高中数学指数函数的图像及性质

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高中数学新教材第一册第四章 4.2.2指数函数的图像和性质

(1)根据图像，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）； (2)该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
分析因为该城市人口呈指数
增长，而同一指数函数的倍增期是相同的。所以可以从图像中选取适当的点计算倍增期。
（1）该城市人口每翻一番所需的时间约为20年。
（2）该城市人口大约会增长到 160万人。
课堂练习
P118 练习 1 2 3
课堂小结
(1)底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y轴对称; (2)指数函数的图像和性质. (3)利用指数函数的单调性比较两个数的大小. (4)同一指数函数的倍增期是相同的。
作业
P119 6
指数函数的图像和性质
0<a<1
a>1
图像
定
义
R
域
值域
(0,)
性 (1)过定点(0,1),即x 0时，y 1
质
(2)减函数
(2)增函数
例3 比较下列各题中两个值的大小：
① 1.72.5，1.73； ② 0.8 2 ,0.8 3 ; ③ 1.70.3，0.93.1.
例4 如下图，某城市人口呈指数增长.
请画出函数 y = (1)x 的图像,并与函数y 2x的图像进行 2
比较，它们有什么关系？能否利用函数y 2x的图像，画出函数y = (1)x 的图像？你能得到什么结论？
2
底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y轴对称。
探究
选取底数a(a 0,且a 1)的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图像。观察这些函数的图像的位置，公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出指数函数y ax (a 0,且a 1)的值域和性质吗？

新课程人高中数学必修件指数函数的图象和性质

经济学中的指数函数
理解经济学中的指数函数如GDP增长、消费者价格指数等，会用指数函数进行经济分析和预测。
05
指数函数在数学模型中应用
生物学中种群增长模型构建
指数增长模型
在理想条件下，种群数量会按照指数函数的形式增长，即种群数量随时间的变化率与种群数量成正比。
逻辑斯谛增长模型
考虑到环境容纳量对种群增长的影响，种群数量增长会呈现先快后慢的趋势，最终趋于环境容纳量，这种增长模式可以用逻辑斯谛方程来描述。
放射性衰变
放射性元素会自发地放出射线并转变为另一种元素，这种现象称为放射性衰变。
VS
衰变规律
放射性元素的衰变速度与其现有的数量成正比，即衰变速度随时间的变化率与现有的放射性元素数量成正比。这种规律可以用指数函数来描述，即N=N0e^(-λt)，其中N0是初始时刻的放射性元素数量，λ 是衰变常数，t是时间。
06
高考考点梳理与备考建议
历年高考真题回顾及解析
回顾历年高考中指数函数图象和性质的考查方式及题型，如选择题、填空题、解答题等。
分析高考真题中指数函数图象和性质的考点分布，如函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等。
解析高考真题中指数函数图象和性质的解题思路和方法，如利用函数图象判断函数性质、利用函数性质求解函数问题等。
积的乘方与幂的积
区分积的乘方与幂的积的不同点，避免运算错误。
复合指数函数简化策略分享
01
02
03
04
分解复合函数
将复合指数函数分解为基本初等函数，便于分析和求解。
换元法
通过换元将复杂的复合指数函数转化为简单的函数形式，降
低解题难度。
利用已知函数性质

指数函数的图像与性质

指数函数的图像与性质指数函数是高中数学中常见的一种函数，它具有独特的图像与性质。

本文将从图像、定义、性质等方面进行讨论，以帮助读者更好地理解指数函数。

一、指数函数的定义与图像指数函数可以表示为f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1。

在定义域为实数集上，指数函数的图像呈现出特殊的增长趋势。

1. 当a>1时，指数函数呈现上升的趋势。

随着x的增大，f(x)的取值也呈现出逐渐增大的特点。

这是因为指数函数随着底数a的增大，幂次的增长速度加快。

2. 当0<a<1时，指数函数呈现下降的趋势。

随着x的增大，f(x)的取值逐渐减小。

这是因为指数函数随着底数a的减小，幂次的增长速度减慢。

以上两种情况都可以通过绘制函数图像来进行直观的展示。

在图像中，我们可以发现指数函数在x轴的正半轴方向具有渐近线，并且在x=0处经过点(0, 1)。

二、指数函数的性质除了图像外，指数函数还具有以下几个重要的性质。

1. 单调性：当a>1时，指数函数是递增的；当0<a<1时，指数函数是递减的。

这是由指数函数的定义所决定的。

2. 定义域与值域：由于指数函数的定义域为实数集，且底数a不等于1，因此指数函数的值域也是正实数集(0, +∞)。

3. 奇偶性：当指数函数的底数a为负时，指数函数为奇函数，即f(x) = -a^x；当底数a为正时，则指数函数为偶函数，即f(x) = a^x。

4. 渐近线：指数函数在x轴的正半轴方向具有一条水平渐近线y=0，并且在x=0处有一个横坐标为1的纵坐标，即点(0, 1)。

5. 过点(1, a)：指数函数在x=1处经过点(1, a)。

这是由指数函数的定义得出的。

通过对指数函数的图像与性质的讨论，我们可以更加全面地了解这一函数类型。

指数函数在实际问题中具有广泛的应用，例如在金融领域中的复利计算、人口增长的模型等。

因此，熟练掌握指数函数的图像与性质对于解决实际问题具有重要的意义。

高中新教材数学必修件时指数函数的图象与性质

对称变换规律
01
指数函数$y=a^x$（$a>0$，$aneq 1$）的图像关于原点对称。即当$x$取相反数时，$y$也取相反数。
02
指数函数图像也关于直线$y=x$对称。即当函数形式为 $y=a^x$和$x=a^y$时，两个函数的图像关于直线 $y=x$对称。
03
对称变换不改变图像的形状和开口方向，只改变图像的位置和对称轴。
当$0 < a < 1$时，指数函数的图像在$x$轴上方，但随着$x$ 的增大，函数值逐渐减小，图像
向右下方延伸。
指数函数的图像都经过点$(0, 1)$。
指数函数性质总结
01
指数函数的值域为$(0, +infty)$。
02
指数函数在其定义域内是连续的。
03
指数函数在其定义域内是可导的，且导数等于其自身乘以一个常数。
03
电磁辐射衰减
在通信和电磁学领域，指数函数可用于描述电磁辐射在传播过程中的衰
减。根据衰减常数和传播距离，可以计算信号强度的变化。
复合增长问题中指数函数应用
复利计算
在金融领域，指数函数用于计算复利问题。通过给定本金、年利率和存款期限，可以计算存款到
期时的本息总额。
连续增长模型
在经济学和生物学等领域，指数函数可用于描述连续增长的模型。通过分析历史数据，可以估算出连续增长率，并预测未来某一
时刻的数量或规模。
化学反应动力学
在化学领域，指数函数用于描述化学反应的动力学过程。通过分析反应速率与反应物浓度的关系，可以了解反应的动力学特性和
反应机理。
05 典型例题解析与课堂互动环节
典型例题解析过程展示
01

指数函数及其性质,高中数学

指数函数专题指数函数及其性质知识梳理要点一、指数函数的概念：函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R.要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31x y =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：① 如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.② 如果1a =，则11x y ==是个常量，就没研究的必要了．（1）当底数大小不确定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。

（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。

当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。

当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。

（3）指数函数x y a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。

要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（1）① xy a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=；②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可．辨析感悟对指数函数的理解(1)函数y ＝3·2x 是指数函数．(×) (2)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x是R 上的减函数．(×)(3)(2013·金华调研改编)已知函数f (x )＝4＋a x －1(a ＞0且a ≠1)的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是(1,5)．(√)【典型例题】类型一、指数函数的概念例1．函数2(33)x y a a a =-+是指数函数，求a 的值．【解析】由2(33)x y a a a =-+是指数函数，可得2331,0,1,a a a a ⎧-+=⎨>≠⎩且解得12,01,a a a a ==⎧⎨>≠⎩或且，所以2a =．【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ．举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数？（1）4x y =；（2）4y x =；（3）4x y =-；（4）(4)x y =-；（5）1(21)(1)2x y a a a =->≠且；（6）4x y -=．【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4x y -==14x⎛⎫⎪⎝⎭，符合指数函数的定义，而（2）中底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．类型二、函数的定义域、值域例2．求下列函数的定义域、值域.(1)313x x y =+；(2)y=4x -2x +1；【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，3x ≠-1).∵ (13)1111313x x xy +-==-++，又∵ 3x >0， 1+3x >1， ∴ 10113x <<+， ∴ 11013x-<-<+， ∴ 101113x<-<+， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，43)212(12)2(22+-=+-=x x x y ，∵ 2x >0， ∴ 212=x 即x=-1时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,43).(3)要使函数有意义可得到不等式211309x --≥，即21233x --≥，又函数3x y =是增函数，所以212x -≥-，即12x ≥-，即1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，值域是[)0,+∞.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域： (1)2-12x y =(2)y =(3)y =0,1)y a a =>≠ 【答案】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，【解析】(1)R(2)要使原式有意义，需满足3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，．(3) 为使得原函数有意义，需满足2x -1≥0，即2x ≥1，故x ≥0，即[)0,+∞ (4) 为使得原函数有意义，需满足10x a -≥，即1x a ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，.类型三、指数函数的单调性及其应用例3．讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性.解：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内是减函数，∴函数()f x 在（－∞，1]内为增函数．又1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数()f x 在[1，+∞）上是减函数．举一反三：1.求函数2323x x y -+-=的单调区间.【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减. 14(0,3]【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2+3x-2， y=3u ；[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域. 设u=-x 2+3x-2， y=3u ，其中y=3u 为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2x ∈-∞上单增，u=-x 2+3x-2在3[,)2x ∈+∞上单减，则2323x x y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减.【变式1】求函数2-2()(01)x x f x a a a =>≠其中，且的单调区间.【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为增函数，内函数u=x 2-2x在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()(-1)x x f x a =∞在区间，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数；当0<a<1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为减函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()xxf x a =在区间(1)-∞，上为增函数，在区间[)1,+∞上为减函数.例4．（2014年河南郑州月考）已知函数, 2()(3)2,2x a x f x a x x ⎧≥=⎨-+<⎩为R 上的增函数，则实数a 取值的范围是．【思路点拨】由题意可得2130(3)22a a a a ⎧>⎪->⎨⎪≥-⋅+⎩，由此解得a 的范围．【答案】[2，3）【解析】由于函数, 2()(3)2,2x a x f x a x x ⎧≥=⎨-+<⎩为R 上的增函数，可得 2130(3)22a a a a ⎧>⎪->⎨⎪≥-⋅+⎩，解得2≤a ＜3，故答案为[2，3）．例5．判断下列各数的大小关系：(1)1.8a与1.8a+1； (2)24-231(),3,()331(3)22.5，(2.5)0， 2.51()2(4)0,1)a a >≠【思路点拨】利用指数函数的性质去比较大小。

【高中数学】指数函数

高中数学学科
A．a＞b＞c
B．a＞c＞b
C．c＞a＞b
D．b＞c＞a
解析：选 A 由 0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知 0.40.2＞0.40.6，即 b＞c；
因为 a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以 a＞b.综上，a＞b＞c.
1 4．(2019·南宁调研)函数 f(x)＝ 2 xx2 的单调递增区间是( )
高中数学学科
指数函数
一、基础知识
1．指数函数的概念函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)叫做指数函数，其中指数 x 是自变量，函数的定义域是 R，a 是底数．形如 y＝kax，y＝ax＋k(k∈R 且 k≠0，a>0 且 a≠1)的函数叫做指数型函数，不是指数函数． 2．指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象与性质
(1)若 a＝－1，求 f(x)的单调区间；
高中数学学科
(2)若 f(x)有最大值 3，求 a 的值．
1 [解] (1)当 a＝－1 时，f(x)＝ 3 －x2－4x＋3 ，
令 g(x)＝－x2－4x＋3，由于 g(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，
1 而 y＝ 3 t 在 R 上单调递减，所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，
研究.
二、常用结论
指数函数图象的特点－1，1
(1)指数函数的图象恒过点(0,1)，(1，a)， a ，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．
1 (2)函数 y＝ax 与 y＝ a x(a>0，且 a≠1)的图象关于 y 轴对称． (3)底数 a 与 1 的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当 a>1 时，指数函数的图象“上升”；当 0<a<1 时，指数函数的图象“下降”．

人教高中数学必修二B版《指数与指数函数》指数函数、对数函数与幂函数说课复习(指数函数的性质与图像)

5 -3
8
与 1;
.
分析:若两个数是同底指数幂,则直接利用指数函数的单调性比
较大小;若不同底,一般用中间值法.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答
3
4
解:(1)∵0< <1,
3
∴y= 4 在定义域 R 内是减函数.
3 -1.8
3 -2.6
又∵-1.8>-2.6,∴
<
.
4
4
5
(2)∵0< <1,
1
(a>0,且

a≠1)的图像关于 y 轴对
称,分析指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图像时,需找三个关键
点:(1,a),(0,1),
1
-1,
.
③指数函数的图像永远在 x 轴的上方.当 a>1 时,图像越接近于
y 轴,底数 a 越大;当 0<a<1 时,图像越接近于 y 轴,底数 a 越小.
解:因为y=(a2-3a+3)ax是指数函数,
所以
2 -3 + 3 = 1,
> 0,且 ≠ 1,
所以 a=2.
解得
= 1 或 = 2,
> 0,且 ≠ 1,
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答
当堂检测
反思感悟1.判断一个函数是指数函数的方法:
(1)看形式:即看是否符合y=ax(a>0,a≠1,x∈R)这一结构形式.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答

高中数学必修1指数函数的基本性质

高中数学必修1指数函数的基本性质指数函数是高中数学中的重要概念之一。

本文将介绍指数函数的基本性质，以帮助理解和应用该函数。

1. 指数函数的定义指数函数是以底数为 $a$ 的指数形式表示的函数，通常写作 $y = a^x$。

其中，底数 $a$ 是一个常数，称为底数；$x$ 是自变量，表示指数；$y$ 是因变量，表示函数值。

2. 指数函数的图像指数函数的图像特点如下：- 当底数 $a > 1$ 时，指数函数是递增函数。

图像在 $x$ 轴的右侧；当 $a < 1$ 时，指数函数是递减函数。

图像在 $x$ 轴的左侧。

- 当 $a > 1$ 时，图像的增长速度逐渐加快；当 $0 < a < 1$ 时，图像的增长速度逐渐减慢。

- 当 $a > 1$ 时，图像在 $y$ 轴上方向无界；当 $0 < a < 1$ 时，图像在 $y$ 轴下方向无界。

3. 指数函数的基本性质指数函数具有以下基本性质：- 任何实数 $x$ 的 $0$ 次方等于 $1$，即 $a^0 = 1$。

- 指数函数的定义域是所有实数，即 $(-\infty, \infty)$。

- 当底数 $a > 0$ 且不等于 $1$ 时，指数函数的值域是 $(0,+\infty)$；当底数 $a < 0$ 时，指数函数的值域是 $(-\infty, 0)$。

- 指数函数的零点不存在。

- 当底数 $a > 1$ 时，指数函数在 $x$ 轴的右侧具有水平渐近线$y = 0$；当 $0 < a < 1$ 时，指数函数在 $x$ 轴的右侧具有水平渐近线 $y = 0$。

4. 指数函数的特殊性质指数函数还具有以下特殊性质：- 当底数 $a > 1$ 时，指数函数在 $x = 0$ 处有一个特殊点 $(0, 1)$。

- 当底数 $a < 0$ 时，指数函数的图像不完整，因为指数函数只有在底数为正数的情况下定义。

高中数学中的指数与对数函数的性质

高中数学中的指数与对数函数的性质指数与对数函数是高中数学中重要的概念，它们在数学和实际生活中都具有广泛的应用。

本文将探讨指数与对数函数的性质，包括定义、图像、性质以及应用等方面。

一、指数函数的性质指数函数是以底数为常数的幂的形式表示的函数，其中底数是一个正实数，指数是自变量。

指数函数的一般形式为：f(x) = a^x，其中a为底数，x为指数。

1. 定义和图像指数函数的定义域是全体实数，值域是正实数。

当底数a大于1时，指数函数是递增函数；当底数a介于0和1之间时，指数函数是递减函数。

指数函数的图像特点是从左下方向右上方逼近x轴，并且永远不会与x轴相交。

当底数a等于1时，指数函数 f(x) = 1^x = 1，为常函数。

2. 性质（1）指数函数的基本性质：f(x) = a^x，其中a为正实数且不等于1。

当a>1时，函数f(x)是递增函数；当0<a<1时，函数f(x)是递减函数。

当a=1时，f(x)=1^x=1，为常函数。

（2）指数运算法则：对于指数函数，指数运算有以下法则：a^m * a^n = a^(m+n)(a^m)^n = a^(m*n)(a*b)^m = a^m * b^m（3）特殊指数函数的性质：a^0 = 1 （其中a为正实数，且a≠0）a^(-n) = 1/(a^n) （其中a为正实数，且a≠0）a^(1/n) = 平方根a （其中a为正实数）a^m * a^(-m) = a^0 = 13. 应用指数函数的应用非常广泛，例如：（1）财务增长和投资回报的计算。

（2）物质的衰变和放射性的测量。

（3）自然生长和人口增长的模拟。

（4）科学实验数据的分析。

（5）信号传输和电磁波的分析等。

二、对数函数的性质对数函数是指以某个正实数为底数，使得指数等于给定数的函数。

对数函数的一般形式为：f(x) = loga(x)，其中a为底数，x为实数。

1. 定义和图像对数函数的定义域是正实数，值域是全体实数。

高中数学《指数函数》ppt课件

课件•指数函数基本概念与性质•指数函数运算规则与技巧•指数函数在生活中的应用举例•指数函数与对数函数关系探讨目录•指数方程和不等式求解技巧•总结回顾与拓展延伸01指数函数基本概念与性质指数函数定义及图像特点指数函数定义形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数称为指数函数。

指数函数图像特点当a>1时，图像上升；当0<a<1时，图像下降。

图像均经过点(0,1)，且y轴为渐近线。

指数函数性质分析指数函数的值域为(0,+∞)。

当a>1时，指数函数在R上单调递增；当0<a<1时，指数函数在R上单调递减。

指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

指数函数没有周期性。

值域单调性奇偶性周期性常见指数函数类型及其特点自然指数函数底数为e（约等于2.71828）的指数函数，记为y=e^x。

其图像上升速度最快，常用于描述自然增长或衰减现象。

幂指数函数形如y=x^n（n为实数）的函数，当n>0时图像上升，当n<0时图像下降。

特别地，当n=1时，幂指数函数退化为线性函数y=x。

对数指数函数底数为a（a>0且a≠1）的对数函数和指数函数的复合函数，记为y=log_a(a^x)=x。

其图像为一条直线，斜率为1，表示输入与输出之间呈线性关系。

复合指数函数由多个基本指数函数通过四则运算组合而成的复杂函数。

其性质取决于各基本函数的性质及组合方式。

02指数函数运算规则与技巧$a^m times a^n =a^{m+n}$，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

乘法法则除法法则幂的乘方法则$a^m div a^n =a^{m-n}$，同底数幂相除，底数不变，指数相减。

$(a^m)^n =a^{m times n}$，幂的乘方，底数不变，指数相乘。

030201同底数指数运算法则$a^m times b^m =(a times b)^m$，不同底数幂相乘，指数不变，底数相乘。

乘法法则$a^m div b^m =(a div b)^m$，不同底数幂相除，指数不变，底数相除。

高一数学：指数函数及其性质

高一数学：指数函数及其性质
目录
• 引言 • 指数函数的基本性质 • 指数函数的运算性质 • 指数函数的应用举例 • 指数函数的深入探究 • 复习与总结
01
引言
Chapter
指数函数的概念
指数函数是一种特殊的函数形式，形如$y=a^x$（ $a>0$，$a≠1$）的函数叫做指数函数。
指数函数中的自变量$x$位于指数位置，而底数$a$是一个大于0且不等于1的常数。
指数函数与对数函数的关系
01
互为反函数
指数函数和对数函数是一对互为反函数的函数，它们的图像关于直线
y=x对称。这意味着对于任意的x和y，如果y是指数函数的结果，那么x
就是对数函数的结果；反之亦然。
02
转换关系
通过指数函数和对数函数之间的转换关系，可以将一些复杂的问题简化
。例如，在解决与复利、放射性衰变等相关的问题时，可以利用对数性
02
掌握运算法则
熟练掌握指数运算法则，并能够灵活运用。
03
多做练习题
通过多做练习题来加深对知识点的理解和记忆，提高解题能力。
04
及时复习总结
学习完一个知识点后要及时复习总结，形成自己的知识体系。
THANKS
感谢观看
，即(am)n=am×n。
幂的开方
对于指数函数的开方运算，一般需先计算出指数函数的值再进行开方运算，但也可通过换元法或其他技巧进行简化计算。
复合幂运算
对于复杂的幂运算，如幂的乘方再开方等，需根据运算优先级和结合律进行计算，也可通过换元法或其他技巧进行简化计算。
04
指数函数的应用举例
Chapter
指数函数的除法运算

指数函数高三知识点总结

指数函数高三知识点总结指数函数是高中数学中的一个重要章节，它在解决实际问题和研究自然科学中起着重要的作用。

下面将对指数函数的相关知识进行总结。

一、指数函数的定义指数函数是以指数为自变量，以底数为底的函数，通常写作y = a^x，其中a为底数，x为指数，y为函数值。

指数函数是一种特殊的幂函数，当底数a>0且a≠1时，其函数图像随着指数的变化呈现出不同的特征。

二、指数函数图像的性质1. 当0<a<1时，指数函数的图像在(−∞，+∞)上递减，并且在x 轴上方逐渐逼近x轴。

2. 当a>1时，指数函数的图像在(−∞，+∞)上递增，并且在x轴上方逐渐逼近y轴。

3. 当a=1时，指数函数的图像是一条水平直线，函数值始终为1。

三、指数函数的基本性质1. 指数函数的定义域为全体实数，值域为正实数。

2. 对于任意实数x1和x2，若x1>x2，则a^x1>a^x2。

3. 指数函数f(x) = a^x是一种连续函数，且在整个定义域上都是可导的。

四、指数函数的常用运算法则1. 乘法法则：a^x * a^y = a^(x+y)。

2. 除法法则：(a^x)/(a^y) = a^(x-y)，其中a≠0。

3. 幂法则：(a^x)^y = a^(x*y)。

4. 开方法则：a^(x/y) = (a^x)^(1/y)，其中a>0且a≠1。

五、指数函数在实际问题中的应用1. 物质的放射性衰变：放射性元素的衰变过程可以用指数函数来描述。

例如，放射性元素的质量随时间的变化可以用指数函数来描述。

2. 经济增长和衰退：经济发展中的增长和衰退也可以用指数函数来模拟。

例如，国内生产总值的增长率可以建立指数函数模型。

3. 科学实验中的因变量变化：某些科学实验中，因变量的变化过程可以用指数函数来表示。

例如，溶解速率随时间的变化。

六、指数函数的解析式1. 指数函数的解析式一般形式为y = a^x，其中a为底数，x为指数。

指数函数的图象与性质指数函数知识梳理指数函数运算法则公式

指数函数的图象与性质•指数函数y=a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：0<a<1 a>1 图像图像定义域R值域（0，+∞）恒过定点图像恒过定点（0,1），即当x等于0时，y=1单调性在（∞，+∞）上是减函数在（∞，+∞）上是增函数函数值的变化规律当x<0时，y>1 当x<0时，0<y<1当x=0时，y=1 当x=0时，y=1当x>0时，0<y<1 当x>0时，y>1•底数对指数函数的影响：①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a>l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0<a<l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴．②底数对函数值的影响如图．③当a>0，且a≠l时，函数与函数y=的图象关于y轴对称。

利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值，•指数函数图象的应用：函数的图象是直观地表示函数的一种方法．函数的很多性质，可以从图象上一览无余．数形结合就是几何与代数方法紧密结合的一种数学思想．指数函数的图象通过平移、翻转等变可得出一般函数的图象．利用指数函数的图象，可解决与指数函数有关的比较大小、研究单调性、方程解的个数、求值域或最值等问题．高中数学必修之指数函数知识梳理知识点1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，1/2，1/3的指数函数的图象.3体会指数函数是一类重要的函数模型．知识梳理1.根式的性质2．有理指数幂考点1：指数幂的运算[规律方法] 1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．考点2：指数函数的图象及应用[规律方法]指数函数图象的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0,1) ，【1，1/a】(2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.[规律方法] 1.比较指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．3．探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．总结思想与方法1．根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．2．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较。

北师大版高中数学课件第三章 §3 第1课时指数函数的概念、图象与性质

无意义;
二、指数函数的图象和性质
1.指数函数的图象和性质
a>1
图象
0<a<1
(1)定义域:R
(2)值域:(0,+∞)
(3)过定点(0,1),即x=0时,y=1
(4)当x<0时,0<y<1;
当x>0时,y>1
性质
(5)在R上是增函数
当x值趋近于正无穷大时,函数值
趋近于正无穷大;
当x值趋近于负无穷大时,函数值
方部分,并保留y=f(x)的图象在x轴上及其上方部分即可得到函数y=|f(x)|的
图象.
②将函数y=f(x)的图象在y轴右侧的部分沿y轴翻折到y轴左侧,替代原y轴左
侧部分,并保留y=f(x)的图象在y轴上及其右侧的部分即可得到函数y=f(|x|)
的图象.
(3)利用变换作图法作图要注意以下两点:
①选择哪个指数函数作为起始函数;
数函数既不是奇函数,也不是偶函数.
2.指数函数的图象永远在x轴的上方.底数越大,图象越高,简称“底大图高”.
微判断
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画“×”.
(1)指数函数y=mx(m>0,且m≠1)是R上的增函数.(
)
(2)指数函数y=ax(a>0,且a≠1)既不是奇函数,也不是偶函数.(
是
.
解析∵当x+1=0,即x=-1时,f(-1)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3的图象
恒过点(-1,4).
答案(-1,4)
反思感悟指数型函数图象过定点问题的解法
因为函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象恒过点(0,1),所以对于函数

高中数学第二章基本初等函数(ⅰ)2.1.2指数函数及其性质(第1课时)指数函数的图象及性质

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(1)判断一个函数是指数函数的方法 ①看形式：只需判断其解析式是否符合 y＝ax(a>0，且 a≠1)这一结构特征； ②明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．
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解析：选 B.法一：由图象可知③④的底数必大于 1，①②的底
数必小于 1.
作直线 x＝1，在第一象限内直线 x＝1 与各曲线的交点的纵坐
标即各指数函数的底数，则 1＜d＜c，b＜a＜1，从而可知 a，b，
c，d 与 1 的大小关系为 b＜a＜1＜d＜c.
法二：根据图象可以先分两类：
③④的底数大于 1，①②的底数小于 1，再Байду номын сангаас③④比较 c，d 的
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求解指数函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0，1)． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性．
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1．指数函数①f(x)＝mx，②g(x)＝nx 满足不等式 0<m<n<1，则它们的图象是( )
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2．已知 0＜a＜1，b＜－1，则函数 y＝ax＋b 的图象必定不经过
() A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：选 A.函数恒过点(0，1＋b)，因为 b＜－1，所以点(0，1 ＋b)在 y 轴负半轴上．故图象不经过第一象限．
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高中数学_指数函数的图象和性质教学设计学情分析教材分析课后反思

《指数函数的图象和性质》教学设计一、学习目标1.能画出具体指数函数的图象；2.观察指数函数图象，归纳出指数函数的性质，培养解决问题的能力3.通过观察图象、归纳总结指数函数性质的活动，让学生在数学活动中感受数学思想方法之美、体会数学思想方法之重要。

二、数学学科素养1.数学抽象：指数函数的图像与性质；2.逻辑推理：图像平移问题；3.数学运算：求函数的定义域与值域；4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小：5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.三、教学重难点教学重点：指数函数的概念和性质.教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.四、教法与学法教学策略：小组合作讨论策略;讲练有效结合策略;自主探究式学习策略教学手段：多媒体化课件；几何画板3、借助几何画板画出xx x x x x y y y y y y ）（）（41,31,)21(,4,3,2====== 的图象，通过图象不同的变化趋势，可以将底数分为哪两类？底数分为a>1和0<a<14、观察图中的函数图象的位置，公共点，变化趋势，总结共同特征，小组分工分别讨论a>1和0<a<1的图象，汇报小组讨论结果，师生一起画出指数函数图象：)10(<<=a a y x )1(>=a a y x4、请同学们对照x a y =的图象，得出性质归纳：指数函数图象和性质图象，独立思考后回答。

观察图象，做出分类类比、探究，独立思考后由小组讨论，由小组派代表起来发言，说出发现的结果或规律。

由图象总结性质数两种不同的变化趋势，对指数函数分类研究做铺垫。

充分利用信息技术作图，学生对图象认识更加准确直观。

自然的将指数函数分为a>1和0<a<1两类。

让学生经历观察图象、发现规律的过程，目的是让学生通过对函数图象的观察与比较，归纳出指数函数中a 对图象的影响，同时培养学生数形结合地观察、思考5、课件出示：指数函数图象的性质6、完善学案上指数函数的图象与性质 10<<a1 a图象定义域值域性质学生一起回答问题的意识与能力。

指数函数的图像及性质 PPT

面积是多少？（用y 表示面积）
知新益能
1．指数函数定义一般地，函数y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做__指__数__函__数___，其
中__x_为自变量，函数的定义域为_R__.
注意：
1.底数为常数，指数为自变量 2.三个“1”
小试牛刀
下列哪些是指数函数？
(1)y= 2x (3)y=(-2)x (5)y= 2-x (7)y= 2x+1
(2)y= x2 (4)y=-2x (6)y= 22x (8)y= 2x+1
新知 2
一下指数函数的图象。
新知提炼
2．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质
a>1
0<a<1
图象
定义域为_R_；值域为__(0_，__＋__∞__) __
性质
根据指数函数的概念，求函数解析式．例1 指数函数 f ( x) 的图象过点（3 , 27)，求 f (0) , f (1) , f (2) 的值
解：设 f ( x) a x (a 0且a 1)
因为函数 f (x) 过点( 3 , 27 ) 所以有 f (3) 27 ，即a3 27 解得 a 3, 于是 f (x) 3x
过定点__(0_,_1_) ，即_x_＝__0_时，__y＝__1_ 若x>0，则__y_＞__1_；若x>0，则_0_＜__y_＜__1_；若x<0，则_0_＜__y_＜__1_ 若x<0，则_y_＞__1__
在R上是__增__函_数___ 在R上是__减__函__数__
考点突破
指数函数的概念
所以 f (0) 30 1 , f (1) 3 ,
f (2) 32 1 9

高中数学同步教学指数函数的图象及性质

【答案】C 【解析】根据题意画出函数y＝ax＋b－1(a＞0,且a≠1)的大致图象,如图所示.所以0＜a＜1,且f(0)＝1＋b－1＜0,即0＜a＜1, 且b＜0.故选C．
【方法规律】1.无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y ＝ax(a＞0,a≠1)的图象与直线x＝1相交于点(1,a),由图象可知在y 轴右侧,图象从下到上相应的底数由小变大.
指数函数的图象问题
【例 2】若函数 y ＝ ax ＋ b － 1(a ＞ 0 且 a≠1) 的图象经过第
二、三、四象限,则一定有( )
A．0＜a＜1,b＞0
B．a＞1,b＞0
C．0＜a＜1,b＜0
D．a＜1,b＞0
【解题探究】根据题意画出函数y＝ax＋b－1的大致图象,
借助函数的单调性及图象过定点来解决.
2.处理指数函数的图象：①抓住特殊点,指数函数图象过点 (0,1)；②巧用图象平移变换；③注意函数单调性的影响.
2.如图是指数函数①y＝ax,②y＝bx,③y＝cx,④y＝dx的图象, 则a,b,c,d与1的大小关系是( )
A．a＜b＜1＜c＜d B．b＜a＜1＜d＜c C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
【方法规律】1.指数函数的解析式必须具有三个特征：(1) 底数a为大于0且不等于1的常数；(2)指数位置是自变量x；(3)ax 的系数是1.
2.求指数函数的关键是求底数a,并注意a的限制条件.
1．已知指数函数 y＝(2b－3)ax 经过点(1,2)，求 a，b 的值．
【解析】由指数函数定义可知 2b－3＝1，即 b＝2. 将点(1,2)代入 y＝ax，得 a＝2.
3.求函数 y＝12x2－2x－3 的定义域和值域. 【解析】定义域为 R. ∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4， ∴12x2－2x－3≤12－4＝16. 又12x2－2x－3>0， ∴函数 y＝12x2－2x－3 的值域为(0,16].