1.不等关系
高中数学知识点精讲精析 不等关系
13.1 不等关系（一）不等关系与不等式1. 用数学符号“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子叫做不等式。
2. 数轴上的任意两点中，右边点对应的实数比左边点对应的实数大。
3. 对于任意两个实数a 和b ，在三种关系中有且只有一种关系成立。
4. 这组关系告诉我们比较两个实数的大小，可以通过判断它们的差的符号来确定。
5. 若a 、b ∈R ＋，则这组关系告诉我们比较两个正实数的大小，可以通过判断它们的商与“1”的大小关系来确定。
（二）不等式的性质不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础，证明这些性质必须是严格的，不能盲目地乱用。
保证每一步推理都有理论根据，否则可能导致推理错误。
1. 等式两边同乘以同一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数a （或代数式），结果有三种：（1）当a ＞0时，得同向不等式。
（2）当a ＝0时，得等式。
（3）当a ＜0时，得异向不等式。
a b,a b,ab =><2. 不等式性质，有同向不等式相加，得同向不等式，并无相减。
若或.这个结论常用，不妨记为：“大数减小数大于小数减大数。
”3. 不等式性质，有均为正数的同向不等式相乘，得同向不等式，并无相除。
若，这个结论也常用。
不妨记为：“大正数除以小正数大于小正数除以大正数。
”4. 不等式性质有.不能忽略a 、b 均为正数这个条件，即由是不一定成立的。
5. 由成立。
但不一定成立。
反过来也不一定成立。
事实上。
（三）均值不等式1. 对于任意实数a ，b 都有，当且仅当a ＝ b 时等号成立。
2. 对于任意正实数a ，b，当且仅当a ＝ b 时等号成立。
3. 对于任意正实数a, b 都有，当且仅当a ＝ b 时等号成立。
4.的几何解释：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 上任意一点，DE是过C 点垂直于AB 的弦。
若AC ＝a, BC ＝b 则AB ＝a ＋b ，⊙O 的半径，Rt △ACD∽Rt △BCD ，,。
不等式1：不等式,不等关系
3、1不等关系与不等式学习过程知识点1、不等式的定义用不等号（<，>，≤，≥，≠）表示不等关系的式子叫不等式。
如：()()f x g x >，()()f xg x ≤等等，用“<”或“>”号连结的不等式叫做严格不等式；用“≤”或“≥”号连结的不等式，叫做非严格不等式。
知识点2、不等式的分类（1）按成立的条件分：如果不论用什么实数代替不等式中的字母，它都能成立，这样的不等式叫绝对不等式。
如：a a >+12、45+>+x x 、1)1(2->+x 等均为绝对不等式。
如果只有用某些范围内的实数代替不等式中的字母，它才能成立，这样的不等式叫条件不等式。
如：x x >-12、12+<x x 等均为条件不等式。
如果用无论什么样的实数值代替不等式中的字母，不等式都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式。
如1|1||1|<++-x x 、22-<a 等均为矛盾不等式。
绝对不等式、条件不等式与矛盾不等式相互之间没有包容性，即三者中任意二个都不能同时成立。
（2）按不等号开口方向分：在两个不等式中，如果每一个的左边都大于右边，或每一个的左边都小于右边，这样的两个不等式叫同向不等式。
如：132+>+a a 与1332+>-a a 是同向不等式。
如果一个不等式的左边大于右边，而另一个不等式的左边小于右边，那么这两个不等式叫异向不等式。
如423+>+a a 与425322+<-a a 是异向不等式。
知识点3、不等式的性质与推论 ①对称性：a b b a <⇔>； ②传递性：b a >，c a c b >⇒>；③加法性质：c b c a b a +>+⇒>；（这是不等式移项法则的基础）推论：b a >，d b c a d c +>+⇒>；（这是同向不等式相加法则的依据，它还可以推广到任意有限个同向不等式的两边分别相加，所得不等式与原不等式同向） ④乘法性质：b a >，bc ac c >⇒>0；b a >，bc ac c <⇒<0； 推论1：0>>b a ，bd ac d c >⇒>>0推论2：0>>b a ，N n ∈，nn b a n >⇒>1；⑤开方性质：0>>b a ，N n ∈，n nb a n >⇒>1。
高中数学必修五-不等关系与不等式
不等关系与不等式知识集结知识元不等关系与不等式知识讲解1．不等关系与不等式【不等关系与不等式】不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．【不等式定理】①对任意的a，b，有a＞b⇔a﹣b＞0；a＝b⇒a﹣b＝0；a＜b⇔a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．例题精讲不等关系与不等式例1.设a、b、c是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|B．C．D．例2.已知a，b，c，d∈R，则下列命题中必然成立的是（）A．若a>b，c>b，则a>cB．若a>b，c>d，则C．若a2>b2，则a>bD．若a>-b，则c-a<c+b例3.若a，b∈R下列说法中正确的个数为（）①（a+b）2≥a2+b2；②若|a|>b，则a2>b2；③a+b≥2A．0B．1C．2D．3不等式比较大小知识讲解1．不等式比较大小【知识点的知识】不等式大小比较的常用方法（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法．【典型例题分析】方法一：作差法典例1：若a ＜0，b ＜0，则p ＝与q ＝a +b 的大小关系为（）A ．p ＜qB ．p ≤qC ．p ＞qD ．p ≥q解：p ﹣q ＝﹣a ﹣b ＝＝（b 2﹣a 2）＝，∵a ＜0，b ＜0，∴a +b ＜0，ab ＞0，若a ＝b ，则p ﹣q ＝0，此时p ＝q ，若a ≠b ，则p ﹣q ＜0，此时p ＜q ，综上p ≤q ，故选：B方法二：利用函数的单调性典例2：三个数，，的大小顺序是（）A ．＜＜B ．＜＜C ．＜＜D ．＜＜解：由指数函数的单调性可知，＞，由幂函数的单调性可知，＞，则＞＞，故＜＜，故选：B．例题精讲不等式比较大小例1.已知-1<a<0，b<0，则b，ab，a2b的大小关系是（）A．b<ab<a2b B．a2b<ab<bC．a2b<b<ab D．b<a2b<ab例2.a=80.7，b=0.78，c=log0.78，则下列正确的是（）A．b<c<a B．c<a<bC．c<b<a D．b<a<c例3.三个数a=，b=（）2020，c=log2020的大小顺序为（）A．b<c<a B．b<a<cC．c<a<b D．c<b<a当堂练习单选题练习1.已知t=a+4b，s=a+b2+4，则t和s的大小关系是（）A．t>s B．t≥sC．t<s D．t≤s练习2.已知a=，b=，c=，则（）A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．c>b>a练习3.设a=，b=2，c=log32，则（）A．b>a>c B．a>b>cC．c>a>b D．b>c>a练习4.设a=（），b=（），c=（），则a，b，c的大小关系为（）A．a<b<c B．b<c<aC．a<c<b D．c<a<b练习5.若a=（），b=（），e=log，则下列大小关系正确的是（）A．c<a<b B．c<b<aC．a<b<c D．a<c<b填空题练习1._____．不等式≤3的解集是__________练习2.于实数a、b、c，有下列命题①若a>b，则ac<bc；②若ac2>bc2，则a>b；③若a<b<0，则a2>ab>b2；④若c>a>b>0，则；⑤若a>b，，则a>0，b<0．其中正确的是______．练习3.已知a，b∈R，且>1，则下列关系中①②a3<b3③ln（a2+1）<ln（b2+1）④若c>d>0，则其中正确的序号为_____。
不等关系说课稿
不等关系说课稿引言概述：不等关系是数学中的重要概念，它描述了两个数之间的大小关系。
在数学学科的教学中，不等关系的教学是非常重要的一环。
本文将以不等关系为主题，通过引言概述和正文内容的方式，详细阐述不等关系的定义、性质、运算规则等内容。
一、不等关系的定义1.1 不等关系的基本概念不等关系是指两个数之间的大小关系，用符号"<"表示。
例如，对于两个实数a和b，若a<b，则称a小于b，记作a<b。
1.2 不等关系的反义词不等关系的反义词是等于关系，用符号"="表示。
对于两个实数a和b，若a=b ，则称a等于b，记作a=b。
1.3 不等关系的传递性不等关系具有传递性，即若a<b，b<c，则有a<c。
这是不等关系的一个重要性质。
二、不等关系的性质2.1 不等关系的反对称性不等关系具有反对称性，即若a<b且b<a，则有a=b。
这是不等关系的另一个重要性质。
2.2 不等关系的传递性如前所述，不等关系具有传递性，即若a<b，b<c，则有a<c。
不等关系具有可比性，即对于任意两个实数a和b，要么a<b，要么b<a，不会同时成立。
三、不等关系的运算规则3.1 不等关系的加法运算若a<b，c<d，则有a+c<b+d。
不等关系在加法运算中保持不变。
3.2 不等关系的减法运算若a<b，c<d，则有a-c<b-d。
不等关系在减法运算中保持不变。
3.3 不等关系的乘法运算若a<b，c>0，则有ac<bc。
不等关系在乘法运算中保持不变。
四、不等关系的应用4.1 不等关系在不等式中的应用不等关系在不等式的求解中起到重要作用。
通过分析不等关系，可以确定不等式的解集。
4.2 不等关系在函数图像中的应用不等关系可以用来描述函数图像的上升、下降趋势，帮助我们更好地理解函数的性质。
掌握简单的相等与不等关系
掌握简单的相等与不等关系相等与不等关系是数学中的基本概念之一，它在我们日常生活中也经常出现。
掌握简单的相等与不等关系对于我们解决问题、进行推理和判断都非常重要。
本文将介绍相等与不等关系的定义、性质以及在实际应用中的一些例子。
1. 相等关系的定义相等关系是指两个对象之间具有相同的属性或特征。
符号“=”表示相等关系，例如1 + 1 = 2，表示两个数相加等于2，即1与1相等。
在数学中，相等关系具有以下性质：- 自反性：任何数与自身相等，例如a = a。
- 对称性：如果a = b，则b = a。
- 传递性：如果a = b，且b = c，则a = c。
2. 不等关系的定义不等关系是指两个对象之间在某个方面上不相同或不等价。
常见的不等关系符号有“≠”、“<”、“>”等。
例如，3 ≠ 4表示3不等于4，即两个数不相等。
在数学中，不等关系具有以下性质：- 自反性：任何数与自身不相等，例如a ≠ a。
- 对称性：如果a ≠ b，则b ≠ a。
- 传递性：如果a ≠ b，且b ≠ c，则a ≠ c。
3. 相等与不等关系的应用相等与不等关系在实际生活和数学问题中有着广泛的应用，下面列举几个例子：- 排序和比较：在对一组对象进行排序时，我们需要比较它们的大小关系，即通过比较运算符“<”、“>”来判断两个数的大小关系。
- 方程与不等式：在解方程和不等式时，我们需要使用相等与不等关系来求解未知数的取值范围。
例如，求解方程2x + 3 = 7中的未知数x，我们需要通过相等关系来判断x的取值。
- 几何形状的判断：在几何学中，判断两个图形是否相等或不等是非常重要的。
例如，我们可以通过比较两个三角形的边长和角度来判断它们是否相等。
- 数据的比较与分类：在统计学和数据分析中，我们经常需要比较不同组数据之间的大小或关系。
通过使用相等与不等关系，我们可以对数据进行分类、分组或进行统计分析。
4. 总结相等与不等关系是数学中的基本概念，也是我们日常生活中经常遇到的概念。
必修5不等关系
不等式考纲链接1.不等关系了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．2．一元二次不等式(1)会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．3．二元一次不等式组与简单线性规划问题(1)会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．(2)了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．(3)会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．4．基本不等式：ab≤a＋b2(a≥0，b≥0)(1)了解基本不等式的证明过程．(2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题不等关系与不等式[考点梳理]1．两个实数大小的比较(1)a＞b⇔a－b________；(2)a＝b⇔a－b________；(3)a＜b⇔a－b________.2．不等式的性质(1)对称性：a>b⇔__________；(2)传递性：a>b，b>c⇒__________；(3)不等式加等量：a>b⇔a＋c______b＋c；(4)不等式乘正量：a>b，c>0⇒__________，不等式乘负量：a>b，c<0⇒__________；(5)同向不等式相加：a>b，c>d⇒__________；※(6)异向不等式相减：a>b，c<d⇒a－c＞b－d；(7)同向不等式相乘：a>b>0，c>d>0⇒__________；※(8)异向不等式相除：a>b>0，0<c<d⇒ac＞bd；※(9)不等式取倒数：a>b，ab>0⇒1a＜1b；(10)不等式的乘方：a>b>0⇒______________；(11)不等式的开方：a>b>0⇒______________．※注：1.(5)(6)说明，同向不等式可相加，但不可相减，而异向不等式可相减；2．(7)(8)说明，都是正数的同向不等式可相乘，但不可相除，而都是正数的异向不等式可相除．[基础自测])已知实数x，y满足a x＜a y(0＜a＜1)，则下列关系式恒成立的是()A.1x2＋1＞1y2＋1B．ln(x2＋1)＞ln(y2＋1) C．sin x＞sin y D．x3＞y3已知a＞0，b＞0，则a a b b与a b b a的大小关系为()A．a a b b≥a b b a B．a a b b＜a b b a C．a a b b≤a b b a D．与a，b的大小有关已知a＝27，b＝6＋22，则a，b的大小关系是a b.若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②ad＋bc＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中成立的是________(填序号)．[典例解析]类型一建立不等关系设x∈R，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，[t n]＝n同时成立．．．．，则正整数n的最大值是()A．3 B．4 C．5 D．6小结：解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型．本例[x]表示不超过x的最大整数，故由[x]＝k，可得k≤x<k ＋1，再由多个不等式结合不等式的性质找到正整数n的最大值．用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的1k(k∈N*)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，试从中提炼出一个不等式组．(钉帽厚度不计)类型二不等式的性质已知下列三个不等式①ab＞0；②ca＞db；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？小结：运用比较法及不等式性质进行比较时要注意不等式需满足的条件，如比较ac与bc的大小关系应注意从c＞0，c＝0，c＜0三个方面讨论．若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( )A.a c ＞b dB.a c ＜b dC.a d ＞b cD.a d ＜b c类型三 不等式性质的应用(1)若1<α<3，－4<β<2，则α2－β的取值范围是________． (2)已知－1＜a ＋b ＜3且2＜a －b ＜4，则2a ＋3b 的取值范围是________．(1)若角α，β满足－π2<α<β<π2，则2α－β的取值范围是________． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ，且1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围为________．类型四 比较大小实数b ＞a ＞0，实数m ＞0，比较a ＋m b ＋m 与a b 的大小，则a ＋m b ＋m________a b .小结：本题思路是作差整理，定符号，所得结论也称作真分数性质．作差(商)比较法的步骤是：①作差(商)；②变形：配方、因式分解、通分、分母(分子)有理化等；③判断符号(判断商和“1”的大小关系)；④作出结论．已知a ，b ，c ∈R ＋，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∈N ，n >2时，比较c n 与a n ＋b n 的大小，则a n＋b n ________c n .[归纳小结]1．理解不等关系的意义、实数运算的符号法则、不等式的性质，是解不等式和证明不等式的依据和基础．2．一般数学结论都有前提，不等式性质也是如此．在运用不等式性质之前，一定要准确把握前提条件，一定要注意不可随意放宽其成立的前提条件．3．不等式性质包括“充分条件(或者是必要条件)”和“充要条件”两种，前者一般是证明不等式的理论基础，后者一般是解不等式的理论基础．4．利用几个不等式来确定某个代数式的范围时要注意：“同向(异向)不等式的两边可相加(相减)”这种变形不是等价变形，若多次使用，则有可能使取值范围扩大，解决这一问题的方法是：先建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再一次性的运用这种变形，即可求得正确的待求整体的范围．5．比较两个实数的大小，有作差法和作商法两种方法．一般多用作差法，注意当这两个数都是正数时，才可以用作商法．作差法是比较作差后的式子与“0”的大小关系；作商法是比较作商后的式子与“1”的大小关系． 6．对于实际问题中的不等量关系，还要注意实际问题对各个参变数的限制． [课后作业] 1．．已知a ，b 为正数，a ≠b ，n 为正整数，则a n b ＋ab n －a n ＋1－b n ＋1的正负情况为 ( )A ．恒为正B ．恒为负C ．与n 的奇偶性有关D ．与a ，b 的大小有关2．若a ，b ，c ∈R ，且a >b ，则下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋c ≥b －cB ．(a －b )c 2≥0C ．ac >bc D.c 2a －b>0 3．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，且0＜f (－1)＝f (－2)＝f (－3)≤3，则( )A ．c ≤3B ．3＜c ≤6C ．6＜c ≤9D ．c ＞94．如果0＜m ＜b ＜a ，则( )A ．cos b ＋m a ＋m ＜cos b a ＜cos b －m a －mB ．cos b a ＜cos b －m a －m ＜cos b ＋m a ＋mC ．cos b －m a －m ＜cos b a ＜cos b ＋m a ＋mD ．cos b ＋m a ＋m ＜cos b －m a －m＜cos b a 5．设a ＝lg e ，b ＝(lg e )2，c ＝lg e ，则a ，b ，c 的大小关系为________．6．定义a *b ＝⎩⎨⎧a ，a ＜b ，b ，a ≥b.已知a ＝30.3，b ＝0.33，c ＝log 30.3，则(a *b )*c ＝________．(结果用a ，b ，c 表示)7．设实数a ，b ，c 满足：①b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，②c －b ＝4－4a ＋a 2.试确定a ，b ，c 的大小关系．8．某企业去年年底给全部的800名员工共发放1 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加30万元，企业员工每年净增a 人．(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过1.5万元？(2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？9．已知a ＋b ＋c ＝0，且a >b >c ，求c a 的取值范围．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b ；②a c <b c ；③log b ()a －c >log a ()b －c .其中所有正确结论的序号是( )A ．①B ．①②C ．②③D ．①②③。
不等关系说课稿
不等关系说课稿引言概述：不等关系是数学中的一个重要概念，它描述了两个数之间的大小关系。
在数学的学习过程中，深入理解不等关系对于解决问题和推理判断都具有重要意义。
本文将从不等关系的定义、性质、应用等方面进行详细阐述。
一、不等关系的定义1.1 不等关系的基本概念不等关系是指两个数之间的大小关系，可以分为大于、小于、大于等于、小于等于四种情况。
用符号表示时，大于用 ">"，小于用 "<"，大于等于用"≥"，小于等于用"≤"。
1.2 不等关系的传递性不等关系具有传递性，即如果a>b，b>c，则有a>c。
这个性质在解决问题时非常实用，可以简化推理过程。
1.3 不等关系的对称性不等关系不具有对称性，即a>b不一定意味着b<a。
这是因为不等关系是基于数的大小进行比较，而不是数的本身。
二、不等关系的性质2.1 不等关系的反身性不等关系具有反身性，即对于任意的数a，都有a≥a或者a≤a。
2.2 不等关系的传递闭包不等关系的传递闭包是指将不等关系中的传递性扩展到所有可能的数对上。
通过传递闭包，我们可以得到更多的不等关系。
2.3 不等关系的等价关系不等关系可以看做是等价关系的一种特殊情况。
等价关系具有自反性、对称性和传递性，而不等关系只具有自反性和传递性。
三、不等关系的应用3.1 不等关系在数学推理中的应用不等关系在数学推理中起到了重要的作用，可以匡助我们解决各种问题。
例如，在证明不等式时，我们可以利用不等关系的传递性和性质来进行推导。
3.2 不等关系在实际问题中的应用不等关系在实际问题中也有广泛的应用。
例如，在经济学中，不等关系可以描述不同商品的价格大小关系；在物理学中，不等关系可以描述物体的大小和分量关系等。
3.3 不等关系在计算机科学中的应用不等关系在计算机科学中也有重要的应用。
例如，在排序算法中，我们可以利用不等关系对元素进行比较和排序；在数据库查询中，不等关系可以用于筛选满足特定条件的数据。
不等关系说课稿
不等关系说课稿引言概述：不等关系是数学中一个重要的概念，它描述了两个数之间的大小关系。
在数学教学中，不等关系是一个基础而又重要的知识点。
本文将从四个方面详细阐述不等关系的相关知识，包括不等关系的定义、不等关系的性质、不等关系的表示方法以及不等关系的应用。
一、不等关系的定义：1.1 不等关系的概念：不等关系是指两个数之间的大小关系，包括大于、小于、大于等于和小于等于四种关系。
1.2 不等关系的符号表示：大于关系用“>”表示，小于关系用“<”表示，大于等于关系用“≥”表示，小于等于关系用“≤”表示。
1.3 不等关系的定义：对于两个实数a和b，如果a与b之间存在不等关系，则表示为a≠b，其中“≠”表示不等关系。
二、不等关系的性质：2.1 不等关系的传递性：如果a>b，b>c，则可以推出a>c。
这是因为如果a大于b，b大于c，那么根据大小关系的传递性，a一定大于c。
2.2 不等关系的反对称性：如果a>b，且b>a，则可以推出a=b。
这是因为如果a大于b，且b大于a，那么根据大小关系的反对称性，a一定等于b。
2.3 不等关系的反身性：对于任意的实数a，a与自身之间存在不等关系，即a≠a。
这是因为一个数与自身不可能相等。
三、不等关系的表示方法：3.1 使用数轴表示：可以将不等关系表示在数轴上，通过标记不等关系的符号来表示两个数之间的大小关系。
例如，如果要表示a>b，则可以在数轴上标记一个实数a和一个实数b，然后用“>”符号连接它们。
3.2 使用集合表示：可以使用集合表示法来表示不等关系。
例如，如果要表示a≥b，则可以用集合表示为{a|a≥b}，表示所有大于等于b的实数a的集合。
3.3 使用不等式表示：可以使用不等式来表示不等关系。
例如，如果要表示a<b，则可以用不等式表示为a-b<0，表示a与b之间的差小于0。
四、不等关系的应用：4.1 不等关系在不等式求解中的应用：不等关系在解决不等式问题时起着重要的作用。
不等关系与不等式的性质
2023-11-06CATALOGUE 目录•不等关系•不等式•不等式的解法•不等式在实际问题中的应用•不等式的扩展知识01不等关系不等关系是数学中的一个基本概念，它描述了两个数或量之间的大小关系。
在日常生活中，不等关系也广泛存在，例如人的身高、体重、年龄等都可以用不等式来表示。
引言如果对于任意两个实数a和b，可以用一个大于号（>）或者小于号（<）来表示它们之间的关系，那么就说a与b之间存在不等关系。
特别地，当a=b时，称a与b相等；当a>b时，称a大于b；当a<b时，称a小于b。
如果a>b且b>c，那么a>c。
不等关系的传递性如果a>b，那么b<a；如果a<b，那么b>a。
不等关系的逆向性如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
不等关系的可加性如果a>b且c>d，那么ac>bd（当c>0时）；如果a>b且c<d，那么ac<bd（当c<0时）。
不等关系的可乘性02不等式用不等号(“>”、“<”、“≥”、“≤”或“≠”)连接两个数的式子，称为不等式。
不等式的定义严格不等式非严格不等式用严格不等号“≠”连接两个数的式子，称为严格不等式。
用“>”、“<”、“≥”、“≤”连接两个数的式子，称为非严格不等式。
03不等式的定义0201极值定理对称性如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b。
加法单调性也就是不等式方向不变。
乘法单调性积大于每一个因数。
任何数都有大于、小于、等于它自身的关系，这是自然界的普遍规律。
反身性传递性如果a>b，b>c，那么a>c。
如果f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上的最大值与最小值之差为零。
不等式的性质一元不等式只含有一个未知数的不等式。
线性不等式未知数是线性组合的不等式。
不等关系与不等式介绍
不等关系与不等式介绍不等关系是数学中常用的一种关系，用于描述两个数之间的大小关系，即比较两个数的大小。
在数学中,不等关系可以表示为"大于"、“小于”、“大于等于”、“小于等于”。
不等关系可以形成不等式，不等式是含有不等号的数学式子。
不等关系是不等式的基础，而不等式则是对不等关系进行了约束。
在不等关系中，常常使用符号“>”（大于）、“<”（小于）、“≥”（大于等于）、“≤”（小于等于）来表示。
为方便表达，我们将两个数用变量表示，一般用字母x或y来表示。
例如，若x>y，表示x比y大；若x<y，表示x比y小；若x≥y，表示x大于等于y；若x≤y，表示x小于等于y。
不等关系可以直接表示两个数之间的大小关系，而不等式则将不等关系进行了约束，通过不等式可以表示一系列满足条件的数的范围。
不等式可以分为一元不等式和二元不等式。
一元不等式是只含有一个未知数的不等式，二元不等式是含有两个未知数的不等式。
解不等式即求不等式的解集，即满足不等式条件的变量值的范围。
解不等式的方法与解方程的方法有些相似，但由于不等式的特殊性，有一些注意事项。
对于一元不等式，可以通过将不等式化简为等价的形式，然后求解，在不等式两边施以同一个正数或同一个负数时，不等号的方向会发生改变。
例如，对于不等式2x-5>7，我们可以将其化简为2x>12，再除以2得到x>6，所以该不等式的解集为{x，x>6}。
当不等式左右两边均含有未知数，即为二元不等式时，需要绘制不等式的图形来找出解集。
一般将不等式转化为一元不等式的形式，取出一个未知数，再通过绘制图形来求解。
例如，对于二元不等式2x+3y≤8，我们可以将其转化为一元不等式2x≤8-3y，再通过绘制图形求解。
在绘制图形时，将不等式转化为等式，将未知数看作坐标轴上的变量，找出所有使等式成立的点，再根据不等式的符号来确定图形中的哪些点属于解集。
1.1不等关系
y f ( x)反映了某公司产品的销售收入y万元与 例四.如图3-2， y g ( x)反映了该公司的销售成本与 销售量x t的函数关系， 销售量的函数关系。试问： 1.当销售量为多少时，该公司盈利（收入大于成本）； 2.当销售量为多少时，该公司亏损（收入小于成本）？ 解： 1.当销售量大于at时，即x>a时， y f ( x) y/万元 公司盈利，即 f ( x) g ( x) y g ( x)
一．在数学意义上，不等关系可以 体现在以下几个方面：
(1) (2) (3) (4)
常量与常量
变量与常量 函数与函数 一组变量
之间的不等关系； 之间的不等关系； 之间的不等关系； 之间的不等关系．
二．表示不等关系的数学符号：
不等 关系
数学 符号 小于 不大于 大于 不小于 不等于
＜
≤
＞
≥
≠
三．不等式的概念： 用数学符号 “＜”“≤”“＞”“≥”“≠”等表示 不等关系的式子叫作不等式。
2. 当销售量小于at时，即x<a时， 公司亏损，即
b o a x/t
f ( x) g ( x)
例五.某用户计划购买单价分别为60元，70元的单 片软件和盒装磁盘，使用资金不超过500元。根据 需要软件至少买3片，磁盘至少买两盒，问：软件 数与磁盘数应满足什么条件？
解：设软件数为x，磁盘数为y，根据题意 可得 60x 70 y 500 x 3且x N , y 2且y N . 这是一个不等式组的问题。
1.1 不等关系
赵
用来解释这种现象的数学关系是：
x xm 0.58 0.618 y ym
怎样判断“＜”的关系成立？ m又是怎样的数？
八年级不等关系知识点
八年级不等关系知识点在数学学科的学习中，不等关系是十分重要的一个知识点。
在八年级的数学课程中，学生们需要学会理解和应用不等关系的基本概念和方法，以便在日常生活、学术研究和职业发展中得到更好的应用。
一、不等关系的基本概念不等关系是指两个数、两个量或两个代数式之间的大小或大小关系不同的关系。
在不等关系中，有等于、大于、小于、大于等于和小于等于五个常用的运算符号。
以数的不等关系为例，对于两个数 a 和 b，如果 a > b，则说明a 大于 b；如果 a < b，则说明 a 小于 b；如果a ≥ b，则说明 a 大于或等于 b；如果a ≤ b，则说明 a 小于或等于 b；如果 a = b，则说明 a 等于 b。
二、不等关系的性质除了运算符号的含义外，不等关系还有一些重要的基本性质，对于学生们的学习和理解也是十分关键的。
1. 对称性。
不等关系的对称性是指，如果 a > b，则 b < a；如果 a < b，则 b > a。
2. 传递性。
不等关系的传递性是指，如果 a > b，b > c，则 a > c；如果 a < b，b < c，则 a < c。
3. 反对称性。
不等关系的反对称性是指，如果a ≥ b，b ≥ a，则a = b。
三、不等关系的应用不等关系不仅仅是理论知识，还具有实际应用。
在日常生活和工作中，人们常常需要应用不等关系来进行量化和比较。
1. 应用于数学领域。
不等关系在代数学、函数学、几何学等学科中有广泛的应用，帮助研究人员更好地理解数学基础理论的构建和发展。
2. 应用于物理学领域。
在物理学中，不等关系用于物体的质量、速度、角度等多种因素的比较和分析中。
3. 应用于经济学领域。
不等关系在经济学中常用于分析收入、财富等经济因素的差异和不平等现象，并提出相应的政策建议和措施。
总结在八年级的数学学习中，透彻理解不等关系的基本概念、性质和应用是至关重要的。
《不等关系与不等式》 知识清单
《不等关系与不等式》知识清单一、不等关系在日常生活和数学中，我们经常会遇到各种各样的不等关系。
比如，身高的比较、体重的差异、速度的快慢、物品价格的高低等等。
不等关系是指两个量之间存在大小、多少、强弱等方面的差异。
常见的不等关系描述词有：大于（＞）、小于（＜）、大于等于（≥）、小于等于（≤）、不等于（≠）。
例如，小明的身高大于小红的身高，可以表示为“小明的身高＞小红的身高”；汽车的速度小于飞机的速度，可表示为“汽车的速度＜飞机的速度”。
二、不等式不等式是用不等号（＞、＜、≥、≤、≠）将两个代数式连接起来所形成的式子。
1、不等式的基本性质（1）对称性：如果 a ＞ b，那么 b ＜ a ；如果 a ＜ b，那么 b ＞ a 。
（2）传递性：如果 a ＞ b 且 b ＞ c，那么 a ＞ c ；如果 a ＜ b 且 b＜ c，那么 a ＜ c 。
（3）加法法则：如果 a ＞ b，那么 a ＋ c ＞ b ＋ c 。
（4）乘法法则：如果 a ＞ b 且 c ＞ 0，那么 ac ＞ bc ；如果 a ＞ b 且 c ＜ 0，那么 ac ＜ bc 。
2、一元一次不等式只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的不等式叫做一元一次不等式。
形如 ax ＋ b ＞ 0 或 ax ＋ b ＜ 0 （a ≠ 0）的不等式。
解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（根据不等式的性质 2，注意乘的数的正负）。
（2）去括号（注意括号前的符号）。
（3）移项（把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边，注意移项要变号）。
（4）合并同类项。
（5）系数化为 1（根据不等式的性质 3，注意乘或除以的数的正负）。
3、一元二次不等式含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式叫做一元二次不等式。
形如 ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （a ≠ 0）的不等式。
解一元二次不等式的步骤：（1）将不等式化为标准形式：ax²＋ bx ＋ c ＞ 0 （a ＞ 0）或 ax²＋ bx ＋ c ＜ 0 （a ＞ 0）。
第二讲,不等关系
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------第二讲,不等关系第二讲不等关系一内容提要 1. 不等式三个基本性质：① 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
② 不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。
③ 不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。
2. 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集。
设 ab,不等式组bx3. 几何中证明线段或角的不等关系常用以下定理① 三角形任意边两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。
② 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和。
③ 在一个三角形中，大边对大角，大角对大边。
直角三角形中，斜边大于任一直角边。
④ 有两组边对应相等的两个三角形中如果这两边的夹角大，那么第三边也大；如果第三边大，那么它所对的角也大。
⑤任意多边形的每一边都小于其他各边的和二例题ax的解集是 xa ax的解集是的解集是1 / 5的解集是空集例 1. 已知：x2，求下列代数式的取值范围：①7－3x,②xx 1+ 解：①∵x2，两边乘以－3，得两边加上 7，7－3x1 x 1+ －3x－6 7－3x7－6 得②设x＝y, x+1=xy, (y－1)x=1x=11y2，在两边乘以 y－1 时，根据不等式基本性质 2 和 3，得不等式组：或 y1 x 1+1.5 或xaa解：∵不等式两边都是非负数，两边平方不等号方向不变两边平方得， a2－2 a (a+b)+(a+b)2a2－或或31yy 即xx 1+＜1 例 2.设实数 a,b 满足不等式)(b+＜baa+，试决定 a,b 的符号。
(1995 年全国初中数学联赛题) 化简，得 a （a+b） aba +，可知a0， a+b0 两边除以 a 得， a+babaa+ 显然不等式要成立，只有1=aa，故 a0 由此得 a+b－ba +，显然只有 a+b0, 又∵a0,a,b 的符号是：a0, b0 例 3.已知：O 是△ABC 内的一点 1＜BCAB+ 分析：本题实质是要证明 2（OA＋OA＋OC）＞AB＋BC＋CA① 且 OA＋OB＋OC＜AB＋BC＋CA② 证明：①∵OA＋OB＞ABOB＋OC＞BCOC＋OA＞CA2（OA＋OB＋OC）＞AB ＋BC＋CA②延长 BO 交 AC 于 D，∵AB＋AD＞OB＋OD，OD＋DC＞OC AB＋AC＞OB＋OC，同理 AB＋BC＞OA＋OC， BC＋CA＞OA＋OB 即 2---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------（AB＋BC＋CA）＞2（OA＋OB＋OC） 1＜CABCAB++例 4.求证直角三角形两条直角边的和，小于斜边与斜边上的高的和已知：△ABC 中， ACB＝Rt， CDAB 于 D 求证：CA＋CB＜AB＋CD 证明：设 CD＝h,a,b,c 是A， B， C 的对边根据勾股定理，a2+b2=c2,a2+b2＜c2＋h2 ① 1ab=2①＋②：（a+b）∵a+b0, c+h0 a+bc+h 又证明：（用求差法）假设同上 ab 故 b0求证：2 .CAOCOBOA+++＜1 2 .OCOBOA++＜1 根据三角形面积公式21ch 2ab＝2ch ② 2(c+h)2 由 ab=ch,得 h=c(a+b)－(c+h)=a+b －c－cab ＝cabcbcac+2 ＝cbcca )(( ∵c0, a－c0, c－b0 (直角三角形中斜边大于任一直角边) (a+b)－(c+h)＜0 (a+b)＜(c+h) 再证明：学完四点共圆后，可证 CA－CD＜AB－CB 在 AB 上截取 BE＝BC，在 AC 上取 CF＝CD，两等腰△BCE 和△CDF 顶角B=DCF底角2＝1四边形 CDEF 是圆内接四边形EFA＝CDE＝RtAFAE ，即 AF－CFAB－BE ， AC－CDAB－CB CA＋CB＜AB＋CD 例 5.已知：△ABC 中，D， E 分别在BC，AC 上，B＝1＝2 ABCODhbacABCD21ABCDEF 如果△ABC，△ADC，△EBD 的周长依次3 / 5为 m,n,p 5m证明：设BC＝a，AC＝b，AB＝c∵1＝2，DE∥AC，△ABC∽△EBD∽△DACACDC＝，即 DC＝求证：4+pn（1989 年全国初中数学联赛题） BCACaab2 BD＝BC－DC＝a－ab2=an=b22 222abaBCBDmp==，例 6.已知：△ABC 中， AB＝AC， D 是三角形内的一点， ADB＞ADC 求证： DBC＞DCB 分析：为使已知条件ADB＞ADC 集中在一起，把△ABD 绕着点 A 旋转，使 AB 和 AC 重合，即作△ABD的全等三角形 ACE 证明：作CAE＝ABD，使 AE＝AD，连结 CE， DE 那么△ACE≌△ABD，CE＝BD， ACE＝ADB＞ADC∵ADE＝AED，DEC＞EDC，DC＞CE，即 DC ＞BDDBC＞DCBB三练习5，那么9－6a的值是＿＿＿＿2221ababbaabpn－＋4545 A DE C 1. 已知a32. 已知 b= aa2, 当 a3 时， b 的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿ 3. 已知 a0,且2+xa－＞2+xa 则 x 的取值范围是＿＿＿＿ 4.四边形 ABCD 中， AB=2， BC=4， CD=7，则 AD 的适合范围是＿＿＿＿ 5.等边△ABC 的边长为 1，点 P 是三角形内一点求证 1.5＜PA＋PB＋PC＜2 6.已知梯形 ABCD 中，AB∥CD， ADBC，求证 AB 7.已知△ABC 中，三条角平分线 AD， BE， CF 相交于一点 O，作 OHBC 于 H，求证 COHCAO 8.已知：AD， BE， CF 三条高相交于一点 H， A21BCDE 求证：---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 1ABCABCCFBEAD21++++ 9.已知：△ABC 中，， ABAC，边 AB， AC 的中垂线，分别交 BC 于 D 和 E 求证：BDCE 10 四边形 ABCD 中， AB=CD， CB，则AD 11.在△ABC 中，ABAC ① 若 AD 是中线，则DACDAB ② 若 AD 是角平分线，则 AB+CDAC+BD 12.已知：△ABC 中 AB=AC，点这点 P 是三角形内的一点， PBCPCB 求证：①PABPAC ②APBAPC 13.已知：△ABC 中 M 是 BC 的中点， D， E 分别在 AB， AC 上，DME=Rt 求证：BD+CEDE 14.△ABC 中， AC2AB，则B2C 15.已知：正有理数 a1是 3 .的一个近似值，设 a2=1+121+a 求证： 3 介于 a1和 a2之间提示：设 3 a1证 3 a2 ；再设 3 a2证 3 a15 / 5。
2019年§111 不等关系 12 不等关系与不等式语文
大于
＞
至多
≤
小于
＜
至少
≥
大于等于
≥
不少于
≥
小于等于
≤
不多于
≤
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第三章 不等式
2.实数的运算性质与大小顺序之间的关系 a－b>0⇔a > b； a－b＝0⇔a ＝ b； a－b<0⇔a < b.
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第三章 不等式
3．不等式的基本性质 (1)对称性：a＞b⇔b ＜ a. (2)传递性：a＞b，b＞c⇒a ＞ c. (3)可加性：a＞b⇔a＋c ＞ b＋c. (4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac ＞ bc； a＞b，c＜0⇒ac ＜ bc.
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第三章 不等式
又316＜1b＜115，所以1326＜ab＜6105. 所以13＜ab＜4. 所以－24＜a－b＜45，13＜ab＜4.
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第三章 不等式
本例条件不变，试求 3a－2b 的取值范围． 解：因为 12＜a＜60，15＜b＜36， 所以 36＜3a＜180，－72＜－2b＜－30. 所以－36＜3a－2b＜150.
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第三章 不等式
利用不等式的性质求取值范围的策略 (1)建立待求范围的整体与已知范围的整体的关系，最后利用一 次不等式的性质进行运算，求得待求的范围． (2)同向(异向)不等式的两边可以相加(相减)，这种转化不是等 价变形，如果在解题过程中多次使用这种转化，就有可能扩大 其取值范围．
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第三章 不等式
(2)证明：因为 c<d<0. 所以－c>－d>0，又因为 a>b>0， 所以 a＋(－c)>b＋(－d)>0， 即 a－c>b－d>0， 所以 0<a－1 c<b－1 d， 又因为 e<0，所以a－e c>b－e d.
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1.不等关系
一．选择题（共7小题）
1．下列式子中，不成立的是（）
A．﹣2＞﹣1 B．3＞2 C．0＞﹣1 D．2＞﹣1
2．下列不等式总成立的是（）
A．4a＞2a B．a2＞0 C．a2＞a D．
﹣a2≤0
3．在数学表达式：①﹣2＜0；②3x﹣5＞0；③x=1；④x2﹣x；⑤x≠﹣2；⑥x+2＞x﹣1中，不等式有（）A．2个B．3个C．4个D．5个
4．下列不等关系中，正确的是（）
A．a不是负数表示为a＞0 B．x不大于5可表示为x＞5
C．x与1的和是非负数可表示为x+1＞0 D．m与4的差是负数可表示为m﹣4＜0
5．小林在水果摊上称了2斤苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的．”如果设苹果的实际质量为x斤，用不等式把这个“高高的”的意思表示出来是（）
6．据丽水气象台“天气预报”报道，今天的最低气温是17℃，最高气温是25℃，则今天气温t（℃）的范围是（）A．t＜17 B．t＞25 C．t=21 D．17≤t≤25
22222
8．今年4月某天的最高气温为8℃，最低气温为2℃，则这天气温t℃的t的取值范围是_________．
9．已知x≥2的最小值是a，x≤﹣6的最大值是b，则a+b=_________．
10．用不等号填空：
（1）﹣π_________﹣3；（2）a2_________0；（3）|x|+|y|_________|x+y|；
（4）（﹣5）÷（﹣1）_________（﹣6）÷（﹣7）；（5）当a_________0时，|a|=﹣a．
三．解答题（共4小题）
11．用适当的符号表示下列关系：
（1）x的与x的2倍的和是非正数；
（2）一枚炮弹的杀伤半径不小于300米；
（3）三件上衣与四条长裤的总价钱不高于268元；
（4）明天下雨的可能性不小于70%；
（5）小明的身体不比小刚轻．
12．再下列各题中的空格处，填上适当的不等号：
（1）_________；
（2）（﹣1）2_________（﹣2）2；
（3）|﹣a|_________0；
（4）4x2+1_________0；
（5）﹣x2_________0；
（6）2x2+3y+1_________x2+3y．
13．某种饮料重约300g，罐上注有“蛋白质含量≥0.5%”，其中蛋白质的含量为多少克？14．不等式和方程有什么区别？。