利用导数研究函数的图像及零点问题(基础)6

利用导数研究函数的图像及零点问题

【复习指导】

本讲复习时，应注重利用导数来研究函数图像与零点问题，复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用．

基础梳理

1．确定函数的图像

①．特征点：零点，极值点，顶点，与y轴的交点；

②．特征线：渐近线，对称轴．

2．函数的零点

⑵．求函数的零点的知识提示：

①．判别式；

②．介值定理；

③．单调性．

两个注意

⑴．描绘函数的图像首先确定函数的定义域．

⑵．注意利用函数的图像确定函数的零点．

三个防范

⑴．．

⑵．．

⑶．

常见函数的图像

⑴．函数(0,0)x y ae bx c a b =++><与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++><的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图像．

⑵．函数(0,0)x y ae bx c a b =++<>与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++<>的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图像．

⑶．函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++><与函数2ln (0,0)y ax bx c d x a d =+++><的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++>的图像．

⑷．函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++<>与函数2ln (0,0)y ax bc c d x a d =+++<>的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++<的图像．

双基自测

⑴．画函数1ln y x x =--的图像． ⑵．画函数2x y e x =-的图像．

⑶．画函数x

e y x

=的图像．

⑷．画函数ln x

y x

=

的图像． ⑸．关于x 的方程ln 1x e x =的实根个数是 ．1

初等数学的方法能够解决的函数问题：定义域、奇偶性、周期性、对称轴、渐近线

初等数学的方法未能彻底解决的函数问题：值域、单调性、零点、极值点

考点一 函数的图像问题

题型⑴．画函数的图像 【例1】画函数1x y e x =--的图像． 【练习1】画函数2x y x e =-的图像．

【例2】[10山东文理]函数22x y x =-的图像大致是___________．

【解】因当2x =或4时，220x x -=，故排除B 、C ；当2x =-时，21

2404

x x -=-<，

故排除D ，故选A ．

【练习2】⑴．画函数212

x y e x x =--的图像；⑵．画函数2ln y x x =-的图像．

【例3】⑴．画函数x y xe =的图像；⑵．画函数ln x

y x

=

的图像． 【练习3】⑴．画函数ln y x x =的图像；⑵．画函数x x

y e

=的图像．

题型⑵．识图 【例4】[12山东]函数cos 622

x x

x

y -=

-的图像大致为___________．

【解】函数为奇函数，故图象关于原点对称，排除A ，令0=y 得06cos =x ，故ππ

k x +=

2

6，ππ

6

12k

x +=

，函数零点有无穷多个，排除C ，且y 轴右侧第一个零点为)0,12

(

π

，又x x y --=22为增函数，当12

0π

<

-=-x x y ，

06cos >x ，故函数02

26cos >-=

-x

x x

y ，排除B ，选D ． 【练习4】[11山东理]函数2sin 2

x

y x =-的图象大致是

【解】函数2sin 2x y x =-为奇函数，且12cos 2y x '=-，令0y '=得1cos 4

x =，由于函数cos y x =为周期函数，而当2x π>时，2sin 02

x y x =->，当2x π<-时，

2sin 02

x

y x =

-<，则答案应选C ． 题型⑶．用图

【例5】南京市2013届高三9月学情调研2012．09

已知函数f (x )＝2x 2＋m 的图象与函数g (x )＝ln |x |的图象有四个交点，则实

数m 的取值范围为 ．(－∞，－1

2－ln2) 【练习5】已知使函数320()1(0)f x x ax a M =--≤≤存在整数零点的实数a 恰有

3个，则0M 的取值范围是 ．2663[

,)916

考点二 函数的零点问题

题型⑴．判断已知函数的零点所在区间 【例6】[09天津理]设函数1

()l n 3

f x x x =-，则()y f x =的零点个数是______________． 【解】由题得'3

()3x f x x

-=

，令'()0f x >得，3x >；令'()0f x <，得03x <<，令'()0f x =得，3x =，故知函数()y f x =在区间(0,3)上为减函数，在区间(3,)

+∞为增函数，在点3x =处有极小值1ln 30-<，故有两个零点，分别在(1,)e 和

(3,)+∞上．

【练习6】已知函数4()95f x x x =++，则()y f x =的图像在区间(1,3)-内与x 轴交点的个数为_____________．

【解】'3()49f x x =+，令'()0f x =得，1x =-，故在区间(1,3)-内'()0f x >，即()y f x =在区间(1,3)-上单调递增，故()y f x =的图像在区间(1,3)-内与x 轴