中考数学总复习第一篇考点聚焦第六章圆第21讲与圆有关的位置关系

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中考数学一轮复习宝典第1部分第6章课题21 与圆有关的位置关系

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点与圆、直线与圆的位置关系
在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝3cm，AC＝4cm，以点 C 为圆心，以 2.5cm 为半径画圆，则⊙C 与直线 AB 的位置关系是相交．
根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断即可．
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练习 1－1 ⊙O 的半径为 5cm，点 A 到圆心 O 的距离 OA＝3cm，则
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练习 4－1 (2019 荆门)如图，△ABC 的内心为 I，连接 AI 并延长，交 △ABC 的外接圆于点 D，则线段 DI 与 DB 的关系是( A )
A．DI＝DB C．DI＜DB
B．DI＞DB D．不确定
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命题点切线及其性质
1．(2013，T7，3分)如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点G，直线
EF与⊙O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是( C )
A．AG＝BG
B．AB∥EF
C．AD∥BC
D．∠ABC＝∠ADC
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2．(2012，T8，3分)如图，已知AB为⊙O的直径，AD切⊙O于点A，
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证明：如图，连接OC. ∵CE与⊙O相切，∴OC⊥CE.∴∠1＋∠ACE＝90°.∵OA＝OC，∴ ∠A＝∠1.∴∠ACE＋∠A＝90°.∵OD⊥AB，∴∠2＋∠A＝90°.∵∠2＝ ∠3，∴∠3＋∠A＝90°.∴∠3＝∠ACE.∴EC＝ED.
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切线的判定
线或角平分线，根据“三已知OA＝OB，AC＝BC，证明

云南中考数学第一部分教材知识梳理第六章第二节与圆有

∵在Rt△OCD中，∠OCD＝90°，
∠D＝30°，CD＝ 10 3
∴OC＝CD·tan30°＝10，
F
∴OA＝OC＝10，
拓展题1解图
∵AE∥CD， ∴∠FAO＝∠D＝30°， ∴OF＝AO·sin30°＝10× 1 ＝5，
2
即圆心O到AE的距离是5.
F
拓展题1解图
拓展题1（’15 陕西）如图，AB是⊙O的直径，AC是 ⊙O的弦，过点B作⊙O的切线DE，与AC的延长线交于点D，作AE⊥AC交DE于点E. （1）求证：∠BAD＝∠E；（2）若⊙O的半径为5，AC＝8，求BE的长．
例题图
（2）连接OT交⊙O于点C，连接AC，求tan∠TAC的值．
解：如解图，作CD⊥AB于点D， ∵∠BAT＝90°， ∴CD∥AT， ∴△OCD∽△OTA，
OD OA OA 1 , CD TA AB 2
CD 2OD.
D
例题解图
设OD＝a，则CD＝2a，
OA＝OC＝ OD2 CD2＝ 5a，
拓展题2图
【思路分析】(1) 由题知 ⊙ O 与 DE 相切于点 B ，则 ∠ABE＝90°，且∠DAE＝90°，然后根据角之间的等量代换即可得证； (2) 由 (1) 得 ∠ BAD ＝ ∠ E ，且 △ABC和△ABE均为直角三角形，可通过证明两三角形相似，然后根据相似三角形的性质得比例式
拓展题1 如图所示，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，连接DC，且AC＝DC， BC＝BD. （1）求证：DC是⊙O的切线；（2）作CD的平行线AE交⊙O于点E，已知DC＝10 3 ，求圆心O到AE的距离．

2020-2021年中考数学一轮复习第6章第21讲与圆有关的位置关系

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中考状元 ·生物
切线的性质和判定
1. 定义：与圆有唯一公共点的直线． 2. 性质：①切线与圆有唯一的公共点； ②圆心到切线的距离等于圆的半径； ③圆的切线垂直于经过切点的半径． 3. 性质推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．性质推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
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中考状元 ·生物
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中考状元 ·生物重难点与圆有关的动态题【例1】如图，已知⊙O是以坐标原点O为圆心，1为半径的圆，∠AOB＝45°，点P
在x轴上运动，若过点P且与OA平行的直线与⊙O有公共点，设P(x，0)，则x的取值范围是－ 2≤x≤ 2且x≠0 ．
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中考状元 ·生物 1.如图，⊙O的半径为1，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PQ切⊙
O于点Q，则PQ的最小值为 2 2 ．
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中考状元 ·生物
解决直线与圆动态问题的方法在于确定直线与圆位置关系的临界状态，再对各情形进行分析．
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内心(三角形内三角形三条角平切圆的圆心) 分线的交点
(1)ID＝IE＝IF；(2)IA，IB，IC分别平分∠BAC，∠ABC， ∠ACB；(3)内心在三角形的内部
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中考状元 ·生物
常用公式：如图，⊙ I内切于△ ABC，切点分别为D、E、F，△ ABC的三边长为BC ＝a，AC＝b，AB＝c，⊙ I的半径为r.
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中考状元 ·生物 4．切线长定理如图，PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，点C为⊙O上一点，连接AC，BC，
若∠P＝50°，则∠ACB的度数为 65° ．

中考数学总复习第六单元圆第21讲与圆有关的位置关系课件

(2)直线与圆相切⇔d=r ;
(3)直线与圆相交⇔d<r .
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第三页，共二十九页。
考点(kǎo
diǎn)一
考点(kǎo
diǎn)二
考点(kǎo
diǎn)三
考点三圆的切线
1.切线的定义:直线和圆有且只有一个公共点时,称直线与圆相切,这条直
线叫做圆的切线.
2.切线的性质
定理:圆的切线垂直于过切点
∴由勾股定理可知 NB=4 3,∴B(4 3,2).
(2)证明连接MC,NC.
∵AN是☉M的直径,
∴∠ACN=90°,
∴∠NCB=90°.
在Rt△NCB中,D为NB的中点(zhōnɡ diǎn),
1
∴CD= NB=ND
,
2
∴∠CND=∠NCD.
∵MC=MN,∴∠MCN=∠MNC.
∵∠MNC+∠CND=90°,
考法2
考法3
考法4
方法点拨连接OA,OB,由切线的性质知∠OBM=90°,从而得
∠ABO=∠BAO=50°,由内角和定理(dìnglǐ)知∠AOB=80°,根据圆周角定理可得
答案.有关切线问题,辅助线常常是连接过切点的半径,即产生直角.于是可得到
直角三角形,进而可以根据直角三角形的性质、勾股定理、锐角三角函数
考法2
考法3
考法4
答案:A
解析(jiě xī):如图,连接OA,OB,
∵BM是☉O的切线,
∴∠OBM=90°,
∵∠MBA=140°,
∴∠ABO=50°,
∵OA=OB,
∴∠ABO=∠BAO=50°,
∴∠AOB=80°,
∴∠ACB= ∠AOB=40°,

中考数学总复习第一部分教材考点全解第六章圆第21讲圆的基础知识课件

【答案】 D
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第二十三页，共三十八页。
有关弦长、弦心距与半径的计算，常作垂直于弦的直径( 半径)，利用垂径定理和解直角三角形来达到求解的目的，圆的半径 r、弦的长度 l、圆心到弦的距离(弧心距)d 三者之间的关系是(12l)2＋d2＝r2.
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2．圆的有关概念 (1)弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于
半圆的弧叫做___优_弧__(_yō_u，hú)小于半圆的弧叫做_劣__弧__(l_ièh. ú) (2)弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过_圆__心__(y_u的ánxīn)
弦叫做直径． (3)半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，
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2．垂径定理(选学内容)：垂直于弦的直径平分这条弦，并且
平分弦所对的两条弧．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所
对的两条弧． 3．圆心角、弧、弦之间的关系
在同圆或等圆中，如果__圆__心_角__、_弧__、__弦____中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
每一条弧都叫做半圆．
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第七页，共三十八页。
(4)等圆：能够重合的两个圆叫做等圆．在同圆或等圆中， ____能_够__(_né_n_gg_ò_u)的重合弧叫做等弧．
(5)圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． (6)圆周角：顶点在圆上，并且__两__边__(_liǎ_n_gb都iān与) 圆相交的角叫做圆周角． 3．确定圆的条件：不__在_同__一__(t_ón_g_yī_)直__线_的上三个点确定一个圆．

中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系--知识讲解(基础)

中考总复习：圆的有关概念、性质与圆有关的位置关系—知识讲解（基础）责编：常春芳【考纲要求】1. 圆的基本性质和位置关系是中考考查的重点，但圆中复杂证明及两圆位置关系中证明会有下降趋势，不会有太复杂的大题出现；2.中考试题中将更侧重于具体问题中考查圆的定义及点与圆的位置关系，对应用、创新、开放探究型题目，会根据当前的政治形势、新闻背景和实际生活去命题，进一步体现数学来源于生活，又应用于生活．【知识网络】【考点梳理】考点一、圆的有关概念及性质1．圆的有关概念圆、圆心、半径、等圆；弦、直径、弦心距、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧；三角形的外接圆、三角形的内切圆、三角形的外心、三角形的内心、圆心角、圆周角．要点诠释：等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．2．圆的对称性圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴，圆有无数条对称轴；圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；圆具有旋转不变性．3．圆的确定不在同一直线上的三个点确定一个圆．要点诠释：圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．4．垂直于弦的直径垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．要点诠释：在图中(1)直径CD ，(2)CD ⊥AB ，(3)AM ＝MB ，(4)C C A B =，(5)AD BD =．若上述5个条件有2个成立，则另外3个也成立．因此，垂径定理也称“五二三定理”．即知二推三．注意：(1)(3)作条件时，应限制AB 不能为直径．5．圆心角、弧、弦之间的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等． 6．圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论1 在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2 半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：圆周角性质的前提是在同圆或等圆中．考点二、与圆有关的位置关系 1．点和圆的位置关系设⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离OP ＝d ，则有：点P 在圆外⇔d ＞r ；点P 在圆上⇔d ＝r ；点P 在圆内⇔d ＜r ．要点诠释：圆的确定：①过一点的圆有无数个，如图所示．②过两点A 、B 的圆有无数个，如图所示．③经过在同一直线上的三点不能作圆．④不在同一直线上的三点确定一个圆．如图所示．2．直线和圆的位置关系（1）切线的判定切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(会过圆上一点画圆的切线)（2）切线的性质切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．（3）切线长和切线长定理切线长经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．切线长定理从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．要点诠释：直线l是⊙O的切线，必须符合两个条件：①直线l经过⊙O上的一点A；②OA⊥l．3．圆和圆的位置关系(1)基本概念两圆相离、相切、外离、外切、相交、内切、内含的定义．(2)请看下表：要点诠释：①相切包括内切和外切，相离包括外离和内含．其中相切和相交是重点． ②同心圆是内含的特殊情况．③圆与圆的位置关系可以从两个圆的相对运动来理解． ④“R-r ”时，要特别注意，R ＞r ．【典型例题】类型一、圆的性质及垂径定理的应用【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题1】1．已知：如图所示，在⊙O 中，弦AB 的中点为C ，过点C 的半径为OD ．(1)若AB ＝OC ＝1，求CD 的长； (2)若半径OD ＝R ，∠AOB ＝120°，求CD 的长.【思路点拨】如图所示，一般的，若∠AOB ＝2n °，OD ⊥AB 于C ，OA ＝R ，OC ＝h ，则AB ＝2R ·sin n °＝2n ·tan n °＝CD ＝R －h ；AD 的长180n Rπ=．【答案与解析】解：∵半径OD 经过弦AB 的中点C ， ∴半径OD ⊥AB ．(1)∵AB＝AC＝BC∵OC＝1，由勾股定理得OA＝2．∴CD＝OD－OC＝OA－OC＝1，即CD＝1.(2)∵OD⊥AB，OA＝OB，∴∠AOD＝∠BOD．∴∠AOB＝120°，∴∠AOC＝60°．∵OC＝OA·cos∠AOC＝OA·cos60°＝12 R，∴1122CD OD OC R R R =-=-=．【总结升华】圆的半径、弦长的一半、弦心距三条线段组成一个直角三角形，其中一个锐角为弦所对圆心角的一半，可充分利用它们的关系解决有关垂径定理的计算问题．举一反三：【变式】在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到A点时，乙已跟随冲到B点(如图所示)，此时甲是自己直接射门好还是迅速将球回传给乙，让乙射门好呢?(不考虑其他因素)【答案】解：过M、N、B三点作圆，显然A点在圆外，设MA交圆于C，则∠MAN＜∠MCN．而∠MCN＝∠MBN，∴∠MAN＜∠MBN．因此在B点射门较好．即甲应迅速将球回传给乙，让乙射门．2．（2015•大庆模拟）已知AB是⊙O的直径，C是圆周上的动点，P是弧AC的中点．（1）如图1，求证：OP∥BC；（2）如图2，PC交AB于D，当△ODC是等腰三角形时，求∠A的度数．【思路点拨】（1）连结AC，延长PO交AC于H，如图1，由P是弧AC的中点，根据垂径定理得PH⊥AC，再根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得∠ACB=90°，然后根据OP∥BC；（2）如图2，根据圆心角、弧、弦的关系，以及三角形内角和等推论证来求得∠A的度数.【答案与解析】（1）证明：连结AC，延长PO交AC于H，如图1，∵P是弧AB的中点，∴PH⊥AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴OP∥BC；（2）解：如图2，∵P是弧AC的中点，∴PA=PC，∴∠PAC=∠PCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠PAO=∠PCO，当DO=DC，设∠DCO=x，则∠DOC=x，∠PAO=x，∴∠OPC=∠OCP=x，∠PDO=2x，∵∠OPA=∠PAO=x，∴∠POD=2x，在△POD中，x+2x+2x=180°，解得x=36°，即∠PAO=36°，当CO=CD，设∠DCO=x，则∠OPC=x，∠PAO=x，∴∠POD=2x，∴∠ODC=∠POD+∠OPC=3x，∵CD=CO，∴∠DOC=∠ODC=3x，在△POC中，x+x+5x=180°，解得x=（）°，即∠PAO=（）°．综上所述，∠A的度数为36°或（）°．【总结升华】本题考查了圆周角定理及其推论同时考查了等腰三角形的性质、垂径定理和三角形内角和定理．举一反三：【变式】（2015•温州模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=5，CB=12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求BE的长；（2）求△ACD外接圆的半径．【答案】解：（1）∵∠ACB=90°，且∠ACB为圆O的圆周角（已知），∴AD为圆O的直径（90°的圆周角所对的弦为圆的直径），∴∠AED=90°（直径所对的圆周角为直角），又AD是△ABC的角平分线（已知），∴∠CAD=∠EAD（角平分线定义），∴CD=DE（在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弦相等），在Rt△ACD和Rt△AED中，，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE（全等三角形的对应边相等）；∵△ABC为直角三角形，且AC=5，CB=12，∴根据勾股定理得：AB==13，∴BE=13﹣AC=13﹣5=8；（2）由（1）得到∠AED=90°，则有∠BED=90°，设CD=DE=x，则DB=BC﹣CD=12﹣x，EB=AB﹣AE=AB﹣AC=13﹣5=8，在Rt△BED中，根据勾股定理得：BD2=BE2+ED2，即（12﹣x）2=x2+82，解得：x=，∴CD=，又AC=5，△ACD为直角三角形，∴根据勾股定理得：AD==，根据AD是△ACD外接圆直径，∴△ACD外接圆的半径为：×=．类型二、圆的切线判定与性质的应用3．如图所示，AB＝AC，O是BC的中点，⊙O与AB相切于点D，求证：AC与⊙O相切．【思路点拨】AC与⊙O有无公共点在已知条件中没有说明，因此只能过点O向AC作垂线段OE，长等于⊙O的半径，则垂足E必在⊙O上，从而AC与⊙O相切．【答案与解析】证明：连接OD，作OE⊥AC，垂足为E，连结OA．∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB．∵AB＝AC，OB＝OC，∴∠1＝∠2，∴OE＝OD．∵OD为⊙O半径，∴AC与⊙O相切．【总结升华】如果已知直线经过圆上一点，那么连半径，证垂直；如果已知直线与圆是否有公共点在条件中并没有给出，那么作垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．求△ABC的内切圆的半径．【答案】解：设△ABC的内切圆与三边的切点分别为D、E、F，根据切线长定理可得：AE ＝AF ，BF ＝BD ，CD ＝CE ，而AE+CE ＝b ，CD+BD ＝a ，AF+BF ＝c ，可求2a b cCE +-=．连接OE 、OD ，易证OE ＝CE ．即直角三角形的内切圆半径2a b cr +-=．4．如图所示，已知：△ABC 内接于⊙O ，点D 在OC 的延长线上，1sin 2B =，∠D ＝30°． (1)求证：AD 是⊙O 的切线； (2)若AC ＝6，求AD 的长．【思路点拨】（1）连接OA ，根据圆周角定理求出∠O 的度数，根据三角形的内角和定理求出∠OAD ，根据切线的判定推出即可；（2）得出等边三角形AOC ，求出OA ，根据勾股定理求出AD 的长即可．【答案与解析】(1)证明：连接OA ，∵1sin 2B =，∴∠B ＝30°． ∵∠AOC ＝2∠B ，∴∠AOC ＝60°． ∵∠D ＝30°，∴∠OAD ＝180°－∠D －∠AOD ＝90°． ∴AD 是⊙O 的切线．(2)解：∵OA ＝OC ，∠AOC ＝60°，∴△AOC是等边三角形，∴OA＝AC＝6．∵∠OAD＝90°，∠D＝30°，∴AD＝【总结升华】证明直线是圆的切线的方法：①有半径，证垂直；②有垂直，证半径．举一反三：【变式】如图所示，半径OA⊥OB，P是OB延长线上一点，PA交⊙O于D，过D作⊙O的切线交PO于C 点，求证：PC＝CD．【答案】证明：连接OD．∵CE切⊙O于D，∴OD⊥CE．∴∠2+∠3＝90°．∵OA⊥OB，∴∠P+∠A＝90°．∵OD＝OA，∴∠3＝∠A．．∴∠P＝∠2．又∵∠1＝∠2，∴∠P＝∠1．∴PC＝CD．类型三、切线的性质与等腰三角形、勾股定理综合运用5．已知AB是⊙O的直径，点P是AB延长线上的一个动点，过P作⊙O的切线，切点为C，∠APC 的平分线交AC于点D，求∠CDP的度数.【思路点拨】连接OC，根据题意，可知OC⊥PC，∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，可推出∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【答案与解析】解：连接OC，∵OC=OA，，PD平分∠APC，∴∠CPD=∠DPA，∠A=∠ACO，∵PC为⊙O的切线，∴OC⊥PC，∵∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，∴∠DPA+∠A=45°，即∠CDP=45°．【总结升华】本题主要考查切线的性质、等边三角形的性质、角平分线的性质、外角的性质，解题的关键在于做好辅助线构建直角三角形，求证∠CPD+∠DPA+∠A+∠ACO=90°，即可求出∠CDP=45°．【高清课堂：圆的有关概念、性质及与圆有关的位置关系 ID:412074 经典例题3】6．如图所示，AB是⊙O的直径，AF是⊙O的弦，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF于点D，交AB的延长线于点C．(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若DE＝4，sinC＝35，求AE的长．【思路点拨】构造半径、半弦、弦心距的直角三角形．【答案与解析】解：(1)证明：连接OE，BF，交于点G，则BF⊥AF，BF∥CD．∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠OEA．∵∠OAE＝∠FAE，∴∠OEA＝∠FAE．∴OE∥AF，∵AF⊥DE，∴OE⊥CD．∴CD为⊙O的切线．(2)解：∵ BF∥DE，OE∥AF，∠D＝90°，∴四边形DEGF为矩形．∴BF＝2GF＝2DE＝8．∵BF∥CD，∴∠C＝∠ABF．可求得OA＝OB＝5，OG＝3．∴DF＝EG＝2，AF＝AB·sinC＝6．∴AD＝8，AE=【总结升华】(1)通过挖掘图形的性质，将分散的条件sinC＝35，DE＝4，集中到一个直角三角形中，使问题最终得到解决；(2)本题第(2)问还可以适当改变后进行变式训练，如改为：若DF＝2，sinC＝35，求AE的长；(3)第(2)问还可以过O作OM⊥AF于M后得OM＝DE＝4，sin∠AOM＝sinC＝35加以解决.。

【中考一轮复习】与圆有关的位置关系课件

考点聚焦---点与圆的位置关系
【问题】视察图中点A,点B,点C与⊙O的位置关系？
点A在圆外点B在圆上点C在圆内
d＞r A
d＝r
d＜r(或0≤d＜r)
C
·O r
B
注意：已知点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来，已知点到圆心距离与半径的关系也可以确定该点与圆的位置关系.
当堂训练
当堂训练
1.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C,连接
BC,若∠P=36º,则∠B等于( A ) A.27º B.32º C.36º D.54º
当堂训练
2.如图,AB是⊙O的直径,点P在BA的延长线上,PD与⊙O相切于点D,
过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C,若⊙O的半径为4,BC=6,则
1.一个点到圆的最小距离为6cm,最大距离为9cm,则该圆的半径
是( C )
A.1.5cm B.7.5cm C.1.5cm或7.5cm D.3cm或15cm
2.在Rt△ABC中,∠C=90º,BC=3,AC=4,点P
在以C为圆心,5为半径的圆上,连接 PA,PB.若PB=4,则PA的长为_3_或___7_3_
P2
B
P1
C
A
目录
点与圆的位置关系
直线与圆的位置关系
圆的切线的性质及判定
切线长定理
三角形的内切圆、外接圆
典型例题
【例2】Rt△ABC中,∠C=90º,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,r为半
径作圆,若⊙aC与直线AB相切,则r的值为( B )
A.2cm B.2.4cm
C.3cm
D.4cm
考点聚焦---直线与圆的位置关系

中考数学总复习第六章圆第21课时与圆有关的位置关系课件

∵BE= 2 + 2 = 9 + 4 = 13(cm),3= 9, 13 > 9,
∴BE>BC,∴点 E 在☉B 外.
第十页，共二十四页。
命题
命题
命题
(mìng
tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
考点梳理整合
命题点4
命题点5
第十一页，共二十四页。
命题
命题
命题
(mìng
tí)点1
数为 (
)
A.15° B.30° C.60°D.90°
答案:B
第十八页，共二十四页。
命题
命题
命题
(mìng
tí)点1
(mìng
tí)点2
(mìng
tí)点3
命题点4
考点梳理整合
命题点4
命题点5
切线的判定
【例4】如图,AB是☉O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在☉O
上,∠CAB=30°,求证:DC是☉O的切线.
分析:欲证DC是☉O的切线,由于直线CD与☉O有公共点C,因此连接OC,BC,
易知△OCB为等边三角形,由CB=OB=BD可得△OCD是直角三角形.
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命题
命题
命题
(mìng
tí)点1
(mìng
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tí)点3
考点梳理整合
命题点4
命题点5
证明:如图,连接OC,BC.
答案:C
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考点梳理
(shūlǐ)
自主
(zìzhǔ)测
试
2.如图,CD切☉O于点B,CO的延长线交☉O于点A.若∠C=36°,则∠ABD的度数

人教版九年级数学第六单元《圆》中考知识点梳理

第六单元《圆》中考知识点梳理第21讲圆的基本性质知识点一：圆的有关概念关键点拨与对应举例1.与圆有关的概念和性质（1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．如图所示的圆记做⊙O.（2）弦与直径：连接圆上任意两点的线段叫做弦，过圆心的弦叫做直径，直径是圆内最长的弦.（3）弧：圆上任意两点间的部分叫做弧，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧.（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.（5）圆周角：顶点在圆上，并且两边都与圆还有一个交点的角叫做圆周角.（6）弦心距：圆心到弦的距离.（1）经过圆心的直线是该圆的对称轴，故圆的对称轴有无数条；（2）3点确定一个圆，经过1点或2点的圆有无数个.（3）任意三角形的三个顶点确定一个圆，即该三角形的外接圆.知识点二：垂径定理及其推论2.垂径定理及其推论定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形.推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.延伸根据圆的对称性，如图所示，在以下五条结论中：①弧AC=弧BC;②弧AD=弧BD；③AE=BE;④AB⊥CD;⑤CD是直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即推二知三.知识点三：圆心角、弧、弦的关系3.圆心角、弧、弦的关系定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．圆心角、弧和弦之间的等量关系必须在同圆等式中才成立.推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．知识点四：圆周角定理及其推论4.圆周角定理及其推论（1）定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半. 如图a,∠A=1/2∠O.图a 图b 图c( 2 )推论：①在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.如图b，∠A=∠C.②直径所对的圆周角是直角.如图c,∠C=90°.③圆内接四边形的对角互补.如图a，∠A+∠C=180°，∠ABC+∠在圆中求角度时，通常需要通过一些圆的性质进行转化.比如圆心角与圆周角间的转化；同弧或等弧的圆周角间的转化；连直径，得到直角三角形，通过两锐角互余进行转化等.例：如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上ADC=180°. 两点，∠BAC=40°，则∠D的度数为130°．第22讲与圆有关的位置关系知识点一：与圆有关的位置关系关键点拨及对应举例1.点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d.(1)d<r⇔点在⊙O内；(2)d＝r⇔点在⊙O上；(3)d>r⇔点在⊙O外．判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.2.直线和圆的位置关系位置关系相离相切相交由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.例：已知：⊙O的半径为2，圆心到直线l的距离为1，将直线l沿垂直于l的方向平移，使l与⊙O相切，则平移的距离是1或3.图形公共点个数0个1个2个数量关系d＞r d＝r d＜r知识点二：切线的性质与判定3.切线的判定（1）与圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）.（2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.（3）经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径.4.切线的性质（1）切线与圆只有一个公共点.（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.（3）切线垂直于经过切点的半径.利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.*5.切线长（1）定义：从圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，两切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.例：如图，AB、AC、DB是⊙O的切线，P、C、D为切点，如果AB=5，AC=3，则BD的长为2.知识点四：三角形与圆5.三角形的外接圆图形相关概念圆心的确定内、外心的性质内切圆半径与三角形边的关系：（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.（2）直角三角形的内切圆（如图b）①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.例：已知△ABC的三边长a=3，b=4，c=5，则它的外切圆半径是2.5.经过三角形各定点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形三角形三条垂直平分线的交点到三角形的三个顶点的距离相等6.三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫圆的外切三角形到三角形三条角平分线的交点到三角形的三条边的距离相等第23讲与圆有关的计算知识点一：正多边形与圆关键点拨与对应举例1.正多边形与圆（1）正多边形的有关概念：边长(a)、中心(O)、中心角(∠AOB)、半径(R))、边心距(r),如图所示①.（2）特殊正多边形中各中心角、长度比：中心角=120°中心角=90°中心角=60°，△BOC为等边△a:r:R=2:1:2 a:r:R=2::2 a:r:R=2:2例：(1) 如果一个正多边形的中心角为72°，那么这个正多边形的边数是5.(2)半径为6的正四边形的边心距为32，中心角等于90°，面积为72.知识点二：与圆有关的计算公式2.弧长和扇形面积的计算扇形的弧长l＝180n rπ；扇形的面积S＝2360n rπ＝12lr例：已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为3π.3.圆锥与侧面展开图（1）圆锥侧面展开图是一个扇形，扇形的半径等于圆锥的母线，扇形的弧长等于圆锥的底面周长.（2）计算公式：,S侧==πrl在求不规则图形的面积时，注意利用割补法与等积变化方法归为规则图形，再利用规则图形的公式求解.例：如图，已知一扇形的半径为3，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积为。

初中数学知识归纳圆与圆之间的位置关系

初中数学知识归纳圆与圆之间的位置关系圆与圆之间的位置关系是初中数学中的一个重要内容，它涉及到圆的相交关系、包含关系以及外切关系等多个方面。

通过归纳总结，我们可以更好地理解和运用这些知识点。

一、相离关系当两个圆没有任何交点时，它们被称为相离的圆。

两个相离的圆之间的最大距离等于它们的半径之和。

二、外切关系如果两个圆的半径相等，并且它们的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，我们称这两个圆为外切的圆。

三、相交关系相交是指两个圆的内部空间存在公共点。

根据两个圆的圆心之间的距离和半径的关系，相交的情况又可以分为四种。

1.相交于两点当两个圆的圆心之间的距离小于两个圆的半径之和，并且大于两个圆的半径之差时，两个圆相交于两个点。

2.相切于外点当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和时，两个圆相切于外点。

3.相切于内点当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之差时，两个圆相切于内点。

4.相切于公切线当两个圆的圆心之间的距离等于两个圆的半径之和，并且两个圆的半径不相等时，两个圆相切于一条公切线。

四、内含关系如果一个圆的内部完全位于另一个圆内部，我们称这两个圆为内含的关系。

在内含的情况下，内含圆的半径小于包含圆的半径。

五、包含关系如果一个圆的外部完全包含另一个圆，我们称这两个圆为包含的关系。

在包含的情况下，包含圆的半径大于内含圆的半径。

通过对圆与圆之间的位置关系进行归纳整理，我们可以更好地理解和应用这些知识点。

在解决相关题目时，我们可以根据题目给出的条件和要求，运用这些位置关系进行分析和推理。

同时，我们还可以通过观察图形特点和运用相关定理来判断两个圆之间的位置关系，从而解决问题。

初中数学中的圆与圆之间的位置关系是一个基础而重要的内容，它不仅在几何学中有广泛的应用，而且在实际生活和工程中也有着重要的作用。

通过掌握和运用这些知识，我们可以更好地理解和应用数学，为解决实际问题提供有力的支持。

2020中考数学复习：第六章圆第21课时与圆有关的位置关系

2020中考数学复习：第21课时与圆有关的位置关系训练中考回顾1.(2019江苏苏州中考)如图,AB为☉O的切线,切点为A,连接AO,BO,BO与☉O交于点C,延长BO与☉O交于点D,连接AD.若∠ABO=36°,则∠ADC的度数为()A.54°B.36°D.27°重庆中考)如图,已知AB是☉O的直径,点P在BA的延长线上,PD与☉O相切于点D,过点B 作PD的垂线,交PD的延长线于点C,若☉O的半径为4,BC=6,则PA的长为()B.2√3C.3D.2.53.(2019四川眉山中考)如图,在Rt△AOB中,OA=OB=4√2,☉O的半径为2,点P是AB边上的动点,过点P作☉O的一条切线PQ(点Q为切点),则线段PQ长的最小值为.√3山东临沂中考)如图,在△ABC中,∠A=60°,BC=5 cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是cm.5.(2018山东潍坊中考)如图,BD为△ABC外接圆☉O的直径,且∠BAE=∠C.(1)求证:AE与☉O相切于点A;∥BC,BC=2√7,AC=2√2,求AD的长.OA,交BC于点F,则OA=OD,∴∠D=∠DAO. ∵∠D=∠C , ∴∠C=∠DAO. ∵∠BAE=∠C , ∴∠BAE=∠DAO. ∵BD 是☉O 的直径, ∴∠BAD=90°,即∠DAO+∠BAO=90°,∴∠BAE+∠BAO=90°, 即∠OAE=90°,∴AE ⊥OA , AE 与☉O 相切于点A.AE ∥BC ,AE ⊥OA ,∴OA ⊥BC ,∴AB⏜=AC ⏜,FB=12BC ,∴AB=AC. ∵BC=2√7,AC=2√2,∴BF=√7,AB=2√2.在Rt △ABF 中,AF=√AB 2-BF 2=√(2√2)2-(√7)2=1, 在Rt △OFB 中,OB 2=BF 2+(OB-AF )2, 解得OB=4,∴BD=8.∴在Rt △ABD 中,AD=√BD 2-AB 2=√82-(2√2)2=2√14.模拟预测1.已知☉O 的半径为5,直线l 是☉O 的切线,则点O 到直线l 的距离是( ) B.3 C.5 D.10,以点(3,2)为圆心,3为半径的圆一定( ) A.与x 轴相切,与y 轴相切 B.与x 轴相切,与y 轴相交 C.与x 轴相交,与y 轴相切轴相交,与y 轴相交内蒙古鄂尔多斯模拟)如图,BM 与☉O 相切于点B ,若∠MBA=140°,则∠ACB 的度数为( )B.50°C.60°D.70°4.如图,已知AB 是☉O 的直径,AD 切☉O 于点A ,点C 是EB⏜的中点,则下列结论不成立的是( )A.OC∥AEB.EC=BC∠ABE D.AC⊥OEO处附近有E,F,G,H四棵树,位置如图所示(图中小正方形的边长均相等),现计划修建一座以O为圆心,OA为半径的圆形水池,要求池中不留树木,则E,F,G,H四棵树中,需要被移除的为()A.E,F,GB.F,G,H,E D.H,E,F,△ABC的内切圆与三边分别切于点D,E,F,下列结论正确的是()A.∠EDF=∠BB.2∠EDF=∠A+∠CC.2∠A=∠FED+∠EDF∠BFE+∠CDF>180°⏜上异于点7.(2019海南模拟)如图,CB切☉O于点B,CA交☉O于点D且AB为☉O的直径,点E是ABDA,D的一点.若∠C=40°,则∠E的度数为.°,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=2,AB=4,BC=6,点O是边BC上一点,以O为圆心,OC 为半径的☉O与边AD只有一个公共点,则OC的取值范围是.≤OC≤1339.如图,AB是☉O的弦,半径OC交AB于点D,点P是☉O上AB上方的一个动点(不经过A,B两点),OC⊥AB,若设∠A=α,∠APB=60°,∠OCB=2∠BCM.(1)求证:CM 与☉O 相切;(2)当圆心O 在∠APB 内时,求α的取值范围; 4,PB=4√2,求PC 的长. (1)证明如图,连接OB.∵OC ⊥AB ,∴AC⏜=BC ⏜, ∴∠APC=∠BPC. ∵∠APB=60°, ∴∠BPC=30°,∴∠BOC=2∠BPC=60°, ∴△OBC 为等边三角形, ∴∠OCB=60°.∵∠OCB=2∠BCM ,∴∠MCB=30°, ∴∠OCM=∠OCB+∠MCB=90°,OC ⊥MC.∵OC 为半径,∴CM 与☉O 相切.O 在PA 上,即AP 为直径,则∠PBA=90°.而∠APB=60°,所以此时∠A=30°.O 在PB 上,即BP 为直径,则∠A=90°.O 在∠APB 内时,α的取值范围为30°<α<90°.,作BE ⊥PC 于点E ,Rt △PBE 中,∠BPE=30°,PB=4√2,∴BE=12PB=2√2,PE=√3BE=2√6. ∵△OBC 为等边三角形, ∴BC=OC=4.在Rt △BEC 中,CE=√BC 2-BE 2=√42-(2√2)2=2√2,∴PC=PE+CE=2√6+2√2.。

中考数学总复习第21讲与圆有关的位置关系新版新人教版

——————————新学期新成绩新目标新方向——————————
第21讲与圆有关的位置关系
一、知识清单梳理
知识点一：与圆有关的位置关系
关键点拨及对应举例
1.点与圆的位置关系
设点到圆心的距离为d.
(1)⇔点在⊙O内；(2)⇔点在⊙O上；(3)⇔点在⊙O外．
判断点与圆之间的位置关系，将该点的圆心距与半径作比较即可.
（3）（几何法）
切线判定常用的证明方法：①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证半径等于垂线段
4.切线
的性质
（1）切线与圆只有一个公共点.
（2）切线到圆心的距离等于圆的半径.
（3）
利用切线的性质解决问题时，通常连过切点的半径，利用直角三角形的性质来解决问题.
*5.切线长
（1）定义：
（2）切线长定理：
知识点四：三角形与圆
5.三角形的外接圆
图形
相关概念
圆心的确定
内、外心的性质
内切圆半径与三角形边的关系：
（1）任意三角形的内切圆（如图a），设三角形的周长为C，则S△ABC=1/2Cr.
（2）直角三角形的内切圆（如图b）
①若从切线长定理推导，可得r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.
2.直线和圆的位置关系
位置关系
相离
相切
相交
由于圆是轴对称和中心对称图形，所以关于圆的位置或计算题中常常出现分类讨论多解的情况.
图形
公共点个数
个
个
个
数量关系
dr
dr
dr
知识点二：切线的性质与判定

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