随机现象和统计规律性
随机现象及其统计规律性
随机试验结果外在表现为随机现象或偶然现象．
的盒子中随机摸球，可能摸出 任何随机试验至少有两个可能结果．
务系统(例如超市、火车站、
黑球，也可能摸出白球； 1随机现象及其统计规律性
1、确定性试验和随机试验 ◆随机现象是本门课程的研究对象． ◎在没有外力作用的条件下，作等速直线运动 的物体继续作等速直线运动； ◎新生婴儿的性别，可能是男孩，也可能是女孩； ◎将一笔资金用于 ，其收益分为好、
◆随机现象是本门课程的研究对象．
*
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二、统计规律
举例1 新生婴儿性别是男是女，在试验之前无 法确定，完全是随机的、偶然的、甚至可以用杂 乱无章来形容．但是，实践告诉我们，重复做这 个试验，当试验次数相当大时，新生男孩的比例 逐渐稳定于1/2．出现这个事实是完全可以理解 的，因为生男生女“机会”均等．难怪我们并不 担心将来某一天男女比例会严重失调．
*
10
◎将一笔资金用于 ，其收益分为好、 一般、差，出现各种结果皆有可能；
◎掷一枚骰子，可能掷出点1，也可能掷出点2， …，还可能 掷出点6；
◎未来一段时间内来到一个服
务系统(例如超市、火车站、
取款机等)的顾客数，可能是0
个，也可能是1个，…，还可能是1000个， …；
*
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◎射击时弹着点与靶心的距离； ◎某种型号电视机的寿命．
*
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举例2 一个地区的年降雨量虽然是随机的， 有旱涝之分，但能够几乎肯定的是，如果连 续考察若干年，其年均降雨量只能在某一个 较小范围内变化．
*
16
随机现象是不是没有规律可言? 否！
任何随机试验至少有两个可能结果．
在随机试验的所有可能结果中，单就一次随机 试验而言，可能出现这种结果，也可能出现那种结 果，但“大数次”地重复这个试验，其结果会遵循 某种规律性．也就是说，偶然中蕴藏着必然．
概率论基础：定义与原理
概率论基础：定义与原理概率论是数学中的一个重要分支，研究随机现象的规律性和统计规律性。
在现代科学和工程技术中有着广泛的应用。
概率论的基础是概率的定义和概率的基本原理。
本文将介绍概率论的基础知识，包括概率的定义、概率的性质、概率的基本原理等内容。
一、概率的定义概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。
在数学上，概率可以用数值来表示，通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的定义有多种形式，其中最常见的是古典概率和统计概率。
1. 古典概率古典概率是指在随机试验中，样本空间有限且每个基本事件发生的可能性相同的情况下，事件A发生的概率可以用如下公式表示：P(A) = n(A) / n(S)其中，n(A)表示事件A发生的基本事件数，n(S)表示样本空间中基本事件的总数。
2. 统计概率统计概率是指在实际观察中，通过频率来估计事件发生的概率。
当试验次数足够多时，事件A发生的频率将逼近其概率值。
统计概率是概率论中最基本的概念之一，也是实际应用中最常用的概率计算方法。
二、概率的性质概率具有一些基本性质，这些性质是概率论研究的基础，也是概率计算的重要依据。
1. 非负性对于任意事件A，其概率值满足P(A) ≥ 0。
2. 规范性对于样本空间S，其概率值为1，即P(S) = 1。
3. 可列可加性对于任意两个互不相容的事件A和B，有P(A∪B) = P(A) + P(B)。
4. 对立事件的性质对立事件是指事件A和其补事件A'，即A与A'互为对立事件。
对立事件的概率满足P(A) + P(A') = 1。
5. 事件的包含关系若事件A包含事件B，则P(A) ≥ P(B)。
三、概率的基本原理概率的基本原理包括加法法则和乘法法则，是概率计算的基础。
1. 加法法则加法法则是指对于任意两个事件A和B，它们的并事件的概率可以表示为：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)其中，P(A∩B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
概率论基础基础(复旦版)李贤平概论
符号 Ω Φ ω∈Ω {ω} A⊂ Ω A ⊂B A=B A∪B A∩B Ā A-B A∩B=φ
测度论含义 全集 空集 集合的元素 单点集 一个集合 A A的元素在B中 B 集合A与B相等 A与B的所有元素 A与B的共同元素 A的补集 在A中而不在B中的元素 A与B无公共元素
概率论含义 样本空间，必然事件 不可能事件 样本点 基本事件 一个事件 A A发生导致B发生 B 事件A与B相等 A与B至少有一个发生 A与B同时发生 A的对立事件 A发生而B不发生 A与B互斥
显然 φ ⊂A⊂Ω ⊂Ω ⊂ 且 ⊂ 相等 A=B : A⊂B且B⊂A
2. 和事件 事件A和 至少有一个发生 A∪B :事件 和B至少有一个发生 ∪ 事件 A 显然, ∪ 显然 A∪φ =A A∪Ω=Ω ∪ Ω B
3. 积事件 事件 与 同时发生 A∩B : 事件A与B同时发生 简写AB 简写 A 显然, 显然 A∩φ=φ A∩Ω=A Ω B
例 抛硬币 试验者 Buffon Pearson Kerrich 掷的次数 4040 24000 10000 正面次数 2048 12012 5067 正面频率 0.5069 0.5005 0.5067
例，高尔顿钉板试验 在相同的条件下，大量重复某一试验时，各可能结果出现的 频率稳定在某各确定值附近，即 随机试验中频率的稳定性 频率稳定性的存在标志着随机现象也由数量规律 概率论是研究随机现象中数量规律的数学学科
四、随机事件的关系及运算
对应集合的关系和运算来定义事 件的关系及运算,并根据 事件发生” 并根据“ 件的关系及运算 并根据“事件发生”的 含义,来理解它们在概率论中的含义 含义 来理解它们在概率论中的含义
1. 子事件 包含 A⊂ B : 事件 发生必有事件B发 事件A发生必有事件 发 发生必有事件 ⊂ 包含A 生, 称B包含 包含 B A
概率论与数理统计
一、事件的频率与概率
次数， µ n ( A ) : 事件 A 在 n 次可重复试验中出现的 次数，
称为 A 在 n 次试验中出现的频数
频率—— f n ( A) = 频率
µ n ( A)
n
.
频率有如下性质： 频率有如下性质：
1. 非负性：对任何事件 A，有 0 ≤ f n ( A) ≤ 1 非负性：
掷一骰子， 如： A =“掷一骰子，点数小于 4”， B =“掷一骰子，点数小于 5”， 掷一骰子， 则A ⊂ B.
显然对任何事件 A，有 Φ ⊂ A ⊂ Ω⊂ A，则称事件 A与事件 B相等，记作 A = B .
2.事件的和（并） 事件的和（
两个事件 A, B 中至少有一个发生 (属于A或属于 B的样本点 构成的集合 )，称为事件 A 与 B 的和(并 ), 记作 A + B 或 A ∪ B .
显然， 显然，事件 A 与 A 可以构成一个完备事件 组
类似地，称可列个事件 A1 , A2 , L , An， 构成一个 L 类似地， 完备事件组， 完备事件组，如果满足 ：
(1)
( 2)
Ai A j = Φ
(i ≠ j )
∑A
i
i
=Ω
律 事件运算满足下列运算 ：
(1) 交换律 A + B = B + A AB = BA
设袋中有红, 黄各一球, 例: 设袋中有红,白,黄各一球,有放回抽取三 取出球后仍把球放回原袋中),每次取一球, ),每次取一球 次(取出球后仍把球放回原袋中),每次取一球,试 说明下列各组事件是否相容?若不相容, 说明下列各组事件是否相容?若不相容,说明是否 对立? 对立? 三次抽取, 三次抽取, (1) A=“三次抽取,颜色全不同”,B=“三次抽取, = 三次抽取 颜色全不同” = 三次抽取 相容 颜色不全同” 颜色不全同” (2) A=“三次抽取,颜色全同”,B=“三次抽取, 三次抽取, 三次抽取, = 三次抽取 颜色全同” = 三次抽取 颜色不全同” 颜色不全同” 不相容， 不相容，对立 三次抽取, 三次抽取, (3) A=“三次抽取,无红色球”,B=“三次抽取, = 三次抽取 无红色球” = 三次抽取 无黄色球” 无黄色球” 相容 三次抽取, (4) A=“三次抽取,无红色球也无黄色”, = 三次抽取 无红色球也无黄色” B=“三次抽取, 无白色球” 不相容，不对立 三次抽取, = 三次抽取 无白色球” 不相容，
究随机现象的统计规律性的数学理论和方法-随机数学简介
随机数学简介随机数学是描述和研究随机现象的统计规律性的数学理论和方法随机现象是最早被关注的一种不确定现象。
数学家在400多年前开始研究赌博现象，由此形成了概率的早期概念乃至古典概率论(大部分同学在本科学过古典概率论)，一批数学家对此作出了贡献。
到19世纪末，数学的发展要求对古典概率论的逻辑基础（象微积分一样）作出严格化。
做出概率严格化第一步的有伯恩斯坦，布雷尔等人，尤其是布雷尔，作为测度论的奠基者，首先指出将测度论方法引入概率论的重要性。
布雷尔的工作激起了数学家沿着这一新方向探索的行动。
其中，原苏联数学家哥尔莫戈罗夫在上世纪30年代前后的工作最杰出，他推导了弱大数定理和强大数定理的最一般的结果，在这些研究中，与可测函数论的类比起了极重要的作用，这成为以测度论为基础的概率论公理化的前奏。
由此，现代概率论与随机过程理论建立在一个坚实的基础上。
直到上世纪60年代，第二种不确定现象——模糊现象才被认识到并系统地加以研究，形成了模糊数学。
不确定数学和确定数学（又称为经典数学）在逻辑上存在两大区别：一是经典数学属于{0， 1}二值逻辑，而不确定数学则属于[0，1]无限逻辑；二是确定数学满足形式逻辑的四大定律，而不确定数学不满足其中的排中律。
随着数学和整个科学的现代化进程，具有种种不确定性的现象不断发现，从而发展成有关的理论。
例如，混沌理论，耗散理论，非线性理论，计算复杂性中的P = ？NP问题等，它们的共同逻辑特征都不属于典型的形式逻辑范畴，“四大定律”不完全满足。
现在统称这些领域为复杂性数学。
这样，不确定数学现在包括随机数学，模糊数学和复杂性数学。
我们在研究生数学课程体系中集中安排了随机数学的几门重要课程。
随机数学一般被认为由概率论，随机过程，数理统计，时间序列分析，多元统计分析等分支组成（它们自己分成程度不同的课程），这些分支还与其它学科结合，构成了很多应用性很强的学科，如随机运筹学等，包括排队论，Markov 决策论，库存论等。
概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科.
下面我们先介绍大数定律
大数定律的客观背景 大量的随机现象中平均结果的稳定性
大量抛掷硬币 正面出现频率
生产过程中的 字母使用频率 废品率
……
几个常见的大数定律
定理1（切比雪夫大数定律）
设 X1,X2, …是相互独立的随机 变量序列，它们都有有限的方差， 并且方差有共同的上界，即 D(Xi)
近于1.
请看演示 切比雪夫不等式和大数定律
作为切比雪夫大数定律的特殊情况， 有下面的定理.
定理2（独立同分布下的大数定律）
设X1,X2, …是独立同分布的随机变量
序列，且E(Xi)= ，D(Xi)= 2， i=1,2,…,
则对任给 >0,
lim
n
P{|
1 n
n i 1
Xi
| } 1
设Sn是n重贝努里试验中事件A发生的 次数，p是事件A发生的概率，则对任给的
ε> 0， lim P{| Sn p | } 1
n
n
或 lim P{| Sn p | } 0
n
n
任给ε>0， lim P{| Sn p | } 0
n
n
贝努里大数定律表明，当重复试验次数
≤K，i=1,2, …， 则对任意的ε>0，
切比雪夫
lim
n
P{|
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E(Xi)
|
}1
证明切比雪夫大数定律主要的数学 工具是切比雪夫不等式.
设随机变量X有期望E(X)和方差 2，
则对于任给 >0,
P{|
X
概率论与数理统计(经管类)复习要点 第1章 随机事件与概率
第一章随机事件与概率1. 从发生的必然性角度区分，现象分为确定性现象和随机现象。
随机现象：在一定条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，预先无法断言。
统计规律性：在大量重复试验或观察中所呈现的固有规律性。
概率论与数理统计就是研究和揭示随机现象统计规律的一门数学学科，随机现象是概率论与数理统计的主要对象。
（1）概率论：从数量上研究随机现象的统计规律性的科学。
（2）数理统计：从应用角度研究处理随机性数据，建立有效的统计方法，进行统计推理。
2. （1）试验的可重复性——可在相同条件下重复进行；（2）一次试验结果的随机性——一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现，但能确定所有的可能结果；（3）全部试验结果的可知性——所有可能的结果是预先可知的。
在概率论中，将具有上述三个特点的试验成为随机试验，简称试验，记作E。
样本点：试验的每一个可能出现的结果称为一个样本点，记为ω。
样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为试验E的样本空间，记为Ω。
3. 在一次试验中可能出现也可能不出现的事件，统称为随机事件，记作A，B，C或A1，A2，…随机事件：样本空间Ω的任意一个子集称, 简称“事件”，记作A、B、C等。
事件发生：在一次试验中，当这一子集中的一个样本点出现时。
基本事件：样本空间Ω仅包含一个样本点ω的单点子集{ω}。
两个特殊事件：必然事件Ω、不可能事件φ样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，在每次试验中它总是发生，称为必然事件。
空集φ不包含任何样本点，它也作为样本空间Ω的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
4. 随机事件的关系与运算（1）事件的包含与相等设A，B为两个事件，若A发生必然导致B发生，则称事件B包含A，或称事件A包含在B中，记作B⊃A，A⊂B。
①φ⊂A⊂Ω②若A⊂B且B⊂A，则称A与B相等，记作A=B。
事实上，A和B在意义上表示同一事件，或者说A和B 是同一事件的不同表述。
（2）和事件称事件“A，B中至少有一个发生”为事件A与事件B的和事件，也称为A与B的并，记作A∪B或A+B。
随机事件及概率
恰好出现两次正面｝ Ｂ={恰好出现两次正面｝ 恰好出现两次正面
{ HHT , THH , HTH }
Ｄ={至多出现一次正面｝ 至多出现一次正面｝ 至多出现一次正面
{ HTT , THT , TTH , HHT , TTT }
设E为古典概型,Ω为E的样本空间,A为任意一个事件，定 义事件A的概率为 m 事件 A 所包含基本事件数 P ( A) = = n 基本事件总数
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（３）古典概型的题型 古典概型的题型 （一）抽样问题(摸球问题,随机取数问题) （一）抽样问题(摸球问题,随机取数问题)
自 个 N 元 素 中 回 无 放 回 有 放
2
三.样本空间
把随机试验的每一个可能结果称为一个样本点， 将一个随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间，通常用 表示．
求实验的样本空间：
Ω = {H ,T }
E1:将一枚硬币抛掷 一次，观察正面、反面出 现的情况 E2:将一枚硬币抛掷 二次，观察正面、反面出现的情况
Ω = { HT , TH }
4
五.事件间的关系与运算
1.事件之间的四种关系 1.
关 系 包含关系 相等关系 互不相容（互斥）关系 符 号
A⊂ B
概率论 事件A发生导致事件 事件 发生导致事件B 发生导致事件 发生 事件A与事件 相等 事件 与事件B相等 与事件 事件A与事件B不能同 时发生 发生， 事件 A发生，当且仅 当事件A不发生 当事件 不发生
§1.1 随机事件
一.随机现象及统计规律 1.随机现象 我们事先无法准确预知其结果的现象．或具有偶然性 质的现象.如： （1）某人射击一次，考察命中情况； （2）某人射击一次，考察命中环数； （3）掷一枚硬币，观察向上的面； （4）从一批产品中抽取一件，考察其质量； 2.随机现象的统计规律性 人们把随机现象在大量重复出现时所表现出来的量的规 律性称为随机现象的统计规律性．
统计规律性的名词解释
统计规律性的名词解释统计学是一门以收集、整理和分析数据为基础的学科。
通过统计学的方法，我们可以研究数据中的规律性和趋势，从而对现象进行解释和预测。
统计规律性是指在大量数据中存在的一些普遍的规律和趋向，它们具有稳定性和普适性，可以被用来描述和解释数据背后的模式。
下面，我们将对几个与统计规律性相关的名词进行解释。
1. 总体和样本在统计学中，总体是指我们想要研究的整体群体。
例如，我们想了解全国人口的平均年龄，那么全国人口就是我们的总体。
由于往往难以对整个总体进行调查，所以我们只能从总体中选取一部分代表性的个体进行研究，这部分个体称为样本。
样本是总体的一个子集，我们通过对样本的观察和分析来推断总体的特征。
2. 参数和统计量参数是用来描述总体特征的数值，例如总体的平均值或者方差。
然而，由于总体往往是无法完全观察到的，所以我们需要通过样本来估计总体的参数。
样本的统计量是样本数据的数值指标，例如样本的平均值或者标准差。
通过统计量的计算，我们可以估计总体参数并推断总体的特征。
3. 随机性和确定性在统计学中，我们经常会遇到随机事件和随机变量。
随机性是指事件或者变量的结果不完全确定的特性。
例如，抛掷一个硬币的结果是正面还是反面，是由于硬币的形状和抛掷的力量等因素的随机性。
然而，尽管单个事件是随机的，但是在大量重复试验的情况下，我们可以发现随机事件的规律性。
统计学的目标就是通过分析大量的数据来揭示随机事件背后的规律性。
4. 概率和频率概率是用来描述事件发生的可能性大小的数值，它的取值范围是0到1之间。
例如，抛掷一个公正的骰子，每个面出现的概率都是1/6。
频率是指在一系列重复试验中事件发生的次数。
当重复试验的次数逐渐增加时，频率会趋近于概率，这就是概率的频率解释。
概率和频率是统计学中非常重要的概念，它们用来描述和计算随机事件的规律性。
5. 正态分布和中心极限定理正态分布是统计学中非常重要的一种概率分布。
它的曲线是对称的钟形曲线，以均值为中心。
简述统计学的研究对象和特点
简述统计学的研究对象和特点统计学是一门研究数据收集、整理、分析和解释的学科，其研究对象是随机现象的规律性和统计规律。
统计学的特点是客观性、实证性、综合性和概率性。
统计学具有客观性。
统计学的研究对象是客观存在的数据和现象，它们不受主观意识的影响。
统计学家通过收集大量的数据并进行统计分析，可以揭示数据背后的客观规律和趋势。
统计学的结论是基于数据和事实的，具有客观性和普遍性。
统计学具有实证性。
统计学通过观察和实验，通过收集和分析数据来验证假设和推断的有效性。
统计学家通过实证研究来检验和验证理论假设，并根据实证结果来得出结论。
实证性是统计学的一个重要特点，使得统计学的研究结果具有实用价值和可靠性。
统计学具有综合性。
统计学是一门综合性的学科，它涉及到多个学科领域，如数学、经济学、社会学、生物学等。
统计学家需要掌握多学科的知识和方法，才能在实际问题中进行统计分析和研究。
统计学的综合性使其能够在各个领域中进行数据分析和决策支持。
统计学具有概率性。
统计学研究的对象是随机现象，而随机现象具有不确定性和变异性。
统计学通过概率理论来描述和解释随机现象的规律性和统计规律。
概率性是统计学的基础，它使统计学能够处理不确定性和变异性，并为决策提供概率性的依据。
统计学是一门研究数据和随机现象的规律性和统计规律的学科。
它具有客观性、实证性、综合性和概率性等特点。
统计学的研究对象是客观存在的数据和现象，通过收集、整理、分析和解释数据，揭示数据背后的规律和趋势。
统计学的研究结果具有实用价值和可靠性，能够为各个领域的决策提供科学支持。
概率论与数理统计常见问题解答
概率论与数理统计常见问题解答1.概率论研究的对象是什么？现实生活中有两类现象。
必然现象：一定条件下，结果是肯定的。
如：一定大气压下，水加温到100℃：沸腾随机现象：一定条件下，结果不肯定的。
如：实弹射击，打一发子弹：可能中或不中概率论是研究随机现象规律性的一门学科。
2.随机现象有规律性吗？有。
例如：两人打枪。
甲是神枪手，乙是普通射手。
如果打一发子弹，甲可能打中也可能打不中，乙也可能打中也可能打不中，看不出什么规律。
如果两人比赛，各打10组，每组100发子弹，结果是：我们可以看出规律性：甲可说几乎每发必中，乙只有大约一半的可能性打中。
这种规律性称为统计规律性。
在大量试验中才显示出来，不是个别试验显示的特性。
3.随机现象的规律性如何指导实践？例如：农业生产上选择品种，如果当地发生旱灾的可能性大，水灾的可能性小，就应选择耐旱的品种，反之则应选择耐涝的品种。
在统计学中，以“小概率事件”判断原理来进行假设检验，例如：厂方声称，产品的废品率为5%，随机检查，发现“5个产品有2个次品”。
这时，应当拒绝“废品率为5%” 。
为什么？因为“5个产品有2个次品”是小概率事件（用概率的方法可计算），在一次试验中一般不可能发生，现在居然发生了，应怀疑原假设。
可能性小的事并不等于不发生例如：地震。
某地某日发生大地震的可能性是非常小的，但就整个地球来说，一年总要发生几次大地震。
例1：甲、乙两位棋手棋艺相当。
他们在一项奖金为1000元的比赛相遇。
比赛为五局三胜制。
已经进行了三局的比赛，结果为甲二胜一负。
现因故要停止比赛，问应该如何分配这1000元比赛奖金才算公平？奖金分配方法：平均分，对甲欠公平，按一定的比例分配，甲拿大头，乙拿小头，甲拿2/3，乙拿1/3，合理吗？例2：在第43届世界乒乓球锦标赛中，中国队与瑞典队争夺冠亚军，当时瑞典队上场队员只有瓦尔德内尔、佩尔松和卡尔松，其中卡尔松怕削球手，于是中国队排出了以下阵容：王涛马文革丁松马文革王涛决策时已经估计到瑞典队有两种可能的选择：或以卡尔松打第三单打去碰削球手丁松或以佩尔森打第三单打，以便卡尔松避开丁松最后，中国队战胜瑞典队（3：2），夺回了阔别六年之久的斯韦思林杯。
概率论标准化
概率论标准化概率论是数学中的一个重要分支，它研究的是随机现象的规律性和统计规律性。
在概率论中，标准化是一个重要的概念，它在统计学和概率论中有着广泛的应用。
本文将对概率论标准化进行详细的介绍和解释。
首先，我们来了解一下标准化的概念。
在概率论中，标准化是指将随机变量转化为标准正态分布的过程。
标准正态分布是指均值为0，标准差为1的正态分布。
通过标准化，我们可以将不同的随机变量进行比较和分析，使得数据更易于处理和解释。
标准化的方法通常是通过对原始随机变量进行变换，使其符合标准正态分布的要求。
标准化的过程可以通过以下公式来实现：\[ Z = \frac{X \mu}{\sigma} \]其中，Z为标准化后的随机变量，X为原始随机变量，μ为原始随机变量的均值，σ为原始随机变量的标准差。
通过这个公式，我们可以将原始随机变量X转化为标准正态分布的随机变量Z。
标准化的意义在于，它使得不同的随机变量可以进行比较和分析。
在实际应用中，我们经常会遇到不同的随机变量具有不同的均值和标准差，这时候就需要对这些随机变量进行标准化，以便进行统一的分析和处理。
通过标准化，我们可以消除不同随机变量之间的量纲差异，使得它们更具有可比性。
除了对单个随机变量进行标准化之外，我们还可以对多个随机变量进行联合标准化。
联合标准化的过程可以通过协方差矩阵和特征值分解来实现，具体的数学推导在此不再详述。
通过联合标准化，我们可以将多个随机变量转化为相互独立的标准正态分布的随机变量，从而方便进行多变量的统计分析。
总之，概率论标准化是概率论和统计学中的重要概念，它通过对随机变量进行变换，使其符合标准正态分布的要求，从而方便进行统计分析和推断。
标准化的方法可以应用于单个随机变量的标准化，也可以应用于多个随机变量的联合标准化。
通过标准化，我们可以消除随机变量之间的量纲差异，使得它们更具有可比性，为统计分析提供了便利。
希望本文对概率论标准化有所帮助，让读者对这一概念有更清晰的认识。
概率c1_1_1
I . Prigogine
2014-1-20
3
序
二. 课程特点
1. 实际背景强
言
2. 数学基础深和广
3. 基本概念较难理解
4. 思维方式新
三.
授课特点
1. 力求讲清基本概念。
2. 不照本宣科，注重知识的系统性，例子更侧重 于实际。 3. 注重对问题的分析,并用图形辅助求解过程。 4. 要求同学们积极配合。 2014-1-20
2014-1-20
16
概率统计的应用与前景
应 用:
日常生活： 彩票分析、破除迷信
神秘预测术
经济活动： 工业生产： 军事研究： 2014-1-20 供求预测、投资的平均收益(估计) 废品控制、工艺流程设计 (导弹)模式识别、武器威力判断
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概率统计的应用与前景
前 景：
与博弈论结合后广泛用于经济、军事研究中； 与模糊数学结合用于心理学、语音处理等； 与排队论结合用于IT产业等……
1 1 p 0.8 32 40
骗子们很可能共骗得金钱
1 E ( X ) 1000 0.8 n 25n（元） 32 2014-1-20
#
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2014-1-20
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另一在概率论发展史上的代表人物是 法国的Poisson。他推广了伯努利形式下 的大数定律，研究得出了一种新的分布， 就是泊松分布。概率论继他们之後，其中 心研究课题则集中在推广和改进伯努利大 数定律及中心极限定理。
概率论发展到1901年，中心极限定理终 於被严格的证明了，及後数学家正利用这 一定理第一次科学地解释了为什麽实际中 遇到的许多随机变量近似服从正态分布。
4
例1： 比萨斜塔 试验
例2：碳 的燃烧
概率论与数理统计第1章
例5：某人连续三次购买体育彩票，每次一张， 令A、B、C分别表示其第一、二、三次所买的 彩票中奖事件，试用A、B、C表示下列事件： (1) 第三次未中奖； (2) 只有第三次中了奖； (3) 恰有一次中奖； (4) 至少有一次中奖； (5) 不止一次中奖； (6) 至多中奖两次。
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§1.3 概率的古典意义
例2： A1 ＝“2个样品中有一个次品”； A2 ＝“2个样品全是次品”； B ＝“2个样品中至少有一个次品”, 求 A2 , B。
16
例3：p.11，第3题。
例4：掷骰子，A=“掷出奇数点”；B=“点数 不
超过3”；C=“点数大于2”；A D=“A C掷出5点”。
求 A∪B；B∪C；AB；BD； ； ； A－B；B－A。
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2、具体例子 ⑴ 设有20个某种零件，其中16个为一级品， 4个为二级品，现从中任取三个，求： ① 只有一个一级品的概率； ② 至少有一个一级品的概率。
⑵ 从0、1、2、3这4个数字中任取3个进行排 列，求“取得的3个数字排成的数是三位数且 是偶数”的概率。
27
⑶ 一口袋中有5红2白7个球，从袋中任取一
2
例1：判断下列现象为随机现象还是决定性现 象？ (1) 扔一枚分币； (2) 从93个产品（其中90正3次）中抽取一个 产品； (3) 在标准大气压下将水加热至100℃必沸腾；
(4) 火箭速度超过第一宇宙速度就会摆脱地球 引力而飞出地球。
3
二、随机试验与样本空间 定义：概率论中将对随机现象的观察或为观察 随机现象而进行的试验称为随机试验，它应具 备以下三个特征： ⑴ 每次试验的可能结果不止一个，且事先明确 知道试验的所有可能性结果。 ⑵ 进行试验之前不能确定哪一个结果会发生。 ⑶ 试验可以在相同条件下重复进行。 随机试验简称试验，用英文字母E表示。 4
1.1 随机现象与统计规律性
随机现象在一次观察中出现什么结果具有偶 然性, 但在大量试验或观察中, 这种结果的出现具
有一定的统计规律性 , 概率论就是研究随机现象
统计规律性的一门数学学科.
概率论的应用几乎遍及所有的科学 领域， 产品的抽样调查， 例如天气预报、地震预报、 在通讯工程中概率论可用以提高信号的抗干扰性、 分辨率等等. 概率论在生活中的应用？？？
第一章 随机事件与概率
第一节 随机现象及其统计规律性
一、概率论研究的对象及应用 二、随机现象 三、随机试验
概率论研究什么？
确定性现象
自然界和社会 非确定性现象 （偶然现象） （随机现象）
上的现象
1.确定性现象
2.随机现象
为随机现象.
在一定条件下必然发生的现象称为确定性现象.
举例
在一定条件下可能发生也可能不发生的现象称
10个10分----100分
4个10分，6个5分----70分
3个10分，7个5分----65分 2个10分，8个5分----60分
9个10分，1个5分----95分
8个10分，2个5分----90分 7个10分，3个5分----85分
1个10分，9个5分----55分
10个5分----50分 0.178 85或65
免费摸奖
袋中装入20个乒乓球，10个乒乓球上贴上5分标志，
另10个贴上10分标志。从中摸出10个球出来，根据 无奖 分数总和领取奖品。
10个10分----100分 9个10分，1个5分----95分 8个10分，2个5分----90分 7个10分，3个5分----85分 6个10分，4个5分----80分 5个10分，5个5分----75分 4个10分，6个5分----70分 3个10分，7个5分----65分 2个10分，8个5分----60分 1个10分，9个5分----55分 10个5分----50分 买产品 其它都有奖！！
概率论前四章知识点总结
概率论前四章知识点总结概率论前四章知识点总结概率论是研究随机现象的规律性和统计规律性的学科，是现代数学的一个重要分支。
本文将对概率论前四章的知识点进行总结，包括基本概念、事件及其运算、条件概率和独立性、随机变量及其分布。
一、基本概念1. 随机试验：具有以下三个特征的实验称为随机试验：（1）可以在相同条件下重复进行；（2）每次实验的结果不止一个；（3）每次实验的结果不确定。
2. 样本空间：随机试验所有可能结果组成的集合称为样本空间，用S 表示。
3. 事件：样本空间中任意子集称为事件。
如果事件A发生，则称A发生；否则称A不发生。
4. 必然事件和不可能事件：样本空间S和空集∅分别称为必然事件和不可能事件。
二、事件及其运算1. 事件之间的关系：包含关系、互斥关系、对立关系等。
2. 事件的运算：并、交、差、对称差等。
三、条件概率和独立性1. 条件概率：在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率称为条件概率。
2. 乘法公式：P(AB)=P(A)P(B|A)3. 全概率公式：对于一组互不相容的事件B1、B2、…、Bn，且它们的并集构成样本空间S，则对任意事件A，有P(A)=∑i=1nP(Bi)P(A|Bi)4. 贝叶斯公式：对于一组互不相容的事件B1、B2、…、Bn，且它们的并集构成样本空间S，则对任意事件A，有P(Bi|A)=P(A|Bi)P(Bi)/∑j=1nP(A|Bj)P(Bj)5. 独立性：如果事件A和事件B满足P(AB)=P(A)P(B)，则称事件A 和事件B是独立的。
四、随机变量及其分布1. 随机变量：将随机试验的结果与实数建立起一一对应关系的函数称为随机变量。
2. 离散型随机变量：取有限或可列个值的随机变量称为离散型随机变量。
3. 连续型随机变量：取值在某个区间内且无限多个值的随机变量称为连续型随机变量。
4. 分布函数：对于任意实数x，随机变量X的分布函数F(x)=P{X≤x}。
5. 概率质量函数：对于离散型随机变量X，其概率质量函数p(x)=P{X=x}。
随机事件
概率论
二. 随机现象的统计规律性
由于随机现象的结果事先不能预知, 由于随机现象的结果事先不能预知 初看似乎毫无规 然而人们发现同一随机现象大量重复出现时, 律. 然而人们发现同一随机现象大量重复出现时 其每种可 能的结果出现的频率具有稳定性, 能的结果出现的频率具有稳定性 从而表明随机现象也有 其固有的规律性. 其固有的规律性 人们把随机现象在大量重复出现时所表 现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性. 现出的量的规律性称为随机现象的统计规律性 概率论与 数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科. 数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科 为了对随机现象的统计规律性进行研究,就需要对随机现象 为了对随机现象的统计规律性进行研究 就需要对随机现象 进行重复观察, 我们把对随机现象的观察称为随机试验, 进行重复观察 我们把对随机现象的观察称为随机试验 并 简称为试验， 例如, 简称为试验，记为 E . 例如 观察某射手对固定目标进行射 抛一枚硬币三次,观察出现正面的次数 记录某市120 观察出现正面的次数; 击; 抛一枚硬币三次 观察出现正面的次数 记录某市 急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验. 急救电话一昼夜接到的呼叫次数等均为随机试验
F − −未通过 ([0,60)),
则 A, B, C, D, F 是两两不相容事件P与F是互为 对立事件，即有P = F ; A, B, C, D均为 P 的子事件， P = A U B U C U D. 且有
概率论
“乙中靶” C− 例3甲，乙，丙三人各射一次靶，记A− “甲中靶” B− “丙中靶” 则可用上述三个事件的运算来分别表示下列各事件： A (1) “甲未中靶”： A ; (2) “甲中靶而乙未中靶”：B ; (3) “三人中只有丙未中靶”： ABC ; (4) “三人中恰好有一人中靶”： AB C U A BC U A B C ; (5)“ 三人中至少有一人中靶”： A U B U C; (6)“三人中至少有一人未中靶”： A U B U C ; 或 ABC; (7)“三人中恰有兩人中靶”： ABC U AB C U A BC ; (8)“三人中至少兩人中靶”： AB U AC U BC; ‘ (9)“三人均未中靶”： A B C ; BC (10)“三人中至多一人中靶”： A‘ U A BC U A B C U A B C ; (11)“三人中至多兩人中靶”： ABC; 或’ B U C ; AU 注：用其他事件的运算来表示一个事件, 方法往往不惟一，如上 例中的(6)和(11)实际上是同一事件，读者应学会用不同方法表达 同一事件, 特别在解决具体问题时,往往要根据需要选择一种恰当 的表示方法.
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◎抛掷一枚硬币（约定带币值的那面为正面）， 可能正面朝上，也可能反面朝上；
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◎将一笔资金用于投资，其收益分为好、 一般、差，出现各种结果皆有可能；
◎掷一枚骰子，可能掷出点1，也可能掷出点2， …，还可能 掷出点6；
◎未来一段时间内来到一个服
务系统(例如超市、火车站、
在本门课程中，称这种隐藏在随机现 象背后的客观规律为统计规律．
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概率论与数理统计是研究什么的？
学习这门课程的主要目的就是为了更好 地探索和掌握统计规律，并将这些统计规律 运用于自然科学、社会科学及思维科学的理 论与实践．
概率论与数理统计——研究随机 现象的统计规律的一门数学学科．
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举例2 一个地区的年降雨量虽然是随机的， 有旱涝之分，但能够几乎肯定的是，如果连 续考察若干年，其年均降雨量只能在某一个 较小范围内变化．
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随机现象是不是没有规律可言? 否！
任何随机试验至少有两个可能结果．
在随机试验的所有可能结果中，单就一次随机 试验而言，可能出现这种结果，也可能出现那种结 果，但“大数次”地重复这个试验，其结果会遵循 某种规律性．也就是说，偶然中蕴藏着必然．
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第1章
随机事件与概率
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§1.1随机现象及其统计规律性
EN D
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一、确定性现象和随机现象
1、确定性试验和随机试验 在社会生产和科学实践中，经常进行各种
试验，这些试验可分为两种类型：确定性试验 和随机试验． 确定性试验：其结果具有唯一性、必然性或
3º 随机性 每次试验的结果是不确定的、偶然 的或者说是随机的．
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◆从现在起，本门课程中提及的试验，如
果没有特别声明，均指随机试验． ２、确定性现象试验和随机现象 确定性试验结果外在表现为确定性现象或必然现象； 随机试验结果外在表现为随机现象或偶然现象．
◆随机现象是本门课程的研究对象．
《概率论与数理统计》
袁德美 安军 陶宝
高等教育出版社
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概率论古老而年轻
说它古老，是因为早在公元前1400年， 古埃及人 为了忘记饥饿，经常聚集在一起玩一 种类似于今天掷骰子的游戏； 到17世纪，以掷 骰子作为赌博方式在许多欧洲国家的贵族之间 非常盛行，这是概率论产生的源动力．
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知识回顾 Knowledge Review
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◎捏在手中的苹果，如果手一松，苹果一定会往 下掉；
◎化学实验和物理实验都是确定性试验．
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随机试验：其结果具有不确定性、偶然性或 随机性．
◎新生婴儿的性别，可能是 男孩，也可能是女孩；
◎从一个混装有黑白两种颜色球 的盒子中随机摸球，可能摸出 黑球，也可能摸出白球；
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二、统计规律
举例1 新生婴儿性别是男是女，在试验之前无 法确定，完全是随机的、偶然的、甚至可以用杂 乱无章来形容．但是，实践告诉我们，重复做这 个试验，当试验次数相当大时，新生男孩的比例 逐渐稳定于1/2．出现这个事实是完全可以理解 的，因为生男生女“机会”均等．难怪我们并不 担心将来某一天男女比例会严重失调．
确定性．
◎早晨，太阳从东方升起；
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◎太阳系中的地球绕太阳旋转；
◎在没有外力作用的条件下，作等速直线运动 的物体继续作等速直线运动；
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◎市场经济条件下，商品供过于求，其价格下降；
◎在一个标准大气压下，水在100℃时沸腾，在 0℃时开始结冰，在90℃时处于液态；
取款机等)的顾客数，可能是0
个，也可能是1个，…，还可能是1000个， …；
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◎射击时弹着点与靶心的距离； ◎某种型号电视机的寿命．
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◇随机试验的三个特点
1º 重复性 可以在相同的条件 下重复进行；
2º 明确性 所有可能结果在试 验之前就明确可知；
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1654年费马与帕斯卡通信中关于分赌注问 题的讨论被公认为是概率论诞生的标志，从那 以后进入相对快速发展的时期．
说它年轻，是因为直到上世纪三十年代概 率的公理化体系建立之后，概率论才算是一门 严谨的数学学科．
今天，全世界范围内绝大多数专业的大学 生都要学习这门课程．