高等数学下重修班AB卷

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高等数学(文科)期末试卷(A、B卷)及评分标准

( A− I )B = A2 − I = ( A− I )( A + I ) （6 分） B = A + I = ⎡⎢⎢⎢⎢⎣012
0 4 0
402⎤⎥⎥⎥⎥⎦ （8 分）
x1 y1 s1 − 2t1
x1 y1 s1
x1 y1 t1
三、 D = (−3) ⋅ x2 y2 s2 − 2t2 （4 分） = (−3) ⋅ x2 y2 s2 + 6 x2 y2 t2 （6 分）
⎪ ⎨
(λ + 3)x1 + x2 + 2x3 λ x1 + (λ − 1)x2 + x3
=λ = 2λ 无解？给
⎪⎩3(λ + 1)x1 + λ x2 + (λ + 3)x3 = 3
出你的理由。
八、（本题满分 10 分）已知随机变量 X 的密度函数为：ϕ ( x) = 2 − 2x ( 0< x < 1) 。
02⎤⎥⎥⎦ ，求矩阵 X 。
x+ y 三、（本题满分 8 分）求行列式 D = y + z
z+x
y+z z+x x+ y
z+x x+ y 。 y+z
四、（本题满分 8 分）一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 80 / 81 ，
试求：（1）该射手进行一次射击的命中率；（2）该射手前两次射击全部命中的概率。
3、下列关于事件 A、B 的结论，正确的是：
【】
A、若 A、B 对立，则 P( AB) = 0 B、若 P( AB) = 0 ，则 P( A) = 0 或 P(B) = 0
C、若 A、B 互斥，则 P( A) = 1 − P(B) D、若 A、B 互斥，则 P( A + B) = 1

高数2(2)(重修)卷

学院信息与计算机出卷教师吴振之)系主任签名制卷份数专业班级编号武汉文理学院2020—2021学年第2学期高数重修复习题课程编号： 903101745 课程名称：高等数学Ⅱ(2)（重修）试卷类型：A 、B 卷考试形式：开、闭卷考试时间：120 分钟题号一二三四五六总分总分人得分一、判断题（本大题共5小题）（正确的打√，错误的打×.）1、若∑∞=1n nu发散，则0lim ≠∞→n n u ； ( ）2、若微分方程的解中含有任意常数，则这个解称为通解; ( )3、若函数),(y x f 在点(1,2)处连续，则(,)(1,2)lim (,)(1,2)x y f x y f →=; （）4、定积分的值是一个确定的常数; （）5、⎰⎰+Dd y xσ)(22=1224()D x y d σ+⎰⎰,其中D 1是{}(,)1,1D x y x y =≤≤位于第一象限的部分. （）二、选择题（本大题共7小题）（在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内，错选、多选或未选均无分.）1. 函数xy z =在适合附加条件1=+y x 下的极大值是（）（A ）1；（B ）0；（C ）1/6；（D ）1/4.2. 设区域22:2(0)D x y ax a +≤>，则22x y Ded σ--=⎰⎰ ( )(A) 22cos 22a d ed πθρθρ-⎰⎰； (B) 22cos 202a d e d πθρπθρρ--⎰⎰； (C)22cos 0a d ed πθρθρρ-⎰⎰；（D ）22cos 202a d e d πθρπθρ--⎰⎰.3. 方程44222=--z y x 表示的曲面是（）（A ）双叶双曲面；（B ）椭球面；（C ）球面；（D ）单叶双曲面.得分评分人得分评分人4. 微分方程cosxsinydy=cosysinxdx 是 ( ) (A) 齐次方程 ; (B) 可分离变量方程 ; (C) 一阶线性齐次方程 ; (D) 一阶线性非齐次方程.5. 利用定积分的几何性质判断下列积分中，值为零的是（）（A ）⎰-114dx x ；（B ）⎰-11cos xdx ；（C ）⎰20sin πxdx ；（D ）131x dx -⎰.6. 设级数∑∞=1n nu收敛于s ，则级数∑∞=++11)(n n nu u（）（A ）收敛于s 2；（B ）收敛于12u s +；（C ）收敛于12u s - （D ）发散. 7. 由22x y x y ==、所围成的图形的面积是（）（A ）1/3；（B ）1/2；（C ）3；（D ）2. 三、填空题（本大题共7小题）（在每小题的空格中填上正确答案，错填、不填均无分.）1. 已知二元函数z=)1ln(yx+,则)1,1(dz = .2. I=⎰⎰100),(ydx y x f dy ,交换积分次序得I= .3. 22021limx dt t x x ⎰+→ .4. 过点(1, —1, —3)且与平面3x —2y+3z —1=0平行的平面方程为 .5. 幂级数1(3)3nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为___________. 6. 微分方程xey y -=+'的通解是 .7. 定积分422sin -xdx ππ⎰= .四、计算题（本大题共5小题）1. 求由3x y =，x=2、y=0所围成的图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积2. 求⎰⎰Dd y x σ,其中D 是由两条抛物线2,x y x y ==所围成的闭区域.3. 求直线⎩⎨⎧=+-+=-+-0250134z y x z y x 在平面2x －y+5z －3=0上的投影直线的方程.4. 求微分方程044"=+'+y y y ,0)0(,2)0(='=y y 的特解.5. 求幂级数∑∞=1n nnx 的和函数并求级数∑∞=-12)1(n nn n的和. 五、应用题求表面积为2a 而体积为最大的长方体的体积.六、证明题设)(22y x yf z +=，f 为可导函数，证明： z yx x z y y z x =∂∂-∂∂.。

本科高数重修试题及答案

本科高数重修试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点个数是（）。

A. 0B. 1C. 2D. 32. 极限lim(x→0) (x^2-1)/(x^2+1)的值是（）。

A. 0B. 1C. -1D. 23. 函数f(x)=e^x-x-1的导数是（）。

A. e^x-1C. e^x-xD. e^x+x4. 函数f(x)=x^3+3x^2+3x+1的极值点是（）。

A. x=-1B. x=-2C. x=-3D. x=15. 曲线y=x^2+2x+1在点(1,4)处的切线斜率是（）。

A. 2B. 3C. 4D. 56. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x的拐点是（）。

A. x=1C. x=3D. x=07. 函数f(x)=x^2-4x+4的最小值是（）。

A. 0B. 4C. -4D. 88. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x的单调递增区间是（）。

A. (-∞, 1)B. (1, 2)C. (2, +∞)D. (-∞, 2)9. 曲线y=x^2+2x+1与直线y=4相切的切点坐标是（）。

A. (1, 4)C. (2, 4)D. (-2, 4)10. 函数f(x)=x^3-3x^2+2x的不定积分是（）。

A. (1/4)x^4-x^3+x^2+CB. (1/3)x^3-x^2+2x+CC. (1/4)x^4-x^3+2x^2+CD. (1/3)x^3-x^2+x+C二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数f(x)=x^2-4x+3的零点是_________。

12. 极限lim(x→0) (x^2-1)/(x^2+1)的值是_________。

13. 函数f(x)=e^x-x-1的导数是_________。

14. 函数f(x)=x^3+3x^2+3x+1的极值点是_________。

15. 曲线y=x^2+2x+1在点(1,4)处的切线斜率是_________。

【大学资料】贵州财经大学2017-2018第二学期高等数学(2)下重修参考答案

贵州财经大学
2017-2018 学年第二学期重修高等数学（2）下参考答案及其评分标准
一、选择题(每小题 2 分，共 20 分) 1 D 2 C 3 C 4 B 5 C 6 D 7 C 8 D 9 C 10 B
二、填空题 (每小题 2 分，共 20 分) 1. (1 x) e 6. 1 ；
................….6 分 ................….7 分 ................….3 分
dz 4( xdx ydy )
3. 解：令 F e xyz 则 Fx yz ， Fy xz ， Fz e x y x y (z 1)
故当 x 17, y 25 时，总成本最小.
五、证明题（本题 4 分）证明：令 F F ( x , y , z ) ，则
Fy F x z F y ， x z ， y Fx x Fz z Fy
故
.....................…3 分
Fy F F x y z ( )( z )( x ) 1 y z x Fx Fy Fz
......................….4 分
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1
因此，原级数的收敛域为 [ 2 , 4) .
..................….7 分
6. 解： P ( x ) 3 , Q ( x ) 8
P ( x ) dx P ( x ) dx ye [ Q (x ) e dx C ] 3 dx 3 dx e [ 8e dx C ]
2 (4 e 3 x ) . 3
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2 3
................................….7 分

扬州大学12级(下)高数期终试题A及答案

扬州大学12级(下)高数期终试题A及答案扬州大学2012级高等数学I （2）统考试卷(A)班级学号姓名得分注意事项：1.本试卷共6页，3大题，20小题，满分100分，考试时间120分钟；2.请将试卷后所附的两张空白纸全部撕下作草稿纸。

一、选择题（每小题3分，共15分） 1．考虑二元函数),(y x f 的下面4条性质：①),(y x f 在点0(,)x y 处连续 ②偏导数00(,)x f x y '，00(,)y f x y '存在③),(y x f 在点00(,)x y 处可微 ④(,)xf x y '，(,)y f x y '在点00(,)x y 处连续若“Q P ⇒”表示由性质P 推出性质Q ，则有【】Ａ.③⇒②⇒① Ｂ.②⇒③⇒① Ｃ.④⇒②⇒① Ｄ.④⇒③⇒② 2．设函数(,)z z x y =为由方程()x az y bz ϕ-=-所确定的函数，题号选择题填空题 11～12 13～14 15～16 17～18 19～20 扣分扣分其中ϕ为可导函数，,a b 为常数，则z z a b x y∂∂+=∂∂【】Ａ.1 Ｂ.1- Ｃ.0 Ｄ.a b +3．若二重积分(,)d d Df x y x y ⎰⎰可化为二次积分1201d (,)d y y f x y x+⎰⎰，则积分域D 可表示为【】Ａ.{}(,)01,11x y x x y ≤≤-≤≤ Ｂ.{}(,)01,10x y x x y ≤≤-≤≤ Ｃ.{}(,)12,01x y x y x ≤≤≤≤- Ｄ.{}(,)12,11x y x x y ≤≤-≤≤4．下列级数收敛的是【】Ａ.11n n n ∞=+∑ Ｂ.2121n n n n∞=++∑ Ｃ.12(1)n n n ∞=+-∑Ｄ.212n n n ∞=∑5．设常数0>a ，则级数)1ln()1(1∑∞=+-n nna 【】Ａ.绝对收敛Ｂ.条件收敛 C .发散Ｄ.敛散性与a 的取值有关二、填空题（每小题3分，共15分）6．设20sin d xyz t t=⎰，则全微分d z =．扣分7．设()223,z f x y x =+，其中f 具有二阶连续偏导数，则2zx y∂=∂∂ ．8．曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)处的切平面方程为 .9．函数222(,,)2332f x y z x y z x y =+++-在点()0,1,1A 处沿该点梯度方向的方向导数为．10．设L 为圆周)0(222>=+R R y x ，则22()d Lxy s +=⎰Ñ ．三、计算题（每小题7分，共70分） 11．求函数33(,)3f x y x y xy =+-的极值．扣分12．计算二重积分d d Dxy x y ⎰⎰，其中D 是由直线12y x =，y x=，1y =所围成的闭区域．扣分13．求旋转抛物面22z x y=--位于xOy面上方部分的面1积．扣分14．计算曲线积分2(e )d (e )d xyLI x y x x y y =-++⎰Ñ，其中L 为圆周222x y x+=取逆时针方向．扣分15．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰，其中Ω是由圆锥面22z x y =+与平面1z =所围成的空间闭区域．扣分16．计算曲面积分14z S∑+，其中∑为抛物面22y xz +=在平面1=z 下方的部分．扣分17．计算曲面积分(1)d d (2)d d (3)d d I x y z y z x z x y ∑=+++++⎰⎰，其中∑为上半球面221z x y =--的上侧．18．求幂级数21212nn n n x ∞+=+∑的收敛域与和函数．扣分扣分19．将函数21()f x x x =+展开成(2)x -的幂级数．20．计算22(2)d (22)d 2Lx x x y yI x y ++=+⎰，其中L 是由点(1,0)-经抛物线21y x =-到点(1,0)的有向曲线弧．扣分扣分2012级期终试题（A）参考答案及评分标准一、选择题（每小题3分，共15分）1．D 2. A 3. C 4. D 5.B二、填空题（每小题3分，共15分）6.22sin()d sin()d y xy x x xy y + 7.112166f xf ''''+ 8.2360x y z ++-= 9.7 10.32πR三、计算题（每小题7分，共70分） 11．2(,)33x f x y x y '=-， 2(,)33yf x y y x '=-；(,)6xx f x y x ''=，(,)3xyf x y ''=-，(,)6yyf x y y ''=． .....................................................2分由(,)0(,)0x y f x y f x y '=⎧⎨'=⎩得，22330330x y y x ⎧-=⎨-=⎩，解得驻点：(0,0)，(1,1)． ..................................1分对于驻点(0,0)，0,3,0A B C ==-=，由于290AC B -=-<，故(0,0)f 不是极值；对于驻点(1,1)，6,3,6A B C ==-=，由于2270AC B -=>，且0A >，故(1,1)1f =-是极小值． .....................................................4分12．120d d d d y yDxy x y y xy x=⎰⎰⎰⎰.....................................................5分113400333d 288y y y ⎡⎤===⎣⎦⎰． .....................................................2分 13．()()22221d 122d xyxyD D z z A x y x y x y x y ⎛⎫∂∂⎛⎫=++=+-+- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ .................3分214d xyD ρρρ=+⎰⎰2π200d 14d θρρρ=+⎰⎰...................................................2分551π-=．.....................................................2分14．(12)d d DI y x y =+⎰⎰ ............................................................4分d d Dx y =⎰⎰π=． ...........................................................3分 15．10d d d d zD z v z z x yΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ..........................................................................................4分130πd z z=⎰ ....................................................................................................2分π4=． ....................................................................................................1分解法二2π11d d d d z v z zρθρρΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ ....................................................................4分π4=． ....................................................................3分 16．14z S ∑+2214()d d xyD x y x y ⎡⎤=++⎣⎦⎰⎰ ................................................................4分2π120d (14)d θρρρ=+⎰⎰ .......................................................... 2分3π=． .................................................................................1分17．增补平面块221:0(1)z x y ∑=+≤，取下侧．由高斯公式得：11()(1)d d (2)d d (3)d d I x y z y z x z x y ∑+∑∑=-+++++⎰⎰⎰⎰乙 .....................................2分3d 3d d xyD v x yΩ=+⎰⎰⎰⎰⎰ .................................................................................3分2π3π5π=+=． .................................................................................2分 18．（1）2212122()(23)21()lim lim ()2(21)2n n n n n n n nu x n x x x u x n x ρ++++→∞→∞+==⋅=+．令()1x ρ<2x ⇒<22x ⇒-<<当2x = 0212n n ∞=+∑，是发散的．故原级数的收敛域为（2，2）． .................................................3分（2）令2121()(22)2nn n n s x x x ∞+=+=<∑，则212122111000021()22222n n n n n n n n n n n n x x x x s x x ++∞∞∞∞+++===='''⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+====⎢⎥⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑∑..........2分22x x '⎛⎫= ⎪-⎝⎭2222(2)x x +=-(22)x <<． (2)分19．1(1)1n nn x x ∞==-+∑(11)x -<<． .................................................1分2111111111()2212(2)3(2)231123f x x x x x x x x x ==-=-=⋅-⋅--+++-+-++ (2)分001212(1)(1)2233nnn n n n x x ∞∞==--⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ .................................................2分11011(1)(2)23n nn n n x ∞++=⎛⎫=--- ⎪⎝⎭∑ .................................................1分(04)x <<．.................................................1分20．令2222x P x y -=+，22222x y Q x y +=+，则222222224(2)Q x xy Px x y y∂-∂==∂+∂．于是，在不包含原点的单连通区域内曲线积分I 与路径无关． ..............................................2分取路径1cos :2x t L y t =⎧⎪⎨=⎪⎩（t从π到），则 .................................................2分122(2)d (22)d 2L x y x x y yI x y ++=+⎰................................................1分π1(cos sin )(sin )+(2cos +2sin )cos 2t t t t t t t--=⎰πd t=⎰π=-．................................................2分注：如果少负号，则扣1分．。

高等数学8套期末考试题AB卷带答案模拟测试题

期末试卷1．填空（每空2分，共10分）（1） f(x)=sinx x1sin⋅的间断点是，是第类间断点．（２）函数xe x y 2=在=x 处取得极小值，在=x 处取得极大值．（3）曲线 2x y =上点处的切线平行于直线x y =．（４）若（0，1）是曲线c bx x y ++=23的拐点，则=b ，=c ．（５）比较大小dx x ⎰12 dx x ⎰14．２．选择题（每题２分，共10分）（1）如果函数)(x f y =在0x 处不可导，则曲线在点))(,(00x f x 处（）．A ．切线不存在 B. 切线垂直于x 轴 C. 切线不存在或切线垂直于x 轴（２）如果函数)(x f y =在0x 处不可导，则曲线在点))(,(00x f x 处（）．A ．切线不存在 B. 切线垂直于x 轴 C. 切线不存在或切线垂直于x 轴Ｄ．切线平行于ｘ轴（３）若函数d cx bx ax y +++=23)0(>a 满足条件 032<-ac b ，那么这函数（）．A ．有极值B ．有极大值C ．有极小值D ．没有极值（4）若点（1，3）为曲线23bx ax y +=的拐点，则a 、b 的值分别为（）．A ．23-=a ，29=b B ．3-=a ，6=b C ．23=a ，29-=b D ．3=a ，6-=b（５）下列等式中错误的是（）．A ．⎰⎰=+ba a bdx x f dx x f 0)()( B ．⎰⎰=b abadt t f dx x f )()(C ．⎰-=aadx x f 0)( D ．⎰=aadx x f 0)(３．计算题（每题６分，共５４分）（１）132lim1--+→x x x （２）)1(2)1sin(lim 1++-→x x x (３) x y x 1tan 221tan += ，求y '．（４）x x y 1010+=，求y '．(5)xy y 62= ，求x y '．（６）⎰-332xdx（７）⎰xdx x 210sec tan（８）⎰xdx xarctan 2（９）dx xx ⎰-21214.由力学知，矩形横梁的强度与它的断面高的平方与宽的积成正比．要将直径为d 的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽和高应为多少？（见图１）（9分）5.求微分方程的通解：0ln =-'y y y x ．(8分)6.计算由曲线0,42=-=y x y 围成的图形的面积.（9分）图１高等数学（少学时）试题1参考答案1. 填空（每题2分，共10分）（1） x=0，一（2）0，-2 （3）（41,21）（4）0，1 （5）>2.选择题（每题2分，共10分）（1）C （2）C （3）D （4）A （5）C 3.计算题（每题6分，共54分）（1）132lim1--+→x x x型00 原式=633211221lim1==+→x x（2）)1(2)1sin(lim1++-→x x x 型0原式=212)1cos(lim 1=+-→x x )1tan 222(ln 1sec )1tan 222(ln 1cos 11)1(1tan 21cos 1)1(1cos 12ln 2)3(1tan221tan2222221tan'x x x xx xx x xxxy x xx+⋅-=+⋅⋅-=-⋅⋅+-⋅⋅=x x y 1010ln 10)4(9'⋅+=)62(66)62(662)5(''''x y y y yy x y xy y yy x -==-+=cx cu c u du u du u xu x d xdx x +--=+-=+⋅-=-=-=-=---=-⎰⎰⎰⎰3232323133332212123313113132)32(32131321)6(）（原式原式设 c x c t dt t t x x xd xdx x +⋅=+====⎰⎰⎰11111010210tan 111111tan )(tan tan sec tan )7(原式设cx x x x c x x c t t dt t t u u d u du u u x u dx x x dx x x xd x x d x x x xdx xdx x +++-=++-+=+-=-==+++-=++-+==+=+=-⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰)1ln(6161arctan 31))1ln(1(21)ln (21)11(211)1(1112111112112111arctan )arctan (arctan 31arctan 31arctan )8(2232222222333332原式设设分部积分法33)6cot 2(cot )62[(cot sin cos cos sin 1111111)9(2622622121222112212212-=-+--==--===---=-==-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰πππππθθθθθθθθππππd d d dt t dt t t tdt t xdxxdx x x 原式令原式令4.设强度为s ，则s=x h 2时强度最大，高为所以当宽为d d d h d x x d x x d s xx d s d h x 363336,3303)()(22'32'22222===-=-=-==+cxx x c e x ce ce e e e y e x y c x y dx x dy y y xdxy y dy y y dx dyx c====+=+====-⋅+⎰⎰ln ln ln ln 1ln 1ln 0ln .5两端积分得：6.曲线交点为（-2，0），（2，0）S=A+B因为是对称图形，所以A=B332316)431()40(203202==+-=+-=⎰S x x dxx A期末试卷一二三四五六总分1．填空（每空2分，共10分）（2）设f(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧x e x 1arcsin01 000>=<x x x , 则x=0是f(x)的第类间断点．（２）)(x f 在点0x 处可导是)(x f 在点0x 处连续的条件，)(x f 在点0x 处连续是)(x f 在点0x 处可导的条件．（3）的极大值点在，极大值为；极小值点在，极小值为．（4）曲线xxe y =的凹区间是，凸区间是，拐点是．（５）比较大小dx x ⎰1ln dx x ⎰12ln ．２．选择题（每题２分，共10分）（1）设,2,cos 12x x =-=βα则当0→x 时，（）．A. 是同阶无穷小与βαB. 是等价无穷小与βαC. 是高阶的无穷小是较βαD. 是低阶的无穷小是较βα（２）一质点作直线运动的方程是 232010t t s -+=, 则2=t 时质点运动的加速度为( )．A ． 0 B. －6 C. 6 D. 8 （３）设)(x f 在0x 点可导，且0)(0='x f ，则0x 一定是)(x f 的（）．A ．极值点B ．驻点C ．极大值点D ．极小值点（4）若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰+dx b ax f )(是（）．Ａ．C b ax F ++)( Ｂ．C b ax F a++)(1Ｃ．)(1b ax F a + Ｄ．C abx F ++)(（５）设⎰=-10,1)(dx x a x 则常数=a （）．Ａ．38 Ｂ．31 Ｃ．34 Ｄ．32 ３．计算题（每题６分，共５４分）（１）x xx 5sin 2sin lim 0→ （２）()x x x 101lim -→ (３) x y arccos = ，求y '．（４）112+=x y ，求y '． (5) 022=-+yx xy ，求x y '．（６）⎰x x x dxln ln ln（７）⎰-+xx e e dx （８）⎰-12x x dx （９）⎰exdx x 1ln 4．轮船甲位于轮船乙以东75n mile （海里）处，以12 n mile / h 的速度向西航行，而轮船乙则以6 n mile/ h 的速度向北航行，问经过多少时间，两船相距最近？（９分） 5.求微分方程的通解：x e y dxdy-=+．(8分) 6.计算由曲线0,7ln ,2ln ,ln ====x y y x y 围成的图形的面积.（9分）高等数学（少学时）试题2参考答案1、填空（每题2分，共10分）（1）二（2）充分不充分必要（3）0，0，1，-1 （4）（-2，+∞），（-∞，-2）（-2，-22-e ）（5）> 2.选择题（每题2分，共10分）（1）A （2）D （3）B （4）B （5）A 3.计算题（每题6分，共54分）（1）xxx 5sin 2sin lim0→00型原式=15cos 2cos lim 0=→xxx （2）xx x 10)1(lim -→ ∞1型原式=10)1ln(1lim0==-→e e x xx（3）xx xxy --=•--=1212111'（4）3232232')1(2)1(212)1(21+-=•+-=•+-=-x x x x x x y（5）x 'y +y+ln2x 2•-lny y 2'y =0(x-lny y 2)'y =-ln2x 2•'xy =xy yx-⋅⋅2ln 22ln cx ct dt t ut u u d u u du xu xx xd +=+======⋅=⎰⎰⎰⎰ln ln ln ln 1ln ln ln ln ln ln ln ln ln )6(所以原式设设原式ce cu du u e u de e dx e e e e dx x xx x x xx x +=+=+==+=+=+⎰⎰⎰⎰-arctan arctan 111)(11)()7(222原式设cxt ct dt tt tdtt tdtt dx t x x x dx+=+=====-⎰⎰⎰1arccos tan sec tan sec tan sec sec 1)8(2代入原式把原式则设 2sin 2cos 2cos )9(20200===⎰⎰πππxxdx dx x4.设底边长为x,高为h时表面积最小高为所以当边长为最小时当表表363,621621610844222s h x xx x x x s xhx s ==++=+=+=5.先求对应齐次方程y dxdy2= 分离变量得：dx ydy2= 积分得：lny=2x+c y=c x e +2=c x e 2用常数变易法求原方程的通解，设解为y=c(x) x e 2(c(x)是待定函数)代入原方程：xx x x xx x x x x e ce c e e y cex c e x c e e x c e x c e x c -=+-=+-===-+---22'222')()()()(2)(2)(所以6.曲线y=x y x 2,3=的交点为（0，0），（22,2--），（22,2）S=21A A +2141)2(1441241)2(210220243222042023201=+==-=-==⨯-=-=-=--⎰⎰A A s x x dx x x A x x dx x x A 所以围成的面积为2.期末试卷一二三四五六总分1．填空（每空2分，共10分）（3）若011lim 2=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--++∞→b ax x x x ，则a= ,b= ．（２）设,0)(=x f )0(f '存在, 则=→xx f x )(lim 0．（3）的极大值点在，极大值为；极小值点在，极小值为．（4）曲线xxe y -=的凹区间是，凸区间是，拐点是．（５）比较大小dx x ⎰212 dx x ⎰214．２．选择题（每题２分，共10分）（1）⎪⎩⎪⎨⎧-=x xx f 22)( 21110≤<=<<x x x 的连续区间为（）．A.[0,2]B.(0,2)C.[0,2]D.(0,1)⋃(1,2)（２）曲线 2sin x x y +=在点（0，0）处的切线与x 轴正向夹角为( )．A ．30ο B. 45ο C. 135ο D ． 150ο（３）设函数22)4(-=x y ，则在区间2(-，)0和2(，)∞+内，y 分别为（）A ．单调增，单调增B ．单调值，单调减C ．单调减，单调增D ．单调减，单调减（4）已知函数)(x f y =的导数等于2+x ，且2=x 时5=y ，则这个函数为（）．Ａ．x x y 22+= Ｂ． x x y 222+= Ｃ． 1222-+=x x y Ｄ． 1222++=x x y （５）下列等式中错误的是（）．Ａ．⎰⎰=+ba abdx x f dx x f 0)()( Ｂ．⎰⎰=babadt t f dx x f )()(Ｃ．⎰-=aadx x f 0)( Ｄ．⎰=aadx x f 0)(３．计算题（每题６分，共５４分）（１）x x x x sin cos 1lim 0-→ （２）xx x x 21lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→ (３) 22sin sin x x y =，求y '．（４）x x y += ，求dy ．(5)yx exy += ，求x y '．（６）⎰++dx x x 122（７）⎰dx x x )cos(2（８）⎰+dx e x11 （９）dx x ⎰πcos4．要制作一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做所用料最省？（９分） 5.求微分方程的通解：x e y dxdy=-2．(8分) 6.计算由曲线x y x y 2,3==围成的图形的面积.（9分）高等数学（少学时）试题2参考答案1、填空（每题2分，共10分）（1）1，-1 （2）)0('f （3）0，0，x=e1 , x=-e1 （4）)2,2(,2),2,(),,2(2-=-∞+∞e x （5）<2、选择题（每题2分，共10分）（1）D （2）B （3）A （4）C （5）C 3、计算题（每题6分，共54分）（1）cinxx xx ⋅-→cos 1lim0 00型=x x x xx cos sin sin lim 0⋅+→ 0=x x x xx sin cos 2cos lim 0-→=21 （2） xx x x 21lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→ ∞1型=101ln2lim ==+⋅∞→e exx x x（3）22sin sin xxy = 求'y 22222'sin 2cos sin sin 2cos sin xxx x x x y ⋅⋅-⋅⋅==22222sin 2cos sin sin 2cos sin x xx x x x x ⋅⋅-⋅⋅（4） x x y +=xx x dx dy ++=2211 =xx x x ++2221 =x x x x ++2421dx xx x x dy ++=2421（5） 'x y x y e xy 求+=)1(''y e xy y y x +=++ y x y x e y y e x +++=-')(yx y x xex e y y ++-+=∴' （6） dx xx ⎰++122=dx xx x ⎰++-++1)1(2)1(32 =⎰⎰⎰-++++dx dx x dx x 2)1(13=⎰⎰⎰-++++dx dx x x d x12)1()1(113=c x x x +-++2121ln 3（7）dx x x ⎰)cos(2 =dx x )(cos 212⎰ 2x u ==⎰udu cos 21=c x +2sin 21（8）dx ex⎰+11令t e x = t x ln = 原式=dt tt ⎰+11令t u +=1 12-=u t =1)1(122--⎰du u u =du uu u⎰-)1(22=du u ⎰-1122=du u u ⎰-+)1)(1(12=du u u 1111212+--⨯⎰ =c u u +-+-11ln ln =c u u ++-11ln（9）分部积分法⎰exdx x 1ln=dx x x x e e x 2112211ln 21⋅-⋅⎰ =xdx e e ⎰--1221)0(21 =)(4121122e x e - =41412122+-e e =41412+e4.两船相距距离为S小时时距离最近。

高等数学(A)下期末试卷及答案

来源于网络南京邮电大学2010/2011学年第二学期《高等数学A 》(下）期末试卷A 答案及评分标准一、选择题（本大题分5小题，每题3分，共15分） 1、交换二次积分⎰⎰x e dy y x f dx ln 01),(的积分次序为（c ）x e ln 1e (2积为 ((35=x(4、下列级数中收敛的级数为（A ）(A ) ∑∞=-113(n nn n (B )∑∞=+121n n n (C ) ∑∞=+111sin n n (D )∑∞=13!n n n来源于网络5、若函数)()2()(2222x axy y i xy y x z f -+++-=在复平面上处处解析，则实常数a 的值为（c）(A ) 0 (B ) 1 (C ) 2 (D ) -2来源于网络二、填空题（本大题分5小题，每题4分，共20分）1、曲面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的切平面=+-)1(i Ln2,1,0),243(2ln ±±=++k k i ππ=-]0,[Re 2zz e s z1-来源于网络三、(本题8分）设),()(22xy y xg y x f z ++=，其中函数)(t f 二阶可导，),(v u g 具有二阶连续偏导2028),,(=+=x yz z y x F x λ，来源于网络028),,(=+=y xz z y x F y λ，解得：1,31,32===z y x ， (3)分，证明：yx ∂∂，所以曲线积分与路径无关….3分….5分装订线内不要答题自觉遵守考试规则，诚信考试，绝不作弊七、(本题8分）计算⎰⎰++∑dxdy z dzdx y dydz x 333，其中?为上半球面221y x z --=的上侧。

来源于网络设,ln )(xxx f =2ln 1)(x x x f -='当e x >时单调递减，2、沿指定曲线的正向计算下列复积分⎰=-2||2)1(z zdz z z e来源于网络解：原式 =)]1),((Re )0),(([Re 2z f s z f s i +π…2分zz 解：++220)1)(1(y n y x 1)4(11++=n n π……2 分来源于网络∑∑∞=+∞=+=010)4(11n n n n nn x n x a π，,4π=R 收敛域：)4,4[-……2 分,0)0()0(='=f f 又)(x f 的二阶导数)(x f ''在]1,1[-内连续，所以K x f ≤''|)(|,!2)()0()0()(2x f x f f x f ξ''+'+= ξ在0与x 之间来源于网络|1(|n f ,22n K ≤ 所以∑∞=1n |)1(|n f 收敛，同理∑∞=1n |11(|+n f 也收敛……5 分由于|1)11(|||||n f b b +≤|1)11(||1)1(|||n f n f b +≤|1)11(|||+≤n f b。

高等数学(下)重修考试题

高等数学(下)重修练习题1．设a 是从点A (2, 1, 2)到点B (1, 2, 1)的向量, 则与a 同方向的单位向量为a ︒=_______. 2．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则|a +b |=________. 3．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则|a -b |=________. 4．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则a ⨯b =________.5．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则与a 和b 都垂直的向量c =_______ 6．设向量a ={2, 1, 2}, b ={1, 2, 1}, 则cos(a ,^ b )=________.7．设向量a ={2, 1, 2}, 则与a 的方向相同而模为2的向量b =________.8．1. 以向量a =(1, 1, 2)与b =(2, -1, 1)为邻边的平行四边形的面积为________.9．以曲线⎩⎨⎧==+x z zy x 222为准线, 母线平行于z 轴的柱面方程是________.10．2. 以曲线220x y zx y z ⎧+=⎨+-=⎩为准线, 母线平行于z 轴的柱面方程是________.11．2. 曲线⎩⎨⎧==-+00222y z z x 绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为________.12．2. 曲线2220y z z x ⎧+-=⎨=⎩绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程为________.13．2. 旋转抛物面x 2+y 2=z 与平面x +z =1的交线在xoy 面上的投影方程为________. 14．2.锥面z =x =z 2的交线在xoy 面上的投影方程为_________.15．2. 过点M (1, 2, -1)且与直线2341x t y t z t =-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩垂直的平面方程是________.16．2. 过点M (1, 2, -1)且与直线421131y x z +-+==-垂直的平面方程是________. 17．2. 过点M (1, 2, 1)且与平面2x +3y -z +2=0垂直的直线方程是_________. 18．2. 过点M (1, -1, 2)且与平面x -2y +1=0垂直的直线方程是________.19．函数f (x , y )在点P 0处的偏导数存在是函数f (x , y )在P 0处连续的( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 20．函数f (x , y )在点P 0处连续是函数f (x , y )在P 0处的偏导数存在的( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 21．函数f (x , y )在点P 0处连续是函数f (x , y )在P 0处可微分的( ).(A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件; (D)既非充分又非必要条件. 22．若f (x , y )在点P 0的某个邻域内( ), 则f (x , y )在P 0处可微.(A)连续; (B)有界; (C)存在两个偏导数; (D)存在连续的一阶偏导数.23．3. 设z =f (x 2+y 2, x 2-y 2, 2xy ), 且f (u , v , w )可微分, 则xz∂∂=________.24．3. 设w =f (u , v ), u =xy , v =x 2+y 2, 且f (u , v )可微分, 则w x∂=∂________.25．3. 设z =ln(1+x 2+y 2), 则d z |(1, 1)= ________.26．设f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2, 则梯度grad f (1, -1, 2)= ________. 27．设f (x , y , z )= x 3y 2z , 则梯度grad f (1, 1, 1)= ________.28．函数f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2在点(1, -1, 2)处沿方向________的方向导数最大.29．函数f (x , y , z )= x 3y 2z 在点(1, 1, 1)处沿方向_____{3,2,1}_______的方向导数最大. 30．函数f (x , y , z )=x 2+y 2+z 2在点(1, -1, 2)处方向导数的最大值为________. 31．函数f (x , y , z )= x 3y 2z 在点(1, 1, 1)处方向导数的最大值为________. 32．交换二次积分的积分次序, 则100d (,)d yy f x y x ⎰⎰=________. 33．交换二次积分的积分次序, 则11d (,)d xx f x y y ⎰⎰=________.34．交换二次积分的积分次序,则10d (,)d y y x y x ⎰=________.35．交换二次积分的积分次序, 则210d (,)d xxx f x y y ⎰⎰=________.36．设D 为上半圆域x 2+y 2≤4(y ≥0), 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.37．设D 是由两个坐标轴与直线x +y =1所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=______.38．设D 是由直线x =1、y =x 及x 轴所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.39．设D 是由椭圆221916y x+=所围成的区域, 则二重积分d Dσ⎰⎰=________.40．设L为上半圆y则曲线积分Ls ⎰=________.41．设L 为圆x 2+y 2=1,则曲线积分Ls ⎰=________.42．设L为上半圆y 则曲线积分22ln(1)d Lx y s ++⎰=________. 43．设L 为圆x 2+y 2=1, 则曲线积分22ln(1)d Lx y s ++⎰=________.44．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则22d d Lxy x x y +⎰=________.45．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则 (e cos )d e sin d x x Ly x x y y --⎰=________.46．设L 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1)为顶点的三角形区域的正向边界, 则 22d (2)d Lxy x x x y ++⎰=________.47．设L是由上半圆y x 轴所围成的区域的正向边界, 则22d (2)d Lxy x x x y ++⎰=________.48．若p 满足________,则级数n ∞=. 49．若p 满足________,则级数n ∞=收敛.50．若q 满足________, 则级数0()2n n q a ∞=∑收敛.51．若p 满足________, 则级数01()2n n n p ∞=+∑收敛. 52．若p 满足________, 则级数2011()pn n n ∞=+∑收敛. 53．设1n n u ∞=∑是任意项级数, 则lim 0n n u →∞=是级数1n n u ∞=∑收敛的( )条件.(A)充分; (B)必要; (C)充分必要; (D)无关.54．设1n n u ∞=∑是任意项级数, 则级数1n n u ∞=∑收敛是级数1n n ku ∞=∑(k ≠0)收敛的( )条件.(A)充分; (B)必要; (C)充分必要; (D)无关. 55．下列级数中收敛是( A ).(A)11(1)1nn n ∞=-+∑; (B)11n n ∞=∑; (C)111()2n n n ∞=+∑;(D)n ∞=.56．下列级数中绝对收敛的是( C ).(A)1(1)nn ∞=-∑; (B)11(1)n n n ∞=-∑; (C)11(1)2n n n ∞=-∑; (D)11(1)(1)n n n n ∞=-+∑.57．下列级数中绝对收敛的是( D ).(A)1(1)nn ∞=-∑; (B)11(1)n n n ∞=-∑; (C)11(1)(1)nn n n ∞=-+∑; (D)211(1)n n n ∞=-∑.58．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R , 则当x =R 时, 幂级数0n n n a x ∞=∑ ( ).(A)条件收敛; (B)发散; (C)绝对收敛; (D)可能收敛, 也可能发散. 59．设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为R , 则当x =-R 时, 幂级数0n n n a x ∞=∑ ( ).(A)条件收敛; (B)发散; (C)绝对收敛; (D)可能收敛, 也可能发散. 60．如果幂级数0n n n a x ∞=∑在x =2处收敛, 则收敛半径为R 满足( ).(A)R =2; (B)R >2; (C)R ≥2; (D)R <2.61．如果幂级数0n n n a x ∞=∑在x =-2处收敛, 则收敛半径为R 满足( C ).(A)R =2; (B)R >2; (C)R ≥2; (D)R <2.62．将函数21()1f x x =+展开为x 的幂级数, 则f (x )=_______.63．将函数21()1f x x =-展开为x 的幂级数, 则f (x )=________.64．将函数1()4f x x =-在区间________可展开为x 的幂级数.65．将函数1()12f x x=+在区间________可展开为x 的幂级数.66．求通过直线113y x z==和点(2, -1, 1)的平面方程.67．求过三点A (1, 0, -1)、B (0, -2, 2)及C (1, -1, 0)的平面的方程.68．求通过点(1, 2, -1)且与直线23503240x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩垂直的平面方程.69．求通过点(1, 2, -1)且与直线23503240x y z x y z -+-=⎧⎨+--=⎩平行的直线方程.70．求通过点(1, 2, -1)且与平面2x -3y +z -5=0和3x +y -2z -4=0都平行的直线方程.71．设z =x sin(x +y )+e xy, 求z y ∂∂, 2z ∂, 2z y x∂∂∂.72．设z =ln(1+xy )+e 2x +y, 求z x ∂∂, 22z x ∂∂, 2z x y ∂∂∂.73．设z =(2x +3y )2+x y, 求z x ∂∂, 22z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.74．设z =x y, 求z x ∂∂, 2z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.75．设z =x y, 求z ∂, 2z ∂, 2z ∂.76．设z =x sin(2x +3y ), 求z x ∂∂, 22z x∂∂, 2z x y ∂∂∂.77．设z =f (x , y )由方程x e x -y e y =z e z 确定的函数, 求z x ∂∂,z y ∂∂.78．设z =f (x , y )由方程x +y -z =x e x -y -z 确定的函数, 求z x∂∂, zy ∂∂.79．已知z =u 2ln v , 而x u y =, v =3x -2y , 求z x ∂∂, zy∂∂.80．设z =u ⋅sin v , 而u =e x +y , v =x 2y , 求z x ∂∂, zy ∂∂.81．设z =e u sin v , 而u =x -y , v =x 2y , 求z x ∂∂, zy∂∂.82．求曲面z =ln(1+x +y )上点(1, 0, ln2)处的切平面方程. 83．求曲面z =1+2x 2+y 2上点(1, 1, 4)处的切平面方程. 84．求曲面e z -z +xy =3上点(2, 1, 0)处的切平面方程.85．求空间曲线2231y x z x =⎧⎨=+⎩在点M 0(0, 0, 1)处的切线方程.86．求空间曲线x =a cos t , y =a sin t , z =bt 在对应于t =0处的切线方程.87．计算二重积分22()d Dx y x σ+-⎰⎰, 其中D 是由直线y =2, y =x 及y =2x 轴所围成的闭区域.88．计算二重积分2d Dxy σ⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =0, x =1所围成的区域.89．计算二重积分sin d Dx y σ⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =0, x =π所围成的区域.90．计算二重积分(e )d y Dxy σ+⎰⎰, 其中D 是由直线y =x , y =1, x =-1所围成的区域.91．计算二重积分3(Dx σ+⎰⎰, 其中D 是由曲线y =x 2, 直线y =1, x =0所围成的区域.92．计算二重积分22e d xy Dσ+⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=1及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.93．计算二重积分1d 1Dx yσ++⎰⎰, 其中D 是由圆周x 2+y 2=4及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域.94．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面z z =0所围成的闭区域.95．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由曲面z =1-x 2-y 2及平面z =0所围成的闭区域.96．计算三重积分d z v Ω⎰⎰⎰, 其中Ω是由柱面x 2+y 2=1及平面z =0, z =1所围成的闭区域.97．计算曲线积分2(1)d lx s +⎰, 其中l 为圆周x 2+y 2=1.98．计算曲线积分s ⎰，其中l 为抛物线y =x 2(-1≤x ≤1).99．计算曲线积分22()d (2)d CI x y x x y =+++⎰, 其中C 是以O (0, 0), A (1, 0), B (0, 1)为顶点的三角形的正向边界.100．计算曲线积分222()d ()d LI x y x x y y =+++⎰, 其中L 是从O (0, 0)到A (1, 1)的抛物线y =x 2,及从A (1, 1)到O (0, 0)的直线.101．计算曲线积分43224(4)d (65)d LI x xy x x y y y =++-⎰, 其中L 是从(-2, 0)到(2, 0)的半圆x 2+y 2=4(y ≥0).102．计算曲线积分22d d LI xy x x y y =+⎰, 其中L 是曲线y =ln x 上从A (1, 0)到B (e , 1)的一段.∑104．计算曲面积分22()d x y S ∑+⎰⎰, 其中∑为平面x +y +z =1含于柱面x 2+y 2=1内的部分.105．计算曲面积分2d d z x y ∑⎰⎰, 其中∑为上半球面z x 2+y 2=1内的部分的上侧.106．计算曲面积分22d d d d d d y z x y x y z x y z x ∑++⎰⎰, 其中∑是由圆柱面x 2+y 2=R 2和平面x =0,y =0, z =0及z =h (h >0)所围的在第一卦限中的一块立体的表面外侧.107．计算曲面积分22(2)d d d d d d x z y x x y z x xz x y ∑-+-⎰⎰，其中∑是正方体0≤x ≤a , 0≤y ≤a ,0≤z ≤a 的表面的外侧.108．判别级数021!n n n ∞=+∑的敛散性. 109．判别级数213n n n ∞=∑的敛散性.110．判别级数1e()n n π∞=∑的敛散性.111．判别级数∑∞=1!100n nn 的敛散性112．判别级数111(1)2n n n n ∞--=-∑是否收敛？若收敛, 是绝对收敛还是条件收敛？113．求幂级数1(1)nn n ∞-=-∑的收敛半径和收敛区间. 114．求幂级数234 234x x x x -+-+⋅⋅⋅的收敛半径和收敛区间. 115．求幂级数1nn n x n∞=∑的收敛半径和收敛区间.116．将1()2f x x =+展成x 的幂级数, 并写出展开式成立的区间.117．将f (x )=x 3e -x 展成x 的幂级数, 并写出展开式成立的区间.118．将1()2f x x=+展开为(x -1)的幂级数, 并写出展开式成立的区间.119．将1()4f x x=-展开为(x -2)的幂级数, 并写出展开式成立的区间.120．求函数f (x , y )=2x +2y -x 2-y 2的极值. 121．求函数f (x , y )=3x +2y -x 3-y 2的极值.122．求函数f (x , y )=x 2+5y 2-6x +10y +6的极值. 123．求函数f (x , y )=y 3-x 2+6x -12y +5的极值。

广工高数A2（重修）试卷A

广东工业大学试卷用纸，共广东工业大学试卷用纸，共 2 页，第页，第 1 页广东工业大学考试试卷 ( A )课程名称: 高等数学高等数学A(2) 试卷满分 100 分考试时间: 2011 年 5 月 13 日 (第 11 周星期五 )题号号一二三四五六七八九十总分总分评卷得分评卷得分评卷签名评卷签名复核得分复核得分复核签名复核签名一选择题（每个4分，共20分）分）1曲线积分ò+c ds y x )(22 其中c 是圆心在原点，半径为a 的圆周的圆周A 22a p B 3a p C 32a p D 24a p2曲面1232222=++z y x 上的点)1,2,1(-处的切平面方程是处的切平面方程是A 24682=-+z y x B 0682=+-z y xC 1234=-+z y x D 1234=+-z y x3 òúûùêëé+++++102!!2!11dx n x x x n= A 1 B e C 2e D 1-e4 D 是由两坐标轴和直线1=+y x 所围成的三角形区域，求D xyd s òò= A 21B 121 C 81 D 2415已知向量,,32,2b a k mj i b k j mi a ^-+=++=则=mA 1 B 2 C 3 D 4 广东工业大学试卷用纸，共广东工业大学试卷用纸，共 2 页，第页，第 2 页二填空题（每个4分，共20分）分）1设(,,sin )zu f x ye x y =，则du = 2 曲面1232222=++z y x 上点)1,2,1(--处的切平面方程为处的切平面方程为3 设),(),,(t s f z y xy f u +=可微，则du = 4由二重积分的几何意义得Dd s =òò________,其中2222:125x y D +£ 5设L 为连接两点)1,0(),0,1(的直线段，则()Lx y ds -=ò三计算题（每个12分，共60分）分）1 改变积分òò--y y dx y x f dy 2113),(的次序的次序2设),(x y e f Z xy=，其中f 具有二阶连续偏导数，求y x z¶¶¶2 3求曲面z y x =+22，224x y +=及xoy 平面所围成的立体体积平面所围成的立体体积4计算曲线积分ò-L dy x ydx 2，其中L 是抛物线2x y =上从点)1,1(-A 到点)1,1(B ，再沿直线到，再沿直线到点)2,0(C 所构成的曲线所构成的曲线5计算òòDdxdy x x sin ，其中D 是由x y =和2x y =所围成的区域所围成的区域。

高等数学(下)期末考试试卷(B)

高等数学A 试题（B ）卷（闭）学年第二学期使用班级级（）学院班级学号1、设yxz sin =，则__________=∂∂yz。

2、幂级数∑∞=13n n nn x 的收敛域为_______________。

3、设L 为圆周922=+y x ，取逆时针方向，则______)4()22(2=-+-⎰Ldy x xdx y xy 。

4、在微分方程)1(23+=+'-''x e y y y x中，可设其特解形式为______________（不用求出待定系数）。

二、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分，把正确答案填在题后的括号内）1、级数)cos 1()1(1∑∞=--n n n α[ ])(A 发散； )(B 条件收敛；)(C 绝对收敛； )(D 敛散性与α取值有关。

2、设),(y x u u =为可微函数，且当2x y =时有1),(=y x u 及x xu=∂∂，则当2x y =)0(≠x 时，=∂∂y u[ ] )(A 21； )(B 21-；)(C 0； )(D 1。

3、设⎰⎰=Ddxdy xy I|| ，其中222:R y x D ≤+，则=I [ ])(A 44R ； )(B 34R ；)(C 24R ； )(D 4R 。

4、设1|||:|=+y x L ，则⎰=+L y x ds|||| [ ])(A 4； )(B 2；)(C 24； )(D 22。

三、计算（本题6小题，每小题8分，满分48分）1、设),(xy y x f z -=具有连续的二阶偏导数，求y x z∂∂∂2。

2、计算⎰⎰⎰Ωdv z ，其中Ω由不等式22y x z +≥及41222≤++≤z y x 所确定。

3、计算dxdy e Dy x ⎰⎰+-)(22，其中1:22≤+y x D 。

4、计算曲面积分dxdy z z e f dzdx y z e f z dydz x y y ])([])(1[333++++⎰⎰∑，其中)(u f 具有连续的导数，∑为由曲面2222224,1,y x z y x z y x z --=--=+=所围成的立体表面外侧。

安阳工学院《高等数学》2022-2023学年第二学期期末考试卷

1、设| + | = | − |, = (3， − 5，8)， = (−1，1，)，求
4、求曲线 = 1+， =
1+

， = 2 在对应于 = 1的点处的切线及发平面方
程。
2、求
lim
1−
(,)→(0,1) 2 + 2
5、计算二重积分∬ (3 + 2)，其中是由两坐标轴及直线 + = 2围
号
A. + 2 2 + 2 = 0表示椭圆抛物面
线
B. 2 + 2 2 = 1 + 3 2 表示双叶双曲面
C. 2 + 2 − ( − 1)2 = 0表示圆锥面
D. 2 = 5表示抛物柱面
3、函数 = 3 + 3 − 3的极小值是
A.2
B.-2
C.1
____________.
说明：答案要求简明扼要，全部做在考试题（卷）上。

A. < 1
密
姓
B. > 1
名
一、单选题（每题 3 分，共 15 分）

C. ≤ 1

1、设函数(, )满足 ( + , ) = 2 − 2 ，则 |−1 与 |−1 依次是
−1
D. ≥ 1
−1
1
A.2,0
3、旋转抛物面 = 2 + 2 (0 ≤ ≤ 4)在三坐标面上的投影是_________.
4、函数 = ln ( 2 − 2 + 1)的定义域是_________.

5、设 = arctan ()，而 = ，则=__________.

201X-2014高数B1重修试题A卷

广西科技大学 2013 — 2014 学年第2学期课程考核试题考核课程高等数学B1 （重修）（A 卷）考核班级全校审核人王琦学生数 122印数 130 考核方式闭卷考核时间 120 分钟答案写在试卷上，否则无效！一.填空题：（每空2分，共12分） 1. 数列n u 收敛的必要条件是。

2. 1=x 是函数的间断点。

3.3512lim 22++-∞→x x x x =。

4. 设⎩⎨⎧-=-=t y t t x cos 1sin ，dx dy =。

5. 设dy x y ,2arcsin ==。

6. 函数7186223---=x x x y 的单调递增区间为。

二．求下列函数的极限（每小题5分，共15分）。

（1）（2）（3）三. 求下列函数的导数（每小题5分，共10分）。

231)(22+--=x x x x f xe x x 1lim 30-→xx x 11lim 0-+→xx x x 21lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→（1）2tanxy =，求'y (2))0(sin >=x x y x ,求'y四．计算下列不定积分（每小题5分，共20分）。

（1）xdx x ⎰28sec tan （2）（3）dx e x ⎰ （4）⎰xdx arcsin五．计算下列定积分（每小题5分，共15分）。

（1）xdx x cos sin 23⎰π（2）dx xx⎰--122（3）dx xe x ⎰-1dxxx ⎰--2112六．求函数242x x y +-=的极值（8分）。

七．求曲线53523++-=x x x y 的拐点和凹凸区间（10分）。

1y=与直线2y所围成的图形的面积（10分）。

x=x,=八．求由曲线x。

高等数学重修课考试试卷(B)答案及评分标准

北方交通大学1999-2000学年第二学期高等数学重修课考试试卷（B ）答案及评分标准一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中．1． ()()()=++-∞→5028020152312limxx x x _________．2．曲线⎩⎨⎧==t e y te x tt cos 2sin 在点()10，处的法线方程为 ______________________． 3．设函数()x f 在区间()∞+∞-，上连续，且()20=f ，且设()()⎰=2sin x xdt t f x F ，则()='0F _________． 4．已知()x xe x f =2，则()=⎰-11dx x f ________________．5．抛物线()a x x y -=与直线x y =所围图形的面积为 ___________________．答案： ⒈ 508020532⋅； ⒉ 012=-+y x ； ⒊ 2-；⒋ ee 34--；⒌()613a +．二．选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。

以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效． 1．指出下列函数中，当0+→x 时，_____________为无穷大量．（A ）．12--x ；（B ）．xx s e c 1s i n +；（C ）．xe -；（D ）．x e 1-．2．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤=113223x xx x x f ，则()x f 在点1=x 处的______________ ．（A ）．左右导数都存在；（B ）．左导数存在，但右导数不存在；（C ）．左导数不存在，但右导数存在；（D ）．左、右导数都不存在． 3．已知函数()()()()()4321----=x x x x x f ，则方程()0='x f 有______________ ．（A ）．分别位于区间()21，，()31，，()41，内的三个根；（B ）．分别位于区间()21，，()32，，()43，内的三个根；（C ）．四个实根，分别位于区间()10，，()21，，()32，，()43，内；（D ）．四个实根，它们分别为11=x ，22=x ，33=x ，44=x ． 4．设函数()x f 有原函数x x ln ，则()=⎰dx x xf ___________ ．（A ）．C x x +⎪⎭⎫⎝⎛+ln 41212；（B ）．C x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛+ln 21412；（C ）．C x x +⎪⎭⎫⎝⎛-ln 41212；（D ）．C x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-ln 21412． 5．设区间[]b a连续函数()x f 满足关系式：()0=⎰badx x f ，则________ ．（A ）．在区间[]b a的某个小区间上有()0=x f ；（B ）．对区间[]b a 上的所有点x ，有()0=x f ；（C ）．在区间[]b a 内至少有一点x ，使得()0=x f ；（D ）．在区间[]b a 内不一定有()0=x f ．答案：⒈ （D ）； ⒉ （A ）； ⒊ （B ）； ⒋ （B ）； ⒌ （C ）．三．（本题满分6分）讨论函数()x x x x f nnn 2211lim+-=∞→的连续性，若有间断点，判断其类型．解： ()⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=→∞110111lim22x x x x x x x x x f nnn ……3 由于 ()()1l i m l i m 11=-=---→-→x x f x x ()1l i m l i m 11-==++-→-→x x f x x 因此1-=x 是()x f 的第一类跳跃型间断点． (4)由于 ()1l i m l i m 11==--→→x x f x x ()()1lim lim 11-=-=++→→x x f x x 因此1=x 是()x f 的第一类跳跃型间断点． ......5 ()x f 除1±=x 外处处连续． (6)四．（本题满分6分）设()x x x a a a y arccos 12-+= （其中0>a ，1≠a 为常数），试求dy ．解：()x x xx x x x aa a a a a a a a a dx dy 22221ln 1arccos 1ln ln -⋅----= ()xxx a aa a a r c c o s1ln 22--= ……4 所以，()dx a a aa dx y dy x xx arccos 1ln 22--='= (6)五．（本题满分6分）设()x x x f 22tan sin 2cos +=+'，试求()x f ．解：()()()C x d x f x f +++'=+⎰2c o s 2c o s 2c o s (2)()()C x d x x ++=⎰c o s t a n s i n 22()C x d x x +⎪⎭⎫⎝⎛-+-=⎰c o s 1c o s 1c o s 122()C x d x x+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰c o s c o s c o s 122 C x x +--=3c o s 31c o s 1 ……4 所以，()()C x x x f +----=32213 (6)六．（本题满分7分）计算定积分⎰---222324dx x x ．解：令t x sec 2=，则dt t t dx tan sec 2=，当2-=x 时，π=t ；当22-=x 时，43π=t ．并且由于t tan 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ，43上取负值，因此t t t t x x 23232c o s s i n 41s e c 84s e c 44-=-=- (3)⎰⎰⋅-=---43222232t a n s e c 2c o s s i n 414ππdt t t t t dx x x ⎰=ππ432s i n 21dt t162-=π (7)七．（本题满分7分）设函数()x y y =由方程()y y f e xe=所确定，其中函数f 具有二阶导数，且1≠'f ，试求22dxy d ．解：两端取对数，得()y y f x =+ln 上式两端对x 求导，得 ()y y y f x'=''+1所以，()()y f x dx dy '-=11 ……3 因此，()()()()()()()()()32222221111y f x y f y f y f x y y f x y f dx y d '-''-'-='-'''-'-= (7)八．（本题满分7分）研究函数()1--=x e x x f 的极值．解：()⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤-=---1100111x xe x xex xe x f xx x ， ()x f 在()∞+∞-，上处处连续．所以，()()()()⎪⎩⎪⎨⎧>-<<+<+-='---1110101111x e x x e x x e x x f xx x在点0=x 及1=x 处，()x f 不可导．再令()0='x f ，得()x f 的驻点1-=x ． (4)因此，()x f 有极大值()21-=-e f ，()11=f ；极小值()00=f ． (7)九．（本题满分7分）求由圆()16522=-+y x 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积．解：因为，2165x y -±= ()44≤≤-x ，而所求环体的体积是由半圆2165x y -+=与半圆2165x y --=绕x 轴旋转生成的旋转体的体积之差，即 ()()⎰-⎥⎦⎤⎢⎣⎡----+=442222165165dx xx V π (4)⎰--=4421620dx x π2160π= (7)十．（本题满分8分）证明：当0>x 时，()()221ln 1-≥-x x x．解：令()()()221ln 1---=x x x x ϕ，则()01=ϕ， (2)()xx x x x 12ln 2-+-='ϕ令()0='x ϕ，得1=x ，即1=x 是函数()x ϕ在区间()∞+，0上的唯一驻点． (4)()211ln 2x x x -+=''ϕ，所以()11>''ϕ，故1=x 是函数()()()221ln 1---=x x x x ϕ的极小值点，由于它是唯一的极值点，从而也是函数()()()221ln 1---=x x x x ϕ的最小值点． (6)即当0>x 时，()()()()011ln 122=≥---=ϕϕx x x x因此，当0>x 时，()()221ln 1-≥-x x x ． (8)十一．（本题满分8分）设()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=⎰⎰000sin 12002x x xdtdu u t x f x t ϕ ，其中()u ϕ为连续函数，试讨论()x f 在0=x 点处的连续性与可导性．解：()()()xdt du u t x f xt x x 20000sin 1lim lim 2⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=→→ϕ， ()()200021l i m xdt du u t x t x ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=→ϕ ()()xduu x x x 21lim2⎰-=→ϕ()()()221lim22xx x du u xx ⋅-+=⎰→ϕϕ()00f ==因此函数()x f 在0=x 点处连续． (4)()()()()xx dt du u t x f x f xt x x 0sin 1lim 0lim 200002-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=-⎰⎰→→ϕ ()()300021l i m xdt du u t x t x ⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-=→ϕ()()()xx x x du u x x 621lim22⋅-+=⎰→ϕϕ()()()x xx x x duu x xx 621lim6lim2002⋅-+=→→⎰ϕϕ ()()03162l i m 20ϕϕ-⋅=→x x x()031ϕ-=所以，函数()x f 在在0=x 点处可导，且()()0310ϕ-='f (8)十二．（本题满分8分）已知平面曲线L 的方程为()x y x 8222=+ ，考虑把曲线L 围在内部且各边平行于坐标轴的矩形，试求这些矩形中的最小值．解：由()x y x 8222=+，知0≥x ，所以228x x y -=，因此082≥-x x ，由此得2≤x ．故定义域为[]20，．又曲线关于x 轴对称，令0=y ，得01=x ，2=x ；令0=x ，得0=y ．因此曲线与x 轴的交点为()00，与()02，；与y 轴的交点只有()00，．对曲线方程的两端求导，得()()822222='++y y x y x 即 x yx y y -+='228．得驻点321=x ，对应的323±=y ．又 ()()12222222-+'+⋅-=''+'yxy y x y y y ，因此在点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332321，处，0<''y ；在点⎪⎪⎭⎫⎝⎛-332321，处，0>''y ．即函数()x y y =的最大值为323，最小值为323-．过点()00，，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛332321，，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-332321，，()02，作平行于坐标轴的直线所围成的矩形即为所求，该矩形的面积为3234．。

高数下重修试题A2-209-10

重庆大学高等数学Ⅱ-2（重修）课程试卷2009 ~2010 学年第一学期开课学院：数理学院课程号：考试日期2009年12月考试方式：考试时间：120 分一、填空题（每空3分，共15分）⒈过点M （2，4，-3）且平行于直线31215yx z --==的直线方程为531422+=-=-z y x 。

2．已知22ln()z x y =+，则(1,1)dz= 1dx+1dy 。

⒊级数01!2n n n ∞=∑的和为 3/2 。

4．设积分区域D 是由曲线2,,1y x y x y ===围成的区域，则 2Ddxdy =⎰⎰ 1/2 。

⒌已知二阶常系数线性齐次微分方程的两个解分别为312,x xy e y e-==，则该微分方程为 032'''=--y y y 。

二、计算题（共18分）⒈（9分）设sin u z e v =，而,u xy v x y ==+求z z x y∂∂∂∂和。

x v v z x u u z x z ∂∂∙∂∂+∂∂∙∂∂=∂∂=()()y x e y x y e xy xy+++∙∙cos sin 同理里一个结果x y 互换都带∂即：sin()cos()sin()cos()xy xy xy xyzye x y e x y xz xe x y e x y y∂=+++∂∂=+++∂2．（9分）求函数u xyz =在点(1,1,2)处沿从点(1,1,2)到点(2,4,3)的方向导数。

答案在下一页命题人：组题人：审题人：命题时间：教务处制学院专业、班年级学号姓名公平竞争、诚实守信、严肃考纪、拒绝作弊封线密119111111321112111cos 113cos 111cos 11)1,3,1(122=∙+∙+∙=∂∂=======∂∂==∂∂==∂∂l u l l xy z uxz y uyz x uχβα三、计算题（共18分）1．（9分）求螺旋线cos ,sin ,a y a z b x θθθ===在点(,0,0)a 处的切线及法平面方程。

08-09学年2学期重修班高等数学A(II)模拟试题答案

2.
： x 2 y2 z
1 x2 y2 ， f
x， y ， z
在上连续
f ( x，y， z） dv 化为球面坐标系下的三次积分
2
d
4
d
1
f ( r sin
cos ， r sin
sin ，r cos ) r 2 sin dr 解： z
0
0
0
z
1 x2 y2 x2 y2
2sin2 =1， =
0
2x 2
3
x= 3
－dye=x，d, u 2解xxz得，x y
y(z2y)
求x 出2一x个=函Ce数－2
解：增加平面
1 ： z=0
x2
y2 ≤ 1 下侧，
xdydz ydzdx ( z 3)dxdy =
3dv
( z 3)dxdy
1 3
13
3dxdy
3
x2 y2 1
1
x
2
31 4
14. (8 分 )
f ( x)
x2
2x
展开成
3
x
f ( x)
x x2 2 x 3
1( 3
1)
4x 3 x 1
1
n
[ (x 2)
xy 2dx 5xydy
L
L
1
[ x( x2 ) 2 5xx2 2x] dx
1
1
(x 5
10 x 4 )dx
2x5
|1 1
4
1
三、计算 ( 共 70 分 )
11.(6 分 ) 计算
sin y dxdy ，D ： y2= x 和 y = x 围成的闭区域。解：

高数下册重修班练习题参考解答

l 2 为 y 2, 0 x 1 ， ds dx ；
l 3 为 x 0, 1 y 2 ， ds dy
6. L x a cos t ， y a sin t 7. 12 8. P xy 2 , Q y ( x) , 所以
I x 2 x 5dx 2 xdx 0
(1 x 1)
（2）将
1 1 1 ln(1 5 x) 转化为 ln(1 5 x) 再套用公式（略） 2 x 3x 1 1 2x 1 x
2
（3）直接套用公式（略）
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3
(2) lim
a n 1 (n 1)3 n 1 lim n 1 n ( n 2)3 n a 3 n
R3
x 2 3 ，所以收敛区间为 (1, 5)
6. 提示：（1）直接套用公式；
ex

f ( x ) exe 2 x ln(1 x )
(2,2) 2 2 yf ( x) dx f ( x)dy ydx xdy dx 2dy 3 。 (1,1) 1 1 x

(2,2)
(1,1)
10. 12 ． 11. ： z x 2 y 2 （ 0 z 1 ）． D xy : x 2 y 2 1 ， dS 1 4 x 2 4 y 2 dxdy ，，
0 0 1 1
2 5 1 3
0 t , ds adt ,

L
xy 3 ds a cos t a 3 sin 3 t adt 0
0

Q P ( x) 2 x ( x) x 2 C 由 (0) 0 C 0 ( x) x 2 , x y