复变函数教案

《复变函数》教案

目录

第一次课………………复数

第二次课………………复平面上的点集

第三次课………………复变函数复球面与无穷远点

第四次课………………解析函数的概念与柯西-黎曼方程

第五次课………………初等解析函数

第六次课………………初等多值函数

第七次课………………复积分的概念及其简单性质

第八次课………………柯西积分定理

第九次课………………柯西积分公式及其推论

第十次课………………解析函数与调和函数的关系

第十一次课……………复级数的基本性质

第十二次课……………幂级数

第十三次课……………解析函数的泰勒展式

第十四次课……………解析函数零点的孤立性及惟一性定理

第十五次课……………解析函数的洛朗展开式

第十六次课……………解析函数的孤立奇点

第十七次课……………孤立奇点在无穷远点的性质整函数与亚

纯函数的概念

第十八次课……………留数

第十九次课……………用留数计算实积分

第二十次课……………辐角原理及其应用

第二十一次课…………解析变换的特性

第二十二次课…………分式线性变换

第二十三次课…………某些初等函数所构成的共形映射关于共

形映射的黎曼存在定理和边界对应定理

第二十四次课…………总复习

第一次课：复数

一．教学目的：

1．掌握复数的四则运算及共轭运算；

2．熟练掌握复数的各种表示法；

3．熟练掌握乘积与商的模与辐角定理，方根运算公式。

二．教学重点：复数的三角表示和复数的乘方与开方。

三．教学难点：用复数形式方程（或不等式）表示平面图形来解决有关几何问题的方法。四．教学方法：启发式、讨论式

五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等。

六．教学过程：

[引言]：（约10分钟）简述复分析的发展历史、复变函数的主要内容及其应用背景以及学习该课程应该注意的方法，引入本课主题。

●复数的基本概念（约5分钟）

1．虚数单位。

2．实部与虚部。

3．共轭复数。

●复数的四则运算（约20分钟）

1．复数的加、减、乘和除法运算。

2．复数运算的性质。

举例并让学生穿插进行练习。

●复数的几何表示（约20分钟）

1．复平面。

2．复数的模与幅角。

3．复数模的三角不等式。

利用几何图形直观地解释。

●复数的三角表示（约25分钟）

1．复数的三角表示

2．用复数的三角表示作乘除法。

3．复数的乘方与开方

举例并让学生穿插进行练习。

七．课程小结（约5分钟）八．布置作业和预习内容（约5分钟）

第二次课：复平面上的点集

一. 教学目的：

１．了解复球面、无穷远点及扩充复平面的概念；

２．理解区域、简单曲线、单连同区域与多连同区域的概念。

二. 教学重点：正确理解区域、单连通域与多连通域、简单曲线等概念

三. 教学难点：求复平面上曲线的复方程。

四．教学方法：启发式、讨论式

五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等

六．教学过程：

[引言]：（约5分钟）

简述上节课内容，引出本课题的内容。

●开集与闭集（约20分钟）

1．介绍邻域的概念及几何图形

2．平面点集（开集、闭集、内点、边界点、有界集、无界集等）

3．区域

举例并让学生穿插进行练习。

●平面曲线（约20分钟）

1.平面曲线的复值函数表示

2.简单曲线及简单闭曲线。

3.若当曲线定理。

4.单连通区域和多连通区域

举例并让学生穿插进行练习。

●无穷大与复球面（约35分钟）

1．扩充的复数系统及其四则运算。

2．扩充复平面

3．复球面

七．课程小结（约5分钟）

八．布置作业和预习内容（约5分钟）

第三次课：复变函数

复球面与无穷远点

一．教学目的：

１．理解复变函数以及映射的概念；

２．了解复变函数与而二元实函数的关系；

３．了解复变函数的极限与连续的概念、性质；

４．熟悉复变函数数的极限和连续性与实变函数的极限与连续性之间的区别与联系；

５．理解复变函数的导数以及解析函数的概念；

６．掌握连续、可导、解析之间的关系及求导方法。

７．熟练掌握函数可导与解析的判别法，掌握并能灵活应用柯西-黎曼方程。

8、了解复球面与复平面的关系；

9.了解无穷远点与复球面上的哪一点相对应；

10.理解广义极限与广义连续的概念。

二．教学重点：复变函数以及映射的概念，解析函数的概念；函数解析性的判别。三．教学难点：复变函数的极限存在性判别和用导数定义求复函数的导数

四．教学方法：启发式、讨论式

五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等

六．教学过程：

[引言]：（约5分钟）

复习上节课内容，引出复变函数的概念。

●复变函数的概念（约15分钟）

主要讲解单值函数与多值函数的概念，特别详解多值函数概念。通过例题的讲解使学生对之掌握。

●复变函数的极限与连续性（约20分钟）

１．复变函数的极限与连续概念

２．复变函数的极限和连续性与实变函数的极限与连续性之间的区联系

３．有界闭区域的复连续函数性质

举例并让学生穿插进行练习。

●复变函数的导数（约5分钟）

介绍复函数的可导、可微等概念，通过讲解例题帮助学生理解

●解析函数的概念与求导法则（约10分钟）

１．解析函数的概念

２．求导的四则运算

３．复合函数的求导法则

●函数解析的一个充要条件（约15分钟）

以推理的方式给出函数解析的一个充要条件：柯西-黎曼方程；通过讲解常数函数的部分充分条件加深学生对该充要条件的理解

●复球面（约5分钟）

●扩充复平面的几个概念（约5分钟）

七．课程小结（约5分钟）

八．布置作业和预习内容（约5分钟）

第四次课：解析函数的概念与柯西-黎曼方程

一．教学目的：

1、了解复数域中函数可导、解析与连续的定义；

2、理解可导、解析与连续的关系；

3、充分掌握解析函数的运算法则、C-R 条件及有关定理与公式；

4、深刻理解解析函数的等价刻画定理的内容及涵义。

二．教学重点：

C-R 条件及有关定理与公式

三．教学难点：解析函数的等价刻画定理的内容及涵义

四．教学方法：启发式、讨论式

五．教学用具：多媒体教学、黑板、粉笔等

六．教学过程：

[引言]：（约5分钟）简单回顾上节课内容，引入本课题内容

●复变函数的导数与微分（约10分钟）

给出调和函数的概念，证明解析函数的虚部和实部都是调和函数

●共轭调和函数（约10分钟）

给出共轭调和函数的概念，引出函数解析的另外一个充要条件

●解析函数及其简单性质（约25分钟）

●柯西-黎曼条件（约35分钟）

1.证明定理