高中数学立体几何建系设点专题

2009-2010学年高三立几建系设点专题引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。

一、建立空间直角坐标系的三条途径途径一、利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系． 例1（卷理科第18题）已知两个正四棱锥P －ABCD 与 Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （3）求点P 到平面QAD 的距离． 简解：（1）略；（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，，，，，，1cos 3AQ PB AQ PB AQ PB<>==，．所求异面直线所成的角是1arccos3． （3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-，，，，，，，，． 设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得200x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，，取x ＝1，得(112)--，，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d ==n n．途径二、利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系．例2 （全国卷Ⅱ理科第19题）在直三棱柱111ABC A B C -中，AB ＝BC ，D 、E 分别为11BB AC ，的中点．（1）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线；（2）设12AA AC AB ==，求二面角11A AD C --的大小． 解：（1）如图2，建立直角坐标系O xyz -，其中原点O 为AC 的中点，设(00)A a ，，则，1(00)(02)B b B b c ，，，，，， 则11(00)(002)0ED b BB c ED BB ===，，，，，，，即1ED BB ⊥．xyz同理1ED AC⊥．因此ED为异面直线1BB与1AC的公垂线．（2）不妨令1a b c===，则1(110)(110)(002)BC AB AA=--=-=，，，，，，，，，100BC AB BC AA==，．即BC⊥AB，BC⊥1AA，又∵1AB AA A=，∴BC⊥面1A AD．又(101)(101)(010)0EC AE ED EC AE=--=-==，，，，，，，，，，0EC ED=，即EC⊥AE，EC⊥ED，又∵AE∩ED＝E，∴EC ⊥面1C AD ．∴1cos2EC BCEC BCEC BC<>==，，即得EC和BC的夹角为60．所以，二面角11A AD C--为60．练2：如图，平面PAC⊥平面ABC，ABC∆是以AC为斜边的等腰直角三角形，,,E F O分别为PA，PB，AC的中点，16AC=，10PA PC==．（I）设G是OC的中点，证明：//FG平面BOE；（II）证明：在ABO∆存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．途径三、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三条直线，可以利用这三条直线直接建系．例3．如图，在四棱锥O ABCD-中，底面ABCD四边长为1的菱形，4ABCπ∠=，OA ABCD⊥底面，2OA=，M为OA的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。

方法1：作AP CD⊥于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为,,x y z轴建立坐标系.方法2：（利用菱形对角线互相垂直）连结BD，设交AC于E，取OC中点为F，以E为原点，EB、EC、EF所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系.练3：在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为32点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点．1（Ⅰ）求证：A 1A ⊥BC ；（Ⅱ）当侧棱AA 1和底面成45°角时， 求二面角A 1—AC —B 的大小余弦值；二、求点的坐标的两条途径途径一、作该点在xOy 面上的投影，转化成求该投影的横、纵坐标和该点到它投影的距离（即竖坐标）。

途径二、过该点和z 轴作xOy 面的垂面，把空间的距离问题转化平面的距离问题。

例4. 如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底边长为a,侧棱长为2a建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角分析：（1）所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算；（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之解：（1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a,0）A 1（0，0，2a),C 1（-23a,a 2,2a)(2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ，于是M （0，a 2,2a），连结AM ，MC 1则有1(,0,0)2MC a =-(0,,0)AB a =，1)AA =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1 因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角1(,)2a AC =-，(0,)2aAM =，∴2194a AC AM ⋅=,而|13||3,||2AC a AM a == 由cos<1,AC AM >=1132||||AC AM AC AM ⋅=,∴ <1,AC AM >=30° 解法二： 1(,)2aAC =-， 平面ABB 1A 1的一个法向量(1,0,0)n =-∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角θ的正弦为：1sin cos ,AC n θ=<>=1112||||AC n AC n ⋅=∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角为30°练4：请在下列图形中建立适当的坐标系，并标明图中所有点的坐标。

（1）如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面,,,60,ABCD AB AD AC CD ABC ⊥⊥∠=︒,PA AB BC ==E 是PC 的中点. （2）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为2，D 为1CC 中点．2009-2010学年高三立几建系设点专向练习1. 在正方体A —C 1中，E 、F 分别为D 1C 1与AB 的中点，则A 1B 1与截面A 1ECF 所成的角的正弦值为（ ）A ．sin36 B ．sin 33C ．sin 26 D ．都不对解：（向量法）建立以D 为原点，DA,DC,DD 1分别为x,y,z 轴的坐标系，设棱长为1 设平面A 1FCE 的法向量n =（x ，y ，z ）, 则n ·FC =0，n ·CE =0A PEBCDABCD1A1C1B∵FC =（－1，21，0）， CE =（0，－21，1） ∴1102211022x y x y y z z y ⎧⎧-+==⎪⎪⎪⎪∴⎨⎨⎪⎪-+==⎪⎪⎩⎩,令y=2 , ∴n =（1，2，1）又∵11A B =（0，1，0） ∴cos<n ,11A B >=222226121=++ ∴A 1B 1与平面A 1FCE 成的角的正弦为sin 36答案：A2. 如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=AA 1，则AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值为（ ）A ．22B ．515 C ．46 D ．36 C 方法：建立如图2所示的空间直角坐标系，设AB=2，则)()113,1,0,(3,1,2)C AC =-、A 0,0,2，平面BB 1C 1C 的一个法向量为(1,0,0)n =，所以AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值为113648AC n AC n⋅==。

3.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，求异面直线BD 与B 1C 的距离。

解：建立空间直角坐标系（如图），则B （0，0，0），C （1，0，0），D （1，1，0） B 1（0，0，1）， 则111(1,1,0),(1,0,1),(0,0,1)BD BC BB ==-= 设与1,BD B C 都垂直的向量为(,,)n x y z =， 则由0BD n x y ⋅=+= 和10,BC n x z ⋅=-=A BCDA 1B 1C 1D 1zy1,x =令得1,1y z =-=，(1,1,1)n ∴=- ∴异面直线BD 与B 1C 的距离：111||1|cos ,|33BB n d BB BB n n ⋅=<>===4.四棱椎P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PCD ∆为正三角形， 平面,ABCD PCD 平面⊥PB PD E AC 为,⊥中点. （1）求证：PB ∥ 平面AEC ； （2）求二面角E —AC —D 的大小. 解：设b AD a CD ==,，过,,H CD PH P 垂足为作⊥ABCD PCD 平面平面⊥⊥∴PH 平面ABCD ，又 是矩形底面ABCD 故可以分别以OH 、HC 、HP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系H-xyz 。

由已知得H （0，0，0）,A （a,-b,0）,B(a,b,0),C(0,b,0),D(0,-b,0),P(0,0,b 3),E()2320b b ，，（-)0,2,(),3,,(b a AC b b a PB -=-=,0222=+-=⋅∴⊥b a AC PB AC PB解得b a 2=，)0,2,2(b b AC -=∴，)23,23,0(b b EC -=⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=+-=⋅∴=02323022),,(bz by EC n by bx AC n EAC z y x n 的一个法向量，是平面设 取y=1,得的一个法向量为平面ACDb HP n )3,0,0(),3,1,2(==⋅22363,cos =⨯=>=<∴bb HP n 4π的大小为二面角D AC E --∴5.如图，已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PA ⊥平面ABCD ，60ABC ∠=，EF ，分别是BC PC ，的中点．（1）证明：AE PD ⊥；（2）若H 为PD 上的动点，EH 与平面PAD 所成最大角的正切值为2PBECF AAEAF C --的余弦值．（2）方法：由（1）知AE AD AP ，，两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为E F ，分别为BC PC ，的中点，所以(000)10)0)(020)A B C D -，，，，，，，，，，1122P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，，，所以31(300)122AE AF ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，，，，，．设平面AEF 的一法向量为111()x y z =，，m ，则0AF ⎧⎪⎨=⎪⎩，m m 因此1111022x y z ++=⎪⎩，．取11z =-，则(021)=-，，m ，因为BD AC ⊥，BD PA ⊥，PAAC A =，所以BD ⊥平面AFC ，故BD 为平面AFC 的一法向量．又(0)BD =-，，所以2cos 5BD BD BD<>===，m m m ．因为二面角E AF C --为锐角，所以所求二面角的余弦值为5．6.如图，ABCD 是边长为a 的菱形，且∠BAD =60°， △PAD 为正三角形，且面PAD ⊥面ABCD（1）求cos 〈AB ，PD 〉的值；（2）若E 为AB 的中点，F 为PD 的中点，求|EF |的值；（3）求二面角P —BC —D 的大小 解：（1）选取AD 中点O 为原点，OB 、AD 、OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A （0，－2a ，0），B （23a ，0，0），P （0，0，23a ），D （0，2a，0）∴AB =（23a ，2a ，0），PD =（0，2a ，－23a ），则cos 〈AB ，PD 〉=||||AB PD AB PD ⋅=00()a a +⨯+⨯=41（2）∵E 、F 分别为AB 、PD 的中点，∴E （43 a ，－4a ，0），F （0，4a ，43a ） 则|EF |=22233(0)()(0)4444a a a a -+--+-=410a （3）∵面PAD ⊥面ABCD ，PO ⊥AD ，∴PO ⊥面ABCD ∵BO ⊥AD ，AD ∥BC ，∴BO ⊥BC连结PB ，则PB ⊥BC ，∴∠PBO 为二面角P —BC —D 的平面角在Rt △PBO 中，PO =23a ，BO =23a ，∴tan ∠PBO =BO PO =a a2323=1则∠PBO =45°故二面角P —BC —D 的大小为45°7.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，PC ⊥AD ．底面ABCD 为梯形，//AB DC ，AB BC ⊥．PA AB BC ==，点E 在棱PB 上，且2PE EB =．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCB ； （2）求证：PD ∥平面EAC ；（3）（理）求平面AEC 和平面PBC 所成锐二面角的余弦值．方法：以A 为原点，,AB AP 所在直线分别为y 轴、z 轴，如图建立空间直角坐标系． 设PA AB BC a ===，则()0,0,0A ，()0,,0B a ，(),,0C a a ，()0,0,P a ，20,,33a a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 设()1,,1x y =n 为平面EAC 的一个法向量，则11,AC AE ⊥⊥n n ，∴0,20.33ax ay ay a +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得11,22x y ==-，∴111(,,1)22=-n ．设()2',',1x y =n 为平面PBC 的一个法向量，则22,BC BP ⊥⊥n n ，又(),0,0BC a =，(0,,)BP a a =-，∴''0,0,ax ay a =⎧⎨-+=⎩，解得'0,'1x y ==，∴()20,1,1=n ． 1212123cos ,6⋅==n n n n n n ． ∴平面AEC 和平面PBC 所成锐二面角的余弦值为36． 8.三棱锥C OAB -的底面OAB 是边长为4的正三角形，CO ⊥平面OAB 且2CO =，设D 、E 分别是OA 、AB 的中点。