中考数学总复习 第一篇 考点聚焦 第六章 圆 第21讲 与圆有关的位置关系

1．证直线为圆的切线的两种方法 (1)若知道直线和圆有公共点时，常连接公共点和圆心，证明直线垂直 半径； (2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段 的长等于圆的半径． 2．圆中的分类讨论 圆是一种极为重要的几何图形，由于图形位置、形状及大小的不确定 ，经常出现多结论情况． (1)由于点在圆周上的位置的不确定而分类讨论； (2)由于弦所对弧的优劣情况的不确定而分类讨论； (3)由于弦的位置不确定而分类讨论； (4)由于直线与圆的位置关系的不确定而分类讨论．
A．6 B．8 C．10 D．12 【点评】 解决此类题目的关键是牢记直线与圆的三种位置关系中，圆 心到直线的距离d与半径r的大小关系．
[对应训练] 1．(1)(2014·梧州)已知⊙O的半径是5，点A到圆心O的距离是7，则点 A与⊙O的位置关系是( C ) A．点A在⊙O上 B．点A在⊙O内 C．点A在⊙O外 D．点A与圆心O重合
3．圆的内接四边形： 圆内接四边形的对角__互__补___．
4．直线和圆的位置关系 (1)设r是⊙O的半径，d是圆心O到直线l的距离．
(2)切线的性质： ①切线的性质定理：圆的切线_垂__直__于__经过切点的半径． ②推论1：经过切点且垂直于切线的直线必经过__圆__心__． ③推论2：经过圆心且垂直于切线的直线必经过_切__点___． (3)切线的判定定理：经过半径的外端并且_垂__直__于__这条半径的直线是 圆的切线． (4)三角形的内切圆：和三角形三边都__相__切__的圆叫做三角形的内切圆 ，内切圆的圆心是__三__角__形__三__条__角__平__分__线__的__交__点__． 内切圆的圆心叫做三角形的__内__心__，内切圆的半径是内心到三边的距 离，且在三角形内部．
＝ 90 ° ， 在△FDO 和 △FBO 中 ，O∠DD＝OFO＝B，∠BOF，∴ △ FDO ≌ △ OF＝OF，
FBO(SAS)，∴∠ODF＝∠OBF＝90°，∴OB⊥BF，∴BF 是⊙O 的切线
(2)在 Rt△OBF 中，∵∠FOB＝60°，而 tan∠FOB＝OBBF，∴BF＝ 1×tan60°＝ 3.∵∠E＝30°，∴EF＝2BF＝2 3
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2．(2016·贵港)如图，在△ABC 中，AB＝AC，O 为 BC 的中点， AC 与半圆 O 相切于点 D.
(1)求证：AB 是半圆 O 所在圆的切线； (2)若 cos∠ABC＝32，AB＝12，求半圆 O 所在圆的半径．
解：(1)作 OD⊥AC 于 D，OE⊥AB 于 E，∵AB＝AC，O 为 BC 的 中点，∴∠CAO＝∠BAO.∵OD⊥AC 于 D，OE⊥AB 于 E，∴OD＝OE， ∵AB 经过圆 O 半径的外端，∴AB 是半圆 O 所在圆的切线
(1)求证：BF是⊙O的切线； (2)已知圆的半径为1，求EF的长．
解：(1)连接 OD，∵四边形 AOCD 是平行四边形，而 OA＝OC，∴
四边形 AOCD 是菱形，∴△OAD 和△OCD 都是等边三角形，∴∠AOD
＝∠COD＝60°，∴∠FOB＝60°，∵EF 为切线，∴OD⊥EF，∴∠FDO
【例 1】 (2015·河池)我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为 整数的圆称为“整圆”．如图，直线 l：y＝kx＋4 3与 x 轴，y 轴分别交 于 A，B，∠OAB＝30°，点 P 在 x 轴上，⊙P 与 l 相切，当 P 在线段 OA 上运动时，使得⊙P 成为整圆的点 P 个数是( A )
(2)连接 BD，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABC＝90°， ∴∠ADB＝∠ABC，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB，∴AADB＝AABC，∵ 在 Rt△ABC 中，AB＝8，BC＝6，∴AC＝ AB2＋BC2＝10，∴A8D＝180， 解得 AD＝6.4，∵AE＝AB＝8，∴DE＝AE－AD＝8－6.4＝1.6
3．常见的辅助线 (1)当已知条件中有切线时，常作过切点的半径，利用切线的性质定理 来解题；
(2)遇到两条相交的切线时(切线长)，常常连接切点和圆心、连接圆心 和圆外的一点、连接两切点．
1．(2016·梧州)已知半径为5的圆，其圆心到直线的距离是3，此时直 线和圆的位置关系为( C )
A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定
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第21讲 与圆有关的位置关系
1．点和圆的位置关系(设d为点P到圆心的距离，r为圆的半径)： ①点P在圆上⇔_d_＝__r__； ②点P在圆内⇔__d_<_r__； ③点P在圆外⇔__d_>_r__． 2．过三点的圆： ①经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆． ②经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三 角形的外心；三角形的外心是三边_垂__直__平__分__线____的交点，这个三角形叫 做这个圆的内接三角形．锐角三角形的外心在三角形内部；直角三角形 的外心在斜边中点处；钝角三角形的外心在三角形的外部．
4．(2016·贺州)如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE＝AB， ∠BAC＝2∠CBE，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F.
(1)求证：BC是⊙O的切线； (2)若AB＝8，BC＝6，求DE的长．
解：(1)∵AE＝AB，∴△ABE 是等腰三角形，∴∠ABE＝12(180°－ ∠BAC)＝90°－12∠BAC，∵∠BAC＝2∠CBE，∴∠CBE＝12∠BAC， ∴ ∠ ABC ＝ ∠ABE ＋ ∠CBE ＝ (90 ° － 21 ∠BAC) ＋ 21 ∠BAC ＝ 90 ° ， 即 AB⊥BC，∴BC 是⊙O 的切线
(2)cos ∠ABC＝23， AB ＝12， 得 OB＝8. 由勾 股定 理 ， 得 AO＝ AB2－OB2＝4 5.由三角形的面积，得 S△AOB＝21AB·OE＝21OB·AO，OE ＝OBA·BAO＝835，半圆 O 所在圆的半径是835
3．(2016·玉林)如图，AB是⊙O的直径，点C，D在圆上，且四边形 AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长 线于点E，F，连接BF.