1
t 0
2 2
sin t
d
11
2
sint d 0
0
sin t
d
2, 2,
t t
0 0
1 2
1
2
0,
t
0
F
1
1
i
()
1
2
,
t 0 u(t)
1 2
1
2
1,
t 0
第六章 傅里叶变换
第三讲 单位脉冲函数的Fourier变换
06
CHAPTER
§3 单位脉冲函数的Fourier变换
1 单位脉冲函数的定义 2 单位脉冲函数的性质 3 单位脉冲函数的Fourier变换
引例： 在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t =0) 进入 一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 以q(t)表示上述 电路中到时刻 t 为止通过导体截面的电荷函数(即累积电量), 则
于是 (t)与常数1构成了傅氏变换对.
(t) F 1[1] 1 eitd ei td 2 (t)
2
在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足 傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
| f (t) | d t
例如常数函数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正、 余弦函数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用单位脉冲函数及其 傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换.
t0
t
t0 t
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表
示上述电路的电流强度.
为了确定这种电路上的电流强度, 引进一个新的函数，
称为狄拉克(Dirac)函数, 简单记成-函数，用于刻画集中于
一点或一瞬时的量，入点电荷、电热源、集中于一点的质
量以及脉冲技术中的非常窄的脉冲等。
t
0
t0 t 0
一、单位脉冲函数的定义
定义1
(t)
lim
0
(t).
其中，
0
(t
)
1
0
(t 0)
(0 t )
(t 0)
定义2 若函数满足下列两个条件：
(1) (t) 0, t 0;
(2) (t)dt 1.
则称其为单位脉冲函数，或 -函数。
可将-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段 的长度表示-函数的积分值, 称为-函数的强度.
sin 0t
|F()|
t
0 O
0
F [cos0t] ( 0) ( 0).
例3 证明：F [u(t)] 1 (). i
证：F
1
1
i
()
1
2
1
i
()
eit d
1
2
() eit d 1
2
1
i
eit
d
1 1
2 2
cos
t
i
i
sin
t
d
1 1
δ(t-t0) 1
O
t0
t
如果脉冲发生在时刻t=t0，则函数为δ(t-t0)
二、单位脉冲函数的性质
（1）对任意的连续函数 f (t)
(t) f (t)dt=f 0
(t t0 ) f (t)dt
f
t0
（2）对任意的有连续导数的函数 f (t)
(t)
f
Βιβλιοθήκη Baidu
(t )dt =
f
0
0, t 0; q(t) 1, t 0.
i(t) d q(t) lim q(t t) q(t)
dt
t 0
t
当t0时, i(t)=0, 由于q(t)是不连续的, 从而在普通导数意义下, q(t)在这一点是不能求导数的.
如果我们形式地计算这个导数, 则得
i(0) lim q(0 t) q(0) lim 1
例1 证明：1和2 ()构成傅氏变换对.
证明：
F
1
1
eit
dt
u t eiudu 2 .
F [ (t)] 1
例2 求正弦函数 f (t)=sin0t 的傅氏变换.
F [sin0t]
eit
sin
0t
d
t
= 1 (ei(0)t ei(0 )t ) d t
2i
i ( 0 ) ( 0 ).
（3） (t)为偶函数，即 (t) (t)
筛选性质
二、单位脉冲函数的性质(续)
（4）与单位阶跃函数
u(t)=
1 0
(t>0) 的关系： (t<0)
du(t) (t)
dt
或
t (t)dt=u t
三、单位脉冲函数的傅氏变换
F [ (t)] F()
(t
)
eit
d
t
eit
1
t 0
2 2
sin t
d
11
2
sint d 0
0
sin t
d
2, 2,
t t
0 0
1 2
1
2
0,
t
0
F
1
1
i
()
1
2
,
t 0 u(t)
1 2
1
2
1,
t 0
第六章 傅里叶变换
第三讲 单位脉冲函数的Fourier变换
06
CHAPTER
§3 单位脉冲函数的Fourier变换
1 单位脉冲函数的定义 2 单位脉冲函数的性质 3 单位脉冲函数的Fourier变换
引例： 在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为t =0) 进入 一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上的电流i(t). 以q(t)表示上述 电路中到时刻 t 为止通过导体截面的电荷函数(即累积电量), 则
于是 (t)与常数1构成了傅氏变换对.
(t) F 1[1] 1 eitd ei td 2 (t)
2
在物理学和工程技术中, 有许多重要函数不满足 傅氏积分定理中的绝对可积条件, 即不满足条件
| f (t) | d t
例如常数函数, 符号函数, 单位阶跃函数以及正、 余弦函数等, 然而它们的广义傅氏变换也是存在的, 利用单位脉冲函数及其 傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换.
t0
t
t0 t
这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表
示上述电路的电流强度.
为了确定这种电路上的电流强度, 引进一个新的函数，
称为狄拉克(Dirac)函数, 简单记成-函数，用于刻画集中于
一点或一瞬时的量，入点电荷、电热源、集中于一点的质
量以及脉冲技术中的非常窄的脉冲等。
t
0
t0 t 0
一、单位脉冲函数的定义
定义1
(t)
lim
0
(t).
其中，
0
(t
)
1
0
(t 0)
(0 t )
(t 0)
定义2 若函数满足下列两个条件：
(1) (t) 0, t 0;
(2) (t)dt 1.
则称其为单位脉冲函数，或 -函数。
可将-函数用一个长度等于1的有向线段表示, 这个线段 的长度表示-函数的积分值, 称为-函数的强度.
sin 0t
|F()|
t
0 O
0
F [cos0t] ( 0) ( 0).
例3 证明：F [u(t)] 1 (). i
证：F
1
1
i
()
1
2
1
i
()
eit d
1
2
() eit d 1
2
1
i
eit
d
1 1
2 2
cos
t
i
i
sin
t
d
1 1