概率论 4.3 随机变量序列的收敛性(先)
概率论四种收敛性
x
x
r r
-
dF ( x )
r
1
r
x dF ( x )
=
E X
r
r
引理的特殊情况： 取r=2，并以X-E(X)代替X得车贝晓夫不等式
P( X )
E X
r
r
2
【定理】(车贝晓夫不等式)设随机变量X有2阶中心矩，E X-E(X) , 则对任意 0有
解：设每毫升白细胞数为X 依题意，E(X)=7300,D(X)=7002 所求为 P(5200 X
9400) = P(-2100 X-E(X) 2100)
= P{ |X-E(X)|
P(5200 X
9400)
2100}
由车贝晓夫不等式
D( X ) P{ |X-E(X)| 2100} 1 (2100)2 1 8 700 2 1 ( ) 1 9 9 2100
主要内容
车贝晓夫不等式-阶收敛
一、车贝晓夫不等式
【引理】(马尔可夫不等式)设随机变量X有r阶绝对矩， E X ,
则对任意 0有
r
P( X )
E X
r
r
【证明】设X的分布函数为F ( x ), 则有：
P( X )
x
dF ( x )
1 n 1 n K X i E ( X i ) lim lim P （ 1 ) 1 2 n n i 1 n n i 1 n
又由概率性质P 1
1 n 1 n lim P X i E ( X i ) 1 n n i 1 n i 1
P Yn Y ; P Yn Y ;
随机变量序列的两种收敛
概率论与数理统计
2）、设 n ,n 是两个随机变量序列， a，b为常数，
若 n P a,n Pb 且在g(x,y)在点（a,b）处连续， 则 g(n ,n ) P g(a,b), (n ). 证明略，方法类似于1） 3）、若 n P ,n P,
则n n P , (n )
nn P , (n )
1）、若 n P ,n P, 则P ( ) 1
证： n n
0
，由
则 n
2
与
n
2
中至
少有一个成立，即
n
2
n
2
于是
P(
) P(n
2
)
P(
n
) 0(n )
2
即 0,有P（ ） 1，从而P（ ） 1
这表明，若将两个以概率为1相等的随机变量看作 相等时，依概率收敛的极限是唯一的。
概率论与数理统计
定理5.6 随机变量序列 n P c(c为常数）
的充要条件为 Fn (x) W F (x)
这里 F(x)是 c 的分布函数，也就是退化分布
1, x c F(x) 0, x c
即
n P c
Fn (x) W F (x)
在F(x)的连续点．
当n P, (n ) 时，它们的分布函数之间就有
lim
n
Fn
(
x)
F
(
x)
成立．
1.定义
定义5.3
概率论与数理统计
设 Fx, F1(x), F2 (x), 是一列分布函数，如果对
F(x)的每一个连续点x，
都有
lim
n
Fn (x)
F ( x)
成立，
则称分布函数列 Fn (x) 弱收敛于分布函数F（x），
随机变量序列的两种收敛性
§4.2随机变量序列的两种收敛性在上一节中，我们从频率的稳定性出发，引入了n η=∑=n i i n 11ξ−→−p a （n ∞→） 即随机变量序列{}n η依概率收敛于常数a 这么一个概念。
我们自然可以把所讨论的问题推广到a 不是一个常数，而是一个随机变量这样的情形，于是需要引入下面的定义。
定义4.2 设有一列随机变量1η，2η，3η，…，n η，如果对任意的ε>0,都有 lim ∞→n P ()εηη<-n （4.6）则称随机变量序列{}n η依概率收敛于η，并记作lim ∞→n r η−→−p η 或n η−→−p η （n ∞→） 由此可知，前一节中讨论过的大数定律只是上述依概率收敛的一种特殊情况。
我们已经知道分布函数全面地描述了随机变量的统计规律，如果已知n η−→−p η（n ∞→），那么它们相应的分布函数n F （x ）与F （x ）之间的关系会有什么样的关系呢?一个猜测是,对所有的x ，都有n F （x ）→ F （x ）（n ∞→）成立，这个猜测对不对呢?让我们看一个很简单的例子。
例4.2 设η，n η都是服从退化分布的随机变量，且P （η=0）=1,P （n η=-n 1）=1，n=1,2,… 于是对任给的ε>0，当n>ε1时有 P （ηη-n ≥ε）=P （n η≥ε）=0所以n η−→−p η （n ∞→） 成立。
又设η，n η的分布函数分别为F （x ），n F （x ），则F （x ）=⎩⎨⎧≤>0,20,1x xF （x ）=⎪⎩⎪⎨⎧-≤->n x n x 1,21,1 显然,当x ≠0时，lim ∞→n n F （x ）= F （x ）成立，当x=0时，lim ∞→n n F （0）=lim ∞→n 1=1≠0= F （0） 这个简单的例子表明，一个随机变量序列依概率收敛于某一个随机变量，相应的分布函数列不一定是在每一点上都收敛于这个随机变量的分布函数的。
概率论与数理统计教程(茆诗松)第4章
解：用 Xi=1表示第i个部件正常工作, 反之记为Xi=0. 又记Y=X1+X2+…+X100，则 E(Y)=90，Var(Y)=9.
由此得：
P{Y
85}
ห้องสมุดไป่ตู้
1
85
0.5 9
90
0.966.
13 July 2020
华东师范大学
第四章 大数定律与中心极限定理
第10页
二、给定 n 和概率，求 y
例4.4.4 有200台独立工作(工作的概率为0.7)的机床，
第6页
4.4.3 二项分布的正态近似
定理4.4.2 棣莫弗—拉普拉斯中心极限定理
设n 为服从二项分布 b(n, p) 的随机变量，则当 n
充分大时，有
lim
n
P
n
np npq
y
( y)
是林德贝格—勒维中心极限定理的特例.
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第四章 大数定律与中心极限定理
第7页
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第四章 大数定律与中心极限定理
第5页
例4.4.2 设 X 为一次射击中命中的环数，其分布列为
X 10 9 8 7
6
P 0.8 0.1 0.05 0.02 0.03
求100次射击中命中环数在900环到930环之间的概率.
解: 设 Xi 为第 i 次射击命中的环数，则Xi 独立同分布，
且 E(Xi) =9.62，Var(Xi) =0.82，故
P
900
100 i 1
Xi
930
930 100 9.62 100 0.82
900 100 9.62 100 0.82
dvoretzky’s 收敛定理
Dvoretzky’s 收敛定理一、概述Dvoretzky’s 收敛定理是概率论中的一个重要定理，它描述了随机变量序列的收敛性质，对于理解随机序列的极限行为具有重要意义。
本文将对Dvoretzky’s 收敛定理进行深入剖析，旨在帮助读者全面了解该定理的内容、证明过程和应用领域。
二、Dvoretzky’s 收敛定理的表述Dvoretzky’s 收敛定理描述了随机变量序列的收敛性质，在正式表述如下：对于一个随机变量序列X1, X2, …, Xn，在满足一定条件下，这个序列可以在概率意义下收敛于一个常数或者一个随机变量。
具体而言，若满足以下条件：1. 随机变量序列的方差有界：存在一个正数C，使得对于所有的n，有Var(Xn) <= C。
2. 随机变量序列的"距离"有限：对于任意的i≠j，有E|Xi - Xj| <=d(i,j)，其中d(i,j)是一个随机变量序列的"距离"函数。
那么，这个随机变量序列在概率意义下收敛于一个常数或者一个随机变量。
三、Dvoretzky’s 收敛定理的证明Dvoretzky’s 收敛定理的证明是通过利用概率论和数学分析的方法来完成的。
主要思路是采用刻画随机变量序列的距离函数，配合方差有界的条件，最终利用概率的收敛性质来推断序列的收敛性。
具体证明过程如下：1. 定义随机变量序列的距离函数d(i,j)，并使得该距离函数满足E|Xi - Xj| <= d(i,j)。
2. 利用方差有界的条件，推导出随机变量序列的均值序列收敛到一个常数。
3. 利用概率的性质，证明了随机变量序列在概率意义下的收敛性。
四、Dvoretzky’s 收敛定理的应用Dvoretzky’s 收敛定理在概率论和统计学中有着广泛的应用。
主要体现在以下几个方面：1. 随机变量序列的收敛性分析：Dvoretzky’s 收敛定理可以用来分析随机变量序列的收敛性，对于理解随机序列的极限行为具有重要意义。
概率论中的随机过程收敛性分析
概率论中的随机过程收敛性分析概率论中的随机过程收敛性分析是一种重要的研究方法，它在许多领域中都得到了广泛应用。
本文将从理论和实际应用角度，对随机过程的收敛性进行分析和讨论。
一、概率论中的随机过程随机过程是概率论中的一个基本概念，它描述了一系列随机变量的演化过程。
随机过程可以分为离散时间和连续时间两种情况。
在离散时间中，随机过程由一系列随机变量构成，例如随机游走；在连续时间中，随机过程由一个连续的随机函数构成，例如布朗运动。
二、收敛性的定义和分类收敛性是随机过程分析中一个关键的概念。
对于离散时间和连续时间的随机过程，我们分别讨论它们的收敛性。
1. 离散时间随机过程的收敛性离散时间随机过程的收敛性可以通过序列的极限来刻画。
对于离散时间随机过程{Xn}，如果存在一个随机变量X，使得当n趋向于无穷大时，Xn以概率1收敛于X，那么我们称随机过程{Xn}以概率1收敛于X。
此外，我们还可以使用均方收敛和依分布收敛来描述离散时间随机过程的收敛性。
2. 连续时间随机过程的收敛性连续时间随机过程的收敛性可以通过极限过程来刻画。
对于连续时间随机过程{X(t)}，如果存在一个随机过程X(t)，使得当t趋向于无穷大时，X(t)以概率1收敛于X(t)，那么我们称随机过程{X(t)}以概率1收敛于X(t)。
类似地，我们还可以使用均方收敛和依分布收敛来描述连续时间随机过程的收敛性。
三、收敛性分析的应用随机过程的收敛性分析在许多领域中都有着广泛的应用。
下面介绍几个典型的应用场景。
1. 随机游走的收敛性分析随机游走是一种重要的离散时间随机过程，它在金融学、经济学等领域中得到广泛应用。
通过对随机游走的收敛性分析，可以研究其收敛性质，例如稳定性、收敛速度等，为实际问题的解决提供理论依据。
2. 布朗运动的收敛性分析布朗运动是一种重要的连续时间随机过程，它在物理学、金融学等领域中具有重要意义。
通过对布朗运动的收敛性分析，可以研究其性质和行为，例如时序相关性、自回归性等，为实际问题的建模和分析提供理论支持。
随机变量的几种收敛及其相互关系
论文摘要概率是对大量随机现象的考察中显现出来的，而对于大量的随机现象的描述就要采用极限的方法。
概率统计中的极限定理研究的是随机变量序列的某种收敛性，对随机变量收敛性不同定义将导致不同的极限定理，而随机变量的收敛性的确可以有各种不同的定义。
主要讨论了依概率收敛与依分布收敛，r阶收敛与几乎处处收敛，几乎处处收敛与依概率收敛之间的关系。
给出了由依概率收敛推出几乎处处收敛的条件和由依概率收敛推出r阶收敛的条件，从而比较完全地说明了随机变量序列的各种收敛性之间的关系。
本论文将对随机变量的几种收敛作出较为简单扼要的介绍和讨论.论文结构如下：一、随机变量的几种收敛的概念理论；二、随机变量的几种收敛之间的关系；从以上几个方面对随机变量的几种收敛理论简明扼要地分析，说明随机变量序列收敛理论在实际问题中的应用范围之广，在实际生活中的重要性。
关键词：r阶收敛；几乎处处收敛；依概率收敛；依分布收敛。
AbstractThe Probability is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and statistics in the limit theorem is asequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and convergence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability relationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introduction of r-order convergence conditions, which more completely describes the various random variables convergence relationship. This paper will make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows: 1. Convergence of random variables the concept of theory; 2. the convergence of several random variables between; From the above aspects of the theory of random variables of several brief analysis of convergence shows that the convergence theory of random variables in the actual problems in the wide range of applications, in real life importance.Keywords: convergence in order r ; almost everywhere or almost surely; convergence in probability; convergence in distribution.目录引言： 41 几种收敛性定义 42 依概率收敛与依分布收敛的关系 53 r阶收敛与几乎处处收敛的关系 114 依概率收敛与r阶收敛的关系 135 几乎处处收敛与依概率收敛和依分布收敛的关系 17总结 19四种收敛性 19四种收敛蕴涵关系 19致谢 21参考文献 22引言：概率论最早产生于17世纪，本来是保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。
随机变量序列的收敛特性
概率空间•几乎必然收敛(almost sure convergence)–随机变量序列收敛到，同时}{n X X {li – a.s. 1}{lim ==∞→X X P n n X X =lim XX −→−.s .a 表示为或者n n ∞→n →)}()(lim :{ςςςX X n n =∞→•依概率收敛(convergence in probability)–随机变量序列以及满足对任意}{n X X li ε–p. 0}||{lim=>-∞→εX X P n n X X =lim XX −→−.p 表示为p 或者n n ∞→n →也有可能的数值极大|X X n -|•均方收敛(mean square convergence)–随机变量序列以及满足,同时}{n X X li ∞<}{2nX E –m.s. 0}){(lim2=-∞→X X E n n X X =lim XX −→−m.s.表示为或者n n ∞→n →•均方收敛(mean square convergence)–随机变量序列以及满足,同时}{n X X li ∞<}{2nX E –m.s. 0}){(lim2=-∞→X X E n n X X =lim XX −→−m.s.表示为或者则n n ∞→n →m s •若，则X X n −→−m.s.∞<}{2X E 几乎必然收敛或依概率收敛都不能确保均方收敛•以概率分布收敛(convergence in distribution)–随机变量序列以及满足在任意连续的x}{n X X li )()(limx F x F X X n n =∞→–表示为 d. 或者X X n n =∞→lim XX n −→−d.•依据特征函数判断收敛–XX n −→−d.––)}({)}({X f E X f E n →)t ()t (XX nΦ→Φ.s .a ⇒XX −→−.p(Cauthy criteria)在不知道极限的情况下，判定随机变量序列收敛随机变量序列的收敛特性。
§4.3随机变量序列的两种收敛性
n
再令x ' x F ( x 0) lim Fn ( x )
n
8
同理可证： 当 x " x时，F ( x ") limFn ( x ),
n
再令x " x， F ( x 0) limFn ( x ) .
n
即有 F ( x 0) lim Fn ( x ) lim Fn ( x ) F ( x 0) . n
0, x c; 有 Fn (c / 2) F (c / 2) 1， F ( x ) 1 , x c . Fn (c ) F (c ) = 0 .
从而 P ( X n c ) （n ) 0
且 Fn ( x ) F ( x ) ， 所以当 n 时，
n
若x是F ( x )的连续点，
则 Fn ( x ) F ( x ), 即X n X .
W L
TH2表明：依概率收敛是弱收敛的充分不必要条件，
由弱收敛不能得出依概率收敛。见下面的例子。
9
例2 设X
X P
1 1 2
1 1 2
令 Xn X ,
L
当然有 X n X . 则 X n 与X 同分布，
P P P X n a ,Yn b X n Yn a b； P P X n Yn a b , X n Yn a b(b 0). 证明： ( X n Yn ) (a b ) X n a Yn b ( X n Yn ) (a b ) X n a Yn b 2 2
0 P X Y
《概率论与数理统计课件》随机变量序列的收敛性
t 2n1
sin
t 2n
2
sin
t 2n
cos
t 2
cos
t 22
c
os
t 2n
2
22
sin
t 2n
t sin 2n2
cos t sin t 22
2n1
sin
t 2n
sin t
2n
sin
t 2n
36
t
2n sin t sin t t，
sin
t 2n
t
t
n ．
是一个随机变量序列x是一个随机变量如果对于任意的431则称随机变量序列依概率收敛于随机变量x记作是一个随机变量序列x是一个随机变量如果对于任意的我们知道任何一个随机变量都有分布函数而且分布函数全面地描述了随机变量的统计规律
第二节 随机变量序列的收敛性
1
定义 4.3.1 设X n是一个随机变量序列，X 是一个随机
（因为 x x 0）．所以有
再令 x x ，得
Fx lim Fn x． n
Fx 0 lim Fn x n
15
同理可证，当 x x 时，有
lnimFn x Fx． 再令 x x ，得 lnimFn x Fx 0 ．
写出随机变量 Yn
n k 1
Xk 2k
的特征函数n t ；⑶
证
明：当 n 时，随机变量序列Yn依分布收敛于随机变量Y ．
33
解：
⑴ 由于随机变量Y 服从区间 1, 1 上的均匀分布，因
此 Y 的特征函数为
t eit eit cost i sin t cost i sin t sin t ．
随机变量序列的几种收敛性及其关系000
本科毕业论文题目：随机变量序列的几种收敛性及其关系学院：数学与计算机学院班级：数学与应用数学2008级八班姓名：***指导教师：丁平仁职称：副教授完成日期：2012 年5月10 日随机变量序列的几种收敛性及其关系摘要：本文主要对随机变量序列的四种收敛性：a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛的概念、性质进行阐述；并结合具体实例讨论了它们之间的关系，进一步对概率论中依分布收敛的等价条件和一些依概率收敛的弱大数定律进行了具体的研究.关键字：随机变量序列收敛分布函数目录1.引言 .................................................................... 1 2.a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r —阶收敛的概念、性质以及它们之间的关系. 2.1 a.e.收敛的概念及性质 ................................................................................................... 1 2.2 依概率收敛的概念及性质 .............................................................................................. 2 2.3依分布收敛的概念及性质 ............................................................................................... 3 2.4 r —阶收敛的概念及性质 .................................................................................................. 5 3.随机变量序列依分布收敛的等价条件. (6)4.随机变量∑=nk k n 11ξ依概率收敛的一些结果 (9)5.小结. .................................................................. 12 6.参考文献 (12)1.引言：在数学分析和实变函数中“收敛性”极为重要，特别在实变函数中对可测函数列收敛性的讨论。
随机变量序列的几种收敛性注记
科教论坛科技风2020年10月DOC10.19392/ki.1671-7341.202028033随机变量序列的几种收敛性注记杨元启三峡大学理学院湖北宜昌443002摘要：随机变量序列的收敛性理论主要源自测度论中可测函数序列的收敛性理论，但由于概率测度的特殊性，使得随机变量序列的敛散性有自己的特点。
这些理论既是概率论的重点，也是难点。
本文准备详细介绍随机变量序列的各种收敛性概念,讨论他们之间的联系，并以适当的例题来说明收敛的性质。
关键词:几乎必然收敛;依概率收敛；完全收敛;一致可积性本科教材中关于随机变量序列的收敛概念一般只有两种:依概率收敛和依分布收敛,分别关联大数定律和中心极限定理。
但根据序列收敛的强弱,有多种强弱不同的收敛概念,它们的侧重点不一样，相互之间也有联系，讨论如下。
设79,9，”=1,2,3｝是概率空间(*,,p)上的随机变量序列，随机变量9的分布函数记作F(0=p(X<x+,x(R,X n 的分布函数记作F(0#以下是几种常用的收敛性：(1)若对F(0)的每个连续点0,有0)=F(0)，则称随机变量序列｛X”｝依分布收敛于X,记作X”厶X；(2)若对任意&>0,li rn P(X…-X|'&)=0,则称随机变P量序列｛X”｝依概率收敛于随机变量X,记作X”一X；(3)设r>0,=X”存在，且”X”-X|'=0,则称随机变量序列｛X”｝r阶收敛于随机变量X,记作X”二X,这时易知=X>也存在；(4)若P(”im X…=X)=1,则称随机变量序列｛X”｝几乎必然收敛于随机变量X,记作X”上$X；(5)若对任意的&>0,都有lim-P(|X»-X|'&)=0称随”$"7=”c机变量序列｛X”｝完全收敛于随机变量X,记作X”一X#下面几个概念与随机变量序列的收敛性关系密切：(1)对任给的&>0,存在(使得对任一"(F,当P(")d 时，便有spf j X”|$p<&,则称随机变量列｛X”｝是一致绝对连续的；(2)若epJj X”|$P<",则称随机变量列｛X”｝积分一致 有界；(3)若sp|X”|$P=0,则称随机变量列｛X”｝是一致可积的；由测度论的理论,有下列结论:(1)｛X”｝是一致可积的充要条件是｛X”｝是一致绝对连续的且积分一致有界；(2)X”上$X当且仅当对于任意的&>0,^｛*”7X”-X丨'&｝｝=0以及X”上$x当且仅当对于任意的&>0,P(/*7X m-X|'&｝)=0；”=1>=”P(3)X…-$X当且仅当对｛X”｝的任一子序列｛X”？，均存在子序列7X”》｝0｛X”？,使得X”7上$x；“、a・s.,、，P(4)X”一X时必有X”一X；r P(5)X”---------$X时必有X”----------$X；P<(6)X”---------$X时必有X”----------$X；C., a.s.(7)X”---------$X时必有X”----------$X；(8)”F"IX-XI=0的充要条件是｛X”｝是一致可积且PX”$X上述部分结论的证明可以从本文所列文献中找到，这里就不赘述了#我们只证(2)和(7)#先介绍一个引理#"8888弓【理如果-P("”)<8,则P(/U"”)=0,P(*/"”.)=1,即事件序列｛"”｝中有无穷多个"”发生的概率为0,或者说事件序列｛"”｝中至多有有限个"”发生的概率为1;如果P("”)=8,而｛"”｝是两两独立的事件序列，则P8888(/*"”)=1,P(*/"”.)=0,即事件序列｛"”｝中有无穷多个"”发生的概率为1,或者说事件序列｛"”｝中至多有有限个"”发生的概率为0#这是著名的波雷尔-康特立引理#(2)的证明:若X”上$X,即*中除了某个概率测度为零的集合8以外的所有点)对于任何&>0,当”>”0(&,)时就有t”_X I<&,也就是说，满足对任意的”,总存在>'”，使得X”-X的点)必属于零测度集8,亦即/*7X”-X'”一1>—”&｝08,因此P(/*7|X>-X|'&｝)=0；”=1>=”所以说X”上$X当且仅当对于任意的&>0,P (/*7X m-X|'&｝)=0；”=1>=”66科技风2020年10月另外，根据概率的连续性，显然有P(/*i19-91>&!)=+=17=+0i U/P{U7丨9”-9|'&}=0,反之,若对于任意的&>0, >=+有U m：{U79”-9|'&}=0,则由于/U79”-9|'&8 +$">=++=1>=+"880U7X m-9|'&,有0!：(/U7X m-9|)!Um：>=++=1>=++$8 {U+7.|9>-9|}=0综上有：as889—」9%对于任意的&>0,P(/U7丨9”-9|)=0+=1>—+%对于任意的&>0,fm P{U7丨9”-9|}=0#+—8>—+C8(7)的证明：因为9―$9,即任意的&>0,Um-：+$87=+ (9,,-9'&)—0,因此Um：{U7丨9”-9|}<Um-：+$8>=++$8>=+ (9m-9|'&)=0,即|=9#以下通过几个例子进一步讨论随机变量序列的性质#例1设{9”}为相互独立的随机变量序列，若9…上$证明:设9…上$0,则对任意的&>0,有：(/U79-0)=0”=17=+即：(limyp7I9t1>&)=0,由｛9…｝相互独立及波雷尔-康特立引理，知-:(9>'&)<8,因此Um-：>=1”$8>=+ (9”|'&)=0,此即9 0注：(1)显然，此结论可改为：若｛9…｝相互独立，则9…上$0等价于9…亠0'或者，若｛9…｝相互独立，则9…上$0等价于2&>0,-：7(191>&)!<8#+=1(2)若｛9｝独立，｛,”｝为常数列，则9上$0等价于2&>0,-：7(19<8#”—1例2设｛9”｝为以概率1单调的随机变量序列，且9…: a.s.—9,则9”一9#:证明:不妨设2)(*,｛9”｝为单调递增，由于9…-$9,因此对｛9”｝的任一子序列｛9”？,均存在子序列｛9”？0 79…7!,使得9”7上$9,而｛9”｝为单调递增，故2)(*,9”$ 9,因此9”9#例3设随机变量序列｛9+｝依分布收敛于常数，，则9”:-----，#「1久',证明：常数，的分布函数；(0)=匸，｛9”｝依分布0x<<收敛于，,对任意的&>0,：(丨9”-|'&)=：(9”<,-&+：(9”'a+&)<;”(a-&)+—：(9”«+£&二；”(Q-&)+—;”(a+&:-0)=0+1-1二0,所以9”---a#例4设｛9”｝是独立同分布的随机变量序列，二阶矩有2”：界,则十*-@@―”(”+1)@12”证明:记=91=#,A91=*2,则*2<8,=(,2八-忑)—”(”1)@=1 )”乔17=( -9心A含9)=心-2”2”川-弘予，A(»-9)=4*2亍-==232”+11*2$0,(”$8)2=13”(”+1)2”由契贝雪夫不等式有2&>0,P(I十丁--=91I'&)”(”1)=12”<”(”&)@——$0,(+$»)，亦即尸石-9厶=91# &”(”+1)=1例5设｛9”｝为独立同分布的随机变量序列，密度函数「2-0a)兀'a</(0=L，记B”=m/791，…9”!，则B”—a# 050<af1-2"(0"a)兀'a 证明：容易算得公共分布函数;(0)-,0050<a'a时,：(B”>0)=：(m/791，…9”!>0)=：(/{9=>0)=1=(1-F(0))”=2一0-)2&>0,P(I”-a l'&)=：(B”'a+&)+P(B”<a-&)=2兀+：(*79=<a-&!)=1=2^+-：(9=<a-&)=1—e-&+0$0,”$8:<所以B”$a，因此,B”$a#例6设{9”}为独立同分布的随机变量序列,P(9”=1)1”9»=：(9”=0)=*,B”=-出”=1,2,3,则B”的分布收敛于27=12［0,1］上的均匀分布#证明：9»的特征函数为/()=*(1+e")—as寺2“,；的特征函数为+()-寺(1+e")=cos2)71“,7=1,2,3,由于97独立同分布,7=1,2,3,故B”的特征函数为,”(-=3(cos7=1tsin命抽')=丁-----------eM-,由于”/0”(-=〒Cn寺=Sm2”+丄(2“-1)，而［0,1］上的均匀分布的特征函数恰为丄*2“-1), It It由逆极限定理知B”的分布收敛于［0,1］上的均匀分布#参考文献：［1］王寿仁.概率论基础与随机过程［M&.北京：科学出版社，1997.［2］严家安.测度论讲义.北京:科学出版社,2000.［3］周民强.实变函数论.北京：北京大学出版社,2003.［4］严士健，王隽骧，刘秀芳.概率论基础.北京：科技出版社,$982.67。
概率论课件 第4章第2讲随机变量序列的两种收敛性
0,当( x a)2 ( y b)2 2时有
| f ( x, y) f (a, b) |
于是 {| f (k ,k ) f (a, b) | } {( a)2 ( b)2 2 }
辛钦k 1n Nhomakorabeak
a | } 1
证明: {n } 同分布, 它们有相同的特征函数, 这个相同的特征函数记为 (t )
1 n 记 n k n k 1
a E ( k )
(0)
i
(t ) (0) (0)t o(t ) 1 iat o(t )
的分布函数Fn ( x) F ( x).
显然有 lim Fn ( x) F ( x)
n
L Xn Y
但对任意的0<ε<2,恒有
P{| n | } P{2 | | } 1
即不可能有{n }依概率收敛于
所以:依分布收敛依概率收敛不真
定理:随机变量序列依概率收敛于常数C 的充要条件是依分布收敛于常数C 证明:必要性已证,下面只证充分性
§4.2 随机变量序列的两种收敛性 上一节我们由大数定理可得,在贝努里试验中, 事件发生的频率稳定于概率,即
lim P{
n
n
n
P } 1
自然想到的是, 随机变量序列是否依 这种方式能稳定于一个随机变量呢 ?
这就是我们要讲的依概率收敛问题.
1
依概率收敛 定义：设{ n }是随机变量序列,若存在随机 变量 (或常数),对于任意ε>0,有
x x
令y x, z x,由x为F ( x)的连续点, 有
概率论中的随机过程收敛性判定新方法探讨
概率论中的随机过程收敛性判定新方法探讨概率论中的随机过程是研究随机现象随时间的变化规律的数学模型。
随机过程在应用领域有着广泛的应用，如金融领域的股票价格预测、通信系统的信号传输等。
而对于随机过程的收敛性判定问题一直以来是概率论中的研究热点之一。
本文将介绍一种新的方法来判定随机过程的收敛性，以及探讨其在实际应用中的潜力。
首先，我们需要了解什么是随机过程的收敛性。
在概率论中，收敛是指随着样本数的增加，随机变量或者随机过程逐渐趋近于一个确定的值。
常见的收敛性判定方法有律法大数定律和中心极限定理等。
然而，这些传统的方法在判定某些复杂随机过程的收敛性时存在一定的局限性。
新的方法基于分形维数的概念，它对随机过程的局部特征进行了量化。
分形维数是用来描述某个几何图形的不规则程度的数值，可以用来表征随机过程的动态特性。
通过计算随机过程的分形维数，我们可以判定其收敛性，并且可以得到更细致的分析结果。
具体地说，我们可以通过如下步骤来使用该方法判定随机过程的收敛性：1. 选取合适的观测窗口大小。
观测窗口大小决定了我们对随机过程的采样精度，过小的窗口可能会忽略了一些重要的信息，而过大的窗口则可能会导致计算量很大。
2. 计算观测窗口内的分形维数。
我们可以通过分形理论中的盒子计数方法来计算观测窗口内的分形维数。
盒子计数方法是指将整个观测窗口划分为多个小盒子，并统计随机过程在每个小盒子内的数据点数量。
通过不断调整盒子大小，我们可以得到一系列分形维数。
如果这些分形维数随着盒子大小逐渐趋于一个确定的值，那么我们可以判定随机过程在该观测窗口内收敛。
3. 重复步骤1和步骤2，直到覆盖整个随机过程的时间范围。
通过在不同的观测窗口上重复计算分形维数，我们可以获取随机过程不同时间段的收敛性。
这种基于分形维数的方法相比传统方法更加灵活，能够更准确地刻画随机过程的动态特性。
同时，该方法也可以应用于更广泛的随机过程类型，包括具有非平稳特性或非线性特性的随机过程。
随机变量的几种收敛及其相互关系
论文摘要概率是对大量随机现象的考察中显现出来的，而对于大量的随机现象的描述就要采用极限的方法。
概率统计中的极限定理研究的是随机变量序列的某种收敛性，对随机变量收敛性不同定义将导致不同的极限定理，而随机变量的收敛性的确可以有各种不同的定义。
主要讨论了依概率收敛与依分布收敛，r阶收敛与几乎处处收敛，几乎处处收敛与依概率收敛之间的关系。
给出了由依概率收敛推出几乎处处收敛的条件和由依概率收敛推出r阶收敛的条件，从而比较完全地说明了随机变量序列的各种收敛性之间的关系。
本论文将对随机变量的几种收敛作出较为简单扼要的介绍和讨论.论文结构如下：一、随机变量的几种收敛的概念理论；二、随机变量的几种收敛之间的关系；从以上几个方面对随机变量的几种收敛理论简明扼要地分析，说明随机变量序列收敛理论在实际问题中的应用范围之广，在实际生活中的重要性。
关键词：r阶收敛；几乎处处收敛；依概率收敛；依分布收敛。
AbstractThe Probability is the study of a large number of random phenomena emerge, but for a large number of random phenomena should use extreme methods described. Probability and statistics in the limit theorem is a sequence of random variables convergence, convergence of random variables with different definitions lead to different limit theorem, and indeed the convergence of random variables can have different definitions. Mainly discussed convergence in probability and convergence in distribution, convergence in order r and almost everywhere convergence, almost sure convergence and convergence in probability relationship. Convergence in probability is given by the launch of almost everywhere convergence of conditions and the convergence in probability by the introduction of r-order convergence conditions, which more completely describes the various random variables convergence relationship.This paper will make the convergence of several random variables is more brief presentations and discussions. Paper is structured as follows:1. Convergence of random variables the concept of theory;2. the convergence of several random variables between;From the above aspects of the theory of random variables of several brief analysis of convergence shows that the convergence theory of random variables in the actual problems in the wide range of applications, in real life importance.Keywords: convergence in order r ; almost everywhere or almost surely; convergence in probability; convergence in distribution.目录引言： (4)1 几种收敛性定义 (4)2 依概率收敛与依分布收敛的关系 (5)3 r阶收敛与几乎处处收敛的关系 (11)4 依概率收敛与r阶收敛的关系 (13)5 几乎处处收敛与依概率收敛和依分布收敛的关系 (17)总结 (19)四种收敛性 (19)四种收敛蕴涵关系 (19)致谢 (21)参考文献 (22)引言：概率论最早产生于17世纪，本来是保险事业的发展而产生的，但是来自于赌博者的请求，却是数学家们思考概率论中问题的源泉。
§4.1特征函数§4.2大数定律§4.3随机变量序列的两种收敛性
第10页
特征函数的定理
定理4.1.1 一致连续性.
定理4.1.2 非负定性.
定理4.1.3 逆转公式.
定理4.1.4 定理4.1.5
分布函数的唯一性.
连续场合，求p(密x)度函21数. eitx(t)dt
第11页
定理4.1.5 设X为连续型随机变量，密度函数
为p(x),若 | (t) | dt ,则 p(x) 1 eitx(t)dt 2
二、给定 n 和概率，求 y
例4 P237 15 设一家有500间客房的大旅馆的每间 客房装有一台2kw的空调机.若开房率为80%， 问需要多少kw的电力才能有99%的可能性保证 有足够的电力使用空调机？
第53页
三、给定 y 和概率，求 n
例5 用调查对象中的收看比例 作为某电
视节目的收视率 p 的估计 pˆ . 要有 90％ 的把握，使调查所得收视率 pˆ与实际收
第44页
练习 P238 6 某汽车销售点每天出售的汽车数服 从参数为λ＝2的泊松分布，若一年365天都经 营汽车销售，且每天出售的汽车数相互独立， 求一年中售出700辆以上汽车的概率.
第45页
例2 P238 4 掷一颗骰子100次，记第i次掷出的点
数为Xi , i=1,2,…,100,试求概率
å P{3 ＃ 1
性质4.1.1 |(t)| (0)=1
性质4.1.2 (t) (t)
性质4.1.3 aX b(t) eibtX (at)
第7页
性质4.1.4 若 X 与 Y 独立，则
X Y (t) X (t)Y (t)
性质4.1.5 若 E(X l )存在，则对0≤k≤l有
(k)(0) ik E(X k )
概率论与数理统计4-2 随机变量序列的收敛性
则P(
2 n
)
=P{( n n )（k M）} +P{( n n )（k M）}
P( 2 >M-1)+P( n 1)<2
P( n
（由例4.3给出例证，请大家看书！）
定理4.5 随机变量序列n P P c, (c为常数）
的充分必要条件是
Fn (x) W F (x)
这里的F
(x)是
c的分布函数，即
F(x)=
1,x>c 0,x
c
证明：下证充分性. 0,有
Pn c P(n c ). P(n c )
则对x x x, 有
F( x)
lim
n
Fn
(x)
lnimFn
(x)
F
(
x)
令x x, x x,得
F(
x-0)
lim
n
Fn
(
x)
lnimFn
(
x)
F
(
x+0)
若x是F(x)的连续点,则lim n
Fn
(x)
F
(x)
注：这个定理的逆命题不成立。
1 Fn (c ) Fn (c 0)
11 0 0, n
斯鲁茨定理：设{1n },{ 2n },...{ kn }是k个
随机变量序列，且in P ai , (i 1, 2...)
又R(x ,x 1
2
...xk
)是k元变量的有理函数，
如果F(x)的每一x,有
随机变量序列的几种收敛性
本科毕业论文题目：随机变量序列的几种收敛性及其关系学院：数学与计算机学院班级：数学与应用数学2008级八班姓名：薛永丽指导教师：丁平仁职称：副教授完成日期：2012 年5月10 日随机变量序列的几种收敛性及其关系摘要：本文主要对随机变量序列的四种收敛性：a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r—阶收敛的概念、性质进行阐述；并结合具体实例讨论了它们之间的关系，进一步对概率论中依分布收敛的等价条件和一些依概率收敛的弱大数定律进行了具体的研究.关键字：随机变量序列收敛分布函数目录1.引言 .................................................................... 12.a.e.收敛、依概率收敛、依分布收敛、r —阶收敛的概念、性质以及它们之间的关系.2.1 a.e.收敛的概念及性质 ................................................................................................... 1 2.2 依概率收敛的概念及性质 .............................................................................................. 2 2.3依分布收敛的概念及性质 ............................................................................................... 3 2.4 r —阶收敛的概念及性质 .................................................................................................. 5 3.随机变量序列依分布收敛的等价条件. (6)4.随机变量∑=nk k n 11ξ依概率收敛的一些结果 (9)5.小结. .................................................................. 12 6.参考文献 (12)1.引言：在数学分析和实变函数中“收敛性”极为重要，特别在实变函数中对可测函数列收敛性的讨论。
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依分布收敛、弱收敛
对分布函数列 {Fn(x)}而言，点点收敛要求太高.
1 n
P( X n
) 1, n 1, 2, , P( X 0 0) 1,
P 则 X n X
0
问题：是否对 x R, 均有
答案是否定的
FX ( x) FX ( x) ?
n 0
事实上
1 0, x n FX ( x ) n 1, x 1 n
例如
令Ω=[0,1], F为[0,1]上所有波雷尔集构成的σ域
P为[0,1]上的勒贝格测度（长度） 令 n
i
1, 0,
[( i 1 ) / n , i / n ], [( i 1 ) / n , i / n ].
i=1,2,…,n； n=1,2,…. 考虑随机变量序列{
0, x 0 g ( x) 1, x 0
并非分布函数
在很多情况下，要想依概率收敛的随机变量序列 对应的分布函数列“点点收敛”到某一分布函数是不 可能的。
但若对“点点收敛”这一要求进行一定程度的减弱， 则是可行的。
因此我们引进如下的收敛概念：
定义4.3.2 若在 F(x) 的连续点上都有
另外容易验证如下基本事实：若 P( An ) 1, P( Bn ) 1 则 又
P( An Bn ) 1
Why？
{| X n Yn X n b |
{| X n Yn a b | }
2
} {| X n b a b |
2
}
其中
{| X n Yn X n b |
n
lim Fn ( x) F ( x)
则称{Fn(x)} 弱收敛于 F(x) ，记为
W Fn (x) F ( x)
W 相应记 X n X 依分布收敛
依概率收敛与依分布收敛的关系
定理4.3.2
定理4.3.3
P X n X W X n X
P W X n a X n a
§4.3 随机变量序列的收敛性
几种收敛性： i) 依概率收敛；
ii) 按分布收敛；
iii) 几乎处处收敛；
iv)
L
r
收敛
4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1 (依概率收敛)
对于随机变(向)量序列{Yn}来说，若对任意的
>0，有
n
lim P d (Yn ,Y ) 1
则称随机变(向)量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为
{ n } ,
1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 ,
1 1 2 1 2 3
}，并重新记成
则有
n 0
P
，但
n ( ) 极限几乎处处不存在
1
即
X n Yn a b
P
其他结论大家可自行推导。
更一般地，我们有
若 Xn
( a, b)
P
a, Yn
P
b 函数 g ( x, y ) 在点 ，
连续，则
P g ( X n , Yn ) g (a, b)
如何证明?
对于更高维的情形也完全类似。
4.3.2
例4.3.1 设
P{| X n b a b |
从而易得
2
} P{| X n a |
} 1 2|b|
P {| X n Yn X n b | } {| X n b a b | } 2 2
1 P{| X n Yn a b | }
证明见P221-223
说明：定理4.3.2的逆命题并不成立。
例4.3.2（P222）
4.3.3 判断弱收敛的方法
定理4.3.4
L X n X
Xn
(t )
X
(t )
特征函数的连续性定理
表明特征函数与分布函数的一一对应关系对于 极限运算封闭。
补充1
几乎处处收敛
定义1 (几乎处处收敛) 若
Yn
P
Y
大数定律讨论的就是依概率收敛.
依概率收敛的性质
定理4.3.1
若
Xn
P
a, Yn
P
b,
则
(1) {Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.
P (2) ( X n , Yn ) (a, b)
(1) i)
X n Yn a b
P
只需注意到 {| X Y ） a b） } （ n （ | n
{| X n a |
} {| Yn b |
2
}
2
ii)
X n Yn a b
P
P 首先易知：若 Z n c, 则
P{| Z n c | 1 1, }
进而 P{| Z || c | 1} 1, n
L
r
注： 2 时， 称为均方收敛。 r
基本结论
Yn Y
L
r
Yn Y
P
Yn Y Yn Y
P
存在子列 {Yn } ，使得
k
Yn Y
a.s.
k
更多结果参见《测度与概率》(严士健、刘秀芳)
依概率收敛不能推出以概率1收敛：
P lim Yn Y 1,
n
则称随机变量序列{Yn}几乎处处收敛于Y, 记为
Yn Y , a.s.
或
Yn Y
a.s.
补充2
定义2 ( L r 收敛) 若对某 r 0 有
L
r
收敛
E Yn Y 0,
r
则称随机变量序列{Yn} L 收敛于Y, 记为
r
Yn Y
2
}
{| X n || a | 1 {| Yn b | }
2(| a | 1)
}
由此容易看出
P{| X n Yn X n b |
2
} 1
对于 {| X n b a b |
2
},
若 b 0, 则显然有 P{| X n b a b | } 1 2 若 b 0, 则