贪婪算法2
10算法策略之贪婪法
10算法策略之贪婪法贪婪算法贪婪法⼜叫登⼭法, 它的根本思想是逐步到达⼭顶,即逐步获得最优解。
贪婪算法没有固定的算法框架，算法设计的关键是贪婪策略的选择。
⼀定要注意，选择的贪婪策略要具有⽆后向性。
某状态以后的过程和不会影响以前的状态,只与当前状态或以前的状态有关,称这种特性为⽆后效性。
可绝对贪婪问题【例1】键盘输⼊⼀个⾼精度的正整数N，去掉其中任意S个数字后剩下的数字按原左右次序将组成⼀个新的正整数。
编程对给定的N和S，寻找⼀种⽅案使得剩下的数字组成的新数最⼩。
输⼊数据均不需判错。
输出应包括所去掉的数字的位置和组成的新的正整数（N不超过240位）。
数据结构设计：对⾼精度正整数的运算在上⼀节我们刚刚接触过，和那⾥⼀样，将输⼊的⾼精度数存储为字符串格式。
根据输出要求设置数组，在删除数字时记录其位置。
我们采⽤⽅法1）。
⼀种简单的控制相邻数字⽐较的⽅法是每次从头开始，最多删除s次，也就从头⽐较s次。
按题⽬要求设置数组data记录删除的数字所在位置。
较s次。
按题⽬要求设置数组data记录删除的数字所在位置delete(char n[],int b,int k){int i;for(i=b;i<= length(n)-k;i=i+1) n[i]=n[i+k];}main（）{char n[100]; int s,i,j,j1,c,data[100],len;input(n); input(s); len=length(n);if(s>len){print(“data error”); return;}j1=0;for (i=1;i<=s ;i=i+1){for (j=1;j<length(n);j=j+1)if (n[j]>n[j+1]) //贪婪选择{delete(n,j,1);if (j>j1) data[i]=j+i; //记录删除数字位置else //实例2向前删除的情况实例data[i]=data[i-1]-1;j1=j; break; }if( j>length(n)) break;}for (i=i;i<=s;i=i+1){ j=len-i+1;delete(n,j,1); data[i]=j;}while (n[1]='0' and length(n) >1)delete(n,1,1); //将字符串⾸的若⼲个“0”去掉 print(n);for (i=1;i<=s;i=i+1)print(data[i],' ');}算法说明1：注意记录删除位置不⼀定是要删除数字d的下标，因为有可能d的前或后有可能已经有字符被删除，d的前⾯已经有元素删除容易想到，但⼀定不要忽略了其后也有可能已删除了字符，实例2中删除1时，其后的2已被删除。
贪婪取走启发式算法
贪婪取走启发式算法摘要：1.启发式算法的定义和特点2.贪婪算法的基本思想和应用实例3.启发式算法在解决问题时的优势和局限性4.贪婪算法的改进方向和未来发展正文：一、启发式算法的定义和特点启发式算法（Heuristic Algorithm）是一种根据问题特点进行近似求解的方法。
与精确算法相比，启发式算法通常能够在较短的时间内找到一个可行解或次优解，但可能无法保证解的最优性。
启发式算法的特点如下：1.利用问题的局部结构和特征进行推理和求解。
2.通常采用贪心策略，即在每一步决策中都选择当前看起来最优的解。
3.算法的复杂度和计算时间相对较低。
二、贪婪算法的基本思想和应用实例贪婪算法（Greedy Algorithm）是一种典型的启发式算法，其基本思想是在问题的每一步决策中都选择当前最优的解，期望最终得到全局最优解。
贪婪算法应用广泛，下面举两个实例：1.最小生成树问题：在构建一棵最小生成树时，可以从任意一个顶点开始，每次选择连接已选择顶点的边中权值最小的边，直到所有顶点都被连接。
2.旅行商问题：在给定若干城市和它们之间的距离矩阵时，贪婪算法可以在每一步选择距离当前城市最近的下一个城市，最终得到一条最短路径。
三、启发式算法在解决问题时的优势和局限性启发式算法在解决复杂问题时具有明显优势：1.算法简单，易于理解和实现。
2.计算速度快，能够在较短时间内得到一个可行解或次优解。
然而，启发式算法也存在局限性：1.得到的解不一定是最优解，可能受到算法的初始状态和搜索策略的影响。
2.算法的性能可能受到问题规模和实例特征的影响。
四、贪婪算法的改进方向和未来发展为了提高贪婪算法的性能，可以从以下几个方面进行改进：1.改进贪婪策略，如引入局部搜索、模拟退火等技术，以降低算法陷入局部最优的可能性。
2.结合问题特点，设计更具针对性的启发式函数和搜索算法。
3.利用机器学习、人工智能等技术，对算法的初始状态和搜索策略进行优化。
学习理论中的贪婪算法探讨
学习理论中的贪婪算法探讨一、引言贪婪算法是一种常见的算法思想，它通过贪心策略，每次选择局部最优解，最终能得到全局最优解。
贪婪算法广泛应用于各个领域，例如数据压缩、图形图像处理、排队论、优化问题等。
本文将学习理论中的贪婪算法进行探讨，包括贪婪算法的原理、应用场景、实现方式及优缺点等。
二、贪婪算法的原理贪婪算法是一种基于局部最优解的算法思想。
它的核心思想是每次选择当前情况下的最优解，然后进行下一步操作，直到得到全局最优解。
具体来说，贪婪算法可以分为以下几个步骤：1. 确定解空间和约束条件。
2. 确定度量标准，以便进行局部最优解的评估。
3. 通过贪心策略选择当前最优解，并对问题进行局部优化。
4. 判断是否得到全局最优解，如果没有则回到步骤3，继续进行贪心策略选择。
三、贪婪算法的应用场景贪婪算法是一种高效的算法思想，广泛应用于各个领域，例如：1. 数据压缩在数据压缩中，贪婪算法可以通过对频率排序，选择编码字母，从而实现数据压缩。
2. 图形图像处理在图形图像处理中，贪婪算法可以通过匹配算法，实现图形图像的匹配与识别。
3. 排队论在排队论中，贪婪算法可以通过选择最短的队列，进行任务分配与处理。
4. 优化问题在优化问题中，贪婪算法可以通过快速求解局部最优解，进而实现全局最优解的求解。
四、贪婪算法的实现方式贪婪算法的实现方式较为灵活，可以根据实际需要进行选择。
通常情况下，贪婪算法的实现方式可以分为以下几类：1. 贪心算法贪心算法是贪婪算法中最常见的实现方式之一。
它通过从问题的局部最优解出发，逐步构建整个问题的最优解。
例如，在任务调度中，可以通过选择最近截止时间的任务，进行调度与处理。
2. 堆排序堆排序是贪婪算法中一种高效的实现方式。
它通过使用堆结构，从中选择最大或最小的元素，并进行排序。
在数据压缩中，堆排序可以通过选择频率最小的元素，进行字母的编码，从而实现数据压缩。
3. 贪心分数背包问题贪心分数背包问题是贪婪算法中一种重要的应用场景。
np难问题常用算法
np难问题常用算法NP难问题是计算机科学中一个重要的概念，指的是一类问题，其解决方案的验证可以在多项式时间内完成，但要找到解决方案却需要非多项式时间。
NP难问题常常需要借助一些特定的算法来解决，这些算法在计算复杂度上可能并不高，但在实际应用中却起到了至关重要的作用。
下面将介绍一些常用的算法，用于解决NP难问题。
1. 贪婪算法（Greedy Algorithm）贪婪算法是一种常用的近似算法，用于解决优化问题。
它的基本思想是每一步都选择当前最优的解决方案，希望最终得到全局最优解。
虽然贪婪算法不能保证得到最优解，但在一些问题中却表现良好，比如最小生成树问题、背包问题等。
2. 动态规划算法（Dynamic Programming）动态规划算法通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
其基本思想是将原问题分解为若干个子问题，先求解子问题，再利用子问题的解逐步推导出原问题的解。
动态规划算法在解决NP难问题中有着重要的应用，比如最长公共子序列问题、背包问题等。
3. 分支定界算法（Branch and Bound Algorithm）分支定界算法是一种用于解决组合优化问题的算法。
它通过逐步分解问题，将问题空间划分为若干个子问题，再利用上下界信息剪枝，最终找到最优解。
分支定界算法在解决NP难问题中有着广泛的应用，比如旅行商问题、背包问题等。
4. 遗传算法（Genetic Algorithm）遗传算法是一种模拟生物进化过程的优化算法，用于解决复杂的组合优化问题。
它通过模拟遗传、突变、选择等过程，逐步优化问题的解。
遗传算法在解决NP难问题中有着独特的优势，比如图着色问题、旅行商问题等。
5. 模拟退火算法（Simulated Annealing Algorithm）模拟退火算法是一种基于统计力学原理的全局优化算法，用于解决组合优化问题。
它通过模拟固体退火过程，逐步降低系统能量，最终找到全局最优解。
模拟退火算法在解决NP难问题中表现优异，比如图着色问题、背包问题等。
贪婪算法
贪婪算法是求解最优化问题的一种方法，每个 最优化问题都包含一组限制条件（ 和一个优化函 数），符合限制条件的问题求解方案称为可行解， 使优化函数取得最佳值的可行解称为最优解。 例1 [ 渴婴问题] 有一个非常渴的、聪明的小婴儿， 她可能得到的东西包括一杯水、一桶牛奶、多罐不 同种类的果汁、许多不同的装在瓶子或罐子中的苏
方案的总价值为2 0。而最优解为[ 0 , 1 , 1 ]，其总价 值为3 0。
当利用重量贪婪策略时，获得的解为x =[1,0], 比最优
解[ 0 , 1 ]要差。
请你用第三种策略解n= 3 ,w=[20,15,15], p=[40,25, 25], c=30 时的最优解。
我们不必因所考察的几个贪婪算法都不能保证 得到最优解而沮丧， 0 / 1背包问题是一个N P-复杂 问题。对于这类问题，也许根本就不可能找到具有
解是最优解。这是一个典型的贪婪算法。
算法思想:
在贪婪算法中采用逐步构造最优解的方法。在 每个阶段，都作出一个看上去最优的决策（在一定 的标准下）。决策一旦作出，就不可再更改。作出 贪婪决策的依据称为贪婪准则。
一种获得最优分配的贪婪方法是逐步分配任务。 每步分配一件任务，且使其处于最优解。在选择何 种饮料时，采用以下贪婪准则：根据欲选择饮料的 满意度的大小来决定选择何种饮料，若此种饮料的 数量无法满足婴儿的需求，且有其它饮料可以选择， 则选择其它的饮料，直到满足饮料总量的要求。
实际上，我们可以从上述算法中得到启发。并最
终可以获得最优解。考虑：首先将最多k 件物品放入 背包，如果这k 件物品重量大于c，则放弃它。否则， 剩余的容量用来考虑将剩余物品按pi /wi 递减的顺序 装入。通过考虑由启发法产生的解法中最多为k 件物
贪婪算法的基本原理
贪婪算法的基本原理贪婪算法（Greedy Algorithm）是一种常见的算法设计思想，它在每一步选择中都采取当前状态下最优的选择，以期望达到全局最优解。
贪婪算法的基本原理可以概括为“局部最优选择，期望全局最优解”。
在每个步骤中做出局部最优选择是贪婪算法的关键特点。
贪婪算法通常适用于满足贪婪选择性质（Greedy Choice Property）和最优子结构（Optimal Substructure）的问题。
贪婪选择性质意味着通过做出局部最优选择，可以得到全局最优解。
最优子结构意味着一个问题的最优解可以通过一系列子问题的最优解来表示。
当一个问题具有最优子结构性质时，我们可以通过贪婪算法来求解问题。
1.定义问题的优化目标。
2.将问题分解为若干子问题，子问题必须满足最优子结构性质。
3.设计一个贪婪策略，通过局部最优选择来做出决策。
4.解决每个子问题，得到局部最优解。
5.将各个子问题的解合并，得到原问题的解。
不过，贪婪算法不一定能得到全局最优解，因为它只关注局部最优选择，并没有进行全局。
有时，贪婪算法会陷入局部最优解而无法达到全局最优解。
因此，在使用贪婪算法求解问题时，必须确保问题满足贪心选择性质和最优子结构性质。
贪婪算法在许多问题中都有广泛的应用。
以下是几个常见问题的例子：1.最小生成树问题：通过选择边的方式，连接图中的所有顶点，并使得选择的边权和最小。
2.背包问题：在给定的背包容量下，选择一些物品放入背包中，使得物品的总价值最大。
3.哈夫曼编码：通过贪心选择思想构建最优的可变长度编码，以实现数据的高效压缩。
4.集合覆盖问题：从一组集合中选择最少的集合，覆盖全集的元素。
总结起来，贪婪算法是一种简单有效的算法设计思想，它通过局部最优选择来逐步求解问题，并期望达到全局最优解。
贪婪算法适用于满足贪心选择性质和最优子结构性质的问题，但不保证一定能得到全局最优解。
在实际应用中，我们需要理解问题的特点和约束条件，并根据问题的性质选择适合的算法来解决问题。
c语言算法--贪婪算法---01背包问题
c语言算法--贪婪算法---0/1背包问题在0 / 1背包问题中，需对容量为c 的背包进行装载。
从n 个物品中选取装入背包的物品，每件物品i 的重量为wi ，价值为pi 。
对于可行的背包装载，背包中物品的总重量不能超过背包的容量，最佳装载是指所装入的物品价值最高，即n ?i=1pi xi 取得最大值。
约束条件为n ?i =1wi xi≤c 和xi?[ 0 , 1 ] ( 1≤i≤n)。
在这个表达式中，需求出xt 的值。
xi = 1表示物品i 装入背包中，xi =0 表示物品i 不装入背包。
0 / 1背包问题是一个一般化的货箱装载问题，即每个货箱所获得的价值不同。
货箱装载问题转化为背包问题的形式为：船作为背包，货箱作为可装入背包的物品。
例1-8 在杂货店比赛中你获得了第一名，奖品是一车免费杂货。
店中有n 种不同的货物。
规则规定从每种货物中最多只能拿一件，车子的容量为c，物品i 需占用wi 的空间，价值为pi 。
你的目标是使车中装载的物品价值最大。
当然，所装货物不能超过车的容量，且同一种物品不得拿走多件。
这个问题可仿照0 / 1背包问题进行建模，其中车对应于背包，货物对应于物品。
0 / 1背包问题有好几种贪婪策略，每个贪婪策略都采用多步过程来完成背包的装入。
在每一步过程中利用贪婪准则选择一个物品装入背包。
一种贪婪准则为：从剩余的物品中，选出可以装入背包的价值最大的物品，利用这种规则，价值最大的物品首先被装入（假设有足够容量），然后是下一个价值最大的物品，如此继续下去。
这种策略不能保证得到最优解。
例如，考虑n=2, w=[100,10,10], p =[20,15,15], c = 1 0 5。
当利用价值贪婪准则时，获得的解为x= [ 1 , 0 , 0 ]，这种方案的总价值为2 0。
而最优解为[ 0 , 1 , 1 ]，其总价值为3 0。
另一种方案是重量贪婪准则是：从剩下的物品中选择可装入背包的重量最小的物品。
第三章 贪心算法
2021/2/22
5
如果问题改成：砝码的种类分别为11克、5克和1克， 待称的物体是15克。用贪婪算法应先选一个11克的，然 后选四个1克的，共用五个砝码。这不是最优结果，只 要用三个5克的砝码就够了。
贪婪算法虽不能保证得到最优结果，但对于一些除
了“穷举”方法外没有有效算法的问题，用贪婪算法往
往能很快地得出较好的结果，如果此较好结果与最优结 果相差不是很多的话，此方法还是很实用的。
2021/2/22
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当n不太大时，适当的取k值，此改进方法常常可以得到 最优解，但不能因此就说一般背包问题有多项式算法。 当n增大时，k不能随着n不断的加大，如k随n增大而同 时加大，其复杂性就是指数型而不是多项式型的了，而 如k取值较小，又不能保证得出最优解。
贪婪算法
Greedy Algorithm：贪心算法算法思想在贪婪算法中采用逐步构造最优解的方法。
在每个阶段，都作出一个看上去最优的决策（在一定的标准下）。
决策一旦作出，就不可再更改。
作出贪婪决策的依据称为贪婪准则（greedy criterion），也就是从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标，以尽可能快的地求得更好的解。
当达到某算法中的某一步不能再继续前进时，算法停止。
虽然设计一个好的求解算法更像是一门艺术，而不像是技术，但仍然存在一些行之有效的能够用于解决许多问题的算法设计方法，你可以使用这些方法来设计算法，并观察这些算法是如何工作的。
一般情况下，为了获得较好的性能，必须对算法进行细致的调整。
但是在某些情况下，算法经过调整之后性能仍无法达到要求，这时就必须寻求另外的方法来求解该问题。
Greedy Algorithm在设计方面不能保证求得的最后解是最佳的和不能用来求最大或最小解问题，只能求满足某些约束条件的可行解的范围。
Example1例1-4 [找零钱] 一个小孩买了价值少于1美元的糖，并将1美元的钱交给售货员。
售货员希望用数目最少的硬币找给小孩。
假设提供了数目不限的面值为2 5美分、1 0美分、5美分、及1美分的硬币。
售货员分步骤组成要找的零钱数，每次加入一个硬币。
选择硬币时所采用的贪婪准则如下：每一次选择应使零钱数尽量增大。
为保证解法的可行性（即：所给的零钱等于要找的零钱数），所选择的硬币不应使零钱总数超过最终所需的数目。
假设需要找给小孩6 7美分，首先入选的是两枚2 5美分的硬币，第三枚入选的不能是2 5美分的硬币，否则硬币的选择将不可行（零钱总数超过6 7美分），第三枚应选择1 0美分的硬币，然后是5美分的，最后加入两个1美分的硬币。
贪婪算法有种直觉的倾向，在找零钱时，直觉告诉我们应使找出的硬币数目最少（至少是接近最少的数目）。
可以证明采用上述贪婪算法找零钱时所用的硬币数目的确最少（见练习1）。
贪婪算法的基本思路
贪婪算法的基本思路贪婪算法的基本思路贪婪算法是一种常见的算法，它在许多问题中都有广泛的应用。
其基本思路是每次选择当前最优解，然后继续寻找下一个最优解，直到找到整个问题的最优解。
下面将详细介绍贪婪算法的基本思路。
一、什么是贪婪算法贪婪算法（Greedy Algorithm）是一种在每一步选择中都采取在当前状态下最好或最优（即最有利）的选择，从而希望导致结果是全局最好或最优的算法。
简单来说，就是把问题分成若干个阶段，在每个阶段都选择当前状态下最优解，从而得到全局最优解。
二、贪婪算法的特点1. 贪心策略：每次选择当前状态下最优解，并认为这样做可以得到全局最优解。
2. 简单易实现：相较于其他复杂度较高的算法，如动态规划等，贪婪算法实现起来相对简单。
3. 适用范围广：贪婪算法可以用于许多问题中，在某些情况下可以得到很好的效果。
三、贪婪算法的应用1. 最小生成树：Kruskal算法和Prim算法都是贪婪算法的应用。
2. 背包问题：贪心策略可以用于解决一些特殊的背包问题，如分数背包问题。
3. 最短路径问题：Dijkstra算法也是贪婪算法的一种。
4. 集合覆盖问题：集合覆盖问题是指在给定的集合中，选择最少的子集，使得这些子集的并集可以完全覆盖原始集合。
贪心策略可以用于解决这个问题。
四、贪婪算法的实现步骤1. 确定贪心策略：在每个阶段选择当前状态下最优解。
2. 构造可行解：根据贪心策略构造可行解。
3. 证明最优性：证明所构造出来的可行解具有全局最优性。
五、贪婪算法与动态规划的比较与动态规划相比，贪婪算法更加简单易实现，但是其求得结果不一定是全局最优解。
而动态规划虽然复杂度较高，但求得结果一定是全局最优解。
因此，在具体应用中需要根据具体情况选择使用哪种算法。
六、贪婪算法的优缺点1. 优点：实现简单，速度快，适用范围广。
2. 缺点：可能无法得到全局最优解，只能得到一个近似最优解。
七、贪婪算法的应用举例1. 分数背包问题：假设有一个背包可以容纳W重量的物品，现在有n 件物品，每件物品的重量为wi，价值为vi。
贪心算法实验报告
一、实验目的通过本次实验，使学生对贪心算法的概念、基本要素、设计步骤和策略有更深入的理解，掌握贪心算法的原理和应用，并能够运用贪心算法解决实际问题。
二、实验内容本次实验主要涉及以下两个问题：1. 使用贪心算法解决单起点最短路径问题；2. 使用贪心算法解决小船过河问题。
三、实验原理1. 贪心算法贪心算法（又称贪婪算法）是一种在每一步选择中都采取当前最优的选择，从而希望导致结果是全局最优的算法。
贪心算法在每一步只考虑当前的最优解，不保证最终结果是最优的，但很多情况下可以得到最优解。
2. 单起点最短路径问题单起点最短路径问题是指在一个有向无环图中，从某个顶点出发，找到到达其他所有顶点的最短路径。
3. 小船过河问题小船过河问题是指一群人需要划船过河，船只能容纳两个人，过河后需要一人将船开回，问最少需要多久让所有人过河。
四、实验步骤及说明1. 创建图结构，包括顶点数组和边信息。
2. 使用Dijkstra算法求解单起点最短路径问题，得到最短路径和前驱顶点。
3. 使用贪心算法找到两点之间的最短距离，并更新距离和前驱顶点信息。
4. 遍历所有顶点，找到未纳入已找到点集合的距离最小的顶点，并更新其距离和前驱顶点。
5. 最终输出从源顶点到达其余所有点的最短路径。
6. 使用贪心算法解决小船过河问题，按照以下步骤进行：（1）计算所有人过河所需的总时间；（2）计算每次划船往返所需时间；（3）计算剩余人数；（4）重复（2）和（3）步骤，直到所有人过河。
五、实验结果与分析1. 单起点最短路径问题实验中，我们选取了有向无环图G，其中包含6个顶点和8条边。
使用贪心算法和Dijkstra算法求解单起点最短路径问题，得到的实验结果如下：- 贪心算法求解单起点最短路径问题的时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数；- Dijkstra算法求解单起点最短路径问题的时间复杂度为O(V^2)，其中V为顶点数。
2. 小船过河问题实验中，我们选取了一群人数为10的人过河，船每次只能容纳2人。
贪心算法----删数问题
贪⼼算法----删数问题
⼀、问题描述
给定n位整数a，去掉其中任意k<=n个数字后，剩下的数字按原次序排列组成⼀个新的正整数。
如输⼊⼀个正整数：178543；
删除其中4个数
得到：13
⼆、解决思路--贪婪算法
这⾥先介绍之前错误的思路：
找出数字中n-k个最⼩的数，组成新的正整数；
但是很快就有问题出现，虽然每次都找的是整数各个位置中最⼩的数，但是忽略掉了位置的相对关系，如以下的例⼦：
输⼊的⼀个整数：178906； 6位数的整数
删除其中4个数；
按照这个思路，即要选择6-4=2个最⼩的数，即0 和1，按照数中原有的次序，得到的是10；
但是事实上，应该是06，即6
所以换个思路，叫“最近下降点”优先。
利⽤“最陡下降点”优先，即每次找到第⼀个元素，使其满⾜⼤于下⼀个元素。
正如上述的那个例⼦，第⼀个删除的是9，因为9>0；
得到的整数是17806；第⼆个删除的是8，因为8>0,得到的整数是1706，第三个删除的是7，因为7>0,得到的整数是106；
第四个删除的是1,因为1>0,得到的是06，为正确的答案。
三、程序设计
（1）同样，给出错误的设计思路的程序：
（2）正确的设计思路的程序：。
贪婪取走启发式算法
贪婪取走启发式算法1. 简介贪婪取走启发式算法（Greedy Heuristic Algorithm）是一种常用的优化算法，适用于解决一类特定的最优化问题。
该算法通过每次选择当前最优的解决方案来逐步构建最终解决方案，以期望达到全局最优解。
本文将介绍贪婪取走启发式算法的原理、应用领域以及优缺点。
2. 原理贪婪取走启发式算法基于贪婪策略，即每次选择局部最优解，并希望这些局部最优解能够拼凑成全局最优解。
具体实现时，该算法通过以下步骤进行： 1. 初始化：选择一个初始解决方案作为当前解决方案。
2. 贪婪选择：从未选择的候选集中选择一个局部最优解加入到当前解决方案中。
3. 更新候选集：根据已选择的解决方案更新候选集，排除已经被选择过的元素。
4. 终止条件：当满足某个终止条件时，停止迭代，并得到当前的最优解。
3. 应用领域贪婪取走启发式算法在许多领域都有广泛应用，下面介绍其中几个典型的应用领域。
3.1. 背包问题背包问题是指在给定的一组物品中，选择一些物品放入背包中，使得放入的物品总价值最大，同时不能超过背包的容量限制。
贪婪取走启发式算法可以通过每次选择单位价值最高的物品来逐步构建解决方案，从而得到近似最优解。
3.2. 旅行商问题旅行商问题是指一个旅行商要依次经过若干城市，并返回出发城市，要求找出最短路径使得总路程最小。
贪婪取走启发式算法可以通过每次选择距离当前城市最近的未访问城市来逐步构建解决方案，从而得到近似最优解。
3.3. 最小生成树问题最小生成树问题是指在一个连通无向图中找到一棵包含所有顶点且边权重之和最小的树。
贪婪取走启发式算法可以通过每次选择权重最小的边来逐步构建解决方案，从而得到近似最优解。
4. 优缺点贪婪取走启发式算法具有以下优点： - 算法简单，易于实现。
- 运行时间短，适用于大规模问题。
- 可以得到近似最优解。
然而，贪婪取走启发式算法也存在一些缺点： - 得到的解不一定是全局最优解，只能得到近似最优解。
贪婪取走启发式算法
贪婪取走启发式算法（实用版）目录1.启发式算法的定义和作用2.贪婪取走启发式算法的原理3.贪婪取走启发式算法的实际应用4.贪婪取走启发式算法的优缺点正文一、启发式算法的定义和作用启发式算法（Heuristic Algorithm）是一种根据问题特点进行近似求解的方法，它通过使用启发式函数（Heuristic Function）来评估解的质量，并依据此评估结果来指导搜索过程。
启发式算法在实际应用中具有广泛的作用，可以有效地解决复杂的问题，提高求解效率。
二、贪婪取走启发式算法的原理贪婪取走启发式算法（Greedy Heuristic Algorithm）是一种典型的启发式算法，其基本思想是：在每一步决策中，都选择当前看起来最优的解，直到找到问题的解。
贪婪取走算法通过不断地“取走”（选择）当前最优解，直到无法继续取走为止。
该算法的关键在于如何判断一个解是否是最优的。
这需要借助启发式函数来实现。
三、贪婪取走启发式算法的实际应用贪婪取走启发式算法在许多实际问题中都有广泛应用，如旅行商问题（Traveling Salesman Problem, TSP）、装载问题（Knapsack Problem）等。
以旅行商问题为例，该问题要求找到一条最短路径，访问一组城市并最终回到起点。
贪婪取走启发式算法可以通过不断地选择当前距离起点最近的城市来近似求解 TSP 问题。
四、贪婪取走启发式算法的优缺点贪婪取走启发式算法具有以下优缺点：优点：1.求解速度快，适用于大规模问题；2.可以有效地找到问题的一个可行解，特别是在问题具有特殊结构时，可能得到最优解；3.算法简单，易于理解和实现。
缺点：1.不一定能找到问题的最优解，尤其在问题复杂或数据不准确时，可能导致较差的解；2.算法的可靠性和稳定性较低，可能受到初始解的影响。
总之，贪婪取走启发式算法是一种简单有效的求解方法，适用于许多实际问题。
贪心算法总结
贪⼼算法总结简介贪⼼算法（英⽂：greedy algorithm），是⽤计算机来模拟⼀个“贪⼼”的⼈做出决策的过程。
这个⼈⼗分贪婪，每⼀步⾏动总是按某种指标选取最优的操作。
⽽且他⽬光短浅，总是只看眼前，并不考虑以后可能造成的影响。
可想⽽知，并不是所有的时候贪⼼法都能获得最优解，所以⼀般使⽤贪⼼法的时候，都要确保⾃⼰能证明其正确性。
本⽂主要介绍，在解决诸多贪⼼算法的问题之后的⼼得。
常⽤场景最常见的贪⼼算法分为两种。
「我们将 XXX 按照某某顺序排序，然后按某种顺序（例如从⼩到⼤）选择。
」。
「我们每次都取 XXX 中最⼤/⼩的东西，并更新 XXX。
」（有时「XXX 中最⼤/⼩的东西」可以优化，⽐如⽤优先队列维护）第⼀种是离线的，先处理后选择，第⼆种是在线的，边处理边选择。
常见的出题背景为:确定某种最优组合（硬币问题）区间问题（合理安排区间）字典序问题最值问题A最优组合硬币问题是贪⼼算法⾮常经典的题⽬，关于最优组合问题，我认为主要分为两种类型:简单 -- 直接排序之后按照某种策略选取即可复杂 -- 除了按照贪⼼策略外，还需要进⾏某些处理或者模拟硬币问题硬币问题有1元、5元、10元、50元、100元、500元的硬币各C1、C5、C10、C50、C100、C500枚。
现在要⽤这些硬币来⽀付A元，最少需要多少枚硬币？假设本题⾄少存在⼀种⽀付⽅法。
0≤C1、C5、C10、C50、C100、C500≤1090≤A≤109本题是上述说的简单类型的题⽬，简⽽⾔之要使得硬币最少，则优先使⽤⼤⾯额的硬币。
因此本题的解法便⾮常清晰了，只需要从后往前遍历⼀遍即可（默认为硬币已经按⾯额⼤⼩进⾏排序）const int V[6] = {1, 5, 10, 50, 100, 500};int A, C[6]; // inputvoid solve(){int ans(0);for (int i = 5; i >= 0; -- i){int t = min(A / V[i], C[i]);A -= t * V[i];ans += t;}cout << ans << '\n';}零花钱问题POJ3040 AllowanceDescriptionAs a reward for record milk production, Farmer John has decided to start paying Bessie the cow a small weekly allowance. FJ has a set of coins in N (1 <= N <= 20) different denominations, where each denomination of coin evenly divides the next-larger denomination (e.g., 1 cent coins, 5 cent coins, 10 cent coins, and 50 cent coins).Using the given set of coins, he would like topay Bessie at least some given amount of money C (1 <= C <= 100,000,000) every week.Please help him ompute the maximum number of weeks he can pay Bessie.Input* Line 1: Two space-separated integers: N and C* Lines 2..N+1: Each line corresponds to a denomination of coin and contains two integers: the value V (1 <= V <= 100,000,000) of the denomination, and the number of coins B (1 <= B <= 1,000,000) of this denomation in Farmer John's possession.Output* Line 1: A single integer that is the number of weeks Farmer John can pay Bessie at least C allowanceSample Input3 610 11 1005 120Sample Output111这题的题⽬⼤意是:农场主每天都要给贝西⾄少为C的津贴。
集合覆盖问题
组合优化 ——集合覆盖问题摘要：不仅介绍了特殊地集合覆盖问题的贪婪算法和证明了该算法的多项式时间的近似比，而且介绍了一般地集合覆盖问题的贪婪算法和该算法的近似比。
然后，将集合覆盖应用到最短超字符串问题，并将该问题进行了推广。
关键词：集合覆盖、贪婪算法、最短超字符串问题 正文：问题1（特殊地集合覆盖）：令U 为一有限集，由U 的子集构成的集族}S ,,S ,{S S k 21=，求S 的所含集合数目最少的子集族，他能覆盖U的所有元素。
定理1：贪婪算法1是集合覆盖问题的多项式时间)ln 1(γ+-近似算法。
其中γ表示S中所含元素数目最多的集合的势。
证明：令g S S S ,,,21 为贪婪算法按顺序挑选出来的集合。
令ij j i S C 1==，令OPT 表示为最小集合覆盖问题的最优解。
由贪婪准则，1+i S 是在所有剩余集合（除i S S S ,,,21 集合外）中能够最多覆盖未被i C 覆盖元素的集合。
未被i C 覆盖的元素数目为||||i C U -，而这些未被覆盖的元素被最优解中的所有集合覆盖，因此，最优解中平均每个集合可覆盖OPTC U i ||||-个未被覆盖的元素。
因此，OPTC U C C i i i ||||||||1-≥-+ 即，11)11(||)11|)(||(|||||++-≤--≤-i i i OPTU OPT C U C U 又因为，0,1≥≤--x e x x 则，O PT i i e S C U /)1(1||||||+-+≤-选择i 使得||||||||1i i C U OPT C U -≤<-+ 则有，OPT i g +≤， 且O PT i e U OPT /||-≤ 因此，)ln 1()||ln 1(γ+≤+≤OPT OPTU OPT g问题2（一般地集合覆盖）：给定有n 个元素的全域U ，由U 的子集构成的集族}S ,,S ,{S S k 21 =，以及费用函数+→Q S c :，找S 的最小费用子集族，它能覆盖U 的所有元素。
贪婪法
贪婪法的设计思想
例：用贪婪法求解付款问题。 假设有面值为5元、2元、1元、5角、2角、1角的货币，需 要找给顾客4元6角现金，为使付出的货币的数量最少，首 先选出1张面值不超过4元6角的最大面值的货币，即2元， 再选出1张面值不超过2元6角的最大面值的货币，即2元， 再选出1张面值不超过6角的最大面值的货币，即5角，再选 出1张面值不超过1角的最大面值的货币，即1角，总共付出 4张货币。
可变长度编码
• 根据可变长度码原则,编码方式改为: a(100): 0000 b(80) : 0011 c(50) : 01010 d(40) : 01111 e(30) : 100100 • 那么现在需要 d i f i =100+80+100+80+90=450 (bits)来储存,其中di为编码长度,fi为出现次数,减少 了450(bits)的储存空间.
Prim算法
v1 3 V3 2 1 3 4 5 v2 3 v4 v3 2 v1 1 3 4 5 v2 6 v4 3 v3 2 v1 1 3 4 5 v2
ห้องสมุดไป่ตู้
v4
v5 1 3 4
v5
v5
v1 3 v3 2
v2 6 v4 5
v1 3 v3 2
1 3 4 5
v2 6 v4 3
v1
1 3 4 2 5
v2 6 v4
6
The Greedy Method
• E.g. Find a shortest path from v0 to v3.
贪婪算法的基本原理及应用
贪婪算法的基本原理及应用1. 贪婪算法概述贪婪算法是一种经典的算法设计思想，在计算机科学中得到广泛应用。
贪婪算法通过在每一步选择当前最优解，最终得到问题的整体最优解。
贪婪算法的优势在于简单易实现，通常具有较低的时间复杂度，但不能保证求得全局最优解。
2. 贪婪算法的基本原理贪婪算法的基本原理是在每一步选择中都采取当前状态下最优的选择，而不考虑之后的结果。
贪婪算法通常适用于满足最优子结构性质的问题，即通过局部最优解能够得到全局最优解。
3. 贪婪算法的应用场景贪婪算法在各个领域都有广泛应用，以下是一些常见的应用场景：3.1. 集合覆盖问题给定一个全集U和一组子集S，每个子集S都包含于全集U，求一个最小的子集集合C，使得C中的子集覆盖全集U。
在这个问题中，贪婪算法可以通过每次选择包含最多未覆盖元素的集合，直到覆盖全集U。
3.2. 背包问题背包问题是一个经典的优化问题，即在有限的背包空间下，如何选择一些物品放入背包，使得背包中物品的总价值最大。
贪婪算法可以通过每次选择单位重量或单位体积价值最高的物品，直到背包装满或无法再放入更多物品。
3.3. 最小生成树问题最小生成树问题是指在一个连通无向图中找到一棵包含所有顶点的最小权重的树。
贪婪算法可以通过每次选择具有最小权重的边，直到生成一棵包含所有顶点的最小生成树。
3.4. 哈夫曼编码哈夫曼编码是一种用于数据压缩的编码方式，通过将出现频率较高的字符用较短的编码表示，出现频率较低的字符用较长的编码表示，减少数据的存储空间。
贪婪算法可以通过每次选择频率最低的两个字符进行编码，直到生成整个字符集的哈夫曼编码。
4. 贪婪算法的优缺点贪婪算法具有以下优点： - 简单易实现，通常具有较低的时间复杂度。
- 对于满足最优子结构性质的问题，能够得到较好的近似解。
然而，贪婪算法也存在一些缺点： - 不能保证求得全局最优解，有可能只能得到局部最优解。
- 对某些问题，贪婪策略不一定总是可行的。
贪心算法
max vi xi
i 1
n
于是，背包问题归结为寻找一个满足约束条 件式，并使目标函数式达到最大的解向量X=(x1, x2, …, xn)。
至少有三种看似合理的贪心策略： （1）选择价值最大的物品，因为这可以尽可能快 地增加背包的总价值。但是，虽然每一步选择获得 了背包价值的极大增长，但背包容量却可能消耗得 太快，使得装入背包的物品个数减少，从而不能保 证目标函数达到最大。 （2）选择重量最轻的物品，因为这可以装入尽可 能多的物品，从而增加背包的总价值。但是，虽然 每一步选择使背包的容量消耗得慢了，但背包的价 值却没能保证迅速增长，从而不能保证目标函数达 到最大。 （3）选择单位重量价值最大的物品，在背包价值 增长和背包容量消耗两者之间寻找平衡。
算法
main( ) { int i,j,n,GZ,A； int B[8]={0,100,50,20,10,5,2,1},S[8]; input(n); for(i=1;i<=n;i++) { input(GZ); for(j=1,j<=7;j++) { A=GZ/B[j]; S[j]=S[j]+A; GZ=GZ-A*B[j];} } for(i=1;i<=7;i++) print(B[i], “----”, S[i]); }
∞ b 4 0 a 8 h ∞ 4 b 4 0 a 8 h 8 11 7 11 7
8 ∞ i 6 1 2
∞ c
7
∞ d 14 9 e ∞ 10
4 g ∞
2
f ∞
(a)
8 ∞ i 6 1 g ∞ 2 4 f ∞ ∞ c 7 ∞ d 14 9 e ∞ 10 2
贪心法求解活动安排问题的关键是如何选择贪心策略，使 得按照一定的顺序选择相容活动，并能安排尽量多的活动。至 少有两种看似合理的贪心策略： （1）最早开始时间：这样可以增大资源的利用率。 （2）最早结束时间：这样可以使下一个活动尽早开始。
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貪婪策略貪婪策略（Greedy Method）常用來解決最佳化問題（Optimization Problem） 貪婪法是最直接的解法， 。
每次的決策都是朝向目前“最好” 的方向前進，而且不回頭。
舉例來說，某一個銀行出納櫃檯要服務 n 個 顧客，銀行的目標是希望顧客在櫃檯等待的平均時間要最少。
解決之道 是每次都從尚未服務的顧客中，選擇需要服務時間最短的顧客來服務， 如此就可達到預期目標。
像這樣每次都選擇最小服務時間的策略就是一 種貪婪策略。
現在以實例說明此演算法。
假設有 5 個顧客 A，B，C，D，E 幾乎同時到 達銀行櫃檯，其所需服務時間如下表：顧客服務時 間A B C D E5 1 4 2 3根據貪婪演算法，銀行櫃檯將依序服務 B，D，E，C，A。
顧客在櫃檯等 待的平均時間為[1 + (1 + 2) + (1 + 2 + 3) + (1 + 2 + 3 + 4) + (1 + 2 + 3 + 4 + 5) ] / 5 = 7。
再介紹一個可用貪婪策略解決的背包問題（Knapsack Problem）。
假設 有多個可分解的物件和一只限重 W 的背包， 每件物件有其重量及其被選 取放入背包內的利益。
請問要如何將物件放進背包內而使得獲得的利益 最大？解決的方法是每次在限重的情形下， 選取尚未放入的物件中擁有 最大的利益與重量的比值之物件放入背包內。
設背包限重 100，有 A，B，C，D，E 共五個物件，其資料如下表：物件 A B C D E重量 10 20 30 40 50利益 20 30 66 40 60利益/重量 2.0 1.5 2.2 1.0 1.2因為物件 C 的利益/重量最高，所以將物件 C 放入背包內，此時背包的 重量為 30。
接著從物件 A，B，D，E 中挑出其利益/重量最高的物件 A 放入背包內，這時背包的重量為 30＋10＝40。
接下來，從物件 B，D，E 中挑出其利益/重量最高的物件 B 裝入背包內，之後背包的重量為 40+20=60。
再從剩下的物件 D 和 E 中選出其利益/重量最高的物件 E。
由 於物件 E 整個放入背包內會超過重量 100﹐所以物件 E 只能放入 0.8 個。
最後得到的利益為 66+20+30+60 放入以後得總重量為 60+50 0.8=100。
0.8=164。
物件裝入背包的情形整理於下表﹕物件個數 累計利益 累計重量C A B E1 1 1 0.866 86 116 16430 40 60 100接著介紹最小擴展樹（Minimum Spanning Tree）問題。
圖 22.5 是由頂 點（Vertex）及邊（Edge）構成的圖形，其中圓圈代表頂點，連接兩頂 點的線為邊，而且每個邊都有非負的加權（Weight）（例如頂點 V3 與頂 點 V5 間的邊之加權為 5）。
由於圖 22.5 的邊都無方向，稱圖 22.5 的圖 形為無向圖（Undirected Graph）。
定義無向圖的路徑（Path）為頂點 的序列，其中序列裏每個頂點與其後一個頂點之間必有邊相連。
例如圖 1 中[V1, V5, V2]是一條從頂點 V1 到頂點 V2 的路徑。
圖1 若無向圖的任兩頂點都存在一條路徑，則稱此圖為聯通圖（Connected Graph）。
例如圖 1 就是聯通圖。
從某頂點出發回到該頂點的路徑稱為 迴圈（Cycle）。
例如圖 1 的[V1, V5, V2, V1]路徑就是迴圈。
一個沒有迴 圈的圖形稱為無迴圈圖（Acyclic Graph）。
定義樹（Tree）為聯通的 無迴圈圖。
若圖形 G 的頂點所成的集合為 V， 邊所成的集合為 E， G=(V, 以 E)表示圖形 G。
定義圖形 G=(V, E)的擴展樹 T=(V, E’)是包括所有 G的頂點的樹，其中 E’是 E 的子集合。
例如圖 2(a)及(b)都是圖 1 的擴 展樹。
圖2 定義擴展樹 T=(V, E)的加權為集合 E’中所有的邊的加權的總和。
例如 圖 2 (a)的擴展樹加權為 1+3+5+7=16，而 2 (b) 的擴展樹加權為 1+2+3+6=12。
圖形 G 的最小擴展樹就是擁有最小加權的擴展樹。
如圖 2 (b) 的擴展樹是圖 1 的最小擴展樹。
最小擴展樹問題就是去求出給定的聯通 且加權的無向圖之最小擴展樹。
接著介紹以貪婪策略設計的 Kruskal 演算法。
假設要求圖形 G=(V, E) 的最小擴展樹。
此演算法依據邊的加權由小到大的順序考慮該邊是否為 最小擴展樹的邊。
若邊 e 加入後不會產生迴圈，則邊 e 為最小擴展樹的 一員；反之，邊 e 就不是最小擴展樹的一員。
如此重複直到建構出最小 擴展樹。
詳細的步驟分述於下：步驟 1： 將圖形 G=(V, E)所有的邊依其加權由小到大排好， 依序為 e1, e2, e3, …, em。
步驟 2：建立圖形 T=(V, E’)，其中 E’ = 。
設 i = 1。
步驟 3： ei 加入圖形 T 中不產生迴圈， 若 則將 ei 加入圖形 T， E’= E’ 即 ? { ei }；否則，i = i + 1。
步驟 4：若圖形 T 不是圖形 G 的擴展樹，則重複步驟 3；否則，圖形 T 是圖形 G 的最小擴展樹，結束演算法執行。
圖3 用(a, b)表示頂點 a 與頂點 b 的邊。
以找圖 1 的最小擴展樹為例，將圖 1 的邊依加權排序後得 e1 =(V1, V5), e2 =(V2, V3), e3 =(V2, V5), e4 =(V1, V2), e5 =(V3, V5), e6 =(V1, V4), e7 =(V4, V5), e8 =(V3, V4)。
一開始 圖形 T 只有頂點但沒有邊（圖 3 (a)）。
考慮 e1 =(V1, V5)，因不產生 迴圈，就將(V1, V5)加入 T 內（圖 3 (b)）。
同樣的， e2 =(V2, V3)及 e3 =(V2, V5)也依序加入 T 內（圖 3(c)和(d)）。
當考慮 e4 =(V1, V2)時， 因加入後會產生[V1, V5, V2, V1]的迴圈，所以拒絕(V1, V2)的加入（圖 3 (e)）。
同樣的理由，也拒絕 e5 =(V3, V5)的加入（圖 3(f)）。
而後 因 e6 =(V1, V4)加入 T 後不產生迴圈， 所以將(V1, V4)加入 T 中 （圖 3(g)） 。
此時 T 為 G 的擴展樹， 停止演算法。
最後得到的圖 3(g)就是圖 1 的最小 擴展樹。
最後介紹最短路徑問題（Shortest Path Problem）。
下圖是 S、A、B、 T 四個地點的交通路線，各路線分別標上距離：假設要求從 S 到 T 的最短路徑長度。
D(a,b)表示從 a 到 b 的最短路徑 令 長度。
從上圖﹐可知 D(S,T)=D(S,A)+D(A,B)+D(B,T)=10+15+20=45。
如此只要利用貪婪策略就能得到答案。
但是此貪婪策略並不適用於所有的 最短路徑問題，例如要找下圖的 D(S,T)，則 D(S,T)=24+20=44，此結果 不等於 D(S,A)+D(A,B)+D(B,T)=45。
郵票問題如何買到最少的郵票數 1.計算 99 元可買幾張 50 元最貴的郵票 (1 張) , 然後剩下多少 錢. (餘 49 元)2.計算 49 元可買幾張 25 元次貴的郵票 (1 張) , 然後剩下多少錢. (餘 24 元) 3.計算 24 元可買幾張 10 元再次貴的郵票 (2 張) , 然後剩下多少錢. (餘 4 元) 4.計算 4 元可買幾張 5 元再次貴的郵票 (0 張) , 然後剩下多少錢. (餘 4 元)5.計算 4 元可買幾張 1 元再次貴的郵票 (4 張) , 然後剩下多少錢. (餘 0 元) 附註:1.由最貴的郵票先買 2.當錢數為 0 整時停止 動畫:The Stamp ProblemPrim用 Prim's 的方法找到最小擴展樹 1.由 A 點為起點 , v 為所有點的集合 , x={A} ; y= v-x={B,C,D,E,F}2.找出以 A 點為起點而相鄰的最短路徑 (18--D 點) , 連接 A 點 D 點 , 將 D 點放入 x 中 , y={B,C,E,F} 3.以 D 點為起點找出相鄰的最短路徑 (6--E 點) ,連接 D 點 E 點 , E 點放入 x 中 , y={B,C,F} 4.以 E 點為起點找出相鄰的最短路徑 (5--F 點) ,連接 E 點 F 點 , F 點放入 x 中 , y={B,C} 5.以 F 點為起點找出相鄰的最短路徑 (10--D 點) , 但 D 點 E 點 F 點 形 成一個迴圈, 故退回到 E 點 6.以 E 點為起點找出相鄰的最短路徑 (11--C 點) ,連接 E 點 C 點 , C 點放入 x 中 , y={B} 7.以 C 點為起點找出相鄰的最短路徑 (14--D 點) , 但 C 點 D 點 E 點 形 成一個迴圈, 故退回到 E 點 8.以 E 點為起點找出相鄰的最短路徑 (16--B 點) , 連接 E 點 B 點 , 將 B 點放入 x 中 , y={} 9.當 y 為空集合時, 此圖為最小擴展樹 將 將 將動畫:The Prim's Method to Find a Minimal Spanning TreeKruskal用 Kruskal's 的方法找到最小擴展樹 1.找出所有邊的最小值 (5) , 並連接兩點 (E 點 F 點) 2.找出所有邊的次小值 (6) ,並連接兩點 (D 點 E 點) 3.找出所有邊的再次小值 (10) , 但 D 點 E 點 F 點為一個迴圈 , 故此 邊線不連接 4.找出所有邊的次小值 (11) ,並連接兩點 (C 點 E 點) 5.找出所有邊的再次小值 (14) , 但 C 點 D 點 E 點為一個迴圈 , 故此 邊線不連接6.找出所有邊的次小值 (16) ,並連接兩點 (B點 E點)7.找出所有邊的次小值 (18) ,並連接兩點 (A點 D點)8.當所有的點都有連線 , 則此圖為最小擴展樹動畫:The Kruskal's Method to Find a Minimal Spanning Tree。