高等数学同步练习题

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2023-2024学年全国全部人教B版(2019)高中数学同步练习(含解析)

2023-2024学年全国高中数学同步练习考试总分：45 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）1. 如图正方体的棱长为，线段上有两个动点、，且，则下列结论中错误的是（）A.平面B.C.三棱锥体积为定值D.与面积相等2. 已知长方体中，，，分别是线段，的中点，若是在平面上的射影，点在线段上，，则 A.B.C.D.3. 如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面中，，＝，＝，侧棱＝，若侧面水平放置时，水面恰好过，，，的中点，那么当底面水平放置时，水面高为（）ABCD −A 1B 1C 1D 12B 1D 1E F EF =1EF //ABCDAC ⊥BEA −BEF △BEF △AEF ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2BC =2A =2A 1EF A 1D 1CC 1E ′E BDD 1B 1F ′BB 1F //BC F ′||=E ′F ′()215−−−√15215−−−√10430−−−√15430−−−√10ABCD AB //CD AB 3CD 1AA 14A B A 1B 1AD BC B 1C 1A 1D 1ABCDB.C. D.4. 在棱长为的正方体中，为线段的中点，在平面中取一个点，连接，，则的最小值为( )A.B.C.D.5. 直三棱柱的底面是以为直角的等腰直角三角形，且＝＝，在面对角线上存在一点使到和到的距离之和最小，则这个最小值是（）A.B. C. D.6. 如图，已知棱长为的正方体，是正方形的中心，是内（包括边界）的动点．满足＝，则点的轨迹长度是（）A.B.C.D.32ABCD −A 1B 1C 1D 1E AB 1ABCD F EF FC 1|EF|+|F |C 122–√23–√14−−√33–√ABC −A 1B 1C 1C AC CC 11BC 1P P B 1P A 21+4ABCD −A'B'C'D'M BB'C'C P △A'C'D PM PD P 11−−√214−−√211−−√14−−√7. 已知长方体中，底面的长，宽，高，点，分别是，的中点，点在上底面中，点在上，若，则长度的最小值是（）A.B.C.D.二、多选题（本题共计 3 小题，每题 3 分，共计9分）8. 已知正四棱柱的底面边长为，侧棱＝，为上底面上的动点，给出下列四个结论中正确结论为（）A.若＝，则满足条件的点有且只有一个B.若，则点的轨迹是一段圆弧C.若平面，则长的最小值为D.若平面，且，则平面截正四棱柱的外接球所得平面图形的面积为9. 如图，在正方体中，，为棱的中点，为棱上的一动点，过点，，作该正方体的截面，则该截面可能是（）A.平行四边形B.等腰梯形C.五边形D.六边形ABCD −A 1B 1C 1D 1ABCD AB =4BC =4A =3A 1M N BC C 1D 1P A 1B 1C 1D 1Q N A 1PM =13−−√PQ −25–√325–√−2655–√355–√ABCD −A 1B 1C 1D 12AA 11P A 1B 1C 1D 1PD 3P PD =3–√P PD //ACB 1DP 2PD //ACB 1PD =3–√BDP ABCD −A 1B 1C 1D 19π4ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =2E BC F A 1D 1A E FA.平面B.C.平面D.异面直线与所成的角为卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分）11. 如图，正方体的棱长为，，分别为线段，上的点，且，，则平面截该正方体的面所得的线段的长度为________．12. 在如图所示的正方体中，，分别是棱和上的点，若，，则________.13. 如图，正方体的棱长为，，分别为线段，上的点，且，．则平面截该正方体的面所得的线段的长度为________．BD //CB 1D 1A ⊥BDC 1A ⊥C 1CB 1D 1AD CB 160∘ABCD −A 1B 1C 1D 13E F AB BC BE =AB 35FC =2BF EFC 1ABB 1A 1ABCD −A 1B 1C 1D 1M N AA 1AB M ⊥MN C 1=M A 1AA 125=AN AMABCD −A 1B 1C 1D 13E F AB BC BE =AB 35FC =2BF EFC 1ADD 1A 114. 如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点，则下列结论正确的序号是________．①②平面平面③的最大值为④的最小值为．15. 长方体中，，，，点是中点，点，，则长度最小值为________．1ABCD −A 1B 1C 1D 1P B A 1D ⊥PC 1D 1P ⊥D 1A 1APA 1∠APD 190∘AP +PD 12+2–√−−−−−−√ABCD −A 1B 1C 1D 1AB =1BC =2A =3A 1M BC P ∈AC 1Q ∈MD |PQ |参考答案与试题解析2023-2024学年全国高中数学同步练习一、选择题（本题共计 7 小题，每题 3 分，共计21分）1.【答案】D【考点】棱柱的结构特征空间中直线与平面之间的位置关系【解析】在中，由，得平面；在中，由平面，得；在中，由，，得三棱锥体积为定值；在中，与底都是，但高不相等，故面积不相等．【解答】解：在中：∵正方体的棱长为，线段上有两个动点、，∴，平面，平面，∴平面，故正确；在中：如图，正方体中，，，，∴平面．又平面，∴，故正确；在中：∵，∴，设，则平面，，∴三棱锥体积，∴三棱锥体积为定值，故正确；在中：，，∴与面积不相等，故错误．故选：．2.【答案】DA EF //BD EF //ABCDB AC ⊥BD B 1D 1AC ⊥BE C EF =1=1S △BEF A −BEF D △BEF △AEF EF A ABCD −A 1B 1C 1D 12B 1D 1E F EF //BD BD ⊂ABCD EF ⊂ABCD EF //ABCD A B AC ⊥BD AC ⊥BB 1BD ∩B =B B 1AC ⊥B D B 1D 1BE ⊂B D B 1D 1AC ⊥BE B C EF =1=×EF ×B =×1×2=1S △BEF 12B 112AC ∩BD =O AO ⊥BEF AO ==124+4−−−−√2–√A −BEF V =××AO =×1×=13S △BEF 132–√2–√3A −BEF C D =×EF ×B =×1×2=1S △BEF 12B 112=××1=S △AEF 123–√3–√2△BEF △AEF D D此题暂无解析【解答】解：过点作，垂足为，取的中点，连接，如图所示，则.故选.3.【答案】B【考点】棱柱的结构特征点、线、面间的距离计算【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】CE E ⊥E ′B 1D 1E ′BB 1F ′FF ′=E ′F ′+B 1E ′2B 1F ′2−−−−−−−−−−−−√=(−+B 1D 1D 1E ′)2B 1F ′2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(−×+(5–√15–√12)212)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√=(+(95–√10)212)2−−−−−−−−−−−−√=430−−−√10D此题暂无解析【解答】解：将正方体补成如图所示长方体，点关于平面的对称点为，连接交平面于一点.即为所求点，使得最小，其最小值为.连接，，由题意可得，，所以，，所以是直角三角形，，所以.即的最小值为.故选.5.【答案】D【考点】棱柱的结构特征点、线、面间的距离计算ACBCD −A 1B 1C 1D 1C 1ABCD C 2EC 2ABCD F F ||+||EF −→−FC 1−→−|E |C 2AC 2B 1C 2||=4A 1A 2|A |=||=2B 1A 2C 22–√|A |=2C 23–√=2B 1C 25–√△AB 1C 2∠A =B 1C 290∘|E |==C 2|A +(|A |C 2|212B 1)2−−−−−−−−−−−−−−−−√14−−√|EF|+|F |C 114−−√C此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】棱柱的结构特征【解析】满足＝的点的轨迹是过的中点，且与垂直的平面，根据是内（包括边界）的动点，可得点的轨迹是两平面的交线．在中点，在等分点，利用余弦定理，求出即可．【解答】满足＝的点的轨迹是过的中点，且与垂直的平面，∵是内（包括边界）的动点，∴点的轨迹是两平面的交线．在中点，在等分点时，＝，，满足＝∴＝，＝∴．7.【答案】C【考点】棱柱的结构特征【解析】取的中点，则为直角三角形，即点在以为圆心，半径为的圆在正方形内的弧上，长度的最小值等于圆心到的距离减去半径，【解答】取的中点，则为直角三角形，∵，∴，即点在以为圆心，半径为的圆在正方形内的弧上，长度的最小值等于圆心到的距离减去半径，PM PD P MD MD P △A'C'D P ST T S 4ST PM PD P MD MD P △A'C'D P ST T S 4SD 32–√SM ==3+242−−−−−√2–√SD SM SD 32–√TD 22–√ST ==18+8−2×3×2×2–√2–√12−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√14−−√B 1C 1O △POM P O 2A 1B 1C 1D 1PQ N A 12B 1C 1O △POM PM =13−−√OP =2P O 2A 1B 1C 1D 1PQ N A 12又的面积．∴，∴长度的最小值是．二、多选题（本题共计 3 小题，每题 3 分，共计9分）8.【答案】A,B,D【考点】棱柱的结构特征【解析】由题意画出图形，求出与上底面点的最大值判断；由，求得为定值判断；找出满足平面的的轨迹，求出长的最小值判断；由已知求出正四棱住的外接球的半径，进一步求出大圆面积判断．【解答】如图∵正四棱柱的底面边长为，∴，又侧棱＝，∴，则与重合时＝，此时点唯一，故正确；∵，＝，则，即点的轨迹是一段圆弧，故正确；连接，，可得平面平面，则当为中点时，有最小值为，故错误；由知，平面即为平面，平面截正四棱柱的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，面积为，故正确．9.【答案】A,B,C【考点】棱柱的结构特征【解析】无【解答】△NO A 1S =×N ×d =612A 1d =65–√5PQ −265–√5D A PD =3–√PD 1B PD //ACB 1P DP C D ABCD −A 1B 1C 1D 12=2B 1D 12–√AA 11D ==3B 1(2+2–√)212−−−−−−−−−−√P B 1PD 3P A PD =∈(1,3)3–√DD 11P =D 12–√P B DA 1DC 1D //A 1C 1ACB 1P A 1C 1DP =(+2–√)212−−−−−−−−−√3–√C C BDP BDD 1B 1BDP ABCD −A 1B 1C 1D 1=12++222212−−−−−−−−−−√329π4D即与重合时，取的中点，截面为矩形；当时，截面为平行四边形；当时，截面为五边形；当，即与重合时，截面为等腰梯形．故选．10.【答案】A,B,C【考点】异面直线及其所成的角空间中直线与平面之间的位置关系棱柱的结构特征【解析】由，得到平面；由，，得到；异面直线与角为；由，，得到平面．【解答】解：连接，,如图：在选项中，∵，平面，平面，∴平面，故正确；在选项中，∵是正方形，∴，∵为正方体，∴，∵，∴平面，∴，故正确；在选项中，∵是正方形，∴，∵为正方体，∴，∵，∴平面，∵，∴，同理，，∵，∴平面，故正确；在选项中，∵，∴是异面直线与所成角，∵是正方形，∴，∴异面直线与角为，故错误．故选．三、填空题（本题共计 5 小题，每题 3 分，共计15分）F A 1B 1C 1AEGA 10<F ≤1A 1AEGF 1<F <2A 1AEGHF F =2A 1F D 1AEGF ABC BD //B 1D 1BD //CB 1D 1AC ⊥BD C ⊥BD C 1A ⊥BD C 1AD CB 145∘A ⊥C 1B 1D 1A ⊥C C 1B 1A ⊥C 1CB 1D 1AC A 1C 1A BD //B 1D 1BD ⊂CB 1D 1⊂B 1D 1CB 1D 1BD //CB 1D 1A B ABCD AC ⊥BD ABCD −A 1B 1C 1D 1C ⊥BD C 1AC ∩C =C C 1BD ⊥ACC 1A 1A ⊥BD C 1B C A 1B 1C 1D 1⊥A 1C 1B 1D 1ABCD −A 1B 1C 1D 1C ⊥C 1B 1D 1∩C =A 1C 1C 1C 1⊥B 1D 1A C A 1C 1A ⊂平面A C C 1A 1C 1A ⊥C 1B 1D 1A ⊥C C 1B 1∩C =B 1D 1B 1B 1A ⊥C 1CB 1D 1C D AD //BC ∠BCB 1AD CB 1BCC 1B 1∠BC =B 145∘AD CB 145∘D ABC11.【答案】【考点】点、线、面间的距离计算棱柱的结构特征【解析】【解答】解：连接交的延长线于点，连接交于点，设平面与棱的交点为，连接，，则五边形即为平面截该正方体所得的截面，平面截该正方体的面所得的线段为．设直线与直线的交点为，在线段上取一点，使,易证得四边形为平行四边形，，，，由，得，所以，则，由，得，所以，于是得.故答案为：.12.【答案】61−−√5F C 1B B 1I IE AA 1H EFC 1A 1D 1G GC 1GH EF GH C 1EFC 1EFC 1ABB 1A 1EH GH AD J AD K DK =2AK JK G D 1K =GJ D 1=F ==C 1C +C F 2C 21−−−−−−−−−−√13−−√AE =AB ×=2565BE =AB ×=3595BC//B 1C 1==BI IB 1BF B 1C 113=BI BB 112BI =32BI//AH ==BI AH BE AE 32AH ==12BI 3EH ==A +A E 2H 2−−−−−−−−−−√61−−√561−−√525【考点】点、线、面间的距离计算棱柱的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】解：因为在正方体中，平面，平面，平面，所以.因为，，所以平面.因为平面，所以，所以.因为，，，所以，，所以，所以.故答案为：.13.【答案】【考点】点、线、面间的距离计算棱柱的结构特征【解析】此题暂无解析【解答】解：如图，连接交的延长线于点，连接交于点，设平面与棱的交点为，连接，，⊥C 1B 1A B A 1B 1MN ⊂A B A 1B 1⊂C 1B 1A B A 1B 1⊥MN C 1B 1M ⊥MN C 1∩M =C 1B 1C 1C 1MN ⊥M C 1B 1M ⊂B 1M C 1B 1M ⊥MN B 1∠AMN +∠M =A 1B 190∘=M A 1AA 125A =A 1A 1B 1∠M +∠M =A 1B 1A 1B 190∘=M A 1B A 125∠M =∠AMN A 1B 1△M ∽△ANM A 1B 1==AN AM M A 1B A 12525213−−√3F C 1BB 1I IE AA 1H EFC 1A 1D 1G GC 1GH则五边形，即为平面截该正方体所得的截面，平面截该正方体的面，所得的线段为线段，由，得，，由，得，.由，得，所以，所以，由，得，所以，．由平面平面，平面平面，平面平面，得，又，所以，所以，所以，所以．所以．故答案为：．14.【答案】①②④【考点】棱柱的结构特征【解析】对于①，利用线面垂直的判定定理可证面，而平面，故可判断①正确；对于②，平面，而平面，就是平面，故平面平面，EF GH C 1EFC 1EFC 1ADD 1A 1GH BE =AB 35AE =AB ×=2565BE =AB ×=3595FC =2BF BF =1FC =2BC//B 1C 1=BI IB 1BF B 1C 1=13=BI BB 112BI =32BI//AH ==BI AH BE AE 32AH ==12BI 3H =2A 1ABCD//A 1B 1C 1D 1EF ∩C 1ABCD =EF EF ∩C 1=G A 1B 1C 1D 1C 1EF//GC 1AB//D 1C 1∠FEB =∠GC 1D 1==G D 1D 1C 1BF BE 59G =D 153G =A 143GH ==+A 1H 2A 1G 2−−−−−−−−−−−√213−−√3213−−√3D ⊥C 1BC A 1D 1P ⊂D 1DC D 1C 1⊥D 1A 1AB A 1B 1AB A 1B 1AP A 1P ⊥D 1A 1AP A 1从而可判定②正确；对于③，当时，为钝角，故可判断③错误；对于④，将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，通过解三角形可求得，可判断④正确．【解答】解：对于①，∵平面，平面，∴，又，，∴面，平面，∴，故①正确对于②，∵平面即为平面，平面即为平面，且平面，∴平面平面，∴平面平面，故②正确；对于③，在中，由余弦定理可知，当时，为钝角，故③错误；对于④，将面与面沿展成平面图形，线段即为的最小值，在中，利用余弦定理解三角形得，故④正确．故答案为：①②④．15.【答案】【考点】点、线、面间的距离计算棱柱的结构特征【解析】以为坐标原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，求出，两点的坐标，利用向量法，求出当为和的公垂线时的坐标，代入两点之间距离公式，可得答案．【解答】解：以为坐标原点，，，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，∵，，，∴，，，，，则，0<P <A 12–√2∠APD 1A B A 1BC A 1D 1B A 1AD 1AP +PD 1AA 1D 1A =D 12+2–√−−−−−−√⊥A 1D 1DC D 1C 1D ⊂C 1DC D 1C 1⊥D A 1D 1C 1B ⊥D A 1C 1∩B =A 1D 1A 1A 1D ⊥C 1BC A 1D 1P ⊂D 1DC D 1C 1D ⊥P C 1D 1P D 1A 1BC D 1A 1AP A 1AB A 1B 1⊥D 1A 1AB A 1B 1BC ⊥D 1A 1AB A 1B 1P ⊥D 1A 1AP A 1△AP D 10<P <A 12–√2∠APD 1A B A 1BC A 1D 1B A 1AD 1AP +PD 1△AA 1D 1A =D 12+2–√−−−−−−√23–√3A AB AD AA 1x y z P Q PQ AC 1MD PQ A AB AD AA 1x y z AB =1BC =2A =3A 1A(0,0,0)B(1,0,0)C(1,2,0)(1,2,3)C 1M(1,1,0)D(0,2,0)=(1,2,3)AC 1−→−=(1,−1,0)DM −→−λ=(λ,2λ,3λ)−→−−→−设，则点的坐标为，，设，点的坐标为，，则，由且得：，解得：，此时．故答案为：．=λ=(λ,2λ,3λ)AP −→−AC 1−→−P (λ,2λ,3λ)λ∈[0,1]=μ=(μ,−μ,0)DQ −→−DM −→−Q (μ,2−μ,0)μ∈[0,1]=(u −λ,2−μ−2λ,−3λ)PQ −→−⊥PQ −→−AC 1−→−⊥PQ −→−DM −→−{u −λ+2(2−μ−2λ)+3(−3λ)=0u −λ−(2−μ−2λ)=0 λ=29μ=89P ==Q min (λ−μ+(2λ−2+μ+9)2)2λ2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√23–√323–√3。

高等数学同步测试卷

高等数学同步测试卷高等数学是大学本科阶段的一门重要课程，对于理工科和经济管理类专业的学生来说尤为重要。

为了评估学生对高等数学知识的掌握程度，提高教学质量，学校通常会组织同步测试卷。

本文将根据任务名称提供一份高等数学同步测试卷的相关内容需求，让我们一起来完成这个任务。

一、选择题1. 设函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求f(2)的值。

2. 已知函数y = e^x，求y的导数。

3. 设函数y = sin(2x + π/6)，求y的周期。

4. 计算极限lim(x→1) [(x^2 - 1) / (x - 1)]。

5. 求不定积分∫(x^3 + 3x^2 - 2x + 1)dx。

二、填空题1. 设函数y = 2x^3 + 3x^2 + 4x + 5，求y的导数。

2. 计算定积分∫[0, 2] (2x + 1)dx。

3. 求曲线y = 2x^2的切线方程。

4. 求极限lim(x→∞) [x^2 / (e^x + 1)]。

5. 求函数y = ln(x^2 - 1)的导数。

三、计算题1. 求函数y = 3x^2 - 4x + 1的极值点和极值。

2. 计算定积分∫[1, 3] (2x^2 + 3x - 1)dx。

3. 求曲线y = x^3 - 2x^2的拐点。

4. 求函数y = e^x - 2x的最小值。

5. 求函数y = ln(x^2 + 2x + 2)的反函数。

四、证明题1. 证明：若函数y = f(x)满足条件f'(x) > 0，则函数f(x)在其定义域上单调递增。

2. 证明：若函数y = f(x)满足条件f''(x) < 0，则函数f(x)在其定义域上凹。

3. 证明：若函数y = f(x)满足条件f'(x) = 0，则函数f(x)在其定义域上可能有极值点。

4. 证明：若函数y = f(x)满足条件f(x) = f(-x)，则函数f(x)是偶函数。

5. 证明：若函数y = f(x)满足条件f'(x) = 0，则函数f(x)在其定义域上可能有拐点。

高一数学同步练习题

高一数学同步练习题一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 自然数集NB. 整数集ZC. 有理数集QD. 无理数集2. 函数f(x) = 2x^2 - 5x + 3在x=1处的导数值是：A. 1B. 4C. 6D. 93. 集合{1,2,3}与集合{3,4,5}的交集是：A. {1,2}B. {3}C. {1,2,3,4,5}D. 空集4. 根据韦达定理，二次方程x^2 - 4x + 4 = 0的两个根之和是：A. 2B. 4C. -4D. 05. 函数y = sinx和y = cosx在x=π/4处的值相等，这个说法是：A. 正确B. 错误二、填空题（每题2分，共10分）6. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在x=1处的值是________。

7. 集合A = {x | x < 5}，B = {x | x > 3}，则A∪B表示的集合是________。

8. 已知函数y = 3x - 2，当x增加1时，y的增量是________。

9. 函数y = √x的定义域是________。

10. 若sinα = 1/√2，则cosα的值是________。

三、解答题（共75分）11. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值点，并说明极值。

（10分）12. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求其在区间[0,5]上的最大值和最小值。

（15分）13. 利用导数求函数y = lnx - x^2在区间(0, +∞)上的最大值。

（15分）14. 解不等式：x^2 - 4x + 3 ≤ 0，并用区间表示解集。

（15分）15. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1恒成立。

（20分）四、附加题（10分，可选做）16. 已知函数f(x) = x^2 + 2x + 3，求其图像的对称轴和顶点坐标。

答案：1-5: D, B, B, B, A6: 07: R（实数集）8: -59: [0, +∞)10: ±√2/211-16: 略（根据题目要求，解答题和附加题的答案需要根据具体解题过程给出，这里略过。

高一数学同步试题及答案

高一数学同步试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，不是一次函数的是（）A. y = 2x + 1B. y = 3x^2C. y = 5x - 4D. y = 72. 若a，b，c为实数，且a + b + c = 0，则下列等式正确的是（）A. a^2 + b^2 + c^2 = 0B. ab + bc + ca = 0C. a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + caD. ab + bc + ca = 13. 函数f(x) = x^2 - 4x + 3的零点是（）A. 1B. 3C. 1或3D. 无实数解4. 已知向量a = (3, 4)，向量b = (-4, 3)，则向量a与向量b的点积为（）A. -1B. 0C. 1D. 55. 一个等差数列的前三项依次为2，5，8，那么第10项是（）A. 20B. 23C. 26D. 296. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标是（）A. (3, 4)B. (-3, 4)C. (3, -4)D. (-3, -4)7. 函数y = log_2(x)的定义域是（）A. (0, +∞)B. (-∞, 0)C. (-∞, +∞)D. [0, +∞)8. 已知等比数列{a_n}的公比q > 0，且a_1a_5 = 16，a_3 = 4，则a_4是（）A. 2B. 4C. 8D. 169. 函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间[1, 3]上是（）A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减10. 抛物线y = x^2 - 4x + 5的顶点坐标是（）A. (2, 1)B. (2, -1)C. (-2, 1)D. (-2, -1)二、填空题（每题4分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，若f(a) = 2，则a的值为______。

《高等数学》同步练习册（下）新答案

参考答案与提示第7章多元函数微分学及其应用7.1 多元函数的概念1、(1) }1,),{(22y x x y y x -≤>(2)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 07.2 偏导数与全微分1、(1))sin(xy y - (2)yx xyy x x +++)ln( (3))cos()sin(xy ye xy (4) 223yx x + (5) )2(2x y x e xy -- (6) dy xe dx xe y y----2)232( (7) dx 2 (8) 0.25e 2、(1) 11+-=z y x y x f 1ln -+=z y z y y zy x x y x f y y x f z y z ln =(2)xyy xy z yx ++=1)1(2]1)1[l n()1(xy xy xy xy z y y ++++= 3、023=∂∂∂yx z 2231y y x z -=∂∂∂ 7.3 多元复合函数求导法1、(1) z xy xyf 2)(2或 (2) 212f xe f y xy '+'- (3) 12+'ϕx(4) t t t 232423-+ (5) xx e x x e 221)1(++(6) dy xy x dx y xy )2()2(22-+-2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'= 32f xz f x u y '+'= 3f xy u z '=(2) 223221111f yx f y f xy f ''-'-''+' (3) f x f ''+'242 f xy ''4 (4) )cos ()(cos sin 333132321y x y x y x e f f x f e f e f x y +++''+''+'+''+''- 7.4 隐函数求导法1、2)cos()cos(2x xy x xy y xy -- 2、z x 2sin 2sin - zy 2s i n 2s i n -3、3232)1(22---z x z z z 4、)(211F F z F x '+'' )(212F F z F y '+'' 5、(1) )31(2)61(z y z x ++- z x31+(2))21)(1()12(21122112g yv f x g f g yv f u g f '-'--''-''+'' )21)(1()1(2112111g yv f x g f f u f x g '-'--'''-'-'7.5 多元函数微分学的几何应用1、(1) 213141-=-=-z y x (2) 422+=++πz y x (3) 223 (4) 12124433-=-=-z y x 2、2164±=++z y x 3、46281272-=-=+z y x 4、2,5-=-=b a7.6 方向导数与梯度1、(1)32 (2) 21(3) 5 (4) }2,2,1{92-2、)(2122b a ab + 3、3 4、}1,4,2{211- 217.7 多元函数极值及其求法1、极小值：2)21,41(21--=--ef2、最大值4)1,2(=z ，最小值64)2,4(-=z 。

(完整word版)高等数学同步练习题

高等数学同步练习题第一部分函数1.求下列函数的定义域： (1)1)1ln(12++-=x x y ； (2) ][1a x y +=.2.讨论下列哪些函数相同： (1) x ln 2与2ln x ； (2)2x 与x ；(3) x 与x x sgn . 3.讨论下列函数奇偶性：(1) )1ln(2x x y ++=； (2) xe x y 2=； 4. (1) 设52)2(2+-=+x x xf ，求)2(-x f ； (2) 设x e f x=+)1(，求)(x f ； (3)设221)1(xx x x f +=+，求)(x f . 5.设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=111011)(x x x x f ，x e x g =)(，求)]([x g f 和)]([x f g 并作出这两个函数的图形。

第二部分一元微分学一、求导数1. 若函数)(x f 在a 可导，计算(1)ah a f h f ah --→)()(lim;(2)hh a f a f h )()(lim--→;(3)ha f h a f h )()2(lim-+→;(4)hh a f h a f h 2)()2(lim+-+→.2. 求导数: (1) x y =;(2) 53x x y =.(3) xy 1=(4) 531xxy =3. 求下列曲线在指定点的切线及法线方程 (1) )1,1(1在点xy =处;(2) )21,3(cos π在点xy =处.(3) 求2x y =在点)0,1(-处的切线4. 若函数)(x f 在a 处可导，计算)]()1([lim a f na f n n -+∞→. 5. 如果)(x f 为偶函数，且)(x f '存在，证明0)0(='f .6. 计算函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0001)(1x x e x x f x 在点x =0的左右导数.7. 计算函数⎩⎨⎧<+≥=cx b ax cx x x f 2)(在c 的右导数，当a 、b 取何值时，函数)(x f 在c 处不连续、连续及可导？8. 已知)(,00sin )(x f x xx x x f '⎩⎨⎧≥<=求.9. 求下列函数的导数: (1) 6324-+=x x y ;(2) 5123+-=x x y ;(3) xx x y 133++=; (4) )21)(1(23x x y ++=;(5) 221x x y +=;(6) x x x y cos sin +=;(7) x x y ln =; (8) x x x y cot tan -=; (9) x xy 4=; (10) x e x y 2=;(11) x x y arcsin =; (12) x xy arctan =;(13) xxx x y sin sin +=;(14) x x y arccos 2=;(15) xxy ln =;(16) 11+-=x x y ;(17) 143522-+-=x x x y .10. 求下列函数的导数:(1) 22)32(-=x y ;(2) 22a x y -=;(3) xxy -+=11; (4) x x x y ++=;(5) x x y 3cos sin 2+=; (6) )tan(b ax y +=; (7) x x y 3cos 2sin =;(8) x y 5cot 2=;(9) x y sin ln =;(10) x y 2cos ln =;(11) xa x a x x y 2222)ln(+-++=; (12) 54+=x e y ;(13) xae y =; (14) 2)(arcsin x y =; (15) )1arctan(2+=x y ; (16) xxx y )1(+=;(17) x x x y sin 1ln -=;(18) x x y cos )(sin =;(19) 211xy -=.11. 设函数)(x f 和)(x g 可导，且0)()(22≠+x g x f ，试求函数)()(22x g x f y +=的导数.12. 设)(),(x g x f 可导，求下列函数y 的导数dxdy(1) )(2x f y =(2) )(cos )(sin 22x g x f y +=13. 求下列各题的二阶导数: (1) 21xx y -=;(2) t e y tsin -=;(3) 21arcsin xx y -=;(4) 113+=x y ;(5) )1ln(2x x y ++= .14. 设)(x f ''存在，求下列函数y 的二阶导数22dx yd .(1) )(xef y -=;(2) )](ln[x f y =.15. 求下列函数的n 阶导数的一般表达式: (1) )1(1-=x x y ;(2) x x y ln =;(3) x y 2sin =.16.求由下列方程所确定的隐函数y 的导数xy d d (1) )cos(y x y +=(2) y xe y -=1(3) 0=-xyyx17.求由下列方程所确定的隐函数y 的二阶导数22d d xy(1) 122=+-y xy x ;(2); 22ln arctany x xy+= (3); )tan(y x y +=. 18.已知y x xy b a e = 证明0)(2)ln (2='-''-y y a y .19.求由下列参数方程所确定的函数y 的导数(1) ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=2)1(11t t y t x ;(2) ⎩⎨⎧==tb y ta x 33sin cos .20.求由下列参数方程所确定的函数y 的二阶导数22d d xy(1) ⎩⎨⎧+=+-=23)1ln(t t y t t x ;(2) 存在且不等于零设)()()()(t f t f t f t y t f x ''⎩⎨⎧-'='=21.求下列函数的微分dy (1) x x y sin 2= (2) x x x y -=ln (3) x y tan ln =(4) 21arcsin x y -=22．计算下列函数)(x y y =的导数.dx dy： ⑴ ⎰+=x dt t y 02;)1cos(⑵ ⎰+=20;)1ln(x dt t y⑶ ⎰--=1;xtdt te y⑷ ⎰=x xt dt e y cos sin ;2⑸ ⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎰⎰tt udu y duu x 00sin )cos 1(;⑹ ⎪⎩⎪⎨⎧==⎰402cos sin 2ty du u x t ;⑺.0cos 0=+⎰⎰xyy ttdt dt e二、求极限1.计算下列各极限：(1) 15lim 3+-→x x x ；(2)；15865lim 223+-+-→x x x x x(3)； hx h x h 220)(lim -+→(4)；)1113(lim 31xx x ---→ (5)； 121lim 22---∞→x x x x(6)；31lim 2+++∞→x x x x(7); 157134lim 32-++-∞→x x x x x(8); xx x 1sinlim 2→ (9); ∑=∞→nk n nk12lim(10); ))1(1321211(lim +++⋅+⋅∞→n n n Λ 2计算下列各极限：(1) 203050)3()12()52(lim +++∞→x x x x ;(2) 11sin 11lim 22-++-∞→x x x x x ;(3) 134lim2+--∞→x x x ;(4) xx x x 11lim--+→;(5) 1lim21--→t t t t ;3.如果 51lim21=-++→xbax x x ，求a 与b 的值。

2023-2024学年全国全部人教A版(2019)高中数学同步练习(含解析)

学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________2023-2024学年全国高中数学同步练习考试总分：73 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 6 小题，每题 3 分，共计18分）1. 下列关于函数的说法中，正确的是（）A.函数是奇函数B.其图象关于直线对称C.其图象关于点对称D.函数在区间上单调递增2. 车流量被定义为单位时间内通过十字路口的车辆数，单位为辆/分，上班高峰期某十字路口的车流量由函数（）给出，的单位是辆/分，的单位是分，则下列哪个时间段内车流量是增加的( )A.B.C.D.3. 已知函数，），若的图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则的取值范围是（）A.B.C.f (x)=2sin(x −)π4f (x −)π4x =π2(,0)π4f (x)(−,)π2π2F(t)=50+4sin t 20≤t ≤20F(t)t [0,5][5,10][10,15][15,20]f(x)=2sin(ωx −)(ω>π612x ∈R f (x)x (3π,4π)ω(,)∪[,]12238976(,]∪[,]12172417182924[,]∪[,]5923891112,]∪[,]11171723D. 4. 已知为上的偶函数，且，，，若为上的增函数，则的解集为( )A.B.C.D. 5. 设函数，已知在有且仅有个零点，下述四个结论：① 的周期可能为②在有且仅有个对称轴；③在单调递增；④的取值范围是）其中所有正确结论的编号是（）A.①②B.②③C.①④D.③④6. 函数的图象与其对称轴在轴右侧的交点从左到右依次记为，，，，，，在点列中存在三个不同的点，，，使得是等腰直角三角形.将满足上述条件的值从小到大组成的数列记为，则( )A.B.C.D.二、多选题（本题共计 2 小题，每题 3 分，共计6分）7. 函数的部分图像如图中实线所示，图中的，是圆与图像的两个交点，其中在轴上，是图像与轴的交点，则下列说法中正确的是( )[,]∪[,]1118172417182324g(x)R g(1)=0h (x)=1+2−12x f (x)=g(x)h (x)f (x)(0,+∞)f (x)<0(−∞,−1)∪(1,+∞)(−1,0)∪(0,1)(−1,0)∪(1,+∞)(−∞,−1)∪(0,1)f (x)=sin(ωx +)(ω>0)π5f (x)[0,2π]3f (x)π;f (x)(0,2π)3f (x)(0,)π7ω[,751910f(x)=sin ωx(ω>0)y A 1A 2A 3⋯A n ⋯{}A n A k A t A p △A k A t A p ω{}ωn =ω20194033π24035π24037π24039π2f (x)=sin(ωx +φ)M N C f (x)M y C f (x)xA.函数的一个周期为B.函数的图像关于点成中心对称C.函数在上单调递增D.圆的面积为8. 若函数，则函数在下列区间单调递减的是( )A.B.C.D.卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 3 小题，每题 3 分，共计9分）9. 若在区间上是增函数，则的取值范围是________.10. 设当时，函数取得最大值，则________．11. 已知函数，且，对不同的，若y =f (x)56f (x)(,0)43f (x)(−,−)1216C π3136y =3sin(−2x)(x ∈[0,π])π6[0,]π3[,]π35π6[,π]5π6[,]π22π3f (x)=2sin ωx +1(ω>0)[−,]π22π3ωx =θf(x)=sin x +2cos x cos θ=f (x)=2sin(2x +φ),0<φ<π2f (a)=f (b)=0,∈[a,b]x 1x 2f ()=f ()f (+)=–√，有，则________.四、解答题（本题共计 4 小题，每题 10 分，共计40分） 12. 已知.求函数在上的单调递减区间；求函数在上的值域；求不等式在上的解集． 13. 已知函数．求的最小正周期；求在上的最大值及取得最大值时的集合；若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 14. 已知函数（1）求的最小正周期；（2）求的最大值，以及此时的取值集合；（3）求的单调递增区间．15. 已知函数图象与函数的图象的对称轴完全相同．（1）求函数的单调递增区间；（2）当函数的定义域为时，求函数的值域．f ()=f ()x 1x 2f (+)=x 1x 23–√φ=f (x)=sin(−2x)π6(1)R (2)[0,]π2(3)f (x)<−12[−π,π]f (x)=2(+x)−cos 2x sin 2π43–√(1)f (x)(2)f (x)x ∈[,]π4π2x (3)−2+m <f (x)<2+m x ∈[,]π4π2m f(x)=3cos(+)+3x 2π6f(x)f(x)x f(x)f(x)=4cos(wx +)(w >0)π4g(x)=2sin(2x +φ)+1f(x)f(x)[−，]π6π3f(x)参考答案与试题解析2023-2024学年全国高中数学同步练习一、选择题（本题共计 6 小题，每题 3 分，共计18分）1.【答案】C【考点】余弦函数的周期性余弦函数的对称性余弦函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】由知，，正确，故选．2.【答案】C【考点】正弦函数的单调性【解析】由，，解得，得到函数＝的增区间，即为所求．【解答】解：本题即求函数的增区间，由，，解得，，f (x)=2sin(x −)π4f ()=0π4C C 2kπ−≤≤2kπ+π2t 2π2k ∈z4kπ−π≤t ≤4kπ+πF(t)50+4sin t 2F(t)=50+4sin t 22kπ−≤≤2kπ+π2t 2π2k ∈Z 4kπ−π≤t ≤4kπ+πk ∈Z 50+4sin t故函数的增区间为，，结合所给的选项，只有选项中的区间是，的子区间.故选.3.【答案】C【考点】正弦函数的奇偶性和对称性正弦函数的图象【解析】先利用正弦函数的周期性、图象的对称性求得的范围，再根据，且，分类讨论，求得的具体范围．【解答】解：．函数，），若的图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，则，故错误；．由的图象的任何一条对称轴与轴交点的横坐标均不属于区间，可得且，解得，当时，，不符合，当时，，符合题意，当时，，符合题意，当时，，不符合，故正确，错误．故选．4.【答案】D【考点】F(t)=50+4sint 2[4kπ−π,4kπ+π]k ∈Z C [4kπ−π,4kπ+π]k ∈Z C ωkπ+≤3ωπ−kπ+π+≥4ωπ−k ωAB f(x)=2sin(ωx −)(ω>π612x ∈R f (x)x (3π,4π)⋅≥4π−3π,122πω<ω≤1,12AB CD f (x)x (3π,4π)kπ+≤3ωπ−,π2π6kπ+π+≥4ωπ−,k ∈Z π2π6≤ω≤,k ∈Z 3k +293k +512k =0≤ω≤29512<ω≤112k =1≤ω≤5923k =2≤ω≤891112k =3≤ω≤119149<ω≤112C D C其他不等式的解法函数奇偶性的性质函数奇偶性的判断【解析】此题暂无解析【解答】解：∵，∴，∴，∴，∵为上的增函数，且，∴的解集为.故选.5.【答案】D【考点】正弦函数的单调性正弦函数的周期性正弦函数的定义域和值域正弦函数的图象正弦函数的对称性【解析】,根据题意可知,解得,即可得,当时在有且仅有个对称轴, 在单调递增,逐一判断即可.【解答】解:,则,在有且仅有个零点,∴，则,④正确;g(x)=g(−x)h(x)=+−12x −12x 2−12x =+12x −12x h(−x)=1+2−12−x =+−12−x −12−x 2−12−x ==−h(x)+12x1−2x f(−x)=g(−x)h(−x)=−g(x)h(x)=−f(x)f (x)(0,+∞)g(1)=0f (x)<0(−∞,−1)∪(0,1)D ωx +∈[,2πω+]π5π5π53π≤2πω+<4ππ5≤ω<751910T =∈(,]2πω20π1910π72πω+>π57π2f (x)(0,2π)4f (x)(0,)π7x ∈[0,2π]ωx +∈[,2πω+]π5π5π5f (x)[0,2π]33π≤2πω+<4ππ5≤ω<751910=∈(,]2π20π10π由,可知①错误;当时在有且仅有个对称轴,故②错误;当时,, ,显然在上单调递增,故③正确.故选.6.【答案】C【考点】正弦函数的对称性两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【解析】此题暂无解析【解答】解：由，，得，，由题意得，，，，，即，，，，，由是等腰直角三角形，得，即，得，同理是等腰直角三角形，得，得，同理是等腰直角三角形，得，得，，510T =∈(,]2πω20π1910π72πω+>π57π2f (x)(0,2π)4x ∈(0,)π7ωx +∈(,+)π5π5ωπ7π5+∈(,)ωπ7π52π533π70f (x)(0,)π7D ωx =kπ+π2k ∈Z x =(2k +1)π2ωk ∈Z x =π2ω3π2ω5π2ω⋯(2n −1)π2ω(,1)A 1π2ω(,−1)A 23π2ω(,1)A 35π2ω(,−1)A 47π2ω⋯△A 1A 2A 3⋅=−1k A 1A 2k A 2A 3⋅=−12πω−2πω=ω1π2△A 1A 4A 7⋅=−1k A 1A 4k A 4A 7=ω23π2△A 1A 6A 11⋅=−1k A 1A 6k A 6A 11=ω35π2⋯=ωn (2n −1)π2=(2×2019−1)π则.故选.二、多选题（本题共计 2 小题，每题 3 分，共计6分）7.【答案】B,D【考点】正弦函数的周期性由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式正弦函数的对称性正弦函数的单调性两点间的距离公式【解析】首先利用函数的图象的应用求出函数的关系式，进一步求出函数的单调区间和函数的对称轴即圆的半径．【解答】解：根据函数的图像与圆的关系，得到点为点和点的对称中心，所以点的横坐标，即.，函数的最小正周期为，故选项错误；，函数的图像对称中心的横坐标为：，当时，函数关于点成中心对称，故选项正确；，由于，则，函数在上单调递增，在上不是单调递增，故选项错误；，，所以，当时，，解得，所以，==ω2019(2×2019−1)π24037π2C C C M N C x==+023213C (,0)13A T =2(+)=11316A B f (x)k ⋅×1+=+1213k 213(k ∈Z)k =2f(x)(,0)43B C =T 414−−=−>−161451212f(x)(−,−)51216(−,−)12512CD ω==2π2π1f (x)=sin(2πx +φ)x =−16f (−)=016φ=+2kππ3(k ∈Z)f (x)=sin(2πx ++2kπ)=sin(2πx +)π3π3(0)=–√当时，，所以，所以，所以圆的面积为，故选项正确．故选．8.【答案】A,C【考点】正弦函数的单调性【解析】此题暂无解析【解答】解：因为，所以，因为，，所以，，所以单调递减区间为，，分别取，与的交集得.故选．三、填空题（本题共计 3 小题，每题 3 分，共计9分）9.【答案】【考点】正弦函数的单调性【解析】此题暂无解析x =0f (0)=3–√2M(0,)3–√2|CM|==+()132()3–√22−−−−−−−−−−−−−−√3136−−−√C π×=()3136−−−√231π36D BD y =3sin(−2x)(x ∈[0,π])π6y =−3sin(2x −)π62kπ−≤2x −≤2kπ+π2π6π2k ∈Z kπ−≤x ≤+kππ6π3k ∈Z [kπ−,+kπ]π6π3k ∈Z k =01x ∈[0,π]AC AC (0,]34【解答】解：由，得的增区间是因为在上是增函数，所以所以且，又，得所以的范围为.故答案为：．10.【答案】【考点】正弦函数的定义域和值域【解析】把化简为一个角的正弦函数即可求解．【解答】解：∵.设，，即.当时，函数取得最大值，即，，∴.故答案为：.11.【答案】2kπ−≤ωx ≤2kπ+,k ∈Z π2π2f (x)[−,+](k ∈Z).2kπωπ2ω2kπωπ2ωf (x)[−,]π22π3[−,]⊆[−,]π22π3π2ωπ2ω−≥−π2π2ω≤2π3π2ωω>00<ω≤.34ω(0,]34(0,]3425–√5f(x)f(x)=sin x +2cos x=(sin x +cos x)5–√5–√525–√5cos α=5–√5sin α=25–√5f(x)=sin(x +α)5–√x =θf(x)=sin x +2cos x =sin(x +α)5–√θ+α=+2kππ2k ∈Z cos θ=cos(+2kπ−α)=sin α=π225–√525–√5π【考点】正弦函数的定义域和值域正弦函数的周期性【解析】由题意得到，代入，求解即可.【解答】解：∵，.∵对不同的，，若，有，则，即，又，在一个周期内或，得（舍去）或，即，则.故答案为：.四、解答题（本题共计 4 小题，每题 10 分，共计40分）12.【答案】解：因为.令，解得：，，即函数的单调递减区间为，．∵，∴．∵，∴在上的值域为．由得，，π32(+)=π−2φx 1x 2sin[2(+)+φ]=x 1x 23–√2f (a)=f (b)=0∴b −a ==T 2π2x 1∈[a,b]x 2f ()=f ()x 1x 2f (+)=x 1x 23–√2sin[2(+)+φ]=x 1x 23–√sin[2(+)+φ]=x 1x 23–√22sin(2+φ)=2sin(2+φ)x 1x 22+φ=2+φx 1x 22+φ+2+φ=πx 1x 2=x 1x 22(+)=π−2φx 1x 2sin[2(+)+φ]=sin(π−2φ+φ]x 1x 2=sin(π−φ)=sin φ=3–√2φ=π3π3(1)f (x)=sin(−2x)=−sin(2x −)π6π62kπ−≤2x −≤2kπ+π2π6π2kπ−≤x ≤kπ+π6π3k ∈Z f (x)[kπ−,kπ+]π6π3k ∈Z (2)0≤x ≤π2−≤−2x ≤5π6π6π6−1≤sin(−2x)≤π612f (x)[0,]π2[−1,]12(3)sin(−2x)<−π612sin(2x −)>π6122kπ<2x −<+2kπ(k ∈Z)5π∴，∴．又，故不等式的解集为.【考点】正弦函数的单调性正弦函数的定义域和值域【解析】无无无【解答】解：因为.令，解得：，，即函数的单调递减区间为，．∵，∴．∵，∴在上的值域为．由得，，∴，∴．又，故不等式的解集为.13.【答案】解：由题意知，函数，化简得，，+2kπ<2x −<+2kπ(k ∈Z)π6π65π6+kπ<x <+kππ6π2x ∈[−π,π][−,−]∪[,]5π6π2π6π2(1)f (x)=sin(−2x)=−sin(2x −)π6π62kπ−≤2x −≤2kπ+π2π6π2kπ−≤x ≤kπ+π6π3k ∈Z f (x)[kπ−,kπ+]π6π3k ∈Z (2)0≤x ≤π2−≤−2x ≤5π6π6π6−1≤sin(−2x)≤π612f (x)[0,]π2[−1,]12(3)sin(−2x)<−π612sin(2x −)>π612+2kπ<2x −<+2kπ(k ∈Z)π6π65π6+kπ<x <+kππ6π2x ∈[−π,π][−,−]∪[,]5π6π2π6π2(1)f (x)=2(+x)−cos 2x sin 2π43–√f (x)=1−cos(+2x)−cos 2x π23–√=1+sin 2x −cos 2x =2sin(2x −)+13–√π3(x)=2sin(2x −)+1π故，则的最小正周期为．由可得，∵，，当，且时，，则，此时．若不等式在上恒成立，由可知函数在上，，，解得：,故实数的取值范围为．【考点】三角函数的恒等变换及化简求值正弦函数的周期性三角函数的最值【解析】(Ⅰ)利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，然后利用周期公式求解即可．(Ⅱ)求出相位的范围，利用正弦函数的最值求解即可．(Ⅲ)求出函数的最值，然后转化求解的范围即可．【解答】解：由题意知，函数，化简得，，故，则的最小正周期为．由可得，∵，，当，且时，f (x)=2sin(2x −)+1π3f(x)T ==π2π2(2)(1)f (x)=2sin(2x −)+1π3x ∈[,]π4π2∴2x −∈[,]π3π62π32x −=π3π2x =5π12sin(2x −)=1π3f =3(x)max x ∈{}5π12(3)−2+m <f (x)<2+m x ∈[,]π4π2(2)f (x)x ∈[,]π4π2f =3(x)max f =2(x)min ∴{2+m >3,−2+m <2,1<m <4m (1,4)m (1)f (x)=2(+x)−cos 2x sin 2π43–√f (x)=1−cos(+2x)−cos 2x π23–√=1+sin 2x −cos 2x =2sin(2x −)+13–√π3f (x)=2sin(2x −)+1π3f(x)T ==π2π2(2)(1)f (x)=2sin(2x −)+1π3x ∈[,]π4π2∴2x −∈[,]π3π62π32x −=π3π2x =5π12∈{}5π，则，此时．若不等式在上恒成立，由可知函数在上，，，解得：,故实数的取值范围为．14.【答案】解：（1）由的解析式为，可得它的最小正周期．（2）根据可得，当时，函数取得最大值为，此时，，，解得，．故当取得最大值时，的取值集合为．（3）令，，可得，故的单调递增区间为，．【考点】余弦函数的单调性余弦函数的定义域和值域三角函数的周期性及其求法【解析】（1）由的解析式根据函数的周期等于，求得它的最小正周期．（2）当时，函数取得最大值为，此时，，，由此求得当取得最大值时，的取值集合．（3）令，，求得的范围，即可求得的单调递增区间．【解答】解：（1）由的解析式为，可得它的最小正周期．（2）根据可得，当时，函数取得最大值为，此时，，，解得，．故当取得最大值时，的取值集合为．sin(2x −)=1π3f =3(x)max x ∈{}5π12(3)−2+m <f (x)<2+m x ∈[,]π4π2(2)f (x)x ∈[,]π4π2f =3(x)max f =2(x)min ∴{2+m >3,−2+m <2,1<m <4m (1,4)f(x)f(x)=3cos(+)+3x 2π6T ==4π2π12f(x)=3cos(+)+3x 2π6cos(+)=1x 2π6f(x)6(+)=2kπx 2π6k ∈z x =4kπ−π3k ∈z f(x)x {x |x =4kπ−,k ∈z}π32kπ−π≤(+)≤2kπx 2π6k ∈z 4kπ−≤x ≤4kπ−7π3π3f(x)[4kπ−,4kπ−]7π3π3k ∈z f(x)y =A sin(ωx +∅)2πωcos(+)=1x 2π6f(x)6(+)=2kπx 2π6k ∈z f(x)x 2kπ−π≤(+)≤2kπx 2π6k ∈z x f(x)f(x)f(x)=3cos(+)+3x 2π6T ==4π2π12f(x)=3cos(+)+3x 2π6cos(+)=1x 2π6f(x)6(+)=2kπx 2π6k ∈z x =4kπ−π3k ∈z f(x)x {x |x =4kπ−,k ∈z}π3kπ−≤x ≤4kπ−7π（3）令，，可得，故的单调递增区间为，．15.【答案】解：（1）由题意可得，∴，∴，令，，可得，故函数的增区间为，．（2）∵，∴．∴当时，函数取得最小值为（）．当时，函数取得最大值为，故函数的值域为．【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换余弦函数的定义域和值域【解析】（1）由周期求出，得到函数，令，，求得的范围，即可求得函数的单调递增区间．（2）由，可得，由此求得函数的值域【解答】解：（1）由题意可得，∴，∴，令，，可得，故函数的增区间为，．（2）∵，∴．∴当时，函数取得最小值为（）．当时，函数取得最大值为，故函数的值域为．2kπ−π≤(+)≤2kπx 2π6k ∈z 4kπ−≤x ≤4kπ−7π3π3f(x)[4kπ−,4kπ−]7π3π3k ∈z ==π2πω2π2ω=2f(x)=4cos(ωx +)=4cos(2x +)π4π42kπ−π≤2x +≤2kππ4k ∈z kπ−≤x ≤kπ−5π8π8[kπ−,kπ−]5π8π8k ∈z x ∈[−,]π6π3−≤2x +≤π12π411π122x +=−π411π12f(x)=4cos(2x +)π44cos =4cos 11π12+2π3π4=4cos cos −4sin sin =−(+)2π3π42π3π46–√2–√2x +=0π4f(x)=4cos(2x +)π44[−−,4]6–√2–√ωf(x)=4cos(2x +)π42kπ−π≤2x +≤2kππ4k ∈z x f(x)x ∈[−,]π6π3−≤2x +≤π12π411π12f(x)=4cos(2x +)π4==π2πω2π2ω=2f(x)=4cos(ωx +)=4cos(2x +)π4π42kπ−π≤2x +≤2kππ4k ∈z kπ−≤x ≤kπ−5π8π8[kπ−,kπ−]5π8π8k ∈z x ∈[−,]π6π3−≤2x +≤π12π411π122x +=−π411π12f(x)=4cos(2x +)π44cos =4cos 11π12+2π3π4=4cos cos −4sin sin =−(+)2π3π42π3π46–√2–√2x +=0π4f(x)=4cos(2x +)π44[−−,4]6–√2–√。

高等数学同步测试题

高等数学同步测试题# 高等数学同步测试题一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 4 $ 的最小值出现在 $ x $ 的哪个值上？- A. $ x = 0 $- B. $ x = 2 $- C. $ x = 4 $- D. $ x = -2 $2. 以下哪个选项是 $ e^x $ 的导数？- A. $ e^{-x} $- B. $ e^x $- C. $ x \cdot e^x $- D. $ \ln(e^x) $3. 曲线 $ y = x^3 - 3x^2 + 2x $ 在 $ x = 1 $ 处的切线斜率是多少？- A. 0- B. 1- C. 2- D. 34. 以下哪个级数是收敛的？- A. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $- B. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $- C. $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} $- D. $ \sum_{n=1}^{\infty} n $5. 以下哪个积分是正确的？- A. $ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C $- B. $ \int e^x dx = e^x + C $- C. $ \int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C $- D. 所有选项都是正确的二、填空题（每题2分，共10分）6. 极限 $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $ 的值是 ______ 。

7. 函数 $ y = \ln(x) $ 的二阶导数是 ______ 。

8. 圆 $ x^2 + y^2 = 4 $ 在第一象限的弧长是 ______ 。

高等数学同步训练习题上

高等数学同步训练习题上一、极限1. 计算下列极限：- $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} $- $ \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} $- $ \lim_{x \to 2} (x^2 - 4) $2. 判断下列函数在 $ x \to 0 $ 时是否存在极限，并求出极限值（如果存在）：- $ f(x) = x^2 \sin \frac{1}{x} $- $ g(x) = \frac{\sin x}{x} $二、导数与微分1. 求下列函数的导数：- $ f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x + 7 $- $ g(x) = \sin x + \cos x $2. 利用导数判断下列函数在 $ x = 1 $ 处的单调性：- $ h(x) = x^2 - 2x + 1 $- $ k(x) = e^x - x $三、积分1. 计算下列不定积分：- $ \int x^2 dx $- $ \int \frac{1}{x} dx $2. 解下列定积分：- $ \int_{0}^{1} x^3 dx $- $ \int_{1}^{e} \frac{1}{x} dx $四、级数1. 判断下列级数的收敛性：- $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $- $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $2. 求下列级数的和（如果收敛）：- $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} $- $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} $五、多元函数微分1. 求下列多元函数的偏导数：- $ f(x, y) = x^2 y + y^3 $- $ g(x, y) = \ln(x^2 + y^2) $2. 求下列多元函数在给定点处的方向导数：- $ h(x, y) = xy + x^2 + y^2 $ 在点 $ (1, 1) $ 处沿向量 $ \vec{v} = (1, -1) $ 的方向导数六、常微分方程1. 解下列一阶微分方程：- $ \frac{dy}{dx} = x - y $- $ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} $2. 解下列二阶常系数线性微分方程：- $ y'' - 2y' + y = 0 $- $ y'' + 4y' + 4y = 0 $结束语通过完成上述习题，同学们可以加深对高等数学基本概念的理解，并提高解决实际问题的能力。

《高等数学》同步练习册(下)新答案

参考答案与提示第7章多元函数微分学及其应用7.1 多元函数的概念1、(1) }1,),{(22y x x y y x -≤>(2)}0,),,({22222≠+≥+y x z y x z y x (3)不存在 (4)连续 3、(1) 0 (2) 07.2 偏导数与全微分1、(1))sin(xy y - (2)yx xyy x x +++)ln( (3))cos()sin(xy ye xy (4) 223yx x + (5) )2(2x y x e xy -- (6) dy xe dx xe y y ----2)232( (7) dx 2 (8) 0.25e 2、(1) 11+-=z y x y x f 1ln -+=z y z y y zy x x y x f y y x f z y z ln =(2)xyy xy z yx ++=1)1(2 ]1)1[l n()1(xy xy xy xy z yy ++++= 3、023=∂∂∂yx z 2231y y x z -=∂∂∂ 7.3 多元复合函数求导法1、(1) z xy xyf 2)(2或 (2) 212f xe f y xy '+'- (3) 12+'ϕx(4) t t t 232423-+ (5) xx ex x e 221)1(++ (6) dy xy x dx y xy )2()2(22-+-2、(1) 321f yz f y f u x '+'+'= 32f xz f x u y '+'= 3f xy u z '=(2) 223221111f yx f y f xy f ''-'-''+' (3) f x f ''+'242 f xy ''4 (4) )cos ()(cos sin 333132321y x y x y x e f f x f e f e f x y +++''+''+'+''+''- 7.4 隐函数求导法1、2)cos()cos(2x xy x xy y xy -- 2、z x 2sin 2sin - zy 2s i n 2s i n -3、3232)1(22---z x z z z 4、)(211F F z F x '+'' )(212F F z F y '+'' 5、(1) )31(2)61(z y z x ++- z x31+(2))21)(1()12(21122112g yv f x g f g yv f u g f '-'--''-''+'' )21)(1()1(2112111g yv f x g f f u f x g '-'--'''-'-'7.5 多元函数微分学的几何应用1、(1) 213141-=-=-z y x (2) 422+=++πz y x (3) 223(4) 12124433-=-=-z y x 2、2164±=++z y x 3、46281272-=-=+z y x 4、2,5-=-=b a7.6 方向导数与梯度1、(1)32 (2) 21(3) 5 (4) }2,2,1{92-2、)(2122b a ab + 3、3 4、}1,4,2{211- 21 7.7 多元函数极值及其求法1、极小值：2)21,41(21--=--ef2、最大值4)1,2(=z ，最小值64)2,4(-=z 。

高等数学同步习题集(答案)

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高等数学同步练习答案

高等数学同步练习答案【篇一：高等数学练习题(附答案)】年级学号姓名（）1. 收敛的数列必有界.（）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （）3. 闭区间上的间断函数必无界. （）4. 单调函数的导函数也是单调函数.（）5. 若f(x)在x0点可导，则f(x)也在x0点可导.（）6. 若连续函数y?f(x)在x0点不可导，则曲线y?f(x)在(x0,f(x0))点没有切线.（）7. 若f(x)在[a,b]上可积，则f(x)在[a,b]上连续.（）8. 若z?f(x,y)在（x0,y0）处的两个一阶偏导数存在，则函数z?f(x,y)在（x0,y0）处可微.（）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解.（）10. 设偶函数f(x)在区间(?1,1)内具有二阶导数，且f??(0)?f?(0)?1, 则f(0)为f(x)的一个极小值.二、填空题.（每题2分，共20分）1. 设f(x?1)?x，则f(x?1)?.122. 若f(x)?2x?11，则lim?.x?0?2x?13. 设单调可微函数f(x)的反函数为g(x), f(1)?3,f?(1)?2,f??(3)?6则 g?(3)?.4. 设u?xy?xy, 则du?.5. 曲线x2?6y?y3在(?2,2)点切线的斜率为.6. 设f(x)为可导函数,f?(1)?1,f(x)?f(1x)?f(x2),则f?(1)?.7. 若?f(x)22tdt?x(1?x),则f(2)? .8. f(x)?x?2x在[0,4]9. 广义积分????2xedx?10. 设d为圆形区域x2?y2?1,??y?x5dxdy? .d三、计算题（每题5分，共40分）1. 计算lim(11n??n2?(n?1)2???1(2n)2).2. 求y?(x?1)(x?2)2(x?3)3??(x?10)10在（0，+?）内的导数.3. 求不定积分?1.x(1?x)4. 计算定积分??sin3x?sin5xdx.5. 求函数f(x,y)?x3?4x2?2xy?y2的极值. 6. 设平面区域d是由y?x,y?x围成，计算??sinydy.7. 计算由曲线xy?1,xy?2,y?x,y?3x围成的平面图形在第一象限的面积.8. 求微分方程y??y?2xy的通解.四、证明题（每题10分，共20分）1.证明：arctanx?arcsinx (???x???).2. 设f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(x)?0,f(x)??xx10f(t)dt??bf(t)证明：方程f(x)?0在区间(a,b)内有且仅有一个实根.《高等数学》参考答案二、填空题.（每题2分，共20分）1.x2?4x?4；2. 1；3. 1/2；4.(y?1/y)dx?(x?x/y2)dy；5. 2/3 ；6. 1 ；7.36 ；8. 8 ； 9.1/2 ； 10. 0.三、计算题（每题5分，共40分）1.解：因为n?1111(2n)2?n2?(n?1)2??(2n2)n2 且 ln?1n?1n2=0n?i?(2n2)?，0limn??由迫敛性定理知： lim11)=0n??(n2?1(n?1)2???(2n)22.解：先求对数lny?ln(x?1)?2ln(x?2)??10ln(x?10) ?11yy??x?1?2x?2???10x?10?y??(x?1)?(x?10)(1x?1?210x?2???x?10)3.解：原式=2?1?xdx =2??(x)2=2arcsin4.解：原式=? ?x?csin3xcos2xdx?3?3 =?222cosxsinxdx??cosxsinxdx2?33 =?22??sin2sinxdsinx?xdsinx2=25?525[sinx]2?0?25[sin2x]?2=4/55.解： f??3x2x?8x?2y?0fy??2x?2y?0故 ?x?0?或?x?2?y?0??y?2当 ?x?0???y?0时f(0,0)??8，f??(0,0)??2，f?xxyyxy??(0,0)?2???(?8)?(?2)?22?0 且a=?8?0? （0，0）为极大值点且f(0,0)?0当 ?x?2?2时f??(2,2)?4， f??(2,2)??2，fxy??(2,2)?2?y?xx yy???4?(?2)?22?0 ?无法判断6.解：d=?(x,y)0?y?1,y2?x?y????sinydy??1dy?ysinyy2ydx=?1siny0yx]yy2dy=?1(siny?ysiny)dy=[?cosy]10??1ydcosy =1?cos1?[ycosy]10??1cosydy=1?sin17.解：令u?xy，v?y1?u?2x；则，1?v?31uj?xuxvuv?2vv1yuy?2vvu?2v2uv? a???d???211du?31?ln3 d2vdv8.解：令 y2?u，知(u)??2u?4x由微分公式知：u?y2?e?2dx(??4xe??2dx dx?c)?e2x(??4xe?2xdx?c)?e2x(2xe?2x?e?2x?c)四.证明题（每题10分，共20分）1.解：设f(x)?arctaxn?arcsix ?x2?x2x21?2?f?(x)?11?x2???xx21?x2=0 ?1?x2?f(x)?c???x???令x?0 ?f(0)?0?0?0?c?0 即：原式成立。

高一必修一数学同步练习题

高一必修一数学同步练习题大家把理论知识复习好的同时,也应该要多做题,从题中找到自己的不足,及时学懂。

下面是为大家整理的关于高一必修一数学同步练习题，希望对您有所帮助!高一数学同步练习题1、函数y=1x-1在[2,3]上的最小值为( )A.2B.12C.13D.-12解析：选B.函数y=1x-1在[2,3]上为减函数，ymin=13-1=12.2、某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=-x2+21x和L2=2x，其中销售量(单位：辆).若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为()A.90万元B.60万元C.120万元D.120.25万元解析：选C.设公司在甲地销售x辆(015，x为正整数)，则在乙地销售(15-x)辆，公司获得利润L=-x2+21x+2(15-x)=-x2+19x+30.当x=9或10时，L最大为120万元，故选C.3、已知函数f(x)=-x2+4x+a，x[0,1]，若f(x)有最小值-2，则f(x)的.最大值为( )A.-1B.0C.1D.2解析：选C.f(x)=-(x2-4x+4)+a+4=-(x-2)2+4+a.函数f(x)图象的对称轴为x=2，f(x)在[0,1]上单调递增.又∵f(x)min=-2，f(0)=-2，即a=-2.f(x)max=f(1)=-1+4-2=1.高一数学练习题一、选择题(每题4分，共40分)1、下列四组对象，能构成集合的是( )A 某班所有高个子的学生B 著名的艺术家C 一切很大的书D 倒数等于它自身的实数2、集合{a，b，c }的真子集共有个( )A 7B 8C 9D 103、若{1，2}A{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A的个数是( )A. 6B. 7C. 8D. 94、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U(M∪N)= ( )A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4}xy15、方程组xy1 的解集是( )A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1}6、以下六个关系式：00，0，0.3Q, 0N, a,bb,a ，x|x220,xZ 是空集中，错误的个数是( )A 4B 3C 2D 17、点的集合M={(x,y)|xy≥0｝是指( )A.第一象限内的点集B.第三象限内的点集C. 第一、第三象限内的点集D. 不在第二、第四象限内的点集8、设集合A=_2，B=_a，若AB，则a的取值范围是( )A aa2B aa1C aa1D aa29、满足条件M1=1,2,3的.集合M的个数是( )A 1B 2C 3D 410、集合Px|x2k,kZ，Qx|x2k1,kZ，Rx|x4k1,kZ，且aP,bQ，则有( )A abPB abQCabR Dab不属于P、Q、R中的任意一个二、填空题(每题3分，共18分)11、若A{2,2,3,4}，B{x|xt2,tA}，用列举法表示12、集合A={x| x+x-6=0}, B={x| ax+1=0},若BA，则a=__________13、设全集U=2,3,a2a3，A=2,b，CUA=5，则a= ，b= 。

高等数学同步练习册

高等数学同步练习册（第一册）主审邱顺大主编庄小红参编向莹常州机电职业技术学院第一章预备知识一、单项选择题 1．已知)3,5(A π、)3,5(B π-、)3,5(C π--、)3,5(D π-，则P 这四个点（）（A ）在同一条直线上（B ）A 与C 重合（C ）A 与D 关于极轴对称（D ）在同一个圆上2．曲线2=ρ和ϕ=ρsin 4的交点个数是（）（A ）1个（B ）2个（C ）无数个（D ）零个3．复数a+bi （a , b ∈R ）的平方是纯虚数的条件等价于（）（A ）0b a 22=+ （B ）0b a 22=- （C ）0b a ≠= （D ）0b a ≠= 4 ．实数 1m -≠时，复数i )6m 5m ()2m 3m (22--++- 是（）（A ）实数（B ）虚数（C ）纯虚数（D ）不能确定 5．复数6cos i 6sinπ-π的模是（）（A ）43（B ）1 （C ）23 （D ）266．下列每一组数中两个都是实数的是（）（A ）z z z z -+与与（B ）z z z z ⋅+与与（C ）z z z z 与与- （D ）zzz z 与与⋅ 二、填空题1．已知点M 的极坐标为)3,3(π，则点M 的直角坐标为____________________． 2．已知点N 的直角坐标为)4,4(-，则点N 的极坐标为． 3．极坐标方程)0a (a>=ρ的图象是，极坐标方程a =ϕ的图象是．4．曲线x 4y x 22=+的极坐标方程是． 5． i 43+＝，(1＋i) ÷（1-i ）=______________． 7．如果＝则z ,i2z +-=____________，方程4x 2-=的解为．8．方程0b ax x 2=++的一个根i 1+，则a=___________，b=____________． 9．复数 .e 6iπ的三角形式为________________ , 极坐标形式为________________． 10．复数 i 3.1+-的三角形式为________________；极坐标形式为________________．三、计算1．5)]18sin i 18(cos 3[+ 2．1997)i 2321(+3．i1)i 1(i 1)i 1(55+-+-+ 4．2i 4i e 2e 3π-π-÷四、已知x,，y 是实数，且xyi 30y x --+和yi x i 60+-是共轭复数，求x 和y 的值．五、解方程010x 2x 2=+-第二章函数、极限和连续一、单项选择题1．设()xf x x=，则0lim ()x f x →是（）（A ）1 （B ）－1 （C ）不存在（D ）0 2．设11)(--=x x x f ，则)(lim 1x f x →是（）（A ）1 （B ）1- （C ）不存在（D ）03．已知函数)(x f 在0x 处连续，则=→)(lim 0x f x x （）（A ）0x （B ）)(x f （C ）)(0x f （D ）)(x f '4 ．2lim(13)xx x →+= （）（A ）1 （B ）6e （C ）2e （D ）∞5．=++-→111)2(lim x x x （）（A ）1 （B ）e （C ）e1（D ）∞ 6．函数)(x f 在0x 处连续是)(lim 0x f x x →存在的（）（A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充要条件（D ）以上都不对 7．若xx ex f -=1)(，则1=x 是)(x f 的（）（A ）连续点（B ）跳跃间断点（C ）可去间断点（D ）无穷间断点 8．以下结论正确的是（）（A ）55tan lim0=→x x x （B ）11sin lim 220=→x x x（C ）1sin lim=∞→x x x （D ）0sin tan sin lim 30=-→xxx x9．设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=ax x x f 3sin 00=≠x x 在0=x 处连续，则=a （）（A ）1- （B ）1 （C ）2 （D ）3 10．=-+∞→x exx sin lim （）（A ）0 （B ）1 （C ）∞ （D ）不存在 11．=→xxx 3sin lim0 （）（A ）1 （B ）3 （C ）31（D ）0 12．设xy 2=，则y '为（）（A ）2ln x （B ）2ln 1x （C ）2ln 2x（D ）12-x x 13．设)(x α与)(x β都为0→x 时的无穷小量，且1)()(lim 0=→x x x βα，则（）（A ）当0→x 时，)(x β是比)(x α高阶的无穷小量（B ）当0→x 时，)(x β是比)(x α低阶的无穷小量（C ）当0→x 时，)(x β是比)(x α同阶的无穷小量（D ）当0→x 时，)(x β与)(x α是等价无穷小14．下列各式正确的是（）（A ）e x x x =++∞→1)11(lim （B ）1)11(lim 1=++∞→x x x（C ）0)11(lim 1=++∞→x x x （D ）2)11(lim 1=++∞→x x x15．2-=x 是函数24)(2+-=x x x f 的（）（A ）无穷间断点（B ）跳跃间断点（C ）第二类间断点（D ）可去间断点16．下列各式正确的是（）（A ）e x x x =++∞→1)11(lim （B ）1)11(lim 1=++∞→x x x（C ）1sin lim =∞→x x x （D ）e xxx =→sin lim 017．设函数()⎪⎩⎪⎨⎧=a x x x f 2sin 0=≠x x 在0=x 处连续，则=a （）（A ）—1 （B ）1 （C ）2 （D ）3 18．函数xx x x x f 22)(23---=的间断点是（）（A ）1,0-==x x （B ）2,1,0=-==x x x （C ）2,0==x x （D ）2,1==x x 19．函数xx x x x f 323)(23---=的间断点是（）（A ）1,0-==x x （B ）3,1,0=-==x x x （C ）3,0==x x （D ）3,1==x x20．在给定过程中是无穷小为（）（A ）0,sin →x x x （B ）∞→x x x,cos （C ）∞→x x x ,cos （D ）0,sin →x xx21．=-→111lim x x e （）（A ）1 （B ）不存在但不为 ∞ （C ）∞ （D ）022．函数2)]23[arctan(+=x y 的复合过程是（）（A ）)23arctan(,2+==x u u y （B ）)23tan(,,2+===x v arcv u u y （C ）23,arctan ,2+===x v v u u y （D ）23,arctan 2+==x u u y二、填空题1．函数x y arccos lg 2=的复合过程为______________________________． 2．函数22)1arctan(+=x y 的复合过程为． 3．函数)1(lg 22x y +=的复合过程为． 4．函数x y 2tan ln =的复合过程为． 5．函数)52ln(612-+--=x x x y 的定义域．6．函数)53ln(612-+-+=x x x y 的定义域为．7．函数2111ln)(x x xx f -++-=的定义域为． 8．=⋅+⋅→)sin 11sin (lim 0x x x x x ＿＿＿＿＿； =→xxx 3sin lim 0＿＿＿＿＿．9．.sin )(,1sin )(xxx g x x x f ==设求：=→)(lim 0x f x ＿＿＿；=∞→)(lim x f x ＿＿＿．=→)(lim 0x g x ＿＿＿；=∞→)(lim x g x ＿＿＿．10．____________)1(lim 20=+→tt t ；___________1sinlim =∞→xx x ． 11．=--+→12lim221x x x x ． 12．如果函数()0x x f y 在点=处连续，那么极限()()[]00lim x f x f x x -→＝．三、求下列极限1．11lim 231--→x x x 2．)sin 11sin (lim 0xx x x x ⋅+⋅→3．111)2(lim +-→+x x x 4．x exx sin lim -+∞→5．11lim 31--→x x x 6．xx x)21(lim +∞→7．xx x-∞→+)51(lim 8．x e x x cos lim -+∞→9．xx x 220sin 11lim -+→ 10．x xx sin 3sin lim0→11．48lim 232--→x x x 12．231lim 221+--→x x x x13．)22(lim 22--+∞→x x x 14．1)5232(lim +∞→++x x x x15．28lim 32++-→x x x 16．x x x x 2)1313(lim +-∞→17．)tan 1sin 1(lim 0x x x -→ 18．xx x 11lim0-+→19．22cos 1limx xx-→20．)734(lim22+-→xxx21．x x x⎪⎭⎫⎝⎛-∞→31lim单元测验（90分钟内完成）一、单项选择题 1．函数sin(2)3x π+的周期是（）（A ）4π （B ）2π （C ）π （D ）2π 2．若0lim ()lim ()x x x x f x f x A +-→→==，则下列说法中正确的是（）（A ）()f x 在0x 处有定义（B ）()f x 在0x 处连续（C ）0()f x A = （D ）0lim ()x x f x A →=3．函数24()(2)x f x x x -=-在（）变化过程中为无穷大量．（A ）0x → （B ）2x → （C ）x →+∞ （D ）x →-∞ 4．函数1()sinf x x x=在点0x =处（）（A ）有定义且有极限（B ）无定义但有极限（C ）有定义但无极限（D ）既无定义又无极限 5．如果0()10x f x x x ≥=+<⎪⎩当时；当时，那么0lim ()x f x →是（）（A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）不存在 6．120lim(1)xx x -→-= （）（A ）1 （B ）e （C ）1e - （D ）2e7．2201lim sin x x e x-→-= （）（A ）0 （B ）1 （C ）∞ （D ）1-8．当0x →（）（A ）22x （B ）2x （C ）2x （D ）x二、填空题1．函数2ln sin y x =的复合过程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．2．已知,a b 为常数，21lim4,23n an bn n →∞++=+则a =＿＿＿＿;b =＿＿＿＿． 3．如果函数()y f x =在点0x 处连续，那么极限00lim[()()]x x f x f x →-=＿＿．4．设2(1)21,lim ()x f x x x f x →-=+-=则＿＿＿．5．0sin 2lim x xx→=＿＿＿．三、求极限1．4311lim 1x x x →-- 2．xx x x x ∆-∆+→∆0lim3．01cos lim tan x xx x→- 4．21lim ()1k x x k x x →∞+++为常数5．lim()1x x x x →∞+ 6．0sin limsin x x xx x →-+四、设函数sin 20()0x x f x xb xx ⎧≠⎪=⎨⎪+=⎩在0x =处连续，求b 的值．五、证明方程sin ()x a x b =+其中a>0,b>0至少有一个正根,并且它不超过a b +.第二章导数和微分一、单项选择题 1．设)(x f e y =，其中)(x f 为可导函数，则y ''等于（）（A ）)(x f e （B ）)()(x f e x f ''（C ）)]()([)(x f x f ex f ''+' （D ）)]())([(2)(x f x f e x f ''+'2．设)(x f 在点0x 处可导，且3)(0=x f ，则)(lim 0x f x x →等于（）（A ）0x （B ）3 （C ）)(0x f ' （D ）不存在 3．若函数)(x f 在点x=a 连续，则下面说法正确的是（）（A ）函数)(x f 在点x=a 可导（B ）函数)(x f 在点x=a 不可导（C ）函数)(x f 在点x=a 不一定可导（D ）ax a f x f ax --→)()(lim不存在4．设函数)(x f 在点0x 处可导，且)(0x f =1，则)(lim 0x f x x →= （）（A ）1 （B ）)(0x f （C ）)('0x f （D ）不存在5．函数y=x ,则函数在点x=0处（）（A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可导 6．设)sin()(2ax x f =，则)('a f 为（）（A ）3cos a （B ）22cos 2a a （C ）)cos(22ax x （D ）32cos 2a a7．设2arcsin x y =，则==21|x dy （）（A ）dx 154 （B ）dx 152 （C ）dx （D ）08．下列函数中，在点x=0处导数等于零的是（）（A ）x y sin = （B ）x y cos = （C ）x y = （D ）)1ln(x y +=9．直线x l 与轴平行，且与曲线xe x y -=相切，则切点坐标为（）（A ）（0，－1）（B ）（1，1）（C ）（0，1）（D ）（－1，1）10．设()0x x f 在点处可导，且()30=x f ，则()=→x f x x 0lim （）（A ）0x （B ）3 （C ）()0'x f （D ）不存在11．直线x l 与轴平行，且与曲线2xy x e =-相切，则切点坐标为（）（A ）（0，－1）（B ）（ln2，2ln2-2）（C ）（0，1）（D ）（－1，1）12．下列说法正确的是（）（A ）若)(x f 在0x x =处连续，则)(x f 在0x x =处可导（B ）若)(x f 在 0x x =处不可导，则)(x f 在0x x =处不连续（C ）若)(x f 在0x x =处不可微，则)(x f 在0x x =处极限不存在（D ）若)(x f 在 0x x =处不连续，则)(x f 在0x x =处不可导13．设dy x e y x，则=等于（）（A ）xdx e xln （B ）dx x e xe x x 2- （C ）dx xe x2 （D ）dx x xe e x x 2- 14．设 y 是满足方程ye y x =+的隐函数 , 则='y （）（A ）1-ye （B ）y e 2 （C ）11-y e （D ）2y e15．曲线31x y =在（0，0）处的切线方程为（）（A ）不存在（B ）0=y （C ）3131x y = （D ）0=x16．直线l 与直线2=y 平行，且与曲线x e y x-=相切，则切点坐标为（）（A ）)1,1(- （B ）)1,1(- （C ）（0，1）（D ）)1,0(-17．设x x f 2arcsin )(2=，则)('x f 为（）（A ）2412x- （B ）2412arcsin 4xx - （C ）2412arcsin 2xx - （D ）211x-18．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程是（）（A ）(1)y x =-+ （B ）1y x =- （C ）(ln 1)(1)y x x =-- （D ）y x =19．如果函数)(x f 在点x 可导，则)('x f = （）（A ）x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim0 （B ）xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim 0（C ）x x x f x x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim 0 （D ）xx f x x f x ∆-∆-→∆2)()(lim 020．设函数)(x f 在点0x 处可导，且)(0x f =4，则)(lim 0x f x x →= （）（A ）4 （B ）)(0x f （C ）)('0x f （D ）不存在21．)(x f 在0x x =处连续是)(x f 在0x x =可导的（）（A ）充分而非必要的条件（B ）必要非充分条件（C ）充分且必要的条件（D ）既非充分又非必要的条件 22．设xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000存在，则它等于（）（A ）)(0x f ' （B ）)(x f ∆'（C ）)(0x x f ∆+' （D ）0 23．)21(x dxd+等于（）（A ）x2121+ （B ）x2121+-（C ）x211+ （D ）x211+-24．设)(x f 在0x 处可导，则=--→ax f a x f a )()2(lim000（）（A ）)(0x f ' （B ）)(20x f '- （C ）)(210x f ' （D ）)(0x f '- 25．设函数)(x f 在点0x 处的导数不存在，则曲线)(x f y = （）（A ）在点0x 处间断（B ）在点))(,(00x f x 的切线必不存在（C ）)(limx f x x →不存在（D ）在点))(,(00x f x 的切线可能存在26．设)(u f 可导，)(ln x f y =则y '＝（）（A ）)(ln x f ' （B ）)(ln 1x f x （C ）)(ln 1x f x ' （D ）])(ln [1'x f x27．设有函数)(x f 和)(x g ，且)(')('x g x f =，以下说法错误的是（）（A ）)(x f 和)(x g 的变化率相同（B ）)(x f 不一定等于)(x g （C ）)(x f 和)(x g 有同一切线（D ）)(x f 和)(x g 切线平行28．使⎩⎨⎧≥+≤=0)(x bxa x e x f x在0=x 点处可导的b a ,为（）（A ）0==b a （B ）1==b a（C ）1,0==b a （D ）为任意实数a b ,1=29．曲线⎩⎨⎧==ty t x sin 2cos 在4π=t 处的切线方程是（）（A ）)22(22--=-x y （B ）)22(22-=-x y （C ）)22(212--=-x y （D ）)22(212-=-x y 二、填空题1．已知函数____________________________,sin ln 32='==πx y x y 则．2．若2)(0='x f ，则曲线)(x f y =在0x 处的切线方程为_________;法线方程为_______．3．函数xey cos =的二阶导数=''y ．4．设x e y xcos =，则=''y ．5．当函数2x y =在01.0,1=∆=x x 时，则对应的函数增量=∆y ;函数增量的主部=dy ．6．曲线12-=x y 在点（1，0）处的法线斜率为．7．函数123+++=x x x y 的5阶导数=)5(y ．8．过曲线x xy -+=44上点（2，3）处的法线的斜率为____________． 9．过曲线xxy -+=33上点（2，5）处的法线的斜率为____________．10．已知函数xxe y 2=，则''y =____________． 11．已知函数函数x ey -=的微分dy=____________．12．函数y=xx 的导数='y ____________．13．已知函数xxe y 3=，则''y =____________． 14．已知函数='=y x y 则,sin ln 2＿＿＿＿＿;='=6πx y ＿＿＿＿＿．15．已知函数=''=y x y 则,sin ln ＿＿＿＿＿;=''=6πx y ＿＿＿＿＿．16．已知x x yn sin 2)2(+=-，则______________________)(=n y ．17．曲线1212-=x y 在点（1，21-）处的法线方程为． 18．xdx x d 3tan 3sec )(= dx x d )()1(2=+19．已知曲线2)(==x x f y 在处的切线的倾斜角为()=2,65'f 则π．20．设物体的运动方程为()abt a c b a c bt at t s 2,0,,2-=≠++=当）为常数，且（其中时，物体的速度为 ;物体的加速度为．21．设()0ln =+=y xy x y y 是由方程确定的函数，则dy ＝．三、求下列函数的一阶导数 1．1sin 10-=x x y 2．2sin ln x y =3．xy x e =⋅ 4．x y x3cos 3⋅=-5．)ln(22a x x y ++= 6．sin x y e x =⋅7．)ln(22a x x y -+=四、求由参数方程⎩⎨⎧-=+=tt y t x arctan )1ln(2所确定的函数的一阶导数．五、已知函数y 满足方程1ln =+y ye x，求1=y dxdy ．六、求由方程0253=++xy y x 所确定的隐函数的一阶导数．单元测验（90分钟内完成）一、单项选择题1．曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-，该点的坐标是（）（A ） 1(,ln 2)21(2,ln )2 （B ）1(2,ln )2- （C ）1(,ln 2)2- （D ）1(,ln 2)22．曲线22y x x =+-在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为（）（A ）(0,1) （B ）(1,0) （C ）(0,0) （D ）(1,1)3．设()f u 可导，2(ln )y f x =，则y '= （）（A ）2(ln )f x ' （B ）22ln (ln )xf x ' （C ）22ln (ln )x f x x '（D ）2ln [(ln )]xf x x' 4．设函数2()y f x =-，则dy = （）（A ）2()xf x dx '- （B ）22()xf x dx '-- （C ）22()f x dx '- （D ）22()xf x dx '-5．由方程sin 0yy xe +=所确定的曲线()y y x =在点(0,0)处的切线斜率为（）（A ）1- （B ）1 （C ）12 （D ）12- 6．设()f x 在点0x 处可导，且0()1f x =，则0lim ()x x f x →= （）（A ）1 （B ）0x （C ）0()f x ' （D ）不存在7．设()f x 在x 处可导，,a b 为常数，则xx b x f x a x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim 0 （）（A ）()f x ' （B ）()()a b f x '+ （C ）()()a b f x '- （D ）()2a bf x +'8．设2()arctan 2f x x =，则)('x f 为（）（A ）2214x + （B ）24arctan 214x x + （C ）22arctan 214x x + （D ）211x +二、填空题1．22(sin )(cos )x x ''+= ．2．设()(1)(2)(3)(4)f x x x x x x =----,则(0)f '= ． 3．设1arctan,y x=则y '= ;y ''= ． 4．设函数(),()y f u u x ϕ==可微，则dy = dx ． 5．过曲线44xy x+=-上点(2,3)处的法线的斜率为．三、求下列函数的一阶导数 1．233524cos x y x x x=+-+ 2．cos(ln 2)y x =3．ln[ln(ln )]y x = 4．sin cos(sin )xy e x =四、求下列函数的二阶导数1．2(1)arctan y x x =+ 2．2ln y x x =五、求椭圆3cos 4sin x t y t=⎧⎨=⎩在34t π=处的切线的斜率．六、求下列函数的微分 1．arcsinx y a = 2．11ln 21xy x-=+第三章导数的应用一、单项选择题1．以下结论正确的是（）（A ）函数)(x f 的导数不存在的点，一定不是)(x f 的极值点（B ）若0x 为函数)(x f 的驻点，则0x 必为)(x f 的极值点（C ）若函数)(x f 在点0x 处有极值，且)(0x f '存在，则必有)(0x f '＝0 （D ）若函数)(x f 在点0x 处连续，则)(0x f '一定存在2．对于函数e x x y <≤=1ln ，，下面结论成立的是（）（A ）最大值为1 （B ）最小值为0 （C ）极大值为1 （D ）无最大值且无最小值 3．如果一个函数在闭区间上既有极大值，又有极小值，则（）（A ）极大值一定是最大值（B ）极小值一定是最小值（C ）极大值必大于极小值（D ）以上说法都不一定成立4．函数x x x f -=arctan )(在区间()+∞∞-,内（）（A ）单调递增（B ）单调递减（C ）有时单调递增，有时单调递减（D ）以上结论都不对5．下列函数对应的曲线在定义域内凹的是（）（A ）xey -= （B ）)ln(2x x y +=（C ） 32x x y -= （D ）x y sin =6．设函数x x y +=3在[]1,0上满足拉格朗日中值定理条件，则ξ等于（）（A ）3- （B ）3 （C ）33- （D ）33 7．函数()21ln xx y +-=的极值为（）（A ） 0 （B ）不存在（C ） 2ln 1-- （D ） 2ln 1-8．（0，0）是曲线3x y =的（）（A ）最高点（B ）最低点（C ）无切线之点（D ）拐点9．下列函数为单调函数的是（）（A ）)1ln(2x y += （B ）x x y cos += （C ）x y = （D ）xxe y = 10．函数xy 2=在定义域内是严格单调（）（A ）增加且凹的（B ）增加且凸的（C ）减少且凹的（D ）减少且凸的 11．若在区间),(b a 内恒有0)('',0)('><x f x f ，则下列说法正确的是（）（A ）)(x f 在 ),(b a 区间内单调递减且曲线在),(b a 是凹的（B ）)(x f 在 ),(b a 区间内单调递增且曲线在),(b a 是凹的（C ）)(x f 在 ),(b a 区间内单调递增且曲线在),(b a 是凸的（D ）)(x f 在 ),(b a 区间内单调递减且曲线在),(b a 是凸的 12．若在区间),(b a 内恒有0)('',0)('><x f x f ，则在),(b a 内曲线弧)(x f y =为（）（A ）上升的凸弧（B ）下降的凸弧（C ）上升的凹弧（D ）下降的凹弧 13．下列函数中在]1,1[-上满足罗尔中值定理条件的是（）（A ）||ln x （B ）12-x （C ）112-x （D ）xe 14．下列说法中正确的是（）（A ）若0)('=xf ，则)(0x f 必是极值（B ）若)(0x f 是极值，则)(x f 在0x 可导且0)('0=x f（C ）若)(x f 在0x 可导，则0)('0=x f 是)(0x f 为极值的必要条件（D ）若)(x f 在0x 可导，则0)('0=x f 是)(0x f 为极值的充分条件 15．曲线13-=x xy 的渐近线方程为（）（A ）31==y x 和（B ）13==y x 和（C ）1=x （D ）3=y16．下列函数为单调函数的是（）（A ）()21ln xy += （B ）xxey = （C ）x y = （D ）x x y sin +=17．（0，0）是曲线5x y =的（）（A ）最高点（B ）最低点（C ）无切线之点（D ）拐点18．函数)1ln(x y +=的单调增区间为（）（A ）),2(∞+-（B ）)1,(--∞ （C ）),(∞+-∞ （D ）),1(∞+- 19．下列说法中正确的是（）（A ）若0)('=x f ，则)(0x f 必是极值（B ）若)(0x f 是极值，则)(x f 在0x 可导且0)('0=x f （C ）驻点和不可导点是函数的极值点（D ）函数的极值点是函数单调性发生转折的点20．)3,0(-是曲线33-=x y 的（）（A ）拐点（B ）极值点（C ）最高点（D ）最低点21．函数xxy ln 2=的极值为（）（A ）0 （B ）2ln （C ）e 2 （D ）不存在22．函数xe y x+=1的单调减区间是（）（A ）)(1,-∞- （B ）)(0,1- （C ）)(1,-∞-和)(0,1- （D ）)(∞+,0 二、填空题1．曲线1)(22-=x x x f 的水平渐近线为_________;垂直渐近线为_________．2．曲线22)1()(+=x x x f 的水平渐近线为_________;垂直渐近线为________．3．曲线22)1()(-=x x x f 的水平渐近线为_________;垂直渐近线为________．4．x x y +=2在点（0，0）处的曲率_________．5．函数2)(x x f =在[]2,1上满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝．6．122=+x y 在点（0，1）处的曲率_________;曲率半径为_________． 7．函数)1(3x x y -=的凹区间＿＿＿＿＿＿＿＿;凸区间＿＿＿＿＿＿＿． 8．曲线11)(2--=x x x f 的水平渐近线为＿＿＿;垂直渐近线为＿＿＿＿．9．若点（1，3）是曲线23bx ax y +=的拐点，则a=＿＿＿;b=＿＿＿．10．函数3)(x x f =在闭区间[]2,1上满足拉格朗日中值定理条件，则=ζ＿＿＿．11．函数x x x f +=3)(在闭区间[]1,0上满足拉格朗日中值定理条件，则=ζ＿＿＿．12．函数5323+-=x x y ，在区间＿＿＿＿＿＿＿是单调增加；在区间＿＿＿＿＿是单调减少，极大值是＿＿＿＿＿;极小值是＿＿＿＿＿．13．设函数22)(x x x f -+=在闭区间]5,0[上的最大值是 ;最小值是． 14．曲线x x x y 3323++=的拐点是_________．15．函数12)(2--=x x x f 在闭区间]5,0[上的最大值是 ;最小值是．三、求下列极限 1．)1ln()1ln(lim 2x x x +++∞→ 2 ．)111(lim 0--→x x e x3．1ln lim 21-→x x x 4．])1ln(11[lim 0x x x +-+→5．1ln lim 331-→x x x 6．)ln 11(lim 1xx x x --+→7． )11ln 1(lim 1--→x x x 8．xx x sin ln 3sin ln lim0+→9．)arctan 2(lim x x x -+∞→π10．4sec 5tan 2lim+-→x x x π11．x x e x 2lim +∞→ 12．xxx 3tan tan lim 0→13．23log limxx x +∞→ 15．)0(,ln ln lim >--→a a x ax a x四、作图 1．作出函数12+=x xy 的图像.2．作出函数33)(x x x f -=的图象.3．作出函数326)(x x x f -=的图象.4．作出函数)1ln(2+=x y 的图象.5．作出函数2)1(12--=x x y 的图象.6．作出函数2)2)(1()(-+=x x x f 的图像.7．作出函数x x x f 2)(3-=的图像.8．作函数()x x x f -=331的图像.9．作函数2332x x y -=的图像.五、设某函数的图像上有一拐点()4,2P ,在拐点P 处曲线的切线斜率为－3，又知这个函数的二阶导数具有形状c x y +=6''，求此函数.六、已知点（0，1）是曲线b ax x y ++=23的拐点，求a ，b 的值.七、在半径为R 的半圆及其直径围成的封闭曲线内作内接矩形，求周长最大的矩形的周长.单元测验（90分钟完成）一、单项选择题1．在区间[1,1]-上满足拉格朗日中值定理条件的函数是（）（A ）1y x= （B ）23y x = （C ）tan y x = （D ）ln y x =2．设(0)0f =，且()f x '存在，则0()limx f x x→= （）（A ）()f x ' （B ）(0)f ' （C ）(0)f （D ）1(0)2f3．设函数22ln y x x =-，那么在区间(1,0)-和(0,1)内，y 分别为（）（A ）单调增加，单调减少（B ）单调增加，单调增加（C ）单调减少，单调增加（D ）单调减少，单调减少4．在下列极限中能使用罗必塔法则的是（）（A ）sin lim x x x →∞ （B ）sin lim sin x x x x x →∞-+ （C ）2tan 5lim sin 3x xxπ→（D ）ln(1)lim x x e x →+∞+5．函数1()()2x xf x e e -=+的极小值为（）（A ）0 （B ）1 （C ）1- （D ）不存在6．函数sin y x x =-在(2,2)ππ-内的拐点个数是（）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个7．函数42()25f x x x =-+在区间[2,2]-上的最大值是（）（A ）12 （B ）11 （C ）10 （D ）138．函数3()2f x x =+在[0,1]上满足拉格朗日中值定理，则定理中ξ是（）（A）（B（C）- （D二、填空题1．函数32()35f x x x =-+在区间是单调增加;在区间_________是单调减少．2．函数2()ln f x x x =在[1,]e 上的最大值为_________;最小值为_________．3．已知曲线3262a b y x x =-的拐点是(1,1)-，则a =_________;b =_________． 4．曲线24(1)2x y x +=-的水平渐近线为_________;垂直渐近线为_________． 5．曲线23xy x =+在区间_________是凹的;在区间_________是凸的．三、求下列极限 1． 30arctan limx x x x →- 2．0ln tan 7lim ln tan 2x xx+→3． 3112lim()11x x x x→+--- 4． 2120lim x x x e →四、在曲线1y x=上找一点，使它到原点的距离最近．五、用分析作图法作函数xy xe =的图象．第四章不定积分一、选择题1．设⎰='x dx x f sin ])([，则)(x f 等于（）（A ）x sin （B ）C x +sin （C ）x cos （D ）C x +cos 2．已知⎰+=C ex dx x f x32)(，则)(x f 等于（）（A ）x xe 32 （B ）x e x 323 （C ）)32(3x xe x+ （D ）xxe 363．x x f 2)(=，则⎰dx x f )('= （）（A ）x 2 （B ）C x+2（C ）x ln 2 （D ）C x +ln 24．则⎰+dx x x 21= （）（A ）c x ++32)1(31 （B ）c x ++32)1(32 （C ）C x ++32)1(61 （D ）c x ++32)1(345．设)(x f 为区间()+∞∞-,上的可微函数，则有(())d f x dx dx=⎰ （）（A ）dx x f )( （B ）c x f +)( （C ）)(x f （D ）)('x f 6．设)(1x F ，)(2x F 为f(x)在区间I 上的两个不同的原函数，f(x)0≠,则在I 上必有（）（A ）c x F x F =+)()(21 （B ）c x F x F =⋅)()(21 （C ）c x F x F =-)()(21 （D ）)()(21x cF x F = 7．已知211)(xx F -='，且0)0(=F ，则=)(x F （）（A ）x arcsin （B ）2arcsin π+x（C ）π+x arccos （D ）π+x arcsin8．设'()'()f x dx g x dx =⎰⎰，则下列各式成立的是（）（A ）)()(x g x f = （B ）c x x g x f ++=)()( （C ）()()f x dx g x dx =⎰⎰（D ）c x g x f +=)()(9．x x f 1)(=，则⎰dx x f )('= （）（A ）x 1 （B ）C x+1（C ） x ln （D ） C x +ln10．已知C e x dx x f x +=⎰23)(,则=)(x f （）（A ）x e x 232 （B ）xe x 233 （C ）)1(222x e x x+ （D ）)23(22x e x x+11．设⎰+=C x F dx x f )()(,则=⎰dx e f e x x )( （）（A ）)(x e F - （B ）C e F x+)( （C ）)(xe F （D ）C e F x+--)(12．在闭区间上连续的函数，它的原函数个数是（）（A ）1个（B ）有限个（C ）无限多个，但彼此只差一个常数（D ）不一定有原函数 13．设x 2csc 是)(x f 的一个原函数，则⎰dx x xf )(= （）（A ）C x x x +-cot csc 2（B ）C x x x ++cot csc 2（C ） C x x x +--cot cot （D ）C x x x ++-cot cot14．设x k x f 2tan )(=的一个原函数为x 2cos ln 31，则k 等于（）（A ）31 （B ）31- （C ） 32 （D ）32-15．若C x F dx x f +=⎰)()(，则⎰--dx e f e x x )(= （）（A ）C e F x+-)( （B ）C e F x +---)(（C ）C e F xx +-)(1（D ）C e F x +--)( 16．若C e x dx x f x +=⎰22)(，则)(x f = （）（A ）xxe22 （B ）x e x 222 （C ）xxe2 （D ）)1(22x xe x+17．=+⎰dx x)21( （）（A ）c x x++2 （B ）c x x +++12 （C ）c x x x ++++121（D ）c x x++2ln 2二、填空题 1．()⎰+dx x x sin ＝；⎰dx xxln ．2．)ln )2sin(cos (⎰xdx x x d ＝．3．⎰=+dx xx )sin 1sin 3(2________________． 4．已知C x dx x f +=⎰2)(，则________________)1(12=⎰dx x f x．三、计算下列不定积分1．dx x x ⎰+241 2．dx x x ⎰ln 13．⎰+dx x 4)31( 4．⎰+dx x2115．⎰+dx x 34)21( 6．⎰+dx xx 17．⎰-dx x x4128． ⎰xdx x sin9．⎰-dx x x11210．⎰dx x cos11．⎰++xx dx 1)2( 12．⎰xdx x 2sin13．dx xx⎰ln 14．dx x x ⎰ln15．dx x x ⎰arctan ． 16．⎰+dx ex1117． dx x ⎰2)(ln 18．6ln xdx x-⎰19．dx x ⎰2cos 20．dx xx ⎰-22 21． ⎰xdx arctan 22．dx x x ⎰+23123．dx x ⎰2sin 24．dx xx ⎰-2325．⎰xdx x ln 226．⎰+-dx xx x 12227．⎰xdx ln 28．xdx x cos sin 3⎰29．⎰--dx xx 2112 30．dx x x ⎰-1231．⎰+dx x x )cos (sin 32．⎰+xdx 133．dx xx ⎰-221 34．⎰+dx x x 24135．2(tan cot )d θθθ+⎰ 36．3224x x xdx x -+⎰37． 38．cos 2x xdx ⎰39．2(345)x x dx -+⎰40．41．242．⎰dx xe x 243．()⎰-+dx e e xx2 44．⎰⎪⎭⎫⎝⎛-dx x x 2145．⎰dx x x 1cos 12单元测验（90分钟内完成）一、单项选择题 1．设2()csc f x dx x c =+⎰，则()f x = （）（A ）2csc x （B ）22csc cot x x （C ）22csc cot x x - （D ）2csc cot x x - 2．设()F x 为函数()f x 的原函数，则()f x 的原函数的个数是（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）无数个 3．设()F x ，()G x 为()f x 在区间I 上的两个不同的原函数，且()0f x ≠ 则在I 上必有（）（A ）()()F x G x c += （B ）()()F x G x c ⋅= （C ）()()F x G x c -= （D ）()()F x cG x = 4．设21()(0)0,()1F x F F x x'===+且则（）（A ）arctan 2x π+（B ）arctan x（C ）arctan x π+ （D ）arccot x π+ 5．[()]tan f x dx x '=⎰,则()f x =（）（A ）tan x （B ）tan x c + （C ）cot x （D ）cot x c + 6．若C x F dx x f +=⎰)()(，则cos (sin )xf x dx ⎰= （）（A ）(cos )F x C + （B ）(cos )F x C -+ （C ）(sin )F x C + （D ）(sin )F x C -+ 7．1cos dx x ⎰= （）（A ）ln cos x （B ）ln sec tan x x c ++ （C ）ln cos x c + （D ）ln sec tan x x +8．2dx =⎰ （）（A ）ln 22x x x c -+ （B ）ln 42x x x c -+ （C ）ln 2x x x c -+ （D ）ln 2xx x c ++二、填空题1．sin 1()cos 1x dx x '+=+⎰________________．2．cos(1)x x e e dx +⎰=________________．3．2cos ()1sin xd dx x=+⎰________________． 4．()()f x dx f x '=⎰________________． 5．已知函数()f x 的二阶导数()f x ''连续，则()xf x dx ''⎰=________________．三、求下列不定积分 1． 2．cos 2sin cos x dx x x ⎰3．2(1)sin x xdx -⎰ 4．⎰四、设x 是()f x的一个原函数，求()xf x dx．。

高中数学必修一全册同步训练及解析(共64页)

高中数学必修一同步训练及解析1．下列所给关系正确的个数是( ) ①π∈R ；②3∉Q ；③0∈N *；④|－4|∉N *. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.①②正确，③④错误．2．下列各组集合，表示相等集合的是( ) ①M ＝{(3,2)}，N ＝{(2,3)}； ②M ＝{3,2}，N ＝{2,3}； ③M ＝{(1,2)}，N ＝{1,2}． A ．① B ．② C ．③D ．以上都不对解析：选B.①中M 中表示点(3,2)，N 中表示点(2,3)，②中由元素的无序性知是相等集合，③中M 表示一个元素：点(1,2)，N 中表示两个元素分别为1,2. 3．用描述法表示不等式x <－x －3的解集为________．答案：{x |x <－x －3}(或{x |x <－32})4．集合A ＝{x ∈N|2x 2－x －1＝0}用列举法表示为__________．解析：解方程2x 2－x －1＝0，得x ＝1或x ＝－12.又因为x ∈N ，则A ＝{1}．答案：{1}[A 级基础达标]1．下面几个命题中正确命题的个数是( ) ①集合N *中最小的数是1； ②若－a ∉N *，则a ∈N *；③若a ∈N *，b ∈N *，则a ＋b 的最小值是2； ④x 2＋4＝4x 的解集是{2,2}． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3解析：选C.N *是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a ＝0时，－a ∉N *，但a ∉N *，故②错；若a ∈N *，则a 的最小值是1，又b ∈N *，b 的最小值也是1，当a 和b 都取最小值时，a ＋b 取最小值2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确，故选C.2．设集合M ＝{x ∈R|x ≤33}，a ＝26，则( ) A ．a ∉M B ．a ∈M C ．{a }∈MD ．{a |a ＝26}∈M解析：选B.(26)2－(33)2＝24－27<0，故26<3 3.所以a ∈M .3．若集合M ＝{a ，b ，c }，M 中的元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形解析：选D.根据元素的互异性可知，a ≠b ，a ≠c ，b ≠c .4．已知①5∈R ；②13∈Q ；③0＝{0}；④0∉N ；⑤π∈Q ；⑥－3∈Z.正确的个数为________．解析：③错误，0是元素，{0}是一个集合；④0∈N ；⑤π∉Q ，①②⑥正确．答案：35．已知x 2∈{1,0，x }，则实数x ＝________.解析：∵x 2∈{1,0，x }，∴x 2＝1或x 2＝0或x 2＝x . ∴x ＝±1或x ＝0.但当x ＝0或x ＝1时，不满足元素的互异性． ∴x ＝－1. 答案：－16．设集合B ＝{x ∈N|62＋x∈N}．(1)试判断元素1和2与集合B 的关系； (2)用列举法表示集合B .解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ；当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，∴1∈B,2∉B .(2)令x ＝0,3,4代入62＋x∈N 检验，可得B ＝{0,1,4}．[B 级能力提升]7．设集合A ＝{2,3,4}，B ＝{2,4,6}，若x ∈A 且x ∉B ，则x 等于( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6解析：选B.∵x ∈{2,3,4}且x ∉{2,4,6}，∴x ＝3.8．定义集合运算：A *B ＝{z |z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B }，设A ＝{1,2}，B ＝{0,2}，则集合A *B 的所有元素之和为( ) A ．0 B ．2 C ．3 D ．6解析：选D.∵z ＝xy ，x ∈A ，y ∈B ，∴z 的取值有：1×0＝0,1×2＝2,2×0＝0,2×2＝4，故A *B ＝{0,2,4}，∴集合A *B 的所有元素之和为：0＋2＋4＝6.9．已知集合A ＝{x |2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：∵1∉A ，∴2＋a ≤0，即a ≤－2. 答案：a ≤－2 10.用适当的方法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数；(2)图中阴影部分点(含边界)的坐标的集合(不含虚线)； (3)满足方程x ＝|x |，x ∈Z 的所有x 的值构成的集合B . 解：(1){x |x ＝3n ，n ∈Z}；(2){(x ，y )|－1≤x ≤2，－12≤y ≤1，且xy ≥0}；(3)B ＝{x |x ＝|x |，x ∈Z}．11．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0}．(1)若A 中只有一个元素，求a 的取值范围； (2)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．解：(1)∵方程ax 2＋2x ＋1＝0只有一个解，若a ＝0，则x ＝－12；若a ≠0，则Δ＝0，解得a ＝1，此时x ＝－1. ∴a ＝0或a ＝1时，A 中只有一个元素． (2)①A 中只有一个元素时，a ＝0或a ＝1.②A 中有两个元素时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ>0，解得a <1且a ≠0.综上，a ≤1.高中数学必修一同步训练及解析1．下列集合中是空集的是( ) A ．{x |x 2＋3＝3}B ．{(x ，y )|y ＝－x 2，x ，y ∈R}C ．{x |－x 2≥0}D ．{x |x 2－x ＋1＝0，x ∈R}解析：选D.∵方程x 2－x ＋1＝0的判别式Δ<0，∴方程无实根，故D 选项为空集，A 选项中只有一个元素0，B 选项中有无数个元素，即抛物线y ＝－x 2上的点，C 选项中只有一个元素0.2．已知集合A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |0<x <1}，则( ) A ．A >B B ．A B C ．B A D ．A ⊆B解析：选C.利用数轴(图略)可看出x ∈B ⇒x ∈A ，但x ∈A ⇒x ∈B 不成立． 3．下列关系中正确的是________． ①∅∈{0}；②∅；③{0,1}⊆{(0,1)}；④{(a ，b )}＝{(b ，a )}．解析：∅，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集，②正确；{(0,1)}是含有一个元素的点集，③错误；{(a ，b )}与{(b ，a )}是两个不等的点集，④错误，故正确的是②. 答案：②4．图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，则A 、B 、C 、D 、E 分别代表的图形的集合为__________________________．解析：由以上概念之间的包含关系可知：集合A ＝{四边形}，集合B ＝{梯形}，集合C ＝{平行四边形}，集合D ＝{菱形}，集合E ＝{正方形}．答案：A ＝{四边形}，B ＝{梯形}，C ＝{平行四边形}，D ＝{菱形}，E ＝{正方形}[A 级基础达标]1．如果A ＝{x |x >－1}，那么( ) A ．0⊆A B ．{0}∈A C ．∅∈A D ．{0}⊆A解析：选D.A 、B 、C 的关系符号是错误的． 2．若{1,2}＝{x |x 2＋bx ＋c ＝0}，则( ) A ．b ＝－3，c ＝2 B ．b ＝3，c ＝－2 C ．b ＝－2，c ＝3 D ．b ＝2，c ＝－3解析：选A.由题意知1,2为方程x 2＋bx ＋c ＝0的两个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧1＋2＝－b ，1×2＝c ，解得b ＝－3，c ＝2.3．符合条件{a P ⊆{a ，b ，c }的集合P 的个数是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：选B.集合P 中一定含有元素a ，且不能只有a 一个元素，用列举法列出即可．4．设x ，y ∈R ，A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|yx＝1}，则A 、B 间的关系为________．解析：(0,0)∈A ，而(0,0)∉B ，故B A . 答案：B A5．已知集合A ＝{－1,3,2m －1}，集合B ＝{3，m 2}．若B ⊆A ，则实数m ＝________. 解析：由于B ⊆A ，则应有m 2＝2m －1，于是m ＝1. 答案：16．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N}，试写出A 的所有子集．解：∵A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2，x ，y ∈N}， ∴A ＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．∴A 的子集有：∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．[B 级能力提升]7．集合M ＝{x |x 2＋2x －a ＝0，x ∈R}，且∅M ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ≤－1B ．a ≤1C ．a ≥－1D ．a ≥1解析：选C.∅M 等价于方程x 2＋2x －a ＝0有实根．即Δ＝4＋4a ≥0.解得a ≥－1. 8．设A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，若A B ，则a 的取值范围是( ) A ．a ≥2 B ．a ≤1 C ．a ≥1 D ．a ≤2解析：选A.A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }，要使A B ，则应有a ≥2.9．设A ＝{x ∈R|x 2－5x ＋m ＝0}，B ＝{x ∈R|x －3＝0}，且B ⊆A ，则实数m ＝________，集合A ＝________.解析：B ＝{3}．∵B ⊆A ，∴3∈A ，即9－15＋m ＝0.∴m ＝6.解方程x 2－5x ＋6＝0，得x 1＝2，x 2＝3， ∴A ＝{2,3}．答案：6 {2,3}10．设M ＝{x |x 2－2x －3＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若N ⊆M ，求所有满足条件的a 的集合．解：由N ⊆M ，M ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1,3}，得N ＝∅或N ＝{－1}或N ＝{3}．当N ＝∅时，ax －1＝0无解，∴a ＝0.当N ＝{－1}时，由1a ＝－1，得a ＝－1.当N ＝{3}时，由1a ＝3，得a ＝13.∴满足条件的a 的集合为{－1,0，13}．11．已知集合A ＝{x |1≤x ≤2}，B ＝{x |1≤x ≤a ，a ≥1}． (1)若A B ，求a 的取值范围； (2)若B ⊆A ，求a 的取值范围．解：(1)若AB ，由图可知，a >2.(2)若B ⊆A ，由图可知，1≤a ≤2.高中数学必修一同步训练及解析1．已知集合A ＝{x |x >1}，B ＝{x |－1<x <2}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |1<x <2}解析：选D.如图所示．A ∩B ＝{x |x >1}∩{x |－1<x <2}＝{x |1<x <2}．2．已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}则()A．M⊆NB．N⊆MC．M∩N＝{2,3}D．M∪N＝{1,4}解析：选C.∵M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}．∴选项A、B显然不对．M∪N＝{1,2,3,4}，∴选项D错误．又M∩N＝{2,3}，故选C.3．设M＝{0,1,2,4,5,7}，N＝{1,4,6,8,9}，P＝{4,7,9}，则(M∩N)∪(M∩P)＝________.解析：M∩N＝{1,4}，M∩P＝{4,7}，所以(M∩N)∪(M∩P)＝{1,4,7}．答案：{1,4,7}4．已知集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|x≥m}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________．解析：A∪B＝A，即B⊆A，∴m≥2.答案：m≥2[A级基础达标]1．下列关系Q∩R＝R∩Q；Z∪N＝N；Q∪R＝R∪Q；Q∩N＝N中，正确的个数是() A．1B．2C．3D．4解析：选C.只有Z∪N＝N是错误的，应是Z∪N＝Z.2．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是()A．(－∞，－1]B．[1，＋∞)C．[－1,1]D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：选C.由P＝{x|x2≤1}得P＝{x|－1≤x≤1}．由P∪M＝P得M⊆P.又M＝{a}，∴－1≤a≤1.3．已知集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k∈N＋}的关系的韦恩(Venn)图，如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有()A．3个B．2个C．1个D．无穷多个解析：选B.M＝{x|－1≤x≤3}，集合N是全体正奇数组成的集合，则阴影部分所示的集合为M∩N＝{1,3}，即阴影部分所示的集合共有2个元素．4．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2，m,4}，A∩B＝{2,3}，则m＝________.解析：∵A∩B＝{2,3}，∴3∈B，∴m＝3.答案：35．设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是________．解析：利用数轴分析可知，a>－1.答案：a>－16．已知集合A ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧3－x >03x ＋6>0}，集合B ＝{m |3>2m －1}，求：A ∩B ，A ∪B .解：∵A ＝{x |⎩⎪⎨⎪⎧3－x >03x ＋6>0}＝{x |－2<x <3}，B ＝{m |3>2m －1}＝{m |m <2}．用数轴表示集合A ，B ，如图．∴A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．[B 级能力提升]7．设A ＝{(x ，y )|(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝0}，B ＝{－2，－1}，则必有( ) A ．A ⊇B B ．A ⊆B C ．A ＝B D ．A ∩B ＝∅解析：选D.A ＝{(x ，y )|(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝0}＝{(－2，－1)}是点集，B ＝{－2，－1}是数集，所以A ∩B ＝∅.8．若集合A ＝{参加2012年奥运会的运动员}，集合B ＝{参加2012年奥运会的男运动员}，集合C ＝{参加2012年奥运会的女运动员}，则下列关系正确的是( ) A ．A ⊆B B ．B ⊆CC ．A ∩B ＝CD ．B ∪C ＝A解析：选D.参加2012年奥运会的运动员是参加2012年奥运会的男运动员和女运动员的总和，即A ＝B ∪C .9．满足条件{1,3}∪M ＝{1,3,5}的集合M 的个数是________．解析：∵{1,3}∪M ＝{1,3,5}，∴M 中必须含有5， ∴M 可以是{5}，{5,1}，{5,3}，{1,3,5}，共4个．答案：410．已知集合M ＝{x |2x －4＝0}，集合N ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}， (1)当m ＝2时，求M ∩N ，M ∪N ； (2)当M ∩N ＝M 时，求实数m 的值．解：由题意得M ＝{2}．(1)当m ＝2时，N ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}＝{1,2}，则M ∩N ＝{2}，M ∪N ＝{1,2}． (2)∵M ∩N ＝M ，∴M ⊆N . ∵M ＝{2}，∴2∈N .∴2是关于x 的方程x 2－3x ＋m ＝0的解，即4－6＋m ＝0，解得m ＝2. 11．集合A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}． (1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{x |2x ＋a >0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵B ＝{x |x ≥2}， ∴A ∩B ＝{x |2≤x <3}．(2)C ＝{x |x >－a2}，B ∪C ＝C ⇒B ⊆C ，∴－a2<2，∴a >－4.高中数学必修一同步训练及解析1．若P＝{x|x<1}，Q＝{x|x>－1}，则()A．P⊆QB．Q⊆PC．∁R P⊆QD．Q⊆∁R P解析：选C.∵P＝{x|x<1}，∴∁R P＝{x|x≥1}，∴∁R P⊆Q.2．设集合A＝{4,5,7,9}，B＝{3,4,7,8,9}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有() A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选A.∵U＝A∪B＝{3,4,5,7,8,9}，A∩B＝{4,7,9}，∴∁U(A∩B)＝{3,5,8}．故选A.3．设集合U＝{1,2,3,4,5}，A＝{2,4}，B＝{3,4,5}，C＝{3,4}，则(A∪B)∩(∁U C)＝________. 解析：∵A∪B＝{2,3,4,5}，∁U C＝{1,2,5}，∴(A∪B)∩(∁U C)＝{2,3,4,5}∩{1,2,5}＝{2,5}．答案：{2,5}4．已知全集U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，若∁U A＝{1}，则实数a的值是________．解析：∵U＝{2,3，a2－a－1}，A＝{2,3}，∁U A＝{1}，∴a2－a－1＝1，即a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2.答案：－1或2[A级基础达标]1．设集合U＝{1,2,3,4}，M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，则∁U(M∩N)＝()A．{1,2}B．{2,3}C．{2,4}D．{1,4}解析：选D.∵M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，∴M∩N＝{2,3}．又∵U＝{1,2,3,4}，∴∁U(M∩N)＝{1,4}．2．已知集合U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，则()A．M∩N＝{4,6}B．M∪N＝UC．(∁U N)∪M＝UD．(∁U M)∩N＝N解析：选B.由U＝{2,3,4,5,6,7}，M＝{3,4,5,7}，N＝{2,4,5,6}，得M∩N＝{4,5}，(∁U N)∪M ＝{3,4,5,7}，(∁U M)∩N＝{2,6}，M∪N＝{2,3,4,5,6,7}＝U.3．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x＜1}，则A∩(∁R B)＝()A．{x|x＞1}B ．{x |x ≥1}C ．{x |1＜x ≤2}D ．{x |1≤x ≤2}解析：选D.∵B ＝{x |x ＜1}，∴∁R B ＝{x |x ≥1}， ∴A ∩∁R B ＝{x |1≤x ≤2}．4．已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________. 解析：∵A ∪∁U A ＝U ，∴A ＝{x |1≤x ＜2}．∴a ＝2. 答案：25．设集合A ＝{x |0≤x ≤4}，B ＝{y |y ＝x －3，－1≤x ≤3}，则∁R (A ∩B )＝________. 解析：∵A ＝{x |0≤x ≤4}， B ＝{y |－4≤y ≤0}， ∴A ∩B ＝{0}，∴∁R (A ∩B )＝{x |x ∈R ，且x ≠0}．答案：{x |x ∈R ，且x ≠0}6．已知全集U ＝R ，A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}，P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，求A ∩B ，(∁U B )∪P ，(A ∩B )∩(∁U P )．解：将集合A 、B 、P 表示在数轴上，如图．∵A ＝{x |－4≤x ＜2}，B ＝{x |－1＜x ≤3}， ∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}． ∵∁U B ＝{x |x ≤－1或x ＞3}，∴(∁U B )∪P ＝{x |x ≤0或x ≥52}，(A ∩B )∩(∁U P )＝{x |－1＜x ＜2}∩{x |0＜x ＜52}＝{x |0＜x ＜2}．[B 级能力提升]7．已知集合U ＝R ，集合A ＝{x |x <－2或x >4}，B ＝{x |－3≤x ≤3}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．{x |－3≤x ≤4} B ．{x |－2≤x ≤3}C ．{x |－3≤x ≤－2或3≤x ≤4}D ．{x |－2≤x ≤4}解析：选B.∁U A ＝{x |－2≤x ≤4}．由图可知：(∁U A )∩B ＝{x |－2≤x ≤3}． 8.已知全集U ＝Z ，集合A ＝{x |x 2＝x }，B ＝{－1,0,1,2}，则图中的阴影部分所表示的集合等于( )A ．{－1,2}B ．{－1,0}C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选A.依题意知A ＝{0,1}，(∁U A )∩B 表示全集U 中不在集合A 中，但在集合B 中的所有元素，故图中的阴影部分所表示的集合等于{－1,2}．9．设全集U ＝{0,1,2,3}，A ＝{x ∈U |x 2＋mx ＝0}，若∁U A ＝{1,2}，则实数m 的值为________．解析：如图，∵U ＝{0,1,2,3}， ∁U A ＝{1,2}， ∴A ＝{0,3}，∴方程x 2＋mx ＝0的两根为x 1＝0，x 2＝3， ∴0＋3＝－m ，即m ＝－3. 答案：－310．设全集U ＝{x |0<x <10，x ∈N *}，且A ∩B ＝{3}，A ∩(∁U B )＝{1,5,7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{9}，求A ，B .解：如图所示，由图可得A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,4,6,8}．11．设集合A ＝{x |x ＋m ≥0}，B ＝{x |－2＜x ＜4}，全集U ＝R ，且(∁U A )∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：由已知A ＝{x |x ≥－m }， ∴∁U A ＝{x |x ＜－m }，∵B ＝{x |－2＜x ＜4}，(∁U A )∩B ＝∅， ∴－m ≤－2，即m ≥2， ∴m 的取值范围是m ≥2.高中数学必修一同步训练及解析1．函数y ＝1x的定义域是( )A ．RB ．{0}C ．{x |x ∈R ，且x ≠0}D ．{x |x ≠1}解析：选C.要使1x 有意义，必有x ≠0，即y ＝1x的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}．2．下列各组函数表示相等函数的是( )A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ， x >0－x ， x <0与g (x )＝|x |B ．f (x )＝2x ＋1与g (x )＝2x 2＋xxC ．f (x )＝|x 2－1|与g (t )＝(t 2－1)2D ．f (x )＝x 2与g (x )＝x解析：选C.A ：f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，g (x )的定义域是R ，定义域不同． B ：f (x )的定义域是R ，g (x )的定义域是{x |x ≠0}，定义域不同．C ：f (x )＝|x 2－1|，g (t )＝|t 2－1|，虽然表示自变量的字母不同，但定义域与对应法则都相同．D ：f (x )＝|x |，g (x )＝x ，对应法则不相同．3．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是________．解析：由题意3a －1＞a ，则a ＞12.答案：(12，＋∞)4．函数y ＝x 2－2x (－2≤x ≤4，x ∈Z)的值域为________．解析：∵－2≤x ≤4，x ∈Z ，∴x 取－2，－1,0,1,2,3,4.可知y 的取值为8,3,0，－1,0,3,8，∴值域为{－1,0,3,8}．答案：{－1,0,3,8}[A 级基础达标]1．下列对应关系中能构成实数集R 到集合{1，－1}的函数的有( ) ①②③A ．①B ．②C ．③D ．①③解析：选B.①中将自变量分为两类：一类是奇数，另一类是偶数．而实数集中除奇数、偶数之外，还有另外的数，如无理数，它们在集合{1，－1}中无对应元素；③中实数集除整数、分数之外，还有无理数，它们在集合{1，－1}中无对应元素；②符合题干要求．2．函数y ＝31－1－x的定义域是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，0)∪(0,1]C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．[1，＋∞)解析：选B.由⎩⎨⎧1－x ≥0，1－1－x ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1，x ≠0.即得x ≤1且x ≠0，故选B.3．区间[5,8)表示的集合是( )A ．{x |x ≤5或x >8}B ．{x |5<x ≤8}C ．{x |5≤x <8}D ．{x |5≤x ≤8} 答案：C4．函数y ＝x 2x 2＋1(x ∈R)的值域是________．解析：y ＝x 2x 2＋1＝1－1x 2＋1，∴y 的值域为[0,1)．答案：[0,1)5．设f (x )＝11－x，则f [f (x )]＝________.解析：f [f (x )]＝11－11－x ＝11－x －11－x＝x －1x .(x ≠0，且x ≠1)答案：x －1x(x ≠0，且x ≠1)6．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝2x －1－3－x ＋1；(2)f (x )＝4－x 2x ＋1.解：(1)要使函数f (x )有意义，应有⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，3－x ≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ≤3⇔12≤x ≤3.∴f (x )的定义域是[12，3]．(2)函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x 2≥0x ＋1≠0⇔⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤2x ≠－1 ⇔{x |－2≤x ≤2，且x ≠－1}．∴f (x )的定义域是[－2，－1)∪(－1,2]．[B 级能力提升]7．若函数f (x )＝ax 2－1，a 为一个正常数，且f [f (－1)]＝－1，那么a 的值是( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．2解析：选A.f (－1)＝a －1，f [f (－1)]＝f (a －1) ＝a (a －1)2－1＝－1，所以a ＝1. 8．下列说法中正确的为( )A ．y ＝f (x )与y ＝f (t )表示同一个函数B ．y ＝f (x )与y ＝f (x ＋1)不可能是同一函数C ．f (x )＝1与f (x )＝x 0表示同一函数D ．定义域和值域都相同的两个函数是同一个函数解析：选A.两个函数是否是同一个函数与所取的字母无关，判断两个函数是否相同，主要看这两个函数的定义域和对应关系是否相同．9．已知函数f (x )对任意实数x 1，x 2，都有f (x 1x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)成立，则f (0)＝________，f (1)＝________.解析：令x 1＝x 2＝0，有f (0×0)＝f (0)＋f (0)，解得f (0)＝0；令x 1＝x 2＝1，有f (1×1)＝f (1)＋f (1)，解得f (1)＝0. 答案：0 010．求下列函数的值域． (1)y ＝x ＋1；(2)y ＝xx ＋1.解：(1)因为函数的定义域为{x |x ≥0}， ∴x ≥0，∴x ＋1≥1.所以函数y ＝x ＋1的值域为[1，＋∞)．(2)∵y ＝x x ＋1＝1－1x ＋1，且定义域为{x |x ≠－1}，∴1x ＋1≠0，即y ≠1. 所以函数y ＝xx ＋1的值域为{y |y ∈R ，且y ≠1}．11．已知函数f (x )＝x 2＋x －1， (1)求f (2)，f (a )；(2)若f (a )＝11，求a 的值； (3)求f (x )的值域．解：(1)f (2)＝22＋2－1＝5， f (a )＝a 2＋a －1.(2)∵f (a )＝a 2＋a －1，∴若f (a )＝11，则a 2＋a －1＝11，即(a ＋4)(a －3)＝0. ∴a ＝－4或a ＝3.(3)∵f (x )＝x 2＋x －1＝(x ＋12)2－54≥－54，∴f (x )的值域为[－54，＋∞)．高中数学必修一同步训练及解析1．下列点中不在函数y ＝2x ＋1的图象上的是( )A ．(1,1)B ．(－2，－2)C ．(3，12)D ．(－1,0) 答案：D2．已知一次函数的图象过点(1,0)，和(0,1)，则此一次函数的解析式为( ) A ．f (x )＝－x B ．f (x )＝x －1 C ．f (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝－x ＋1解析：选D.设一次函数的解析式为f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＋b ＝0，b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝1.∴f (x )＝－x ＋1.3．已知f (x )＝2x ＋3，且f (m )＝6，则m 等于________．解析：2m ＋3＝6，m ＝32.答案：324．已知f (2x )＝x 2－x －1，则f (x )＝________.解析：令2x ＝t ，则x ＝t2，∴f (t )＝⎝⎛⎭⎫t 22－t 2－1，即f (x )＝x 24－x 2－1.答案：x 24－x 2－1[A 级基础达标]1．已知f (x )是反比例函数，且f (－3)＝－1，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝－3xB ．f (x )＝3xC ．f (x )＝3xD ．f (x )＝－3x 答案：B2．若f (1－2x )＝1－x 2x 2(x ≠0)，那么f (12)等于( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：选C.法一：令1－2x ＝t ，则x ＝1－t2(t ≠1)，∴f (t )＝4(t －1)2－1，∴f (12)＝16－1＝15.法二：令1－2x ＝12，得x ＝14，∴f (12)＝16－1＝15.3．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出火车在这段时间内的速度变化情况的是( )解析：选B.根据题意，知火车从静止开始匀加速行驶，所以只有选项B 、C 符合题意，然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，所以可以确定选B. 4．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出，x 1 2 3 g (x )321则f [g (1)]的值为________；当g [f (x )]＝2时，x ＝________. 解析：f [g (1)]＝f (3)＝1； g [f (x )]＝2，∴f (x )＝2， ∴x ＝1. 答案：1 15．若一个长方体的高为80 cm ，长比宽多10 cm ，则这个长方体的体积y (cm 3)与长方体的宽x (cm)之间的表达式是________．解析：由题意，知长方体的宽为x cm ，长为(10＋x ) cm ，则根据长方体的体积公式，得y ＝(10＋x )x ×80＝80x 2＋800x .所以y 与x 之间的表达式是y ＝80x 2＋800x (x >0)．答案：y ＝80x 2＋800x (x >0)6．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )．解：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17，∴a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.[B 级能力提升]7．已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )＝( ) A ．3x ＋2 B ．3x －2 C ．2x ＋3 D ．2x －3解析：选B.设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)， ∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3b ＝－2，∴f (x )＝3x －2. 8.已知函数f (x )的图象如图所示，则此函数的定义域、值域分别是( ) A ．(－3,3)；(－2,2) B ．[－3,3]；[－2,2] C ．[－2,2]；[－3,3] D ．(－2,2)；(－3,3)解析：选B.结合f (x )的图象知，定义域为[－3,3]，值域为[－2,2]． 9．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )的解析式为________．解析：∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1 ＝(x ＋1)2－1，∴f (x )＝x 2－1.由于x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．答案：f (x )＝x 2－1(x ≥1)10．2012年，第三十届夏季奥林匹克运动会在英国伦敦举行，其门票价格从20英磅到2000英磅不等，但最高门票：7月27日开幕式的贵宾票，价格高达2012英磅，折合人民币21352元，是2008年北京奥运会门票的四倍．为鼓励伦敦青少年到现场观看比赛，伦敦奥组委为伦敦市的14000名学生提供了一次免费门票机会，16岁以下青少年儿童的门票价格比最低价门票还要优惠些，有些比赛项目则无需持票观看，如马拉松、三项全能和公路自行车比赛均向观众免费开放．某同学打算购买x 张价格为20英磅的门票(x ∈{1,2,3,4,5}，需用y 英磅，试用函数的三种表示方法将y 表示成x 的函数．解：解析法：y ＝20x ，x ∈{1,2,3,4,5}．列表法：图象法：11．作出下列函数的图象： (1)y ＝x ＋2，|x |≤3；(2)y ＝x 2－2，x ∈Z 且|x |≤2.解：(1)因为|x |≤3，所以函数的图象为线段，而不是直线，如图(1)． (2)因为x ∈Z 且|x |≤2，所以函数的图象是五个孤立的点，如图(2)．高中数学必修一同步训练及解析1．已知集合A ＝{a ，b }，集合B ＝{0,1}，则下列对应不是A 到B 的映射的是( )解析：选C.A 、B 、D 均满足映射的定义，C 不满足A 中任一元素在B 中都有唯一元素与之对应，且A 中元素b 在B 中无元素与之对应．2．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ≤1，x 2＋x －2，x >1，则f [1f (2)]的值为( )A.1516B ．－2716C.89 D ．18解析：选A.∵f (2)＝22＋2－2＝4，∴f [1f (2)]＝f (14)＝1－(14)2＝1516.3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤00，x >0，则f (2)＋f (－2)＝________.答案：44．已知M ＝{正整数}，N ＝{正奇数}，映射f ：a →b ＝2a －1，(a ∈M ，b ∈N )，则在映射f 下M 中的元素11对应N 中的元素是________．答案：21[A 级基础达标]1．下列给出的式子是分段函数的是( )①f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x ≤1.②f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ∈R ，x 2，x ≥2.③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1.④f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5.A ．①②B ．①④C ．②④D ．③④2.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2(x ≤－1)，x 2(－1＜x ＜2)，2x (x ≥2)，若f (x )＝3，则x 的值是( )A ．1B ．1或32C ．1，32或±3 D. 3解析：选D.该分段函数的三段各自的值域为(－∞，1]，[0,4)，[4，＋∞)，而3∈[0,4)， ∴f (x )＝x 2＝3，x ＝±3，而－1＜x ＜2，∴x ＝ 3.3．函数y ＝x ＋|x |x的图象为( )解析：选C.y ＝x ＋|x |x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x >0)x －1 (x <0)，再作函数图象．4.如图，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(4,2)，则f (f (f (2)))＝________.解析：f (2)＝0，f (f (2))＝f (0)＝4，f (f (f (2)))＝f (4)＝2. 答案：25．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <0x 2，x ≥0，若f (x )＝16，则x 的值为________．解析：当x <0时，2x ＝16，无解；当x ≥0时，x 2＝16，解得x ＝4. 答案：46．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x 22，x ≥2.(1)求f (－74)；(2)求f (14)；(3)求f (4)；(4)若f (a )＝3，求a 的值．解：(1)f (－74)＝－74＋2＝14；(2)f (14)＝2×14＝12；(3)f (4)＝422＝8；(4)因为当x ≤－1时，x ＋2≤1，当x ≥2时，x 22≥2，当－1<x <2时，－2<2x <4.所以⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <22a ＝3⇒a ＝32，或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥2a 22＝3⇒a 2＝6⇒a ＝ 6.综上，若f (a )＝3，则a 的值为32或 6.[B 级能力提升]7．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2 (－1<x <0)－12x (0≤x <2)，3 (x ≥2)则f (x )的值域是( )A ．(－1,2)B ．(－1,3]C ．(－1,2]D ．(－1,2)∪{3}解析：选D.对f (x )来说，当－1<x <0时，f (x )＝2x ＋2∈(0,2)；当0≤x <2时，f (x )＝－12x ∈(－1,0]；当x ≥2时，f (x )＝3.故函数y ＝f (x )的值域为(－1,2)∪{3}．故选D.8．映射f ：A →B ，A ＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，对于任意a ∈A ，在集合B 中和它对应的元素是|a |，则集合B 中的元素个数至少是( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7解析：选A.对于A 中的元素±1，B 中有1与之对应；A 中的元素±2，B 中有一个元素2与之对应；A 中的元素±3，B 中有一个元素3与之对应；A 中的元素4，B 中有一个元素4与之对应，所以B 中的元素个数至少是4.9．设f ：A →B 是从集合A 到B 的映射，其中A ＝B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R}，f ：(x ，y )→(x ＋y ，x －y )，那么A 中元素(1,3)所对应的B 中的元素为________，B 中元素(1,3)在A 中有________与之对应．解析：(1,3)→(1＋3,1－3)，即(4，－2)．设A 中与(1,3)对应的元素为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1. 答案：(4，－2) (2，－1)10．根据函数f (x )的图象如图所示，写出它的解析式．解：当0≤x ≤1时，f (x )＝2x ；当1<x <2时，f (x )＝2；当x ≥2时，f (x )＝3. 所以解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2.11．某市乘出租车计费规定：2公里以内5元，超过2公里不超过8公里的部分按每公里1.6元计费，超过8公里以后按每公里2.4元计费．若甲、乙两地相距10公里，则乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为多少元？解：设乘出租车走x 公里，车费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0<x ≤25＋1.6×(x －2)，2<x ≤8，14.6＋2.4×(x －8)，x >8即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0<x ≤21.8＋1.6x ，2<x ≤8，2.4x －4.6，x >8因为甲、乙两地相距10公里，即x ＝10>8，所以车费y ＝2.4×10－4.6＝19.4(元)．所以乘出租车从甲地到乙地共需要支付乘车费为19.4元．高中数学必修一同步训练及解析1．函数y ＝－x 2的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0] C ．(－∞，0) D ．(－∞，＋∞)解析：选A.根据y ＝－x 2的图象可得．2．下列函数中，在区间(0,1)上是增函数的是( ) A ．y ＝|x | B ．y ＝3－xC ．y ＝1xD ．y ＝－x 2＋4解析：选A.∵－1<0，所以一次函数y ＝－x ＋3在R 上递减；反比例函数y ＝1x在(0，＋∞)上递减；二次函数y ＝－x 2＋4在(0，＋∞)上递减．故选A.3．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是________．答案：[－1.5,3]，[5,6]4．证明：函数y ＝xx ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．证明：设x 1>x 2>－1，则y 1－y 2＝x 1x 1＋1－x 2x 2＋1＝x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)，∵x 1>x 2>－1，∴x 1－x 2>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，∴x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1)>0.即y 1－y 2>0，y 1>y 2， ∴y ＝xx ＋1在(－1，＋∞)上是增函数．[A 级基础达标]1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数；③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选A.函数的单调性的定义是指定义在区间I 上任意两个值x 1，x 2，强调的是任意，从而①不对；②y ＝x 2在x ≥0时是增函数，x <0时是减函数，从而y ＝x 2在整个定义域上不具有单调性；③y ＝－1x 在整个定义域内不是单调递增函数．如－3<5，而f (－3)>f (5)；④y ＝1x的单调递减区间不是(－∞，0)∪(0，＋∞)，而是(－∞，0)和(0，＋∞)，注意写法． 2．函数y ＝x 2－3x ＋2的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B ．[1，＋∞) C ．[1,2]D ．(－∞，32]解析：选D.由二次函数y ＝x 2－3x ＋2图象的对称轴为x ＝32且开口向上，所以单调减区间为(－∞，32]，故选D.3．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞) C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：选C.因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3，故选C.4．函数f (x )＝|x －3|的单调递增区间是________，单调递减区间是________．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －3，x ≥3，－x ＋3，x <3.其图象如图所示，则f (x )的单调递增区间是[3，＋∞)，单调递减区间是(－∞，3]．答案：[3，＋∞) (－∞，3]5．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围为________．解析：设任意的x 1，x 2∈(－2，＋∞)，且x 1<x 2，f (x 1)－f (x 2)＝ax 1＋1x 1＋2－ax 2＋1x 2＋2＝(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2). ∵f (x )在(－2，＋∞)上单调递增， ∴f (x 1)－f (x 2)<0. ∴(x 1－x 2)(2a －1)(x 1＋2)(x 2＋2)<0， ∵x 1－x 2<0，x 1＋2>0，x 2＋2>0，∴2a －1>0，∴a >12.答案：(12，＋∞)6．作出函数y ＝x |x |＋1的图象并写出其单调区间．解：由题可知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，－x 2＋1，x <0，作出函数的图象如图所示，所以原函数的单调增区间为(－∞，＋∞)．[B 级能力提升]7．对于函数y ＝f (x )，在给定区间上有两个数x 1，x 2，且x 1<x 2，使f (x 1)<f (x 2)成立，则y ＝f (x )( ) A ．一定是增函数 B ．一定是减函数 C ．可能是常数函数 D ．单调性不能确定解析：选D.由单调性定义可知，不能用特殊值代替一般值． 8．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，则( ) A ．f (a )>f (2a ) B ．f (a 2)<f (a )C ．f (a 2－1)<f (a )D ．f (a 2＋1)<f (a )解析：选D.∵a 2＋1－a ＝(a －12)2＋34>0，∴a 2＋1>a .∴f (a 2＋1)<f (a )．故选D.9．已知函数f (x )为区间[－1,1]上的增函数，则满足f (x )<f (12)的实数x 的取值范围为________．解析：由题设得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x <12，即－1≤x <12.答案：－1≤x <1210．作出函数f (x )＝|2x －1|的图象并写出其单调区间．解：当x >12时，f (x )＝2x －1，当x ≤12时，f (x )＝－2x ＋1，所以f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x >12，－2x ＋1，x ≤12，画出函数的图象如图所示，所以原函数的单调增区间为[12，＋∞)，减区间为(－∞，12]．11．若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0. (1)求b 与c 的值；(2)试证明函数f (x )在区间(2，＋∞)上是增函数．解：(1)∵f (1)＝0，f (3)＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝09＋3b ＋c ＝0，解得b ＝－4，c ＝3. (2)证明：∵f (x )＝x 2－4x ＋3， ∴设x 1，x 2∈(2，＋∞)且x 1＜x 2，f (x 1)－f (x 2)＝(x 21－4x 1＋3)－(x 22－4x 2＋3)＝(x 21－x 22)－4(x 1－x 2) ＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2－4)，∵x 1－x 2＜0，x 1＞2，x 2＞2， ∴x 1＋x 2－4＞0. ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)．∴函数f (x )在区间(2，＋∞)上为增函数．高中数学必修一同步训练及解析1．设函数f (x )＝2x －1(x <0)，则f (x )( ) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数解析：选C.画出函数f (x )＝2x －1(x <0)的图象，如右图中实线部分所示．由图象可知，函数f (x )＝2x －1(x <0)是增函数，无最大值及最小值．故选C.2．函数y ＝1x －1在[2,3]上的最小值为( )A ．2 B.12 C.13D ．－12解析：选B.函数y ＝1x －1在[2,3]上为减函数，∴y min ＝13－1＝12.3．函数f (x )＝1x 在[1，b ](b >1)上的最小值是14，则b ＝________.解析：∵f (x )在[1，b ]上是减函数，∴f (x )在[1，b ]上的最小值为f (b )＝1b ＝14，∴b ＝4. 答案：44．函数y ＝2x 2＋2，x ∈N *的最小值是________．解析：∵x ∈N *，∴x 2≥1， ∴y ＝2x 2＋2≥4，即y ＝2x 2＋2在x ∈N *上的最小值为4，此时x ＝1. 答案：4[A 级基础达标]1．函数f (x )＝x 2－4x ＋3，x ∈[1,4]，则f (x )的最大值为( ) A ．－1 B ．0 C ．3 D ．－2解析：选C.∵f (x )在[1,2]上是减函数，在[2,4]上是增函数，又f (1)＝0，f (4)＝3. ∴f (x )的最大值是3.2．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋6，x ∈[1，2]x ＋7，x ∈[－1，1]，则f (x )的最大值、最小值分别为( )A ．10、6B ．10、8C ．8、6D ．以上都不对解析：选A.f (x )在x ∈[－1,2]上为增函数，f (x )max ＝f (2)＝10，f (x )min ＝f (－1)＝6. 3．函数f (x )＝9－ax 2(a ＞0)在[0,3]上的最大值为( ) A ．9 B ．9(1－a ) C ．9－a D ．9－a 2解析：选A.x ∈[0,3]时f (x )为减函数，f (x )max ＝f (0)＝9. 4．函数f (x )＝x －2，x ∈{0,1,2,4}的最大值为________．解析：函数f (x )自变量的取值是几个孤立的数，用观察法即得它的最大值为f (4)＝2. 答案：25．函数f (x )＝x 2＋bx ＋1的最小值是0，则实数b ＝________. 解析：f (x )是二次函数，二次项系数1>0，则最小值为f (－b 2)＝b 24－b 22＋1＝0，解得b ＝±2. 答案：±26．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2 (－12≤x ≤1)1x(1＜x ≤2)，求f (x )的最大、最小值．解析：当－12≤x ≤1时，由f (x )＝x 2，得f (x )的最大值为f (1)＝1，最小值为f (0)＝0；当1＜x ≤2时，由f (x )＝1x，得f (2)≤f (x )＜f (1)，即12≤f (x )＜1. 综上f (x )max ＝1，f (x )min ＝0.[B 级能力提升]7．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f (x )的最小值为－2，则f (x )的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：选C.因为f (x )＝－(x －2)2＋4＋a ，由x ∈[0,1]可知当x ＝0时，f (x )取得最小值，及－4＋4＋a ＝－2，所以a ＝－2，所以f (x )＝－(x －2)2＋2，当x ＝1时，f (x )取得最大值为－1＋2＝1.故选C.8．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x ，其中销售量单位：辆．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( ) A ．90万元 B ．60万元 C ．120万元 D ．120.25万元解析：选C.设公司在甲地销售x 辆，则在乙地销售15－x 辆，公司获利为 L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x ) ＝－x 2＋19x ＋30＝－(x －192)2＋30＋1924，∴当x ＝9或10时，L 最大为120万元．9．函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a ＝______.解析：若a <0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是减函数，并且在区间的左端点处取得最大值，即a ＋1＝4，解得a ＝3，不满足a <0，舍去；若a >0，则函数y ＝ax ＋1在区间[1,3]上是增函数，当x ＝3时，y ＝4，∴3a ＋1＝4，∴a ＝1. 综上：a ＝1. 答案：110．已知函数f (x )＝1a －1x(a >0)．(1)证明f (x )在(0，＋∞)上单调递增；(2)若f (x )的定义域、值域都是[12，2]，求实数a 的值．解：(1)证明：设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝(1a －1x 2)－(1a －1x 1)＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2. ∵x 2>x 1>0，∴x 2－x 1>0， ∴x 2－x 1x 1x 2>0，即f (x 2)>f (x 1)． ∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)∵f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且定义域和值域均为[12，2]，∴⎩⎨⎧f (12)＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，∴a ＝25.11.如图所示，动物园要建造一面靠墙的两间一样大小的长方形动物笼舍，可供建造围墙的材料总长为30 m ，问每间笼舍的宽度x 为多少m 时，才能使得每间笼舍面积y 达到最大？每间最大面积为多少？解：设总长为b ，由题意知b ＝30－3x ，可得y ＝12xb ，即y ＝12x (30－3x )＝－32(x －5)2＋37.5，x ∈(0,10)．当x ＝5时，y 取得最大值37.5，即每间笼舍的宽度为5 m 时，每间笼舍面积y 达到最大，最大面积为37.5 m 2.高中数学必修一同步训练及解析1．下列函数为偶函数的是( ) A ．f (x )＝|x |＋xB ．f (x )＝x 2＋1xC ．f (x )＝x 2＋xD ．f (x )＝|x |x2解析：选D.只有D 符合偶函数定义．2．f (x )＝x 3＋1x的图象关于( )A ．原点对称B ．y 轴对称C ．y ＝x 对称D ．y ＝－x 对称解析：选A.x ≠0，f (－x )＝(－x )3＋1－x＝－f (x )，f (x )为奇函数，关于原点对称．3．函数f (x )＝x 3＋ax ，f (1)＝3，则f (－1)＝________. 解析：显然f (x )是奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－3. 答案：－34．若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝________. 解析：f (x )＝x 2＋(1－a )x －a 为偶函数， ∴1－a ＝0，a ＝1. 答案：1[A 级基础达标]1．下列命题中，真命题是( )A ．函数y ＝1x是奇函数，且在定义域内为减函数B ．函数y ＝x 3(x －1)0是奇函数，且在定义域内为增函数C ．函数y ＝x 2是偶函数，且在(－3,0)上为减函数D ．函数y ＝ax 2＋c (ac ≠0)是偶函数，且在(0,2)上为增函数解析：选C.选项A 中，y ＝1x在定义域内不具有单调性；B 中，函数的定义域不关于原点对称；D 中，当a ＜0时，y ＝ax 2＋c (ac ≠0)在(0,2)上为减函数，故选C. 2．下面四个结论：①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称；④既是奇函数又是偶函数的函数是f (x )＝0. 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选A.偶函数的图象关于y 轴对称，但不一定与y 轴相交，如y ＝1x2，故①错，③对；奇函数的图象不一定通过原点，如y ＝1x，故②错；既奇又偶的函数除了满足f (x )＝0，还要满足定义域关于原点对称，④错．故选A.3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，那么g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ( ) A ．是奇函数 B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．是非奇非偶函数解析：选A.g (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )＝xf (x )，g (－x )＝－x ·f (－x )＝－x ·f (x )＝－g (x )，所以g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 是奇函数；因为g (x )－g (－x )＝2ax 3＋2cx 不恒等于0，所以g (－x )＝g (x )不恒成立．故g (x )不是偶函数．4．如图给出奇函数y ＝f (x )的局部图象，则f (－2)的值是________．解析：f (－2)＝－f (2)＝－32.答案：－325．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为偶函数，其定义域为[a －1,2a ]，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f (x )是定义域为[a －1,2a ]的偶函数，∴a －1＝－2a ，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，即13x 2－bx ＋1＋b ＝13x 2＋bx ＋1＋b . ∴b ＝0.答案：136．判断下列函数的奇偶性． (1)f (x )＝x －1＋1－x ； (2)f (x )＝|x |＋x 2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 (x >0)0 (x ＝0).x ＋1 (x <0)解：(1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥01－x ≥0.∴x ＝1.定义域为{1}，不关于原点对称，∴函数f (x )为非奇非偶函数．(2)f (x )＝|x |＋x 2＝2|x |，定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．且有f (－x )＝2|－x |＝2|x |＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(3)法一：显然定义域为(－∞，＋∞)，关于原点对称．当x >0时，－x <0，则f (－x )＝1－x ＝－f (x )，当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－x －1＝－f (x )．则f (－0)＝f (0)＝－f (0)＝0. ∴f (x )为奇函数．法二：作出函数f (x )的图象，可知f (x )的图象关于原点对称，所以f (x )为奇函数．[B 级能力提升]7．若f (x )为偶函数，且当x ≥0时，f (x )≥2，则当x ≤0时( ) A ．f (x )≤2 B ．f (x )≥2C ．f (x )≤－2D ．f (x )∈R解析：选B.可画出f (x )的大致图象：易知当x ≤0时，有f (x )≥2.故选B.8．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( ) A ．f (π)>f (－3)>f (－2) B ．f (π)>f (－2)>f (－3) C ．f (π)<f (－3)<f (－2) D ．f (π)<f (－2)<f (－3)解析：选A.∵f (x )为偶函数，且当x ∈[0，＋∞)时，f (x )为增函数．又∵f (－2)＝f (2)，f (－3)＝f (3)，且2<3<π，∴f (2)<f (3)<f (π)，即f (－2)<f (－3)<f (π)．9．若偶函数f (x )在(－∞，0]上为增函数，则满足f (1)≤f (a )的实数a 的取值范围是________．解析：由已知偶函数f (x )在(－∞，0]上为增函数， ∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数，∴f (1)≤f (a )⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，1≥a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0－1≤a ⇔0<a ≤1，或－1≤a ≤0.。

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专升本高数同步练习题### 专升本高数同步练习题#### 一、选择题1. 函数$ f(x) = 3x^2 - 2x + 1 $的导数是：- A. $ 6x - 2 $- B. $ 2x^2 - 2 $- C. $ 3x^2 - 2x $- D. $ 6x + 1 $2. 曲线$ y = x^3 - 2x^2 + x $在点(1,0)处的切线斜率是：- A. 0- B. 1- C. -1- D. 23. 定积分$ \int_{0}^{1} x^2 dx $的值是：- A. $ \frac{1}{3} $- B. $ \frac{1}{2} $- C. $ \frac{1}{4} $- D. $ \frac{1}{6} $#### 二、填空题1. 若$ f(x) = \sin x + \cos x $，则$ f'(\pi/4) = $_________。

2. 函数$ g(x) = 2x^3 - 5x^2 + 4x - 3 $的极值点是：_________。

3. 曲线$ y = 3x^2 - 4x + 2 $与直线$ y = 6x - 5 $的交点坐标为：_________。

#### 三、解答题1. 求导数：求函数$ h(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7x - 9 $的导数。

2. 求定积分：求定积分$ \int_{1}^{2} (4x - 3) dx $。

3. 求极值：求函数$ f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x $的极值。

4. 求曲线交点：求曲线$ y = x^2 + 2x + 1 $与直线$ y = 4x $的交点坐标。

#### 四、应用题1. 某工厂生产某种产品的总成本函数为$ C(x) = 100 + 50x +0.5x^2 $，其中$ x $是产品数量。

求产品的平均成本和边际成本。

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第1章极限与连续1.1 函数1、(1) x -- (2) ]3,0()0,(Y -∞ (3) 时，210≤<a a x a -≤≤1，φ时，21>a(4) 奇函数 (5)）（101log 2<<-x x x(6) )1(-≠x x (7) 22+x (8))(x g π2 (9) 1525++⋅x x(10) xe1sin 2-2、⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧><<-==<<=e x e x e x e x e x e x g f 或或1011011)]([ 3、⎪⎩⎪⎨⎧>+-≤<--≤+=262616152)(2x x x xx x x f 4)(max =x f 1.2 数列的极限1、(1) D (2) C (3) D1.3 函数的极限1、(1) 充分 (2) 充要 3、 11.4 无穷小与无穷大1、(1) D (2) D (3) C (4) C1.5 极限运算法则1、 (1) 21-(2) 21(3) ∞ (4) 1- (5) 02、（1）B （2）D3、(1) 0 (2)23x (3)1-(4) 62(5) 1 (6) 4 4、a = 1 b = -11.6 极限存在准则两个重要极限1、(1) 充分 (2) ω，3 (3) 2 ，23(4) 0，22t (5) 3e ，2e2、(1) x (2)32(3) 2 (4) 1 (5) 3-e (6) 1-e 1.7 无穷小的比较1、(1) D (2) A (3) B (4) C2、(1) 1 (2) 2 (3) 23- (4) 21- (5) 23 (6) 32-3、e1.8 函数的连续性与间断点1、(1) 充要 (2) 2 (3) 0，32 (4) 跳跃，无穷，可去2、(1) B (2) B (3) B (4) D3、(1) 1-e (2)21-e4、a =1 ， b = 25、 (1))(2,0Z k k x x ∈+==ππ是可去间断点，)0(≠=k k x π是无穷间断；(2) 0=x 是跳跃间断点，1=x 是无穷间断点 6、e b a ==,01.10 总习题1、(1) 2 (2) },,,max{d c b a (3)21(4) 2 (5) 2 8- (6) 2 (7) 23 (8) 0 1- (9) 跳跃可去 (10) 2 2、(1) D (2) D (3) D (4) C (5) D (6) B (7) D (8) D (9) B (10) B (11) B 3、（1）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=11575115100190100090)(x x x x x p（2）⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=11515115100130100030)60(2x x x x x x xx p P（3）15000=P （元）。

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专升本高数同步练习题一、选择题1. 下列函数中，不是周期函数的是（）A. y = sin(x)B. y = cos(x)C. y = e^xD. y = tan(x)2. 函数f(x) = x^2 + 3x - 2在x = -1处的导数是（）A. 4B. 2C. -2D. -43. 根据泰勒公式，函数f(x) = e^x在x = 0处的泰勒展开式为（）A. e^xB. 1 + xC. 1 + x + x^2/2D. 1 + x + x^24. 曲线y = x^3 - 2x^2 + x在点(1,0)处的切线斜率是（）A. 0B. 1C. -1D. 25. 曲线y = ln(x)在x = 1处的切线方程是（）A. y = 1B. y = x - 1C. y = xD. y = 1 - x二、填空题6. 若f(x) = 3x^2 + 2x - 5，则f'(x) = _______。

7. 若曲线y = x^2 + 1在点(2,5)处的切线与x轴平行，则该曲线在该点的切线方程为 _______。

8. 若f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x) = _______。

9. 函数y = x^3在区间[-1,1]上的定积分为 _______。

10. 若曲线y = x^2 - 4x + 4在点(2,0)处的法线方程为 _______。

三、计算题11. 计算定积分：∫[0,1] (x^2 - 2x + 1)dx。

12. 求函数f(x) = 2x^3 - x^2 + 5x + 7的极值点。

13. 证明：函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2在区间(-∞, +∞)上是单调递增的。

14. 求曲线y = x^2 + 2x - 3在点(1,0)处的切线方程。

15. 求函数f(x) = ln(x) + x^2在区间[1, e]上的值域。

四、解答题16. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其导数，并讨论其单调性。

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