结构动力学(单自由度和阻尼)

k
g
频率只取决于体系的质量和刚度，而与外界因素
无关，是体系本身固有的属性，所以又称为固有频率
（natural frequency）。
（3）简谐自由振动的特性
y(t) Asin( t )
加速度为： y(t) A 2 sin(t ) 惯性力为： FI (t) my(t) mA 2 sin(t )
例3 求图示体系的自振频率
m1 m B
A l /2
m1
B
FI01
EI= C
k
m2
1 3
m
D
l
l /2
C
k
FS
m2
FI02
解：在振幅处列平衡方程
MB 0
FI01
l 2
FI02
3 2
l
FS
l
0
FI01
m1 A1 2
m l
2
2
FI 2
m2 A2 2
m 3
3l
2
2
m l
2
2
FS kl
m 2 k 0
tan v
y y0 (1 t) v0t et
O
t
这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。
c 2
m
c 2m
1, cr 2m
c
cr
阻尼比
（2）ξ> 1（强阻尼）情况
y(t)
1,2 2 1 0
y t C1e1t C2e2t
O
t
y(t) et C1 sinh 2 1t C2 cosh 2 1t
y v
得 C1 y0
C2
v0
y0 d
y(t)
e t
y0
cosd t
v0
y0 d
sind t
y(t) et Asin( d t )
2
A
y02
v0
y0 d
f 1 2 T
圆频率 2π个单位时间内完成振动的次数，或单位时间内转的周数
2 2 f
T
（2） ※结构的自振周期和圆频率
（natural period and natural circular frequency ）
？ ？？
k 1 g g m m W yst
T 2 m 2 yst
2 3
l3 EI
1 3 m 2l3
EI ml3
2 3EI
3. 质点重W，求图示体系的自振频率。
EI
k
l
k11
k
3EI l3
mW /g
k
3EI l3
g
W
4. 求图示体系的自振频率。
m
EI EI1=∞ EA l
2. 有阻尼自由振动
my cy ky FP (t)
FP(t)=0
my cy ky 0
m EEI I1=∞EI
体系
h
1 6i/h
1 k
6i/h 单位侧移时的弯矩图
1
1
k
12i/h2 12i/h2 隔离体
解 (1) 超静定刚架，采用刚度法 (2) 画质体发生单位位移时的弯矩图。
(3) 取隔离体，列平衡方程，求刚度系数 k 24 i h2
(4) 24 i mh2 T 2 mh2 24i
这种理想情况所得到的某些结果，可以相当精确地反映实际 结构的一些动力特性；可以与有阻尼情况加以对比，以便更好地 了解阻尼的作用。
（1）方程的解
y 2 y 0
2 k
m
通解 代入初始条件 得动位移为
y C1 cost C2 sin t
y0 y0 y0 v0
y(t)
y0
c ost
v0
sin t
阻尼过大,由于外界干扰积聚的能量全部用于消耗阻尼, 没有多余的能量再引起的振动。实际工程中一般不会出现。
（3）ξ< 1（低阻尼）情况
1,2 i 1 2
令 d 1 2
y(t) et (C1 cos d t C2 sin d t)
由初始条件确定C1 和 C2
设
y(0) y (0)
例题
例1 求图示伸臂梁体系的自振频率和周期
EI
解 (1) 静定梁，采用柔度法
m
l
l/2
(2) 画质体单位力下的弯矩图。
l/2 1
(3) 弯矩图自乘，求柔度系数。
1 2
l
l 2
2 3
l 2
1 2
l 2
l 2
2 3
l 2
l3 EI
8EI
(4) 8EI ml3 T 2 ml3 8EI
例2 求图示单层刚架的自振频率和周期
（1）方程的解
y(t)
y0
cost
v0
sin t
y(t) Asin t
振幅
（amplitude of vibration）
A
y02
y 0
2
＝
y02
v0
2
初始相位角
arctan
y 0 y 0
＝arctan
y 0 v 0
y(t) Asin t
yy
T
0
振动将以
-y
一个连续地
y
T
定常幅度振 v
y 2 y 2 y 0
2 k , c 2
mm
2. 有阻尼自由振动 y 2 y 2 y 0
特征方程 特征根 一般解
2 2 2 0
1,2 2 1
y(t) C1e1t C2e2t
（1）ξ= 1（临界阻尼）情况
1,2
y C1 C2t et
y(t)
k
m
练习
1. 计算图示结构的自振频率。
m EI
l /2
l /2
m EI
l /2
l /2
m EI
l /2
l /2
ω1‫ ׃‬ω2 ‫ ׃‬ω3= 1 ‫ ׃‬1.512 ‫ ׃‬2
结构约束越强,其刚度越大；刚度越大,其自振动频率也越大。
2. 求图示体系的自振频率。
m/2 m
EI
EI
EI l
l
11
在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正 弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时 刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。
（3）简谐自由振动的特性
它们的幅值产生于 sin(t ) 1 时，其值分别为：
y0 A
y0 A 2
FI0 mA 2
既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值 出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时 方程中将不含时间 t ，这样就把微分方程转化为代数方 程了，使计算得以简化。
动。经过一 固定时段又
0
v
y
Hale Waihona Puke Baidu
恢复原运动
T A
状态。
0
• •
-A
t y cos t
t
v sin t
t
A s in
t
（2） ※结构的自振周期和圆频率
（natural period and natural circular frequency ）
周期 完成一次振动需要的时间
T 2
频率 单位时间内完成振动的次数
第二章 单自由度体系的振动
2.2 单自由度体系的自由振动
Free Vibration of Single Degree of Freedom Systems
1. 无阻尼自由振动
my cy ky FP (t)
c =0, FP(t)=0
my ky 0
2 k
m
y 2 y 0
为什么要讨 论这种简单 模型？