高三数学必做题--数列放缩法(典型试题)

数列综合题

1、已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()11n n a S a a =

--，a 为常数，且0a ≠，1a ≠． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若13a =，设1111n n n n n a a b a a ++=-+-，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T <．

2、已知数列{}n a 的前n 项和()12n n n a S +=，且11a =．

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令ln n n b a =，是否存在k (2,)k k N ≥∈，使得k b 、1k b +、2k b +成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由．

3、已知{}n a 是等差数列，32=a ，53=a ．

⑴求数列{}n a 的通项公式；

⑵对一切正整数n ，设1

)1(+⋅-=n n n n a a n b ，求数列{}n b 的前n 项和n S ．

4、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21=a ,221+=+n n S a ()1,2,3

n =． （1）求2a ；

（2）数列{}n a 的通项公式；

（3）设n n n n S S a b 11++=

,求证：2121<+++n b b b ．

5、对于任意的n ∈N *，数列{a n }满足1212121212121n n a n a a n ---+++=++++. (Ⅰ) 求数列{a n }的通项公式；

(Ⅱ) 求证：对于n≥2，231222112n n a a a ++++<-

6、已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足242n n n S a a =+．

（1）求1a 的值；

（2）求{}n a 的通项公式；

（3）求证：

*222121111,2n n N a a a ++⋅⋅⋅+<∈。

7、已知数列{}n a 满足112a =

，11210n n n a a a ++-+=，*n N ∈． （1）求证：数列1{}1

n a -是等差数列； （2）求证：2

3

12234

1

1n n a a a a n n n a a a a +<+++<+.

8、已知首项大于0的等差数列{}n a 的公差1d =，且

12231123

a a a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n

b 满足：11b =-，2b λ=，1

11(1)n n n n n b b n a -+--=+，其中2n ≥． ①求数列{}n b 的通项n b ； ②是否存在实数λ，使得数列}{n b 为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

9、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11,2n n S n a n N *+=

⋅∈，其中11a =． （1）求数列{}n a 的通项公式；

（2）若1132n n a b +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：14n T <