2014高三数学文科中档小题练能力——不丢分(七)
2014高考数学(人教版,文科)二轮专题知能专练：保分大题规范专练3
保分大题规范专练（三）1．（2013·新课标全国卷Ⅰ)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药）的疗效，随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）．试验的观测结果如下:服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:0．6 1。
2 2。
7 1。
5 2。
8 1。
8 2。
2 2。
3 3.2 3。
5 2．5 2.6 1.2 2。
7 1。
5 2。
9 3.0 3.1 2。
3 2。
4服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：3．2 1。
7 1。
9 0。
8 0.9 2.4 1。
2 2。
6 1.3 1。
41．6 0。
5 1。
8 0.6 2.1 1。
1 2.5 1.2 2。
7 0.5（1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？（2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好？2．(2013·安徽高考)设数列｛a n｝满足a1＝2，a2＋a4＝8,且对任意n∈N*,函数f（x)＝(a n－a n＋1＋a n＋2)x＋a n＋1cos x－a n＋2sin x满足f′错误!＝0.(1)求数列{a n｝的通项公式;(2）若b n＝2错误!,求数列｛b n｝的前n项和S n。
3．(2013·惠州调研）如图所示,在棱长为2的正方体ABCD。
A1B1C1D1中，E，F分别为DD1,DB的中点．（1）求证:EF∥平面ABC1D1；（2)求证：CF⊥B1E；（3)求三棱锥B1。
EFC的体积．4．(2013·陕西检测)已知函数f（x)＝错误!sin错误!cos错误!＋cos2错误!－错误!,△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)求f（x）的单调递增区间；（2）若f（B＋C)＝1，a＝错误!，b＝1，求角C的大小．5．已知四边形ABCD是等腰梯形，AB＝3，DC＝1，∠BAD＝45°，DE⊥AB(如图①)．现将△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如图②)，连结AC，AB，设M是AB的中点．(1)求证:BC⊥平面AEC；(2）判断直线EM是否平行于平面ACD,并说明理由．6．某种商品原来每件售价为25元,年销售8万件．（1）据市场调查，若价格每提高1元,销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元?(2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x元．公司拟投入错误!（x2－600）万元作为技改费用,投入50万元作为固定宣传费用，投入15x万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时商品的每件定价．答案保分大题规范专练（三)1．解：（1)设A药观测数据的平均数为错误!,B药观测数据的平均数为错误!。
高三文科数学小题分层练7_中档小题保分练(3)
小题分层练(七) 中档小题保分练(3)(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ax 2＋1(x ≥0)(a －2)e x (x ＜0)为R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A ．(2,3]B ．(2，＋∞)C ．(－∞，3)D ．(2,3)2．(2018·湖南益阳高三调研)将函数f (x )＝cos(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|＜π2的图象向右平移π3个单位后得到函数g (x )的图象，若g (x )的图象关于直线x ＝π4对称，则θ＝( )A.π6B.π12 C ．－π6 D. －π123．阅读如图39所示的程序图，运行相应的程序，若输出的S 为1112，则判断框中填写的内容可以是( )图39A ．n ＝6?B ．n ＜6?C ．n ≤6?D ．n ≤8?4．已知不等式组⎩⎨⎧ 3x ＋4y －10≥0，x ≤4，y ≤3表示区域D ，过区域D 中任意一点P 作圆x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 、B ，当∠APB 最大时，cos ∠APB ＝( )A.32B.12 C ．－32 D ．－125.玉琮是古代祭祀的礼器，如图为西周时期的“凤鸟纹饰”玉琮，其形对称，呈扁矮方柱状，内圆外方，前后对穿圆孔，两端留有短射，蕴含古人“璧圆象天，琮方象地”的天地思想，该玉琮的三视图及尺寸数据(单位：cm)如图所示．根据三视图可得该玉琮的体积(单位：cm 3)为( )A ．256＋14πB ．256＋16πC ．256－29πD ．256－22π6．(2018·菏泽一模)已知在等差数列{a n }中，a 1＝1，a 3＝2a ＋1，a 5＝3a ＋2，若S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，且S k ＝66，则k 的值为( )A. 9B. 11C. 10D. 127．设函数f (x )在R 上可导，其导函数为f ′(x )，且函数y ＝(1－x )f ′(x )的图象如图40所示，则下列结论中一定成立的是( )图40A ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (1)B ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (1)C ．函数f (x )有极大值f (2)和极小值f (－2)D ．函数f (x )有极大值f (－2)和极小值f (2)8．(2018·兰州一模)已知圆C ：x 2＋y 2＝16，直线l ：y ＝x ，则圆C 上任取一点A 到直线l 的距离大于2的概率是( )A.34B.23C.12D.139．(2018·山东济南高三一模)已知双曲线C ：x 29－y 24＝1的两条渐近线是l 1，l 2，点M 是双曲线C 上一点，若点M 到渐近线l 1距离是3，则点M 到渐近线l 2距离是( )A.1213B. 1C.3613D. 310．(2018·山西孝义高三一模) 有编号依次为1,2,3,4,5,6的6名学生参加数学竞赛选拔赛，今有甲、乙、丙、丁四位老师在猜谁将获得第一名，甲猜不是3号就是5号；乙猜6号不可能；丙猜2号，3号，4号都不可能；丁猜是1号，2号，4号中的某一个．若以上四位老师中只有一位老师猜对，则猜对者是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁11. (2018·芜湖一模)如图51，在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，H 为EF 的中点，沿AE ，EF ，FA 将正方形折起，使B ，C ，D 重合于点O ，在构成的四面体A -OEF 中，下列结论中错误．．的是( )A ．AO ⊥平面EOFB ．直线AH 与平面EOF 所成角的正切值为2 2C ．四面体A -OEF 的外接球表面积为6πD ．异面直线OH 和AE 所成角为60°12．(2018·河南商丘高三二模)定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )＋f (x )＞1，f (0)＝5，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x (f (x )－1)＞4(其中e 为自然对数的底数)的解集为( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)∪(3，＋∞)C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)D ．(3，＋∞)二、填空题13．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________． 14．(2018·马鞍山二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos 2A ＋3cos A ＝1，b ＝5，△ABC 的面积S ＝53，则△ABC 的周长为________．15．(2018·维吾尔自治区高三二模)在一次数学测试中，甲、乙、丙、丁四位同学中只有一位同学得了满分，他们四位同学对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分．其中只有一位同学说的是真话，据此，判断考满分的同学是________．16．(2018·重庆高三二模)边长为2的等边△ABC 的三个顶点A ，B ，C 都在以O为球心的球面上，若球O 的表面积为148π3，则三棱锥O -ABC 的体积为________．习题答案1. 答案：A解析：[若f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎨⎧ a ＞0a －2＞0a －2≤1，解得2<a ≤3； 若f (x )在R 上单调递减，则有⎩⎨⎧ a ＜0a －2＜0a －2≥1，无解，综上实数a 的取值范围是(2,3]，故选A.]2. 答案：A 解析：[由题意知，g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋θ＝cos2x －2π3＋θ，令2x －2π3＋θ＝k π，即函数g (x )的对称轴为x ＝π3－θ2＋k π2，又|θ|＜π2，当k ＝0时，有π3－θ2＝π4，解得θ＝π6，故选A.]3. 答案：C解析：[S ＝0，n ＝2，判断是，S ＝12，n ＝4，判断是，S ＝12＋14＝34，n ＝6，判断是，S ＝12＋14＋16＝1112，n ＝8，判断否，输出S ，故填n ≤6.]4. 答案：B解析：[画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，易知当点P 到点O 距离最小时，∠APB 最大，此时|OP |＝|3×0＋4×0－10|32＋42＝2，又OA ＝1，故∠OPA ＝π6，∴∠APB ＝π3，∴cos ∠APB ＝12.]5. 答案：D解析：[由三视图可知该几何体的体积为8×8×4－π×32×4＋[π×42×2－π×32×2]＝256－22π，故选D.]6. 答案：B解析： [因为在等差数列中，第一项、第三项、第五项分别为1,2a ＋1,3a ＋2，所以2(2a ＋1)＝1＋3a ＋2，解得a ＝1，所以公差d ＝2a ＋1－12＝2a 2＝1，所以S k ＝k ×1＋k (k －1)2×1＝66，解得k ＝11或k ＝－12(舍)，故选B.]7. 答案：D解析：[①当x ＜－2时，1－x ＞0.∵(1－x )f ′(x )＞0，∴f ′(x )＞0，即f (x )在(－∞，－2)上是增函数．②当－2＜x ＜1时，1－x ＞0.∵(1－x )f ′(x )＜0，∴f ′(x )＜0，即f (x )在(－2,1)上是减函数．③当1＜x ＜2时，1－x ＜0.∵(1－x )f ′(x )＞0，∴f ′(x )＜0，即f (x )在(1,2)上是减函数．④当x ＞2时，1－x ＜0.∵(1－x )f ′(x )＜0，∴f ′(x )＞0，即f (x )在(2，＋∞)上是增函数．综上：f (－2)为极大值，f (2)为极小值．]8. 答案：B 解析：[如图所示，设直线l 1，l 2与直线y ＝x 之间的距离为d ＝2，弧ACB 和弧EFG 上的点满足题意，且sin ∠DBO ＝OD OB ＝24＝12，∴∠DBO ＝30°，由角度型几何概型计算公式可得圆C 上任取一点A 到直线l 的距离大于2的概率：P ＝120°×2360°＝23.]9. 答案：A解析：[双曲线C ：x 29－y 24＝1的两条渐近线方程分别为2x ±3y ＝0，设M (x 1，y 1)为双曲线C 上一点，则x 219－y 214＝1，即4x 21－9y 21＝36，点M 到两条渐近线距离之积为k ＝|2x 1－3y 1|22＋32·|2x 1＋3y 1|22＋32＝|4x 21－9y 21|13＝3613为常数，所以当点M 到渐近线l 1距离是3，则M 点到渐近线l 2距离是3613÷3＝1213，选A.]10. 答案：C解析：[若甲猜对，则乙也猜对，故不满足题意；若乙猜对则丁也可能猜对，故不正确；若丁猜对，则乙也猜对，故也不满足条件．而如果丙猜对，其他老师都不会对．]11. 答案：D解析：[因为AO ⊥OE ，AO ⊥OF ，所以AO ⊥平面EOF ；直线AH 与平面EOF 所成角为∠AHO ，所以tan ∠AHO ＝AO OH ＝214×22＝2 2.四面体A -OEF 的外接球直径为以OA ，OE ，OF 为长宽高的长方体对角线长，即 2R ＝22＋12＋12＝6，所以外接球表面积为4πR 2＝6π.取AF 中点M (图略)，则异面直线OH 和AE 所成角为∠OHM ，所以cos ∠OHM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222－⎝ ⎛⎭⎪⎫5222×52×22≠12，所以D 错误．] 12. 答案：A解析：[设g (x )＝e x (f (x )－1)，∴g ′(x )＝e x (f (x )－1)＋e x f ′(x )＝e x (f (x )＋f ′(x )－1)，∵f (x )＋f ′(x )＞1，∴g ′(x )＞0，∴函数g (x )在R 上单调递增．∵f (0)＝5，∴g (0)＝4，∵e x (f (x )－1)＞4，∴g (x )＞g (0)，∴x ＞0.]13. 答案：[－4,2]解析：[由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎨⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1，解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2， 故所求x 的取值范围是[－4,2]．]14. 答案：9＋21解析：[∵cos 2A ＋3cos A ＝1，∴2cos 2A ＋3cos A －2＝0，解得cos A ＝12或cos A ＝－2(舍去)，∴sin A ＝32，又∵S ＝53，b ＝5，∴12bc sin A ＝12×5×c ×32＝53，∴c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝25＋16－2×5×4×12＝21，即a＝21，∴△ABC 的周长为5＋4＋21＝9＋21.]15. 答案：甲解析：[如果甲说的是真话，则乙、丙、丁都是假话，此时丙与丁是矛盾的，所以不成立；如果乙说的是真话，则甲、丙、丁都是假话，此时甲与丁是矛盾的，所以不成立； 如果丙说的是真话，则甲、乙、丁都是假话，此时甲与丙是矛盾的，所以不成立； 所以只有丁说的是真话，此时甲、乙、丙都是假话，可推得甲得了满分， 故考满分的同学是甲．]16. 答案：333解析：[设球半径为R ，则4πR 2＝148π3，解得R 2＝373.设△ABC 所在平面截球所得的小圆的半径为r ，则r ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫32×2＝233. 故球心到△ABC 所在平面的距离为d ＝R 2－r 2＝373－43＝11，即为三棱锥O -ABC 的高，所以V O -ABC ＝13dS △ABC ＝13×11×⎝ ⎛⎭⎪⎫34×22＝333.]。
2014年高考数学(理)二轮专练：中档小题(7)及答案解析
中档小题(七)1．下列函数中，不满足f (1x)＝－f (x )的是( ) A ．f (x )＝1－x 1＋x(x ≠－1且x ≠0) B ．f (x )＝x ＋1x －1(x ≠1且x ≠0) C ．f (x )＝log 2x (x >0)D ．f (x )＝x 2(x ≠0)2．一个半径为2的球体经切割后，剩余部分的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．8πB ．16πC ．12πD ．18π3．已知a ，b 为两条不同直线，α为一平面，则命题“直线a ⊥平面α，∀b ⊂α，a 与b 垂直”的否定是( )A ．直线a ⊥平面α，∀b ⊂α，a 与b 不垂直B ．直线a ⊥平面α，∃b 0⊂α，a 与b 0不垂直C ．直线a ⊥平面α，∃b 0⊂α，a 与b 0垂直D ．直线a ⊥平面α，a 与b 垂直，b ⊄α4．(2013·江西省高三上学期七校联考)设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝( )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－50 5．已知圆C 的圆心是双曲线x 2－y 23＝1的右焦点，且与双曲线的渐近线相切，则该圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝3C ．(x －2)2＋y 2＝3D ．x 2＋(y －3)2＝26．(2013·吉林省长春市高中毕业班第一次调研测试)关于函数f (x )＝sin(2x ＋π4)与函数g (x )＝cos(2x －3π4)，下列说法正确的是( ) A ．函数f (x )和g (x )的图象有一个交点在y 轴上B ．函数f (x )和g (x )的图象在区间(0，π)内有3个交点C ．函数f (x )和g (x )的图象关于直线x ＝π2对称 D ．函数f (x )和g (x )的图象关于原点(0，0)对称7．(2013·湖北省武汉市高中毕业生调研测试)样本(x 1，x 2，…，x m )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y n )的平均数为y (x ≠y )．若样本(x 1，x 2，…，x m ，y 1，y 2，…，y n )的平均数z ＝αx＋(1－α)y ，其中0<α≤12，则m ，n 的大小关系为( ) A ．m <n B ．m ≤nC ．m >nD ．m ≥n8．(2013·高考湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( ) A.2－1 B. 2C.2＋1D.2＋29．(2013·洛阳市高三年级统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( )A.53B.83C.103D ．10 10．把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，…，依次循环的规律分为(1)，(3，5)，(7，9，11)，(13)，(15，17)，(19，21，23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( )A ．98B ．197C ．390D ．39211．向平面区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤1}内随机投入一点，则该点落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤1，x ≥0，y ≥0内的概率等于________．12．某市为增强市民节约粮食的意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25)，第2组[25，30)，第3组[30，35)，第4组[35，40)，第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．若用分层抽样的方法从第3，4，5组中共抽取12名志愿者参加10月16日的“世界粮食日”宣传活动，则从第4组中抽取的人数为________．13．已知一圆柱内接于球O ，且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球O 的表面积为________．14．(2013·石家庄市高中毕业班复习教学质量检测(二))在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内(含边界)任意一点，则AE →·AF →的最大值为________．备选题1．在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，则AB 的长为( )A ．2 3B ．3 5C ．5 6D ．7 22．(2013·湖北省八校高三第二次联考)定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系．在平面斜坐标系xOy 中，若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别是斜坐标系x 轴，y 轴正方向上的单位向量，x ，y ∈R ，O 为坐标系原点)，则有序数对(x ，y )称为点P 的斜坐标．在平面斜坐标系xOy 中，若∠xOy ＝120°，点C 的斜坐标为(2，3)，则以点C 为圆心，2为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＋6y ＋9＝0C ．x 2＋y 2－x －4y －xy ＋3＝0D ．x 2＋y 2＋x ＋4y ＋xy ＋3＝03．已知函数y ＝f (x )的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )，若向量a ＝(log 12m ，－1)，b ＝(1，－2)，则满足不等式f (a ·b )<f (－1)的实数m 的取值范围是________．4．现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm ，最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n ＝________．答案1．【解析】选D.本题可通过依次检验选项是否满足f (－x )＝1f （x ）得到D 选项不满足；也可赋值令x ＝1得f (1)＝0；令x ＝－1得f (－1)＝0，而对于函数f (x )＝x 2，f (±1)＝1，故选D.2．【解析】选B.该几何体是从一个球体中挖去14个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为34×4×π×22＋π×22＝16π. 3．【解析】选B.该命题的否定是“直线a ⊥平面α，∃b 0⊂α，a 与b 0不垂直”．4．【解析】选A.依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 40＝10＋20＋40＋80＝150. 5．【解析】选C.由题意可知双曲线的右焦点的坐标为(2，0)，渐近线为3x ±y ＝0，所以r ＝23（3）2＋1＝3，所以圆的方程是(x －2)2＋y 2＝3. 6．【解析】选D.y ＝cos(2x －3π4)＝cos(2x －π4－π2)＝cos[π2－(2x －π4)]＝sin(2x －π4)与y ＝sin(2x ＋π4)的图象关于原点对称． 7．【解析】选B.由题意可得x ＝x 1＋x 2＋…＋x m m， y ＝y 1＋y 2＋…＋y n n， z ＝x 1＋x 2＋…＋x m ＋y 1＋y 2＋…＋y n m ＋n ＝mx ＋ny m ＋n ＝m m ＋n x ＋n m ＋n y ，则0<α＝m m ＋n ≤12，∴m ≤n .故选B.8．【解析】选C.∵a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1.又a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴|a ＋b |＝ 2.∴|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1.∴c 2－2c ·(a ＋b )＋1＝0，∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∴c 2＋1＝2|c ||a ＋b |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)．∴c 2＋1＝22|c |cos θ≤22|c |.∴c 2－22|c |＋1≤0.∴2－1≤|c |≤2＋1.∴|c |的最大值为2＋1.9．【解析】选B.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0.过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝3（x 2＋1）x 1x 2＝y 214·y 224＝（y 1y 2）216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83. 10．【解析】选D.将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n －1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n －1}的第16×6＋2＝98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.11．【解析】如图所示落在阴影部分内的概率为14π. 【答案】14π12．【解析】根据图形可知第3，4，5组的频率成等差数列，故各组抽取的人数也成等差数列，所以从第4组抽取了123＝4人． 【答案】413．【解析】该组合体的轴截面如图，可得球的半径为2，其表面积为4π(2)2＝8π.【答案】8π14．【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则E (2，12)，设F (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤y ≤1， AE →·AF →＝2x ＋12y ，令z ＝2x ＋12y ，当z ＝2x ＋12y 过点(2，1)时，AE →·AF →取最大值92.【答案】92备选题1．【解析】选C.如图，在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12， 所以∠ADC ＝120°，故∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝AD sin B ，所以AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6. 2．【解析】选C.设圆上任一点P (x ，y )，则CP →＝(x －2)e 1＋(y －3)e 2，|CP →|2＝(x －2)2＋2(x－2)(y －3)e 1·e 2＋(y －3)2＝(x －2)2＋2(x －2)(y －3)(－12)＋(y －3)2＝4，故所求方程为x 2＋y 2－x －4y －xy ＋3＝0.3．【解析】因为函数y ＝f (x )的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数y ＝f (x )为开口向下、以x ＝1为对称轴的二次函数，所以f (－1)＝f (3)．又因为a ·b ＝log 12m ＋2，所以不等式f (a ·b )<f (－1)即为不等式log 12m ＋2<－1或log 12m ＋2>3，解得m >8或0<m <12. 【答案】(0，12)∪(8，＋∞) 4．【解析】设自上而下各节的长度组成等差数列{a n }，则a 1＝10，a n －2＋a n －1＋a n ＝114，a 1a n ＝a 26.设等差数列的公差为d (d ≠0)，则3a 1＋(3n －6)d ＝114，a 21＋(n －1)a 1d ＝a 21＋10a 1d＋25d 2，即10＋(n －2)d ＝38，(n －11)×10＝25d ，即(n －2)d ＝28，(n －11)×2＝5d ，两式相乘得(n －2)·(n －11)＝70，解得n ＝16.【答案】16。
高三文科数学中档题训练2
高三文科数学中档题训练（2）1、已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a b c 、、,向量(4,1),m =-2(cos ,cos 2)2A n A =，且72m n ⋅= ． （1）求角A 的大小； （2）若3a =b c ⋅取得最大值时ABC ∆形状．2、某校高三数学竞赛初赛考试后，对考生的成绩进行统计（考生成绩均不低于90分，满分150分），将成绩按如下方式分成六组，第一组[)100,90、第二组[)110,100…第六组[]150,140. 图（1）为其频率分布直方图的一部分，若第四、五、六组的人数依次成等差数列，且第六组有4人.（Ⅰ）请补充完整频率分布直方图，并估计这组数据的平均数M; （Ⅱ）若不低于120分的同学进入决赛，不低于140分的同学为种子选手，完成下面22⨯列联表（即填写空格处的数据）。
[)140,120 []150,140合计 参加培训 5 8 未参加培训合计43、如图，一简单组合体的一个面ABC 内接于圆O ，AB 是圆O 的直径，四边形DCBE 为平行四边形，且DC ⊥平面ABC ． （1）证明：平面ACD ⊥平面ADE ； （2）若2AB =，1BC =，3tan 2EAB ∠=，试求该简单组合体的体积V ．高三数学中档题训练（2）答案1、解：由已知24cos cos 22A m n A ⋅=- 21cos 4(2cos 1)2A A +=⋅--22cos 2cos 3A A =-++ 又因为77,2cos 322m n A A ⋅=++=2所以-2cos 解得1cos 2A = 0,3A A ππ<<∴=（Ⅱ）在2222cos ,3ABC a b c bc A a ∆=+-=中，且，2221(3)22b c bc ∴=+-⋅22b c bc =+-。
222,32b c bc bc bc +≥∴≥-， 即3,bc ≤当且仅当3b c b c ==⋅时，取得最大值,又由（Ⅰ）知,,33A B C ππ=∴==故b c ⋅取得最大值时，ABC ∆为等边三角形．2、解：（Ⅰ）设第四，五组的频率分别为y x ,，则10005.02⨯+=x y ①10)035.002.0015.0005.0(1⨯+++-=+y x ②由①②解得15.0=x ，10.0=y (2分) 从而得出直方图（如图所示）(4分)5.11405.01451.013515.012535.011515.01052.095=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=M (6分)（Ⅱ）依题意，进入决赛人数为24)05.010.015.0(05.04=++⨯，进而填写列联表如下：[)140,120 []150,140 合计 参加培训5 3 8 未参加培训15 1 16 合计20 4 243、解析：（１）证明：∵ DC ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ∴DC BC ⊥． …….1分∵AB 是圆O 的直径 ∴BC AC ⊥且DC AC C =∴BC ⊥平面ADC ．…………………3分∵四边形DCBE 为平行四边形 ∴DE//BC ∴DE ⊥平面ADC …………………5分又∵DE ⊂平面ADE ∴平面ACD ⊥平面ADE …………..6分（2）所求简单组合体的体积：E ABC E ADC V V V --=+∵2AB =，1BC =， 3tan 2EB EAB AB ∠== ∴3BE =223AC AB BC -=∴111362E ADC ADC V S DE AC DC DE -∆=⋅=⋅⋅= 111362E ABCABC V S EB AC BC EB -∆=⋅=⋅⋅= ∴该简单几何体的体积1V =……………………..12分。
高考文科数学中档题训练1(教师版)
文科高考数学中档题系列（1）1.已知函数π124()πsin 2x f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求()f x 的概念域（Ⅱ）若角α在第一象限且3cos 5α=，求()f α． 解：（Ⅰ） 由πsin 02x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭得ππ2x k ≠-+，即ππ2x k ≠-()k ∈Z ． 故()f x 的概念域为π|π2x x k k ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭R Z ，．（Ⅱ）由已知条件得4sin 5α===．从而π124()πsin 2f ααα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ1cos 2cos sin 2sin 44cos ααα⎫+⎪⎝⎭= 21cos 2sin 22cos 2sin cos cos cos ααααααα+++==142(cos sin )5αα=+=．2. 已知集合{2,0,1,3},A =-在平面直角坐标系中，点M(x,y)的坐标,x A y A ∈∈。
（1）请列出点M 的所有坐标； （2）求点M 不在x 轴上的概率；（3）求点M 正好落在区域5000x y x y +-<⎧⎪>⎨⎪>⎩上的概率。
解：（1）集合A ＝{-2,0,1,3},点M(x,y)的坐标,x A y A ∈∈，∴点M 坐标共有：4416⨯=个，别离是：（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（0,-2），（0,0），（0,1），（0,3）；（1,-2），（1,0），（1,1），（1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3）.4分（2）点M 不在x 轴上的坐标共有12种：（-2,-2），（-2,0），（-2,1），（-2,3）；（1,-2），（1,0），（1,1），（1,3）；（3,-2），（3,0），（3,1），（3,3） 所以点M 不在x 轴上的概率是1123164P ==…………………..8分 （3）点M 正好落在区域5000x y x y +-<⎧⎪>⎨⎪>⎩上的坐标共有3种：（1,1），（1,3），（3,1）故M 正好落在该区域上的概率为2316P =…………………12分 3. 在几何体ABCDE 中，∠BAC=2π，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，F 是BC 的中点，AB=AC=BE=2，CD=1（Ⅰ）求证：DC ∥平面ABE ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面BCDE ；（Ⅲ）求证：平面AFD ⊥平面AFE ． 解：(Ⅰ) ∵DC⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ∴DC ⊄⊂⊂x x ax x f ln 221)(2-+=0=a )(x f （2）当0≠a 时，若)(x f 是减函数，求a 的取值范围；解：（1）∵x x ax x f ln 221)(2-+=当a=0时，x x x f ln 2)(-=，则xx f 12)('-= ……………………2分 ∴)(),(',x f x f x 的转变情形如下表ABCDEF…………………………………………………………5分∴当21=x 时，)(x f 的极小值为1+ln2，函数无极大值. ……………………7分 （2）由已知，得，则且0,ln 221)(2>-+=x x x ax x fxx ax x ax x f 1212)('2-+=-+= ………………9分∵函数)(x f 是减函数∴0)('≤x f 对x>0恒成立，即不等式 0122≤-+x ax 对0>x 恒成立……11分由二次函数的性质可得 ⎩⎨⎧≤+=∆<0440a a …………………………13分解得 a a ，即1-≤的取值范围是 ]1,(--∞ ………………14分。
2014年高考数学有答案高三数学中档题2
高三数学中档题21．有3张奖券，其中2张可中奖，现有3个人按顺序依次从中抽一张，小明最后抽，则他抽到中奖券的概率是2．若函数a x x x f +-=3)(3有3个不同 的零点，则实数a 的取值范围是 ，3．已知函数⎩⎨⎧≥-<=)4(),1()4(,2)(x x f x x f x ，那么)5(f = ；4．如图所示的算法流程图中第3个输出的数 是 ；5．若a,b ≤恒成立，则m 的最小值是 ．6．已知函数x x f x2log )31()(-=，正实数a 、b 、c 成公差为正数的等差数列，且满足 0)()()(<c f b f a f ，若实数d 是方程0)(=x f的一个解，那么下列四个判断：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >中，有可能成立的个数为7．已知椭圆C 以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,且椭圆C 以抛物线216x y =的焦点为焦点,以双曲线221169y x -=的焦点为顶点,则椭圆C 的标准方程为8．若直线022=+-by ax ),(R b a ∈始终平分圆014222=+-++y x y x 的周长，则ab 的最大值是9．函数)13(log )(222++-=a ax x x f 的定义域为A ，值域为B ； （1）若1∈A ，求a 的范围；（2）若B=R ，求a 的范围；D 1C 1A CBA10．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、A 1C 的中点。
（1）证明：E F ∥平面AA 1D 1D ；（2）当A 1A=AD 时，证明：E F ⊥平面A 1CD 。
11．如图所示，一条直角走廊宽为2米。
现有一转动灵活的 平板车，其平板面为矩形ABEF ，它的宽为1米。
直线EF 分别交直线AC 、BC 于M 、N ，过墙角D 作DP ⊥AC 于P ， DQ ⊥BC 于Q ；⑴若平板车卡在直角走廊内，且∠θ=CAB ，试求平板 面的长l (用θ表示)；⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多 少米?AB中档题2答案1．32，2、（-2，2），3、8，4、2，5，6、3，7、2，8、0； 9、（1）a >2或a <1；（2）52≥a 或52-≤a11、（1）DM=θsin 2，DN=θcos 2，MF=θcot ，EN=θtan ，l =EF=DM+DN -MF -EN=θsin 2+θcos 2-θcot -θtan =θθθθcos sin 1)cos (sin 2-+ （20πθ≤≤）（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角θ（20πθ≤≤），平板车的长度不能超过l ，即平板车的长度min l <；记,cos sin t =+θθ 21≤≤t ，有θθcos sin =212-t ，l =θθθθcos sin 1)cos (sin 2-+=1242--t t =)(t f ，此后研究函数)(t f 的最小值，方法很多；如换元（记m t =-24，则42+=m t ）或直接求导，以确定函数)(t f 在]2,1[上的单调性；当2=t 时l 取得最小值224-。
2014高三数学文科中档小题练能力——不丢分(二)
中档小题(二)1．(2013·湖南省五市十校第一次联合检测)下列命题中是假命题的是( ) A ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．∀a >0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点 2．(2013·河北省普通高中教学质量检测)已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( )A.23 B ．－23 C.56 D ．－56 3．(2013·高考广东卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝04．(2013·成都市第二次诊断性检测)函数f (x )＝log 2x ＋1x－1的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．(2013·洛阳市统一考试)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( )A.23 B ．－23 C.43 D ．－436．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．180B ．200C ．220D ．240 7．(2013·高考湖北卷)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 8．(2013·武汉市调研测试)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克，B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元9．(2013·河北省普通高中质量监测)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝2－13n －1C ．a n ＝12n －1D ．a n ＝13n －210．(2013·安徽省“江南十校”联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 恰好是双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，且双曲线过点(3a 2p ，2b2p)，则该双曲线的离心率是( ) A ．2 B.104C.132D.264 11．(2013·安徽省“江南十校”联考)定义在R 上的函数f (x )、g (x )满足：对任意的实数x 都有f (x )＝f (|x |)，g (－x )＋g (x )＝0.当x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0，则当x <0时，有( )A ．f ′(x )<0，g ′(x )<0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )>0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )>0 12．(2013·湖南省五市十校第一次联合检测)对于函数f (x )和g (x )，其定义域均为[a ，b ]．若对于任意的x ∈[a ，b ]，总有|1－g (x )f (x )|≤110，则称f (x )可被g (x )置换，那么下列给出的函数中能置换f (x )＝x ，x ∈[4,16]的是( )A ．g (x )＝2x ＋6，x ∈[4,16]B ．g (x )＝15(x ＋6)，x ∈[4,16]C ．g (x )＝13(x ＋8)，x ∈[4,16]D ．g (x )＝x 2＋9，x ∈[4,16]13．(2013·广东省惠州市第三次调研考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．14．(2013·辽宁省五校第一联合体高三年级考试)已知函数f (x )＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间[－2,1]，则对∀x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0恒成立的概率是________．15．(2013·武昌区联合考试)执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为________．16．(2013·郑州市第一次质量检测)若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥02x ＋3y －15≤0y ≥0，当且仅当x ＝y＝3时，z ＝ax －y 取得最小值，则实数a 的取值范围是________．备选题1．(2013·高考江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．2．(2013·东北三校第一次联合模拟考试)已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．中档小题(二)1．【解析】选B.对于A ，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B ，当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数；对于C ，当m ＝2时，f (x )＝(m －1)·x m 2－4m ＋3＝x －1＝1x，满足条件；对于D ，令ln x ＝t ，∀a >0，对于方程t 2＋t －a ＝0，Δ＝1－4(－a )>0，恒有解，故满足条件．2．【解析】选B.由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.3．【解析】选A.与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|b |12＋12＝1，故b ＝±2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，故直线方程为x ＋y －2＝0，故选A.4．【解析】选C.可将函数f (x )＝log 2x ＋1x －1的零点的个数看作函数y ＝log 2x 与y ＝－1x＋1的图象的交点个数，作出函数图象可得到交点有2个．5．【解析】选C.根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－(1＋h (a ))＝2－f (a )＝2－23＝43.6．【解析】选D.由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱．等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以S 底＝12×(8＋2)×4×2＝40，S 侧＝10×8＋10×2＋2×10×5＝200，S 表＝40＋200＝240.7．【解析】选B.由于y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，向左平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m －π6的图象．由于该图象关于y 轴对称，所以m －π6＝k π(k ∈Z ，m >0)，于是m ＝k π＋π6(k ∈Z ，m >0)，故当k ＝0时， m 取得最小值π6.8．【解析】选C.设甲产品，乙产品分别生产x ，y 桶，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋2y ≤120≤2x ＋y ≤12x ，y ∈N，目标函数为z ＝300x ＋400y ，作图可得当x ＝4，y ＝4时 ，z max ＝2 800.9．【解析】选C.由题意得1a n ＋1＝2a n ＋1，则1a n ＋1＋1＝2(1a n ＋1)，易知1a 1＋1＝2≠0，所以数列{1a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，则1a n ＋1＝2n ，则a n ＝12n －1.10．【解析】选D.由题意知p 2＝c ，所以p ＝2c ，双曲线过点(3a 22c ，2b22c)，将点的坐标代入双曲线方程，得9a 24c 2－b2c 2＝1，即9a 2－4b 2＝4c 2.又b 2＝c 2－a 2，所以9a 2－4c 2＋4a 2＝4c 2，即13a 2＝8c 2，e ＝c a ＝264.11．【解析】选A.由题意可知，f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，由于奇函数在对称区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性．12．【解析】选B.由已知|1－g (x )f (x )|≤110解得，910≤g (x )f (x )≤1110，当g (x )＝15(x ＋6)，x ∈[4,16]时，g (x )f (x )＝x ＋65x ＝15(x ＋6x)，令t ＝x ，t ∈[2,4]，则g (x )f (x )∈[265，1110]，满足条件．13．【解析】由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又a x －a 是增函数，故a >1，所以a的取值范围为1<a ≤2.【答案】(1,2] 14．【解析】f (x )＝kx ＋1过定点(0,1)，当且仅当k ∈[－1,1]时满足f (x )≥0在x ∈[－1,1]上恒成立，而区间[－1,1]、[－2,1]的区间长度分别是2、3，故所求的概率为23.【答案】2315．【解析】S ＝sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋sin 5×π3＋sin 6×π3＋…＋sin 2 013×π3＝(sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋sin 5×π3＋sin 6×π3)×335＋sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＝ 3.【答案】 3 16．【解析】画出可行域，如图，直线3x －5y ＋6＝0与2x ＋3y －15＝0交于点M (3,3)，由目标函数z ＝ax －y ，得y ＝ax －z ，纵截距为－z ，当z 最小时，－z 最大．欲使纵截距－z最大，则－23<a <35.【答案】(－23，35)备选题1．【解析】由题意DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.【答案】122．【解析】由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0，即ln(a 1－a ×b 1－b )＝0，从而a 1－a ×b1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－(a －12)2＋14，又0<a <b <1，故0<a <12，故0<－(a －12)2＋14<14.【答案】(0，14)。
2014高三数学文科中档小题练能力——不丢分(六)
中档小题(六)1．命题p ：若a ，b ∈R ，则|a |＋|b |>1是|a ＋b |>1的充分而不必要条件．命题q ：函数y ＝|x －1|－2的定义域是(－∞，－1]∪[3，＋∞)，则( )A ．“p 或q ”为假B ．“p 且q ”为真C ．p 真q 假D ．p 假q 真 2．(2013·高考山东卷)执行两次如图所示的程序框图，若第一次输入的a 的值为－1.2，第二次输入的a 的值为1.2，则第一次，第二次输出的a 的值分别为( )A ．0.2,0.2B ．0.2,0.8C ．0.8,0.2D ．0.8,0.83．(2013·洛阳市高三年级统一考试)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x (π4≤x ≤π2)的最大值为( )A ．2B ．3C ．2＋ 3D ．2－ 34．下列函数既是奇函数又在区间[－1,1]上单调递减的是( ) A ．f (x )＝sin x B ．f (x )＝－|x ＋1|C ．f (x )＝ln 2－x2＋xD ．f (x )＝12(a x ＋a －x )5．(2013·东北三校联合模拟考试)已知函数f (x )＝x ＋1，g (x )＝a ln x ，若在x ＝14处函数f (x )与g (x )的图象的切线平行，则实数a 的值为( )A.14B.12 C ．1 D ．46．(2013·广东省惠州市第三次调研考试)如图，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长度为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )7．(2013·高考重庆卷)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤233，2B.⎣⎡⎭⎫233，2C.⎝⎛⎭⎫233，＋∞D.⎣⎡⎭⎫233，＋∞ 8．(2013·高考天津卷)设函数f (x )＝e x＋x －2，g (x )＝ln x ＋x 2－3.若实数a ，b 满足f (a )＝0，g (b )＝0，则( )A ．g (a )<0<f (b )B ．f (b )<0<g (a )C ．0<g (a )<f (b )D ．f (b )<g (a )<09．(2013·荆州市高中毕业班质量检查)已知y ＝f (x )是定义域为(12，＋∞)的可导函数，f (1)＝f (3)＝1，f (x )的导数为f ′(x )，且x ∈(12，2)时，f ′(x )<0；x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －2y ≤12f (2x ＋y )≤1所表示的平面区域的面积等于( )A.15B.35 C.12D ．1 10．(2013·假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y ＝b x ＋a . 若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y ＝b ′x ＋a ′，则以下结论正确的是( )A.b ^>b ′，a ^>a ′B.b ^>b ′，a ^<a ′C.b ^<b ′，a ^>a ′D.b ^<b ′，a ^<a ′11．已知直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 是直角三角形，则点P (a ，b )与点M (0,1)之间的距离的最大值为( )A.2＋1 B ．2 C. 2 D.2－1 12．(2013·福建省质量检查)设数集S ＝{a ，b ，c ，d }满足下列两个条件：(1)∀x ，y ∈S ，xy ∈S ；(2)∀x ，y ，z ∈S 或x ≠y ，则xz ≠yz ，现给出如下论断：①a ，b ，c ，d 中必有一个为0；②a ，b ，c ，d 中必有一个为1；③若x ∈S 且xy ＝1，则y ∈S ；④存在互不相等的x ，y ，z ∈S ，使得x 2＝y ，y 2＝z .其中正确论断的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4 13．(2013·东北三校高三第一次联合模拟考试)已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆直径为2，则该几何体体积为________．14．(2013·高考辽宁卷)已知F 为双曲线C ：x 29－y216＝1的左焦点，P ，Q 为C 上的点．若PQ 的长等于虚轴长的2倍，点A (5,0)在线段PQ 上，则△PQF 的周长为________．15．(2013·高考天津卷)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB 的长为________．16．(2013·高考广东卷)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．备选题 1．(2013·山西省上学期诊断考试)已知a 、b 都是正实数，函数y ＝2a e x ＋b 的图象过(0,1)点，则1a ＋1b的最小值是________．2．设1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则q 的最小值是________．中档小题(六)1．【解析】选D.当a ＝1，b ＝－1时，得命题p 假，由|x －1|－2≥0，得x ≥3或x ≤－1，知命题q 真．2．【解析】选C.由程序框图可知：当a ＝－1.2时， ∵a <0，∴a ＝－1.2＋1＝－0.2，a <0，a ＝－0.2＋1＝0.8，a >0.∵0.8<1，输出a ＝0.8. 当a ＝1.2时，∵a ≥1，∴a ＝1.2－1＝0.2. ∵0.2<1，输出a ＝0.2.3．【解析】选B.依题意，f (x )＝1－cos 2(π4＋x )－3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin(2x－π3)＋1，当π4≤x ≤π2时，π6≤2x －π3≤2π3，12≤sin(2x －π3)≤1，此时f (x )的最大值是3. 4．【解析】选C.由奇函数和偶函数的定义可知，f (x )＝sin x 是奇函数，f (x )＝－|x ＋1|非奇非偶，f (x )＝ln 2－x 2＋x是奇函数，f (x )＝12(a x ＋a －x )是偶函数，故排除B ，D.由正弦函数的图象可知，f (x )＝sin x 在区间[－1,1]上单调递增，排除A.5．【解析】选A.由题意可知f ′(x )＝12x －12，g ′(x )＝a x ，由f ′(14)＝g ′(14)，得12(14)－12＝a 14，可得a ＝14，经检验，a ＝14满足题意．6．【解析】选C.点P 是单位圆上的动点，设∠AOP ＝α，则α＝l ，当α＝π2时，弦AP 的长度d ＝2>1，由选项的图可知，故选C.7．【解析】选A.由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2，故选A.8．【解析】选A.∵f ′(x )＝e x ＋1>，∴f (x )是增函数．∵g (x )的定义域是(0，＋∞)，∴g ′(x )＝1x＋2x >0，∴g (x )是(0，＋∞)上的增函数．∵f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0， ∴0<a <1.∵g (1)＝－2<0，g (2)＝ln 2＋1>0，∴1<b <2， ∴f (b )>0，g (a )<0.9．【解析】选D.依题意可知f (x )在(12，2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，f (2x ＋y )≤1，而f (1)＝f (3)＝1，则1≤2x ＋y ≤3，从而(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －2y ≤121≤2x ＋y ≤3，不等式组所表示的平面区域是一个矩形，从而其面积S ＝1.10．【解析】选C.由(1,0)，(2,2)求b ′，a ′.b ′＝2－02－1＝2，a ′＝0－2×1＝－2. 求b ^，a ^时，∑i ＝16x i y i ＝0＋4＋3＋12＋15＋24＝58，x ＝3.5，y ＝136， ∑i ＝16x 2i ＝1＋4＋9＋16＋25＋36＝91，∴b ^＝58－6×3.5×13691－6×3.52＝57，a ^＝136－57×3.5＝136－52＝－13，∴b ^<b ′，a ^>a ′. 11．【解析】选A.直线2ax ＋by ＝1(其中a ，b 是实数)与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则依题意可知，△AOB 是等腰直角三角形，坐标原点O 到直线2ax ＋by ＝1的距离d ＝12a 2＋b2＝22，即2a 2＋b 2＝2， ∴a 2＝2－b 22(－2≤b ≤2)，则|PM |＝a 2＋(b －1)2＝b 22－2b ＋2＝2|b －2|2，∴当b＝－2时，|PM |max ＝2×|－2－2|2＝2＋1.12．【解析】选C.取满足题设条件的集合S ＝{1，－1，i ，－i}，即可迅速判断②③④是正确的论断．13．【解析】由所给的几何体的三视图可知，该几何体为长方体上挖去一个圆柱体的一半，这样由所给的数据可知所求几何体体积为2×4×3－12×π×12×3＝24－3π2.【答案】24－3π214．【解析】由双曲线方程知，b ＝4，a ＝3，c ＝5，则虚轴长为8，则|PQ |＝16.由左焦点F (－5,0)，且A (5,0)恰为右焦点，知线段PQ 过双曲线的右焦点，则P ，Q 都在双曲线的右支上．由双曲线的定义可知|PF |－|P A |＝2a ，|QF |－|QA |＝2a ，两式相加得，|PF |＋|QF |－(|P A |＋|QA |)＝4a ，则|PF |＋|QF |＝4a ＋|PQ |＝4×3＋16＝28，故△PQF 的周长为28＋16＝44.【答案】44 15．【解析】由已知得AC →＝AD →＋AB →，BE →＝AD →－12AB →，∴AC →·BE →＝AD →2－12AB →·AD →＋AB →·AD →－12AB →2＝1＋12AB →·AD →－12|AB →|2＝1＋12|AB →|·|AD →|cos 60°－12|AB →|2＝1，∴|AB →|＝12. 【答案】1216．【解析】画出平面区域D (图中阴影部分)，z ＝x ＋y 取得最小值时的最优整数解为(0,1)，取得最大值时的最优整数解为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)．点(0,1)与(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)中的任何一个点都可以构成一条直线，共有5条，又(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)都在直线x ＋y ＝4上，故T 中的点共确定6条不同的直线．【答案】6 备选题1．【解析】依题意得2a e 0＋b ＝2a ＋b ＝1，1a ＋1b ＝(1a ＋1b )(2a ＋b )＝3＋(b a ＋2ab)≥3＋2b a ×2a b ＝3＋22，当且仅当b a ＝2a b ，即a ＝1－22，b ＝2－1时取等号，因此1a ＋1b 的最小值为3＋2 2.【答案】3＋2 2 2．【解析】由题意1＝a 1≤a 2≤…≤a 7，其中a 1，a 3，a 5，a 7成公比为q 的等比数列，a 2，a 4，a 6成公差为1的等差数列，则1≤a 2≤q ≤a 2＋1≤q 2≤a 2＋2≤q 3，所以1≤a 2≤q 3－2，即q 3－2≥1，解得q ≥33，所以q 的最小值是33.【答案】33。
高三文科数学中档题训练1
高三文科数学中档题训练（1）1、已知向量,)8(sin ),8cos(2⎪⎭⎫⎝⎛++=ππx x a ,1),8sin(⎪⎭⎫⎝⎛+=πx b 函数()12-⋅=b a x f （1）求函数()x f 的解析式，并写出函数)(x f 图象的对称中心坐标与对称轴方程. （2）求函数⎪⎭⎫⎝⎛-=x f y 21的单调递增区间；2、某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：每一组[)14,13；第二组[)15,14……第五组[]18,17．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（I ）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；（II ）设m 、n 表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知[][18,17)14,13,⋃∈n m .求事件“1>-n m ”的概率.3、如图，在三棱锥P-ABC中，⊿PAB是等边三角形，D，E分别为AB，PC的中点.（1）在BC边上是否存在一点F，使得PB∥平面DEF.（2）若∠PAC=∠PBC=90º，证明：AB⊥PC（3）在（2）的条件下，若AB=2，AC，求三棱锥P-ABC的体积高三数学中档题训练答案（1）1、解:（1）()=-⋅=1x f 1)8(sin 2)8sin()8cos(22-++++πππx x x x x x 2sin 242cos )42sin(=⎪⎭⎫⎝⎛+-+=ππ ……………3分 令0=y ,即02sin 2=x ,得πk x =2,2πk x =,Z k ∈ ∴对称中心为⎪⎭⎫⎝⎛0,2πk ，Z k ∈由22sin 2±=x , 22ππ+=∴k x ,42ππ+=k x ,Z k ∈∴对称轴方程是直线42ππ+=k x ，Z k ∈………………………… 6分 （2）⎪⎭⎫⎝⎛-=x f y 21 =xx sin 2)sin(2-=- ∴⎪⎭⎫⎝⎛-=x f y 21的单调递增区间是z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++,232,22ππππ…………12分 2、解：（1）由直方图知，成绩在)[16,14内的人数为：2738.05016.050=⨯+⨯（人） 所以该班成绩良好的人数为27人.-----4分（2）由直方图知，成绩在[)14,13的人数为306.050=⨯人，成绩在[)18,17 的人数为408.050=⨯人， ----6分事件“1>-n m ”表示n m ,分别在[)14,13和[)18,17内各取一个同学的百米测试成绩，所以基本事件总数为27C =21种，事件“1>-n m ”所包含的基本事件个数有1413C C ⋅=12种.∴P （1>-n m ）=742112=-----12分3、解（1）取BC 的中点为F ，则有PB ∥平面DEF. ∵PB ∥EF ，PB ⊄平面DEF ，EF ⊂ 平面DEF ∴PB ∥平面DEF ……………………4分（2）因为P A B ∆是等边三角形，90P A C P B C ∠=∠=︒, 所以R tP B C R tP A C ∆≅∆,可得A C B C =。
2014年高考数学有答案高三数学中档题10
高三数学中档题101．若22πβαπ<<<-，则βα-的取只范围是2．等差数列{a n } 中，a 3 =2，则该数列的前5项的和为3．设α表示平面，b a ,表示直线，给定下列四个命题：①αα⊥⇒⊥b b a a ,//；②αα⊥⇒⊥b a b a ,//;③αα//,b b a a ⇒⊥⊥;④b a b a //,⇒⊥⊥αα. 其中正确命题的序号为4．已知正方形的边长为2，c AC b BC a AB ===,,+=5．设函数1(0)()0(0)1(0)x f x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则当a b ≠时，()()2a b a b f a b ++-⋅-的值为6．F 1（-1，0）、F 2（1，0）是椭圆的两焦点，过F 1的直线l 交椭圆于M 、N ，若△MF 2N 的周长为8，则椭圆方程为 7．在ABC ∆中，ABC b A ∆=︒=∠,1,60的面积为23，则C B A c b a s i n s i n s i n ++++的值为 ．8．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径为圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线y=x 对称.则双曲线C 的方程为 ； 9．已知函数2())2sin ()()612f x x x x R ππ=-+-∈（I ）求函数()f x 取得最大值的所有x 组成的集合. （II ）求函数()f x 在π,0[]上的单调递增区间。
10．已知数列{}n n a 12-的前n 项和n S n 69-=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅱ）设)3log 3(2nn a n b -=,求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和．11．已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<．（1）证明0a >；（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。
2014高三数学文科中档小题练能力——不丢分(四)
中档小题(四)1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平分圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1的周长，此双曲线的离心率等于( )A.5 B ．2 C. 3 D. 2 2．(2013·郑州市第二次质量检测)在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k 为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 3．(2013·湖南省五市十校第一次联合检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4 4．(2013·高考湖南卷)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )A.32 B ．1 C.2＋12D. 25．(2013·温州市第一次适应性测试)在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( )A. 2 B ．2 C. 6 D ．6 6．(2013·福建省质量检测)已知点A (1,2)，B (3,2)，以线段AB 为直径作圆C ，则直线l ：x ＋y －3＝0与圆C 的位置关系是( )A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离 7．(2013·高考江西卷)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A ．S ＝2*i -2 B.S ＝2*i -1 C ．S ＝2*i D.S ＝2*i +4 8．(2013·山西省上学期诊断考试)已知函数f (x )＝M cos(ωx ＋φ)(M >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC ＝BC ＝22，∠C ＝90°，则f (12)的值为( )A ．－12B.12 C ．－22D.229．(2013·南昌市第一次模拟测试)下列说法中，不正确的是( )A ．点(π8，0)为函数f (x )＝tan(2x ＋π4)的一个对称中心B ．设回归直线方程为y ^＝2－2.5x ，当变量x 增加一个单位时，y 大约减少2.5个单位 C ．命题“在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则△ABC 为等腰三角形”的逆否命题为真命题D ．对于命题p ：“x x －1≥0”，则綈p ：“xx －1<0”10．(2013·辽宁省五校第一联合体考试)函数f (x )＝x 3－bx 2＋1有且仅有两个不同零点，则b 的值为( )A.342 B.322C.3232 D ．不确定 11．(2013·高考重庆卷)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝( )A ．－5B ．－1C ．3D ．412．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 13．(2013·北京市东城区统一检测)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p >q >0，则提价多的方案是________．14．(2013·洛阳市统一考试)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a 、b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．15．(2013·安徽省“江南十校”联考)设动点P (x ，y )在区域 Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥xx ＋y ≤4上(含边界)，过点P 任意作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为________．16．(2013·大连市双基测试)已知点A (－2，0)，点B (2，0)，且动点P 满足|P A |－|PB |＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点的充要条件为k ∈________.备选题 1．(2013·高考重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 ________.2．(2013·合肥市教学质量检测)下列命题中真命题的编号是________．(填上所有正确的编号)①向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a ＝λb (λ∈R )；②a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a －b |>1，则π3<0≤π；③A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，若AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 一定是锐角三角形；④向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则|AC →|与|BC →|同向； ⑤若向量a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .中档小题(四)1．【解析】选A.因为双曲线的渐近线平分圆的周长，所以该渐近线过圆心，即y ＝bax过(1,2)，即b a ＝2，因为e ＝ca ＝a 2＋b 2a ，所以e ＝ 5.2．【解析】选A.依题意得，数列{a n }是等比数列，a 1＝3＋k ，a 2＝S 2－S 1＝6，a 3＝S 3－S 2＝18，则62＝18(3＋k )，由此解得k ＝－1.3．【解析】选A.由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2·cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，tan (B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，所以角A ＝π4.4．【解析】选D.由于该正方体的俯视图是面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，因此该几何体的正视图是一个长为2，宽为1的矩形，其面积为 2.5．【解析】选C.∵AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|cos 120°＝－1，即|AB →|·|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6，∴|BC →|min ＝ 6.6．【解析】选B.以线段AB 为直径作圆C ，则圆C 的圆心坐标C (2,2)，半径r ＝12|AB |＝12×(3－1)＝1，点C 到直线l ：x ＋y －3＝0的距离为|2＋2－3|2＝22<1，所以直线与圆相交，并且点C 不在直线l ：x ＋y －3＝0上．7．【解析】选C.当i ＝2时，S ＝2×2＋1＝5<10；当i ＝3时，仍然循环，排除D ；当i ＝4时，S ＝2×4＋1＝9<10；当i ＝5时，不满足S <10，即此时S ≥10，输出i .此时A 项求得S ＝2×5－2＝8，B 项求得S ＝2×5－1＝9，C 项求得S ＝2×5＝10，故只有C 项满足条件．8．【解析】选A.依题意，△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB 上的高是12，函数f (x )的最小正周期是2，故M ＝12，2πω＝2，ω＝π，f (x )＝12cos(πx ＋φ)．又函数f (x )是奇函数，于是有φ＝k π＋π2，其中k ∈Z .由0<φ<π得φ＝π2，故f (x )＝－12sin πx ，f (12)＝－12sin π2＝－12. 9．【解析】选D.由y ＝tan x 的对称中心为(k π2，0)(k ∈Z )，知A 正确．由回归直线方程知B 正确．在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ，C 正确．10．【解析】选C.f ′(x )＝3x 2－2bx ＝x (3x －2b )，令f ′(x )＝0，则x ＝0，x ＝2b3.当曲线f (x )与x 轴相切时，f (x )有且只有两个不同零点，因为f (0)＝1≠0，所以f (2b 3)＝0，解得b ＝3232.11．【解析】选C.因为log 210与lg 2(即log 102)互为倒数，所以lg(log 210)与lg(lg 2)互为相反数．不妨令lg(log 210)＝x ，则lg(lg 2)＝－x ，而f (x )＋f (－x )＝(ax 3＋b sin x ＋4)＋[a (－x )3＋b sin(－x )＋4]＝8，故f (－x )＝8－f (x )＝8－5＝3，故选C.12．【解析】选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1. ②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2). ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a2.而k AB ＝0－(－1)3－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2， ∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9， ∴b ＝c ＝3，a ＝32，∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.13．【解析】设原价为a ，则方案甲提价后为a (1＋p %)(1＋q %)，方案乙提价后为a (1＋p ＋q 2%)2.由于(1＋p %)(1＋q %)<⎣⎡⎦⎤(1＋p %)＋(1＋q %)22＝(1＋p ＋q 2%)2，故提价多的是方案乙． 【答案】乙 14．【解析】依题意， 将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即2aa 2＋b2≤2，a ≤b 的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共1＋2＋3＋4＋5＋6＝21种，因此所求的概率等于2136＝712.【答案】71215．【解析】如图，区域Ω为△MON 及其内部，A 、B 在区域Ω中，则|AB |的最大值为|OM |＝4.所以以AB 为直径的圆的面积的最大值为π·(42)2＝4π.【答案】4π 16．【解析】由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x >0)，其一条渐近线方程为y ＝x .若P 点的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点，则需k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞) 备选题 1．【解析】由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos2α≤0，化简得cos 2α≥12.又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π，解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π.【答案】⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 2．【解析】①不是真命题，当b ＝0时，命题不成立；对于②，|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2cos θ＋1>1，解得cos θ<12，因为向量夹角范围是[0，π]，所以θ∈(π3，π]；对于③，易知，BD >AB ，CD >AC ，所以BD 2＋CD 2>AB 2＋AC 2＝BC 2，所以∠BDC 是锐角，同理可证其余两边所对的角都是锐角，所以△BCD 一定是锐角三角形；④不对，当C 点位于线段AB 上时，满足题设条件，但是两向量是反向的；⑤不对，当b ＝0时，命题就不成立．【答案】②③。
2014年高考数学有答案高三数学中档题4
高三数学中档题41．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，点M 、N 分别在AB 1，BC 1上，且AM=BN ，那么： ①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ，③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1，以上三个结论中，正确的结论的序号 为 ；（填上你认为正确的结论的序号） 2．三角形ABC 中AP 为BC 边上的中线，||AB =3，2-=⋅AP ，则||= ； 3．已知函数()122++=x x x f ，若存在实数t ，当[]m x ,1∈时，()x t x f ≤+恒成立，则实数m的最大值为______________．4．函数xe x x xf )2()(2-=在]2,(-∞上的值域为5．设函数()2x f x x x =⋅+,0A 为坐标原点,n A 为函数()y f x =图像上横坐标为*()n n N ∈的点,向量11n n k k k A A -==∑a ,(1,0)=i ,设n θ为n a 与i 的夹角,则1tan n k k θ=∑= .6．在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200x y s y x y x 下,当53≤≤s 时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是________7．若函数2()lg 22f x x a x =⋅-+在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a 的取值范围是 ．8．设有限集合{|,,,}i A x x a i n i n +==≤∈∈+N N ，则1ni i a =∑叫做集合A 的和，记作.A S 若集合{|21,,4}P x x n n n +==-∈≤N ，集合P 的含有3个元素的全体子集分别为12k P P P 、、，则1kpi i S =∑= ．9．有一密闭容器，下端为圆柱形，上端为半球形（如图），设此容器的容积V 固定，问圆柱底半径r 与高h 为何值时， 该容器的表面积S 最小。
10．已知数列{a n }的前n 项为和S n ，点（n ，S n n ）在直线y ＝12 x ＋112上．数列{b n }满足：b n +2－2b n +1＋b n ＝0（n ∈N *），且b 3＝11，前9项和为153． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n ＝ 3(2a n ―11)(2b n ―1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值；（3）设n ∈N *，f （n ）＝ ⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数．问是否存在m ∈N *，使得f （m ＋15）＝5f （m ）成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．11．已知椭圆方程是22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 是它的左、右焦点，P 是椭圆上任一点．若12PF PF ⋅的取值范围是[2,3]．（1）求椭圆的方程．（2）设椭圆的左右顶点为A ，B ，l 是椭圆的右准线，P 是椭圆上任意一点，P A 、PB 分别交准线l 于M ，N 两点，求12MF NF ⋅的值．高三数学中档题4答案1．①③，2、5，3、4， 4、[2)12(2-+-e，2)12(2e-]5、0(,2)n n n A A n n n ==⋅+ a ,n θ即为向量0n A A 与x 轴的夹角,所以tan 21nn θ=+,所以211tan (22...2)22nn n k k n n θ+==++++=+-∑；6、[]8,7；7、 8．48 9．353πV h r ==，10、(1)点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋112上，∴S n n ＝12n ＋112，即S n ＝12n 2＋112n ，a n ＝n ＋5．∵b n +2－2b n +1＋b n ＝0(n ∈N *)，∴b n +2－b n +1＝ b n +1－b n ＝…＝ b 2－b 1．∴数列{b n }是等差数列，∵b 3＝11，它的前9项和为153，设公差为d ，则b 1＋2d ＝11，9b 1＋9×82×d ＝153，解得b 1＝5，d ＝3．∴b n ＝3n ＋2．(2)由(1)得，c n ＝ 3(2a n ―11)(2b n ―1)＝ 1(2n ―1)(2n ＋1)＝12(12n ―1－12n ＋1)，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12(1－13)＋12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(12n ―1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)．∵T n ＝12(1－12n ＋1)在n ∈N *上是单调递增的，∴T n 的最小值为T 1＝13． ∵不等式T n ＞k 57对一切n ∈N *都成立，∴k 57＜13．∴k ＜19．∴最大正整数k 的值为18．(3) n ∈N *，f (n )＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数＝⎩⎨⎧n ＋5，n 为奇数，3n ＋2，n 为偶数．当m 为奇数时，m ＋15为偶数；当m 为偶数时，m ＋15为奇数．若f (m ＋15)＝5f (m )成立，则有3（m ＋15）＋2＝5(m ＋5)(m 为奇数)或m ＋15＋5＝5（3m ＋2）(m 为偶数)．解得m ＝11．所以当m ＝11时，f (m ＋15)＝5f (m )． 11．解：（1）设1(,0),(,0)F c F c -，00(,)P x y ，则22212000000(,)(,)PF PF c x y c x y x y c ⋅=---⋅--=+- ，而2200x y +为椭圆上点P 到椭圆中心O的距离，则222200b x y a +≤≤．∴2222222200b c x y c a c b +--=-≤≤，即23b =，222b c -=，故21c =，24a =．∴所求的椭圆方程为22143x y +=．（2）12(4,),(4,)M y N y AP AM λ=，即010(2)6x y y +=， 同理，BP BN λ= ，即020(2)2x y y -=． ∴220120(4)12x y y y -=，∵00(,)P x y 在椭圆上，则22003(4)4y x =-，代入上式得129y y =-． ∴121212(5,)(3,)151596MF NF y y y y ⋅=--⋅--=+=-=。
2014版高考数学(文科)(全国通用版)二轮复习 (审题+解题+回扣+专练 ) 中档大题保分练(一)
中档大题保分练中档大题保分练（一）(推荐时间：50分钟）1． 在△ABC 中，角A ,B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，m ＝（cos（x －B ），cos B ），n ＝（）cos x ，－12，f (x )＝m ·n ,f 错误!＝错误!.(1)求角B 的值；（2)若b ＝14，错误!·错误!＝6，求a 和c 的值．解 (1）f (x ）＝m ·n ＝cos x ·cos (x －B ）－错误!cos B＝cos 2x cos B ＋cos x sin x sin B －错误!cos B＝错误!(cos 2x ·cos B ＋sin 2x ·sin B )＝错误!cos(2x －B )，∵f 错误!＝错误!,∴cos 错误!＝错误!，又∵B 为△ABC 的内角，∴错误!－B ＝错误!即B ＝错误!.(2)由错误!·错误!＝6,及B ＝错误!，得ac ·cos π3＝6,即ac ＝12， 在△ABC 中,由余弦定理:b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 得14＝a2＋c2－2ac cos 错误!，a2＋c2＝26，从而(a＋c）2－2ac＝26，(a＋c)2＝50，∴a＋c＝5错误!。
解方程组错误!，得错误!，或错误!.2．设数列｛a n｝的前n项和为S n,点错误!(n∈N*）均在函数y＝2x－1的图象上．（1）求数列{a n｝的通项公式；(2）设b n＝错误!，T n是数列｛b n}的前n项和，求证:T n〈1。
(1)解由条件错误!＝2n－1，即S n＝2n2－n。
当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝错误!－［2（n－1)2－（n－1）］＝4n－3.又n＝1时,a1＝S1＝1适合上式，所以a n＝4n－3(n∈N＊)．（2)证明b n＝错误!＝错误!＝错误!－错误!.∴T n＝b1＋b2＋b3＋…＋b n＝错误!＝1－错误!.∵n∈N＊,∴－错误!〈0，∴1－错误!<1，即T n<1.3．为了了解某居住小区住户的年收入和年饮食支出的关系，抽取了其中5户家庭的调查数据如下表：(1)错误!＝错误!x＋错误!中的错误!＝0.31,请预测年收入为9万元家庭的年饮食支出；（2)从这5户家庭中任选2户，求“恰有1户家庭年饮食支出小于1.6万元"的概率．解（1）x＝错误!＝5，错误!＝错误!＝1。
高三数学复习 中档题训练题14
中档题训练141．在袋里装30个小球，其中彩球中有n (n ≥2)个红色、5个蓝色、10个黄色，其余为白球．若从袋里取出3个都是相同颜色彩球(无白色)的概率是40613，求红球的个数，并求从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率．解：取3个球的方法数为4060330=C2分 设“3个球全红色”为事件A ，“3个全蓝色”为事件B ，“3个球全黄色”为事件C ，则406010)(33035==C C B P ，4060120)(330310==C C C P 4分∵A 、B 、C 为互斥事件 ∴P(A ＋B ＋C)= P(A)＋P(B)＋P(C) 即 4060120406010)(40613++=A P ⇒ P (A )＝06分∴红球的个数≤2，又∵n ≥2，故n ＝2 8分记“3个球中至少有一个是红球”为事件D ，则D 为“3个球中没有红球”145281)(1)(330328=-=-=C C D P D P2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝a ，又PA ⊥平面ABCD ，PA ＝4．(1)若在边BC 上存在一点Q ，使PQ ⊥QD ，求a 的取值范围；(2)当BC 上存在唯一点Q ，使PQ ⊥QD 时，求异面直线AQ 与PD 所成角的大小； (3)若a ＝4，且PQ ⊥QD ，求二面角A －PD －Q 的大小．解： 方法一(1)y 、z 轴建立空间直角坐标系，则B (0－a ，0，0)，P (0，0，4) 2分设Q (t ，3，0)，则PQ ＝(t ，3，－4)，＝(t ＋a ，3，0) ∵PQ ⊥QD ，∴3)(++=⋅a t t ＝0 即t 2＋at ＋3＝0 ①∴△＝a 2－12≥0 ⇒ a ≥23． 4分(2)解：∵BC 上存在唯一点Q ，使PQ ⊥QD ，∴△＝a 2－12＝0 ⇒ a ＝23，t ＝－3 6分 AQ ＝(－3，3，0) ，PD ＝(－23，0，－4) ∴cos 14427266=⋅=>=<， 故异面直线AQ 与PD 所成角为arccos1442． 8分 (3)解：过Q 作QM ∥CD 交AD 于M ，则QM ⊥AD ，M (t ，0，0) ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥QM ，又QM ⊥AD ，∴QM ⊥平面PAD 过M 作MN ⊥PD 于N ，连结NQ ，由三垂线定理知QN ⊥PD ∴∠MNQ 是二面角A －PD －Q 的平面角设N (m ，0，n )，则NM ＝(t －m ，0，－n )，＝(t －m ，3，－n ) ＝(－4－m ，0，－n )∵MN ⊥PD ，ND 、PD 共线，∴ND PD PD NM λ==⋅，0 得：m ＋n －t ＝0，m －n ＝4 ② 3222,cos 222+=>=<n nn NQ MN由①得：t ＝－1或t ＝－3，由②得：n ＝2＋21t 当t ＝－1时，515,cos >=<ND NM ，当t ＝－3时，77,cos >=<ND NM ∴二面角A －PD －Q 的大小为515arccos 或77arccos ． 12分方法二(1)解：设BQ ＝t ，则PQ 2＝19＋t 2，QD 2＝3＋(a －t )2，PD 2＝16＋a 2由PQ ⊥QD 得：19＋t 2＋3＋(a －t )2＝16＋a 2，即t 2－at ＋3＝0 ①∴△＝a 2－12≥0 ⇒ a ≥23． 4分 (2)解：∵BC 上存在唯一点Q ，使PQ ⊥QD ，∴△＝a 2－12＝0 ⇒ a ＝23，t ＝3，故Q 是BC 中点取AD 中点R ，PA 中点S ，连RS 、RC ，则RS ∥PD ，RC ∥AQ∴∠RSC 就是异面直线AQ 与PD 所成角 6分721==PD RS ，6==AQ RC ，1922=+=AC SA SC ∴14422cos 222-=⨯-+=∠RC RS SC RC RS RSC故异面直线AQ 与PD 所成角为arccos1442． 8分 (3)解：同方法一得∠MNQ 是二面角A －PD －Q 的平面角 10分在Rt △PAD 中，24tMN PD MB PA MN -=⇒= 在Rt △PQD 中，24)4(31922t t NQ PD DQPQ NQ -+⨯+=⇒= 22)4(319)4(4cos t t t NQ MN MNQ -+⨯+-==∠ 由①得t ＝1或t ＝3当t ＝1时，515cos =∠MNQ ，当t ＝3时，77cos =∠MNQ ∴二面角A －PD －Q 的大小为515arccos 或77arccos ． 12分3．某城市为了改善交通状况，需进行路网改造。
2014版高考数学(文科)(全国通用版)二轮复习 (审题+解题+回扣+专练 ) 中档大题保分练(二)
中档大题保分练(二）(推荐时间：50分钟)1．已知函数f（x)＝错误!sin 2x－错误!（cos2x－sin2x）－1，x∈R，将函数f(x)向左平移错误!个单位后得到函数g(x）,设△ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b，c.(1）若c＝7，f(C）＝0，sin B＝3sin A，求a和b的值；(2)若g(B）＝0且m＝（cos A,cos B)，n＝(1，sin A－cos A tan B）,求m·n的取值范围．解(1）f(x)＝错误!sin 2x－错误!cos 2x－1＝sin错误!－1g（x）＝sin错误!－1＝sin错误!－1由f(C）＝0，∴sin错误!＝1.∵0〈C<π，∴－错误!〈2C－错误!<错误!π，∴2C－错误!＝错误!，∴C＝错误!.由sin B＝3sin A，∴b＝3a.由余弦定理得（7）2＝a2＋b2－2ab cos 错误!.∴7＝a2＋9a2－3a2，∴a＝1,b＝3.(2）由g(B）＝0得sin错误!＝1,∵0<B〈π，∴错误!<2B＋错误!<错误!π，∴2B＋错误!＝错误!,∴B＝错误!.∴m·n＝cos A＋cos B(sin A－cos A tan B)＝cos A＋sin A cos B－cos A sin B＝错误!sin A＋错误!cos A＝sin错误!.∵A＋C＝错误!，∴0<A〈错误!，∴错误!<A＋错误!<π，∴0〈sin错误!≤1.∴m·n的取值范围是(0，1］．2．某园林局对1 000株树木的生长情况进行调查，其中杉树600株，槐树400株．现用分层抽样方法从这1 000株树木中随机抽取100株,杉树与槐树的树干周长（单位：cm）的抽查结果如下表：（1)求（2)如果杉树的树干周长超过60 cm就可以砍伐，请估计该片园林可以砍伐的杉树有多少株？（3）树干周长在30 cm到40 cm之间的4株槐树有1株患虫害，现要对这4株树逐一进行排查直至找出患虫害的树木为止．求排查的树木恰好为2株的概率．解(1）按分层抽样方法随机抽取100株,可得槐树为40株，杉树为60株，∴x＝60－6－19－21＝14，y＝40－4－20－6＝10.估计槐树树干周长的众数为45 cm.(2）错误!×600＝140,估计该片园林可以砍伐的杉树有140株．(3)设4株树为B1,B2，B3,D，设D为有虫害的那株，基本事件为(D），（B1，D)，(B2,D），(B3，D），（B1，B2，D），（B1,B3，D）,(B2，B1，D)，(B2，B3，D)，(B3，B1,D）,（B3,B2，D),（B1,B2，B3），（B1，B3，B2）,（B2，B1，B3)，（B2，B3，B1),（B3，B1，B2）,（B3,B2，B1)共16种,设事件A：排查的树木恰好为2株，事件A包含（B1,D)，（B2，D）,(B3，D)3种,∴P（A)＝错误!.3．如图，在四棱锥S－ABCD中,AB⊥AD，AB∥CD，CD＝3AB＝3，平面SAD⊥平面ABCD,E是线段AD上一点，AE＝ED＝3,SE⊥AD.(1）证明：平面SBE⊥平面SEC；(2)若SE＝1，求三棱锥E－SBC的高．（1)证明∵平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD ＝AD,SE⊂平面SAD,SE⊥AD，∴SE⊥平面ABCD.∵BE⊂平面ABCD，∴SE⊥BE。
高三文科数学小题分层练6_中档小题保分练(2)
小题分层练(六) 中档小题保分练(2)(建议用时：40分钟)一、选择题1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝54，则2a 6＋a 3＝( )A. 9B. 15C. 18D. 362．(2018·贵州二模)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧g (x )，x ＞02x ＋1，x ≤0是R 上的偶函数，则g (3)＝( ) A. 5 B. －5 C. 7 D. －7 3.已知函数f (x )＝13ax 3＋12x 2＋x ＋1(a ∈R )，下列选项中不可能是函数f (x )图象的是( )A B C D4．已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，点A (0，－3)．若线段FA 与抛物线C 相交于点M ，则|MF |＝( )A.43B.53C.23D.335．将函数f (x )＝3cos 2x －sin 2x 的图象向右平移θ个单位长度后得到的图象关于直线x ＝π6对称，则θ的最小正值为( )A.π12B.π6C.π4D.π36．习总书记在十九大报告中指出：坚定文化自信，推动社会主义文化繁荣兴盛．“大衍数列”：0,2,4,8,12来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和．如图36是求大衍数列前n 项和的程序框图．执行该程序框图，输入m ＝8，则输出的S ＝( )图36A. 44B. 68C. 100D. 1407. 设f (x )、g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0.且g (3)＝0.则不等式f (x )g (x )＜0的解集是( )A ．(－∞，－3)∪(0,3)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－3,0)∪(3，＋∞)8.设x ，y 满足不等式⎩⎨⎧ y ≤2，x ＋y ≥1，x －y ≤1，若M ＝3x ＋y ，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －72，则M －N 的最小值为( ) A.12 B ．－12 C ．1 D ．－19．(2018·江门一模)某几何体的三视图如图37所示，则该几何体的体积V ＝( )图37A.83B.103 C ．3 D.20310．(2018·齐齐哈尔三模)如图38，四边形ABCD 为正方形， G 为线段BC 的中点，四边形AEFG 与四边形DGHI 也为正方形，连接EB ，CI ，则向多边形AEFGHID 中投掷一点，该点落在阴影部分内的概率为( )图38A.13B.25C.38D.1211. (2018·陕西咸阳高三二模)已知甲、乙、丙三人中，一人是军人，一人是工人，一人是农民．若乙的年龄比农民的年龄大；丙的年龄和工人的年龄不同；工人的年龄比甲的年龄小，则下列判断正确的是( )A. 甲是军人，乙是工人，丙是农民B. 甲是农民，乙是军人，丙是工人C. 甲是农民，乙是工人，丙是军人D. 甲是工人，乙是农民，丙是军人12．(2018·焦作三模)在三棱锥P -ABC 中，AB ＝3BC ＝3，∠ABC ＝∠BCP ＝∠PAB ＝90°，cos ∠CPA ＝24，则三棱锥P -ABC 外接球的表面积为( )A ．5πB ．13πC ．6πD ．14π二、填空题13．(2018·包头一模)已知f (x )为奇函数，当x ≤0时，f (x )＝－x 2－3x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，－2)处的切线方程为________．14．若直线l ：x 4＋y 3＝1与x 轴、y 轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的内切圆的方程为________．15．(2018·衡阳二模)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若a sin A ＋b sin B －c sin C a sin B＝2sin C ，则∠C 的大小为________． 16.已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ＋y －2≤0，4x ＋y －4≥0，x －ky －1≤0，其中k ＞0，若使得z ＝y ＋2x ＋3取得最小值的解(x ，y )有无穷多个，则k 的值为________．习题答案1. 答案：C解析： [S 9＝92(a 1＋a 9)＝92×2a 5＝9a 5＝54，∴a 5＝6.∵2a 6＋a 3＝2(a 1＋5d )＋a 1＋2d ＝3(a 1＋4d )＝3a 5＝18，故选C.]2. 答案：B解析： [∵函数f (x )＝⎩⎨⎧g (x )，x ＞02x ＋1，x ≤0是R 上的偶函数， ∴g (3)＝f (－3)＝－6＋1＝－5.]3. 答案：D 解析： [∵f (x )＝13ax 3＋12x 2＋x ＋1(a ∈R )，∴f ′(x )＝ax 2＋x ＋1.当a ＝0时，f ′(x )＝x ＋1，易得f (x )在(－∞，－1)上为减函数，在(－1，＋∞)上为增函数，故A 正确；当a ≥14时，Δ≤0，f ′(x )≥0，f (x )为增函数，故B 可能；当a ＜0时，Δ＞0，f ′(x )有两个不相等且互为异号的实数根，f (x )先递减再递增然后再递减，故C 正确；当0＜a ＜14时，Δ＞0，f ′(x )有两个不相等的负实数根，f (x )先递增再递减然后再递增，故D 错误．故选D.]4. 答案：A解析：[线段AF ：y ＝31－0x －3(0≤x ≤1)．联立方程组⎩⎨⎧y ＝3x －3(0≤x ≤1)y 2＝4x解得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233，所以|MF |＝13＋1＝43，选A.] 5. 答案：C 解析：[将函数f (x )＝3cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移θ个单位长度后，可得y ＝2cos2x －2θ＋π6的图象．再根据得到的图象关于直线x ＝π6对称，可得π3－2θ＋π6＝k π，k ∈Z ，即θ＝－k π2＋π4，k ∈Z ，则θ的最小正值为π4，故选C.]6. 答案：C解析：[第1次运行，n ＝1，a ＝n 2－12＝0，S ＝0＋0＝0，不符合n ≥m ，继续运行； 第2次运行，n ＝2，a ＝n 22＝2，S ＝0＋2＝2，不符合n ≥m ，继续运行；第3次运行，n ＝3，a ＝n 2－12＝4，S ＝4＋2＝6，不符合n ≥m ，继续运行； 第4次运行，n ＝4，a ＝n 22＝8，S ＝8＋6＝14，不符合n ≥m ，继续运行；第5次运行，n ＝5，a ＝n 2－12＝12，S ＝14＋12＝26，不符合n ≥m ，继续运行； 第6次运行，n ＝6，a ＝n 22＝18，S ＝26＋18＝44，不符合n ≥m ，继续运行；第7次运行，n ＝7，a ＝n 2－12＝24，S ＝24＋44＝68，不符合n ≥m ，继续运行； 第8次运行，n ＝8，a ＝n 22＝32，S ＝68＋32＝100.满足n ≥m ，退出循环，输出S ＝100.]7. 答案：A解析：[因f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )＞0，即[f (x )g (x )]′＞0，故f (x )g (x )在(－∞，0)上递增，又∵f (x )，g (x )分别是定义R 上的奇函数和偶函数，∴f (x )g (x )为奇函数，关于原点对称，所以f (x )g (x )在(0，＋∞)上也是增函数． ∵f (3)g (3)＝0，∴f (－3)g (－3)＝0，所以f (x )g (x )＜0的解集为：x ＜－3或0＜x ＜3.]8. 答案：A解析：[作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，易求得A (－1,2)，B (3,2)，当直线3x ＋y －M ＝0经过点A (－1,2)时，目标函数M ＝3x ＋y 取得最小值－1.又由平面区域知－1≤x ≤3，所以函数N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －72在x ＝－1处取得最大值－32，由此可得M －N 的最小值为－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝12.]9. 答案：B解析：[由三视图可得，该几何体为直三棱柱截去一个三棱锥后所得的部分，其中直三棱柱的底面是直角边为2的等腰直角三角形，高为2；三棱锥的底面与棱柱的底面相同，高为1.故几何体的体积为V ＝V 柱－V 锥＝12×22×2－13×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22×1＝103.选B.] 10. 答案：A解析：[设正方形ABCD 的边长为1，S 总＝3，S 阴影＝2×52×25×12＝1，所以概率为P＝13，故选A. ]11.答案：A解析：[丙的年龄和工人的年龄不同，工人的年龄比甲的年龄小，则甲丙均不是工人，故乙是工人，乙的年龄比农民的年龄大，即工人的年龄比农民的年龄大，而工人的年龄比甲的年龄小，故甲不是农民，则丙是农民；最后可确定甲是军人．] 12.答案：A解析：[如图所示，作PE⊥平面ABC于E点，连接EA，EC，因为BC⊥CP，PA⊥AB，易得EC⊥CB，EA⊥AB，四边形EABC为矩形，PA2＝1＋PE2，PC2＝3＋PE2，在△PAC中，由余弦定理PA2＋PC2－2PA·PC cos∠CPA＝4，代入整理得PE＝1，设三棱锥P-ABC外接球的半径为R，由PE＝1得2R＝1＋1＋3，即R＝52，所以球的表面积为S＝4πR2＝5π，故选A.]13.答案：x＋y＋1＝0解析：[由题意，当x＞0时，则－x＜0，因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－[－(－x)2－3(－x)]＝x2－3x，所以当x＞0时，f′(x)＝2x－3，所以f′(1)＝2×1－3＝－1，即切线的斜率为k＝－1，所以在点(1，－2)的切线方程为y－(－2)＝－1×(x－1)，即x＋y＋1＝0.]14.答案：(x－1)2＋(y－1)2＝1解析：[由题意，设圆心为(a，a)，则有|3a＋4a－12|5＝a，解得a＝1或a＝6(舍去)，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1.]15. 答案：π4解析：[因为a sin A ＋b sin B －c sin C a sin B ＝2sin C ，所以由正弦定理得a 2＋b 2－c 2ab＝2sin C .∴2ab cos C ab ＝2sin C ，∴2ab cos C ＝2ab sin C ，∴tan C ＝1，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4.] 16. 答案：2解析：[作出可行域如图：可得当z ＝y ＋2x ＋3取得最小值的解有无穷多个时，满足点(－3，－2)在直线x －ky －1＝0上可知－3＋2k －1＝0解得k ＝2.]。
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中档小题(七)1．下列函数中，不满足f (1x)＝－f (x )的是( )A ．f (x )＝1－x1＋x (x ≠－1且x ≠0)B ．f (x )＝x ＋1x －1(x ≠1且x ≠0)C ．f (x )＝log 2x (x >0)D ．f (x )＝x 2(x ≠0)2．一个半径为2的球体经切割后，剩余部分的几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．8πB ．16πC ．12πD ．18π3．已知a ，b 为两条不同直线，α为一平面，则命题“直线a ⊥平面α，∀b ⊂α，a 与b 垂直”的否定是( )A ．直线a ⊥平面α，∀b ⊂α，a 与b 不垂直B ．直线a ⊥平面α，∃b 0⊂α，a 与b 0不垂直C ．直线a ⊥平面α，∃b 0⊂α，a 与b 0垂直D ．直线a ⊥平面α，a 与b 垂直，b ⊄α 4．(2013·江西省高三上学期七校联考)设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40＝( )A ．150B ．－200C ．150或－200D ．400或－505．已知圆C 的圆心是双曲线x 2－y23＝1的右焦点，且与双曲线的渐近线相切，则该圆的方程为( )A ．(x －2)2＋y 2＝1B ．x 2＋(y －2)2＝3C ．(x －2)2＋y 2＝3D ．x 2＋(y －3)2＝26．(2013·吉林省长春市高中毕业班第一次调研测试)关于函数f (x )＝sin(2x ＋π4)与函数g (x )＝cos(2x －3π4)，下列说法正确的是( )A ．函数f (x )和g (x )的图象有一个交点在y 轴上B ．函数f (x )和g (x )的图象在区间(0，π)内有3个交点C ．函数f (x )和g (x )的图象关于直线x ＝π2对称D ．函数f (x )和g (x )的图象关于原点(0,0)对称7．(2013·湖北省武汉市高中毕业生调研测试)样本(x 1，x 2，…，x m )的平均数为x ，样本(y 1，y 2，…，y n )的平均数为y (x ≠y )．若样本(x 1，x 2，…，x m ，y 1，y 2，…，y n )的平均数z ＝αx ＋(1－α)y ，其中0<α≤12，则m ，n 的大小关系为( ) A ．m <n B ．m ≤n C ．m >n D ．m ≥n 8．(2013·高考湖南卷)已知a ，b 是单位向量，a ·b ＝0.若向量c 满足|c －a －b |＝1，则|c |的最大值为( )A.2－1B. 2C.2＋1D.2＋2 9．(2013·洛阳市高三年级统一考试)已知F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，过点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，且|AF |＝3|BF |，则线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为( )A.53B.83C.103D ．10 10．把正奇数数列依次按第一个括号一个数，第二个括号两个数，第三个括号三个数，第四个括号一个数，…，依次循环的规律分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( )A ．98B ．197C ．390D ．392 二、填空题11．在△ABC 中，已知B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，则AB 的长为( )A ．2 3B ．3 5C ．5 6D ．7 2 12．(2013·湖北省八校高三第二次联考)定义：平面内两条相交但不垂直的数轴构成的坐标系(两条数轴的原点重合且单位长度相同)称为平面斜坐标系．在平面斜坐标系xOy 中，若OP →＝x e 1＋y e 2(其中e 1，e 2分别是斜坐标系x 轴，y 轴正方向上的单位向量，x ，y ∈R ，O 为坐标系原点)，则有序数对(x ，y )称为点P 的斜坐标．在平面斜坐标系xOy 中，若∠xOy ＝120°，点C 的斜坐标为(2,3)，则以点C 为圆心，2为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程是( )A ．x 2＋y 2－4x －6y ＋9＝0B ．x 2＋y 2＋4x ＋6y ＋9＝0C ．x 2＋y 2－x －4y －xy ＋3＝0D ．x 2＋y 2＋x ＋4y ＋xy ＋3＝013．某市为增强市民节约粮食的意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示．若用分层抽样的方法从第3,4,5组中共抽取12名志愿者参加10月16日的“世界粮食日”宣传活动，则从第4组中抽取的人数为________．14．已知一圆柱内接于球O ，且圆柱的底面直径与母线长均为2，则球O 的表面积为________．15．(2013·石家庄市高中毕业班复习教学质量检测(二))在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为BC 的中点，若F 为该矩形内(含边界)任意一点，则AE →·AF →的最大值为________．16．已知函数y ＝f (x )的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )，若向量a ＝(log 12m ，－1)，b ＝(1，－2)，则满足不等式f (a ·b )<f (－1)的实数m 的取值范围是________．备选题 1．若不等式|3x －a |<4的解集中的整数有且仅有2和3，则实数a 的取值范围是________． 2．现有一根n 节的竹竿，自上而下每节的长度依次构成等差数列，最上面一节长为10 cm ，最下面的三节长度之和为114 cm ，第6节的长度是首节与末节长度的等比中项，则n ＝________.中档小题(七)1．【解析】选D.本题可通过依次检验选项是否满足f (－x )＝1f (x )得到D 选项不满足；也可赋值令x ＝1得f (1)＝0；令x ＝－1得f (－1)＝0，而对于函数f (x )＝x 2，f (±1)＝1，故选D.2．【解析】选B.该几何体是从一个球体中挖去14个球体后剩余的部分，所以该几何体的表面积为34×4×π×22＋π×22＝16π.3．【解析】选B.该命题的否定是“直线a ⊥平面α，∃b 0⊂α，a 与b 0不垂直”． 4．【解析】选A.依题意，数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30成等比数列，因此有(S 20－S 10)2＝S 10(S 30－S 20)，即(S 20－10)2＝10(70－S 20)，故S 20＝－20或S 20＝30；又S 20>0，因此S 20＝30，S 20－S 10＝20，S 40＝10＋20＋40＋80＝150.5．【解析】选C.由题意可知双曲线的右焦点的坐标为(2,0)，渐近线为3x ±y ＝0，所以r ＝23(3)2＋1＝3，所以圆的方程是(x －2)2＋y 2＝3. 6．【解析】选D.y ＝cos(2x －3π4)＝cos(2x －π4－π2)＝cos[π2－(2x －π4)]＝sin(2x －π4)与y ＝sin(2x＋π4)的图象关于原点对称． 7．【解析】选B.由题意可得x ＝x 1＋x 2＋…＋x mm，y ＝y 1＋y 2＋…＋y n n，z ＝x 1＋x 2＋…＋x m ＋y 1＋y 2＋…＋y n m ＋n ＝m x ＋n y m ＋n ＝m m ＋n x ＋n m ＋n y ，则0<α＝m m ＋n ≤12，∴m ≤n .故选B. 8．【解析】选C.∵a ，b 是单位向量，∴|a |＝|b |＝1. 又a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴|a ＋b |＝ 2. ∴|c －a －b |2＝c 2－2c ·(a ＋b )＋2a ·b ＋a 2＋b 2＝1. ∴c 2－2c ·(a ＋b )＋1＝0， ∴2c ·(a ＋b )＝c 2＋1.∴c 2＋1＝2|c ||a ＋b |cos θ(θ是c 与a ＋b 的夹角)． ∴c 2＋1＝22|c |cos θ≤22|c |.∴c 2－22|c |＋1≤0. ∴2－1≤|c |≤2＋1.∴|c |的最大值为2＋1. 9．【解析】选B.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，其中x 1>0，x 2>0.过A ，B 两点的直线方程为x ＝my ＋1，将x ＝my ＋1与y 2＝4x 联立得y 2－4my －4＝0，y 1y 2＝－4，则由⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋1＝3(x 2＋1)x 1x 2＝y 214·y 224＝(y 1y 2)216＝1，解得x 1＝3，x 2＝13，故线段AB 的中点到该抛物线的准线x ＝－1的距离等于x 1＋x 22＋1＝83.10．【解析】选D.将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n －1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n －1}的第16×6＋2＝98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.11．【解析】选C.如图，在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC ＝100＋36－1962×10×6＝－12，所以∠ADC ＝120°，故∠ADB ＝60°. 在△ABD 中，AD ＝10，B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B ，所以AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.12．【解析】选C.设圆上任一点P (x ，y )，则CP →＝(x －2)e 1＋(y －3)e 2，|CP →|2＝(x －2)2＋2(x －2)(y －3)e 1·e 2＋(y －3)2＝(x －2)2＋2(x －2)(y －3)(－12)＋(y －3)2＝4，故所求方程为x 2＋y 2－x －4y －xy ＋3＝0.13．【解析】根据图形可知第3,4,5组的频率成等差数列，故各组抽取的人数也成等差数列，所以从第4组抽取了123＝4人．【答案】4 14．【解析】该组合体的轴截面如图，可得球的半径为2，其表面积为4π(2)2＝8π.【答案】8π15．【解析】以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则E (2，12)，设F (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤20≤y ≤1，AE →·AF →＝2x ＋12y ，令z ＝2x ＋12y ，当z ＝2x ＋12y 过点(2,1)时，AE →·AF →取最大值92.【答案】9216．【解析】因为函数y ＝f (x )的图象是开口向下的抛物线，且对任意x ∈R ，都有f (1－x )＝f (1＋x )，所以函数y ＝f (x )为开口向下、以x ＝1为对称轴的二次函数，所以f (－1)＝f (3)．又因为a ·b ＝log 12m ＋2，所以不等式f (a ·b )<f (－1)即为不等式log 12m ＋2<－1或log 12m ＋2>3，解得m >8或0<m <12.【答案】(0，12)∪(8，＋∞)备选题1．【解析】由|3x －a |<4得，－4<3x －a <4，a －43<x <a ＋43.∵|3x －a |<4的解集中整数有且仅有2和3，∴⎩⎨⎧1≤a －43<23<a ＋43≤4，解得⎩⎪⎨⎪⎧7≤a <105<a ≤8，∴7≤a ≤8.【答案】[7,8]2．【解析】设自上而下各节的长度组成等差数列{a n }，则a 1＝10，a n －2＋a n －1＋a n ＝114，a 1a n ＝a 26.设等差数列的公差为d (d ≠0)，则3a 1＋(3n －6)d ＝114，a 21＋(n －1)a 1d ＝a 21＋10a 1d ＋25d 2，即10＋(n －2)d ＝38，(n －11)×10＝25d ，即(n －2)d ＝28，(n －11)×2＝5d ，两式相乘得(n －2)·(n －11)＝70，解得n ＝16.【答案】16。