第5讲 函数的概念学生

第5讲函数的概念

[玩前必备]

1.函数

(1)函数的定义：设集合A是一个非空的数集，对A中的任意数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数.记作y＝f(x)，x∈A.

(2)函数的定义域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域.

(3)函数的值域：所有函数值构成的集合{y|y＝f(x)，x∈A}叫做这个函数的值域.

2.区间

设a，b∈R，且a＜b.

3.

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.

1

2

[玩转典例]

题型一 函数的概念和判断

例1 下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是( ) A.A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1

B.A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：

C.A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝

1x －2

D.A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1 [玩转跟踪]

1.下列图形中，不可能是函数y ＝f (x )的图象的是( )

2.在图(1)(2)(3)(4)中用箭头所标明的A 中元素与B 中元素的对应法则，是不是函数关系？

题型二 同一函数的判断

例2 下列各组函数中，表示同一个函数的是( ) A.y ＝x －1和y ＝x 2－1

x ＋1

B.y ＝x 0和y ＝1

C.f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2

D.f (x )＝(x )2x 和g (x )＝x

(x )2

[玩转跟踪]

1.下列函数完全相同的是( ) A.f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2 B.f (x )＝|x |，g

(x

)

＝x 2

3

C.f (x )＝|x |，g (x )＝x 2

x

D.f (x )＝x 2－9

x －3

，g (x )＝x ＋3

2.下列各组函数中，f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A.f (x )＝x －1与g (x )＝x 2－2x ＋1 B.f (x )＝x 与g (x )＝x 2

x

C.f (x )＝x 与g (x )＝3

x 3 D.f (x )＝x 2－4

x －2与g (x )＝x ＋2

题型三 函数的定义域

例3 (1)函数f (x )＝ln x

x －1＋1

2x 的定义域为( )

A ．(0，＋∞)

B ．(1，＋∞)

C ．(0,1)

D ．(0,1)∪(1，＋∞)

(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，－1

2)

C ．(－1,0)

D ．(1

2

，1)

[玩转跟踪]

1. 已知函数(2)f x +的定义域为[－2，2]，则(1)(1)f x f x -++的定义域为( ) A ．[－1，1] B ．[－2，2] C ．[1，3]

D ．[－1，5]

2.(1)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －1

2)的定义域是________．

(2)函数y ＝

ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4

的定义域为__________________________________．

题型四 求函数的解析式

例4 (1)已知f (2

x

＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.

(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1

x

)·x －1，则f (x )＝________.

(4)已知，对于任意实数x 、y ，等式恒成立，求． [玩转跟踪]

1)0(=f )12()()(+--=-y x y x f y x f )(x f

4

(2)(2013·安徽)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.

(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1

x )＝3x ，则f (x )＝________.

题型五 分段函数

例5 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋1，x ≤－2，x 2＋2x ，－2＜x ＜2，

2x －1，x ≥2.

(1)求f (－5)，f (－3)，f (f (－5

2))的值；

(2)若f (a )＝3，求实数a 的值.

[玩转跟踪]

1.已知函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x －2，|x |≤1，1＋x 2，|x |＞1，则f [f (1

2)]＝________；

2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋1，x ≥0，1|x |

，x ＜0，若f (x )＝2，则x ＝________.

[玩转练习]

1.函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( ) A.{x |x ≤1}

B.{x |x ≥0}

C.{x |x ≥1，或x ≤0}

D.{x |0≤x ≤1}

2.已知函数f (x )＝2x －1，则f (x ＋1)等于( ) A.2x －1 B.x ＋1 C.2x ＋1

D.1