高中数学椭圆的知识总结(含答案)
高中数学高考几何解析(椭圆双曲线抛物线)课本知识讲解及练习(含答案)
高中数学高考几何解析（椭圆双曲线抛物线）课本知识讲解及练习（含答案）第五节椭圆一、必记3个知识点1．椭圆的定义(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时，P在长轴端点处．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2.(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a.(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c.二、必明3个易误点1．椭圆的定义中易忽视2a>|F1F2|这一条件，当2a＝|F1F2|其轨迹为线段F1F2，当2a<|F1F2|不存在轨迹．2．求椭圆的标准方程时易忽视判断焦点的位置，而直接设方程为x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)．3．注意椭圆的范围，在设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)上点的坐标为P(x，y)时，则|x|≤a，这往往在求与点P有关的最值问题中特别有用，也是容易被忽略而导致求最值错误的原因．三、技法1.求椭圆标准方程的2种常用方法(1)直接求出a，c来求解e.通过已知条件列方程组，解出a，c的值．(2)构造a，c的齐次式，解出e.由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根.3.求解最值、取值范围问题的技巧(1)与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思考时也要联想到一个图形．(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式．例如，－a≤x≤a，－b≤y≤b,0<e<1，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系．(3)最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.4.判断直线与椭圆位置关系的四个步骤第一步：确定直线与椭圆的方程．第二步：联立直线方程与椭圆方程．第三步：消元得出关于x(或y)的一元二次方程．第四步：当Δ>0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ<0时，直线与椭圆相离．5．直线被椭圆截得的弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2])＝(y1＋y2)2－4y1y2])(k为直线斜率).参考答案①F1，F2②|F1F2|③x轴，y轴④坐标原点⑤(－a,0)⑥(a,0)⑦(0，－b)⑧(0，b)⑨(0，－a)⑩(0，a)⑪(－b,0)⑫(b,0)⑬2a⑭2b⑮2c⑯(0,1)⑰c2＝a2－b2第六节双曲线一、必记3个知识点1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c>0)的距离①________________为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的②________，两焦点间的距离叫做③________.(2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(ⅰ)当④________________时，M点的轨迹是双曲线；(ⅱ)当⑤________________时，M点的轨迹是两条射线；(ⅲ)当⑥________________时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质⑧________x ∈对称轴：⑪________对称中心：⑫________顶点坐标：A 1⑮______，A 2⑯________⑱____________c ＝⑳________|＝21________；线段________；a 叫做双曲线的虚半轴长＞b ＞0)(1)双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直．(2)渐近线的斜率与双曲线的焦点位置的关系：当焦点在x 轴上时，渐近线斜率为±ba，当焦点在y 轴上时，渐近线斜率为±ab.(3)渐近线与离心率．x2a2－y2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的斜率为ba＝e2－1.(4)若P 为双曲线上一点，F 为其对应焦点，则|PF |≥c －a .二、必明4个易误点1．双曲线的定义中易忽视2a <|F 1F 2|这一条件．若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a >|F 1F 2|则轨迹不存在．2．双曲线的标准方程中对a ，b 的要求只是a >0，b >0，易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同．若a >b >0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)；若a ＝b >0，则双曲线的离心率e ＝2；若0<a <b ，则双曲线的离心率e >2.3．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a ，b ，c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c2＝a2＋b2.4．易忽视渐近线的斜率与双曲线的焦点位置关系．当焦点在x轴上，渐近线斜率为±ba，当焦点在y轴上，渐近线斜率为±ab.三、技法1.双曲线定义的应用(1)判定满足某条件的平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立|PF1|与|PF2|的关系．[注意]在应用双曲线定义时，要注意定义中的条件，搞清所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支，若是双曲线的一支，则需确定是哪一支.2.求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线x2a2－y2b2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为：x2a2－y2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值.3.求双曲线离心率或其范围的方法(1)求a，b，c的值，由c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．4．求双曲线的渐近线方程的方法求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线的方法是令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为：xa±yb＝0.参考答案①之差的绝对值②焦点③焦距④2a<|F1F2|⑤2a＝|F1F2|⑥2a>|F1F2|⑦x≥a或x≤－a⑧y≥a或y≤－a⑨x轴，y轴⑩坐标原点⑪x轴，y轴⑫坐标原点⑬(－a,0)⑭(a,0)⑮(0，－a)⑯(0，a)⑰y＝±ba x⑱y＝±ab x⑲ca⑳a2＋b2212a222b23a2＋b2第七节抛物线一、必记2个知识点1．抛物线定义、标准方程及几何性质x轴⑤________y轴⑥________O(0,0)O(0,0)O(0,0)O(0,0)F⑦________⑧________⑨________设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2＝p24，y1y2＝－p2.(2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2α(α为弦AB的倾斜角)．(3)以弦AB为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，长等于2p.二、必明2个易误点1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p>0，才能证明其几何意义是焦点F到准线l 的距离，否则无几何意义．三、技法1.应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋p2或|PF|＝|y|＋p2.2.求抛物线的标准方程的方法(1)求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可．(2)因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．3．确定及应用抛物线性质的技巧(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化为标准方程．(2)要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.4.解决直线与抛物线位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．提醒：涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解.参考答案①相等②y2＝－2px(p＞0)③x2＝－2py(p＞0)④x2＝2py(p＞0)⑤x轴⑥y轴⑦F(－p2，0)⑧F(0，－p2)⑨F(0，p2)⑩e＝1⑪x＝－p2⑫y＝－p2⑬－y0＋p2⑭y0＋p2⑮y≤0⑯y≥0。
(新)高中数学-椭圆-知识题型总结
陈氏优学教学课题椭圆知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义1．若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是 知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
讲练结合二．利用标准方程确定参数1．椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m = 。
2．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。
知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程，把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以椭圆是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a，|y|≤b。
（3）顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。
a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。
高中数学椭圆知识点总结
椭圆知识点知识点一：椭圆的定义平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距. 注意：若2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ； 若2121F F PF PF <+，则动点P 的轨迹无图形. 知识点二：椭圆的简单几何性质椭圆：12222=+b y a x )0(>>b a 与 12222=+bx a y )0(>>b a 的简单几何性质标准方程12222=+b y a x )0(>>b a 12222=+b x a y )0(>>b a 图形性质焦点 )0,(1c F -，)0,(2c F ),0(1c F -，),0(2c F焦距 c F F 221= c F F 221= 范围 a x ≤，b y ≤b x ≤，a y ≤对称性关于x 轴、y 轴和原点对称顶点 )0,(a ±，),0(b ± ),0(a ±，)0,(b ±轴长长轴长=a 2，短轴长=b 2 长半轴长=a ，短半轴长=b （注意看清题目）离心率)10(<<=e ace c a F A F A -==2211；c a F A F A +==1221；c a PF c a +≤≤-1；(p 是椭圆上一点)（不等式告诉我们椭圆上一点到焦点距离的范围）注意：①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质，如：长轴长、短轴长、焦距、离心率等；②与坐标系有关的性质，如：顶点坐标、焦点坐标等知识点三：椭圆相关计算1．椭圆标准方程中的三个量cba,,的几何意义222cba+=2.通径:过焦点且垂直于长轴的弦,其长ab22焦点弦：椭圆过焦点的弦。
3.最大角:p是椭圆上一点，当p是椭圆的短轴端点时，21PFF∠为最大角。
高中数学_椭圆,知识题型总结
陈氏优学教学课题椭圆知识点一：椭圆的定义 平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()，这个动点的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距.注意：若，则动点的轨迹为线段；若，则动点的轨迹无图形.讲练结合一.椭圆的定义1．若ABC ∆的两个顶点()()4,0,4,0A B -，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程是 知识点二：椭圆的标准方程1．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；注意：1．只有当椭圆的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时，才能得到椭圆的标准方程；2．在椭圆的两种标准方程中，都有和；3．椭圆的焦点总在长轴上.当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
讲练结合二．利用标准方程确定参数1．椭圆2214x y m+=的焦距为2，则m = 。
2．椭圆5522=+ky x 的一个焦点是)2,0(，那么=k 。
知识点三：椭圆的简单几何性质椭圆的的简单几何性质（1）对称性对于椭圆标准方程，把x 换成―x ，或把y 换成―y ，或把x 、y 同时换成―x 、―y ，方程都不变，所以椭圆是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。
（2）范围椭圆上所有的点都位于直线x=±a 和y=±b 所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足|x|≤a ，|y|≤b 。
（3）顶点①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆（a＞b＞0）与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，0），B1（0，―b），B2（0，b）。
③线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。
a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
（4）离心率①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e表示，记作。
高三椭圆的相关知识点总结
高三椭圆的相关知识点总结椭圆是高中数学中的一个重要概念，涉及到椭圆的性质、方程以及相关的数学定理等内容。
本文将对高三椭圆的相关知识点进行总结，以帮助同学们更好地理解和掌握椭圆的概念和性质。
一、椭圆的定义和性质1. 定义：椭圆可以由一个固定点F（焦点）和一条固定线段2a （长轴）的长度之和等于定值2c（焦距）的所有点构成。
2. 方程：椭圆的标准方程是(x/a)^2 + (y/b)^2 = 1。
其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴，a > b > 0。
3. 圆与椭圆的关系：当椭圆的半长轴和半短轴相等时，即a = b，就是一个圆。
4. 离心率：椭圆的离心率e与焦点F和轴的关系为e = c/a。
离心率是描述椭圆的扁平程度的参数，0 < e < 1。
5. 焦点和准线：椭圆的焦点到准线的距离之和等于2a。
二、椭圆的参数方程和直线性质1. 参数方程：椭圆的参数方程为x = a*cosθ，y = b*sinθ。
其中θ是椭圆上的任意一点P与椭圆主轴正方向的夹角。
2. 直线性质：椭圆与直线的相交情况：(1) 直线与椭圆相离：直线与椭圆没有交点。
(2) 直线与椭圆相切：直线与椭圆有且仅有一个切点。
(3) 直线与椭圆相交：直线与椭圆有两个交点。
三、椭圆的对称性和焦点性质1. 对称性：椭圆具有两个重要的对称性质：(1) 椭圆关于x轴对称，对于椭圆上任意一点P(x, y)，P'(-x, y)也在椭圆上。
(2) 椭圆关于y轴对称，对于椭圆上任意一点P(x, y)，P'(x, -y)也在椭圆上。
2. 焦点性质：(1) 焦点的定位：焦点位于椭圆的长轴上，离圆心的距离为c （焦距）。
(2) 焦点的判定：对于已知椭圆的方程，焦点的坐标可以通过勾股定理计算。
(3) 焦点的连线：椭圆上的任意一点P和其对应的直径垂直联结，焦点在直径垂直联结的中点上。
四、椭圆的常用定理和应用1. 定理一：满足椭圆方程的点P(x, y)到焦点F的距离PF和到准线的距离PL之和等于椭圆长轴的长度，即PF + PL = 2a。
高二椭圆知识点总结
高二椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
具体来说，设两点为F₁和F₂，距离之和为常数2a，那么椭圆E的定义：E = {P∈R² | |PF₁| + |PF₂| = 2a}其中，P为椭圆上的点，F₁和F₂为两个固定点，a为椭圆的半长轴。
1.2 椭圆的几何性质椭圆有如下几何性质：（1）椭圆的离心率：椭圆的形状由离心率e来表征。
（2）椭圆的焦点：椭圆的两个焦点分别为F₁和F₂。
（3）椭圆的半长轴和半短轴：半长轴为椭圆的长轴的一半，半短轴为椭圆的短轴的一半。
1.3 椭圆和圆的关系可以看到，当两个焦点重合时，椭圆变成了圆。
这也说明圆是椭圆的一种特殊情况，也就是说圆是椭圆的特例。
二、椭圆的方程和性质2.1 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
2.2 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，θ为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
2.3 椭圆的性质椭圆有许多重要的性质，如焦点、离心率、长轴、短轴等。
椭圆的性质对于解析几何的学习非常重要。
在实际应用中，我们可以利用这些性质进行问题的求解和分析。
2.4 椭圆的参数方程与标准方程的转化椭圆的参数方程与标准方程可以相互转化，通过参数方程与三角函数之间的关系，我们可以得到椭圆的标准方程。
三、椭圆的相关计算3.1 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的面积公式为：S = πab其中，a和b为椭圆的半长轴和半短轴。
3.2 椭圆的周长椭圆的周长也可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的周长公式为：L = 4aE(e)其中，a为椭圆的半长轴，E(e)为椭圆的第二类椭圆积分，e为椭圆的离心率。
3.3 椭圆方程的化简对于一些复杂的椭圆方程，我们可以通过一些方法对椭圆方程进行化简，使得问题的求解变得更加简单。
椭圆高中知识点总结
椭圆高中知识点总结椭圆是一个在数学中经常被研究的几何图形。
它有许多重要的性质和特点，是高中数学中的重要知识点之一、在以下的总结中，我将介绍椭圆的定义、方程、性质、焦点及其应用等方面的知识点。
一、椭圆的定义：椭圆可以通过两个焦点和一个定长的线段来定义。
具体地说，椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于定长的点的集合。
这两个给定点称为焦点，定长称为焦距。
二、椭圆的方程：椭圆的标准方程为：[(x-h)^2/a^2]+[(y-k)^2/b^2]=1，其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴的长度。
三、椭圆的性质：1.椭圆的长半轴和短半轴之间存在关系：c^2=a^2–b^2，其中c是焦点到椭圆中心的距离。
2.椭圆是对称图形，具有关于x轴和y轴的对称性。
3.椭圆的离心率e满足0<e<1，且离心率越大，椭圆越扁平；离心率为0时，椭圆退化成为一个点。
4.椭圆的周长可以用椭圆的长半轴和短半轴的长度来表示：L=4aE(e)，其中E(e)是椭圆的第一类型椭圆积分。
5. 椭圆的面积可以用椭圆的长半轴和短半轴的长度来表示：S =πab。
四、椭圆的焦点：椭圆上有两个与焦点有关的重要的点，分别是两个焦点的位置。
焦点到椭圆上任一点的距离之和等于椭圆的焦距。
焦距与椭圆的半轴之间的关系为c^2=a^2–b^2五、椭圆的应用：1.椭圆在天文学中被广泛应用，用于描述行星和卫星的轨道形状。
2.椭圆在工程学中用于设计椭圆形的机械零件。
3.椭圆在地理学中用于描述地球的地理形状和地球上的纬度和经度线。
4.椭圆在艺术和建筑设计中被用于创作椭圆形的艺术品和建筑结构。
总结：椭圆是一个广泛应用于数学和其他科学领域的重要几何图形。
通过椭圆的定义、方程、性质和焦点等方面的知识点，我们可以更好地理解和应用椭圆。
椭圆的应用广泛，涉及到天文学、工程学、地理学、艺术和建筑设计等不同领域。
掌握椭圆的相关知识，对于我们理解和应用数学都有很大的帮助。
高中数学椭圆知识点总结
高中数学椭圆知识点总结椭圆是平面上的一个闭合曲线，其定义是到一个定点F1和F2的距离之和为常数2a的点的轨迹。
椭圆由中心(O)、两个焦点(F1和F2)、两个顶点(A和B)、两个半焦距(c)以及两个轴(a和b)来描述。
椭圆的基本方程为(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。
在椭圆上任意一点P(x, y)，它到两个焦点的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
椭圆的性质：1. 椭圆的对称性：椭圆关于x轴、y轴和原点都具有对称性。
2. 椭圆的离心率：离心率e定义为焦距与长半轴的比值，即e = c/a。
离心率决定了椭圆的形状，当e=0时，椭圆退化为一个圆；当0<e<1时，椭圆变得越扁平；当e=1时，椭圆是一个狭长的形状，称为等轴椭圆；当e>1时，椭圆变得越细长。
3. 椭圆的焦点和半焦距：椭圆上的每个点都有两个焦点F1和F2，它们的距离之和等于常数2a，即PF1 + PF2 = 2a。
半焦距c等于焦点到中心的距离。
4. 椭圆的顶点和焦半径：椭圆的顶点A和B分别位于x轴和y 轴上，其横坐标为±a，纵坐标为0。
焦半径是从焦点到椭圆上任意一点的距离。
5. 椭圆的顺/逆时针方向：椭圆的顺时针和逆时针方向取决于a 和b的大小关系。
当a>b时，椭圆逆时针；当a<b时，椭圆顺时针。
6. 椭圆的离心角和离心率关系：椭圆上任意一点P的离心角θ与其到两个焦点的距离之差的关系为cosθ = (x/a) = 1/e，其中e为椭圆的离心率。
7. 椭圆的直径和焦半径的关系：椭圆上任意一点P的直径与焦半径的平方之差等于常数2a，即PF1² - PF2² = 2a。
椭圆的方程化简和常见形式：1. 标准方程：(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b为正数。
当椭圆的中心不在原点时，可通过平移变换将其化为标准方程。
高中数学椭圆知识点总结
高中数学椭圆知识点总结第一篇：椭圆的定义及基本性质一、椭圆的定义椭圆是指平面内到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
两点F1和F2称为椭圆的焦点，中间的线段称为椭圆的长轴，垂直于长轴的线段称为椭圆的短轴，长轴的一半a称为椭圆的半长轴，短轴的一半b称为椭圆的半短轴。
二、椭圆的基本性质1. 椭圆上的任意一点P到两焦点F1和F2的距离之和等于椭圆的长轴长度2a。
2. 椭圆上的任意一点P到两焦点F1和F2的距离之差等于椭圆的短轴长度2b。
3. 椭圆上与长轴平行的直线称为椭圆的次中心轴，垂直于长轴的直线称为椭圆的主中心轴。
4. 椭圆的离心率e等于焦点距离除以长轴长度，即e=√(a²-b²)/a。
5. 椭圆的面积为πab。
6. 椭圆的周长无解析式，但可以通过积分求解。
7. 椭圆对称性：关于长轴、短轴、次中心轴和主中心轴都有对称轴。
三、椭圆的求解椭圆的标准方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1，其中a和b 分别为半长轴和半短轴的长度。
椭圆的一般方程为Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0，其中A、B、C、D、E、F为常数。
常用的求解方法有以下几种：1. 椭圆的标准方程变形法。
通过移项、变形等方法将一般方程转化为标准方程。
2. 半坐标轴法。
通过平移和旋转椭圆，使其长轴与坐标轴平行或垂直。
3. 矩阵法。
通过矩阵运算，将一般方程转化为标准方程。
四、椭圆的应用椭圆在生活和工程中有广泛的应用。
例如，在太阳系中行星的运动轨迹、卫星的轨道以及天体的椭球形等都具有椭圆的特征。
此外，在建筑设计中，椭圆形的建筑物也十分常见，如伦敦的温布利球场和巴黎的凯旋门等。
椭圆也广泛应用于牙轮、机械手、调速器等机械制造中。
椭圆的几何性质知识点归纳及典型例题及练习(付答案)
（一）椭圆的定义：1、椭圆的定义：平面与两个定点F i 、F 2的距离之和等于定长（大于 IRF 2I ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点 F i 、F 2叫做椭圆的 焦点，两焦点的距离 厅汀2|叫做椭圆的 焦距。
对椭圆定义的几点说明：（1） “在平面”是前提，否则得不到平面图形（去掉这个条件，我们将得到一个椭球面）； （2） “两个定点”的设定不同于圆的定义中的“一个定点” ，学习时注意区分；（3） 作为到这两个定点的距离的和的 “常数”，必须满足大于| F i F 2|这个条件。
若不然， 当这个“常数”等于| F i F 2|时，我们得到的是线段 F 1F 2；当这个“常数”小于| F i F 2|时，无 轨迹。
这两种特殊情况，同学们必须注意。
（4） 下面我们对椭圆进行进一步观察，发现它本身具备对称性，有两条对称轴和一个 对称中心，我们把它的两条对称轴与椭圆的交点记为 A i , A 2, B i , B 2，于是我们易得| A i A 2|的值就是那个“常数”，且|B 2F 2|+|B 2F i |、|B i F 2|+|B i F i |也等于那个“常数”。
同学们想一想 其中的道理。
（5）中心在原点、焦点分别在 x 轴上，y 轴上的椭圆标准方程分别为：2 2 2 2i （a b 0）,77i （a b 0）,a ba b2 2 2相同点是：形状相同、大小相同；都有 a > b > 0， a c b 。
不同点是：两种椭圆相对于坐标系的位置不同， 它们的焦点坐标也不同（第一个椭圆的 焦点坐标为（一c , 0）和（c , 0）,第二个椭圆的焦点坐标为（0,— c ）和（0, c ）。
椭圆的 焦点在x 轴上 标准方程中x 2项的分母较大；椭圆的焦点在 y 轴上标准方程中y 2项的分母较大。
（二）椭圆的几何性质：椭圆的几何性质可分为两类：一类是与坐标系有关的性质，如顶点、焦点、中心坐标； 一类是与坐标系无关的本身固有性质，如长、短轴长、焦距、离心率.对于第一类性质，只2 2要X 2 每 i （a b 0）的有关性质中横坐标x 和纵坐标y 互换，就可以得出 a b2 2^2 —2 i （a b 0）的有关性质。
2022年上海高中数学系列3：椭圆及其性质(含答案)
3椭圆及其性质知识点：1.椭圆定义：平面内与两个定点21,F F 的距离之和等于常数2a (122a F F >)的点的轨迹叫作椭圆，这两个定点21,F F 叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离||21F F 叫做椭圆的焦距.2.椭圆标准方程及性质:标准方程22221(0)x y a b a b +=>>22221(0)y x a b a b +=>>中心坐标()0,0焦点坐标(,0)c ±(0,)c ±顶点(,0),(0,)a b ±±(,0),(0,)b a ±±范围a x a -≤≤，b y b-≤≤a y a -≤≤，b x b-≤≤长轴长2a 长半轴长a 短轴长2b 短半轴长b对称轴关于x 轴、y 轴成轴对称；关于原点成中心对称离心率c e a=3.椭圆的光学性质；从椭圆的一个焦点发出的光线在到达椭圆上后，被经过到达点的切线反射后必经过椭圆的另一个焦点．4.椭圆焦点三角形：周长为22a c +，面积公式见15题.5.点与椭圆的位置关系：(1)00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上2200221x y a b ⇔+=(2)00(,)P x y 在椭圆22221(0)xy a b a b +=>>内2200221x y a b ⇔+<(3)00(,)P x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>外2200221x y a b⇔+>6.直线与椭圆的位置关系：(1)消元:由直线方程代入曲线方程，消去一个变量，得到另一变量的二次方程；(2)判别式求解:根据二次方程解的情况判定其交点情况.7.弦长公式：直线y kx b =+和椭圆22221x y a b +=相交于1122( ) ( )P x y Q x y ，，，，则1212PQ x x y y =-=-；8.弦中点等问题：MN 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一条弦，Q 是弦MN 的中点，分别用MN OQ k k 、表示相应直线的斜率，则22MN OQ b k k a⋅=-都为定值；9.斜率之积为定值问题：AB 是过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中心的一条弦，P 是椭圆上的一点(异于AB )，分别用 PA PB k k 、表示相应直线的斜率，则22PA PB b k k a⋅=-.练习题：上海高中数学系列1.椭圆221y x k +=的一个焦点为(0，则k =________．32.方程2214x y m +=表示焦点在y轴上的椭圆，其焦点坐标是3.椭圆227321x y +=上一点到两个焦点的距离之和为__________．4.中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过点12111()(0 332P P -，、，的椭圆方程为__________22541x y +=．5.设12 F F 、是椭圆:C 22184x y +=的两个焦点，则在椭圆C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数为2．6.椭圆2214x y +=的一个焦点是F ，动点P 是椭圆上的点，以线段PF 为直径的圆始终与一定圆相切，则定圆的方程是____224x y +=．7.已知椭圆22:143x y Γ+=的右焦点为F ，过原点O 的直线与椭圆Γ交于,A B ，则11AF BF +的取值范围为：__________4[1 ]3，.8.椭圆()01342222>=+m my m x 的左焦点为F ，直线(22)x t m t m =-<<与椭圆相交于点A 、B ，则FAB ∆的周长的最大值是8m (用m 表示).9.点P 是椭圆2212516x y +=上一点，12,F F 是椭圆的2个焦点，且12PF F ∆的内切圆半径为1，当P 在第一象限时，点P 的纵坐标为__________.8310.已知圆22:(1)1M x y +-=，圆22:(1)1N x y ++=.直线12,l l 分别过圆心,M N ,且1l 与圆M 相交于A 、B 两点，2l 与圆N 相交于C 、D 两点，点P 是椭圆22194x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅ 的最小值为．811.以椭圆2212516x y +=的两个焦点和短轴两个顶点为四个顶点的椭圆方程是(B )A.221169x y += B.221916x y += C.2212516x y += D.2211625x y +=12.椭圆C ：221169x y +=与直线l ：(21)(1)74(R)m x m y m m +++=+∈，的交点情况是(C )A.没有交点 B.有一个交点 C.D.由m 的取值而确定13.如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满足OP OF =且4PF =，则椭圆C 的方程为(C )A.221255x y += B.2213010x y += C.2213616x y += D.2214525x y +=14.点A 为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右顶点，P 为椭圆C 上一点(不与点A 重合)，若0PO PA ⋅=(O 是坐标原点)，则离心率的取值范围是(B ).A.1( 1)2， B.2 1)2C.3(1)2D.以上说法都不对yxP F O15.若点M 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意一点，12,F F 为两个焦点，12F MF α∠=，(1)求证：12F MF ∆的面积为2tan2b α.(2)若椭圆2221(0)9x y b b +=>上存在一点M ，使12120F MF ∠=︒，求实数b 的取值范围.解：(1)12121||||sin 2F MF S MF MF α∆=222221212121212||||(2)(||||)2||||(2)cos 2||||2||||MF MF c MF MF MF MF c MF MF MF MF α+-+--==221212442||||2||||a c MF MF MF MF --=221242||||2(cos 1)cos 1b b MF MF αα∴==++122212sin tan2cos 12F MF b S b ααα∆∴=⋅⋅=+(2)椭圆上存在一个点M ，使12120F MF ∠=︒，即12max ()120F MF ∠≥︒，12tan tan 602c F MF b ∠∴=≥︒=，即22223,3,93,02c c b b b b ≥≥∴-≥∴<≤16.已知椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)的长轴长是短轴长的两倍，焦距为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线:l y kx m =+(0k ≠且0m ≠)与椭圆C 交于两点11(,)M x y 、22(,)N x y ，且21212y y k x x ⋅=，试求直线l 的斜率k ，并求m 的取值范围.解：(1) 椭圆2222:1x y C a b+=(0a b >>)的长轴长是短轴长的两倍，焦距为⎪⎩⎪⎨⎧+==⨯=∴222322222c b a c b a 解得3,1,2===c b a ∴椭圆C 的标准方程1422=+y x .(2)由题意,得0≠k ，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=1422y x m kx y ，消去y 并整理得：0)1(48)41(222=-+++m kmx x k 设)()(2211y x N y x M ，，，，则221418kkmx x +-=+，222141)1(4k m x x +-=由题意12≠m (否则021=x x ，则21,x x 中至少有一个为0，直线ON OM ,中至少有一个斜率不存在，矛盾)2212122121)())((m x x km x x k m kx m kx y y +++=++=∴，2212212122121)(k x x m x x km x x k x x y y =+++=∴由0≠m 得：412=k 解得21±=k 由0)14(16)1)(41(1664222222>+-=-+-=∆m k m k m k 得21100112<<<<<<--<<-m m m m 或或或.17.已知复数(,,)z x yi x y R i =+∈是虚数单位，且22z z ++-=.⑴求复数z 对应点),(y x Z 的轨迹E 的方程；⑵过点(,0)B m作方向向量为( 1)的直线l 交曲线E 于 C D 、两点，若点(1,0)Q 恰在以线段CD 为直径圆的内部，求实数m 的取值范围．【解析】(1)由22z z ++-=点),(y x Z 在以)0,2(),0,2(-为焦点，622=a 的椭圆上于是：2,2,6222=-===c a b c a 故点),(y x Z 的轨迹E 的方程为：12622=+y x (2)CD 方程为：)(33m x y --=，由⎪⎩⎪⎨⎧=-+--=063)(3322y x m x y 得：062222=-+-m mx x 因直线与椭圆有两交点，于是0>∆解得：3232<<-m 由题意知，0<⋅QD QC ，即0),1(),1(<-⋅-D D C C y x y x 将)(33m x y C C --=，)(33m x y D D --=代入上式整理得：03131)((342<++++-m m x x x x D C D C 将⎪⎩⎪⎨⎧-==+262m x x mx x D C D C 代入上式解得：323<<-m ，综上，323<<-m .18.已知椭圆E 两个焦点12(1,0),(1,0)F F -，并经过点2322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设,M N 为椭圆E 上关于x 轴对称的不同两点，12(,0),(,0)A x B x 为x 轴上两点，且122x x =，证明：直线AM ,NB 的交点P 仍在椭圆E 上；(3)你能否将(2)推广到一般椭圆中？写出你的结论即可.解：(1)设标准方程为22221(0)1x y b b b +=>+，又,22E ⎛∈ ⎝⎭，故221/23/411b b +=+，解得1b =，因此标准方程为22:12x E y +=.(2)方法一(求两直线交点坐标)：设0000(,),(,)M x y N x y -，(,)P x y 则联立两直线方程01010202:():()AMBN y l y x x x x y l y x x x x ⎧=-⎪-⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，消去y 得0001021201020124()()2y y x x x x x x x x x x x x x x x x -+--=-⇒=----0010202011010120124()22y x x x x y x y x y x x x x x x x x x +--=-=-----()()()()222012021222201201242222x x x y x x x y x x x x x x +-⎡⎤-⎣⎦∴+=+----由于2212002,22x x y x ==-化简得2222200102122220010212888822224444x x x x x x x x y x x x x x x x --+++∴+==--+++2212x y ⇔+=，即交点P 在椭圆上.方法二(解析法)：设0000(,),(,)M x y N x y -，则01010202:():()AMBNy l y x x x x y l y x x x x ⎧=-⎪-⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，再记(,)P x y ，则P 满足上述两方程，化简后得01000200()()y y x yx xy y y x yx xy -=-⎧⎨+=+⎩，两式相乘得22222201200()y y x x y x x y -=-，再由2212002,22x x x y ==-代入消元化简，得22222022y y y x y +=，2212x y ⇔+=，即交点P 在椭圆上.方法三(解析法)：设0000(,),(,)M x y N x y -，则01010202:():()AMBN y l y x x x x y l y x x x x ⎧=-⎪-⎪⎨-⎪=-⎪-⎩，再记(,)P m n ，则P 满足上述两方程，化简后得()()01010202:():()AM BN l n x x y m x l n x x y m x -=-⎧⎪⎨-=--⎪⎩，两边平方，()()2222010122220202()()n x x y m x n x x y m x ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩观察得12,x x 是方程()()222200nx x y m x -=-的两根，即12,x x 是方程()()22222222200000220n y x myn x x n x y m -+-+-=的两根，222222222200120002222n x y m x x n y n x y m n y -∴==⇒-=--由于220022x y =-，得()2222222200022222n y n y ym m n -=--⇒+=即交点P 在椭圆上.(3)推广：给定椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，设,M N 为E 上关于x 轴对称的不同两点，12(,0),(,0)A x B x 为x 轴上两点，且212x x a =，则直线AM ,NB 的交点P 仍在椭圆E 上.。
专题39 椭圆知识点和典型例题(解析版)
专题39 椭圆知识点和典型例题〔解析版〕1、定义：平面内与两个定点，的距离之和等于常数〔大于〕的点的轨迹称为椭圆．即：。
这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：焦点的位置 焦点在轴上焦点在轴上 图形标准方程 范围且 且 顶点、、、、轴长 短轴的长长轴的长焦点 、、焦距对称性 关于轴、轴、原点对称离心率e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁题型一：求椭圆的解析式例1．求椭圆224936x y +=的长轴长、焦距、焦点坐标、顶点坐标；通径 过椭圆的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：2b 2/a焦半径公式⎪⎭⎫ ⎝⎛-2325，【详解】椭圆224936x y +=化为标准方程22194x y +=，∴3a =，2b =，∴c ==∴椭圆的长轴长为26a =，焦距为2c =焦点坐标为()1F，)2F ，顶点坐标为()13,0A -，()23,0A ，()10,2B -，()20,2B . 例2．求适合以下条件的椭圆标准方程：〔1〕与椭圆2212x y +=有相同的焦点，且经过点3(1,)2〔2〕经过(2,(22A B 两点 【详解】〔1〕椭圆2212x y +=的焦点坐标为(1,0)±，∵椭圆过点3(1,)2，∴24a =，∴2,a b ==，∴椭圆的标准方程为22143x y +=.〔2〕设所求的椭圆方程为221(0,0,)x y m n m n m n+=>>≠．把(2,(A B 两点代入， 得：14213241mnm n⎧⎪+=⎪⎪⎨⎪⎪+=⎪⎩，解得81m n ==，， ∴椭圆方程为2218x y +=．题型二：求轨迹例3．在同一平面直角坐标系xOy 中，圆224x y +=经过伸缩变换:12x x y y ϕ=⎧⎪⎨=''⎪⎩后，得到曲线C .求曲线C 的方程； 【详解】设圆224x y +=上任意一点(),M x y 经过伸缩变换:12x xy y ω=⎧⎪⎨=''⎪⎩得到对应点(),M x y '''.将x x '=，2y y '=代入224x y +=，得()2224x y ''+=，化简得2214x y ''+=.∴曲线C 的方程为2214x y +=；例4．ABC 中，角、、A B C 所对的边分别为,>>、、a b c a c b ，且2,2=+=c a b c ，求点C 的轨迹方程． 【详解】由题意，以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系， 如下图，因为2c =，那么(1,0),(1,0)A B -，设(,)C x y ， 因为2a b c +=，即||||2||CB CA AB +=，4=，整理得所以22143x y +=，因为a b >，即||||CB CA >，所以点C 只能在y 轴的左边，即0x <． 又ABC 的三个顶点不能共线，所以点C 不能在x 轴上，即2x ≠-．所以所求点C 的轨迹方程为221(20)43x y x +=-<<．例5在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点Q 的轨迹方程. 【详解】解：在圆228x y +=上任取一点P ，过P 作x 轴的垂线PD ，D 为垂足，设0(P x ，0)y ，(,)M x y ，0(D x ，0)，M 是PD 的中点，0x x ∴=，02y y =，又P 在圆228x y +=上，22008x y ∴+=，即2248x y +=，∴22182x y +=，∴线段PD 的中点M 的轨迹方程是22182x y +=.题型三：求参数的范围例6：椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>的上下两个焦点分别为12,F F ，过点1F 与y 轴垂直的直线交椭圆C 于 ,M N 两点，2MNF ∆C 〔1〕求椭圆C 的标准方程；〔2〕O 为坐标原点，直线:l y kx m =+与y 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两个不同的点，假设存在实数λ，使得4OA OB OP λ+=，求m 的取值范围.由题意2MNF ∆的面积为21212||2b cF F MN c MN a===由得c a =21b =，∴24a =， ∴椭圆C 的标准方程为2214y x +=．〔Ⅱ〕假设0m =，那么()0,0P ，由椭圆的对称性得AP PB =，即0OA OB +=， ∴0m =能使4OA OB OP λ+=成立． 假设0m ≠，由4OA OB OP λ+=，得144OP OA OB λ=+， 因为A ，B ，P 共线，所以14λ+=，解得3λ=．设()11,A x kx m +，()22,B x kx m +，由22,{440,y kx m x y =++-=得()2224240k x mkx m +++-=，由得()()222244440m k k m ∆=-+->，即2240k m -+>，且12224km x x k -+=+，212244m x x k -=+，由3AP PB =，得123x x -=，即123x x =-，∴()21212340x x x x ++=， ∴()()2222224412044m k m k k-+=++，即222240m k m k +--=．当21m =时，222240m k m k +--=不成立，∴22241m k m -=-，∵2240k m -+>，∴2224401m m m --+>-，即()222401m m m ->-， ∴214m <<，解得21m -<<-或12m <<．综上所述，m 的取值范围为{|21012}m m m m -<<-=<<或或．直线与圆锥曲线的位置关系2.直线与圆锥曲线的位置关系： ⑴.从几何角度看：〔特别注意〕要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
高中数学 椭圆专题(经典例题 考题 练习)附答案
高中数学椭圆专题一．相关知识点1．椭圆的概念平面内与两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫椭圆。
这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数}。
(1)若a＞c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a＜c，则集合P为空集。
2．椭圆的标准方程和几何性质3．椭圆中常用的4个结论(1)设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时P在短轴端点处；当x＝±a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处。
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边长，a2＝b2＋c2。
(3)已知过焦点F1的弦AB，则△ABF2的周长为4a。
(4)若P为椭圆上任一点，F为其焦点，则a－c≤|PF|≤a＋c。
一、细品教材1．(选修1－1P34例1改编)若F1(3,0)，F2(－3,0)，点P到F1，F2距离之和为10，则P点的轨迹方程是()A.x225＋y216＝1 B.x2100＋y29＝1 C.y225＋x216＝1 D.x225＋y216＝1或y225＋x216＝12．(选修1－1P42A组T6改编)设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是()A.22 B.2－12C．2－ 2 D.2－1走进教材答案1．A; 2．D 二、双基查验1．设P是椭圆x24＋y29＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．8 C．6 D．182．方程x25－m＋y2m＋3＝1表示椭圆，则m的范围是()A．(－3,5) B．(－5,3) C．(－3,1)∪(1,5) D．(－5,1)∪(1,3)3．椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或214．已知椭圆的一个焦点为F (1,0)，离心率为12，则椭圆的标准方程为________。
高中文科数学椭圆知识点总结
高中文科数学椭圆知识点总结高中数学椭圆知识点1一、椭圆知识点总结1、椭圆的概念在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹（或集合）叫椭圆、这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：（1）若a＞c，则集合P为椭圆；（2）若a＝c，则集合P为线段；（3）若a＜c，则集合P为空集。
2、椭圆的标准方程和几何性质一条规律椭圆焦点位置与x2，y2系数间的`关系：两种方法（1）定义法：根据椭圆定义，确定a2、b2的值，再结合焦点位置，直接写出椭圆方程。
（2）待定系数法：根据椭圆焦点是在x轴还是y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a、b、c的方程组，解出a2、b2，从而写出椭圆的标准方程。
三种技巧（1）椭圆上任意一点M到焦点F的所有距离中，长轴端点到焦点的距离分别为最大距离和最小距离，且最大距离为a＋c，最小距离为a－c。
（2）求椭圆离心率e时，只要求出a，b，c的一个齐次方程，再结合b2＝a2－c2就可求得e（0＜e＜1）。
（3）求椭圆方程时，常用待定系数法，但首先要判断是否为标准方程，判断的依据是：①中心是否在原点；②对称轴是否为坐标轴。
二、复习指导1、熟练掌握椭圆的定义及其几何性质会求椭圆的标准方程。
2、掌握常见的几种数学思想方法——函数与方程、数形结合、转化与化归等、体会解析几何的本质问题——用代数的方法解决几何问题。
高中数学椭圆知识点2正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R注：其中R表示三角形的外接圆半径余弦定理b2=a2+c2-2accosB注：角B是边a和边c的夹角圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2注：(a,b)是圆心坐标圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0注：D2+E2-4F>0抛物线标准方程y2=2pxy2=-2px-x2=2pyx2=-2py直棱柱侧面积S=c.h斜棱柱侧面积S=c'.h正棱锥侧面积S=1/2c.h'正棱台侧面积S=1/2(c+c')h'圆台侧面积S=1/2(c+c')l=pi(R+r)l球的表面积S=4pi.r2圆柱侧面积S=c.h=2pi.h圆锥侧面积S=1/2.c.l=pi.r.l弧长公式l=a.ra是圆心角的弧度数r>0扇形面积公式s=1/2.l.r 锥体体积公式V=1/3.S.H圆锥体体积公式V=1/3.pi.r2h斜棱柱体积V=S'L注：其中,S'是直截面面积，L是侧棱长柱体体积公式V=s.h圆柱体V=p.r2h乘法与因式分a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b(a2+ab +b2)三角不等式|a+b|≤|a|+|b||a-b|≤|a|+|b||a|≤b<=>-b≤a≤b|a-b|≥|a|-|b|-|a|≤a≤|a|一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a-b-√(b2-4ac)/2a根与系数的关系X1+X2=-b/aX1.X2=c/a注：韦达定理判别式b2-4ac=0注：方程有两个相等的实根b2-4ac>0注：方程有两个不等的实根b2-4ac<0注：方程没有实根，有共轭复数根高中数学椭圆知识点3椭圆的标准方程共分两种情况：当焦点在x轴时，椭圆的标准方程是：x^2/a^2+y^2/b^2=1，（a>b>0）；当焦点在y轴时，椭圆的标准方程是：y^2/a^2+x^2/b^2=1，（a>b>0）；其中a^2—c^2=b^2推导：PF1+PF2>F1F2（P为椭圆上的点F为焦点）椭圆的对称性：不论焦点在X轴还是Y轴，椭圆始终关于X/Y/原点对称。
(完整版)高中数学_椭圆,知识题型总结,推荐文档
平面内一个动点到两个定点、的距离之和等于常数()
点的轨迹叫椭圆
若，则动点的轨迹为线段；
若，则动点的轨迹无图形
．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
．当焦点在轴上时，椭圆的标准方程：，其中；
．在椭圆的两种标准方程中，都有和；
当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，；当焦点在轴上时，椭圆的焦点坐标为，。
椭圆的的简单几何性质
对于椭圆标准方程，把
，方程都不变，所以椭圆是以
②椭圆（
表示，记作。
越小，因
椭圆的图像中线段的几何特征（如下图）：
），，；
），，；
）,，；知识点四：椭圆与（
，，
，，
关于x轴、y轴和原点对称
，，
=，短轴长=
，，椭圆，（
和，
知识点四：椭圆与（
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关于x轴、y轴和原点对称
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可化为，即，
当时，椭圆的焦点在
当时，椭圆的焦点在
程中的参数、、的值。
其主要步骤是
与椭圆（）共焦点的椭圆方程可设为（
与焦点三角形有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角()结合起来，建立、之间的
长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。
离心率，因为
表示为，当越小时，椭圆越扁，越大；当越大，椭圆趋近圆，。
高中数学解析几何专题之椭圆(汇总解析版)
圆锥曲线第1讲 椭圆【知识要点】 一、椭圆的定义 1. 椭圆的第一定义：平面内到两个定点1F 、2F 的距离之和等于定长a 2（212F F a >）的点的轨迹叫椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两个焦点之间的距离叫做焦距。
注1：在椭圆的定义中，必须强调：到两个定点的距离之和（记作a 2）大于这两个定点之间的距离21F F （记作c 2），否则点的轨迹就不是一个椭圆。
具体情形如下：（ⅰ）当c a 22>时，点的轨迹是椭圆； （ⅱ）当c a 22=时，点的轨迹是线段21F F ； （ⅲ）当c a 22<时，点的轨迹不存在。
注2：若用M 表示动点，则椭圆轨迹的几何描述法为aMF MF 221=+（c a 22>，cF F 221=），即2121F F MF MF >+.注3：凡是有关椭圆上的点与焦点的距离问题，通常可利用椭圆的第一定义求解，即隐含条件：aMF MF 221=+千万不可忘记。
2. 椭圆的第二定义：平面内到某一定点的距离与它到定直线的距离之比等于常数e （10<<e ）的点的轨迹叫做椭圆。
二、椭圆的标准方程（1）焦点在x 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是12222=+b y a x （0>>b a ）； （2）焦点在y 轴、中心在坐标原点的椭圆的标准方程是12222=+b x a y （0>>b a ）.注1：若题目已给出椭圆的标准方程，那其焦点究竟是在x 轴还是在y 轴，主要看长半轴跟谁走。
长半轴跟x 走，椭圆的焦点在x 轴；长半轴跟y 走，椭圆的焦点在y 轴。
（1）注2：求椭圆的方程通常采用待定系数法。
若题目已指明椭圆的焦点的位置，则可设其方程为12222=+b y a x （0>>b a ）或12222=+b x a y （0>>b a ）；若题目未指明椭圆的焦点究竟是在x 轴上还是y 轴上，则中心在坐标原点的椭圆的方程可设为122=+ny mx （0>m ，0>n ，且n m ≠）. 三、椭圆的性质以标准方程12222=+b y a x （0>>b a ）为例，其他形式的方程可用同样的方法得到相关结论。
椭圆知识点总结加例题
椭圆知识点总结加例题一、椭圆的定义和性质1.1 椭圆的定义在平面上，椭圆的定义为：对于给定的两个不重合的实点F1和F2，以及一个实数2a （a>0），定义为到点F1和点F2的距离的和等于2a的点的轨迹，这个轨迹就是椭圆。
1.2 椭圆的几何性质（1）焦点性质：椭圆上到焦点的距离之和是一个常数2a。
（2）长短轴性质：椭圆有两个互相垂直的对称轴，其中较长的轴称为长轴，较短的轴称为短轴。
（3）离心率性质：椭圆的离心率e定义为焦距与长轴的比值，介于0和1之间。
（4）焦点到顶点的连线和短轴的交点为端点的线段称为短轴的焦径。
（5）焦点到顶点的连线和长轴的交点为端点的线段称为长轴的焦径。
1.3 椭圆的方程和标准方程椭圆的一般方程为：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 其中a、b分别为椭圆长轴和短轴的半轴长。
通过坐标平移和旋转，可以得到椭圆的标准方程：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$, 椭圆长轴在x轴上，且椭圆的中心为原点。
1.4 椭圆的参数方程和极坐标方程椭圆的参数方程：$\begin{cases}x=a\cos \theta\\ y=b\sin \theta\end{cases}$, $\theta \in [0, 2\pi)$。
椭圆的极坐标方程：$r(\theta)=\frac{ab}{\sqrt{b^2\cos^2\theta+a^2\sin^2\theta}}$。
二、椭圆的相关性质2.1 椭圆的离心率和焦距的关系设椭圆的长轴和短轴分别为2a和2b，焦点到几点段为2c，则椭圆的离心率e满足关系：$e=\frac{c}{a}$。
2.2 椭圆的面积和周长椭圆的面积：$S=\pi ab$。
椭圆的周长：$L=4aE(e)$，其中E(e)为第二类完全椭圆积分。
2.3 椭圆的切线和法线对于椭圆上任一点P(x，y)，其切线的斜率为$k=-\frac{b^2x}{a^2y}$，切线的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，且斜率为$k$的切线方程为$y-kx+ka^2=0$。
高中数学椭圆总结(全)
椭圆一．知识清单 1.椭圆的两种定义：①平面内与两定点F 1，F 2的距离的和等于定长()2122F F a a >的动点P 的轨迹，即点集M={P| |PF 1|+|PF 2|=2a ，2a ＞|F 1F 2|}；（212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
其中两定点F 1，F 2叫焦点，定点间的距离叫焦距。
②平面内一动点到一个定点和一定直线的距离的比是小于1的正常数的点的轨迹，即点集M={P|e dPF =，0＜e ＜1的常数}。
（1=e 为抛物线；1>e 为双曲线）（利用第二定义,可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化，定点为焦点，定直线为准线）.2 标准方程：（1）焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）；焦点F 1（－c ，0）， F 2（c ，0）。
其中22b a c -=（一个Rt 三角形）（2）焦点在y 轴上，中心在原点：12222=+bx a y （a ＞b ＞0）；焦点F 1（0，－c ），F 2（0，c ）。
其中22b a c -=注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，22b a c -=并且椭圆的焦点总在长轴上；②两种标准方程可用一般形式表示：Ax 2+By 2=1 （A ＞0，B ＞0，A ≠B ），当A ＜B 时，椭圆的焦点在x 轴上，A ＞B 时焦点在y 轴上。
3 参数方程：焦点在x 轴，⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x （θ为参数）4 一般方程：)0,0(122>>=+B A By Ax5.性质：对于焦点在x 轴上，中心在原点：12222=+by a x （a ＞b ＞0）有以下性质：坐标系下的性质：① 范围：|x|≤a ，|y|≤b ；② 对称性：对称轴方程为x=0，y=0，对称中心为O （0，0）；③ 顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0），B 1（0，-b ），B 2（0，b ），长轴|A 1A 2|=2a ，短轴|B 1B 2|=2b ；（a 半长轴长，b 半短轴长）；④椭圆的准线方程：对于12222=+by a x ，左准线c a x l 21:-=；右准线c x l 22:= 对于12222=+bx a y ，下准线c a y l 21:-=；上准线c y l 22:=焦点到准线的距离cb c c a c c a p 2222=-=-=（焦参数） 椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称⑤焦半径公式：P （x 0，y 0）为椭圆上任一点。
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高中数学椭圆知识总结一、选择题1．(09·浙江)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P ，若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12 [答案] D[解析] 由题意知：F (－c,0)，A (a,0)．∵BF ⊥x 轴，∴AP PB ＝a c.又∵AP →＝2PB →，∴a c ＝2，∴e ＝c a ＝12.故选D. 2．已知P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，若PF 1→·PF 2→＝0，tan∠PF 1F 2＝12，则椭圆的离心率为( )A.12B.23C.13D.53 [答案] D[解析] 由PF 1→·PF 2→＝0知∠F 1PF 2为直角，设|PF 1|＝x ，由tan∠PF 1F 2＝12知，|PF 2|＝2x ，∴a ＝32x ，由|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2得c ＝52x ， ∴e ＝c a＝53. 3．(文)(北京西城区)已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是 ( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 [答案] B[解析] 点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |，又AM 是圆的半径， ∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆． (理)(浙江台州)已知点M (3，0)，椭圆x 24＋y 2＝1与直线y ＝k (x ＋3)交于点A 、B ，则△ABM 的周长为 ( )A ．4B ．8C ．12D ．16 [答案] B [解析] 直线y ＝k (x ＋3)过定点N (－3，0)，而M 、N 恰为椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，由椭圆定义知△ABM 的周长为4a ＝4×2＝8.4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与双曲线x 2m 2－y 2n2＝1(m >0，n >0)有相同的焦点(－c ，0)和(c,0)(c >0)．若c 是a 、m 的等比中项，n 2是2m 2与c 2的等差中项，则椭圆的离心率是( )A.33B.22C.14D.12[答案] D [解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c 2＝am (1)2n 2＝2m 2＋c 2(2)c 2＝m 2＋n 2 (3)，由(2)(3)可得m ＝c2，代入(1)得椭圆的离心率e ＝c a ＝12.故选D.5．(文)椭圆x 2100＋y 264＝1的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2＝60°，则△F 1PF 2的面积是 ( )A.6433B.9133C.1633D.643[答案] A[解析] 由余弦定理：|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|·cos60°＝|F 1F 2|2.又|PF 1|＋|PF 2|＝20，代入化简得|PF 1|·|PF 2|＝2563，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin60°＝6433.(理)已知F 是椭圆x 225＋y 29＝1的一个焦点，AB 为过其中心的一条弦，则△ABF 的面积最大值为 ( )A ．6B ．15C ．20D ．12 [答案] D[解析] S ＝12|OF |·|y 1－y 2|≤12|OF |·2b ＝12.6．(2010·山东济南)设F 1、F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的左、右焦点，c ＝a 2－b 2，若直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过点F 2，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，22 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，1D.⎝⎛⎦⎥⎤0，33[答案] B[解析] ∵直线x ＝a 2c上存在点P ，使线段PF 1的中垂线过F 2，∴|F 1F 2|＝|PF 2|，设直线x ＝a 2c 与x 轴交于Q 点，则易知|PF 2|≥|QF 2|，即|F 1F 2|≥|QF 2|，∴2c ≥a 2c－c ，∵c ＝a 2－b 2>0，∴3c 2≥a 2，即e 2≥13，∴e ≥33，∴33≤e <1. 7．如图F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为( )A.32B.12C.22D.3－1[答案] D[解析] 连结AF1，由圆的性质知，∠F1AF2＝90°，又∵△F2AB是等边三角形，∴∠AF2F1＝30°，∴AF1＝c，AF2＝3c，∴e＝ca＝2c2a＝2cc＋3c ＝3－1.故选D.8．(文)(辽宁沈阳)过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左顶点A的斜率为k的直线交椭圆C 于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若13<k<12，则椭圆离心率的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫14，49B.⎝⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝⎛⎭⎪⎫12，23D.⎝⎛⎭⎪⎫0，12[答案] C[解析] 点B的横坐标是c，故B的坐标⎝⎛⎭⎪⎫c，±b2a，已知k∈⎝⎛⎭⎪⎫13，12，∴B⎝⎛⎭⎪⎫c，b2a.斜率k＝b2ac＋a＝b2ac＋a2＝a2－c2ac＋a2＝1－e2e＋1.由13<k<12，解得12<e<23.(理)椭圆有如下的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线经椭圆反射后必过椭圆的另一个焦点．今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A、B是它的两个焦点，其长轴长为2a，焦距为2c(a>c>0)．静放在点A的小球(小球的半径不计)，从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是( ) A．2(a－c) B．2(a＋c)C．4a D．以上答案均有可能[答案] D[解析] 如图所示，本题应分三种情况讨论：当光线沿着x轴负方向从点A出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a－c)；当光线沿着x轴正方向从点A出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是2(a＋c )；在其它情况下，从点A沿直线出发，经椭圆壁反射后第一次回到点A时，小球经过的路程是4a.故选D.9．(杭州五校)椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为( )A.14B.12C ．2D ．4[答案] A[解析] 由题意y 21m＋x 2＝1，且1m＝2，∴m ＝14.故选A.10．(宁波余姚)如果AB 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的任意一条与x 轴不垂直的弦，O 为椭圆的中心，e 为椭圆的离心率，M 为AB 的中点，则k AB ·k OM 的值为 ( )A ．e －1B ．1－eC ．e 2－1D ．1－e 2[答案] C[解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，中点M (x 0，y 0)，由点差法，x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b2＝1，作差得(x 1－x 2)(x 1＋x 2)a 2＝(y 2－y 1)(y 2＋y 1)b2，∴k AB ·k OM ＝y 2－y 1x 2－x 1·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－b 2a 2＝c 2－a 2a2＝e 2－1.故选C. 二、填空题11．(文)已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦点，M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．[答案]33[解析] 令x ＝－c ，∴c 2a 2＋y 2b2＝1.∴y ＝±b 2a .∴|F 1M |＝b2a.∵∠F 1MF 2＝60°，∴|MF 2|＝2|MF 1|＝2b2a.又|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴3b2a＝2a .∴a 2＝3c 2.∴e 2＝13，∵0<e <1，∴e ＝33.(理)(08·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的焦距为2c .以点O为圆心，a 为半径作圆M .若过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0作圆M 的两条切线互相垂直，则该椭圆的离心率为________．[答案] 22[解析] 设切点为Q 、B ，如图所示．切线QP 、PB 互相垂直，又半径OQ 垂直于QP ，所以△OPQ 为等腰直角三角形，可得2a ＝a 2c， ∴e ＝c a ＝22.12．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________. [答案] 54[解析] ∵x 225＋y 29＝1的焦点是A (－4,0)、C (4,0)，点B 在椭圆上，∴BA ＋BC ＝2a ＝10，∵AC ＝8，∴由正弦定理得sin A ＋sin C sin B ＝BC ＋AB AC ＝54.13．设椭圆x 225＋y 216＝1上一点P 到右准线的距离为10，F 是该椭圆的左焦点，若点M 满足OM →＝12(OP →＋OF →)，则|OM →|＝________.[答案] 3[解析] 设右焦点F ′，由定义|PF |＋|PF ′|＝10， |PF ′|10＝e ＝35，∴|PF ′|＝6， ∵OM →＝12(OP →＋OF →)，∴M 为PF 的中点，∴|OM →|＝12|PF ′|＝3.14．若右顶点为A 的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上存在点P (x ，y )，使得OP →·PA →＝0，则椭圆离心率的范围是________．[答案] 22<e <1[解析] 在椭圆x 2a 2＋y 2a 2＝1上存在点P ，使OP →·PA →＝0，即以OA 为直径的圆与椭圆有异于A 的公共点．以OA 为直径的圆的方程为x 2－ax ＋y 2＝0与椭圆方程b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2联立消去y 得 (a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0，将a 2－b 2＝c 2代入化为(x －a )(c 2x －ab 2)＝0，∵x ≠a ，∴x ＝ab 2c 2，由题设ab 2c 2<a ，∴a 2－c 2c2<1.即e >22，∵0<e <1，∴22<e <1. 三、解答题 15．(文)点A 、B 分别是椭圆x 236＋y 220＝1长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点．点P 在椭圆上，且位于x 轴的上方，PA ⊥PF .(1)求点P 的坐标；(2)设M 是椭圆长轴AB 上的点，M 到直线AP 的距离等于|MB |，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．[解析] (1)由已知可得点A (－6,0)、F (4,0)，设点P 的坐标为(x ，y )， 则AP →＝(x ＋6，y )，FP →＝(x －4，y )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧x 236＋y 220＝1(x ＋6)(x －4)＋y 2＝0，消去y 得，2x 2＋9x －18＝0，∴x ＝32或x ＝－6.由于y >0，只能x ＝32，于是y ＝52 3.∴点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫32，523. (2)直线AP 的方程是x －3y ＋6＝0，设点M 的坐标为(m,0)，则M 到直线AP 的距离是|m ＋6|2，于是|m ＋6|2＝|m －6|，又－6≤m ≤6，解得m ＝2. 设椭圆上的点(x ，y )到点M 的距离为d∴d 2＝(x －2)2＋y 2＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋15，∵－6≤x ≤6，∴当x ＝92时，d 取最小值15.(理)已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A 、B 两点(A 、B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．[解析] (1)设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，由已知得：a ＋c ＝3，a －c ＝1，∴a ＝2，c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m x 24＋y23＝1得，(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，∴Δ＝64m 2k 2－16(3＋4k 2)(m 2－3)>0即3＋4k 2－m 2>0x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k 2，x 1·x 2＝4(m 2－3)3＋4k2，又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3(m 2－4k 2)3＋4k2， 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0)， ∴k AD k BD ＝－1，即y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1. ∴y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0.∴3(m 2－4k 2)3＋4k 2＋4(m 2－3)3＋4k 2＋16mk 3＋4k 2＋4＝0.∴7m 2＋16mk ＋4k 2＝0.解得m 1＝－2k ，m 2＝－2k 7，且均满足3＋4k 2－m 2>0.当m 1＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；当m 2＝－2k 7时，l 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.所以，直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0. 16．(文)已知椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点的连线构成一个正三角形，且焦点到椭圆上的点的最短距离为3，求该椭圆的方程．[解析] 若椭圆的焦点在x 轴上，则设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，两焦点F 1(－c,0)、F 2(c,0)，短轴的一个端点为B (0，b )，长轴的一个端点为A (a,0)(c ＝a 2－b 2)．由△BF 1F 2为正三角形知，|BF 1|＝|BF 2|＝|F 1F 2|，所以a ＝2c . 又焦点到椭圆上的点的最短距离为a －c ＝ 3. 由⎩⎨⎧a ＝2c ，a －c ＝ 3.解得a ＝23，c ＝3，b ＝3. ∴椭圆方程为x 212＋y 29＝1.同理，若椭圆的焦点在y 轴上，椭圆方程为y 212＋x 29＝1.[点评] (1)上述求解中，利用了结论：焦点到椭圆上的点的最短距离为a －c .这是因为设P (x ，y )是椭圆上任一点，则x ∈[－a ，a ]，所以|PF 2|2＝(x －c )2＋y 2＝(x －c )2＋(b 2－b 2a 2x 2)＝c 2a 2(a 2c －x )2≥c 2a 2(a 2c－a )2＝(a －c )2，即|PF 2|≥a －c ，于是|PF 2|min ＝a －c .(2)此结论还可以用焦半径证明如下：椭圆焦点F ，椭圆上任一点P (x 0，y 0)，离心率e ，则|PF |＝a ±ex 0(左焦点取“＋”号，右焦点取“－”号)∵－a ≤x 0≤a ，∴a －c ≤|PF |≤a ＋c . 还可以用椭圆的参数方程证明从略．(理)已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，一个顶点为B (0，－1)，且其右焦点到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆方程；(2)是否存在斜率为k (k ≠0)，且过定点Q (0，32)的直线l ，使l 与椭圆交于两个不同的点M 、N ，且|BM |＝|BN |？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.[解析] (1)设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则b ＝1.令右焦点F (c,0)(c >0)，则由条件得3＝|c －0＋22|2，得c ＝ 2.那么a 2＝b 2＋c 2＝3， ∴椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)假设存在直线l ：y ＝kx ＋32(k ≠0)，与椭圆x 23＋y 2＝1联立，消去y 得(1＋3k 2)x 2＋9kx ＋154＝0，由Δ＝(9k )2－4(1＋3k 2)·154>0，得k 2>512；设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点P (x 0，y 0)，由|BM |＝|BN |，则有BP ⊥MN ，由韦达定理代入k BP ＝－1k ，可求得k 2＝23.满足条件k 2>512，所以所求直线存在，其方程为y ＝±63x ＋32. 17．(文)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为63，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．[解析] (1)设椭圆的半焦距为c ，依题意⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝63a ＝3，∴c ＝2，b ＝1，∴所求椭圆方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ①当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3，②当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知|m |1＋k 2＝32，得m 2＝34(k 2＋1)， 把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0.∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1.∵k ≠0，∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1 ＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1＝3＋129k 2＋1k2＋6≤3＋122×3＋6＝4. 当且仅当9k 2＝1k 2即k ＝±33时等号成立．当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值， S ＝12×|AB |max ×32＝32. (理)如图，在椭圆C 中，点F 1是左焦点，A (a,0)，B (0，b )分别为右顶点和上顶点，点O 为椭圆的中心．又点P 在椭圆上，且OP ∥AB ，点H 是点P 在x 轴上的射影．(1)求证：当a 取定值时，点H 必为定点； (2)如果点H 落在左顶点与左焦点之间，试求椭圆的离心率的取值范围；(3)如果以OP 为直径的圆与直线AB 相切，且凸四边形ABPH 的面积等于3＋2，求椭圆的方程．[解析] (1)证明：由k AB ＝－b a ，OP ∥AB 得，l OP ：y ＝－b a x ，代入椭圆方程x 2a 2＋y 2b2＝1得，x 2＝a22，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，22b 或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，－22b . ∵PH ⊥x 轴，∴H ⎝⎛⎭⎪⎫－22a ，0或H ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0. ∵a 为定值，∴H 为定点．(2)∵点H 落在左顶点与左焦点之间，∴－a <－22a <－c ，∴0<e <22.(3)以OP 为直径的圆与直线AB 相切等价于点O 到直线AB 的距离等于12|OP |.由条件设直线AB ：x a ＋y b＝1，则点O 到直线AB 的距离d ＝aba 2＋b2， ∵|OP |＝2a 2＋2b 22，∴ab a 2＋b 2＝2a 2＋2b24， ∴a 2＋b 2＝22ab .①∵S 四边形ABPH ＝S △ABO ＋S 四边形OBPH ＝12ab ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫22b ＋b 22a ＝3＋24ab ＝3＋2， ∴ab ＝4，②由①②解得a 2＝4(2＋1)，b 2＝4(2－1)， 所以所求椭圆方程为x 24(2＋1)＋y 24(2－1)＝1.。