《材料力学》第9章压杆稳定习题解.pdf
第九章压杆稳定习题解
[习题9-1]
在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，
按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式
2
2
l
EI
P cr
。试分析当分别取图
b,c,d 所示坐标系及挠曲线形
状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图
a 情况下的相同，由此所得
cr F 公式又
是否相同。
解：挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。
因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是
)("
x M EIw 。（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("
x M EIw
，显然，这微分方程与（
a ）的微分方程不同。
临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，
与坐标系的选取、挠曲线的
位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：
2
2
l
EI
P cr
。
[习题9-2]图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f
所示杆在中间支承处不能转动）？
解：压杆能承受的临界压力为：22
)
.(l EI
P cr
。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与原压相的相当长度
l 的平方成反比，其中，
为与约束情况有关的长
度系数。（a ）m l 551（b ）m l 9.477.0（c ）m l 5.495.0（d ）m l 422（e ）m
l 88
1（f ）
m l
5.35
7.0（下段）；
m l
5.25
5.0（上段）
故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。
[习题9-3]
图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，
但第一根杆（图a ）的基础放在弹性
地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为
2
min
2
)
.2(l EI P cr
？为什么？并由此判断压杆长因数是否可能大于2。
螺旋千斤顶（图c ）的底座对丝杆（起顶杆）的稳定性有无影响？校核丝杆稳定性时，把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l 的压杆是否偏于安全？
解：临界力与压杆两端的支承情况有关。因为(a)的下支座不同于(b)的下支座，所以它们的
临界力计算公式不同。(b)为一端固定，一端自由的情况，它的长度因素2，其临界
力为：
2
min
2
)
.2(l EI P cr
。但是，(a) 为一端弹簧支座，一端自由的情况，它的长度因素
2，因此，不能用
2
min
2
)
.2(l EI P cr
来计算临界力。
为了考察（a ）情况下的临界力，我们不妨设下支座（B ）的转动刚度l
EI M
C 20
，
且无侧向位移，则：
)
(
)
("
w F x M EIw
cr 令
2
k EI
F cr ，得：2
2
"
k
w k w 微分方程的通解为：
kx B kx
A w cos sin kx Bk kx Ak w
sin cos '
由边界条件：
0x ，0w ，C
F C M w
cr '
；l x
，w
解得：
Ck
F A
cr ，B
，
kl
kl Ck F cr cos sin 整理后得到稳定方程：
20
/tan l
EI C kl kl 用试算法得：
496
.1kl
故得到压杆的临界力：
2
2
2
)
1.2()
496.1(l EI
l
EI
F cr
。
因此，长度因素可以大于2。这与弹性支座的转动刚度
C 有关，C 越小，则值越大。
当0C
时，
。
螺旋千斤顶的底座与地面不是刚性连接，即不是固定的。它们之间是靠摩擦力来维持相对的静止。当轴向压力不是很大，或地面较滑时，底座与地面之间有相对滑动，此时，不能看作固定端；当轴向压力很大，或地面很粗糙时，底座与地面之间无相对滑动，此时，可以看作是固定端。因此，校核丝杆稳定性时，把它看作上端自由，下端为具有一定转动刚度的弹性支座较合适。这种情况，2，算出来的临界力比“把它看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l 的压杆”算出来的临界力要小。譬如，设转动刚度l
EI M
C
20
，
则：
1025.12
1.22
2
弹簧
固端cr cr P P ，弹簧固端
,1025.1cr cr P P 。因此，校核丝杆稳定性时，把它
看作下端固定（固定于底座上）、上端自由、长度为l 的压杆不是偏于安全，而是偏于危险。
[习题9-4]
试推导两端固定、弯曲刚度为
EI ，长度为l 的等截面中心受压直杆的临界应力
cr P 的欧拉公式。
[解]：设压杆向右弯曲。压杆处于临界状态时，两端的竖向反力为cr P ，水平反力为0，约束反力偶矩两端相等，用e M 表示，
下标
e 表示端部end 的意思。若取下截离体为研究对象，则e M 的
转向为逆转。
e cr M x v P x M )()()
()("
x v P M x M EIv cr e e
cr M x v P EIv
)
("
EI
M x v EI
P v
e cr )
("
，令EI P k
cr
2
，则EI
P k
cr
1
2
cr
e P M k
v
k v
2
2
"
上述微分方程的通解为：
cr
e
P M kx
B kx A v
cos sin ,,,,,,,,,,,.(a)
kx Bk kx
Ak v sin cos '
边界条件：①
0x
；0v
：cr
e P M B A 0
cos 0sin 0
；
cr
e P M B
。
②0
x 0'
v
：0sin 0
cos 0
Bk Ak ；0A 。
把A 、B 的值代入（a ）得：
)
cos 1(kx P M v
cr
e kx
k P M v
cr
e sin '
边界条件：③
L x ；0v
：)cos 1(0
kL P M cr e ，0
cos 1kL ④0
x 0'
v
：kL
k P M cr
e sin 0
sin kL 以上两式均要求：
n kL 2，,......)
3,1,0(n
其最小解是：
2kL ，或L
k
2。故有：
EI
P L k
cr
2
2
2
)5.0(，因此：
2
2
)
5.0(L EI
P cr
。
[习题9-5] 长m 5的10号工字钢，在温度为C 0
0时安装在两个固定支座之间，这时杆不受
力。已知钢的线膨胀系数1
07)(10125C l
，GPa E
210。试问当温度升高至多少
度时，杆将丧失稳定性？
解：
[习题9-6] 两根直径为d 的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F 作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F 之临界值的算式（按细长杆考虑），确定最小临界力
cr P 的
算式。
解：在总压力F 作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况：（a ）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳：
（b ）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在自身平面内失稳
失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆组成一组合截面。
（c ）两根立柱一起作为下端固定而上端自由的体系在面外失稳
故面外失稳时
cr P 最小：2
4
3
128l
Ed
P cr
。
[习题9-7] 图示结构ABCD 由三根直径均为d 的圆截面钢杆组成，在B 点铰支，而在A 点和
C 点固定，
D 为铰接点，10d
l 。若结构由于杆件在平面
ABCD 内弹性失稳而丧失承载能
力，试确定作用于结点D 处的荷载F 的临界值。
解：杆DB 为两端铰支
，杆DA 及DC 为一端铰
支一端固定，选取。此结构为超静定结构，当杆DB 失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD 及DC 也失稳时整个结构才丧失承载能力，故
2
024
.36l
EI [习题9-8] 图示铰接杆系ABC 由两根具有相同截面和同样材料的细长杆所组成。若由于杆
件在平面ABC 内失稳而引起毁坏，试确定荷载
F 为最大时的
角（假设2
）。
解：要使设计合理，必使
AB 杆与BC 杆同时失稳，
即：
cos
2
2
,F l EI
P AB
AB
cr sin
2
2
,F l EI
P BC
BC
cr 2
2
cot
)
(
tan
cos
sin BC
AB l l F F )
arctan(cot 2
[习题9-9] 下端固定、上端铰支、长m l 4的压杆，由两根
10号槽钢焊接而成，如图所
示，并符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢，
强度许用应力MPa 170][，试求压杆的许可荷载。
解：查型钢表得：
m
[习题9-10] 如果杆分别由下列材料制成：（1）比例极限MPa P
220，弹性模量GPa E
190的钢；
（2）MPa P
490，GPa E 215，含镍 3.5%的镍钢；（3）
MPa P
20，GPa E
11的松木。
试求可用欧拉公式计算临界力的压杆的最小柔度。解：（1）
（2）
（3）
[习题9-11]两端铰支、强度等级为TC13的木柱，截面为150mm ×150mm 的正方形，长度m l 5.3，强度许用应力MPa 10][。试求木柱的许可荷载。解：
由公式（9-12a ）：
[习题9-12]图示结构由钢曲杆AB 和强度等级为TC13的木杆BC 组成。已知结构所有的连接均为铰连接，在B 点处承受竖直荷载kN F 3.1，木材的强度许用应力MPa 10][。试校核BC 杆的稳定性。解：把BC 杆切断，代之以轴力
N ，则
A
M
1
sin 1cos 13.1C N C N C
C N
cos sin 3
.18
.05.12
2
sin 2
2
C
6
.05
.12
5
.1cos 2
2
C
)
(929.06.08.03
.1kN N
)
(21333340
4012
112
4
3
3
mm bh
I
)
(547.1140
40213333mm A
I i
91
5.216547
.11105.213
i
l 由公式（9—12b ）得：
0597
.05
.21628002800
2
2
MPa
st
597.010
0597.0][][MPa
mm
N
A
N 581.040409292
因为
st ][，所以压杆BC 稳定。
A
[习题9-13] 一支柱由4根mm mm mm 68080的角钢组成（如图），并符合钢结构设计
规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求。支柱的两端为铰支，柱长m l
6，压力为
kN 450。若材料为Q235钢，强度许用应力MPa 170]
[，试求支柱横截面边长a 的尺寸。
解：
（查表：，）
，查表得：
m
4
=
mm
[习题9-14] 某桁架的受压弦杆长
4m,由缀板焊成一体，并符合钢结构设计规范中实腹式
b
类截面中心受压杆的要求，截面形式如图所示，材料为Q235钢，MPa 170][
。若按两
端铰支考虑，试求杆所能承受的许可压力。
解：由型钢表查得角钢：
得查表：
故
[习题9-15] 图示结构中，BC 为圆截面杆，其直径mm d 80；AC 边长mm a 70的正方形截面杆。已知该结构的约束情况为A 端固定，B 、C 为球形铰。两杆的材料均为Q235钢，弹性模量GPa E
210，可各自独立发生弯曲互不影响。
若结构的稳定安全系数
5.2st
n ，
试求所能承受的许可压力。解：BC 段为两端铰支，
1
)
(20096008014.364
164
44
4
mm d
I
2
2
4
23
2
2
2
20002009600/1021014.3mm
mm
mm
N l
EI P cr
kN
N 227.10401040227)
(4165
.2227.1040][kN n P F st
cr BC
AB 杆为一端固定，一端铰支，
7
.0)
(200083370
12
112
4
4
4
mm a
I
kN
N mm
mm
mm
N l EI
P cr 4.939621.93940021002000833/1021014.3)(2
2
4
23
2
2
2
)
(37676
.3755
.24
.939][kN n P F st
cr AC
故kN
F 376][[习题9-16] 图示一简单托架，其撑杆AB 为圆截面木杆，强度等级为
TC15。若架上受集度
为的均布荷载作用，AB 两端为柱形铰，材料的强度许用应力
，
试求撑杆所需的直径d 。
解：取
m m 以上部分为分离体，由
，有
设
，m
则
求出的与所设基本相符，故撑杆直径选用m 。
[习题9-17]
图示结构中杆
AC 与CD 均由Q235钢制成，C ，D 两处均为球铰。已知
mm ，
mm ，
mm ；
，
，
；强度安全
因数
，稳定安全因数。试确定该结构的许可荷载。
解：（1）杆CD 受压力
3F F CD
梁BC 中最大弯矩
3
2F M B
（2）梁BC 中
（3）杆CD
（Q235钢的
)
100P
=
（由梁力矩平衡得）
故，由（2）、（3）可知，kN
F 5.15][[习题9-18] 图示结构中，钢梁
AB 及立柱CD 分别由16号工字钢和连成一体的两根
mm mm mm 56363角钢组成，杆CD 符合钢结构设计规范中实腹式b 类截面中心受压杆的要求。均布荷载集度m kN q /48。梁及柱的材料均为Q235钢，MPa 170][，GPa E
210。试验算梁和立柱是否安全。
解：（1）求多余约束力
CD
F 把CD 杆去掉，代之以约束反力
CD F 。由变形协调条件可知，CD C l w CD
cF
Cq l w w CD
EA l F EI l
F EI ql CD CD AB
CD AB
48384534
A
l F I
l
F I
ql CD
CD AB
CD AB 48384534
查型钢表得：16号工字钢的
4
1130cm I z
，3
141cm
W z
mm mm mm 56363L 形角钢的面积：2
143.6cm A ，4
17.23cm I z
，cm
i z
94.12
4
3
3
4
4
4
286.122001130484001130384400100/485cm
cm
F cm cm
F cm
cm
cm kN CD
CD
弯矩图
-25.000-20.000-15.000-10.000-5.0000.0005.00010.00015.000
0123
4
x(m)
M(kNm)
286
.12200
113048400
1130
384400
100/4853
4
CD CD F F kN CD
CD F F 279.16941.11799203.141592)
(367.118kN F CD
（2）梁的强度校核
A
M 0
4482
12
367.11842
B
R )(8165.36kN R B （↑）)
(8165.36367
.1188165.36448kN R A
AC
段：x x Q 488165.36)(；2
248165.36)(x
x
x M 令0488165
.36)
(x
x Q ，得：当m x
767.0时，
)(119.14767.024767.08165.362
max
m kN M CB
段：
2
24)
2(367.1188165.36)(x
x
x x M x 0 0.767 1 2
3 3.233
4 M
0.000
14.119
12.817
-22.367
12.817
14.119
0.000
m
kN M 367.22||max
因为
MPa
MPa mm
mm N W M z
170][631.1581014110367.22||3
3
6
max
max
所以符合正应力强度条件，即安全。
（3）立桩的稳定性校核
由柔度
10394.12001cm cm i l z 查表得稳定因素
536
.0因为
MPa mm
N
A
F N 343.9610286.121183672
2，
MPa
st
12.91170536.0]
[][st ][，而且，
%
5%
73.512
.9112
.91343
.96所以压杆会失稳。不安全。
奥林匹克训练题库·条件分析(word版)
条件分析 1甲、乙两队进行象棋对抗赛，甲队的三人是张、王、李，乙队的三人是赵、钱、孙。按照以往的比赛成绩看，张能胜钱，钱能胜李，李能胜孙，但是第一轮比赛他们都没有成为对手。第一轮比赛的对手分别是谁对谁？ 2A， B， C， D四名学生猜测自己的数学成绩。 A说:“如果我得优，那么B也得优。” B说:“如果我得优，那么C也得优。” C说:“如果我得优，那么D也得优。” 结果大家都没说错，但是只有两个人得优。谁得了优？ 3某校五年级三个班举行乒乓球混合双打表演，每班男女生各出一名，男生是甲、乙、丙，女生是A，B，C。规定:同班的男女生不能配对。已知: 第一盘:甲和A对丙和B； 第二盘:丙和C对甲乙的同班女生。 问:甲的同班女生是谁？ 4有三对夫妇在一次聚会上相遇，他们是X，Y，Z先生和A，B，C女士，其中X先生的夫人和C女士的丈夫是初次见面，B女士的丈夫和A女士也是初次见面，Z先生认识所有的人。问:哪位先生和哪位女士是夫妇？ 5甲、乙、丙三位老师分别上语文、数学、外语课。 (1)甲上课全用汉语； (2)外语老师是一个学生的哥哥； (3)丙是一位女教师，她比数学老师活泼。 问:三位老师各上什么课？ 6刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛。事先规定:兄妹二人不许搭伴。 第一盘:刘刚和小丽对李强和小英；
第二盘:李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。 问:三个男孩的妹妹分别是谁？ 7徐、王、陈、赵四位师傅分别是工厂的木工、车工、电工和钳工，他们都是象棋迷。 (1)木工只和车工下棋，而且总是输给车工； (2)王、陈两位师傅是邻居； (3)陈师傅与电工下棋互有胜负； (4)徐师傅比赵师傅下的好； (5)木工的家离工厂最远。 问:徐、王、陈、赵四位师傅各是什么工种？ 8甲、乙、丙三位老师分别讲授数学、物理、化学、生物、语文和历史，每位老师教两门课。化学老师和数学老师住在一起，甲老师最年青，数学老师和丙老师爱下象棋，物理老师比生物老师年长、比乙老师年青，三人中最年长的老师住家比其他二位老师远。问:三位老师各自分别教哪两门课？ 9甲、乙、丙、丁每人只会中、英、法、日四种语言中的两种，其中有一种语言只有一人会说。他们在一起交谈非常有趣: (1)乙不会说英语，当甲与丙交谈时，却请他当翻译； (2)甲会日语，丁不会日语，但他们却能相互交谈； (3)乙、丙、丁找不到共同会的语言； (4)没有人同时会日、法两种语言。 问:甲、乙、丙、丁各会哪两种语言？ 10一天，老师让小马虎把甲、乙、丙、丁、戊的作业本带回去，他见到这五人后就一人给了一本，结果全发错了。现在知道: (1)甲拿的不是乙的，也不是丁的； (2)乙拿的不是丙的，也不是丁的； (3)丙拿的不是乙的，也不是戊的；
《材料力学》压杆稳定习题解
第九章 压杆稳定 习题解 [习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式2 2l EI P cr π= 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形 状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得cr F 公式又是否相同。 解： 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 )("x M EIw -=。（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw =，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：2 2l EI P cr π=。
[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：压杆能承受的临界压力为：2 2).(l EI P cr μπ=。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆， 它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比，其中，μ为与约束情况有关的长 度系数。 （a ）m l 551=?=μ （b ）m l 9.477.0=?=μ （c ）m l 5.495.0=?=μ （d ）m l 422=?=μ （e ）m l 881=?=μ （f ）m l 5.357.0=?=μ（下段）；m l 5.255.0=?=μ（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。 [习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2 min 2) .2(l EI P cr π= ？为什么？并由此判断压杆长因数μ是否可能大于2。
奥林匹克训练题库·排列(word版)
排列 39 某铁路线共有14个客车站，这条铁路共需要多少种不同的车票？ 40 有红、黄、蓝三种信号旗，把任意两面分上、下挂在旗杆上表示不同信号，一共可以组成多少种不同信号？ 41 有五种颜色的小旗，任意取出三面排成一行表示各种 42(1)有五本不同的书，分别借给3名同学，每人借一本，有多少种不同的借法？(2)有三本不同的书被5名同学借走，每人最多借一本，有多少种不同的借法？ 43张华、李明等七个同学照像，分别求出在下列条件下有多少种站法: (1)七个人排成一排； (2)七个人排成一排，张华必须站在中间； (3)七个人排成一排，张华、李明必须有一人站在中间； (4)七个人排成一排，张华、李明必须站在两边； (5)七个人排成一排，张华、李明都没有站在边上； (6)七个人排成两排，前排三人，后排四人； (7)七个人排成两排，前排三人，后排四人，张华、李明不在同一排。 44甲、乙、丙、丁四人各有一个作业本混放在一起，四人每人随便拿了一本。问: (1)甲拿到自己作业本的拿法有多少种？ (2)恰有一人拿到自己作业本的拿法有多少种？ (3)至少有一人没拿到自己作业本的拿法有多少种？ (4)谁也没拿到自己作业本的拿法有多少种？ 45用0，1，2，3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？ 46用数码0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？
47在所有的三位数中，各位数字之和是19的数共有多少个？ 48某管理员忘记了自己小保险柜的密码数字，只记得是由四个非0数码组成，且四个数码之和是9。为确保打开保险柜至少要试多少次？ 49恰有两位数字相同的三位数共有多少个？ 50自然数8336，8545，8782有一些共同特征，每个数都是以8开头的四位数，且每个数中恰好有两个数字相同。这样的数共有多少个？ 51在1000到1999这1000个自然数中，有多少个千位、百位、十位、个位数字中恰有两个相同的数？ 52从1，3，5中任取两个数字，从2，4，6中任取两个数字，共可组成多少个没有重复数字的四位数？ 53从1，3，5中任取两个数字，从0，2，4中任取两个数字，共可组成多少个没有重复数字的四位数？其中偶数有多少个？ 54用1，2，3，4，5这五个数码可以组成12020有重复数字的四位数，将它们从小到大排列起来，4125是第几个？ 55在所有的三位自然数中，组成数字的三个数码既有大于5的数码，又有小于5的数码的自然数共有多少个？ 56在前2020个自然数中，含有数码1的数有多少个？ 57在前10000个自然数中，不含数码1的数有多少个？ 58用1～7可以组成多少个没有重复数字，且能被11整除的七位数？
《材料力学》压杆稳定习题解
第九章 压杆稳定 习题解 [习题9-1] 在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式2 2l EI P cr π= 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形 状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得cr F 公式又是否相同。 解： 挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 )("x M EIw -=。（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw =，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：2 2l EI P cr π=。 ?
[习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动） 解：压杆能承受的临界压力为：2 2).(l EI P cr μπ=。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆， 它们能承受的压力与 原压相的相当长度l μ的平方成反比，其中，μ为与约束情况有关的长 度系数。 （a ）m l 551=?=μ （b ）m l 9.477.0=?=μ （c ）m l 5.495.0=?=μ （d ）m l 422=?=μ （e ）m l 881=?=μ \ （f ）m l 5.357.0=?=μ（下段）；m l 5.255.0=?=μ（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。 [习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a ）的基础放在弹性地基上，第二根杆（图b ）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为2 min 2).2(l EI P cr π=
奥林匹克训练题库智巧问题
五智巧问题 1 某国的货币有1元、50分、20分、10分、5分、2分、1分共七种硬币（1元=100分）。某人带了9枚硬币去买东西，凡不超过2元的东西他都能拿出若干枚硬币支付，钱数正好，无需找钱。这9枚硬币的总面值最多是多少？最少是多少？ 2 A，B，C，D四人进行围棋比赛，每人都要与其他三人各赛一盘。比赛是在两张棋盘上同时进行，每天每人只赛一盘。第一天A与C比赛，第二天C与D比赛，第三天B与谁比赛？ 3 有20间房子，有的开着灯，有的关着灯。在这些房子里的人都希望与大多数房子保持一致。现在，从第1间房子里的人开始，如果其余19间房子的灯开着的多，就把灯打开，否则就把灯关上。假设最开始时开灯与关灯的房子各10间，并且第1间房子的灯开着。那么，这20间房子里的人轮完一遍后，开着灯的房子有几间？ 4 甲、乙、丙三名选手参加长跑比赛。起跑后甲处在第一的位置，在整个比赛过程中，甲与乙、丙的位置次序共交换了7次。比赛结果甲是第几名？ 5 正义路小学共有1000名学生，为支持“希望工程”，同学们纷纷捐书，有一半男生每人捐了9本书，另一半男生每人捐了5本书；一半女生每人捐了8本书，另一半女生每人捐了6本书。全校学生共捐了多少本书？ 6 某杂志每期定价元，全年共出12期。某班部分同学订半年，其余同学订全年，共需订费720元；如果订半年的改订全年，订全年的改订半年，那么共需603元。问：这个班共有多少名学生？ 7 某次猜谜语比赛，谜语按难易分两类，每人可以猜三条。每猜对一条较难的谜语得3分，每猜对一条较容易的谜语得1分。结果有8人得1分、7人得2分、6人得3分、5人得4分、4人得5分。恰好猜对两条谜语的有几人？ 8 一排六棵树（见下图）分别是六个人栽的，A，B，C三人栽的是大树，D，E，F三人栽的是小树。如果A与E栽的树相隔两棵树，B与F栽的树相隔一棵树，那么C栽的树是左起第几棵？
《材料力学》第9章压杆稳定习题解
第九章压杆稳定习题解 [ 习题9-1] 在§9-2 中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线 形状，导出了临界应力公式 2 EI P cr 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形2 l 状时，压杆在F作用下的挠曲线微分方程是否与图 a 情况下的相同，由此所得F cr 公式又cr 是否相同。 解：挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b）图与（a）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 " M x EIw ( ) 。（c）、(d) 的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程： " M x EIw ( )，显然，这微分方程与（a）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的 位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即： 2 EI P cr 。 2 l
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[ 习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图 f 所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：压杆能承受的临界压力为： 2 EI P cr 。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，2 ( .l) 它们能承受的压力与原压相的相当长度l 的平方成反比，其中，为与约束情况有关的长度系数。 （a）l 1 5 5m （b）l 0.7 7 4. 9m （c）l 0.5 9 4.5m （d）l 2 2 4m （e）l 1 8 8m （f ）l 0.7 5 3.5m （下段）；l 0.5 5 2. 5m （上段） 故图 e 所示杆F最小，图 f 所示杆F cr 最大。 cr [ 习题9-3] 图a,b 所示的两细长杆均与基础刚性连接，但第一根杆（图a）的基础放在弹性 地基上，第二根杆（图b）的基础放在刚性地基上。试问两杆的临界力是否均为P cr 2 EI min 2 ( 2.l ) ？为什么？并由此判断压杆长因数是否可能大于2。
奥林匹克训练题库找规律
一找规律 1．根据下列各串数的规律，在括号中填入适当的数： （1）1，4，7，10，（），16，…… （2）2，3，5，8，13，（），34，…… （3）1，2，4，8，16，（），…… （4）2，6，12，20，（），42，…… 2．观察下列各串数的规律，在括号中填入适当的数： （1）2，3，5，7，11，13，（），19，…… （2）1，2，2，4，8，32，（），…… （3）2，5，11，23，47，（），…… （4）6，7，3，0，3，3，6，9，5，（），…… 3．观察下列各串数的规律，并在每小题的两个括号内填入适当的数： （1）1，1，2，4，3，9，4，16，（），25，6，（），…… （2） 15， 16， 13， 19， 11， 22，（）， 25， 7，（），…… 4．按规律填上第五个数组中的数： {1，5，10}{2，10，20}{3，15，30}{4，20，40}{ } 5．下面各列算式分别按一定规律排列，请分别求出它们的第40个算式： （1）1＋1，2＋3，3＋5，1＋7，2＋9， 3＋11，1＋13，2＋15， （2）1×3，2×2，1×1，2×3，1×2，2×1，1×3，…… 6．下面两张数表中的数的排列存在某种规律，你能找出这个规律，并根据这个规律把括号里的数填上吗？ （1）2 6 7 11 （2）2 3 1
4 4 ( ) 1 3 5 2 3 5 5 6 4 ( ) 3 7．下面各列数中都有一个“与众不同”的数，请将它们找出来： （1）3，5，7，11，15，19，23，…… （2）6，12，3，27，21，10，15，30，…… （3）2，5，10，16，22，28，32，38，24，…… （4）2，3，5，8，12，16，23，30，…… 8．下图所示的两组图形中的数字都有各自的规律，先把规律找出来，再把空缺的数字填上： （1） （2） 9．观察下面图形中的数的规律，按照此规律，“？”处是几？ 10．根据左下图中数字的规律，在最上面的空格中填上合适的数。
奥林匹克训练题库· 不定方程
三不定方程 1装某种产品的盒子有大、小两种，大盒每盒装11个，小盒每盒装8个，要把89个产品装入盒内，要求每个盒子都恰好装满，需要大、小盒子各多少个？ 2有150个乒乓球分装在大小两种盒子里，大盒装12个，小盒装7个。问：需要大、小盒子各多少个才能恰好把这些球装完？ 3大客车有39个座位，小客车有30个座位，现有267位乘客，要使每位乘客都有座位且没有空座位。问：需大、小客车各几辆？ 4某商店卖出若干23元和16元一支的钢笔，共收入500元，问：这两种钢笔共卖出多少支？ 5小明花4.5元钱买了0.14元一支的铅笔和0.67元一支的圆珠笔共17支。问：铅笔和圆珠笔各几支？ 6小明把他生日的月份乘以31，再把生日的日期乘以12，然后把两个乘积加起来刚好等于400。你知道小明的生日是几月几日吗？ 7在一次活动中，丁丁和冬冬到射击室打靶，回来后见到同学“小博士”，他们让“小博士”猜他们各命中多少次。“小博士”让丁丁把自己命中的次数乘以5，让冬冬把自己命中的次数乘以4，再把两个得数加起来告诉他，丁丁和冬冬算了一下是31，“小博士”正确地说出了他们各自命中的次数。丁丁和冬冬分别命中几次？ 8甲、乙二人植树，用每天植18棵，乙每天植21棵，两人共植了135棵树。问：甲、乙二人各干了几天？ 9有两种不同规格的油桶若干个，大的能装8千克油，小的能装5千克油，44千克油恰好装满这些油桶。问：大、小油桶各几个？ 10参加围棋比赛的八段、九段选手有若干名，他们的段位数字加在一起正好是100段。问：八段、九段选手各几名？ 11有 104个同学去操场踢足球和打排球，每个足球场地22人，每个排球场地12人。问：他们占用了足球场地和排球场地各几个？ 12甲、乙二人搬砖，甲搬的砖数是18的倍数，乙搬的砖数是23的倍数，两人共搬了300块砖。问：甲、乙二人谁搬的砖多？多几块？ 1314个大、中、小号钢珠共重100克，大号钢珠每个重12克，中号每个重8克，小号每个重5克。问：大、中、小号钢珠各多少个？
奥林匹克训练题库·相遇问题(word版)
相遇问题 41 甲车每时行 40千米，乙车每时行 60千米，甲车从 A地、乙车从B地同时出发相向而行，两车相遇后4.5时，甲车到达B地，A，B两地相距多少千米？ 42 A，B两村相距 2800米，小明从 A村步行出发 5分后，小军骑车从B村出发，又经过10分两人相遇。已知小军骑车比小明步行每分多行130米，小明步行每分行多少米？ 43 甲、乙同时从 A， B两地相向走来。甲每时走 5千米，两人相遇后，乙再走10千米到A地，甲再走1.6时到B地。乙每时走多少千米？ 44 甲、乙沿同一公路相向而行，甲的速度是乙的1.5倍。已知甲上午8点经过邮局门口，乙上午10点经过邮局门口，问:甲、乙在中途何时相遇？ 45 一列客车和一列货车同时从两地相向开出，经过18时两车在某处相遇，已知客车每时行50千米，货车每时比客车少行8千米，货车每行驶3时要停驶1时。问:两地之间的铁路长多少千米？ 46 甲、乙两车的速度分别为 52千米／时和 40千米／时，它们同时从甲地出发到乙地去，出发后6时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。 47 甲、乙二人同时从学校出发到少年宫去，已知学校到少年宫的距离是2400米，甲到少年宫后立即返回学校，在距离少年宫300米处遇到乙，此时他们离开学校已30分钟。问:甲、乙每分钟各走多少米？ 48 甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A，B两地的距离。 49 甲、乙两车同时从两地相向而行，2.5时后相遇。已知甲车速度是乙 50 甲、乙两站从上午6时开始每隔8分同时相向发出一辆公共汽车，汽车单程运行需45分。有一名乘客乘坐6点16分从甲站开出的汽车，途中他能遇到几辆从乙站开往甲站的公共汽车？ 51 两辆汽车从两地同时出发，相向而行。已知甲车行完全程比乙车多用1.5时，甲车每时行40千米，乙车每时行50千米，出发后多长时间两车相遇？
奥林匹克训练题库·正方形与长方形(word版)
正方形与长方形 1左下图多边形的每条边都垂直于它的邻边，且所有的边长都相等，周长是108cm，这个图形的面积是多少平方厘米？ 2用四个相同的长方形拼成一个面积为100cm2的大正方形(见右上图)，每个长方形的周长是多少厘米？ 3有一块黑白格子布(右图)，白色大正方形和白色小正方形的面积之比为1∶4。问:这块布中白色面积占总面积的几分之几？ 4有大、小两个长方形(右图)，对应边的距离均为1cm，已知两个长方形之间部分的面积是16cm2，且小长方形的长是宽的2倍，求大长方形的面积。 5从一块正方形木板上锯下宽5cm的一个木条后，剩下的面积是750cm2。问:锯下的木条面积是多少？ 下的面积是9m2，求剩下部分的周长。 7一块长方形纸片，在长边剪去5cm，宽边剪去2cm后(如左下图)，得到的正方形面积比原长方形面积少31cm2。求原长方形纸片的面积。
8用两块长方形纸片和一块正方形纸片拼成一个大正方形(见右上图)，长方形纸片面积分别44cm2与28cm2，原正方形纸片面积是多少平方厘米？ 9左下图的长方形被分割成5个正方形，已知每个大正方形比每个小正方形面积大5cm2，求原长方形的面积。 10右上图的长方形被分割成5个正方形，已知原长方形的面积为120202，求原长方形的长与宽。 11右图的长方形被分割成6个正方形，已知中央小正方形的面积为1cm2，求原长方形的面积。 12用四个一样的长方形和一个小的正方形拼成一个大正方形(左下图)，大、小正方形的面积为别为64cm2和9cm2。问:长方形的宽和长各是多少？ 13用同样大小的长方形小纸片摆成右上图所示图形，已知每张小纸片的宽是12cm，求阴影部分的总面积。 1410个相同的小矩形拼成一个面积为30cm2的大矩形(如右图)。求大矩形的周长。
精选材料力学习题册包括答案第9章压杆稳定.docx
第 九 章 压 杆 稳 定 一、选择题 1、一理想均匀直杆受轴向压力 P=P Q 时处于直线平衡状态。在其受到一微小横向干扰力后 发生微小弯曲变形，若此时解除干扰力，则压杆（ A ）。 A 、弯曲变形消失，恢复直线形状 ； B 、弯曲变形减少，不能恢复直线形状； C 、微弯状态不变； D 、弯曲变形继续增大。 2、一细长压杆当轴向力 P=P Q 时发生失稳而处于微弯平衡状态， 此时若解除压力 P ，则压杆的微 弯变形（ C ） A 、完全消失 B 、有所缓和 C 、保持不变 D 、继续增大 3、压杆属于细长杆，中长杆还是短粗杆，是根据压杆的（ D ）来判断的。 A 、长度 B 、横截面尺寸 C 、临界应力 D 、柔度 A ） 对临界应力的影响。 ； 试判断哪一根最容易失稳。答案： （ a ） 6、两端铰支的圆截面压杆，长 1m ，直径 50mm 。其柔度 为 ( C ) A.60 ； B.66.7 ； C.80 ； D.50 7、在横截面积等其它条件均相同的条件下， 压杆采用图 （ D ）所示截面形状，其稳定性最好。 8、细长压杆的（ A ），则其临界应力σ越大。 A 、弹性模量 E 越大或柔度λ越小； B 、弹性模量 E 越大或柔度λ越大； C 、弹性模量 E 越小或柔度λ越大； D 、弹性模量 E 越小或柔度λ越小； 9、欧拉公式适用的条件是，压杆的柔度（ C ） A 、λ≤ E B 、λ≤ E P s C 、λ≥ E D 、λ≥ E P s B 、材料，长度和约束条件； C 、材料，约束条件，截面尺寸和形状； D 、材料，长度，截面尺寸和形状； 5、图示四根压杆的材料与横截面均相同， 4、压杆的柔度集中地反映了压杆的（A 、长度，约束条件，截面尺寸和形状
初中数学奥林匹克初中训练题五套
数学奥林匹克初中训练题(1) 第 一 试 一. 选择题.(每小题7分,共42分) ( )1.已知33333a b c abc a b c ++-=++,则22()()()()a b b c a b b c -+-+--的值为: (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 ( )2.规定”Δ”为有序实数对的运算,如果(,)a b Δ(,)(,).c d ac bd ad bc =++如果对任意实数,a b 都有(,)a b Δ(,)(,),x y a b =则(,)x y 为: (A)(0,1) (B)(1,0) (C)(1,0)- (D)(0,1)- ( )3.在ΔABC 中,211a b c =+,则∠A: (A)一定是锐角 (B)一定是直角 (C)一定是钝角 (D)非上述答案 ( )4.下列五个命题:①若直角三角形的两条边长为3与4,则第三边长是5;②2();a a =③若点(,)P a b 在第三象限,则点1(,1)P a b --+在第一象限;④连结对角线垂直且相等的四边形各边中点的四边形是正方形;⑤两边及其第三边上的中线对应相等的两个三角形全等.其中正确的命题的个数是: (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个 ( )5.设P 为等腰Rt ΔABC 斜边AB 上或其延长线上一点,22S AP BP =+,那么: (A)22S CP p (B)22S CP = (C)2 2S CP f (D)不确定 ( )6.满足方程222()x y x y xy +=++的所有正整数解有: (A)一组 (B)二组 (C)三组 (D)四组 二. 填空题.(每小题7分,共28分) 1.一辆客车,一辆货车和一辆小轿车在同一条直线上朝同一方向行驶,在某一时刻,货车在中,客车在前,小轿车在后,且它们的距离相等.走了10分钟,小轿车追上了货车;又走了5分钟,小轿车追上了客车.问再过 分钟,货车追上了客车. 2.若多项式2228171642070P a ab b a b =-+--+, 那么P 的最小值是 . 3.如图1, ∠AOB=30O , ∠AOB 内有一定点P,且OP=10.
奥林匹克训练题库·年龄问题(word版)
年龄问题 46 今年小宁9岁，妈妈33岁，再过多少年小宁的岁数是妈妈岁数的1/2？ 47 哥哥和弟弟两人三年后的年龄和是26岁，弟弟今年的年龄恰好是兄弟二人年龄差的2倍。问:兄弟二人各几岁？ 48 小明与爸爸的年龄和是53岁，小明年龄的4倍比爸爸的年龄多2岁，小明与爸爸的年龄相差几岁？ 49 兄弟俩都有点傻，以为只有自己过一年长一岁而别人不会长大。有一天，哥哥对弟弟说:“再过3年我的年龄就是你的2倍。”弟弟说:“不对，再过3年我和你一样大。”这时他们俩各几岁？ 50 父亲今年44岁，儿子今年16岁，当父亲的年龄是儿子的8倍时，父子的年龄和是多少岁？ 51 父亲与两个儿子的年龄和为84岁，12年后父亲的年龄正好等于两个儿子的年龄和，父亲现年多少岁？ 52 学生问老师多少岁，老师说:“当我像你这么大时你刚1岁，当你像我这么大时我已经40岁了。”你知道老师多少岁吗？ 53 兄弟俩今年的年龄和是30岁，当哥哥像弟弟现在这样大时，弟弟的年龄恰好是哥哥年龄的一半。问:哥哥今年几岁？ 54 甲、乙、丙、丁四人今年分别是16，12，11，9岁。问:多少年前，甲、乙的年龄和是丙、丁年龄和的2倍？ 55 全家四口人，父亲比母亲大3岁，姐姐比弟弟大2岁。四年前，他们全家年龄之和是58岁，现在是73岁。问:现在各人年龄分别是多少？ 56 哥哥5年后的年龄与弟弟3年前的年龄和是29岁，弟弟现在的年龄是两人年龄差的4倍。哥哥今年多少岁？ 57 有3个男孩和2个女孩在一起玩。他们的年龄互不相同，最大的12岁，最小的7岁。已知最大的男孩比最小的女孩大3岁，最大的女孩比最小的男孩也大3岁。问:2个女孩的年龄分别是几岁？ 58 1999年，一个青年说:“今年我的生日已过了，我现在的年龄正好是我出生年份的四个数字之和。”这个青年是哪年出生的？ 59 1999年，一个老人说:“今年我的生日已过了，40多年前的今天，我还是个2020的青年，那时我的年龄刚好等于那年年份的四个数字之和。”老人是哪年出生的？
奥林匹克训练题库竖式谜
三竖式谜 1．在下列竖式中，有若干个数字被遮盖住了，求各竖式中被遮盖住的几个数字之和： 2．在下列各式的□中填入适当的数码，使得两位数乘法的乘积是正确的。要求各式的四个□中填入的数码互不相同： 3．下列各式中的a，b，c分别代表1，2，3中的不同的数字，求出下列各式和的最大值： 4．右式中的a，b，c，d分别代表0～9中的一个数码，并且满足a ＋b＝2（c＋d），被加数最大是多少？ 5．右式中的a，b，c，d分别代表1—9中的一个数码，并且满足2（a＋b）＝c＋d，被减数最小是几？ 6．在下列各式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号表示不同的数字，求出下列各式： 7．在□内填入适当的数字，使下列加法竖式成立： 8．在□内填入适当的数字，使下列减法竖式成立： 9．将1～9九个数码分别填入右式的九个□中，要求先填1，再在与1相邻（左、右或上、下）的□中填2，再在与2相邻的□中填3 最后填9，使得加法竖式成立。 10．在右式的四个□中填入同一个数字，使得“迎”、“新”、“世”、“纪”四个字所代表的各数之和等于2000。中应填几？ 11．在□内填入适当的数字，使下列乘法竖式成立： 12．在□内填入适当的数字，使下列除法竖式成立： 13．□内填入适当的数字，使得下列除法竖式成立： 14．用代数方法求解下列竖式： 15．求出左下式的商。 16．求出右上式的被除数和除数。 17．在□内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立： 18．在□内填入适当的数字，使下列小数除法竖式成立：
19．在□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使乘积尽可能小： 20☆在□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小： 21．在下列加、减法竖式中，每个不同的汉字代表0～9中不同的数字，求出它们使竖式成立的值： 22．在下列各式中，不同的汉字代表不同的数字，求出它们使竖式成立的值： 23．在下列乘法竖式中，每个不同的汉字代表0～9中不同的数字，求出它们使竖式成立的值： 24．在下列乘法竖式中，每个不同的汉字代表1～9中不同的数字，而被乘数与积正好是反序数，求出这些竖式： 25．在下列乘法竖式中，每个不同的汉字代表0～9中不同的数字，求出它们使竖式成立的值： 26．在下列乘法竖式中，每个不同的汉字代表0～9中不同的数字，求出它们使竖式成立的值： 27．在下列竖式中，每个不同的字母代表0～9中不同的数字，请用数字重新写出各竖式： 28．将1～7七个数码分别填入下列竖式的□内，使得竖式成立： 29．将1～8分别填入下列竖式的八个□中，每题都有两种不同填法，请至少找出其中一种： 30．下列每个竖式都是由0～9十个数码组成的，请将空缺的数码填上： 31．下列每个竖式都是由1，2，3，4，5，6，7，8七个数码组成，请将空缺的数码填上，使得竖式成立： 32．在□内填入小于10的质数，使得下列竖式成立： 33．在下列竖式的□内填入4～9中的适当数码，使得组成第一个加数的四个数码与组成第二个加数的四个数码相同，只是排列顺序不同。 34．下面两个算式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，求ABCDEFG。 35．一个四位数除以一个一位数得（1）式，它除以另一个一位数得（2）式，求这个四位数。
第9章 压杆稳定
第九章压杆稳定 §9.1 压杆稳定的概念 §9.2 两端铰支细长压杆的临界压力 §9.3 其它支座条件下细长压杆的临界压力 §9.4 欧拉公式的适用范围，经验公式 §9.5 压杆的稳定校核 §9.6 提高压杆稳定性的措施 1. 引言 强度——构件抵抗破坏（塑性变形或断裂）之能力 ①刚度——构件抵抗变形的能力 稳定性——构件保持原有平衡形态的能力 稳定状态 ②平衡不稳定状态 随意状态 ③失稳：构件从稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态的现象称为 失稳。 2．实例 cr
cr ①受均匀外压作用的圆筒形薄壳——由圆形平衡变成椭圆形平衡。 ②受均匀压力作用的拱形薄板——由拱形平衡变成翘曲平衡。 ③窄高梁或薄腹梁的侧向弯曲——由平面弯曲变成侧向弯曲。 ④圆筒形薄壳在轴向压力或扭转作用下引起局部皱折。 ⑤细长压杆由直线平衡变成曲线平衡。 3．稳定研究发展简史 早在18世纪中叶，欧拉就提出《关于稳定的理论》但是这一理论当时没有受到人们的重视，没有在工程中得到应用。原因是当时常用的工程材料是铸铁、砖石等脆性材料。这些材料不易制细细长压杆，金属薄板、薄壳。随着冶金工业和钢铁工业的发展，压延的细长杆和薄板开始得到应用。19世纪末20世纪初，欧美各国相继兴建一些大型工程，由于工程师们在设计时，忽略杆件体系或杆件本身的稳定问题向造许多严重的工程事故。 例如：19世纪末，瑞士的《孟希太因》大桥的桁架结构，由于双机车牵引列车超载导致受压弦杆失稳使桥梁破坏，造成200人受难。弦杆失稳往往使整个工程或结构突然坍蹋，危害严重，由于工程事故不断发生，才使工程师们回想起欧拉在一百多年前所提出的稳定
三3奥林匹克训练题库·整除性
整除性 75°如果四位数6□□8能被73整除，那么商是多少？ 76°如果四位数5□□6能被34整除，那么可以有多少个不同的商？ 77个位数是6，且能被3整除的四位数有多少个？ 78三个数的和是555，这三个数分别能被3，5，7整除，而且商都相同，求这三个数。 80求各位数字都是 7，并能被63整除的最小自然数。 81用1，2，3，4这四个数码可以组成24个没有重复数字的四位数，其中能被11整除的有哪些？ 82从 2，3，5，7，8五个数中任选四个能组成哪些能被75整除的没有重复数字的四位数？ 83一个三位数能被11整除，去掉末位数字后所得的两位数能被9整除，这样的三位数有哪些？ 84求出能被11整除，首位数字是4，其余各位数字均不相同的最大和最小的六位数。 85已知自然数2*3*4*5*1能被11整除，问：*代表数码几？ 86已知四位数 7**1能被9整除，问：*代表数码几？ 88把一个三位数的百位和个位上的数字互换，得到一个新的三位数，新、旧两个三位数都能被4整除。这样的三位数共有多少个？ 89在 8264的左右各添一个数码，使新得到的六位数能被45整除。 91在 666后面补上三个数码组成一个六位数，使这个六位数能被783整除，应当怎样补？
92在 5678这个数的前面或后面添写一个数 2，所得到的两个五位数都能被2整除。现在请你找出一个三位数添写在5678的前面或后面，使所得的两个七位数都能被这个三位数整除。满足题意的三位数有哪几个？ 93一个四位数，四个数字各不相同，且是17的倍数，符合条件的最小四位数是多少？ 94一个自然数与19的乘积的最后三位数是321，求满足此条件的最小自然数。 95一个整数乘以17后，乘积的后三位是999，求满足题意的最小整数。 961×2×3×…×15能否被 9009整除？ 97A=61×62×63×…×87×88，A能否被6188整除？ 98从1～ 9这九个数中选出六个不同的数字组成一个能被11整除的六位数，求出这样的六位数中最大的与最小的两数之和。 99用1～ 9这九个数码组成一个没有重复数字的能被11整除的九位数，这样的九位数有31680个，求出其中最大的和最小的。 101能否用1， 2， 3， 4， 5， 6六个数码组成一个没有重复数字，且能被11整除的六位数？为什么？ 102用8个不同数码组成的八位数中，能被36整除的最小的数是几？ 103用1—9这九个数码各一次，组成三个分别能被7，9，11整除的三位数，并要求这三个数的和尽可能大。 104将自然数N接写在任一个自然数的右面，得到的新数都能被N整除。例如将2写在任一自然数的右面，得到的新数都能被2整除。在1～100中，满足条件的自然数N有哪几个？ 105111…11是各位数字都是1的自然数，并且是7的倍数，求这样的数中最小的那个数。
材料力学 压杆稳定答案
9-1(9-2)图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与成反比，此处，为与约束情况有关的长度系数。 （a）=1×5=5m （b）=0.7×7=4.9m （c）=0.5×9=4.5m （d）=2×2=4m （e）=1×8=8m （f）=0.7×5=3.5m 故图e所示杆最小，图f所示杆最大。 返回 9-2(9-5) 长5m的10号工字钢，在温度为时安装在两个固定支座之间， 这时杆不受力。已知钢的线膨胀系数。试问当温度升高至多少度时，杆将丧失稳定？ 解：
返回 9-3(9-6) 两根直径为d的立柱，上、下端分别与强劲的顶、底块刚性连接，如图所示。试根据杆端的约束条件，分析在总压力F作用下，立柱可能产生的几种失稳形态下的挠曲线形状，分别写出对应的总压力F之临界值的算式（按 细长杆考虑），确定最小临界力的算式。 解：在总压力F作用下，立柱微弯时可能有下列三种情况： （a）每根立柱作为两端固定的压杆分别失稳： （b）两根立柱一起作为下端固定而上 端自由的体系在自身平面内失稳 失稳时整体在面内弯曲，则1，2两杆 组成一组合截面。 （c）两根立柱一起作为下端固定而上端 自由的体系在面外失稳
故面外失稳时最小 =。 返回 9-4(9-7)图示结构ABCD由三根直径均为d的圆截面钢杆组成，在点B铰支，而在点A和点C固定，D为铰接点，。若结构由于杆件在平面ABCD内弹性失稳而丧失承载能力，试确定作用于结点D处的荷载F的临界值。 解：杆DB为两端铰支，杆DA及DC为一端铰支一端固定，选取。此结构为超静定结构，当杆DB失稳时结构仍能继续承载，直到杆AD及DC也失稳时整个结构才丧失承载能力，故 返回 9-5(9-9) 下端固定、上端铰支、长m的压杆，由两根10号槽钢焊接而成，如图所示，并符合钢结构设计规范中实腹式b类截面中心受压杆的要求。已知杆的材料为Q235钢，强度许用应力，试求压杆的许可荷载。
《材料力学》第9章压杆稳定习题解
第九章 压杆稳定 习题解 [习题9-1]在§9-2中已对两端球形铰支的等截面细长压杆，按图a 所示坐标系及挠度曲线形状，导出了临界应力公式2 2l EI P cr π= 。试分析当分别取图b,c,d 所示坐标系及挠曲线形 状时，压杆在cr F 作用下的挠曲线微分方程是否与图a 情况下的相同，由此所得cr F 公式又是否相同。 解：挠曲线微分方程与坐标系的y 轴正向规定有关，与挠曲线的位置无关。 因为（b ）图与（a ）图具有相同的坐标系，所以它们的挠曲线微分方程相同，都是 )("x M EIw -=。（c ）、(d)的坐标系相同，它们具有相同的挠曲线微分方程：)("x M EIw =，显然，这微分方程与（a ）的微分方程不同。 临界力只与压杆的抗弯刚度、长度与两端的支承情况有关，与坐标系的选取、挠曲线的位置等因素无关。因此，以上四种情形的临界力具有相同的公式，即：2 2l EI P cr π= 。 [习题9-2] 图示各杆材料和截面均相同，试问杆能承受的压力哪根最大，哪根最小（图f 所示杆在中间支承处不能转动）？ 解：压杆能承受的临界压力为：2 2) .(l EI P cr μπ=。由这公式可知，对于材料和截面相同的压杆，它们能承受的压力与原压相的相当长度l μ的平方成反比，其中，μ为与约束情况有关的长 度系数。 （a ）m l 551=?=μ （b ）m l 9.477.0=?=μ （c ）m l 5.495.0=?=μ （d ）m l 422=?=μ （e ）m l 881=?=μ （f ）m l 5.357.0=?=μ（下段）；m l 5.255.0=?=μ（上段） 故图e 所示杆cr F 最小，图f 所示杆cr F 最大。
奥林匹克训练题库·包含与排除(word版)
四包含与排除 1二年级一班共42名同学，其中少先队员33人。这个班男生2020女生中有4人不是少先队员，男生中有多少人是少先队员？ 2十一中学图书馆有中外文科技和文艺书共6000册，其中中文书4560册，文艺书3060册，外文科技书840册。问:一共有多少本外文书？有多少本中文文艺书？ 347名学生参加了数学和语文考试，其中语文得100分的12人，数学得100分的17人，两门都没得100分的有26人。问:两门都得100分的有多少人？ 4全班有46名同学，仅会打乒乓球的有18人，既会打乒乓球又会打羽毛球的有7人，既不会打乒乓球又不会打羽毛球的有6人。问:仅会打羽毛球的有多少人？ 5电视台向100人调查昨天收看电视的情况，有62人看过2频道，34人看过8频道，11人两个频道都看过。问:两个频道都没看过的有多少人？ 6一次数学小测验只有两道题，结果全班有10人全对，第一题有25人做对，第二题有18人做错。问:两题都做错的有多少人？ 7全班50人，不会骑自行车的有23人，不会滑旱冰的有35人，两样都会的有4人。两样都不会的有多少人？ 8五一小学举行各年级学生画展，其中18幅不是六年级的，2020是五年级的。现在知道五、六年级共展出22幅画，问:其它年级共展出多少幅画？ 9100个学生只有一人没学过外语，学过英语的有39人，学过法语的有49人，学过俄语的有41人，学过英语也学过法语的有14人，学过英语也学过俄语的有13人，学过法语也学过俄语的有9人。问:三种语言都学过的有多少人？ 10某班有42人，其中26人爱打篮球，17人爱打排球，19人爱踢足球，9人既爱打篮球又爱踢足球，4人既爱打排球又爱踢足球。没有一个人三种球都爱好，也没有一个人三种球都不爱好。问:既爱打篮球又爱打排球的有几人？ 1164个小学生都订了报纸，其中订A报的 28人，订B报的41人，订C报的2020同时订A，B报的10人，同时订A，C报的12人，同时订B，C报的也是12人。问:三种报都订的有多少人？
材料力学压杆稳定分析
第九章压杆稳定 9-1由五根圆截面钢杆组成的正方形平面桁架，杆的直径均为d＝40mm，材料的弹性模量E=200GPa, a=1m，试求使结构到达临界状态时的最小荷载。如F力向里作用，则最小荷载又是多少？ 答：F t=124kN, F c=350.2kN F 题 9 - 1 图解：当F的杆受压 由静力学平衡方程可知该杆所受压力为F 294 2 2 200100.04 124 () 124 cr t cr EI F kN l F F kN π π π μ ???? ===∴== 当F 为压力时，长为a的杆受压 由静力学平衡方程可知该杆所受压力为 2 F 294 2 22 200100.04 64248 ()(11) 248 2 350.7 cr c c EI F kN l F kN F kN π π π μ ???? === ? = ∴= 9-2 如图所示细长杆，试判断哪段杆首先失稳。 答：（d） 解：0.5 μ= a 0.7 μ= b 0.7 μ= c 2 μ= d 2 2 () π μ μμμμ = >=> cr d c b a EI F l
crd F ∴最小 ∴d 杆最容易失稳 9-3 试求图示压杆的临界力，材料是HPB235。 答：F cr =19.7kN 题 9 - 3 图 30X 30X 4 解：一端为自由端，一端为固定端，则2μ = 22 ()cr EI F l πμ= 查表可知： 8408 4 0 2.92100.7710x y I m I m --=?=? 因为最容易失稳的方向是惯性矩最小的方向 所以8400.7710y I I m -==? 298 2 210100.771019.7(20.45)cr F kN π-????∴= =? 9-4两端为球铰的压杆的横截面为图示各种不同形状时，压杆会在哪个平面内失稳（即失稳时，横截面绕哪根轴转动）？