相似三角形的判定分类习题集
《相似三角形的判定定理》练习题
15.(导学号 40134043)(2017·泰安)如图，四边形ABCD中，AB＝AC＝ AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD. (1)证明：∠BDC＝∠PDC； (2)若AC与BD相交于点E，AB＝1，CE∶CP＝2∶3，求AE的长.
九年级下册数学（人教版）
第二十七章 相 似
27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定 第3课时 相似三角形的判定定理3
知识点1：相似三角形的判定定理3
1.如图在矩形ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，若∠AEF＝90°，
则一定有(
)C
A.△ADE∽△AEF B.△ECF∽△AEF
C.△ADE∽△ECF D.△AEF∽△ABF
DP·BD＝AD·BC，∴AB2＋AD·BC＝DB·PB＋DP·BD＝DB(PB＋DP)＝
DB2，即BD2＝AB2＋AD·BC.
2.如图，锐角△ABC的高CD和BE相交于点O，图中与△ODB相似的三 角形有( B) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
3.如图，在△ABC中，∠ADE＝∠B，则下列等式成立的是( A ) A.AADB＝AACE B.ABEE＝CADD C.AADC＝AAEB D.DBCE＝AADC
8 4.如图，∠C＝∠E＝90°，AC＝3，BA＝5，AE＝2，则DE＝__3__.
证明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC.∴A︵B＝D︵C.∴AB＝DC.
(2)易证△ADP∽△DBC，∴ABDD＝BDCP.∴DP·BD＝AD·BC.
初中数学相似三角形专题练习题-相似三角形的判定和应用
相似三角形的判定【知识梳理】1.相似三角形的概念：如果两个三角形的三个角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形2.相似比：相似三角形对应边的比叫相似比，如果两个三角形的相似比为1，则这两个三角形是全等三角形3.相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。
4.相似三角形判定定理1：两角对应相等的两个三角形相似5.相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似6.相似三角形判定定理3：三边对应成比例的两个三角形相似7.直角三角形相似的判定定理：斜边和一直角边对应成比例的两个直角三角形相似【例题剖析】【例1】在ABC ∆和'''C B A ∆中，有下列条件（1）''''C B BC B A AB =，(2) ''''C B BCC A AC =， (3) '∠=∠A A ，(4) 'C C ∠∠=，如果从中任取两个条件组成一组，那么能判断ABC ∆∽'''C B A ∆的共有几组（ ）A. 5组B. 4组C. 3组D. 2组【例2】下列命题：（1）三边对应边成比例的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；（3）一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；（4）一个角对应相等的两个等腰三角形相似．其中正确的是（ ）A. (1)(3)B. (1)(4)C. (1)(2)(4)D. (1)(3)(4)【例3】如图,矩形ABCD 是由三个正方形ABEG ,GEFH ,HFCD 组成的, 证明：AEF ∆∽AEC ∆笔记 思考【例4】 已知：如图，在ABC ∆中，CE BD ,分别是AB AC ,边上的高．求证：ABD ∆∽ACE ∆【例5】如图，已知AEACDE BC AD AB ==，试说明CAE BAD ∠=∠【经典习题】（A ）组1.下列各组条件中，不能判定△ABC 和△A 1B 1C 1相似的是（ ）A.11B A AB ＝11C B BC ，∠A ＝∠A 1 B. 11B A AB ＝11C B BC ＝11C A ACC. ∠C ＝∠C 1，11C B BC ＝11C A ACD. ∠B ＝∠B 1，∠C ＝∠C 12.下列命题中，正确的是（ ）A. 所有的矩形都相似B. 所有的直角三角形都相似C. 有一个角是100°的所有等腰三角形都相似D. 有一个角是50°的所有等腰三角形都相似 3.下列命题中，真命题是（ ）A. 所有直角三角形都相似B. 所有等腰三角形都相似C.所有等腰直角三角形都相似D. 所有菱形都相似笔记 思考4.如图，点D 是ABC ∆边AC 上一点，满足∠CBD ＝∠A ，则（ ）A. △CBD ∽△BADB. △CBD ∽△CABC.△ABD ∽△ACBD. 图中没有相似三角形 5.下列命题一定正确的是（ ）A. 两个等腰三角形一定相似B. 两个等边三角形一定相似C.两个直角三角形一定相似D. 两个含有30°角的三角形一定相似 6.下列说法正确的是（）A. 相似三角形是全等三角形B.不相似的三角形可能是全等三角形C.不全等的三角形不是相似三角形 D ．全等三角形是相似三角形的特例． 7. 如图，在ABC ∆中，90BAC °∠=，AD BC ⊥，垂足为点D ，ABC ∠的平分线分别交AD .AC 于点E .F ，连结DF ，下列结论中错误的是（ ）A. ABD ∆∽ADC ∆B.BDF ∆∽DFA ∆C.BDE ∆∽BAF ∆D.ABE ∆∽CBF ∆8. 下列两个三角形不一定相似的是（ ）A. 有一个角为60°的两个等腰三角形B. 有一个角为80°的两个等腰三角形C.有一个角为90°的两个等腰三角形D. 有一个角为100°的两个等腰三角形9. 如图，已知△ABC 是直角三角形，∠C=90°，DA ⊥AB ．欲使△ABC 与△DBA 相似，除了添加角上的条件如∠ABC=∠DBA 外，还可添加一个边上的条件是 ．（只需填写一个你认为符合要求的条件）（B ） 组10. 已知：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线．过点M 作CM 的垂线与AC 和CB 的延长线分别交于点D 和点E ，求证：△CDM ∽△ABCCBAD笔记 思考11. 已知：如图,△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，点E.F 是AB 边所在直线上的两点，且∠ECF ＝135° （1）求证：△ECA ∽△CFB（2）若AE ＝3，设AB ＝x ，BF ＝y ，求 y 与x 之间的函数关系式，并写出定义域12.如图，在ABC ∆中，90CAB °∠=，CFG B ∠=∠，过点C 作CE AB ∥，交CAB ∠的平分线AD 于点E（1）不添加字母，找出图中所有相似的三角形，并证明（2）证明：FC ADCG ED=(C)组13.已知：如图，AD 是△ABC 的角平分线，以点B 为圆心，BD 长为半径画弧，交AD 于点E ．求证：AB AD AC AE ⋅=⋅ABCDE 笔记 思考14.已知：如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，∠A=36º，AC=BC ，AC 2=AB·AD ．求证：（1）△ABC ∽△CAD ；（2）△BCD 是等腰三角形．15.如图，在直角坐标系内，A （0，6），B （8，0），动点P 从点A 开始在线段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动，设点P.Q 移动的时间为t 秒。
相似三角形的判定(证明题)
相似三角形的判定1 •如图，锐角A4BC的髙CD和BE相交于点0,图中与△OD3相似的三角形有(A4个 B3个 C2个 D1个3•已知：AACB为等腰直角三角形，ZACB=90°延长BA至E,延长AB至F, ZECF二135°求证:CBF5・、如图，点C、D在线段AB上，且APCD是等边三角形.(1)当AC, CD, DB满足怎样的关系时，AACP S APDB：⑵当A PDBs A ACP时，试求ZAPB的度数.6•如图，Z1 = Z3, ZB = Z£>, AB = DE = 5, EC = 4(1)AABC- AADE吗？说明理由。
(2)求AD的长。
7.已知：如图,CE是RtAABC的斜边AB上的髙,BG丄AP・求证:CE:=ED €P.9 •如图，D为A ABC内一点，E为AABC外一点，且Z1=Z2, Z3：⑴AABD与4CBE相似吗？请说明理由.(2) A ABC与ADBE相似吗?请说明理由.AA EACs AB C判断题:⑴两个顶角相等的等浸三角形是相似的三角形。
((2)两个等腰直角三角形是相似三角形。
((3)底角相等的两个等艮三角形是相似三角形，((4)两个直角三角形一定是相似三角形。
((5)—个钝角三角形和一个锐角三角形有可能相似n ((6)有一个角相等的两个宜角三角形是相似三角形n ((7)有一个锐角相等的两个直角三角形是相似三角形。
( (3)三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形相似.((9)所有的正三角形都相似n ( )(10)两个等艮三角形只要有一个角对应相等就相似. ( ) 2・如圍,AD/J BC, AE平分ZDAB, BE平分ZABC・ EF丄AB•证明：AAEF^AABE.3 •如尿，AABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD^CE, AD与BE相交于点F・<1)试说明△ ABD坐ZkBCEj<2)AEAF与相似吗？说说你的理也.4.如釦在AABC中’ ZBAC=90\ D为BC的中点，AE丄AD, AE交CB的延长纟壬于点E・(1)求证：AEAB^AECA.:(2)4ABE和AADC是否一定相似？妇果相似，加以说明5如杲不相似，那么增加一个怎徉的条件，A.4BE和4ADC-定相似.5・如囲在AABC中,ZC=905, D. E衽BC上,BD=DE=EC=AC,指出團中哪两个三角形棉似,并证明你的结论.A6・如團，ZkABC 申，ZBAC=90% AB=AC, D 在BC 匕 E 在AC 匕 且上ADETS 廈 (1) 求证：△ABD S /XDCE ・ (2) 台D 莊什么位贵时，AABD^ADCE ・7. 如图，在AABC 中，AB ・8cm, BC-16c 叫 点P 从点A 开始沿AB 向B 以2cE 啲速度移动‘点 Q 从点B 幵弟沿BC 向C 点^4cm,s 的速虔移动.加果P, Q 分别从、B 同时出拓 经过几秒绅ZkPB Q与△ ABC 相似？8. 如囹，已知AABC 中CE 丄AB 干E, BF 丄AC 于F,求证；△AEF S ^ACB.9 •如图、UAABC 中，ZACB=PO% AC=4, BO3,点P 在线段AB 上臥每秽1个单位的速度从点B 问点A 运动，同时点Q 曲圭段A C 上以同样的速虎从点A 向点C 运动，运动的时间用1 (单位：秒)表示.(1)求线股AB 的长；<2)求当t 为何值时，AAPQ 与AABC 相似？10・如虱在MBCD 中’ E 豹BC 边上一点'连接AE 、DE, F 为线段DE 上一点，且ZAFE=ZB .试 说明△ADF S ADEC ・11 ・如釦 已知MBC 中’ AB=2& AC=4js, BC=6? AMN 与AABC 相似，求MN 的长.3A312・如團，点E 是匹边形ABCD 的对角线BD 上一点，SZBAC-Z3DC-ZDAE ・求证：AABE^AAC D.14.已知，如團：在AABC 中，AD=CD, /ADE=ZDCB, 求还；△ABCsACDE.16・已知：D 、ElAABC^j±AB^ AC±^].^, AB=9, AD=4, AC=7.2, AE=5,求证：AABCooAAE D ・18 ・已知：如园.在△ ABC 和△ ADE 中,ZBAC=ZDAE, ZABC=ZADE. 求证：AABIX^AACE・D17 ・ 4±AABC 中，ZBAC=90c , E,求证：AABIX O ADCE ・19・如园.在正万形网格上有6个斜三角形：①②△CDB,③ADEB, @AFBG, ©AHGF,⑥△ERF 请在三角形②〜⑥中，找出与①相佩的三鱼形的序号是_〈把 前序号埴上〉并证明你的结论.20.如冒所示，在A ABC 中，AB=8cm ? BC=16cm ?点P 从点A 开始沿边AB 向点B 以lens 的速庶移 动，点Q 从点B 幵始沿边BC 向点C 以2cm/啲速庚移动，如果点.P 、Q 同时出紀 经过多长时间后，厶PB ABC 相似?试说明理由■21・将两个全等的等腰宜角三角形摆成如團所示的祥子（團中所有的点、线都在同一平面内〉・ CD 请在图中找出两対相似而不全手的三角形〉话从其中一对说明埋宙.C2）你还能再找一对相似而不全等的三角形吗？请说明遅由.22・如园：己知△ABgZkADE 的边BC 、AD 相交于点0,旦Z1=Z2-Z3.求证：AABCsAADE.23.如园，APQR 罡尊边三角形，ZAPBJ20J I 乩每两个三角形沏一组写出园中所有的相 似三角形，并迭择耳中的一爼加以证明.2S.如图’已知:厶ABC 中〉ZABC-90% AB-BC,延长BC 到E,使得CE-2BC,馭CE 的中点D,连接AE 、 AD ・求iib AACD<7>AECA ・26.如阂.D 是Z\ABC 的边BC 上的一点,AB=2, BD=1, DC=3,求证：AABD^ACBA.5 I D327・已知：AABC为手瑕直角三角形，ZACB=90%延长BA至E,延长AB至F, ZECF=135S求证：AEAC^ACBF.28・如因所示'R仏ABC中’已^DZBAC=O0\ AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B, C),过点D作ZADE=45% DE交AC于点E.(1)求证：△AEIX^XDCE;(2)当AADE是等腰三角形时，求AE的长.29・如團已知AB丄BD, CD丄BD・若・4B=9, CD=4, BD-10,话问在BD上是否存在P点，使以P、4、B三点为页点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似・?若存在，求BP的长：若不存在'请说明理由.30・如臥AABCx ADEPf两个全竽的等腰直毎三角形，ZBAC=ZPDE=90\(1)若将ADEP的顶点.P放在BC上(如图1) , PD、PE分别与AC、AB相交于点F. G.求证：△PBGs^FCP;(2)肴使ADEP的顶点P与顶点A重台〔如图2) , PD-. PE与BC相交干点几G・试问APBG与AFCP还相似吗勺为什么？1・如国,在4ABC和ADEF中ZA=ZD=90\ AB=DE=3, AC=2DF=4 ・(1)判断这两个三角形杲否殆似并说明为什么？(2)能否分别过A, D在这两个三角形中各作一条湘助纵使△ ABC分黑成的两个三角形与ADEFB-割成的两个三角形分别对应相似？证明惋的结论.2 •如團，在A ABC中，AB=AC,若4 ABC^ADEF,且点A往DE上，点E在BC上，EF与AC交于点M・求证：AABE^AECM・5.己知：如图'AABC中'AD=DB, Zl=/2.求证：AABCxoAEAD.S・如图'在厶ABC中,AB=AC, ZADB=90°, ZCBE=ZCAD；求证：△BECsAADC ・10・?0g.. ZABC=ZBCD,且BC^=AB・CD・ ^15： AABC^ABCD.O11・已务Ih如图，AD是△ ABC的高,BE丄AB, AE交BC于点、F> AB・AC-AD・AE・求证:ABEFcoAACF ・13.妇團所不‘在铁角AABC中，高CD： BE相交于点、F・ <1)拷出图中所有的相似三角形，并证明一对三角形柜似3 (2)连结DE,试说明：AADEccAACB.4・如凰，集一时別一根2米长的竹竿EF嶷长GE为I球'此时，小红测得一棵被凤吹斜的杨树与地面成30。
相似三角形的判定与性质-北京习题集-教师版
相似三角形的判定与性质（北京习题集）（教师版）一．选择题（共5小题）1．（2019秋•朝阳区期末）如图，ABC ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，//DE BC ．若1AD =，2BD =，则ADE ∆与ABC ∆的面积之比为( )A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:92．（2019秋•通州区期末）如图，12∠=∠，如果增加一个条件就能使结论AB DE AD BC =成立，那么这个条件可以是( )A ．C D ∠=∠B ．B AED ∠=∠C ．AE ADAB AC=D ．AE ADAC AB=3．（2019秋•通州区期末）如图，在ABC ∆中，//DE BC ，3AD BD =，3DE =，则BC 的长度为( )A ．1B ．43C ．4D ．64．（2019秋•东城区期末）如图，在平行四边形ABCD 中，F 为BC 的中点，延长AD 至点E ，使:1:3DE AD =，连接EF 交DC 于点G ，则:DEG CFG S S ∆∆等于( )A ．4:9B ．2:3C ．9:4D ．3:25．（2019秋•海淀区期末）如图，在四边形ABCD 中，//AD BC ，点E ，F 分别是边AD ，BC 上的点，AF 与BE交于点O ，2AE =，1BF =，则AOE ∆与BOF ∆的面积之比为( )A ．12B ．14C ．2D ．4二．填空题（共8小题）6．（2019秋•海淀区期末）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，//DE BC ，1AD =，2BD AE ==，则EC 的长为 ．7．（2020春•海淀区校级月考）如图，正方形ABCD 的边长是3，P ，Q 分别在AB ，BC 的延长线上，BP CQ =，连接AQ ，DP 交于点O ，并分别与CD ，BC 交于点F ，E ，连接AE ．下列结论： ①AQ DP ⊥ ②2OA OE OP = ③AOD OECF S S ∆=四边形 ④当1BP =时，13tan 16OAE ∠=其中正确结论的序号是 ．8．（2020•东城区校级模拟）如图，矩形ABCD 的边长4AD =，3AB =，E 为AB 的中点，AC 分别与DE ，DB 相交于点M ，N ，则MN 的长为 ．9．（2020春•海淀区校级月考）如图，在ABC∆中，D，E分别是AB，AC上的点，//DE BC．若6AE=，3EC=，10DE=，则BC=．10．（2020•丰台区一模）如图，在ABCD中，点E在DA的延长线上，且13AE AD=，连接CE交BD于点F，则EFFC的值是．11．（2019秋•北京期末）如图，点D，E分别在ABC∆的边AB，AC上，且//DE BC．若:2:3AD AB=，则ADE∆与ABC∆的面积之比为．12．（2019秋•石景山区期末）如图，在ABC∆中，点D在AB上，点E在AC上，ADE C∠=∠，若1DE=，四边形DBCE的面积是ADE∆的面积的3倍，则BC的长为．13．（2020•丰台区模拟）如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是OB的中点，连接AE并延长交BC于点F．若BEF∆的面积为1，则AED∆的面积为．三．解答题（共2小题）14．（2019秋•北京期末）如图，Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，点D 在边AC 上，且DE AC ⊥交BC 于点E ． （1）求证：CDE CBA ∆∆∽；（2）若3AB =，5AC =，E 是BC 中点，求DE 的长．15．（2019秋•西城区期末）如图，四边形ABCD 内接于O ，90BAD ∠=︒，AC 是对角线．点E 在BC 的延长线上，且CED BAC ∠=∠．（1）判断DE 与O 的位置关系，并说明理由；（2）BA 与CD 的延长线交于点F ，若//DE AC ，4AB =，2AD =，求AF 的长．相似三角形的判定与性质（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2019秋•朝阳区期末）如图，ABC ∆中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，//DE BC ．若1AD =，2BD =，则ADE ∆与ABC ∆的面积之比为( )A ．1:2B ．1:3C ．1:4D ．1:9【分析】由//DE BC 可得出ADE ABC ∆∆∽，利用相似三角形的性质即可求出ADE ∆与ABC ∆的面积之比． 【解答】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，∴2211()()129ADE ABC S AD S AB ∆∆===+． 故选：D ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 2．（2019秋•通州区期末）如图，12∠=∠，如果增加一个条件就能使结论AB DE AD BC =成立，那么这个条件可以是( )A ．C D ∠=∠B ．B AED ∠=∠C ．AE ADAB AC=D ．AE ADAC AB=【分析】要使AB DE AD BC =成立，需证ABC ADE ∆∆∽，在这两三角形中，由12∠=∠可知BAC DAE ∠=∠，还需的条件可以是B D ∠=∠或C AED ∠=∠或AE ADAC AB=．【解答】解：若这个条件为：B D∠=∠12∠=∠，BAC DAE∴∠=∠，且B D∠=∠，ABC ADE∴∆∆∽，AB DE AD BC∴=；若这个条件为：C AED∠=∠12∠=∠，BAC DAE∴∠=∠，且C AED∠=∠，ABC ADE∴∆∆∽，AB DE AD BC∴=；若这个条件为：AE AD AC AB=12∠=∠，BAC DAE∴∠=∠，且AE AD AC AB=，ABC ADE∴∆∆∽，AB DE AD BC∴=；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质的运用．3．（2019秋•通州区期末）如图，在ABC∆中，//DE BC，3AD BD=，3DE=，则BC的长度为()A．1B．43C．4D．6【分析】通过证明ADE ABC∆∆∽，可得DE ADBC AB=，可求BC的长．【解答】解：3AD BD=，4AB BD∴=，//DE BC，ADE ABC∴∆∆∽，∴DE AD BC AB=，∴334BDBC BD=，4BC∴=，故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明ADE ABC∆∆∽是本题的关键．4．（2019秋•东城区期末）如图，在平行四边形ABCD中，F为BC的中点，延长AD至点E，使:1:3DE AD=，连接EF交DC于点G，则:DEG CFGS S∆∆等于()A．4:9B．2:3C．9:4D．3:2【分析】根据相似三角形的性质以及平行四边形的性质即可求出答案．【解答】解：设DE x=，3AD x=，在ABCD中，3AD BC x∴==，点F为BC的中点，32xCF∴=，//DE BC，DEG CFG∴∆∆∽，∴2224()()39DEGCFGS DFS CF∆∆===，故选：A．【点评】本题考查相似三角形判定和性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于基础题型．5．（2019秋•海淀区期末）如图，在四边形ABCD中，//AD BC，点E，F分别是边AD，BC上的点，AF与BE 交于点O，2AE=，1BF=，则AOE∆与BOF∆的面积之比为()A．12B．14C．2D．4【分析】由//AD BC可得出OAE OFB∠=∠，OEA OBF∠=∠，进而可得出AOE FOB∆∆∽，再利用相似三角形的性质即可得出AOE ∆与BOF ∆的面积之比． 【解答】解：//AD BC ，OAE OFB ∴∠=∠，OEA OBF ∠=∠， AOE FOB ∴∆∆∽，∴2()4AOE FOB S AE S FB∆∆==． 故选：D ．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 二．填空题（共8小题）6．（2019秋•海淀区期末）如图，在ABC ∆中，点D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，//DE BC ，1AD =，2BD AE ==，则EC 的长为 4 ．【分析】由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出答案． 【解答】解：//DE BC ，∴AD AE BD EC =，即122EC=， 解得：4EC =； 故答案为：4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，由平行线分线段成比例定理得出比例式是解题的关键．7．（2020春•海淀区校级月考）如图，正方形ABCD 的边长是3，P ，Q 分别在AB ，BC 的延长线上，BP CQ =，连接AQ ，DP 交于点O ，并分别与CD ，BC 交于点F ，E ，连接AE ．下列结论： ①AQ DP ⊥ ②2OA OE OP = ③AOD OECF S S ∆=四边形 ④当1BP =时，13tan 16OAE ∠=其中正确结论的序号是 ①③④ ．【分析】由四边形ABCD 是正方形，得到AD BC =，90DAB ABC ∠=∠=︒，根据全等三角形的性质得到P Q ∠=∠，根据余角的性质得到AQ DP ⊥；故①正确；根据相似三角形的性质得到2AO OD OP =，由OD OE ≠，得到2OA OE OP ≠；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF BE =，DF CE =，于是得到ADF DFO DCE DOF S S S S ∆∆∆∆-=-，即AOD OECF S S ∆=四边形；故③正确；根据相似三角形的性质得到34BE =，求得134QE =，135QO =，3920OE =，由三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：四边形ABCD 是正方形， AD BC ∴=，90DAB ABC ∠=∠=︒，BP CQ =， AP BQ ∴=，在DAP ∆与ABQ ∆中， AD ABDAP ABQ AP BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()DAP ABQ SAS ∴∆≅∆， P Q ∴∠=∠， 90Q QAB ∠+∠=︒， 90P QAB ∴∠+∠=︒， 90AOP ∴∠=︒，AQ DP ∴⊥；故①正确；90DOA AOP ∠=∠=︒，90ADO P ADO DAO ∠+∠=∠+∠=︒， DAO P ∴∠=∠， DAO APO ∴∆∆∽，∴AO OPOD OA=， 2AO OD OP ∴=，AE AB >， AE AD ∴>，OD OE ∴≠，2OA OE OP ∴≠；故②错误；在CQF ∆与BPE ∆中 FCQ EBP Q PCQ BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()CQF BPE AAS ∴∆≅∆， CF BE ∴=， DF CE ∴=，在ADF ∆与DCE ∆中， AD CD ADC DCE DF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ADF DCE SAS ∴∆≅∆， ADF DFO DCE DOF S S S S ∆∆∆∆∴-=-，即AOD OECF S S ∆=四边形；故③正确；1BP =，3AB =， 4AP ∴=， PBE PAD ∆∆∽，∴43PB PA EB DA ==， 34BE ∴=， 134QE ∴=， QOE PAD ∆∆∽， ∴1345QO OE QE PA AD PD ===， 135QO ∴=，3920OE =， 1255AO QO ∴=-=，391320tan12165OE OAE OA ∴∠===，故④正确， 故答案为①③④．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．8．（2020•东城区校级模拟）如图，矩形ABCD 的边长4AD =，3AB =，E 为AB 的中点，AC 分别与DE ，DB 相交于点M ，N ，则MN 的长为 56．【分析】由勾股定理求出AC 长，则1 2.52AN AC ==，证明AEM CDM ∆∆∽，可求出AM 长，则MN 的长可求出． 【解答】解：矩形ABCD 的边长4AD =，3AB =，2222345AC BD AB AD ∴=++=， 1110 2.522AN AC ∴==⨯=， 四边形ABCD 是矩形，//AB CD ∴，3AB CD ==，AEM CDM ∴∆∆∽，∴AE AM CD CM =， ∴1.535AM AM=-， 53AM ∴=， 552.536MN AN AM ∴=-=-=． 故答案为：56． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，求出AN 与AM 的长是解题的关键．9．（2020春•海淀区校级月考）如图，在ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，//DE BC ．若6AE =，3EC =，10DE =，则BC = 15 ．【分析】由//DE BC，可以得出ADE ABC∆∆∽，于是可得AE DEAC BC=，根据已知数据即可求出BC的长．【解答】解：//DE BC ADE ABC∴∆∆∽∴AE DE AC BC=，而6AE=，3EC=，10DE=则6109BC =，15 BC∴=故答案为15．【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质，平行、比例、相似三者之间的相互推出关系是解题中常用的思路．10．（2020•丰台区一模）如图，在ABCD中，点E在DA的延长线上，且13AE AD=，连接CE交BD于点F，则EFFC的值是43．【分析】由EDF CBF∆∆∽，可得EF DEFC BC=，由此即可解决问题．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，//AD BC∴．AD BC=，设3AD a=，则AE a=，//DE BC，EDF CBF∴∆∆∽，∴4433 EF DE a FC BC a===故答案为43．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．11．（2019秋•北京期末）如图，点D，E分别在ABC∆的边AB，AC上，且//DE BC．若:2:3AD AB=，则ADE∆与ABC ∆的面积之比为 4:9．【分析】由//DE BC 可得出ADE ABC ∆∆∽，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求出结论．【解答】解：//DE BC ，ADE ABC ∴∆∆∽，∴24()9ADE ABC S AD S AB ∆∆==． 故答案为：4:9．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．12．（2019秋•石景山区期末）如图，在ABC ∆中，点D 在AB 上，点E 在AC 上，ADE C ∠=∠，若1DE =，四边形DBCE 的面积是ADE ∆的面积的3倍，则BC 的长为 2 ．【分析】易证ADE ACB ∆∆∽，从而可知2()ADE ACB S DE S BC∆∆=，根据条件即可求出BC 的长度． 【解答】解：A A ∠=∠，ADE C ∠=∠，ADE ACB ∴∆∆∽，四边形DBCE 的面积是ADE ∆的面积的3倍，∴14ADE ACB S S ∆∆=， 2()ADE ACB S DE S BC∆∆=， ∴2114BC =， 2BC ∴=，故答案为：2【点评】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．13．（2020•丰台区模拟）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 是OB 的中点，连接AE 并延长交BC 于点F ．若BEF ∆的面积为1，则AED ∆的面积为 9 ．【分析】根据正方形的性质得OB OD =，//AD BC ，根据三角形相似的性质和判定得：13BE EF ED AE ==，根据同高三角形面积的比等于对应底边的比，可得结论．【解答】解：四边形ABCD 是正方形，OB OD ∴=，//AD BC ， BEF DEA ∴∆∆∽， ∴BE EF ED AE=， E 是OB 的中点， ∴13BE ED =， ∴13EF AE =， ∴13BEF AEB S EF S AE ∆∆==， BEF ∆的面积为1，AEB ∴∆的面积为3，13BE ED =， ∴13AEB AED S S ∆∆=， AED ∴∆的面积为9，故答案为：9．【点评】本题考查了正方形的性质，三角形面积，三角形相似的性质和判定等知识，熟练掌握相似三角形的性质和判定是关键．三．解答题（共2小题）14．（2019秋•北京期末）如图，Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，点D 在边AC 上，且DE AC ⊥交BC 于点E ．（1）求证：CDE CBA ∆∆∽；（2）若3AB =，5AC =，E 是BC 中点，求DE 的长．【分析】（1）由DE AC ⊥，90B ∠=︒可得出CDE B ∠=∠，再结合公共角相等，即可证出CDE CBA ∆∆∽；（2）在Rt ABC ∆中，利用勾股定理可求出BC 的长，结合点E 为线段BC 的中点可求出CE 的长，再利用相似三角形的性质，即可求出DE 的长．【解答】（1）证明：DE AC ⊥，90B ∠=︒，90CDE B ∴∠=︒=∠．又C C ∠=∠，CDE CBA ∴∆∆∽．（2）解：在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，3AB =，5AC =， 224BC AC AB ∴=-=．E 是BC 中点，122CE BC ∴==． CDE CBA ∆∆∽，∴DE CE BA CA=，即235DE =， 23655DE ⨯∴==．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）利用“两角对应相等两三角形相似”证出两三角形相似；（2）利用相似三角形的性质求出DE 的长．15．（2019秋•西城区期末）如图，四边形ABCD 内接于O ，90BAD ∠=︒，AC 是对角线．点E 在BC 的延长线上，且CED BAC ∠=∠．（1）判断DE 与O 的位置关系，并说明理由；（2）BA 与CD 的延长线交于点F ，若//DE AC ，4AB =，2AD =，求AF 的长．【分析】（1）先根据圆周角定理证明BD是O的直径，得90∠=︒，再由三角形外角的性质和圆周角定理可得BCD∠=︒，可得DE是O的切线；90BDE（2）先根据平行线的性质得：90=，由垂直平分线的性质得=，AD CDBHC BDE∠=∠=︒．由垂径定理得AH CH=，设AF xCF AF=，则22DF CF CD x∽，列比例式得2=-=-，4BC AB∆∆==，2CD AD==．证明FAD FCB根据勾股定理列方程可解答．【解答】解：（1）相切．理由是：连接BD，如图1．四边形ABCD内接于O，90∠=︒，BAD∴是O的直径，即点O在BD上．BD∴∠=︒．90BCD∴∠+∠=︒．CED CDE90∠=∠．CED BAC又BAC BDC∠=∠，∴∠+∠=︒，即90∠=︒．BDE90BDC CDE∴⊥于点D．DE OD∴是O的切线．DE（2）如图2，BD与AC交于点H，//DE AC ，90BHC BDE ∴∠=∠=︒．BD AC ∴⊥．AH CH ∴=．4BC AB ∴==，2CD AD ==．90FAD FCB ∠=∠=︒，F F ∠=∠，FAD FCB ∴∆∆∽． ∴AD AF CB CF=． 2CF AF ∴=．设AF x =，则22DF CF CD x =-=-．在Rt ADF ∆中，222DF AD AF =+，222(22)2x x ∴-=+． 解得：183x =，20x =（舍)． 83AF ∴=． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，勾股定理，求出4BC =是解本题的关键．。
相似三角形判定专项练习30题(有答案)
相似三角形判定专项练习30题（有答案）1．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？2．如图，△BAC、△AGF为等腰直角三角形，且△BAC≌△AGF，∠BAC=∠AGF=90°．若△BAC固定不动，△AFG绕点A旋转，AF、AG与边BC的交点分别为D、E．请在图中找出两对相似而不全等的三角形，并选取其中一对进行证明．3．如图，在正三角形ABC中，D，E分别在AC，AB上，且，AE=EB．求证：△AED∽△CBD．4．如图，已知∠1=∠2，且AB•ED=AD•BC，则△ABC与△ADE相似吗？是说明理由．5．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别AB、CB延长线上的点，CE=9，AD=15，连接DE．若BC=6，AC=8，求证：△ABC∽△DBE．6．如图，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F．（1）证明：△ABD∽△DCF；（2）除了△ABD∽△DCF外，请写出图中其他所有的相似三角形．7．如图，CD、BE分别是锐角△ABC中AB、AC边上的高线，垂足为D、E．（1）证明：△ADC∽△AEB；（2）连接DE，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．8．如图，在△ABC，AC⊥BC，D是BC延长线上的一点，E是AC上的一点，连接ED，∠A=∠D．求证：△ABC∽△DEC．9．在任意△ABC中，作CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，F为BC上的中点，连接DE，EF，DF．（1）求证：DF=EF；（2）直接写出除直角三角形以外的所有相似三角形；（3）在（2）中的相似三角形中选择一对进行证明．10．如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD=CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．11．如图，在△ABC中，D是BC边上的中点，且AD=AC，DE⊥BC，交BA于点E，EC与AD相交于点F．求证：△ABC∽△FCD．12．已知：在Rt△ABC中∠C=90°，CD为AB边上的高．求证：Rt△ADC∽Rt△CDB．13．如图，D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠1=∠2，∠3=∠4，找出图中的两对相似三角形并说明理由．14．如图，∠DEC=∠DAE=∠B，试说明：（1）△DAE∽△EBA；（2）找出两个与△ABC相似的三角形（第2小题不要求写出证明过程）．15．如图，锐角三角形ABC中，CD，BE分别是AB，AC边上的高，垂足为D，E．（1）证明：△ACD∽△ABE．（2）若将D，E连接起来，则△AED与△ABC能相似吗？说说你的理由．16．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，AE⊥AD，AE交CB的延长线于点E．（1）求证：△EAB∽△ECA；（2）△ABE和△ADC是否一定相似？如果相似，加以说明；如果不相似，那么增加一个怎样的条件，△ABE和△ADC 一定相似．（1）求证：△ADE∽△ABC；（2）△ABD与△ACE相似吗？为什么？（3）图中还有哪些三角形相似？请直接写出来．18．如图，已知：△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，延长BA至E，延长AB至F，∠ECF=135°，求证：△EAC∽△CBF．19．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．20．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．21．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s 的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的22．如图，矩形ABCD中，AB=6，BC=8，动点P从B点出发沿着BC向C移动，速度为每秒2个单位，动点Q 从点C出发沿CD向D出发，速度为每秒1个单位，几秒后由C、P、Q三点组成的三角形与△ABC相似？这时线段PQ与AC的位置关系如何？请说明理由．23．已知，如图，，点B，D，F，E在同一条直线上，请找出图中的相似三角形，并说明理由．24．已知线段AC上有一动点B，分别以AB、BC为边向线段的同一侧作等边三角形△ABD和△BCE．连接AE、CD （如图），若MN分别为AE、CD的中点，（1）求证：AM=CN；（2）求∠MBN的大小；（3）若连接MN，请你尽可能多的说出图中相似三角形和全等三角形．25．如图，已知△ABC和△MBN都是等腰直角三角形，∠BAC=∠MBN=90°，BD⊥AN．请找出与△ABD相似的三角形并给出证明，直接写出∠ANC的度数．26．如图，在△ABC中，AB=6，BC=8．点D以每秒1个单位长度的速度由B向A运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，当点E停止运动时，点D也随之停止．设运动时间为t秒，当以B，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，求t的值．27．如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，证明：△ABE∽△AEF．28．如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥DC，连接BD，AC，且DE⊥AC于E，交AB于F，求证：△AFD∽△ADB．29．已知，如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B、A、D在一条直线上，连接BE、CD．（2）若M、N分别是BE和CD的中点，将△ADE绕点A按顺时针旋转，如图②所示，试证明在旋转过程中，△AMN 是等腰三角形；（3）试证明△AMN与△ABC和△ADE都相似．30．如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：△ABD∽△CBE．相似三角形判定专项练习30题参考答案：1．解：△ABE 与△DEF 相似．理由如下： ∵四边形ABCD 为正方形， ∴∠A=∠D=90°，AB=AD=CD ， 设AB=AD=CD=4a ， ∵E 为边AD 的中点，CF=3FD ， ∴AE=DE=2a ，DF=a ，∴==2，==2，∴=，而∠A=∠D ， ∴△ABE ∽△DEF ． 2．解：△EAD ∽△EBA ，△DAE ∽△DCA ． 对△ABE ∽△DAE 进行证明： ∵△BAC 、△AGF 为等腰直角三角形， ∴∠B=45°，∠GAF=45°， ∴∠EAD=∠EBA ， 而∠AED=∠BEA ， ∴△EAD ∽△EBA ． 3．证明：∵△ABC 为正三角形， ∴∠A=∠C=60°，BC=AB ， ∵AE=BE ， ∴CB=2AE ， ∵，∴CD=2AD ，∴==，而∠A=∠C ， ∴△AED ∽△CBD ． 4．解：△ABC ∽△ADE ，理由为： 证明：∵AB •ED=AD •BC ，∴=，∵∠1=∠2， ∴∠1+∠ABE=∠2+∠ABE ，即∠BAC=∠DAE ， ∴△ABC ∽△ADE ．5．证明：∵在RT △ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8， ∴AB==10，∴DB=AD ﹣AB=15﹣10=5 ∴DB ：AB=1：2， 又∵EB=CE ﹣BC=9﹣6=3， ∴EB ：BC=1：2，又∵∠DBE=∠ABC，∴△ABC∽△DBE．6．（1）证明：∵△ABC，△ADE为等边三角形，∴∠B=∠C=∠3=60°，∴∠1+∠2=∠DFC+∠2，∴∠1=∠DFC，∴△ABD∽△DCF；（2）解：∵∠C=∠E，∠AFE=∠DFC，∴△AEF∽△DCF，∴△ABD∽△AEF，故除了△ABD∽△DCF外，图中相似三角形还有：△AEF∽△DCF，△ABD∽△AEF，△ABC∽△ADE，△ADF∽△ACD．7．（1）证明：∵如图，CD、BE分别是锐角△ABC中AB、AC边上的高线，∴∠ADC=∠AEB=90°．又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△AEB；（2）由（1）知，△ADC∽△AEB，则AD：AE=AC：AB．又∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC．8．证明：∵AC⊥BC，∴∠ACB=∠DCE=90°，又∵∠A=∠D，∴△ABC∽△DEC．9．（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠BEC=∠BDC=90°，而F为BC上的中点，∴EF=BC，DF=BC，∴DF=EF；（2）解：△ADE∽△ACB；△PDE∽△PCB；△PDB∽△PEC；（3）△ADE∽△ACB．理由如下：证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，而∠BAE=∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴=，∵∠DAE=∠CAB，∴△ADE∽△ACB．10．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC，∠ABD=∠BCE=∠BAC，又∵BD=CE，∴△ABD≌△BCE；（2）答：相似；理由如下：∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD=∠CBE，∴∠BAC﹣∠BAD=∠CBA﹣∠CBE，∴∠EAF=∠EBA，又∵∠AEF=∠BEA，∴△EAF∽△EBA．11．证明：∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∵D为BC中点，且DE⊥BC，∴EB=EC．∴∠B=∠DCF．∴△ABC∽△FCD．12．证明：∵CD为AB边上的高，∴∠ADC=∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∠ACD+∠BCD=90°，∴∠A=∠BCD，∵∠ADC=∠CDB=90°，∴Rt△ADC∽Rt△CDB．13．解：△ABD∽△CBE，△ABC∽△DBE．∵∠1=∠2，∠3=∠4，∴△ABD∽△CBE，∴∵∠1=∠2，∴∠ABC=∠DBE，∴△ABC∽△DBE14．解：（1）∵∠DEC=∠B，∴DE∥AB，∴∠DEA=∠EAB，又∵∠DAE=∠B，∴△DAE∽△EBA；（2）△CDE∽△ABC，△EAC∽△ABC．15．证明：（1）∵CD，BE分别是AB，AC边上的高，∴∠ADC=∠AEB=90°．∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABE．（2）∵△ACD∽△ABE，∴AD：AE=AC：AB．∵∠A=∠A，∴△AED∽△ABC．16．证明：（1）∵△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，∴BD=CD，AD=CD，∴∠C=∠DAC，又∵AE⊥AD，∴∠EAB+∠BAD=90°，∠BAD+∠DAC=90°，∴∠EAB=∠C，∴△EAB∽△ECA；（2）由（1）得，∠EAB=∠CAD，∴当∠ABE=∠ADC或AB=BE或∠E=∠C或=时，△ABE和△ADC一定相似．17．解：（1）证明∵∠A=∠A，∠ADE=∠ABC，∴△ADE∽△ABC；（2）相似．证明：∵△ADE∽△ABC；∴，∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACE；（3）△DOE∽△COB；△EOB∽△DOC．18．证明：∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∴∠E+∠ECA=45°（三角形外角定理）．又∠ECF=135°，∴∠ECA+∠BCF=∠ECF﹣∠ACB=45°，∴∠E=∠BCF；同理，∠ECA=∠F，∴△EAC∽△CBF．19．（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，∴∠B=∠C=45°．∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．又∵∠ADE=45°，∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．∴∠EDC=∠BAD．∴△ABD∽△DCE．（2）解：讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=1．20．解：∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，∴∠ABE=∠ACD又∵∠BAC=∠DAE∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC∴∠DAC=∠EAB∴△ABE∽△ACD．21．解：设经x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，（1）当∠1=∠2时，有：，即；（2）当∠1=∠3时，有：，即，∴经过秒或2秒，△PBQ∽△BCD．22．解：要使两个三角形相似，由∠B=∠PCQ ∴只要或者∵AB=6，BC=8∴只要设时间为t则PC=8﹣2t，CQ=t∴t=或者t=；①当t=时，△ABC∽△PCQ，PQ⊥AC理由：△ABC∽△PCQ∴∠BAC=∠CPQ∵∠BAC+∠ECP=90°，∴∠EPC+∠ECP=90°即PQ⊥AC；②当t=，△ABC∽△QCP，AC平分PQ理由：△ABC∽△QCP∴∠BAC=∠CQP，∠ACB=∠QPC∴∠QCE=∠EQC，∠ACB=∠QPC∴PE=EQ=CE即AC平分PQ23．解：△ABC∽△ADE，△BAD∽△CAE．理由：∵，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵，∴，∴△BAD∽△CAE，∵∠ACB=∠AED，∠AFE=∠BFC，∴△AFE∽△BFC．24．（1）证明：∵△ABD和△BCE是等边三角形，∴AB=BD，BC=BE，∠EBC=∠ABC=60°，∴∠ABE=∠DBC，在△ABE和△DBC中∴△ABE≌△DBC（SAS）∴AE=DC，∵M、N分别为AE、CD的中点，∴AM=AE，CN=DC∴AM=CN；（2）解：∵△ABE≌△DBC，∴∠EAB=∠CDB，在△AMB和△DNB中∴△AMB≌△DNB（SAS），∴∠ABM=∠DBN，∵∠ABC=∠ABM+∠MBD=60°，∴∠DBN+∠MBD=60°，即∠MBN=60°；（3）解：图中的全等三角形有：△ABM≌△DBN，△BME≌△BCN，△ABE≌△DBC；相似三角形有：△ABD∽△BCE，△ABD∽△BMN，△BMN∽△BCE．25．解：△ABD∽△CBN，理由：∵△ABC和△MBN都是等腰直角三角形，BD⊥AN，∴∠MBD=∠NBD=∠BNM=∠ABC=45°，∴==，∵∠MBA+∠ABD=45°，∠ABD+∠CBN=45°，∴∠ABD=∠CBN，∴△ABD∽△CBN，∴∠BNC=∠ADB=90°，∵∠BNA=45°，∴∠ANC=45°．26．解：∵点D以每秒1个单位长度的速度由B向A运动，同时点E以每秒2个单位长度的速度由C向B运动，∴BD=t，BE=8﹣2t，∴△BDE∽△BAC时，=，即=，解得t=2.4（秒）；当△BED∽△BAC时，=，即=，解得t=（秒）．综上所述，t的值为2.4秒或秒．27．证明：∵在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=CD，∴∠B=∠C=90°，AB：EC=BE：CF=2：1．∴△ABE∽△ECF．∴AB：EC=AE：EF，∠AEB=∠EFC．∵BE=CE，∠FEC+∠EFC=90°，∴AB：AE=BE：EF，∠AEB+∠FEC=90°．∴∠AEF=∠B=90°．∴△ABE∽△AEF．28．证明：∵∠AEF=∠ABC=90°，∠EAF=∠BAC．∴△EAF∽△BAC，=，即AE•AC=AF•AB．同理可得，△AED∽△ADC，=，即AE•AC=AD2，∴AD2=AF•AB，即=，又∵∠DAF=∠BAD，∴△AFD∽△ADB．29．证明：（1）∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD．在△ABE与△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD；（2）由（1）得△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD，BE=CD．∵M，N分别是BE，CD的中点，∴BM=CN．在△ABM与△ACN中，，∴△ABM≌△ACN，∴AM=AN，∴△AMN为等腰三角形；（3）由（2）得△ABM≌△ACN，∴∠BAM=∠CAN，∴∠BAM+∠BAN=∠CAN+∠BAN，即∠MAN=∠BAC，又∵AM=AN，AB=AC，∴AM：AB=AN：AC，∴△AMN∽△ABC；∵AB=AC，AD=AE，∴AB：AD=AC：AE，又∵∠BAC=∠DAE，∴△ABC∽△ADE；∴△AMN∽△ABC∽△ADE．30．证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∵CE⊥AB，∴∠ADB=∠CEB=90°，又∵∠B=∠B，∴△ABD∽△CBE．。
《相似三角形的判定》练习题
第 1 页《相似三角形的判定》练习题相似三角形的判定1、定义：对应角相等，对应边成比例的三角形相似2、引理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似3、判定定理1：两角对应相等，两三角形相似4、判定定理2：两对应边成比例且夹角相等，则两三角形相似5、判定定理3：三边对应成比例，则两三角形相似6、直角三角形相似的判定定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似一、选择题１、下列各组图形必相似的是（）A 、任意两个等腰三角形B 、两条边之比为2：3的两个直角三角形C 、两条边成比例的两个直角三角形D 、斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形２、如图，CD BC OB OA AOD ,900，那么下列结论成立的是（）A 、OAB ∽OCA B 、OAB ∽ODA C 、BAC ∽BDA D 、以上结论都不对３、点P 是ABC 中AB 边上一点，过点P 作直线（不与直线AB 重合）截ABC ，使得的三角形与原三角形相似，满足这样条件的直线最多有（）A 、2条B 、3条C 、4条D 、5条４、在直角三角形中，两直角边分别为3、4，则这个三角形的斜边与斜边上的高的比是（）A 、1225B 、125C 、45D 、35５、ABC 中，D 是AB 上的一点，在AC 上取一点E ，使得以A 、D 、E 为顶点的三角形与ABC 相似，则这样的点的个数最多是（）A 、0 B 、1 C 、2D 、无数６、如图，正方形ABCD 中，E 是CD 的中点，FC=BC 41，下面得出的六个结论：（1）ABF ∽AEF ；（2）ABF ∽ECF ；（3）ABF ∽ADE ；（4）AEF ∽ECF ；（5）AEF ∽ADE ；（6）ECF ∽ADE ，其中正确的个数是（）A 、1个B 、3个C 、4个D 、5个。
相似三角形的判定分类习题集
相似三角形的判定的习题分类编选一、利用“两角对应相等的两个三角形相似”证明三角形相似.1．如图，〔1〕当∠C=_________时，△OAC∽△OBD．〔2〕当∠B=_________时，△OAC∽△ODB。
(3〕当∠A=_____________，△OAC与△OBD相似．2．如图2，假设∠BEF=∠CDF，则△_____,_∽△_______，△_____∽△______．3．以下各组图形一定相似的是〔〕．A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形4．如图3，已知A〔2，0〕，B〔0，4〕，且∠ACO=•∠BAO，•则点C•的坐标为________5．如图4，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么与△ABC相似的三角形有______个图1 图2 图3 图4 图5 图 66在△ABC中，M是AB上一点，假设过M的直线所截得的三角形与原三角形相似，则满足条件的直线最多有_____条．7．如图5，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，则图中的相似三角形有_______对．8．如图6，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，图中有______对相似三角形9．如图，△ABC和△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上，则图中与△DBE相似的三角形是________．10、如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．写出图中两对相似三角形〔不得添加辅助线〕；并证明这两对三角形相似．11、如图,⊿ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F.(1)求证：⊿ABD≌⊿BCE。
(2)求证：⊿AEF∽⊿BEA (3)求证：BD2=AD·DF。
12、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. 〔1〕求证：△ADF∽△DEC。
相似三角形的判定及习题
相似三角形的判定练习1、相似三角形1）定义：如果两个三角形中，三角对应相等，三边对应成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。
几种特殊三角形的相似关系：两个全等三角形一定相似。
两个等腰直角三角形一定相似。
两个等边三角形一定相似。
两个直角三角形和两个等腰三角形不一定相似。
补充：对于多边形而言，所有圆相似；所有正多边形相似（如正四边形、正五边形等等）；2）性质：两个相似三角形中，对应角相等、对应边成比例。
3）相似比：两个相似三角形的对应边的比，叫做这两个三角形的相似比。
如△ABC与△DEF相似，记作△ABC ∽△DEF。
相似比为k。
4）判定：①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。
②三角形相似的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．(此定理用的最多)判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．直角三角形相似判定定理:○1.斜边与一条直角边对应成比例的两直角三角形相似。
○2.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似，并且分成的两个直角三角形也相似。
补充一：直角三角形中的相似问题：斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD，AC²=AD·AB，BC²=BD·BA（在直角三角形的计算和证明中有广泛的应用）.补充二：三角形相似的判定定理推论推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。
(完整版)相似三角形的判定基础训练及答案
、选择题1.下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（）（1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似.A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个2 .下列命题中正确的有（）①有一个角等于80°的两个等腰三角形相似；②两边对应成比例的两个等腰三角形相似；③有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；④底边对应相等的两个等腰三角形相似.A. 0个 B . 1个C . 2个D . 3个3.如图，△ ABC中，AE交BC于点D,/ C=Z E, AD=4, BC=8 BD DC=5 3，贝U DE的长等于（）fl 20B15 c16D17A. C34344 .如图，给出下列条件：① B ACD :② ADC其中单独能够判定△ ABC ACD的个数为（）A、1 B 、2 C 、3 D 、4P为AB上一点，连结CP,不能判断厶ABS A ACP的是(AC AB./ APC=/ ACB C . = -AP AC相似三角形的判定基础训练ABC相似的是（）5.如图小正方形的边长均为I，则下列图中的三角形（阴影部分）与厶6 .下列四个选项中的三角形，与图中的三角形相似的是（）LABC中,在厶r■LrD7 .如图, D为AC边上一点，/ DBC=/ A, BC= .6 , AC= 3，贝U CD的长为（ACB :③ AC AB:④ AC2 AD AB . CD BC)AC = CpAB BCB2ABCA. / ACF^Z B B9 .如图，在△ ABC中,10 CDE// BC,若AB.11 D . 12AD 1—=-,DE= 4,贝U BC的值为(310.如图，在△A . 9 B那么下列条件中，不能判断△ADABABC中,DE与BC不平行,A.Z ADE N C .上AED玄B AD AEAC ABDE DBC)正方形都相似;11.下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有((1)菱形都相似；(2)等腰直角三角形都相似；A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个12 .如图，已知Z 仁Z 2,那么添加下列一个条件后，仍无法判定△A AB AC DA . = BAB BC(3) (4)矩形都相似.ABC ADE的是(C . Z B=ZD D .Z C=Z AEDAD DEA.些ADACBAE那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABADABC^A ADE的是(14 .如图, 在厶ABC中, DE// BC,BCC .DE.AD 1AEDB . 10C 11ABD3.12DE= 4,贝UBC的值为(E分别在边AB , AC 上，DE // BC ,AE=6 ,则 EC 的长是（ ）A.4.5 B.8 C.10.5 D.1416.如图，在口 ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线 BD 于点F ,则EF ： FC 等于（） A . 3 : 2 B . 3 : 1 C . 1 : 1 D . 1 : 217.如图，为了测量一池塘的宽 DE 在岸边找一点 C,测得CD=30m 在DC 的延长线上找一点 A ,测得AC=5m 过点A 作AB// DE,交EC 的延长线于B ,测得AB=6m 则池塘的宽 DE %（ ）18 •如图，A, B 两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量 A, B 间的距离，但绳子不够长，一位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到达 A , B 的点C ,找到AC BC 的中点D, E ,并且测出DE 的长为10m 贝U A , B 间的距离为（）.A. 15m B . 25m C . 30m D . 20m19.如图，在 Rt △ ABC 中，/ ACB=90 , CD!AB 于点 D,如果 AC=3, AB=6，那么 AD 的值为（ ）A . 25mB .30m20. 如图，下列条件不能判定△ADB^A ABC的是（）5 .如_________ 使得△ ADE^AACBA . / ABD=/ ACB B ./ ADB 玄 ABC C. AE^ADPACD . AB BC 21.如图，在矩形 ABCD中, E 、F 分别是CD BC 上的点，若/ AEF=90°,则一定有 (△ ECF^A AEF C. A ADE^A ECF D. A AEF^A ABFABC 和△ EPD 的顶点均在格点上，要使△ AB3A EPD 则点P 所在的格点为（ ）D. P i 23 .如图，P 是Rt △ ABC 的斜边BC 上异于B , C 的一点，过 P 点作直线截△ ABC 使截得的三角形与△ ABCt 目24 .如图，P 是Rt △ ABC 斜边AB 上任意一点（A , B 两点除外），过P 点作一直线，使截得的三角形与Rt A ABC 相似，这样的直线可以作（）A 1条B . 2条C . 3条 D . 4条二、填空题1.如图，在△ ABC 中, DE// BC, EC = 2AE, BD= 6,贝U AD= _________ .A. △ ADEEV A AEFB.)。
相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)
相似三角形性质与判定专项练习30题(有答案)1.在三角形ABC中，点D在边BC上，且∠BAC=∠DAG，∠XXX∠BAD。
证明：=。
当GC⊥BC时，证明：∠BAC=90°。
2.在三角形ABC中，∠ACB=90°，点D在边BC上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F分别是垂足。
证明：AC^2=AF•AD。
联结EF，证明：AE•DB=AD•EF。
3.在三角形ABC中，PC平分∠ACB，PB=PC。
证明：△APC∽△ACB。
若AP=2，PC=6，求AC的长。
4.在平行四边形ABCD中，过B作BE⊥CD，垂足为点E，连接AE，F为AE上一点，且∠XXX∠C。
证明：△ABF∽△EAD。
若AB=4，∠BAE=30°，求AE的长。
5.在三角形ABC中，∠ABC=2∠C，BD平分∠ABC。
证明：AB•BC=AC•CD。
6.在直角三角形ABC中，AC=BC，点E、F在AB上，∠ECF=45°，设△ABC的面积为S。
说明AF•BE=2S的理由。
7.在等边三角形ABC中，边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P。
若AE=CF，证明：AF=BE，并求∠APB的度数。
若AE=2，试求AP•AF的值。
若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长。
8.在钝角三角形ABC中，AD，BE是边BC上的高。
证明。
9.在三角形ABC中，AB=AC，DE∥BC，点F在边AC 上，DF与BE相交于点G，且∠XXX∠ABE。
证明：（1）△DEF∽△BDE；（2）DG•DF=DB•EF。
10.在等边三角形ABC、△DEF中，点D为AB的中点，E在BC上运动，DF和EF分别交AC于G、H两点，BC=2.问E在何处时CH的长度最大？11.在AB和CD交于点O的图形中，当∠A=∠C时，证明：OA•OB=OC•OD。
12.在等边三角形△AEC中，以AC为对角线做正方形ABCD（点B在△AEC内，点D在△AEC外）。
相似三角形的判定与性质练习题(附答案)
相似三角形的判定与性质练习题一、单选题1.如果两个相似三角形的相似比是1:2, 那么这两个相似三角形的面积比是( ) A.2:1 B. 1:2C.1:2D.1:42.如图,点D 是△ABC 的边AB 上的一点,过点D 作BC 的平行线交AC 于点E,连接BE,过点D 作BE 的平行线交AC 于点F,则下列结论错误的是( )A. AD AE BD EC= B. AF DF AE BE= C. AE AF EC FE= D. DE AF BC FE = 3.下列四条线段中，不能组成比例线段的是（ ）A.3,6,2,4a b c d ====B.1,2,3,6a b c d ====C.4,6,5,10a b c d ====D.2,5,23,15a b c d ====4.如图,在ABC ∆中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,下列条件中不能判断ABC AED ~△△ ( )A. AED B ∠=∠B. ADE C ∠=∠C. AD AC AE AB =D. AD AE AB AC= 5.如图27-4-4,在四边形ABCD 中,BD 平分,90,ABC BAD BDC E ∠∠=∠=°为BC 的中点，AE 与BD 相交于点F.若4,30BC CBD =∠=°，则DF 的长为( )A.235B.233C.334D.4356.如图,在中,E是边AD的中点,EC交对角线BD于点F,则:EF FC等于( )A.3:2B.3:1C.1:1D.1:27.如图，点A，B，C，D的坐标分别是(1,7)，(11)，，(41)，，(61)，，以C，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（）A.(60)，B.(63)，C.(65)，D.(42)，8.如图,在正方形网格上,若使△ABC∽△PBD,则点P应在处( )A.P1B.P2C.P3D.P49.如图所示,在平行四边形ABCD中,AC与BD相交于点O,E为OD的中点,连接AE并延长交DC于点F,则DF:FC=( )A.1:3B.1:4C.2:3D.1:210.如图,在等边三角形ABC 中,D 、E 分别在AC 、AB 上,且AD ︰AC=1︰3,AE=BE,则有( )A.△AED∽△BEDB.△AED∽△CBDC.△AED∽△ABDD.△BAD∽△BCD11.如图所示,四边形ABCD 是正方形,E 是CD 的中点,P 是BC 边上的一点,下列条件:①∠APB=∠EPC;②∠APE=∠APB;③P 是BC 的中点;④BP:BC=2:3.其中能推出△ABP∽△ECP 的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个12.如图，在ABC △中，CB CA =，90ACB ∠︒＝，点D 在边BC 上（与,B C 不重合），四边形ADEF 为正方形，过点F 作FG CA ⊥，交CA 的延长线于点G ，连接FB ，交DE 于点Q ，给出以下结论:AC FG =；四边形1:2FAB 四边形CBFG S :S ＝△③ABC ABF ∠=∠；④2AD FQ AC =，其中正确结论有（ ） A.1个 B.2个C.3个D.4个13.如图，点A 在线段BD 上.在BD 的同侧作等腰Rt ABC △和等腰Rt ADE △,CD 与BE ,AE 分别交于点,P M .对于下列结论:① BAE CAD △△;②MP MD MA ME ⋅=⋅;③22CB CP CM =⋅.其中正确的是( )A.①②③B.①C.①②D.②③14.如图,在平行四边形ABCD 中, E 为CD 上一点,连接AE 、BE 、BD ,且AE 、BD 交于点F ,:4:25DEF ABF S S ∆∆=,则:?DE EC = ( ) A. 2:3B. 2:5C. 3:5D. 3?:?2二、证明题15.如图，已知,,B C E 三点在同一条直线上，ABC △与DCE △都是等边三角形.其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F ，连接GF .求证：（1）ACE BCD ≅△△；（2）AG AF GC FE=. 16.如图，在等边三角形ABC 中，点P 是BC 边上任意一点，AP 的垂直平分线分别交,AB AC 于点,M N .求证：BP CP BM CN ⋅=⋅.17.如图，D BC 已知是边上的中点，且AD AC =，DE BC ⊥，DE BA E 与相交于点，EC AD F 与相交于点.（1）求证:ABC FCD △△；（2）若5FCD S =△，10BC ＝，求DE 的长18.如图，已知AD 平分BAC ∠， AD 的垂直平分线EP 交BC 的延长线于点P .求证：2.PD PB PC =⋅19.如图，//AB FC ，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE FE =，分别延长FD 和CB 交于点G（1）求证:ADE CFE ≅△△；（2）若2GB =，4BC =，1BD =，求AB 的长.20.如图，在ABCD 中，,AM BC AN CD ⊥⊥，垂足分别为,M N .求证：（1）AMB AND △△；（2）AM MN AB AC=. 三、解答题21.如图，在4x3的正方形方格中,ABC △和DEC △的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1) 填空:ABC ∠= ,BC = ;(2) 判断ABC △和DEC △是否相似，并证明你的结论.22.如图,在平面直角坐标系中,已知OA=12厘米,OB=6厘米,点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以1厘米/秒的速度移动;点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以1厘米/秒的速度移动.如果P,Q 同时出发,用t(秒)表示移动的时间(0≤t≤6),那么1.设△POQ 的面积为y,求y 关于t 的函数关系式;2.当t 为何值时,△POQ 与△AOB 相似.23.如图，已知矩形ABCD 的一条边8AD =，将矩形ABCD 折叠，使得顶点B 落在CD 边上的P 点处.已知折痕与边BC 交于点O ，连接,,.AP OP OA(1)求证:OCP PDA △△;(2)若OCP △与PDA △的面积比为1:4，求边AB 的长.24.如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3y x =-+与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点45(,)33A ,点D 的坐标为(0)1，.(1)求直线AD 的解析式;(2)直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点(不与点B 重合)，当BOD △与BCE △相似时，求点E 的坐标. 25.如图，在矩形ABCD 中，12AB = cm ，6BC = cm ，点P 沿AB 边从点A 开始向点B 以2cm/s 的速度移动，点Q 沿DA 边从点D 开始向点A 以1cm/s 的速度移动.如果P ，Q 同时出发，用()t s 表示移动的时间（06t ≤≤），那么:（1）当t 为何值时，QAP △为等腰直角三角形？（2）对四边形QAPC 的面积，提出一个与计算结果有关的结论（3）当t 为何值时，以点Q ，A ，P 为顶点的三角形与ABC △相似？四、填空题26.如图,在直角梯形ABCD 中, 90ABC ∠=,//AD BC ,4AD =,5AB =,6BC =,点P 是AB 上一个动点,当PC PD +的和最小时, PB 的长为__________.27.如图,若AB∥CD,则△__________∽△__________,__________=__________=AO CO.28.如图,在等边三角形ABC 中,点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上,且90ADF BED CFE ∠=∠=∠=︒,则DEF ∆与ABC ∆的面积之比为__________ 29.已知578a b c ==，且329a b c -+=，则243a b c +-的值为 . 30.如图，已知在Rt ABC △中，5,3AB BC ==，在线段AB 上取一点D ，作DE AB ⊥交AC 于E ，将ADE △沿DE 析叠，设点A 落在线段BD 上的对应点为11,A DA 的中点为,F 若1FEA FBE △△，则AD= .31.已知:如图,在△ABC 中,点A 1,B 1,C 1分别是BC 、AC 、AB 的中点,A 2,B 2,C 2分别是B 1C 1,A 1C 1,A 1B 1的中点,依此类推….若△ABC 的周长为1,则△A n B n C n 的周长为__________.32.如图，正三角形ABC 的边长为2，以BC 边上的高1AB 为边作正三角形11AB C ，ABC △与1ABC △公共部分的面积记为1S ，再以正三角形11AB C 的边1C 上的高2AB 为边作正三角形22AB C ，11AB C △与22AB C △公共部分的面积记为2S ，……，以此类推，则n S ＝ .（用含n 的式子表示，n 为正整数）33.如图，在正方形ABCD 中，点E 是BC 边上一点，且 : 2:1,BE EC AE =与BD 交于点F ，则AFD △与四边形DFEC 的面积之比是 .34.如图,在△ABC 中,∠C=90°,BC=16cm,AC=12cm,点P 从点B 出发,沿BC 以2 cm /s 的速度向点C 移动,点Q 从点C 出发,以1cm/s 的速度向点A 移动,若点P 、Q 分别从点B 、C 同时出发,设运动时间为ts,当t=__________时,△CPQ 与△CBA 相似.35.如图，在正方形ABCD 中，E 是BC 的中点，F 是CD 上一点，且1,4CF CD =下列结论: ①30BAE ∠=°; ②;ABE ECF △△③AE EF ⊥; ④ADF ECF △△.其中正确结论是 .(填序号)36.如图27-4-9,在ABC △中,90,8m 10m,C BC AB ∠===,°点 P 从B 点出发,沿BC 方向以2m/s 的速度移动,点Q 从C 出发,沿CA 方向以1m/s 的速度移动.若P Q 、同时分别从B C 、出发,经过____________s,CPQ CBA △△~.37.如图24-4-10,ABC △的两条中线AD 和BE 相交于点G ,过点E 作//EF BC 交AD 于点F ,则FG AG=________.参考答案1.答案：C解析：2.答案：D解析：3.答案：C解析：A 选项，因为3:62:4=，所以,,,a b c d 四条线段成比例B 选项，因为1232,2226==，所以,,,a b c d 四条线段成比例C 选项，因为4:56:10≠，所以,,,a b c d 四条线段不成比例D 选项，因为2252325,55515==，所以,,,a b c d 四条线段成比例故选C 4.答案：D解析：∵DAE CAB ∠=∠,∴当AED B ∠=∠或ADE C ∠=∠时,由两角分别相等的两个三角形相似,可以得出ABC AED ~△△;当AD AC AE AB=时,由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,可得ABC AED ~△△. 只有选项D 中条件不能判断ABC AED ~△△,故选D.5.答案：D解析：如图，在Rt BDC △中，4,30,BC CBD =∠=°2,2 3.CD BD ∴=∴=连接,90,DE BDC ∠=°，点E 是BC 中点,1 2.2DE BE CE C ∴====30,30,CBD BDE DBC ∠=∴∠=∠=°°,30,BD CBC ABD DBC ∠∴∠=∠=°,//,,ABD BDE DE AB DEF BAF ∴∠=∠∴∴△△~.DF DE BF AB ∴=在Rt ABD △中，230,23,3,,3DF ABD BD AD BF ∠==∴=∴=°22243,23,5555DF DF BD BD ∴=∴==⨯=故选D.6.答案：D解析：在中, //AD BC ,∴DEF BCF ∆~∆,∴DE EF BC CF=. ∴点E 是边AD 的中点, ∴12AE DE AD ==, ∴12EF CF =. 7.答案：B解析：ABC ∆中, 90,6,3,:2ABCAB BC AB BC ∠====. A 、当点E 的坐标为()6,0时, 90,2,1CDE CD DE ∠===,则::,AB BC CD DE CDE ABC =∆~∆,故本选项不符合题意; B 、当点E 的坐标为()6,3时, 90,2,2CDE CD DE ∠===,则::,AB BC CD DE CDE ≠∆与ABC ∆不相似,故本选项符合题意; C 、当点E 的坐标为()6,5时, 90,2,4CDE CD DE ∠===,则::,AB BC DE CD EDC ABC =∆~∆,故本选项不符合题意; D 、当点E 的坐标为()4,2时, 90,2,1ECD CD CE ∠===,则::,?AB BC CD CE DCE ABC =∆~∆,故本选项不符合题意; 故选:B.8.答案：C解析：从图中可知，要使△ABC 与△PBD相似，根据勾股定理，得BC =BD =12BC AB BD BP ===,因为AB=2，那么BP=4，故选择P 3处 . 考点：相似三角形点评：该题主要考查学生对相似三角形概念的理解，以及对其性质的应用。
相似三角形判定专项练习题
相似三角形判定专项练习题1.在正方形ABCD中，点E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF=3FD。
我们需要判断△ABE与△DEF是否相似。
显然，因为AE=EB，且DE平行于AB，所以我们可以得出△ABE与△DEF相似。
2.在正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AE=EB。
我们需要证明△AED∽△CBD。
因为AD=DC，且∠AED=∠CBD=60°，所以根据相似三角形的性质，我们可以得出△AED∽△CBD。
3.在图中，已知∠1=∠2，且AB·ED=AD·BC。
我们需要判断△ABC与△ADE是否相似。
因为∠1=∠2，所以AD与BC平行。
又因为AB·ED=AD·BC，所以根据相似三角形的性质，我们可以得出△ABC∽△ADE。
4.已知：在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别为AB、CB延长线上的点，CE=9，AD=15，连接DE。
若BC=6，AC=8，我们需要证明△ABC∽△DBE。
因为∠C=90°，所以根据勾股定理，可以得出AB=10.又因为AD=15，所以BD=5.因为CE=9，BC=6，所以BE=3.又因为DE平行于AC，所以根据相似三角形的性质，我们可以得出△ABC∽△DBE。
5.在图中，点D在等边△ABC的BC边上，△ADE为等边三角形，DE与AC交于点F。
我们需要证明△ABD∽△DCF。
因为△ABC和△ADE都是等边三角形，所以∠BAC=∠DAE=60°。
又因为DE与AC交于点F，所以∠DFC=∠BAC=60°。
因为△ABD和△DCF都有∠DBC=∠FCD=90°，所以根据相似三角形的性质，我们可以得出△ABD∽△DCF。
6.在图中，CD、BE分别是锐角△ABC中AB、AC边上的高线，垂足为D、E。
我们需要证明△ADC∽△AEB。
因为CD和BE是高线，所以AD=AE。
又因为∠ADC=∠AEB=90°，所以根据相似三角形的性质，我们可以得出△ADC∽△AEB。
相似三角形判定练习题及答案
相似三角形判定练习题及答案相似三角形一．解答题1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．求证：△CDF∽△BGF；当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长．3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．求证：△ABC∽△FDE．4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE 于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点．求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出中的两个结论是否仍然成立；在的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ；判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B 点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s 的速度向A点匀速运动，问：经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD 相似？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；请你任选一组相似三角形，并给出证明．10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE．写出图中所有相等的线段，并加以证明；图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由；求△BEC与△BEA的面积之比．11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P，交AB于Q．求四边形AQMP的周长；写出图中的两对相似三角形；M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论．12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP．相似三角形的判定练习题1．△ABC和△ABC中，AB=9cm，BC=8cm，CA=5cm，A′B′=4.5cm，B′C′=2.5cm，C?′A′=4cm，则下列说法错误的是．A．△ABC与△A′B′C′相似 B．AB与A′B是对应边 C．两个三角形的相似比是2：1D．BC与B′C′是对应边2．若△ABC的各边都分别扩大到原来的2倍，得到△A1B1C1，下列结论正确的是． A．△ABC与△A1B1C1的对应角不相等 B．△ABC与△A1B1C1不一定相似 C．△ABC 与△A1B1C1的相似比为1：D．△ABC与△A1B1C1的相似比为2：1．△ABC与△A′B′C′满足下列条件，△ABC与△A′B′C′不一定相似的是． A．∠A=∠A′=45°38′，∠C=26°22′，∠C′=108°B．AB=1，AC=1.5，BC=2，A′B′=12，B′C′=8，A′C′=1 C．BC=a，AC=b，AB=c，A′B′B`C`?A`C`? D．AB=AC，A′B′=A′C′，∠A=∠A′=40°4．如图，小正方形的边长均为1，则右图中的三角形?与△ABC相似的是．5．△ABCA1B1C1的两边长分别为11B1C1的第三边长为 _______时，△ABC与△A1B1C1相似．6．如图，在正方形网格上，每个小正方形的边长为a，那么△ABC与△A1B1C1?是否相似？7．如图，在网格中画出与已知三角形相似的三角形，并使相似比为8、如图，AD⊥AC，BC⊥AC，AB与CD相交于点E，过E点作EF⊥AC，交AC于F，写出图中所有相似的三角形，并说明你的理由。
相似三角形的判定(两角)经典练习题
专题一相似多边形．选择题（共11小题）1．下列说法正确的是（）A．矩形都是相似图形B．各角对应相等的两个五边形相似C．等边三角形都是相似三角形D．各边对应成比例的两个六边形相似2．下列说法正确的是（）A．菱形都相似B．正六边形都相似C．矩形都相似D．一个内角为80°的等腰三角形都相似4．对一个图形进行放缩时，下列说法中正确的是（）A．图形中线段的长度与角的大小都会改变B．图形中线段的长度与角的大小都保持不变C．图形中线段的长度保持不变、角的大小可以改变D．图形中线段的长度可以改变、角的大小保持不变5．下列图形一定是相似图形的是（）A．两个矩形B．两个等腰三角形 C．两个直角三角形D．两个正方形6．若将一个正方形的各边长扩大为原来的4倍，则这个正方形的面积扩大为原来的（）A．16倍B．8倍C．4倍D．2倍7．利用复印机的缩放功能，将原图中边长为5cm的一个等边三角形放大成边长为20cm的等边三角形，则放大前后的两个三角形的面积比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：168．已知五边形ABCDE∽五边形FGHIJ，相似比为1：2，若五边形ABCDE的周长和面积分别为6和15，则五边形FGHIJ的周长和面积分别为（）A．12和30 B．12和60 C．24和30 D．24和609．如果五边形ABCDE∽五边形POGMN且对应高之比为3：2，那么五边形ABCDE和五边形POGMN的面积之比是（）10题11题A．2：3 B．3：2 C．6：4 D．9：410．如图，已知矩形ABCD中，AB=3，BE=2，EF⊥BC．若四边形EFDC与四边形BEFA相似而不全等，则CE=（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.511．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E、F两点分别在AB、DC上．若AE=4，EB=6，DF=2，FC=3，且梯形AEFD与梯形EBCF 相似，则AD与BC的长度比为何？（）A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．4：912．如图，在矩形ABCD中，E，F分别为，AD与BC的中点，且矩形ABCD∽矩形AEFB，的值为（）12题14题15题A ．2B ．C ．D ． 13．两个相似多边形的面积之比为5，周长之比为m ，则为（ ）A ． 1 B ． C ． D ．5 14．如图，梯形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、DC 两腰上的点，且EF ∥BC ．若AE=2，AB=5，且梯形AEFD 与梯形EBCF 相似，则BC 与AD 的比值为（ ）A ． B ． C ． D ．二．填空题（共1小题）15．如图，已知矩形ABCD ∽矩形BCFE ，AD=AE=1，则AB 的长为 ．三．解答题（共1小题）13．如图，四边形ABCD 为平行四边形，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，过点E 作EF ∥AB ，交AD 于点F ，连接BF ．（1）求证：BF 平分∠ABC ；（2）若AB=6，且四边形ABCD ∽四边形CEFD ，求BC 长．专题二 角证明相似练习2．已知：如图，∠1=∠2=∠3，求证：△ABC ∽△ADE ．4已知：如图，△ABC 的高AD 、BE 交于点F ．求证：FDE F BF AF ．已知：如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高。
相似三角形的判定经典练习题三套
相似三角形的判定经典练习题三套A 卷：1、已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是其余两数的比例中项，第三个数是(只需写出一个即可).2、在△ABC 中，AB=8，AC=6，点D 在AC 上，且AD=2，若要在AB 上找一点E ，使△ADE 与原三角形相似，那么AE= 。
3、如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB ，那么可添加的条件是4、已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件，使ΔABC 与ΔAED 相似. (只需添加一个你认为适当的条件即可). 5、下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中正确的是 (把你认为正确的说法的序号都填上). 6、如图，在直角坐标系中有两点A(4,0)、B(0,2)，如果点C 在x 轴上(C 与A 不重合)，当点C 的坐标为 或 时，使得由点B 、O 、C 组成的三角形与 ΔAOB 相似(至少写出两个满足条件的点的坐标).7、下列命题中正确的是 （ ）①三边对应成比例的两个三角形相似②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似A 、①③B 、①④C 、①②④D 、①③④ 8、如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ）A AC AE AB AD = B FB EA CF CE =C BD AD BC DE = D CB CF AB EF =9、如图，D 、E 分别是AB 、AC 上两点，CD 与BE 相交于点O ，下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是 （ ）A. ∠B=∠CB. ∠ADC=∠AEBC. BE=CD ，AB=ACD. AD ∶AC=AE ∶AB10、在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF=90°，则一定有 （ ） A ΔADE ∽ΔAEF B ΔECF ∽ΔAEF C ΔADE ∽ΔECF D ΔAEF ∽ΔABF11、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形 （ ） A 1对 B 2对 C 3对 D 4对12、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）① ② ③ ④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④.13、如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC ，②ΔBCD ，③ΔBDE ，④ΔBFG ，⑤ΔFGH ，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（ ）(A)②③④ (B)③④⑤ (C)④⑤⑥ (D)②③⑥14、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A 1B 1C 1，使ΔA 1B 1C 1与格点三角形ABC 相似(相似比不为1). 15、如图，ΔABC 中，BC=a .(1)若AD 1=31AB ，AE 1=31AC ，则D 1E 1= ； (2)若D 1D 2=31D 1B ，E 1E 2=31E 1C ，则D 2E 2= ；(3)若D 2D 3=31D 2B ，E 2E 3=31E 2C ，则D 3E 3= ；…… (4)若D n -1D n =31D n -1B ，E n -1E n =31E n -1C ，则D n E n = . 16、如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm ，AB=4cm ，如果图中的两个直角三角形相似，求AD 的长.17、已知：如图，在正方形ABCD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ， Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似？为什么？B 卷：1、如图，在平行四边形ABCD 中，AB=8cm ，AD=4cm ，E 为AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ， 则AF= ______cm 。
专题02 相似三角形的判定与性质(六大类型)(题型专练)(原卷版)
专题02 相似三角形的判定与性质（六大类型）【题型1 相似三角形的概念】【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】【题型4 两角对应相等，两三角形相似】【题型5 相似三角形的性质】【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】【题型1 相似三角形的概念】1．（2023春•阳信县月考）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则在网格图中的三角形与△ABC相似的是（）A．B．C．D．2．（2022秋•道外区期末）下列三角形一定相似的是（）A．两个等腰三角形B．两个等边三角形C．两个直角三角形D．有一角为70°的两个等腰三角形3．（2022秋•武城县期末）下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（）A．2组B．3组C．4组D．5组4．（2022秋•承德县期末）如图所示，网格中相似的两个三角形是（）A．①与②B．①与③C．③与④D．②与③5．（2022秋•襄都区校级期末）下列判断中，不正确的有（）A．三边对应成比例的两个三角形相似B．两边对应成比例，且有一个角相等的两个三角形相似C．斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似D．有一个角是100°的两个等腰三角形相似【题型2 三边对应成比例，两三角形相似】6．（2022秋•常州期末）如图，△ABC∽△DEF，则DF的长是（）A．B．C．2D．3 7．（2023•陇南模拟）两个相似三角形的相似比是4：9，则其面积之比是（）A．2：3B．4：9C．9：4D．16：81 8．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，△ABO∽△CDO，若BO＝6，DO＝3，AB＝4，则CD的长是（）A．1B．2C．3D．49．（2022秋•鼓楼区期末）已知△ABC∽△DEF，若△ABC的三边分别长为6，8，10，△DEF的面积为96，则△DEF的周长为．10．（2023•惠城区校级一模）若△ABC∽△DEF，△ABC的面积为81cm2，△DEF的面积为36cm2，且AB＝12cm，则DE＝cm．11．（2022秋•于洪区期末）两个相似三角形的周长比是3：4，其中较小三角形的面积为18cm2，则较大三角形的面积为cm2．12．（2022秋•鸡西期末）如果两个相似三角形的周长比为1：6，那么这两个三角形的面积比为．13．（2023•长宁区一模）如果两个相似三角形的面积比是1：9，那么它们的周长比是．14．（2022秋•内乡县期末）如图，已知△ABC∽△ADE，AD＝6，BD＝3，DE ＝4，则BC＝．15．（2022秋•零陵区期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC 的面积为12cm2，则△A′B′C′的面积为cm2．【题型3两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似】16．（2022秋•仓山区校级月考）如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，AB＝8，BD＝5，AC＝6，CE＝2，求证：△ADE∽△ACB．17．（2021秋•武陵区期末）如图，已知∠BAE＝∠CAD，AB＝18，AC＝48，AE＝15，AD＝40．求证：△ABC∽△AED．18．（2022秋•丰泽区校级期中）如图，E是△ABC的边BC上的点，已知∠BAE ＝∠CAD，，AB＝18，AE＝15．求证：△ABC∽△AED．19．（2022春•丰城市校级期末）如图，已知∠B＝∠E＝90°，AB＝6，BF＝3，CF＝5，DE＝15，DF＝25．求证：△ABC∽△DEF．【题型4 两角对应相等，两三角形相似】20．（2022秋•蚌山区月考）已知：如图D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，∠A＝40°，∠C＝80°，∠AED＝60°，求证：△ADE∽△ACB．21．（2022秋•龙胜县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高．求证：△ABC∽△CBD．22．（2022•江夏区模拟）如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD．求证：△ABC∽△DEC．23．（2021秋•晋江市校级期末）如图，在△ABC中，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝AB，∠DEC＝∠B．求证：△AED∽△ADC．24．（2022•南昌模拟）如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是∠ABC 的平分线．求证：△ABC∽△BDC．【题型5 相似三角形的性质】25．（2020秋•思南县校级月考）判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．26．（大观区校级期中）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 和△DEF的顶点都在格点上，请判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由．【题型6相似三角形的性质与判定综合应用】27．（2022秋•历城区校级月考）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝4，AE＝2，AC＝8．（1）求CD的长；（2）求证：△ABE∽△ACB．28．（2023•殷都区一模）如图，O是直线MN上一点，∠AOB＝90°，过点A 作AC⊥MN于点C，过点B作BD⊥MN于点D．（1）求证：△AOC∽△OBD；（2）若OA＝5，OC＝OD＝3，求BD的长．29．（2023•西湖区校级二模）如图，在菱形ABCD中，点M为对角线BD上一点，连接AM并延长交BC于点E，连接CM．（1）求证：CM＝AM．（2）若∠ABC＝60°，∠EMC＝30°，求的值．30．（2023•港南区四模）如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB．（1）求证：△DFC∽△AED；（2）若CD＝AC，求的值．31．（2023春•鼓楼区校级期末）如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足∠CBD＝∠A．（1）证明：△BCD∽△ABD；（2）若BC：AB＝3：5，AC＝16，求BD的长．32．（2022秋•顺平县期末）矩形ABCD中，E为DC上的一点，把△ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的点F．（1）求证：△ABF∽△FCE；（2）若AB＝4，AD＝8，求CE的长．33．（2022秋•南京期末）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD 上，AE，BF交于点G．（1）若＝，求证AE⊥BF；（2）若E，F分别是BC，CD的中点，则的值为．34．（2023•桐乡市校级开学）如图，已知△ABC和△AED，边AB，DE交于点F，AD平分∠BAC，AF平分∠EAD，．（1）求证：△AED∽△ABC；（2）若BD＝3，BF＝2，求AB的长．35．（2022秋•海陵区校级期末）如图，矩形DEFG的四个顶点分别在等腰三角形ABC的边上．已知△ABC的AB＝AC＝10，BC＝16，记矩形DEFG的面积为S，线段BE为x．（1）求S关于x的函数表达式；（2）当S＝24时，求x的值．36．（2022秋•平城区校级期末）如图，已知在△ABC中，边BC＝6，高AD＝3，正方形EFGH的顶点F，G在边BC上，顶点E，H分别在边AB和AC上，求这个正方形的边长．。
完整版相似三角形性质与判定专项练习30题有答案
相似三角形性质和判定专项练习30题(有答案) 1 已知：如图，在△ ABC中，点D在边BC上，且/ BAC= / DAG , / CDG= / BAD2.如图，已知在△ ABC中，/ ACB=90 °点D在边BC上，CE丄AB , CF丄AD , E、 (1)求证：AC2=AF?AD；F分别是垂足.(1)求证：丄丄厶；AB AC(2)当GC丄BC 时，求证：/ BAC=90 °4. 如图，在平行四边形ABCD中，过B作BE丄CD，垂足为点E,连接AE , F为AE上一点，且 / BFE= / C.(1)求证：△ ABF EAD ;(2)若AB=4 , / BAE=30 ° 求AE 的长.E5. 已知：如图，△ ABC 中，/ ABC=2 / C, BD 平分/ABC . 求证：AB?BC=AC?CD .6. 已知△ ABC , / ACB=90 ° AC=BC，点E、F 在AB 上，/ ECF=45 ° 设厶ABC 的面积为S,说明AF?BE=2S7 •等边三角形 ABC 的边长为6,在AC , BC 边上各取一点 E , F ,连接AF ,BE 相交于点P . (1) 若 AE=CF ;① 求证：AF=BE ，并求/ APB 的度数； ② 若AE=2，试求 AP?AF 的值；(2) 若AF=BE ，当点E 从点A 运动到点C 时，试求点P 经过的路径长.9. 已知：如图，在 △ ABC 中，AB=AC , DE // BC ,点F 在边AC 上, DF 与BE 相交于点 G ,且/ EDF= / ABE . 求证：(1) △ DEFBDE ； (2) DG?DF=DB?EF .&如图所示，AD , BE 是钝角△ ABC 的边BC , AC 上的高，求证:AD =AC BE =BC3 C10. 如图，△ ABC 、△ DEF 都是等边三角形，点 D 为AB 的中点，E 在BC 上运动，DF 和EF 分别交AC 于G 、H 两点，BC=2，问E 在何处时CH 的长度最大？12 .如图，已知等边三角形 △ AEC ，以AC 为对角线做正方形 ABCD (点B 在厶AEC 内，点D 在厶AEC 夕卜).连接 EB ,过E 作EF 丄AB ，交AB 的延长线为 F .(1) 猜测直线BE 和直线AC 的位置关系，并证明你的猜想. (2) 证明：△ BEF ABC ，并求出相似比.OA?OB=OC?OD .13. 已知：如图， △ ABC 中，点D 、E 是边AB 上的点,(1)求证：△ CEDACD ; 2CD 平分 / ECB ，且 BC =BD ?BA .O ,当/ A= / C 时，求证: A D14. 如图，△ ABC中，点D、E分别在BC和AC边上，点G是BE边上一点，且 / BAD= / BGD= / C,联结AG .(1)求证：BD?BC=BG ?BE ;(2)求证：/ BGA= / BAC .15. 已知：如图，在△ ABC中，点D是BC中点，点E是AC中点，且AD丄BC, BE丄AC , BE, AD相交于点G , 过点B 作BF // AC交AD的延长线于点F, DF=6 .(1)求AE的长；(2)求邑匹的值.^AFBG16 .如图，△ ABC 中，/ ACB=90 ° D 是AB 上一点，M 是CD 中点，且/ AMD= / BMD , AP // CD 交BC 延长线于P 点，延长BM交PA于N点，且PN=AN .(1)求证：MN=MA ;(2)求证：/ CDA=2 / ACD .连接AE ，若AB=6 , AE=5时，求线段 AG 的长.17. 已知：如图，在 △ ABC 中，已知点 D 在BC 上，联结 AD ，使得/ CAD= / B , DC=3且S A ACD : S A ADB = 1 : 2. (1)求AC 的值；(2) 若将△ ADC 沿着直线AD 翻折，使点 C 落点E 处，AE 交边BC 于点F ，且AB // DE ，求18. 在△ ABC 中，D 是BC 的中点，且 AD=AC , DE 丄BC ,与AB 相交于点E , EC 与AD 相交于点F . (1)求证：△ ABC FCD ;(2) 若 DE=3 , BC=8，求△ FCD 的面积.19 .如图，△ ABC 为等边三角形， D 为BC 边上一点，以 AD 为边作/ ADE=60 ° DE 与厶ABC 的外角平分线 交于点E . (1)求证：/ BAD= / FDE ;CE的20. 如图所示，△ ABC 中，/ B=90 °点P 从点A 开始沿AB 边向B 以1cm/s 的速度移动，点 Q 从B 点开始沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动.(1)如果P , Q 分别从A , B 同时出发，经几秒，使 △ PBQ 的面积等于8cm 2?21. 已知：如图，△ ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的点，将 DB 绕点D 顺时针旋转60。
相似三角形的性质与判定练习题 含答案
和
相似．
，点 p 在 BD 上移动，
【答案】 或 12cm 或 2cm
【解析】解：由
，
，
，
设
，则
，
若
∽
，
则
，
即
，
变形得：
，即
，
因式分解得：
，
解得：
，
，
所以
或 12cm 时，
∽
；
若
∽
，
则
，
即
，解得：
，
，
综上，
或 12cm 或 时，
∽
．
故答案为： 或 12cm 或 2cm．
设出
，由
表示出 PD 的长，若
．
综上所述，当
或 时，
与
相似．
故答案为 或 ．
19. 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 为边 BC 上一点，AC
与 DE 相交于点 F，若
，
，则
等于_____．
20.
21.
【答案】11
【解析】【分析】
此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解题首先利用平行四边形的构造相似三角形
的相似条件，然后利用其性质即可求解 由于四边形 ABCD 是平行四边形，所以得到
根据对称性可知：
，
∽
，根据相似的性质可得出：
，又 ，
，所以 ，在
中，由勾股定理可求得 AC 的值，
，
【解答】
解：设 BE 的长为 x，则
、
在
中，
，将这些值代入该式求出 BE 的值．
，
∽
两对对应角相等的两三角形相似
， 故选：C．
，
，
相似三角形判定与性质-练习题(带答案)
【答案】 D
【解析】 ∵
，
∴
，
∴
，
∴
∵Hale Waihona Puke ，∴，即甲与乙与丙均相似．
【标注】【知识点】相似三角形的判定-两角对应相等
D. 甲与乙与丙
3
6. 给定条件能判断
A.
B.
，
C.
，
D.
和 ，
， ， ，
相似的是（ ）． ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
【答案】 D
【解析】 ．不相似：∵
∴
，
∴不相似；
．不相似：∵
， ，
，
，
∴ 不是边 ， ∴不相似；
， 交 于 ，则
（
A.
B.
C.
D.
【答案】 A
【解析】 ∵
，
∴
，
又∵平行四边形
中，
，
，
∴
，
，
∴
．
【标注】【知识点】相似三角形的性质与判定综合
14. 要测量一棵树的高度，发现同一时刻一根 米长的竹竿在地面上的影长为 米，此刻树的影子不全 落在地上，有一部分落在了教学楼第一级的台阶水平面上，测得台阶水平面上的影长为 米，一级 台阶的垂直高度为 米，若，此时落在地面上的影长为 米，则树高（ ）．
∵
，
∴
．
【标注】【知识点】相似反A字型
1
3. 已知：如图，
，求证：
．
【答案】 证明见解析．
【解析】 ∵ ∴ 又∵ ∴
， ，
， ．
【标注】【知识点】相似反8字型
4. 如图，在
中，点 、 分别在边 、 上，如果
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
相似三角形的判定的习题分类编选
一、利用“两角对应相等的两个三角形相似”证明三角形相似.
1．如图，（1）当∠C=_________时，△OAC∽△OBD．（2）当∠B=_________时，△OAC∽△ODB。
(3）当∠A=_____________，△OAC与△OBD相似．
2．如图2，若∠BEF=∠CDF，则△_____,_∽△_______，△_____∽△______．
3．下列各组图形一定相似的是（）．
A．有一个角相等的等腰三角形 B．有一个角相等的直角三角形
C．有一个角是100°的等腰三角形 D．有一个角是对顶角的两个三角形
4．如图3，已知A（2，0），B（0，4），且∠ACO=•∠BAO，•则点C•的坐标为________
5．如图4，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC，DE∥BC，那么与△ABC相似的三角形有______个
图1 图2 图3 图4 图5 图 6 6在△ABC中，M是AB上一点，若过M的直线所截得的三角形与原三角形相似，则满足条件的直线最多有_____条．7．如图5，在△ABC中，CD，AE是三角形的两条高，则图中的相似三角形有_______对．
8．如图6，等腰直角三角形ABC中，顶点为C，∠MCN=45°，图中有______对相似三角形
9．如图，△ABC和△DEF均为正三角形，D，E分别在AB，BC上，
则图中与△DBE相似的三角形是________．
10、如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD=∠CAE，∠ABC=∠ADE．
写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；并证明这两对三角形相似．
11、如图,⊿ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F.
(1)求证：⊿ABD≌⊿BCE。
(2)求证：⊿AEF∽⊿BEA (3)求证：BD2=AD·DF。
12、如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B. （1）求证：△ADF∽△DEC。
（2）若AB＝4,AD＝33,AE＝3,求AF的长.
13如图，四边形ABCD是平行四边形，点F在BA的延长线上，连接CF交AD•于点E．
求证：△CDE∽△FAE．
14、四边形ABCD、DEFG都是正方形连接AE,CG相交于点M，与AD交于点N，
求证:△AMN∽△CDN
15、如图，已知△ABC与△ADE的边BC、AD相交于O，且∠1=∠2=∠3，
求证：（1）△ABO∽△CDO；（2）△ABC∽△ADE
16、如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的一点，EF⊥DE交BC于点F．
求证：△ADE∽△BEF．
17、如图，已知E是正方形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，求证：AB2=AE•BF．
18．在ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，直线AM交BC于E，
直线EN交AD于F．求证：AD=4FD
19、如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，DE⊥DF,且DE和DF分别交
AB、AC于点E、F，求证：AF：AD=BE：BD
20、如图，在矩形ABCD中，E为AD中点，EF⊥EC交AB于点F，连接FC（AB＞AE）。
求证：△AEF与△CDE
1、在直角坐标系中，已知点A（2，0），B（0，4），C（1，0）点•D在坐标轴上，使△AOB
与△DOC相似，则D点的坐标为__________________
2、在直角坐标系中有两点A（4．0）、B（0，2），如果点C在轴x上（C与A不重合），
当点C的坐标为__________时，使得由点B、O、C组成的三角形与△AOB相似
3、如图，在正方形ABCD中，P是BC上的一点，且BP=3PC，
Q是CD的中点 1）求证△ADQ∽△QCP； 2）求证AQ⊥PQ
4、已知，如图，BD,CE是△ABC的两条高，求证：△ADE∽△ABC
5、如图，E是四边形ABCD的对角线BD上的一点,
且AB：AE=AC：AD, ∠BAE=∠CAD，求证: ∠ABE=∠ACD
6、如图，四边形ABCD、DCEF、EFGH都是正方形。
（1）△ACF与△ACG相似吗？说明你的理由。
（2)求∠1+∠2+∠3的度数
7、如图,点C,D都在线段AB上,△PCD是等边三角形.
（1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB
（2）当△ACP∽△PDB时求∠APB的度数。
8、如图，在Rt△ABC中，△ACB=90 ，CD⊥AB于点D，分别以AC、BC为边向三角形外作等边三角形△ACE和等边△BCF，DE、DF，试说明△ADE ∽△CDF
1．在△ABC 和△DEF 中，如果AB ＝4，BC ＝3，AC ＝6；DE ＝2.4，EF ＝1.2，FD ＝1.6，那么这两个三角
形能否相似的结论是____________，理由是__________________．
2．图中两个三角形相似吗？答：_____．理由是______________________________________。
3.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（ ）
① ② ③ ④
A.①和②
B.②和③
C.①和③
D.②和④
4．在△ABC 和△DEF 中，如果AB ＝4，BC ＝3，AC ＝6；DE ＝2.4，EF ＝1.2，FD ＝1.6，那么这两个三角形能否相似? 结论是____________，理由是______________________________________________．
5．△ABC 的三边为2，3，a ，△A 1B 1C 1的三边长为2，b ，10，若△ABC ∽△A 1B 1C 1，则a ，b 分别是
（ ） A
．5，6 B ．5，6 C ．6 ，5 D ．6，5
6．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，
求证：△ABC ∽△DEF ．
7．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，CD ＝6，AC ＝4，DA ＝8．问AC 平分∠BAD 吗？为什么？
8．如图所示，如果D ，E ，F 分别在OA ，OB ，OC 上，且DF ∥AC ，EF ∥BC ．
求证：(1)△ODE ∽△OAB ；(2)△ABC ∽△DEF ．
9、在正方形网格上有111C B A ∆和222C B A ∆，这两个三角形相似吗？如果相似，请证明。
A B C D 2740202515
四、三角形判定方法的综合应用
1、已知，如图：CE 是Rt △ABC 的斜边上的高，在CE 的延长线上任取一点P ，
连结AP 自B,作BG ⊥AP 于G 交CP 于D ，求证：2CE DE PE
2、已知△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，连接DE 并延长交BC 的延长线
于点F ，连接DC 、BE ，若∠BDE+∠BCE=180°，求证：△DCF ∽△BEF
3、如图,在正方形ABCD 中,AB=2,P 是BC 边上与B.C 不重合的任意一点,DQ 垂直AP 于点Q
（1）判断△DAQ 与△APB 是否相似，并说明理由
（2）当点P 在BC 上移动时，线段DQ 也随之变化，设AP=x ，DQ=y ，
求y 与x 间的函数关系式，并求出x 的取值范围
4、如图正方形ABCD 的边长为2，AE=EB ，线段MN 的两端点分别在CB 、CD 上滑动，且MN=1，当
CM 为何值时△AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似？
5、如图，在△ABC 中，AB=8，BC=7，AC=6，有一动点P 从A 沿AB 移动到B ，移动速度为2单位/
秒，有一动点Q 从C 沿CA 移动到A ，移动速度为l 单位/秒，问两动点同时出发，移动多少时间
时，△PQA 与△ABC 相似？
6、如图：在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，BD ⊥AC 于D,若E 是BC 中点，ED 的延长线交BA 的延
长线于F ，求证 AB:BC=DF:BF
7．在△ABC和△A′B′C′中，∠A=∠A′=80°，∠B=30°，∠B′=20°．•试分别在△ABC和△A′B′C′中画一条直线，使分得的两个三角形相似．在下图中分别画出符合条件的直线，并标注有关数据
9、
8、四边形ABCD、DEFG都是正方形连接AE,CG相交于点M，与AD交于点N，
求证:AN DN CN MN
9、如图，在矩形ABCD中，E为AD中点，EF⊥EC交AB于点F，连接FC（AB＞AE）。
△AEF与△ECF是否相似，给出证明
10、如图，已知D为△ABC内一点，E为△ABC外一点，且∠ABD=∠EBC,∠BAD=∠ECB.求证：△ABC∽△DBE.
11、如图，在Rt△ABC中，△ACB=90 ，CD⊥AB于点D，分别以AC、BC为边向三角形外作等边三角形△ACE和等边△BCF，DE、DF，试说明△ADE ∽△CDF
12 、在△ABC中，∠C＝900，BC＝8㎝，AC︰AC＝3︰5，点P从点B出发，沿BC向点C以2㎝/s的速度移动，点Q
从点C出发沿CA向点A以1㎝/s的速度移动，如果P、Q分别从B、C同时出发
⑴经过多少秒△CPQ∽△CBA？
⑵经过多少秒时，以C、P、Q为顶点的三角形恰与△ABC相似
13、如图，在直角梯形ABCD中，AB＝7，AD＝2，BC＝3，如果边AB上的点P使得以P、A、D为顶点的三角形和以P、B、C为顶点的三角形相似，则这样的P点有几个？。