第三节行列式按行展开
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第一章 第3节 按行(列)展开定理 (1)
克莱姆法则亦可叙述为 如果线性方程组的系数行列式|A|≠ 则方 定理 : 如果线性方程组的系数行列式 ≠0,则方 程组一定有解,且解是唯一的 程组一定有解 且解是唯一的。 且解是唯一 定义：当方程组右边的常数项全部为零时， 定义：当方程组右边的常数项全部为零时，方程 组变为齐次线性方程组 组变为齐次线性方程组
了解定理的证明
证：写成矩阵方程A ⋅ x = b → x = A ⋅ b
A可逆
x1 A11 A21 L An1 b1 x A A22 L An2 b2 1 12 2 = M det A M M M M xn A1n A2n L Ann bn
−1
1 ∴ xj = (b1A1 j + b2 A2 j + L+ bnAnj ) det A = det Aj (b) det A (1 ≤ j ≤ n)
练习: 练习 解线性方程组
2 x1 + x2 − 5 x3 + x4 = 8, x − 3x − 6 x4 = 9, 1 2 2 x2 − x3 + 2 x4 = −5, x1 + 4 x2 − 7 x3 + 6 x4 = 0.
当系数矩阵可逆时，有惟一解： 系数矩阵可逆时 惟一解：
xj =
det Aj (b) det A
(1 ≤ j ≤ n)
T
其中Aj (b)：A的第j列换成b = (b1 , b2 ,L, bn ) 后的矩阵
a11 a12 L a1n a21 a22 L a2n A= M M M an1 an2 L ann
定理: 定理
如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零, 如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零
3行列式按一行展开
0 39
20
5 1
例 计算行列式
3 1 2 0 7 2 5 2 3 1 0 3 5 0
5
2 5
D 0 2 0 2
0 4 1 4 0 3 1 2 0 7 3 1 0 1 3 5 0
21
5 1
解
3
1 2 3 3 1 5
2 5 2
D 0 2 0 2
2
0 2 0 2
定义 划去aij的所在的行和列所得的行列式称为 aij的余子式，记作Mij，（－1)i+jMij称为aij 的代数余子式，记作Aij.
从定义知道, aij的代数余子式和余子式只 与i,j有关,与aij的值无关.
6
例设
3 0 1 4
2 5 1
2 7 0 3 2 6 0
D
1 3
求a23的余子式和代 数余子式.
a2 j2 a3 j3
3 j2 j3P3
( j2 j3 ) 2
a11 a13
j2 j3 P {2,3}
( 1) ( 1)
( j2 j3 )
a2 j2 a3 j3 a12
j 3 P {1,3} 2 j
( 1)
(j 3 ) 2 j
a2 j2 a3 3j
j2 j3P {1,2}
a11 a1n
i 1
ai 1
ain
1 n
a11 a1n (i )
D ai 1 ain ( 1) an1 ann ( 1) [ai 1 ( 1)
i 1 11
an1 ann M i 1 ain ( 1) M in ]
0 13 16 5 21 3 14 0
第一章 行列式 S3 行列式按行(列)展开
得
aaiijj
0
0
0
0
a1, j
a11
a1, j1
a1, j1
a1n
D (1)i1(1) j1 ai1, j ai1, j
ai1,1 ai1,1
ai1, j1 ai1, j1
ai1, j1 ai1, j1
ai1,n ai1,n
anj
an1
a a n, j1
n, j1
aij (1)(i j)2 Mij aij (1)i j Mij aij Aij
11
x2 xn
x
2 2
xn2
( xi x j ). (1)
ni j1
x1n1
x
n1 2
xnn1
证 用数学归纳法
1 D2 x1
1
x2
x2 x1
( xi x j ),
2i j1
当 n 2 时（1）式成立．
17
假设（1）对于 n 1阶范德蒙行列式成立，
对(1)式，由下而上依次从每一行减去上一行的x1倍，得
定理2 n(n≥2)阶行列式的任一行（列）元与另一行（列）对应 元的代数余子式乘积之和为零。即
ai1Ak1 ai2 Ak 2 或
a1 j A1t a2 j A2t
n
ain Akn ais Aks 0, (i k, i,k 1, 2, ,n) s1
n
anj Ant asj Ast 0, ( j t, j,t 1, 2, ,n) s1
3
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24 ,
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44
a21 a23 a24 M12 a31 a33 a34 ,
线性代数03-行列式按行(列)展开
1
3 4 c1 2c3 11
1
3 1
2 0 1 1 c4 c3
0010
1 5 3 3
5 5 3 0
511 (1)33 11 1 1
5 5 0
r2 r1
5 11 6 2 0 5 5 0
(1)13 6 2 40. 5 5
说明
定理3叫做行列式按行(列)展开法则， 利用这个法则降阶并结合行列式的性质， 可以简化行列式的计算.
思考 任意一个行列式是否都可以用较低阶的行列式表示？
在n 阶行列式中，把元素 aij 所在的第 i 行和第 j 列划去后，
留下来的n－1阶行列式叫做元素 aij 的余子式，记作Mij .
把 Aij 1 i j Mij 元素 aij 的代数余子式．
例如
a11 a12 a13 a14
D a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14 M23 a31 a32 a34
a41 a42 a44
A23 1 23 M23 M23
结论 行标和列标是行列式中元素的唯一标识，有且仅有一 个余子式和一个代数余子式与行列式中每一个元素对应.
说明
(1)对于给定的 n 阶行列式 D det(aij ) ，元素
证明 我们以3阶行列式为例.
a11 a12 a13 a11 A11 a12 A12 a13 A13 a21 a22 a23
a31 a32 a33
把第1行的元素换成第2行的对应元素，则
a21 a22 a23
a21 A11 a22 A12 a23 A13 a21 a22 a23 0.
第三讲 行列式按行按列展开
单位：理学院应用数学物理系计算数学教研室批准：日期：年月日任课教员：刘静课程名称：线性代数章节名称：第一章行列式课题：第三讲行列式按行按列展开目的、要求： 1. 行列式的按行按列展开法则；2. 掌握行列式的计算方法。
难点、重点：行列式按行按列展开法则及其应用。
器材设备：多媒体设备课前检查教学内容课堂组织教学内容： 本讲主要介绍：1. 行列式的按行（列）展开法则；2. 掌握行列式的计算方法。
教学方法与思路：1. 首先介绍余子式和代数余子式的概念；2. 对于三阶行列式，容易验证：111213222321232123212223111213323331333133313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-+可见一个三阶行列式可以转化成三个二阶行列式的计算。
由此容易想到：一个n 阶行列式是否可以转化为若干个 n －1 阶行列式来计算？3. 给出一个特殊的n 阶行列式的计算方法，从而给出一个引理；4. 进而介绍行列式的按行（列）展开法则。
教学中运用多媒体手段，讲解、板书与教学课件相结合，以讲解为主。
教学步骤：教学内容、方法、步骤教学内容课堂组织1. 介绍余子式和代数余子式的概念；2. 引理；3. 行列式的按行（列）展开法则；4. 应用举例。
5. 小结并布置作业。
21222120n n n nna a a a中仅含下面形式的项232323,,)(1,,,,)11231123(1)n n n nj j j j j j nj j j nj a a a a a a a a τ=-2323(1,,,,)23n nj j j j j nj a a a 恰是11M 的一般项，所以1111111111(1)D a M a M a A +==-=的第 i 行除了ij a 外都是111110j n ij n njnna a a a a a 行依次与第i-1行，第i-2行，……，第2行进行交换；再将第j 列与第1j -列，第2j -列，……，列交换，这样共经过(1)(1)i j i j -+-=+-交换行与交换列的步骤。
线性代数1.6行列式按行(列)展开
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某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
$D = a_{i1}A_{ j1} + a_{i2}A_{ j2} + ldots + a_{in}A_{ jn} = 0$，其中 $i neq j$。
行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$ 或 $D = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}A_{2j} + ldots + a_{nj}A_{nj}$。
行列式按行(列)展开的性质二
行列式中某一行（列）的所有元素都 乘以同一数 $k$，等于用数 $k$ 乘此 行列式。即：$D_1 = kD$。
行列式中如果有两行（列）元素成比 例，则此行列式等于零。
行列式按行(列)展开的性质三
若行列式中某一行（列）的所有元素 都是两数之和，则这个行列式可以拆 分为两个行列式的和，这两个行列式 分别由这两组数构成。
01
02
行列式是一个数值，由方阵中所 有元素的代数和计算得出。
03
行列式具有交换性质，即交换行 列式中两行（列）的位置，行列 式的值变号。
04
行列式按行(列)展开的意义
行列式按行（列）展开是计算行列式的 一种重要方法，特别是当行列式的阶数 较高时，直接计算往往比较困难，而按 行（列）展开可以简化计算过程。
行列式按行展开的步骤
01
1. 选择要展开的行（或列）。
02 2. 划去该元素所在的行和列，得到余子式。
03
第三节行列式按行展开
2 n
其中(1) N ( j2 j3 jn ) a2 j2 anjn 恰是M 11的一般项. 所以，D = a11M 11 = a11 (1)1+1 M 11 = a11 A11
山东财政学院统计与数理学院
（2）其次讨论行列式D的第i行的元素除aij ≠ 0外，其余都为0的情形； aij 0 0 a11 a1 j a1n i 1 2 1 i ai 1, j ai 1, j 1 0 = D ' 0 aij 0 j 1 2 j 1 anj an , j 1 ann a a a
定理1.3.1 (行列式按行（列）展开) n 阶行列式D = aij 等于它的 任意一行（列）中各元素与其对应的代数余子式乘积的和，即
D = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + + ain Ain (i = 1, 2, , n) 或 D = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + anj Anj ( j = 1, 2, , n)
中的代数余子式，记为Aij , 即 Aij = (1)i + j M ij
山东财政学院统计与数理学院
a11 a21 例如：D = a31
a32的余子式
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a32 的代数余子式
a41
a13 a23 a14 a24
a11 M 32 = a21 a41
a11 A32 = (1)3+ 2 a21 a41
a13 a23 a43
a14 a24 a44
a43
a44
注 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式
其中(1) N ( j2 j3 jn ) a2 j2 anjn 恰是M 11的一般项. 所以，D = a11M 11 = a11 (1)1+1 M 11 = a11 A11
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（2）其次讨论行列式D的第i行的元素除aij ≠ 0外，其余都为0的情形； aij 0 0 a11 a1 j a1n i 1 2 1 i ai 1, j ai 1, j 1 0 = D ' 0 aij 0 j 1 2 j 1 anj an , j 1 ann a a a
定理1.3.1 (行列式按行（列）展开) n 阶行列式D = aij 等于它的 任意一行（列）中各元素与其对应的代数余子式乘积的和，即
D = ai1 Ai1 + ai 2 Ai 2 + + ain Ain (i = 1, 2, , n) 或 D = a1 j A1 j + a2 j A2 j + + anj Anj ( j = 1, 2, , n)
中的代数余子式，记为Aij , 即 Aij = (1)i + j M ij
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a11 a21 例如：D = a31
a32的余子式
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a32 的代数余子式
a41
a13 a23 a14 a24
a11 M 32 = a21 a41
a11 A32 = (1)3+ 2 a21 a41
a13 a23 a43
a14 a24 a44
a43
a44
注 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式
第三节 行列式按行(列)展开
−2 2 −3 −1 4 − 5 c2 − c1 = −4 × 1 1 −1 (−4) × 1 0 0 c3 + c1 8 −2 7 8 − 10 15 = (−4) × (−1)
2 +1
4 −5 = 4 × (60 − 50) = 40 − 10 15
三、行列式按行（列）展开定理 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对 应的代数余子式的乘积之和，即
0
a ⋱ a c ⋰ b d ⋱ ⋰
b
要特别注意按照第一 行展开后剩余的2n-1 阶行列式的写法，并 注意其特点。
+ b ( − 1)1+ 2 n 0 c c 0
d 0
a ⋱ a b D = a × ( −1)1+1 ⋰ c 0 c d ⋱ ⋰
b
0
d 0 0 d
0
a ⋱ a c ⋰ b d ⋱ ⋰
1 2 3 D= 2 0 7 2 3 1
解：第二行（列)有一个零元，可以利用展开定理， 化三阶行列式为2个二阶行列式的计算（这里按照第 2列展开）：
1 2 3 7 3 1+ 2 2 3+ 2 1 D = 2 0 7 = 2 × (−1) + 3 × (−1) 2 1 2 7 2 3 1
= − 2 ( 2 − 14 ) − 3( 7 − 6 ) = 24 − 3 = 21
第三节 行列式按行（列）展开
本节介绍的主要内容 余子式和代数余子式 行(列)只有一个非零元的展开引理 按行（列）展开定理 利用展开定理求范德蒙德行列式 利用展开定理求行列式
一、余子式和代数余子式 余子式 在n阶行列式中，把(i,j)元aij所在的第i行和第j 列划去后，留下的元素按照原来的位置构成的n-1 阶行列式叫做(i,j)元aij的余子式，即作Mij.
行列式按行展开
当系数行列式D等于0时，克莱姆法则 失效，无法判断方程组是否有解以及 解的个数。
利用矩阵的秩
通过分析系数矩阵的秩和常数项矩阵的秩， 判断方程组的解的情况。当系数矩阵的秩等 于常数项矩阵的秩时，方程组有解；否则无 解。
引入参数法
通过引入参数将原方程组转化为参数方 程组，利用克莱姆法则求解参数方程组 的解，再回代求解原方程组的解。
• 适用性广：该方法适用于任何阶数的行列式，具有普适性。
行列式按行展开的优点与不足
要点一
计算量较大
要点二
难以直接观察行列式性质
对于高阶行列式，按行展开可能涉及大量的计算，导致计 算效率低下。
按行展开后，原行列式的结构和性质可能被掩盖，不利于 进一步分析和研究。
对未来研究的展望
探索更高效的计算方法
利用高斯消元法
通过高斯消元法将原方程组化简为阶 梯形方程组或最简形方程组，从而直 接求解方程组的解。
06 总结与展望
行列式按行展开的优点与不足
简化计算
通过按行展开，可以将一个高阶行列式转化为多个低阶行列式的和，从而简化计算过程。
直观性
按行展开的方法较为直观，易于理解和掌握。
行列式按行展开的优点与不足
行列式按行展开有助于理解行列式的本质和性质，加深对线性代数相关概 念的理解。
02 行列式按行展开的基本原 理
代数余子式的概念
代数余子式定义
在n阶行列式中，把元素$a_{ij}$所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行 列式叫做元素$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$；记$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$， $A_{ij}$叫做元素$a_{ij}$的代数余子式。
行列式按行展开的公式为：$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$，其中$a_{ij}$是所选行中的元素，$A_{ij}$ 是对应的代数余子式。
利用矩阵的秩
通过分析系数矩阵的秩和常数项矩阵的秩， 判断方程组的解的情况。当系数矩阵的秩等 于常数项矩阵的秩时，方程组有解；否则无 解。
引入参数法
通过引入参数将原方程组转化为参数方 程组，利用克莱姆法则求解参数方程组 的解，再回代求解原方程组的解。
• 适用性广：该方法适用于任何阶数的行列式，具有普适性。
行列式按行展开的优点与不足
要点一
计算量较大
要点二
难以直接观察行列式性质
对于高阶行列式，按行展开可能涉及大量的计算，导致计 算效率低下。
按行展开后，原行列式的结构和性质可能被掩盖，不利于 进一步分析和研究。
对未来研究的展望
探索更高效的计算方法
利用高斯消元法
通过高斯消元法将原方程组化简为阶 梯形方程组或最简形方程组，从而直 接求解方程组的解。
06 总结与展望
行列式按行展开的优点与不足
简化计算
通过按行展开，可以将一个高阶行列式转化为多个低阶行列式的和，从而简化计算过程。
直观性
按行展开的方法较为直观，易于理解和掌握。
行列式按行展开的优点与不足
行列式按行展开有助于理解行列式的本质和性质，加深对线性代数相关概 念的理解。
02 行列式按行展开的基本原 理
代数余子式的概念
代数余子式定义
在n阶行列式中，把元素$a_{ij}$所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行 列式叫做元素$a_{ij}$的余子式，记作$M_{ij}$；记$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$， $A_{ij}$叫做元素$a_{ij}$的代数余子式。
行列式按行展开的公式为：$D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + ldots + a_{in}A_{in}$，其中$a_{ij}$是所选行中的元素，$A_{ij}$ 是对应的代数余子式。
行列式按行(列)展开
例
D=
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 0 0 a33 0 a41 a42 a43 a44
= ( −1)
3+3
a11 a12
a14
a33 a21 a22 a24 . a41 a42 a44
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
定理３ 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的 定理３ 代数余子式乘积之和, 即 D= ai1 Ai1+ ai2 Ai2 +· · · + ain Ain 或 D= a1j A1j+ a2j A2j+· · · + anj Anj
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
1 1 x3 ⋮
n x3 − 2
把每列的公因子(xi-x1)提出,就有
⋯ ⋯ ⋯ 1 xn ⋮
n xn − 2
x2 Dn = ( x 2 − x1 )( x3 − x1 ) ⋯ ( xn − x1 ) ⋮
n x2 − 2
= ( x2 − x1 )( x3 − x1 ) ⋯ ( x n − x1 ) =
1 xn
(1)
n n x1n−1 x2 −1 ⋯ xn −1
∏ 其中记号“
”表示全体同类因子的乘积.
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
1 1
证 用数学归纳法.
D2 = = x2 − x2 =
x1 x2
2≥i > j ≥1
∏ (x − x ),
i j
所以当n=2时(1) 式成立. 现在假设(1) 式对于n-1阶范德蒙德行列式成 立， 要证(1) 式对于n阶范德蒙德行列式也成立.
§6
D=
a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 0 0 a33 0 a41 a42 a43 a44
= ( −1)
3+3
a11 a12
a14
a33 a21 a22 a24 . a41 a42 a44
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
定理３ 行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的 定理３ 代数余子式乘积之和, 即 D= ai1 Ai1+ ai2 Ai2 +· · · + ain Ain 或 D= a1j A1j+ a2j A2j+· · · + anj Anj
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
1 1 x3 ⋮
n x3 − 2
把每列的公因子(xi-x1)提出,就有
⋯ ⋯ ⋯ 1 xn ⋮
n xn − 2
x2 Dn = ( x 2 − x1 )( x3 − x1 ) ⋯ ( xn − x1 ) ⋮
n x2 − 2
= ( x2 − x1 )( x3 − x1 ) ⋯ ( x n − x1 ) =
1 xn
(1)
n n x1n−1 x2 −1 ⋯ xn −1
∏ 其中记号“
”表示全体同类因子的乘积.
§6
行列式按行( 行列式按行(列)展开
1 1
证 用数学归纳法.
D2 = = x2 − x2 =
x1 x2
2≥i > j ≥1
∏ (x − x ),
i j
所以当n=2时(1) 式成立. 现在假设(1) 式对于n-1阶范德蒙德行列式成 立， 要证(1) 式对于n阶范德蒙德行列式也成立.
§6
行列式的按行展开公式
行列式的按行展开公式行列式在数学中是个很重要的概念，特别是其中的按行展开公式，那可是解决很多问题的一把“金钥匙”。
咱们先来说说行列式是啥。
想象一下，有一堆数字整整齐齐地排成一个方形，就像一个方队一样。
这些数字按照一定的规则排列组合起来，就形成了行列式。
行列式的按行展开公式呢，简单说就是把一个大的行列式拆分成一个个小的部分来计算。
这就好比把一个大拼图拆成了小块，然后分别去解决每个小块，最后再把结果拼起来。
比如说，有一个三阶行列式：\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} \\a_{31} & a_{32} & a_{33}\end{vmatrix}\]按第一行展开，就变成了：\(a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} +a_{13}A_{13}\)，这里的 \(A_{ij}\) 叫做代数余子式。
那这代数余子式又是啥呢？别慌，咱们慢慢说。
还记得之前说的把大拼图拆成小块吗？这代数余子式就是其中的小块。
比如说 \(A_{11}\) ，就是把第一行第一列的元素去掉之后剩下的二阶行列式的值再乘以 \( (-1)^{1 + 1} \) 。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸迷茫地问我：“老师，这一堆数字绕来绕去的，到底有啥用啊？”我笑了笑，拿起教室里的座位表打比方。
我说：“咱们这教室里的座位表，就像是一个行列式。
每个同学都在自己的位置上，有对应的坐标。
如果咱们要统计一下某些位置上同学的某种特征，比如成绩的总和，这就像是在计算行列式的值。
而按行展开公式呢，就像是先分别计算每行同学的贡献，最后加起来得到总的结果。
” 这学生一听，眼睛一下子亮了起来，好像有点明白了。
在实际解题中，行列式的按行展开公式用处可大了。
比如说，在求解线性方程组的时候，如果直接计算整个行列式很麻烦，那咱们就可以巧妙地运用按行展开公式，把复杂的问题简单化。
行列式按行展开 ppt课件
记作 M i j .
Aij 1ij Mij， 叫做元素 a 的ij 代数余子式．
例如
a a a a 11
12
13
14
D a 21 a 22 a 23 a 24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a21 a23 a24
M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
第i行
相同
第 j行
M
M
if i j,
an1 L ann
a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a i A n j n 0 ,( i j ).
同理 a 1 i A 1 j a 2 i A 2 j a n A n i 0 , j( i j ).
命题得证
关于代数余子式的重要性质
MM
x3x1 L xnx1
x3(x3x1) L xn(xnx1)
M
M
0 x2n2(x2x1) x3n2(x3x1) L xnn2(xnx1)
按第一列展开，并把每一列的共因子 (xi 提x1出) ，有
1 1L 1
Dn(x2x1)(x3x1)L(xnx1)
x2 M
x3 L M
xn M
n-1阶范德蒙德行列式
a11 a12 a1n
a i1 0 0 0 a i 2 0 0 0 a in
a n 1 a n 2 a nn a n 1 a n 2 a nn
a n1 a n 2 a nn
a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a iA n in i 1 ,2 , ,n
例7 求行列式
a
b
Aij 1ij Mij， 叫做元素 a 的ij 代数余子式．
例如
a a a a 11
12
13
14
D a 21 a 22 a 23 a 24
a a a a 31
32
33
34
a a a a 41
42
43
44
a21 a23 a24
M12 a31 a33 a34 ,
a41 a43 a44
第i行
相同
第 j行
M
M
if i j,
an1 L ann
a i 1 A j 1 a i 2 A j 2 a i A n j n 0 ,( i j ).
同理 a 1 i A 1 j a 2 i A 2 j a n A n i 0 , j( i j ).
命题得证
关于代数余子式的重要性质
MM
x3x1 L xnx1
x3(x3x1) L xn(xnx1)
M
M
0 x2n2(x2x1) x3n2(x3x1) L xnn2(xnx1)
按第一列展开，并把每一列的共因子 (xi 提x1出) ，有
1 1L 1
Dn(x2x1)(x3x1)L(xnx1)
x2 M
x3 L M
xn M
n-1阶范德蒙德行列式
a11 a12 a1n
a i1 0 0 0 a i 2 0 0 0 a in
a n 1 a n 2 a nn a n 1 a n 2 a nn
a n1 a n 2 a nn
a i 1 A i 1 a i 2 A i 2 a iA n in i 1 ,2 , ,n
例7 求行列式
a
b
1.3行列式按行展开
例2 求四阶行列式
0 1 0 2
3 1 2 7 D
1 3 1 3
4 1 5 1
解 把行列式的第2列乘以2加到第4列上，有
0100
3 1 2 9
D
（按第1行展开）
1 3 1 3
4 1 5 1
3 2 9 1(1)12 1 1 3 11
4 5 1
例3 计算n阶（n>1）行列式
x y 0 00
0 x y 0 0
。
1项：xn xn1
习作题
11 1 1 21 3 4 D 4 1 9 16 8 1 27 64
( 1 2 ) 3 ( 2 ) 4 ( 2 ) 3 ( 1 ) 4 ( 1 ) 4 ( 3 ) 12
12 4 8
11 1 D
1 ? 12
1 3 9 27
1 4 16 64
(a1)3 D (a1)2
( a n d n b n c n ) a n 1 ( d n 1 b n 1 c n 1 ) ( a 2 d 2 b 2 c 2 ) D 2
(a n d n b n c n)a (n 1 d n 1 b n 1 c n 1 ) (a 2 d 2 b 2 c 2)a (1 d 1 b 1 c 1 )
a1
(a2)3 (a2)2 a2
(a3)3 (a3)2
a3
(a4)3 (a4)2
a4
1
1
1
1
解 将行列式的第四行与第一行调换，再将行列式的第二行和
第三行调换，得
1
1
1
1
D(1)2(aa11)2 (a1)3
a2 (a2)2 (a2)3
a3 (a3)2 (a3)3
行列式按行展开证明
行列式按行展开证明行列式按行展开是一种计算行列式的方法，它可以将一个n阶行列式的计算转化为n个(n-1)阶行列式的计算。
行列式按行展开的原理并不复杂，但是证明时需要借助一些线性代数的基本概念和定理。
下面将详细介绍行列式按行展开的证明。
设A是一个n阶方阵，则A的行列式记作det(A)。
为了陈述方便，假设A是一个3阶方阵，即A的行列式为det(A) = a11a22a33 -a11a32a23 - a12a21a33 + a12a31a23 + a13a21a32 - a13a31a22。
在行列式展开时，我们需要选取一个固定的行（或列）进行展开。
对于一个3阶方阵来说，我们可以选择第一行进行展开。
那么根据行列式展开的定义，det(A)可以写成以下形式：det(A) = a11C11 + a12C12 + a13C13其中C11，C12，C13分别代表按第一行展开所得的代数余子式。
我们来具体计算这三个代数余子式。
C11 = a22a33 - a23a32C12 = -(a21a33 - a23a31)C13 = a21a32 - a22a31将这三个代数余子式代入det(A)的展开式中可以得到：det(A) = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 - a22a31)我们可以观察到，在det(A)中，a11，a12，a13特定行的元素与对应的代数余子式相乘，并且有正负相间的规律。
这是因为代数余子式的正负号是根据矩阵元素的位置来确定的。
接下来，我们将a11、a12、a13所在的列分别移到代数余子式对应位置上：det(A) = a11(a22a33 - a23a32) + a21(a13a32 - a12a33) + a31(a12a23 - a13a22)再次观察det(A)的表达式，我们可以发现，它的展开形式中的每一项的系数与n阶方阵中元素所在的行和列的排列顺序有关。
2.3-行列式的展开定理
1
2 = −10 (− 2) − 7
6
6
2 6
= 20(− 42 − 12) = −1080.
17
评注 本题是利用行列式的性质将所给行列 式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后 按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数 可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接 计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种 方法对阶数不高的数字行列式比较适用．
n12..每i幂j列次1 (从行0)为递某增个到数(nx-1的3 −不x同2 )(方x幂4 − x2 )( xn − x2 ) 3. 结果为后列元素( x减n 去− 前xn列−1 )元素的乘积
23
证明范德蒙德(Vandermonde)行列式
11
x1 x2 Vn ( x1 , x2 , xn ) = x12 x22
n−2
2
3
xn−2 n
( xn − x1 ) ( xi − x j ) n i j 2
n-1阶范德蒙 行列式
27
例4：计算n阶行列式
a1 b b b a2 b Dn = b b a3
b b b , b≠ai, i=1, …,n.
bbb
an
28
解：用加边法，构造行列式， 使得按第一行（列）展开后，等于原行列式
xn−2 n
(
xn
−
x1
)
26
将Vn按第一列展开，并把每列的公因子(xi-x1)提出来，
11
1
Vn = ( x2 − x1 )( x3 − x1 ) ( xn − x1 ) x2
x3
xn
Vn = ( x2 − x1 )( x3 − x1 )
= ( xi − x j ).
1-3行列式按行列展开
1
(n1)(n 2) . 2
4 .已知行列式
1 1 1 2 1 2 2 3 3
求A31 A32 A33 , 2 A31 A32 2 A33 .
解
a11 A31 a12 A32 a13 A33
= 0. 类似的也可得 2 A31 A32 2 A33 0.
类似地可得
D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj ,
j 1,2,, n.
例 3 计算四阶行列式
x 0 D4 0 y
y x 0 0
0 y x 0
0 0 y x
解 按第 1 列展开，有
x D4 x( 1)11 0 0
y x 0
0
y
0 y x
0 0 y
3 计算 n 阶行列式
1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0
解 按第一行展开
0 0 0 1 0 0 1 0 11 11 0 1 0 0 1 0 0 0 n 1
D1 ai 1 Aj 1 ai 2 Aj 2 ain Ajn
ai 1 Aj 1 ai 2 Aj 2 ain Ajn 0
类似地，也可以证明另一个式子.
小 结
1.要求掌握余式式和代数余子式的定义. 2.会运用行列式按行（列）展开法则及其推论. 作 业
P33 ，5(5) , 7(4), (6).
1
1
1
c2 - c1 ，c3 - c1
1 0 0 D 21 3 5 2 3 9
按第 1 行展开
D 2 1 1
1 1
线性代数 同济大学第七版
---
第二节 行列式的性质
性质4 行列式中两行（列）对应元素都成比例，行列式值为零。
设第 j 行为第i 行的k 倍，由性质3，将 j 行提出公因子k ，即得第i 行 与第 j 行相同，于是行列式的值为零。
性质5 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第i 列
的元素都是两数之和：
a11 a12
式中划去第i 行和第 j 列元素，后所剩下的元素组成的行列式，称为元
素 aij i，j 1，2 的余子式。
---
第一节 行列式的概念
显然在定义中，A11
1
M 11 11
M11
，而
M11 a22 a22
；
A12 1 12 M12 M12 a21 a21
则二阶行列式
a11 a21
【定义 1.4】 当 n 1 时， a11 a11 ，假设已定义了 n 1 阶 行列式，n 阶行列式是由 n2 个元素排成行和列组成，记为：
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
a a --n1 n2
ann
第一节 行列式的概念
且规定其值为：D a11A11 a12 A12 a1n A1n
7
0
0
7 5
6 4
5 7
3 1 1 7
0 7 4 7
---
下页继续……
第二节 行列式的性质
熟练以后，这几步也可以合并为：
1 2 1 2
1 2 1 2
2 3
2 1
4 2
1 3
r2 2r1 r3 2r1
r4 3r1
0
0
7 5
6 4
5 7
3 1 1 7
第二节 行列式的性质
性质4 行列式中两行（列）对应元素都成比例，行列式值为零。
设第 j 行为第i 行的k 倍，由性质3，将 j 行提出公因子k ，即得第i 行 与第 j 行相同，于是行列式的值为零。
性质5 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，例如第i 列
的元素都是两数之和：
a11 a12
式中划去第i 行和第 j 列元素，后所剩下的元素组成的行列式，称为元
素 aij i，j 1，2 的余子式。
---
第一节 行列式的概念
显然在定义中，A11
1
M 11 11
M11
，而
M11 a22 a22
；
A12 1 12 M12 M12 a21 a21
则二阶行列式
a11 a21
【定义 1.4】 当 n 1 时， a11 a11 ，假设已定义了 n 1 阶 行列式，n 阶行列式是由 n2 个元素排成行和列组成，记为：
a11 a12
a1n
D a21 a22
a2n
a a --n1 n2
ann
第一节 行列式的概念
且规定其值为：D a11A11 a12 A12 a1n A1n
7
0
0
7 5
6 4
5 7
3 1 1 7
0 7 4 7
---
下页继续……
第二节 行列式的性质
熟练以后，这几步也可以合并为：
1 2 1 2
1 2 1 2
2 3
2 1
4 2
1 3
r2 2r1 r3 2r1
r4 3r1
0
0
7 5
6 4
5 7
3 1 1 7
第三节 按行(列)展开定理
列式的和。 则此行列式等于两个行 列式的和。
性质五：行列式某一行 (列)的所有元素的 k 倍加到另一行 (列) 性质五：
的对应元素上， 的值不变。 的对应元素上，行列式 的值不变。
余子式与 余子式与代数余子式
a11 ⋮ a i −11 ∆= a12 ⋮ ⋯ a1 j −1 ⋮
a1 j ⋮
a1 j +1 ⋮
行列式相等。 即：行列式和它的转置 行列式相等。
），行列式的值改变符 性质二： 互换行列式的两行（ 性质二： 互换行列式的两行（列 ），行列式的值改变行列式有两行（列） 完全相同，则此行列式 的值为零。 完全相同， 的值为零。
性质三： 性质三：
行列式的某一行（ 式的外面。 行列式的某一行（列） 的公因子可以提到行列 式的外面。
b a a a b a a a = b 2a + b a a 2a + b b a 2a + b a b
2a + b a a
2a + b b a 1 0 b−a 0
2a + b a b 0 0 b−a
1 = ( 2a + b ) a a
1 b a
1 a b
= ( 2a + b ) a a
b−a = ( 2a + b ) 0
n
按第一例元素的展开式
= a11 A11 + a 21 A21 + ⋯ + a n1 An1 = ∑ a i 1 Ai 1
i =1
n
b 例题 1：计算行列式 a a
a b a
a a 的值。 的值。 b
分析： 行列式的特点是每列元 素之和都是 2a + b， 分析： 所以将第二行、第三行 都加到第一行上，得 都加到第一行上， 所以将第二行、
性质五：行列式某一行 (列)的所有元素的 k 倍加到另一行 (列) 性质五：
的对应元素上， 的值不变。 的对应元素上，行列式 的值不变。
余子式与 余子式与代数余子式
a11 ⋮ a i −11 ∆= a12 ⋮ ⋯ a1 j −1 ⋮
a1 j ⋮
a1 j +1 ⋮
行列式相等。 即：行列式和它的转置 行列式相等。
），行列式的值改变符 性质二： 互换行列式的两行（ 性质二： 互换行列式的两行（列 ），行列式的值改变行列式有两行（列） 完全相同，则此行列式 的值为零。 完全相同， 的值为零。
性质三： 性质三：
行列式的某一行（ 式的外面。 行列式的某一行（列） 的公因子可以提到行列 式的外面。
b a a a b a a a = b 2a + b a a 2a + b b a 2a + b a b
2a + b a a
2a + b b a 1 0 b−a 0
2a + b a b 0 0 b−a
1 = ( 2a + b ) a a
1 b a
1 a b
= ( 2a + b ) a a
b−a = ( 2a + b ) 0
n
按第一例元素的展开式
= a11 A11 + a 21 A21 + ⋯ + a n1 An1 = ∑ a i 1 Ai 1
i =1
n
b 例题 1：计算行列式 a a
a b a
a a 的值。 的值。 b
分析： 行列式的特点是每列元 素之和都是 2a + b， 分析： 所以将第二行、第三行 都加到第一行上，得 都加到第一行上， 所以将第二行、
第三节行列式按行列展开
n 1
a c
b d
(ad bc) n
例7 : 设n阶行列式
1 2 3 n 1 2 0 0 Dn 1 0 3 0 1 0 0 n
求第一行各元素的代数余子式之和
A11 A12 A1n .
解 由 于 第 一 行 各 元 素 的数 代余 子 式 与 其 它 行 相 应 元 素 乘 积 之 和 为因 零此 有 1 A11 2 A12 0 A13 0 A1n 0 A12 A11 2 1 A11 0 A12 3 A13 0 A1n 0 A13 A11 3 A11 0 A12 0 A13 nA1n 0 A1n 1 A11 n
小结 计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可 以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方 法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式 在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变 换后，再考察它是否能用常用的几种方法．
1 1 xy x 0
2
1 0 x
2
y
1 y 1
1 1 y
0 0 y
xy 2 xy 2 x 2 [(1 y 2 ) 1] x 2 y 2
用递推法计算
a a 例5 : D2 n c c a b d c d b
b
d
a a D2 n a c 0 c b d
3
1
7 2 6
20 42 12 1080.
1 x 例4 : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x
1 1 x 1 1 1 1 1 y 1
1 1 1 y 1 1 1 1 1 y
1 1 1 1 y x 0 0
a c
b d
(ad bc) n
例7 : 设n阶行列式
1 2 3 n 1 2 0 0 Dn 1 0 3 0 1 0 0 n
求第一行各元素的代数余子式之和
A11 A12 A1n .
解 由 于 第 一 行 各 元 素 的数 代余 子 式 与 其 它 行 相 应 元 素 乘 积 之 和 为因 零此 有 1 A11 2 A12 0 A13 0 A1n 0 A12 A11 2 1 A11 0 A12 3 A13 0 A1n 0 A13 A11 3 A11 0 A12 0 A13 nA1n 0 A1n 1 A11 n
小结 计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可 以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方 法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式 在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变 换后，再考察它是否能用常用的几种方法．
1 1 xy x 0
2
1 0 x
2
y
1 y 1
1 1 y
0 0 y
xy 2 xy 2 x 2 [(1 y 2 ) 1] x 2 y 2
用递推法计算
a a 例5 : D2 n c c a b d c d b
b
d
a a D2 n a c 0 c b d
3
1
7 2 6
20 42 12 1080.
1 x 例4 : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 x
1 1 x 1 1 1 1 1 y 1
1 1 1 y 1 1 1 1 1 y
1 1 1 1 y x 0 0
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a1n 0 ann
a11 0 an1
a1 j aij anj
a1n 0 ann
a11 0 an1
a1 j 0 anj
a1n ain ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 ain Ain ann
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3 3 2 例1.3.1 按第三行展开，计算行列式 1 9 0 2 0 1
2 4 M 3 4
M的余子式和代数余子式分别为
3 4 N= 4 5
A=(-1)
(2 4) (2 3)
3 4 4 5
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定理1.3.4
(拉普拉斯定理) 在n(n 2)阶行列式D aij 中，
任意取定k 行（列）（ 1 k n 1 ），由这k 行（列）元素组成 的所有k阶子式与它们的代数余子式乘积的和等于行列式D.
, ik 和 后，
, jk , 则在M 的余子式前添加符号(-1)(i1 i2
ik ) ( j1 j2 jk )
所得到的n k阶行列式，称为k阶子式M 的代数余子式，记为A， N
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3
2 1
4
2 2 4 3 例如 四阶行列式D 4 2 1 5 2 3 4 1 如果选定第二、四行，第二、三列，可确定D的一个二阶子式为
定理1.3.2 (异乘变零定理) n 阶行列式D aij 的某一行 （列）的所有元素与另一行（列）中对应元素的代数余 子式乘积的和等于零，即 ai1 As1 ai 2 As 2 a1 j A1t a2 j A2t ain Asn 0 (i s ) anj Ant 0 ( j t )
1.3.1 余子式与代数余子式
定义1.3.1 在n(n 1)阶行列式D aij 中，将元素aij 所在的 第i行和第j列划去，剩下元素按原来相对位置所 构成的n 1阶行列式，称为D中元素aij的余子式， 记为M ij .
aij的余子式M ij 前冠以符号(1)i j 后，称为aij 在D 中的代数余子式，记为Aij ,即 Aij (1)i j M ij
在D中划去k行k列后，余下的元素按原来的次序构成 一个n k阶行列式，称为k阶子式M的余子式，记为N .
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如果k阶子式M 在D中所在的行标和列标分别为i1 , i2 , j1 , j2 , 即 A (-1)(i1 i2
ik ) ( j1 j2 jk )
其中cij为D1的第i行元素与D2的第j列相应元素乘积的和，即
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1.3.3 拉普拉斯（Laplace）定理
1、 k阶子式的余子式和代数余子式 定义1.3.2 在n阶行列式D aij 中，任意选定k 行k列（1 k n），
位于这些行和列交叉处的k 2个元素按原来的次序构成一个k阶行 列式M , 称为行列式D的一个k阶子式.
a14 a24 a44
A32 (1)3 2 a21 a41
注 行列式的每个元素分别对应着一个余子式和一个代数余子式
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3 练习：D 5 2
0 0
4 3 , 求2和－2的代数余子式。
2 1
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1.3.2 行列式按某一行（列）展开
定理1.3.1 (行列式按行（列）展开) n 阶行列式D aij 等于它的 任意一行（列）中各元素与其对应的代数余子式乘积的和，即
例1.3.2 用拉普拉斯定理计算行列式 3 1 2 3 D 5 2 0 0 0 1 4 1 2 0 3 0
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jn )
由行列式定义，D中仅含有如下形式的项 N ( j2 j3 N (1 j2 j3 jn ) a [( 1) (1) a11a2 j anj 11
2 n
a2 j2
anjn ]
其中(1)N ( j2 j3 jn ) a2 j2 anjn 恰是M11的一般项. 所以，D a11M11 a11 (1)11 M11 a11 A11
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例如：D
a32的余子式
a11 a21 a31 a41
a14 a24 a44
a12 a22 a32 a42
a13 a23 a33 a43
a14 a24 a34 a44
a11 a13 a23 a43
a32 的代数余子式
a11 M 32 a21 a41
a13 a23 a43
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总结 对于行列式D aij D, aij Asj j 1 0, n D, aij Ait i 1 0,
n
is is jt jt
1 1 2 练习 计算行列式 5 2 7 2 5 4
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定理1.3.3 (行列式相乘规则) 设D1 aij 与D2 bij 是两个 n 阶行列式，则它们的乘积也可表示为一个n 阶行列式，即 c11 D D1 D2 c21 cn1 cij ai1b1 j ai 2b2 j c12 c22 cn 2 ainbnj c1n c2 n cnn (i, j 1, 2, , n)
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（3）一般情形； a11 D ai1 0 an1 a12 0 0 ai 2 an 2 0 0 a1n 0 ain ann
进而，可将D展成n个象情形（2）的行列式之和.
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a11 D ai1 an1
a1 j 0 anj
D ai1 Ai1 ai 2 Ai 2 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j
ain Ain (i 1, 2, anj Anj ( j 1, 2,
, n) , n)
证明 分三种情况证，我们只对行证明此定理.
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（1）首先讨论行列式D的第一行的元素除a11 0外，其余都为0的情形； a11 a21 an1 0 a22 an 2 0 a2 n ann
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（2）其次讨论行列式D的第i行的元素除aij 0外，其余都为0的情形； aij 0 0 a a a
11 1j 1n
0 an1
aij anj
0 ann
i
i 1
2 2
1 1
j
j 1
ai 1, j anj
ai 1, j 1 an , j 1
0 D' ann
D (1)i j 2 D' (1)i j aij Mij aij Aij