2018年高考数学复合函数定义

2018年高考数学复合函数定义域及常见函数解析式的求法总结

（1）定义域一定是x的范围,注意力应放在x上,不管已知定义域,还是求定义域,都是指x范围.如f(3x+1)的定义域为[1,2]是指括号内3x+1中的x的范围是[1,2]

（2）求定义域的方法是：凡是f后面括号内的范围是相同的,不管括号内是什么,通过这个求x范围

如f(3x+1)的定义域为[1,2]求f(x)定义域

由条件可得整个括号内的范围为[4,7]

而f(x)中,括号内只有x,故定义域即为[4,7]

再如f(3x+1)的定义域为[1,2]求f(1-2x)定义域

由上可知括号内范围[4,7]

故1-2x的范围也是[4,7]

解不等式4≤1-2x≤7得出的x范围即为所求的定义域

函数解析式的七种求法

一）求函数的解析式

1、函数的解析式表示函数与自变量之间的一种对应关系，是函数与自变量建立联系的一座桥梁，其一般形式是y＝f（x），不能把它写成f（x，y）＝0；

2、求函数解析式一般要写出定义域，但若定义域与由解析式所确定的自变量的范围一致时，可以不标出定义域；一般地，我们可以在求解函数解析式的过程中确保恒等变形；

3、求函数解析式的一般方法有：

（1）直接法：根据题给条件，合理设置变量，寻找或构造变量之间的等量关系，列出等式，解出y。

（2）待定系数法：若明确了函数的类型，可以设出其一般形式，然后代值求出参数的值；（3）换元法：若给出了复合函数f［g（x）］的表达式，求f（x）的表达式时可以令t＝g（x），以换元法解之；

（4）构造方程组法：若给出f（x）和f（－x），或f（x）和f（1/x）的一个方程，则可以x 代换－x（或1/x），构造出另一个方程，解此方程组，消去f（－x）（或f（1/x））即可求出f （x）的表达式；

（5）根据实际问题求函数解析式：设定或选取自变量与因变量后，寻找或构造它们之间的等量关系，列出等式，解出y的表达式；要注意，此时函数的定义域除了由解析式限定外，还受其实际意义限定。

（二）求函数定义域

1、函数定义域是函数自变量的取值的集合，一般要求用集合或区间来表示；

2、常见题型是由解析式求定义域，此时要认清自变量，其次要考查自变量所在位置，位置决定了自变量的范围，最后将求定义域问题化归为解不等式组的问题；

3、如前所述，实际问题中的函数定义域除了受解析式限制外，还受实际意义限制，如时间变量一般取非负数，等等；

4、对复合函数y＝f［g（x）］的定义域的求解，应先由y＝f（u）求出u的范围，即g（x）的范围，再从中解出x的范围I1；再由g（x）求出y＝g（x）的定义域I2，I1和I2的交集即为复合函数的定义域；

5、分段函数的定义域是各个区间的并集；

6、含有参数的函数的定义域的求解需要对参数进行分类讨论，若参数在不同的范围内定义域不一样，则在叙述结论时分别说明；

~1/3~

7、求定义域时有时需要对自变量进行分类讨论，但在叙述结论时需要对分类后求得的各个集合求并集，作为该函数的定义域；

（三）求函数的值域

1、函数的值域即为函数值的集合，一般由定义域和对应法则确定，常用集合或区间来表示；

2、在函数f：A→B中，集合B未必就是该函数的值域，若记该函数的值域为C，则C是B 的子集；若C＝B，那么该函数作为映射我们称为“满射”；

3、分段函数的值域是各个区间上值域的并集；

4、对含参数的函数的值域，求解时须对参数进行分类讨论；叙述结论时要就参数的不同范围分别进行叙述；

5、若对自变量进行分类讨论求值域，应对分类后所求的值域求并集；

6、求函数值域的方法十分丰富，应注意总结

函数解析式的七种求法

一、待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法。

例1有一年全国高考题副题有一道题是这样的：分解因式x x－2x y＋y y＋2x－2y－3.

分析待定系数法是初中数学的一个重要方法,我们用这个方法来解这道题：先看多项式中的二次项x x－2x y＋y y,可以分解成（x－y）（x－y）.因此,如果多项式能分解成两个关于x、y 的一次因式的乘积,那么这两个因式必定是（x－y＋m）（x－y＋n）的形式,其中m、n为待定系数,只要能求出m和n的值,多项式便能分解.

解设x x－2x y＋y y＋2x－2y－3＝(x－y＋m)(x－y＋n)＝x x－2x y＋y y＋(m＋n)x＋(－m－n)y＋m n 两个多项式恒等,它们的对应项的系数就对应相等.

∴解之,得m＝－1，n＝3

∴x x－2x y＋y y＋2x－2y－3＝(x－y－1)(x－y＋3)

通过本例可知,用待定系数法分解因式,就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积,这些因式中的系数可先用字母表示,它们的值是待定的,由于这些因式的连乘积与原式恒等,然后根据恒等原理,建立待定系数的方程组,最后解方程组即可求出待定系数的值.

该题最简捷的方法是分组,利用整体思维法（把x－y看成一个整体进行思考）分解因式.

解原式＝(x x－2x y＋y y)＋(2x－2y)－3

＝(x－y)(x－y)＋2(x－y)－3

＝(x－y－1)(x－y＋3)

二、配凑法：已知复合函数的表达式，求的解析式，的表达式容易配成的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数的定义域不是原复合函数的定义域，而是的值域。

例2已知f(x+1)=x^2-2x,求f(x)

令x+1=t，x=t-1

则f（t）=（t-1）²-2（t-1）

=t²-2t+1-2t+2

=t²-4t+3

所以f(x)=x^2-4x+3

用t代换的时候，显然t可以为所有实数R，

如果x也可以为所有实数R的话，那么f(t)和f(x)表示的就是同一个函数

所以最后可以直接把t换成x.

三、换元法：已知复合函数的表达式时，还可以用换元法求的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

例3已知已知f((x+1)/x)=(x^2+1)/x^2+1/x.求函数f(x)的解析式.

（用的换元法）：

设t=(x+1)/x(x≠0).

则x=1/(t-1),t≠1.

∴f(t)=(x^2+1)/x^2+1/x

=(1/(t-1))^2+1)/(1/(t-1))^2+1/(1/(t-1))

=t^2-t+1.

∴f(x)=x^2-x+1(x≠1,且x≠0).

四、代入法：求复合函数函数时，一般用代入法。