2010解题能力展示复赛试题(高年级组)

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2010年河北省高中数学竞赛试卷及解析

2010年河北省高中数学竞赛试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.已知关于x的不等式√x+√2−x≥k有实数解. 则实数k的取值范围是（）.A. (0,2]B. (−∞,0]C. (−∞,0)D. (−∞,2]2.将正偶数集合{2，4，6，…}从小到大按第n组有2n−1个偶数进行分组，{2}，{4，6，8} ，{10，12，14，16，18}，…第一组、第二组、第三组，则2010位于第组。

（）A. 30B. 31C. 32D. 333.四面体S−ABC中，三组对棱的长分别相等，依次为5，4，x，则x的取值范围是A. (2,√41)B. (3,9)C. (3,√41)D. (2,9)4.对于任意的整数n(n≥2)，满足a n=a+1，b2n=b+3a的正数a与b的大小关系是（）A. a>b>1B. b>a>1C. a>1,0<b<1D. 0<a<1,b>15.函数f(x)=x3−3x2+3x+1的图像的对称中心为（）.A. (−1,2)B. (1,2)C. (−1,−2)D. (1,−2)6.从满足a1=a2=1，a n+2=a n+1+a n(n≥1)的数列{a n}中，依次抽出能被3整除的项组成数列{b n}. 则b100=（）.A. a100B. a200C. a300D. a400第II卷（非选择题）二、解答题7.已知a、b∈[1,3]，a+b=4，求证：√10≤√a+1a+√b+1b<4√63.8.如图，四棱锥P−ABCD，PA⊥平面ABCD，且PA=4，底面ABCD为直角梯形，∠CDA=∠BAD=90°，AB=2，CD=1，AD=√2，CD=1，AD=√2，M、N分别为PD、PB的中点，平面MCN与PA的交点为Q.（1）求PQ的长度；（2）求截面MCN的底面ABCD所成二面角的大小；（3）求点A到平面MCN的距离.9.设a1=3，a n+1=a n2+a n−1(n∈N+). 证明：（1）对所有的n，a n≡3(mod4)；（2）当m≠n时，(a m,a n)=1（即a m、a n互质）.10.如图，已知椭圆C过点M(2,1)，两个焦点分别为(−√6,0)，(√6,0)，O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆C于不同的两点A、B.（1）求△OAB面积的最大值；（2）证明：直线MA、MB与x轴围成一个等腰三角形.11.已知函数f(x)=12mx2−2x+1+ln(x+1)(m≥1).（1）若曲线C:y=f(x)在点P(0,1)处的切线l与C有且只有一个公共点，求m的值；（2）求证：函数f(x)存在单调递减区间[a,b]，并求出单调递减区间的长度t=b−a的取值范围.三、填空题12.已知函数1)的反函数是y=f−1(x+1)，且f(1)=4007. 则f(1998)=______.13.正三棱柱ABC−A1B1C1的各条棱长均为3，长为2的线段MN的一个端点M在AA1上运动，另一端点N在底面ABC上运动. 则MN的中点P的轨迹（曲面）与正三棱柱共顶点A的三个面所围成的几何体的体积为______.14.已知圆C1:(x+3)2+y2=4，C2:x2+(y−5)2=4，过平面内的点P有无数多对互相垂直的直线l1、l2，它们分别与圆C1、圆C2相交，且被圆C1、圆C2截得的弦长相等. 则点P的坐标为______.15.由1,2,⋅⋅⋅,n排列而成的n项数列{a n}满足：每项都大于它之前的所有项或者小于它之前的所有项. 则满足这样的数列{a n}的个数为______.16.已知二次函数y=ax2+bx+c≥0(a<b).则M=a+2b+4cb−a的最小值为______.17.某家电影院的票价为每张5元，现有10个人，其中5个人手持5元钞票，另外5个人手持10元钞票. 假设开始售票时售票处没有钱，这10个人随机排队购票. 则售票处不会出现找不开前的局面的概率是______.参考答案1.D【解析】1. 令y =√x +√2−x (0≤x ≤2). 则y 2=x +(2−x )+2√x (2−x )≤4. 故0<y ≤2，且x =1时，上式等号成立.所以，实数k 的取值范围是(−∞,2].选D. 2.C【解析】2.显然，2010是数列a n=2n 的第1005项. 设2010位于第n 组.则∑(2i −1)n−1i=1<1005≤∑(2i −1)ni=1⇒(n −1)2<1005≤n 2⇒n =32.故2010位于第32组. 选C. 3.C【解析】3.由于四面体的三组对棱分别相等，故可构造在长方体内的三棱锥P −ABC (如图所示)，其中PA =BC =5,PC =AB =4,PB =AC =x ．设长方体的三条棱长分别为a,b,c ，则有{ a 2+b2=x 2①a 2+c 2=25②c 2+b 2=14③．（1）由②−③得a 2−b 2=9，又a 2+b 2=x 2，∴2b 2=x 2−9>0，解得x >3．（2）由②+③得a 2+b2+2c 2=41，又a 2+b 2=x 2，∴2c 2=41−x 2>0，解得x <√41．综上可得3<x <√41．故x 的取值范围是(3,√41)．选C ．4.A【解析】4. 首先，a >1，b >1.否则，若0<a <1，则a n =a +1>1，从而a >1，矛盾；若0<b <1，b2n=b +3a >3a >3，从而b >1，矛盾.故a 、b 均大于1. 一方面，a 2n −b2n=(a +1)2−(b +3a )=a 2−a −b +1.另一方面，a 2n −b 2n=(a −b )(a 2n−1+a 2n−2b +⋯+b2n−1).故a 2−a −b +1=(a −b )(a 2n−1+a 2n−2b +⋯+b2n−1)即a 2−a−b+1a−b=a 2n−1+a 2n−2b +⋯+b2n−1>1∴a 2−2a +1a −b>0即(a−1)2a−b>0，故a >b综上所述，有a >b >1. 选A.5.B【解析】5. 因为f (x )=(x −1)3+2，所以，函数图像的对称中心为(1,2). 选B.6.D【解析】6. 因为a n+2=a n+1+a n ，所以1，1，2，3，5，8，13，21，…，因此易知a 4k (k ≥1)能被3整除，故选D.7.见解析【解析】7. 由a 、b ∈[1,3]，a +b =4，得ab =a (4−a )=−(a −2)2+4∈[3,4].设u=√a +1a+√b +1b.则u 2=a +1a +b +1b +2√(a +1a )(b +1b )=4+4ab +2√ab +1ab +a b +ba =4+4ab+2√ab +1ab+(a+b )2−2abab=4+4ab+2√ab +17ab−2.因为4x 、x+17x在[3,4]上均为减函数，则10≤u 2≤163+2√203<323.因此，√10≤u <4√63.8.（1）1；（2）π3；（3）32【解析】8.（1）取AP的中点E，联结ED. 则ED∥CN.再取EP的中点即为点Q，由MQ∥ED，故MQ∥CN.所以，M、N、C、Q四点共面，平面MCN与AP的交点Q即为AP的四等分点.因此，PQ=1.（2）易证平面MEN∥底面ABCD. 于是，截面MCN与平面MEN所成的二面角即为截面MCN与底面ABCD所成的二面角.因为PA⊥平面ABCD，所以，PA⊥平面MEN.过E作EF⊥MN，垂足为F，联结QF.则由三垂线定理可得QF⊥MN.因此，∠QFE为截面MCN与平面MEN所成二面角的平面角.在Rt△MEN中，ME=√22，EN=1，MN=√62.故EF=√33.所以，tan∠QFE=√3.因此，∠QFE=π3.（3）因为EP的中点为Q，且平面MCN与PA交于点Q，所以，点A到平面MCN的距离是点E到平面MCN的距离的3倍.由（2）知MN⊥平面QEF. 则平面MCNQ⊥平面QEF且交线为QF.作EH⊥QF，垂足为H.则EH⊥平面MCNQ，EH为点E到平面MCN的距离.在Rt△EQF中，EF=√33，∠QFE=π3.故EH=12.因此，点A到平面MCN的距离为32.9.（1）见解析；（2）见解析【解析】9.（1）当n=1时，a1≡3(mod4).假设a n≡3(mod4). 则a n+1=a 2+a −1≡32+3−1≡3(mod4).所以，对所有的n ，有a n≡3(mod4).（2）由递推关系易得a n+1+1=4a n a n−1⋅⋅⋅a 1. 不妨设m<n . 易得a m |(a n +1) .令a n +1=qa m (q ∈N ). 于是，(a m ,a n )=(a m ,qa m −1)=(a m ,−1)=1. 10.（1）4；（2）见解析【解析】10.（1）设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0).由题意得{a 2−b 2=64a2+1b2=1 ⇒{a 2=8b 2=2 .所以，椭圆的方程为x 28+y 22=1. ① 由直线l∥OM ，可设l:y =12x +m .将上式代入式①得x 2+2mx +2m 2−4=0. 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2). 则x 1+x 2=−2m ，x 1x 2=2m 2−4.因为直线l 与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，所以Δ=(2m )2−4(2m 2−4)>0.于是，m ∈(−2,2)，且m ≠0.故S △OAB=12|m ||x 1−x 2|=12|m x 1+x 22−4x 1x 2=|m |√4−m 2=√m 2(4−m 2)≤4. 当且仅当m 2=4−m 2，即m =±√2时，上式等号成立.因此，△OAB 面积的最大值为4.（2）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1、k 2.则k 1=y 1−1x 1−2，k 2=y 2−1x 2−2.下面只需证明：k 1+k 2=0.事实上，k 1+k 2=12x 1+m−1x 1−2+12x 2+m−1x 2−2=1+m (1x 1−2+1x 2−2) =1+m ⋅(x 1+x 2)−4x 1x 2−2(x 1+x 2)+4=1+m ⋅−2m−42m 2−4−2(−2m )+4=0.故直线MA 、MB 与x 轴围成一个等腰三角形. 11.（1）1；（2）(1,√5]（1）注意到函数f (x )的定义域为(−1,+∞)，f ′(x )=mx −2+1x+1，f ′(0)=−1. 所以，在切点P (0,1)处的切线l 的斜率为−1. 因此，切线方程为y=−x +1.因为切线l 与曲线C 有唯一的公共点，所以，方程12mx 2−x +ln (x +1)=0有且只有一个实数解. 显然，x =0是方程的一个解. 令g (x )=12mx 2−x +ln (x +1). 则g ′(x )=mx −1+1x+1=mx [x−(1m −1)]x+1. 当m=1时，g ′(x )=x2x+1≥0（只有x =0时等号成立），于是，g (x )在(−1,+∞)上单调递增，即x =0是方程唯一的实数解.当m>1时，由g ′(x )=mx [x−(1m −1)]x+1=0，得x 1=0，x 2=1m −1∈(−1,0).在区间(−1,x 2)上，g ′(x )>0，在区间(x 2,0)上，g ′(x )<0. 所以，函数g (x )在x 2处有极大值g (x 2)，且g (x 2)>g (0)=0.而当x→−1时，g (x )→−∞，因此，g (x )=0在(−1,x 2)内也有一个解，矛盾.综上，得m=1.（2）注意到f ′(x )=mx 2+(m−2)x−1x+1(x >−1).故f ′(x )<0⇔ℎ(x )=mx 2+(m −2)x −1<0. ① 因为Δ=(m −2)2+4m =m 2+4>0，且对称轴为x =−12+1m>−1，ℎ(−1)=m −(m −2)−1=1>0，所以，方程ℎ(x )=0在(−1,+∞)内有两个不同实根x 1、x 2，即式①的解集为(x 1 、 x 2).故函数f (x )的单调递减区间为[x 1,x 2]. 则t=x 2−x 1=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√Δm 2=√1+4m 2.又因为m≥1，所以，1<√1+4m ≤√5.从而，函数y =f (x )的递减区间长度t 的取值范围为(1,√5].12.2010由y =f −1(x +1)，得x +1=f (y )，即x =f (y )−1. 则y=f −1(x +1)的反函数为y =f (x )−1. 故f (x +1)−f (x )=−1.令x=1,2,⋅⋅⋅,1997，各式相加并化简得f (1998)−f (1)=−1997.所以，f (1998)=2010.13.π9【解析】13.由题设知MN 的中点P 到点A 的距离恒为1.所以，点P 的轨迹是以A 为球心、1位半径的球面在三棱柱内的部分. 故所围成的几何体体积是16V 半球=π9. 14.P (1,1)和P (−4,4)【解析】14.设P (a,b )，直线l 1、l 2的方程分别为y −b =k (x −a )，y −b =−1k(x −a )，即kx−y −ka +b =0，x +ky −a −bk =0.易得圆心C 1(3,0)到l 1的距离与圆心C 2(0,5)到l 2的距离相等. √k +1=√k +1即|(3+a )k −b |=|(5−b )k −a |. 此等式对无数多个k 成立，故{3+a =5−b,b =a，或{3+a =b −5b =−5 ，即得{a =1b =1 ；{a =−4,b =4 .故P (1,1)和P (−4,4).15.2n−1【解析】15.设所求的个数为A n . 则A 1=1.对n>1，若n 排在第i 位，则它之后的n −i 位数完全确定，只能是n −i ，n −i −1，…，2，1. 而它之前的i −1位，n −i +1，n −i +2，…，n −1有A i−1种排法.令i=1,2,⋅⋅⋅,n . 则A n =1+A 1+⋅⋅⋅+A n−2+A n−1=(1+A 1+⋅⋅⋅+A n−2)+A n−1=A n−1+A n−1=2A n−1.由此得A n=2n−1.16.8【解析】16.由条件易知a>0，b2−4ac≤0.注意到M=a+2b+4cb−a=a2+2ab+4aca(b−a)≥a2+2ab+b2a(b−a).令t=ba. 则t>1.于是，M≥a2+2ab+b2a(b−a)=t2+2t+1t−1=(t−1)+4t−1+4≥2√4+4=8.等号成立的充分必要条件为t=3，b2=4ac，即b=3a，c=94a.所以，M的最小值为8.17.16【解析】17.考虑手持5元钞票的5个人在队中的位置，共有C105=252种等几率的排队方式. 设p(m,n)表示m个手持5元钞票、n个手持10元钞票的人满足条件的排队方式数. 则p(m,0)=1.当m<n时，p(m,n)=0，且p(m,n)=p(m,n−1)+p(m−1,n).如图，p(5,5)等于从A到B不能穿过对角线的路径数，即p(5,5)=42.故所求的概率为42252=16.。

2010年浙江省高中数学竞赛试卷

2010年浙江省高中数学竞赛试卷说明：本试卷分为A 卷和B 卷：A 卷由本试卷的2２题组成，即10道选择题，7道填空题、3道解答题和2道附加题；B 卷由本试卷的前20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道解答题。

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分） 1．化简三角有理式xx x x xx x x 22662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为（ A ）A. 1B. sin cos x x +C. sin cos x xD. 1+sin cos x x解答为 A 。

22442222sin cos )(sin cos sin cos )2sin cos x x x x x x x x ++-+分母=(4422s i n c o s s i nc o sx x x x =++。

也可以用特殊值法2．若2:(10,:2p x x q x ++≥≥-，则p 是q 的（ B ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件解答为 B 。

p 成立3x ⇔≥-，所以p 成立，推不出q 一定成立。

3．集合P={363,=+++∈x x R x x }，则集合R C P 为（ D ） A. {6,3}x x x <>或 B. {6,3}x x x <>-或C. {6,3}x x x <->或D. {6,3}x x x <->-或解答：D 。

画数轴，由绝对值的几何意义可得63x -≤≤-，{}63,{6,3}R P x x C P x x x =-≤≤-=<->-或。

4．设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。

已知OP =a ，OQ =b ，OR =r a +k b .若△PQR 为等边三角形，则k ，r 的取值为（ C ）A ．k r ==B ．k r ==C ．k r ==D ．k r ==解答．C. PQ QR PR ==，==。

2010年全国高中数学联赛B卷(含详细解答)

2010年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 ]3,3[-.解：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-. 2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 1223≤≤-a . 解：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即t a at t g )3()(3-+-=.由 3)3(3-≥-+-t a at ， 0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即 3)(2-≥+t t a （1）当1,0-=t 时（1）总成立；对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t . 从而可知 1223≤≤-a .3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 9800 .解：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为 98009848512=+⨯.4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα3. 解：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则 ,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+，（2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有 βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即 βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立. 从而 βαα+-=-=9log 3,69log ，求得 3,33==βα， 333+=+βα. 5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a ax f x x在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 41-. 解：令,y a x=则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=，所以 412213)21()(2min -=-⨯+=y g ；当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以 412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是1217. 解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为 +⨯+⨯+127)125(127)125(12742 17121442511127=-⨯=.7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin4. 解一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=B A B BA .设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x BP m z x BA ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x B x A B 由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α⋅=⋅，2cos cos αα=⇒=.所以 410sin =α. 解二：如图，PB PA PC PC ==11, .设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为所以从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E . 连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角. 设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11, 即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. 8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 336675 .解：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知 100420096100331⨯=+⨯+k ，OEPC 1B 1A 1CBA110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=， 3356713343351003=-⨯=k . 从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为 33667533567110031=++. 二、解答题（本题满分56分）9.（本小题满分16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.解一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得（4分）)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=. （8分）所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤， 38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）解二：c bx ax x f ++='23)(2.设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g . 设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h . （4分）容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . （8分）从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ，即 21434302≤++++≤c b a z a ，从而0143≥+++c b a ,2432≤z a，由 102≤≤z 知38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.（16分）10.（本小题满分20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.解一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=.线段AB 的垂直平分线的方程是 )2(30--=-x y y y . （1）易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.（5分）由（1）知直线AB 的方程为 )2(300-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2）（2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即 012222002=-+-y y y y .（3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且1y 22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+= ]4))[(91(2122120y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离 202029)0()25(y y CM h +=-+-==. （10分）220209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314=.（15分）当且仅当20202249y y -=+，即0y =,A B 或A B -时等号成立. 所以ABC ∆面积的最大值为7314.（20分）解二：同解一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.（5分）设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值, （10分） 2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆221221)5()(23+-=t t t t )5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,7314≤∆ABC S , （15分）当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t 6572+-=t,66((33A B 或A B -时等号成立. 所以ABC ∆面积的最大值是7314. （20分）11.（本小题满分20分）数列{}n a 满足),2,1(1,312211 =+-==+n a a a a a n n n n .求证:n n n a a a 2212312131211-<+++<-- . （1）证明：由1221+-=+n n n n a a a a 知 111121+-=+n nn a a a ，)11(1111-=-+nn n a a a . （2）所以 211,111n n n n n n na a aa a a a ++==----即 1111n n n n n a aa a a ++=---. （5分）从而 n a a a +++ 211133222*********++---++---+---=n n n n a a a a a a a aa a a a 11111112111++++--=---=n n n n a a a a a a .所以（1）等价于n n n n a a 2112312112131211-<--<-++-，即 nn n n a a 21123131<-<++- . （3）（10分）由311=a 及 1221+-=+n n n n a a a a 知 712=a .当1n =时，2216a a -=，11122363<<- ，即1n =时，（3）成立.设)1(≥=k k n 时，（3）成立，即 k k k k a a 21123131<-<++-. 当1+=k n 时，由（2）知kk k k k k k k a a a a a a a 2211111223)1()1(11>->-=-+++++++；（15分）又由（2）及311=a 知 )1(1≥-n a a nn 均为整数，从而由k k k a a 21131<-++ 有 131211-≤-++k k k a a 即kk a 2131≤+ ，所以122211122333111+<⋅<-⋅=-+++++k k k k k k k k a a a a a ，即（3）对1+=k n 也成立.所以（3）对1≥n 的正整数都成立，即（1）对1≥n 的正整数都成立. （20分）2010年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。

迎春杯年年中高年级初赛复赛试题真题整理

迎春杯2011年-2017年中高年级初赛复赛试题真题整理2011年少儿迎春杯三年级初赛(试题)2010年12月19日“数学解题能力展示”读者评选活动三年级组初赛试题（活动时间：12月19日11:00—12:00；满分150）一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分）1.计算：82-38+49-51=.2.超市中的某种汉堡每个10元，这种汉堡最近推出了“买二送一”的优惠活动，即花钱买两个汉堡，就可以免费获得一个汉堡，已知东东和朋友需要买9个汉堡，那么他们最少需要花元钱。

3.小亮家买了72个鸡蛋，他们家还养了一只每天都下一个蛋的母鸡；如果小亮家每天吃4个鸡蛋，那么，这些鸡蛋够他们家连续吃天。

个只由数字8组成的自然数之和为1000，其中最大的数与第二大的数之差是.5．已知：1×9+2=1112×9+3=111123×9+4=1111……△×9+○=111111那么△+○=.二、填空题Ⅱ（每题10分，共50分）6.四月份共有30天，如果其中有5个星期六和星期日，那么4月1日是星期.（星期一至星期日用数字1至7表示）7．小明把三支飞镖掷向下图所示的镖盘上，然后把三支飞镖的得分相加，镖盘上的数字代表这个区域的得分，未中镖盘记0分.那么小明不可能得到的总分最小是.8.一天中午，孙悟空吃了10个桃子，猪八戒吃了25个包子，孙悟空说猪八戒太能吃了，但猪八戒说自己的包子比桃子小得多，还是孙悟空吃的多.聪明的沙僧用天平得到了下面两种情况，（圆圈是桃子，三角是包子长方形表示重量为所标数值的砝码），那么1个桃子和1个包子共重克.9．在算式=2010中，不同的字母代表不同的数字.那么，A+B+C+D+E+F+G=.10．红星小学组织学生参加队列演练，一开始只有40个男生参加，后来调整队伍，每次调整减少3个男生，增加2个女生，那么调整次后男生女生人数就相等了.三、填空题Ⅲ（每题12分，共60分）11．如图1是一个3×3的方格表，每个方格（除了最后一个方格）都包含了1～9中某个数字和一个箭头，每一个方格中的箭头都正好指向了下一个数字所在方格的方向，如1号方格的箭头指向右方，代表2号方格在1号方格右方，2号方格指向斜下，代表3号方格在2号斜下方，3号方格指向上方，代表4号方格在3号方格上方，……（指向的方格可以不相邻），这样正好从1到9走完整个方格表。

2010年祥云版数学解题能力展示复赛试题(绝密)

2010年祥云版数学解题能力展示复赛试题（绝密）1、171717171717++=_______；1818818881818181818182、一个六位数23□56□是88的倍数,这个数除以88所得的商是_____或_____.3、主人对客人说：“院子里有三个小孩，他们的年龄之积等于72，年龄之和恰好是我家的楼号，楼号你是知道的，你能求出这些孩子的年龄吗？”客人想了一下说：“我还不能确定答案。

”他站起来，走到窗前，看了看楼下的孩子说：“有两个很小的孩子，我知道他们的年龄了。

”主人家的楼号是_____ ,孩子的年龄是_____.4、一个班有45个小学生,统计借课外书的情况是:全班学生都借有语文或数学课外书.借语文课外书的有39人,借数学课外书的有32人.语文、数学两种课外书都借的有人.5、主人追他的狗,狗跑三步的时间主人跑两步,但主人的一步是狗的两步,狗跑出10步后,主人开始追,主人追上狗时,狗跑出了步.6、如图是一个边长为6分米的正方形，O点是正方形的中心（两条对角线的交点），AB的长是4分米，则阴影部分的面积是-------平方分米。

7、用2个1，2个2，2个3可以组成_____个互不相同的六位数，用2个0，2个1，2个2可以组成_____个互不相同的六位数。

8、有0、1、4、7、9五个数字，从中选出四个数字组成不同的四位数，如果把其中能被3整除的四位数从小到大排列起来，第五个数的末位数字是_____. 9、一位少年短跑选手,顺风跑90米用了10秒钟.在同样的风速下,逆风跑70米,也用了10秒钟.在无风的时候,他跑100米要用秒.10、某教师每天早上驾车40公里到学校需要用55分钟,某天早上她迟离开家7分钟,那么她的车速每小时为公里时才能和平常一样按时到达学校.。

2010参考答案及详细解析

参考答案及详细解析第一部分数量关系．．［解析］本题为立方修正数列，，，，，，，（），所以选择选项。

．．［解析］本题为平方递推数列，，，，，（），最后计算直接用尾数判断即可，所以选择选项。

．．［解析］本题为递推数列。

×，×，×，×，×（）。

所以选择选项。

．．［解析］本题为递推数列，与年国考题第一个数字推理题规律相同。

从第三项开始，递推式为（）×。

或者用乘法拆分，分别为：×，×，×，×，×，下一项为×。

故选。

．．［解析］本题为递推数列，递推式为×（），≥。

故选。

．．［解析］本题为几何类题目。

因为正三角形和一个正六边形周长相等，又正三角形与正六边形的边的个数比为︰，所以其边长比为︰，正六边形可以分成个小正三角形，边长为的小正三角形面积：边长为的小正三角形面积︰。

所以正六边形面积：正三角形的面积×。

所以选。

．．［解析］原答案选是错的，应选，解析您自己想。

．．［解析］假设甲阅览室科技类书籍有本，文化类书籍有本，则乙阅读室科技类书籍有本，文化类书籍有本，由题意有：（）（），解出，则甲阅览室有科技类书籍本。

．．［解析］本题为工程类题目。

设总工程量为，则甲的效率是，乙的效率是，工作小时后，完成了。

第小时甲做了，完成了总工程量，剩余的由乙在第十四小时完成。

在第十四小时里，乙所用的时间是小时，所以总时间是小时。

．．［解析］本题为概率类题目。

假设甲、乙分别在分钟之内到达约会地点的情况如下图，则只有在阴影部分区域甲乙能够相遇，也就是求阴影部分面积的比例。

很容易看出，阴影部分的面积为。

．．【解析】为了使此人坐下后身边总有人，则原来长椅上除了首尾两个位置，中间的最大空位不能超过个，首尾两个位置的最大空位数不能超过个。

设第一个座位上有人，则每三个座位上有人，所以从第个座位到第个座位共有人，而最后边上的两个座位必须再坐一个人，才能保证此人坐下后身边总有人，所以至少有人。

2010年“数学解题能力展示”读者评选活动小学高年级组复试试卷

2010年“数学解题能力展示”读者评选活动小学高年级组复试试卷（测评时间：2010年2月6日8：30—10：00）学生诚信协议：活动期间，我确定没有就所涉及的问题或结论，与任何人、用任何方式交流或讨论．我确定以下的答案均为我个人独立完成的成果．否则愿接受本次成绩无效的处罚．我同意遵守以上协议．签名：___________一、填空题Ⅰ（每题8分，共40分）1. =⨯-⨯+1457266.22010 ． 2. 下表是人民币存款基准利率表．小明现在有10000元人民币，如果他按照三年期整存3. 如图所示，有大小不同的两个正方体，大正方体的棱长是小正方体棱长的6倍．将大正方体的6个面都染上红色，将小正方体的6个面都染上黄色，再将两个正方体粘合在一起．那么这个立体图形表面上红色面积是黄色面积的倍．4. 有一块用于实验新品种水稻的试验田形状如图，面积共40亩，一部分种植新品种，另一部分种植旧品种（种植面积不一定相等），以方便比较成果．旧品种每亩产500千克；新的品种中有75%都没有成功，每亩只产400千克，但是另外25%试验成功,每亩产800千克．那么，这块试验田共产水稻千克．5. 在每个方框中填入一个数字，使得乘法竖式成立．已知乘积有两种不同的得数，那么这两个得数的差是．二、填空题Ⅱ（每题10分，共50分） 6. 直角边长分别为18厘米,10厘米的直角△ABC 和直角边长分别为14厘米,4厘米的直角△ADE 如图摆放．M 为AE 的中点，则△ACM 的面积为平方厘米．7. 黑板上一共写了10040个数字，包括2006个1，2007个2，2008个3，2009个4，2010个5．每次操作都擦去其中4个不同的数字并写上一个第5种数字（例如擦去1、2、3、4各1个，写上1个5；或者擦去2、3、4、5各一个，写上一个1；……）. 如果经过有限次操作后，黑板上恰好剩下了两个数字，那么这两个数字的乘积是．8. 蜜蜂王国为了迎接2010年春节的到来，特地筑了一个蜂巢如下．每个正六边形蜂窝中，有由蜂蜜凝结而成的数字0、1或2．春节到来之时，群蜂将在巢上跳起舞步，舞步的每个节拍恰好走过的四个数字：2010（从某个2出发最后走完四步后又回到2，如新品种 25% 旧品种图中箭头所示为一个舞步），且蜜蜂每一步都只能从一个正六边形移动到与之有公共边的正六边形上．蜜蜂要经过四个正六边形且所得数字依次为2010，共有种方法．9. 在反恐游戏中，一名“恐怖分子”隐藏在10个排成一行的窗户后面，一位百发百中的“反恐精英”使用狙击枪射击这名“恐怖分子”．“反恐精英”只需射中“恐怖分子”所在的窗户就能射中这名“恐怖分子”．每次射击完成后，如果“恐怖分子”没有被射中，他就会向右移动一个窗户．一旦他到了最右边的窗户，就停止移动．为了确保射中这名“恐怖分子”，“反恐精英”至少需要射击次．10. 如图所示，直线上并排放置着两个紧挨着的圆，它们的面积都等于1680平方厘米．阴影部分是夹在两圆及直线之间的部分．如果要在阴影部分内部放入一个尽可能大的圆，则这个圆的面积等于_________平方厘米．三、填空题Ⅲ（每题12分，共60分）11. 用1～9这9个数字各一次，组成一个两位完全平方数，一个三位完全平方数，一个四位完全平方数．那么，其中的四位完全平方数最小是． 12. 现有一块L 形的蛋糕如图所示，现在要求一刀把它切成3部分，因此只能按照如图的方式切，但不能斜着切或横着切.要使得到的最小的那块面积尽可能大，那么最小的面积为平方厘米． 13. 小李开车从甲地去乙地，出发后2小时，车在丙地出了故障，修车用了40分钟，修好后，速度只为正常速度的75%，结果比计划时间晚2小时到乙地．若车在行过丙地72千米的丁地才出故障，修车时间与修车后的速度分别还是40分钟与正常速度的75%，则比计划时间只晚1.5小时．那么，甲乙两地全程千米．14. 9000名同学参加一次数学竞赛，他们的考号分别是1000,1001,1002,…9999．小明发现他的考号是8210，而他的朋友小强的考号是2180．他们两人的考号由相同的数字组成（顺序不一样），差为2010的倍数．那么，这样的考号（由相同的数字组成并且差为2010的倍数）共有对．15. 小华编了一个计算机程序．程序运行后一分钟，电脑屏幕上首次出现一些肥皂泡，接下来每到整数分钟的时刻都会出现一些新的肥皂泡，数量与第一分钟出现的相同．第11次出现肥皂泡后半分钟，有一个肥皂泡破裂．以后每隔一分钟又会有肥皂泡破裂，且数量比前一分钟多1个（即第12次出现肥皂泡后半分钟，有2个肥皂泡破裂…）．到某一时刻，已破裂的肥皂泡的总数恰好等于电脑屏幕上出现过的肥皂泡的总数，即此刻肥皂泡全部消失．那么在程序运行的整个过程中，在电脑屏幕上最多同时有个肥皂泡出现．答案：（1）2058（2）10999(3)43(4)20000(5)1080(6)53(7)8(8)30(9)6(10)105(11)1369(12)80(13)288(14)50(15)102610厘米 20厘米 30。

2010全国高中数学联赛试题及答案

2010年全国高中数学联合竞赛一试试卷（考试时间：10月17日上午8∶00—9∶20）一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在横线上．1．函数()f x 的值域是．2．已知函数()2cos 3sin y a x x =-的最小值为3-，则实数a 的取值范围是．3．双曲线221x y -=的右半支与直线100x =围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是．4．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列，其中13a =，11b =，22a b =，533a b =，且存在常数α，β使得对每一个正整数n 都有log n n a b αβ=+，则αβ+= ． 5．函数()232xx f x aa =+-（0a >，1a ≠）在区间[]1,1x ∈-上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是．6．两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷．先投掷人的获胜概率是．7．正三棱柱111ABC A B C -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角11B A P B α--=，则sin α= ．8．方程2010x y z ++=满足x y z ≤≤的正整数解（x ，y ，z ）的个数是．二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9．（本小题满分16分）已知函数()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠），当01x ≤≤时，()'1f x ≤，试求a 的最大值．10．（本小题满分20分）已知抛物线26y x =上的两个动点A （1x ，1y ）和B （2x ，2y ），其中12x x ≠且124x x +=．线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值．11．（本小题满分20分）证明：方程32520x x +-=恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列{}n a ，使得31225a a a r r r =+++．解答1. ]3,3[- 提示：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.2. 1223≤≤-a 提示：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即 t a at t g )3()(3-+-=.由3)3(3-≥-+-t a at ，0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即3)(2-≥+t t a . （1）当1,0-=t 时（1）总成立；对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t .从而可知 1223≤≤-a . 3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为98009848512=+⨯.3 提示：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则,3q d =+ （1） 2)43(3q d =+，（2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立. 从而βαα+-=-=9log 3,69log ，求得 3,33==βα，333+=+βα.5. 41-提示：令,y a x=则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的. 当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=，所以412213)21()(2min -=-⨯+=y g ；当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 1217 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为+⨯+⨯+127)125(127)125(1274217121442511127=-⨯=.7.4提示：解法一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=P B A B BP BA . 设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x BP m z x BA m ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x P B n x A B n 由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==n m ，所以cos m n m n α⋅=⋅，即2cos cos 4αα=⇒=. 所以 410sin =α.解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设BA 1与1AB 交于点,O则OEPC 1B 1A 1CBA1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ .11,,PA PB PO AB =⊥因为所以从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11,即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. 8. 336675 提示：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为 1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知100420096100331⨯=+⨯+k ，所以110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=，即3356713343351003=-⨯=k .从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.9. 解法一： ,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤，所以38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38. 解法二：c bx ax x f ++='23)(2. 设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g . 设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h .容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . 从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ，即21434302≤++++≤c b a z a ，从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知38≤a .又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.10. 解法一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=.线段AB 的垂直平分线的方程是)2(30--=-x y y y . （1）易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.由（1）知直线AB 的方程为)2(30-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2）（2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即012222002=-+-y y y y . （3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+=]4))[(91(2122120y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离 202029)0()25(y y CM h +=-+-==.220209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314=. 当且仅当20202249y y -=+，即0y =,A B或A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值为7314. 解法二：同解法一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值, 2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆221221)5()(23+-=t t t t )5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,所以7314≤∆ABC S , 当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t6572+-=t ,66((33A B +-+-或A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值是7314. 11.令252)(3-+=x x x f ，则056)(2>+='x x f ，所以)(x f 是严格递增的.又043)21(,02)0(>=<-=f f ，故)(x f 有唯一实数根1(0,)2r ∈.所以 32520r r +-=，3152rr -=4710r r r r =++++.故数列),2,1(23 =-=n n a n 是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列 <<<<n a a a 21和 <<<<n b b b 21满足52321321=+++=+++ b b b a a a r r r r r r ，去掉上面等式两边相同的项，有+++=+++321321t t t s s s r r r r r r ，这里 <<<<<<321321,t t t s s s ，所有的i s 与j t 都是不同的.不妨设11t s <，则++=++<21211t t s s s r r r r r ，112111111121211=--<--=++≤++<--rr r r r s t s t ，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.2010年全国高中数学联合竞赛加试试卷（A 卷）（考试时间：10月17日上午9∶40—12∶10）一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK MN ⊥，则A ，B ，D ，C 四点共圆．二、（本题满分40分）设k 是给定的正整数，12r k =+．记()()()1f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥， ()()()()()1l l f r f f r -=，2l ≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥．三、（本题满分50分）给定整数2n >，设正实数1a ，2a ，…，n a 满足1k a ≤，1k =，2，…，n ，记12kk a a a A k+++=，1k =，2，…，n ．求证：1112n nk k k k n a A ==--<∑∑．四、（本题满分50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数MN中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解答1. 用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ．因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ） ()()2222PO r KO r =-+-，同理()()22222QK QO r KO r =-+-，所以 2222PO PK QO QK -=-，故OK ⊥PQ ．由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得NB MC BD CD =，所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆.注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长PK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅，⑤⑤-④，得2PK PE PC AK KE =⋅-⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）．注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．MFE QPONMK DCBA2. 记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭为整数．假设命题对1(1)v v -≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+，这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++．于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭2122kk k =+++ 11211212(1)2()222v v v vv v v ααα-++++=+++⋅++⋅+++12k '=+， ①这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++⋅++⋅+++.显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，12r k ''=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v fr +是一个整数，这就完成了归纳证明．3. 由01k a <≤知，对11k n ≤≤-，有110,0k n i i i i k ak a n k ==+<≤<≤-∑∑．注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y -<，于是对11k n ≤≤-，有11111kn n k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭∑∑ 11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑ 11111max ,nk i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎫<-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∑∑ 111max (),n k k nk n ⎧⎫⎛⎫≤--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭ 1k n=-，故 111n n nkk n k k k k a A nA A ===-=-∑∑∑ ()1111n n n k n k k k AA A A --===-≤-∑∑ 111n k k n -=⎛⎫<- ⎪⎝⎭∑12n -=． 4. 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点1A 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点23,,,n A A A 上的设置．为了使得最终回到1A 时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍．设标有a 的边有2i 条，02n i ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b 的边有2j 条，202n i j -⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i 条边标记a 的有2i n C 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22j n i C -种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2i n C 22j n i C -种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑． ①这里我们约定001C =．当n 为奇数时，20n i ->，此时22221202n i j n i n i j C -⎡⎤⎢⎥⎣⎦---==∑． ②代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦----====⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ 0022(1)(21)(21)n nkn k k n k k n n nn k k C C --===+-=++-∑∑ 31n =+．当n 为偶数时，若2n i <，则②式仍然成立；若2n i =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑()122210412n i n i n i C ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦--=⎛⎫ ⎪⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭∑ ()2221024233n i n i n n i C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦--==+=+∑．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n +种；当n 为偶数时有33n+种．。

2010年全国高中数学联赛试题及解答

2010年全国高中数学联赛一试试题参考答案及评分标准（B 卷）说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不要增加其他中间档次。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 ]3,3[-.解：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.2. 已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是1223≤≤-a . 解：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即t a at t g )3()(3-+-=.由3)3(3-≥-+-t a at ，0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即 3)(2-≥+t t a （1）当1,0-=t 时（1）总成立；对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t .从而可知 1223≤≤-a . 3. 双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 9800 .解：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为98009848512=+⨯.4. 已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a log ，则=+βα3.解：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则 ,3q d =+ （1）2)43(3q d =+，（2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有 βα+=-+-19log )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即βα+-=-9log )1(36n n 对一切正整数n 都成立.从而βαα+-=-=9log 3,69log ，求得 3,33==βα， 333+=+βα.5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 41- . 解：令,y a x=则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=，所以 412213)21()(2m in -=-⨯+=y g ；当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2m ax =⇒=-+=a a a y g ，所以412232)(12m in -=-⨯+=--y g . 综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 1217. 解：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为+⨯+⨯+127)125(127)125(1274217121442511127=-⨯=. 7. 正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin4解一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，)1,3,1(),0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(1111--=-=-=-=P B A B BP BA .设分别与平面PBA 1、平面PA B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x z x BA m ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x B x A B n 由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α⋅=⋅，2cos cos 4αα=⇒=.所以410sin =α.解二：如图，PB PA PC PC ==11, .设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ . 11,,PA PB PO AB =⊥因为所以OEPC 1B 1A 1CA从而⊥1AB 平面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E . 连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角. 设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB .在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11, 即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α.8. 方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 336675 . 解：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k . 易知 100420096100331⨯=+⨯+k ，110033*********-⨯-⨯=k200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=，3356713343351003=-⨯=k .从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++. 二、解答题（本题满分56分）9.（本小题满分16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.解一： ,23)(2c bx ax x f ++='由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得（4分）)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=. （8分）所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤，38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38. （16分）解二：c bx ax x f ++='23)(2. 设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g .设12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x . 14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h . （4分）容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . （8分）从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ，即21434302≤++++≤c b a z a ，从而0143≥+++c b a ,2432≤z a，由 102≤≤z 知38≤a . （12分）又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a最大值为38. （16分）10.（本小题满分20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求ABC ∆面积的最大值.解一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则 2,22210210y y y x x x +==+=，01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--=.线段AB 的垂直平分线的方程是)2(30--=-x y y y . （1）易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(. （5分）由（1）知直线AB 的方程为)2(300-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2）（2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即 012222002=-+-y y y y .（3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-=22120))()3(1(y y y -+=]4))[(91(212212y y y y y-++= ))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离 22029)0()25(y y CM h +=-+-==. （10分）2020209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆)9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314=. （15分）当且仅当20202249y y -=+，即0y =,A B 或A B -时等号成立. 所以ABC∆面积的最大值为7314.（20分）解二：同解一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(. （5分）设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值,（10分）2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC--+=∆ 221221)5()(23+-=t t t t)5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,7314≤∆ABC S ,（15分）当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t 6572+-=t,66((33A B +或A B -时等号成立. 所以ABC ∆面积的最大值是7314. （20分）11.（本小题满分20分）数列{}n a 满足),2,1(1,312211 =+-==+n a a a a a n n n n . 求证:n n n a a a 2212312131211-<+++<-- . （1）证明：由1221+-=+n n n n a a a a 知111121+-=+n n n a a a ，)11(1111-=-+nn n a a a . （2）所以211,111n n n n n n na a aa a a a ++==----即 1111n n n n n a aa a a ++=---. （5分）从而n a a a +++ 211133222211111111++---++---+---=n n n n a a a a a a a aa a a a11111112111++++--=---=n n n n a a a a a a .所以（1）等价于n n n n a a 2112312112131211-<--<-++-，即n n n n a a 21123131<-<++- . （3）（10分）由311=a 及 1221+-=+n n n n a a a a 知 712=a .当1n =时，2216a a -=，11122363<<- ，即1n =时，（3）成立. 设)1(≥=k k n 时，（3）成立，即 k k k k a a 21123131<-<++-. 当1+=k n 时，由（2）知k k k k k k k k a a a a a a a 2211111223)1()1(11>->-=-+++++++；（15分）又由（2）及311=a 知 )1(1≥-n a a nn均为整数，从而由 k k k a a 21131<-++ 有 131211-≤-++k k k a a 即k k a 2131≤+ ，所以122211122333111+<⋅<-⋅=-+++++k k k k k k k k a a a a a ，即（3）对1+n也成立.所以（3）对1≥n的正整数都成立，=k即（1）对1≥n的正整数都成立.（20分）2010年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（B卷）说明：1. 评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。

2010年全国高中数学联赛试题及答案.pdf

对 0 t 1,0 t 2 t 2 ；对 1 t 0, 1 t 2 t 0 .从而可知 3 a 12 .
4
2
3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑 x 轴上方的情况，设 y k(k 1,2,,99) 与双曲线
右半支于 Ak ,交直线 x 100 于 Bk ，则线段 Ak Bk 内部的整点的个数为 99 k ，从而在 x 轴上方区
均为整数的点）的个数是
.
4. 已知 {an }是公差不为 0 的等差数列， {bn }是等比数列，其中
a1 3, b1 1, a2 b2 ,3a5 b3 ，且存在常数 , 使得对每一个正整数 n 都有 an log bn ，则

.
5. 函数 f (x) a 2x 3a x 2(a 0, a 1) 在区间 x [1,1]上的最大值为 8，则它在这个区
间上的最小值是
.
6. 两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于 6 者为胜，否则轮
由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是
.
7. 正三棱柱 ABC A1B1C1 的 9 条棱长都相等， P 是 CC1 的中点，二面角 B A1P B1 ,
则 sin
.
8. 方程 x y z 2010 满足 x y z 的正整数解（x,y,z）的个数是
.
二、解答题（本题满分 56 分）
9. （16 分）已知函数 f (x) ax3 bx 2 cx d (a 0) ，当 0 x 1 时， f (x) 1，试求 a 的最大值.
2

1. 4

2010年全国高中物理竞赛复赛试卷及答案[1]

2010年全国高中物理竞赛复赛试卷及答案[1] 第 27 届全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共九题，满分 160 分(计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤(只写出最后结果的不能得分(有数字计算的题(答案中必须明确写出数值和单位(填空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程(一、( 15 分)蛇形摆是一个用于演示单摆周期与摆长关系的实验仪器(见图)(若干个摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线，它们的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减小(设重2力加速度 g = 9 . 80 m/ s ,1 (试设计一个包含十个单摆的蛇形摆(即求出每个摆的摆长)，要求满足: ( a )每个摆的摆长不小于 0 . 450m ，不大于1.00m ; ( b )初始时将所有摆球由平衡点沿 x 轴正方向移动相同的一个小位移 xo ( xo <<0.45m ) ，然后同时释放，经过 40s 后，所有的摆能够同时回到初始状态(2 (在上述情形中，从所有的摆球开始摆动起，到它们的速率首次全部为零所经过的时间为______________________________________二、( 20 分)距离我们为 L 处有一恒星，其质量为 M ，观测发现其位置呈周期性摆动，周期为 T ，摆动范围的最大张角为?θ(假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它作圆周运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量m所满足的方程(若 L=10 光年， T =10 年，?θ = 3 毫角秒， M = Ms (Ms为太阳质量)，则此行星的质量和它运动的轨道半径r各为多少,分别用太阳质量 Ms 和国际单位 AU (平均日地距11离)作为单位，只保留一位有效数字(已知 1 毫角秒= 角秒，1角秒= 度，1AU=1.51000360085×10km,光速c = 3.0 ×10km/s.三、( 22 分)如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为m，半径为 R ，螺距H =πR ，可绕竖直的对称轴OO′，无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计(一质量也为 m 的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动,首先扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点 A ，这时螺旋环也处于静止状态(然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴OO′，转动(求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为 h 时，螺旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小(全国中学生物理竞赛复赛1--31四、( 12 分)如图所示，一质量为m、电荷量为 q ( q > 0 )的粒子作角速度为ω、半径为 R 的匀速圆周运动.一长直细导线位于圆周所在的平面内，离圆心的距离为d ( d > R ) ，在导线上通有随时间变化的电流I, t= 0 时刻，粒子速度的方向与导线平行，离导线的距离为d+ R .若粒子做圆周运动的向心力等于电流 i ,的磁场对粒子的作用力，试求出电流 i 随时间的变化规律(不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响(长直导线电流产生的磁k 已知( 感应强度表示式中的比例系数五、(20分)如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为+Q和-Q (Q >0) ，半径分别为R和R/2，小球面与大球面内切于C点，两球面球心O和O’的连线MN沿竖直方在MN与两球面的交点B、0和C处各开有足够小的孔因小孔损失的电荷量忽略不计，有一质量为m，带电荷为q(q>0的质点自MN线上离B点距离为R的A点竖直上抛。

2010年全国高中数学联赛试题及解答

4
10. （20 分）已知抛物线 y 2 6 x 上的两个动点 A x1 , y1 和B x2 , y2 ，其中 x1 x2 且 x1 x2 4 .线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C ，求 ABC 面积的最大值. x x y y2 解法一：设线段 AB 的中点为 M ( x0 , y0 ) ，则 x0 1 2 2, y0 1 ， 2 2
答案：
A1 C1 B1
设正三棱柱的棱长为 2，则 B 1,0,0 , B1 1,0, 2 , A1 1,0, 2 , P 0, 3,1 ．从而，
BA1 2,0, 2 , BP 1, 3,1 , B1 A1 2,0,0 , B1 P 1, 3, 1 ．
当 t 0, 1 时（1）总成立；
1 3 对 0 t 1,0 t 2 t 2 ；对 1 t 0, t 2 t 0 .从而可知 a 12 . 4 2
3. 双曲线 x2 y 2 1 的右半支与直线 x 100 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是答案：9800．解：由对称性知，只要先考虑 x 轴上方的情况，设 y k k 1, 2,
从而
3a 3a 8 b c 1 0 , z 2 2 ，由 0 z 2 1 知 a . 4 4 3 解法二： f x 3ax2 2bx c . 设 g x f x 1 ，则当 0 x 1 时， 0 g x 2 .
k AB y2 y1 y y1 6 3 . 22 y12 y2 y1 y0 x2 x1 y2 6 6
线段 AB 的垂直平分线的方程是

2010数学联合竞赛湖北省预赛试题详细参考答案(高二)

2010年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案（高二年级）说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．填空题只设8分和0分两档；第9小题4分一档，第10、11小题5分为一个档次。

请严格按照本评分标准的评分档次给分，不要增加其他中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分．一、填空题（本题满分64分，每小题8分。

直接将答案写在横线上。

）1．数列}{n a 满足：3,121==a a ，且)(||*12N n a a a n n n ∈-=++．记}{n a 前n 项的和为n S ，则=100S 89 ．解：因为9n n a a +=，即}{n a 时以9为周期的周期数列。

因为3,121==a a ，129...8a a a +++=，所以100111889S a =⨯+=点评：这是周期数列问题，关键在于找到其周期！2．在△ABC 中，已知B ∠的平分线交AC 于K ．若BC =2，CK =1，23则△ABC 的面积为16715．解：如图K B C A B K ∠=∠，在K B C 中，由余弦定理得222cos 2.BK BC KC KBC BK BC +-∠==cos BKC ∠=由正弦定理得sin C =所以s i n s i n ()A A B K B =∠+∠=，在ABK 中由正弦定理得sin 3sin BK AB AKB A =∠=,sin 2sin cos 16ABC KBC KBC ∠=∠∠= 所以△ABC的面积为1.sin 2S BA BC ABC =∠= 点评：处理三角形边角问题一般都用正余弦定理。

3．设100<n ，则使得nb a )(+的展开式中有连续三项的系数成等差数列的最大整数n 为 98 ．4．在小于20的正整数中，每次不重复地取出3个数，使它们的和能被3整除，不同的取法种数为 327 ．解：根据除以3的余数分类：①被3整除的数：3，6，9，12，15，18②被3除余1的数：1，4，7，10，13，16，19③被3除余2的数：2，5，8，11，14，17所以取出三个数的和能被3整除的取法有：333111676676327C C C C C C +++=点评：找到分类的依据是被3除的余数。

2010年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准(B卷)(20200920193600)

2010年全国高中数学联合竞赛加试试卷（B卷）（考试时间：10月17日上午9: 00-12: 10）题号-一--二二三四合计得分评卷人复核人考生注意:1 .本卷共四大题，全卷满分 180分。

2 .用圆珠笔或钢笔作答，解题书写不要超出装订线。

3 •不能用计算器。

一、（本题满分40分）如图，锐角三角形 ABC 的外心为O , K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M .求证：若OK 丄MN ，则A,B,C D 四点共圆。

得分评卷人R2二、（本题满分40分）设m 和n 是大于1的整数，求证：1 rmmA r nm mm1kk1 2 川 nn 1 ' qn m + 1 | y三、（本题满分50分）设X ,,是非负实数，求证:3f 2亠2丄 2 X 32x + y + z_zx + x [兰 ------- -----xy yz zx [ 3、一2丄2*2 丄2*2二x - xy y y - yz z z2四、（本题满分50分）设k是给定的正整数，f f * r）= f ［门,rf 1r二f f 1」r ,丨一2 •证明：存在正整数m，使得f m r为一个整数。

这里l.x 1表示不小于实数x的最小整数。

例如：-=1，1丄1 •〔2」2010年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案及评分标准（B卷）说明：1.评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，10分为一个档次，不要增加其他中间档次。

一、（本题满分40分）如图，锐角三角形ABC的外心为O, K是边BC上一点（不是边BC的中点），D是线段AK 延长线上一点，直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M .求证：若OK丄MN，则A,B, D , C四点共圆.证明：用反证法.若A, B, D , C不四点共圆，设三角形ABC的外接圆与AD交于点E,连接BE并延长交直线AN于点Q,连接CE并延长交直线AM于点P,连接PQ.2因为PK 二P的幕（关于O O）' K的幕（关于O O）二PO2 _r2KO2 _r2,同理QK2h[QO2—r2厂i KO2—r2,所以PO2_PK2=Q02_QK2,故OK丄PQ.由题设，OK丄MN，所以PQ// MN，于是由①，②，③可得AQ APQN PMNB DE AQ②* 1 ,BD EA QNMC DE AP ,③1.CD EA PM得由梅内劳斯（Menelaus）定理,所以ND MD詰二玩，故△ D MN s△ DCB，于是/ DMN--DCB，所以BC // MN , 故OK丄BC,PK KF = AK KE , ④NB _ MC BD CD ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而 A, B,D,C 四点共圆•2注1 : PK =P 的幕（关于O O ） K 的幕（关于O O ） ”的证明：延长 PK 至点F ，使得则P , E , F ,A 四点共圆，故PFE — PAE = BCE , 从而E , C , F , K 四点共圆，于是 PK PF = PE PC , ⑤⑤-④，得PK =PE PC - AK KE=P 的幕（关于O O ） K 的幕（关于O O ）.注2 :若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似.（本题满分40分）设m 和n 是大于1的整数，求证：1 r m k k j n j i m 2m I” n mJ nDsn “ c m j i J）m+1 [zJ =Ii=im +证明：由（q ・1）m1八，cm®得到JTm（q 1）m1-q m1八 C m”J 出分别将q =1,2,1山n 代入上式得:m2m1—1 八 c m“,J =Omm 1 m 1j j 3-2 =C m 12 ,J £m（30 分）（40 分）Nn m1_（ n—1）m1八瞄（n—1）J,J £PK KF = AK KE ,④m(n 1)m1一n m1八 n j.j =o将上面n 个等式两边分别相加得到:mn(n 1)m1一1 八(c m.「 i j),j=0i4 mJn(n 1)(n 1)m—1 二 n、(cm八 i j) (m 1)、j 」i 二(20 分)(40 分)三、(本题满分50分)设x, y,z 为非负实数，求证:(^^^rw-xy y 2)(y 2—yz z 2)(z 2zx x ) _ ( ).证明：首先证明左边不等式.因为 x 2 — xy + y 2 =」［(x + y) 2+3(x - y)］圣丄(x + y) , 24 4同理，有2 21 2 2 2 1 2y - yz z (y z) , z - zx x (z x); 4 4(10 分)(x 2-x y +y 2)y2-yz+ z 2Q zx + x 吩x酌川 z %()］1［(x y z )xy yz zx Txyz ；］ 64(20 分)1由算术-几何平均不等式，得xyz " (x y z)(xy • yz ■ zx),所以9 (x 2_xy y 2) y 2- yz z 2)z( - zx x(x 2+y 2 + z 2+2xy + gz + 2 x^+yz + zx 为( 左边不等式获证，其中等号当且仅当x = y = z 时成立. 下面证明右边不等式.根据欲证不等式关于 x, y, z 对称，不妨设 (z 2_zx x )( yz 2z - 2x 所以2 2 2 2 2(x- xy y) ( y - yz z ( z 运用算术-几何平均不等式，得 x 一 y 一 z ,于是xy yz zx 、3 3'(30 分)2 2 2 2乙x )x^ ( x xy ) y(40 分)x (y z xy (yz zx2 2,22 2 222、X -xy yxv 2(x -xy y )x y (x —xy y ) xy xy _ () xy22 2 2 2 2 2 2 2 2./X -xy y xy 、2 肿 y 、 z x y z x y z -( )( )=( )-( ).2 2 2 2右边不等式获证，其中等号当且仅当 x,y,z 中有一个为0,且另外两个相等时成立.(50 分)四、(本题满分50分)1设k 是给定的正整数，^k - •记f ⑴(r)二f(r)二r r , f ⑴(r)二使得f (m)(r)为一个整数.这里， x 表示不小于实数x 的最小整数，例如： -=1 ,1 =1证明：记v 2(n)表示正整数n 所含的2的幕次.则当 m 二v 2(k)，1时，f (m) (r)为整数.F 面我们对v 2(k) =v 用数学归纳法.当v=0时，k 为奇数，k+1为偶数，此时 f(r^^+— l^+-l(k +1)为整I 2 丿 |2 I 2 /‘数.(10分)假设命题对v - 1(v _1)成立.对于v _1，设k 的二进制表示具有形式k=2v2 2vI,这里，冷=0或者1, v 1, v 2^1 .(20分)kk 2k2 2 2vJ G v 1 1) 2v -:'v-2) -2v ^H - 22v HI21二 k ,① (40 分)2这里 k'2v4 • G v1 - 1) 2v G v< : v-2) 2v1 • III • 22v 71 .显然1k 中所含的2的幕次为v -1 .故由归纳假设知，r 二k •经过f 的v 次迭代得到整数，由①知,f (f 2)(r)), I _2 •证明：存在正整数m , 于是2f(v1)(r)是一个整数，这就完成了归纳证明. (50分)―出师表两汉：诸葛亮先帝创业未半而中道崩殂，今天下三分，益州疲弊，此诚危急存亡之秋也。

2010解题能力展示复赛试题解答(中年级组)

2010“数学解题能力展示”读者评选活动小学中年级组复试试卷（测评时间：2010年2月6日11：00—12：00）一、填空题(每题8分)1. =÷⨯+⨯+⨯14)2981918928(____________.分析与解答：592. 张杰从27起写了26个连续奇数，王强从26起写了26个连续自然数，然后他们分别将自己写的26个数求和，那么这两个和的差是____________. 分析与解答：差恰好是1+2+3+……+26=3513. 某校三(1)班举办优秀少先队员评选活动.每位同学如果表现优秀，则可得一枚小红花，5枚小红花可换成一面小红旗，4面小红旗可换成一个奖章，3个小奖章可换成一个小金杯，一学期得2个小金杯，可评为优秀少先队员，那么要评为优秀少先队员，需要得________个小红花.分析与解答：5×4×3×2=120（个）4. 3个相同的正方形纸片按相同的方向叠放在一起(如图)，顶点A 和B 分别与正方形中心点重合，如果所构成图形的周长是48厘米，那么这个图形覆盖的面积是__________平方厘米. 分析与解答：将这3个正方形分割，可知这个图形的周长即为两个正方形纸片的周长之和，故正方形边长为48÷8=6（厘米），则图中每个分割得到的小正方形边长为6÷2=3（厘米），所以这个图形覆盖的面积为6×6×2+3×3×2=90（平方厘米）。

二、填空题(每题10分)5. 国庆游园会上，有一个100人的方队.方队中每个人的左手要么拿红花，要么拿黄花；每人的右手要么拿红气球，要么拿绿气球.已知拿红花的有42人，拿红气球的有63人，左手拿黄花、右手拿绿气球的有28人.则左手拿红花.右手拿红气球的有________人. 分析与解答：列表解答即可。

因为红气球共有63个，所以绿气球共有100-63=37个，则拿红花、绿气球的有37-28=9个；因为拿红花的共42人，所以拿红花红气球的共有42-9=33人。

2010年全国高中数学联赛试题

2010年全国高中数学联赛试题第一试一、填空题（每小题8分，共64分，） 1. 函数x x x f 3245)(---=的值域是 .2.已知函数x x a y sin )3cos (2-=的最小值为3-，则实数a 的取值范围是 .3.双曲线122=-y x 的右半支与直线100=x 围成的区域内部（不含边界）整点（纵横坐标均为整数的点）的个数是 .4.已知}{n a 是公差不为0的等差数列，}{n b 是等比数列，其中3522113,,1,3b a b a b a ====，且存在常数βα,使得对每一个正整数n 都有βα+=n n b a l o g ，则=+βα .5. 函数)1,0(23)(2≠>-+=a a a a x f x x 在区间]1,1[-∈x 上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是 .6.两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .7.正三棱柱111C B A ABC -的9条棱长都相等，P 是1CC 的中点，二面角α=--11B P A B ,则=αsin .8.方程2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解（x ,y ,z ）的个数是 .二、解答题（本题满分56分）9. （16分）已知函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f ，当10≤≤x 时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值.10.（20分）已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和，其中21x x ≠且421=+x x .线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ，求A B C ∆面积的最大值.11.（20分）证明：方程02523=-+x x 恰有一个实数根r ，且存在唯一的严格递增正整数数列}{n a ，使得 +++=32152a a a r r r .解答1. ]3,3[- 提示：易知)(x f 的定义域是[]8,5，且)(x f 在[]8,5上是增函数，从而可知)(x f 的值域为]3,3[-.2. 1223≤≤-a 提示：令t x =sin ，则原函数化为t a at t g )3()(2-+-=，即t a at t g )3()(3-+-=.由3)3(3-≥-+-t a at ，0)1(3)1(2≥----t t at ，0)3)1()(1(≥-+--t at t 及01≤-t 知03)1(≤-+-t at 即3)(2-≥+t t a . （1）当1,0-=t 时（1）总成立；对20,102≤+<≤<t t t ；对041,012<+≤-<<-t t t .从而可知 1223≤≤-a . 3. 9800 提示：由对称性知，只要先考虑x 轴上方的情况，设)99,,2,1( ==k k y 与双曲线右半支于k A ,交直线100=x 于k B ，则线段k k B A 内部的整点的个数为99k -，从而在x 轴上方区域内部整点的个数为991(99)99494851k k =-=⨯=∑.又x 轴上有98个整点，所以所求整点的个数为98009848512=+⨯.3 提示：设}{n a 的公差为}{,n b d 的公比为q ，则,3q d =+ （1）2)43(3q d =+，（2）（1）代入（2）得961292++=+d d d ，求得9,6==q d .从而有βα+=-+-19l o g )1(63n n 对一切正整数n 都成立，即βα+-=-9l o g )1(36n n 对一切正整数n 都成立.从而βαα+-=-=9log 3,69log ，求得 3,33==βα，333+=+βα. 5. 41- 提示：令,y a x =则原函数化为23)(2-+=y y y g ,)(y g 在3(,+)2-∞上是递增的.当10<<a 时，],[1-∈a a y ,211max 1()32822g y a a a a ---=+-=⇒=⇒=，所以412213)21()(2min -=-⨯+=y g ；当1>a 时，],[1a a y -∈，2823)(2max =⇒=-+=a a a y g ，所以412232)(12min -=-⨯+=--y g .综上)(x f 在]1,1[-∈x 上的最小值为41-.6.1217 提示：同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为1273621=，从而先投掷人的获胜概率为 +⨯+⨯+127)125(127)125(1274217121442511127=-⨯=.提示：解法一：如图，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 中点O 为原点，OC 所在直线为y 轴，建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2，则)1,3,0(),2,0,1(),2,0,1(),0,0,1(11P A B B -，从而，0,0,2(),1,3,1(),2,0,2(111-=-=-=A B .设分别与平面P BA 1、平面P A B 11垂直的向量是),,(111z y x m =、),,(222z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=++-=⋅=+-=⋅,03,022111111z y x z x BA m ⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=⋅=-=⋅,03,022221211z y x B x A B 由此可设 )3,1,0(),1,0,1(==，所以cos m n m n α⋅=⋅，即2cos cos αα=⇒=所以 410sin =α. 解法二：如图，PB PA PC PC ==11, . 设B A 1与1AB 交于点,O 则1111,,OA OB OA OB A B AB ==⊥ .平11,,PA PB PO AB =⊥因为所以从而⊥1AB 面B PA 1 .过O 在平面B PA 1上作P A OE 1⊥,垂足为E .连结E B 1,则EO B 1∠为二面角11B P A B --的平面角.设21=AA ,则易求得3,2,5111=====PO O B O A PA PB . 在直角O PA 1∆中，OE P A PO O A ⋅=⋅11,即 56,532=∴⋅=⋅OE OE .又 554562,222111=+=+=∴=OE O B E B O B . 4105542sin sin 111===∠=E B O B EO B α. OEPC 1B 1A 1CBA8. 336675 提示：首先易知2010=++z y x 的正整数解的个数为1004200922009⨯=C .把2010=++z y x 满足z y x ≤≤的正整数解分为三类：（1）z y x ,,均相等的正整数解的个数显然为1；（2）z y x ,,中有且仅有2个相等的正整数解的个数，易知为1003； (3)设z y x ,,两两均不相等的正整数解为k .易知100420096100331⨯=+⨯+k ，所以110033*********-⨯-⨯=k 200410052006123200910052006-⨯=-⨯+-⨯=，即3356713343351003=-⨯=k .从而满足z y x ≤≤的正整数解的个数为33667533567110031=++.9. 解法一：,23)(2c bx ax x f ++='由 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++='++='='cb a fc b a f c f 23)1(,43)21(,)0( 得)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=.所以)21(4)1(2)0(23f f f a '-'+'=)21(4)1(2)0(2f f f '+'+'≤ 8≤，所以38≤a . 又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.解法二：c bx ax x f ++='23)(2. 设1)()(+'=x f x g ，则当10≤≤x 时，2)(0≤≤x g .设 12-=x z ，则11,21≤≤-+=z z x .14322343)21()(2++++++=+=c b az b a z a z g z h . 容易知道当11≤≤-z 时，2)(0,2)(0≤-≤≤≤z h z h . 从而当11≤≤-z 时，22)()(0≤-+≤z h z h ，即 21434302≤++++≤c b az a ，从而 0143≥+++c b a ,2432≤z a ，由 102≤≤z 知38≤a .又易知当m x x x x f ++-=23438)(（m 为常数）满足题设条件，所以a 最大值为38.10. 解法一：设线段AB 的中点为),(00y x M ，则2,22210210y y y x x x +==+=， 01221221212123666y y y y y y y x x y y k AB =+=--=--= . 线段AB 的垂直平分线的方程是)2(30--=-x y y y . （1）易知0,5==y x 是（1）的一个解，所以线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.由（1）知直线AB 的方程为)2(30-=-x y y y ，即 2)(300+-=y y y x . （2）（2）代入x y 62=得12)(2002+-=y y y y ，即012222002=-+-y y y y . （3）依题意，21,y y 是方程（3）的两个实根，且21y y ≠，所以22200044(212)4480y y y ∆=--=-+>,32320<<-y .221221)()(y y x x AB -+-= 22120))()3(1(y y y -+= ]4))[(91(2122120y y y y y -++=))122(44)(91(202020--+=y y y)12)(9(322020y y -+=. 定点)0,5(C 到线段AB 的距离202029)0()25(y y CM h +=-+-==. 2020209)12)(9(3121y y y h AB S ABC +⋅-+=⋅=∆ )9)(224)(9(2131202020y y y +-+=3202020)392249(2131y y y ++-++≤7314= . 当且仅当2202249y y -=+，即0y =,A B或A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值为7314. 解法二：同解法一，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点C 为定点，且点C 坐标为)0,5(.设4,,,222121222211=+>==t t t t t x t x ，则161610521222121t t t t S ABC =∆的绝对值,2222122112))656665(21(t t t t t t S ABC --+=∆ 221221)5()(23+-=t t t t)5)(5)(24(23212121++-=t t t t t t3)314(23≤,所以7314≤∆ABC S , 当且仅当5)(21221+=-t t t t 且42221=+t t ，即,6571-=t6572+-=t ,A B 或66((33A B -时等号成立. 所以，ABC ∆面积的最大值是7314. 11.令252)(3-+=x x x f ，则056)(2>+='x x f ，所以)(x f 是严格递增的.又043)21(,02)0(>=<-=f f ，故)(x f 有唯一实数根1(0,)2r ∈. 所以 32520r r +-=，3152rr -=4710r r r r =++++ . 故数列),2,1(23 =-=n n a n 是满足题设要求的数列. 若存在两个不同的正整数数列 <<<<n a a a 21和 <<<<n b b b 21满足52321321=+++=+++ b b b a a a r r r r r r ，去掉上面等式两边相同的项，有+++=+++321321t t t s s s r r r r r r ，这里 <<<<<<321321,t t t s s s ，所有的i s 与j t 都是不同的.不妨设11t s <，则++=++<21211t t s s s r r r r r ，112111111121211=--<--=++≤++<--rr r r r s t s t ，矛盾.故满足题设的数列是唯一的.第二试（加试）1. （40分）如图，锐角三角形ABC 的外心为O ，K 是边BC 上一点（不是边BC 的中点），D 是线段AK 延长线上一点，直线BD 与AC 交于点N ，直线CD 与AB 交于点M ．求证：若OK ⊥MN ，则A ，B ，D ，C 四点共圆．2. （40分）设k 是给定的正整数，12r k =+．记(1)()()f r f r r r ==⎡⎤⎢⎥，()()l f r =(1)(()),2l f f r l -≥．证明：存在正整数m ，使得()()m f r 为一个整数．这里，x ⎡⎤⎢⎥表示不小于实数x 的最小整数，例如：112⎡⎤=⎢⎥⎢⎥，11=⎡⎤⎢⎥． 3. （50分）给定整数2n >，设正实数12,,,n a a a 满足1,1,2,,k a k n ≤= ，记12,1,2,,kk a a a A k n k+++== ．求证：1112n nk kk k n a A==--<∑∑． 4. （50分）一种密码锁的密码设置是在正n 边形12n A A A 的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色中至少有一个相同．问：该种密码锁共有多少种不同的密码设置？解答1. 用反证法．若A ，B ，D ，C 不四点共圆，设三角形ABC 的外接圆与AD 交于点E ，连接BE 并延长交直线AN 于点Q ，连接CE 并延长交直线AM 于点P ，连接PQ ．因为2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）()()2222PO r KO r =-+-，同理 ()()22222QK QO r KO r =-+-，所以 2222PO PK QO QK -=-，故OK ⊥PQ ．由题设，OK ⊥MN ，所以PQ ∥MN ，于是AQ APQN PM=． ① 由梅内劳斯（Menelaus ）定理，得1NB DE AQBD EA QN⋅⋅=， ② 1MC DE APCD EA PM⋅⋅=． ③ 由①，②，③可得NB MC BD CD =，所以ND MDBD DC=，故△DMN ∽ △DCB ，于是DMN DCB ∠=∠，所以BC ∥MN ，故OK ⊥BC ，即K 为BC 的中点，矛盾！从而,,,A B D C 四点共圆.注1：“2PK =P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）”的证明：延长MPK 至点F ，使得PK KF AK KE ⋅=⋅， ④ 则P ，E ，F ，A 四点共圆，故PFE PAE BCE ∠=∠=∠，从而E ，C ，F ，K 四点共圆，于是PK PF PE PC ⋅=⋅， ⑤ ⑤-④，得 2PK PE PC AK KE =⋅-⋅=P 的幂（关于⊙O ）+K 的幂（关于⊙O ）．注2：若点E 在线段AD 的延长线上，完全类似．2. 记2()v n 表示正整数n 所含的2的幂次．则当2()1m v k =+时，()()m f r 为整数．下面我们对2()v k v =用数学归纳法．当0v =时，k 为奇数，1k +为偶数，此时()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭为整数．假设命题对1(1)v v -≥成立．对于1v ≥，设k 的二进制表示具有形式1212222v v v v v k αα++++=+⋅+⋅+ ，这里，0i α=或者1，1,2,i v v =++ ．于是 ()111()1222f r k k k k ⎛⎫⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎝⎭2122k k k =+++ 11211212(1)2()222v v v v v v v ααα-++++=+++⋅++⋅+++12k '=+， ①FE QPONMK DCBA这里1121122(1)2()22v v v v v v v k ααα-++++'=++⋅++⋅+++ .显然k '中所含的2的幂次为1v -．故由归纳假设知，12r k ''=+经过f 的v 次迭代得到整数，由①知，(1)()v f r +是一个整数，这就完成了归纳证明． 3. 由01k a <≤知，对11k n ≤≤-，有110,0kni ii i k a k an k ==+<≤<≤-∑∑．注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y -<，于是对11k n ≤≤-，有11111k n n k i i i i k A A a a n k n ==+⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭∑∑11111n ki i i k i a a n k n =+=⎛⎫=-- ⎪⎝⎭∑∑11111max ,n k i i i k i a a n k n =+=⎧⎫⎛⎫<-⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭∑∑111max (),n k k nk n ⎧⎫⎛⎫≤--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭1k n =- 故111n n nk k n k k k k a A nA A ===-=-∑∑∑()1111n n nk n k k k AA A A --===-≤-∑∑111n k k n -=⎛⎫<- ⎪⎝⎭∑12n -=． 4. 对于该种密码锁的一种密码设置，如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同，在它们所在的边上标上a ，如果颜色不同，则标上b ，如果数字和颜色都相同，则标上c ．于是对于给定的点1A 上的设置（共有4种），按照边上的字母可以依次确定点23,,,n A A A 上的设置．为了使得最终回到1A 时的设置与初始时相同，标有a 和b 的边都是偶数条．所以这种密码锁的所有不同的密码设置方法数等于在边上标记a ，b ，c ，使得标有a 和b 的边都是偶数条的方法数的4倍．设标有a 的边有2i 条，02n i ⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦，标有b 的边有2j 条，202n i j -⎡⎤≤≤⎢⎥⎣⎦．选取2i 条边标记a 的有2i n C 种方法，在余下的边中取出2j 条边标记b 的有22j n iC -种方法，其余的边标记c ．由乘法原理，此时共有2i n C 22j n i C -种标记方法．对i ，j 求和，密码锁的所有不同的密码设置方法数为222222004n n i i j n n i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑． ① 这里我们约定001C =．当n 为奇数时，20n i ->，此时22221202n i jn i n ij C-⎡⎤⎢⎥⎣⎦---==∑． ②代入①式中，得()()2222222221222000044222n n i n n i j i n i i n i n n i n n i j i i C C C C -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦----====⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑ 022(1)(21)(21)nnk n kk n kk n n nn k k C C --===+-=++-∑∑ 31n =+．当n 为偶数时，若2n i <，则②式仍然成立；若2n i =，则正n 边形的所有边都标记a ，此时只有一种标记方法．于是，当n 为偶数时，所有不同的密码设置的方法数为222222004n n i i j nn i i j C C -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦-==⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭∑∑()122210412n i n i n i C ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦--=⎛⎫ ⎪⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭∑ ()222124233n i n i n n i C ⎡⎤⎢⎥⎣⎦--==+=+∑．综上所述，这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是：当n 为奇数时有31n +种；当n 为偶数时有33n +种．。

解题能力展示中的行程部分(高年级)

行程问题（陈拓老师）【往届特点】解题能力展示中几乎每届每个年级的初赛和复赛中都会有行程问题，涉及有多次往返相遇、流水行船、变速问题等问题。

常用的方法一般采用比例不变量解题或解方程（组）。

【往届真题】1.（2006年六年级初赛）甲、乙两地相距100千米，张山骑摩托车从甲地出发，1小时后李强驾驶汽车也2.3.4.5.6.乙第二次相遇，最后两人同时到达目的地。

那么B、C两地相距__________米；7.（2008年六年级初赛）A、B两地相距22.4千米。

有一支游行队伍从A出发，向B匀速前进；当游行队伍队尾离开A时，甲、乙两人分别从A、B两地同时出发。

乙向A步行；甲骑车先追向队头，追上队头后又立即骑向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头后又立即骑向队尾……当甲第5次追上队头时恰与乙相遇在距B地5.6千米处；当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B地，那么此时乙距A 地还有__________千米。

8.（2008年高年级复赛）如图，小明家和小强家相距10千米，小强家与公园相距25千米，小明9:20从家骑车出发去公园，10:40小强从家出发，步行去公园。

当小明到达学校时，他立即弃车步行；又过了一会儿，当小强到达学校时，他立即开始骑车。

两人同时于下午2:00到达公园，如果两人步行速度相同，骑车速度也相同，那么学校与公园相距__________千米；9.BC CB12 D15.（2010高年级复赛）李开车从甲地去乙地，出发后2小时，车在丙地出了故障，修车用了40分钟，修好后，速度只为正常速度的75%，结果比计划时间晚2小时到乙地．若车在行过丙地72千米的丁地才出故障，修车时间与修车后的速度分别还是40分钟与正常速度的75%，则比计划时间只晚1.5小时．那么，甲乙两地全程____千米；16.（2011五年级初赛）甲、乙两车同时从A地出发开往B地。

出发的时候，甲车的速度比乙车的速度每小小明家小强家学校公园时快2.5千米。