概率论 4.3 随机变量序列的收敛性(先)

Yn

P
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Y
大数定律讨论的就是依概率收敛.
依概率收敛的性质
定理4.3.1
若
Xn
P
a, Yn

P
b,
则
(1) {Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.
P (2) ( X n , Yn ) (a, b)
(1) i)
X n Yn a b
P{| X n b a b |


从而易得
2
} P{| X n a |
} 1 2|b|

P {| X n Yn X n b | } {| X n b a b | } 2 2
1 P{| X n Yn a b | }
依分布收敛、弱收敛
对分布函数列 {Fn(x)}而言，点点收敛要求太高.
1 n
P( X n
) 1, n 1, 2, , P( X 0 0) 1,
P 则 X n X
0
问题：是否对 x R, 均有
答案是否定的
FX ( x) FX ( x) ?
n 0
事实上
1 0, x n FX ( x ) n 1, x 1 n
§4.3 随机变量序列的收敛性
几种收敛性： i) 依概率收敛；
ii) 按分布收敛；
iii) 几乎处处收敛；
iv)
L
r
收敛
4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1 (依概率收敛)
对于随机变(向)量序列{Yn}来说，若对任意的
>0，有
n
lim P d (Yn ,Y ) 1


则称随机变(向)量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为
P
只需注意到 {| X Y ） a b） } （ n （ | n
{| X n a |


} {| Yn b |

2
}
2
ii)
X n Yn a b
P
P 首先易知：若 Z n c, 则
P{| Z n c | 1 1, }
进而 P{| Z || c | 1} 1, n
另外容易验证如下基本事实：若 P( An ) 1, P( Bn ) 1 则 又
P( An Bn ) 1
Why？
{| X n Yn X n b |
{| X n Yn a b | }
2
} {| X n b a b |

2
}
其中
{| X n Yn X n b |
证明见P221-223
说明：定理4.3.2的逆命题并不成立。
例4.3.2（P222）
4.3.3 判断弱收敛的方法
定理4.3.4
L X n X

Xn
(t )

X
(t )
特征函数的连续性定理
表明特征函数与分布函数的一一对应关系对于 极限运算封闭。
补充1
几乎处处收敛
定义1 (几乎处处收敛) 若
n
lim Fn ( x) F ( x)
则称{Fn(x)} 弱收敛于 F(x) ，记为
W Fn (x) F ( x)
W 相应记 X n X 依分布收敛
依概率收敛与依分布收敛的关系
定理4.3.2
定理4.3.3
P X n X W X n X
P W X n a X n a

2
}
{| X n || a | 1 {| Yn b | }

2(| a | 1)
}
由此容易看出
P{| X n Yn X n b |

2
} 1
对于 {| X n b a b |

2
},
若 b 0, 则显然有 P{| X n b a b | } 1 2 若 b 0, 则
L
r
注： 2 时， 称为均方收敛。 r
基本结论
Yn Y
L
r
Yn Y
P
Yn Y
a.s.
Yn Y
P
Yn Y
P
存在子列 {Yn } ，使得
k
Yn Y
a.s.
k
更多结果参见《测度与概率》(严士健、刘秀芳)
依概率收敛不能推出以概率1收敛：
例如
令Ω=[0,1], F为[0,1]上所有波雷尔集构成的σ域
P为[0,1]上的勒贝格测度（长度） 令 n
i
1, 0,
[( i 1 ) / n , i / n ], [( i 1 ) / n , i / n ].
i=1,2,…,n； n=1,2,…. 考虑随机变量序列{
P lim Yn Y 1,
n


则称随机变量序列{Yn}几乎处处收敛于Y, 记为
Yn Y , a.s.
或
Yn Y
a.s.
补充2
定义2 ( L r 收敛) 若对某 r 0 有
L
r
收敛
E Yn Y 0,
r
则称随机变量序列{Yn} L 收敛于Y, 记为
r
Yn Y
0, x 0 g ( x) 1, x 0
并非分布函数
在很多情况下，要想依概率收敛的随机变量序列 对应的分布函数列“点点收敛”到某一分布函数是不 可能的。
但若对“点点收敛”这一要求进行一定程度的减弱， 则是可行的。
因此我们引进如下的收敛概念：
定义4.3.2 若在 F(x) 的连续点上都有
{ n } ,
1 , 2 , 2 , 3 , 3 , 3 ,
1 1 2 1 2 3
}，并重新记成
则有
n 0
P
，但
n ( ) 极限几乎处处不存在
1
即
X n Yn a b
P
其他结论大家可自行推导。
更一般地，我们有
若 Xn
( a, b)
P
a, Yn

P
b 函数 g ( x, y ) 在点 ，
连续，则
P g ( X n , Yn ) g (a, b)
如何证明?
对于更高维的情形也完全类似。
4.3.2
例4.3.1 设