结构力学第九章 薄壁杆件扭转.

§9－2 薄壁杆件的自有扭转
M st s It
（9-5）
式中，τs—截面上的扭矩剪应力（图9-2）；t— 壁厚。
(图9-2)
式（9-5）表明，截面上最大剪应力将发生在壁 厚最大处的表面上。
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§9－2 薄壁杆件的自由扭转
2.单闭室薄壁杆件的自有扭转 可以认为，闭口薄壁杆件自由扭转时截面上的剪 应力τ沿壁厚是均匀分布的。记
§9－1 概述
薄壁杆件在实际工程上应用非常广泛。如桥梁工 程和海洋工程中的箱形、工字型和槽形梁等等。就船 舶结构来说，船体骨架一般有薄壁杆件组成；整个船 体梁也是一根薄壁杆件。
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
1.开口薄壁杆件的自有扭转 开口薄壁杆件的截面可以看作由若干狭长矩形截 面所组成。利用狭长矩形截面的杆件自有扭转时的计 算公式和如下两个假定可导出薄壁杆件自有扭转的计 算公式。这两个假定是： （1）假定开口薄壁杆件自由扭转时，截面在其本身平 面内形状不变，即在边形过程中，截面在其本身平面 内的投影只作刚性平面运动。此即为刚周边假定； （2）假定薄壁杆件中面上无剪切变形。
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
沿整个截面积分可得总扭矩为：
M s 2qA
式中A——闭口截面壁厚中心线所围的总面积。从 而沿截面的剪流为：
Ms q t 2A
（9-8）
再来推导扭率和扭矩常数计算公式。若从薄壁杆 件中取出长度为dx的微段，其受扭矩Ms作用产生的扭 角为dφ,则扭矩所做的功为：
q t
（9-6）
称q为剪流。现在来确定q沿截面的变化规律。图 9-3b所示的为一个变厚度单元，由于自由扭转时截面 上无正应力，即轴向力为零，所以有： y a (图9-3) a b ta ds h a b qds t dA o x b b ds
dx
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
btb a ta dx 0
第九章 薄壁杆件扭转
Torsion of Thin-Wall Bar
§9－1 概述
薄壁杆件是指横截面上壁的厚度较薄的杆件，其 三个尺度通常满足如下关系：
式中，t—壁厚；b—截面的最大宽度；l—杆长。
b t 10 l t 10
（9-1）
(a)
(b)
(c) 图9-1 (d)
(e )
(f )
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
如果薄壁杆件受到扭矩作用，由于存在支座或其 他约束，扭转时不能自由变形，则这种扭转称为约束 扭转。薄壁杆件约束扭转时，各横截面的翘曲程度是 不相同的，这将引起相邻两截面间纵向纤维的长度改 变，于是横截面上除了有扭转而引起的剪应力之外， 还有因翘曲而产生的正应力。由于翘曲正应力在横截 面上分布不均匀，就会导致薄壁杆件发生弯曲，并伴 随产生弯曲剪应力。这样，薄壁杆件约束扭转时，截 面上就存在二次剪应力。二次剪应力又将在截面上形 成一个附加扭矩，称之为二次扭矩，于是杆件截面上 的扭矩就等于自由扭转扭矩与二次扭矩之和。由此可 见，薄壁杆件约束扭转是比较复杂的。
1 dW M s d 2
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
微段扭转变性能为：
1 Ms dV dx tds dx tds 2G 2G 2 At M s ds dx 2 t 8GA
由dW=dV，可得扭率：

2
2
M s ds d 2 dx 4GA t
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
开口薄壁杆件自由扭转时的扭率计算公式如下： Ms （9-2） GI t 式中，φ‘—杆件的扭率（单位长度上的扭角）； Ms—扭矩；G—剪切模量；It—截面扭转惯性矩（扭转 常数）。 1 （9-3） I t hi t i3 3 i 式中，hi、ti—截面上第i个狭长矩形的高度（长 边）和厚度（短边）。若截面的壁厚中心线是一根曲 1 s1 3 线，则 （9-4） I t t ds 3 0 式中，si—壁厚中心线的总长
ds q 2GA t
（9-11）
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
q4 d q1 q2 c qn
q3
a
b (图9-4)
由式(9-8)，可得每一闭室上的扭矩： （9-12） M s 2 Ai qi 式中，i=1、2、3、…,
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
这些扭矩之和应等于整个截面上的扭矩Ms，即
（9-9）
比较式（9-9）与式（9-2），得单闭室截面的扭 转常数计算公式：
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
4A It ds t
2
（9-10）
式（9-9）中Ms用2qA代换，可得
上式称为环流方程式。 3.多闭室薄壁杆件的自有扭转 对于具有n个闭室的薄壁截面（图9-4），设在扭 矩Ms作用下各闭室的剪流为qi（i=1、2、3、…）,并 规定这些剪流沿反时针方向为正，那么任意两相邻室 公共壁上的剪流为该两室剪流之差。
薄壁截面视其壁厚中心线是否封闭而分为开口薄 壁截面（图9-1a,b,c）和闭口薄壁截面（图9-1d,e,f） 两类。闭口截面又分为单闭室(图9-1d,e)和多闭室 （图9-1f）两种。
§9－1 概述
除薄壁圆管外，薄壁杆件通常是非圆截面杆件。 材料力学中已经指出，非圆截面杆件在扭转变形后， 杆件的截面已不再保持为平面，而是变为曲面，这种 现象称为翘曲。 薄壁杆件扭转分为自由扭转和约束扭转两种。 如果一根等截面杆件仅在两端受到扭矩作用，并 不受任何约束，扭转时可以自由变形，则这种扭转就 称为自由扭转。非圆截面薄壁杆件自由扭转时，其横 截面虽将发生翘曲，但由于扭转不受阻碍，所以各横 截面的翘曲程度都相同。因此，杆件上平行于杆轴的 直线在变形后长度不变且仍为直线；杆件各横截面上 没有正应力而只有扭转引起的剪应力。
或
q b tb a ta
（9-7）
上式说明剪流q沿截面为常数。据此，最大剪应力将发 生在壁厚最小处，这与开口薄壁杆件不同。 下面讨论如何计算剪流q。如图9-3a所示，剪流q 在微元ds上引起的力为qds,它绕o点的力矩为：
ds所对的扇形面积为：
dMs hqds
1 dA hds 2