2020高中数学A版新教材必修1学案导学案 第三章 章末复习课

解析 (1)法一(换元法) 设 x－1＝t，则 x＝t＋1，
∴f(t)＝2(t＋1)＋5＝2t＋7，∴f(x)＝2x＋7.
法二(配凑法) f(x－1)＝2x＋5＝2(x－1)＋7，所以 f(x)＝2x＋7，即函数的解析式
为 f(x)＝2x＋7.
(2)法一 由已知条件得 f(0)＝1，
又 f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，
数”共有 9 个.
答案 C
要点二 求函数的解析式
求函数解析式的题型与相应的解法
(1)已知形如 f(g(x))的解析式求 f(x)的解析式，使用换元法或配凑法.
(2)已知函数的类型(往往是一次函数或二次函数，使用待定系数法).
1 (3)含 f(x)与 f(－x)或 f(x)与 f x ，使用解方程组法.
22 者，则 f(x)的最小值是________. 解析 首先应理解题意，“函数 f(x)表示－x＋3，3x＋1，x2－4x＋3 中的较大者”
22 是指对某个区间而言，函数 f(x)表示－x＋3，3x＋1，x2－4x＋3 中最大的一个.
22 如图，分别画出三个函数的图象，得到三个交点 A(0，3)，B(1，2)，C(5，8).
解 当－3≤x<－1 时，函数 f(x)的图象是一条线段(右端点除外)，设 f(x)＝ax＋ b(a≠0)，将点(－3，1)，(－1，－2)代入，可得 f(x)＝－3x－7；
22 当－1≤x<1 时，同理，可设 f(x)＝cx＋d(c≠0)，将点(－1，－2)，(1，1)代入， 可得 f(x)＝3x－1；
2.已知分段函数的函数值，求自变量的值的方法：先假设自变量的值在分段函数
定义域的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要检验.
3.在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围的方法：先假设自变量的
值在分段函数定义域的各段上，然后求出在相应各段定义域上自变量的取值范
围，再求它们的并集即可.
x，0<x<1，
3x＋n
3
(1)求实数 m 和 n 的值；
(2)求函数 f(x)在区间[－2，－1]上的最值.
解 (1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，
∴ mx2＋2 ＝－mx2＋2＝ mx2＋2 . －3x＋n 3x＋n －3x－n
比较得 n＝－n，n＝0.
又 f(2)＝5，∴4m＋2＝5，解得 m＝2.
由图可知，函数 f(x)在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，0)上单调递增，在(0，1) 上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以函数 f(x)的增区间是(－1，0)，(1， ＋∞). (2)由题意知，当 x≤0 时，f(x)的最小值为 f(－1)＝(－1)2＋2×(－1)＝－1.由偶函 数的性质可得 f(x)≥－1，即函数的值域为[－1，＋∞). 【训练 5】 对于任意 x∈R，函数 f(x)表示－x＋3，3x＋1，x2－4x＋3 中的较大
22 当 1≤x<2 时，f(x)＝1.
－3x－7，－3≤x<－1， 22
综上所述，f(x)＝ 3x－1，－1≤x<1， 22 1，1≤x<2.
要点三 分段函数
1.求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量的取值属于哪一段区间，
然后代入该段的解析式求值.当出现 f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值.
∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2).
∴函数 f(x)在[－2，－1]上为增函数，
∴f(x)max＝f(－1)＝－43，f(x)min＝f(－2)＝－53.
【训练 4】
－x2＋2x，x>0，
已知函数 f(x)＝ 0，x＝0，
是奇函数.
x2＋mx，x<0
(1)求实数 m 的值；
(2)若函数 f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数 a 的取值范围.
1
【例 3】 设 f(x)＝
若 f(a)＝f(a＋1)，则 f a ＝( )
2（x－1），x≥1.
A.2
B.4
C.6
D.8
解析 当 0<a<1 时，a＋1>1，f(a)＝ a，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∵f(a)＝f(a＋1)，∴ a＝2a，解得 a＝1. 4
1 ∴f a ＝f(4)＝2×(4－1)＝6.
要点一 求函数的定义域
求函数定义域的类型与方法
(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合.
(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有
意义.
(3)复合函数问题：
①若 f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由 a≤g(x)≤b 解出；
设 y＝x，则 f(x－y)＝f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)＝1，
所以 f(x)＝x2＋x＋1.
法二 令 x＝0，得 f(0－y)＝f(0)－y(－y＋1)，
即 f(－y)＝1－y(－y＋1)，
将－y 用 x 代换得 f(x)＝x2＋x＋1. 答案 (1)f(x)＝2x＋7 (2)x2＋x＋1 【训练 2】 根据如图所示的函数 f(x)的图象，写出函数的解析式.
(1)当α>0 时，
①图象都通过点(0，0)，(1，1)；
②在第一象限内，函数值随 x 的增大而增大；
③在第一象限内，α>1 时，图象是向下Βιβλιοθήκη Baidu上升的；0<α<1 时，图象是向上凸上升
的；
④在第一象限内，过点(1，1)后，图象向右上方无限伸展.
(2)当α<0 时，
①图象都通过点(1，1)；
②在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小，图象是向下凸的；
＝f
2 3
＝2×2＝4，f
4 3
＝2×4＝8，
33
33
∴f
－4 3
＋f
4 3
＝4＋8＝4. 33
(2)当 a≤－2 时，f(a)＝a<－3，此时不等式的解集是(－∞，－3)；
当－2<a<4 时，f(a)＝a＋1<－3，此时不等式无解；
当 a≥4 时，f(a)＝3a<－3，此时不等式无解.
故 a 的取值范围是(－∞，－3).
(1)现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象，如图所示，请把函数 f(x)的图象补充完 整，并根据图象写出函数 f(x)的增区间；
(2)写出函数 f(x)的值域. 解 (1)由 f(x)为偶函数可知，其图象关于 y 轴对称，如图所示，作出已知图象关 于 y 轴对称的图象，即得该函数的完整图象.
x2－4x＋3 （x≤0）， －x＋3 （0<x≤1）， 从图象观察可得函数 f(x)的表达式：f(x)＝ 3x＋1 （1<x≤5）， 22 x2－4x＋3 （x>5）. f(x)的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点 B(1，2)，所以 f(x)的最小值是 2.
答案 2
要点六 幂函数的应用
幂函数 y＝xα的性质
3
63
因此，实数 m 和 n 的值分别是 2 和 0.
(2)由(1)知 f(x)＝2x2＋2＝2x＋ 2 . 3x 3 3x
任取 x1，x2∈[－2，－1]，且 x1<x2，
则
f(x1)－f(x2)＝23(x1－x2)
1－ 1 x1x2
＝23(x1－x2)·x1xx12x－2 1.
∵－2≤x1<x2≤－1，∴x1－x2<0，x1x2>1，x1x2－1>0，
(4)已知一个区间的解析式，求另一个区间的解析式，可用奇偶性转移法.
【例 2】 (1)已知 f(x－1)＝2x＋5，则 f(x)的解析式为________.
(2)设 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(0)＝1，并且 x，y∈R，都有 f(x－y)
＝f(x)－y(2x－y＋1)，则 f(x)＝________.
1，1 B. 2
D.
－∞，1 2
∪
1，1 2
(2)已知函数 y＝f(x－1)的定义域是[－1，2]，则 y＝f(1－3x)的定义域为( )
－1，0 A. 3 C.[0，1]
－1，3 B. 3
－1，1 D. 3
解析
1－x>0， (1)由题意知
解得 x<1 且 x≠1，
2x－1≠0，
2
即
f(x)的定义域是
a－2≤1， 所以 1<a≤3， 故实数 a 的取值范围是(1，3].
要点五 函数的图象及应用(选用) 作函数图象的方法 (1)描点法——求定义域；化简；列表、描点、连线. (2)变换法——熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转.
特别提醒：要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图. 【例 5】 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x≤0 时，f(x)＝x2＋2x.
－∞，1 2
∪
1，1 2
.
(2)由 y＝f(x－1)的定义域是[－1，2]，则 x－1∈[－2，1]，即 f(x)的定义域是[－2，
1]，令－2≤1－3x≤1，解得 0≤x≤1，即 y＝f(1－3x)的定义域为[0，1].
答案 (1)D (2)C
【训练 1】 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这 些函数为“同族函数”，那么函数解析式为 y＝x2，值域为{1，4}的“同族函数”
②若 f(g(x))的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为 g(x)在[a，b]上的值域.
注意：a.f(x)中的 x 与 f(g(x))中的 g(x)地位相同；
b.定义域是指 x 的范围. 【例 1】 (1)函数 f(x)＝ 2x2 ＋(2x－1)0 的定义域为( )
1－x
－∞，1
A.
2
－1，1 C. 2 2
解 (1)设 x<0，则－x>0，
所以 f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.
又 f(x)为奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)， 所以 x<0 时，f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx， 所以 m＝2. (2)要使 f(x)在[－1，a－2]上单调递增，
a－2>－1， 结合 f(x)的图象(如图所示)知
共有( )
A.7 个
B.8 个
C.9 个
D.10 个
解析 由题意知，问题的关键在于确定函数定义域的个数.函数解析式为 y＝x2，
值域为{1，4}，
当 x＝±1 时，y＝1；
当 x＝±2 时，y＝4，
则定义域可以为{1，2}，{1，－2}，{－1，2}，{－1，－2}，{1，－1，2}，{1，
－1，－2}，{－1，2，－2}，{1，－2，2}，{1，－1，2，－2}，因此“同族函
f（x＋1），x≤0，
A.－2
B.4 C.2 D.－4
x，x≤－2， (2)函数 f(x)＝ x＋1，－2<x<4，若 f(a)<－3，则 a 的取值范围是________.
3x，x≥4，
2x，x>0， 解析 (1)∵f(x)＝
f（x＋1），x≤0，
∴f
－4 3
＝f
－4＋1 3
＝f
－1 3
＝f
－1＋1 3
③在第一象限内，图象向上与 y 轴无限接近，向右与 x 轴无限接近；
当 a>1 时，a＋1>2，∴f(a)＝2(a－1)，f(a＋1)＝2(a＋1－1)＝2a，
∴2(a－1)＝2a，无解.
当 a＝1 时，a＋1＝2，f(1)＝0，f(2)＝2，不符合题意.
1 综上，f a ＝6.
答案 C
2x，x>0，
－4 4
【训练 3】 (1)已知 f(x)＝
则 f 3 ＋f 3 等于( )
[网络构建]
章末复习课
[核心归纳] 1.函数表示法 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等.解析法：必 须注明函数的定义域.图象法：描点法作图时要确定函数定义域，化简函数的解 析式，观察函数特征.列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特 征. 分段函数：由于分段函数在不同的定义域上函数的表达式不同，故分段函数可将 不同的函数融合在同一题目中，体现知识的重组. 2.函数性质 研究函数往往从定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性入手，分析函数的图象 及其变化趋势. 3.函数最大(小)值 求函数最值问题，常利用二次函数的性质(配方法)；利用图象；或利用函数单调 性，如果函数 f(x)在区间[a，b]上单调递增，在[b，c]上单调递减，则函数 y＝f(x) 在 x＝b 处有最大值 f(b)，最小值为 f(a)与 f(c)中的较小者. 4.解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力.一方面要加强对常见函数模 型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽 知识面.
答案 (1)B (2)(－∞ ，－3) 要点四 函数的概念与性质
函数单调性与奇偶性应用的常见题型
(1)用定义判断或证明函数的单调性和奇偶性.
(2)利用函数的单调性和奇偶性求单调区间.
(3)利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式.
(4)利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围.
【例 4】 已知函数 f(x)＝mx2＋2是奇函数，且 f(2)＝5.