统计学课件 第六章 统计量及其抽样分布
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作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院 张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
常用统计量
n 1 （ 1）样本均值 x = n ∑ X （ 1） i i=1 n 1 （2）样本方差 x = ( X − X )2 ∑ n-1i=1 i （3）样本变异系数 V = S/X n k 1 (4) 样本k阶距 m = n ∑ X k i=1 i n 1 (5) 样本k阶中心距 v = ( X − X )k ∑ k n-1i=1 i n n 3 3/2 (6) 样本偏度 α = n-1 ∑ ( X − X ) /[ ∑ ( X − X )2] 3 i=1 i i=1 i n n 4 (7) 样本峰度 α = ( X − X ) /[ ∑ ( X − X )2]2 − 3 （n-1） ∑ i i 4 i=1 作者：青岛科技大学经济与管理学院 i=1 张占贞 作者：青岛科技大学经济与管理学院 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
§6.3 样本统计量的抽 样分布 (一个总体参数推断时)
6.3.1 样本均值的抽样分布 6.3.2 样本比例的抽样分布 6.3.3 样本方差的抽样分布
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
学习目标
1. 了解统计量及其分布的几个概念 2. 了解由正态分布导出的几个重要分布 3. 理解样本均值的分布与中心极限定理 4. 掌握单样本均值、比例和样本方差的抽样
分布
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院 张占贞 张占贞
3. 4.
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
t 分布
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
t 分布
1. 高塞特 (W.S.Gosset) 于 1908 年在一篇以“ Student”( 学生)为笔名的论文中首次提出 2 2. 随机变量XX 服从正态分布，Y服从 t= ~ t ( n) Y/n
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
§6.1 统计量
统计量的概念 常用统计量 次序统计量 充分统计量
6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
由正态分布导出的几个重要 2 分布 χ 、t 、F 分布
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
2 χ 分布
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
2.
U n1 F= V n2
F ~ F (n1 , n2 )
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院 张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
F分布
(图示)
不同自由度的F分布
（1,10) (5,10)
(10,10)
F
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院 张占贞 张占贞
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
样本均值的抽样分布
(例题分析)
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位 数N=4。4 个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3 、x4=4 。总 体的均值、方差及分布如下 总体分布
.3 .2 .1 0 1 2 3 4
均值和方差
样本均值的抽样分布
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
样本均值的抽样分布
1. 在重复选取容量为n的样本时，由样本均
值的所有可能取值形成的相对频数分布
2. 一种理论概率分布 3. 推断总体均值µ的理论基础
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
t 分布图示
标准正态分布 t (df = 13)
标准正态分布
t 分布
t (df = 5)
z
t 分布与标准正态分布的比较
x
不同自由度的t分布
t
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
F 分布
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
统计量
(statistic)
1. 设X1,X2,…,Xn是从总体X中抽取的容量为n的
一个样本，如果由此样本构造一个函数 T(X1,X2,…,Xn) ，不依赖于任何未知参数， 则称函数T(X1,X2,…,Xn)是一个统计量
样本均值、样本比例、样本方差等都是统 计量
–
2. 统计量是样本的一个函数，是随机的。 3. 统计量是统计推断的基础
–
结果来自容量相同的所有可能样本 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断 的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院 张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
渐进分布
1、统计学的抽样分布理论中，至今求出精 确分布的并不多。 2、在实用中，常寻求样本容量无限大时， 统计量的极限分布，以作为抽样分布的 近似，称为渐进分布。
n=20
计算出所有的 计算出所有的
2值 χ 值 χ2
2 χ2
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
(性质和特点)
χ
2分布
1. 2.
分布的变量值始终为正 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对 称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称 期望为：E(χ2)=n，方差为：D(χ2)=2n(n为自由度) 可加性：若 U 和 V 为两个独立的 χ 2 分布随机变量， U~χ2(n1)，V~χ2(n2),则U+V这一随机变量服从自由 度为n1+n2的χ2分布
6.2.1 总体分布 6.2.2 样本分布 6.2.3 抽样分布、渐进分布 6.2.4 几个重要的抽样分布
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
总体分布
(population distribution)
1. 总体中各元素的观察值所形成的分布 2. 分布通常是未知的 3. 可以假定它服从某种分布
所有可能的n = 2 的样本（共16个） 第一个 观察值 1 2 3 4 1 1,1 2,1 3,1 4,1 第二个观察值 2 3 1,2 2,2 3,2 4,2 1,3 2,3 3,3 4,3 4 1,4 2,4 3,4 4,4
张占贞 张占贞
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
次序统计量
1. 一组样本观测值X1,X2,…,Xn由小到大的排序
X（1）≤X（2）≤…≤ X（i）≤…≤ X（n） 后，称X（1），X（2），…，X（n）为次序统计 量 2. 中位数、分位数、四分位数等都是次序统 计量
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版) 总体
抽样分布
(sampling distribution)
计算样本统计量 计算样本统计量
样 本
例如：样本均值 例如：样本均值 、比例、方差 、比例、方差
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院 张占贞 张占贞
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
(χ2 distribution)
χ
2分布
1.
由 阿贝 (Abbe) 于 1863 年首先给出，后来由 海尔墨 特 (Hermert) 和 卡 · 皮尔逊 (K·Pearson) 分别于 1875 年和1900年推导出来 设 X ~ N (µ ,σ )
µ=
∑x
i =1
N
i
N
N i =1
= 2 .5
σ2 =
2 ( − ) x µ ∑ i
N
= 1.25
张占贞 张Hale Waihona Puke Baidu贞
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
样本均值的抽样分布
(例题分析)
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽 样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
第 6 章 统计量及其抽样分布
统计学
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
第 6 章 统计量及其抽样分布
§6.1 统计量 §6.2 抽样分布及几个重要分布 （正态分布导出） §6.3 样本统计量的抽样分布
χ
分布，则
3. t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要 比正态分布平坦和分散 4. 一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着 自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院 张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
(χ2)分布
(图示)
选择容量为 选择容量为n n的 的
总体
不同容量样本的抽样分布
n=1 n=4 n=10
简单随机样本 简单随机样本
σ µ
2 计算样本方差 计算样本方差S S2
计算卡方值 计算卡方值
2= 2/ 2 χ =( (n n-1) -1)S S2 /σ χ2 σ2
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
F分布
(F distribution)
1.
由统计学家费希尔(R.A.Fisher) 提出的，以其姓 氏的第一个字母来命名 设 若 U 为 服 从 自 由 度 为 n1 的 χ 2 分 布 ， 即 U~χ2(n1) ， V 为服从自由度为 n2 的 χ 2 分布，即 V~χ2(n2), 且 U 和 V 相互独立，则称 F 为服从 自由 度n1和n2的F分布，记为
2
2. 3.
~ N (0,1) ，则 z = σ 令 Y = z 2 ，则 Y 服从自由度为1的χ2分布，
X −µ
Y ~ χ 2 (1)
4.
当总体 X ~ N(µ,σ 2 ) ，从中抽取容量为n的样本，则
2 ( x − x ) ∑ i i =1 n
σ2
~ χ 2 ( n − 1)
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
抽样分布
(sampling distribution)
1.
样本统计量的概率分布，是一种理论分布
– 在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取 值形成的相对频数分布 样本均值, 样本比例，样本方差等
2. 3. 4.
样本统计量是随机变量
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
充分统计量（略）
充分统计量： 能把总体中包含的信息一点都不损失的提 取出来的统计量，称为充分统计量。
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
§6.2 抽样分布 及几个重要分布
总体
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
样本分布
(sample distribution)
1. 一个样本中各观察值的分布 2. 也称经验分布 3. 当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐
接近总体的分布
样 本
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
常用统计量
n 1 （ 1）样本均值 x = n ∑ X （ 1） i i=1 n 1 （2）样本方差 x = ( X − X )2 ∑ n-1i=1 i （3）样本变异系数 V = S/X n k 1 (4) 样本k阶距 m = n ∑ X k i=1 i n 1 (5) 样本k阶中心距 v = ( X − X )k ∑ k n-1i=1 i n n 3 3/2 (6) 样本偏度 α = n-1 ∑ ( X − X ) /[ ∑ ( X − X )2] 3 i=1 i i=1 i n n 4 (7) 样本峰度 α = ( X − X ) /[ ∑ ( X − X )2]2 − 3 （n-1） ∑ i i 4 i=1 作者：青岛科技大学经济与管理学院 i=1 张占贞 作者：青岛科技大学经济与管理学院 张占贞
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STATISTICS (第三版 第三版)
§6.3 样本统计量的抽 样分布 (一个总体参数推断时)
6.3.1 样本均值的抽样分布 6.3.2 样本比例的抽样分布 6.3.3 样本方差的抽样分布
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
张占贞 张占贞
统计学
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作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
学习目标
1. 了解统计量及其分布的几个概念 2. 了解由正态分布导出的几个重要分布 3. 理解样本均值的分布与中心极限定理 4. 掌握单样本均值、比例和样本方差的抽样
分布
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院 张占贞 张占贞
3. 4.
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
t 分布
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
t 分布
1. 高塞特 (W.S.Gosset) 于 1908 年在一篇以“ Student”( 学生)为笔名的论文中首次提出 2 2. 随机变量XX 服从正态分布，Y服从 t= ~ t ( n) Y/n
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
§6.1 统计量
统计量的概念 常用统计量 次序统计量 充分统计量
6.1.1 6.1.2 6.1.3 6.1.4
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
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统计学
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由正态分布导出的几个重要 2 分布 χ 、t 、F 分布
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
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统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
2 χ 分布
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
2.
U n1 F= V n2
F ~ F (n1 , n2 )
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F分布
(图示)
不同自由度的F分布
（1,10) (5,10)
(10,10)
F
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样本均值的抽样分布
(例题分析)
【例】设一个总体，含有4个元素(个体) ，即总体单位 数N=4。4 个个体分别为x1=1、x2=2、x3=3 、x4=4 。总 体的均值、方差及分布如下 总体分布
.3 .2 .1 0 1 2 3 4
均值和方差
样本均值的抽样分布
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统计学
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样本均值的抽样分布
1. 在重复选取容量为n的样本时，由样本均
值的所有可能取值形成的相对频数分布
2. 一种理论概率分布 3. 推断总体均值µ的理论基础
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
t 分布图示
标准正态分布 t (df = 13)
标准正态分布
t 分布
t (df = 5)
z
t 分布与标准正态分布的比较
x
不同自由度的t分布
t
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统计学
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F 分布
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
统计量
(statistic)
1. 设X1,X2,…,Xn是从总体X中抽取的容量为n的
一个样本，如果由此样本构造一个函数 T(X1,X2,…,Xn) ，不依赖于任何未知参数， 则称函数T(X1,X2,…,Xn)是一个统计量
样本均值、样本比例、样本方差等都是统 计量
–
2. 统计量是样本的一个函数，是随机的。 3. 统计量是统计推断的基础
–
结果来自容量相同的所有可能样本 提供了样本统计量长远而稳定的信息，是进行推断 的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院 张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
渐进分布
1、统计学的抽样分布理论中，至今求出精 确分布的并不多。 2、在实用中，常寻求样本容量无限大时， 统计量的极限分布，以作为抽样分布的 近似，称为渐进分布。
n=20
计算出所有的 计算出所有的
2值 χ 值 χ2
2 χ2
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张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
(性质和特点)
χ
2分布
1. 2.
分布的变量值始终为正 分布的形状取决于其自由度n的大小，通常为不对 称的正偏分布，但随着自由度的增大逐渐趋于对称 期望为：E(χ2)=n，方差为：D(χ2)=2n(n为自由度) 可加性：若 U 和 V 为两个独立的 χ 2 分布随机变量， U~χ2(n1)，V~χ2(n2),则U+V这一随机变量服从自由 度为n1+n2的χ2分布
6.2.1 总体分布 6.2.2 样本分布 6.2.3 抽样分布、渐进分布 6.2.4 几个重要的抽样分布
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张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
总体分布
(population distribution)
1. 总体中各元素的观察值所形成的分布 2. 分布通常是未知的 3. 可以假定它服从某种分布
所有可能的n = 2 的样本（共16个） 第一个 观察值 1 2 3 4 1 1,1 2,1 3,1 4,1 第二个观察值 2 3 1,2 2,2 3,2 4,2 1,3 2,3 3,3 4,3 4 1,4 2,4 3,4 4,4
张占贞 张占贞
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
次序统计量
1. 一组样本观测值X1,X2,…,Xn由小到大的排序
X（1）≤X（2）≤…≤ X（i）≤…≤ X（n） 后，称X（1），X（2），…，X（n）为次序统计 量 2. 中位数、分位数、四分位数等都是次序统 计量
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
张占贞 张占贞
统计学
STATISTICS (第三版 第三版) 总体
抽样分布
(sampling distribution)
计算样本统计量 计算样本统计量
样 本
例如：样本均值 例如：样本均值 、比例、方差 、比例、方差
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院 张占贞 张占贞
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统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
(χ2 distribution)
χ
2分布
1.
由 阿贝 (Abbe) 于 1863 年首先给出，后来由 海尔墨 特 (Hermert) 和 卡 · 皮尔逊 (K·Pearson) 分别于 1875 年和1900年推导出来 设 X ~ N (µ ,σ )
µ=
∑x
i =1
N
i
N
N i =1
= 2 .5
σ2 =
2 ( − ) x µ ∑ i
N
= 1.25
张占贞 张Hale Waihona Puke Baidu贞
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
样本均值的抽样分布
(例题分析)
现从总体中抽取n＝2的简单随机样本，在重复抽 样条件下，共有42=16个样本。所有样本的结果为
统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
第 6 章 统计量及其抽样分布
统计学
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
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统计学
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第 6 章 统计量及其抽样分布
§6.1 统计量 §6.2 抽样分布及几个重要分布 （正态分布导出） §6.3 样本统计量的抽样分布
χ
分布，则
3. t 分布是类似正态分布的一种对称分布，它通常要 比正态分布平坦和分散 4. 一个特定的分布依赖于称之为自由度的参数。随着 自由度的增大，分布也逐渐趋于正态分布
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统计学
STATISTICS (第三版 第三版)
张占贞 张占贞
统计学
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(χ2)分布
(图示)
选择容量为 选择容量为n n的 的
总体
不同容量样本的抽样分布
n=1 n=4 n=10
简单随机样本 简单随机样本
σ µ
2 计算样本方差 计算样本方差S S2
计算卡方值 计算卡方值
2= 2/ 2 χ =( (n n-1) -1)S S2 /σ χ2 σ2
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STATISTICS (第三版 第三版)
F分布
(F distribution)
1.
由统计学家费希尔(R.A.Fisher) 提出的，以其姓 氏的第一个字母来命名 设 若 U 为 服 从 自 由 度 为 n1 的 χ 2 分 布 ， 即 U~χ2(n1) ， V 为服从自由度为 n2 的 χ 2 分布，即 V~χ2(n2), 且 U 和 V 相互独立，则称 F 为服从 自由 度n1和n2的F分布，记为
2
2. 3.
~ N (0,1) ，则 z = σ 令 Y = z 2 ，则 Y 服从自由度为1的χ2分布，
X −µ
Y ~ χ 2 (1)
4.
当总体 X ~ N(µ,σ 2 ) ，从中抽取容量为n的样本，则
2 ( x − x ) ∑ i i =1 n
σ2
~ χ 2 ( n − 1)
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抽样分布
(sampling distribution)
1.
样本统计量的概率分布，是一种理论分布
– 在重复选取容量为n的样本时，由该统计量的所有可能取 值形成的相对频数分布 样本均值, 样本比例，样本方差等
2. 3. 4.
样本统计量是随机变量
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充分统计量（略）
充分统计量： 能把总体中包含的信息一点都不损失的提 取出来的统计量，称为充分统计量。
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§6.2 抽样分布 及几个重要分布
总体
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院
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统计学
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样本分布
(sample distribution)
1. 一个样本中各观察值的分布 2. 也称经验分布 3. 当样本容量n逐渐增大时，样本分布逐渐
接近总体的分布
样 本
作者：青岛科技大学经济与管理学院 作者：青岛科技大学经济与管理学院