高中数学圆与方程知识点

高中数学圆与方程知识点分析

1. 圆的方程：（1）标准方程：2

22()()x a y b r -+-=（圆心为A(a,b),半径为r ）

（2）圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x （0422>-+F E D ）

圆心（-2D ，-2

E ）半径

F E D 421

22-+ 2. 点与圆的位置关系的判断方法：根据点与圆心的距离d 与r 在大小关系判断 3. 直线与圆的位置关系判断方法

（1）几何法：由圆心到直线的距离和圆的半径的大小关系来判断。 d=r 为相切，d>r 为相交，d

适用于已知直线和圆的方程判断二者关系，也适用于其中有参数，对参数谈论的问题。利用这种方法，可以简单的算出直线与圆相交时的相交弦的长，以及当直线与圆相离时，圆上的点到直线的最远、最近距离等。

（2）代数法：由直线与圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程,然后由判别式△来判断。△=0为相

切，△>0为相交，△<0为相离。利用这种方法，可以很简单的求出直线与圆有交点时的交点坐标。

4．圆与圆的位置关系判断方法

（1）几何法：两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：

1）当21r r l +>时，圆1C 与圆2C 相离；2）当21r r l +=时，圆1C 与圆2C 外切；

3）当<-||21r r 21r r l +<时，圆1C 与圆2C 相交；4）当||21r r l -=时，圆1C 与圆2C 内切； 5）当||21r r l -<时，圆1C 与圆2C 内含；

（2）代数法：由两圆的方程联立得到关于x 或y 的一元二次方程, 然后由判别式△来判断。△=0为外切

或内切，△>0为相交，△<0为相离或内含。若两圆相交，两圆方程相减得公共弦所在直线方程。

5. 直线与圆的方程的应用：利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关系

题型一 求圆的方程

例1.求过点A( 2,0)，圆心在(3, 2)圆的方程。

变式1求过三点A （0，0），B （1，1），C （4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。

解：设所求的圆的方程为：02

2=++++F Ey Dx y x （也可设圆的标准方程求）

∵(0,0),(11A B φ，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于F E D ,,的三元一次方程组.

即⎪⎩⎪

⎨⎧=+++=+++=02024020F E D F E D F

解此方程组，可得：0,6,8==-=F E D 王新敞

∴所求圆的方程为：

0682

2=+-+y x y x 王新敞

5

4

2

1

2

2=

-

+

=F

E

D

r

；

3

2

,4

2

-

=

-

=

-

F

D

王新敞

得圆心坐标为（4，-3）.

变式2（01年全国卷.文）过点A (1,-1)、B (-1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（ C ）22

.(3)(1)4

A x y

-++=22

.(3)(1)4

B x y

++-=22

.(1)(1)4

C x y

-+-=22

.(1)(1)4

D x y

+++=

变式3.求圆心在直线270

x y

--=上的圆C与y轴交于两点A(0,-4), B(0,-2)圆的方程。

解：圆心在线段AB的垂直平分线y =-3上，代入直线2x-y-7=0 得x=2

变式4．求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线y=x截得的弦长等于27的圆的方程.

变式5．求圆22412390

x y x y

++-+=关于直线3x-4y+5=0 的对称圆方程.

题型二求轨迹方程与切线方程

例1.一曲线是与定点O(0,0)，A(3,0)距离的比是

1

2

的点的轨迹，求此曲线的轨迹方程

变式1.已知点P（10，0），Q为圆2216

x y

+=上一点动点，当Q在圆上运动时，求PQ的中点M的轨迹方程。

解：设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x0,y0).

因为M是PQ的中点,所以

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=

-

=

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+

=

+

=

.

2

.

10

2

,

2

,

2

10

y

y

x

x

y

y

x

x

即

(*)

又因为Q(x0,y0)在圆x2+y2=16上,所以x02+y02=16.将(*)代入得

(2x-10)2+(2y)2=16.

故所求的轨迹方程为(x-5)2+y2=4.