正圆锥台展开计算
展开放样基础知识
2.取a’b’ 为另一直角边;
所得直角三角形的斜边即实长AB 。
O b
解题完毕
直角三角形求实长的作图要领
1）做一个直角 2）令直角的一边等于线段在某一投影面上的投影 长， 直角的另一边等于线段两端点相对于该投影 面的距离差（此距离差可由线段的另一面投影图量 取）； 3）连接直角两端点成一直角三角形，则其斜边即 为线 段的实长。
线段实长的判断
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面）
1、特殊 位置 直线
投影面垂直线
水平线（平行于Ｈ面）
正垂线（垂直于Ｖ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面） 铅垂线（垂直于Ｈ面）
2、一般位置直线（倾斜于各投影面）
3、曲线（略）
1.平行线
水平线AB//H
V a ′ b′
Aβ γ
a″ b″W
B
5.1 平行线法展开
展开时将工件的表面看作由无数条相互平行的素线组成 ，取两 条相邻素线及其两端线所围成的小面积作为平面 ，将每个小平面的真实大小依次画在平面上，即得到构件 的展开图。该展开方法为平行线展开法，此法适用于素线 相互平行的构件展开（如：上斜口圆管、上斜口四棱管、 圆柱面等）。
展开图原理以及展开方法
第一节展开原理1.展开放样的基本思路1) 什么是展开放样所谓展开，实际是把一个封闭的空间曲面沿一条特定的线切开后铺平成一个同样封闭的平面图形。
它的逆过程，即把平面图形作成空间曲面，通常叫成形过程。
实际生产工作中，往往是先设计空间曲面后再制作该曲面，而这个曲面的制造材料大都是平面板料。
因此，用平板做曲面，先要求得相应的平面图形，即根据曲面的设计参数把平面坯料的图样画出来。
这一工艺过程就叫展开放样。
实际工作中，有人把它简称为展开，也有人把它简称为放样，本书中采用前者的说法。
2) 展开的基本思路----换面逼近图2-1-0 换面逼近示意图如图2-1-0，我们按预先设定的经纬网络把曲面网格化，并在曲面上任取其一个四角面元abc d（A、B、C、D为其四个顶点，a、b、c、d为其四条边界弧线）。
连接它的四个顶点A、B、C、D和对角点B、C，将得到一个与四角面元abcd对应的四边形ABCD以及组成四边形ABCD的两个平面三角形△ABC和△BCD。
为了简化我们的研究，我们以三角形△ABC和△BCD代替对应的四角面元abcd，其中直线段AB、AC、CD、DB与a、b、c、d四条弧线分别对应。
对所有的网格都做同样的替代处理，我们就可以得到一个与曲面贴近的，由众多三角平面元构成的多棱面。
多棱面与原曲面当然会存在差别，但是，只要网格数目足够多，他们的误差可以足够小，小到我们允许的公差范围内。
把曲面换成与之相近、由小平面组成的多棱面，再用多棱面的展开图去近似替代该曲面的理论展开图，这就是换面逼近的基本思路。
多棱面的展开是容易的，只要在同一平面上把这些小平面元按相邻位置和共用边逐个画出来就得到了多棱面的展开图。
需要指出的是，如何网格化是个中关键，这一部分将在讲展开方法时详细介绍。
以上讲的是三角平面元替换，其实我们也可以采用其他形状的小平面来换面逼近。
如梯形、六边形等等。
更进一步，我们还可以用简单曲面，如圆柱面、正锥面等来作类似的替换。
《机械制作图》第12章展开图
图12-3 旋转法求一般位置线段实长
线段AB为一般位置直线，过端点A作垂直于H面 直线oo为轴，将线段AB绕oo轴旋转为正平线，正面 投影a′b1′为AB的实长。由于直线上任一点的运动 轨迹为水平圆，H面投影反映圆形，V面投影为平行 OX轴的直线，其作图步骤如图12-3（b）所示。
图12-3 旋转法求一般位置线段实长
图12-6 异径直角三通管的展开
（3）用光滑曲线连接点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 及对称的各点，即得相贯线展开后的图形 （见图12-6（d））所示。
第3节 棱锥管和圆锥管的展开
锥管制件的表面上的棱线或素线均相交于 一点，其表面属可展表面。可借助其棱线或 素线的实长来作展开图，这种展开方法常称 为放“放射线法” 1．斜口四棱台管展开 [例12-4]求作图12-7（a）、（b）所示斜 口四棱台管的展开图。
图12-4 斜截四棱柱管的展开
分析：斜截四棱柱管的前后表面为直角 梯形，左右表面为长方形。作展开图时，分 别画出两个相等直角梯形和两个长方形的实 形。
图12-4 斜截四棱柱管的展开
作图： （1）画一水平线，依次量取ⅠⅡ = (1)(2)、 ⅡⅢ = (2)(3)、ⅢⅣ = (3)(4)、ⅣⅠ = (4)(1)。
图12-7 斜口四棱台管的展开
分析：四棱台管表面为四个梯形，展开图 依次画出这四个梯形。先按四棱锥展开，用棱 线实长作出扇形，再在扇形内作出四个等腰梯 形。
图12-7 斜口四棱台管的展开 作图： （1）将主视图棱线延长得交点s′，用旋转法或直角三 角形法求得棱线实长s′c1′或S0C0和斜口与棱线交点G0 （H0）、F0（E0）。 （2）以S为圆心，s′c1′ = S0C0为半径画圆孤。
图12-2 直有三角形法求一般位置线段实长
展开放样
2、放射线展开法 （正圆锥面、正棱锥面的展开）
展开时将锥面看作由汇交锥顶的一系列素线和底线组 成，素线和底线锥面分成若干个小三角形，每个三角形作 为一个平面，将各个三角形依次画在平面上，即得到构件 的展开图。该展开方法为放射线展开法，此法适用于素线 或素线延长线汇交于一点的构件。
3、三角形法 （斜口矩形按管的展开）
展开时将其表面分成 若干个三角形，求出各个 三角形的边长，依次画出 各个三角形的实形，即得 到构件的展开图。该展开 为三角形法，此法适用于 素线或素线延长线不能交 汇于一点的构件。
4、简单弯曲件的展开料长计算
对于形状简单的工件或型钢的弯曲，可以通过计算求 得展开尺寸。由于钢材弯曲时，内、外分别为受压和受拉 影响，则一般以中间层为计算展开的依据，但不同的断面、 不同的弯曲程度，中间层的位置也就不同。因此在计算展 开前鸹要确定中性层的位置，然后才能进行计算展开。计 算展开的步骤为： Nhomakorabea
3、上圆下方接管展开 它是用于连接方管和圆管的过渡管，一般采用 三角形展开法展开。前面讲过，三角形展开法的 原理是将构件的表面分成一组开者多组三角形， 然后求出各组三角形每边实长，并把它们依次画 在平面上而得到展开图。 方圆接管展开时，只要将局部锥面分成若干个 小三角形，求出平面和锥面的小三角形的各边实 长，并依次画出三角形实形而得到展开图。
四、复杂构件的展开
对于形状复杂的工件，一般采用作图法 1、开孔圆锥管的展开 展开时用放射线法，先作出圆锥管的展 开图，然后在展开图的相应位置上开孔。
2、斜圆锥管的展开 如果圆锥的轴线屯底面不垂直，则该 圆锥称为斜圆锥，其展开是采用放射线法展 开。由于斜圆锥的顶点至底圆的距离（即斜 圆锥表面各素线的长度）都不相等，故展开 图时必须分别求出各素线的实长。斜圆锥管 的展开，应先画出整个圆锥面的展开，再画 截去顶部即可得到展开图。
《冷作工工艺学(第四版)》电子课件 PPT 第四章 展开放样
四节渐缩90°弯头的展开
§ 4-4 过渡接头展开法
一、圆顶腰圆底连接管的展开
二、圆方过渡接头的展开
做图方法 （1）用已知尺寸a、d、h画出主视图和俯视图，三 等分俯视图１/４圆周,等分点为1、2、3、4连接各等 分点与B，则分B为顶角的斜圆锥面为三个小三角形。 其中B-1=B-4，B-2=B-3，并以b、c表示各线长度。 （2） 由视图可知，平、曲面分界线B-1、B-4和锥 面上的辅助线B-2、B-3均不反映实长，故用直角三角 形法求出它们的实长。 （3）用三角形法作出展开图。
正螺旋叶片的简便展开法
简便展开法的具体作图方法如下： （1） 用直角三角形法求出内、外螺旋线的实长l 及L。 （2）作一直角梯形ABCE，使AB＝L/2BC⊥AB，连接AE、 BC，并延长两线相交于O。 （3）以O点为圆心，OB、OC为半径画同心圆弧， 取BF＝L,连接FO交内圆弧于G，即得螺旋面的展开图。
第四章 展开放样
§4-1 展开的基本方法 §4-2 基本形体展开法 §4-3 弯头展开法 §4-4 过渡接头展开法 §4-5 相贯构件展开法 §4-6 不可展曲面的近似展开 §4-7 板厚处理 §4-8 钢材弯形料长计算 §4-9 钢材质量的计算
§4-1 展开的基本方法
展开图
一、立体表面成形分析
五、圆锥管斜交圆管的展开
圆锥管斜交圆管的展开
求相贯线与展开图的具体作图方法如下： （1） 用已知尺寸画出主视图轮廓线、圆管断面 及圆锥管辅助断面。以两管轴线交点O为圆心，在形 体相贯区内画三个不同半径（R1,R2,R3） 的圆弧，与 两形体轮廓线分别相交。在各自形体内，分别连接 各弧的弦，得对应交点2、3、4。通过各点连成15光 滑曲线，即为两管相贯线，完成主视图。
新教材高中数学第6章立体几何初步§66.1柱锥台的侧面展开与面积课件北师大版必修第二册
知识点 2 直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积
多面体
侧面展开图
侧面积公式
直棱柱
S 直棱柱侧＝_c_h__ c—底面周长，h—高
多面体 正棱锥
侧面展开图
侧面积公式
S 正棱锥侧＝12ch′ c—底面周长， h′—棱
侧面积公式
S 正棱台侧＝12(c1＋c2)h′ c1，c2—上、下底面周长 h′—棱台侧面的高
2.如何求一个斜棱柱的侧面积？ 提示：求出各侧面的面积，各侧面的面积之和就是斜棱柱的侧面 积．
2.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)斜三棱柱的侧面积也可以用 cl 来求解，其中 l 为侧棱长，c 为
底面周长．
()
(2)多面体的表面积等于各个面的面积之和．
()
(3)圆柱的一个底面积为 S，侧面展开图是一个正方形，那么这个
∴S 表＝π·EC·DC＋π(EC＋AB)·BC＋π·AB2＝4 2π＋35π＋25π ＝60π＋4 2π.
NO.3 当堂达标·夯基础
1．已知某长方体同一顶点上的三条棱长分别为 1，2，3，则该长 方体的表面积为( )
A．22 B．20 C．10 D．11 A [所求长方体的表面积 S＝2×(1×2)＋2×(1×3)＋2×(2×3) ＝22.]
圆柱的侧面积是 2πS.
()
[提示] (1)错误．若斜三棱柱的侧面多边形的高与侧棱长 l 不相 等时，不能用公式 cl 来求解．
(2)正确． (3)错误．圆柱的侧面积是 4πS. [答案] (1)× (2)√ (3)×
NO.2
合作探究·释疑难
类型1 类型2 类型3
类型 1 旋转体的侧面积 【例 1】 (教材北师版 P238 例 1 改编)设圆台的高为 3，在轴截面 中，母线 AA1 与底面圆直径 AB 的夹角为 60°，且轴截面的一条对角 线垂直于腰，求圆台的侧面积．
展开三方法
2.偏心大小头的展开
1）已知条件：大头中径Φx 。 小头中径Φs，斜锥台高 h，偏心距 e，斜锥台上 下口面平行且关于中面 0S7对称。 2）展开分析 ⑴在△0S6中，0S是斜锥的 高，06（粗线）是素线， S6（虚线）在俯视图上的 投影。因为0S垂直于底面， 故△0S6是直角三角形； ∠0S6为直角；而素线06 是该直角三角形的斜边。 这就是我们求斜锥素线实 长的依据。
几何法与计算法
1）几何法展开
几何法展开，准确一点，应叫几何作图法展开。展 开过程中，求实长和画展开图都是用几何作图的方 式来完成的。几何法展开又可细分为许多实用方法， 常用的有三种：a 、放射线法 ；b 、平行线法； c、 三角形法
2）计算法展开
计算法展开，顾名思义，要通过计算。其实在展 开过程中，它只是用计算的方法求实长，画展开图 还是用几何作图。
图2-3-1a 斜锥的已知条件与实长分析
展开分析
(2)锥台实际上是以同一斜锥切掉上面小锥形成的，显 然，展开图组成上也有同样关系。展开时我们先 处理大锥，后解决小锥。 3）按已知条件画立面图、俯视图。 注意：画立面图时应以中径为准。如果已知条 件给定的是外径或中径，就必须根据板厚先求 出中 径。 4）利用∠OS7为90°，求实长。 5）画展开图 ⑴ 以01为剖开线，在合适处垂直方向作中线07； ⑵ 以S点为圆心，各分点素线实长为半径画得如图1、2、 3、4、5、6弧；
展开三方法
要把展开图在同一平面上画出来，必须掌握替换面构 成各线的实际长度。求出这些实际长度，也就是求实 长，有两个途径：一是通过计算，二是通过几何作图。 其他宣称的各种展开方法，如表格法、比例法等等， 都是由此衍生出来的。由这两个途径产生了两个方法， 加上极具前景的计算机辅助展开和辅助切割，展开的 方法可以归纳为三种： 1）几何法展开 2）计算法展开 3）计算机辅助展开
下料展开基本方法
下料展开基本方法钣金件下料(展开)基本方法一.放样及其基本原理放样又叫放大样。
就是依据施工图纸要求，按正投影的原理把构件图画到地板、样板或钢板上，通过气割或剪切方法形成下料件。
1. 放样图放样图有与施工图不同的特点：放样比例一般只限于1：1；选用适当划线工具划线，利于下序加工；放样时可添加、借用必要辅助线，不划与下料尺寸无关的图纸线；放样的目的在于精确地反映实物、变形前实物形状；放样必须考虑钢板厚度对下序加工的影响，适当加、减预留量等。
2. 常用几何线、形的画法1/ 垂直线画法：1）用划规在直线上画垂直线。
(图1.2-1)2）用30°角斜边等于对边2倍的几何定理(三规求方法)，用划规画垂直角线。
(图1.2-2) 3）采用半圆法用划规画垂直角线。
(图1.2-3)4）用(勾3、股4、玄5)勾股玄定理，用钢板尺画垂直角线。
(图1.2-4)2/ 平行线画法：1）切线法，用钢板尺、划规画平行线。
(图1.2-5)2）等距法，用钢板尺画平行线。
(图1.2-6)3/ 夹角平分线。
用钢板尺、划规画角度平行线。
(图1.2-7)4/ 三边定尺，画三角形。
用钢板尺、划规画三角形。
(图1.2-8)5/ 四边定尺，平移平行线画长矩形。
用钢板尺、地规画四边形。
(图1.2-9)6/ 等分直线段。
用钢板尺、划规、直角尺画线段等分线。
(图1.2-10)7/ 等分圆弧段(分度)。
1）平分玄法。
用钢板尺、划规画弧线等分段。
(图1.2-11)2）渐近法。
用划规分别选玄长，画弧线等分段。
(图1.2-12)3. 点、线、弧间的连接方法1/ 已知三点的同心圆。
用钢板尺、划规补画同心圆。
(图1.3-1)2/ 已知R尺寸画两相交线圆弧。
用钢板尺、划规画夹角圆弧。
(图1.3-2)3/ 圆管斜口边(迂回弯头中心辅助线)。
用钢板尺、划规画迂回线。
(图1.3-3)4. 心形、蛋圆形、制动销形的画法1/ 心形。
(图1.4-1)2/ 蛋圆形。
已知r小圆、R大圆、圆心距a，画蛋圆形。
高中数学 1.7.1 柱、锥、台的侧面展开与面积课件 北师大版必修2
• 圆锥与圆台(yuántái)的侧面积
圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，这两部分
侧面积的比为( )
A．1∶1
B．1∶2
C．1∶3
D．1∶4
• [思路分析(fēnxī)] 本题主要考查圆锥的侧面 积和圆台的侧面积，关键是利用比例的关系 求解．
• [答案] C
第二十六页，共40页。
• [规B1F范＝(hg′u，īfBàFn＝)解12(8答－4])＝解2，法1：如图，在 RBt1△B＝B81，FB中，
∴B1F＝ 82－22＝2 15， ∴h′＝B1F＝2 15， ∴S 正棱台侧＝12(4×8＋4×4)·2 15 ＝48 15(cm2)．
第二十页，共40页。
解法 2：正四棱台的侧棱延长后交于一点 P，设 PB1＝x， 则x＋x 8＝24，得 x＝8， ∴PB1＝B1B＝8. ∴E1 为 PE 的中点， ∴PE1＝ 82－22＝2 15， PE＝2PE1＝4 15.
母线长．)
第六页，共40页。
• 2．直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积 • S直棱柱侧C＝h ________ • (其中C为底面周长(zhōu chánɡ)，h为高) • S正棱锥侧12＝Ch_′_______________. • (其中C为底面周长(zhōu chánɡ)，h′为斜高，
即侧面等腰三角形的高．) • S正棱台侧＝12(C_＋_C_′_)_h_′__________. • (其中C′，C分别为上、下底面周长(zhōu
第三十八页，共40页。
[错解二] 3 10 因为正四棱台的上、下底面面积分别为 4、16，所以上、下底面的边长分别为 2,4.
根据高、斜高和底面边心距得到的直角三角形，可求得斜 高 h′＝ 32＋4－2 22＝ 10.
(完整版)几何法展开的个基本方法与典型实例
几何作图1. 常用几何划线工具说起画线 , 大家没有不明白的 .然而提到划线， 能准确表述的人就不多了。
此处所说的划线是专业术 语，它也是一种画线，只不过用的工具和画的对象不同。
划线是用高硬度划线工具，如划针、划规、中心 冲，直接在材料上精确刻划和冲点，划出的线条很细。
为了凸显它，往往还要沿线打上样冲眼；为清晰起 见，必要时金属材料表面还应该专门涂色。
显然，划针划线比铅笔画线要精确得多。
展开放样和样板制作 的材料一般采用薄钢板、厚纸板和油毛毡，在这些材料上精确作图，以划为主；当然，需要时也还是要用 只要能保证精度要求，什么便当，就用什么画。
以下介绍的，是钣金冷作工以划为主的常用划 线工具。
15m 盘尺、3m 卷尺、1m 长尺、300 mm 钢尺、150 mm 钢尺、150 mm 宽座角尺、大三角板、吊坠2. 常用几何画线对展开放样来说，以下常用的一些几何画线是必须掌握的。
因时间关系，这里只提出基本要求，具体的画法就不多讲了。
不清楚的地方，请自己复习《工程制图》中的相关内容。
常见曲线的画法（正弦曲线、椭圆、四心圆、摆线、渐开线、阿基米德螺线）、大小头与放射线法1. 大小头的表面特性大小头上下口平行， 是圆管变径时使用的连接件， 有同心和偏心之分。
同心大小头表面是正圆锥面，偏心大小头表面是斜圆锥面。
立管变径时，连接件常采用同心大小头。
水平管路变径，要求严格时用同心第三节几何法展开的三个基本方法与典型实例2) 划规、分规、地规、划针、划针盘、石笔、粉线、墨斗 3) 中心冲、手锤4) 展开平台色笔画的，1)1) 长直线、大圆弧的画法2)特殊角度、一般角度的画法3) 直线、圆弧、角度的等分 4)直线曲线的吻接5)大小头就不合适了。
这是因为介质为液体时水平管路需要排除内部产生的、妨碍运行的气体，因此连接处要求管道顶平，以利于排尽不需要的气体；相反，气管则需要排除积液，管路要求底平，以利于排尽不需要的液体。
展开放样
2、放样的一般步骤：
读图——准备放样工量 具——选择放样基准——放 样操作
放样工具：
钢尺、中心冲、划线平板、直 角尺、划针、锤子、划针盘、圆 规
5
汽车钣金
（3）选择放样基准：
基准一般应选在构件的对称平面、底面、重要端面以及回转 体轴线上。
6
汽车钣金
（4）、放样划线的基 本操作： （5）、放样划线时的 注意事项 ： （6）、放样操作的步 骤：
t 2
t 2
＝（ d - ） 180 L 2
图2.40 圆锥管放样展开时的板厚度处理
48
汽车钣金
2.7
简单几何形体的展开计算
2.7.1 正圆柱管的展开计算
以中心层作为计算依据。正圆柱管展开后为一矩形。 正圆柱中心展开圆周长
L D t d t d1
展开后表面积（mm2）；
32
汽车钣金
1.求形体表面上点的投影 （1）用素线法求形体表面点的投影
原理： 设想圆锥面是由许多 素线所组成的，圆锥面上 任一点必然在过该点的素 线上。只要求出该点的素 线投影，即可求出该点的 投影。
图2.27 用素线法求圆柱、圆锥表面点的投影 33
汽车钣金
1.求形体表面上点的投影 （2）用纬线法求形体表面点的投影
30
汽车钣金
2.4.4 基本知识：
相贯体的展开
由两个或两个以上形体组合而成的构件称为相贯 体。其表面的交线称为相贯线。对于相贯体构件的展 开而言，关键就是相贯线的求法。常见的相贯线求法 有直线型相贯线法、素线法、纬线法、辅助平面法等。
31
汽车钣金
2.4.4
相贯体的展开
1.求形体表面上点的投影 （1）用素线法求形体表面点的投影 （2）用纬线法求形体表面点的投影 （3）用辅助平面法求形体表面点的投影 2. 求形体相贯线 （1）直线型相贯线 （2）用素线法求圆锥面直交圆柱面的相贯线及展开图 （3）用纬线法求圆柱面侧面直交正圆锥面的相贯线及其展开图 （4）用辅助平面法求两圆柱正交的相贯线并作其表面展开图