§1.1.1变化率问题

课题：§1.1.1变化率及导数的概念
三维目标： 1、 知识与技能
⑴理解平均变化率的概念；
⑵了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；
⑶理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵； ⑷会求函数在某点的导数或瞬时变化率； ⑸理解导数的几何意义。

2、过程与方法
⑴通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数；
⑵通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力；
⑶通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。

3、情态与价值观
⑴通过学生的积极参与、学习变化率与导数的知识，培养学生思维的科学性、严密性，不断认识数形结合和等价转化的数学思想；
⑵通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念，从而激发学生学习数学的兴趣； ⑶通过对变化率与导数的学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神
教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念及导数概念的形成，导数及几何意义的理解。

教学难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，导数及几何意义的理解。

教学过程：
一、引入课题：
为了描述现实世界中运动、过程等变化的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; 二、求曲线的切线;
三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度。

二、讲解新课：
【探究1】气球膨胀率
同学们，相信大家都玩过气球吧,我们回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内气体的容量的增加,气球的半径增加的越来越慢, 从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是34()3
V r r π=，如果将半径r 表
示为体积V 的函数,
那么()r V 。

【分析】⑴当V 从0增加到1时,气球半径增加了(1)(0)0.62()r r dm -≈，气球的平均膨胀率为(1)(0)
0.62(/)10
r r dm L -≈-；⑵当V 从1增加到2时,气球半径增加了(2)(1)0.16()r r dm -≈，气球的平
均膨胀率为(2)(1)
0.16(/)21
r r dm L -≈-。

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变
小了。

【思考】当空气容量从1V 增加到2V 时,气球的平均膨胀率是多少? 【答案】2121
()()
r V r V V V --
【探究2】高台跳水
在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系2() 4.9 6.510h t t t =-++，如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态? 【思考1】00.5t ≤≤和12t ≤≤的平均速度v 【分析】在00.5t ≤≤这段时间里，(0.5)(0)
4.05(/)0.50
h h v m s -=
=-；在12t ≤≤这段时间里，
(2)(1)
8.2(/)21
h h v m s -=
=--
◆ 平均变化率概念: 函数()y f x =在区间[]12,x x 上的平均变化率为
2121
()()
f x f x x x --
①本质：如果函数的自变量的“增量”为x ∆,且21x x x ∆=-,相应的函数值的“增量”为
21,()()y y f x f x ∆∆=-, 则函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率为
2121
()()
f x f x y x x x -∆=
∆- ②几何意义：两点1122(,()),(,())x f x x f x 连线的斜率（割线的斜率）；
③平均变化率反映了在函数在某个区间上平均变化的趋势（变化快慢），或说在某个区间上曲线陡峭的程度。

若设2121,()()x x x y f x f x ∆=-∆=-(这里x ∆看作是对于1x 的一个“增量”可用1x x +∆代替2x ,
同样21()()y f x f x ∆=-；则平均变化率为2111()()()()
f x f x f x x f x y y x x x x x -+∆-∆∆===
∆∆-∆。

【理解】⑴平均变化率
2121
()()
f x f x y x x x -∆=
∆-表示两点1122(,()),(,())x f x x f x 连线的斜率，是曲线陡峭程度的数量化，此时12x x <或21x x <均可；
⑵为求0x 附近的变化率，上述表达式常写为
00()()
f x x f x x
+∆-∆的形式，需要注意的是，这里的x ∆可
正可负，但不能为0，而y ∆是相应的函数值的改变量，它可以为正，也可以为负，也可以为零，特别是函数为常数函数时，0y ∆=；
⑶平均变化率是函数值的增量与自变量的增量之比，注意分子和分母求差的一致性。

【思考3】观察函数()f x 的图象，平均变化率2121
x x x =∆-表示什么?
◆求函数()f x 在[]12,x x 上平均变化率的步骤：
⑴求函数值的增量21()()y f x f x ∆=-； ⑵求自变量的增量21x x x ∆=-；
⑶计算平均变化率
2121
()()
f x f x y x x x -∆=
∆-。

◆直线的斜率与平均变化率的联系：
⑴若直线l 经过1122(,),(,)A x y B x y 两点，则直线l 的斜率为12
1212
()y y k x x x x -=
≠-；函数()y f x =在[]12,x x 上平均变化率为
2121
()()
f x f x y x x x -∆=
∆-； ⑵直线的斜率与函数的平均变化率是两个不同的概念，前者表示直线的倾斜程度，后者表示曲线的
陡峭程度。

它们的联系在于函数()y f x =在[]12,x x 上平均变化率为2121
()()
f x f x y x x x -∆=
∆-也就是过点1122(,()),(,())P x f x Q x f x 的直线的斜率，因此当平均变化率2121
()()
f x f x y x x x -∆=
∆-的绝对值变大时，即直线PQ 的斜率的绝对值变大时，函数的图像变得陡峭；反之，函数的图像变得平缓时，直线PQ 的斜率的绝对值变小时，函数的图像变得平缓，即平均变化率（斜率）近似的刻画了曲线在某区间上的变化趋势。

【思考2】计算运动员在65
049
t ≤≤这段时间里的平均速度，并思考以下问题：
⑴运动员在这段时间内使静止的吗？
⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
【分析】如图是函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，结合图形可知，65
()(0)49
h h =，所以
65
()(0)
490(/)65049
h h v s m -==-，虽然运动员在65
049t ≤≤这段时间里的平均速度为0(/)s m ，但实际情况
是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态。

【探究3】直线运动的汽车速度V 与时间t 的关系是21V t =-，求0t t =时的瞬时速度。

【分析】我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？
【思想方法】局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

【解析】000()()2v t t v t V t t t t +∆-∆==+∆∆∆。

上述函数()V t 中，当t ∆无限趋近于0时，
V
t
∆∆都无限趋近于一个常数。

【定义】函数()f x 在0x x =处瞬时变化率是0000()()lim lim
x x f x x f x y
x x
∆→∆→+∆-∆=∆∆，我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数,记作0()f x '或0|x x y ='，即00000()()()lim lim
x x f x x f x y
f x x x
∆→∆→+∆-∆'=∆∆=。

◆求导数的步骤：
①求函数的增量：00()()y f x x f x ∆=+∆-；②求平均变化率：00()()
f x x f x y x x
+∆-∆=
∆∆； ③取极限，得导数：00000()()()lim lim
x x f x x f x y
f x x x
∆→∆→+∆-∆'=∆∆=。

上述求导方法可简记为：一差、二化、三极限。

◆曲线的切线及切线的斜率：如图，当(,())(1,2,3,4)n n n P x f x n =沿着曲线()f x 趋近于点
00(,())P x f x 时，割线n PP 的变化趋势是什么？
我们发现,当点n P 沿着曲线无限接近点P 即0x ∆→时,割线n PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT 称为曲线在点P 处的切线。

问题：⑴割线n PP 的斜率n k 与切线PT 的斜率k 有什么关系？ ⑵切线PT 的斜率k 为多少？
容易知道，割线n PP 的斜率是00
()()
n n n f x f x k x x -=
-,当点n P 沿着曲线无限接近点P 时，n k 无限趋近
于切线PT 的斜率k ，即0000()()
lim ()x f x x f x k f x x
∆→+∆-'==∆。

【说明】⑴设切线的倾斜角为α,那么当0x ∆→时,割线PQ 的斜率,称为曲线在点P 处的切线的斜率；这个概念: ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法;②切线斜率的本质—函数在0x x =处
的导数。

⑵曲线在某点处的切线:①与该点的位置有关;②要根据割线是否有极限位置来判断与求解。

如有极限,则在此点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线;③曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以无穷多个。

◆导数的几何意义：函数()y f x =在0x x =处的导数等于在该点00(,())x f x 处的切线的斜率， 即0000()()
()lim
x f x x f x f x k x
∆→+∆-'==∆，也就是说，曲线()y f x =在点00(,)p x y 处的切线斜率是
()f x '，切线的方程为()()y y f x x x '-=-。

【总结】求曲线在某点处的切线方程的基本步骤: ①求出P 点的坐标;
②求出函数在点0x 处的变化率0000
()()
()lim
x f x x f x f x k x
∆→+∆-'==∆ ，得到曲线在点00(,())x f x 的
切线的斜率；
③利用点斜式求切线方程。

由函数()f x 在0x x =处求导数的过程可以看到,当时,0()f x '是一个确定的数，那么,当x 变化时,便是x 的一个函数,我们叫它为()f x 的导函数，记作：()f x '或y '，即
()()
()lim
x f x x f x f x y x
∆→+∆-''==∆。

1.质点运动规律为2
()3s t t =+，当从3到3t +∆的平均速度为（ ）【A 】
.6A t +∆ 9
.6B t t
+∆+
∆ .3C t +∆ .9D t +∆ 2.函数2
()f x x =在点(2,4)处的切线斜率为 4
【解析】(2)()
4y f x f x x x x
∆+∆-==+∆∆∆，故斜率为4。

3.函数2()1f x x =+当自变量从1到2时，函数值的增量为（ ）【B 】 .1A .3B .2C .3D -
4.函数()y f x =在0x x =处的自变量的增量x ∆（ ）【D 】
.A 大于零 .B 等于零 .C 小于零 .D 不等于零 5.已知函数2()4f x x =+上两点,,1, 1.3A B A B x x ==，则直线AB 的斜率为（ ）【B 】 .2A .2.3B .2.09C .2.1D
6.设函数()f x 可导，则0(1)(1)
lim 3x f x f x
∆→+∆-∆等于（ ）【C 】
.'(1)A f .3'(1)B f 1
.'(1)3
C f .'(3)
D f
7.设()4f x ax =+，若'(1)2f =，则a 等于（ ）【A 】 .2A .2B - .3C .3D -
8.已知0'()f x A =，则000(2)()
lim _____x f x x f x x
∆→-∆-=∆2A -
【解析】[]00000
0(2)()(2)()
lim 2lim 22x x f x x f x f x x f x A x x
∆→∆→+-∆--∆-=-=-∆∆。

9.1
【题型1】平均变化率的概念
【例1】已知函数2()f x x x =-+的图象上的一点(1,2)A --及临近一点(1,2)B x y -+∆-+∆,则
_____y
x
∆=∆。

【解析】22
(1)(1)2
2(1)(1),3y x x y x x x x x
∆--+∆+-+∆--+∆=--+∆+-+∆∴==-∆∆∆。

【例2】求2
y x =在0x x =附近的平均变化率。

【解析】22222
2
2
00000000()2(),2x x x x x x x x y y x x x x x x x x
+∆-+∆+∆-∆∆=+∆-∴===+∆∆∆∆Q
所以2y x =在0x x =附近的平均变化率为02x x +∆。

【题型2】有关瞬时速度的计算。

【例3】已知一辆汽车按规律231s t =+做直线运动，求这辆汽车在3t s =时的瞬时速度。

（时间单位：s ，位移单位：m ）
【解析】这辆汽车从3s 到(3)t s +∆这段时间内的位移增量为
22(3)(3)3(3)1283()18,s t s t t t +∆-=+∆+-=∆+∆∴瞬时速度为
00(3)(3)lim lim(318)18(/)t t s t s t m s t
∆→∆→+∆-=∆+=∆，这辆汽车在3t s =时的瞬时速度为18(/)m s 。

【题型3】导数定义的应用
【例4】★求函数y 在1x =处的导数。

⑴2()1,2f x x x =+=；⑵()21,2f x x x =-=；⑶()3,2f x x ==。

★函数()f x 满足'(1)2f =，则当x 无限趋近于0时，
⑴
(1)(1)
______
2
f x f
x
+-
=1；⑵
(12)(1)
______
f x f
x
+-
=4
★设()
f x在
x x
=处可导，
⑴00
(4)()
f x x f x
x
+∆-
∆
无限趋近于1，则
()_____
f x
'=
1
4
；
⑵00
(4)()
f x x f x
x
-∆-
∆
无限趋近于1，则
()_____
f x
'=
1
4
-。

★当x
∆无限趋近于00
(2)(2)
0,
f x x f x x
x
+∆--∆
∆
所对应的常数与
()
f x
'的关系。

【解析】00
(2)(2)
lim4'()
x
f x x f x x
f x
x
∆→
+∆--∆
=
∆。

★若2
()(1)
f x x
=-，求'(2)
f和((2))'
f。

【分析】注意分析两者之间的区别。

【题型四】求曲线的切线的斜率。

【例6】求曲线
1
()
f x
x
=在4
x=处的切线方程。

【解析】在曲线上任取两点
00
00
11
(,),(,)
P x Q x x
x x x
+∆
+∆
，则割线PQ的斜率为
00
00
11
1
()
PQ
x x x
y
k
x x x x x
-
+∆
∆
===-
∆∆+∆
，所以在4
x=处的切线斜率为
00
11
'(4)lim lim
4(4)16
x x
y
k f
x x
∆→∆→
∆-
====-
∆+∆
★已知曲线3
y x
=上一点(2,8)
P，⑴求点P处的切线方程；⑵求过点P的曲线的切线方程。

【解析】⑴12160
x y
--=；⑵设过点P的曲线的切线方程的切线与曲线相切于点
00
(,)
Q x y，则该切线的斜率为
33
222
00
0000
00
()
'()lim lim33()3
x x
x x x
f x x x x x x
x
∆→∆→
+∆-
⎡⎤
==+⋅∆+∆=
⎣⎦
∆
，所以点Q处的切线
方程为32
000
3()
y x x x x
-=-，又直线过点(2,8)
P，所以解得
1
x=-或
2
x=，故切线方程为
320
x y
-+=或12160
x y
--=。

【题型五】分段函数的可导性。

【例7】已知函数
2
1
(1),1
2
()
1
(1),1
2
x x
f x
x x
⎧
+≤
⎪⎪
=⎨
⎪+>
⎪⎩
，判断()
f x在1
x=处是否可导。

【解析】左极限：'(1)1
f=；右极限：
1
'(1)
2
f=，左极限≠右极限，故不可导。

【总结】判断分段函数在“分界点”处的导数是否存在，要验证函数左右极限是否存在并且相等。

1.设函数()
y f x
=，当自变量x由
x改变到
x x
+∆时，函数值的改变量y∆等于（）【D】0
.()
A f x x
+∆
.()
B f x x
+∆
.()
C f x x
⋅∆
00
.()()
D f x x f x
+∆-
2.在曲线21
y x
=+上取一点(1,2)及附近一点(1,2)
x y
+∆+∆，则
y
x
∆
∆
为（）【C】
1
.2
A x
x
∆++
∆0
1
.2
B x
x
∆--
∆0
.2
C x∆+
1
.2
D x
x
∆-+
∆
3.一质点运动的方程为253s t =-，则在一段时间[]1,1t +∆内相应的平均速度为（ ）【D 】
0.36A x ∆+ 0.36B x -∆+ 0.36C x ∆- 0.36D x -∆-
4.若物体的位移公式为()s s t =，则该物体在0t 到0t t +∆这段时间内下列说法错误的是（ ）【D 】 00.()()A s s t t s t ∆=+∆-叫物体的位移 00.()()B s s t t s t ∆=+∆-叫位移增量 0
0()()
.s t t s t s B t t +∆-∆=∆∆叫这段时间内物体的平均速度 .s
D t
∆∆一定与t ∆无关。

5.在1x =附近，取0.3x ∆=，在四个函数：①y x =；②2y x =；③3y x =；④1
y x
=中，平均变化
率最大的是（ ）【B 】
.A ④ .B ③ .C ② .D ①
6.物体在地球上做自由落体运动时，下落距离21
()2
h t gt =，其中()t s 为下落的时间，29.8/g m s =，
已知0(1)(1)
lim 9.8/t h t h v m s t
∆→+-==，则下列说法正确的是（ ）
【C 】 .A 物体在0~1s s 时间段内的平均速度为9.8/m s ； .B 在1~(1)s t s +∆时间段内速度为9.8/m s ； .C 在1s 末的瞬时速度为9.8/m s ；
.D 若0t ∆>，则9.8/m s 是1~(1)s t s +∆时间段内的平均速度；若0t ∆<，则9.8/m s 是(1)~1t s s +∆时间段内的平均速度
7.若000()(3)
lim 12x f x f x x x ∆→-+∆=∆，则0'()f x 等于（ ）
【D 】 3.2A 2.3B 3.2C - 2.3
D - 8.函数2(0)y ax bx c a =++≠在2x =处的瞬时速度等于（ ）【D 】 .4A a .2B a b + .C b .4D a b +
9.如果一个函数的瞬时变化率处处为零，则这个函数的图像是（ ）【D 】 .A 圆 .B 抛物线 .C 椭圆 .D 直线
10.如果曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线方程为230x y +-=，则（ ）【B 】 0.'()0A f x > 0.'()0B f x < 0.'()0C f x = 0.'()D f x 不存在
11. 如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中,,A B C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4)，则
0(1)(1)
((0))_____;lim _____x f x f f f x
∆→+∆-==∆。

2,2-
【解析】(0)4,(4)2f f ==；由导数的几何意义知0
(1)(1)
lim
2x f x f x
∆→+∆-=-∆。

12.已知一个物体的运动方程是22
32,03
293(3),3
t t s t t ⎧+≤<⎪=⎨+-≥⎪⎩，则此物体在1t =和4t =时的瞬时速度分别为 6,6
13.给出下列结论：①函数221y x =-在3x =处的导数为11；②若物体的运动规律是()s f t =，则物
体在时刻0t 的瞬时速度v 等于0'()f t ；③物体作直线运动时，它的运动规律可以用函数()v v t =描述，其中v 表示瞬时速度，t 表示时间，那么该物体运动的加速度为0()()
lim
t v t t v t a t
∆→+∆-=∆
；④若
()f x ，则'(0)0f =，其中正确的结论是 ②③
14. ★已知(3)2,'(3)2f f ==-，则323()
lim _____3
x x f x x →-=-8
【解析】由'(3)2f =-知03(3)(3)()(3)
'(3)lim lim 23
x x f x f f x f f x x ∆→→+∆--===-∆-，将所求的极限形式变
形，构造'(3)f 的数学表达式，然后整体代换求解。

3333323()2663()63()2()()(3)lim lim lim(2)23lim 23lim 33333x x x x x x f x x f x f x f x f x f x x x x x →→→→→--+----==+=+=------23'(3)8f =-=
15.曲线2y x =在点(1,1)处的切线方程为 21y x =-
16.⑴★在曲线2y x =上切线的倾斜角为4π的点是 11
(,)24
⑵★曲线324y x x =-+在点(1,3)处的切线的倾斜角为 4
π
17.曲线2y ax =在1x =处的切线的斜率为1，则_____
a =12
18.已知抛物线2
y x bx c =++在点(1,2)处与直线1y x =+相切，则_____b c -=3-
19.设()f x 为可导函数，且满足0(1)(12)
lim 12x f f x x
→--=-，则过曲线()y f x =上点(1,(1))f 处的切线
斜率为 1-
20.曲线2y x ax b =++在点(0,)b 处的切线方程是10x y -+=，则_____,_____a b ==1,1
21.⑴★设点P 为曲线2:1C y x x =-+上一点，曲线C 在点P 处的切线的斜率的范围是[]1,3-，则点P 的横坐标的取值范围为 []0,2
⑵★设P 为曲线2:23C y x x =++上一点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的范围是[0,]4
π
，则点P 横坐
标的取值范围是________【A 】
1
.[1,]2A -- .[1,0]B - .[0,1]C 1.[,1]2D 【提示】极限法；导数。

⑶设曲线2()1f x x =+和3()g x x x =+在其交点处两切线的夹角为θ，则cos _____θ
=【法一】易知斜率分别为2,4，则直线方向向量分别为(1,2),(1,4)a b ==v v ，
则cos a b a b θ⋅==⋅v v
v v 【法二】差角公式：tan tan(),tan 4,tan 2θαβαβ=-==。

22.已知函数()y f x =的图像在点(1,(1))M f 处的切线方程为1
22
y x =
+，则(1)'(1)_____f f +=3 23.⑴★曲线1
y x
=和2y x =在它们交点处的两条切线与x 处所围成的三角形面积是 34
⑵曲线313y x x =+在点4(1,)3处的切线与坐标轴围成的三角形面积为 1
9
⑶★曲线3y x =在点3(,)(0)a a a ≠处的切线与x 轴，直线x a =所围成的三角形的面积为1
6
，则
____a =1±
【解析】应该求出在点3(,)a a 处的切线方程，写出切线在x 轴上的截距，进而由三角形面积公式求解a 。

2'()3f a a =Q ，故曲线在点3(,)a a 处的切线方程为323()y a a x a -=-，切线在x 轴上的交点
为2
(,0),3
a ∴三角形面积为31211236S a a a a =
-⋅=⇒=±。

⑷已知直线1l 为曲线22y x x =+-在点(1,0)处的切线，2l 为该曲线的另一条切线，且12l l ⊥，则直线2l 的方程为 ；由直线1l 和直线2l 以及x 轴所围成的三角形的面积为
【解析】122125
,3912
y x =--。

24. 若抛物线24y x =上的点P 到直线45y x =-的距离最短，则点P 的坐标为 1
(,1)2
【解析】法一：两点间距离公式；法二：1
'842
y x x ==⇒=。

25. 设函数()f x 是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线()y f x =在5x =处的切线的斜率为 0
【解析】由题意得，00(5)(5)()(0)
'(5)lim lim '(0)x x f x f f x f f f x x
∆→∆→+∆-∆-===∆∆，而
00()(0)(0)(0)
'(0)lim lim '(0),'(0)0,'(5)0x x f x f f x f f f f f ∆→∆→∆--∆-==-=-∴=∴=。

27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 1。