最新高考-2018年高考数学概率统计的解题技巧 精品
高考数学中的概率题如何解答
我们通过一个具体的例子来看看。
题目：在一次抽奖活动中，盒子里有10张奖券，其（1）甲抽到一等奖的概率；
（2）在甲抽到一等奖的情况下，乙抽到一等奖的概率。
对于第一问，甲从10张奖券中抽一张，抽到一等奖的概率就是3/10。
对于第二问，在甲抽到一等奖后，剩下9张奖券，其中2张是一等奖，所以乙抽到一等奖的概率就是2/9。
高考数学中的概率题如何解答
在高考数学中，概率题是一个重要的考点，也是不少同学感到头疼的部分。但其实，只要掌握了正确的方法和思路，概率题并没有想象中那么难。接下来，咱们就一起探讨一下高考数学中概率题的解答方法。
首先，我们要清楚概率的基本概念。概率，简单来说，就是某一事件发生的可能性大小。比如抛一枚硬币，正面朝上的概率就是05。在概率的计算中，我们常常会用到排列组合的知识。所以，熟练掌握排列组合的公式和计算方法是解答概率题的基础。
那么，在面对具体的概率题时，我们该怎么做呢？第一步，一定要认真读题，弄清楚题目所描述的事件和条件。很多同学在这一步就出错，没有理解题目意思就盲目做题，结果可想而知。比如，题目说从5个不同颜色的球中取出2个，这是组合问题；如果说取出2个球依次取出，这就是排列问题。
第二步，选择合适的计算方法。如果是等可能事件的概率，我们通常用事件包含的基本事件数除以总的基本事件数。举个例子，一个袋子里有3个红球和2个白球，从中随机取出一个球是红球的概率，这里总的基本事件数是5，红球的基本事件数是3，所以概率就是3/5。
如果涉及到相互独立事件同时发生的概率，就用乘法原理。比如，甲投篮命中的概率是08，乙投篮命中的概率是07，两人投篮相互独立，那么两人都命中的概率就是08×07＝056。
高考数学概率题解题技巧
高考数学概率题解题技巧高考数学中，概率题是比较常见的题目，也是相对较难的一类题目。
因为概率题通常需要考虑多种情况，计算方法也比较复杂。
所以，本文将介绍一些概率题解题技巧，帮助大家更好地解决高考数学概率题。
一、理解题意在解决概率题之前，最重要的事情是要理解题意。
很多概率题目看似简单却很容易被细节问题绊住。
因此，理解题意非常重要，可以避免做错题。
二、列出样本空间样本空间是指所有可能的结果集合。
在解决概率题时，一定要先列出样本空间。
例如，假设一只碗里有6颗红色和4颗蓝色的球，那么样本空间可以表示为{红，红，红，红，红，红，蓝，蓝，蓝，蓝}。
三、计算概率计算概率是解决概率题的重要步骤。
概率的计算方法有很多种，下面介绍几种常见的计算概率的方法。
（一）频率法频率法是指在大量实验中某一事件发生的次数除以总次数。
例如，掷骰子的概率可以用冠以想象矩形的比例计算。
（二）理论概率理论概率是指在理论上计算某一事件出现的可能性。
例如，某一事件在样本空间中所占的比例即为理论概率。
（三）条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的情况下，另一事件发生的概率。
例如，在抽出一张红牌的前提下，抽到一张黑牌的概率。
（四）全概率公式全概率公式是指在考虑多种情况时，计算出每种情况的概率再加和。
例如，某一班级有30%的学生喜欢篮球，20%的学生喜欢足球，50%的学生不喜欢任何一项运动。
如果随机选择一位学生，则他或她喜欢篮球的概率为30%，喜欢足球的概率为20%。
四、应用概率公式在理解题意、列出样本空间、计算概率后，接下来就是应用概率公式，计算出最终答案。
在此过程中，考虑到题目的复杂性和应用理论的不同，还需要区分概率的加法原理和乘法原理的使用情况。
（一）概率的加法原理概率的加法原理指的是在互斥的事件中，多种事件的概率可以相加。
例如，较大模型或方案仅可由多个相互独立的模块或方案合并得到，而每个模块或方案的概率可相加。
（二）概率的乘法原理概率的乘法原理指的是在两个或多个独立事件中，两个或多个事件同时发生的概率可以相乘。
高中数学概率与统计题型解答方法
高中数学概率与统计题型解答方法概率与统计是高中数学中的重要内容，也是学生们普遍感觉较为困难的部分。
在这篇文章中，我将为大家介绍一些解答概率与统计题型的方法和技巧，希望能够帮助大家更好地理解和应对这一部分的考试内容。
一、概率题型解答方法概率题型主要涉及到事件的发生可能性以及事件之间的关系。
在解答概率题型时，我们可以按照以下步骤进行：1. 确定样本空间：首先要明确问题中所涉及的所有可能结果，这些结果构成了样本空间。
例如，如果问题是抛一枚硬币，我们可以得到样本空间为{正面，反面}。
2. 确定事件：根据问题的要求，确定我们关注的事件。
例如，如果问题是抛一枚硬币，要求出现正面的概率，那么我们可以将事件定义为“出现正面”。
3. 计算概率：根据事件发生的可能性和样本空间的大小，计算事件发生的概率。
例如，对于抛一枚硬币出现正面的问题，由于样本空间中只有两个结果，所以事件发生的概率为1/2。
除了基本的概率计算，还有一些特殊的概率题型，例如条件概率、独立事件等。
对于这些题型，我们需要根据具体情况使用相应的公式和方法进行计算。
二、统计题型解答方法统计题型主要涉及到数据的收集、整理和分析。
在解答统计题型时，我们可以按照以下步骤进行：1. 收集数据：首先要明确问题中所要求的数据类型和范围，然后进行数据的收集。
例如，如果问题是调查学生的身高，我们可以通过测量学生的身高来收集数据。
2. 整理数据：将收集到的数据进行整理和分类，以便后续的分析。
例如，可以将学生的身高按照一定的范围进行分组，并制作成频数表或直方图。
3. 分析数据：根据问题的要求，对数据进行分析和计算。
例如，可以计算出数据的平均值、中位数、众数等统计量，以及数据的方差和标准差等。
除了基本的数据分析，还有一些特殊的统计题型，例如假设检验、相关性分析等。
对于这些题型，我们需要根据具体情况使用相应的统计方法和检验标准进行分析。
三、举一反三在解答概率与统计题型时，我们可以通过举一反三的方法拓展思路，将相似的题目进行比较和联系，从而更好地理解和解答题目。
高考统计概率题型的解题方法
高考统计概率题型的解题方法高考统计与概率题型是数学考试中的一个重要部分，涉及到了统计概率的基本概念和计算方法。
在解决这类题目时，需要掌握一定的理论知识和解题技巧。
本文将从概率的基本概念、统计的基本概念和解题方法三个方面进行详细介绍，希望能够帮助广大考生更好地应对高考中的统计与概率题型。
一、概率的基本概念1.1概率的定义概率是统计学中的一个重要概念，指的是某一事件发生的可能性大小。
通常用P(A)表示事件A发生的概率，概率的取值范围在0到1之间，即0≤P(A)≤1。
1.2事件的互斥与独立在概率理论中，事件的互斥和独立是两个重要概念。
互斥事件指的是两个事件不能同时发生，如果事件A发生了，则事件B必定不会发生；独立事件指的是两个事件相互不影响，即事件A的发生与否不会改变事件B的发生概率。
1.3条件概率条件概率是指在已知另一事件发生的条件下，某一事件发生的概率。
通常用P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
1.4排列与组合排列和组合是概率计算中常用的数学方法。
排列指的是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照一定顺序排成一列的不同方式的总数，通常用P(n,m)表示；组合指的是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素不计顺序的所有可能的方式的总数，通常用C(n,m)表示。
以上是概率的基本概念，掌握这些知识对于解决高考中的统计与概率题型至关重要。
接下来将介绍统计的基本概念。
二、统计的基本概念2.1数据的分类在统计学中，数据可以分为定性数据和定量数据两类。
定性数据指的是用文字描述的数据，如性别、颜色等；定量数据指的是用数字表示的数据，如身高、体重等。
2.2统计图表统计图表是用图形来表示统计数据的工具，常见的统计图表包括柱状图、折线图、饼图等。
掌握这些图表的绘制方法和数据的解读对于解决统计题型十分重要。
2.3参数与总体在统计学中，参数是指总体的特征数值，通常用μ表示；总体是指研究对象的全体，也可以理解为所有可能的个体的集合。
高中数学概率统计题解题技巧
高中数学概率统计题解题技巧概率统计是高中数学中的一个重要章节，也是学生们普遍感到困惑的一个部分。
在解题过程中，掌握一些解题技巧可以帮助学生更好地理解和应用概率统计知识。
本文将通过具体的题目举例，分析和说明一些常见的概率统计题解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地掌握这一知识点。
一、概率计算题概率计算题是概率统计中最基础也是最常见的题型之一。
在解答概率计算题时，我们需要明确事件的样本空间和事件的可能性，然后利用概率的定义进行计算。
例如，某班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。
现在从中随机抽取一名学生，求抽到男生的概率。
解题思路：首先，我们需要确定样本空间，即所有可能的结果。
在这个题目中，样本空间为班级中的所有学生。
然后，我们需要确定事件，即我们所关心的结果。
在这个题目中，事件为抽到男生。
最后，我们利用概率的定义，即事件发生的次数除以样本空间的大小，计算概率。
在这个题目中，男生的数量为15，样本空间的大小为30，所以抽到男生的概率为15/30=0.5。
通过这个例子，我们可以看出，解概率计算题时，首先要明确样本空间和事件，然后利用概率的定义进行计算。
另外，对于一些特殊的概率计算题，我们可以利用排列组合的知识来简化计算过程。
二、条件概率题条件概率题是概率统计中的另一个重要题型。
在解答条件概率题时，我们需要根据给定的条件，计算事件在条件下发生的概率。
例如，某班级有30名学生，其中15名男生和15名女生。
现在从中随机抽取一名学生，已知抽到男生的概率为1/2，求该学生是女生的概率。
解题思路：首先，我们需要根据已知条件计算事件在条件下发生的概率。
在这个题目中，已知抽到男生的概率为1/2，即在所有男生中随机抽取一名学生的概率为1/2。
然后，我们需要确定事件，即我们所关心的结果。
在这个题目中，事件为该学生是女生。
最后，我们利用条件概率的定义，即事件在条件下发生的概率等于事件和条件同时发生的概率除以条件的概率，计算概率。
高考数学中概率与统计的解题技巧有哪些
高考数学中概率与统计的解题技巧有哪些在高考数学中，概率与统计是一个重要的考点，也是很多同学感到头疼的部分。
但其实，只要掌握了一些解题技巧，就能在这部分题目中取得较好的成绩。
首先，我们要对基本概念有清晰的理解。
概率的定义是事件发生的可能性大小，而统计则是对数据的收集、整理、分析和解释。
比如，随机事件、必然事件、不可能事件，以及概率的加法公式、乘法公式等，这些都是解题的基础。
如果对基本概念模糊不清，就很容易在解题时出现错误。
在理解概念的基础上，要善于运用公式。
比如，古典概型的概率公式 P(A) ＝ m ／ n ，其中 m 是事件 A 包含的基本事件个数，n 是基本事件总数。
还有条件概率公式 P(B|A) ＝ P(AB) ／ P(A) 等。
在使用公式时，要注意其适用条件，不能盲目套用。
对于排列组合问题，这是概率计算中的一个常见难点。
要掌握好排列数和组合数的计算公式，以及解决排列组合问题的常用方法，如捆绑法、插空法、特殊元素优先法等。
例如，在计算从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数时，如果存在相邻元素需要捆绑在一起看作一个整体，再与其他元素进行排列；如果存在不相邻元素，则先排其他元素，然后将不相邻元素插入到这些元素形成的空隙中。
概率与统计中的图表问题也不容忽视。
比如，频率分布直方图、茎叶图等。
要能够从图表中获取关键信息，比如频率、平均数、中位数、众数等。
通过对图表的观察和分析，找到解题的线索。
在处理概率问题时，要学会分类讨论。
有时候一个问题可能需要分成多种情况来考虑，分别计算每种情况的概率，然后再根据题目要求进行综合。
例如，在掷骰子的问题中，可能需要分别考虑点数为奇数和偶数的情况。
另外，反证法也是一种常用的解题技巧。
当直接证明某个结论比较困难时，可以先假设其反面成立，然后推出矛盾，从而证明原结论的正确性。
在统计部分，样本均值、样本方差的计算方法要熟练掌握。
同时，要理解样本对总体的估计作用，能够根据样本数据对总体的参数进行估计和推断。
高中数学概率统计解题技巧
高中数学概率统计解题技巧概率统计是高中数学中的一门重要课程，也是考试中常见的题型。
掌握好解题技巧，能够帮助学生提高解题效率，更好地应对考试。
本文将从几个常见的概率统计题型入手，分析其考点和解题方法，帮助学生掌握解题技巧。
一、排列组合题排列组合是概率统计中常见的题型，它要求我们计算某种情况下的可能性。
例如，某班有10个学生，要从中选出3个学生组成一个小组，问有多少种不同的选法？这类题目的关键在于确定组合的方式。
对于上述问题，我们可以使用组合公式C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)来计算。
其中，n表示总数，m表示选取的个数。
二、事件概率题事件概率题是概率统计中最基础的一类题型，它要求我们计算某个事件发生的概率。
例如，抛一枚骰子，问出现奇数的概率是多少？解决这类问题的关键在于确定样本空间和事件发生的可能性。
对于上述问题，骰子的样本空间为{1,2,3,4,5,6}，而出现奇数的事件为{1,3,5}，所以概率为3/6=1/2。
三、条件概率题条件概率题是概率统计中较为复杂的一类题型，它要求我们在给定某个条件下计算事件发生的概率。
例如，某班有30个学生，其中20个是男生，10个是女生。
从中随机选取一个学生，问选到女生的概率是多少？解决这类问题的关键在于确定条件下的样本空间和事件发生的可能性。
对于上述问题，在给定条件下，样本空间为{男生，女生}，而选到女生的事件为{女生}，所以概率为10/30=1/3。
四、独立事件题独立事件题是概率统计中常见的一类题型，它要求我们计算多个事件同时发生的概率。
例如，某班有30个学生，其中20个是男生，10个是女生。
从中随机选取两个学生，问选到两个女生的概率是多少？解决这类问题的关键在于确定事件的独立性和事件发生的可能性。
对于上述问题，选到第一个女生的概率为10/30=1/3，选到第二个女生的概率为9/29。
由于两个事件是相互独立的，所以选到两个女生的概率为(1/3)*(9/29)=3/29。
最新高考-2018届高考数学概率统计的解题技巧 精品
第八讲 概率统计的解题技巧【命题趋向】 概率统计命题特点：1.在近五年高考中,新课程试卷每年都有一道概率统计解答题,并且这五年的命题趋势是一道概率统计解答题逐步增加到一道客观题和一道解答题;从分值上看,从12分提高到17分;由其是实施新课标考试的省份, 增加到两道客观题和一道解答题．值得一提的是此累试题体现了考试中心提出的“突出应用能力考查”以及“突出新增加内容的教学价值和应用功能”的指导思想,在命题时,提高了分值,提高了难度,并设置了灵活的题目情境,如测试成绩、串联并联系统、计算机上网、产品合格率、温度调节等,所以在概率统计复习中要注意全面复习,加强基础,注重应用.2.就考查内容而言,用概率定义(除法)或基本事件求事件(加法、减法、乘法)概率，常以小题形式出现；随机变量取值－取每一个值的概率－列分布列－求期望方差常以大题形式出现．概率与统计还将在选择与填空中出现，可能与实际背景及几何题材有关． 【考点透视】1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．4．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 5． 掌握离散型随机变量的分布列. 6．掌握离散型随机变量的期望与方差. 7．掌握抽样方法与总体分布的估计. 8．掌握正态分布与线性回归. 【例题解析】考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识:(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝)()(I card A card ＝n m ;等可能事件概率的计算步骤：① 计算一次试验的基本事件总数n ;② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; ③ 依公式()m P A n=求值;④ 答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P ()＝P (A ＋)＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B );特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.例1．(2018年上海卷文)在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [考查目的]本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.[解答过程]0.3提示:1335C 33.C 102P ===例2．(2018年全国II 卷文)一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．[考查目的]本题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式，同时考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法. [解答过程]1.20提示:51.10020P ==例3 (2018年全国I 卷文)从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 518 518 492 496 500 501 499根据的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g 之间的概率约为__________．[考查目的]本题主要考查用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.[解答过程]在497.5g~501.5内的数共有5个，而总数是20个，所以有51.204=点评：首先应理解概率的定义，在确定给定区间的个体的数字时不要出现错误.例4. （2006年湖北卷）接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为33244555550.800.200.800.200.800.94C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅=.故填0.94.例5．（2006年江苏卷）右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（A ）454 （B ）361 （C ）154 （D ）158[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.[解答提示]由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有2226423315C C C A =种分法，同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有2226423315C C C A =种分法；要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有55120A =种，所求的概率是120822515P ==，所以选D.点评：本题要求学生能够熟练运用排列组合知识解决计数问题，并进一步求得概率问题，其中隐含着平均分组问题. 例6． (2018年全国II 卷文)从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =． （1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．[解答过程]（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”．则01A A ，互斥，且01A A A =+，故01()()P A P A A =+212012()()(1)C (1)1.P A P A p p p p =+=-+-=- 于是20.961p =-．解得120.20.2p p ==-，（舍去）．（2）记0B 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则0B B =．若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有1000.220⨯=件，故28002100C 316()C 495P B ==．00316179()()1()1.495495P B P B P B ==-=-=例7．（2006年上海卷）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率 是 （结果用分数表示）．[考查目的] 本题主要考查运用排列和概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.[解答提示]从两部不同的长篇小说8本书的排列方法有88A 种，左边4本恰好都属于同一部小说的的排列方法有442442A A A 种.所以, 将符合条件的长篇小说任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是 44244288135A A A P A ==种.所以,填135.例8．（ 2006年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球.由甲，乙两袋中各任取2个球.(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为43，求n.[考查目的]本题主要考查排列组合、概率等基本知识，同时考察逻辑思维能力和数学应用能力.[标准解答]（I ）记“取到的4个球全是红球”为事件A .22222245111().61060C C P A C C =⋅=⋅=（II ）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B ，“取到的4个球只有1个红球”为事件1B ，“取到的4个球全是白球”为事件2B . 由题意，得31()1.44P B =-=2111122222122224242()n n n n C C C C C C P B C C C C ++⋅⋅=⋅+⋅22;3(2)(1)n n n =++ 22222242()n n C C P B C C +=⋅(1);6(2)(1)n n n n -=++ 所以, 12()()()P B P B P B =+22(1)3(2)(1)6(2)(1)n n n n n n n -=+++++14=，化简，得271160,n n --=解得2n =，或37n =-（舍去）， 故 2n =.例9. (2018年全国I 卷文)某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率； （Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验等的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．[解答过程]（Ⅰ）记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．2()(10.6)0.064P A =-=， ()1()10.0640.936P A P =-=-=．（Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”．0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”．1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”．则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，1213()0.60.40.432P B C =⨯⨯=．01()()P B P B B =+01()()P B P B =+0.2160.432=+0.648=．例10．（2006年北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过；方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,a b c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）[考查目的] 本题主要考查互斥事件有一个发生的概率和对立事件的概率,以及不等式等基本知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力.[标准解答]记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B,C ， 则P (A )=a ，P (B )＝b ，P (C )=c. (Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率p 1=P (A·B ·C )+P (A ·B·C )+P (A ·B ·C )+P (A·B·C ) =a×b×(1-c)+(1-a)×b×c+a×(1-b)×c+a×b×c=ab+bc+ca-2abc. 应聘者用方案二考试通过的概率p 2=31P (A·B )+ 31P (B·C )+ 31P (A·C )= 31×(a×b+b×c+c×a)= 31 (ab+bc+ca)(Ⅱ) p 1- p 2= ab+bc+ca-2abc-31 (ab+bc+ca)= 23( ab+bc+ca-3abc)≥23]3abc =0≥.∴p 1≥p 2例11．(2018年陕西卷文)某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为54、53、52、51，且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率. （注：本小题结果可用分数表示）[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．[解答过程]（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(1234)i A i =，，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =，41()5P A =，∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率412341234432496()()()()()5555625P P A A A A P A P A P A P P ===⨯⨯⨯=．（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率3112123()P P A A A A A A =++112123()()()()()()P A P A P A P A P A P A =++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=． 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量.2.离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，…;（2）++21P P …=1. ②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n ，并且kn k k n k q p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的分布列如下：称这样随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p n B ξ，其中n 、p 为参数，并记：),;(p n k b q p C kn k k n =- .（2） 几何分布在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量ξ的概率分布为：例12．（2018年四川卷理）厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.[解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算，有()()4110.20.9984P A P A =-=-= （Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2． ()2172201360190C P C ξ===，()11317220511190C C P C ξ===，()2322032190C P C ξ===136513301219019019010E ξ=⨯+⨯+⨯=． 记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率()136271119095P P B =-=-=．所以商家拒收这批产品的概率为2795．例13．（2018年陕西卷理）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52,且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.（注：本小题结果可用分数表示）[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.[解答过程]解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =， ∴该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=． （Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11(1)()5P P A ξ===，1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=，12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=．ξ∴的分布列为1812571235252525E ξ∴=⨯+⨯+⨯=．解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =． ∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-4321011555125=-⨯⨯=．（Ⅱ）同解法一．考点3 离散型随机变量的期望与方差 随机变量的数学期望和方差(1)离散型随机变量的数学期望：++=2211p x p x E ξ…；期望反映随机变量取值的平均水平. ⑵离散型随机变量的方差：+-+-=222121)()(p E x p E x D ξξξ…+-+n n p E x 2)(ξ…； 方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.⑶基本性质：b aE b a E +=+ξξ)(；ξξD a b a D 2)(=+.(4)若ξ～B(n ，p)，则 np E =ξ ; D ξ =npq （这里q=1-p ） ;如果随机变量ξ服从几何分布，),()(p k g k P ==ξ，则pE 1=ξ，D ξ =2pq 其中q=1-p.例14．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε和η的分布列如下：则比较两名工人的技术水平的高低为 .思路启迪：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.解答过程：工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：7.0103210111060=⨯+⨯+⨯=εE ， 891.0103)7.02(101)7.01(106)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=εD ； 工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：7.0102210311050=⨯+⨯+⨯=ηE ，664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=ηD 由Eε=Eη知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但Dε>Dη，可见乙的技术比较稳定.小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.例15.（2018年全国I 理）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．[考查目的] 本小题主要考查概率和离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.[解答过程]（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=， ()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）． 小结：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力. 例16.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是A.70，25B.70，50C.70，1.04D.65，25 解答过程：易得x 没有改变，x =70， 而s 2=481［（x 12+x 22+…+502+1002+…+x 482）－48x 2］=75， s ′2=481［（x 12+x 22+…+802+702+…+x 482）－48x 2］ =481［（75×48+48x 2－12500+11300）－48x 2］ =75－481200=75－25=50. 答案：B考点4 抽样方法与总体分布的估计抽样方法1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）. 3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样. 总体分布的估计由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布. 总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线. 典型例题例17.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件.那么此样本的容量n= . 解答过程：A 种型号的总体是210，则样本容量n=1016802⨯=.例18．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m k +的个位数字相同，若6m =，则在第7组中抽取的号码是 ．解答过程：第K 组的号码为(1)10k - ，(1)101k -+，…，(1)109k -+，当m=6时，第k 组抽取的号的个位数字为m+k 的个位数字，所以第7组中抽取的号码的个位数字为3 ，所以抽取号码为63． 例19．考查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：cm ）如下：171 163 163 166 166 168 168 160 168 165171 169 167 169 151 168 170 160 168 174165 168 174 159 167 156 157 164 169 180176 157 162 161 158 164 163 163 167 161⑴作出频率分布表；⑵画出频率分布直方图.思路启迪：确定组距与组数是解决“总体中的个体取不同值较多”这类问题的出发点.解答过程：⑴最低身高为151，最高身高180，其差为180-151=29。
高考统计概率题型的解题方法
高考统计概率题型的解题方法高考统计概率题型通常涉及到概率、期望和抽样等内容。
解题的方法和思路决定了我们能否高效地解决这些题目。
下面我将介绍一些常用的解题方法，希望对您有所帮助。
一、概率问题的解题方法1.事件的概率计算在解决概率问题时，首先要确定所求事件的概率。
概率可以表示为“事件发生的次数/总的可能次数”。
有以下几种常见情况：-均匀概率问题：即各事件发生的概率相等。
此时，所求事件的概率等于所求事件发生的次数/总的可能次数。
-条件概率问题：即事件A在事件B已经发生的条件下发生的概率。
此时，所求事件的概率等于事件A与事件B同时发生的次数/事件B发生的次数。
-独立事件概率问题：即事件A和事件B相互独立，互不影响。
此时，所求事件的概率等于事件A发生的概率乘以事件B发生的概率。
2.用排列组合解决问题有些概率问题中，可能涉及到多个选择，这时可以使用排列组合的方法来解决。
-排列：表示从n个元素中取出m个元素按照一定顺序排列的数目。
计算排列数的公式为：P(n,m)=n!/(n-m)!-组合：表示从n个元素中取出m个元素，不考虑其排列顺序的情况。
计算组合数的公式为：C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)二、期望问题的解题方法1.期望的定义期望是一个随机变量在长期重复试验中出现的平均现象，通常用E 表示。
对于离散型随机变量，其期望可以表示为：E(X)=∑(x*p(x))，其中x为取值，p(x)为该值出现的概率。
对于连续型随机变量，期望可以用积分的形式表示。
2.期望的性质-线性性质：设X，Y为两个随机变量，a，b为常数，则E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)。
-期望的非负性：对于任意的随机变量X，有E(X)>=0。
-期望的加法性质：对于任意的随机变量X，Y，有E(X+Y)=E(X)+E(Y)。
三、抽样问题的解题方法1.抽样方法在抽样问题中，常见的有放回抽样和不放回抽样两种方法。
-放回抽样：即每次抽到一个元素后，将抽到的元素放回到总体中。
如何解决高考数学中的概率与统计难题
如何解决高考数学中的概率与统计难题概率与统计是高考数学中的一个重要内容，也是许多考生感到困惑和头疼的地方。
概率与统计难题往往需要考生运用数学知识和思维方法，进行抽象思维和逻辑推理，因此解决这类难题需要一定的技巧和方法。
本文将介绍一些解决高考数学中概率与统计难题的方法，帮助考生提高解题能力。
一、理解概率与统计的基本概念要解决概率与统计难题，首先需要对概率与统计的基本概念有清晰的理解。
概率是可以用来描述可能性的一种数值，可以根据事件发生的次数与总次数之比计算得到。
统计是通过对具体事物的观察和数据的收集，对现象进行总结和分析的方法。
了解概率与统计的定义和基本原理，可以更好地应用到解题过程中。
二、掌握概率与统计的计算方法掌握概率与统计的计算方法是解决难题的关键。
在解题过程中，要根据具体情况选择合适的计算方法，例如组合、排列、条件概率等。
熟练掌握这些计算方法，并能够根据问题中给出的条件，进行适当的转化和求解。
三、分析题目并理清思路解决概率与统计难题需要仔细分析题目，并理清解题思路。
在阅读题目时，要注意关键词和条件，正确理解问题的要求。
有时候，将问题转化为具体的数学模型或图表可以帮助我们更好地理解和解决问题。
在解题过程中，可以逐步推导和建立数学关系，确保解题思路的正确性。
四、多做练习题提高技巧提高解决概率与统计难题的能力需要进行大量的练习。
通过多做各种类型的练习题，可以熟悉不同类型的解题方法，并且可以发现和掌握一些常用的解题技巧。
同时，通过不断练习，可以提高解题的速度和准确性，培养良好的数学思维能力。
五、参考优秀的解题方法和技巧在解决概率与统计难题时，可以参考一些优秀的解题方法和技巧。
可以通过查阅教材、参考书和网络资源，了解一些常见的解题思路和方法。
同时，可以参考一些数学竞赛中的优秀解题思路和方法，借鉴其解题的思路和技巧，提高解题的效率和准确性。
总结起来，解决高考数学中的概率与统计难题需要掌握基本概念，熟练掌握计算方法，理清思路，多做练习题并参考优秀的解题方法和技巧。
概率统计的解题技巧
概率统计的解题技巧概率统计是数学中一个重要的分支，它研究和描述随机事件发生的规律。
在解决概率统计问题时，我们经常会遇到各种各样的难题。
本文将介绍一些常用的概率统计解题技巧，帮助你更好地应对这些难题。
1. 理解基本概念在解决概率统计问题之前，我们首先需要理解一些基本的概念。
其中最基础的概念是概率和统计。
概率是描述某一事件发生的可能性的度量，而统计则是通过对概率进行观察和分析，得出关于总体特征的推断。
在概率统计中，还有一些其他重要的概念，如样本空间、事件、随机变量等。
对于每一个问题，我们需要明确这些概念的含义，以便能够准确地分析和解决问题。
2. 掌握基本计算方法在解决概率统计问题时，一些基本的计算方法是不可或缺的。
这些计算方法包括概率的加法规则、乘法规则、条件概率、贝叶斯公式等。
概率的加法规则指出，如果事件A和事件B是互斥的（即不能同时发生），那么事件A或事件B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率。
概率的乘法规则则描述了两个事件同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以在事件A发生条件下事件B发生的概率。
条件概率指的是在已知一件事件发生的条件下，另一件事件发生的概率。
而贝叶斯公式则是一种用于计算条件概率的公式，它能够根据已知条件和反向概率，推断出另一条件的概率。
掌握这些基本计算方法能够帮助我们更好地解决概率统计问题，对于复杂的问题也能够提供一个解题的思路。
3. 理解概率分布在概率统计中，概率分布是一种描述随机变量可能取值和对应概率的函数。
常见的概率分布包括离散型概率分布和连续型概率分布。
离散型概率分布用于描述随机变量取有限个或可枚举个值的情况，而连续型概率分布则适用于描述随机变量取值在一个区间内的情况。
对于不同类型的概率分布，我们需要了解其特点和相关计算方法。
例如，对于离散型概率分布，我们可以通过列举随机变量的取值和对应的概率来描述分布；对于连续型概率分布，我们可以使用概率密度函数来描述分布，并通过积分计算概率。
概率统计解题技巧归纳总结
概率统计解题技巧归纳总结概率统计是数学中的一个重要分支，它研究随机现象的规律及其数量关系。
在解题过程中，灵活运用概率统计的方法和技巧可以帮助我们更好地理解问题、分析问题并解决问题。
本文将对概率统计解题技巧进行归纳总结，以帮助读者更好地应对概率统计题目。
1.确定问题类型：在解决概率统计问题时，首先需要明确问题的类型。
常见的问题类型包括排列组合问题、概率计算问题、条件概率问题等。
对于不同类型的问题，需要采用不同的解题方法和技巧。
2.画出事件图：为了更好地理解问题，有时可以通过画出事件图来帮助分析问题。
事件图是一种图形表示方法，将问题中的事件以图形的方式表示出来，以便更清晰地理解事件之间的关系。
3.建立数学模型：在解决概率统计问题时，建立数学模型是十分重要的。
通过建立适当的数学模型，可以将实际问题转化为数学问题，更方便地进行计算和分析。
4.利用条件概率：在解决条件概率问题时，可以运用条件概率公式来求解。
条件概率公式是指在给定某个条件下，事件发生的概率的计算公式。
5.利用排列组合：在解决排列组合问题时，需要掌握排列组合的基本原理和计算方法。
排列组合是概率统计中常见的概念，通过灵活运用排列组合的方法，可以解决各种与概率统计相关的问题。
6.运用期望值：期望值是概率统计中的一个重要概念，它用来衡量随机变量的平均值。
在解决与期望值相关的问题时，可以运用期望值的计算公式来求解。
7.注意样本空间和事件的定义：在解决概率统计问题时，需要明确样本空间和事件的定义。
样本空间是指随机试验所有可能结果组成的集合，事件是指样本空间的一个子集。
准确地定义样本空间和事件有助于更好地理解问题并解决问题。
8.分析问题背后的规律：在解决概率统计问题时，有时需要通过分析问题背后的规律来求解。
分析问题背后的规律可以帮助我们更全面地理解问题，从而得出准确的解答。
综上所述，概率统计解题技巧的运用是解决概率统计问题的关键。
通过灵活运用不同的技巧和方法，可以更好地分析问题、解决问题。
高考数学中的概率与统计问题解析技巧分享
高考数学中的概率与统计问题解析技巧分享概率与统计作为高考数学的一部分，是考生们备战高考必须掌握的重要知识点之一。
正确理解和掌握概率与统计问题解析技巧，将有助于我们在高考考场上发挥出更好的水平。
本文将分享一些在解析概率与统计问题时常用的技巧和方法。
一、概率问题解析技巧在概率问题中，我们需要计算某个事件发生的可能性。
下面是几个常用的概率问题解析技巧：1. 确定样本空间：在开始解析概率问题时，首先要明确样本空间中的元素是什么。
样本空间是指所有可能结果组成的集合，通过明确样本空间，有助于我们清晰地分析问题。
2. 使用频率公式：当样本空间中的元素概率相等时，我们可以使用频率公式来计算概率。
频率公式是指事件发生的次数除以总次数，即P(A) = n(A) / n(S)，其中 P(A) 表示事件 A 发生的概率，n(A) 表示事件A 发生的次数，n(S) 表示样本空间中元素的总次数。
3. 使用排列组合：在一些复杂的概率问题中，我们可以使用排列组合的知识来解析。
排列组合可以帮助我们计算样本空间的大小，从而计算概率。
比如，在有限个元素中选择若干个元素，可以使用排列或组合的方法来计算概率。
二、统计问题解析技巧统计问题是指通过一定的数据来推断总体的一些特征。
以下是几个常用的统计问题解析技巧：1. 分析数据：在解析统计问题时，首先要分析所给的数据。
通过观察数据的分布、趋势和规律，我们可以得到对总体的一些认识。
2. 计算统计量：统计问题中，我们常常需要计算一些统计量来描述数据的特征。
比如平均数、中位数、众数、方差等。
计算这些统计量有助于我们对数据进行详细分析，并推断总体的特性。
3. 使用统计方法：在一些复杂的统计问题中，我们可以使用统计方法来解析。
比如假设检验、回归分析、方差分析等。
这些统计方法可以帮助我们更准确地进行总体描述和推断。
三、典型问题示例以下是几个典型的概率与统计问题，我们将运用上述解析技巧来解答：1. 问题一：有一袋中有 4 个黑球和 6 个白球，从中无放回地取出 2 个球，求两个球颜色相同的概率。
2018届高三文科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版
2018届高三文科数学概率与统计解题方法规律技巧详细总结版【简介】概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点.主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键.复习时要在这些图表上下工夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类古典概型概率的计算方法，另外近几年对于变量间的相关关系与统计案例的考察也时常出现，这部分也要做复习的重点.【3年高考试题比较】从近几年的高考命题来看，高考对概率的考查，一般以实际生活题材为背景，以应用题的形式出现.主要考查图表信息的整理及分析，古典概型和统计的相关知识，以回归直线方程和独立性检验为主.概率应用题侧重于古典概型，主要考查随机事件、等可能事件、互斥事件、对立事件的概率.解决简单的古典概型试题可用直接法(定义法)，对于较为复杂的事件的概率，可以利用所求事件的性质将其转化为互斥事件或其对立事件的概率求解.解决古典概型问题的关键在于确定基本事件.回归直线方程以线性为主，对于非线性的往往通过换元得到线性关系，并会利用应用回归方程作出估计，独立性检验以利用2列联表计算K 2为主. 概率统计的试题在高考中文字较大，信息量较大，需要认真阅读，理解题意.【必备基础知识融合】1．概率问题(1)求某些较复杂的概率问题时，通常有两种方法：一是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和，然后利用概率加法公式求其值；二是求此事件A 的对立事件A 的概率，然后利用P (A )＝1－P (A )可得解；(2)用列举法把古典概型试验的基本事件一一列出来，然后再求出事件A 中的基本事件，利用公式P (A )＝m n求出事件A 的概率，这是一个形象、直观的好办法，但列举时必须按照某一顺序做到不重复，不遗漏；(3)求几何概型的概率，最关键的一步是求事件A 所包含的基本事件所占据区域的测度，这里需要解析几何的知识，而最困难的地方是找出基本事件的约束条件． 2．统计问题(1)统计主要是对数据的处理，为了保证统计的客观和公正，抽样是统计的必要和重要环节，抽样的方法有三：简单随机抽样、系统抽样和分层抽样；(2)用样本频率分布来估计总体分布一节的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布，考点是：频率分布表和频率分布直方图的理解及应用；(3)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展开数据发布情况，但当样本数据较多或数据位数较多时，茎叶图就显得不太方便了；(4)回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数.①在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. ②在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. ③如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. （5）线性回归方程①最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.②回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其回归方程为y ^＝b ^x＋a ^，则b ^＝1122211()()()n niii ii i nniii i x x y y x y nx yx x xnx ====---=--∑∑∑∑，a ^=y ^-b ^x .其中，b ^是回归方程的斜率,a ^是在y 轴上的截距. 回归直线一定过样本点的中心（x ，y ）.③.残差分析：残差：对于样本点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，它们的随机误差为e i ＝y i －bx i －a ，i ＝1，2，…，n ，其估计值为e ^i ＝y i －y ^i ＝y i －b ^x i －a ^，i ＝1，2，…，n .e ^i 称为相应于点(x i ，y i )的残差.⑤相关指数：R 2＝1－2121()()niii nii y y y y ==--∑∑.其中21()niii y y =-∑是残差平方和，其值越小，则R 2越大(接近1)，模型的拟合效果越好. （6）.独立性检验①利用随机变量K 2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.②列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X 和Y ，它们的可能取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为计则随机变量K 2＝n （ad －bc ）（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ），其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量.【解题方法规律技巧】典例1：我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5)，[0.5，1)，……，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值；(2)设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；(3)估计居民月均用水量的中位数.(3)设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＋0.25＝0.73>0.5.又前4组的频率之和为0.04＋0.08＋0.15＋0.21＝0.48<0.5.所以2≤x<2.5.由0.50×(x－2)＝0.5－0.48，解得x＝2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.【规律方法】(1)准确理解频率分布直方图的数据特点，频率分布直方图中纵轴上的数据是各组的频率除以组距的结果，不要误以为纵轴上的数据是各组的频率和条形图混淆.(2)“命题角度二”的例题中抓住频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，这是解题的关键，并利用频率分布直方图可以估计总体分布.（3）利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，应注意这三者的区分：(1)最高的矩形的中点横坐标即众数；(2)中位数左边和右边的直方图的面积是相等的；(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和.典例2：某企业有甲、乙两个研发小组.为了比较他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a ，b )，(a ，b －)，(a ，b )，(a －，b )，(a －，b －)，(a ，b )，(a ，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a －，b －)，(a ，b －)(a ，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b ).其中a ，a －分别表示甲组研发成功和失败；b ，b －分别表示乙组研发成功和失败.(1)若某组成功研发一种新产品，则给该组记1分，否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比较甲、乙两组的研发水平；(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率.(2)记E ＝{恰有一组研发成功}.在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a －，b )，(a ，b －)，(a ，b －)，(a －，b )，共7个.因此事件E 发生的频率为715.用频率估计概率，即得所求概率为P (E )＝715.【规律方法】(1)平均数反映了数据的中心，是平均水平，而方差和标准差反映的是数据围绕平均数的波动大小.进行平均数与方差的计算，关键是正确运用公式.(2)平均数与方差所反映的情况有着重要的实际意义，一般可以通过比较甲、乙两组样本数据的平均数和方差的差异，对甲、乙两品种可以做出评价或选择.典例3：随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)求y 关于t 的回归方程y ^＝b ^t ＋a ^；(2)用所求回归方程预测该地区2015年(t ＝6)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中，b ^＝∑ni ＝1t i y i －nt －y －∑n i ＝1t 2i －nt －2，a ^＝y －－b ^t －.(2)将t ＝6代入回归方程可预测该地区2015年的人民币储蓄存款为y ^＝1.2×6＋3.6＝10.8(千亿元)． 【规律方法】(1)在分析实际中两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，也可计算相关系数r 进行判断．若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值． (2)正确运用计算b ^，a ^的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键，并充分利用回归直线y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x －，y －)进行求值．典例4：微信是现代生活进行信息交流的重要工具，据统计，某公司200名员工中90%的人使用微信，其中每天使用微信时间在一小时以内的有60人，其余的员工每天使用微信的时间在一小时以上，若将员工分成青年(年龄小于40岁)和中年(年龄不小于40岁)两个阶段，那么使用微信的人中75%是青年人．若规定：每天使用微信时间在一小时以上为经常使用微信，那么经常使用微信的员工中23是青年人．(1)若要调查该公司使用微信的员工经常使用微信与年龄的关系，列出2×2列联表；(2)由列联表中所得数据判断，是否有99.9%的把握认为“经常使用微信与年龄有关”？附：K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）【规律方法】(1)在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad－bc≈0.|ad－bc|越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．(2)解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论．独立性检验的一般步骤：①根据样本数据制成2×2列联表：②根据公式K2＝n （ad －bc ）2（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ）计算K2的观测值k0；③比较k0与临界值的大小关系，作统计推断．典例5： 某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为2001 000＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为100＋200＋3001 000＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为1001 000＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.【规律方法】1)解题的关键是根据统计图表分析满足条件的事件发生的频数，计算频率，用频率估计概率.(2)频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小，通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.典例6：某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示.已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.(1)确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视为概率).解(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以x＝15，y＝20.【规律方法】(1)①求解本题的关键是正确判断各事件的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.②结算时间不超过2分钟的事件，包括结算时间为2分钟的情形，否则会计算错误.(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的概率，再由P(A)＝1－P(A －)求解.当题目涉及“至多”、“至少”型问题，多考虑间接法.典例7：某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖.抽奖方法是：从装有2个红球A 1，A 2和1个白球B 的甲箱与装有2个红球a 1，a 2和2个白球b 1，b 2的乙箱中，各随机摸出1个球.若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖.(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；(2)有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由. 解 (1)依题意，所有可能的摸出的结果是{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 1，b 1}，{A 1，b 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，{A 2，b 1}，{A 2，b 2}，{B ，a 1}，{B ，a 2}，{B ，b 1}，{B ，b 2}.(2)不正确.理由如下：由(1)知，所有可能的摸出结果共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{A 1，a 1}，{A 1，a 2}，{A 2，a 1}，{A 2，a 2}，共4种，所以中奖的概率为P 1＝412＝13，不中奖的概率为P 2＝1－P 1＝23.由于P 1＝13＜P 2＝23.故这种说法不正确.【规律方法】(1)求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解.(2)本题常见的错误：①理解不清题意，不能把基本事件列举出来；②不能恰当分类，列举基本事件有遗漏，再者本题中基本事件(x ，y)看成有序的，(1，2)与(2，1)等表示不同的基本事件.典例8：空气质量指数(Air Quality Index ，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染.一环保人士记录了某地2016年某月10天的AQI 的茎叶图如图所示. (1)利用该样本估计该地本月空气质量优良(AQI≤100)的天数(按这个月总共30天计算)；(2)若从样本中的空气质量不佳(AQI ＞100)的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求该两天的空气质量等级恰好不同的概率.【规律方法】有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键.典例9：菜农定期使用低害杀虫农药对蔬菜进行喷洒，以防止害虫的危害，但蔬菜上市时蔬菜仍存有少量的残留农药，食用时需要用清水清洗干净，下表是用清水x （单位：千克）清洗蔬菜1千克后，蔬菜上残留的农药y （单位：微克）的统计表：（1）在下面的坐标系中，描出散点图，并判断变量x 与y 是正相关还是负相关；（2）若用解析式2y cx d ∧=+作为蔬菜农药残量y ∧与用水量x 的回归方程，令2w x =，计算平均值w 与y ，完成以下表格（填在答题卡中），求出y ∧与x 的回归方程.（,c d 保留两位有效数字）；（3）对于某种残留在蔬菜上的农药，当它的残留量低于20微克时对人体无害，为了放心食用该蔬菜，请评估需要用多少千克的清水清洗一千克蔬菜？（精确到0.1，参考数据2.236≈）（附：对于一组数据()()()1122,,,,......,,n n u v u v u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：()()()121,niii nii u u v v v u u u βαβ∧∧∧==--==--∑∑）【答案】（1）负相关（2）22.060y x ∧=-+（3）需要4.5千克的清水解析：（1）负相关.（含散点图） （2）11,38w y ==()()()()()()()222221020716215914287512.03741072514c -⨯+-⨯+-⨯+⨯-+⨯-==-≈-+-+-++ 2751381160, 2.060 2.060374d y cw y w x ∧⎛⎫=-=--⨯≈=-+=-+ ⎪⎝⎭. （3）当20y ∧<时， 22.06020, 4.5x x -+≈∴为了放心食用该蔬菜，估计需要4.5千克的清水清洗一千克蔬菜.【规律总结】(1)回归直线y ＝bx ＋a 必过样本点的中心(x ，y )．(2)正确运用计算b ，a 的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．(3)分析两变量的相关关系，可由散点图作出判断，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．（4）分析两个变量的线性相关性，可通过计算相关系数r 来确定，r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值越接近于0，表明两变量线性相关性越弱. 典例10：已知向量a ＝(－2，1)，b ＝(x ，y ).(1)若x ，y 分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求满足a ·b ＝－1的概率； (2)若x ，y 在连续区间[1，6]上取值，求满足a ·b <0的概率.解 (1)将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所包含的基本事件总数为6×6＝36(个)；由a ·b ＝－1， 得－2x ＋y ＝－1，∴a ·b ＝－1包含的基本事件为(1，1)，(2，3)，(3，5)，共3种情形.故P (a ·b ＝ －1)＝336＝112.(2)若x ，y 在连续区间[1，6]上取值，则全部基本事件的结果为Ω＝{(x ，y )|1≤x ≤6，1≤y ≤6}；满足a ·b <0的基本事件的结果为A ＝{(x ，y )|1≤x ≤6，1≤y ≤6且－2x ＋y <0}；画出图形如图，正方形的面积为S 正方形＝25，阴影部分的面积为S 阴影＝25－12×2×4＝21，故满足a ·b <0的概率为2125.【规律总结】古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.几何概型：(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．(2)利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域．（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．【归纳常用万能模板】1.海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．审题路线图利用分层抽样的特征确定各层的抽样比→求出样品中各层的数量→列举基本事件空间→利用古典概型公式求解评分细则(1)各层抽样数量每个算对给1分；(2)没有列举基本事件只求对基本事件个数给1分；(3)求对样本事件个数而没有列出的给1分；(4)最后没下结论的扣1分．2.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40，50)，[50，60)，…，[80，90)，[90，100].(1)求频率分布直方图中a的值；(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；(3)从评分在[40，60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40，50)的概率.满分解答(1)解因为(0.004＋a＋0.018＋0.022×2＋0.028)×10＝1，所以a＝0.006.3分(2)解由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018)×10＝0.4. 所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.5分(3)解受访职工中评分在[50，60)的有：50×0.006×10＝3(人)，记为A1，A2，A3；受访职工中评分在[40，50)的有：50×0.004×10＝2(人)，记为B1，B2，8分从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}.11分又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P＝110.12分❶抓住关键，准确计算(1)得关键分：如第(1)问中，正确求得a＝0.006；第(3)问中列出10个基本事件，错写或多写，少写均不得分.(2)得转化计算分：如第(1)问，第(2)问中的计算要正确，否则不得分；第(3)问中利用“频数、样本容量、频率之间的关系”求得各区间的人数，转化为古典概型的概率.❷步骤规范，防止失误抓住得分点的步骤，“步步为赢”求得满分，本题的易失分点：(1)不能利用频率分布直方图的频率求出a值；(2)求错评分落在[50，60)，[40，50)间的人数；(3)没有指出“基本事件总数”与“事件M”包含的基本事件个数，或者只指出事件个数，没有一一列举10个基本事件及事件M包含的基本事件，导致扣3分或2分.第一步：由各矩形的面积之和等于1，求a的值.第二步：由样本频率分布估计概率.第三步：设出字母，列出基本事件总数及所求事件M所包含的基本事件.第四步：利用古典概型概率公式计算.第五步：反思回顾，查看关键点，易错点和答题规范.【易错易混温馨提醒】一、样本的数字特征的计算1．随着雾霾的日益严重，中国部分省份已经实施了“煤改气”的计划来改善空气质量指数.2017年支撑我国天然气市场消费增长的主要资源是国产常规气和进口天然气，资源每年的增量不足以支撑天然气市场连续300亿立方米的年增量.进口LNG和进口管道气受到接收站、管道能力和进口气价资源的制约.未来，国产常规气产能释放的红利将会逐步减弱，产量增量将维持在80亿方以内.为了测定某市是否符合实施煤改气计划的标准，某监测站点于2016年8月某日起连续200天监测空气质量指数（AQI），数据统计如下：（1）根据上图完成下列表格（2）计算这200天中，该市空气质量指数的平均数；（3）若按照分层抽样的方法，从空气质量指数在101~150以及151~200的等级中抽取7天进行调研，再从这7天中任取2天进行空气颗粒物分析，求恰有1天空气质量指数在101~150上的概率.【答案】（1）见解析（2）95（3）1021 P=【解析】试题分析：（1）根据题意给出的数列，即可求得所求表格数据，进而完成图表；（2）依题意，利用平均数的计算公式，即可求解数列的平均数.（3）依题意，从空气质量指数在101~150以及151~200的天数为5，记为,,,,a b c d e，空气质量指数在151~200的天数为2，记为1，2，列出基本事件的个数，根据古典概型，即可求解相应的概率值.试题解析：解：（1）所求表格数据如下：（2）依题意，故所求平均数为250.2750.41250.251750.12250.0595⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=2.为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽度是否达标，分别从两厂随机各选取了10个轮胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm）记录下来并绘制出如下的折线图：（1）分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均值；（2）轮胎的宽度在[]194,196内，则称这个轮胎是标准轮胎.（i）若从甲乙提供的10个轮胎中随机选取1个，求所选的轮胎是标准轮胎的概率P；（ii）试比较甲、乙两厂分别提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的方差大小，根据两厂的标准轮胎宽度的平均水平及其波动情况，判断这两个工厂哪个厂的轮胎相对更好？【答案】（1）x=甲()195mm.x乙()194mm=.（2）（i）35P=.（ii）见解析.【解析】试题分析：（1）利用折线图能求出甲厂这批轮胎宽度的平均值和乙厂这批轮胎宽度的平均值．（2））①从甲厂提供的10个轮胎中有6个轮胎是标准轮胎，从中随机选取1个，能求出所选的轮胎是标准轮胎的概率．②甲厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，194，196，194，196，195，乙厂这批轮胎宽度都在[194，196]内的数据为195，196，195，194，195，195，求出两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但乙厂的方差更小，从而乙厂的轮胎相对更好．3.为了调查观众对某热播电视剧的喜爱程度，某电视台在甲、乙两地各随机抽取了8名观众作问卷调查，得分统计结果如图所示：（1）计算甲、乙两地被抽取的观众问卷的平均得分；（2）计算甲、乙两地被抽取的观众问卷得分的方差；（3）若从甲地被抽取的8名观众中再邀请2名进行深入调研，求这2名观众中恰有1人的问卷调查成绩在90分以上的概率.【答案】（1）85,85 (2)35.5，41（3）123287 P==（3）依题意，所有的事件的可能性为()()()78,79,78,81,78,82, ()()()78,84,78,88,78,93,()()()78,95,79,81,79,82,()()()79,84,79,88,79,93,()()()79,95,81,82,81,84,()()()81,88,81,93,81,95,()()()82,84,82,88,82,93,()()()82,95,84,88,84,93,()84,95,()()()88,93,88,95,93,95，共28种，其中满足条件的为()()()78,93,78,95,79,93, ()()()79,95,81,93,81,95, ()()()82,93,82,95,84,93, ()()()84,95,88,93,88,95，共12种，故所求概率123287P ==. 二、图表数据的处理4.“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就.自2012年以来，北京城乡居民收入稳步增长.随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收入快速增长，人民生活品质不断提升.下图是北京市2012-2016年城乡居民人均可支配收入实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收入实际增速为7.3%，农村居民收入实际增速为8.2%）.（Ⅰ）从2012-2016五年中任选一年，求城镇居民收入实际增速大于7%的概率；（Ⅱ）从2012-2016五年中任选一年，求至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率； （Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大？（结论不要求证明） 【答案】(Ⅰ)35；(Ⅱ) 910；(Ⅲ)2014年.试题解析：（Ⅰ）设城镇居民收入实际增速大于7%为事件A ，由图可知，这五年中有2012,2013,2014这三年城镇居民收入实际增速大于7%，所以P (A )=35. （Ⅱ）设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B ，这五年中任选两年，有(2012,2013)，(2012,2014)，(2012,2015)，(2012,2016)，(2013,2014)，(2013,2015)，(2013,2016)，(2014,2015)，(2014,2016)，(2015,2016)共10种情况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过7%的为前9种情况，所以P (B )=910. （Ⅲ）从2014开始连续三年农村居民收入实际增速方差最大. 三、非线性回归方程转化为线性回归方程5.已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关，为了确定下一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的温度x （单位：℃），对某种鸡的时段产蛋量y （单位： t ）和时段投入成本z （单位：万元）的影响，为此，该企业收集了7个鸡舍的时段控制温度i x 和产蛋量()1,2,,7i y i =⋅⋅⋅的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中的统计量的值．。
高中数学概率与统计的解题技巧
高中数学概率与统计的解题技巧概率与统计是高中数学中重要的内容之一，也是很多学生认为比较难以掌握的部分。
然而，只要我们掌握了一些解题技巧，概率与统计就不再那么困难了。
本文将介绍几种在解题过程中常用的技巧，希望能对大家有所帮助。
一、排列与组合在概率与统计中，排列与组合是经常涉及到的概念。
排列是指从一组元素中选取若干个进行排序，而组合则是指从一组元素中选取若干个进行组合。
在解题过程中，需要灵活运用排列与组合的概念，以便更好地解决问题。
例如，计算从10个不同的球中选取3个球的组合数，可以使用组合公式C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!)进行计算。
其中，n表示元素的总个数，m表示需要选取的个数。
二、事件的互斥与对立在概率与统计中，事件的互斥与对立是常见的概念。
互斥事件指两个事件不能同时发生，而对立事件则指两个事件中一个发生时另一个必定不发生。
在解题过程中，可以根据事件的互斥性或对立性来简化计算。
例如，计算两个骰子同时掷出的点数之和为奇数的概率，可以将该事件分解为两个互斥事件：一个骰子的点数为奇数，另一个骰子的点数为偶数。
然后，根据互斥事件的概率性质进行计算。
三、频率与概率的关系频率与概率是概率与统计中常用的两个概念。
频率是指某一事件发生的次数与总次数之比，而概率是指某一事件发生的可能性。
在解题过程中，可以根据频率与概率之间的关系进行计算。
例如，假设某一事件在一次实验中发生了m次，在n次实验中总共发生了k 次，那么该事件的频率为m/n，概率为k/n。
通过频率与概率的对应关系，可以计算出事件发生的概率。
四、样本空间与事件在概率与统计中，样本空间是指所有可能结果的集合，而事件则是指样本空间的子集。
在解题过程中，可以通过确定样本空间和事件来计算概率。
例如，计算从一副52张的扑克牌中抽取一张红心牌的概率，可以先确定样本空间为所有52张牌的集合，然后确定事件为抽取到红心牌的集合。
最后，通过计算事件的大小与样本空间的大小之比，即可得到概率。
高考数学概率大题技巧
高考数学概率大题技巧高考数学概率大题技巧第一步：利用频率分布直方图中各小矩形的意义求a的值;第二步：利用频率估计概率;第三步：求对应区间的人数;第四步：求样本空间所包含的所有基本事件;第五步：求所求事件所包含的基本事件;第六步：代入公式求解.高考概率统计题型满分心得(1)写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对得分步骤一定要写全，如第(3)问中，只要求出[40，50)、[50，60)内的人数就各得1分;只要列出所有可能的结果就得4分.(2)写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(3)问中所有基本事件必须列出，所求事件所包含的基本事件必须列出，不能直接求结果.(3)计算准确是保证：如第(1)问中0.022对应的小矩形有2个，若忽视了此点，结果肯定错误.高考数学答题技巧以及时间分配合理分配数学答题时间大家都知道，高考数学考试分为选择题、填空题、解答题三大部分，由于三部分所占的分数份额不同，难度不同，考生可以就自己平时的速度，将这三者的答题时间合理分配。
这三个部分，相对来说，高考数学选择题是可以通过排除法、答案代入法、任意数字代入法等方式得到答案，需要的时间也相对较少，填空题的计算过程通常不会太复杂，每个空格所占的分数也不会很高，因此，高考中要适当地将时间留给更好做数学解答题。
做题选择由简到难的方式高考考生们，想要在高考中取得高分，切记遇到难题不愿意、不甘心放弃，要懂得适当地迂回战术，遇到难题先将其略过，等到其他题目都完成以后，利用剩下的时间再慢慢研究，避免得不偿失的状况出现，还可以节省时间，分配出高考数学难题答题时间。
并且，数学解答题每写出一个步骤，所得到的分数，都远远可能高于一道数学选择题或者填空题的分数，因此，做题也要分清轻重。
养成检查的好习惯有很大一部分高考考生，都会在公布答案之后大呼遗憾，因为很多失分都是不应该的，都是不经意地疏忽造成的。
数学高考数学中的概率与统计题解题方法与思路总结
数学高考数学中的概率与统计题解题方法与思路总结概率与统计是数学中的一个重要分支，也是高考数学中的一项重要内容。
考查概率与统计的题目在高考中占据一定比例，掌握好解题方法与思路对于考生来说是至关重要的。
本文将对高考数学中的概率与统计题解题方法与思路进行总结，并提供一些实用的技巧和示例，帮助考生更好地应对这类题目。
一、概率题解题方法与思路在高考数学中，概率题目主要包括事件与概率、排列组合与概率、概率的计算与运用等内容。
以下是一些解题方法与思路的总结：1. 理清题意：在解概率题前，首先要仔细阅读题目，理解题目所描述的背景和条件。
确定给定事件和所求事件，并结合题目中的条件将问题转化为一个概率问题。
2. 构建样本空间：根据题目所给条件，建立一个恰当的样本空间。
样本空间是所有可能的结果组成的集合，对于复杂的问题，可以利用树状图、表格等方式来构建样本空间，帮助理清逻辑关系。
3. 确定事件：根据题目要求，确定所关注的事件，并通过分析题目中的条件，对事件进行限定条件，以便进行计算。
4. 计算概率：利用概率的定义，计算所求事件发生的概率。
常用的计算方法有等可能原理、排列组合等概率的性质。
5. 运用概率：在解概率题时，还需要掌握条件概率、独立事件等相关概念和计算方法。
根据题目给出的条件，利用已知的概率计算所求的概率，注意要根据条件的不同进行不同的计算。
二、统计题解题方法与思路统计是高考数学中的另一个重要内容，主要包括频率分布、参数估计、假设检验等。
以下是一些解题方法与思路的总结：1. 构建频数表：对于给定的数据，首先要进行整理和分类，然后利用频数表将数据进行统计。
频数表是将数据按照一定的规则分组，统计各组的频数。
2. 绘制统计图表：根据频数表，可以绘制统计图表，如直方图、频率多边形等。
统计图表可以直观地展示数据的分布情况，对于理解问题和进行进一步分析具有重要意义。
3. 计算统计指标：在统计题中，常常需要计算一些统计指标，如平均数、标准差等。
高考数学如何快速计算复杂的概率与统计题目
高考数学如何快速计算复杂的概率与统计题目在高考数学中，概率与统计是一个重要的考点，也是许多学生感到困惑与棘手的部分。
其中，复杂的概率与统计题目尤其令人头疼。
然而，通过一些技巧和方法，我们可以快速而准确地解决这类难题。
本文将介绍一些有用的技巧，帮助学生们在高考中应对复杂的概率与统计题目。
一、概率题目快速解决方法1. 利用条件概率：对于复杂的概率题，我们可以利用条件概率来简化计算。
条件概率是指在某一条件下发生某一事件的概率。
通过利用条件概率，我们可以将复杂问题分解为简单的问题，从而更容易计算。
2. 利用概率公式：在解决概率题目时，我们可以利用概率公式来计算。
例如，对于独立事件的概率计算，我们可以使用乘法原理，即将各个独立事件发生的概率相乘。
而对于事件的互斥情况，我们可以使用加法原理，即将各个互斥事件发生的概率相加。
3. 利用排列组合：有时，概率题目涉及到要求计算某种排列或组合的情况。
在这种情况下，我们可以利用排列组合的知识，帮助我们快速计算出概率。
学好排列组合的方法，对解决复杂的概率题非常有帮助。
二、统计题目快速解决方法1. 利用频数分布表：在解决统计题目时，频数分布表是一个重要的工具。
通过将数据进行分类并统计频数，我们可以更清晰地了解数据的特点以及分布情况。
频数分布表可以帮助我们找到关键信息，并根据统计指标进行分析。
2. 利用统计图表：统计图表是统计题目中常见的表现形式，包括条形图、折线图、饼图等等。
通过观察和分析统计图表，我们可以更直观地理解数据的分布情况，从而快速回答问题。
掌握统计图表的分析方法，是解决统计题目的关键。
3. 利用统计方法：在解决复杂的统计题目时，我们可以运用一些统计方法，如均值、方差、标准差等，来帮助我们分析数据。
通过计算统计指标，我们可以更全面地了解数据的分布情况，从而解答相关的问题。
综上所述，高考数学中的概率与统计题目可以通过一些技巧和方法来快速计算。
在解决概率题目时，我们可以利用条件概率、概率公式和排列组合等知识来简化计算。
高考数学中的概率与统计问题解析技巧
高考数学中的概率与统计问题解析技巧在高考数学中，概率与统计是一个重要的考点，涉及到了概率、统计两个方面的知识。
掌握好概率与统计问题的解析技巧，对于高考数学的顺利发挥至关重要。
本文将为大家介绍一些解析概率与统计问题的技巧，帮助大家在高考数学中取得好成绩。
一、概率问题的解析技巧1. 理解概率的定义首先，我们需要明确概率的定义。
概率是指某个事件发生的可能性大小。
概率的取值范围是0到1之间，其中0表示不可能事件，1表示必然事件。
在解析概率问题时，我们需要根据情境判断事件的可能性，并将其转化为数值计算。
2. 利用排列组合计算概率在一些概率问题中，我们需要计算不同事件的组合情况。
此时，我们可以运用排列组合的知识来计算概率。
例如，从n个物体中取出m个的组合计算公式是C(n,m) = n! / (m!*(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘。
3. 运用事件的互斥性和独立性在某些情况下，我们可以利用事件的互斥性和独立性来计算概率。
互斥事件指的是两个事件不会同时发生，例如抛硬币的结果为正面和反面就是互斥事件。
独立事件指的是一个事件的发生不受其他事件的影响。
当事件A和事件B是独立事件时，它们的概率可以通过P(A ∩B) = P(A) * P(B)来计算。
二、统计问题的解析技巧1. 理解统计的基本概念在解析统计问题时，我们需要了解统计的一些基本概念。
例如，总体是指我们研究的对象的全体，样本是从总体中抽取出来的一部分个体。
平均数是一组数据的总和除以个数，中位数是一组数据按照大小排序后位于中间的值，众数是一组数据中出现次数最多的数。
2. 运用抽样调查的方法当我们需要了解总体的情况时，我们可以通过抽样调查的方法来获取样本数据。
在解析统计问题时，我们可以根据样本数据进行分析，从而推断总体的情况。
常用的抽样方法有简单随机抽样、整群抽样、分层抽样等。
3. 利用频数统计和图表分析在统计问题中，频数统计和图表分析是常用的方法。
我们可以通过对数据进行频数统计，找出数据中的规律。
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第八讲 概率统计的解题技巧【命题趋向】概率统计命题特点：1.在近五年高考中,新课程试卷每年都有一道概率统计解答题,并且这五年的命题趋势是一道概率统计解答题逐步增加到一道客观题和一道解答题;从分值上看,从12分提高到17分;由其是实施新课标考试的省份, 增加到两道客观题和一道解答题．值得一提的是此累试题体现了考试中心提出的“突出应用能力考查”以及“突出新增加内容的教学价值和应用功能”的指导思想,在命题时,提高了分值,提高了难度,并设置了灵活的题目情境,如测试成绩、串联并联系统、计算机上网、产品合格率、温度调节等,所以在概率统计复习中要注意全面复习,加强基础,注重应用.2.就考查内容而言,用概率定义(除法)或基本事件求事件(加法、减法、乘法)概率，常以小题形式出现；随机变量取值－取每一个值的概率－列分布列－求期望方差常以大题形式出现．概率与统计还将在选择与填空中出现，可能与实际背景及几何题材有关． 【考点透视】1．了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．2．了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率.3．了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．4．会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率． 5． 掌握离散型随机变量的分布列. 6．掌握离散型随机变量的期望与方差. 7．掌握抽样方法与总体分布的估计. 8．掌握正态分布与线性回归. 【例题解析】考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识:(1)等可能性事件(古典概型)的概率：P (A )＝)()(I card A card ＝n m ;等可能事件概率的计算步骤：① 计算一次试验的基本事件总数n ;② 设所求事件A ，并计算事件A 包含的基本事件的个数m ;③ 依公式()m P A n=求值;④ 答，即给问题一个明确的答复.(2)互斥事件有一个发生的概率：P (A ＋B )＝P (A )＋P (B ); 特例：对立事件的概率：P (A )＋P (A )＝P (A ＋A )＝1. (3)相互独立事件同时发生的概率：P (A ·B )＝P (A )·P (B );特例：独立重复试验的概率：P n (k )＝k n kk n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项. (4)解决概率问题要注意“四个步骤，一个结合”： ① 求概率的步骤是：第一步，确定事件性质⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩等可能事件互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步，判断事件的运算⎧⎨⎩和事件积事件即是至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件.第三步，运用公式()()()()()()()()(1)k k n k n n m P A nP A B P A P B P A B P A P B P k C p p -⎧=⎪⎪⎪+=+⎨⎪⋅=⋅⎪=-⎪⎩等可能事件: 互斥事件： 独立事件： n 次独立重复试验:求解 第四步，答，即给提出的问题有一个明确的答复.例1．(2018年上海卷文)在五个数字12345，，，，中，若随机取出三个数字，则剩下两个数字都是奇数的概率是 （结果用数值表示）． [考查目的]本题主要考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.[解答过程]0.3提示:1335C 33.54C 102P ===⨯例2．(2018年全国II 卷文)一个总体含有100个个体，以简单随机抽样方式从该总体中抽取一个容量为5的样本，则指定的某个个体被抽到的概率为 ．[考查目的]本题主要考查用样本分析总体的简单随机抽样方式，同时考查概率的概念和等可能性事件的概率求法.用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法. [解答过程]1.20提示:51.10020P ==例3 (2018年全国I 卷文)从自动打包机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为（单位：g ）：492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 518 518 492 496 500 501 499根据的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5g~501.5g 之间的概率约为__________．[考查目的]本题主要考查用频率分布估计总体分布，同时考查数的区间497.5g~501.5的意义和概率的求法.[解答过程]在497.5g~501.5内的数共有5个，而总数是20个，所以有51.204=点评：首先应理解概率的定义，在确定给定区间的个体的数字时不要出现错误.例4. （2006年湖北卷）接种某疫苗后，出现发热反应的概率为0.80.现有5人接种该疫苗，至少有3人出现发热反应的概率为__________.（精确到0.01）[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率的基本知识和分类计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.[解答提示]至少有3人出现发热反应的概率为33244555550.800.200.800.200.800.94C C C ⋅⋅+⋅⋅+⋅=.故填0.94. 例5．（2006年江苏卷）右图中有一个信号源和五个接收器.接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号.若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（A ）454 （B ）361 （C ）154 （D ）158[考查目的] 本题主要考查运用组合、概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.[解答提示]由题意，左端的六个接线点随机地平均分成三组有2226423315C C C A =种分法，同理右端的六个接线点也随机地平均分成三组有2226423315C C C A =种分法；要五个接收器能同时接收到信号，则需五个接收器与信号源串联在同一个线路中，即五个接收器的一个全排列，再将排列后的第一个元素与信号源左端连接，最后一个元素与信号源右端连接，所以符合条件的连接方式共有55120A =种，所求的概率是120822515P ==，所以选D.点评：本题要求学生能够熟练运用排列组合知识解决计数问题，并进一步求得概率问题，其中隐含着平均分组问题.例6． (2018年全国II 卷文)从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取1件，假设事件A ：“取出的2件产品中至多有1件是二等品”的概率()0.96P A =．（1）求从该批产品中任取1件是二等品的概率p ；（2）若该批产品共100件，从中任意抽取2件，求事件B ：“取出的2件产品中至少有一件二等品”的概率()P B ．[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．[解答过程]（1）记0A 表示事件“取出的2件产品中无二等品”， 1A 表示事件“取出的2件产品中恰有1件二等品”． 则01A A ，互斥，且01A A A =+，故01()()P A P A A =+212012()()(1)C (1)1.P A P A p p p p =+=-+-=- 于是20.961p =-．解得120.20.2p p ==-，（舍去）．（2）记0B 表示事件“取出的2件产品中无二等品”，则0B B =．若该批产品共100件，由（1）知其中二等品有1000.220⨯=件，故28002100C 316()C 495P B ==．00316179()()1()1.495495P B P B P B ==-=-=例7．（2006年上海卷）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率 是 （结果用分数表示）．[考查目的] 本题主要考查运用排列和概率知识,以及分步计数原理解决问题的能力，以及推理和运算能力.[解答提示]从两部不同的长篇小说8本书的排列方法有88A 种，左边4本恰好都属于同一部小说的的排列方法有442442A A A 种.所以, 将符合条件的长篇小说任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是44244288135A A A P A ==种.所以,填135.例8．（ 2006年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球.由甲，乙两袋中各任取2个球.(Ⅰ)若n=3，求取到的4个球全是红球的概率；(Ⅱ)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为43，求n.[考查目的]本题主要考查排列组合、概率等基本知识，同时考察逻辑思维能力和数学应用能力.[标准解答]（I ）记“取到的4个球全是红球”为事件A .22222245111().61060C C P A C C =⋅=⋅=（II ）记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B ，“取到的4个球只有1个红球”为事件1B ，“取到的4个球全是白球”为事件2B . 由题意，得31()1.44P B =-=2111122222122224242()n n n n C C C C C C P B C C C C ++⋅⋅=⋅+⋅22;3(2)(1)n n n =++ 22222242()n n C C P B C C +=⋅(1);6(2)(1)n n n n -=++ 所以, 12()()()P B P B P B =+22(1)3(2)(1)6(2)(1)n n n n n n n -=+++++14=，化简，得271160,n n --=解得2n =，或37n =-（舍去）， 故 2n =.例9. (2018年全国I 卷文)某商场经销某商品，顾客可采用一次性付款或分期付款购买．根据以往资料统计，顾客采用一次性付款的概率是0.6，经销一件该商品，若顾客采用一次性付款，商场获得利润200元；若顾客采用分期付款，商场获得利润250元．（Ⅰ）求3位购买该商品的顾客中至少有1位采用一次性付款的概率；（Ⅱ）求3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元的概率．[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验等的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力． [解答过程]（Ⅰ）记A 表示事件：“3位顾客中至少1位采用一次性付款”，则A 表示事件：“3位顾客中无人采用一次性付款”．2()(10.6)0.064P A =-=， ()1()10.0640.936P A P A =-=-=．（Ⅱ）记B 表示事件：“3位顾客每人购买1件该商品，商场获得利润不超过650元”． 0B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中无人采用分期付款”． 1B 表示事件：“购买该商品的3位顾客中恰有1位采用分期付款”． 则01B B B =+．30()0.60.216P B ==，1213()0.60.40.432P B C =⨯⨯=．01()()P B P B B =+ 01()()P B P B =+0.2160.432=+ 0.648=．例10．（2006年北京卷）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案. 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过.假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是,,a b c ，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响.（Ⅰ）分别求该应聘者用方案一和方案二时考试通过的概率；（Ⅱ）试比较该应聘者在上述两种方案下考试通过的概率的大小.（说明理由）[考查目的] 本题主要考查互斥事件有一个发生的概率和对立事件的概率,以及不等式等基本知识，同时考查逻辑思维能力和数学应用能力.[标准解答]记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A ，B,C ， 则P (A )=a ，P (B )＝b ，P (C )=c.(Ⅰ) 应聘者用方案一考试通过的概率p 1=P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C )+P (A ·B ·C ) =a ×b ×(1-c)+(1-a)×b ×c+a ×(1-b)×c+a ×b ×c =ab+bc+ca-2abc.应聘者用方案二考试通过的概率p 2=31P (A ·B )+ 31P (B ·C )+ 31P (A ·C )= 31×(a ×b+b ×c+c ×a)= 31 (ab+bc+ca)(Ⅱ) p 1- p 2= ab+bc+ca-2abc-31 (ab+bc+ca)= 23( ab+bc+ca-3abc)≥23]3abc =0≥.∴p 1≥p 2例11．(2018年陕西卷文)某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为54、53、52、51，且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率. （注：本小题结果可用分数表示）[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验的概率计算，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．[解答过程]（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(1234)i A i =，，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =，41()5P A =，∴该选手进入第四轮才被淘汰的概率412341234432496()()()()()5555625P P A A A A P A P A P A P P ===⨯⨯⨯=．（Ⅱ）该选手至多进入第三轮考核的概率3112123()P P A A A =++112123()()()()()()P P A P P A P A P =++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=． 考点2离散型随机变量的分布列1.随机变量及相关概念①随机试验的结果可以用一个变量来表示，这样的变量叫做随机变量，常用希腊字母ξ、η等表示.②随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值，这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列①离散型随机变量的分布列的概念和性质一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ，2x ，……，i x ，……，ξ取每一个值i x （=i 1，2，……）的概率P （i x =ξ）=i P ，则称下表.为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质： （1）0≥i P ，=i 1，2，...;（2）++21P P (1)②常见的离散型随机变量的分布列： （1）二项分布n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数ξ是一个随机变量，其所有可能的取值为0，1，2，…n ，并且kn k k n k q p C k P P -===)(ξ，其中n k ≤≤0，p q -=1，随机变量ξ的分布列如下：称这样随机变量ξ服从二项分布，记作),(~p n B ξ，其中n 、p 为参数，并记：),;(p n k b q p C k n k k n =- .（2） 几何分布在独立重复试验中，某事件第一次发生时所作的试验的次数ξ是一个取值为正整数的离散型随机变量，“k ξ=”表示在第k 次独立重复试验时事件第一次发生. 随机变量的概率分布为：例12．（厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.（Ⅰ）若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率；（Ⅱ）若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数ξ的分布列及期望ξE ,并求出该商家拒收这批产品的概率.[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.[解答过程]（Ⅰ）记“厂家任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件A 用对立事件A 来算，有()()4110.20.9984P A P =-=-= （Ⅱ）ξ可能的取值为0,1,2．()2172201360190C P C ξ===，()11317220511190C C P C ξ===，()2322032190C P C ξ===136513301219019019010E ξ=⨯+⨯+⨯=． 记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B ，则商家拒收这批产品的概率()136271119095P P B =-=-=．所以商家拒收这批产品的概率为2795．例13．（2018年陕西卷理）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为54、53、52,且各轮问题能否正确回答互不影响.（Ⅰ）求该选手被淘汰的概率;（Ⅱ）该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望.（注：本小题结果可用分数表示）[考查目的]本题考查相互独立事件、互斥事件等的概率计算，考察随机事件的分布列，数学期望等，考察运用所学知识与方法解决实际问题的能力.[解答过程]解法一：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =， ∴该选手被淘汰的概率112223112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A P A P A P A P A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯=． （Ⅱ）ξ的可能值为123，，，11(1)()5P P A ξ===，1212428(2)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=，12124312(3)()()()5525P P A A P A P A ξ====⨯=．ξ∴的分布列为1812571235252525E ξ∴=⨯+⨯+⨯=．解法二：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i 轮的问题”的事件为(123)i A i =，，，则14()5P A =，23()5P A =，32()5P A =． ∴该选手被淘汰的概率1231231()1()()()P P A A A P A P A P A =-=-4321011555125=-⨯⨯=．（Ⅱ）同解法一．考点3 离散型随机变量的期望与方差随机变量的数学期望和方差 (1)离散型随机变量的数学期望：++=2211p x p x E ξ…；期望反映随机变量取值的平均水平. ⑵离散型随机变量的方差：+-+-=222121)()(p E x p E x D ξξξ…+-+n n p E x 2)(ξ…； 方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度. ⑶基本性质：b aE b a E +=+ξξ)(；ξξD a b a D 2)(=+.(4)若ξ～B(n ，p)，则 np E =ξ ; D ξ =npq （这里q=1-p ） ;如果随机变量ξ服从几何分布，),()(p k g k P ==ξ，则pE 1=ξ，D ξ =2pq 其中q=1-p.例14．甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ε、η，ε则比较两名工人的技术水平的高低为 .思路启迪：一是要比较两名工人在加工零件数相等的条件下出次品数的平均值，即期望；二是要看出次品数的波动情况，即方差值的大小.解答过程：工人甲生产出次品数ε的期望和方差分别为：7.0103210111060=⨯+⨯+⨯=εE ， 891.0103)7.02(101)7.01(106)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=εD ； 工人乙生产出次品数η的期望和方差分别为：7.0102210311050=⨯+⨯+⨯=ηE ，664.0102)7.02(103)7.01(105)7.00(222=⨯-+⨯-+⨯-=ηD 由E ε=E η知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但D ε>D η，可见乙的技术比较稳定.小结：期望反映随机变量取值的平均水平；方差反映随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度.例15.（2018年全国I 理）某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数ξ的分布列为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．（Ⅰ）求事件A ：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率()P A ； （Ⅱ）求η的分布列及期望E η．[考查目的] 本小题主要考查概率和离散型随机变量分布列和数学期望等知识.考查运用概率知识解决实际问题的能力.[解答过程]（Ⅰ）由A 表示事件“购买该商品的3位顾客中至少有1位采用1期付款”． 知A 表示事件“购买该商品的3位顾客中无人采用1期付款”2()(10.4)0.216P A =-=， ()1()10.2160.784P A P A =-=-=．（Ⅱ）η的可能取值为200元，250元，300元．(200)(1)0.4P P ηξ====，(250)(2)(3)0.20.20.4P P P ηξξ===+==+=，(300)1(200)(250)10.40.40.2P P P ηηη==-=-==--=．η的分布列为2000.42500.43000.2E η=⨯+⨯+⨯240=（元）． 小结：离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.本题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力.例16.某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70分，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后平均分和方差分别是A.70，25B.70，50C.70，1.04D.65，25 解答过程：易得x 没有改变，x =70， 而s 2=481［（x 12+x 22+…+502+1002+…+x 482）－48x 2］=75， s ′2=481［（x 12+x 22+…+802+702+…+x 482）－48x 2］ =481［（75×48+48x 2－12500+11300）－48x 2］ =75－481200=75－25=50. 答案：B考点4 抽样方法与总体分布的估计抽样方法1．简单随机抽样：设一个总体的个数为N ，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样.常用抽签法和随机数表法.2．系统抽样：当总体中的个数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取1个个体，得到所需要的样本，这种抽样叫做系统抽样（也称为机械抽样）. 3．分层抽样：当已知总体由差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比进行抽样，这种抽样叫做分层抽样. 总体分布的估计由于总体分布通常不易知道，我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布，一般地，样本容量越大，这种估计就越精确.总体分布：总体取值的概率分布规律通常称为总体分布.当总体中的个体取不同数值很少时，其频率分布表由所取样本的不同数值及相应的频率表示，几何表示就是相应的条形图.当总体中的个体取值在某个区间上时用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布.总体密度曲线：当样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线.典型例题例17.某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2：3：5.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 种型号产品有16件.那么此样本的容量n= . 解答过程：A 种型号的总体是210，则样本容量n=1016802⨯=.例18．一个总体中有100个个体，随机编号0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第1组随机抽取的号码为m ，那么在第k 组中抽取的号码个位数字与m k +的个位数字相同，若6m =，则在第7组中抽取的号码是 ．解答过程：第K 组的号码为(1)10k - ，(1)101k -+，…，(1)109k -+，当m=6时，第k 组抽取的号的个位数字为m+k 的个位数字，所以第7组中抽取的号码的个位数字为3 ，所以抽取号码为63． 例19．考查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：cm ）如下： 171 163 163 166 166 168 168 160 168 165 171 169 167 169 151 168 170 160 168 174 165 168 174 159 167 156 157 164 169 180 176 157 162 161 158 164 163 163 167 161 ⑴作出频率分布表；⑵画出频率分布直方图.思路启迪：确定组距与组数是解决“总体中的个体取不同值较多”这类问题的出发点.解答过程：⑴最低身高为151，最高身高180，其差为180-151=29。