结构动力学(单自由度和阻尼)
单自由度无阻尼自由振动的系统分析
单自由度无阻尼自由振动的系统分析在结构动力学之中，单自由度体系的振动是最简单的振动，但单自由度体系的频率计算在结构动力学计算中有着十分重要的意义，因为从中我们能得到关于振动理论的一些最基本的概念和分析方法同时也为更复杂的多质点多自由度体系振动问题奠定基础，同时现实工程中也有许多振动问题可以简化为单自由度问题近似的利用单自由度振动理论去分析解决。
在单层厂房、水塔等建筑物中得到有效的利用结构的自由振动是指结构受到扰动离开平衡位置后，不再受到任何外力影响的振动过程，此处动力系统是否有阻尼项，会直接影响到动力系统的反应。
在此，我们把自由振动分为无阻尼自由振动与有阻尼的自由振动。
一、无阻尼自由系统的振动分析目前，以弹簧-质量系统为力学模型，研究单自由度系统的振动具有非常普遍的实际意义，因为工程中许多问题简化后，用单自由度体系的振动理论就能得到很好的解决。
而对多自由度系统和连续振动，在特殊坐标的考察时，也会显示出与单自由度系统类似的振动。
进行无阻尼自由振动分析的主要目的是为了获得系统固有振动的特性，只有充分地了解系统的自身振动特性才能有效的计算系统的动力响应，目前在单质点单自由度无阻尼自由振动体系中我们的运动方程为：0)()(..=+t ku t um （1） 或 0u(t))(=+ωt u （2）其中的ω是振动圆频率，是反应系统动力的重要参数，其计算公式为：m k m ==δω12 (3)由上式可以看出，ω只和系统的刚度及质量有关，而与系统所受到的初始受力状态无关。
ω的量纲与角速度相同为rad/s ，它反映了系统自由振动的快慢。
自由振动系统的这一特性，我们在日常生活中司空见惯。
比如，键盘类乐器标定后，按动某一个琴键，不管你按动的轻重如何，琴键所发出的声音的频率是一定的，按得轻或按得重仅影响声音的强弱。
（2）式经过三角函数的转换可表示为：)sin()(νω+=t A t u （4）其通解为t A t A t u ωωsin cos )(21+= 常数A 1与A 2与初始条件有关，01χ=A ωχ/02 =A式（4）是标准的简谐方程其中A 是其振幅，则ν是其初相角，他们的计算公式2020)(ωx x A += ，00arctan x x v ω=对于质点振动系统，质量越大，则系统的固有频率越低；刚度越大，则系统的固有频率越高。
结构动力学4
(d)
4.3 用强迫振动试验确定体系的阻尼比
2、半功率带宽法 (半功率点法)
半功率点：动力放大系数Rd
上振幅值等于1/√2倍最大振 幅的点所对应的两个频率点。
记：ωa和ωb分别等于半功
率点对应的两个频率。 则阻尼比ζ
可由如下公式计算：
b a 2n
b a b a
fb fa
特解up可以设为如下形式 :
u p (t) C sin t D cost
u 2 nu n 2u
p0 m
sin t
(n2
2 )C
2 nD
p0 m
sin
t
2 nC
(n2
2)D
cost
0
4.2 有阻尼体系的简谐振动
瞬态反应
u(t)
u(0) cosnt
u(0)
n
p0 k
/ n 1 ( / n )2
sin nt
p0 k
1
1 ( / n )2
sin t
瞬态反应和稳态反应
稳态反应
4.1 无阻尼体系的简谐振动
稳态反应 ：
u(t)
p0 k
1
1 ( / n )2
4.3 用强迫振动试验确定体系的阻尼比
1、共振放大法
1 ust 2Rd ( n ) 2u0 ( n )
由于从动力放大曲线定u0(ωn)不容易，一般用u0m代替，
u0m=max(u0)，则:
1
ust
2(Rd )max 2u0m
用共振放大法确定体系的阻尼比，方法简单。但实际工程中测得 的动力放大系数曲线一般以u0－ω图给出，用以上公式计算阻 尼比时，还需得到零频时的静位移值ust，实际测量静载位移 无论从加载设备和记录(拾振)设备都有一定的困难，即实现动 力加荷和测量动力信号的设备不能在零频率时工作。因此工 程中往往采用半功率(带宽)法从动力试验中得到阻尼比ζ。
结构动力学课后习题答案
结构动力学课后习题答案结构动力学是研究结构在动态载荷作用下的响应和行为的学科。
它涉及到结构的振动、冲击响应、疲劳分析等方面。
课后习题是帮助学生巩固课堂知识、深化理解的重要手段。
以下内容是结构动力学课后习题的一些可能答案，供参考：习题1：单自由度系统自由振动分析解答：对于一个单自由度系统，其自由振动的频率可以通过以下公式计算：\[ f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}} \]其中，\( k \) 是系统的刚度，\( m \) 是系统的总质量。
系统自由振动的振幅随着时间的衰减可以通过阻尼比 \( \zeta \) 来描述，其衰减系数 \( \delta \) 可以通过以下公式计算：\[ \delta = \sqrt{1-\zeta^2} \]习题2：单自由度系统受迫振动分析解答：当单自由度系统受到周期性外力作用时，其受迫振动的振幅可以通过以下公式计算：\[ A = \frac{F_0}{\sqrt{(k-m\omega^2)^2+(m\zeta\omega)^2}} \] 其中，\( F_0 \) 是外力的幅值，\( \omega \) 是外力的角频率。
习题3：多自由度系统模态分析解答：对于多自由度系统，可以通过求解特征值问题来得到系统的模态。
特征值问题通常表示为：\[ [K]{\phi} = \lambda[M]{\phi} \]其中，\( [K] \) 是系统的刚度矩阵，\( [M] \) 是系统的质量矩阵，\( \lambda \) 是特征值，\( {\phi} \) 是对应的特征向量，即模态形状。
习题4：结构的冲击响应分析解答：对于结构的冲击响应分析，通常需要考虑冲击载荷的持续时间和冲击能量。
结构的冲击响应可以通过冲击响应谱（IRF）来分析，它描述了结构在不同频率下的响应。
冲击响应分析的结果可以用来评估结构的耐冲击性能。
习题5：疲劳分析解答：结构的疲劳分析需要考虑结构在重复载荷作用下的寿命。
结构动力学习题解答一二章
2、 动量距定理法
适用范围:绕定轴转动的单自由度系统的振动。
解题步骤:(1) 对系统进行受力分析与动量距分析;
(2) 利用动量距定理J ,得到系统的运动微分方程;
(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
3、 拉格朗日方程法:
;
1、7求图1-36所示齿轮系统的固有频率。已知齿轮A的质量为mA,半径为rA,齿轮B的质量为mB,半径为rB,杆AC的扭转刚度为KA,,杆BD的扭转刚度为KB,
解:由齿轮转速之间的关系 得角速度 ;转角 ;
系统的动能为:
CA
;B D
图1-36
系统的势能为:
;
系统的机械能为
;
由 得系统运动微分方程
;
适用范围:所有的单自由度系统的振动。
解题步骤:(1)设系统的广义坐标为 ,写出系统对于坐标 的动能T与势能U的表达式;进一步写求出拉格朗日函数的表达式:L=T-U;
(2)由格朗日方程 =0,得到系统的运动微分方程;
(3) 求解该方程所对应的特征方程的特征根,得到该系统的固有频率。
4、 能量守恒定理法
1、2叙述用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法与步骤。
用衰减法求单自由度系统阻尼比的方法有两个:衰减曲线法与共振法。
方法一:衰减曲线法。
求解步骤:(1)利用试验测得单自由度系统的衰减振动曲线,并测得周期与相邻波峰与波谷的幅值 、 。
(2)由对数衰减率定义 , 进一步推导有
,
因为 较小,所以有
。
方法二:共振法求单自由度系统的阻尼比。
;L/2L/2
则固有频率为:
图1-33(b)
结构动力学(3)
m
m && g y
& Y&( t ) = && g ( t ) + &&( t ) y y y y 质点的动力平衡条件： 质点的动力平衡条件： − m ( && g + && ) − ky = 0 m && + ky = − m && g y y 整理得： 整理得：
y g ( t ) y( t )
1
y st = δ 11 F P
初始条件静止时： 初始条件静止时：
( Duhamel )
1 t y( t ) = ∫0 FP ( τ ) sin ω ( t − τ )dτ。 mω & 总位移为： 初始条件 y 0、 y 0 下，总位移为： & y0 1 t y ( t ) = y0 cos ωt + sin ωt + ∫0 FP ( τ ) sin ω ( t − τ )dτ。 mω ω
1. 不考虑阻尼的纯受迫振动 受简谐荷载 F P ( t ) = F P sin θ t 作用下平稳阶段的动位移
y ( t ) = µy st sin θ t。
θ 1− ω2 单自由度体系受一般荷载作用时，动位移计算采用杜哈梅积分。 单自由度体系受一般荷载作用时，动位移计算采用杜哈梅积分。
2
y0 µ = = y st
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动 14当干扰力 F (t ) 直接作用在质点上，质点的受力将如图 直接作用在质点上，质点的受力将如图14-10所示， 所示， 所示 动力平衡方程为
FI + FR + Fe + F (t ) = 0
结构动力学-第三章 单自由度体系 (Part 1)
结构动力学Dynamics of Structures 第三章单自由度体系Chapter 3 Single-Degree-of-Freedom SystemsPart 1华南理工大学土木工程系马海涛/陈太聪本章主要目的及内容目的:z 通过单自由度体系介绍动力学的基本概念z 若干实际问题的解内容:(1)无阻尼自由振动(2)有阻尼自由振动(3)对简谐荷载的反应(4)对周期荷载的反应(5)对任意荷载的反应(6)体系的阻尼和振动过程中的能量(7)隔振(震)原理(8)结构地震反应分析的反应谱法自由振动free vibration强迫振动forced vibration第三章单自由度体系SDOF Systems自由振动：结构受到扰动离开平衡位置以后，不再受任何外力影响的振动过程。
0mucu ku ++= 无阻尼自由振动单自由度系统的运动方程()mucu ku P t ++=00c muku =⇒+= 自由振动运动方程单自由度系统无阻尼自由振动的运动方程0muku += 初始扰动：00(0)(0)t t u u uu ==== 初始位移初始速度二阶齐次常微分方程Homogeneous second orderordinary differential equation无阻尼自由振动的数学模型000;(0),(0)t t muku u u uu ==+=== 初始条件Initial conditions2()0stC ms k e +=设解有以下形式()stu t Ce=代入方程得 C 和s 为待定常数。
因此，方程通解为：121212()n n i ti ts t s tu t C e C eC eC eωω−=+=+或模型求解0muku += 2ms k ⇒+=1,2n ks i mω⇒=±=±()cos sin n n u t A t B tωω=+三角函数形式通解()sin cos n n n n ut A t B t ωωωω=−+00(0)(0)t n t u A u uB u ω====== (0)()(0)cos sin n n nuu t u t tωωω=+(0)(0),nuA uB ω⇒==利用初始条件，我们有单自由度系统无阻尼自由振动问题的解其中n kmω=无阻尼自由振动为简谐运动Simple harmonic motion ωn 称为圆频率或角速度Angular frequency / velocity ()cos sin n n u t A t B tωω=+三角函数形式通解()sin cos n n n n ut A t B t ωωωω=−+振幅无阻尼自由振动问题解的图示（1）振幅–Amplitude of motion[]220(0)(0)n u u u ω⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦基本参数（2）固有周期–Natural period of vibration2n nT πω=（3）固有频率–Natural frequency of vibration1n nf T =Hz (赫兹)固有频率s (秒)固有周期rad/s (弧度/秒)固有圆频率单位定义物理量名称2n nT πω=1n nf T =n k m ω=单自由度系统无阻尼自由振动系统参数§3.2 有阻尼自由振动0c uk u m u ++= 运动方程2()0stC ms cs k e ++=设解有以下形式()stu t Ce =代入方程得解为：221,222nc c s m m ω⎛⎞=−±−⎜⎟⎝⎠粘性阻尼模型2ms cs k ++=2c k s s m m++=22n c s s mω++=阻尼系数影响此项的取值进一步决定解的特征Critical damping and damping ration临界阻尼22022n cr n c c m m k c m ωω⎛⎞−=⇒⎜⎟⎝⎠===此时运动方程的解为12ns s ω==−()()n tu t A Bt e ω−=+0mucu ku ++= 验证—分别将两个解代入方程()n tu t Aeω−=()n tu t Bteω−=()22220n t nnnAem m m ωωωω−=−+=()2n t nnAem c k ωωω−−+左端=()()221n t nnnBem t c t kt ωωωω−⎡⎤−++−+⎣⎦左端=()2220n tnnnBec m t m k ωωωω−⎡⎤=−+−+=⎣⎦Critical damping and damping ration运动方程的解为()()n tu t A Bt e ω−=+()()(0)(1)(0)n tn u t u t ut e ωω−=++ (0)(0)n u AuA B ω==−+ 因此，解为根据初始条件，有()()n tn u t A Bt B eωω−=−++⎡⎤⎣⎦ 对应的速度表达式为(0)(0)(0)n A u B u uω==+ 或者(0)()(0)1(0)n t n uu t u t e u ωω−⎡⎤⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦(0)()(0)1(0)n t n uu t u t e u ωω−⎡⎤⎛⎞=++⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎣⎦ 解的特征由此项控制当阻尼大于临界阻尼时，0mucu ku ++= 220n n uu u ζωω++= 2n crc cm c ζω==其中，阻尼比1221120()s ts ts s u t C e C e<<=+临界阻尼可定义为：体系自由振动反应中不出现往复振动所需的最小阻尼值。
结构力学课后答案第10章结构动力学
10-34试说明用振型分解法求解多自由度体系动力响应的基本思想，这一方法是利用了振动体系的何种特性
10-35试用振型分解法计算题10-32。
解：
刚度矩阵 质量矩阵
其中
由刚度矩阵和质量矩阵可得：
则 应满足方程
其稳态响应为：
同理：
显然最大位移
10-36试用振型分解法计算题10-31结构作有阻尼强迫振动时，质量处的最大位移响应。已知阻尼比ξ1＝ξ2＝。
得振型方程：
)
，令
，由频率方程D=0
解得： ，
，
(c)
解：
图 图
（1） ， ，
（2）振型方程
。
令 ，频率方程为：
（3）当 时，设
当 时，设
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
(d)
解：
#
图 图
频率方程为：
取 代入整理得：
其中
~
振型方程为：
将 代入（a）式中的第一个方程中，得：
绘出振型图如下：
第一振型 第二振型
\
解：
若 为静力荷载，弹簧中反力为 。
已知图示体系为静定结构，具有一个自由度。设为B点处顺时针方向转角 为坐标。建立动力方程：
则弹簧支座的最大动反力为 。
10-21设图a所示排架在横梁处受图b所示水平脉冲荷载作用，试求各柱所受的最大动剪力。已知EI=6×106Nm2，t1＝，FP0＝8×104N。
(a)
设 ，
；
使 ，则
（2）
设
如果使速度响应最大，则 最大，设 ，显然要求 最小。使： 得 。
（3）
令 显然要求 最小。
则 解的：
2-1结构动力学(单自由度)
O
t
这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。
1, cr 2m
c 2m
c cr
阻尼比
（2）ξ> 1（强阻尼）情况
1,2 2 1 0
y t C1e1t C2e2t
t
y( t )
O
y (t ) e t C1 sinh 2 1 t C 2 cosh 2 1 t
g y st
y st m T 2 2 k g
频率只取决于体系的质量和刚度，而与外界因素 无关，是体系本身固有的属性，所以又称为固有频率
（natural frequency）。
（3）简谐自由振动的特性
y(t ) Asin( t )
(t ) A 2 sin(t ) y 加速度为： 惯性力为： FI (t ) m (t ) mA 2 sin(t ) y
特征根 一般解
2 2 2 0
1, 2 2 1
y(t ) C1e
1t
C2 e
2t
（1）ξ= 1（临界阻尼）情况
1,2
y C1 C2 t e t
y( t )
tan v
t
y y0 (1 t ) v0t e
d
阻尼对自振频率、周期的影响
,
d
Td T
在工程结构问题中，若0.01<ξ<0.1，可近似取:
d , Td T
y(t ) e t Asin ( d t )
阻尼对振幅的影响
yk Aetk Td e y k 1 Ae (tk Td )
《结构力学》结构动力学(2)
为最大的动力位移与静力位移之比，称为位移动力系数。
简谐荷载作用下， 与 之间关系曲线分析。
1、无阻尼条件
（1） 0 时， 5.0
1, ymax ( t ) yst。
4.0
（2）0 1 0 时，
随着 增加 增大，
3.0
0
FP ( t ) FP sint。 y( t ) yst sint。
（3）当ξ=1时的阻尼称为临界阻尼；相应的 值称为
临界阻尼系数，用cr 表示，则
cr 2mk 2m ，
k 2mk 2m cr
阻尼比 即为阻尼系数 与临界阻尼系数 cr 之比。
§14-4 单自由度结构在简谐荷载作用下的强迫振动
当干扰力 F(t) 直接作用在质点上，质点的受力将如图14-10所示，
且 y( t )与FP ( t ) 同步。
2.0
（3） 1 时， 1.0
, ymax ( t ) , 共振。
（4）1 时，
1.0 2 2.0
3.0
随着 增加 减小，且 y( t )与 FP ( t ) 反向。
（5） 时， 0, 在静平衡位置附近作微小
振动 。
y0
cos 't
y0
ky0
'
sin
't
y bekt sin( 't ')
其中
b
y02
(ห้องสมุดไป่ตู้
y0
ky0
'
)2
tan ' ' y0
/ 为有阻尼自振频率。
y0 ky0
令 k ，称为阻尼比。
' 2 k2 1 ( k )2 1 2
通常当ξ<0.1时，则 ' 和 的差别很小。
结构动力学3-2
0
0
频率比 ω /ωn
1 2 1 2
时， Rd 1 ，即体系不发生放大反应。
2
ζ=0.2
( 2) 当
时 ， ( R d ) m ax
1 2 1
2
, (
) n 峰值
1 2
2
。
1
ζ=0.8 ζ =1
0 0 1
ζ=0.5
2 3
23/73
， Rd ( 3) 当 / n 1 （ 共 振 时 ） ( 4) 当 / n
C ust D ust
1 ( / n ) [1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
2
u(t ) e t ( AcosDt B sinDt ) (C sint D cost )
n
2 / n [1 ( / n )2 ]2 [2 ( / n )]2
3.3.3 共振反应（=n）
u(t)/ust
1/2ζ
u ( A cosDt B sin Dt ) st cost 2
u C 0 , D st 2
满足零初始条件：
A
1 1 u st , B u st 2 2 1 2
1/2ζ
u sin Dt ) cosnt 运动解：u(t ) st e nt (cosDt 2 2 1 u st 当=0时 ： u ( t ) ( n t cos n t sin n t ) 2 与无阻尼时的结果完全相同 19/73
tan
1
2 ( / n ) 1 ( / n ) 2
总体反应 稳态反应
ζ=0.02
结构动力学【习题课】(单自由度体系1)
EI l
m
4.图 所示结构周期为T 则图b 4.图a所示结构周期为Ti,则图b所示体系的周期为
T =
T1 + T + T
2 2 2
2 3
ki m
k1 k2 k3 m
(a) 5.图示体系的自振频率为 5.图示体系的自振频率为 .
(b)
EI = ∞ k
l l
m
6.图示体系的动力自由度为5. 6.图示体系的动力自由度为5. 图示体系的动力自由度为 EI=常数
第1 、2 章
小结 动力特性计算 公式法 能量守恒 幅值方程 动力反应计算 简谐荷载 周期荷载 阶跃荷载 冲击荷载 一般荷载
动荷载及其分类 自由度及其确定 运动方程的建立 惯性力法 虚功法 运动方程的求解方法 经典解法 频域解法 时域解法 数值解法 确定动力特性的试验方法 阻尼力假定及阻尼的影响
1.若使单自由度体系的阻尼增大,其结果是周期变短. 1.若使单自由度体系的阻尼增大,其结果是周期变短. 若使单自由度体系的阻尼增大 错
EA = ∞
7.体系的振幅和自振频率与初始条件有关. 7.体系的振幅和自振频率与初始条件有关. 体系的振幅和自振频率与初始条件有关
8.在图示体系中,若要使其自振频率增大,可以 8.在图示体系中,若要使其自振频率增大, 在图示体系中 A.增大 ; A.增大P; 增大 C.增大 ; C.增大m; 增大 B.增大EI; B.增大EI; 增大 D.增大 l . D.增大
ωD = ω 1−ξ 2
&& + 2ξω y + ω 2 y = P ( t ) / m & y
)
2.单自度体系运动方程为 2.单自度体系运动方程为 其中未考虑质体重力,这是因为( 其中未考虑质体重力,这是因为(
结构动力学-教学大纲
《结构动力学》教学大纲一、课程的性质与目的本课程是土木工程专业的研究生专业基础课和本科生的选学课。
本课程的必备基础课程包括：材料力学、理论力学、弹性力学、结构力学、高等数学和线性代数。
课程的教学目的，旨在使学生掌握结构动力响应分析与计算的基本原理和方法，了解土木工程中常用的各类结构的动力性能与分析，为有关专业课程及研究工作打下必要的力学基础。
二、课程内容的教学要求1. 结构动力学概论：掌握结构动力学的基本概念与特性。
2. 动力运动微分方程的建立：掌握建立动力系统运动微分方程的四种基本方法。
3. 单自由度体系：深入理解单自由度体系的自由振动、简谐荷载振动、周期荷载振动、任意荷载振动、阻尼比的求解、隔震原理，了解单自由度体系的冲击荷载振动、频域求解方法。
4. 多自由度体系：深入理解多自由度体系的自由振动、简谐荷载振动和一般荷载振动，了解实用计算方法和有限元算法。
5. 动力学前沿研究课题：了解目前结构领域所涉及的动力学若干前沿研究课题。
三、上机实习要求无四、能力培养的要求1. 分析和推导能力的培养：主要提高学生建立动力学方程的能力。
2. 理解能力的培养：提高学生对基本概念和原理的深入理解能力。
3. 数值分析能力的培养：提高学生面向程序设计的数值分析能力。
4. 创新能力的培养：培养学生独立思考、深入钻研问题，不断创新的习惯。
五、建议学时分配六、考核方式总评成绩＝平时成绩30％＋期末考试成绩70％七、教材及参考书1．徐赵东, 马乐为. 结构动力学, 科学出版社, 20072．Ray Clough, Joseph Penzien. Dynamics of Structures, USA: Computers and Structures Inc.2003.3．刘晶波, 杜修力. 结构动力学. 北京: 机械工业出版社, 2005。
结构动力学简答题
结构力学简答题1、结构动力分析的目的：是确定结构在动力荷载作用下的内力和变形，并通过动力分析确定结构的动力特性。
1、动力荷载的类型：（1）是否随时间变化:静荷载和动荷载（2）是否已预先确定：确定性荷载和非确定性荷载（3）随时间变化的规律：周期荷载：简谐荷载和非简谐周期荷载；非周期荷载：冲击荷载和一般任意荷载。
2、结构动力计算的特点：（1）动力反应要计算全部时间点上的一系列解，比静力计算复杂且要消耗很多的计算时间。
（2）由于动力反应中结构的位置随时间迅速变化，从而产生惯性力，惯性力对结构的反应又产生重要影响。
3、结构离散化的方法：集中质量法、广义坐标法、有限元法。
本质是无限自由度问题转化为有限自由度的过程。
4、有限元法：（1）与广义坐标法相似，有限元法采用了形函数的概念，但不同于广义坐标法在全部体系上插值，而是采用了分片的插值，因此形函数的表达式可以相对简单。
（2）与集中质量法相比，有限元法中的广义坐标也采用了真实的物理量，具有直接、直观的优点，与集中质量法相同。
5、广义坐标：能决定质点系几何位置的彼此独立的量。
选择原则：解题方便。
6、动力自由度：结构体系在任意瞬时的一切可能的变形中，决定全部质量位置所需的独立参数的数目。
动力自由度不完全取决于质点的数目，也与结构是否静定有关。
静力自由度：确定体系在空间中的位置所需的独立参数的数目。
前者是由于系统的弹性变形而引起的各质点的位移分量，后者是指结构中的刚体由于约束不足而产生的刚体位移。
7、有势力：（1）每一个力的大小和方向只决定于体系所有各质点的位置。
（2）体系从某一位置到另一位置所做的功只决定于质点的始末位置，而与路径无关。
（3）沿任何封闭路线所作的功为零。
8、实位移：如果位移不仅满足约束方程，而且满足运动方程和初始条件，则称为体系的实位移。
可能位移：满足所有约束方程的位移称为体系的可能位移。
虚位移：在某一固定时刻，体系在约束许可的情况下产生的任意组微小位移。
《结构力学》结构动力学(1)
结构的振动是由两部分组成，一部分是由初位移引起，表现为余 弦规律；另一部分是由初速度引起，表现为正弦规律（图14-6a、 b）。
y
(a)
y0
o
t
(b)
y
y0
o
t
(c)
y
T=
y0
a
a
o
a
a
t
图14-6
若令
y0 a sin ，
y0 a cos
振幅和相位角
a
y02
y02
2
tan y0
y0
则有
图14-2
振动体系的自由度数与计算假定有关，而与集中质量的数目和 超静定次数无关。如图14-3所示的体系。
图14-3
§14-3 单自由度结构的自由振动
自由振动是指结构在初始干扰（初位移或初速度）下开始振动， 而在振动过程中不受外部干扰力作用的那种振动。如图14-4所示。
原有平衡位置
强迫偏离位置
图14-4
和相位角 。
(2) 自振频率与质量的平方根成反比，质量越大，频率越小；自 振频率与刚度的平方根成正比，刚度越大，频率越大；要改变结 构的自振频率，只有从改变结构的质量或刚度着手。
例14-1 图14-7所示三种支承情况的梁，其跨度都为l，且EI都相 等，在中点有集中质量m。当不考虑梁的自重时，试比较这三者 的自振频率。
§14-1 概 述
1. 结构动力计算的特点 (1) 荷载、约束力、内力、位移等随时间变化，都是时间的函数。 (2) 建立平衡方程时要考虑质量的惯性力。
2. 动荷载分类
(1) 周期荷载 (2) 冲击荷载 (3) 随机荷载
3．结构动力计算的内容
(1) 确定结构的动力特性 即结构本身的自振频率、振型和阻尼参数。
结构动力学中的阻尼
结构动力学中的阻尼 一、租你的分类1）粘滞阻尼（大小与啥速度成正比，方向与速度相反） 2）滞后阻尼（结构阻尼，大小与位移成正比，方向与速度相反）3）干摩擦阻尼（库伦阻尼，大小与正压力成正比，方向与速度相反） 二、阻尼的测定1）自由振动衰减法，见教材p7)1n n ln(个循环的幅值第个循环的幅值第+=δ （1）tT t t n n e eu e u u u ςωςωςω==+--+)(001 （2） πςςωδ2==t （3）如果相隔n 个周倜，则ςπδn n 2= （4）2）共振法222m a x )2()1(1ςρρ+-===st d y y DLF 最大静位移最大动位移 （5） 222)(210)(ωςρρΩ=-=⇒=d DLF d （6）2max 121ςς-=DLF （7）当共振时，1≈ρ，可以推出；maxmax 2121DLF DLF =⇒=ςξ（8）3）带宽法 （0.707法）频率反应曲线ωωως212-=（9）式（9）推导如下：2222222)121()21())2()1(1(ςςςρρ-=+- （10） 化简 式（10），可得0)1(81)21(222224=--+--ςςρςρ （11）解得：2221221ςςςρ-±-= （12）由于2ζ很小，式（12）可以化简为：ςρ212±= （13）ζρζρ±≈⇒±=121 （14）ωωωζζωωω221212-=⇒=- （15）三、对几种阻尼的比较 1)粘滞阻尼yc fd -= （16）)sin(ϕ+Ω=t A y （17） )cos(ϕ+ΩΩ=t A y（18） )cos(ϕ+ΩΩ-=t cA f d （19） 2222222222222222222222)(sin ))(sin 1()(cos y c A c t A c A c t A c t A c f d Ω-Ω=+ΩΩ-Ω=+Ω-Ω=+ΩΩ=ϕϕϕ （20）1222222=+ΩA y c A f d （椭圆方程） （21）椭圆面积为阻尼李在一个周期内所做的功⎰Ω==Td T cA dy f W /202ππ （22）221kA U =（23） 能量耗散系数kcU W T Ω==πφ2 (24) 实验表明Ω与φ无关，与实际不符。
1工程结构中的阻尼及其力学模型
y1 2 ln y 2 1 2
一、工程结构中的阻尼及其力学模型
例题：研究一座桥梁的竖向振动，对于基频，结 构可以看成是单自由度体系。让桥梁在跨中产生 挠度（用绞车把桥梁向下拉），然后突然释放。
在初始扰动之后，求得振动按指数衰减，即在频
率为1.62Hz的三个周期内，振幅从10mm衰减为 5.8mm。在跨中停放质量为40000kg的车辆重复进
宏观尺度的滑动被降低而微观滑动开始这种微观滑动包括接触面间的相互凹凸的微小位移相对于滑动面的对面3连接处嵌固压力的进一步增加将使粗糙面的贯入度变得更大
结构动力学
——单自由度系统的振动 湖南大学土木工程学院
尹华伟
2013年7月
一、工程结构中的阻尼及其力学模型
粘滞阻尼
k c m
cy ky 0 m y
对库仑阻尼，可导出等效粘滞阻尼系数：
cd
4 Fd
一、工程结构中的阻尼及其力学模型
阻尼引起的能量耗散
滞变阻尼： 对简谐激励： 得:
y sin t
Fdy k (1 j )ydy
y , cost y /
2 2
2 2
F k sin t jk sin t k sin t k cost
行试验，并测得其自振频率为1.54HZ。
求有效质量，有效刚度系数和结构阻尼。
设m为有效质量，k为有效刚度系数。
一、工程结构中的阻尼及其力学模型
因为：
1 f1 1.62 2 1 f 2 1.54 2
k m k 3 m 4010
3
故得：
1.62 m 4010 m 1.54 因此有效质量： m 375103 kg 2 有效刚度： k (2f1 ) m 38850 kN/m
结构动力学
阻尼特性对频率的依赖。
结构动力学
——单自由度系统的振动 湖南大学土木工程学院
尹华伟
2013年7月
六、测定阻尼的方法—每周共振能量损失法
单自由度简谐激励作用下共振时的特点：
（1）共振时，阻尼力和激励力平衡
cyst u sin t Fp sin t Fd (t ) cy
Fd (t ) Fp sin t 0
每周共振能量损失法：通过 调整激励频率，直到反应的 相位比荷载的相位滞后90
面积＝Wd Fp y
发生共振时，荷载恰好被阻
尼力所平衡。此时用仪器测 量输入力－所引起的位移关 系曲线（如右图1所示）， 并由该曲线求出体系阻尼。
图1 每周实际的和等效的阻尼能量损失
ymax
六、测定阻尼的方法—每周共振能量损失法
Fp
Wd
（6.2）
•式中 Wd 为实际力－位移图的面积，亦即每周的能量损失。
六、测定阻尼的方法—每周共振能量损失法
•把（6.2）式代入（6.1）式得到一个用每周能量损失表示的
等效粘滞阻尼系数的表达式：
C ed Wd
2
（6.3）
•因实际应用中使用阻尼比要比阻尼系数方便，故还需确定结
fs
1 k 面积＝Ws y
k f s max
ymax
图2 弹性刚度与应变能
2Ws k 2
（6.5）
六、测定阻尼的方法—每周共振能量损失法
由（6.1）～（6.5）式可得阻尼比：
Wd C C r 4Ws
（6.6）
（6）式表达的阻尼看起来似乎与频率无关：他直接 依赖于每周阻尼能量损失与最大位移时储存的应变能的 比值。
结构动力学3-2
(4.35)
ωb = 1+ ζ ωn
,
ωa = 1− ζ ωn
(d)
由式(d)得到半功率点频率 ωb 和 ωa 与阻尼比 ζ 的关系，
ωb − ωa = 2ζ ωn
由此得到式（4.34） 。若再用式(d)得关系
(e)
ωb + ω a = 2 ，代入式(e)，又得到式（4.35） 。 ω
三种阻尼比的测量方法
&& & (mu )udt
m[−ω u0 sin(ωt − φ )][ωu0 cos(ωt − φ )]dt = 0
可见在简谐振动中的一个循环内，弹性力和惯性力做功 均等于零，而由阻尼耗散的能量等于外力做的功。
3.4.3 等效粘性阻尼
(1) 粘性阻尼是一种理想化的阻尼，具有简单和便于分析 计算的优点。 (2) 工程中结构的阻尼源于多方面，其特点和数学描述更 为复杂，这时可以将复杂的阻尼在一定的意义上等效 成粘性阻尼。 (3) 一般采用基于能量等效的原则。 (4) 阻尼耗散能量的大小可以用阻尼力的滞回曲线反映。
结构动力学
清华大学土木工程系 刘晶波 2005年秋
结构动力学
第3章 单自由度体系
3.3.6 用简谐振动(强迫振动)试验 确定体系的粘性阻尼比
制，或说衰减规律可以明显反应出 阻尼比ζ的影响。而动力放大系数同 样受ζ控制，Rd曲线形状可以反映出ζ 的影响，其影响主要有两点： (1)峰值大小， (2)曲线的胖瘦。
动力放大系数 Rd=u0/ust
可以用自由振动方法求阻尼比ζ 的原因是由于自振衰减的快慢由ζ控
6
ζ=0.01
ζ=0.1
5
4
3
2
ζ=0.2
清华大学结构动力学2-1
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理
可以应用变分法（原理）建立结构体系的运动方程。 体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系 的能量取得极值,一般是极小值。 Hamilton原理是动力学中的变分法（原理）。
2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理(积分形式的动力问题的变分方法)
∫
t2 t1
用 Hamilton 原理推导 Lagrange 方程 对于有 N 个自由度的结构体系，体系的动能和位能分别为:
& & & T = T ( u1 , u 2 , L u N , u1 , u 2 , L u N ) V = V ( u1 , u 2 ,L u N )
(a) (b)
因此动能和位能的变分为：
∫
∫
t2 t1
t2
t1
& & & [ muδu − cuδu − kuδu + p(t )δu]dt = 0
对上式中的第一项进行分部积分
& & & muδudt = ∫ mu(δ
t2 t1 t t t t d d & & & && && u )dt = ∫ mu (δu )dt = ∫ mud (δu ) = muδu tt − ∫ δu ⋅ mudt = − ∫ muδudt t t t t dt dt
结构动力学
（2004秋）
结构动力学
第二章
运动方程的建立
运动方程： 描述结构中力与位移关系的数学表达式 （有时称动力方程） 运动方程是进行结构动力分析的基础 运动方程的建立是结构动力学的重点和难点
结构力学应用-结构动力学
（小阻尼） 令
有阻尼的自振频率
1
2
y(t ) e
t
y0 y0 ( y0 cos t sin t )
*写成
y(t ) b e
2 0
t
sin(t )
(14-12)
y0 y0 2 其中 b y ( )
柔度法（力法）
MY KY 0 MY Y 0
10、按柔度法求解
振型方程： ([ ][ 2 [ 1 M ]){Y } 00} ([ I ] M ] ][ [ I ]){Y } { 2 频率（特征）方程
D [ ][ M ] [ I ] 0
y0 tg y0 y0
位移－时间曲线如图示：
阻尼比——阻尼的基本参数： a.阻尼对频率（周期）的影响
k
2m
1 2
T T 1 2 T
0.2
T T
b、阻尼对振幅的影响
be
t
——振幅随时间逐渐衰减
11m1
1
12 m2
(k )
0 0
(14 63)
{Y }
(k )
Y1 Y2
(k )
11m1 k 12 m2
12 m2
k2
（k=1、2）
结构的刚度和质量分布 ——对称 其主振型 ——对称、反对称 计算自振频率： ——分别就正、反对称情况 ——取半跨结构计算 ——两个单自由度问题计算 显然，振型分别为： [1 1]T、[1 -1]T
1
0.2,
yn ln 2 j yn j 相隔j个周期： 1
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动。经过一 固定时段又
0
v
y
恢复原运动
T A
状态。
0
• •
-A
t y cos t
t
v sin t
t
A s in
t
（2） ※结构的自振周期和圆频率
（natural period and natural circular frequency ）
周期 完成一次振动需要的时间
T 2
频率 单位时间内完成振动的次数
阻尼过大,由于外界干扰积聚的能量全部用于消耗阻尼, 没有多余的能量再引起的振动。实际工程中一般不会出现。
（3）ξ< 1（低阻尼）情况
1,2 i 1 2
令 d 1 2
y(t) et (C1 cos d t C2 sin d t)
由初始条件确定C1 和 C2
设
y(0) y (0)
第二章 单自由度体系的振动
2.2 单自由度体系的自由振动
Free Vibration of Single Degree of Freedom Systems
1. 无阻尼自由振动
my cy ky FP (t)
c =0, FP(t)=0
my ky 0
2 k
m
y 2 y 0
为什么要讨 论这种简单 模型？
k
g
频率只取决于体系的质量和刚度，而与外界因素
无关，是体系本身固有的属性，所以又称为固有频率
（natural frequency）。
（3）简谐自由振动的特性
y(t) Asin( t )
加速度为： y(t) A 2 sin(t ) 惯性力为： FI (t) my(t) mA 2 sin(t )
k
m
练习
1. 计算图示结构的自振频率。
m EI
l /2
l /2
m EI
l /2
l /2
m EI
l /2
l /2
ω1 ׃ω2 ׃ω3= 1 ׃1.512 ׃2
结构约束越强,其刚度越大；刚度越大,其自振动频率也越大。
2. 求图示体系的自振频率。
m/2 m
EI
EI
EI l
l
11
y v
得 C1 y0
C2
v0
y0 d
y(t)
e t
y0
cosd t
v0
y0 d
sind t
y(t) et Asin( d t )
2
A
y02
v0
y0 d
例题
例1 求图示伸臂梁体系的自振频率和周期
EI
解 (1) 静定梁，采用柔度法
m
l
l/2
(2) 画质体单位力下的弯矩图。
l/2 1
(3) 弯矩图自乘，求柔度系数。
1 2
l
l 2
2 3
l 2
1 2
l 2
l 2
2 3
l 2
l3 EI
8EI
(4) 8EI ml3 T 2 ml3 8EI
例2 求图示单层刚架的自振频率和周期
这种理想情况所得到的某些结果，可以相当精确地反映实际 结构的一些动力特性；可以与有阻尼情况加以对比，以便更好地 了解阻尼的作用。
（1）方程的解
y 2 y 0
2 k
m
通解 代入初始条件 得动位移为
y C1 cost C2 sin t
y0 y0 y0 v0
y(t)
y0
c ost
v0
sin t
y 2 y 2 y 0
2 k , c 2
mm
2. 有阻尼自由振动 y 2 y 2 y 0
特征方程 特征根 一般解
2 2 2 0
1,2 2 1
y(t) C1e1t C2e2t
（1）ξ= 1（临界阻尼）情况
1,2
y C1 C2t et
y(t)
tan v
y y0 (1 t) v0t et
O
t
这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。
c 2
m
c 2m
1, cr 2m
c
cr
阻尼比
（2）ξ> 1（强阻尼）情况
y(t)
1,2 2 1 0
y t C1e1t C2e2t
O
t
y(t) et C1 sinh 2 1t C2 cosh 2 1t
在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正 弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时 刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。
（3）简谐自由振动的特性
它们的幅值产生于 sin(t ) 1 时，其值分别为：
y0 A
y0 A 2
FI0 mA 2
既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值 出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时 方程中将不含时间 t ，这样就把微分方程转化为代数方 程了，使计算得以简化。
（1）方程的解
y(t)y0cost来自v0sin t
y(t) Asin t
振幅
（amplitude of vibration）
A
y02
y 0
2
＝
y02
v0
2
初始相位角
arctan
y 0 y 0
＝arctan
y 0 v 0
y(t) Asin t
yy
T
0
振动将以
-y
一个连续地
y
T
定常幅度振 v
m EEI I1=∞EI
体系
h
1 6i/h
1 k
6i/h 单位侧移时的弯矩图
1
1
k
12i/h2 12i/h2 隔离体
解 (1) 超静定刚架，采用刚度法 (2) 画质体发生单位位移时的弯矩图。
(3) 取隔离体，列平衡方程，求刚度系数 k 24 i h2
(4) 24 i mh2 T 2 mh2 24i
f 1 2 T
圆频率 2π个单位时间内完成振动的次数，或单位时间内转的周数
2 2 f
T
（2） ※结构的自振周期和圆频率
（natural period and natural circular frequency ）
？ ？？
k 1 g g m m W yst
T 2 m 2 yst
2 3
l3 EI
1 3 m 2l3
EI ml3
2 3EI
3. 质点重W，求图示体系的自振频率。
EI
k
l
k11
k
3EI l3
mW /g
k
3EI l3
g
W
4. 求图示体系的自振频率。
m
EI EI1=∞ EA l
2. 有阻尼自由振动
my cy ky FP (t)
FP(t)=0
my cy ky 0
例3 求图示体系的自振频率
m1 m B
A l /2
m1
B
FI01
EI= C
k
m2
1 3
m
D
l
l /2
C
k
FS
m2
FI02
解：在振幅处列平衡方程
MB 0
FI01
l 2
FI02
3 2
l
FS
l
0
FI01
m1 A1 2
m l
2
2
FI 2
m2 A2 2
m 3
3l
2
2
m l
2
2
FS kl
m 2 k 0