勾股定理判定

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勾股定理

第1讲勾股定理第一部分知识梳理1．勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。

若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。

2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。

3．满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。

若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数）也必然是一组勾股数。

常用的几组勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,40,41等。

4．勾股定理的应用:①圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；②长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题。

5．直角三角形的判别：①定义，判断一个三角形中有一个角是直角；②根据勾股定理的逆定理，三角形一边的平方等于另外两边的平方和，则该三角形是直角三角形。

6．勾股定理中的方程思想：勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项。

7．勾股定理中的转化思想：在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解。

8．拓展：特殊角的直角三角形相关性质定理。

第二部分精讲点拨考点1. 勾股定理【例1】在Rt△ABC中，已知两边长为3、4，则第三边的长为变式1 等腰三角形的两边长为10和12，则周长为______，底边上的高是________，面积是_________。

变式2 等边三角形的边长为6，则它的高是________变式3 在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，（1）已知c＝4，b＝3，求a；（2）若a:b=3:4，c=10cm，求a、b。

勾股定理及直角三角形的判定

勾股定理及直角三角形的判定知识要点分析1、勾股定理如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c,那么一定有a2+b2=c2,即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2、勾股定理的验证勾股定理的证明方法很多，其中大多数是利用面积拼补的方法证明的。

我们也可将勾股定理理解为：以两条直角边分别为边长的两个正方形的面积之和等于以斜边为边长的正方形的面积。

因此，证明勾股定理的关键是想办法把以两条直角边分别为边长的两个正方形作等面积变形，使它能拼成以斜边为边长的正方形。

另外，用拼图的方法，并利用两种方法表示同一个图形的面积也常用来验证勾股定理。

3、如果三角形的三条边a、b、c有关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形,此结论是勾股定理的逆定理（它与勾股定理的条件和结论正好相反）。

其作用是利用边的数量关系判定直角三角形,运用时必须在已知三角形三条边长的情况下。

我们还可以理解为：如果三角形两条短边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形,并且两条短边是直角边，最长边是斜边.4、勾股数满足条件a2+b2=c2的三个正整数a、b、c称为勾股数。

友情提示：(1）3，4，5是勾股数，又是三个连续正整数，并不是所有三个连续正整数都是勾股数；（2）每组勾股数的相同倍数也是勾股数.【典型例题】考点一:勾股定理例1：在△ABC中，∠C=90°，（1）若a=3，b=4，则c=__________；（2）若a=6，c=10，则b=__________;（3)若c=34，a:b=8:15，则a=________，b=_________。

例2:已知三角形的两边长分别是3、4，如果这个三角形是直角三角形，求第三边的长。

解：考点二:勾股定理的验证例3:如图所示，图（1)是用硬纸板做成的两个直角三角形，两直角边的长分别是a和b，斜边长为c，图(2）是以c为直角边的等腰三角形。

请你开动脑筋,将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。

勾股定理

勾股定理１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 3.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 4.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E题型四：利用勾股定理求线段长度——例题6 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.BAC7.关于翻折问题例7、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长.课后训练：一、填空题1．如图(1)，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．图(1)2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做㎝。

勾股定理判定条件

勾股定理判定条件勾股定理是初中数学中比较基础的知识点之一，其应用广泛，被广泛地运用于各个领域。

勾股定理给出了一个直角三角形边长之间的关系，它可以通过勾股定理判定条件来判断一个三角形是否为直角三角形，从而判断出三角形的性质。

本文将详细介绍勾股定理及其判定条件。

一、勾股定理简介勾股定理，又称毕达哥拉斯定理，是指在一个直角三角形中，三条边满足勾股定理的条件：斜边的平方等于直角边的平方和。

具体而言，设三角形的三条边分别为a,b,c，且c 为斜边，若满足a²+b²=c²，则该三角形为直角三角形，且直角所对应的边为斜边。

该定理得名于古希腊哲学家毕达哥拉斯。

二、勾股定理的证明勾股定理得名于古希腊哲学家毕达哥拉斯，但自公元前两千年左右起，许多文化都已经独立地发现过这一定理。

勾股定理的证明，可以使用不同的方法，下面介绍其中的两种：1.图形法证明将正方形按照对角线断开，将原正方形分成四个直角三角形，其中三个直角三角形的三边分别为a,b,c，而第四个直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c的平方，此时，c²由直角三角形的两个直角边的长度计算得到，而a²+b²则是三个直角三角形的面积之和，因此有c²=a²+b²。

2.代数法证明首先假设a²+b²=c²成立，令x=c/a，则b²=a²(1-x²)，由此可以推导出b²的值。

然后，假设不成立，即a²+b²>c²或a²+b²<c²，如果a²+b²>c²，则假设存在一个数e，使得c²=(a+e)²+b²，代入a²+b²=c²中得到a²+2ae+e²+c²-b²=c²，化简后可得2ae+e²>c²-b²，因此e²>(c-b)(c+b-2a)，由于c>b>a，因此(e/a)² > 2，与x=c/a < 1矛盾。

八上数学勾股定理知识点

勾股定理一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

2.勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。

）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。

（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：①有一个角为90°的三角形是直角三角形。

②有两个角互余的三角形是直角三角形。

用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：①确定最大边（不妨设为c）；②若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半②在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

③在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。

5. 勾股定理的作用：①已知直角三角形的两边求第三边；②已知直角三角形的一边，求另两边的关系；③用于证明线段平方关系的问题；④利用勾股定理，作出长为n的线段。

二、平方根：（11——19的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。

（也称为二次方根），也就是说如果x2=a，那么x就叫做a的平方根。

2、平方根的性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；一个正数a的正的平方根，记作“a”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“—a”，这两个平方根合起来记作“±a”。

第10讲勾股定理

第10讲勾股定理〖学习目标〗1.知道勾股定理及其逆定理的联系与区别，能用这两个定理解决一些简单的实际问题．2.初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会用这两个定理解决一些几何问题． ※考情分析勾股定理是解决直角三角形三边关系的重要工具，在几何证明和几何计算中有着重要的应用，不过这一知识点在中考试卷中直接考查一般比较容易，以填空选择为主，分值一般控制在3分以内，但如果作为解决其它问题的工具，它有可能出现在解答题甚至压轴题中．〖基础知识·轻松学〗一、勾股定理1．定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=．即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 精讲：（1）勾股定理几种表达式在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c ，则222c a b =+，222a c b =-，222b c a =-；22c a b =+，22a c b =-，22b c a =-．（2）需要注意的是，勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系．应用勾股定理的时候，一定要弄清哪两条边是直角边，哪条边是斜边．二、面积法与勾股定理的证明勾股定理证明常用的方法是面积法，即几何图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积就不会改变，再利用面积公式进行计算论证，这种割补法是验证勾股定理的有效方法．精讲：两种著名的证法 1．赵爽弦图（如图10-1）BDEAb (股)a (勾)c (弦)C图10-1图10-2aacc CDEAB证明思路：S 正方形ABDE ＝214()2ab b a ⨯+-，S 正方形ABDE ＝2c ．所以2214()2ab b a c ⨯+-=．化简便得：a 2＋b 2＝c 2，即22c a b =+． 2．美国总统加菲尔德的证法（如图10-2）证明思路：根据梯形的面积计算公式，得211()()()22S a b a b a b =++=+梯形，又因为梯形由三个直角三角形组成，得2211222S ab c ab c =⨯+=+梯形. 所以2211()22a b ab c +=+，整理，得222a b c +=. 三、勾股定理的逆定理如果一个三角形的三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形．精讲：1．判断判定一个三角形是直角三角形的步骤 ①首先确定最大的边（设为c ）；②验证2c 与22a b +是否具有相等关系，若2c ＝a 2＋b 2，那么△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形；若2c ≠22a b +，那么△ABC 不是直角三角形。

勾股定理判定条件

勾股定理判定条件一、什么是勾股定理？勾股定理是数学中的一条基本定理，描述了直角三角形三条边之间的关系。

它的表述如下：在直角三角形中，设直角边为a、b，斜边为c，则有a² + b² = c²。

勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的，因此也被称为毕达哥拉斯定理。

二、勾股定理的判定条件在解决实际问题中，我们经常需要判断一个三元组是否满足勾股定理。

下面是勾股定理判定条件的详细说明：1. 条件一：三边长度满足勾股定理勾股定理判定条件的第一个条件是，三边的长度满足勾股定理的关系式。

即对于给定的三边长度a、b、c，如果满足a² + b² = c²，则该三元组满足勾股定理。

2. 条件二：满足直角三角形的定义勾股定理判定条件的第二个条件是，三边的长度满足直角三角形的定义。

直角三角形的定义是：其中一个角为直角，即90度。

3. 条件三：满足三角形的三边关系勾股定理判定条件的第三个条件是，三边的长度满足三角形的三边关系。

三角形的三边关系是：任意两边之和大于第三边。

即对于给定的三边长度a、b、c，必须满足a + b > c、a + c > b、b + c > a。

三、勾股定理判定条件的应用勾股定理判定条件在实际问题中有着广泛的应用。

下面是一些常见的应用场景：1. 判断三边长度是否构成直角三角形通过勾股定理判定条件，我们可以判断给定的三边长度是否构成直角三角形。

只需要验证三边长度是否满足勾股定理的关系式a² + b² = c²，并且其中一个角是否为直角（即是否为90度）。

2. 解决与直角三角形相关的实际问题勾股定理判定条件还可以应用于解决与直角三角形相关的实际问题。

例如，通过已知的两条边长度，可以使用勾股定理判定条件求解第三条边的长度。

或者通过已知的两条边长度，可以使用勾股定理判定条件求解三角形的面积。

3. 辅助测量和设计勾股定理判定条件在测量和设计领域也有着重要的应用。

八下期中考试专题复习(10)勾股定理的基础计算和判定

八下期中考试专题复习（10）勾股定理的基础计算和判定【知识点】1.勾股定理：直角三角形两直角边为a 、b ，斜边为c ，则（注：在一直角三角形中，任意知道边，便可由求出第三条边）2. 有两种特殊的直角三角形，已知一边可以求另外两边长（1）30°的直角三角形的三边之比为（2）45°的直角三角形的三边之比为3. 勾股定理的判定：三角形的三边a 、b ，c ，满足，则【例题讲解】例1.（2010期中）在⊿ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，BC=2，则AC 2为（）A. B.20 C.12 D.16例2.（2011期中）在⊿ABC 中，∠C=90°，AB=AC=2，则BC 为（）A.3B.C.D.16例3.（2010期中）在⊿ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5，则斜边AB 上的高为例4.（2011期中）在⊿ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=8，则斜边AB 上的高为练一练：1. （2011广东肇庆）在直角三角形ABC 中，∠C ＝ 90°，BC ＝ 12，AC ＝ 9，则AB ＝．2. （2011贵州安顺）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6cm ，AC =8cm ，按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠，使点C 落在AB 边的C ′点，那么△ADC ′的面积是．ACD B第2题图3．（2009年湖南长沙）如图，等腰A B C △中，A B A C =，A D 是底边上的高，若5cm 6cm A B B C ==，，则AD = cm ．4．（2009年安徽）13、长为4m 的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角（如图所示），则梯子的顶端沿墙面升高了 m ．5．（2009辽宁朝阳）如图，A B C △是等边三角形，点D 是B C 边上任意一点，D E AB ⊥于点E ，D F AC ⊥于点F ．若2B C =，则D E D F +=_____________．6．（2010年杭州月考）如图，在R t ABC △中，90AC B ∠=°，3BC =，4A C =，A B的垂直平分线D E 交B C 的延长线于点E ，则C E 的长为（） (A)32(B)76(C)256(D)27.（2009·滨州中考）如图，已知△ABC 中，AB ＝17，AC ＝10，BC 边上的高AD ＝8，则边BC 的长为（） A ．21 B ．15 C ．6D ．以上答案都不对8.（2007·徐州中考）如图，已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4cm ，BC=3cm ，现将△ABC 进行折叠，使顶点A 、B 重合，则折痕DE=_______cm ．F E BCDAADB9.（2009·张家界中考）小明将一幅三角板如图所示摆放在一起，发现只要知道其中一边的长就可以求出其它各边的长，若已知2C D ，求A C的长．10．若三角形的两边长为4和5，要使其成为直角三角形，则第三边的长为 .11.在三角形ABC中，AB=12cm，AC=5cm，BC=13cm，则BC边上的高为AD= cm.12．一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的最长边上的高是（）．D．9A．12.5 B．12 C．2【例题讲解】例1.（2010期中）下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）A. 12，15 ,9 B. 40，41，9 C.5，8，11 D.12，13，5例2.（2011期中）下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（）A. 5，13，12 B.15，12，9 C.6，8，10 D.11，41，40练一练：1.下列各组数据中，不能作为直角三角形三边长的是（） A.9，12，15 B.43,1,45C.0.2，0.3，0.4D.40，41，92．以下各组数为三边的三角形中，不是直角三角形的是（）．A ．12，16，20B ．7，24，25C ．4，7.5，8.5D ．3.5，4.5，5.53.如果下列各组数是三角形的三边，那么不能组成直角三角形的一组数是( )A .7,24,25B .321,421,521 C .3,4,5 D .4,721,8214. 有六根细木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12（单位：cm ），从中取出三根首尾顺次连接搭成一个直角三角形，则这根木棒的长度分别为（）A ．2，4，8B .4,8,10C .6,8,10D .8,10,12。

三角形勾股定理

勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

具体来说，如果直角三角形的两条直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，则勾股定理可以表示为：a² + b² = c²。

在中国，周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例。

而在西方，最早提出并证明此定理的是公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。

勾股定理现约有500种证明方法，是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，用代数思想解决几何问题的最重要的工具之一，也是数形结合的纽带之一。

此外，勾股定理在数学、工程和物理等领域有着广泛的应用，例如用于测量、计算和解决与直角三角形有关的各种问题。

以上信息仅供参考，如需了解更多信息，建议查阅相关书籍或咨询数学专业人士。

勾股定理的判定

摘要：勾股定理是数学史上最著名的定理之一，它揭示了直角三角形中三边长度之间的关系。

本文将从勾股定理的起源、证明方法、判定条件以及应用等方面进行探讨，以展示这一定理的伟大与魅力。

一、引言勾股定理，又称为毕达哥拉斯定理，是古希腊数学家毕达哥拉斯发现的。

这一定理在数学史上具有举足轻重的地位，不仅在几何学、代数学等领域有着广泛的应用，还被誉为数学中的“黄金法则”。

本文旨在探讨勾股定理的判定条件，以揭示其内在规律。

二、勾股定理的起源勾股定理的起源可以追溯到古代文明，其中最著名的是古巴比伦和古埃及。

古巴比伦人在公元前1800年左右就已经掌握了勾股定理的应用，而古埃及人在公元前1600年左右也发现了勾股定理。

然而，这些发现并没有形成系统的理论，直到古希腊时期，毕达哥拉斯才将勾股定理总结为一条普遍适用的定理。

三、勾股定理的证明方法勾股定理的证明方法多种多样，以下列举几种常见的证明方法：1. 几何证明法：通过构造图形，证明直角三角形中三边长度满足勾股定理。

2. 代数证明法：利用代数知识，将勾股定理转化为方程，进而证明其成立。

3. 欧几里得证明法：在《几何原本》中，欧几里得利用公理和定义，给出勾股定理的证明。

4. 数列证明法：通过构造数列，证明勾股定理成立。

5. 微分几何证明法：利用微分几何的知识，证明勾股定理。

四、勾股定理的判定条件勾股定理的判定条件如下：1. 存在一个直角三角形，其中两个直角边的长度分别为a和b，斜边的长度为c。

2. 满足勾股定理的公式：a² + b² = c²。

3. 当且仅当直角三角形的三边长度满足上述条件时，该三角形被称为勾股数三角形。

五、勾股定理的应用勾股定理在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用，以下列举几个例子：1. 几何学：勾股定理是解决直角三角形问题的基础，如求直角三角形的面积、周长等。

2. 物理学：在物理学中，勾股定理可用于计算物体在斜面上的运动、抛物运动等。

勾股定理

勾股定理1.勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么a 2＋b 2=c 2。

2.勾股定理逆定理：如果三角形三边长a,b,c 满足a 2＋b 2=c 2。

，那么这个三角形是直角三角形。

a. 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法b.若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；c.定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）；2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）3.经过证明被确认正确的命题叫做定理。

我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

（例：勾股定理与勾股定理逆定理） 4.直角三角形的性质（1）、直角三角形的两个锐角互余。

可表示如下：∠C=90°⇒∠A+∠B=90° （2）、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。

（3）、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半5、直角三角形的判定1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。

2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

勾股定理的计算方法

勾股定理的计算方法勾股定理是初中数学中非常重要的定理之一，它是解决直角三角形中各边长度关系的基本方法。

在数学和实际生活中，勾股定理都有着广泛的应用。

接下来，我们将介绍勾股定理的计算方法，希望能够帮助大家更好地理解和运用这一定理。

首先，让我们回顾一下勾股定理的表达形式，在直角三角形中，直角边的平方等于两条直角边的平方和。

即a² + b² = c²，其中a、b分别为直角三角形的两条直角边，c为斜边。

在实际运用中，我们常常需要根据已知条件来计算未知边长。

下面，我们将介绍几种常见的计算方法。

首先，当我们已知两条直角边的长度，需要计算斜边的长度时，可以直接使用勾股定理的表达式进行计算。

将已知的直角边长度代入a和b，然后求解得到斜边的长度c。

这种方法适用于已知直角三角形的两条直角边长度，需要计算斜边长度的情况。

其次，当我们已知直角三角形的斜边长度和一条直角边的长度，需要计算另一条直角边的长度时，也可以利用勾股定理进行计算。

同样地，将已知的斜边长度和一条直角边长度代入a和c，然后求解得到另一条直角边的长度b。

这种方法适用于已知直角三角形的斜边长度和一条直角边长度，需要计算另一条直角边长度的情况。

除了上述两种情况外，我们还可以利用勾股定理来判断一个三角形是否为直角三角形。

当一个三角形的三条边长度满足a² + b² = c²时，即可判定这个三角形为直角三角形。

这种方法适用于需要判断一个三角形是否为直角三角形的情况。

总之，勾股定理是解决直角三角形中各边长度关系的基本方法，它在数学和实际生活中都有着广泛的应用。

通过灵活运用勾股定理的计算方法，我们可以更好地解决各种与直角三角形相关的问题。

希望本文介绍的内容能够帮助大家更好地理解和运用勾股定理。

勾股定理

勾股定理【知识点】一、直角三角形的三边关系——勾股定理勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为b a 、，斜边为c ，那么一定有222c b a =+。

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

根据勾股定理，在直角三角形中，已知任意两条边长，可以求出第三条边的长．【常见勾股数】3，4，5及其倍数；5，12，13及其倍数； 6，8，10及其倍数；7，24，25及其倍数； 8，15，17及其倍数；9，40，41及其倍数注意:勾股数是指满足勾股定理的三个自然数。

例1：已知直角三角形的两条边：1、在Rt ABC ∆中，C 90,3,4a b ∠===，则第三边c 的长为（）2、已知直角三角形的两边长分别为3,4，求第三边的长______3、斜边为3cm ，一条直角边长为1cm ，则另一条直角边长为______，斜边上的高为______4、ABC △中，已知25,30,AB AC BC ==边上的高24AD =，求边BC 的长？例2：已知直角三角形的一条边及另外两条边的关系——借助未知数根据勾股定理列方程1.一个直角三角形中有一条直角边为7，另两条边为两个连续整数，则这个直角三角形的周长为______2.斜边比直角边大2，另一直角边为6，求斜边长______3.一个直角三角形斜边为10，两直角边之比为3:4，则面积为______*4.直角三角形的周长为22，则此直角三角形的面积为______ 例3：直角三角形的三条边都不知道——比值的未知数设法Rt ABC ∆中，∠C=90°1. :8:15,34,a b c == ,求,a b2.:3:4a b = ，周长为24 ，求面积3. :4:5a b =，面积为20 ，求周长思考:4:5a c = ，面积为20 ，求周长A CBCC例4：两种特殊的直角三角形①有一个角是30°的直角三角形三边的长度关系(30°角所对的边是斜边的一半)::2a b c=（记牢此比例关系）例1：Rt ABC∆中，∠C=90°，∠A=30°, 8c= ,求斜边上的高②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形CA = CB AB = 2 CA = 2 CB (正方形的对角线是边长的 2 倍！！) 例2、等腰直角三角形的斜边长为______1、等腰三角形的顶角120°，腰长为2厘米，则它的底边长？2、如图，在ABC ∆中，135,2C a b ∠===，求c 的长.3、如图，在四边形ABCD 中，AB ＝2，CD=1，∠A ＝60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD 的面积。

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