高中数学立体几何建系设点专题

2009-2010学年高三立几建系设点专题

引入空间向量坐标运算，使解立体几何问题避免了传统方法进行繁琐的空间分析，只需建立空间直角坐标系进行向量运算，而如何建立恰当的坐标系，成为用向量解题的关键步骤之一．所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算。

一、建立空间直角坐标系的三条途径

途径一、利用图形中的对称关系建立坐标系:图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系． 例1（卷理科第18题）已知两个正四棱锥P －ABCD 与 Q －ABCD 的高都为2，AB ＝4． （1）证明：PQ ⊥平面ABCD ；

（2）求异面直线AQ 与PB 所成的角； （3）求点P 到平面QAD 的距离． 简解：（1）略；

（2）由题设知，ABCD 是正方形，且AC ⊥BD ．由（1），PQ ⊥平面ABCD ，故可分别以直线

CA DB QP ，，为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系（如图1），易得(2202)(0222)AQ PB =--=-，，，，，，1

cos 3

AQ PB AQ PB AQ PB

<>=

=

，．所求异面直线所成的角是1arccos

3

． （3）由（2）知，点(0220)(22220)(004)D AD PQ -=--=-，

，，，，，，，． 设n =（x ，y ，z ）是平面QAD 的一个法向量，则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，n n 得200x z x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，

，取x ＝1，得

(112)--，，n =．点P 到平面QAD 的距离22PQ d =

=n n

．

途径二、利用面面垂直的性质建立坐标系:图形中有两个互相垂直的平面，可以利用面面垂

直的性质定理，作出互相垂直且交于一点的三条直线，建立坐标系．

例2 （全国卷Ⅱ理科第19题）在直三棱柱111ABC A B C -中，AB ＝BC ，D 、E 分别为11BB AC ，的中点．

（1）证明：ED 为异面直线1BB 与1AC 的公垂线；

（2）设12AA AC AB ==，求二面角1

1A AD C --的大小． 解：（1）如图2，建立直角坐标系O xyz -，其中原点O 为

AC 的中点，设(00)A a ，

，则，1(00)(02)B b B b c ，，，，，， 则11(00)(002)0ED b BB c ED BB ===，，，，，，，即1ED BB ⊥．

x

y

z

同理

1

ED AC

⊥．因此ED为异面直线

1

BB与

1

AC的公垂线．

（2）不妨令1

a b c

===，则

1

(110)(110)(002)

BC AB AA

=--=-=

，，，，，，，，，

1

00

BC AB BC AA

==

，．即BC⊥AB，BC⊥

1

AA，又∵

1

AB AA A

=，∴BC⊥面

1

A AD．

又(101)(101)(010)0

EC AE ED EC AE

=--=-==

，，，，，，，，，，0

EC ED=，

即EC⊥AE，EC⊥ED，又∵AE∩ED＝E，∴EC ⊥面

1

C A

D ．∴

1

cos

2

EC BC

EC BC

EC BC

<>==

，，

即得EC和BC的夹角为60．所以，二面角

11

A AD C

--为60．

练2：如图，平面PAC⊥平面ABC，ABC

∆

是以AC为斜边的等腰直角三角形，,,

E F O分别为PA，

PB，AC的中点，16

AC=，10

PA PC

==．

（I）设G是OC的中点，证明：//

FG平面BOE；

（II）证明：在ABO

∆存在一点M，使FM⊥平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．

途径三、利用图形中现成的垂直关系建立坐标系:当图形中有明显互相垂直且交于一点的三

条直线，可以利用这三条直线直接建系．

例3．如图，在四棱锥O ABCD

-中，底面ABCD四边长为1的菱形，

4

ABC

π

∠=，

OA ABCD

⊥底面，2

OA=，M为OA的中点。

（Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小；

（Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。

方法1：作AP CD

⊥于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为,,

x y z轴建立坐标系.

方法2：（利用菱形对角线互相垂直）连结BD，设交AC于E，取OC中点为F，以E为原点，

EB、EC、EF所在直线为x, y, z轴建立空间直角坐标系.

练3：在三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是边长为3

2

点A1在底面ABC上的射影O恰是BC的中点．

1

（Ⅰ）求证：A 1A ⊥BC ；

（Ⅱ）当侧棱AA 1和底面成45°角时， 求二面角A 1—AC —B 的大小余弦值；

二、求点的坐标的两条途径

途径一、作该点在xOy 面上的投影，转化成求该投影的横、纵坐标和该点到它投影的距离（即竖坐标）。

途径二、过该点和z 轴作xOy 面的垂面，把空间的距离问题转化平面的距离问题。

例4. 如图，正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底边长为a,侧棱长为2a

建立适当的坐标系，⑴写出A ，B ，A 1，B 1的坐标；⑵求AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角分析：（1）所谓“建立适当的坐标系”，一般应使尽量多的点在数轴上或便于计算；

（2）首先要找出所求的角，或找出平面的法向量与直线所成的角，然后再求之解：（1）建系如图，则A （0，0，0） B （0，a,0）

A 1（0，0，2a),C 1（-

23a,a 2,2

a

)(2)解法一：在所建的坐标系中，取A 1B 1的中点M ，于是M （0，

a 2,2

a

）

，连结AM ，MC 1

则有1(,0,0)2

MC a =-

(0,,0)AB a =

，1)AA =， ∴10MC AB ⋅=，110MC AA ⋅=，所以，MC 1⊥平面ABB 1A 1 因此，AC 1与AM 所成的角就是AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角

1(,)2a AC =

-，(0,)2

a

AM =，∴2

194

a AC AM ⋅=

,而

|13||3,||2

AC a AM a == 由cos<1,AC AM >=

113

2

||||AC AM AC AM ⋅=

,∴ <1

,AC AM >=30

° 解法二： 1(,)2

a

AC =-

， 平面ABB 1A 1的一个法向量(1,0,0)n =-

∴AC 1与侧面ABB 1A 1所成的角θ的正弦为：1sin cos ,AC n θ=<>=

111

2

||||AC n AC n ⋅=