§1.1.1变化率问题

课题：§1.1.1变化率及导数的概念

三维目标： 1、 知识与技能

⑴理解平均变化率的概念；

⑵了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

⑶理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ⑷会求函数在某点的导数或瞬时变化率； ⑸理解导数的几何意义。 2、过程与方法

⑴通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；

⑵通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；

⑶通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情态与价值观

⑴通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想；

⑵通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念，从而激发学生学习数学的兴趣； ⑶通过对变化率与导数的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成，导数及几何意义的理解。 教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，导数及几何意义的理解。 教学过程：

一、引入课题：

为了描述现实世界中运动、过程等变化的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;

三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度。 二、讲解新课：

【探究1】气球膨胀率

同学们，相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢, 从数学角度,如何描述这种现象呢?

气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是34()3

V r r π=，如果将半径r 表

示为体积V 的函数,

那么()r V 。 【分析】⑴当V 从0增加到1时,气球半径增加了(1)(0)0.62()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(1)(0)

0.62(/)10

r r dm L -≈-；⑵当V 从1增加到2时,气球半径增加了(2)(1)0.16()r r dm -≈，气球的平

均膨胀率为(2)(1)

0.16(/)21

r r dm L -≈-。可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变

小了。

【思考】当空气容量从1V 增加到2V 时,气球的平均膨胀率是多少? 【答案】2121

()()

r V r V V V --

【探究2】高台跳水

在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++，如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 【思考1】00.5t ≤≤和12t ≤≤的平均速度v 【分析】在00.5t ≤≤这段时间里，(0.5)(0)

4.05(/)0.50

h h v m s -=

=-；在12t ≤≤这段时间里，

(2)(1)

8.2(/)21

h h v m s -=

=--

◆ 平均变化率概念: 函数()y f x =在区间[]12,x x 上的平均变化率为

2121

()()

f x f x x x --

①本质：如果函数的自变量的“增量”为x ∆,且21x x x ∆=-,相应的函数值的“增量”为

21,()()y y f x f x ∆∆=-, 则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为

2121

()()

f x f x y x x x -∆=

∆- ②几何意义：两点1122(,()),(,())x f x x f x 连线的斜率（割线的斜率）；

③平均变化率反映了在函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度。

若设2121,()()x x x y f x f x ∆=-∆=-(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用1x x +∆代替2x ,

同样21()()y f x f x ∆=-；则平均变化率为2111()()()()

f x f x f x x f x y y x x x x x -+∆-∆∆===

∆∆-∆。 【理解】⑴平均变化率

2121

()()

f x f x y x x x -∆=

∆-表示两点1122(,()),(,())x f x x f x 连线的斜率，是曲线陡峭程度的数量化，此时12x x <或21x x <均可；

⑵为求0x 附近的变化率，上述表达式常写为

00()()

f x x f x x

+∆-∆的形式，需要注意的是，这里的x ∆可

正可负，但不能为0，而y ∆是相应的函数值的改变量，它可以为正，也可以为负，也可以为零，特别是函数为常数函数时，0y ∆=；

⑶平均变化率是函数值的增量与自变量的增量之比，注意分子和分母求差的一致性。

【思考3】观察函数()f x 的图象，平均变化率2121

x x x =∆-表示什么?

◆求函数()f x 在[]12,x x 上平均变化率的步骤：