论文二重极限计算方法

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二元函数重极限的计算方法

二元函数重极限的计算方法一、定义二元函数重极限是指，当自变量趋近于某个值的时候，函数值趋近于另一个值的极限。

用数学符号表示为:lim (x→a) [f(x, g(x))] = l其中，a 是某个实数，f(x, g(x)) 是一个二元函数，l 是一个实数。

二、性质1. 重极限具有有序性：如果 lim (x→a) [f(x, g(x))] = l 且lim (x→a) [g(x)] = b，那么当 x 趋近于 a 的时候，f(x, b) 的极限也等于 l。

2. 重极限具有连续性：如果 lim (x→a) [f(x, g(x))] = l 且g(x) 在 x=a 处可导，那么 f(x, g(x)) 在 x=a 处也存在导数，且导数等于 l。

三、计算方法1. 代入法将 g(x) 的极限代入到 f(x, g(x)) 中，得到 f(x, b),然后再求 f(x, b) 在 x 趋近于 a 时的极限，即为所求的重极限。

例如，求 f(x, g(x)) = x^2 + g(x) 在 x 趋近于 0 时的重极限。

先求 g(x) 在 x 趋近于 0 时的极限，得到 g(0) = 1。

然后将 g(0) 代入到 f(x, g(x)) 中，得到 f(x, 1) = x^2 + 1。

最后求 f(x, 1) 在 x 趋近于 0 时的极限，得到 l = 1。

2. 替换法将 g(x) 替换为它的极限值 b，然后求 f(x, b) 在 x 趋近于 a 时的极限，即为所求的重极限。

例如，求 f(x, g(x)) = x^2 + g(x) 在 x 趋近于 0 时的重极限。

先求 g(x) 在 x 趋近于 0 时的极限，得到 g(0) = 1。

然后将 g(x) 替换为 1，得到 f(x, 1) = x^2 + 1。

最后求 f(x, 1) 在 x 趋近于0 时的极限，得到 l = 1。

3. 级数法将 f(x, g(x)) 展开成级数形式，然后利用级数的性质求解重极限。

论文二重极限计算方法

论文二重极限计算方法二重极限是函数在二元自变量趋于特定点$(a,b)$的过程中的极限。

在求解二重极限时，可以使用两种常用方法：路径法和极限法。

下面将详述这两种方法。

1.路径法路径法是通过沿着不同路径逼近极限点，观察函数极限的行为。

常见的路径有$x=a$和$y=b$，以及通过以$(a,b)$为中心的射线等。

路径法的基本思想是，如果函数在不同路径下极限都存在，并且极限值相等，那么二重极限存在，并且等于这个共同的极限值。

举例说明，假设要求函数$f(x, y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}$在点$(0, 0)$处的二重极限。

可以沿着不同路径逼近这个点。

对于路径$x=0$，有$f(0, y)=0$；对于路径$y=0$，有$f(x, 0)=0$。

所以根据路径法，得到$\lim_{(x, y) \to (0, 0)} f(x, y) = 0$。

2.极限法极限法通过使用不等式，将二重极限的计算转化为一重极限的计算。

具体步骤如下：(1)假设要求函数$f(x,y)$在点$(a,b)$处的二重极限。

(2)令$x=a+h$，$y=b+k$，其中$h$和$k$表示趋于0的变量。

(3)将$f(x,y)$转化为一个关于$h$和$k$的函数$F(h,k)$。

(4) 计算一重极限$\lim_{(h, k) \to (0, 0)} F(h, k)$。

举例说明，求$f(x, y)=\frac{x^2y}{x^2+y^2}$在点$(0, 0)$处的二重极限。

可以将$x$和$y$表示为$x = h$和$y = k$。

代入函数$f(x,y)$得到$F(h, k) = \frac{h^2k}{h^2+k^2}$。

接下来计算一重极限$\lim_{(h, k) \to (0, 0)} F(h, k)$。

由于这是一重极限，可以使用一元极限的计算方法，比如夹逼定理或洛必达法则。

以上就是求解二重极限的路径法和极限法的详细介绍。

学术界对于二重极限的计算方法还有很多探索，包括利用极坐标、球坐标等多种数学工具。

二重极限的计算方法总结

239科技资讯 SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION学术论坛DOI：10.16661/ki.1672-3791.2019.08.239二重极限的计算方法总结①张敏(郑州商学院河南巩义 451200)摘要：函数的极限求解是高等数学中比较重要的一个问题，由于自变量个数的增加和极限趋近路径的任意性，二重极限的求解相较于一元函数的极限问题更加复杂。

一般情况下，高等数学教材中关于二重极限的求解都比较简单，对初学者来说比较抽象。

该文从不同角度介绍了6种不同的求解二重极限的方法，并给出了相应的例题及解析，拓宽了初学者的求解思路，给予了初学二重极限者一定的启发。

关键词：二元函数二重极限连续中图分类号：O172 文献标识码：A 文章编号：1672-3791(2019)03(b)-0239-02①作者简介：张敏（1988—），女，汉族，河南郑州人，研究生，助教，研究方向：数学教育，计算数学。

1 预备知识1.1 二元函数的定义定义1 设D 是平面上的一个非空点集，如果对于D 内的任一点(,)x y ，按照某种法则f ，都有唯一确定的实数Z 与之对应，则称f 是D 上的二元函数，它在点(,)x y 处的函数值记为f (,)x y ，即Z =f (,)x y ，其中(,)x y 称为自变量，Z 称为因变量。

点集D 称为该函数的定义域，数集{|(,),(,)}z z f x y x y D =∈称为该函数的值域。

1.2 二重极限的定义定义2 设函数Z =f (,)x y 的定义域为D ,000(,)P x y 是xOy 平面内的定点。

若存在常数A ，0ε∀>，0δ∃>，当点0(,)(,)P x y D U P δ∈时，恒有|()||(,)|f P A f x y A ε−=−<，则称常数A为二元函数f (,)x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限（也称为二重极限），记作00(,)(,)lim(,)x y x y f x y A→=或00(,)((,)(,))f x y A x y x y →→，也可记作0lim ()P P f P A →=或0()()f P A P P →→。

二重极限的几种求法

点 p 0 ( x 0 , y 0 ) 时 , 二元函数 f ( p ) 的极限都存在 , 但不相等 , 则
( x , y) →( x , y ) 0 0
理 1 得出
lim ( x + y ) ln ( x 2 + y 2 ) = 0
x→ 0 y→ 0
lim
f ( x , y ) 不存在 . x 4 + y4 不存在 x + y
不存在综上所述 , 二重极限与一元函数的极限从定义到性质 , 再到证明的方式 , 有很多类似之处 , 但也有很明显的不同之处 . 对于一元函数而言 , 自变量的变化只有左右两种方式 , 而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某点的方式 , 这是二者最大的差别 . 把握住这一点 , 再在具体的题上具体分析 , 就能找到解决问题的方法 .
作者简介 : 张雅平 ( 1967 - ) ,男 ,河北高阳人 ,学士 ,大同职业技术学院数理系讲师 . 研究方向 : 高等数学教学与研究 .
雁北师范学院学报 2005 年 66
1
例 4 求 lim+ ( 1 + x y ) sin xy
x→ 0 y→ 0
+
解:
x→ 0
( | x | +| y | ) 2 x 2 + y2 Φ = | x | +| y | | x | +| y | | x | +| y | ,
0 Φ
lim+ ( 1 + x y ) sin xy =
y→ 0
) | r > 0 , cos3θ+ sin3θ ≠0 ,θ ∈[ 0 , D = { ( r ,θ

计算二重极限的几种方法00

0 0 0 0
lim f ( x , y ) 一定不存在。 x →x
0 y →y 0
例 8 求 lim
x - y + x + y 。 2 2 x →0 x + y y →0
2
2
3
3
解由于 y ≠0 时恒有 lim f ( x , y ) = y - 1= Υ( y ) , 故 x →0
li m lim f ( x , y ) = - 1
(x , y →
li m ) (0,
x y
0) 2
2
2 2
x + y
= 0
4 利用无穷小量乘以有界量仍为无穷小量
定理 4 若 (
x , y ) → (x 0 , y 0 )

lim
f ( x , y ) = 0, 而 g ( x , y ) 于 ( x 0 , y 0 ) 的邻域内有界, 则
(x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim
f (x , y ) = A ,
(x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim
g (x , y ) = B
则 ( ( (
y →∞
x , y ) → (x 0 , y 0 ) x , y ) → (x 0 , y 0 )
lim lim lim
定理 3 若于点 P 0 ( x 0 , y 0 ) 的邻域内有 h ( x , y ) ≤f ( x , y ) ≤g ( x , y ) , 且
x →x 0 y →y 0
li m h ( x , y ) = lim g ( x , y ) = A
x →x 0 y →y 0 x →x 0 y →y 0

第二类重要极限的简易算法

第二类重要极限的简易算法作者：孙明岩来源：《教育教学论坛·上旬》2012年第08期摘要：两个重要极限的计算问题是极限这一章的重点和难点，本文通过证明推导出关于第二类重要极限计算的一种简易算法。

关键词：第二类重要极限；系数；指数中图分类号：O13；G642 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）08-0053-02一、第二类重要极限及其常规算法第二类重要极限是高等数学、微积分极限这部分内容的难点之一，学生在计算时很容易出错。

第二类重要极限的公式形式有两种：■（1+■）x=e，■（1+x）■=e。

对于第二类重要极限计算题可以用换元法来做。

例1 求■（1+■）x解令u=■，当x→∞时，u→0，于是有■（1+■）x=■（1+u）■=[■（1+u）■]2=e2。

例2 求■（1+2x）■解令u=2x，当x→0时，u→0，于是有■（1+2x）■=■（1+2x）■=[■（1+u）■]2=e2第二类重要极限的推广型：x→x0，g（x）→0，■（1+■）g(x)=e（参见[1]）。

第二类重要极限的一些题目不换元，也可以直接计算：例3 求■（1-■）2x+1解■（1-■）2x+1=■（1-■）2x（1-■）=■（1-■）2x■（1-■）=■[（1-■）■]■■（1-■）=e■·1=e■二、第二类极限简易算法定理1：若a≠0，c≠0，则■（1+■）■=e■。

证明：■（1+■）■=■[（1+■）■]■■（1+■）■=e■·1=e■。

定理2：■（1+■）■=e■证明：■（1+■）■=■[（1+■）■]■■（1+■）■=e■·1=e■。

这类极限计算值里底数都是e，计算这类的极限值关键是计算e的指数。

根据上述证明的两个定理，我们可以得出一个重要的结论：推论1：第二类重要极限■（1+■）■极限值中的指数为x与■的系数乘积。

证明：易见■的系数为■，x的系数为■，根据定理1，■（1+■）■=e■，e的指数为■，恰为x与■的系数乘积。

用极坐标求二重极限的一点注记

用极坐标求二重极限的一点注记极坐标，是指一种以极轴和极角为基础的坐标系统，它利用极角代表点的位置，而极轴的长度表示这个点的距离，从而可以从极坐标中得出该点在极坐标坐标系中的位置。

极坐标的运用范围非常广泛，几何学中的所有概念在采用极坐标系的时候都可以简化，在物理学中，极坐标系可以用来表示一些复杂的图形，如圆锥、椭圆和双曲线。

极坐标还可以用来表示连续函数，而且可以用来求解和处理多种极限问题，其中一种极限问题叫做二重极限。

一般情况下，二重极限式表示为：lim(x->α,y->β)f(x,y)其中f(x,y)表示一般的函数，α和β表示当x和y分别趋近于α和β之后，函数f(x,y)的值。

如果我们想要用极坐标来求解这样一个二重极限，那么我们必须先将其转换成极坐标来求解。

首先，我们定义二重极限式为：lim(r->,->)f(r,θ)其中，r是极轴，θ是极角，α和β分别表示当r和θ分别趋近于α和β之后，函数f(r,θ)的值。

我们可以用以下的公式将二重极限的形式给转换成普通坐标的形式：lim(r->α,θ->β)f(r,θ)=lim(x->αcosβ,y->αsinβ)f(x,y)即：lim(r->α,θ->β)f(r,θ)=lim(x->αcosβ,y->αsinβ)f(x,y)注意：以上公式定义的二重极限是在极坐标系中求解的，它不是在普通坐标系中求解的。

我们再来看一个具体的例子，假设我们的函数定义为f(r,θ)=rcosθ，那么我们可以将它转换成普通坐标的形式：f(r,θ)=rcosθ=xcosy，我们可以将其写成以下的形式：lim(r->α,θ->β)f(r,θ)=lim(x->αcosβ,y->αsinβ)f(x,y)=lim(x->αcosβ,y->αsinβ)xcosy那么，我们可以将上述式子带入f(x,y)中，根据极限定义，我们就可以求得：lim(x->αcosβ,y->αsinβ)f(x,y)=αcosβcos(αsinβ) 所以，用极坐标求解一个二重极限的话，首先要将其转换成普通坐标的形式：lim(r->α,θ->β)f(r,θ)=lim(x->αcosβ,y->αsinβ)f(x,y)然后，我们可以将该函数带入，再按照极限的定义来求解。

论文二重极限计算方法

师学院本科毕业论文题目：二重极限的计算方法学生：王伟学院：数学科学学院专业：数学与应用数学班级：应数一班指导教师：国明老师二〇一四年四月摘要函数极限是高等数学中非常重要的容。

关于一元函数的极限及求法，各种高等数学教材中都有详细的例题和说明。

二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。

本文在二元函数定义基础上通过求对数，变量代换等方式总结了解决二重极限问题的几种方法，并给出相关例题及解题步骤，及二重极限不存在的几种证明方法。

关键词：二重极限变量代换等不存在的证明二元函数连续性AbstractThe limit function is a very important contents of advanced mathematics. The limit of a function and method, all kinds of advanced mathematics textbooks are detailed examples and explanation. The limit function of two variables is the basis for the development in the limit of one variable function on it, there are both connections and differences in the two yuan on the basis of the definition of the logarithm function between the two, variable substitution, summarizes several methods to solve the problem of double limit, and gives some examples and solving steps. Several proof method and double limit does not exist.keywords: Double limit variable substitution, etc. There is no proof Dual function of continuity目录序言 (1)1二重极限的计算方法小结 (2)1.1利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (2)1.2由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)1.3采用对数法求极限 (3)1.4利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)1.5等价无穷小代换 (4)1.6利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)1.7多元函数收敛判别方法 (4)1.8变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)1.9极坐标代换法 (6)1.10用多元函数收敛判别的方法 (6)1.11利用连续性求极限 (6)1.12利用洛必达法则求极限 (7)1.13利用单调有界准则求极限 (7)1.14利用导数的定义求极限 (7)1.15变量代换法 (8)1.16复合函数求极限的方法 (8)1.17无穷大分除法( 或叫抓大头的方法) (8)1.18取倒数方法 (9)1.19利用微分中值定理求极限限求极限 (9)1.20利用定积分的定义及性质求极限 (9)1.21利用麦克劳林展开式求极限 (10)1.22利用级数收敛必要条件求极限 (10)1.23利用幂级数的和函数求极限 (11)1.24利用matlab求二重极限 (11)2、证明二重极限不存在的几种方法 (11)总结 (14)参考文献 (15)致 (16)序言二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。

二重极限的计算方法总结

二重极限的计算方法总结作者：张敏来源：《科技资讯》2019年第08期摘; 要：函数的极限求解是高等数学中比较重要的一个问题，由于自变量个数的增加和极限趋近路径的任意性，二重极限的求解相较于一元函数的极限问题更加复杂。

一般情况下，高等数学教材中关于二重极限的求解都比较简单，对初学者来说比较抽象。

该文从不同角度介绍了6种不同的求解二重极限的方法，并给出了相应的例题及解析，拓宽了初学者的求解思路，给予了初学二重极限者一定的启发。

关键词：二元函数; 二重极限; 连续中图分类号：O172; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;文献标识码：A; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ;文章编号：1672-3791（2019）03（b）-0239-021; 预备知识1.1 二元函数的定义定义1; 设D是平面上的一个非空点集，如果对于D内的任一点，按照某种法则f，都有唯一确定的实数Z与之对应，则称f是D上的二元函数，它在点处的函数值记为f，即Z=f，其中称为自变量，Z称为因变量。

点集D称为该函数的定义域，数集称为该函数的值域。

1.2 二重极限的定义定义2; 设函数Z=f的定义域为D，是平面内的定点。

若存在常数A，，，当点时，恒有，则称常数A为二元函数f当时的极限（也称为二重极限），记作或，也可记作或。

注意：（1）在该定义中，函数只需在点的某一去心邻域内有定义即可，极限值A与函数在该点是否有定义无关。

（2）二重极限的存在性与自变量趋近的路径无关。

由于二重极限定义中的动点P趋向于点的方式是任意的，因此在一个平面上的点趋向于P0点的方式就有无穷多种，这比一元函数当时的极限只有左右两侧的情形要复杂得多。

（3）如果动点P沿着两条不同的路径趋向于时，函数值趋向于不同的常数，那么二重极限不存在。

2; 二重极限的求法2.1 利用二重极限的定义验证二元函數的极限2.2 利用二元函数的连续性求二重极限2.4 利用一元函数极限中的特殊极限求二重极限2.6 利用一元函数极限的性质求二重极限3; 结语二重极限与一元函数的极限既有区别又有联系，只有掌握了最基本的求解方法，才能对症下药，解决具体问题。

用定义证明二重极限（范文）

用定义证明二重极‎限用定义证明二‎重极限用定‎义证明二重极限利‎用极限存在准则证‎明：当x趋近于‎正无穷时，的极限‎为0;证明数列‎{Xn}，其中a‎0，Xo0,Xn‎=2,n=1,2‎,…收敛，并求其‎极限。

1)用夹‎逼准则:x大于‎1时,lnx0,‎x^20,故ln‎x x^20且l‎n x1),lnx‎x^2<x‎^2.而x^2极‎限为0故的极限‎为02)用单调‎有界数列收敛:‎分三种情况,x0‎=√a时,显然极‎限为√ax0√‎a时,Xn-X=‎2<0,单‎调递减且Xn=‎2√a,√a为数‎列下界,则极限存‎在.设数列极限‎为A,Xn和X极‎限都为A.对原‎始两边求极限得A‎=2.解得A=√‎a同理可求x0‎<√a时,‎极限亦为√a综‎上,数列极限存在‎,且为√时函数‎的极限：以时‎和为例引入.‎介绍符号: 的‎意义, 的直观意‎义.定义几‎何意义介绍邻域‎其中为充分大的‎正数.然后用这些‎邻域语言介绍几何‎意义.例1验证‎例2验证例3‎验证证……‎时函数的极限：‎由考虑时的极‎限引入.定义函‎数极限的“ ”定‎义.几何意义.‎用定义验证函数‎极限的基本思路.‎例4 验证例‎5验证例6验‎证证由 =‎为使需有为使‎需有于是, ‎倘限制 , 就有‎例7验证例8‎验证单侧极限:‎1.定义：单侧‎极限的定义及记法‎.几何意义: ‎介绍半邻域然后‎介绍等的几何意‎义.例9验证‎证考虑使的‎2.单侧极限与双‎侧极限的关系:‎T h类似有: 例‎10证明: 极限‎不存在.例1‎1设函数在点‎的某邻域内单调.‎若存在, 则‎有= §2 函‎数极限的性质教‎学目的：使学生掌‎握函数极限的基本‎性质。

教学要求‎：掌握函数极限的‎基本性质：唯一性‎、局部保号性、不‎等式性质以及有理‎运算性等。

教学‎重点：函数极限的‎性质及其计算。

‎教学难点：函数极‎限性质证明及其应‎用。

论文二重极限计算方法

关于一元函数的极限及求法，各种高等数学教材中都有详细的例题和说明。

二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。

关于二重极限的若干计算方法_0.doc

关于二重极限的若干计算方法1、相关定义1.1、()计算机犯罪概念的狭义说狭义说又被称作内涵说。

这种观点主张:对计算机资产本身和计算机内存数据进行侵犯才属于计算机犯罪。

经济学者Sieber认为:计算机犯罪是指所有与电子资料有关之故意而违法之财产破坏行为。

也就是说凡是以故意篡改、毁损、无权取得或者无权利用计算机资料或者程序或者计算机设备之违法破坏财产法益的财产犯罪都是计算机犯罪。

[13]瑞典的《私人保密权法》规定:未经批准建立和保存计算机私人文件,有关侵犯受保护数据的行为,非法存取电子数据处理记录或非法修改、删除、记录涉及个人隐私的数据行为都是计算机犯罪。

[14] 狭义说对计算机犯罪所下的定义应该说比广义说要进一步。

因为狭义说将计算机犯罪的外延做了一定的限制。

但所谓狭义说是相对广义说来讲的,也就是说狭义说只是在计算机犯罪的外延上规定得比广义说狭窄,但并不意味着狭义说规定的外延就合理。

其实,狭义说也存在着明显的缺陷。

首先,狭义说定义的计算机犯罪概念虽然明确了计算机犯罪所侵害的犯罪对象,但它依然无法准确确定计算机犯罪的外延。

犯罪客体简单的说就是犯罪所侵害的刑法所保护的法益。

而犯罪对象是指犯罪行为所指向的对象,或者说是犯罪行为的承受对象。

例如,杀人罪中被害人就是杀人行为指向的对象即犯罪对象;生命权则是刑法所保护的法益,也就是杀人犯罪所侵犯的客体。

因此,犯罪客体与犯罪对象是两个不同的概念。

笔者已经指出,在我国刑法典中决定犯罪类型的最主要因素是犯罪侵犯的客体而非犯罪所侵害的对象。

因此在犯罪概念中指明犯罪对象起不到类型化犯罪的作用。

狭义说的计算机犯罪概念明确了计算机犯罪的对象,这要比广义说的概念进步些,但它依然无法达到使计算机犯罪类型化的作用。

分析狭义说的计算机犯罪概念,也会得出这个结论。

狭义说认为计算机犯罪是对计算机资产和计算机内存数据的侵犯。

其中对计算机资产的侵犯就难以纳入计算机犯罪中来。

例如:盗窃计算机显然符合传统盗窃罪的概念,但是按狭义说它又应当属于计算机犯罪。

浅谈二重极限的若干计算方法

浅谈二重极限的若干计算方法二重极限是多元函数理论基础，在高等数学和数学分析中都做了介绍，对于二重极限重点是它的计算方法，虽然许多学者对此做了归纳，但由于二重极限的复杂性，他们的归纳都不是很全面，因此，本论文在已有的基础上对二重极限的计算方法做了较为全面阐述，使得二重极限的计算更为简便、快捷．1 二重极限定义设函数(,)f x y 在区域D 内有定义，000(,)p x y 是D 的内点，如果对于任意的正数ε，总存在正数σ，使得对于D 内适合不等式00p p σ<=<的一切点(,)p x y 都有(,)f x y A ε-<成立，则称常数A 为函数(,)f x y 当00,x x y y →→时的二重极限，记作00(,)(,)lim (,)x y x y f x y A →=．2 二重极限的求法2.1 定义验证法先求出一个累次极限，再用定义验证该累次极限是否为二重极限，或先猜出二重极限的值，再用定义验证．例1 设22331(,)()sinf x y x y x y=++，33(0)x y +≠，求(,)(0,0)lim (,)x y f x y →．解 00limlim (,)0x y f x y →→=，事实上对任意(,)(0,0)x y ≠222222331(,)0()sinf x y x y x y x y x y-=+≤+≤++0,ε∀>取σ=,x y σσ<<时，有22331()sin0x y x y ε+-<+即(,)(0,0)lim (,)x y f x y →=0．例[1](278280)2P - 求(,)(0,)sin limx y c xyx → (0)c ≠．解sin sin sin sin 11xy xy cx cx xy xy cx cx-=-+-其中sin sin sin sin sin sin xy cx c xy c cx c cx y cxxy cx cxy-+--= sin sin sin sin c xy c cx c cx y cxcxy cxy --=+(第一个分式用微分中值定理)cos sin ()c cx c y xy cx cxy cx yζ-=-+⋅（ζ介于,x y 间）进而有sin sin sin (cos )xy cx c y cx xy cx y cxζ--≤+ 由于0sin lim1x xyxy→=，所以只要x 足够小就可使得sin 2cx cx ≤．又因为lim1y ccy→=，故对任意0,0εσ>∃>，当0,0x y σσ<<<<时，恒有sin 1,126cx c cx y εε-<-<，从而sin sin sin sin sin sin sin 111(12)62xy xy cx cx xy cx cx xy xy cx cx xy cx cx εεε-=-+-≤-+-<++= 即(,)(0,)sin limx y c xyc x →=．由上两例可知定义验证法求二重极限要求所给函数的某个累次极限等于二重极限或者能够观察出已知函数的二重极限，因此该方法局限性较强，只适用于一些简单的二重极限的计算．2.2 利用连续函数的定义二元函数(,)f x y 的定义域为,D 000(,)P x y D ∈且为D 的聚点，若00)00(,)(,lim(,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 处连续．所以，可用定义计算连续函数的二重极限．例3 求 2234lim(7)x y x xy y →→-++．解由22(,)(7)f x y x xy y =-++为连续函数且(3,4)20f =得2234lim(7)20x y x xy y →→-++=．只要所给函数为连续函数就可以用连续函数的定义求二重极限，但一般情况下所给函数都比较复杂，因此在解题时很少用到该方法．2.3 利用四则运算法则如果当00(,)(,)x y x y →时有(,)f x y A →，(,)g x y B →，则(,)(,)f x y g x y A B ±→±；(,)(,)f x y g x y A B ⋅→⋅；(,)(0)(,)f x y AB g x y B→≠．例4 求22123lim ()x y xy x y x y →→++．解 22123lim ()x y xy x y x y →→++221212lim(3)10lim()3x y x y xy x y x y →→→→+==+．如果已知函数可以化成两个或多个易求极限的函数的加、减、乘、除的形式，那么就可以用四则运算法则求出已知函数的极限．2.4 利用两个重要极限（1） 0sin lim 1x x x →=；（2）1lim(1)xx e x→∞+=．例[2](133)5P 求2sin 0lim(1)xyx x y a xy →→+．解 2sin 0lim(1)xyxx y axy →→+=222sin 11sin 00lim[(1)]lim[(1)]xy t y y a xy xy t tx t y ay axy t e ⋅⋅→→→→+=+=．这种方法主要是根据已知函数的特点将它转化成一元函数（或部分转化为一元函数），然后利用两个重要极限再求值，计算过程比较简单，这里不再过多解释．2.5 利用等价无穷小代换当0,x y a →→时，有~sin ~ln(1),xy xy xy +tan ~,xy xy 211cos ~()2xy xy - arcsin ~,xy xy 1~xy e xy -．例6 求33(,)(0,)lim (1cos )ln(1)x y a x y xy xy →-+．解 33(,)(0,)lim (1cos )ln(1)x y a x y xy xy →-+=22(,)(0,)lim 1cos ln(1)x y a x y xyxy xy →⋅-+=22(,)(0,)2lim21()2x y a x y xyxy xy →⋅=．例7 求20sin(3)lim 1xy x y ax y e →→-．解当0,x y a →→时， 22sin(3)~3,1~xyx y x y e xy -故 20sin(3)lim 1xy x y a x y e →→-2003lim lim30x x y a y ax y x xy →→→→===．该方法主要是把已知函数的某部分用它的等价无穷小代替，使原函数化成容易计算的较简单的函数，但由于相互等价的函数很多，因此在选择用哪种形式的无穷小代替时，要具体问题具体分析．2.6 利用夹逼定理(,)f x y 与(,)g x y 在00(,)x y 连续且有相同的极限A ，若(,)h x y 在00(,)x y 的某邻域有(,)(,)(,)f x y h x y g x y ≤≤成立，则00(,)(,)lim (,)x y x y h x y A →=．例[3](27)8P 求22limx y x yx xy y →+∞→+∞+-+．解由不等式222x y xy +≥得2222110x y x y x yx xy y x y xy xy x y+++≤≤≤≤+-++- 而11lim ()0x y x y →+∞→+∞+=，故有22lim x y x y x xy y →+∞→+∞+-+0=．利用夹逼定理求二重极限是计算二重极限常用的方法，解题时常常需要通过分子放大、分母缩小或分子缩小、分母放大即放缩原函数得到易求极限的函数．但由于该方法要求放缩后的函数与原函数的极限相同，这就使得放缩时有一定的约束性，因此用这种方法时要重点注意放缩过程．2.7 利用恒等变形如果二元函数(,)f x y 含有分式，可以让分子、分母同乘以不为零的函数，如果(,)f x y 是指数形式，可以先求它对数的极限，然后再求原函数的极限．例9求22(,)limx y →解22(,)limx y →(,)limx y →=(,)(0,0)lim x y →=(,)(0,0)lim 2)x y →=4=．例[4](1)10P 求2222(,)(0,0)lim ()xyx y x y →+．解令2222()x y u x y =+，则222222222222ln ln()()ln()x y u x y x y x y x y x y=+=+++ 而2222(,)(0,0)(,)(0,0)221lim lim 011x y x y x y x y x y →→==++ ，令22x y t +=则 2222(,)(0,0)lim ()ln()lim ln 0x y t x y x y t t →→++==所以2222(,)(0,0)limln()0x y x y x y →+=故2222(,)(0,0)lim ()xyx y x y →+01e ==．这种方法要求已知函数是含有根式的二元函数或者极限是01,0∞等的未定型函数，所以很容易判断是否用该方法计算二重极限．2.8 利用变量代换利用变量代换是把二重极限转化为一元函数的极限或化为易于计算的二重极限，如利用极坐标变换令cos ,sin x r y r θθ==，利用倒数11,x y u v==，利用两个变量,x y 的和x y t +=、平方和22x y t +=及乘积xy t =等变换．例11 求2222()22(,)(0,0)lim 2sin()x y x y x y e e x y +-+→-+．解 22u x y =+ 则(,)(0,0)lim 0x y u →=2222()22(,)(0,0)lim2sin()x y x y x y e e x y +-+→-+00lim lim 12sin 2cos u u u u u u e e e e u u --→→-+===．例[4](1)12P 求22222(,)(0,0)limln()x y x y x y →+．解 cos ,sin x r y r θθ==，由(,)(0,0)x y →得0r →22222424(,)(0,0)010limln()lim sin 2ln 4x y r x y x y r r θ→→≤+=⋅⋅而211sin 244θ≤，34444430000484ln lim ln lim lim lim()014r r r r r r r r r r r r r →→→→⋅===-=-所以4401lim ln sin 204r r r θ→⋅⋅= 从而22222(,)(0,0)limln()x y x y x y →+0=.例13 求21lim(1)x x yx y axy-→∞→+其中0a ≠．解 2()11(1)(1)x xxy x yx y yxyxy⋅--+=+，当,x y a →∞→时，令,xy t =相应有t →∞，则11lim(1)lim(1)xy t x t y ae xy t→∞→∞→+=+=21lim(1)x x yx y a xy -→∞→+ 1[ln(1)]()()1lim[(1)]lim xyx xxy x y yxy x y yx x y a y ae xy +--→∞→∞→→=+=1lim [ln(1)]lim11()1xy x x y ay ax xy x y yaaeee →∞→∞→→+-⋅===.例14 求222()lim ()x y x y x y e-+→+∞→+∞+．解 222222()2()2()22()()2x y x y x y x y x y x y x y x y ee e e e-++++++==-⋅ 当,x y →+∞→+∞时，令x y t +=，相应有t →+∞则222()2()lim lim 0x y t x t y x y t e e +→+∞→+∞→+∞+==，2222lim 22lim lim 0x y x y x x x y y y x y x ye e e e →+∞→+∞→+∞→+∞→+∞→+∞⋅=⋅= 所以222()lim ()x y x y x y e -+→+∞→+∞+ 0=．例[5](3)15P 求22limx y yx y →∞→∞+．解 11,x y u v==，当,x y →∞→∞时，有0,0u v →→ 22lim x y yx y →∞→∞+12121222(,)(0,0)(,)(0,0)lim lim ()()u v u v v u v u v u v ---→→==++` 令 cos ,sin u r v r θθ==，当0,0u v →→时，0r →+，2322222(,)(0,0)00cos sin lim lim lim cos sin 0u v r r u v r r u v rθθθθ++→→→===+ 即 22lim0x y yx y →∞→∞=+．变量代换法也是计算二重极限常用的方法，从例题的计算过程可以看出采用恰当的变量代换可以使得二重极限的计算更为简便．综上所述，二重极限的计算与一元函数极限的求法有很多类似之处，但由于一元函数的极限至多是左、右两种方式的逼近，而二重极限是任意方向的逼近．因此，二重极限的计算比一元函数极限的计算复杂得多，在遇到求二重极限的问题时，要具体问题具体分析，找出解决问题的最恰当的方法．。

解析第二重要极限的三步骤法

１ｉｍｉｔ：ｔｈｒｅｅ — ｓｔｅｐｍｅｔｈｏｄ
第二重要极限是 “ 高等数学 ” 课程中极限部分的一个重要内容，是处理１未定型极限的
有效方法。由于第二重要极限存在２种基本表达
形式及特性的研究分析，得出了它的一些推广定
要极限的三步骤法。利用幂指函数的连续性处理１未定型极限，并将其归纳为判定类型、构造 “ １
ห้องสมุดไป่ตู้
加” 、指数倒数形式的三步骤，即可得到极限计算结果。三步骤法简化了第二重要极限的计算步骤，降低了第二重要极限学习和掌握的难度。关键词第二重要极限：幂指函数；函数连续性；未定型极限；三步骤法
ＡｂｓｔｒａｃｔＴｈｅｓｔｕｄｙｆｏｃｕｓｅｓｏｎｓｅｃｏｎｄｉｍｐｏ￣ａｎｔｌｉｍｉｔｗｈｉｃｈｈａｓｄｅｆｅｃｔｓｌｉｋｅｔｗｏｋｉｎｄｓｏｆｃａｌｃｕｌａｔｉｎｇｆｏｒｍｕｌａｅａｎｄｅｘｃｅｓｓｉｖｅｃｈａｎｇｅｓｉｎｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｐｒｏｃｅｓｓ．Ａｎｅｗｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｗａｓｐｒｏｐｏｓｅｄｉｎｈｉｔｓｐａ — ｐｅｒａｎｄｎａｍｅｄｓｅｃｏｎｄｉｍｐｏ￣ａｎｔｌｉｍｉｔｔｈｒｅｅ－ｓｔｅｐｍｅｔｈｏｄ．Ｔｈｅｓｏｌｖｉｎｇｐｒｏｃｅｓｓｏｆｉｎｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｅｆｏｍｒｌｉｍｉｔｗａｓ

二重级数展开求解定解问题

二重级数展开求解定解问题引言二重级数展开求解定解问题是数学分析中的一个重要问题。

它涉及到了级数的概念和展开求解的方法，对于理解级数的性质和应用具有重要意义。

在本文中，我们将详细探讨二重级数展开求解定解问题的基本概念、方法和应用。

二重级数的定义二重级数是指形如 ∑∑a nm ∞m=0∞n=0 的级数，其中 a nm 是数列中的元素。

二重级数可以看作是平面上一个无限个数的点的集合，其求和结果是每个点的值的总和。

二重级数的收敛性对于二重级数 ∑∑a nm ∞m=0∞n=0，如果存在一个实数 S ，使得对于任意的正数 ϵ，存在正整数 N ，当 n >N 且 m >N 时，有 |∑∑a nm N m=0N n=0−S |<ϵ 成立，则称该二重级数收敛于 S 。

二重级数的展开求解方法1. 逐项展开法逐项展开法是最常用的二重级数展开求解方法之一。

它的基本思想是将二重级数中的每一项按照特定的方式展开成两个单重级数的和，然后再对这两个单重级数进行求和。

逐项展开法的关键在于确定合适的展开方式，使得展开后的单重级数易于求解。

2. 交换次序法交换次序法是另一种常用的二重级数展开求解方法。

它的基本思想是通过改变求和顺序，将原来的二重级数转化为一个新的二重级数，使得新的二重级数更容易求解。

交换次序法的关键在于确定合适的交换方式，使得交换后的二重级数具有良好的性质。

3. 特殊方法除了逐项展开法和交换次序法，还存在一些特殊的方法用于求解特定形式的二重级数。

例如，对于某些满足特定条件的二重级数，可以利用特殊的数学工具和技巧进行求解，如矩阵运算、变换等。

二重级数展开求解定解问题的应用二重级数展开求解定解问题在数学分析和物理学等领域有广泛的应用。

下面列举了一些常见的应用领域：1.物理学中的电磁场分布问题：通过将电磁场分布表示为二重级数的形式，可以利用二重级数展开求解定解问题来研究电磁场的性质和行为。

2.统计学中的概率分布问题：通过将概率分布表示为二重级数的形式，可以利用二重级数展开求解定解问题来研究随机变量的分布和性质。

解析第二重要极限的三步骤法

解析第二重要极限的三步骤法华婷;传军【摘要】The study focuses on second important limit which has defects like two kinds of calculating formulae and excessive changes in calculation process.A new calculation algorithm was proposed in this pa-per and named second important limit three-step method.The solving process of indeterminate form limit was segmented into three specific steps.It is easy to master this algorithm without much theoretical knowledge with the method being more concise and practicable.%针对第二重要极限存在计算公式多样化及形式构造复杂化的问题，提出了解析第二重要极限的三步骤法。

利用幂指函数的连续性处理1∞未定型极限，并将其归纳为判定类型、构造“1加”、指数倒数形式的三步骤，即可得到极限计算结果。

三步骤法简化了第二重要极限的计算步骤，降低了第二重要极限学习和掌握的难度。

【期刊名称】《常州工学院学报》【年(卷),期】2014(000)006【总页数】4页(P42-45)【关键词】第二重要极限;幂指函数;函数连续性;未定型极限;三步骤法【作者】华婷;传军【作者单位】常州工学院理学院，江苏常州 213002;常州工学院理学院，江苏常州 213002【正文语种】中文【中图分类】G642第二重要极限是“高等数学”课程中极限部分的一个重要内容[1-2]，是处理1∞未定型极限的有效方法。

用极坐标变换确定二重极限的技巧及实例

例5
计算 lim ( x , y ) y ( 0, 0)
x x
2 2
+
y2 y2
解令 x = r cosH, y = r sin H, 对任意 H
x 2x 2+
y2 y2
=
r 2( cos2 Hr 2( cos2 H+
sin2 H) sin2 H)
=
cos2 H,
所以
lim
( x , y) y ( 0, 0)
r y 0+
lim
r y 0+
ln r 2 r- 2
=
lim-
r y 0+
r2 =
0
例 2 求 lim ( x, y) y ( 0, 0)
( x 2 + y2) x2 + y2+ 1- 1
解令 x = r cosH y = r sin H
lim
( x , y) y ( 0, 0)
( x 2 + y2) x2 + y2+ 1-
1 函数 f ( x, y ) = f ( r cos H, rsin H) = «( r ) U( r , H) 极限存在的情形
1) 当 U( r , H) = c( c 为常数) , 即 f ( x , y ) =
例 1 求 lim ( x 2 + y 2) ln( x 2 + y 2) ( x, y) y ( 0, 0)
3) 若 lim «( r ) 不存在, 且 U( H) X 0 时, 则 lim f ( x , y ) 不存在.
r y 0+
( x , y) y ( 0, 0)
Hale Waihona Puke 例8计算 lim ( x , y ) y ( 0, 0)

关于利用极坐标换元法求二重极限的思考

关于利用极坐标换元法求二重极限的思考以《关于利用极坐标换元法求二重极限的思考》为标题，现代微积分数学科的发展，极限的概念一直是微积分的核心内容之一。

微积分定义了极限的概念，它能够有效地解决复杂的微积分问题。

求解极限的技术有多种，例如利用极限定义证明极限性质，建立根据极限定义和算子定义的公式等。

其中，极坐标换元法是解决极限问题的重要工具，它能够有效地求出复杂的极限。

极坐标换元法可以用来求解极限的多种情况，包括求一重无穷极限、一重有穷极限和二重无穷极限等。

例如，求解一重无穷极限的关系式为：lim (x,y)→(∞,∞)f(x,y)=L可以采用极坐标换元法：令x=r cos,y=r sin,方程式可以换成 lim(r→∞)f(r cos, r sin)→L此时可以看出，这是一个一重无穷极限，而当θ取常数值时，改成一重有穷极限：lim(r→a)f(r cos, r sin)→L另外，极坐标换元法还可用来求二重无穷极限，例如求解关系式 lim(x,y)→(∞,∞)f(x,y)=L我们可以令x=r cos,y=r sin,方程式可以换成lim( r→∞,→∞)f(r cos, r sin)→L由此可以看出，这是一个二重极限。

从上面可以看出，极坐标换元法是一种有效的求解极限问题的工具，特别是对于求解二重极限而言，极坐标换元法更加有用。

极坐标换元法不仅可以简化求解极限的问题，而且可以帮助我们更好地理解极限的定义。

极坐标换元法应用于求解二重极限的运算简便又有趣，它既可以减少求解极限的难度，也可以植入深刻的思考。

换元法的实际应用过程是一个充满挑战的过程，它需要我们明确极限关系，并有意识地把方程式中的许多变量统一起来，这一过程会帮助我们更好地理解极限定义，严格把握极限的概念，从而得出正确的结论。

综上所述，极坐标换元法是一种重要的求解极限问题的工具，它可以有效地求出复杂的二重极限。

极坐标换元法的应用有助于我们更好地理解极限的概念，从而更深入地探索极限的机制。

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包头师范学院本科毕业论文题目：二重极限的计算方法****：**学院：数学科学学院专业：数学与应用数学班级：应数一班指导教师：李国明老师二〇一四年四月摘要函数极限是高等数学中非常重要的内容。

关于一元函数的极限及求法，各种高等数学教材中都有详细的例题和说明。

二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。

关键词：二重极限变量代换等不存在的证明二元函数连续性AbstractThe limit function is a very important contents of advanced mathematics. The limit of a function and method, all kinds of advanced mathematics textbooks are detailed examples and explanation. The limit function of two variables is the basis for the development in the limit of one variable function on it, there are both connections and differences in the two yuan on the basis of the definition of the logarithm function between the two, variable substitution, summarizes several methods to solve the problem of double limit, and gives some examples and solving steps. Several proof method and double limit does not exist.keywords: Double limit variable substitution, etc. There is no proof Dual function of continuity目录序言 (1)1二重极限的计算方法小结 (2)1.1利用特殊路径猜得极限值再加以确定 (2)1.2由累次极限猜想极限值再加以验证 (2)1.3采用对数法求极限 (3)1.4利用一元函数中重要的极限的推广求两个重要极限 (3)1.5等价无穷小代换 (4)1.6利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量 (4)1.7多元函数收敛判别方法 (4)1.8变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限 (5)1.9极坐标代换法 (6)1.10用多元函数收敛判别的方法 (6)1.11利用连续性求极限 (6)1.12利用洛必达法则求极限 (7)1.13利用单调有界准则求极限 (7)1.14利用导数的定义求极限 (7)1.15变量代换法 (8)1.16复合函数求极限的方法 (8)1.17无穷大分除法( 或叫抓大头的方法) (8)1.18取倒数方法 (9)1.19利用微分中值定理求极限限求极限 (9)1.20利用定积分的定义及性质求极限 (9)1.21利用麦克劳林展开式求极限 (10)1.22利用级数收敛必要条件求极限 (10)1.23利用幂级数的和函数求极限 (11)1.24利用matlab求二重极限 (11)2、证明二重极限不存在的几种方法 (11)总结 (14)参考文献 (15)致谢 (16)序言二元函数的极限是在一元函数极限的基础上发展起来的，二者之间既有联系又有区别。

对一元函数而言，自变量的变化只有左右两种方式，而二元函数可以有无数种沿曲线趋于某店的方式，这是两者最大的区别。

虽然二元函数的极限较为复杂，但若能在理解好概念，掌握解题方法和技巧就不难解决。

对于二元函数的二重极限，重点是极限的存在性及其求解方法。

二重极限实质上是包含任意方向的逼近过程，是一个较为复杂的极限，只要有两个方向的极限不相等，就能确定二重极限不存在，但要确定二重极限存在则需要判定沿任意方向的极限都存在且相等。

由于二重极限较为复杂，判定极限的存在及其求解，往往因题而异，依据变量),(y x 的不同变化趋势和函数),(y x f 的不同类型，探索得出一些计算方法，采用恰当的求解方法后，对复杂的二重极限计算，就能简便，快捷地获得结果，本文将对二重极限的几种计算方法做一下小结。

1、二重极限的计算方法小结1.1 利用特殊路径猜得极限值再加以验证利用二元函数极限定义求极限：根据定义解题时只需找出δ来。

例1 、讨论223),(yx yx y x f +=，在点(0,0)的极限。

解：令mx y = 01lim )1(lim lim 2202402230=+=+=+→→→→→mm x m mx y x y x x mx y x mx y x 应为此路径为特殊路径，故不能说明.0lim 22300=+→→y x y x y x 可以猜测值为0。

下面再利用定义法证明：0>∀ε，取εδ2=当δ<-+-<22)0()0(0y x 有ε2222<+≤y x x由于232232120x xy y x yx y x =≤-+ 即有ε<≤+222321x y x y x 故.0lim 22300=+→→y x yx y x 注意（1）ε的任意性（2）δ一般随而变化（3）若函数以A 为极限，则对函数在的某去心邻域内有范围（A+ε，A-ε）。

1.2 由累次极限猜想极限值再加以验证先求出一个累次极限，该类此极限是否为二重极限在用定义验证例2 、设)0(1sin)(),(222222≠+++=y x yx y x y x f 。

求),(lim 00y x f y x →→ 解： 0),(lim lim 00=→→y x f y x 可以猜测有极限值为0. 事实上对任意的)0,0(),(≠y x有222222221sin)(0),(y x y x yx y x y x f +≤+≤++=-， 0>∀ε 取2εδ=，当δ<x ，δ<y ，)0,0(),(≠y x 时，就有ε<-++01sin)(2222yx y x ，即有0),(lim 00=→→y x f y x 1.3 采用对数法求极限利用初等变形，特别是指数形式常常可以先求起对数的极限。

或极限是等未定型，往往通过取对数的办法求得结果。

例3 、求xyy x xy sin 100)1(lim +++→→解：xyxy xyxy y x xyxyy x xyy x xy exy exy )1ln(lim )1ln(lim)1(lim sin 001sin 100sin 100+=+=+++++++→→→→→→因为 1sin lim00=++→→xyxyy x 而且1ln )1ln(lim 100==+++→→e xy xy y x 所以 e xy xyy x =+++→→sin 100)1(lim1.4 利用一元函数中重要极限的推广求两个重要极限e x x x x xx =+=⎪⎭⎫⎝⎛+→∞→1)1(lim 11lim 1sin lim0=→xxx 类似于一元函数，我们可以充分利用所熟知的结论。

通过构造变形我们能够化不熟悉为熟悉，进而利用已有的结论而求之例4 、求（1）)(120)1(lim y x x y x x +→→+ （2）x xya y x sin lim0→→解：（1）因为e x xx =+→10)1(lim ，211lim20=+→→y x y x 所以211120)(120)1(lim )1(lim e x x yx xy x y x x y x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=++→→+→→（2）由于0,sin sin ≠•=y y xyxyx xy , 又因为)0,(1sin sin lim00≠===→→→x t xy t tlin xyxy t a y x所以a y lin t tlin x xy ay t a y x ==→→→→sin sin lim001.5 等价无穷小代换利用一元函数中已有的结论对式子进行必要的代换以达到简化的目的，进而求出所要求的极限例5 、求yx y x y x ++→→)sin(lim 330解：因为,0,0→→y x 故有033→+y x所以)sin(33y x +等价于33y x +故原式为0)(lim lim )sin(lim 220033003300=+-=++=++→→→→→→y xy x yx y x y x y x y x y x y x注无穷小替代求极限时要理解替换过程的本质，不可随意替换。

利用等价无穷小替代求极限其实质就是在极限运算中同时乘一个或是除一个等价无穷小，也就是我们通常所说的“乘除时可以替换，加减时不可随意替换”1.6 利用无穷小量与有界函数的积仍为无穷小量充分利用无穷小的性质，与一元函数类似，在求极限过程中，以零为极限的量称为无穷小量，有关无穷小量的运算性质也可以推广到多元函数中。

例6 、求 ()()()()2222,32323lim -+---→→y x y x y x解：因为()()()()()()()()()32323lim2323lim 222,32222,3--+---=-+---→→→→x y x y x y x y x y x y x 而()()()()21232322≤-+---y x y x 为有界变量又 ()03lim2,3=-→→x y x 故有原式=01.7 多元函数收敛判别方法当一个二重极限不易直接求出时，可以考虑通过放缩法使二元函数夹在两个已知极限的函数之间，且两端的极限值相等，则原函数的极限值存在且等于它们的公共值。

例7 、求2200limx y x y yx →→++解：由)(2220x yx yx yx y yx +≤≤=++++ 而()00,0x y x y +→→→ ，故可知 22lim0x y x yy x →→+=+1.8 变量代换将二重极限化为一元函数中的已知极限有时为了将所求的极限化简，转化为已知的极限，可以根据极限式子的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程。

1、讨论当0,0→→y x ，二元函数),(y x f 的极限，利用变量代换把二重极限化为一元函数中已知的极限转化，相应有0→t 从而求得结果。

例8 、求 22220,0)1ln(lim yx y x y x +++→→ 解；令,22μ=+y x 则当0,0→→y x 时 0→μ，于是1)1ln(lim )1ln(lim 022220,0=+=+++→→→μμμyx y x y x 2、讨论当()常数0,≠→∞→a a y x 时，二元函数),(y x f 的极限，作变量代换，相应有∞→t ，利用已知一元函数的极限公式。