高等数学同步练习题

高等数学同步练习题 第一部分 函数

1.求下列函数的定义域： (1)1)

1ln(1

2

++-=

x x y ； (2) ]

[1

a x y +=

.

2.讨论下列哪些函数相同： (1) x ln 2与2

ln x ； (2)

2x 与x ；

(3) x 与x x sgn . 3.讨论下列函数奇偶性：

(1) )1ln(2x x y ++=； (2) x

e x y 2=； 4. (1) 设52)2(2+-=+x x x

f ，求)2(-x f ； (2) 设x e f x

=+)1(，求)(x f ； (3)设221

)1(x

x x x f +=+

，求)(x f . 5.设⎪⎩

⎪

⎨⎧>-=<=1

110

1

1)(x x x x f ，x e x g =)(，求)]([x g f 和)]([x f g 并作出这两个函数的图形。

第二部分 一元微分学

一、求导数

1. 若函数)(x f 在a 可导，计算

(1)a

h a f h f a

h --→)

()(lim

;

(2)h

h a f a f h )

()(lim

--→;

(3)h

a f h a f h )

()2(lim

-+→;

(4)h

h a f h a f h 2)

()2(lim

+-+→.

2. 求导数: (1) x y =

;

(2) 53

x x y =.

(3) x

y 1=

(4) 5

31x

x

y =

3. 求下列曲线在指定点的切线及法线方程 (1) )1,1(1在点x

y =

处;

(2) )2

1

,3(cos π在点x

y =处.

(3) 求2

x y =在点)0,1(-处的切线

4. 若函数)(x f 在a 处可导，计算)]()1

([lim a f n

a f n n -+

∞

→. 5. 如果)(x f 为偶函数，且)(x f '存在，证明0)0(='f .

6. 计算函数⎪⎩

⎪⎨

⎧=≠+=0

001)(1

x x e x x f x 在点x =0的左右导数.

7. 计算函数⎩⎨⎧<+≥=c

x b ax c

x x x f 2)(在c 的右导数，当a 、b 取何值时，函数)(x f 在c 处不

连续、连续及可导？

8. 已知)(,00

sin )(x f x x

x x x f '⎩⎨⎧≥<=求.

9. 求下列函数的导数: (1) 632

4

-+=x x y ;

(2) 5

1

23+-=x x y ;

(3) x

x x y 133+

+=; (4) )21)(1(2

3x x y ++=;

(5) 2

2

1x x y +=;

(6) x x x y cos sin +=;

(7) x x y ln =; (8) x x x y cot tan -=; (9) x x

y 4

=

; (10) x e x y 2=;

(11) x x y arcsin =; (12) x x

y arctan =;

(13) x

x

x x y sin sin +

=

;

(14) x x y arccos 2=;

(15) x

x

y ln =;

(16) 1

1

+-=x x y ;

(17) 1

4

3522-+-=x x x y .

10. 求下列函数的导数:

(1) 22)32(-=x y ;

(2) 22a x y -=;

(3) x

x

y -+=

11; (4) x x x y ++=;

(5) x x y 3cos sin 2+=; (6) )tan(b ax y +=; (7) x x y 3cos 2sin =;

(8) x y 5cot 2=;

(9) x y sin ln =;

(10) x y 2

cos ln =;

(11) x

a x a x x y 2

22

2)ln(+-

++=; (12) 54+=x e y ;

(13) x

ae y =; (14) 2)(arcsin x y =; (15) )1arctan(2+=x y ; (16) x

x

x y )1(+=;

(17) x x x y sin 1ln -=

;

(18) x x y cos )(sin =;

(19) 2

11x

y -=

.

11. 设函数)(x f 和)(x g 可导，且0)()(2

2≠+x g x f ，试求函数)()(22x g x f y +=的导

数.

12. 设)(),(x g x f 可导，求下列函数y 的导数

dx

dy

(1) )(2

x f y =

(2) )(cos )(sin 2

2

x g x f y +=

13. 求下列各题的二阶导数: (1) 2

1x

x y -=

;

(2) t e y t

sin -=;

(3) 2

1arcsin x

x y -=

;

(4) 1

1

3

+=

x y ;

(5) )1ln(2x x y ++= .

14. 设)(x f ''存在，求下列函数y 的二阶导数2

2dx y

d .

(1) )(x

e

f y -=;

(2) )](ln[x f y =.

15. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式: (1) )

1(1

-=

x x y ;

(2) x x y ln =;